第第 88 章 频率响应及信号的频章 频率响应及信号的频谱谱

第 8 章 频率响应及信号的频谱

8.1 谐振 8.2 频率特性 8.3 非正弦周期电路与频谱

1. 掌握 RLC 串、并联电路谐振的条件、固有频率及谐振时电路的性质；

2. 掌握二阶电路中，不同对象作为响应时的电路幅频特性和相频特性的分析方法；

3. 了解通频带的概念和滤波器的原理；

4. 初步掌握非正弦稳态电路的分析方法。

教学要求教学要求

8.1 谐振 谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。在无

线电、通信工程等弱电系统中常利用电路的谐振构成选频电路，而在强电系统中往往要避免谐振的发生。最常见的谐振电路为串联谐振和并联谐振。

含 R 、 L 、 C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。

定义：

R,L,C电路U

I

ZI

U

发生谐振

RjXR

1 RLC 串联谐振

+

_R

j L1

jC

U

I

1( )Z j R j L

C

输入阻抗

jR X

当 时电路发生谐振，即0X 1 0ω LC

0

1ω

LC 0 ：谐振角频率，与电路参数有关

00

1 12π 2π

fLC

f0 ：谐振频率（或固有频率）

串联电路实现谐振的方式：

(1) L C 不变，改变 或 f

(2) 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 。

0 由电路参数决定，一个 R L C 串联电路只有一个对应的 0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

LCω 1

0

串联谐振的特点 （ 1 ）电路的

电流有效值最大，消耗的平均功率最大

Z R

阻抗呈阻性，阻抗值最小

U UI

Z R

+

_R

j L1

jC

U

I

（ 2 ） 0

1,

LC

谐振频率仅与 L ， C 有关，而与 R ， U 无关。

（ 3 ） LC 上的电压大小相等，相位相反， LC 串联总电压为零，也称电压谐振，即

LU

CU

RU

I

0L CU U

+

_R

j L1

jC

U

I

+_

LU +_

CU0

0

1ω LC

RU U+

_RU

I

LC 相 当 于 短路

谐振时：

（ 4 ）品质因数 Q

0

0

1 1L LQ

R CR R C

定义反映电路的选择性能的重要指标品质因数：

R

0

0

1 LL

C C

令： 称为特性阻抗

则： 00L

LU j LI j U jQU

R

0 0

1 1CU j I j U jQU

C CR

L CU U QU

当 = 0L=1/(0C )>>R ，即 Q>>1 时， UL= UC >>U

由于 UU U CL 可能会击穿电感或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振。

如 Q=100,U=220V, 则在谐振时22000V QUUU CL

所以电力系统应避免发生串联谐振。

但在无线电工程上，常利用串联谐振，以获得比输入电压大许多倍的电压，或达到选择信号的作用。

应用举例接收机的输入电路

L1 ：接收天线线圈LC ：组成谐振电路

为来自 3 个不同电台 ( 不同频率 )的电压信号；

210 uuu 、、

调 C ，对所需信号频率产生串联谐振

C

L

R

0u

1u

2u

1f

2f

3f

等效电路

+

-

Cu

QUU

II

C max0

最大则

1L C

电路图

L

（ 5 ）谐振时的电容电感的功率和能量

P=UIcos＝ UI ＝ RI2=U2/R，表明 : 电源向电阻提供能量，电阻功率达最大。

0sin CL QQUIQ

L CQ Q

表明 : 电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

+

_R

j L1

jC

U

I1 ）功率

(5) 谐振时的能量关系

2 2 2m 0

1 1 cos2 2C CW Cu LI t

tICLt

CI

uC 0m

o

00

m cos)90sin(

2 2 2m 0

1 1 sin2 2LW Li LI t

tUu 0m sin设 tItR

Ui 0m0

m sinsin 则

电场能量

磁场能量

总能量： 2 2 20 0

2 2 2 2 2 2

1(sin cos )

21 1

2 2

L C m

m Cm C

W W W LI t t

LI CU LI CU CQ U

总能量是不随时间变化的常量

C 的电场能量和 L 的磁场能量作周期振荡性的交换

W=WL+WC

WL WC

LI2= CUC2

t

12

12

0

2 2m 0

1 cos2CW LI t 2 2

m 01 sin2LW LI t

2 2W CQ U

Q 越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好

16.2R 0.26L mH 100 pF

10 V10 V

【例 8.2 】一线圈与电容串联，线圈电阻电感 ，当把电容调节到 时发生

电容电压 ；（ 3 ）若外加电压仍为 但其频率比谐振

串联谐振，（ 1 ）求谐振频率及品质因数 ； （ 2 ）设外加电压为 其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流及

