6.1 การอิ�นทิ�เกรตได้�ขอิงร�มั�นน� (Riemann Integrability)

บทิน�ยามั 6.1.1 ให้� [ a, b ] เป็�นช่วงป็�ดใดๆ และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นเซตของจุ�ดบน [ a, b ] โดยที่�� a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b จุะเรี�ยก P วาเป็�น ผลแบ�งก��น (partition) ขอิง [ a, b ]

บทิน�ยามั 6.1.1 ให้� [ a, b ] เป็�นช่วงป็�ดใดๆ และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นเซตของจุ�ดบน [ a, b ] โดยที่�� a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b จุะเรี�ยก P วาเป็�น ผลแบ�งก��น (partition) ขอิง [ a, b ]

จุ�ดในผลแบงก#$น P แบงช่วง [ a, b ] ออกเป็�นช่วงยอย n ช่วง คื&อ [x0, x1], [x1, x2], …, [xn–1, xn] โดยที่��

]x,x[ i1in

1i

= [ a, b ] และ [xi–1, xi] [xj–1, xj] = , i jด#งรี'ป็ 6.1.1

a = x0 x1 x2 xk–1 xk xn–1 xn= b

ผลแบงก#$นอ#นห้น(�งของ [a, b]

บทิน�ยามั 6.1.2 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นบนของ [ a, b ] สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, …, n

ให้� mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }

Mk = l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }

บทิน�ยามั 6.1.2 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นบนของ [ a, b ] สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, …, n

ให้� mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }

Mk = l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }

บทิน�ยามั 6.1.3 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [a, b] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นบนของ [ a, b ]

บทิน�ยามั 6.1.3 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [a, b] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นบนของ [ a, b ]

ผลบวกล�าง (lower sum) ของ f ที่��มี� P เป็�นผลแบงก#$น แที่นด�วย L( P; f ) เมี&�อ

L( P; f ) =

n

1kkm(xk – xk–1)

ผลบวกบน (upper sum) ของ f ที่��มี� P เป็�นผลแบงก#$น แที่นด�วย U( P; f ) เมี&�อ

U( P; f ) =

n

1kkM(xk – xk–1)

ผลบวกลาง L( P; f ) ผลบวกบน U( P; f )

บทิต��ง 6.1.4 ถ้�า f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] และ P เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] แล�ว L( P; f ) U( P; f )

บทิต��ง 6.1.4 ถ้�า f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] และ P เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] แล�ว L( P; f ) U( P; f )

การพิ�สู�จน� ให้� P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, …, n }

l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, …, n } = Mk

ด#งน#$น mk Mk สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, …, n

L( P; f ) =

n

1kkm(xk – xk–1)

n

1kkM(xk – xk–1)

= U( P; f )

บทิน�ยามั 6.1.5 ให้� P, Q เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] ที่�� P Q แล�วจุะเรี�ยก Q วา ผลแบ�งก��นทิ� ละเอิ�ยด้(refinement) ของ P

บทิน�ยามั 6.1.5 ให้� P, Q เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] ที่�� P Q แล�วจุะเรี�ยก Q วา ผลแบ�งก��นทิ� ละเอิ�ยด้(refinement) ของ Pบทิต��ง 6.1.6 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบนช่วงป็�ด [ a, b ] P เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] และ Q เป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดของ P แล�ว

(1) L( P; f ) L( Q; f )(2) U( Q; f ) U( P; f )

บทิต��ง 6.1.6 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบนช่วงป็�ด [ a, b ] P เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] และ Q เป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดของ P แล�ว

(1) L( P; f ) L( Q; f )(2) U( Q; f ) U( P; f )

การพิ�สู�จน� ให้� P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] P = P{ z } โดยที่�� xk–1 < z < xk

ด#งน#$น P = { x0, x1, x2, …, xk–1, z, xk, …, xn } P เป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดของ P

(1) ให้� mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–

1, z] } mk = g.l.b.{ f(x) | x[z, x k] }

ด#งน#$น mk mk และ mk mk

L( P; f ) = m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(xk–xk–1)+ …+mn(xn–xn–1)

= m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1)

m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–

1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1)

