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Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
=++−=++=++
1z4ayx0zy6x21zy3x
a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R. b) Resuélvase para a = 0. Solución. a. El sistema se clasifica en función de los rangos de las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*), según el teorema de Rouchè-Frobenius.
−=
4a1162131
A
−=
14a101621131
*A 3n*A rgA rg*AA =≤≤⇒⊂
Si .3n*A rgA rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de sistema
para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes ( )0A = .
( ) 3a24a6a23244a1162131
Adet +=++−−+−=−
= ; 0A = ; a + 3 = 0 ; a = ‒3
Discusión. i. Si a ≠ ‒3, .3n*A rgA rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado.
ii. Si a = ‒3, 3A rg0A <⇒= , .2A rg011211
=⇒≠−= Para calcular el rango de la matriz
ampliada se tiene en cuenta que .2*A rg*A rgA rg ≥⇒≤ Para estudiar si la matriz
ampliada tiene rango 3, se estudian los menores orlados al menor 1211
. De los dos menores
orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, el otro es
el formado por la 1ª, 3ª y 4ª columna. .A rg3*A rg08141012111
≠=⇒≠=−
Sistema
incompatible.
b. a = 0.
=+−=++=++
1z4x0zy6x21zy3x
Teniendo en cuenta que a ≠ 0, el sistema es compatible
determinado, y se puede resolver mediante el método de Cramer.
AA
x x= ; A
Ay
y= ;
AA
z z=
3303aA0a
=+=+==
7321
3401160131
x === ; 38
3411102111
y −=−
= ; 236
3101062131
z ==−
=
Solución:
− 2 ,38 ,7
2
Septiembre 2013. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro k :
=+−=−+=+
0kzy3kx1z2kyx0ykx
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k: b) Resuélvase el sistema para k = 1:
Solución. a. El sistema está definido por las matrices de coeficientes y ampliada.
−−=k3k2k1
01kA
−−=
0k3k12k1001k
*A 3A* rgA rg*AA ≤≤⇒⊂ n =3
Si 0A ≠ , rg A = rg A* = n = 3, el sistema será compatible determinado, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema, para los valores del parámetro a que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( ) ( ) ( )3k3kk9kkk9kk6k00k2kk3k2k1
01kA 233 −⋅+⋅=−⋅=−=++−+−=
−−=
=−=
==
3k3k
0k:0A
Discusión:
i. Si k ≠ 0, ±3. 0A ≠ , rg A = rg A* = n = 3, S.C.D. (solución única, método de Cramer)
ii. Si k = 0,
−−=030201
010A , 0A = , rg A < 3. 01
0110
≠−= , rg A = 2. Para estudiar el
rango de la matriz ampliada, se parte del menor de orden dos distinto de cero utilizado en la
matriz de coeficiente
3113
y se estudian sus menores orlados, uno de ellos es el
determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, y solo queda por estudiar el menor
0030101010
=−
, 3nA rg2*A rg =<== , sistema compatible indeterminado.
iii. Si k = 3,
−−=333231
013A , 0A = , rg A < 3. 08
3113
≠= , rg A = 2. Para estudiar el
rango de la matriz ampliada, se sigue el mismo procedimiento utilizado en el apartado
anterior, quedando por estudiar solo el menor 0033131013
≠−
, A rg3*A rg ≠= , sistema
incompatible.
iv. Si k = ‒3,
−−−−−
−=
333231
013A , 0A = , rg A < 3. 08
3113
≠=−
−, rg A = 2. Para estudiar
el rango de la matriz ampliada, se sigue el mismo procedimiento utilizado en el apartado
3
anterior, quedando por estudiar solo el menor 0033131013
≠−−−
−, A rg3*A rg ≠= , sistema
incompatible b. Para k = 1, sistema compatible determinado. Se puede resolver por cualquier método. Utilizando el método de Cramer:
=+−=−+=+
0zy3x1z2yx0yx
AA
x x= A
Ay
y=
AA
z z=
8191k9kA 31k
3 −=⋅−=−==
81
81
8130211
010
x =−−=
−−
−
= 81
81
8101211
001
y −=−
=−
−
= 21
84
8031111011
z −=−
=−−
=
Solución:
−−21 ,
81 ,
81
Junio 2013. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real a:
=++−=−−
=−
1zy3x1zyx3
2y2ax
a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R b) Resuélvase para a = 1.
Solución.
a.
−−−
=131113
02aA
−−−−
=11311113
202a*A
3*A rgA rg*AA ≤≤⇒⊂ . n = 3. Si n*A rg3A rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) 8a2a36002a131113
02aAdet +=−−−++−=−−
−= 08a20A =+⇒= ; 4a −=
Discusión: i. Si a ≠ ‒4. n*A rg3A rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado.
4
ii. Si a = ‒4. 3A rg0A <⇒=
−−−−
=131113
024A ( ) 2A rg0264
1324
=⇒≠=−−−=−−
.
−−−−−
=11311113
2024*A 2*rgA ≥ . De los menores orlados al menor
1324
−−
, solo queda
por estudiar 02131113
224≠=−−
−, rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible.
b. Para a = 1, sistema compatible determinado, se puede resolver mediante el método de Cramer.
=++−=−−
=−
1zy3x1zyx3
2y2x 108128a2A
1a=+⋅=+=
=
104
10131111
022
AA
x x =
−−−−
== 10
810
111113
021
A
Ay
y −=
−−
== 31030
10131113
221
AA
z z ==
−−−
==
Modelo 2013. Problema 1A.- (Calificación máxima: 2 puntos) Discútase el sistema siguiente en función del parámetro a ∈ R:
=+−=+=−
1zayx20azxayx
2
Solución. El sistema viene definido por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A).
−
−=
2a12a01011
A
−
−=
1a120a01a011
*A2
3n 3;A* rgA rg*AA =≤≤⇒⊂ Si 3nA* rgA rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro a que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )1aaaaaa00a20a12a01011
A 22
2−=−=−−−+−=
−
−= 0A = ⇒ ( )
==
=−1a0a
:01aa
Discusión.
i. Si a ≠ 0, 1. 3nA* rgA rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado.
5
ii. Si a = 0. 3.A rg0A <⇒=
−
−=
012001011
A ( ) 2A rg :01100111
=≠=−−=−
.
−
−=
101200010011
*A rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor 0111 −
, solo queda por
estudiar 1112001011
=−
−, rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible.
iii. Si a = 1. 3.A rg0A <⇒=
−
−=
112101011
A ( ) 2A rg :01100111
=≠=−−=−
.
−
−=
111201011011
*A rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor 0111 −
, solo queda por
estudiar 0112001111
=−
− rg A* = 2 = rg A. Sistema compatible indeterminado.
Septiembre 2012. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
=++=++=++
1zykx5z2kyx2zyx
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k. (b) Resuélvase el sistema para k = 0. (c) Resuélvase el sistema para k = 2.
Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de coeficientes(A) y ampliada(A*).
=11k2k1111
A
=111k52k12111
*A
3*A rgA rg*AA ≤≤⇒⊂ Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de coeficientes( )0A = .
