รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 1 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

รหสวชา 39 คณตศาสตร

สอบวนเสารท 5 มกราคม 2556

เวลา 11.00 - 12.30 น.

ชอ - นามสกล ........................................................................................... เลขทนงสอบ ..........................................

สถานทสอบ .............................................................................................. หองสอบ ...............................................

เอกสารน สงวนลขสทธของสถาบนทดสอบทางการศกษาแหงชาต (องคการมหาชน)

การทาซาหรอดดแปลงหรอเผแแรรงานดงกลาว ะถถกดาเนนคดตามกหหมาแ

สถาบนฯ ะถแอแทาลาแขอสอบแลถกรถดาษคาตอบทงหมด หลงะากปรถกาศผลสอบแลว 3 เดอน

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 2 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

คาชแะง

แบบทดสอบนมวตถประสงคเพอวดความรความเขาใจในเนอหาวชาคณตศาสตร โดยจะน าผลทไดไปใชประกอบ

การพจารณาคดเลอกบคคลเขาศกษาในสถาบนอดมศกษาในระบบรบตรง ปการศกษา 2556

ลกษณถแบบทดสอบ แบบทดสอบฉบบนม 9 หนา แบงเปน 2 ตอน

ตอนท 1 แบบระบายตวเลขทเปนค าตอบ จ านวน 10 ขอ

ตอนท 2 แบบปรนย 5 ตวเลอก เลอก 1 ค าตอบทถกทสด จ านวน 20 ขอ

วธการตอบ ใหใชดนสอด า 2B ระบายในวงกลมทเปนค าตอบในกระดาษค าตอบ

เกณฑการใหคถแนน (คะแนนเตม 100 คะแนน)

ตอนท 1 ขอ 1 - 10 ขอละ 2 คะแนน

ตอนท 2 ขอ 11 - 30 ขอละ 4 คะแนน

ขอปฏบตในการสอบ 1. เขยนชอ-นามสกล เลขทนงสอบ สถานทสอบ และหองสอบ บนหนาปกแบบทดสอบ

2. ตรวจสอบชอ-นามสกล เลขทนงสอบ รหสวชาทสอบ เลขประจ าตวประชาชน 13 หลก ในกระดาษ

ค าตอบวาตรงกบตวผสอบหรอไม กรณทไมตรงใหแจงผคมสอบเพอขอกระดาษค าตอบส ารอง

แลวกรอก / ระบายใหถกตองสมบรณ

3. อานค าแนะน าวธการตอบขอสอบใหเขาใจ แลวตอบขอสอบดวยตนเองและไมเออใหผอนคดลอกค าตอบได

4. เมอสอบเสรจ ใหสอดกระดาษค าตอบไวในแบบทดสอบ

5. ไมอนญาตใหผเขาสอบออกจากหองสอบ กอนหมดเวลาสอบ

6. ไมอนญาตใหผคมสอบเปดอานขอสอบ

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 2 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

ตอนท 1 แบบรถบาแตวเลขทเปนคาตอบ ะานวน 10 ขอ

ขอลถ 2 คถแนน รวม 20 คถแนน

1. จ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการ ( 1)( 3)0

(2 1)

x x

x x

มทงหมดกจ านวน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

2. ก าหนดให 3 2( ) 2 12P x x ax bx เมอ a และ b เปนจ านวนจรง

ถา 2i เปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x แลว (1)P มคาเทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

3. ก าหนดให a และ b เปนความยาวดานตรงขามมม A และมม B ของรปสามเหลยม ABC ตามล าดบ

ถา 2 3b a และ ˆˆ 2B A แลว cos A มคาเทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

4. ถา 2 3u i j k และ 2 4v w i j k

แลวคาของ v u w เทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

5. ถา , ,x y z สอดคลองกบระบบสมการ

2 3

3

2 5 5

x y z a

x y b

x y z c

และ 1 2 3 1 2 3 9

1 3 0 0 1 3 5

2 5 5 0 0 1 2

a

b

c

แลว c มคาเทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

6. 7 5log 625 log 343 มคาเทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 3 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

7. ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

คะแนนสอบ ความถสะสม (คน) 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69

70 ขนไป

10 35 80

145 185 195 200

ถาสมเลอกนกเรยนมาหนงคนจากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทไดคะแนนสอบในชวง

50-59 คะแนน เทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

8. ตองการสรางจ านวนทม 7 หลก จากเลขโดด 7 ตว คอ 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 , 6

โดยใหเลข 3 สองตวอยตดกน จะสรางไดทงหมดกจ านวน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

9. ถา 3 2

2 2 3n

n na

n n

เมอ 1,2,3,n

แลว lim nn

a

มคาเทากบเทาใด (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

10. คาสงสดสมบรณของฟงกชน 3 2( ) 3 9 1f x x x x บนชวง 1,2 มคาเทากบเทาใด

(ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 4 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

ตอนท 2 แบบปรนแ 5 ตวเลอก เลอก 1 คาตอบทถกทสด

ะานวน 20 ขอ ขอลถ 4 คถแนน รวม 80 คถแนน

11. ถา S x x เปนจ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการ log ( 15) 2x x

แลวจ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 10 2. 12 3. 14

4. 24 5. 26

12. ก าหนดให a เปนจ านวนเตมบวก

ถา ห.ร.ม. ของ a และ 2520 เทากบ 60 และ ค.ร.น. ของ a และ 420 เทากบ 4620

แลว a อยในชวงในขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. [200,350) 2. [350,500) 3. [500,650)

4. [650,800) 5. [800,950)

13. ก าหนดให ( )P x เปนพหนามดกร 4 ซงมสมประสทธเปนจ านวนจรงและสมประสทธของ 4x เทากบ 1

ถา 1z และ 2z เปนรากท 2 ของ 2i และเปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x ดวย

แลว (1)P มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 3 2. 5 3. 7

4. 9 5. 10

14. ในระบบพกดฉากทม O เปนจดก าเนด วงรรปหนงมสมการเปน 2 2( 3) ( 5)

19 25

x y

ถา 1F และ 2F เปนจดโฟกสของวงรรปน โดยท 1 2OF OF แลวระยะทางจากจด 2F

ไปยงเสนตรงทผานจด 1F และ (0,5) เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 19

5 หนวย 2. 21

5 หนวย 3. 22

5 หนวย

4. 23

5 หนวย 5. 24

5 หนวย

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 5 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

15. ก าหนดให ,A B และ C เปนจดในระบบพกดฉาก 3 มต จงพจารณาขอความ 4 ขอความตอไปน

(ก) 0AB BC CA

(ข) AB BC AB BC

(ค) AB BC CA BA

(ง) AB BC CA CA AB BC

จ านวนขอความทถกตองเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 0 (ไมมขอความใดถกตอง) 2. 1 3. 2

4. 3 5. 4

16. ก าหนดให , ,0 ถา 2sin sin

3 และ 2

cos cos3

แลว มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 6

2.

3

3. 2

3

4. 4

3

5. 5

3

17. ผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการ 52 5 5 1

x

x x

เทากบขอใดตอไปน

(ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 5 2. 5

2 3. 0

4. 5

2 5. 5

18. ผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการ 4 14 2 65 2x x เทากบขอใดตอไปน

(ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 2 2. 1

2 3. 3

2

4. 2 5. 4

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 6 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

19. ก าหนดระบบสมการ

2 3 3 28

2 12

10

x y z

x y z

x y z

ถา , , , ,S a b c a b c เปนค าตอบของระบบสมการทก าหนด โดยท , ,a b c เปนจ านวนเตม

ซงอยในชวง 10,10

แลวจ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 13 2. 14 3. 15

4. 16 5. 17

20. นกเรยนหองหนงมจ านวน 30 คน สอบวชาคณตศาสตรไดเกรด A 5 คน ไดเกรด B 15 คน

และไดเกรด C 10 คน ถาสมนกเรยน 3 คนจากหองนแลว ความนาจะเปนทจะไดนกเรยน

อยางนอย 1 คนทไดเกรด A เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 44

203 2. 55

203 3. 66

203

4. 77

203 5. 88

203

21. อายการใชงานของถานไฟฉายชนดหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเทากบ นาท

และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ นาท ถา a เปนจ านวนจรงทท าใหถานไฟฉายทใชงานได

นานระหวาง a และ a นาท มจ านวน 34% แลวถานไฟฉายทใชงานไดนานระหวาง

2a และ 2a นาท มจ านวนคดเปนเปอรเซนตเทากบขอใดตอไปน

เมอก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

Z 0.215 0.34 0.44 0.68 0.88 0.99 พนท 0.085 0.133 0.17 0.25 0.31 0.34

1. 58.5 2. 62 3. 64

4. 68 5. 81

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 7 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

22. ขอมลชดท 1 คอ 1 2 3 9, , , ,x x x x โดยท 35

i

ix ทก i

ขอมลชดท 2 คอ 1 2 3 9, , , ,y y y y โดยท iy a j ทก j

เมอ a เปนจ านวนจรงทท าให 9

2

1

i

i

x a

มคานอยทสด

ถา b เปนจ านวนจรงทท าให 9

1

j

j

y b

มคานอยทสด

แลว b มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 1 2. 2 3. 3

4. 4 5. 5

23. ก าหนดใหฟงกชน ( )f x เปนปฏยานพนธของ 2 5x

และความชนของเสนโคง ( )y g x ทจด ,x y ใดๆคอ 23x

ถากราฟของฟงกชน f และ g ตดกนทจด 1,2

แลว (1)f

g

มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. -5 2. -2 3. 1

4. 2 5. 5

24. ก าหนดให ( )g x เปนฟงกชนซงมอนพนธททกจด และ 2

| 1|; 1

1( )

( ) ; 1 2

2 3 ; 2

xx

xf x

g x x

x x

ถา f ตอเนองททกจด แลว 2

1

( )g x dx

มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 3

2 2. 1

2 3. 0

4. 1

2 5. 3

2

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 8 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

25. ก าหนดให 1 3 5 2 1

n

na

n

และ

2 4 6 2n

nb

n

จะไดวาอนกรม 1

n n

n

a b

เปนอนกรมดงขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. มผลบวกเทากบ 1

2 2. มผลบวกเทากบ 0

3. มผลบวกเทากบ 1 4. มผลบวกเทากบ 12

5. ลออก

26. ก าหนดให 3, 2, 1,1,2,3S และ 1 2 3

4 5

6

0 , 1 6

0 0

i

a a a

M a a a S i

a

สมหยบเมทรกซจากเซต M มา 1 เมทรกซ ความนาจะเปนทจะไดเมทรกซ ซงคาดเทอรมแนนท

ของเมรกซนนเทากบ 27 หรอ 27 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 3

2

6 2.

3

4

6 3.

3

6

6

4. 3

8

6 5.

3

10

6

27. ถา A และ B เปนเซตของจ านวนเชงซอน โดยท

1 5 6A z z z และ 1 7 4B z z z

แลวจ านวนสมาชกของ A B เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 0 2. 1 3. 2

4. 3 5. มากกวาหรอเทากบ 4

28. ก าหนดล าดบซงประกอบดวยจ านวนเตมบวกทกจ านวนทหารดวย 5 ไมลงตว เรยงจากนอยไปหามาก

ถาผลบวกของ n พจนแรกของล าดบนเทากบ 9000 แลว n มคาเทากบขอใดตอไปน

(ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 100 2. 110 3. 120

4. 130 5. 140

รหสวชา 39 คณตศาสตร หนา 9 วนเสารท 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 – 12.30 น.

