二次形式と素数で遊ぼう 日曜数学者　　辻　順平　@tsujimotter http://tsujimotter.info/

数が好きになる  お話

2

問題 •  素数 　 個のサイコロがあります。

•  このサイコロを２つの正方形に並べて分けてみましょう。

•  どんな のとき，２つの正方形に分けることができるかな？

p = 13

p = 13

p = 13

3

p = 13

()

+2 3

4

+2 37

11

1 4+

分けられる 分けられない ２つの正方形に

5

4 4

6

4 4

4k+1 型 4k+3 型 7

フェルマーの二平方定理

簡単

むずい

　(偶数)2 = 4k’ 　(奇数)2 = 4k’’ + 1 より右辺はどうやっても 　 4k+3 にならない

p = 4k+ 1 () p = x

2 + y

2

((=)

(=))

（証明）

8

平方剰余の相互法則

むずい(=))

9

10

p⇤ = (-1)p-1

2 pp, q is prime

✓p⇤

q

◆=

✓q

p

◆

11 http://www.slideshare.net/junpeitsuji/maths4pg  

時計の中の整数論  -­‐  SlideShare

ガウス

すばらしい  

算術の真理 12

アリトメティカ

７つの証明 13

ほかにも  成り立つ  こんな定理

14

p = 8k+ 1, 8k+ 3 () p = x

2 + 2y

2

p = 3k+ 1 () p = x

2 + 3y

2

p = 4k+ 1 () p = x

2 + y

2

15

正方形２つ正方形

正方形３つ正方形

p = 40k+ 1, 40k+ 9,

40k+ 11, 40k+ 19

() p = x

2 + 10y

2

p = 7k+ 1,

7k+ 2, 7k+ 4

() p = x

2 + 7y

2

p = 24k+ 1, 24k+ 7 () p = x

2 + 6y

2

p = 20k+ 1, 20k+ 9 () p = x

2 + 5y

2

16

多くの に対して※

が表現する素数の条件は 素数を で割った余りによって表せる

※ に対応するヒルベルト類体が　 のアーベル拡大であるとき（∵ 類体論より）

x

2 + ny

2

n

4n

Q(p-n)/Q

二次形式

17

Q(p-n)/Q

「56 で割った余り」では区別できない

p = 56k+ 1, 56k+ 9, 56k+ 15,

56k+ 23, 56k+ 25 or 56k+ 39

()

8<

:

p = x

2 + 14y

2

or

p = 2x

2 + 14y

2

9=

;

アタリ

ハズレ

例外：

18

p = x2 + ny2 の問題は  

数論の発展の歴史をたどる魅力的なトピック

フェルマー・ガウスの整数論

クンマー・デデキントのイデアル論

ヒルベルトの理論

類体論

19

もっと 理解したい

20

21

これ 22

p = 20k+ 1, 20k+ 9 () p = x

2 + 5y

2

可視化  しよう

23

24

32 + 5 x 22

25

Demo app is here !!

Primes of the form x2 + ny2. http://tsujimotter.info/works/primes-­‐of-­‐the-­‐form/    

26

参考文献 David A. Cox,

“Primes of the Form x2+ny2:

Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication”,

WILEY (2013).

青色が 2nd Edition (最新) 27