( ) ( )( )2k1k2k3k21k1k2k11k2k1111
A 22 −−−=−+−=++−++==
( )( )
==
=−−−⇒=2k1k
:02k1k0A
Discusión.
i. Si k ≠ 1, 2. 3nA* rg A rg0A ===⇒≠ . Sistema compatible determinado.
6
ii. Si k = 1. 3A rg0A <⇒=
=111211111
A 2A rg012111
=⇒≠= . Para estudiar el
rango de la ampliada se parte del menor de orden dos distinto de cero y solo se estudian sus menores orlados. De los menores orlados solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y
4ª columna 01112521211
≠−= ⇒ A rg3A* rg ≠= . Sistema incompatible.
iii. Si k = 2. 3A rg0A <⇒=
=112221111
A 2A rg012111
=⇒≠= . Para estudiar el
rango de la ampliada se parte del menor de orden dos distinto de cero y solo se estudian sus menores orlados. De los menores orlados solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y
4ª columna 0111521211
= ⇒ nA rg2A* rg ≠== . Sistema compatible indeterminado.
b. Para k = 0. Sistema compatible determinado (método de Cramer).
=+=+=++
1zy5z2x2zyx
AA
x x= A
Ay
y=
AA
z z=
220302k3kA 2ok
2 −=−⋅+−=−+−=
12
111205112
x =−
= 12
110251121
y −=−
= 2A
110501211
z ==
Solución: (1, ‒1, 2) c. Para k = 2. Sistema compatible indeterminado de rango 2. De las tres ecuaciones que tiene el sistema, solo dos son linealmente independientes. Para seleccionar las linealmente independientes, se escogen las que contienen los términos del menor de orden dos distinto de cero que atribuyo ranngo sos al sistema.
=++=++
→
=++=++=++
5z2y2x 2zyx
:'S1zyx25z2y2x2zyx
:S
El sistema se resuelve en función de un parámetro. Se selecciona como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden dos distinto de cero seleccionado para determinar el rango del sistema (z = λ).
−=+−=+
→
=++=++ =
λ25y2x λ2yx
5z2y2x 2zyx λz
( ) 11
λ25λ24
2111
2λ251λ2
AA
x x −=−−−=−−
== ; ( )λ3
1λ2λ25
1λ251λ21
A
Ay
y−=−−−=
−−
==
Solución: ( ) Rλ λ ,λ3 ,1 ∈∀−−
7
Junio 2012. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
( ) ( )
−=−+=+−++−=−+
2a3z6ay1a3z6aya1x1a4z7ayx
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a. (b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. (c) Resuélvase el sistema en el caso a = ‒3.
Solución. a. La discusión del sistema se hace en función del rango de las matrices de coeficientes (A) y de la ampliada (A*)
−−−+
−=
6a06aa11
7a1A
−−+−−+−−
=2a36a01a36aa111a47a1
*A *A rgA rg*AA ≤⇒⊂
Si nA* rg3A rg0A ===⇒≠ . Sistema compatible determinado, por tanto se estudia el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )( )2a3a6aaa6aa60a70a666a0
6aa117a1
A 22 +−=−−=−−−−−+−−=−
−−+−
=
0A = ; ( )( )
=−=
=+−3a2a
:02a3a
Discusión. i. Si a ≠≠≠≠ −−−−2, 3 ⇒ 0A ≠ . rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado
ii. Si a = −−−−2.
−−−−−−
=620411721
A 0A = ⇒ rg A < 3. 011121
≠=−−
rg A = 2
−−−−−−−−−
=862054119721
*A rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor 1121
−−
, solo queda
por estudiar 0820511921
=−−−−−−
, rg A* < 3.
rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado
iii. Si a = 3.
−−−
=630941731
A 0A = , rg A < 3. ≠−= 14131
0, rg A = 2.
−−−
=76301094111731
*A rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor 4131
, solo queda
por estudiar 067720
10411131
≠=−
, rg A* = 3.
rg A = 2 ≠ rg A*. Sistema incompatible
8
b. El sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado (a = −2)
−=−−−=−−−=−−
8z6y25z4yx9z7y2x
El rango del sistema (rg A = rg A* = 2) indica que solo hay dos ecuaciones linealmente independientes, para asegurarse de coger las correctas, se elimina la ecuación cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 (se elimina la tercera.
−=−−−=−−5z4yx9z7y2x
Para resolver el sistema, y teniendo en cuenta que hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones, se considera una de las variables como constante y se transforma en parámetro, resolviendo las otras variables en función del parámetro. Para no equivocarse en la elección del parámetro se toma la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 (z).
+−=−+−=−λ45yxλ79y2x
Para resolver el sistema resultante se puede emplear cualquier método, yo recomiendo el método de Cramer.
( ) ( ) ( ) ( )λ1
1λ4521λ79
1121
1λ452λ79
AA
x x +−=+−⋅−−−⋅+−
=
−−
−+−−+−
==
( ) ( )λ34
11λ791λ45
1λ451λ791
A
Ax
y−=
⋅+−−⋅+−=
+−+−
==
Solución: ( ) R λ λ ,λ34 ,λ1 ∈∀−+− c. Para a = −3, sistema compatible determinado.
−=−−−=−−−=−−
11z6y38z3y2x13z7y3x
( ) ( ) 66336aaA 23a2 =−−−−=−−=−=
34
68
663113287313
AA
x x −=−
=−−−−−−−−−
== ; 37
614
661103817131
A
Ay
y==
−−−−−−
==
32
64
611308211331
AA
z z ==−−−−−−
==
Solución:
−32
,37
,34
Modelo 2012. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
9
=+=++=++
kz2kykzyxkkzkyx
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 4.
Solución. a. El sistema esta descrito por la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*).
=2k0111kk1
A
=k2k0k111kkk1
*A A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 n = 3
Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores del parámetro K que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )( )2k1k2k3kkk20k022k0111kk1
Adet 22 −−=+−=++−++==
( )( )
==−==−
=−−=2k:02k1k:01k
:02k1k:0A
Discusión: i. Si k ≠ 1, 2. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado
ii. Si k = 1:
=210111111
A . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de
cero para comprobar si la matriz tiene rango 2. 011011
≠= ⇒ rg A = 2. El rango de la
matriz ampliada se estudia en los menores orlados a 1011
. De los dos menores orlados,
uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, por lo tanto solo queda por
estudiar 0110111111
= ⇒ rg A* = 2. Sistema compatible indeterminado (rg A = rg A* = 2 < n
= 3).
iii. Si k = 2:
=220111221
A . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de
cero para comprobar si la matriz tiene rango 2. 011121
≠−= ⇒ rg A = 2. El rango de la
matriz ampliada se estudia en los menores orlados a 1221
. De los dos menores orlados,
uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, solo queda por estudiar
02220211221
≠−= ⇒ rg A* = 3. Sistema incompatible indeterminado (rg A = 2 ≠ rg A* =
3).
