ДОВІДНИК

з геометрії

для учнів 7-9 класів

СІВЕРСЬК 2012

ДОВІДНИК

з геометрії для учнів 7-9 класів, а також для всіх абітурієнтів, що мріють стати студентами

Видання 3-тє, виправлене та доповнене

Довідник є продовженням авторської серії довідників зі шкільної математики: «Пам’яток» для учнів 5-6 класів та «Довідників» з алгебри для учнів 7-9 класів, "Vista", 2004 – 12

Усі права зберігаються. З питань комерційного розповсюдження звертатися до автора.

Євген Павлович Скиба: +38095-319-95-18www . abx . at . ua Е-mail: abxabx@email.ua

© Видавництво "Vista", 2012

2

I. Аксіоми геометріїАксіоми (належності точок і прямих)

А В С

A a, B a b – єдина

Аксіоми (розміщення)

A B C

B – між A та С

AB перетинає аCD не перетинає а

Аксіоми (вимірювання)

3

D ba

a

D

СA

B

a

C O D

а

сb

no

A

B A a B

AC=AB+BC

A B С

COD – розгорнутий

ABC= no>0AB=a>0

C

Аксіоми (відкладання)

О А

ОА = m – єдиний – єдиний

Аксіома (паралельних)

II. Кути

Радіанна міра α Градусна міра no

Суміжні кутиВластивість

Вертикальні кути Властивість

4

m

b

a

C

A Bn

b – єдина

С

А B D

1 2

ОB

a

b

A

Перпендикуляр (відстань від точки до прямої)

AB – єдиний перпендикуляр

ІІІ. Паралельність прямих

Якщо a||b, b||c, то a||c

Ознаки паралельності прямих

1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо

то a||b

Властивості паралельних прямих

Якщо a||b, то (див. малюнки) (різносторонні) (односторонні) (відповідні)

ІV. Трикутник

Нерівність трикутника a b a < b + c b < a + b c c < a + b

5

B

A

a

ba

с

Властивість

ab 1

2ab

21

ab

2

1

Елементи трикутника

висота бісектриса медіана

Властивість суми кутів трикутника

Властивість зовнішнього кута

Ознаки рівності трикутників 1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо

то

Середня лінія трикутникаВластивості

6

С

H

С

K

С

M

A B D

CC

С

A B

С1

A1

Фигеометричних і кутів Иикутника з кутом B1

E

С

А B

D

Рівнобедрений трикутник (AB=BC) Властивості Ознаки

Якщо - 1) Якщо , то рівнобедрений, то – рівнобедрений1) 2) Якщо BD – медіана і

бісектриса (або бісект-2) BD – медіана, риса і висота, висота бісектриса, і медіана), то - висота. рівнобедрений.

Прямокутний трикутник ( )

7

B

A CDC

катет

A B к а т е т

г і п о т е н у з а

Ознаки рівності

1) за двома катетами2) за гіпотенузою і катетом3) за гіпотенузою і гострим кутом

4-5) за катетом і гострим кутом (прилеглим; протилежним)

А

х

С

2х

B30

Властивість прямокутного трикутника з кутом

Ознака кута 30 o в прямокутному трикутнику

Якщо , то

Властивість медіани прямокутного трикутника

Співвідношення сторін і кутів ( Теорема Піфагора )

Таблиця значень тригонометричних функцій

0 1 0

123 0 - - - -1

0 1 – - -1 - 0

8

А

С B

М

ас

b

– 1 0 - -1 - –

Основні тригонометричні тотожності

9

Подібність трикутників

означає

;

Ознаки подібності

1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо

то

Подібність прямокутних трикутників

Теорема косинусів

10

А С

C1

B B1

A1

A B

С

A1 B1

С1

C

D B A

a с

b

Теорема синусів

Властивість бісектриси трикутника

Теорема Фалеса

Якщо a||b||c і AB=BC,то A1B1=B1C1

Узагальнена теорема Фалеса

Якщо a||b||c, то

Відношення площ подібних фігур

а а1 Якщо то

V. ЧотирикутникиПаралелограм ( AB||C D , AD || BC )

11

a

R

B

CDA

a b c

C1B1A1

CBA

a b c

C1B1A1

C A

Властивості Ознаки1) 1) Якщо

2) AB=CD, AB||DC, то ABCD – паралелограм.

