คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

บทท่ี 7 การนับ (Counting)

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

2

ภาพรวมของเน้ือหา• ทฤษฎีการนับ– กฎการบวก– กฎการคณู

• หลักรงันกพริาบ (Pigeonhole Principle)

• วธิเีรยีงสบัเปล่ียน (Permutation)• วธิจีดัหมู ่(Combination)

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

3

การนับ (Counting)• จงบอกจำานวนนับของรายการต่อไปนี้– มก่ีีจำานวนจากจำานวนเต็ม 5 ถึง 125 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8ดังนัน้ จำานวนเต็ม 5 ถึง 12 มทัีง้สิน้ 8 จำานวน– ถ้า m เป็นจำานวนเต็ม มทัีง้สิน้ก่ีจำานวนจาก m ถึง m

+ 5m m+1m+2m+3m+4m+5

1 2 3 4 5 6ดังนัน้ จำานวนเต็มจาก m ถึง m+5 มทัีง้สิน้ 6 จำานวน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

4

ทฤษฎีบท• ถ้า m และ n เป็นจำานวนเต็ม และ m <= n แล้ว– จะมจีำานวนสมาชกิระหวา่งเลข 2 จำานวนน้ี (m ถึง n)

เท่ากับ n – m + 1 จำานวน• เชน่ จงหาวา่เลขจำานวนเต็ม 3 หลักจาก 100 ถึง

999 มทัีง้หมดก่ีจำานวนm = 100n = 999

ดังนัน้ จำานวนสมาชกิ = 999 – 100 + 1 = 900

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

5

ตัวอยา่งจงหาวา่จำานวนเต็ม 3 หลักจาก 100 ถึง 999 มก่ีีจำานวนท่ีหารด้วย 5 ลงตัววธิทีำา เขยีนเลขจำานวนเต็ม 100 – 999 ท่ีหารด้วย 5 ลงตัว ได้ดังน้ี 100 105 110 ... 985 990 9951 2 35 * 20 5*21 5*22 5*199เสมอืนวา่ เรากำาลังหาวา่เลข 20 – 199 มก่ีีจำานวนนัน่คือ = 199 – 20 + 1 = 180 จำานวน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

6

ตัวอยา่งถ้าจำานวนเต็มชุดนึงม ี32 จำานวน โดยค่าตัวเลขท่ีสงูสดุคือ 185 จงหาวา่จำานวนน้อยทีสดุคือเลขใดวธิทีำา จากทฤษฎีบท จำานวนขอ้มูล = n – m + 1แทนค่า 32 = 185 – m + 1

32 = 186 – mm = 186 – 32

= 154ดังนัน้ 154 คือ ตัวเลขท่ีน้อยท่ีสดุของขอ้มูลชุดน้ี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

7

กิจกรรมจากตัวอยา่งในหน้าท่ีแล้ว ตัวเลขลำาดับท่ี 20 ของขอ้มูลชุดดังกล่าวคือเลขอะไรวธิทีำา เนื่องจากจำานวนแรกของขอ้มูลคือ 154 (m)จะหาขอ้มูลตัวท่ี 20 เปรยีบเหมอืนหาค่าของ nแทนค่าตามทฤษฎีบทจะได้ n – 154 + 1 = 20

n – 153 = 20n = 20 + 153 = 173

ดังนัน้ จำานวนท่ี 20 ในขอ้มูลตัวเลขชุดน้ีคือ 173

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

8

ทฤษฎีการนับ

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

9

ทฤษฎีการนับ1 .กฎการบวกทฤษฎีบท

งานอยา่งท่ี 1 มวีธิทีำาได้ n1 วธิีงานอยา่งท่ี 2 มวีธิทีำาได้ n2 วธิี...งานอยา่งท่ี k มวีธิทีำาได้ nk วธิีถ้าต้องการเลือกทำางานเพยีง 1 งานจากงานทัง้หมดท่ีมีจำานวนวธิท่ีีจะเลือกได้เท่ากับ n1 + n2 + ... + nk วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

10

ตัวอยา่งโจทย ์นิสติคณะวทิยาการสารสนเทศ มจีำานวนนิสติใน–สาขาวชิา CS จำานวน 137 คน –สาขาวชิา IT จำานวน 140 คน –สาขาวชิา SE จำานวน 63 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนนิสติ 1 คนจากคณะน้ี จะมวีธิี