频率高 10% 求电容电压。解：等效为 RLC 串联电路（ 1 ）谐振频率及品质因数为

30 3 12

1 1990 10 Hz

2 2 0.26 10 100 10f

LC

3 30 02 2 990 10 0.26 10

10016.2

L f LQ

R R

（ 2 ）谐振时的电流及电容电压为

AR

UI 617.010617.0

2.16

1010 66

0

VQUUC36 101010100

（ 3 ）电源频率比谐振频率提高 10% 时 3

0' (1 0.1) 1089 10f f Hz

'

3 12

1 11460

2 1089 10 100 10CXC

' 3 32 1089 10 0.26 10 1780LX L

' 2 2 2 2( ) 16.2 (1780 1460) 320L CZ R X X

VZ

UXIXU CCC

46

'''' 10456.0320

10101460

'

当 电 源 频 率偏 离 电 路 的谐 振 频 率 时， 电 容 电 压显著下降，可起到 选 择信 号 的 作 用。

1 RLC 并联谐振 输入导纳

1j( )Y G ωCωL

谐振时 1 0ωCωL

谐振角频率 01ωLC

谐振频率： 01

2f

LC

谐振特点：

①输入导纳为纯电导，导纳值 |Y| ＝ G 最小，即阻抗值|Z| ＝ R 最大，输入电流一定时，端电压达最大。

（ 2 ） LC 上的电流大小相等，相位相反， LC 并联总电流为零，也称电流谐振，即

CI

LI

GI U

0L CI I

00

1Cω L

G SI IGSI

GILC 相 当 于开路

谐振时：

（ 3 ）品质因数 Q 0

0

1 1C LQ

LG G G C

0 0j j SC

II U C C

G

0 0

1

j j S

L

IUI

L G L

IL(0) =IC(0) =QIS

SjQI

SjQI

（ 4 ）谐振时的功率 2

0L

UQ

L2P UI U G

0C QQL

20CQ CU

表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，作周期性的震荡。

能量的总和为

2 20 0 0( ) ( ) ( )L C SW W W LQ I = 常数

3 实际的并联谐振电路

I

R

IL IC

jωC1

jωL

. . .

U

+

-LRCY

j1j

))(

(j)( 2222 LR

LCLR

R

0)( 2

0

20

0

LωR

LωCω谐振时

2

0

11

CR

LLC

I

R

IL IC

jωC1

jωL

. . .

U

+

-

2

0

11

CR

LLC

可见电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足：

2

1 0,CR

L ,

LR

C即 时 电路才能够发生谐振。

. , , 0是虚数因不会发生谐振时当 ωC

LR

谐振时的输入导纳为 0 2 2

0

( )( )

R CRY j

R ω L L

【例 8.1 】 试判断图示电路能否发生谐振？如能发生谐振，求出其谐振频率。

m

n

L1

L2

C

2 1 21 2

21 2

2 1

1( )

(1 )1 [ ( ) 1]mn

j L j LL L Cj C

Zj L L Cj L j L

j C

2

1

LC

当分子为零时， LC2支路的阻抗为零，该支路产生串联谐振，此时有

当分母为零时， LC2支路和 L1支路并联的阻抗为∞，产生并联谐振，此时有

1 2

1

( )L L C

8.2 频率特性 当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、

容抗将跟随频率变化，电路的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路的频率特性，又称频率响应。

频率特性分为幅频特性和相频特性

若 H(j) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：

模与频率的关系 |~)(j| H幅频特性

幅角与频率的关系 ~)(j相频特性 下面以 RLC 串联电路为例子说明

1 幅频特性与幅频特性曲线

+

_R

j L1

jC

U

I1( )Z j R j L

C

)()( jjZ 其中

2 21( ) ( )Z j R L

C

：阻抗的幅频特性方程

O

XL

ωOXC

ωOXC

XL

X

ωω 0O

XC

R

|Z(jω )|XL

X

ωω 0

0

0

0

当 时阻抗是呈容性；

时阻抗呈阻性时阻抗呈感性。

当当

阻抗的幅度频率曲线 :

网络函数 在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。

1) 电容电压为响应的网络函数

+

_

Rj L

1j

CU

I

+

_ CU

2

1( )

1( )

1

(1 )

