Лабораторная работа № 7

16
1 Министерство образования Российской Федерации Государственный университет аэрокосмического приборостроения Кафедра 3 Преподаватель: Влада Олеговна Смирнова Отчёт о лабораторной работе по курсу общей физики «Наклонный маятникРаботу выполнил: Студент группы 2255 Санкт-Петербург 2012

Upload: artur-par

Post on 31-Jul-2015

671 views

Category:

Documents


17 download

TRANSCRIPT

Page 1: Лабораторная работа № 7

1

Министерство образования Российской Федерации Государственный университет аэрокосмического приборостроения

Кафедра № 3

Преподаватель:

Влада Олеговна Смирнова

Отчёт о лабораторной работе по курсу общей физики

«Наклонный маятник.»

Работу выполнил: Студент группы № 2255

Санкт-Петербург2012

Page 2: Лабораторная работа № 7

2

1. Цель лабораторной работы.Изучение силы трения качения методом наклонного маятника. 2. Схема установки.

Рис. 13. Теория метода. Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости,

при этом нить закручивается. Если шар отвести из положения равновесия (ось OO') на угол α и затем отпустить. то он будет колебаться, катаясь около положения равновесия. (рис. 2, а). Из-за трения колебания будут постепенно затухать.

Можно надеяться, что по величине затухания колебаний можно определить силу трения и коэффициент трения. Качественно оценить величину затухания можно с помощью несложного опыта. Плоскость установим под углом α — 450 к горизонту. Отведем шар на угол α — 6° и подсчитаем число колебаний, при которых амплитуда угла будет равна 4°. Число колебаний примерно будет от 10 до 15. Таким образом, за 10 колебаний амплитуда уменьшилась на 2°, а за одно колебание — на 0,2° = 3,5*10 -2 рад.

Типичное значение коэффициента трения скольжения µ ~ 10-1, а коэффициент трения качения, как мы убедимся на опыте, µ ~10-3. Трудно надеяться, что такое малое значение можно достаточно точно измерить с помощью такого опыта, как наш. Но по порядку величины µ можно определить.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с µ. Пусть А — точка поворота (рис. 2, а). В этом положении нить маятника составляет угол

α с осью OO'. Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке А', а угол отклонения был бы равен α. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В. Это и будет точка поворота. В этой точке угол нити с осью

К рисунку 1.1. Нить.2. Шарик из измеряемого материала.3. Пластина из того же материала, что

и шарик.4. Табло – количество колебаний.5. Табло – время колебаний.6. Сброс.7. Стоп.8. Сеть.

Page 3: Лабораторная работа № 7

3

OO' будет - За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из А в В.

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки А и В на ось ОО' (рис. 2. б). Это будут точки А' и В' соответственно. Очевидно, что длина отрезка

,

где l — длина нити, равная радиусу дуги АВ окружности. При этом угол этой дуги равен 2 - , длина дуги

.

Так как ось ОО' наклонена под углом β к горизонту, то проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты :

.(1)

Рис. 2При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками А и В

, (2)

где m - масса шара, g — ускорение свободного падения.Вычислим теперь работу силы трения. Так как сила трения

, (3)

где µ — коэффициент трения, — сила нормального давления шара на

плоскость, то работа силы трения на пути между точками А и В равна

. (4)

Так как , то из уравнении (1), (2) и (4) получаем

(5)

Выражение (5) можно существенно упростить, если учесть, что угол очень мал (как мы уже отмечали, он порядка 10-2). Так как , то , и

.

Поэтому формулу (5) можно записать так:

откуда

Page 4: Лабораторная работа № 7

4

. (6)

Из формулы (6) видно, что потеря угла за половину периода определяется величиной µ и углом α. Однако можно найти такие условия, при которых от угла α не зависит.

Вспомним, что µ мало, порядка 10-3. Если рассматривать достаточно большие амплитуды α так, чтобы

, (7)

то слагаемые µ и ctgβ в знаменателе формулы (6) можно пренебречь и тогда

.

