РТ - Подготовка к ЦТ ... · pdf file7 75 5 27 :2 7 5 3 5 3 3 :2. 22 35 3 15 3...

____________________________

Предлагается одно из возможных решений задания. Ответы к заданиям даны с учетом правил заполнения бланка ответов

____________________________

Электронные версии учебных изданий размещены в разделе «Электронные версии учебников» (http://e-padruchnik.adu.by) национального образовательного портала (www.adu.by)

РТ–2016/2017 гг. Этап II. Вариант 2 Тематическое консультирование по математике 1

© Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Республиканский институт контроля знаний»

РТ–2016/2017 гг. Этап II

Тематическое консультирование по математике

Вариант 2

Раздел программы

вступительных

испытаний/ Элемент

содержания

Содержание задания Комментарий и решение задания Учебное издание

Числа и вычисления/

Отношение чисел и

величин

А1. Определите, во сколько раз 60 ц больше 30 кг.

1) в 2 раза;

2) в 20 раз;

3) в 200 раз;

4) в 2000 раз;

5) в 20 000 раз

Рассматривая отношение двух величин

одного наименования (длин, площадей,

скоростей и т. д.) следует переходить к

одной единице измерения.

Решение:

Выразим 60 ц в килограммах:

60 ц = 6000 кг.

6000 : 30 = 200.

Таким образом, 60 ц больше 30 кг в

200 раз.

Ответ: 3

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 6-го кл.

учреждений общ. сред. образования с рус. яз.

обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с

белорус. яз. Л. В. Латотиной. – 4-е изд., испр. и доп. –

Минск : Народная асвета, 2014. – 318 с. : ил. (П. 1, с. 5–

14);

Математика : учеб. пособие для 6-го кл. учреждений

общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

Е. П. Кузнецова [и др.] ; под ред. Л. Б. Шнепермана. –

2-е изд., испр. – Минск : Нац. ин-т образования, 2014. –

328 с. : ил. (Гл. 5, п. 5.1, с. 120–126)

Геометрические фигуры и

их свойства/

Равнобедренный

треугольник

А2. Используя данные рисунка, найдите величину

угла В треугольника АВС.

Воспользуйтесь теоремой о свойстве углов

при основании равнобедренного

треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC

углы при основании равны. Значит,

. АBC BAC

Сумма градусных мер углов треугольника

равна 180 , значит, 2 180 98 ,АBC




белорус. яз. Д. А. Карпикова. – 4-е изд., испр. и доп. –

Минск : Нар. асвета, 2014. – 367 с. : ил. (П. 10, с. 131–

138);

Шлыков, В. В. Геометрия : учеб. пособие для 7-го кл.

общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения /

В. В. Шлыков. – Минск : Нар. асвета, 2011. – 197 с. : ил. А

С В98º

____________________________


____________________________








1) 41°;

2) 43°;

3) 49°;

4) 21°;

5) 30°

2 82 ,

41 .

АBC

АBC

Ответ: 1

(Гл. 3, § 2, с. 93–103)

Координаты и функции/

График. Графики

реальных процессов

А3. На рисунке изображен график зависимости

длины b прямоугольника постоянной площади S

от ширины .a Определите значение площади

прямоугольника S (в м2).

1) 24 м2;

2) 40 м2;

3) 96 м2;

4) 48 м2;

5) 12 м2

Зависимость между длиной и шириной

прямоугольника постоянной площади S

является обратно пропорциональной: во

сколько раз уменьшается длина, во столько

раз увеличивается ширина.

Решение:

Зависимость между длиной и шириной

прямоугольника постоянной площади S

выражается формулой ,S

ba

откуда

1 .S ab Для нахождения площади

прямоугольника достаточно подставить в

формулу (1) координаты любой точки,

принадлежащей данному в условии

графику.





Минск : Народная асвета, 2014. – 318 с. : ил. (П. 21,

с. 290–304, № 929);

Алгебра : учеб. пособие для 9-го кл. учреждений общ.

сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова

[и др.] ; под ред. проф. Л. Б. Шнепермана. – 4-е изд.,

испр. и доп. – Минск : Народная асвета, 2014. – 287 с. :

ил. (Гл. 1, п. 1.9, с. 60–70, № 1.61)

____________________________


____________________________








О

2

2 4 8 12 16 20 24

4

8

12

16

20

24

, мa

, мb

B6

Например, возьмем точку 8; 6B

(см. рис.), подставим ее координаты в

формулу (1) и получим, что

8 6 48 S (м2).

