Лекция 9. Фигури от втора степен – проективни и афинни...

Лекция 9.Фигури от втора степен – проективни и афинни

свойства

Аналитична геометрия

специалности Математика и Бизнес математика, I курс

Аналитична геометрияЛекция 9. Фигури от втора степен – проективни и афинни свойства

Крива от втора степен

Нека е дадена квадратичната форма

F (x, y, t) = a11x2 + a22y

2 + a33t2 + 2a12xy + 2a13xt + 2a23yt. (1)

Множеството от всички точки M(x, y, t) (реални и комплексни) в раз-ширената равнина R2

, чиито хомогенни координати удовлетворяватуравнението

F (x, y, t) = 0 (F (M) = 0), (2)

се нарича крива от втора степен с уравнение (2).

На кривата от втора степен, определена от (2), съпоставяме симет-рична детерминанта от трети ред по следния начин

det A =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ . (3)


Полупроизводните на функцията F (x, y, t) се определят както следва:

F1(M) = F1(x, y, t) = 12

∂F∂x = a11x + a12y + a13t,

F2(M) = F2(x, y, t) = 12

∂F∂y = a12x + a22y + a23t,

F3(M) = F3(x, y, t) = 12

∂F∂t = a13x + a23y + a33t.

(4)

От анализа е известно следното тъждество на Ойлер

F (M) = xF1(M) + yF2(M) + tF3(M).

За две точки M(x1, y1, t1) и N(x2, y2, t2) изразът

F (M ;N) = x1F1(N) + y1F2(N) + t1F3(N) (5)

се нарича полярна форма на квадратичната форма (1).В сила са свойствата:

F (M ;N) = F (N ;M), F (M) = F (M ;M).


Една точка M се нарича особена за кривата, ако анулира всичкитеи полупроизводни, т.е. ако F1(M) = F2(M) = F3(M) = 0. Съглас-но тъждеството на Ойлер, ако точката M е особена, то F (M) = 0,следователно особените точки лежат върху кривата.

Една крива от втора степен се нарича изродена, ако съдържа прави.Аналитично това означава, че F (x, y, t) може да се разложи на произ-ведение на множители от първа степен. Това се случва, точно когатоdetA = 0.


Проективна класификация на криви от втора степен

Известно е, че чрез неособено линейно преобразувание квадратичнатаформа (1) може да бъде приведена в следния каноничен вид

ε1x′2 + ε2y

′2 + ε3t′2,

където εi = ±1 или 0, i = 1, 2, 3, като уравнениетоε1x

′2 + ε2y′2 + ε3t

′2 = 0 се нарича проективно канонично уравнениена кривата (2).

В зависимост от стойностите на εi различаваме следните 5 случая:

x′2 + y′2 + t′2 = 0 – неизродена имагинерна крива;x′2 + y′2 − t′2 = 0 – реална овална неизродена крива;x′2 + y′2 = 0, което се разлага на (x′ + iy′)(x′ − iy′) = 0 – двекомплексно спрегнати прави (изродена крива);x′2−y′2 = 0, което се разлага на (x′+y′)(x′−y′) = 0 – две реалнипресичащи се прави (изродена крива);x′2 = 0 – двойна права (изродена крива).


Повърхнина от втора степен

Уравнение на повърхнина от втора степен

F (x, y, z, t) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + a44t

2 + 2a12xy

+ 2a13xz + 2a14xt + 2a23yz + 2a24yt + 2a34zt = 0.

Детерминантата, съответстваща на повърхнината

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a14

a12 a22 a23 a24

a13 a23 a33 a34

a14 a24 a34 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ .


Полупроизводните на F (x, y, z, t):

F1(M) = F1(x, y, z, t) = 12

∂F∂x = a11x + a12y + a13z + a14t,

F2(M) = F2(x, y, z, t) = 12

∂F∂y = a12x + a22y + a23z + a24t,

F3(M) = F3(x, y, z, t) = 12

∂F∂z = a13x + a23y + a33z + a34t,

F4(M) = F4(x, y, z, t) = 12

∂F∂t = a14x + a24y + a34z + a44t.