С другой стороны, пусть углы α будут малыми, т. е. α<<1 и тогда за половину

колебания потеря угла (8)

Заметим, что формула (8) справедлива при условии (9)

Из-за того, что µ ~ 10-2, углы ÷10-4 рад удовлетворяют неравенствам (9).Если бы µ было порядка 10-2 -10-1, как в случае трения скольжения, то тогда бы

неравенства (9) не выполнялись. Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет , а за n колебаний потеря угла составляет

откуда

(10)

Формула (10) дает удобный способ измерения µ: необходимо измерить уменьшение угла за 10—15 колебаний, а затем по формуле (10) вычислить µ. Мы знаем, что за 10

колебаний угол уменьшается примерно на 2° (при β =45°). Тогда n=10 и

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции - относительно оси, проходящей через

центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 3). К центру масс С приложена сила направленная вдоль оси X и являющаяся функцией координаты х. Со стороны

поверхности на тело действует сила трения . Пусть момент силы трения относительно

оси. проходящей через центр С шара, равен . Уравнения движения шара в этом случае

имеют вид (11)

(12)

Page 5: Лабораторная работа № 7

5

где — скорость центра масс, ω — угловая скорость. В уравнениях (11) и (12)

четыре неизвестных: , ω, и . Поэтому в общем случае задача не определена.

Рис. 3.Допустим, что:1) тело катится без проскальзывания. Тогда

(13)

где R — радиус катка;2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т. е. тело не деформируется, а

касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения н силой трения имеется связь

(14)

С учетом (13) и (14) из (11) и (12) получаем, например, выражение для силы трения

(15)

Выражение (15) не содержит коэффициента трения µ который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материала, из которого изготовлен шар, или плоскость. Этот результат — прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (13) и (14). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (11) на , а уравнение (12) — на ω. Учитывая, что

и складывая (II) и (12), получаем

(16)

где - потенциальная энергия шара в поле силы F(x). Обратите

внимание, что

(17)

Если принять во внимание (13) и (14), то правая часть равенства (16) обращается в нуль. В левой части (16) стоит производная, но времени от полной энергии Ε системы,

которая состоит из кинетической энергии поступательного движения катка и

кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х). Это

значит, что полная энергия системы постоянная величина, т. е. сила трения не совершает

Page 6: Лабораторная работа № 7

6

работы. Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это говорит о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движения шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (13) и (I4) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель — по изменению анергии маятника определить коэффициент трения.

Поступим следующим образом. Будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (14). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим (а потом и убедимся), что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (на рис. 3 точка О) тара (скорость проскальзывания) (18)

Будем считать, что (19)

Тогда, подставляя в уравнение (16) и учитывая условия (14) н (19),

приходим к уравнению

(20)

из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, тело скользит по поверхности со скоростью u, на него действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.

Выполняя в (20) дифференцирование и учитывая (17), получаем уравнение движения центра масс шара:

(21)

Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой

(22)

под действием внешней силы F и силы трения качения

причем — обычное трение скольжения. Следовательно, при качении шара

эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. Практически часто реализуется случай, когда трение качения от скорости тела не зависит. Видно, что в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:

где ε — коэффициент пропорциональности. Обычно ε<<1. Сила трения скольжения имеет вид

Page 7: Лабораторная работа № 7

7

где µ — коэффициент трения скольжения, N — нормальная реакция опоры (сила нормального давления). Тогда

где — коэффициент трения качения. Естественно, что независимость силы

трения качения от скорости тела может быть проверена только опытным путем. Если это так, то уравнение движения

шара (21) имеет вид (23)

причем — постоянная величина. Отметим, что точно такое же уравнение можно

получить, если оставить связь (13), но вместо условия (14) взять связь между моментом силы трения и силой трения вида

(24)

где λ < 1 — некоторый постоянный коэффициент. Связь (24) можно интерпретировать так: тело или плоскость несколько деформируется, поэтому плечо силы трения λR намного меньше, чем для случая абсолютно жесткого контакта.

Обратимся теперь конкретно к нашей задаче о движении наклонного маятника. В общем случае вопрос о силе трения качения выходит за рамки чисто механических моделей и требует учета вида деформации поверхности, а также изучения характера взаимодействия в зоне контакта тела и поверхности.

Рассмотрим силы, действующие на шар (рис. 4).

Рис. 4. Рис.5.Силу тяжести mg разложим на две составляющие силы, направленные перпендикулярно

и параллельно плоскости: . Co стороны наклонной плоскости

на шар действует сила реакции опоры — N так, что сумма всех сил в направлении перпендикулярном плоскости, равна нулю.