Ответ: 4


их свойства/ Уравнение

окружности

А4. Среди предложенных уравнений укажите номер

уравнения окружности с центром в начале

координат и радиусом, равным 3.

1) 2 2 9;x y 2) 2 2 9;x y 3) 3;x y

4) 3;x y 5) 2 2 3.x y

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5

Уравнение 2 2 2x a y b R (1)

называется уравнением окружности с центром

;K a b и радиусом .R

Решение:

По условию центр окружности находится в

начале координат, то есть 0;0K и 3,R

тогда формула (1) примет вид: 2 2 9.x y

Ответ: 2






с. 175; с. 178–179);





ил. (Гл. 3, п. 3.6, с. 171–174)

____________________________


____________________________









Округление чисел

А5. За конфеты «Грильяж», цена которых 11 руб. за

1 кг, заплатили 11 руб. 30 коп. Укажите с точностью до

грамма массу купленных конфет.

1) 1 кг 27 г;

2) 1 кг 272 г;

3) 1 кг 30 г;

4) 1 кг 270 г;

5) 1 кг 300 г

Задание на применение правил округления

чисел.

Решение:

Определим массу купленных конфет:

11,3:11 1,0272 (кг). Так как массу конфет

необходимо указать с точностью до

грамма, то округлим полученный результат

до тысячных:

1,0272 кг 1,027 кг 1кг 27 г.

Ответ: 1






с. 69–81);





328 с. : ил. (Гл. 2, п. 2.4, с. 42–47)


Числовая

последовательность

А6. Вычислите сумму пятого и седьмого членов

последовательности ,nc заданной формулой

2 2.nc n

1) 66;

2) 70;

3) 69;

4) 46;

5) 59

Для выполнения задания достаточно

подставить в формулу n -го члена

последовательности nc вместо n числа 5

и 7 и вычислить 5c и

7 .c

Решение:

Вычислим 5c и

7 .c

2

5 5 2 23;c

2

7 7 2 47.c

Сумма пятого и седьмого членов

последовательности равна 70.

Ответ: 2






с. 211–222);





ил. (Гл. 4, п. 4.1, с. 186–191)


Квадратный корень

А7. Вычислите 7 75 5 27 : 2.

1) 10 3;

2) 20 3;

3) 25 3;

4) 3;

5) 46

Задание на применение свойств

арифметического квадратного корня.

Решение:

2 27 75 5 27 : 2 7 5 3 5 3 3 : 2

35 3 15 3 : 2 20 3 : 2 10 3.

Ответ: 1




белорус. яз. Е. В. Масальской. – 4-е изд., испр. и доп. –

Минск : Народная асвета, 2015. – 407 с. : ил. (П. 13–14,

с. 121–136);



____________________________


____________________________










ил. (Гл. 4, п. 4.2–4.7, с. 102–157)

Уравнения и неравенства/

Двойное неравенство.

Система неравенств с

одной переменной

А8. Найдите сумму наибольшего и наименьшего

целых решений двойного неравенства

3 22 7.

5

x

1) 8;

2) 11;

3) 10;

4) 7;

5) 6

Для решения задания необходимо

выполнить равносильные преобразования

неравенств.

Решение:

Умножив все части неравенства

3 22 7

5

x на 5, получим

равносильное ему неравенство:

10 3 2 35 1 .x Прибавив ко всем

частям неравенства (1) число 2, получим


12 3 33 2 .x Разделив все части

неравенства (2) на 3, получим


4 11.x Наименьшее целое решение

неравенства равно 4, а наибольшее

целое решение равно 10. Их сумма равна 6.

Ответ: 5





Минск : Народная асвета, 2015. – 407 с. : ил. (П. 5, с. 47;

с. 51, № 184–185);


сред. образования с рус яз. обучения / Е. П. Кузнецова



ил. (Гл. 1, п. 1.6, с. 36–44; гл. 3, п. 3.2, с. 85; с. 89–90,

№ 3.39–3.44)


Четность и нечетность

функции

А9. Функции заданы графиками на рисунках 1–5.

Укажите номер рисунка, на котором изображен

график нечетной функции.

Нечетная функция имеет симметричную

относительно нуля область определения.

График нечетной функции симметричен

относительно начала координат.

