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第 9 章 智能天线数字波束形成 (DBF)

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本章及第十章、第十一章空域自适应滤波技术。数字波束形成（ DBF ）、自适应阵列、自适应天线、智能天线等。 著作 Monzingo[9-2] 、 Hudson[9-3] 、

Farina[9-8] 、 L.berti 和 Rappapoort[9-13] 综述文章Steyskal[9-4] [9-7] 、Compton[9-5] 、 VanVeen[9-6] 、Gabrial[9-1] [9-9] 、Godara[9-10] [9-11] 。

3

§9.1 数字波束形成 (DBF) 概述9.1.1 波束形成 时域滤波器 在通带频率范围内通过需要信号， 在阻带频率范围内滤除或抑制不需要信号或干扰。 时间频率滤波器频率响应 H(f) 当输入为等幅正弦波时滤波器输出与时间频率 f 的关系。

4

在空域滤波中，对应于时间频率的空间频率为时间频率滤波器对应于空间频率滤波器，空域滤波器。空域滤波器在主波束方向范围内通过需要信号在主波束之外的方向范围内滤除或抑制不需要信号或干扰。空域滤波器的响应 H(θ)则表示当到来波为等幅平面波时，滤波器输出与空间频率或者说 θ 的关系空间滤波器为阵列天线处理系统。接收阵列天线处理系统输出与平面波到来角的关系就是阵列天线的接收波束图。因此，空域滤波器又称波束形成器。根据互易原理，若保持同样的参数则发射波束图与接收波束图是一样的

sin1

5

tjs etstx )()(

0

阵元 m 收到的信号为 :)],([)),(()( m

m

tjms etstx

2( , ) ( , ) ( , )k

k β β

§9.2 阵列天线输入矢量及相关矩阵

(9.2.2)

(9.2.3b)

β

( , ) ( , )

( , )

( , )

( , ) ( , ) /Tm m c r β

（ 9.2.3a ）

2( , ) ( , ) ( / ) ( , ) ( , )T Tm m mc

r β r k

参考点收到的信号

( , )

(9.2.3a)

(9.2.4)

延时相移

6

)()),(( tsts m

式 (9.2.2) 可表示为： ),(jtjs

m

mee)t(s)t(x

考虑复基带信号时有： ),(js

m

me)n(s)n(x

M 个阵元收到的信号可用矢量表示为：

),()n(s)],(jexp[

)],(jexp[)n(s

)n(s

)n(s)n(

M

1

M

1

s

ax

方向矢量为： 1( , ) exp[ ( , )], , exp[ ( , )] TMj j a

（ 9.2.8 ）（ 9.2.9 ）

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

7

),(,),,( 11 LL aaA T

L nsnsn )](,),([)( 1 s

且在参考点的入射信号分别为若有 L 个平面波以入射角 入射到阵上，

则相应的阵输入的复基带信号矢量为

Llll ,,1),,(

Llets tjl ,,1,)(

阵列对信号的方向矩阵 信号矢量

(9.2.10)

1

1

1 1

( ) ( ) ( , )

( )( , ), , ( , )

( )

( )

L

s l l ll

L L

L

n s n

s n

s n

n

x a

a a

As

( , )L L

l

1 1( , )