= L( P; f )L( P; f ) L( P; f ) เมี&�อ P มี�สำมีาช่0กเพิ่0�มี

1 ต#ว จุาก P ในช่วงที่�� k

ถ้�า Q เป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดใดๆของ P ด#งน#$น

Q = P{ z1, z2, z3, ..., zi } ซ(�ง xj–1 < zi < xj , i j = 1, 2, 3, ..., n

สำามีารีถ้แสำดงการีแบงช่วงที่�� zi เป็�นสำมีาช่0กได�ในที่.านองเด�ยวก#น ด#งข�างต�น และยอมีได�วา

L( P; f ) L( Q; f )(2) ให้�ผ'�อานพิ่0สำ'จุน+เป็�นแบบฝึ4กห้#ด

บทิต��ง 6.1.7 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] ถ้�า P1, P2 เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] แล�ว L( P1; f ) U( P2; f )

บทิต��ง 6.1.7 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] ถ้�า P1, P2 เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] แล�ว L( P1; f ) U( P2; f )การพิ�สู�จน� ให้� Q = P1P2

ด#งน#$น Q เป็�นผลแบงก#$นของ [ a, b ] ซ(�งเป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดของ P1, P2

จุากบที่ต#$ง 6.1.4 และบที่ต#$ง 6.1.6 จุ(งได�วา L( P1; f ) L( Q; f ) U( Q; f ) U( P2; f )

อิ�นทิ�กร�ลบน และอิ�นทิ�กร�ลล�าง (Upper and Lower Integrals)

ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ]

ถ้�า P เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] สำามีารีถ้คื.านวณห้าคืา U( P; f ) และ L( P; f )ห้รี&ออาจุกลาวได�วา แตละผลแบงก#$น P ให้�คืาจุ.านวนจุรี0ง 2 จุ.านวนให้� [a, b] เป็�นห้มี' (collection) ของผลแบงก#$นที่#$งห้มีดบน [ a, b ] [a, b] จุ(งก.าห้นดเซตได� 2 เซต คื&อ

เซตของผลบวกบน { U( P; f ) | P [a, b] } และ

เซตของผลบวกลาง { L( P; f ) | P [a, b] }

บทิน�ยามั 6.1.8 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขต 1) อิ�นทิ�กร�ลล�าง (lower integral) ของ f บน [ a, b ] แที่นด�วย

f(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] }

2) อิ�นทิ�กร�ลบน (upper integral) ของ f บน [ a, b ] แที่นด�วย

บทิน�ยามั 6.1.8 ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขต 1) อิ�นทิ�กร�ลล�าง (lower integral) ของ f บน [ a, b ] แที่นด�วย

f(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] }

2 ) อิ�นทิ�กร�ลบน (upper integral) ของ f บน [ a, b ] แที่นด�วย

baf(x)dx ห้มีายถ้(ง จุ.านวนจุรี0ง ซ(�ง

ba

baf(x)dx ห้มีายถ้(ง จุ.านวนจุรี0ง ซ(�ง

f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }ba

ทิฤษฎี�บทิ 6.1.9 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขต แล�วทิฤษฎี�บทิ 6.1.9 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขต แล�ว

baf(x) dx

baf(x) dx

การพิ�สู�จน� ให้� P1, P2 เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ]

โดยบที่ต#$ง 6.1.7 ได�วา L( P1; f ) U( P2; f )

U( P2; f ) ยอมีเป็�นขอบเขตบนต#วห้น(�งของ { L( P; f ) | P [a, b] }

และ ba f(x) dx = l.u.b{ L( P; f ) | P [a, b] } U( P2; f )เน&�องจุาก P2 เป็�นผลแบงก#$นใดๆของ [ a, b ] ด#งน#$น b

af(x) dxเป็�นขอบเขตลางต#วห้น(�งของ { U( P; f ) | P [a, b] }

และ baf(x) dx g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }

น#�นคื&อ baf(x) dx

baf(x) dx

บทิน�ยามั 6.1.10 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] แล�วจุะเรี�ยก f วาเป็�น ฟั&งก�ชั�นทิ� มั�ร�มั�นน�อิ�นทิ�กร�ล (Riemann–integrable) บน [ a, b ]