Решение:

Функции, графики которых изображены на

рисунках 1 и 3, не являются нечетными, так

как их область определения не симметрична

относительно нуля.

Функции, графики которых изображены на

рисунках 2 и 4, не являются нечетными, так


учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз.

Л. В. Латотиной. – Минск : Адукацыя і выхаванне, 2013. –

408 с. : ил. (П. 19, с. 275–276; с. 46–47, № 174);




И. П. Ефременко. – 2-е изд., пересмотр. – Минск : Нар.

асвета, 2013. – 462 с. : ил. (с. 317–318, № 1109, № 1110,

____________________________


____________________________








О х

у

11

О х

у

11

О х

у

1

1

1) 2) 3)

4) 5)

О х

у

1

1 О х

у

1

1

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5

как их графики не симметричны относительно

начала координат.

Функция, график которой изображен на

рисунке 5, является нечетной, так как ее

область определения симметрична

относительно нуля и график симметричен

относительно начала координат.

Ответ: 5

№ 1111);




пересмотр. и испр. – Минск : Нар. асвета, 2013. –

271 с. : ил. (Гл. 1, п. 1.1, с. 4–14)


их свойства/ Теорема

косинусов. Решение

треугольников

А10. Длины сторон треугольника равны 3, 5 и 6.

Найдите косинус наименьшего угла треугольника.

1) 1

;2

2) 5

;6

3) 13

;15

4) 3

;5

5) 5

9

Воспользуйтесь теоремой косинусов,

которая связывает длины трех сторон

треугольника и косинус одного из его

углов.

Решение:

Пусть 3, 5, 6,a b c тогда против

меньшей стороны треугольника 3a

лежит меньший угол .A По теореме

косинусов:






с. 128–131);



обучения / В. В. Шлыков. – 3-е изд., испр. – Минск :

Нар. асвета, 2012. – 165 с. : ил. (Гл. 2, § 2, с. 83–94)

____________________________


____________________________








2 2 23 6 5 2 6 5 cos ;

9 36 25 60 cos ;

36 25 9cos ;

60

52cos ;

60

13cos .

15

A

A

A

A

A

Ответ: 3


Проценты. Основные

задачи на проценты

А11. В коробке лежат простые и механические

карандаши. Известно, что количество простых

карандашей в коробке составляет 36 % от

количества механических. Процентное отношение

количества простых карандашей и всех карандашей

в коробке равно:

1) 1

52 %;17

2) 1

56 %;4

3) 36 %;

4) 18 %;

5) 8

26 %17

Воспользуйтесь правилом нахождения

процента от числа и составьте процентное

отношение.

Решение:

Пусть количество механических

карандашей в коробке – x штук, тогда

количество простых карандашей –

0,36x штук. Общее количество простых и

механических карандашей в коробке

составляет 1,36x штук. Найдем

процентное отношение количества

простых карандашей и всех карандашей в

коробке:

0,36 36 9100 % 100 % 100 %

1,36 136 34

9 50 8% 26 %.

17 17

x

x

Ответ: 5






с. 135–143);


общ. сред. образования с рус яз. обучения /



328 с. : ил. (Гл. 6, п. 6.3–6.4, с. 163–173)


Делитель, кратное

А12. Среди данных утверждений укажите номер

верного.

Число a делится на число ,b если

существует такое натуральное число ,s

что .a b s


учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения.

В 2 ч. Ч. 2 / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с

____________________________


____________________________








1) число 2 кратно числу 22;




5) число 256 кратно числу 5.

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5

Утверждения:

«Число a делится на число .b »;

«Число a кратно числу .b »;

«Число b – делитель числа .a »

означают одно и то же.

Решение:

Утверждение 1) – неверное, так как число 2

не делится на 22.

Утверждение 2) – неверное, так как делить

на 0 нельзя.

Утверждение 3) – неверное, так как число 9

не делится на 23.

Утверждение 4) – верное, так как число

125 делится на 1, то есть 125 125 1.

Утверждение 5) – неверное, так как число

256 не делится на 5.

Ответ: 4

белорус. яз. Л. В. Латотиной. – Минск : Адукацыя і

выхаванне, 2013. – 192 с. : ил. (П. 17, с. 5–9);


общ. сред. образования с рус яз. обучения : в 2 ч. /


2-е изд., пересм. и доп. – Минск : Нац. ин-т

образования, 2013. – Ч. 1. – 224 с. : ил. (Гл. 4, п. 4.1,

с. 155–159)


их свойства/ Площадь

фигуры

А13. Площадь параллелограмма ABCD равна 12 6.