CC

U j CH j

U R j L C

LC j RC

0 1 / LC

0

0

1 1L LQ

R R C R C

2 2 2

20 0

1( )

1[1 ( ) ] ( )

CH j

Q

2 2 2

20 0

1( )

1[1 ( ) ] ( )

CH j

Q

0 ( ) 1CH j

0 ( )CH j Q

( ) 0CH j

当 时

当 时

当 时

1

Q=0.7

Q=2.4Q=1.2

O

|HC(jω)|2

ωc/ω0 ω/ω01 2 3

1/ 2

可见： RLC 串联电路电容输出端对高频率电压有较大衰减，从而构成低通滤波电路

电容电压幅频特性曲线

2) 电感电压为响应的网络函数

+

_

Rj L

1j

CU

I

+ _LU

0 1 / LC

0

0

1 1L LQ

R R C R C

( )

1( )

LL

UH j

Uj L

R j L C

2 2 20 02

1| ( ) |

1[1 ( ) ] ( )

LH j

Q

0

0

当 时

当 时

当 时

0)( jH L

QjH L )(

( ) 1LH j

1 2 3

1

2

O

Q=2.3

Q=0.7

Q=1.2

|HL(jω)|

ωc/ω0

1/ 2

ω/ω0

可见： RLC 串联电路电感两端电压对低频电压有较大衰减，从而构成高通滤波电路

L Cd ( ) d ( )0 , 0

d d

H j H j

与 的极值点：令

( )CH j ( )LH j

当0 2

11

2Q 时

max

2

11

4

L

QH

Q

当 时 0

2

11

2Q

max

2

11

4

C

QH

Q

max maxC LH H

2

11 0

2Q

1

2Q

可见：

，即 且要求

3) 电阻电压为响应的网络函数

+

_

Rj L

1j

CU

I

+ _RU

0

0

当 时

当 时

当 时

( ) 0RH j

( ) 1RH j

( ) 0RH j

0

0

( )

1( )

1

1 ( )

RR

UH j

UR

R j L C

jQ

2 20

0

1| ( ) |

1 ( )RH j

Q

可见： RLC 串联电路的电阻电压具有带通滤波的性质

4)LC 电压为响应的网络函数

0

0

当 时

当 时

当 时

( ) 1LCH j

( ) 0LCH j

( ) 1LCH j

2 20

2 20 0

1( )

1 ( ) /( )L C

LC

j LU U j CH j

U j QR j L C

2 20

2 2 2 2 2 20 0

| || ( ) |

( ) /LCH j

Q

其响应具有带阻滤波的性质

2 相频特性与相频特性曲线

+

_R

j L1

jC

U

I1

( )Z j R j LC

( ) ( )Z j 其中

0

0

当 时

时时

当当

阻抗的相频特性曲线 :

1

( ) arctanL

CR

( ) 90

( ) 0

( ) 90

也为 u 、 i 的相位差

0

90°

-90°

ω0 ω

(ω)

1) 电容电压相频特性

2

11

( )1 (1 )( )

CC

U j CH j

U LC j RCR j L C

2( ) arctan

1C

CR

LC

0 1 / LC

0

0

1 1L LQ

R R C R C

0

0

1( ) arctan

( )C

Q

当 时 ( ) 0C 0

0

当 时 ( ) 90C 0

1 当 时 ( ) 180C

0

-90°

ω/ω02.3Q 1.2Q

O

-180° 7.0Q

(ω)1

电感电压的相频特性

电阻电压的相频特性

电容电压的相频特性曲线 :

0

0

1( ) arctan

( )L

Q

0

0

( ) arctan ( )R Q

1 2 3

180°

90°

O

Q=2

Q=0.7Q=1

L(ω)

ω/ω0

电感电压的相频特性曲线 :

1 2 3

-90°

O

90°

ω/ω0

R(ω)

Q=1

Q=2

Q=0.7

电阻电压的相频特性曲线 :

3 通频带 1 ：上限截止频率

2 ：下限截止频率

通频带：

1 2| ( ) | | ( ) |

0.707 | ( ) |R R

R

H j H j

H j

2 1BW

2 20

0

1 1| ( ) |

21 ( )