บทิน�ยามั 6.1.10 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] แล�วจุะเรี�ยก f วาเป็�น ฟั&งก�ชั�นทิ� มั�ร�มั�นน�อิ�นทิ�กร�ล (Riemann–integrable) บน [ a, b ]

ถ้�า f(x)dx = f(x)dx

และเข�ยนแที่นด�วย

ba

ba

ba dx)x(f

ต�วอิย�าง 1 ให้� f(x) = x , x[ 0, 1 ]

ให้� Pn เป็�นผลแบงก#$นของ [ 0, 1 ] โดยแบง [ 0, 1 ] ออกเป็�น n ช่วงด#งน�$

Pn = { 0, , , , . . . , = 1 }

n1

n2

n3

nn

เน&�องจุาก f(x) = x เป็�นฟั*งก+ช่#นเพิ่0�มีที่��มี�ขอบเขต มี�คืาสำ'งสำ�ด และ คืาต.�าสำ�ดในแตละช่วง

พิ่0จุารีณาช่วงที่�� k [ , ] จุะได�วา Mk =และ mk = และคืวามีกว�างของช่วง k คื&อ

xk – xk–1 = - =

n1k

nk n

k

n1k

nk

n1k

n1ที่�ก k = 1, 2, 3, ..., n

ด#งน#$น U( Pn; f ) =

n

1k1kkk )xx(M

= + + + . . . + 2n1

2n2

2n3

2nn

= ( 1+2+3+…+n )2n1

= 2)1n(n

2n1

= ( 1+ )21

n1

และ L( Pn; f ) =

n

1k1kkk )xx(m

= 0 + + + + . . . + 2n1

2n2

2n3

2n1n

= ( 0+1+2+3+…+n–1 )2n1

= 2n1

2n)1n(

= ( 1 - )21

n1

เน&�องจุาก { Pn | n } เป็�นเซตยอยของ { P | P [0, 1] }

ด#งน#$น21 = l.u.b.{ L( Pn; f ) | n }

l.u.b.{ L( P; f ) | P [0, 1] } = 10f(x)dx

และ10

f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P [0, 1] }

g.l.b.{ U( Pn; f ) | n } = 21

ที่.าให้� f(x)dx 21 1

010 f(x)dx 2

1

f(x)dx = 10

10 f(x)dx = 2

1

น#�นคื&อ f(x) = x เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�รี�มี#นน+อ0นที่0กรี#ลบน [ 0, 1

ทิฤษฎี�บทิ 6.1.11 เง( อินไขร�มั�นน� (Riemann’s Criterion for Integrability)

ทิฤษฎี�บทิ 6.1.11 เง( อินไขร�มั�นน� (Riemann’s Criterion for Integrability)ให้� f : [a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�

ขอบเขตบน [ a, b ] แล�ว f จุะเป็�นฟั*งก+ช่#นที่��สำามีารีถ้ห้าอ0นที่0กรี#ลได�บน [ a, b ] ก6ตอเมี&�อแตละ > 0 จุะมี�ผลแบงก#$น P ของ [ a, b ]ซ(�ง U( P; f ) – L( P; f ) <

การพิ�สู�จน� ถ้�า f เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��สำามีารีถ้ห้าอ0นที่0กรี#ลได�บน [ a, b ]

ด#งน#$น f(x)dx ba f(x)dx =

ba

ให้� > 0 , เน&�องจุาก baf(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] }

จุะมี� P1 เป็�นผลแบงก#$นบน [ a, b ] ที่�� baf(x)dx – 2

< L( P1; f )

เน&�องจุาก ba f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }

จุะมี� P2 เป็�นผลแบงก#$นบน [ a, b ] ที่�� U( P2; f ) < baf(x)dx + 2

ให้� P = P1P2 ด#งน#$น P เป็�นผลแบงก#$นที่��ละเอ�ยดของ P1, P2

ผลที่��ตามีมีา จุากบที่ต#$ง 6.1.6 และบที่ต#$ง 6.1.4 จุ(งได�baf(x)dx – 2

< L( P1; f ) L( P; f )และ U( P; f ) U( P2; f )