8

带噪声的阵输入矢量可写成：

)()()()()( nnnnn s nAsnxx

)(),()()( nnsnl

lll nax

TM nnnnn )](,),([)( 1 n

jiji

nnnnE ji 0)()(

2*

( , )l l

9

Tm dm 0,)1( r

Tm L

mLmR ])1(2sin,)1(2cos[

r

对于间距为 d 的 M 元均匀线阵，第 m 阵元的位置矢量为 对于 M 元均匀圆阵，第 m 阵元的位置矢量为

10

Llee TMjji ll ,,1,],,,1[ )1( a

L

llls nsnn

1

)()()( aAsx

TL nsnsn )](,),([)( 1 s

LaaA ,,1

对于间距为 d 的 M 元均匀线阵，复基带信号为

操纵矢量

11

对于均匀线阵情况，若真正的需要信号对于均匀线阵情况，若真正的需要信号为为 :: )()( 1 nsns

定向干扰信号为： )()(,),()( 121 nsnjnsnj LL

则： )()()()( nnnsn Js nJAax

TMjjs

SS ee )1(,,,1 a信号的操纵矢量 ： 1,,1,,,,1 )1( Llee

TMjjJl JlJl a定向干扰的操纵矢量：

ssd sin2

JlJld sin2

1,,1 Ll

TlJJJ 1,1 ,, aaA 其中干扰矢量：

12

阵列输入矢量的相关矩阵定义为：)}()({)( nnEn H

xx xxR

nnssxx RRR

HHHss nnE ASAAsAsR })()({

)}()({ nnE HssS

埃尔米特性：埃尔米特性： 非负定性非负定性 ： ： xx

Hxx RR

0vRv xxH

13

非负定埃米特矩阵，故有 M 个非负排序后的特征值：021 sMss 且有相应的 M 个归一化正交的特征矢量 ),,1( Mii q

isiiss qqR Mi ,,1

jiji

jHi 0

1qq

],,[ 1 MqqQ

M

i

Hii

HH

1

qqIQQQQ

Hss QQR Λ sMs ,,diag 1 Λ或

ssR

M

i

Hiisiss

1

qqR

14

设设 LL 个信号源互不相关，则可以证明，个信号源互不相关，则可以证明， MM 个特征值中有个特征值中有 LL 个个大于大于 00 ，， M-LM-L 个等于个等于 00 ，即：，即：01 sLs 0)1( sMLs

L

i

Hiisiss

1

qqR

噪音相关矩阵

M

i

Hiinn

1

22 qqIR

M

Li

Hii

L

i

Hiisinnssxx

1

2

1

2 )( qqqqRRR

M

i

Hiiixx

1

qqR

是 的特征矢量，对应特征值为：iq xxR

MLiLisi

i ,,1,,1

2

2

15

Lqq ,,1 对应于信号，其展成的子空间称为信号子空间： },,{ 1 Ls qqU

ML qq ,,1 对应于噪音，其展成的子空间称为噪音子空间： },,{ 1 MLn qqU

特征矢量 是归一化正交的，所以 中任一矢量均垂直于 中的所有矢量，即 iq sU nU

0)(1

M

Liii

Hi qq Ll ,,1

ns UU

},,{ 1 Ln aaU

即 与 一样组成信号子空间。 },,{ 1 Laa },,{ 1 Lqq

16

sU

信号子空间和噪音子空间的通常处理方法 : xxR

对 进行特征分解，并将特征值按大小排序对 进行特征分解，并将特征值按大小排序：：xxR

0121 MLL

L ,,1

Lqq ,,1 ML ,,1

ML qq ,,1

信号子空间 由 L 个大的特征值 对应的特征矢量张成噪音子空间由其余 M-L 个小的特征值对应的特征矢量张成记信号子空间矩阵： ],,[ 1 LS qqU

噪音子空间矩阵 },,{ 1 MLn qqU

到信号子空间的投影矩阵为： HHHSSS AAAAUU 1)(

到噪声子空间的投影矩阵为： HHHnnS AAAAIUU 1)(

17

§9.3 普通波束形成和多波束形成

18

权矢量 TMww ],,[ 1 w

输入操纵矢量 TMjj ee ],,1[)( )1( a sin2 d

幅度波束图为 )()()( aw HnyF

9.3.1 线阵波束形成

19

波束指向法线方向 0 T]1,,1[ w

此时波束图为

)2/sin()2/sin()()(

1

)1(

MeF

M

m

mjH

aw

]sin)/sin[(]sin)/sin[()(

ddMF

(9.3.6)

20图 9.4 8 阵元均匀线性波束图

21

波束图有以下特点： 波束成 形状，其最大值为波束成 形状，其最大值为 MM 波束主瓣半功率点宽度为：波束主瓣半功率点宽度为：xx /sin

最大付瓣为第一付瓣，且为 -13.4dB 。 为了降低付瓣，必须采用幅度加权，即取：

)(/8.50)(

/886.0

度弧度

MdMdB

amm ww Mm ,,1

22

图 9.5 采用海明加权和未加权的 8 元均匀线阵波束图

23

根据式 (9.3.6) ，波束不但在瞄准方向 θ=0 时取最大值，而且在满足下式的所有 θ 角均取得最大值（栅瓣）：

2sin2 kd

d

k sin

不出现栅瓣条件为 2/d

2d 2/sin k2,1k 90,30

sin( / 2)( )sin( / 2)MF

24

波束电扫 波束指向波束电扫 波束指向 θθ00 的权为：的权为：0 0( 1)