Силу FII (рис. 5) разложим также на две составляющих, направленных вдоль нити и перпендикулярно ей: и Таким образом, возвращающая сила в

скалярной форме равна (25)

где х — длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия, знак минус взят

потому, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению. На шар действует сила трения

Page 8: Лабораторная работа № 7

8

направление которой зависит от направления скорости проскальзывания u. Если шар движется справа налево (как на Рис. 5), то

и

При u >0 и F<0. Подставляя (25) и (26) в (21), получаем уравнение движения маятника:

(27)

При этом знак «+» берется, когда шар движется справа налево, знак «—» соответствует движению слева направо. Таким образом, уравнение движения (27) — это фактически два уравнения, описывающих движение тара в противоположных направлениях. Чтобы получить решение уравнения (27). необходимо обладать известным терпением и навыком. Именно поэтому мы избрали более наглядный энергетический подход для вывода формулы (10).

Однако уравнение движения дает еще информацию о периоде колебаний и, кроме того, раскрывает физический смысл неравенств (7) и (9).

Пусть вначале мы отклонили маятник на некоторый угол вправо и без толчка отпустили его. Когда шар покатится? Это будет, если а<0 или как следует из уравнения (27), при условии

(28)

Обозначим Область углов |α|<α0 является областью застоя, в этой

области сила трения больше возвращающей силы. Таким образом, физический смысл неравенства (7) очевиден, углы, а должны быть много больше угла застоя α0 , чтобы колебаний было достаточно много и маятник не остался сразу в зоне застоя.

Будем рассматривать малые колебания, тогда но одновременно

Тогда уравнение (27) можно записать так:

(29)

где — частота колебаний. Для периода колебаний получаем

следующее выражение:

где

Так как момент инерции шара массой m равен где R — радиус шара, то

поэтому

Эту зависимость нетрудно проверить экспериментально и убедиться в справедливости принятой модели трения качения.

Page 9: Лабораторная работа № 7

9

Измерения1. Измерение коэффициента трения µ. Наклонную плоскость устанавливают под

некоторым углом β. Шар отводят на угол и без толчка отпускают. Подсчитывают число колебаний, за которое амплитуда уменьшилась на 2 — 3°.

По формуле (10) вычисляют .

2. Измерение зависимости периода колебаний от угла β. Изменяют угол наклона β в диапазоне Для каждого β измеряют миллисекундомером период колебаний.

Измерения проводят 2—3 раза при различных углах α<<1.Задание.

1. С помощью регулировочных винтов установите наклонную плоскость вертикально. При этом нить маятника занимает вертикальное положение и устанавливается напротив отметки О на шкале углов . Шар почти касается наклонной плоскости.

Установите и закрепите шкалу углов Р на отметку = 90°. Затем установите плоскость

под углом = 45°.

Отведите маятник на угол = 6 + 10° и подсчитайте число колебаний, когда шар опустится на угол 2°. Затем, стартуя с того же угла, подсчитайте число колебаний, при

которых шар опустится на 3 и 4°.Установите наклонную плоскость под углами = 30° и =60° и проделайте все

измерения для этих углов.Результаты опытов занесите в табл.Выяснить, насколько значения отличаются одно от другого при различных .

2. Найдите зависимость от sin .

Цель этого задания — убедиться в справедливости зависимости

Таблицы зависимости квадрата периода колебания от функции .

Для алюминия.30о 45о 60о

Т 1,734 2,025 2,334

Page 10: Лабораторная работа № 7

10

Т2 3,01 4,10 5,45

2,0 1,414 1,154

Для меди.30о 45о 60о

Т 1,783 1,935 2,309

Т2 3,18 3,74 5,20

2,0 1,414 1,154

Для стали.30о 45о 60о

Т 1,844 2,023 2,402

Т2 3,40 4,10 5,76

2,0 1,414 1,154

5. Обработка результатов измерений.

По формуле рассчитываем , потом по формуле

находим , а затем

Для алюминия: ,

,

,

.

Для меди:,

,

,

.

Для стали: ,

,

,

.

Page 11: Лабораторная работа № 7

11

Расчет погрешностей:

Для алюминия:

Относительная погрешность:

Для меди:

Относительная погрешность:

Для стали:

Относительная погрешность:

Запись результатов:

Для алюминия: Для меди: Для стали:

Page 12: Лабораторная работа № 7

12

4.Таблицы с результатами измерений.Таблицы с измерениями для алюминия.