<

baf(x)dx + 2

ด#งน#$น U( P; f ) – L( P; f ) < (

baf(x)dx + 2

) –( )baf(x)dx – 2

น#�นคื&อ U( P; f ) – L( P; f ) < ในที่างกล#บก#น ให้� P เป็�นผลแบงก#$น

ใดๆบน [ a, b ]L( P; f )

baf(x)dx ( ห้รี&อ –b

af(x)dx – L( P; f ) )

และ baf(x)dx U( P; f )

ด#งน#$น baf(x)dx –

baf(x)dx < U( P; f ) – L( P; f )

เน&�องจุากก.าห้นดให้�แตละ > 0 จุะมี�ผลแบงก#$น P ของ [ a, b ] ที่�� U( P; f ) – L( P; f ) <

ด#งน#$นbaf(x)dx –

baf(x)dx U( P; f ) – L( P; f ) <

โดยที่ฤษฎี�บที่ 6.1.9 baf(x)dx

baf(x)dx

0 baf(x)dx -

baf(x)dx

เน&�องจุาก เป็�นจุ.านวนบวกใดๆ จุะได� b

af(x)dx - baf(x)dx= 0

baf(x)dx =

baf(x)dx

น#�นคื&อ f R(x) บน [ a, b ]

ต�วอิย�าง 3 ก.าห้นด f : [ 0, 1 ] โดยที่�� f(x) = x2 , x[ 0, 1 ]

ให้� > 0 และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็�นผลแบงก#$นใดๆบน [ 0, 1 ] ซ(�งmax { xk – xk–1 | k = 1, 2, 3, …, n } < 2

เน&�องจุาก f เป็�นฟั*งก+ช่#นเพิ่0�มี และตอเน&�อง ด#งน#$นMk = f(xk) = xk

2 จุ(งได� U( P; f ) =

n

1k k2x( xk – xk–1)

และ mk = f(xk–1) = x2k–1 จุ(งได�

L( P; f ) =

n

1k 1k2x( xk – xk–1)

U( P; f ) – L( P; f ) = [

n

1k k2x( xk – xk–1)] – [

n

1k 1k2x( xk – xk–1)]

= n

1k 1kk1k2

k2 )xx()xx(

=

n

1k1kk )xx( ( xk – xk–1)( xk – xk–1)

<

n

1k)2(2( xk – xk–1)

= n

1k 1kk )xx( =

น#�นคื&อ f R(x) บน [ 0, 1 ]

6.2 สูมับ�ต�ขอิงร�มั�นน�อิ�นทิ�กร�ลทิฤษฎี�บทิ 6.2.1 ให้� f, g : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��สำามีารีถ้ห้าอ0นที่0กรี#ลได�บน [ a, b ]

ถ้�า k แล�วฟั*งก+ช่#น kf และ f + g เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��สำามีารีถ้ห้าอ0นที่0กรี#ลได�บน [ a, b ] และ (1)

b

akf(x)dx = k

b

af(x)dx

(2) b

adx))x(g)x(f( =

b

af(x)dx +

b

ag(x)dx

บทิแทิรก 6.2.2 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��ห้าอ0นที่0กรี#ล

บน [ a, b ] และki สำ.าห้รี#บ i = 1, 2, 3, ..., n แล�ว

เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��ห้าอ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ]

และ

n

1iiifk

b

a

n

1iiifk(x)dx =

n

1i

b

aii fk (x)dx

ทิฤษฎี�บทิ 6.2.3 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ]

ถ้�า f(x) 0 สำ.าห้รี#บที่�ก x[ a, b] แล�ว

b

af(x)dx 0

บทิแทิรก 6.2.4 ให้� f, g : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��ห้าอ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] ได�

ถ้�า f(x) g(x) สำ.าห้รี#บที่�ก x[ a, b ] แล�ว

b

af(x)dx

b

ag(x)dx

บทิต��ง 6.2.5 ถ้�า f : [ a, b] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ล

บน [ a, b ] และ a < c < b แล�ว baf(x)dx =

caf(x)dx+

bcf(x)dx

ทิฤษฎี�บทิ 6.2.6 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] และa < c < b จุะได�วา f มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] ก6ตอเมี&�อ f มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, c ] และ [ c, b ] โดยที่��

b

af(x)dx =

c

af(x)dx +

b

cf(x)dx

ทิฤษฎี�บทิ 6.2.7 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�ขอบเขตบน [ a, b ] แล�ว