เลือกได้ก่ีวธิีวธิทีำา จำานวนวธิใีนการเลือกตัวแทนนิสติเท่ากับ 137 +

140 + 63= 340

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

11

ทฤษฎีการนับ 22 .กฎการคณูทฤษฎีบท

ถ้างานอยา่งหน่ึงมวีธิเีลือกทำาได้ n1 วธิีในวธิท่ีีเลือกทำางานอยา่งแรก มวีธิเีลือกทำางานอยา่งท่ี 2 ได้ n2 วธิีในวธิท่ีีเลือกทำางานอยา่งแรก และอยา่งท่ี 2 มวีธิเีลือกทำางานอยา่งท่ี 3 ได้ n3 วธิี

...จำานวนวธิทัีง้หมดท่ีเลือกทำางาน k อยา่งเท่ากับ n1 x n2 x n3 x … nk

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

12

ตัวอยา่งโจทย ์ต้องการสรา้งสตรงิท่ีมคีวามยาว 7 บติโดยแต่ละบติมค่ีาที่เป็นไปได้คือ 0 และ 1 จงหาวา่จะมวีธิสีรา้งสตรงิได้ก่ีวธิีวธิทีำา จำานวนวธิใีนการสรา้งบติที่ 1 = 2

จำานวนวธิใีนการสรา้งบติที่ 2 = 2 จำานวนวธิใีนการสรา้งบติที่ 3 = 2… จำานวนวธิใีนการสรา้งบติที่ 7 = 2

ดังนัน้จำานวนวธิใีนการสรา้งสตรงิน้ีคือ 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 27

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

13

กิจกรรมท่ี 11 .โรงอาหารแหง่หน่ึงมอีาหาร 4 ชนิด และ เครื่อง

ดื่ม 3 ชนิด จงหาวธิทีี่นิสติจะซื้ออาหารพรอ้มเครื่องดื่มอยา่งละชนิด

2. การเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง B มเีสน้ทาง 4 เสน้ จากเมอืง B ไปเมอืง C ม ี3 เสน้ทาง และ จากเมอืง A ไปเมอืง C ทัง้หมด 2 เสน้ทาง จงหาวา่

1 .มกีี่วธิท่ีีจะเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง C โดยผ่านเมอืง B ด้วย

2. มกีี่วธิท่ีีจะเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง C

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

14

วธิทีำา• โรงอาหารแหง่หน่ึงมอีาหาร 4 ชนิด และ เครื่อง

ดื่ม 3 ชนิด จงหาวธิท่ีีนิสติจะซื้ออาหารพรอ้มเครื่องดื่มอยา่งละชนิด

มวีธิใีนการเลือกซื้ออาหาร 4 วธิีแต่ละวธิทีี่ซื้ออาหารมวีธิใีนการเลือกซื้อเครื่องดื่ม

3 วธิีดังนัน้ จำานวนวธิท่ีีจะซื้ออาหารพรอ้มเครื่องดื่ม = 4 x 3 = 12 วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

15

วธิทีำาการเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง B มเีสน้ทาง 4 เสน้ จากเมอืง B ไปเมอืง C ม ี3 เสน้ทาง และ จากเมอืง A ไปเมอืง C ทัง้หมด 2 เสน้ทาง จงหาวา่ – มกีี่วธิท่ีีจะเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง C โดยผ่านเมอืง B ด้วย

วธิเีดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง B ม ี 4 วธิีแต่ละวธิดีังกล่าวสามารถเดินทางจาก B ไป C ได้อีก 3 วธิีดังนัน้ จำานวนวธิเีดินทางจาก A ไป C = 4 x 3 = 12 วธิี

– มกีี่วธิท่ีีจะเดินทางจากเมอืง A ไปเมอืง Cวธิเีดินทางจากเมอืง A ไป C โดยผ่านเมอืง B ม ี12 วธิีวธิเีดินทางจากเมอืง A ไป C โดยไมผ่่านเมอืง B ม ี2 วธิีดังนัน้ จำานวนวธิท่ีีเป็นไปได้ = 12 + 2 = 14 วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