0( ) [1, , ]j j M Tst e e w a

]2/)sin[(]2/)(sin[)()(

0

0

1

))(1( 0

MeFM

m

mjHst aw

)]sin)(sin/sin[()]sin)(sin/sin[(

)(0

0

ddM

F

波束图为波束图为

不出现栅瓣条件为 0sin11

d

25

图 9.6 包括幅度加权、波束指向控制和自适应处理的波束形成器

26

信噪比改善TMjj ee ],,1[)( 00 )1(

0 aw 00 sin2

d

若带噪音时的输入矢量为 )()()()( 0 nnsn nax

信号功率 )}({ 2sin nsEPP s

噪音功率 输入信噪比

22 )}({ nnEPnin2/)( Sin PSNR

阵输出之信号功率 阵输出之噪音功率 输出信噪比

SH

Sout PMnSEP 220 }|)()({| aw

22}|)({| MnnEP Hnout w

inSout SNRMPMSNR )()/()( 2

27

9.3.2 多波束

图 9.7 用 DFT 形成多波束

28

TMjjlll

ll ee ],,1[)( )1( aaw lld sin2

M

m

mjm

Hll

lenxnny1

)1()()()( xw

输出为

令M 2

Mlll 2

1,,1,0 Ml

有 FFT 表达式：

1

0

/21

1

/2)1()(M

m

Mmljm

M

m

Mlmjml exexny

1,,1,0 Ml

第 l 个波束的权矢量为：

29

图 9.8 采用 FFT 形式的 16 波束（阵元数 =16 ，阵元间距 = ，未加窗）

2/

2/

30

波束最大指向

2.7

3.6 10.8 18.2 25.9

34.2 43.4 54.3 69.6

MMll

2

对相移加以修正 2/

图 9.8 采用 FFT 形式的 16 波束（阵元数 =16 ，阵元间距 = ，未加窗）

31

对于窄带信号均匀线阵，采用最小二乘法设计波束形成对于窄带信号均匀线阵，采用最小二乘法设计波束形成设需要的波束为 )(dF

均匀线阵权矢量为 时 w 实际波束为 *)( wa T

选择 ，使实际波束在 等 P 个方向与需要波束尽可P ,,1 能接近。*)()(f wa p

Tpdpe Pp ,,1令

HPee ],,[ 1 e H

Pddd )](f,),(f[ 1 f

)](,),([ 1 P aaA

则 wAfe Hd 最小二乘法通过下列优化式求最佳

22 wAfe HdMin 解为：

器的方法简述如下 :

dH AfAAw 1)(

9.3.3 赋形波束

w

32

9.3.4 面阵波束形成

图 9.9 矩形均匀面阵的几何关系

33

MXN 矩形面阵波束图可用下式表示： ( , ) ( , ) ( , )x yF F F

2( 1) sin sin

1

( , )ydN j n

yn

F e

2

( 1) sin cos

1

( , )xdM j m

xm

F e

sin( sin cos ) sin( sin sin )( , )

sin( sin cos ) sin( sin sin )

yx

x x

ddM NF d d

34图 9.10 用 2 维 FFT 实现矩形面阵多波束

35

9.3.5 9.3.5 发射波束形成发射波束形成

图 9.11 产生指向 θ0 的发射波束的原理

36

ToMomooo wwww ],,,,,[ 21 w

0)1( mjom ew 00 sin2

d

方向为 的远区测试点或接收点，其电场强度可表示为

M

i

mjmm ewIE

1

)1(*)( sin2 d

测试点的归一化电场强度为：

M

i

dmj

eIEF

1

)sin(sin2

)1(

00

0)()(

)]sin)(sin/sin[()]sin)(sin/sin[(

)(0

0

ddM

F

37

图 9.12 L 波束发射波束形成器权为权为 TMjj

iii ee ],,1[ )1( w

iid sin2

38

§9.4 最佳波束形成器

39

最小均方误差（ MMSE ）波束形成器

图 9.13 采用线性组合器的波束形成器

阵输入矢量： TM nxnxn )](,),([)( 1 x

权矢量为： 线性组合器输出

TMww ],,[ 1 w

)()( nny H xw

估计需要信号估计需要信号 d(n)d(n) 之误差之误差 e(n)e(n) 为：为：)()()()()( nndnyndne Hxw

最小均方准则： 2)(neEMin

最佳权方程： xdoptxx rwR

)()( nnE Hxx xxR )()( * ndnExd xr

若 满秩，则有 xxR xdxxopt rRw 1

40

9.4.2 9.4.2 最大信噪比（最大信噪比（ MaxSNRMaxSNR ）波束形成器）波束形成器图 9.13 的波束形成器，设输入矢量可表为 : )()()( nnn nsx