10
b. Se pide resolver el sistema compatible indeterminado (k = 1):
=+=++=++
1z2y1zyx1zyx
. Por ser de
rango 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes por lo que se debe eliminar una. Aunque en este caso queda claro que deberá ser la 1ª o la 2ª (son iguales), ante cualquier duda, se eliminaran las que no formen parte del menor de orden dos distinto de cero.
=+=++1z2y1zyx
Para resolver el sistema, se transforma una variable en parámetro y se resuelve el sistema en función de él. La variable que se transforma en parámetro en la que sus coeficientes no formaron parte del menor de orden dos distinto de cero (z = λ)
−=−=+λ21yλ1yx
:
=−=
=
λzλ21y
λx
Solución: (λ, 1‒2λ, λ) ∀ λ ∈ R.
c. k = 4:
=+=++=++
4z2y44zyx4z4y4x. Sistema compatible determinado. Se resuelve por
cualquier método (Cramer).
AA
x x= A
Ay
y=
AA
z z=
( )( ) ( )( ) 624142k1kA4k
=−−=−−==
4624
6244114444
x === 26
126
240141441
y === 2612
6440411441
z −=−==
Junio 2011. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
=++=+=++
aazyax1zayazyax
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 3.
Solución. a. El sistema esta definido por la matriz de coeficientes (A) y por la ampliada (A* ).
=a1a1a011a
A
=aa1a11a0a11a
*A 3n ; 3A* rgA rg*AA =≤≤⇒⊂
Si el 0A ≠ , rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado, por lo que se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan la matriz de coeficientes.
11
( ) ( )1aaaa0aa0aaa1a1a011a
22323 −=−=++−++= :
==−===
1a :01a 0a :0a:0A
2
Discusión:
i. Si a ≠ 0, 1. 0A ≠ Sistema compatible determinado.
ii. Si a = 0. 0A = rg A < 3.
=010100110
A Hay que buscar un menor de orden dos distinto
de cero. 011011
≠= rg A = 2.
=001011000110
*A Partiendo del menor 01011
≠ , en la
matriz ampliada solo queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª.
3A* rg01001110011
=⇒≠=
leincompatib Sistema .*A rgA rg ≠
iii. Si a = 1. 0A = rg A < 3.
=111110111
A Hay que buscar un menor de orden dos distinto
de cero. 011011
≠= rg A = 2.
=111111101111
*A Partiendo del menor 01011
≠ , en la
matriz ampliada solo queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª.
3A* rg0111110111
<⇒=
adoindetermin compatible Sistema 3.nA* rgA rg =<=
Sistema equivalente:
=+=++
≡1zy1zyx
'S
b. a = 1:
=+=++
≡1zy1zyx
'S Restando las ecuaciones se obtiene el valor de x = 0.
−==
→
=+= =
λ1y0x
1zy0x λz
Solución: (0, 1 ‒ λ, λ) ∀ λ ∈ R
c. a = 3. Sistema compatible de terminado (Cramer):
=++=+=++
3z3yx31zy33zyx3
1833aaA 2323 =−=−=
12
98
1816
18313131113
AA
x x ==== ; 31
186
18333110133
A
Ay
y==== ; 0
180
18313130313
AA
z z ====
Solución:
0 ,31 ,
98
Septiembre 1010. F.M. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices:
( )
++
−−=
1a1a2a22a2122a
A ;
=zyx
X ;
=000
O
c) Para a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal A·X = 0. Solución.
c. a = 0:
=
⋅
−−
000
zyx
120202122
:
=+=+=−+−
0zy20z2x20zy2x2
Sistema homogéneo, rg A = rg A* ⇒ Sistema compatible. ( )
====≠ .I.C.S:0A
0zyx .D.C.S:0A
Para a = 0, |A| = 0: 042002
≠= ⇒ rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible
indeterminado. Tomando como ecuaciones linealmente independientes a las que contienen el menor de orden dos distinto de cero:
=+=+
0zy20z2x2
:'S
Para resolver el sistema se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2.
( ) R
z21y
x:
y22x2
:z'S ∈λ∀
λ=
λ−=λ−=
λ−=λ−=
λ=
Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
=
⋅
−−
−+⋅
a7221
zy
a42311
x121
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a = 0.
Solución. Operando e igualando las matrices se obtiene el sistema de ecuaciones lineales. Este primer paso no es necesario hacerlo.
=
⋅
−−
−+⋅
a7221
zy
a42311
x121
:
=
+−+−
−+
a7221
azy4z2y3
zy
xx2x
:
=
+−+−−+
a7221
azy4xz2y3x2
zyx
13
=+−=+−
=−+
a7azy4x22z2y3x2
1zyx
a. El sistema esta definido por la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A* ).
−−
−=
a41232111
A :
−−
−=
a7a41222321111
*A : rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
Si el determinante de la matriz de coeficientes en distinto de cero, el rg A = 3 = rg A* = n, el sistema es compatible determinado. Se estudia el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) a5158a2382a3a41232111
Adet −=−+−++−=−−
−=
3a:0a515:0A ==−= Discusión.
i. Si a ≠ 3. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.
ii. Si a = 3.
−−
−=
341232111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 0532
11≠−=
−⇒ rg A = 2. El rango de
la ampliada se estudia a partir del menor de orden dos, estudiando sus menores orlados. De los dos menores orlados, uno es el determinante de la matriz de coeficientes, que es nulo, y solo nos queda uno más por estudiar que está formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª.
021412232111
=−− ⇒ rg A* < 3
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
b. Para a = 3.
=+−=−+
→
=+−=+−
=−+==
22z2y3x21zyx
:'S21z3y4x22z2y3x2
1zyx:S 2*rgArgA
El rango del sistema (2), informa del número de ecuaciones linealmente independientes, que son las que se deberán usar para resolver el sistema. Para seleccionar las ecuaciones linealmente independientes, recomiendo tomar las ecuaciones que contienen a los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero que ha permitido definir el rango del sistema, de esta forma nos aseguramos que las ecuaciones escogidas son linealmente independientes, en nuestro caso la 1ª y la 2ª. Como el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones linealmente independientes, es necesario transformar una incógnita en parámetro y resolver el sistema en función del parámetro. En la selección de la incógnita que se debe transformar en parámetro, recomiendo tomar como parámetro la variable cuyos coeficientes no se usaron en el menor de orden dos (z).
λ−=−λ+=+
→
=+−=−+ λ=
222y3x21yx
:'S22z2y3x2
1zyx:'S z
Para resolver el sistema se puede usar cualquier método, recomiendo el método de Cramer por ser el más metódico.
( ) λ+=−
λ−−=−
λ−−λ−−=
−
−λ−λ+
==515
525
522233
3211
322211
A
Ax x
14
( ) λ+−=−
λ−=−
λ+−λ−=
−
λ−λ+
==544
5420
522222
3211
222211
A
Ay
y
Solución: R ,544 ,
515 ∈λ∀
λλ+−λ+
c. a = 0:
=−=+−
=−+
0y4x22z2y3x2
1zyx Sistema compatible determinado. 15a515A
0a==−=
532
150402322111
A
Ax x =
−−
−
==58
150012222111
A
Ay
y=
−
== 715
0412232111
A
Az z =
−−
==
Solución:
7 ,58 ,
532
Junio 2010. F.G. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
=++−=+−
=+−
2zyx2kzyx8z7y2kx
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 0
Solución. a. Las matrices que definen el tipo de sistema son la matriz de coeficientes (A) y ampliada (A* ).