RH j

Q

令： 2

2 0

0

1Q

2

2 0

0

1Q

20

1 1 14

2 Q Q

0

0

2

0

1 11

2 2Q Q

2

1 0

1 11

2 2Q Q

2

2 0

1 11

2 2Q Q

02 1BW

Q

可见，通频带宽与电路谐振时的品质因数成反比， Q 越大，带宽 BW 越小，谐振曲线的形状越尖锐，电路的选择性越好。

4 滤波器 实际上就是选频电路，允许或者阻止一部分频率通过电路

(a)理想低通滤波器 (b)理想高通滤波器

(c)理想带通滤波器 (d)理想带阻滤波器

( )H

C

C

1C1C

2C

2C

( )H

( )H ( )H

【例 8.3 】一阶 RL低通滤波电路

R •U1• U2

网络函数： R

RH j

R j L

2 2

/

( / )R

R LH j

R L

幅频特性：

0

C

当 时

时

时

当

当 1

2RH j

令：

得截止频率：

c

R

L

( ) 0.707RH j

( ) 1RH j

( ) 0RH j

1

O

|HR(jω)|

ωc ω

0.707

选择 R 和 L 的值，构成一个截止频率为 10Hz 的低通滤波器

R •U1• U2

选择 L=100mH

2 10c 32 10 100 10 6cR L

如果以电感作为响应，就是高通滤波器，且截止频率仍然是

c

R

L

8.3 非正弦周期电路与频谱 在实际应用中，电信工程中传输的各种信号大多数是按非正弦规律变动的，产生非正弦周期信号的原因一般有两种，一是发电厂产生的电压不是标准的正弦电压，二是电路中存在非线性元件，使其响应是非正弦信号。

本节主要介绍非正弦周期电路的谐波分析法，它是利用傅里叶级数将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后根据线性电路的叠加性质分别计算各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流或电压分量，把所得的分量按时域形式叠加。

1 正弦稳态的叠加

2 2cost 3sin2t Vsu 【例 8.4 】图示电路，已知

，求稳态电压 u 。1Ω

+

_us 1Ω

1H 1F

+

_

u

解：网络函数为

2

11/ /( 1)

( ) 1( )

1( ) 2( ) 2 11/ /( 1)S

U j jjH j

U j j jjj

应用叠加定理，分别求出每个激励分量作用时的响应。

（ 1 ）当直流电压 u=2V单独作用时 0 2Vu

2 2cost 3sin2t Vsu

1Ω+

_us 1Ω

1H 1F

+

_

u2

( ) 1( )

( ) 2( ) 2 1S

U j jH j

U j j j

( 1) 2 0 VSU j （ 2 ）当 2cost单独作用时，激励相量为响应电压相量：

2

1 1( 1) ( 1) ( 1) 2 0 1.26 71.57

2( 1) 2( 1) 1S

jU j H j U j V

j j

( 2) 3 90 VSU j （ 3 ）当 3sin2t=3cos(2t-90º) 单独作用时，激励相量为

1 1.26cos( 71.57 )Vu t

2

2 1( 2) ( 2) ( 2) 3 90 0.83 176.82

2( 2) 2( 2) 1S

jU j H j U j V

j j

2 0.83cos(2 176.82 )Vu t

1 1.26cos( 71.57 )Vu t

2 0.83cos(2 176.82 )Vu t

0 2Vu

叠加得

0 1 2

2 1.26cos( 71.57 ) 0.83cos(2 176.82 )V

u u u u

t t

结论：对于非正弦周期信号电路的分析，可以采用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，将各个分量叠加，得到非正弦周期信号下的响应。

2 非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱 若周期函数 ( ) ( )f t f t kT 满足狄利赫利条件

则可展开成收敛的傅里叶级数0 1 1 2 2( ) [ cos sin ] [ cos 2 sin 2 ]f t a a t b t a t b t

[ cos sin ]k ka k t b k t

01

cos sink kk

a a k t b k t

0 0

1( )

Ta f t dt

T

0

2( )cos

T

ka f t k tdtT

0

2( )sin

T

kb f t k tdtT

式中各个系数满足 :

也可表示成：

0 1 1 1( ) cos( )f t c c t

cos( )k k kc t

01

cos( )k kk

c c k t

0 0c a

2 2k k kc a b

arctan kk

k

b

a

2 1 2cos(2 )c t

直流分量 基波（和原函数同频）二次谐波（ 2倍频）

高次谐波

式中 :

①偶函数 ②奇函数当 f(t)是：

( ) ( )f t f t

/ 2

0 0

2( )

Ta f t dt

T

/ 2

0

4( )cos

T

ka f t k tdtT

0kb

( ) ( )f t f t

0 0a

0ka / 2

0

4( )sin

T

kb f t k tdtT

－ T/2

t T/2

f (t)

