آموزش تحقیق در عملیات (برنامه ریزی خطی) - بخش چهارم

آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)

faradars.org/fvor94072

:مدرس

ستاره عطاردیکارشناس ارشد مهندسی صنایعدانشگاه علوم و فنون مازندران

تحقیق در عملیاتبرنامه ریزی خطی

«دوگان مسائل برنامه ریزی خطی»

1

فرادرس

FaraDars.org



تعاریف و مفاهیم

دوگان:

خطیریزیبرنامهمسئلههرمزدوج

دوگانمسئلهخواص:

.باشدمنفیتواندمیراستسمتاعداد•

نهاییجدولدرهمزمانبطورثانویهوولیهجوابوجود•

مصنوعیمتغیرجایبهمصنوعیمحدودیتازاستفاده•

2

فرادرس

FaraDars.org



تعاریف و مفاهیم

ثانویهمسئلهازاستفادهدالیل:

محاسباتمقدارشدنکمتر•

مصنوعیمتغیرهایبردنبکارازجلوگیری•

اولیهمسئلهدرثانویهمسئلهاقتصادیتعبیر•

حساسیتتحلیلوتجزیه•

جوابناحیهدرمختصاتمبداوجودعدم•

3

فرادرس

FaraDars.org



روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه

مسئله ثانویه مسئله اولیه

تابع هدف Min Max تابع هدف

سمت راست مقادیر سمت راست مقادیر ضرایب تابع هدف ضریب تابع

ضریب تابع هدف مقادیر ضرایب تابع هدف مقادیر سمت راست سمت راست

متغیر

تعداد متغیر≤

≥

آزاد در عالمت

تعداد محدودیت≥

≤

=

محدودیت

4

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه


محدودیت

محدودیت هاتعداد≥

≤

=

تعداد متغیرها≥

≤

آزاد در عالمت

متغیر

ضرایب محدودیت ها ماتریس ضرایب ترانهاده ماتریس ضرایب ضرایب محدودیت ها

پایهمتغیرهایmاساسیمتغیر

nمتغیر غیر اساسیnاساسیمتغیرmمتغیر غیر اساسی

متغیرهای پایه

5

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه

مسئله اولیه مسئله ثانویه

6

0

:.

1

1

x

bxa

xc

j

ij

n

jij

j

n

jj

ts

MaxZ

0

:.

1

1

y

cya

yb

i

ji

m

iji

i

m

ii

ts

MinZفرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان

:1قضیه

.باشدمیاولیهیثانویه،مسئلهیمسئلهیثانویه

:(دوگانضعیفقضیه)2قضیه

اولیههدفتابعمقدار≥ثانویههدفتابعمقدار

7

yx

yx bC

**

**

)(Max )(Min

فرادرس

FaraDars.org



:(بهینگیمعیارقضیه)3قضیه

بهینهجوابهای

:نتیجه

همسئلدوهدفتابعمقادیربودنبرابر:جوابهابودنبهینهبرایکافیوالزمشرط

8

if yx bC**

yx**

فرادرس,

FaraDars.org



:(دوگانقویقضیه)4قضیه

قبولقابلجوابهای

:نتیجه

داردهبهینجوابنیزباشد،دیگریداشتهبهینهجوابثانویهواولیهمسائلازهریکهرگاه.

9

if yx**

, yCx b**

فرادرس

FaraDars.org



:(دوگاناساسی)5قضیه

دارندمحدودبهینهجوابمسئلهدوهر.

نداردقبولقابلجوابنامحدود،دیگریهدفتابعمقداردارایمسائلازیکهر.

ندارندقبولقابلجوابمسئلهدوهر.