16

หลักรงันกพริาบ

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

17

หลักรงันกพริาบ (Pigeonhole Principle)

ทฤษฎีบท ถ้าต้องการจดันกพริาบ n ตัว ไปยงัรงันก m รงั โดยที่ n > m (จำานวนนกมากกวา่จำานวนรงันก) อยา่งน้อยต้องม ี1 รงัที่มนีกอยู ่2 ตัว

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

18

ตัวอยา่ง• มคีนอยู ่6 คน จำาเป็นหรอืไมท่ี่จะต้องมอียา่งน้อย

2 คนเกิดในเดือนเดียวกันตอบ ไมจ่ำาเป็น เพราะจำานวนคน (6) น้อยกวา่จำานวนเดือน (12)

• ถ้ามคีนอยู ่13 คน จำาเป็นหรอืไมท่ี่จะต้องมอียา่งน้อย 2 คน เกิดในเดือนเดียวกันตอบ จำาเป็น เพราะ จำานวนคน (13) มากกวา่จำานวนเดือน (12)

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

19

กิจกรรมท่ี 21 .จะต้องมเีด็กนักเรยีนก่ีคน จงึจะทำาใหม้เีด็กอยา่ง

น้อย 2 คน ที่ได้คะแนนเท่ากัน สมมุติคะแนนสอบท่ีเป็นไปได้อยูใ่นชว่ง 0 – 100 คะแนน

2 .จะต้องมนีิสติท่ีเรยีนวชิานี้อยา่งน้อยก่ีคน จงึจะทำาใหม้นิีสติอยา่งน้อย 6 คนที่ได้เกรดเดียวกัน ถ้ากำาหนดเกรดท่ีเป็นไปได้คือ A, B, C, D และ F

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

20

วธิทีำาจะต้องมเีด็กนักเรยีนก่ีคน จงึจะทำาใหม้เีด็กอยา่งน้อย 2 คน ที่ได้คะแนนเท่ากัน สมมุติคะแนนสอบที่เป็นไปได้อยูใ่นชว่ง 0 – 100 คะแนน

ค่าของคะแนนท่ีเป็นไปได้ม ี101 ค่าดังนัน้ จำานวนเด็กที่จะได้คะแนนซำ้ากันสองคน คือ 102 คน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

21

วธิทีำาจะต้องมนีิสติท่ีเรยีนวชิานี้อยา่งน้อยก่ีคน จงึจะทำาให้มนีิสติอยา่งน้อย 6 คนที่ได้เกรดเดียวกัน ถ้ากำาหนดเกรดที่เป็นไปได้คือ A, B, C, D และ F

จำานวนเกรดที่เป็นไปได้ม ี5 ค่ากรณีที่ทกุเกรดมเีด็กได้เกรดนัน้ 5 คน = 5 x

5 = 25ดังนัน้ จะต้องมเีด็ก 26 คน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

22

บทขยายของหลักรงันกพริาบ• ถ้ามขีองอยู ่n สิง่ จะใสล่งไปใน m กล่อง โดยที่

จำานวนสิง่ของมมีากกวา่จำานวนกล่อง จะได้วา่มีบางกล่องท่ีบรรจุของอยูอ่ยา่งน้อย n/m

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

23

ตัวอยา่ง• ใหพ้จิารณาตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวแรกท่ีนำาหน้าชื่อของคน

86 คน มบีางตัวอักษรหรอืไมท่ี่ถกูใชซ้ำ้ากันอยา่งน้อย 4 คนวธิทีำา ตัวอักษรภาษาอังกฤษมทัีง้หมด 26 ตัว

จำานวนคนท่ีพจิารณามี 86 คนจำานวนคน มากกวา่ จำานวนตัวอักษร ดังนัน้จะมตัีวอักษรบางตัวท่ีถกูใชอ้ยา่งน้อย 86/26 = 3.31= 4

ดังนัน้ คำากล่าวขา้งต้นเป็นจรงิ นัน่คือ มตัีวอักษรบางตัวถกูใช้ซำ้ากัน 4 คน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

