例 6. 某人射击的命中率为 0.02 ，他独立射击 400 次，试求其命中次数不少于 2 的概率。

泊松定理 设随机变量 Xn~B(n, p), (n ＝ 0, 1, 2,…),

且 n 很大， p 很小，记 =np ，则

,...2,1,0,!

}{ kek

kXPk

解 设 X 表示 400 次独立射击中命中的次数，则 X ～ B(400, 0.02) ，故

P{X2} ＝ 1 － P{X ＝ 0} － P{X ＝ 1}＝ 1 － 0.98400 － (400)(0.02)(0.98399)=…

Poisson 定理的应用

由 Poisson 定理，可知

，，若随机变量 pnBX ~

比较小时，比较大，则当 pn

np令：

knkkn ppCkXP 1则有

ek

k

!

上题用泊松定理 取 =np ＝ (400)(0.02) ＝ 8, 故近似地有

P{X2} ＝ 1 － P{X ＝ 0} － P {X ＝ 1}

＝ 1 － (1 ＋ 8)e － 8 ＝ 0.996981.

3 泊松 (Poisson) 分布 P()

X ～ P{X ＝ k} ＝ , k＝ 0, 1, 2, … (0)

e

!k

k

泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，

当 n 很大， p 很小时，二项分布就可近似地

看成是参数 =np 的泊松分布

二项分布 泊松分布

)( nnp

例 7 设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为的泊松分布 , 且知一对夫妇有不超过 1 个孩子的概率为 3e-

2. 求任选一对夫妇 , 至少有 3 个孩子的概率。

23}1{}0{1),(~ eXPXPXPpX 且

}2{}1{}0{1}3{ XPXPXPXP

323.051!2

2

!1

21 22

22

12 eeee

解 : 由题意 ,

23 2 eee

例 8. 进行独立重复试验，每次成功的概率为 p ，令 X 表示直到出现第 m 次成功为止所进行的试验次数，求 X 的分布律。解 :m=1 时 , ,...2,1,)1(}{ 1 kppkXP k

m>1 时 ,X 的全部取值为 :m,m+1,m+2,…mpmXP }{

P{X=m+1}=P{ 第 m+1 次试验时成功并且

在前 m 次试验中成功了 m-1 次 }

,...2,1,)1(}{ 111

mmmkpppCkXP mkmmk

pppC mmm )1(11

例 9 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人 ,现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理 . 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则 X~ b(300 ， 0.01 ），需要确定最小的 N 的取值，使得： .01.0}{ NXP

.99.0!

3}{

0

3

N

k

k

k

eNXP

.01.0!

3

!

31

0 1

33

N

k Nk

kk

k

e

k

e

.01.0}{ NXP

查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。