10

فرادرس

FaraDars.org



:6قضیه

.هر یک از مسائل دارای جواب بهینه ی چندگانه،دیگری دارای جواب تبهگن خواهد بود

11

فرادرس

FaraDars.org



:(زائدمکمل)7قضیه

اولیهمسئلهثانویهمسئله

هستندبهینهجواب

12

0

:.

x

bAxts

cxMaxZ

0

:.

y

cyAts

ybMinY

0****

xyxy AbcA

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072نتایج قضیه مکمل زائد

13

بهینهجوابدر-1

و-2

.استارتباطدرثانویهدراساسیغیرمتغیریکبااولیهدراساسیمتغیرهر-3

yx**

0.'sx jj

0. ys iiفرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072مثال

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0.75𝑥1− 20𝑥2+0.5𝑥3 −6𝑥4

0.25𝑥1 +8𝑥2+𝑥3 − 9𝑥4 ≥ 0

−0.5𝑥1 + 12𝑥2+0.5𝑥3 − 3𝑥4=0

𝑥3 ≤1

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0

𝑥1∗=𝑥3

∗=1 , 𝑥2∗=𝑥4

∗=0 :بهینهحل

14

فرادرس

FaraDars.org



𝑀𝑖𝑛 𝑦 = 𝑦3

0.25𝑦1-0.5𝑦2 ≥ 0.75

8𝑦1 + 12𝑦2 ≥ −20

𝑦1 +0.5𝑦2 + 𝑦3 ≥ 0.5

−9𝑦1-3𝑦2 ≥ −6

𝑦1 ≤ 0 ,𝑦2آزاد در عالمت ,𝑦3 ≥ 0

15

فرادرس

FaraDars.org



16

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0.75 1 −20 0 + 0.5 1 − 6 0 = 1.25:بهینهحالتدر

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑀𝑖𝑛 𝑌 = 𝑦3=1.25→ 𝑦3= 1.25

:اولمحدودیت

0.25𝑥1 +8𝑥2 +𝑥3 − 9𝑥4-𝑠1=0 𝑋 = 1,0,1,0

0.25+1-𝑆1=0 → 𝑆1=1.25

فرادرس

FaraDars.org



17

→محدودیت اول بصورت نامساوی 𝑦1 = 0

محدودیت دوم بصورت مساوی → 𝑦2 ≠ 0

محدودیت سوم بصورت مساوی → 𝑦3 ≠ 0 فرادرس

FaraDars.org



18

𝑥1 ≠ 0 → 0.25𝑦1− 0.5𝑦2=0.75

𝑦1=0 → 𝑦2=-1.5 ,𝑦3=1.25

𝑥3 ≠ 0 → 𝑦1 + 0.5𝑦2+𝑦3=0.5 فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روابط متقابل جوابهای مسئله اولیه و ثانویه


جواب بهینه محدود جواب بهینه محدود

جواب بهینه منحط جواب بهینه چندگانه

بهینه چندگانهجواب جواب بهینه منحط

بدون جواب موجه مقدار تابع هدف نا محدود

موجهبدون جواببدون جواب موجه

تابع هدف نا محدود

19

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072 مسئله اولیه و ثانویهجداول روابط متقابل


𝐴𝑁ثانویه 𝐴𝑁−اولیه𝑇

𝐶𝑁ثانویه 𝑏𝑖اولیه 𝑏𝑖ثانویه 𝐶𝑁مقدار

𝑌مقدار 𝑍مقدار

20

فرادرس

FaraDars.org



:اولیهمسئلهنهاییجدول

21

ثانویهمتغیرهای

تصمیم

1 0 30 0 40 200

0 0 -4 1 -2 2

0 1 3/2 0 1/2 5/2

z

x1

x1

x2 s2RHS

y1

y2s

'

1 s'

2

RHS

s1

z فرادرس

FaraDars.org



:ثانویهمسئلهنهاییجدول

22

اولیهمتغیرهای

اساسی

1 2 0 5/2 0 +200

0 4 0 -3/2 1 30

0 0 1 -1/2 0 40

s1 s2

z

x2x1

y1

y2

y2

s'

1 s'

2

s'

2

Y

RHS فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072تفسیر اقتصادی جداول سیمپلکس

کمکیاساسیمتغیربهمربوطسطردرمثبتاعداد:همربوطستونمحصولازواحدیکتولیدبرایمنبعآنازاستفادهمیزان

اساسیتصمیممتغیربهمربوطسطردرمثبتاعداد:ورودیمتغیرازواحدیکافزایشازاءبهاساسیمتغیرکاهش