−−−
=111k1172k
A ;
−−−
=21112k11872k
A* *AA ⊂ ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
Si |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n sistema compatible determinado, teniendo en cuenta esto, se estudia el tipo de solución para los valores del parámetro k que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
2kk111k1172k
Adet 2 ++−=−
−−
=
=−=
=++−=2k1k
:02kk:0A 2
Discusión.
i. Si k ≠ −1, 2 ⇒ |A| ≠ 0: rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado.
ii. Si k = −1.
−−−
−−=
111111
721A : |A| = 0: rg A < 3. 03
1121
≠=−−−
, rg A = 2
15
−−−
−−=
211121118721
A* rg A* ≥ 2. De los dos menores orlados al menor 1121
−−−
, solo
queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna 012211211821
≠=−
−−−
rg A* = 3.
rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible
iii. Si k = 2.
−−−
=111211722
A : |A| = 0: rg A < 3. 031121
≠−=−
, rg A = 2
−−−
=211122118722
A* rg A* ≥ 2. De los dos menores orlados al menor 1121−
, solo
queda por estudiar el formado por la 2ª, 3ª y 4ª columna 0211221872
=−−
rg A* < 3.
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado b. Para k = 2 el sistema es compatible indeterminado de dos ecuaciones y tres incógnitas. Para escoger las ecuaciones que son linealmente independientes se toman las que contienen los coeficientes del menor de orden dos (3ª y 4ª).
=++−=+−
2zyx2z2yx
Para resolver el sistema se trasforma una variable en parámetro, recomiendo tomar como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (x).
λ+=+λ−=+−
λ=2zy
2z2y:x
λ+=−
λ+λ−
=32
11211222
y 34
1121
2121
z =−
λ+λ−−
=
Solución:
λ+λ34 ,
32 ,
c. Para k = 0, sistema compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer.
=++−=−=+−
2zyx2yx8z7y2
AA
x x= ; A
Ay
y= ;
AA
z z=
( ) 22000kA 2 =++−==
122
112012728
x =
−−
= ; 102
121021780
y =−
= ; 42
21211820
z =−
−−
=
Solución: (12, 10, 4)
16
Junio 2010. F.G. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
−=−−=+−=+−
1kzyx2zkyx21kzyx
d) Discútase el sistema según los diferentes valores de k. e) Resuélvase el sistema para el valor de k para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. f) Resuélvase el sistema para k = 3
Solución. a. Al sistema lo caracterizan la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A*).
−−−−
=111
1k2k11
A
−−−−−
=1k111
21k21k11
A*
3A rgA rgAA ** ≤≤⇒⊂ ; n = 3 Si nA rg3A rg0A * ===⇒≠ Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )2k1k2kk111
1k2k11
A 2 −⋅+=−−=−−
−−
=
( ) ( )
==−−==+
=−⋅+=2k:02k1k:01k
:02k1k:0A
Discusión:
i. Si k ≠ −1, 2: |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado (Cramer).
ii. Si k = −1:
−−
−−=
111112111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3, ( ) 3211211
=−−=−
rg A = 2. El rango
de la ampliada se estudia a partir del menor de orden 2 distinto de cero utilizado para determinar el rango de la matriz de coeficientes.
−−−
−−=
211121121111
A*
De los orlados menores orlados al menor de orden dos del que partimos, solo queda por estudiar el menor de orden tres formado por la 1º, 2º y 4º columna.
9211
212111
−=−−
− ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible
iii. Si k = 2:
−−−−
=111
122211
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3, 3411221
−=−= rg A = 2.
−−−−
=111121221211
A*
De los menores orlados a 1221
, solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y 4ª
columna.
17
0111212121
=−
⇒ rg A* = 2
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. b. Para k = 2, sistema compatible indeterminado de rango 2, lo cual indica que solo hay dos ecuaciones linealmente independientes. Se toman como linealmente independientes las ecuaciones que contienen a los términos del menor de orden dos distinto de cero.
01221
≠ ⇒
=+−=+−
2zy2x21z2yx
:'S
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, para resolverlo se transforma una variable en parámetro, escogiéndose como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 (y).
λ+=+λ+=+
→
=+−=+− λ=
22zx21z2x
2zy2x21z2yx
:'S y
Aplicando el método de Cramer, se obtiene la solución.
( ) ( ) λ+=−
λ−−=−
λ+⋅−⋅λ+=λ+
λ+
= 1333
4122211
1221
12221
x
( ) ( ) 03
041
21221
1221222
11
z =−
=−
⋅λ+−λ+⋅=λ+
λ+
=
Solución: (1+λ, λ, 0) ∀ λ ∈ R
c. Para k = 3. Sistema compatible determinado. Método de Cramer.
=−−=+−=+−
2zyx2zy3x21z3yx
:S
AA
x x= ; A
Ay
y= ;
AA
z z=
( ) 42333kA 2 =−−==
34
112132311
x =−−
−−
= ; 45
4121
122311
y =−
= ; 41
4211232111
z−
=−−−
=
Solución:
−41 ,
45 ,3
Modelo 2010. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
=++=+=++
1zyx2kzy21zkyx
18
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3.
Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene descrito por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A*).
=111k201k1
A
=11112k2011k1
*A
A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3. n = 3 La discusión del tipo de solución en función del parámetro se puede hacer de dos formas:
i. Por el teorema de Rouché ii. Por Gauss.
Por el teorema de Rouché-Frobenius. Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de la matriz A es tres, el de la ampliada también (A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A*) y coincide con el número de incógnitas, sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. Por Gauss. Por ser un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )1kkkk0k20k2111k201k1
Adet 22 −=−=++−++==
( )
==
=−=1k0k
:01kk:0A
Discusión: (Rouché-Fröbenius)
i. Si k ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
ii. Si k = 0.
=111020101
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 022001
≠= ⇒ rg A = 2.
=111120201101
*A rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como
referencia el menor 2001
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado
por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a =
0 es nulo. 02111220101
≠−= . rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible (no tiene solución).
iii. Si k =1.
=111120111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 022011
≠= ⇒ rg A = 2.
=111121201111
*A
rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como referencia el menor
19
2011
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a = 0 es nulo.
0111220111
= . rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
(infinitas soluciones). Discusión: (Gauss)
i. Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 . Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
ii. Si k = 0:
==
=+
=
=−=
=
0y1y
1zx:
001010101101
2EEEEE
111120201101
22
133
M
M
M
M
M
M
Sistema
incompatible (no tiene solución). Se produce una incongruencia entre la 2ª y 3ª ecuación.
iii. Si a =1: { }
=+=++
=−==
2zy21zyx
:000021201111
EEE111121201111
133M
M
M
M
M
M
Sistema
compatible indeterminado (infinitas soluciones). b. El sistema tiene infinitas soluciones para k = 1. Dos métodos, Cramer ó Gauss.
