第 第 7 7 章 內積空間章 內積空間線 性 代 數線 性 代 數

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本章內容本章內容7.1 7.1 內積空間 內積空間 7.2 7.2 非歐基里德幾何及特殊相對論非歐基里德幾何及特殊相對論7.3 7.3 函數近似與編碼理論函數近似與編碼理論7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線

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7.1 7.1 內積空間內積空間定義： 定義：

一個實數向量空間Ｖ中的內積為一個對應特定常一個實數向量空間Ｖ中的內積為一個對應特定常數之函數，註記為 數之函數，註記為 〈〈 u, vu, v ，其中，其中 u, vu, v 為Ｖ中的為Ｖ中的一對向量；對向量一對向量；對向量 u, v, wu, v, w 及純量及純量 cc 而言，內積而言，內積函數必滿足下列性質。 函數必滿足下列性質。 1.1. 〈〈 u, vu, v 〉〉 == 〈 〈 v, uv, u 〉 〉 （對稱性質（對稱性質 , symmetry , symmetry axiomaxiom ））2.2. 〈〈 u + v, wu + v, w 〉〉 == 〈〈 u, vu, v 〉〉 ++ 〈〈 u, wu, w 〉 〉

（加法性質（加法性質 , additive , additive axiomaxiom ） ） 3.3. 〈〈 cu, vcu, v 〉〉 = c= c 〈〈 u, vu, v 〉 〉 （同質性質（同質性質 , , homogeneity axiomhomogeneity axiom ） ） 4.4. 〈〈 u, uu, u 〉〉 0, 0, 而而〈〈 u, uu, u 〉〉 = 0= 0 若且唯若若且唯若 u=0u=0

(( 正定性質正定性質 , positive definite , positive definite axiom)axiom)

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7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 1:1: 令 令 u = (xu = (x11, x, x22), v = (y), v = (y11, y, y22), ), 及 及 w = (zw = (z11, z, z22)) 為為中任意向量，試證明滿足下列定義之函數是的內積函數 中任意向量，試證明滿足下列定義之函數是的內積函數 〈〈 u, vu, v 〉〉 = x= x11yy11 + 4x + 4x22yy22,, 並求並求 (-2, 5), (3, 1)(-2, 5), (3, 1) 二向量之二向量之內積內積解解 ::

性質 1: 〈 u, v 〉 = x1y1 + 4x2y2 = y1x1 + 4y2x2 = 〈 v, u 〉

性質 2: 〈 u + v, w 〉 = 〈 (x1, x2) + (y1, y2) + (z1, z2) 〉

= 〈 (x1 + y1, x2 + y2), (z1, z2) 〉

= (x1 + y1) z1 + 4(x2 + y2)z2

= x1z1 + 4x2z2 + y1 z1 + 4 y2z2

= 〈 (x1, x2), (z1, z2) 〉 + 〈 (y1, y2), (z1, z2) 〉

= 〈 u, v 〉 + 〈 u, w 〉

5

7.1 7.1 內積空間內積空間1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 21 2

2 21 2

3:<cu, v>= <c(x , x ), (y , y )>=<(cx , cx ), (y , y )> = cx y + 4cx y = c(x y + 4x y ) = c u, v>

4:<u, u>= <(x1, x2), (x1, x2)>= 4 0

4 0, x1 = 0, x2 = 0 u = 0

x x

x x

性質

性質

若且唯若 即

所 <以

(-2, 5), (3, 1)>= (-2 3) + 4(5 1) = 14

2u,v>為R 的子空間

而內積

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7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 2: 2 × 22: 2 × 2 矩陣組成的向量空間矩陣組成的向量空間 MM2222 ，令，令 u, u, vv 為定義如下之為定義如下之 2 × 22 × 2 矩陣矩陣 ,,

MM2222 之內積定義為之內積定義為〈〈 u, vu, v 〉〉 = ae + bf + = ae + bf + cg + dhcg + dh 求解 及 二矩陣之內積求解 及 二矩陣之內積

解解 ::

, c da be fc d

u v

2 30 1

5 29 0

2 3 5 2, (2 5) ( 3 2) (0 9) (1 0) 4

0 1 9 0

7

7.1 7.1 內積空間內積空間向量之範數向量之範數 令令 VV 為一內積空間，該空間中任意向量為一內積空間，該空間中任意向量 vv之範數，註記為 之範數，註記為 ||v|| ||v|| ，定義為 ，定義為

向量之夾角向量之夾角 v v, v

cos u, vu v

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7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 4:4: 考量向量空間考量向量空間 PPnn 之內積及函數之內積及函數 ff 的的範數定義如下範數定義如下 ,, 求解之求解之 f(x) = 5xf(x) = 5x22 + 1 + 1 範範數數

解解 ::

1

0

1 2

0

, ( ) ( )

, [ ( )]

f g f x g x dx

f f f f x dx

2 2 215 1 [5 1]0

4 21[25 10 1]0283

x x dx

x x dx

9

7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 5:5: 具有下列內積及夾角定義之內積向量空間具有下列內積及夾角定義之內積向量空間PnPn ，求，求 f(x) = 5xf(x) = 5x22 and g(x) = 3x and g(x) = 3x 二函數間夾二函數間夾角之餘弦函數角之餘弦函數

解解 ::

1

0, ( ) ( )

,cos

f g f x g x dx

f gf g

12 2 2

0

1 2

0

1 1 2

0 0

5 [5 ] 5

3 [3 ]