45o

6o2o 4 8,101 0,003532

0,00372845o

6o 3o 5 9,578 0,004238

0,00372845o

6o

4o 9 18,621 0,003140

0,00372845o

7o2o 4 6,665 0,003532

0,00372845o

7o 3o 6 12,658 0,003532

0,00372845o

7o

4o 8 16,160 0,003532

0,00372845o

8o2o 4 8,664 0,003532

0,00372845o

8o 3o 5 10,677 0,004238 0,00372845o

8o

4o 8 16,111 0,0035320,003728

45o

9o2o 4 8,663 0,003532

0,00372845o

9o 3o 5 16,668 0,004238

0,00372845o

9o

4o 8 16,168 0,003532

0,00372845o

10o2o 4 8,623 0,003532

0,00372845o

10o 3o 5 10,618 0,004238

0,00372845o

10o

4o 7 14,661 0,004037

0,003728

60o

6o2o 4 9,304 0,000698

0,00083160o

6o3o 6 13,550 0,000698

0,00083160o

6o

4o 7 16,175 0,000798

0,00083160o

7o2o 4 9,300 0,000698

0,00083160o

7o3o 5 12,283 0,000837

0,00083160o

7o

4o 7 16,327 0,000798 0,00083160o

8o2o 4 9,301 0,000698

0,00083160o

8o3o 5 11,576 0,000837

0,00083160o

8o

4o 7 18,623 0,000798

0,00083160o

9o2o 3 6,556 0,000930

0,00083160o

9o3o 4 9,289 0,001047

0,00083160o

9o

4o 6 13,597 0,000930

0,00083160o

10o2o 3 6,673 0,000930

0,00083160o

10o3o 5 11,510 0,000837

0,00083160o

10o

4o 6 13,532 0,000930

0,000831

30o

6o2o 6 10,380 0,00931

0,01002630o

6o 3o 9 16,641 0,00931

0,01002630o

6o

4o 12 21,515 0,00931

0,01002630o

7o2o 6 10,683 0,00931

0,01002630o

7o 3o 8 14,237 0,01048

0,01002630o

7o

4o 12 21,526 0,00931

0,01002630o 8o

2o 6 10,677 0,00931

0,01002630o 8o 3o 8 14,210 0,01048

0,01002630o 8o

4o 12 19,569 0,00931 0,010026

Page 13: Лабораторная работа № 7

13

30o

9o2o 5 8,670 0,01117

0,01002630o

9o 3o 7 12,271 0,01197

0,01002630o

9o

4o 10 17,785 0,01117

0,01002630o

10o2o 6 10,658 0,00931

0,01002630o

10o 3o 8 14,184 0,01048

0,01002630o

10o

4o 11 19,490 0,01016

0,010026

Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.Таблицы с измерениями для меди.