Найдите площадь треугольника ,CND

N AB (см. рис.).

А

N

B C

D

1) 4 6;

2) 4 2;

3) 6 6;

Воспользуйтесь формулами площади

параллелограмма и треугольника.

Решение:

Проведем высоту NK к стороне CD

треугольника CND (см. рис.).

K

A

B C

D

N

Площадь треугольника CND найдем по






с. 149–155);



В. В. Шлыков. – 3-е изд., перераб. – Минск : Нар.

асвета, 2011. – 166 с. : ил. (Гл. 2, § 2, с. 75–76; с. 81–86)

____________________________


____________________________








4) 6 3;

5) 3 6

формуле 1

.2

CNDS CD NK Отрезок NK

является также высотой параллелограмма

,ABCD проведенной к стороне .CD

Площадь параллелограмма ABCD найдем

по формуле .ABCDS CD NK

Следовательно, площадь треугольника

вдвое меньше площади параллелограмма и

равна 6 6.

Ответ: 3


Квадратичная

(квадратная) функция

А14. Уравнение параболы, полученной из параболы 2y x сдвигами вдоль оси Ox на 4 единицы вправо

и вдоль оси Oy на 7 единиц вверх, имеет вид:

1) 2 8 9;y x x

2) 2 8 9;y x x

3) 2 4 7;y x x

4) 2 7 4;y x x

5) 2 8 7y x x

Парабола 2

y a x s t получается

сдвигом параболы 2 :y ax

вдоль оси Ox на s единиц вправо при

0s и на s единиц влево при 0;s

вдоль оси Oy на t единиц вверх при 0t

и на t единиц вниз при 0.t

Решение:

Из параболы 2y x сдвигами вдоль оси

Ox на 4 единицы вправо и вдоль оси Oy

на 7 единиц вверх получается парабола

2

4 7.y x После преобразования

уравнение параболы примет вид 2 8 9.y x x

Ответ: 1






с. 210–225);





ил. (Гл. 6, п. 6.5, с. 238–244)

Выражения и их

преобразования/ Синус,

косинус, тангенс,

котангенс произвольного

угла

А15. Значение выражения

3 53sin 6 cos ctg tg

4 6 3 6

равно:

Задание на нахождение значений синуса,

косинуса, тангенса, котангенса

произвольного угла.

Решение:





408 с. : ил. (П. 11, с. 140–155);

____________________________


____________________________








1) 6 2

;2

2) 2 6

;2

3) 6 3 2

;2

4) 6 3 2

;2

5) 6 2

2

3 53 sin 6 cos ctg tg

4 6 3 6

2 3 1 13 6

2 2 3 3

6 2 6 2.

2 2 2

Ответ: 5




пересмотр. и испр. – Минск : Нар. асвета, 2013. –

271 с. : ил. (Гл. 2, п. 2.4, с. 90–99; п. 2.7, с. 114–121)


их свойства/ Сечение

многогранников

А16. 1 1 1 1ABCDA B C D – куб. Точки ,M N и K –

середины ребер 1 1,A B AD и DC соответственно

(см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей

через точки , ,M N K , является:

1A

1B1C

M

C

1D

D

B

A N

K

1) треугольник;

2) четырехугольник;

3) пятиугольник;

4) шестиугольник;

Задание на построение сечения куба

плоскостью и определение его вида.

Решение:

Для построения сечения куба нужно

построить точки пересечения секущей

плоскости MNK с ребрами куба и

соединить каждые две из них, лежащие в

одной грани.

A

B C

D

1A

1B1C

1D

Z

X

Y

M

T

P

K

N

R





408 с. : ил. (П. 3, с. 36–45);



В. В. Шлыков. – 3-е изд., пересмотр. и испр. – Минск :


____________________________


____________________________








5) восьмиугольник 1) ,MNK ABCD KN ,KN AB X

,KN BC Z 1 1 ,X AA B B

1 1 .Z BB C C

2) 1 1 ,MNK AA B B RM .RM XM

3) 1 ,RM BB Y 1 1 .Y BB C C

4) 1 1 ,MNK BB C C TP .TP YZ

5) 1 1 1 1 .MNK A B C D MT

6) 1 1 .MNK AA D D NR

7) 1 1 .MNK CC D D PK

Шестиугольник KNRMTP – искомое

сечение.