ข�อคืวามี (1) – (3) สำมีมี'ลก#น(1) ฟั*งก+ช่#น f เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0

กรี#ลบน [ a, b ](2) สำ.าห้รี#บแตละ > 0 จุะมี�ผลแบง

ก#$น P = { x0, x1, x2, ..., xn } ของ [ a, b ]

ซ(�ง

n

1kkk )mM( (xk – xk–1) <

(3) สำ.าห้รี#บแตละ > 0 จุะมี�ผลแบงก#$น P = { x0, x1, x2, ..., xn } ของ [ a, b ]

ซ(�ง

n

1kkw

(xk – xk–1) <

เมี&�อ wk = l.u.b. { f(x) – f(y) | x, y[ xk–1, xk ] }

สำ.าห้รี#บ k = 1, 2, 3, ..., n

ทิฤษฎี�บทิ 6.2.8 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่างเด�ยวบน [ a, b ] แล�ว f เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a , b ]ทิฤษฎี�บทิ 6.2.9 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน [ a, b ] แล�วฟั*งก+ช่#น fมี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ]ทิฤษฎี�บทิ 6.2.10 ให้� I = [ a, b ] และ J = [ c, d ] ถ้�า f เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน I และ g เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน J โดยที่�� f( I ) J แล�วฟั*งก+ช่#นป็รีะกอบgf : I เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน I

บทิแทิรก 6.2.11 ให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] แล�ว | f | เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ]

6.3 ทิฤษฎี�บทิหล�กมั�ลขอิงแคลค�ล�สู (The Fundamental Theorem

of Calculus)บทิต��ง 6.3.1 ถ้�าให้� f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] และ f(x) K สำ.าห้รี#บที่�กๆ x[ a, b ] แล�ว

b

af(x)dx

b

af(x)dx K(b – a)

ทิฤษฎี�บทิ 6.3.2 ถ้�า f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] แล�ว Fa : [ a, b ] น0ยามีโดย

Fa(x) = x

af (t)dt , a

x b เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องแบบเอกรี'ป็บน [ a, b ]

ทิฤษฎี�บทิ 6.3.3 ถ้�า f : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อ0นที่0กรี#ลบน [ a, b ] และ Fa : [ a, b ] โดยที่��

Fa(x) = x

af (t)dt สำ.าห้รี#บ

a x b ถ้�า f เป็�น

ฟั*งก+ช่#นตอเน&�องแล�ว Fa เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อน�พิ่#นธ์+ที่��จุ�ด x0 และ Fa(x0) = f(x0) สำ.าห้รี#บ x0 [ a, b ]

ทิฤษฎี�บทิ 6.3.4 ทิฤษฎี�บทิหล�กมั�ลแคลค�ล�สู (Fundamental

Theorem of Integral Calculus)

ให้� f เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน [ a, b ] แล�ว

F : [ a, b ] สำอดคืล�องก#บ

F(x) – F(a) =

x

af (t)dt

ก6ตอเมี&�อ F(x) = f(x) สำ.าห้รี#บที่�ก x [ a, b ]

บทิแทิรก 6.3.5 ถ้�า f เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน [ a, b ] และ F(x) = f(x) สำ.าห้รี#บ x [ a, b ] แล�ว

b

af(x)dx = F(b) – F(a)

ทิฤษฎี�บทิ 6.3.6 การอิ�นทิ�เกรตโด้ยว�ธี�แยกสู�วน (Integration by Parts)ให้� f, g : [ a, b ] เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อน�พิ่#นธ์+ ถ้�า f และ g เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�อง แล�ว

b

ag)x(f(x)dx = [ f(b)g(b) – f(a)g(a) ] –

b

ag)x(f (x)dx

ทิฤษฎี�บทิ 6.3.7 ให้� J = [ , ] และ : J เป็�นฟั*งก+ช่#นที่��มี�อน�พิ่#นธ์+ และ เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน J ถ้�า f เป็�นฟั*งก+ช่#นตอเน&�องบน I โดยที่�� I = (J) แล�ว

dt)t())t((f

=

)(

)(dx)x(f