29. ก าหนดให 1,2,3,4,5,6A

2( ) ( ) , ,B p x p x ax bx c a b c A

สมหยบ ( )p x มาหนงตวจากเซต S ความนาจะเปนทจะได ( )p x ซง 1

0

( )p x dx มคาเปน

จ านวนเตม เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 1

12 2. 2

12 3. 3

12

4. 4

12 5. 5

12

30. ก าหนดใหกราฟของ อนพนธของฟงกชน f เปนดงรป

นกเรยนคนหนงไดสรปวา f ตองเปนดงขอความตอไปน

(ก) f(x) = - x เมอ 2 3x

(ข) f เปนฟงกชนลด เมอ 0 2x

(ค) f มจดต าสดสมพทธทจด 4x

(ง) f มจดสงสดสมพทธทจด 1x

จ านวนขอความทนกเรยนคนนสรปไดอยางถกตอง เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ 7 วชาสามญ 56)

1. 0 (ไมมขอความใดถก) 2. 1

3. 2 4. 3

5. 4

Y

X1 2 3 4 5 6

1

-1

เมอ

y = f (x)

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 2

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

หลกในการแกอสมการพหนาม

1. ท าใหขางใดขางหนงเปน 0

2. ท าใหสมประสทธของตวแปรทมก าลงมากสดเปน

3. แยกตวประกอบ

4. เขยนเสนจ านวน

** ระวง คา x ทท าใหสวนเปน 0 ตองเปนชวงเปด

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 ตอนท 1 แบบระบายตวเลขทเปนค าตอบ จ านวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน

1. ตอบ 4

จากอสมการ ( 1)( 3)0

(2 1)

x x

x x

สามารถเขยนเสนจ านวนไดดงรป

ดงนนจ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการดงกลาวม 4 จ านวนคอ -1 , 1 , 2 , 3 นนเอง

2. ตอบ 25

จากทเรารวา 2i เปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x 2i จะเปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x ดวย

เนองจาก ( )P x เปนพหนามก าลง 3 ดงนนจะตอง

มค าตอบของสมการ ( ) 0P x อกค าตอบหนงดวย

สมมตใหตวประกอบอกตวหนงคอ mx n

นนคอ ( ) ( 2 )( 2 )( )P x x i x i mx n

ดงนน 3 2 2 2 2( ) 2 12 ( 4 )( ) ( 4)( )P x x ax bx x i mx n x mx n

เมอเทยบสมประสทธของ 3x เลยท าใหเราไดวา 2m

เมอเทยบสมประสทธของพจนคาคงทพจนสดทาย เลยท าใหเราไดวา 3n

สรป : 2( ) ( 2 )( 2 )(2 3) ( 4)(2 3)P x x i x i x x x

ดงนน (1) (1 4)(2 3) 25P

ทฤษฎทเกยวกบรากของสมการพหนาม

ก าหนดให เปนพหนามทมสมประสทธ

เปนจ านวนเตม หากเรารวาจ านวนเชงซอน เปน

ค าตอบของสมการ แลว เราจะไดวา

จะเปนค าตอบของสมการ ดวย ^^

-1 0 3 -

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 3

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

ความสมพนธระหวางการ dot และการ cross

ส าหรบเวกเตอร ใดๆ เราจะไดวา

(นนคอ เวกเตอรสามารถเลอนไปทางขวาได 1 ต าแหนง

ทง 3 เวกเตอรในทางเดยวกนในท านองวาเปน loop

โดยทเครองหมาย และเครองหมาย ยงตองอยทเดม)

3. ตอบ 0.75

จาก 2 3b a จะไดวา 3

2b a

จากกฎของไซน sin sinA B

a b จะไดวา

32

sin sin 2A A

a a นนคอ

32

sin 2sin

AA

แตจาก sin2 2sin cosA A A

ดงนน 3 sin 2sin cos2

A A A

นนคอ 3cos 0.75

4A นนเอง

4. ตอบ 8

จาก v u w w v u

จะไดวา v u w v w u

2 4 2 3i j k i j k

( 1)(2) ( 2)(1) ( 4)( 3)