Ответ: 4


Решение квадратных

неравенств

А17. Найдите сумму целых решений неравенства 20,1 0,2 0,8 0.x x

1) 5;

2) 7;

3) 9;

4) 7;

5) 9

Применение графика квадратичной

(квадратной) функции для решения

квадратного неравенства.

Решение:

Умножим обе части неравенства 20,1 0,2 0,8 0x x на 10, получим

равносильное ему неравенство

2 2 8 0 1 .x x

Найдем корни квадратного трехчлена

2 2 8:x x 9;4

D 1 22, 4.x x

Парабола 2 2 8y x x пересекает ось

,Ox ее ветви направлены вверх, так как

1 0a (см. рис.); точки 2 и 4 на оси

Ox отмечены черными кружками,

поскольку неравенство нестрогое.






с. 103–115);





ил. (Гл. 2, п. 2.4, с. 91–97)

____________________________


____________________________








х

2 4

На рисунке знаками «+» и «–» отмечены

промежутки знакопостоянства функции .y

Так как точки параболы для значений

2; 4x расположены ниже оси ,Ox то

0y и неравенство (1), а следовательно, и

равносильное ему неравенство 20,1 0,2 0,8 0x x верные. Сумма целых

решений неравенства равна 7.

Ответ: 2


Решение

тригонометрических

уравнений

А18. Найдите наименьший положительный корень

уравнения π

sin 0.6

x

1) 2π

;3

2) π

;6

3) 5π

;6

4) 7π

;6

5) π

Задание на применение алгоритма решения

тригонометрического уравнения.

Решение:

Так как решения уравнения sin 0x

имеют вид π , ,x n n Z тогда получим:

ππ , ;

6

ππ , .

6

x n n Z

x n n Z

Наименьший положительный корень

уравнения равен 5π

6 при 1.n

Ответ: 3





408 с. : ил. (П. 22, с. 315–323);




пересмотр. и испр. – Минск : Народная асвета, 2013. –

271 с. : ил. (Гл. 3, п. 3.7, с. 211–219)

____________________________


____________________________









их свойства/ Взаимное

расположение прямых в

пространстве

В1. На рисунке изображена правильная

четырехугольная пирамида .SABCD Точки М и N –

середины ребер AD и SD соответственно. Для

начала каждого из предложений А–Д подберите его

окончание 1–3 так, чтобы получилось верное

утверждение.

Начало предложения Окончание

предложения S

A

B

N

C

DM

А) Прямые MN и AS Б) Прямые MN и SC

В) Прямые MN и AD

Г) Прямые MN и SD

Д) Прямые MN и BC

1) пересекаются.

2) параллельны.

3) скрещиваются.

Ответ запишите в виде сочетания букв и цифр, соблюдая

алфавитную последовательность букв левого столбца.

Помните, что некоторые данные правого столбца могут

использоваться несколько раз или не использоваться

вообще. Например: А1Б1В3Г2Д3

Задание на определение взаимного

расположения прямых в пространстве.

Решение:

Прямые MN и AS лежат в одной плоскости

;ASD по условию отрезок MN – средняя

линия треугольника ,ASD тогда .MN AS

Прямые MN и SC скрещиваются по

признаку скрещивающихся прямых: прямая

MN лежит в плоскости ,ASD а прямая SC

пересекает эту плоскость в точке ,S не

принадлежащей прямой .MN

Прямые MN и AD пересекаются в точке М.

Прямые MN и SD пересекаются в точке N.

Прямые MN и BC скрещиваются по

признаку скрещивающихся прямых: прямая

BC лежит в плоскости ,ABCD а прямая

MN пересекает эту плоскость в точке М, не

принадлежащей прямой .BC

Ответ: А2Б3В1Г1Д3





408 с. : ил. (П. 8, с. 101–112);




Нар. асвета, 2013. – 160 с. : ил. (Гл. 2, § 1, с. 54–64; § 3,

с. 76–84)


их свойства/ Свойство

четырехугольника,

вписанного в окружность

В2. Углы , ,A B C четырехугольника ,ABCD

вписанного в окружность, относятся как 1: 4 :8.

Найдите градусную меру угла D

Задание на применение свойства

четырехугольника, вписанного в

окружность: если около четырехугольника

описана окружность, то суммы градусных

мер его противолежащих

(противоположных) углов равны 180°.