45o

6o2o 4 7,797 0,003532

0,00435345o

6o 3o 6 11,685 0,003532

0,00435345o

6o

4o 8 15,528 0,003532

0,00435345o

7o2o 3 5,835 0,004709

0,00435345o

7o 3o 6 11,643 0,003532

0,00435345o

7o

4o 7 13,604 0,004037

0,00435345o8o

2o 3 5,825 0,004709

0,00435345o8o 3o 5 9,675 0,004238

0,00435345o8o

4o 6 11,628 0,004709 0,00435345o

9o2o 3 5,806 0,004709

0,00435345o

9o 3o 4 7,744 0,005298

0,00435345o

9o

4o 6 11,612 0,004709

0,00435345o

10o2o 3 5,802 0,004709

0,00435345o

10o 3o 4 7,733 0,005298

0,00435345o

10o

4o 7 13,579 0,004037

0,004353

30o

6o2o 4 7,144 0,01397

0,01439130o

6o 3o 5 8,928 0,01676

0,01439130o

6o

4o 9 16,126 0,01242

0,01439130o

7o2o 5 8,920 0,01117

0,01439130o

7o 3o 6 10,714 0,01397

0,01439130o

7o

4o 8 14,253 0,01397

0,01439130o8o

2o 4 7,127 0,01397

0,01439130o8o 3o 6 10,699 0,01397

0,01439130o8o

4o 7 12,489 0,01596 0,01439130o

9o2o 4 7,118 0,01397

0,01439130o

9o 3o 6 10,681 0,01397

0,01439130o

9o

4o 9 16,036 0,01242

0,01439130o

10o2o 3 1,338 0,01862

0,01439130o

10o 3o 5 8,907 0,01676

0,01439130o

10o

4o 8 14,236 0,01397

0,014391

60o

6o2o 2 4,695 0,001396

0,00133660o

6o 3o 3 7,490 0,001396

0,00133660o

6o

4o 4 9,295 0,001396

0,00133660o

7o2o 2 4,620 0,001396

0,00133660o

7o 3o 3 6,938 0,001396

0,00133660o

7o

4o 4 9,253 0,001396

0,00133660o

8o2o 2 4,594 0,001396

0,00133660o

8o 3o 3 6,928 0,001396 0,00133660o

8o

4o 4 9,255 0,0013960,001336

Page 14: Лабораторная работа № 7

14

60o

9o2o 2 4,583 0,001396

0,00133660o

9o 3o 4 9,225 0,001047

0,00133660o

9o

4o 5 11,557 0,001117

0,00133660o

10o2o 2 4,600 0,001396

0,00133660o

10o 3o 3 6,905 0,001396

0,00133660o

10o

4o 5 11,496 0,001117

0,001336

Таблицы с измерениями для стали.

45o

6o2o 12 24,300 0,001177

0,0014945o

6o 3o 15 30,360 0,001413

0,0014945o

6o

4o 21 42,401 0,001346

0,0014945o

7o2o 10 20,194 0,001413

0,0014945o

7o 3o 13 26,336 0,00163

0,0014945o

7o

4o 18 36,454 0,001570

0,0014945o

8o2o 11 24,230 0,001284

0,0014945o

8o 3o 15 30,354 0,001413 0,0014945o

8o

4o 19 38,496 0,0014870,00149

45o

9o2o 12 24,238 0,001177

0,0014945o

9o 3o 14 28,409 0,001514

0,0014945o

9o

4o 15 40,628 0,001884

0,0014945o

10o2o 9 18,195 0,001570

0,0014945o

10o 3o 12 25,838 0,001766

0,0014945o

10o

4o 16 32,394 0,001766

0,00149

30o

6o2o 13 23,767 0,00430

0,0054630o

6o 3o 16 29,572 0,00524

0,0054630o

6o

4o 23 42,457 0,00486

0,0054630o

7o2o 11 20,528 0,00508

0,0054630o

7o 3o 14 25,635 0,00559

0,0054630o

7o

4o 21 38,769 0,00532

0,0054630o8o

2o 10 18,440 0,00559

0,0054630o8o 3o 17 31,359 0,00493

0,0054630o8o

4o 22 40,370 0,00508 0,0054630o

9o2o 11 20,512 0,00508

0,0054630o

9o 3o 14 25,525 0,00599

0,0054630o

9o

4o 19 35,177 0,00588

0,0054630o

10o2o 9 16,655 0,00621

0,0054630o

10o 3o 12 22,230 0,00698

0,0054630o

10o

4o 19 25,191 0,00588

0,00546

60o

6o2o 7 16,631 0,000399

0,0003660o

6o 3o 11 26,550 0,000381

0,0003660o

6o

4o 14 31,541 0,000399

0,0003660o

7o2o 9 21,625 0,00031

0,0003660o

7o 3o 11 26,446 0,000381

0,0003660o

7o

4o 15 36,117 0,000372

0,0003660o

8o2o 9 21,535 0,00031

0,0003660o

8o 3o 11 26,428 0,000381 0,0003660o

8o

4o 15 36,329 0,0003720,00036

60o

9o2o 8 21,546 0,000349

0,0003660o

9o 3o 12 28,602 0,000346

0,00036

Page 15: Лабораторная работа № 7

15

9o

4o 15 35,546 0,000372

10o2o 8 19,175 0,000349

10o 3o 11 26,326 0,00038110o

4o 15 36,786 0,000372

5. Обработка результатов измерений.

По формуле рассчитываем , потом по формуле

находим , а затем

Для алюминия: ,

,

,

.

Для меди:,

,

,

.

Для стали: ,

,

,

.

Расчет погрешностей:

Для алюминия:

Page 16: Лабораторная работа № 7

16

Относительная погрешность:

Для меди:

Относительная погрешность:

Для стали:

Относительная погрешность:

Запись результатов:

Для алюминия: Для меди: Для стали:

6. Вывод.

Я научился измерять коэффициент трения качения. Изучил силы трения качения

методом наклонного маятника.