24

กิจกรรมท่ี 31 .ในล้ินชกัใบหนึ่งบรรจุถงุเท้าสดีำา 10 ขา้ง และ สี

ขาว 10 ขา้ง ใหน้าย ก. หลับตาเพื่อสุม่หยบิถงุเท้าออกมา จงหาจำานวนถงุเท้าท่ีน้อยที่สดุที่หยบิออกมาแล้วได้ถงุเท้าครบคู่ที่มสีเีดียวกัน

2 .ให ้A = {1,2,3,4,5,6,7,8}– ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จำาเป็นหรอืไม่

วา่จะต้องมอียา่งน้อย 1 คู่ท่ีมผีลรวมเป็น 9– ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำาเป็นหรอืไม่

วา่จะต้องมอียา่งน้อย 1 คู่ท่ีมผีลรวมเป็น 9

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

25

วธิทีำาในล้ินชกัใบหนึ่งบรรจุถงุเท้าสดีำา 10 ขา้ง และ สขีาว 10 ขา้ง ใหน้าย ก. หลับตาเพื่อสุม่หยบิถงุเท้าออกมา จงหาจำานวนถงุเท้าท่ีน้อยที่สดุที่หยบิออกมาแล้วได้ถงุเท้าครบคู่ท่ีมสีเีดียวกันตอบ 3 ครัง้

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

26

วธิทีำาให ้A = {1,2,3,4,5,6,7,8}– ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จำาเป็นหรอืไม่

วา่จะต้องมอียา่งน้อย 1 คู่ท่ีมผีลรวมเป็น 9ตอบ จำาเป็น เพราะจากชุดตัวเลขท่ีใหม้า สามารถจบัคู่ตัวเลขท่ีรวมกันได้ 9 ดังนี้1 + 8 , 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5 ได้ 4 คู่พอดี ดังนัน้ ตัวเลขท่ี 5 จะตรงกับคู่ใดคู่หนึ่ง– ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำาเป็นหรอืไม่

วา่จะต้องมอียา่งน้อย 1 คู่ท่ีมผีลรวมเป็น 9ตอบ ไมจ่ำาเป็น

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

27

วธิเีรยีงสบัเปล่ียน (PERMUTATION)

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

28

วธิเีรยีงสบัเปลี่ยน (Permutation)

คือ การจดัลำาดับหรอืเรยีงลำาดับของบางสิง่หรอืทกุสิง่จากจำานวนสิง่ของทัง้หมด โดยคำานึงถึงลำาดับด้วยทฤษฎีบท1 จำานวนวธิจีดัลำาดับของ n สิง่ท่ีแตกต่าง

กัน โดยจดัครัง้ละ n คือ n!โดยที่ n! คือ ผลคณูของเลขจำานวนเต็มบวกตัง้แต่ n

ถึง 1นัน้คือ n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

29

ตัวอยา่ง• มตัีวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ต้องการนำาตัว

อักษร 3 ตัวนี้มาเรยีงต่อกันเป็นขอ้ความ จะทำาได้ก่ีวธิีวธิทีำา ตัวอักษร 3 ตัวจะมวีธิเีรยีงได้ 3! วธิี

นัน้คือ มจีำานวนเท่ากับ 3 x 2 x 1 = 6 วธิ ี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

30

กิจกรรมท่ี 4 • จากตัวอักษรคำาวา่ COMPUTER – สามารถนำามาจดัเรยีงใหมไ่ด้ก่ีแบบ– ถ้ากำาหนดวา่ตัวอักษร CO ต้องอยูติ่ดกันเสมอ จะจดั

เรยีงได้ก่ีแบบ– จงหาจำานวนวธิจีดัเรยีงท่ีตัวอักษร CO ไมอ่ยูติ่ดกัน

เสมอ

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

31

วธิทีำา• จากตัวอักษรคำาวา่ COMPUTER – สามารถนำามาจดัเรยีงใหมไ่ด้ก่ีแบบ

ตอบ 8!– ถ้ากำาหนดวา่ตัวอักษร CO ต้องอยูติ่ดกันเสมอ จะจดัเรยีงได้

ก่ีแบบตอบ 7!

– จงหาจำานวนวธิจีดัเรยีงท่ีตัวอักษร CO ไมอ่ยูติ่ดกันเสมอจำานวนวธิกีารจดัเรยีงทัง้หมด = 8!จำานวนวธิท่ีีเรยีงโดย CO ติดกัน = 7!ดังนัน้ จำานวนวธิท่ีี CO ไมอ่ยูติ่ดกัน = 8! – 7!