Решение:

Пусть x – коэффициент

пропорциональности, тогда ,A x

4 ,B x 8 .C x Так как

четырехугольник ABCD вписан в

окружность, то 180A C B D






с. 90–101);



обучения / В. В. Шлыков. – 3-е изд., испр. – Минск :


____________________________


____________________________








или 8 4 180 .x x x D Из

равенства 8 180x x найдем

20 .x Градусную меру угла D найдем

из равенства:

4 180 ,

80 180 ,

100 .

x D

D

D

Ответ: 100


Системы уравнений с

двумя переменными

В3. Известно, что при ,a равном 3, значение

выражения 3 2 22 3a a ab c равно нулю. Найдите

значение выражения ,b c если число b простое и

3 141b c

Задание на составление и решение системы

уравнений с двумя переменными.

Решение:

Подставив в выражение 3 2 22 3a a ab c

вместо переменной a число 3, получим

уравнение 254 27 3 0,b c

23 27.b c Составим систему из двух

уравнений с двумя переменными b и :c 23 27,

3 141.

b c

b c

Сложив почленно первое и второе

уравнения системы, получим квадратное

уравнение 23 3 168 0,b b

2 56 0 : b b 225;D 1 8,b 2 7.b

Так как b – число простое, то 7.b

Подставим во второе уравнение системы

значение 7b и получим, 120.c

Значение выражения b c равно 113.

Ответ: 113





Минск : Народная асвета, 2014. – 397 с. : ил. (П. 15–16,

с. 181–202);

Алгебра : учеб. пособие для 9-го кл. учреждений


Е. П. Кузнецова [и др.] ; под ред. проф.

Л. Б. Шнепермана. – 4-е изд., испр. и доп. – Минск :

Народная асвета, 2014. – 287 с. : ил. (Гл. 3, п. 3.2–

3.3, с. 146–156)

____________________________


____________________________









Решение иррациональных

уравнений

В4. Найдите сумму квадратов корней уравнения

3 27 10 3x

Для выполнения задания необходимо

знать, что при решении иррационального

уравнения его заменяют равносильным

уравнением (системой или совокупностью

уравнений и неравенств) либо его

следствием (в этом случае проверка

полученных решений обязательна).

Решение:

3 2

3 2

3 2

2

2

1 2

7 10 3;

7 10 9;

10 2;

10 8;

2;

2 или 2.

x

x

x

x

x

x x

Проверкой убеждаемся, что оба числа 2 и

2 являются корнями исходного

уравнения, тогда сумма квадратов корней

уравнения равна 4.

Ответ: 4





асвета, 2013. – 462 с. : ил. (П. 8, с. 96–100; с. 106–107);

Алгебра : учеб. пособие для 11-го кл. учреждений


Е. П. Кузнецова [и др.] ; под ред. проф.

Л. Б. Шнепермана. – 3-е изд., испр. и доп. – Минск :

Народная асвета, 2013. – 287 с. : ил. (Гл. 1, п. 1.13,

с. 87–93)


Задачи на проценты

В5. Когда цену товара снизили на 26 %, а через

некоторое время новую цену снизили на 20 %, его

стоимость, по сравнению с первоначальной,

уменьшилась на 51 рубль. Найдите (в рублях)

первоначальную цену этого товара

Задание на нахождение процента от числа.

Решение:

Пусть первоначальная стоимость товара x

рублей. После снижения цены на 26 %

стоимость товара составила

0,26 0,74x x x рублей. После уценки

товара на 20 % он стал стоить

0,74 0,2 0,74 0,592x x x рублей.

Стоимость товара ( 0,592x руб.), по

сравнению с первоначальной стоимостью






с. 135–143);





____________________________


____________________________








( x руб.), уменьшилась на 0,408 ,x что по

условию составляет 51 рубль. Найдем

первоначальную стоимость товара в

рублях: 51: 0,408,x 125.x

Ответ: 125

328 с. : ил. (Гл. 6, п. 6.4, с. 168–173)


Решение рациональных

уравнений

В6. Найдите произведение корней уравнения

2

2 8 9 5 1 7 4x x x x

Решение рационального уравнения

методом замены переменной.

