Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі Павлодар облысы

«Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің №11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық

мемлекеттік мекемесі

Тақырыбы: «Есептеудің тиімді тәсілдері»

Секция:

Орындаған: Бисмилді Ақмарал Нариманқызы 5 «Б» сынып оқушысы «Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің

№11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Облыс: Павлодар

Қала: Екібастұз

Ғылыми жетекші: Жахай Самсия математика және информатика пәні мұғалімі «Екібастұз қаласы әкімдігінің білім бөлімінің

№11 жалпы орта білім беретін мектеп» коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Екібастұз қаласы

Мазмұны:

КІРІСПЕ _____________________________________________________1

1. НАТУРАЛ САНДАРДЫ ШАПШАҢ ҚОСУ МЕН АЗАЙТУ, КӨБЕЙТУ МЕН БӨЛУ ӘДІСТЕРІ.1.1 Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері. ______________31.2 Натурал сандарды шапшаң көбейту мен бөлу әдісі ________________31.3 11 санына тез көбейту әдісі ___________________________________31.4 5, 25, 125 сандарына шапшаң бөлу әдісі _______________________42. ФЕРРОЛЬ ӘДІСІМЕН КӨБЕЙТУ _______________________________43. САНДАРДЫ ШАПШАҢ КВАДРАТТАУ ӘДІСІ3.1. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі ___________________________________________53.2. Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң квадраттау әдісі ______54. САУСАҚПЕН САНАУ. КӨБЕЙТУДІҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ _______65. АМАЛДАРДЫ ТОҒЫЗДЫҚТЫҢ КӨМЕГІМЕН ТЕКСЕРУ _________86. САНДАРДЫҢ КВАДРАТТАРЫН ТАБУДЫҢ ОҢАЙ ӘДІСІ ________9

ҚОРЫТЫНДЫ _______________________________________________11

ҚОЛДАНЫЛЫНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ______________________________12

КІРІСПЕ

Есеп шығаруға үйрету – математиканы оқытудағы ең қиын әрі күрделі мәселелердің бірі. Қазірге кезде білім беруге деген көзқарас түбегейлі өзгерген. Соңғы жылдарағы зерттеулер мен тәжірбие көрсетіп отырғандай білім беру білім, білік, дағдыларды меңгеруге бағытталып отырған жоқ. Мұнда бірінші орынға білімді қабылдауға деген оқушылардың көзқарасы қойылып отыр. Жеке тұлғаның қалыптасуымен ақыл ойының дамуы және танымдық белсенділігін арттыру мәселесі баланың ерте балалық щағынан басталады. Бұл кезде баланың ойлау қабілеті белсенді түрде қалыптаса бастайды. Баланың алғашқы салыстыру, жалпылау, жан-жақты талдау жасау, жүйелеу, түрлендіру, зерттеу, әр алуан категорияларға біріктіру, қорытындылау сияқты біліктері оның сөйлемді дұрыс, логикалық тұрғыдан айқын құрастыра білуіне байланысты. Күнделікті өмір тәжірбиеден көріп жүргеніміздей басқа тілді меңгеру үшін алдымен оның тілдің грамматикасын үйренуден емес, сол тілдегі қолданылатын сөздерді үйренуден бастаған дұрыс. Әдетте біз есептеуде қиындық келтіретін іс – әрекеттерден бастаймыз. Мысалы: жазбаша жаттығулар орындаймыз.т.б мұндай тапсырмалар жалықтырады да және оның ешқендай қызығушылықтарды тудырмайды. Осындай көп қырлы іс – әрекеттерді жеңілдету үшін математика сабақтарында тиімді жаттығуларды көбіоек қолданған дұрыс. Егер есептеудің тиімді тәсілдерін жақсы меңгерсе, онда есептеудің жазбаша тәсілдерін ешқандай қиындықсыз меңгере алады.

Зерттеу өзектілігі: Күнделікті өмірде кездесетін қарапайым есептеулерге жылдам есептеудің жолдарын қолдану.