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

32

วธิเีรยีงสบัเปลี่ยน (Permutation) 2

ทฤษฎีบท 2 จำานวนวธิจีดัเรยีงของ n สิง่ที่แตกต่างกัน โดยนำามาจดัครัง้ละ r สิง่ เมื่อ r < n จะมวีธิีจดัได้ แทนด้วยสญัลักษณ์ nPr หรอื P(n,r)

ขอ้สงัเกต เราสามารถใชส้ตูรนี้ในการจดัของครัง้ละ n สิง่ได้เชน่เดียวกัน

นัน้คือ P(n,n) = = = n!

)!(!rnn

)!(!nnn

!0!n

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

33

ตัวอยา่ง• มตัีวอักษร 4 ตัวคือ a,b,c,d นำามาจดัคราวละ 2

ตัว ได้ทัง้หมดกี่วธิีวธิทีำา มขีอง 4 อยา่ง นำามาจดัคราวละ 2 อยา่ง จะได้

P(4,2)P(4,2) =

= = = 4 x 3= 12

)!24(!4

!2!4

121234

xxxx

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

34

กิจกรรมท่ี 51 .จากคำาวา่ BYTES– จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัเรยีงตัวอักษร 3 ตัวจากคำาน้ี– จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัเรยีงตัวอักษร 3 ตัวจากคำาน้ี

โดยกำาหนดวา่ต้องขึ้นต้นด้วย B2. มขีอ้สอบ 10 ขอ้ต้องการแจกใหน้ิสติ 8 คน

คนละ 1 ขอ้ จะแจกอยา่งไรเพื่อให้– นิสติแต่ละคนได้ขอ้สอบไมซ่ำ้ากัน– นิสติแต่ละคนทำาขอ้สอบขอ้เดียวกันได้

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

35

วธิทีำาจากคำาวา่ BYTES– จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัเรยีงตัวอักษร 3 ตัวจากคำาน้ีตอบ P(5,3) = 5! / 2!– จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัเรยีงตัวอักษร 3 ตัวจากคำาน้ี

โดยกำาหนดวา่ต้องขึ้นต้นด้วย Bตอบ P(4,2) = 4! / 2!

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

36

วธิทีำามขีอ้สอบ 10 ขอ้ต้องการแจกใหนิ้สติ 8 คน คนละ 1 ขอ้ จะแจกอยา่งไรเพื่อให้– นิสติแต่ละคนได้ขอ้สอบไมซ่ำ้ากันตอบ P(10,8) = 10! / 2!– นิสติแต่ละคนทำาขอ้สอบขอ้เดียวกันได้ตอบ 108

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

37

ทฤษฎีบท 3 จำานวนวธิใีนการจดัลำาดับของครัง้ละ r สิง่ จากของทัง้หมด n สิง่ โดยอนุญาติใหซ้ำ้ากันได้ จะมวีธิจีดัเรยีงทัง้หมด nr

ตัวอยา่ง มขีอ้สอบ 10 ขอ้ต้องการแจกใหน้ิสติ 8 คน คนละ 1 ขอ้ จะแจกอยา่งไร ถ้านิสติแต่ละคนทำาขอ้สอบขอ้เดียวกันได้วธิทีำา ขอ้สอบม ี10 ขอ้ แจกใหเ้ด็ก 8 คน ดังนัน้

จะมวีธิใีนการแจกขอ้สอบ = 108

= 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

วธิเีรยีงสบัเปล่ียน (Permutation) 3

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

38

วธิเีรยีงสบัเปลี่ยนเป็นวงกลมทฤษฎีบท จำานวนวธิใีนการจดัของ n สิง่ท่ีแตกต่างกัน เป็น

วงกลม คือ (n-1)!

ตัวอยา่ง จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัคน 4 คนนัง่รอบโต๊ะกลมวธิทีำา จำานวนวธิท่ีีจดัของเป็นวงกลมคือ (n-1)!