Решение:

Заменим уравнение

2

2 8 9 5 1 7 4x x x x

равносильным уравнением

2

2 28 9 5 8 7 4.x x x x Введем

новую переменную 2 8 9u x x и

получим квадратное уравнение

2 25 2 4, 5 6 0u u u u

относительно .u Решив его, найдем 3u

или 2.u Таким образом, учитывая, что 2 8 9,u x x получим:

2 2

2 2

8 9 3 или 8 9 2;

8 6 0 или 8 7 0;

4 10 или 4 10 или 1или 7.

x x x x

x x x x

х х х х

Произведение корней исходного уравнения

равно 42.

Ответ: 42






с. 187–194);





ил. (Гл. 5, п. 5.8, с. 205–211; с. 211, № 5.123)


их свойства/ Треугольник

В7. Длины сторон треугольника относятся как

17 :30 :17. Соединив середины его сторон, получили

треугольник площадью 120. Найдите периметр

исходного треугольника

Применение формул площади

треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок.






с. 241–250);

____________________________


____________________________








A

B

C

M N

K

120S

Пусть в треугольнике ABC

: : 17 :30 :17.AB AC BC Если x –

коэффициент пропорциональности, то

17 ,AB BC x 30 .AC x Так как по

условию точки , ,M N K – середины

сторон , ,AB BC AC треугольника ABC

соответственно, то отрезки , ,MN NK MK –

его средние линии. Имеем:

115 ,

2MN AC x

1 17,

2 2NK AB x

1 17.

2 2MK BC x Найдем площадь

треугольника MNK по формуле Герона:

17 1715 : 2 16 ;

2 2p x x x x

2

2

2

15 1516 30 ;

2 2

120 30 ;

4;

2.

MNKS x x x x x

x

x

x

17 2 34,AB BC 30 2 60,AC

128.ABCP

Ответ: 128



В. В. Шлыков. – 3-е изд., перераб. – Минск : Нар.

асвета, 2011. – 166 с. : ил. (Гл. 3, § 3, с. 122–123)

____________________________


____________________________









Арксинус и арккосинус

числа

В8. Вычислите 12 13π

arcsin sinπ 6

Применение определения арксинуса числа.

Решение:

Пусть 1;1 .b Арксинусом числа b

называется угол α такой, что sinα b и

π πα .

2 2 Из этого определения следует,

что если ; ,2 2

то arcsin sin .

12 13π 12 13πarcsin sin arcsin sin

π 6 π 6

12 π 12 πarcsin sin 2 arcsin sin

π 6 π 6

12 π2.

π 6

Ответ: 2





408 с. : ил. (П. 13, с. 173, с. 175, с. 179–181);




пересмотр. и испр. – Минск : Народная асвета, 2013. –

271 с. : ил. (Гл. 2, п. 2.6, с. 107–114)


их свойства/

Параллельность плоскостей

В9. Плоскости α и β параллельны. Из точки ,A

лежащей в плоскости α, проведены прямые,

пересекающие плоскость β в точках B и ,C

7, 14.AB AC Через точку C проведена прямая,

параллельная прямой AB и пересекающая

плоскость α в точке ,D 11.AD Найдите длину

отрезка BD

Применение свойств параллельных

плоскостей и теоремы косинусов.

Решение:


α

β

B

A D

C

Прямые AB и AC задают плоскость





408 с. : ил. (П. 10, с. 124–136);





____________________________


____________________________








.ABC Так как α β и α ,ABC AD

β ,ABC BC то .AD BC По условию

,AB CD тогда четырехугольник ABCD –

параллелограмм, у которого 7,AB CD

11AD BC (см. рис. 1).

A

B

D

C

7

11

Рисунок 1

В треугольнике ABC по теореме

косинусов найдем cos :B 2 2 2

2 2 2

2 cos ;

14 7 11 2 7 11 cos ;

49 121 196 13cos , cos .

2 7 11 77

AC AB BC AB BC B

B

B B

По свойству углов параллелограмма

180 ,A B тогда

13

cos cos 180 cos .77

A B B

По теореме косинусов в треугольнике

BAD найдем длину отрезка :BD 2 2 2

2 2 2

2 cos ;

137 11 2 7 11 ;

77

BD AB AD AB AD A

BD

____________________________


____________________________








2

2

49 121 26;

144;

12.

BD

BD

BD

Ответ: 12


Текстовая задача на

совместную работу

В10. Первой трубе для наполнения бассейна нужно

на 3 ч больше, чем второй. После того как первая

труба проработала 9 ч, включили вторую трубу.