Зерттеудің мақсаты: Күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда пайдалы еңбек еткенде қажет болатын жылдам есептеу дағдысын қалыптастыруМіндеттері:

Есептерді шешу бойынша шеберлікті жетілдіру;Жылдам есептеу тәсілдері бойынша білімді қалыптастыру;Есеп шығаруда жылдам есептеу бойынша негізгі білімді дамыту факторы ретінде практикалық іскерлікке қолдану.

Ғылымилығы мен жаңашылдығы: «Математика» пәні бойынша қосымша зерттеу жұмыстарына пайдалану.

Практикалық қолданысы:Математикалық білім алудың басты шарты – математикалық мәдениеттіліктің деңгейін көтеру болып табылады.

Зерттеу обьектісі: Шапшаң есептеу әдіс-тәсілдерін қолдану тапқырлыққа, зеректікке, логикалық ойлай білуге, амалдарды және күнделікті өмірде кездесетін әр адамға қажет қарапайым есептеулерді тез және тиімді жолдармен орындауға үйретіп, ауызша, шапшаң есептеу дағдыға айналып, есептеу жұмысын оңайлатады.

1Математикалық білім алудың басты шарты – математикалық мәдениеттіліктің деңгейін көтеру болып табылады.

Математика ең алдымен дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, шыңдай түседі.Американдық педагог – математик Д.Пойа былай деген: «Математиканы білу деген не? Бұл есептерді шығара білу, онда стандарттық есептерді ғана емес ойлаудың еркіндігін, сананың салауаттылығын, өз болмысты, тапқырлықты керек ететін есептерді шығару».Есеп шығару кезінде жалпылауды үйренеміз, ойлауды, жадыны дамытады, жалпылама ассоциация қалыптасады.

Шапшаң есептеу әдіс-тәсілдерін қолдану тапқырлыққа, зеректікке, логикалық ойлай білуге, амалдарды және күнделікті өмірде кездесетін әр адамға қажет қарапайым есептеулерді тез және тиімді жолдармен орындауға үйретіп, ауызша, шапшаң есептеу дағдыға айналып, есептеу жұмысын оңайлатады. Математика пәнін оқуда тез есептеу әдістеріне тоқталамын.

2

1. НАТУРАЛ САНДАРДЫ ШАПШАҢ ҚОСУ МЕН АЗАЙТУ, КӨБЕЙТУ МЕН БӨЛУ ӘДІСТЕРІ.

1.1Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері.Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса , қосындыны сонша бірлікке кеміту керек, Мысалы:564 + 292 =564 + ( 292 + 8) – 8 = 564 + 300 – 8 = 864 – 8 = 856. Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, екінші қосылғышты сонша бірлікке кеміту қосынды мәнін өзгертпейді.Мысалға: 997 + 455 = (997+3) + (455-3) = 1000 +452 = 1452. Егер азайғышты бірнеше бірлікке арттырса, азайтқышты да сонша бірлікке арттыру айырма мәнін өзгертпейді.Мысалы: 2454 – 1996=(2454+4)-(1996+4) = 2458-2000= 458Егер екі санның қосындысынан сол сандардың айырмасын шегерсе, нәтижесінде екі еселенген кіші санның мәні шығады.Мысалы: (77+15) – (77-15) = 30 = 2х 15Егер екі санның қосындысына сол сандардың айырмасын қосса, нәтижежде үлкен санның екі еселенген мәні шығады.(54+16) + (54-16) = 2*54 = 108.Бағандап шапшаң қосу үшін әрбір разрядтың цифрларын бөлек қосып, бірлігін ондығының астына келтіріп жазып, содан соң қосу керек.