Cramer: k = 1.
=+=++
→←
=++=+
=++
2zy21zyx
1zyx2zy21zyx
EQUIV Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.
Para resolverlo se transforma una variable en parámetro (z = λ) y se resuelven las otras dos en función del parámetro (λ) mediante cualquier método (Cramer)
λ−=λ−=+
→
=+=++ λ=
2y2 1yx
2zy21zyx z
21
22
22011
A
Ay:
222211
A
Ax
yx λ−=λ−=λ−λ−
=λ−=λ−λ−
==
Solución:
λλ−λ− ,2
1 ,2
Gauss: k = 1. 2
12
2y:2y21yx
2zy21zyx
:000021201111
z λ−=λ−=
λ−=λ−=+
→
=+=++
λ=
M
M
M
λ−=λ−=+λ−
2y:1y
21
Solución:
λλ−λ− ,2
1 ,2
c. Para k = 3. Sistema compatible determinado, solución única. Dos métodos, Cramer ó Gauss.
Cramer: k = 3.
=++=+
=++
1zyx2z3y21zy3x
A
Az:
A
Ay:
A
Ax zyx === |A| = 32 − 3 = 6
20
32
64
6111220131
z:060
6111320111
y:31
62
6111322131
x =========
Solución:
32 ,0 ,
31
Gauss: k = 3. { } :0y:0y22z3y21zy3x
:002023201131
EEE111123201131
133 =
=−=+
=++
−=−==
M
M
M
M
M
M
31x:1
32x:
32z:
2z31zx
= =+=
==+
Solución:
32 ,0 ,
31
Septiembre 2009. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real k:
=−=++=++
6z3kx3zkyx3zyx
a) Discútase el sistema según los valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones c) Resuélvase el sistema para k = 3
Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en el que la matriz de coeficientes depende de un parámetro. El sistema viene definido por las matrices:
−=
30k1k1111
A
−=
630k31k13111
A*
3nA rgA rgAA ** =≤≤⇒⊂ Si |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (|A| = 0).
( ) ( ) ( )1k3k3k2k03k0kk330k
1k1111
Adet 22 −⋅+−=+−−=+−−++−=−
=
( ) ( )
==−−==+
=−⋅+−=1k:01k3k:03k
:01k3k:0A
Discusión: i. Si k ≠ −3, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.
ii. Si k = −3.
−−−=
303131111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 0431
11≠−=
− rg A = 2
21
−−−=
630331313111
A* teniendo en cuenta que
=⊂
2A rgAA *
rg A* ≥ 2. De los menores orlados a
3111
− solo queda por estudiar el menor: 060
603331311
≠−=−
− rg A* = 3 ≠ rg A
Sistema Incompatible
iii. Si k = 1.
−=
301111111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 0330
11≠=
− rg A = 2
−=
630131113111
A* teniendo en cuenta que
=⊂
2A rgAA *
rg A* ≥ 2. De los menores orlados a
3011
− solo queda por estudiar el menor: 0
630311311
=−
rg A* = 2 = rg A < n = 3
Sistema compatible indeterminado. b. El sistema tiene infinitas soluciones para k = 1.
=−=++
→
=−=++=++
6z3x3zyx
6z3x3zyx3zyx
eEquivalent
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, se resuelve en función de una de las variables que se convierte en un parámetro (z = λ).
λ+=λ−=+
→
=−=++ λ=
36x3yx
6z3x3zyx z
El sistema se resuelve por sustitución λ−−=λ−=+λ+ 43y:3y36
Solución: ( )λλ−−λ− ,43 ,3 c. k = 3. Teniendo en cuenta el apartado a, sistema compatible determinado. Cramer.
=−=++=++
6z3x33zy3x3zyx
( ) ( ) ( ) 1213333kA −=−⋅+−==
25
1230
12306
133113
AA
x x =−−=
−−
== 0120
12363
131131
A
Ay
y=
−=
−−
== 21
1224
12603331311
AA
z z =−−=
−==
Junio 2009. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente el parámetro real k:
=−+−=+−
=++
0zy3x5z2yx24kzyx
a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 0.
Solución. a. El sistema está definido por las matices de coeficientes (C) y ampliada (A).
22
−−−=
131212k11
C
−−−=
013152124k11
A
Entre estas matrices se dan las siguientes relaciones:
C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rg A ≤ 3 = n (número de incógnitas) Si el |C| ≠ 0, rg C = rg A = n = 3, siendo en ese caso el sistema compatible determinado, por tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro k que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )1k55k562kk621131
212k11
Cdet −=−=+−−+−=−−
−=
( ) 1k:01k5:0Cdet ==−= Discusión. (Rouché)
i. Si k ≠ 1. |C| ≠ 0, rg C = rg A = n = 3. Sistema compatible determinado. Sistema de Cramer.
ii. Si k = 1. 3C rg0C:131
212111
C <⇒=
−−−= 2C rg:03
1211
=≠−=−
. Para estudiar el
rango de la ampliada, se tiene en cuenta que rg A ≥ rg C = 2. Si se parte del menor de orden dos de la matriz de coeficientes, sus menores orlados son la matriz de coeficientes, cuyo determinante es cero, y el menor formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna.
0031512411
=−
− rg A = 2 = rg C < n = 3. Sistema compatible indeterminado.
Discusión. (Gauss) i. Si k ≠ 1. |C| ≠ 0, Sistema compatible determinado. Sistema de Cramer.
ii. Si k = 1: =
−−=
+=−=
=
−−−
40403030
4111
EEEE2EE
013152124111
133
122
M
M
M
M
M
M
Se simplifican la 2ª y 3ª ecuación
{ }
=−==
=000010104111
EEE101010104111
233M
M
M
M
M
M
Sistema compatible
indeterminado. b. Para k = 1. El sistema equivalente los forman las dos ecuaciones que contienen al menor de orden 2 distinto de cero.
=+−=++
5z2yx24zyx
Para resolver el sistema se toma z como constante y se transforma en un parámetro (z = λ).
λ−=−λ−=+25yx2
4yx
El sistema se puede resolver por cualquier método obteniendo:
R z
1y3x
∈λ∀
λ==
λ−=
23
Si el sistema se ha discutido por Gauss, este apartado se resolvería con el sistema asociado a la
matriz
==++
<>
1y4zyx
000010104111
M
M
M
, cuyas soluciones son las mismas.
c. Para k = 0, el sistema es del tipo Cramer,
=−+−=+−
=+
0zy3x5z2yx2
4yxsiendo el determinante de
coeficientes: ( ) 5105Cdet −=−=
35
130215014
CA
x x =−
−−
== ; 15
101252041
C
Ay
y=
−−−
== ; 05
031512411
CA
z z =−
−−
==
Septiembre 2007. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
=++=+
=++
1zyx2azy21zayx
(a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. (b) Resolver el sistema para a =3 y a = 1.
Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene descrito por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A*).
