геометрические паркеты
TRANSCRIPT
![Page 1: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/1.jpg)
Геометрические паркеты
Вперед
Руководитель: учитель математики Сафронов Роман Александрович
Выполнили: ученицы 9 класса Кхием Алиса Рахимбекова Роксана
![Page 2: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/2.jpg)
Содержание Цели проекта Что такое геометрический паркет? Правильные паркеты Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость? Полуправильные паркеты Паркет из неправильных равных многоугольников Какими неправильными многоугольниками можно заполнить плоскость? Геометрические паркеты в жизни Примеры геометрических паркетов Геометрические паркеты в искусстве Картины Эшера «Всадники», «Летящие птицы», «Ящерицы» Серебряная пагода Наш проект Вывод Ссылки
ВпередНазад
![Page 3: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/3.jpg)
Цели проектаРазвитие умений и навыков
исследовательской работы;Расширение теоретической базы,
аналитический обзор литературы по теме;Изучить геометрические приёмы
составления паркетов;Знакомство с практическим применением
геометрических паркетов.
Назад ВпередСодержание
![Page 4: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/4.jpg)
Введение Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов. Задачи: 1. Изучить литературу о паркетах. 2. Найти исторический материал. 3. Научиться решать задачи. Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество. Объект исследования - паркеты. Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и
анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.
Назад ВпередСодержание
![Page 5: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/5.jpg)
Что такое геометрический
паркет? В математике паркетом называется такое заполнениеплоскости многоугольниками, при котором любые двамногоугольника либо имеют общую сторону, либо имеютобщую вершину, либо не имеют общих точек.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 6: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/6.jpg)
Правильные паркеты Паркет называется правильным, если он состоит из
правильных многоугольников (многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны) и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 7: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/7.jpg)
Какими правильными многоугольниками можно
заполнить плоскость?Докажем, что не всеми равными правильнымимногоугольниками можно заполнить плоскость.Действительно, углы правильного n - угольника равны180°(n- 2)/n. Заполним таблицу, состоящую изуглов a правильных n-угольников.
N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a 60° 90° 108° 120° 1284/7° 135° 140° 144° 1473/11° 150°
СодержаниеНазад Вперед
![Page 8: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/8.jpg)
Какими правильными многоугольниками можно
заполнить плоскость?Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -
угольников, то должно выполняться равенство
откуда
Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и6. Значит, можно получить паркеты, составленные изправильных треугольников, квадратов или правильныхшестиугольников. При остальныхзначениях n число m оказывается дробным.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 9: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/9.jpg)
Полуправильные паркеты
Паркет называется полуправильным, если он состоит изправильных многоугольников (возможно с разным числомсторон), одинаково расположенных вокруг каждойвершины.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 10: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/10.jpg)
Паркет из
неправильных равных многоугольников
Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 11: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/11.jpg)
Какими неправильными многоугольниками можно
заполнить плоскость?Пусть дан четырехугольник АВСD (рис.1).Рассмотрим центрально симметричный ему четырехугольник относительно серединыстороны АВ. Исходный четырехугольник АВСDобозначим цифрой 1, а симметричный –цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразимсимметрично относительно серединыего стороны ВС. Полученныйчетырехугольник обозначим цифрой 3и отразим его симметричноотносительно середины его стороныCD. Полученный четырехугольникобозначим цифрой 4.
Рис. 1
СодержаниеНазад Вперед
![Page 12: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/12.jpg)
Какими неправильными многоугольниками можно
заполнить плоскость?Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают кобщей вершине углами А, В, С и D. А таккак сумма углов четырехугольника равна360° , то эти четырехугольники заполнятчасть плоскости вокруг общей вершины.Такое же построение можно провестивокруг каждой новой вершины, что и дастискомое заполнение плоскости.четырехугольники, закрашенные однимцветом (рис. 1), получаются друг издруга параллельным переносом.
Рис. 1
СодержаниеНазад Вперед
![Page 13: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/13.jpg)
Геометрические паркеты в жизни
С паркетами мы встречаемся и в повседневнойжизни. Тетрадный лист в клеточку представляетсобой простейший паркет. Элементом паркетаздесь является квадрат. Можно придумать
множество различных паркетов.