1.2. Натурал сандарды шапшаң көбейту мен бөлу әдісі

Көбейтудің қосу мен азайтуға байланысты үлестірімділік заңын пайдаланамыз:Мысалы: 7 х 219 = 7 х (210+9) = 1470+63 = 1533 9 х 186 = 9 х(180+6) = 1620+54 = 16745-ке аяқталатын екі таңбалы сандарды көбейту үшін:Мысалы: 15 х 25 = (15 х20) + (15*5) = 300+75 = 375 45*55= (45*50) + (45*5) = 2250+225 = 2475

1.3. 11 санына тез көбейту әдісі11-ге көбейтілетін санның соңғы цифрын жазамыз. Тізбектей оңнан солға қарай цифрларының қосындысын табамыз, содан соң көбейтілетін санның бірінші цифрын жазамызМысалы: 54*11 = 594 А) 4-ті жазамыз. Б) 4+5 = 9 жазылады. В) 5-ті жазамыз124*11 = 1(1+2)(2+4)4 = 1364

Егер көрші цифрларының қосындысы 9-дан артық болса, бірлігі жазылып, ондығы ойға алынады, келесі қосындыға бір саны қосылады.Мысалы: 58*11 = 638А) 8-ді жазамыз

3

Б) 5+8 = 13 3-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.В) 5+1= 6, 6-ны жазамызЕкі орынды санды 111 санына шапшаң көбейтуОңнан солға қарай тізбектей бірінші көбейткіштің соңғы цифрын жазу керек. Содан кейін цифрларының қосындысы және цифрларының қосындысы, соңында көбейгіштің бірінші цифрын жазу керек.Мысалы: 42*111 = 4(4+2)(4+2) = 466268*111 = 7548А) 8-ді жазамызБ) 6+8 = 14, 4-ті жазып, 1-ді ойға аламызВ)6+8+1 = 15, 5-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.Г) 6+1 = 7

2. ФЕРРОЛЬ ӘДІСІМЕН КӨБЕЙТУКөбейтіндінің бірлігін алу үшін көбейткіштердің бірліктерін көбейтеді. Ондығын алу үшін біреуінің ондығын бірлігіне және керісінше көбейтіп, қосындыға ойға алған санды қосады, жүздігін алу үшін ондықтарын көбейтеді. Бұл әдіс мына теңдіктен шығады: (10а+в) (10с+д) = 100ас+10(ад+вс)+вдМысалы: 27*38 = 1026А) 7*8 = 56, 6-ны жазамыз, 5-ті ойға аламызБ)2*8+7*3+5 = 42, 2 жазылады, 4 ойға алынадыВ)2*3+4 = 10Ферроль әдісімен 10-нан 20-ға дейінгі екі орынды сандарды шапшаң көбейту.Мысалы: 12*14 =168 А) 2*4 =8 Б) 1*2+1*4=6 В) 1*1=1Осы әдіспен үш орынды санды екі орынды санға көбейтуге болады.Мысалы: 125*23 =2875 А) 3*5=15, 5 жазылады, 1 ойға алынады Б) 2*3+2*5+1=17, 7 жазылады, 1 ойда В) 2*2+1*3+1=8, 8 жазылады Г) 2*1= 2, 2 жазылады

1.4 5, 25, 125 сандарына шапшаң бөлу әдісіОл үшін сәйкесінше берілген санды 2-ге, 4-ке, 8-ге көбейтіп, 10-ға, 100-ге, 1000-ға бөлу керек.Мысалы: 220: 5=220*2:10=44 1300:25 =1300*4:100=52 9250:125=9250*8:1000=74Кейде амалдар тәртібін ауыстыруға болады, әуелі10, 100, 1000 сандарына бөліп, сосын 2, 4, 8 сандарына көбейтуді орындауға болады.9, 99, 999 сандарына шапшаң көбейту әдісіБірінші көбейткішке екінші көбейткіштегі 9-дар саны қанша болса, сонша ноль

4

тіркеп жазады. Содан соң бірінші көбейткішті шегереді.Мысалы: 286*9 =2860-286=2574 23*99=2300-23=2277 18*999=18000-18=17982

3. САНДАРДЫ ШАПШАҢ КВАДРАТТАУ ӘДІСІ

3.1. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі

25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оның оң жағынан бірлік разрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақталады. Бұл әдіс мына тепе -теңдікке негізделген: (50+а) =100(25+а)+аМысалы: 51*51=260158*58 =3364а)25+8 =33 б)8*8=64