输出信号可表为 : )()()()()()( nynynnnny nSHHH nwswxw

其中 )()( nny HS sw )()( nny H

n nw

输出信噪比为 wRwwRw

nnH

ssH

)()( nnE Hss ssR )()( nnE H

nn nnR

最佳权矢量满足方程： optnnoptss wRwR max

对间隔为 d 的 M 元均匀线阵，若信号入射角为 θ 的平面波，则ss )()( nsn TMjj ee ],,1[)( )1( as

sin2 d

则式 (9.4.18) 成为 swR optnn sRw 1 nnopt

41

对于图 9.13,LCMV 准则的方程式为：

1..)( 2

sw Hout

tsnyEPMin

优化解为：0

1min sRw xxoopt P

其中 为最小输出功率，可表为 ：minoP

10

10min )( sRs xxH

oP

单线性约束 LCMV 处理器

42

宽带多线性约束 LCMV 处理器（ Frost阵）

43

记 TMJMMmJmmJ nxnxnxnxnxnxnxnxnxn )](,),(),(),(,),(),(),(,)(),([)( 212111211 xT

MJMMmJmmJ wwwwwwwww ],,,,,,,,,,[ 212111211 w

输出为 wxxw )()()( nnny HH

对此阵列处理器设定 K 个约束 , 此时，各 FIR 抽头的信号为：

TJjMjMJ

TjMjM

MjM

TJjjJ

Tjjj

TJjJ

Tj

eenxeenxenxeenxeenxenx

enxenxnx

)1()1()1(1

)1(1

)1(12121

)1(11111

11111

11111

11

)(,,)(,)()(,,)(,)(

)(,,)(,1)(

其中： cd /sin 111 输入矢量： TTJjMjTjjjTj eeeeeen ],,,,,,1[)( )1()1(1 111111 cx

第一个约束为： 1*T

1*T f)n( wcwx *

1H1 fwc

类似的可以得到第 i 个约束方程为：

44

*i

Hi fwc Ki ,,1

TT)1J(j)1M(jTjjjTji ]ee,,ee,e,,e,1[ iiiiii c cd ii /sin1 约束方程可写成： fwC H

其中 ],,[ 21 KcccC T*K

*2

*1 ]f,,f,f[ fKK 个线性约束的最小方差（个线性约束的最小方差（ LCMVLCMV ）优化方程）优化方程为为 wRw

w xxHnyEMin 2)( fwC Hts ..

