級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター
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大改造!!劇的ビフォーアフター@curekoshimizu
リフォーム依頼番組ではリフォームをお考えの級数さまを大募集!あなたもこの番組で腕をふるう「匠」に大改造を依頼してみませんか?
級数を
第8回日曜数学会(2017/01/07)
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匠の技を魅せるための物件(級数)紹介
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𝜋 = 4 𝑛=0∞ −1 𝑛
2𝑛+1
ライプニッツ級数
𝜋 =4
𝑛=0∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
ラマヌジャンの円周率級数
匠の技を魅せるための物件(級数)紹介
どちらも円周率に収束する級数
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𝜋 = 4 𝑛=0∞ −1 𝑛
2𝑛+1
ライプニッツ級数
匠にリフォームを望む級数
𝜋 =4
𝑛=0∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
ラマヌジャンの円周率級数
理想的高級級数
匠の技を魅せるための物件(級数)紹介
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𝜋 ≈ 4 𝑛=00 −1 𝑛
2𝑛+1
= 4.00000....
ライプニッツ級数
𝜋 ≈4
𝑛=00 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
= 3.1415850400..
ラマヌジャンの円周率級数
𝒏 = 𝟎までによる 𝝅 の近似値
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𝜋 ≈ 4 𝑛=01 −1 𝑛
2𝑛+1
= 2.666666....
ライプニッツ級数
𝜋 ≈4
𝑛=01 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
=
3.141592653597..
ラマヌジャンの円周率級数
𝒏 = 𝟏までによる 𝝅 の近似値
さすがはラマヌジャン
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𝜋 ≈ 4 𝑛=02 −1 𝑛
2𝑛+1
= 3.466666....
ライプニッツ級数
𝜋 ≈4
𝑛=02 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
=
3.141592653589793229....
ラマヌジャンの円周率級数
お!?
𝒏 = 𝟐までによる 𝝅 の近似値
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𝜋 ≈ 4 𝑛=03 −1 𝑛
2𝑛+1
= 2.89523....
ライプニッツ級数
𝜋 ≈4
𝑛=03 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛
8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4
=
3.1415926535897932384626531..
ラマヌジャンの円周率級数
あああ...
𝒏 = 𝟑までによる 𝝅 の近似値
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ライプニッツ級数の収束の遅さをみよ!
2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで𝜋 = 4 𝑛=0
∞ −1 𝑛
2𝑛+1
ライプニッツ級数
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2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで
3.1315929035585527643
3.0418396189294022111𝒏 = 𝟏𝟎
まで
𝒏 = 𝟏𝟎𝟎まで
3.1414926535900432384
3.1405926538397929259𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
まで
𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎まで
𝒑桁計算するのに𝒏 = 𝟏𝟎𝒑+𝟏 まで
計算が必要な予感!?
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しかし
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匠は
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なんと
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2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで
この全然円周率っぽくないものたちだけを使って
劇的ビフォーアフター
してみせます!
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アルゴリズム紹介(epsilon算法)
匠 の 技
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○□
△□ +𝟏
△−○
この計算をしていく
ここがないときは 0 とみなす
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STEP0
2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで
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2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
1.2500000000000000000
-1.749999999999999999
2.2500000000000000002
-2.749999999999999999
-0.750000000000000000
-3.749999999999999999
3.2500000000000000001
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで
4.2500000000000000005
-4.750000000000000000
𝟎 +𝟏
△−○
STEP1
△
○
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-0.750000000000000000
2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
3.2837384837384837384
3.0170718170718170717
2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝒏 = 𝟕 まで
1.2500000000000000000
-1.749999999999999999
2.2500000000000000002
-2.749999999999999999
-3.749999999999999999
3.2500000000000000001
2.6666666666666666667
3.4666666666666666667
2.8952380952380952381
3.3396825396825396825
3.2837384837384837384
2.9760461760461760461
3.1666666666666666667
3.1333333333333333334
3.1452380952380952381
3.1396825396825396825
3.1408813408813408812
3.1427128427128427128
3.2523659347188758952
3.0418396189294022110
𝒏 = 𝟖 まで
𝒏 = 𝟗 まで
4.2500000000000000005
-4.750000000000000000
3.1420718170718170717
3.1412548236077647841
STEP2
△
○
□
□ +𝟏
△−○
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STEP3
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STEP4
![Page 22: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/22.jpg)
STEP5+STEP6
![Page 23: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/23.jpg)
STEP5+STEP6
0・1桁精度 2・3桁精度 4・5桁精度 5・6・7桁精度
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なんということでしょう
![Page 25: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/25.jpg)
匠の技であんなにも収束の遅かった
ライプニッツ級数が
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BEFORE
![Page 27: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/27.jpg)
BEFORE AFTER 3.141592079353...
𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎までより精度よく求まっている
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最後にこのアルゴリズムを使って
![Page 29: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/29.jpg)
おもしろい応用ができることに
気がついたので紹介
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𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・
=
𝒏=𝟎
∞
−𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏)
発散級数
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-1
2
-2
3
1𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
4
-3𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟑
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-1
2
-2
3
1𝒏 = 𝟎 まで
𝒏 = 𝟏 まで
𝒏 = 𝟐 まで
𝒏 = 𝟑 まで
𝒏 = 𝟒 まで
4
-3𝒏 = 𝟓 まで
𝒏 = 𝟔 まで
1/3
-1/4
1/5
-1/6
-1/2
1/7
666666666666666673.4666666666666666
6672.8952380952380952
3813.3396825396825396
825
1/5
2/7
2/9
3/11
3/13
12
-16
20
-24
666666666667
2.8952380952380952
381
2.8952380952380952
381
1/4
1/4
1/4
おや!?
![Page 33: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/33.jpg)
つまり
![Page 34: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/34.jpg)
𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・
=
𝒏=𝟎
∞
−𝟏 𝒏 𝒏 + 𝟏
=𝟏
𝟒
発散級数
=𝟏
𝟒!?
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𝟏−𝒛 + 𝟐−𝒛 + 𝟑−𝒛 + ・・・= (𝟏 − 𝟐𝟏−𝒛)𝜻(𝒔)
ゼータ函数を使うとある意味 ¼ と解釈ができるかもしれない?
𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・
= −3𝜻 −𝟏 = −𝟑 × −𝟏
𝟏𝟐=𝟏
𝟒
𝜻 −𝟏 = −𝟏
𝟏𝟐を使った
この式を使うと
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つまり
![Page 37: 級数を大改造!! 劇的ビフォーアフター](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050914/58e4ab771a28abbb038b5723/html5/thumbnails/37.jpg)
匠の技は発散級数にも
ある意味使える!?
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以上収束をはやくする
匠の技でした+もしかすると発散級数に対しても
使えるのでは?という話つき
第8回日曜数学会(2017/01/07)
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自己紹介+ブログ宣伝@curekoshimizu
• 京都大学理学部数学科で解析学を主に専攻してました!
後期入試最高得点入学! (tan1°問題の年)
• 京都大学大学院 情報学研究科 複雑系科学専攻数値解析・丸め誤差に関わる研究
それをやりながらコンピューターにも興味をもつ
• 現在ソフトウェアエンジニア!ここで紹介したような技を使って
さまざまなアルゴリズムを高速化してます!
数学をつかった高速化が大好き!!!
数学と関係する略歴
http://math.koshimizu.hatenablog.jp
数学とコンピューターの間を埋めるようなそんなブログをはじめました!
2016年日曜数学アドベントカレンダー
にも投稿したよ