2) Якщо3)

AO=OC, DO=OB,4) то ABCD – паралелограм.

Прямокутник ( AB||C D , AD || BC , А=90° )

Властивості Ознака1), 2), 3) вище 1) Якщо ABCD – паралелограм4)* та AС=BD

AC=BD то ABCD – прямокутник

12

B A

D C

A

D C

B O

D A

B C

A

C D

B A

C D

B

Ромб ( AB||C D , AD || BC , AB = BC = CD = AD )

Властивості Ознака1), 2), 3) вище Якщо ABCD – паралело-4)** грам та , BD – бісектриса то ABCD – ромб.

Квадрат ( AB||C D , AD || BC , AB = BC = CD = AD , А=90° )) Властивості Ознака

1), 2), 3), 4)*, 4)** вище Якщо ABCD – ромб і AC=BD, то ABCD – квадрат

Трапеція (BС||AD)Властивості середньої лінії

EF||AD,

Рівнобічна трапеція (AB=CD)Властивість

13

D

C

B

A

D

A B

С

B C

E F

A D

B C

A D

VI. КолоВластивості радіуса і хорди

1) Якщо

2) Якщо

Властивості дотичної

1) 2)

Описане коло (трикутник) Вписане коло

Центр – точка перетину Центр – точка серединних перпендикулярів перетину бісектрис

ТРИКУТНИК ЦЕНТРгострокутний всерединіпрямокутний на гіпотенузітупокутний поза трикутником

14

C B

DO

E

O

А

B

C

OO

Описане коло (чотирикутник) Вписане коло

Властивості1) AB+CD=BC+AD2) Якщо ABCD – трапеція, то AB=CD

Вписані і центральні кути Властивість Пропорційність відрізків

Довжина кола

Довжина дуги

15

C1

B A

O

C

B

D C S

A

O B A

C

B A P

D

C

B

A

C

D

B

A

D

C

Якщо AB – діаметр, то

VII. Многокутники (n-кутники)

Сума внутрішніх кутів 180o(n-2) Сума зовнішніх кутів 360o

Правильні многокутникиКількість

кутівЗалежність а від R Залежність а від r

n

3

4

6

VIII. Координати

Відстань між точками

Координати середини відрізка

16

А(x1;y1)

C(x;y)

B(x2;y2)

Рівняння кола(x-xo)2+(y-yo)2=R2

Рівняння кола з центром O(0;0)x2+y2=R2

Рівняння прямоїax+by+c=0

Рівняння прямої, що проходитьчерез точки А(x1;y1) та В(x2;y2)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтомy=kx+b,

k=tg – кутовий коефіцієнт

Часткові випадкиx = a рівняння прямої || Oy, що проходить

через точку (а;0)

y = b рівняння прямої || Ox, що проходитьчерез точку (0;b)

IX. Вектори

Координати вектора

17

O(xo;yo)

R

y

x O

a B(x2;y2)

А(x1;y1)

Довжина вектора (a1;a2)

Додавання векторів

Віднімання векторів

Множення вектора на число

Вектори колінеарні, якщо

Скалярний добуток векторів

18

ba

c

правило трикутника

c

b

a

правило паралелограма

a

b

c

a0, kak

0, kak

або

Властивість і ознака перпендикулярності векторів

19

Х. Площі фігур

20

a d

b

a

b ha

d2 d1

d2

d1

a

a

h

d1 d2

a

b

a

c b ha

h

a d

Правильні многокутники (n кутів)

21

b

a

a

R

R r

a n

nRS

rPS

360sin

2

12

1

2

b

a