מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

6
מתמטיקה לכלכלנים שיעור7 יוני בראל[email protected] מתמטיקה לכלכלנים7 ערכים וקטוריים עצמיים של מטריצה- נניח שA היא מטריצה ריבועית מסדרnXn . וקטורX 0 - בn נקרא וקטור עצמי של המטריצהA אם קיים מספר - כך שAx =⋅ x המספר נקרא ערך עצמי שלA - וx - נקרא וקטור עצמי ששייך ל משפט- נניח שA מטריצה ריבועית מסדרnXn . אזי התנאים הבאים שקולים: א. היא ערך עצמי שלA ) ב. למערכת המשוואותn - משוואות בn ההומוגנית:( נעלמים A −⋅ I x 1 x n = 0 0 כאשר(שונה מאפס) יש פתרון לא טריוויאליI מסמן את מטריצת היחידה מסדרnXn . ג.A−⋅I הוכחה ב<== א מהגדרה של ערך עצמי של מטריצה. נובע מיד ג<== ב אם ב' מתקיים אזי למערכת המשוואות ההומוגנית1 מופץ תחת רשיוןCC-by-nc-sa שיתוף זהה-לא מסחרי- ייחוס

Upload: jonobarel4996

Post on 14-Nov-2014

45 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

7מתמטיקה לכלכלנים

ערכים וקטוריים עצמיים של מטריצה

ℝ ב-X≠0. וקטור nXn היא מטריצה ריבועית מסדר Aנניח ש-nנקרא וקטור עצמי של

כך ש- אם קיים מספר Aהמטריצה

Ax=⋅x

נקרא וקטור עצמי ששייך ל-x ו-Aנקרא ערך עצמי של המספר

משפט

. אזי התנאים הבאים שקולים:nXn מטריצה ריבועית מסדר Aנניח ש-

Aהיא ערך עצמי של א.

נעלמים) ההומוגנית:n משוואות ב-nב. למערכת המשוואות (

A−⋅I x1⋮xn=

0⋮0

.nXn מסמן את מטריצת היחידה מסדר Iיש פתרון לא טריוויאלי (שונה מאפס) כאשר

∣A−⋅I∣ג.

הוכחה

נובע מיד מהגדרה של ערך עצמי של מטריצה.א ==> ב

ב ==> ג

אם ב' מתקיים אזי למערכת המשוואות ההומוגנית

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 1

Page 2: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

A−⋅I x1⋮xn=

0⋮0

יש פתרון לא טריויאלי. כלומר, המימד של מרחב הפתרונות של המערכת הנ"ל הוא חיובי. אבל

המימד של מרחב הפתרונות של המערכת הוא

n−r A−⋅I

לכן

r A−⋅I n

A−⋅Iלכן שקולת שורה למטריצהB מסדר nXnשיש לה שורת אפסים, לכן

∣A−⋅I∣=0

ג ==> א

שקולת שורה למטריצהA−⋅Iהיא מטריצה לא הפיכה. לכןA−⋅IאזיA−⋅I∣=0∣אם

שיש לה שורת אפסים ולכן

r A−⋅I n

ולכן המימד של מרחב הפתרונות של המערכת

A−⋅I x1⋮xn=

0⋮0

x=הוא חיובי ומכאן שקיים x1⋮xn≠

0⋮0 -כך שA−⋅I x=0כלומרAx= xולכן ערך עצמי של

A.

הגדרה

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 2

Page 3: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

P אזי הדטרמיננטהnXn מטריצה מסדר Aאם =∣A−⋅I∣היא פולינום ממעלה גדולה או שווה

n-ב .

P נקרא הפולינום האופייני של המטריצהA.