Назад ВпередСодержание
![Page 14: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/14.jpg)
Примеры геометрических
паркетов
Назад ВпередСодержание
![Page 15: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/15.jpg)
Геометрические паркеты в искусстве
Заполнение плоскости может быть произведено не толькомногоугольниками, но и фигурами более сложного вида.Повторяющиеся равные фигуры являются основойсоставления орнаментов, с давних времен привлекавших ксебе внимание людей. Знаменитый голландский художникМариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам несколькосвоих картин.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 16: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/16.jpg)
«Всадники», «Летящие птицы», «Ящерицы»
Назад Содержание Вперед
![Page 17: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/17.jpg)
Серебряная пагода Серебряная пагода - официальный буддийский храм
короля Камбоджи в Пномпене. Главной особенностью пагоды является пол, инкрустированный более чем пятью тысячами серебряных плит (блоков) весом более 6 тонн. Пол имеет вид квадратного геометрического паркета.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 18: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/18.jpg)
Наш проектИзучив геометрические паркеты
из правильных многоугольников, мы решили рассчитать площадь школьной площадки для волейбола.
Ширина поля – 14 целых плиток и 1 неполная
Длина поля – 26 целых плиток и 1 неполная
СодержаниеНазад Вперед
![Page 19: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/19.jpg)
Плитка имеет форму правильного четырехугольника, то есть квадрата, со стороной 50 см. Кроме того, имеется неполная плитка в виде прямоугольника со сторонами 50 см и 10 см.
50 см
50 см
50 см
10 см
СодержаниеНазад Вперед
![Page 20: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/20.jpg)
Вначале найдем длину (d) и ширину (k) площадки. Для этого надо сторону плитки умножить на количество плиток в длину и в ширину. Не забывайте, что есть и неполная плитка.
Длина площадки = d = (50 см x 26 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 1300 см + 10 см = 1400 см = 14 м
Ширина площадки = k = (50 см x 14 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 700 см + 10 см = 800 см = 8 м
Из этого следует, что площадка прямоугольная.Далее, находим площадь площадки по формуле нахождения площади
прямоугольника (S).Площадь площадки = S = длина x ширина = d x k = 14 м x 8 м = 112 м²Теперь нам известна площадь площадки для волейбола, а значит в
будущем мы сможем найти наиболее рациональный способ ее заполнения правильными (или неправильными) паркетами и переделать ее, убрав неполную плитку.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 21: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/21.jpg)
Если принять длину плитки за a, а ширину за b. То в длину получается плиток, а в ширину плиток. Если и целые числа. Общее количество плиток получается , где S1 площадь плитки.
Теперь нам известно как определить количество плиток для волейбольной площадки, а значит, в будущем мы сможем найти наиболее рациональный способ ее заполнения правильными (или неправильными) паркетами и переделать ее, убрав неполную плитку.
1SS
dakd
Назад Содержание Вперед
![Page 22: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/22.jpg)
ВыводМы подробно изучили паркеты, поняли
принципы их построения, а самое главное, узнали много нового. Паркетов великое множество, но мы считаем, что паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен, т.е. если он составлен из правильных многоугольников.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 23: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/23.jpg)
Ссылки1. Паркет (геометрия) -https://ru.wikipedia.org/wiki/Паркет_(геометрия)2. Паркеты – http://geometry-and-art.ru/parquett.html3. Математические мозаики – http://log-in.ru/articles/matematicheskie-mozaiki/4. ПАРКЕТЫ - http://geometry2006.narod.ru/Lecture/Parkety/Parkety.htm5. Исследовательская работа Геометрические паркеты -
http://newfound.ru/shkolniku/11-klass/issledovatelskaia-rabota-geometricheskie-parkety/
6. Серебряная пагода -https://ru.wikipedia.org/wiki/Серебряная_пагода7. Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6.
- С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.8. Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;9. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.10. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.11. Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.12. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом
редакторе "Paint" //Математика в школе. - 2000. - № 8. - С.54.
СодержаниеНазад Вперед
![Page 24: геометрические паркеты](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061307/58eed9af1a28ab433d8b45b9/html5/thumbnails/24.jpg)
КонецСпасибо за внимание!
СодержаниеНазад