=111a201a1
A
=11112a2011a1
*A
A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3. n = 3 La discusión del tipo de solución en función del parámetro se puede hacer de dos formas:
iii. Por el teorema de Rouché iv. Por Gauss.
Por el teorema de Rouché-Frobenius. Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de la matriz A es tres, el de la ampliada también (A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A*) y coincide con el número de incógnitas, sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. Por Gauss. Por ser un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )1aaaa0a20a2111a201a1
Adet 22 −=−=++−++==
( )
==
=−=1a0a
:01aa:0A
Discusión: (Rouché-Frobenius)
iv. Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
24
v. Si a = 0.
=111020101
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 022001
≠= ⇒ rg A = 2.
=111120201101
*A rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como
referencia el menor 2001
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado
por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a =
0 es nulo. 02111220101
≠−= . rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible (no tiene solución).
vi. Si a =1.
=111120111
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. 022011
≠= ⇒ rg A = 2.
=111121201111
*A
rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como referencia el menor
2011
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a = 0 es nulo.
0111220111
= . rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
(infinitas soluciones). Discusión: (Gauss)
iv. Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 . Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
v. Si a = 0:
==
=+
=
=−=
=
0y1y
1zx:
001010101101
2EEEEE
111120201101
22
133
M
M
M
M
M
M
Sistema
incompatible (no tiene solución). Se produce una incongruencia entre la 2ª y 3ª ecuación.
vi. Si a =1: { }
=+=++
=−==
2zy21zyx
:000021201111
EEE111121201111
133M
M
M
M
M
M
Sistema
compatible indeterminado (infinitas soluciones). b. Dos métodos, Cramer ó Gauss,
Cramer: a = 3.
=++=+
=++
1zyx2z3y21zy3x
A
Az:
A
Ay:
A
Ax zyx === |A| = 32 − 3 = 6
32
64
6111220131
z:060
6111320111
y:31
62
6111322131
x =========
Solución:
32 ,0 ,
31
25
a = 1.
=+=++
→←
=++=+
=++
2zy21zyx
1zyx2zy21zyx
EQUIV Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Para
resolverlo se transforma una variable en parámetro (z = λ) y se resuelven las otras dos en función del parámetro (λ) mediante cualquier método (Cramer)
λ−=λ−=+
→
=+=++ λ=
2y2 1yx
2zy21zyx z
21
22
22011
A
Ay:
222211
A
Ax
yx λ−=λ−=λ−λ−
=λ−=λ−λ−
==
Solución:
λλ−λ− ,2
1 ,2
Gauss: a = 3. { } :0y:0y22z3y21zy3x
:002023201131
EEE111123201131
133 =
=−=+
=++
−=−==
M
M
M
M
M
M
31x:1
32x:
32z:
2z31zx
= =+=
==+
Solución:
32 ,0 ,
31
a = 1. 2λ1
2λ2y:
λ2y2λ1yx
2zy21zyx
:000021201111
λz −=−=
−=−=+
→
=+=++
=
M
M
M
−=−=+−
2λy:λ1y
2λ1
Solución:
λλ−λ− ,2
1 ,2
Junio 2007. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
=++=−+
=+−
8azy2x23z2y2x3
0zy2x
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4.
Solución. a) El sistema está caracterizado por las matices:
−−
=a22223
211A
−−
=8a2232230121
A *
3A rgA rgAA ** ≤≤⇒⊂ n = 3 Si el determinante de A es distinto de cero, rg A = 3 = rg A* = n = 3, el sistema será compatible determinado, pudiendo calcular la solución por el método de Cramer, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
26
14a8a22223
211A +=−
−= 014a8:0A =+=
47
814a −=−=
Discusión.
i) Sí 47a −≠ ; |A| ≠ 0, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado, La solución se
puede obtener mediante el método de Cramer.
ii) Sí 47a −= ;
−−
−=
4722223
211A |A| = 0, rg A < 3. 05
2311
≠=−
; rg A = 2.
−−
−=
8472232230121
A * rg A* ≥ 2. Los menores orlados al menor 2311 −
, uno es el
determinante de la matriz de coeficientes, que es cero y es otro es 046822323011
≠=−
rg A* = 3. rg A ≠ rg A*, sistema incompatible.
b) Para a = 4:
=++=−+
=+−
8z4y2x23z2y2x3
0zy2x Sistema compatible determinado. 461448A
4a=+⋅=
=
14646
46822323021
A
Az:1
4646
46482233
101
A
Ay:1
4646
46428223
120
A
Ax zyx ==
−
====
−
====
−−
==
Septiembre 2007. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
=++−=++−
=++
3z3ayx1zy3x2
2z2yx
(a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. (b) Resolver el sistema para a = 2.
Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las siguientes matrices:
3A rgA rgA*A 33a111322211
*A 3a1132211
A ≤≤⇒⊂
−−=
−−=
Si |A| ≠ 0, el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución en función de los valores de a que anulen el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) a520a66a4193a1132211
A −=+−+−−−−=−−=
4a:0a520:0A ==−= Discusión.
i. Si a ≠ 4. |A| ≠ 0. Sistema compatible determinado. La solución se puede obtener mediante el método de Cramer.
27
ii. Si a = 4.
−−=
341132211
A |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Para estudiar si la matriz tiene rango 2, se
busca un menor de orden dos distinto de cero, ( ) 05233211
≠=−−=−
⇒ rg A = 2.
rg A* ≥ 2. Hay que estudiar si la matriz ampliada tiene rango 3, para ello se estudian los
menores orlados al menor 3211
−. De los dos menores orlados, uno es el determinante de
la matriz de coeficientes que es nulo, y el único que queda por estudiar es 0341132211
=−− .
rg A* = 2. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
Otra forma de hacer este caso seria por Gauss.
{ }
=−==
=
+=+=
=
−−
000055502211
EEE555055502211
EEEE2EE
334111322211
233133
122
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Sistema compatible indeterminado
b. Para a = 2 el sistema es compatible determinado, según la discusión del apartado a, y por tanto se resuelve por el método de Cramer.
A
Az
A
Ay
A
Ax zyx ===
102520a520A2a
=⋅−=−==
11010
10341132211
z 0100
10331112221
y 0100
10343131212
x ==−−
===−−
====
Modelo 2006. 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a ( )
=++=+−=+++
9az2yxa20zy2x3
9z1ayx
a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resolver el sistema para a = 2.
Solución. a. El sistema se puede discutir de dos formas:
I. Por rango de matrices. II. Por Gauss
I. Por Rangos de matrices. El sistema viene definido por las matrices
−+
=
−+
=9a211a20123
91a11A
a211123
1a11A *
3n;3rgArgAAA ** =≤≤⇒⊂
28
En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficiente (A) es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior se discute el sistema para los valores del parámetro que anulas el determinante de A.
( ) ( )[ ]1a61a21a31a4a211123
1a11A +++−−+⋅++−=−
+=
|A| = −5a + 5 : |A| = 0 : a = 1 Discusión: 1. Si .3nrgArgA .0A1a * ====⇒≠ Sistema compatible determinado.