.P הם בדיוק השורשים של הפולינום Aהערכים העצמיים של המטריצה

דוגמאות

א. רוצים למצוא את הערכים העצמיים ואת הוקטורים העצמיים ששייכים להם עבור המטריצה

A=1 22 1

הואAהפולינום האופייני של

P =∣A−⋅I∣=∣1− 22 1−∣=1−

2−4

P =0⇔1−2=4

1−=±2

הםPהשורשים של

1=3 2=−1

.3 ו-1 הם -Aכלומר הערכים העצמיים של

.1=3נמצא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי

אלו הם כל הפתרונות השונים מאפס של מערכת המשוואות

A−3⋅I x1x2=00

A−3⋅I=−2 22 −2

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 3

Page 4: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

x1כלומר , x2 -הוא וקטור עצמי ששייך ל 1=3אם הוא פתרון שונה מאפס למערכת

−2 22 −2 x1x2=0

מערכת המקדמים של המערכת שקולת שורות ל-

−2 20 0

1=2-1 ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 1דרגת מטריצת המקדמים של המערכת היא

) מהווה מתרון למערכת לכן אוסף כל הפתרונות של המערכת הוא מהצורה 1 1הוקטור (

aa a∈ℝ

.1=3 ששייך לערך העצמי A הוא וקטור עצמי של a≠0 כאשר aaכל וקטור מהצורה

נפתור את מערכת המשוואות2=−1בכדי למצוא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי

A−2⋅I x1x2=002 22 2 x1x2=00

.1מימד מרחב הפתרונות הוא

הפתרון הכללי של המערכת הנ"ל הוא מהצורה a−aכאשרa∈ℝ.

לכן כל וקטור מהצורה a−a כאשר a≠0 הוא וקטור עצמי של המטריצה Aששייך לערך

2=−1העצמי

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 4

Page 5: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

דוגמא נוספת

ב. רוצים למצוא את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של המטריצה

A=2 1 11 2 11 1 2

הואAהפולינום האופייני של

P =∣A−⋅I∣=R1

R2

R3

∣2− 1 11 2− 11 1 2−

∣c1c1c2c3⋯ ∣4− 1 1

0 1− 00 0 1−

∣=4−1−2

.Aואלו הם הערכים העצמיים של 2=4ו-1=1 יש שני שורשים שונים שהםPכלומר ל-

הם הפתרונות השונים מאפס של1=1 ששייכים לערך העצמי Aהוקטורים העצמיים של

המערכת

1 1 11 1 11 1 1

x1x2x3=

000

ששקולה למערכת

1 1 10 0 00 0 0

x1x2x3=000

.2=3−1 לכן המימד של מרחב הפתרונות הוא1דרגת מטריצת המקדמים של המערכת היא

ℝצריך למצוא שני וקטורים בלתי תלויים ליניארית ב- שפותרים את המערכת ואז כל פתרון הוא3

צירוף ליניארי שלהם. אם נבחר לדוגמא

1=1,0,−12=0,1,−1

הם בלתי תלויים ליניארית.2 ו-1אזי

לכן הפתרון הכללי של המערכת הוא מהצורה

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 5

Page 6: מתמטיקה לכלכלנים שיעור 7

[email protected]יוני בראל 7מתמטיקה לכלכלנים שיעור

a 1,0,−1 b0,1,−1=1,b ,−a ,−b

aכאשר ,b∈ℝ.

aלכן כל וקטור מהצורה ,b ,−a−b כאשר a≠0 או b≠0 הוא וקטור עצמי של Aששייך

.1=1לערך העצמי

. לשם כך נפתור את2=4נותר לנו למצוא את הוקטורים העצמיים ששייכים לערך העצמי

המערכת

A−4⋅I x1x2x3=000

A−4⋅I=−2 1 11 −2 11 1 −2

צריך לפתור את המערכת

−2 1 11 −2 11 1 −2

x1x2x3=

000מטריצת המקדמים של המערכת שקולה

R1

R2

R3

−2 1 11 −2 11 1 −2 R1⇔ R2

R1

R2

R3

1 1 −21 −2 1−2 1 1 ⋯1 1 −2

0 −3 30 3 −31 1 −2

0 −3 30 0 0

מספיק למצוא פתרון אחד1=3-2 לכן מימד מרחב הפתרונות הוא 2דרגת מטריצה המקדמים היא

שונה מאפס ואז כל פתרון הוא כפולה שלו במספר.

לדוגמא: 111 הוא פתרון לכן הפתרון הכללי הוא מהצורה

aaa כאשר a מספר כלשהו a≠0

ייחוס-לא מסחרי-שיתוף זההCC-by-nc-saמופץ תחת רשיון 6