Вместе они за 7 ч наполнили бассейн. За сколько

часов может наполнить бассейн труба большей

мощности, работая отдельно?

Решение текстовой задачи.

Решение:

Поскольку второй трубе необходимо

меньше времени для наполнения бассейна,

то ее мощность бо льшая. Пусть вторая

труба (большей мощности) наполняет

бассейн за x ч, тогда первая труба – за

3x ч. Производительность второй

трубы равна 1

,x

первой – 1

.3x

По

условию задачи составим и решим

уравнение:

1 1 19 7 1;

3 3

16 71;

3

x x x

x x

2

2

20 210;

3

20 21 0, 0, 3.

x x

x x

x x x x

Корнями квадратного уравнения 2 20 21 0x x являются числа 21 и 1,

из которых 1 не подходит по условию

задачи. Значит, второй трубе (большей

мощности) для наполнения бассейна

необходим 21 ч.

Ответ: 21






с. 205–209);

Математика : учеб. пособие для 5-го кл.


обучения : в 2 ч. / Е. П. Кузнецова [и др.] ; под ред.

Л. Б. Шнепермана. – 2-е изд., пересм. и доп. –

Минск : Нац. ин-т образования, 2013. – Ч. 2. –

256 с. : ил. (Гл. 9, п. 9.7, с. 182–185);





ил. (Гл. 5, п. 5.4, с. 187–191)

____________________________


____________________________








Выражения и их

преобразования/

Тождественные

преобразования

выражений, содержащих

квадратный корень

В11. Упростите выражение

1 1 1 0,012

:46 252 9 9 16 16 23

a aa a a a a a

Тождественные преобразования

иррациональных выражений.

Решение:

Преобразуем сумму, стоящую в скобках

данного выражения:

1 1 1

2 9 9 16 16 23

1 1 1 1 1 1

7 7 7 7 7 7

2 9 9 16 16 23

1 1 123 2

37 7 7 .2 23 25 462 23

a a a a a a

a a a a a a

a a

a a a aa a

Выполним деление:

3 0,012 3 3000: 250.

0,012 1225 46 46 25a a a a

Ответ: 250






с. 130–136);





ил. (Гл. 4, п. 4.7, с. 146–157)


их свойства/ Объем

пирамиды

В12. 1 1 1 1ABCDA B C D – прямоугольный

параллелепипед, объем которого равен 385. Точка

M лежит на ребре 1 1A D так, что 1 1: 2 :1.A M MD

Отрезки AM и 1A D пересекаются в точке .K

Найдите объем пирамиды ,SAKD если 1S B D и

1 : 3: 4B S SD

Задание на нахождение объемов тел и их

частей.

Решение:


A

B C

D

1A

1B1C

1DM

K

N

S

Пусть ,AD a ,DC b 1 .DD c





асвета, 2013. – 462 с. : ил. (П. 9, с. 119–129);



В. В. Шлыков. – 3-е изд., испр. и доп. – Минск : Нар.

асвета, 2013. – 159 с. : ил. (Гл. 2, § 4, с. 81–92)

____________________________


____________________________








Треугольник ,AKD основание треугольной

пирамиды ,SAKD лежит в плоскости грани

1 1AA D D прямоугольного параллелепипеда

1 1 1 1,ABCDA B C D поэтому высота пирамиды

SN перпендикулярна этой грани и

1 1.SN B A По условию вершина пирамиды

S принадлежит диагонали 1 ,B D тогда

основание высоты (точка N ) принадлежит

диагонали 1 .A D Из подобия треугольников

SDN и 1 1B DA следует:

1 1 1

,SN DS

B A DB

1

1

4

7 ,

DBSN

b DB

4.

7SN b

Рассмотрим грань 1 1AA D D

прямоугольного параллелепипеда.

A

1A 1D

D

M

K

x

c x

a

c

2

3a

1

3a

Из подобия треугольников 1A KM и DKA

следует:

2

3 ,

ac x

a x

21,

3

c

x

3.

5x c

Площадь треугольника AKD равна

____________________________


____________________________








1 3 3, .

2 5 10AKD AKDS a c S ac Найдем

объем пирамиды .SAKD 1

,3

AKDV S SN

1 3 4,

3 10 7V ac b

2,

35V abc

2385,

35V

22.V

Ответ: 22

РТ - Подготовка к ЦТ ... · pdf file7 75 5 27 :2 7 5 3 5 3 3 :2. 22 35 3 15 3...

Documents