( ) ( ) (5 )(3 ) 15cos45 3

x x dx

x x dx

f x g x dx x x dx

f g

10

7.1 7.1 內積空間內積空間正交向量正交向量距離距離複數向量空間複數向量空間 CCnn 之內積之內積

, 0u v

( , ) , d u v u v u v u v

n1 n 1 n

1 1

C u = (x , ..., x ), v = (y , ..., y )

n nx y x y u, v

之向量

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7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 6: 6: 試證明中之試證明中之 PPnn 函數 函數 f(x) = 3x-2f(x) = 3x-2 與與g(x)=x g(x)=x 在內積定義下互為正交在內積定義下互為正交

解解 ::

1

0, ( ) ( )f g f x g x dx

1 3 2 100

3 2, (3 2)( ) [ ] 0x x x x dx x x

正交

12

7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 7: g(x) = x7: g(x) = x22–3x+5 –3x+5 與 與 h(x)= xh(x)= x22+4+4何者較為接近 何者較為接近 f(x) = xf(x) = x22

解解 ::1

0

1

0

2 2[ ( , )] , 3 5, 3 5 (3 5) 13

2 2[ ( , )] , 4, 4 ( 4) 16

2 2[ ( , )] [ ( , )]( ) )

d f g f g f g x x x dx

d f h f h f h dx

d f h d f gg x f x

故 較接近 （

13

7.1 7.1 內積空間內積空間例題例題 8:8: 考量考量 CC22 空間中二向量空間中二向量 u = (2 + 3i, –u = (2 + 3i, –1+5i), v = (1+i, -i)1+5i), v = (1+i, -i) ，試計算 ，試計算 (a)(a) 〈〈 u, vu, v 〉〉，，並證明並證明 u, vu, v 為正交 為正交 (b) ||u|| (b) ||u|| 與 與 ||v||||v||(c) d(u, v)(c) d(u, v)

解解 ::( ) , (2 3 )(1 ) ( 1 5 )( ) 5 5 0

( ) (2 3 )(2 3 ) ( 1 5 )( 1 5 ) 13 26 39

(1 )(1 ) ( )( ) 3

( ) ( , ) (2 3 , 1 5 ) (1 , )

(1 2 , 1 6 )

(1 2 )(1 2 ) ( 1 6 )( 1 6 ) 5 37

a i i i i i i

b i i i i

i i i i

c d i i i i

i i

u i i i

u v

u

v

u v u v

正交

42

14

7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線WW 擬反矩陣擬反矩陣 (pseudoinverse)(pseudoinverse)

令令 AA 為一矩陣，則矩陣為一矩陣，則矩陣 (A(AttA)A)-1-1AAtt 稱為之擬反矩稱為之擬反矩陣，註記為陣，註記為 pinv(A)pinv(A) 。 。 Ax =y (Ax =y ( 系統系統 ) ) x = pinv(A)y (x = pinv(A)y ( 最小平方解最小平方解 ))

15

7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線例題例題 1:1: 試求矩陣 試求矩陣 之擬反矩陣 之擬反矩陣

解解 ::

1 21 32 4

A

1 21 1 2 6 7

1 32 3 4 7 29

2 4

29 71 11( ) adj( )7 6125

29 7 1 1 2 3 10 61 11pinv( ) ( )7 6 2 3 4 1 5 2125 25

tA A

t tA A A AtA A

t tA A A A

16

7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線例題例題 2: 2: 求下列過定方程式系統之最小平方解求下列過定方程式系統之最小平方解

解解 ::

63

2 3 9

x yx yx y

1 1 61 1 , 32 3 9

1 11 1 2 6 6

1 11 1 3 6 11

2 3

6 61 11( ) adj( )6 1130

11 6 1 1 2 5 17 41 11pinv( ) ( )6 6 1 1 3 0 12 630 30

A

tA A

t tA A A AtA A

t tA A A A

y

17

7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線例題例題 3:3: 求下列已知數據點之最小平方曲線 求下列已知數據點之最小平方曲線 (1, (1, 1), (2, 2.4), (3, 3.6), (4, 4)1), (2, 2.4), (3, 3.6), (4, 4)解： 解： 令最小平方曲線為線性方程式 y = a + bx

1 1 11 2 2.4

1 3 3.61 4 4

1

11 2.4

3.64

12 2 4

, 3 3 64 4

20 10 0 101pinv( ) ( )6 2 2 620

20 10 0 10 0.21[( ) ]6 2 2 6 1.0220

0.2 1.02

t t

t t

a ba b .

Aa b .a b

A A A A

A A A

y x

y

y

18

7.4 7.4 最小平方曲線最小平方曲線例題例題 4:4: 求下列已知數據點之最小平方拋物線求下列已知數據點之最小平方拋物線 (1, (1, 7), (2, 2), (3, 1), (4, 3)7), (2, 2), (3, 1), (4, 3)解解 : : 令最小平方拋物線方程式為 y = a + bx + cx2

7 1 1 1 72 4 2 1 2 4 2

, 3 9 1 1 3 9 14 16 3 1 4 16 3

45 15 25 1511pinv( ) ( ) 31 23 27 1920

5 5 5 5

45 15 25 1511[( ) ] 31 23 27 1920

5 5 5 5

a b ca b c

Aa b ca b c

t tA A A A

t tA A A

y

y

2

715.25

210.05

11.75

3

y = 15.25-10.05x + 1.75x

19

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2,3,5,8,92,3,5,8,9

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