Наукова спрямованість математики

Роботи учнів

Площі фігур

Роботу виконали Учениці 8 – А класу

Зуєва АльонаХодак Вероніка

Площа — величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур.

Площа плоскої фігури — числова характеристика фігури, яка розташована на площині.

Площа фігури – це…?

Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10. Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задана лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кола та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться…

Площа трикутника. Формули

a,b,c – сторони трикутника; R– радіус описаного кола; r – радіус вписаного кола.

Квадрат – найпростіша фігура геометрії, властивості якої повинні знати усі. Квадрат є частковим випадком чотирикутників, прямокутників, паралелограмів, ромбів, а вирізняється рівними сторонами і прямими кутами.

Квадрат найбільш симетрична фігура серед

всіх чотирикутників.

http://yukhym.com/uk/geometriya/formuli-kvadrat

Площа квадрата. Формули

Прямокутником називають такий паралелограм у якого всі кути прямі. Все це узагальнено, оскільки, якщо паралелограм має хоча б один кут прямий, то всі решта - також прямі. Більшість предметів, що нас оточують мають форму прямокутника: стіл, вікна, двері, кімнати, ділянки землі, навіть гроші.

Площа прямокутника. Формули

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні між собою.

Площа паралелограма. Формули

Ромб належить до окремого класу чотирикутників і вирізняється серед них рівними сторонами. Ромб також є частковим випадком паралелограма, якщо в останнього всі сторони рівні AB=BC=CD=AD.

P=4a.

Площа ромба. Формули

Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AD та BC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AB та CD).

Площа трапеції. Формули

Ко́ло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.Коло з центром у точці O і радіусом r позначають (O ; r ).

Площа кола. Формули

 

Задачі

 

ГЕОМЕТРІЯ-ДЕРЕВО ЖИТТЯ

10 класКЗ»НСЗШ №23»Дорошенко ЕвелінаБабенко Вікторія

ГЕОМЕТРІЯ В СТАРОДАВНЬОМУ ЄГИПТІ Геометрія- наука, що вивчає форми, розміри і взаємне

розташування геометричних фігур. Вона виникла і розвивалася у зв'язку з потребами практичної діяльності людини. З давніх часів люди стикалися з необхідністю знаходити відстані між предметами, визначати розміри ділянок землі, орієнтуватися по розташуванню зірок на небі і т.і. Про зародження геометрії в Стародавньому Єгипті близько 2000 років до н. е. давньогрецький історик Геродот писав: "Сезострис, єгипетський фараон, розділив землю, давши кожному єгиптянинові ділянку за жеребом, і стягував відповідним чином податок з кожної ділянки. Сталося, що Ніл заливав ту чи іншу ділянку, тоді потерпілий звертався до царя, а цар посилав землемірів , щоб встановити, на скільки зменшилась ділянка, і відповідним чином зменшити податок. Так виникла геометрія в Єгипті, а звідти перейшла до Греції ".

Починаючи з 7 століття до н. е. в Стародавній Греції створюються так звані філософські школи і приходить поступовий перехід від практичної до теоретичної геометрії. Все більше значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдається отримувати нові геометричні властивості, виходячи з деяких положень, приймати без доказів і названих аксіомами. У перекладі з грецької слово аксіома означає "прийняття положення".

Однією з перших шкіл була ионийская. Її засновником вважається Фалес.

Користуючись тим, що трикутник визначається однією стороною і двома прилеглими до неї кутами.Фалес виміряв висоту піраміди, "спостерігаючи тінь піраміди в той момент, коли наша тінь має таку ж довжину, як і ми самі" . Він вважав, що відношення висоти вертикально поставленої палиці до довжини її тіні дорівнює відношенню висоти піраміди до довжини її тіні.

ПІФАГОР (570 ДО Н.Е.)ДАВНЬОГРЕЦЬКИЙ ФІЛОСОФ, РЕЛІГІЙНИЙ ТА ПОЛІТИЧНИЙ ДІЯЧ, ЗАСНОВНИК ПІФАГОРЕЇЗМУ, СТАВ ЛЕГЕНДОЮ І ДЖЕРЕЛОМ ДИСКУСІЙ УЖЕ В СТАРОДАВНІ ЧАСИ.