3.2. Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң

квадраттау әдісі Соңғы 5 цифрын квадраттап, оның алдына келесі разрядтағы санды өзінен 1-ге артық санмен көбейтіп, 5-тің квадраты 25 санының алдына жазады.Мысалы: 25*25=625 а)5*5=25 б) 2*(2+1) = 6305*305=93025, а) 5*5=25 б) 30*(30+1) =930Сонымен,арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттерімен,қоғамның дамуымен байланысты.Біз қолданатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау ондық санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады.Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған. Қазірдің өзінде де «Саусақпен санағандай...»дейміз ғой. Осыдан барып –ондық санау системасы шыққан. Алайда кей бір жерлердегі , атап айтқанда , Арифметикадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған ,олар бес-бестен санаған: оларда негізі бес саны болатын бестік санау системасы қалыптасқан.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.Мысалы, «алты» саның «бес-бір»деп атаған т.с.с.Ең көне санау системасы –екілік санау системасы,ғалымдардың болжауы бойынша,бұл системамен бір кезде мысырлықтар пайдаланған. Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системсымен пайдаланған .Ондық санау системасында 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін небары 13 сөз ғана қолданылады: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он , жүз , мың, миллион. 2. Есептеу аспаптары туралы. Орыс есепшоты . Есептеу машиналары. Адам

5

ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысын жеңілдету мақсатымен әр түрлі құралдар мен аспаптарды пайдаланған. Алғашқы, ең ежелгі «есептеу машинасы» адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башайлары болған. Сол арқылы адам едәуір үлкен сандарды есептеуді үйренген. Саусақтарын түрліше бүге отырып, адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес, тіпті жүздіктер мен мыңдарды кескіндеп көрсете білген. Адам миллионға дейінгі сандарды осылайша қолдарымен меңзеп кескіндей білген.Ежелгі заманда саудагерлер (финикиялық,вавилондық,т.б. саудагерлері) есеп –қисаптарын жүргізгенде астық дәндерін , ұсақ тастарды ,бақалшақтарды пайдаланған , сонда оларды кейініректе құм деп аталған арнаулы тақта бетіне жайып салып есептейтін. Құмды гректер мен римдіктер онан әрі жетілдіре түсіп, ол өзіміздің қазіргі есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына, есептеу аспабына айналған. Ең көне есептеу аспаптарының бірі – қытайдың «суан – пан» деп аталатын есепшоты, ол Қытайда казір де қолданылады. Басқа бір ескі есептеу аспабы – жапон «соробаны».

4. САУСАҚПЕН САНАУ.КӨБЕЙТУДІҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ.

Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді. Адамның саусақтары мен олардың буындары, сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу, қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес,сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді . Мысалы ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен. Айталық 6-ны 7- ге көбейту керек болсын. Сол қолымыздың жұдырығын жазбастан, бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып , 6-ға дейін санаймыз. Ал оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап , 7-ге дейін санаймыз. Оң қолдын жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағынан үстіне саламыз. Жазылған саусақ небары 3 –еу болады, бұл -3 ондық, яғни 30 болады. Қалған төртеуі (сол қолдың бүгілулі тұрған саусақтары ) 3-ке (оң қолдын бүгілулі саусақтарына ) көбейтіледі, сонда 12 шығады. Сөйтіп 30+12=42.Осылайша: 6*8=(1+3)*10+4*2=486*9=(1+4)*10+4*1=547*7=(2+2)*10+3*3=497*8=(2+3)*10+3*2=56 7*9=(2+4)*10+3*1=63 8*8=(3+3)*10+2*2=648*9=(3+4)*10+2*1=729*9=(4+4)*10+1*1=81 Саусақпен санау орта ғасырда да практикалық өмірде кең тараған болатын. «Уақытпен санау хақында» кітап жазған Ирландия ғалымы монах Беда Достопочтенный (673-735) саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған.