8

หมายเหต

1. ส าหรบเวกเตอร u และ v ใดๆ เราจะไดวา u v v u

2. ถา u ai b j ck และ v di e j f k จะไดวา u v ad be cf

ความรเพมเตม 1 : ความรพนฐานเกยวกบการด าเนนการตามแถว

การด าเนนการตามแถว (Row Operation) คอกระบวนการทเราจะปรบรปแบบของเมทรกซเพอใหได

เมทรกซใหมทสะดวกตอการค านวณมากขน มอยดวยกน 3 ลกษณะคอ

1. คณแถวท i ดวยคาคงท k (เมอ 0k ) เขยนแทนดวยสญลกษณ ikR

2. สลบแถวท i กบแถวท j เขยนแทนดวยสญลกษณ ijR

3. คณแถวท i ดวยคาคงท k (เมอ 0k ) แลวน าไปบวกกบแถวท j (แถวท j จะเปลยนแปลง)

เขยนแทนดวยสญลกษณ i jkR R

โดยเราจะใชเครองหมาย ~ แทนการด าเนนการตามแถวในแตละขนตอน และเขยนก ากบไวทกขนตอน

กฎของไซนส าหรบสามเหลยมทวไป

สามเหลยม ABC ทม

ความยาวดานตรงขาม

มม A , B, C คอ a , b ,c

ตามล าดบ เราจะไดวา

กฎของไซน คอ

หมายเหต : นะครบ :))

A

B C a

b c

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 4

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

เชน ก าหนดให 1 4 2

2 1 0

0 3 4

A

ถาเมทรกซ ~A B โดยการด าเนนการ 32R จะไดวา 3

1 4 2

2 1 0

0 6 8 2

B

R

ถาเมทรกซ ~B C โดยการด าเนนการ 1 22R R จะไดวา 1 2

1 4 2

4 7 4 2

0 6 8

C R R

ถาเมทรกซ ~C D โดยการด าเนนการ 23R จะไดวา 23

1 4 2

0 6 8

4 7 4

D

R

ความรเพมเตม 2 : การแกระบบสมการกบการด าเนนการตามแถว

จากระบบสมการ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a x a y a z

a x a y a z

a x a y a z

1

2

3

b

b

b

เราสามารถเขยนเปนเมทรกซแตงเตม (Augmented Matrix) ไดเปน 11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a