Полярност спрямо фигура от втора степен

Нека е дадена крива от втора степен с уравнение

F (x, y, t) = a11x2 + a22y

2 + a33t2 + 2a12xy + 2a13xt + 2a23yt = 0 (6)

и права g. Ако M1(x1, y1, t1) и M2(x2, y2, t2) са две точки от g, топроизволна точка M от g ще се определя от M = λ.M1 + µ.M2.Последното равенство има следния координатен запис (уравнение направата g относно хомогенни координати)

g :

∣∣∣∣∣∣∣x = λ.x1 + µ.x2

y = λ.y1 + µ.y2

t = λ.t1 + µ.t2.

(7)


Нека разгледаме въпроса относно общите точки на правата g и кри-вата от втора степен (6). Произволна точка M от g с координати (7)ще лежи върху кривата, точно когато F (M) = 0. След заместване на(7) в (6) и преработка, установяваме, че общите точки на кривата иправата се определят от решенията на

F (M1)λ2 + 2F (M1;M2)λµ + F (M2)µ2 = 0, (8)

т.е. от решенията на уравнението

F (M1)(

λ

µ

)2

+ 2F (M1;M2)(

λ

µ

)+ F (M2) = 0. (9)


За уравнението (9) имаме следните случаи:има 2 различни корена – правата g е секуща и пресича криватав две различни точки (P1 и P2);има 1 корен – правата g е допирателна;няма решения – правата g е несекуща;има безброй много решения – правата g се нарича образуваща(образувателна) за кривата. Това е налице, точно когато F (M1) =F (M2) = F (M1;M2) = 0.

Нека разгледаме случая на две общи точки между правата и криватаот втора степен и означим двата корена на (9) с λ1

µ1и λ2

µ2. Следовател-

но, съгласно (7), двете общи точки се получават от

P1 = λ1.M1 + µ1.M2

P2 = λ2.M1 + µ2.M2.(10)

Ако M1 и M2 не лежат върху кривата, двойното отношение (M1M2P1P2)се определя от (M1M2P1P2) = λ2µ1

λ1µ2.


Тогава точките M1, M2, P1, P2 ще образуват хармонична група, точнокогато (M1M2P1P2) = −1, т.е.

λ2µ1

λ1µ2= −1 ⇐⇒ λ1

µ1+

λ2

µ2= 0.

Съгласно формулите на Виет за сумата на корените λ1µ1

и λ2µ2

на квад-ратното уравнение (9) (F (M1) 6= 0) имаме

λ1

µ1+

λ2

µ2= −2F (M1;M2)

F (M1).

След комбиниране на двете последни равенства достигаме до услови-ето F (M1;M2) = 0. Следователно, точките M1 и M2, нележащи върхукрива от втора степен, образуват хармонична група заедно с двете пре-сечни точки на правата M1M2 с кривата, точно когато F (M1;M2) = 0,т.е. точно когато M1 и M2 са полярно спрегнати относно кривата.


Уравнение на поляра (полярна права)

Нека в условието F (M1;M2) = 0 точката M1 е фиксирана и неособе-на за кривата от втора степен (6) (т.е. трите числа F1(M1), F2(M1),F3(M1) не са едновременно равни на нула), а M2 заместим с текущаточка M(x, y, z). Тогава условието за полярна спрегнатост на двететочки относно крива от втора степен задава уравнение на права

π(M1) : F1(M1)x + F2(M1)y + F3(M1)t = 0. (11)

Правата π(M1), определена с уравнението (11), се нарича поляра (по-лярна права) на точката M1 относно кривата от втора степен (6).Точката M1 се нарича полюс на правата (11) относно същата крива.


Уравнение на полярна равнина

В случай на повърхнина от втора степен вместо крива разглежданиятаостават аналогични с тази разлика, че условието за полярна спрегна-тост F (M1;M) = 0 определя равнина в тримерното пространство суравнение

π(M1) : F1(M1)x + F2(M1)y + F3(M1)z + F4(M1)t = 0,

която се нарича полярна равнина на точката M1 относно повърхнинатаот втора степен.

Понякога вместо за поляра и полярна равнина се говори за полярнафигура.