6

Мәселен 13-ті 14-ке көбейту былайша орындалатын еді. 1) 10*10=100 екені белгілі. Бұдан кейін:2) бір қолдың 3 саусағын, екінші қолдың 4 саусағын бүгеді3) 3+4=7 , бұл ондықтар, яғни 7*10=704) 3*4=12 бұл бірліктер. Сонымен:5) 13*14=10*10+7*10+3*4=182. Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты римдік автор Боэцийден (480-524) бастап, сандар «саусақтарға»(бірліктерге), «буындарға» (ондықтарға) және «құрама сандарға» (басқа қалған сандарға) бөлінетін еді. Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасында» да кездеседі: «саусақтар», «буындар» және «құрамалар». Француздар осы уақытқа дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған. Көбейту мен бөлудің көптеген және алуан түрлі ережелерге ерте заманнан-ақ іс жүзінде қолданылып жүрді. Орыстың ескі бір жазбасында «көз ілеспейтін» деген атаумен ертедегі Үндістанда қолданылып келген «крестпен көбейту» деген қызықты әдісі сипатталып баяндалған. Мысалы, 48-ді 27-ге көбейту үшін: 1) 48× 272) 7×8=563) 6-ны жазамыз да, 5-ті ойда сақтаймыз 48×27 6 4) 7×4=28; 28+5=33, 33 ойда дейміз, 2×8=16; 16+33=49;5) 9-ды жазамыз да, 4-ті ойда сақтаймыз: 48×27 966) 2×4=8; 8+4=12 дейміз 7) 12-ні жазамыз да көбейтіндіде 48×27=1296 сөйтіп 1296 шығарып аламыз. Мысырлық математика папирусында бөлшектерді «бірліктерге» жіктеу таблицалары, кейбір геометриялық фигуралардын аудандарын және көлемдерін есептеп шығару ережелері, ескерткіштердін салмағын анықтауға берілетін есептер, статуялар орнату үшін қажетті құрылыс материялдары мен күн санын табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар. Осы папирустарды зерттей келе натурал сандарды арифметикалық қосу және азайту амалдары мысырлықтарда негізінен қазіргі кездегідей орындалатын, ал көбейту мен бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеу мен қосуға келтіретін.Мысал келтірейік: 15×13.Шешуі: 1/ 15 15×13=(1+4+8) ×15=15+60+120=195/2 30/3 60/4 120Сөйтіп, екі баған құрастырамыз, біріншісінің басында 1, ал екіншісінің басында көбейгіш 15 тұратын болсын. Сол жақ бағандағы кейбір сандарды қосып , 13 көбейткішті шыққанға дейін , ол сандар бірте-бірте екі еселене береді. Ізделінді көбейтіндіні шығарып алу үшін қосу керек болатын оң жақ бағананың сандары сол жақ бағанның қиғаш сызығымен белгіленген сандарына сәйкес келеді.Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі: 195:15=(15+60+120):15=1+4+8=13 Көне мысырлық тәсілге «орысша көбейту тәсілі» деп аталатын тәсіл жақын, оны революцияға дейінгі деревня шаруалары қолданылып келген. Ол біреуі қайталанып екі еселенетін, ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге

7

айырылатын екі көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға негізделген.Мысал: 27×16. Көбейткіштердің біреуі бір бағанның басына жазылып, қайтадан екі еселенеді екінші көбейткіш екінші бағанның басына жазылып қайталап екіге айырылады.