ในท่ีน้ีมเีด็ก 4 คน ดังนัน้ จะได้จำานวนวธิ ี = (4-1)!= 3!= 3 x 2 x 1= 6

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

39

กิจกรรมท่ี 61 .จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัหญิง 4 คน และ ชาย 4

คนใหน้ัง่รอบโต๊ะกลม2. จากขอ้ 1 มกีี่วธิท่ีีชายและหญิงจะนัง่สลับท่ีกัน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

40

วธิทีำา1 .จงหาจำานวนวธิท่ีีจะจดัหญิง 4 คน และ ชาย 4

คนใหน้ัง่รอบโต๊ะกลมตอบ 7!2 .จากขอ้ 1 มกีี่วธิท่ีีชายและหญิงจะนัง่สลับท่ีกันตอบ 3! 4!

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

41

วธิเีรยีงสบัเปลี่ยนของ n สิง่ท่ีไม่แตกต่างกันทั้งหมด

ทฤษฎีบท การจดัลำาดับของ n สิง่ ซึ่งม ีn1 สิง่ที่เหมอืนกันn2 สิง่ที่เหมอืนกัน

... nk สิง่ท่ีเหมอืนกันจะได้จำานวนวธิจีดัเท่ากับ !!...!!

!

321 nnnn k

n

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

42

ตัวอยา่งการจดัลำาดับตัวอักษร 3 ตัว x , y , z โดยจดัทีละ 3 ตัวจะได้จำานวน

6 วธิ ีคือx y z y x z z x yx z y y z x z y x

ถ้าในกลุ่มของสิง่เหล่านี้ มบีางสิง่เหมอืนกันเชน่ y และ z เหมอืนกัน การจดัรูปแบบจะเหลือแค่ 3 แบบ (แทน y และ z ด้วย w)

x w w w x w w x wx w w w w x w w x

สาเหตเุพราะ การสลับท่ีของของท่ีซำ้ากัน ไมถื่อเป็นวธิใีหม่นัน่คือ วธิกีารจดัลำาดับตัวอักษรนี้คำานวณได้จาก 3! / 2! = 6/2 =

3

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

43

กิจกรรมท่ี 7• จากคำาวา่ INTELLIGENCE– สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิี– สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิ ีถ้าคำา

เหล่านัน้ต้องเริม่ต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G– สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิ ีถ้า

กำาหนดวา่ INT ต้องอยูติ่ดกัน และ IG ต้องอยูติ่ดกัน

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

44

วธิทีำา• จากคำาวา่ INTELLIGENCE– สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิีตอบ 12! / 2! 2! 3! 2! – สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิ ีถ้าคำา

เหล่านัน้ต้องเริม่ต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว Gตอบ 10! / 2! 2! 3! 2! – สามารถจดัคำาๆน้ีได้เป็นขอ้ความต่างๆ ได้ก่ีวธิ ีถ้า

กำาหนดวา่ INT ต้องอยูติ่ดกัน และ IG ต้องอยูติ่ดกันตอบ 9! / 3! 2!

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

45

วธิจีดัหมู ่(COMBINATION)

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

46

วธิจีดัหมู ่(Combination)คือ การจดักลุ่มสิง่ของในเซต หรอืการหาสบัเซตใดๆของเซตที่กำาหนด โดยไมค่ำานึงถึงลำาดับภายในสบัเซตนัน้ตัวอยา่ง มตัีวอักษร 3 ตัว คือ a,b,c ต้องการจดักลุ่มตัวอักษร กลุ่มละ 2 ตัวได้ก่ีวธิีวธิทีำา จดัได้ 3 วธิคืีอ {a,b} , {a,c} , {b,c}

ขอ้สงัเกต เมื่อไมค่ำานึงถึงลำาดับ {a,b} กับ {b,a} ถือเป็นกลุ่มเดียวกัน นับเป็นแค่ 1 วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

47

วธิจีดัหมู ่(Combination)ทฤษฎีบท จำานวนวธิจีดัหมูข่องของ n สิง่ที่แตกต่างกัน โดยนำามาจดัทีละ r สิง่ คือ แทนด้วยสญัลักษณ์ nCr หรอื C(n,r)