a a a

a a a

b

b

b

ซงไมวาเราจะใชการด าเนนการตามแถวทง 3 แบบทไดกลาวมาแลวขางตน กบเมทรกซแตงเตมน

อยางไรกตาม เราจะไดวา ค าตอบของระบบสมการจะไมเปลยนแปลง

5. ตอบ 17

จากระบบอสมการทโจทยก าหนดให 2 3

3

2 5 5

x y z a

x y b

x y z c

เขยนเปนเมทรกซไดเปน 1 2 3

1 3 0

2 5 5

a

b

c

แตโจทยก าหนดให 1 2 3 1 2 3 9

1 3 0 ~ 0 1 3 5

2 5 5 0 0 1 2

a

b

c

แสดงวาระบบสมการจะไมเปลยนไป

ซงจาก 1 2 3 9

0 1 3 5

0 0 1 2

จะท าใหเราไดวา 2z , 3 5y z และ 2 3 9x y z

นนคอ 1x , 1y และ 2z

ซงจากโจทยจะไดวา 2 5 5 2(1) 5( 1) 5(2) 17c x y z

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 5

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

6. ตอบ 12

7 5log 625 log 343

log625 log343

log7 log5

4 3log5 log7

log7 log5

4log5 3log712

log7 log5

7. ตอบ 0.20

จากตารางทก าหนดให ตองหาความถ

จากความถสะสมกอน ดงตาราง

ดงนนนกเรยนทงหมดม 200 คน

และมนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง

50-59 คะแนนทงหมด 40 คน

ดงนน เมอสมนกเรยนมา 1 คน

ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทได

คะแนนสอบในชวง 50-59 คะแนน เทากบ 400.20

200

8. ตอบ 720

โจทยก าหนดใหเลข 3 ทงสองตวตองอยตดกน

เราจงตองมดเลข 3 ทง 2 ตวไวดวยกน ดงน

1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6

ดงนนการสรางจ านวนทม 7 หลก จากเลขโดด

7 ตว ดงกลาว กคอการสลบของทแตกตางกน

ทงหมด 6 ชนนนเอง ซงสามารถท าได

6! 720 วธ นนเอง

คะแนนสอบ ความถสะสม (คน) ความถ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69

70 ขนไป

10 35 80

145 185 195 200

10 25 45 65 40 10 5

สมบตของ log ส าหรบขอน

ก าหนดให

และ เปนจ านวนจรงใดๆ

1. เมอ คอฐาน log ใหมทตองการ

2.

หลกการพนฐานของการเรยงของตดกน

หากเราตองการใหสงของใดอยตดกน ใหมดรวมของเหลานน

อยดวยกน แลวนบวาเปนของเพยง 1 ชน และอยาลมคด

ดวยวา ของทเรามดอยตดกนนนสามารถสลบต าแหนงกน

ไดดวย ยกเวน!!! ของทเรามดตดกนนนมนเหมอนกน

เพราะของเหมอนกนสลบทกนไมท าใหเกดวธใหมนะครบ^^

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 6

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

9. ตอบ 3

3 2

2lim lim

2 3n

n n

n na

n n

3 2 2

2

( 3) ( 2)lim

( 2)( 3)n

n n n n

n n

4 3 4 2

3 2

3 2lim

3 2 6n

n n n n

n n n

3 2

3 2

3 2lim

3 2 6n

n n

n n n

2 3

23

lim3 2 6

1n

n

n n n

3

10. ตอบ 12

จาก 3 2( ) 3 9 1f x x x x

จะไดวา 2( ) 3 6 9f x x x ให ( ) 0f x เพอหาคาวกฤต

จะไดวา 23( 2 3) 0x x

นนคอ ( 3)( 1) 0x x

3x หรอ 1x

แตตองระวง เพราะขอนโจทย

ก าหนดใหเราพจารณาในชวง 1,2

ดงนนคาวกฤตจงคดเฉพาะ 1x

เพราะวา (1) 4f , ( 1) 12f และ (2) 3f

ดงนน คาสงสดสมบรณของฟงกชน 3 2( ) 3 9 1f x x x x บนชวง 1,2 มคาเทากบ 12

หลกการพนฐานของการหาลมตของล าดบ

ใหดดกรทมากทสดของเศษและสวน

1. ถา เศษ < สวน : ลมตจะตอบ 0

เชน

2. ถา เศษ > สวน : ลมตจะตอบไมมคา(เปนจ านวนจรง)

เชน ไมมคา

3. ถา เศษ = สวน : ลมตจะตอบคาส.ป.ส. เศษ สวน

เชน

หมายเหต : ถาเปน ไมมคา ไมมคา จะยงสรปไมได

ตองจดรปใหมกอนเสมอ แลวจงหาคาของลมตใหมอกครง

หลกการพนฐานของการหาสดขดสมบรณ

ในการหาคาสดขดสมบรณของ บนชวง

ขนท 1 : หาคาวกฤตทงหมดของฟงกชน โดยหา

ไดจาก แตจะพจารณาเฉพาะ

คาวกฤตทอยในชวง เทานนนะครบ

ขนท 2 : หาคาของฟงกชนทต าแหนงคาวกฤต

ขนท 3 : หาคาของฟงกชนทต าแหนง และ

ขนท 4 : เปรยบเทยบคาทไดจากขนท 2 และขนท 3

คาทมากทสด = คาสงสดสมบรณ

คาทนอยทสด = คาต าสดสมบรณ