2. Si 023
113rgA0A :
21112-3211
A 1a ≠−
⋅<⇒=
=+= rg A = 2
−=9211201239211
A * el único menor de orden 3 orlado a 23
11−
que queda por estudiar es:
3n2A rgA rg
2A rg09112023911
*
*
=<==
=⇒=−
Sistema compatible indeterminado. El sistema equivalente está formado por dos ecuaciones, que son las ecuaciones que contienen a
los términos del menor de orden dos (1ª y 2ª ecuación).
=+−=++
≡′20zy2x39z2yx
S
II. Por Gauss:
( )=
+−=
−+
=++=+−
=+++ ↔
91a11a20123
9a211
9a211a20123
91a11:
9az2yxa20zy2x39z1ayx
31 EE
M
M
M
M
M
M
−−−−=
−=−=
0a10027a20a6150
9a211
133
122EEEE3EE
M
M
M
1a ;0a1 ==−
Discusión:
1. Si .1a ≠ Sistema compatible determinado.
2. Si .1a =
−−−00007550
9211
M
M
M
. Sistema compatible indeterminado.
b. Dependiendo del método aplicando en el apartado a
I. Por Rangos de matrices.
λ−=−λ−=+
λ=→=
=+−=++
′20y2x3
29yx
z
ctez:
20zy2x39z2yx
:S
29
Aplicando el método de Cramer, se calculan x e y en función de λ:
( )λ
538
5λ538
5λ20λ418
2311
2λ201λ29
x −=−
+−=−
−−+−=
−
−−−
=
( )λ
57
5λ57
5λ627λ20
5λ203λ291
y −=−+−=
−−−−=
−−
−
=
Rλ λ ,λ57 ,λ
538 :SOLUCIÓN ∈∀
−−
II. Gauss:
−=−=+
→
=+=++
−−−=
= λ57y5λ29yx
; 755
92zyx
00007550
9211 ctec
λzM
M
M
De la 2ª ecuación se despeja y;
λ−=57y
y se sustituye en la 1ª ecuación para despejar x.
λ−=λ−=λ−+538 x; 29
57x
R ,57 ,
538 :SOLUCIÓN ∈λ∀
λλ−λ−
c. Dependiendo del método empleado en a:
I. Por Rangos de matrices. a = 2. Sistema compatible determinado, la solución se obtiene por el método de Cramer.
5525A 9z4yx40z2y-3x93zyx
:2a −=+⋅−=
=++=+=++
=
05
9114023911
z ;513
54911403391
y ;558
54191240319
x =−
−
=−=−
==−
−
=
− 0,513,
558 :SOLUCIÓN
II. Gauss:
Para a = 2, se sustituye en el sistema triangula rizado.
0z:0z
1311z5y 94zyx
:01001311509411
=
=−=−−=++
−−−
M
M
M
Resolviendo por sustitución
558 x;
513y:
13y5 9yx
=−=
=−=+
− 0,513,
558 :SOLUCIÓN
30
Septiembre 2005. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones que depende del parámetro real p
=−−−=++−
=++
pzy2x3pzy2x
0zyx
(a) Discutir el sistema según los distintos valores de p. (b) Resolver el sistema para p = 2.
Solución. a. El sistema viene definido por las matrices:
−−−=
121p21111
A
−−−−=p1213p21
0111*A ⇒⊂ *AA rg A ≤ rg A* ≤ 3 = n (número de
incógnitas) Sí el 0A ≠ , el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el sistema para los
valores del parámetro p que anulan el A .
1p:03p3121
p21111
A ==−=−−
−=
Discusión: i. Si p ≠ 1, 0A ≠ y por tanto rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. La
solución se puede obtener por el método de Cramer.
ii. Si p = 1.
−−−=
121121111
A , 0A = , rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto
de cero para comprobar si tiene rango 2. 032111
≠=−
, rg A = 2.
−−−−=11213121
0111*A , rg A* > 2. Hay que estudiar si puede tener rango tres. Se
estudian los menores orlados al menor de orden 2 anterior. De los dos posible, uno es el determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, el otro es el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
columna. 06121321
011≠−=
−−− , rg A*= 3.
rg A ≠ rg A* ⇒ Sistema incompatible.
b.
=−−−=++−
=++
2zy2x3z2y2x
0zyx.
Según la discusión del apartado a, el sistema es compatible determinado y se resuelve por el
método de Cramer.
31
33233p3A2p
=−⋅=−==
:133
3221321
111
A
Az:0
30
3121
231101
A
Ay:1
33
3122
223110
A
Ax zyx −=−=
−−−
====−
−−
====−−
−
==
Junio 2005. 1A. (puntuación máxima: 3 puntos).
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente, del parámetro real k
=−+=−−=+−
0zy2x50z3kyx0zy3x2
Se pide. (a) Discutir el sistema para los distintos valores de k. (b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
Solución. a.
−−−
−=
1253k1
132A
Sistema homogéneo, se caracteriza por que la matriz A y la A* son iguales (se diferencian en una columna de ceros) y por tanto también son iguales sus rangos, por lo que siempre son compatibles. Si
0A ≠ , el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuanta lo anterior, el sistema se discute en
función de los valores del parámetro que anular el A .
8k:056k71253k1
132Adet −==+=
−−−
−=
Discusión: i. Si k ≠ 8. 3.nA* rgA rg0A ===⇒≠ Sistema compatible determinado. Solución trivial
(x = y = z = 0).
ii. Si k = 8.
−
−
125381132
3n2A* rgA rg 0108132
3A rg 0A =<==≠=−
<= .
Sistema compatible indeterminado. b.
• Si k ≠ 8, sistema compatible determinado. Solución trivial. x = y = z = 0 • Si k = 8, sistema compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo hay dos ecuaciones
linealmente independientes. Para asegurarse que la ecuaciones elegidas son las linealmente independientes, se escogen la ecuaciones que contienen a los términos del menor de orden 2 distinto de cero.
=−−=+−
0z3y8x0zy3x2
Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro (x = λ) y se resuelven en función de λ.
λ=λ=
−−
λ−λ−−
==λ=λ=
−−
−λ−λ−
==
λ−=−λ−=+−
191
19
3813
823
A
Az 7
17
3813
312
A
Ay :
z3y82zy3 zy
Solución: ( ) R 19 ,7 , ∈λ∀λλλ
32
Septiembre 2004. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real m:
=−+−=++−
=−+
1mzmyx4zyx5z3ymx
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m. (b) Resuélvase el sistema para m = 2.
Solución. a. Al sistema lo describen dos matrices, la matriz de coeficientes(A), y la matriz ampliada(A’)
−−
−=
mm111131m
A
−−−
−=
1mm14111
531m'A A ⊂ A’ ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3
En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, sí el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinado y se puede resolver por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) ( )( )
( )( )
==−−==+
=−+−⇔=
−+−=++−=++−−++−=−
−−
=
2m:02m1m:01m
:02m1m20A
2m1m24m2²m2m²m3m31²mmm111131m
A
Discusión i. Sí m ≠ −1, 2. 0A ≠ rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado(solución
única).
ii. Si m = −1:
=+−−=++−
=−+−
1zyx4zyx5z3yx
. Es estudio se puede hacer de dos formas:
- Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.