Пример - уравнение на поляра

Намерете полярата на точката P (2, 1) относно кривата от втора степенс уравнение x2 + y2 + 2xy − 4xt + 2t2 = 0.Относно хомогенни координати точката P се определя от P (2, 1, 1).Тогава записваме детерминантата, съответстваща на дадената крива,и над трите и стълба съответните три координати на точката P . Такас трите реда на детерминантата пресмятаме стойностите на полупро-изводните на кривата за точката P , както следва

2 1 1∣∣∣∣∣∣1 1 −21 1 0−2 0 2

∣∣∣∣∣∣F1(P ) = 2.1 + 1.1− 1.2 = 1, F2(P ) = 2.1 + 1.1 + 1.0 = 3,

F3(P ) = −2.2 + 1.0 + 1.2 = −2.

Уравнението на полярата на точката P е

π(P ) : x + 3y − 2t = 0.Аналитична геометрияЛекция 9. Фигури от втора степен – проективни и афинни свойства

Пример - полюс относно крива от втора степен

Намерете полюса на правата m : x + y − t = 0 относно кривата отвтора степен 2x2 − y2 − 2xy + 6yt = 0.Нека координатите на неизвестния полюс P на правата m са P (x0, y0, t0).Тогава уравнението на полярата на т. P се определя от

x0 y0 t0∣∣∣∣∣∣2 −1 0−1 −1 30 3 0

∣∣∣∣∣∣π(P ) : (2x0 − y0)x + (−x0 − y0 + 3t0)y + (3y0)t = 0.

Тъй като правите π(P ) и m съвпадат, коефициентите пред x, y и t втехните уравнения трябва да бъдат пропорционални, т.е.

2x0 − y0

1=−x0 − y0 + 3t0

1=

3y0

−1.


Последното условие е равносилно на системата∣∣∣∣∣ 2x0 − y0 = −3y0

x0 + y0 − 3t0 = 3y0,

откъдето получаваме x0 = t0, y0 = −t0. Следователно полюсът направата m относно дадената крива от втора степен е точката с хомо-генни координати P (1,−1, 1).


Уравнение на допирателна към крива от втора степен

Уравнение на допирателни през външна точка за кривата

Нека разгледаме случая, в който уравнението (9) има един корен,т.е. правата g е допирателна към кривата от втора степен. Това еизпълнено, когато дискриминантата на (9) е равна на нула

[F (M1;M2)]2 − F (M1)F (M2) = 0. (12)

Ако в горното уравнение точката M1 е фиксирана, а точката M2 етекуща M(x, y, t), получаваме уравнение на допирателна към криваот втора степен

[F (M1;M)]2 − F (M1)F (M) = 0. (13)

Ако точката M1 е външна за кривата, горното уравнение задава из-родена крива от втора степен, която се разпада на две прави – дветедопирателни през точката M1.


Уравнение на допирателна към крива от втора степен

Уравнение на допирателна в точка от кривата

Ако точката M1 е от кривата, то F (M1) = 0. В този случай урав-нението (8) има единствено решение, когато F (M1;M2) = 0. ТогаваF (M1;M) = 0 е уравнението на единствената допирателна към кри-вата, построена в точката M1 от кривата. Следователно полярата наточка от кривата съвпада с допирателната към кривата в тази точка.


Свойства на полярите

Полярата на точка от кривата съвпада с допирателната към кри-вата в тази точка.

Ако една точка лежи на полярната фигура на друга точка, товтората точка лежи на полярната фигура на първата. Двете точкисе наричат спрегнати.

Полярата на външна точка P относно крива от втора степен съ-държа допирните точки на допирателните през P към кривата.


Пример - допирателна към крива през точка, нележащавърху кривата

Намерете допирателните през A(−1,−1) към кривата c : 2x2 + 2xy −2x + 2y + 1 = 0.Пресмятаме F (A) = 5 6= 0, следователно точката A не лежи върхукривата. За намирането на допирателните можем да постъпим по дваначина.I начин. Като използваме уравнението (12), т.е.

[F (A;M)]2 − F (A)F (M) = 0,

където M(x, y, t) е текуща точка. Пресмятаме стойностите на полуп-роизводните на кривата за A, както следва F1(A) = −4, F2(A) =0, F3(A) = 1. Тогава За полярната форма получаваме F (A;M) =F1(A)x + F2(A)y + F3(A)t = −4x + 1. Следователно уравнението надопирателните добива вида

(1− 4x)2 − 5(2x2 + 2xy − 2x + 2y + 1) = 0,


откъдето, след опростяване, достигаме до

3x2 − 5xy + x− 5y − 2 = 0.