منفیاعداد:تولیدافزایشیاومنبعافزایش

23

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072شبه قیمت

میزان تغییرات تابع هدف به ازای یک واحد افزایش در یکی از مقادیر سمت راست

24

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072قیمت سایه

(منبع)ارزش اقتصادی هر واحد سمت راست

مقدار قیمت سایه در ثانویه = جوابهای اساسی در اولیه

25

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072هزینه تقلیل یافته

میزان تغییر تابع هدف به ازاء یک واحد تولید از هر متغیر غیر پایه بهینه=

ضریب متغیر در سطر هدف جدول بهینه

26

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روش حل سیمپلکس ثانویه

موجهغیرامابهینهمسئله

:مسئلهحلهایگام

Maxبههدفتابعتبدیل1.

مساویکوچکتربههامحدودیتتبدیل2.

کمکیمتغیرهایباتساویبهمحدودیتهاتبدیل3.

27

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072روش حل سیمپلکس ثانویه

سیمپلکسجدولبهمسئلهورود4.

(لوالسطر)خروجیمتغیربعنوانراستسمتعددترینمنفیانتخاب5.

:(لوالستون)زیریرابطهازاستفادهباورودیمتغیرانتخاب6.

𝜃 = 𝑀𝑖𝑛𝑐𝑗𝑎𝑖𝑗

; 𝑎𝑖𝑗 < 0

28

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072نکات

منفیغیرلوالسطرعناصرتمام:

موجهجوابفاقدمسئله

ورودیمتغیرانتخابجهتمساویشرایط:

چندگانهجوابدارایمسئله

نسبتآزمونازهدف:

بعدیجدولدربهینگیشرطحفظ

29

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072مقایسه روش سیمپلکس معمولی و ثانویه

ثانویهسیمپلکس سیمپلکس معمولی𝑀𝑎𝑥هدف بصورتتابع 𝑀𝑎𝑥تابع هدف بصورت

≥بصورت محدودیتها ≥محدودیتها بصورت

𝐶𝑗 > 0 𝑅𝐻𝑆 > 0

(سطر لوال)ابتدا متغیر خروجی (ستون لوال)متغیر ورودی ابتدا𝑅𝐻𝑆ضریب در منفی ترین منفی ترین ضریب سطر صفر

والخارج قسمت ضرایب سطر صفر به سطر منفی ل به ستون مثبت لوال𝑅𝐻𝑆خارج قسمت حداقل قدرمطلق نسبت نسبتحداقل

عدد لوال همیشه کوچکتر از صفر عدد لوال همیشه بزرگتر از صفرقابل اگر همه عناصر سطر لوال غیرمنفی،مسئله غیر

قبولنامحدوداگر تمام عناصر ستون لوال غیر مثبت،مسئله

30

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072 (محدودیت مصنوعی)نوع خاص سیمپلکس ثانویه

:کاربردشرط

ثانویهسیمپلکسجدولدربهینگیشرطنقض

:مصنوعیمحدودیتتعریف

𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 ≤ M

→ 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = M

کمکیمتغیر:𝑥𝑖𝑥0:ایپایهغیرمتغیرهای

31

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072الگوریتم حل

مسئلهسازیاستاندارد-1

جدولومسئلهبهمصنوعیمحدودیتکردناضافه-2

شرطیهیچبدونپایهازکمکیمتغیرخروجوورودیمتغیرانتخاب-3

روشهادیگرمانندمراحلیادامه-4

32

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvor94072قضیه فارکاس

𝐼 : 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑥 ≥ 0

𝐼𝐼 : 𝐴𝑦 ≥ 0 𝑏𝑦 < 0

.نداردجواب𝐼𝐼مدلباشد،داشتهشدنیجواب𝐼مدلاگر-الف

.داردجوابحتما𝐼𝐼مدلباشد،نداشتهجواب𝐼مدلاگر-ب

33

فرادرس

FaraDars.org



این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« (برنامه ریزی خطی)آموزش تحقیق در عملیات »

.تهیه شده است

.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید


فرادرس

FaraDars.org

آموزش تحقیق در عملیات (برنامه ریزی خطی) - بخش چهارم

Education