2 A rg .0211-11
; 3A rg 0A : 111111311
A =≠=<=
−−
−−=
−−−
−−=
11114111
5311'A Los menores orlados a
1111
− son, el determinante de la matriz de coeficiente,
que es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª, 06111411
531≠=
−−
−que por
no ser nulo indica que el rg A’ es tres. rg A = 2 ≠ rg A’ sistema incompatible
- Gauss
−−
−− →
−−−
−−
+=−=
62009400
5311
11114111
5311
133
122EEEEEE
M
M
M
M
M
M
Sistema incompatible, la 2ª y 3ª ecuación se han convertido en incongruentes.
iii. Sí m = 2 :
=−+−=++−
=−+
1z2y2x4zyx5z3yx2
. Es estudio se puede hacer de dos formas también:
33
- Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.
2 A rg .0211-12
; 3A rg 0A : 221
111312
A =≠=<=
−−
−=
−−−
−=
12214111
5312'A Los menores orlados a
1112
− son, el determinante de la matriz de coeficiente,
que es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª, 0121411
512=−− que por ser
nulo indica que el rg A’ es dos. rg A = 2 = rg A’ < n = 3, sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. (Grado de indeterminación = n(incógnitas) − rg A, indica el número de parámetro necesarios para resolver el sistema) Teniendo en cuenta que el rg A = 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes, que son las que forman el sistema equivalente que permite calcular las infinitas soluciones. Las ecuaciones linealmente independientes son las que contienen a los términos del menor de rango dos distinto de cero:
−=++−=−+
4zyx5z3yx2
:'S
- Gauss.
→
−−−
− →
−−−
− →
−−−
−
−=+=↔
31303130
1221
53124111
1221
12214111
5312
133
12221E2EEEEEEE
M
M
M
M
M
M
M
M
M
−−−
→+=
00003130
1221
233 EEEM
M
M
Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. (Grado de indeterminación = n(incógnitas) − nº de ecuaciones, indica el número de parámetro necesarios para resolver el sistema) b.
- Rouché: Se resuelve empleando el sistema equivalente
−=++−=−+
4zyx5z3yx2
:'S
Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ):
λ−−=+−λ+=+
4yx35yx2
:'S
se obtiene un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnita que se resuelve por el método de Cramer.
λ+−=λ+−=
−
λ−−−λ+
=λ+=λ+=
−
λ−−λ+
=311
33
1112
41352
x 343
349
1112
14135
x
R ,311 ,
343S ∈λ∀
λλ+−λ+=
- Gauss: A partir de la matriz triangularizada se obtiene el sistema asociado
34
−=−=−+
→
−−−
3zy3 1z2y2x
00003130
1221
M
M
M
Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ):
λ+−=λ+=+
3y3 21y2x
despejando y de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera se resuelve el sistema.
R z
31y3
43x
∈λ∀
λ=
λ+−=
λ+=
Modelo 2004. 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones. Dependiente del parámetro m:
=++−=++=−+
3z)2m(x5z2yx2zyx2
a) Discutir el sistema para los distintos valores de m. b) Resolver el sistema para m = 3.
Solución. a. En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinando, pudiéndose obtener la solución, por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior , se discute el sistema para los valores del parámetro m que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
( ) .1m2m01024m22m01
211112
AA det −=+++−+−+=+−
−==
1m 0;1m ;0A ==−= Discusión;
I) Si 0A1m ≠⇒≠ sistema compatible determinado.
II) Si 1m=
=+−=++=−+
33z x5z2yx2zyx2
Aplicando el método de Gauss:
−−− →
−−− →
−− →
−
−
+=+=−=↔
00008510
5211
85108510
5211
330121125211
330152112112
233133
2221 EEEEEE
E2EEFF
=+=++
8z5y 5z2yx
:S1 Sistema compatible indeterminado.
b. Para m = 3; Sistema compatible determinado.
Método de Cramer:
A
Az
A
Ay
A
Ax zyx ===
2131mA =−=−=
35
020
2301511212
z ;82
162
531-251122
y ;326
2503215112
x ==−
===
−
=−=−
=
−
=
Junio 2001. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
=++=++=++
2aazyxazayx1zyax
(a) Discútase el sistema según los valores da a (b) Resuélvase el sistema para a = −1.
Solución. a) Sistema de 3 ecuaciones con tu incógnita en función de un parámetro “a”. Para estudiar un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas en función de un parámetro hay que saber que valores del parámetro anulan el determinante de la matriz de coeficiente.
=++=++=++
2aazyxazayx1zyax
=a111a111a
A
( ) ( )2a·1a2a3aaaa11aa111a111a
Adet 233 +−=+−=−−−++==
Discusión
I) Si .D.C.S0A21a 1 ⇒≠⇒−≠ solución única, que se puede obtener por el método de CRAMER.
II) Si a = 1.
=++=++=++
≡1zyx1zyx1zyx
S sistema equivalente { 1zyx'S:a =++≡ S.C.I con dos
grados de indeterminación.
III) Si a = −2.
=−+−=+−=++−
≡4z2yx2zy2x1zyx2
S
Este sistema se puede estudiar por dos métodos. a1) Gauss: Se triangularía la matriz asociada al sistema
}{
{ }
−−−
=+==
=
−−
−−
=
+=−=
=
−−
−−
=↔=
−−
−−
36
4
000330211
EEE
96
4
330330211
E2EEEEE
12
4
112121211
EE42
1
211121112
233
133
12231
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
La tercera ecuación se convierte en una incongruencia, por lo que el sistema es incompatible
36
a2) Estudiando los rangos de las matrices que definen el sistema.
−−
−=
211121112
A
−−−
−=
42112121
1112'A
rg A: 2A rg0321
12≥⇒≠=
−−
y teniendo en cuenta que el determinante de A es nulo para a = −2
rg A = 2
rg A’: Tomando el menor 021
12≠
−−
, el rango de la ampliada será tres si alguno de los menores
orlados al anterior es distinto de cero, en caso contrario será dos. Los menores orlados son el determinante
de la matriz de coeficientes, que es nulo para a = −2, y 03411221
111≠=−−
−, por tanto
rg A’ = 3
Según el teorema de Rouché, el sistema es incompatible por tener los rangos de sus matrices diferentes.
b)
=−+−=+−=++−
1zyx1zyx1zyx
:S dos métodos:
b1 ) Cramer: A
Axx =
A
Ayy =
A
Azz =
( ) ( ) ( ) ( ) 421·112a·1aA 22 =+−−−=+−=
.040
4111
111111
x ==−
−−
= 144
4111
111111
y ==−
−−
= 040
4111111
111
z ==
−−−
=
Solución (0, 1, 0)
b2 )Gauss:
−=
+=+=
=
−−−
−
202002001111
EEEEEE
11111111
1111
133
122
M
M
M
matriz que se asocia al sistema:
0x:101x:1y0z
1zyx:
2y20z2
1zyx==++−
==
+++−
==
+++−
Solución (0, 1, 0)