168108 216 2

4325. АМАЛДАРДЫ ТОҒЫЗДЫҚТЫҢ

КӨМЕГІМЕН ТЕКСЕРУ. Ертеде көптеген есептеу әдістері мен арифметикалық амалдарды орындау оңайға түспеді, Өйткені олар өте күрделі, шұбалаңқы болып, орын мен уақыт көп кететін болды. Сондықтан ол кезде адамдар жүргізген есептеулерін қазіргіден гөрі жиірек тексеретін еді. Оның үстіне есептеулер қағаз бетінде емес,құм немесе тозаң себілген есептеу тақтасында орындалатын.Әрбір аралық есептеуді құммен «сүртіп» отыратын,сөйтіпкелесі есептеуді орындайтын.Сонында тақтада тек берілген сандар мен табылған нәтиже ғана қалып отырған.Тексеру мақсатымен барлық есептеуді жаңадан қайталап шығу оңайға түспеді.Міне сондықтан да әр түрлі тексеру тәсілдері қолданылды.Тексеру есеп шығарудың соңғы кезеңі болып табылады. Тексерудің көне тәсілдерінің бірі «тоғыздық тәсілі» деп аталады. Ол тәсілдің баяндалуы X ғасырдың өзінде – ақ үнді математиктерінде кездеседі. Онымен кейіннен ислам елдерінің ғалымдары, ал одан да кейінірек - Еуропа математиктері де (Леонардо Фибоначчи,т.б.) танысқан болатын. Кез-келген санды 9-ға бөлгенде, сол сан цифрларының қосындысын тоғызға бөлгенде шығатындай, қалдық қалатыны мәлім. Мысалы, 1738 санын 9-ға бөлгенде қалдық бір қалады. 19=(1+7+3+8); 10=(1+9); сандарын 9-ға бөлгенде де сондай қалдық қалады.1738 санының цифрларын тізбектеп қосудан шыққан бір таңбалы 1 санын шолақ сан деп атайық. Сондай-ақ бірнеше санның қосындысын қандай да бір санға бөлгенде шыққан қалдық әр қосылғышты сол санға бөлгенде шығатын қалдықтардың қосындысына немесе қосындысын берген санға бөлгенде қалатын қалдыққа тең болатыны белгілі. Мысалы: 23-ті 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалады85-ті 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалады115-ті 7-ге бөлгенде 3 қалдық қалады223-ті 7-ге бөлгенде 6 қалдық қалады Мысалы: 225 358339 439 546 74693220 25+ 09 + 15

8

10 231110 2475

6. САНДАРДЫҢ КВАДРАТТАРЫН ТАБУДЫҢ ОҢАЙ ӘДІСІ

Бүгінгі ғылыми- технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып,кез келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы- калькулятордың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бернмеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты. Шығармашылық өнер дегеніміз- күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен қатар, бұрыннан белгілі жағдайдың бұрын көңіл бөлінбеген қалтарыстарына үңілу. Мәселен,100 санының квадратын еш ойланбастан табу ешкімге де қиындық тудырмасы мәлім.Ал,99 санының квадратын ешқандай құралдың,кестенің өмегінсіз есептеу үшін математиктің өзі біршама ойланған болар еді. Алайда, осы 99 санының квадратын да еш қиындықсыз тез арада есептеуге болады екен.Берілген жағдайда 100 санының квадраты 10000 екені белгілі.Енді, сол 10000 санынан 99 және 100 сандарын айырамыз.992=1002-100-99=9801 (1)Сонымен, бізге қажетті 99 санының квадраты 9801 екнін аса қиналмай-ақ тауып лдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз қандай да бір заңдылыққа бағына ма жоқ па, соны іздестіріп көрейік.Егер, бізге қажетті 99 санын (х-1)2 десек, 99 санын х-1, ал 100 санын х деп белгілейміз. Сонымен алдыңғы өрнекті былай жазуға болады:(х-1)2 =x2-(x-1)-x (2) өрнекті түрлендірсек, (х-1)2=х2-2х+1 (3)Демек, берілген өрнек (а-b)2=a2-2ab+b2, яғни айырымның квадраты заңдылығының в=1 жағдайы болып табылады. Сонымен, жоғарыда келтірілген өрнекке қарап отырып келесі анықтаманы қабылдауға болады.Анықтама1. Қатар екі санның соңғысының квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты кейінгі санның өзін айырғанға тең болады.Аталған анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни, берілген жағдайда 101 саның квадратын табу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады:1012 =1002+101+100=10000+201=10201 (4)яғни, (х+1)2=х2+(х+1)+х (5)(х+1)2=x2+2x+1 (6)6-өрнек ( а+б)2 = a2+2ab+b2, қосындының квадраты заңдылығының b=1

