מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7
TRANSCRIPT
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
7מתמטיקה לכלכלנים
ערכים וקטוריים עצמיים של מטריצה
ℝ ב-X≠0. וקטור nXn היא מטריצה ריבועית מסדר Aנניח ש-nנקרא וקטור עצמי של
כך ש- אם קיים מספר Aהמטריצה
Ax=⋅x
נקרא וקטור עצמי ששייך ל-x ו-Aנקרא ערך עצמי של המספר
משפט
. אזי התנאים הבאים שקולים:nXn מטריצה ריבועית מסדר Aנניח ש-
Aהיא ערך עצמי של א.
נעלמים) ההומוגנית:n משוואות ב-nב. למערכת המשוואות (
A−⋅I x1⋮xn=
0⋮0
.nXn מסמן את מטריצת היחידה מסדר Iיש פתרון לא טריוויאלי (שונה מאפס) כאשר
∣A−⋅I∣ג.
הוכחה
נובע מיד מהגדרה של ערך עצמי של מטריצה.א ==> ב
ב ==> ג
אם ב' מתקיים אזי למערכת המשוואות ההומוגנית
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 1
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
A−⋅I x1⋮xn=
0⋮0
יש פתרון לא טריויאלי. כלומר, המימד של מרחב הפתרונות של המערכת הנ"ל הוא חיובי. אבל
המימד של מרחב הפתרונות של המערכת הוא
n−r A−⋅I
לכן
r A−⋅I n
A−⋅Iלכן שקולת שורה למטריצהB מסדר nXnשיש לה שורת אפסים, לכן
∣A−⋅I∣=0
ג ==> א
שקולת שורה למטריצהA−⋅Iהיא מטריצה לא הפיכה. לכןA−⋅IאזיA−⋅I∣=0∣אם
שיש לה שורת אפסים ולכן
r A−⋅I n
ולכן המימד של מרחב הפתרונות של המערכת
A−⋅I x1⋮xn=
0⋮0
x=הוא חיובי ומכאן שקיים x1⋮xn≠
0⋮0 -כך שA−⋅I x=0כלומרAx= xולכן ערך עצמי של
A.
הגדרה
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 2
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
P אזי הדטרמיננטהnXn מטריצה מסדר Aאם =∣A−⋅I∣היא פולינום ממעלה גדולה או שווה
n-ב .
P נקרא הפולינום האופייני של המטריצהA.
.P הם בדיוק השורשים של הפולינום Aהערכים העצמיים של המטריצה
דוגמאות
א. רוצים למצוא את הערכים העצמיים ואת הוקטורים העצמיים ששייכים להם עבור המטריצה
A=1 22 1
הואAהפולינום האופייני של
P =∣A−⋅I∣=∣1− 22 1−∣=1−
2−4
P =0⇔1−2=4
1−=±2
הםPהשורשים של
1=3 2=−1
.3 ו-1 הם -Aכלומר הערכים העצמיים של
.1=3נמצא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי
אלו הם כל הפתרונות השונים מאפס של מערכת המשוואות
A−3⋅I x1x2=00
A−3⋅I=−2 22 −2
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 3
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
x1כלומר , x2 -הוא וקטור עצמי ששייך ל 1=3אם הוא פתרון שונה מאפס למערכת
−2 22 −2 x1x2=0
מערכת המקדמים של המערכת שקולת שורות ל-
−2 20 0
1=2-1 ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 1דרגת מטריצת המקדמים של המערכת היא
) מהווה מתרון למערכת לכן אוסף כל הפתרונות של המערכת הוא מהצורה 1 1הוקטור (
aa a∈ℝ
.1=3 ששייך לערך העצמי A הוא וקטור עצמי של a≠0 כאשר aaכל וקטור מהצורה
נפתור את מערכת המשוואות2=−1בכדי למצוא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי
A−2⋅I x1x2=002 22 2 x1x2=00
.1מימד מרחב הפתרונות הוא
הפתרון הכללי של המערכת הנ"ל הוא מהצורה a−aכאשרa∈ℝ.
לכן כל וקטור מהצורה a−a כאשר a≠0 הוא וקטור עצמי של המטריצה Aששייך לערך
2=−1העצמי
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 4
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
דוגמא נוספת
ב. רוצים למצוא את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של המטריצה
A=2 1 11 2 11 1 2
הואAהפולינום האופייני של
P =∣A−⋅I∣=R1
R2
R3
∣2− 1 11 2− 11 1 2−
∣c1c1c2c3⋯ ∣4− 1 1
0 1− 00 0 1−
∣=4−1−2
.Aואלו הם הערכים העצמיים של 2=4ו-1=1 יש שני שורשים שונים שהםPכלומר ל-
הם הפתרונות השונים מאפס של1=1 ששייכים לערך העצמי Aהוקטורים העצמיים של
המערכת
1 1 11 1 11 1 1
x1x2x3=
000
ששקולה למערכת
1 1 10 0 00 0 0
x1x2x3=000
.2=3−1 לכן המימד של מרחב הפתרונות הוא1דרגת מטריצת המקדמים של המערכת היא
ℝצריך למצוא שני וקטורים בלתי תלויים ליניארית ב- שפותרים את המערכת ואז כל פתרון הוא3
צירוף ליניארי שלהם. אם נבחר לדוגמא
1=1,0,−12=0,1,−1
הם בלתי תלויים ליניארית.2 ו-1אזי
לכן הפתרון הכללי של המערכת הוא מהצורה
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 5
[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור
a 1,0,−1 b0,1,−1=1,b ,−a ,−b
aכאשר ,b∈ℝ.
aלכן כל וקטור מהצורה ,b ,−a−b כאשר a≠0 או b≠0 הוא וקטור עצמי של Aששייך
.1=1לערך העצמי
. לשם כך נפתור את2=4נותר לנו למצוא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי
המערכת
A−4⋅I x1x2x3=000
A−4⋅I=−2 1 11 −2 11 1 −2
צריך לפתור את המערכת
−2 1 11 −2 11 1 −2
x1x2x3=
000מטריצת המקדמים של המערכת שקולה
R1
R2
R3
−2 1 11 −2 11 1 −2 R1⇔ R2
R1
R2
R3
1 1 −21 −2 1−2 1 1 ⋯1 1 −2
0 −3 30 3 −31 1 −2
0 −3 30 0 0
מספיק למצוא פתרון אחד1=3-2 לכן מימד מרחב הפתרונות הוא 2דרגת מטריצה המקדמים היא
שונה מאפס ואז כל פתרון הוא כפולה שלו במספר.
לדוגמא: 111 הוא פתרון לכן הפתרון הכללי הוא מהצורה
aaa כאשר a מספר כלשהו a≠0
ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 6