0

如

－ T/2

t T/2

f (t)

o

如

③奇谐波函数

( ) ( / 2)f t f t T 0

/2

0

/2

0

0

0 0 ( )

4( )cos ( )

4( )sin ( )

k k

T

k

T

k

a

a b k

a f t k tdt kT

b f t k tdt kT

为偶数

为奇数

为奇数

利用函数的对称性可使系数的确定简化

t

f (t)

T/2 To

如

【例 8.5 】将图 8-19 所示的方波分解成傅里叶级数。

－ T/2

t T/2

f (t)

0

A

－ A

解： 是偶函数（也为奇谐波函数）( )f t

/ 2 /4 /2

0 0 0 /4

2 2( ) [ ( ) ] 0

T T T

Ta f t dt Adt A dt

T T

/ 2

0

4( )cos

T

ka f t k tdtT

0kb

04( )

4 2

TA t

f tT T

A t

/ 4 /2

0 /4

4( cos cos )

T T

TA k tdt A k tdt

T

/ 4 /2

0 /4

4[(sin ) (sin ) ]

T T

T

Ak t k

Tk

41,5,9,

43,7,11

Ak

kA

kk

傅里叶级数为4 1 1 1

( ) (cos cos3 cos5 cos7 )3 5 7

Af t t t t t

41,5,9,

43,7,11

k

Ak

kaA

kk

－ T/2

t T/2

f (t)

0

A

－ A

3 非正弦周期函数的有效值与平均功率

01

( ) cos( )k kk

i t I I k t

若任一周期电流 i 的有效值 I

2

0

1( )

TI i t dt

T 2

001

1[ cos( )]

T

k kk

I I k t dtT

2

0

1( )

TI i t dt

T 2

001

1[ cos( )]

T

k kk

I I k t dtT

平方展开后含有 :

2 20 00

1 TI dt I

T

2 2 2

0

1cos ( )

T

k k kI k t dt IT

00

12 cos( ) 0

T

kI k t dtT

' '0

12 cos( )cos( ' ) 0 ( ')

T

k k k kI I k t k t dt k kT

2 20

1

1

2 kk

I I

I 2 2 20 1 2I I I

周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

0 00 0 01

0 00 01 1

' '01 ' 1

( ')

1 1 12 cos( ) 2 cos( )

1 12 cos( ) 2 cos( )

1 + 2 cos( ) 2 cos( ' )

T T T

k uk k ikk

T T

k uk k ikk k

T

k uk k ikk kk k

P uidt U I dt U k t I k t dtT T T

I U k t dt U I k t dtT T

U k t I k t dtT

4. 非正弦周期交流电路的平均功率0

1

01

2 cos( )

2 cos( )

k ukk

k ikk

u U U k t

i I I k t

平均功率P

0 0 0 01

cosk k k kk

P U I P U I U I

为 0

平均功率等于直流分量的功率和各次谐波平均功率的代数和

0 0( ) 10 100cos(100 30 ) 40cos(200 15 )u t t t V 0 0( ) 2 10sin(100 60 ) 5sin(300 45 )i t t t A

【例 8.6】已知 u 、 i ，求其平均功率。

0 0100 1010 2 cos(30 ( 30 )) 270

2P W

解：注意，各次谐波平均功率计算时电压与电流的频率要一一对应且频率相同。

相位频谱 （ ）表征非正弦周期波形的各次谐波的相位与频率关系。 振幅频谱和相位频谱统称信号的频谱，它与傅里叶级数完全对应。

4 信号的频谱 幅度频谱：把各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序排列起来。（ ）

表征非 正 弦 周 期波形的各次谐 波的 振 幅 与 频 率 关系。

m 1~kA k 的图形

1111 7 5 3

Akm

0 kω1

的图形 1~k k

【例 8.7 】作出图示方波的振幅频谱和相位频谱。 f(t)

A

T tO

A

T2

T2

解：方波的傅里叶级数的系数为 / 2

0

4sin

T

kc A k tdtT

/ 2

0

4(cos )

TAk t

Tk

41,3,5,7,

Ak

k

傅里叶级数展开式为

2 2 2 2

8 1 1 1( ) (sin sin 3 sin 5 sin 7 )

3 5 7

Af t t t t t

2 2 2 2

8 1 1 1( ) (sin sin 3 sin 5 sin 7 )

3 5 7

Af t t t t t

Ck

4Aπ

O

φk

π/2O

π/2

（a）振幅谱 （b）相位谱 3

9

k

k

75