9

болғандағы салдары болып табылады.Анықтама 2. Қатар екі санның алдыңғысының квадраты белгілі болған жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан мен сол санның өзін қосқанға тең болады. Сонымен жоғарыда атап көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі болған жағдайда, сол санның алдындағы және артындағы сандардың квадраттарын өте оңай тәсілмен есептеуге болады екен.Дегенмен, біз қабылдаған анықтамалар тек қатар тұрған сандар үшін берілген. Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық бізге 91-109 сандарының квадратын 100 санын қолдана отырып табу қажет болды делік 91-98 сандарының квадраттарын 100 саны арқылы табу үшін 1-өрнекті былай жазылады:982=1002-(100+98)* 2972=1002(100+98)*3912=1002-(100+91)*9Сонымен 2,3-өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады:(x-a)2=x2-(x+(x-a))*a(x-a)2= x2-2ax+a2мұндағы, х-квадраты белгілі сан; а- квадраты белгілі санмен квадраты анықталтын сан айырымы; мысалы, 98 саны үшін 100-98=2Жоғарыда келтірілген 4-өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады:1022=1002+(100+102) ×2=104041032=1002+(100+103) ×3=10609 1092=1002+(100+109) ×9=11881Демек, 4-өрнекті былай түрлендіруге болады:(x+a) 2=x2+ ((x+a) +x) ×a(x+a) 2 = x2+2ax+a28,11- өрнектерді кез-келген сан үшін қолдануға болады. Мысалы, 17 санының квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады:172=202-(20+17) ×3=400-111=289Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны 15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек.Сонымен,11- өрнекбойынша:172=152+(15+17) ×2=225+64=289Қорыта келе, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады.Және керісінше, квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең.Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен.

10

Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесімен калькулятордың көмегінсіз ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз. Қорыта келе жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады.Және керісінше квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең.Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен.Ісжүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесімен калькулятордың көмегінсізақ кез-келген сандарға арифметикалық амалдарды орындауға болады және ең тиімді тәсілдер екеніне көз жеткіземіз.

ҚОРЫТЫНДЫ

Бүгінгі ғылыми- технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Есептеудің тиімді тәсілдері ұйымдастырудың басты формасы – жұмыстарды орындау, ептілік, іскерлік, шеберлік дағдысын дамыту. Бұл үшін төмендегідей тиісті талаптарды орындауға тура келеді:1. Тиімді тәсілдері есептеуде кез-келген жұмыстың нақты мақсаты болу керек. Әрбір оқушы жұмыстың орындалу тәртібін жетік білу керек.2. Есептеудің тиімді тәсілдері оқушылардың бойындағы танымдық қабілетін, творчестволық ойлау жүйесін қалыптастыруға мүмкіндік береді.3. Жұмыстың мазмұны оқушының қызығуын, талпынысын оята білуі тиіс. Яғни оның тілегі жұмыстың соңына дейін бәсендемейтіндей болуы керек.4. Есептеудің тиімді тәсілдерін оқушылардың дағдылары мен әдістерін жетік игеріп түсетіндей етіп ұйымдастыру қажет. Қорыта келгенде, оқушылардың өз бетімен орындайтын жұмыстары: карточкалар, өздік жұмыстар, есептер шығарту, кестелер толтыру арқылы жүзеге асады. Тоқсандық бақылау, өздік 5-10 минуттық бақылау жұмыстары жүргізіледі. Тіпті, есептеудің қарапайым әдіс-тәсілдерінің пайдалы тұстары анықталды, бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады. Мен қарастырған есептеудің тиімді тәсілдері ауызша есептеуге өте жақсы көмектеседі және де шапшаңдыққа, ұшқырлыққа , жылдам ойлауға жетелейді деп ойлаймын.

11

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:

1. Перельман Я.И. «Қызықты алгебра»2. Математика анықтамалығы3. «Математика, физика» журналдары.4. Перельман Я.И. «Қызықтыалгебра»5. Математика анықтамалығы6. «Мектептегі матеметика»7. «Информатика, физика, математика» журналдары.8. Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы»9. Бидосов Ә. Математиканы оқыту методикасы / Ә. Бидосов.-Алматы: Мектеп.10. Стойлова Л.П. Математика. Учебное пособие для студентов педвузов. – М., 2000

12