Однією з найвідоміших шкіл того часу (4-5 ст. до н.е.) була піфагорська, названа так на честь свого засновника- Піфагора.Пояснюючи світобудови, піфагорійці опирались на математику. Так, відокремлюючи першооснови буття, вони приписували їх атомам форму правельних багатогранників: атомам вогню - форму тетраедра, землі - гексаедра (куба), повітря - октаедра, води - ікосаедра. Всього Всесвіту приписувалася форма Додекаедра.У назвах цих багатогранників вказується число граней (від грецького едра- "грань"): тетра - "чотири", гекса - "шість«, окта - "вісім", ікоса - "двадцять", додека- "дванадцять".

Інший знаменитий філософською школою того часу була школа Платона (5-6 ст. до н. е.). Платон не був математиком і не отримав ніяких результатів в цій науці, але в своїх творах любив говорити про математику. У часності, в трактаті "Тімей" він виклав учення піфагорцев про правильних багатогранників, які завдяки цьому згодом отримали назву"Платонових тіл".Пізніша філосовська школа - Олександрійська - цікава тим, що дала світу відомого математика Евкліда, який жив близько 300 р. до н. е. На жаль, про життя його мало що відомо. В одному зі своїх творів математик Папп (3 століття до н. е.) зображує його як людину виключно чесного, тихого і скромного, якому були чужді гордість і егоїзм. Наскільки серйозно і суворо він ставився до вивчення математики, можна зрозуміти за наступною легендою: цар Птоломей запитав у Евкліда, чи не можна знайти більш короткий і менш виснажливий шлях до вивчення геометрії, ніж його "Початки"? Евклід відповів: "У геометрії немає царського шляху".Славу Евкліду приніс його «Початок », в якому вперше була представлена струнка аксіоматична побудова геометрії. Протягом близько двох тисяч років вони залишаються основою вивчення систематичного курсу геометрії.

Крім Евкліда видатним вченим епохи еллінізму був Архімед (287 -212рр. до н. е.), що жив в Сіракузах, де він був радником царя Герона. Архімед - один з небагатьох вчених античності, якого ми знаємо не тільки по імені: збереглися деякі відомості про його життя і особистість. Він був унікальним ученим - механіком, фізиком, математиком. Основною рисою його творчості була єдність теорії і практики, що робить вивчення його праць цікавим для науковців багатьох спеціальностей. Широко відомий закон про силу, що діє на тіло, занурене в рідину, якій наводиться в трактаті по гідростатиці «Про плаваючі тіла». В сучасних шкільних підручниках з фізики він названий законом Архімеда. Серед інженерних винаходів ученого відомі катапульта, архимедів гвинт - пристрій для підняття води і ін. Ми знаємо, що Архімед був убитий під час взяття Сіракуз. При облозі міста технічні пристрої Архімеда використовувалися для захисту від ворога.Найбільш істотний внесок Архімед вніс в математику. Йому належать теореми про площі плоских фігур, об‘єми тіл. У роботі «Вимірювання круга» він наводить обчислення наближеного значення довжини кола. У книзі «Про кулі і циліндри» їм дано обчислення об‘єму кулі і площі його поверхні.

Слідом за Евклідом Архімед займався вивченням правильних багатогранників. Переконавшись в тому, що правильних багатогранників тільки п'ять, Архімед став будувати багатогранники, у яких гранями є правильні, але не однойменні багатокутники, а в кожній вершині, як і у правильних багатогранників, сходиться одне і те ж число ребер. Вчений був зачарований геометрією, і, хоча у нього було багато прекрасних відкриттів, він просив на своїй могилі зобразити циліндр з вписаним в нього кулею і вказати співвідношення об‘ємів цих тіл. Пізніше саме з цього зображення була знайдена могила Архімеда.

Теорема Піфагора

Що ж таке теорема Піфагора? Теорема Піфагора-одна із

засадничих теорем евклідової геометрії , котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Теорема звучить так: у прямокутному трикутнику площа квадрата побудованого на гіпотенузі , дорівнює сумі площ квадратів ,побудованих на катетах

 

Історія Візуальне доведення

для трикутника (3, 4, 5) з книги  ,,Чу Пей,, 500—200 до н. е.

Історію теореми можна розділити на чотири частини:

1.знання про Піфагорові числа2. знання про відношення сторін в прямокутному трикутнику 3.знання про відношення суміжних кутів 4.доведення теореми.