约束方程 可写成两个实数方程：}Re{}Re{ fwC H }Im{}Im{ fwC H

构造拉格朗日乘子的性能函数 }Im{}Re{)( fwCfwCwRww HT

jHT

rxxHg ΛΛ

TrKrr ,,1 Λ TjKjj ,,1 Λ其中

45

根据（根据（ A.6.18A.6.18 ）和）和 (A.6.16)(A.6.16)有：有：ΛCwRw optxxW g 2)(0

从而有： ΛCRw 1

21 xxopt

由约束条件 (9.4.41b) 有：fCRCwC Λ1

21

xxH

optH fCRC 11 )(2 xx

HΛ

fCRCCRw 111 )( xxH

xxopt

原问题解为：

jr jΛΛΛ 若记 则乘子式可写成 )}(Re{)( fwCwRww HH

XXHg Λ

46

§9.5 旁瓣对消阵和部分自适应阵

47

)(*

1

*)(

*1

*2*

121( MjMj e

ww

eww

w

自由度矢量 的 M 元线阵 , 幅度波束图如下式T

Mww ],,[ 1 w

)()(f H aw Tjj Mee ],,,1[)( )())(2 a sin)/2)(1()( dmm 对于均匀线阵有 Mm ,,2

)(j*M

)(j*2

*1

M2 eweww)(f

)(

1

)(

1

21

* 21()( MjMj ewwe

wwwf

式中

1w

与 θ 无关，波束形状仅取决于（ M-1 ）个系数

112 /,,/ wwww M

，因而这个阵有（ M-1 ）个自由度。

与 θ 无关，波束形状仅取决于（ M-1 ）个系数 这个阵有（ M-1 ）个自由度。

48

49

对于 M 元阵，使阵在 θ1,…, θL同时产生零点，要求权满足 L个齐次线性方程：

0eweww)(f

0eweww)(f

)(jM

)(j21L

*

)(jM

)(j211

*

LML2

1M12

当 时，上齐次方程组有非零解。 )1( ML

所以 M 元阵我们只能得到（ M-1 ）个波束零点。这就是说， M 元阵具有（ M-1 ）个自由度。

若要求在某 θ1 方向产生一个波束零点，必须选择 使0eweww)(f )(j

M)(j

211* M2

mw

50

若要求在某方向若要求在某方向 θθ22 产生波束最大值，即产生波束最大值，即maxf|)(f

2 0)(

2

ddf

0)()( )(2

*)(22

*2

222 MjMM

j ewew

2]/)([)( 2 dd mm其中

在一个方向产生最大值要求用去一个自由度( 与在一个方向产生零点一样 )有 M 个加权的 M 元阵有（ M-1 ）个自由度，可以实现 L1 个波束最大值和 L2=M-1-L 个波束零点。一个波束最大值或波束零点都将用去 1 个自由度

51

全自适应阵和部分自适应阵全自适应阵和部分自适应阵

图 9.15 部分自适应阵 (a) 子阵法 (b) 波束空间法

52

图 9.16 基于 FFT 波束空间形成波束

53

9.5.3 旁瓣对消阵

54

主天线收到信号主天线收到信号00 jsxm

线性组合器输出 111 jwjwsw Ta

Ta

Tay

对消输出 yjsyde 00

2 20 0

2 2 *0 0 0 0

( )

2Re[ ( ) ]

E e E s j y

E s E j y E s j y

55

若需要信号与干扰无关，均值为零，有

20

20

2 )( yjEMinsEeEMinaa

WW

20

20 )()( seEMinyjEMin

aa

WW

2 20 0

2 2 *0 0 0 0

( )

2Re[ ( ) ]

E e E s j y

E s E j y E s j y

输入输出信噪比 ainout JSJS )/()/(

56图 图 9.18 9.18 旁瓣对消处理器框图旁瓣对消处理器框图

57

M=4 时的一种阻塞网络 Ca 的处理由下式给出：

)(

)(

110001100011

)()()(

4

1

3

2

1

nx

nx

nqnqnq

a

a

a

)()( a nna xCq

旁瓣对消器输出 ：)()()( nnqny a

Ham qw

58

基于旁瓣对消器结构的部分自适应阵基于旁瓣对消器结构的部分自适应阵窄带 M 元均匀线阵，输入矢量和加权矢量分别为T

Mxxx ],,,[ 21 x TMwww ],,,[ 21 w

输出 xwHy 全自适应处理 LCMV 优化准则wRw

w xxHMin fwC Hts ..

其中 Hxx E xxR TKff ],,[ 1 f

TK ],,[ 1 ccC

TMjji

ii ee ],,,1[ )1( c

全自适应处理最佳权为 fCRCCRw 111 xx

Hxx

图 9.19 通用旁瓣对消器（ GSC ） (a) 全自适应 (b) 部分自适应

59

部分自适应部分自适应 LCMVLCMV 权分成两部权分成两部分分am wCww a

设计 使aC 0a CCH

fwCwC m HH

最小化公式（ 9.5.24-25 ）成为 )()( aa amxx

Ham

a

Min wCwRwCww

上式的解为

图 9.19(b) 为部分自适应阵在加入一个降维变换矩阵情况，解为 mxx

Hxx

Hopt wRCCRCw a

1aa )(

mxxHa

Haxx

Ha

Hopt wRCTTCRCTw 1)(

图 9.20 空间特征分解 GSC (a) 全自适应　 (b) 部分自适应

60

特征值分解法特征值分解法旁瓣对消结构最佳权由最小均方误差准则求出

optw

2Min aydE

xw Hmd 由 xCx aa a

Haay xw

adaaopt rRw 1有 其中 Haaaa E xxR *dE aad xr

Haa QQR Λ

],,,[ 21 KM qqqQ

分解 IQQ H ),,,( 21 KMdiag Λ

令a

Ha xQx 则 Λ H

aaaa E xxR adH

aad dE rQxr *

最佳权 adaaoptH

opta

rRwQw1

其中

现设有 J 个干扰，则特征值中有 J 个较大的特征值对应于干扰，另外M－ J个特征值对应于噪音，即 211 KMJJ

可以不用满秩变换而用下式替代 ],,[ 11 JqqQ