บทขยาย จำานวนวธิจีดัหมูข่อง n สิง่ท่ีต่างกัน โดยจดัทีละ n-r สิง่ ก็จะเท่ากับการจดัทีละ r สิง่นัน้คือ C(n, n-r) = C(n,r) = เชน่ C(9 , 5) = C(9 , 4)

C(12 , 4) = C(12 , 8)

)!(!!rnr

n

)!(!!rnr

n

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

48

ตัวอยา่ง• มก่ีีวธิท่ีีจะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามภีรรยา 4

คู่– ถ้าทกุคนมโีอกาสได้รบัเลือกเท่าๆ กัน C(8,3) = 8! / 3!5! = 8 x 7 = 56– ถ้ากรรมการต้องประกอบด้วย หญิง 2 คน ชาย 1 คน

กรรมการหญิง 2 คน C(4,2) = 4! / 2!2! = 6กรรมการชาย 1 คน C(4,1) = 4! / 3! = 4ดังนัน้ มวีธิเีลือกได้ทัง้หมด 6 . 4 = 24

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

49

วธิจีดัหมู ่(Combination) 2ตัวอยา่ง มตีัวอักษร a และ b จงหาจำานวนวธิจีดัหมูใ่หเ้กิดเป็นขอ้ความท่ีม ี3 ตัวอักษร โดยอนุญาติใหใ้ชต้ัวอักษรซำ้ากันได้ ถ้าใชก้ารนับปกติจะได้ 4 แบบa a a(a หมด) b b b(b หมด) a a b(a 2 b 1) b b a (a 1 b 2)

หากจำานวนสิง่ของมากกวา่นี้ การนับเองอาจยุง่ยาก จงึมกีารสรา้งสตูรขึ้นมาโดยใชก้ารพจิารณาจาก จำานวนประเภทของสิง่ของ และ จำานวนสิง่ของท่ีต้องการจดัหมู่

ทฤษฎีบท 2 การจดัหมูข่องสิง่ของ r สิง่ โดยเลือกจากสิง่ของทัง้หมดท่ีแบง่ออกเป็น n กลุ่ม (หรอื n ประเภท) โดยซำ้ากันได้ ทำาได้ C(r+n-1 , r) วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

50

ตัวอยา่งท่ี 1จากกลุ่มตัวอักษร a, b ,c จงหาจำานวนวธิจีดัหมูใ่หไ้ด้ตัวอักษร 2 ตัว โดยสามารถใชตั้วอักษรซำ้าได้วธิทีำา แทนค่าตามสตูรในทฤษฎีบทท่ี 2 นัน่คือ C(r+n-1 , r) โดยท่ี r หรอื จำานวนสิง่ของท่ีต้องการจดัหมูคื่อ 2

n หรอื จำานวนประเภทของสิง่ของคือ 3ดังนัน้ แทนค่าจะได้เป็น C(2+3-1,2) = C(4,2)= 4!/2!2!= 2 x 3= 6 วธิี

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

51

ตัวอยา่ง 2ในหอ้งสมุดแหง่หนึ่ง มหีนังสอืท่ีนาย ก. สนใจอยู ่3 ประเภท คือ คอมพวิเตอร ์ฟสิกิส ์และ ประวติัศาสตร ์ถ้านาย ก. อยากยมืหนังสอืเหล่านี้ทัง้หมด 6 เล่มจะทำาได้กี่วธิ ีวธิทีำา นาย ก. ต้องการหนังสอื 6 เล่ม ( r )

จากหนังสอืทัง้หมด 3 ประเภท ( n )จากทฤษฎีบท 2 นาย ก. จะมวีธิเีลือกหนังสอืได้ C(3+6-1,6)= C(8,6)= 8!/6!2!= 8 x 7 x 6! / 6!2!= 28

คณะวทิยาการสารสนเทศ มหาวทิยาลัยบูรพา

52

สรุปสตูร

ประเภท ยอมให้ซำ้ากันได้ ?

สตูร

วธิเีรยีงสบัเปล่ียน

ไมไ่ด้ P(n,r) = n!/(n-r)!

วธิเีรยีงสบัเปล่ียน

ได้ nr

วธิจีดัหมู่ ไมไ่ด้ C(n,r) = n!/r!(n-r)!

วธิจีดัหมู่ ได้ C(r+n-1,r) = (r+n-1)! r!(n-r)!