Піфагор, роки життя якого зазвичай приймають за 569 — 475 до н. е. використовує алгебраїчні методи розрахунку піфагорових трійок, згідно з Прокловими коментаріями до Евкліда. Прокл жив між 410 і 485 роками н. е. Згідно з Томасом Гізом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак такі автори як Плутарх або Цицерон приписали теорему Піфагору у такий спосіб, ніби авторство було широко відоме і безсумнівне.

Цікаві факти Тільки один доказ теореми Піфагора нам не

відомо: доказ самого Піфагора. Довгий час вважалося, що доказ Евкліда і є доказом Піфагора, але тепер вважають, що цей доказ належить Евкліду.

Голландський математик Бартель Ван дер Варден зробив важливий висновок: «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Піфагор, є не відкриття математики, а її систематизація та обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку».

Сам Піфагор ніколи не носив штанів - в ті часи греки їх не знали.

Виконали роботу учениці 8-А класу

КЗ,,НСЗШ№23 І-ІІІ ст.:Біла Вероніка

Катеруша Дар’я

Робота учениці 6 – а класу КЗ “НСЗШ № 23”Карпенко Карини

Задача 1. Троє друзів навчаються в першому, другому та третьому класах. Їх прізвіща Іванов, Петров і Семенов. В самого молодшого з друзів немає братів і

сестер. Семенов вчиться з сестрою Петрова в одному класі, він самий старший з друзів. Назви прізвища першокласника, другокласника і третьокласника.

Розв'язання

1 2 3

И + - -

П - + -

С - - +

Задача 2. Три класи брали участь в туристичній естафеті. Один клас зайняв 1 місце, другий — 2 місце, а третій — 3 місце. Перед початком змагань уболівальники

заявили:

1) 4 «А» займе 1 місце; 2) 4 «В» не займе 1 місце; 3) 4 «Б» не буде останнім. Одне з цих припущень виявилося вірним, а два інших — помилковими. Яке місце зайняв кожен з класів?

1 2 3

4-А - +

4-Б - + -

4-В + - -

Задача 3. Четверо друзів змагалися в запуску на дальність паперових літачків. Один з них зайняв 1 місце, інший — 2 місце, третій — 3 місце і четвертий — 4 місце. На

питання, яке кожен з них зайняв місце, вони відповіли: Андрій: Я був другим, Боровши — третім. Вася: Я був другим, Андрій — першим. Гріша: Я був другим, Боровши —

четвертим. При цьому відомо, що кожен хлопчик один раз говорив правду, а один раз — неправду. Хто яке місце зайняв?

1 2 3 4

А + - - -

Б - - + -

В - - - +

Г - + - -

Задача 4. Троє друзів навчаються в гімназії. Один з них в математичному, інший — у фізичному і третій — в біологічному класах. При цьому відомо: якщо Петро математик, то Сергій не фізик. Якщо Роман не фізик, то Петро математик. Якщо Сергій не математик, то

Роман біолог. Визнач спеціальність кожного.

М Ф Б

П - - +

С + - -

Р - + -

Задача 5. Три кошеняти — Касьянка, Том і Шахрай — з'їли плітку, окуня і карася. Касьянка не їв ні плітку, ні окуня. Том не їв плітку. Яку рибку з'їло кожне кошеня?

Розв'язання

П О К

К - - +

Т - + -

П + - -

Розв'язування тригонометричних рівнянь і

тригонометрія в житті людини

Тригонометрія – це розділ математики, який вивчає тригонометричні функції

Варіант 1 Варіант 2

1. При якому значенні а рівняння cos x = a має розв'язок?2. Запишіть формулу для розв'язання цього рівняння.

3. На якій віссі відкладаєтьсязначення а при розв'язаннірівняння sin x = a ?4. Чому дорівнює arccos ( - a)?

5. В якому проміжку знаходиться arctg a?

Знайди помилку

1 2245arcsin 0

2 321arccos

34

1 arctgarctg

4 6

3 arcctg

Варіант 1 Варіант 2

1.

2.

3. На віссі ОУ

4.

5.

Знайди помилку

1

2

3

4

1а

Znnaх ,2arccos

an arccos

2/ ;2/

Не визначено

32

4

65

01sin8cos4 2 xx

23;3

А)

Знайдіть корені рівняння, які належать проміжку

xx cos2

3sin2 2

0;

23

Б)

Знайдіть корені рівняння, які належать проміжку

01sin8cos4 2 xxА)

xx cos2

3sin2 2

Б)

nx 261 nx 2

65

2 6

11

nx

21nx 2

33,2 3;

2;

23

На рисунку зображені коливання маятнику, він рухається по кривій, яка

називається косинусоідою.

Можна розрахувати політ снаряду, знаючи проекції векторів на віссі Х і У відповідно , вони дорівнюють υx = υo cos α υy = υo sin α

Проникнення в верхні слої атмосфери планет заряджених частин сонячного світла визначається взаємодією магнітного поля планети з сонячним світлом. Так виникає північне сяйво!

Теорія радуги

Радуга виникає з-за того, що сонячне світло відчуває заломлення в краплинах води, зважених в повітрі за законом заломлення:

sin α / sin β = n1 / n2

где n1=1, n2≈1,33 – відповідно показники заломлення повітря і води, α – кут падіння, а β – кут заломлення світла.

gv

tsin2 0

м/с300 v2м/с10g

М'яч кинули під кутом до плоскої горизонтальної поверхні землі. Час польоту м'яча (в секундах) визначається за формулою

При якому найменшому значенні кута (в градусах) час польоту буде не менше 3 секунд, якщо м'яч кидають з початковою швидкістю

Вважайте, що прискорення вільного падіння

Задача:

При польоті птаха траєкторія розмаху крил утворює синусоіду.

Рух риб у воді відбувається за законом синуса або косинуса, якщо зафіксувати точку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху.

Тригонометрія в біології

Тригонометрія в медицині

Теорії «Трьох біоритмів»

близько ста років. Її автори:

Герман Свобода,

Вильгельм Флісс,

Фридрих Тельчер.

Сьогодні їх теорія базується

на трьох стовпах –

емоціональному, фізичному

і інтелектуальному циклах.

Біоритми народжуються разом з людиною, одночасно стартуючи, вони впливають на наш життєвий шлях – людина скоює ті, чи інші вчинки з різним ступенем успішності…

Математична модель біоритмів

Rф(x) = sin[(2π x)/23] – фізичний цикл

Rэ(x) = sin[(2π x)/28] – емоційний цикл

Rи(х) = sin[(2π x)/33] – інтелектуальний цикл

Геометрія Лобачевського

ВиконалиУчениці 10 класуКЗ”НСЗШ№23”

Мамонтова Тетяна і Дядик Вікторія

Лобачевський Микола Іванович

Лобачевський Микола Іванович Народився : 1 грудня 1792 р. у Нижньому

Новгороді. Помер : 24 лютого 1856 р. у м. Казань. Місце проживання : м. Казань Громадянство : Російська імперіїя Галузь наукових інтересів : математика Заклад : Казанський університет Alma Mater : Казанський університет Відомий у зв'язку з : один з творців

неевклідової геометрії

Деякі цікаві факти з життя Миколи Івановича "Ти, Лобачевський, будеш розбійником!" - вигукував

розгніваний учитель латинської мови. Майбутній учений, винахідливість якого на різноманітні витівки була невгамовною, прибив цвяхом до столу класний журнал перед самим носом викладача, який трохи задрімав на уроці. І ніхто тоді не здогадувався, що поряд з ними живе геній, якому доведеться зробити революцію в науці, злетіти над своїм часом, увійти в безсмертя.

Завдяки своїм феноменальним здібностям він у 14 років був зарахований до університету, у 18 років став магістром, у 21-ад'юнктом (доцентом), у 23 - професором.

Наприкінці життя М.І. Лобачевський втратив зір, однак це не завадило йому продиктувати свою останню працю - "Пангеометрію", яку він присвятив 50-річчю Казанського університету.

Дещо з історії Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про Паралельні прямі,

котра відома також як П'ятий постулат Евкліда (під цим номером твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі, що фігурує у списку постулатів в «Началах» Евкліда). Цей постулат, складніший порівняно з іншим, викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.: давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл (V ст.) (доведення Прокла базується

на припущенні скінченності відстані між двома паралельними), Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався

довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію),

іранський математик Омар Хайям (друга половина XI — початок XІI), азербайджанський математик Насиредди Тусі (XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при

доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),

німецький математик К. Клавій (1574), італійські математики

П. Катальді (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),

Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680), англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Уолліс грунтує

доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались більш очевидними

Геометрія Лобачевського Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з

неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій,

проходить тільки одна пряма, що її не перетинає. В геометрії Лобачевського, замість неї приймається наступна

аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій,

проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

Титульний аркуш геометрії Лобачевського

Казанський університет

Кінець