Горното уравнение трябва да се разложи на произведение на два ли-нейни множителя (двете допирателни). За тази цел го третираме катоквадратно уравнение относно x, записвайки го във вида 3x2 + (1 −5y)x − (2 + 5y) = 0. Корените на това уравнение са −1 и 5y+2

3 . Раз-лагаме квадратния тричлен и записваме уравнението във вида

3(x + 1)(

x− 5y + 23

)= 0. (14)

Така получихме уравненията на двете допирателни към кривата презточката A:

t1 : x + 1 = 0, t2 : 3x− 5y − 2 = 0. (15)


II начин. Използваме факта, че полярата на точката A, външна закривата, съдържа допирните точки на допирателните прави през Aкъм кривата. За тази цел намираме уравнението на полярата на A иполучаваме π(A) : 4x−t = 0. След това търсим общите точки на π(A)и кривата. Задължително записваме уравненията на правата и крива-та в хомогенни координати, за да не изпуснем общите им безкрайниточки. Така решаваме системата∣∣∣∣∣ 4x− t = 0

2x2 + 2xy − 2xt + 2yt + t2 = 0.

Решенията и са точките с хомогенни координати T1(0, 1, 0) (безкрайнаобща точка) и T2(1,−1, 4) (крайна обща точка, T2( 1

4 ,− 14 ) в нехомо-

генни координати). Тогава построяваме двете допирателни като правипрез A и двете допирни точки T1 и T2. Едната допирателна (t1) е пра-ва през A с направляващ вектор (0, 1), а другата (t2) е права презкрайните точки A и T2.


Афинна класификация на фигури от втора степен

Определя се от броя на безкрайните точки на фигурата. Ще разгле-даме случая на крива от втора степен в равнината.Нека е дадена крива от втора степен с уравнение в хомогенни коорди-нати

a11x2 + a22y

2 + a33t2 + 2a12xy + 2a13xt + 2a23yt = 0. (16)

Безкрайните точки на кривата (16) са пресечните и точки с безкрайна-та права ω : t = 0 в разширената равнина и следователно се получаватот (16) след полагане на t = 0, т.е. са решенията на

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 = 0.

Като положим k = xy , достигаме до квадратното уравнение

a11k2 + 2a12k + a22 = 0. (17)

Дискриминантата на (17) се определя от D = a212 − a11a22 = −A33,

където A33 е адюнгираното количество на елемента a33 в детерми-нантата на кривата.


Различаваме следните три случая:D > 0 (A33 < 0) – уравнението (17) има две различни решения иследователно кривата има две различни реални безкрайни точки.Такава крива се нарича крива от хиперболичен тип. В случай, чене е изродена (det A 6= 0) се нарича хипербола. Ако е изродена,се разпада на две пресичащи се прави.

D = 0 (A33 = 0) – уравнението (17) има едно решение и следо-вателно кривата има една безкрайна точка. Нарича се крива отпараболичен тип, а ако не е изродена – парабола. В случай, че еизродена, се разпада на две успоредни прави или на една двойнаправа.

D < 0 (A33 > 0) – уравнението (17) няма реални решения иследователно кривата няма реални безкрайни точки. Нарича секрива от елиптичен тип. В случай, че не е изродена, се наричаелипса. Изродената крива от елиптичен тип се разпада на двекомплексно спрегнати прави.


Пример - определяне на афинен вид и безкрайни точки

Определете афинния вид на кривата x2 − 3y2 − 2xy + 2xt + 6yt = 0 инамерете безкрайните и точки в случай, че съществуват.Пресмятаме

A =

∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 −3 31 3 0

∣∣∣∣∣∣ = −12 6= 0, A33 =∣∣∣∣ 1 −1−1 −3

∣∣∣∣ = −4 < 0.

Кривата е неизродена (A 6= 0) и от хиперболичен тип (A33 < 0),следователно е хипербола и има две безкрайни точки. Техните ко-ординати са решенията на уравнението (получено от уравнението накривата след полагане на t = 0)

x2 − 3y2 − 2xy = 0 ⇒(

x

y

)2

− 2(

x

y

)− 3 = 0.

Корените му са(

xy

)1

= −1 и(

xy

)2

= 3. Следователно двете безкрай-

ни точки на тази хипербола са U1(1,−1, 0) и U2(3, 1, 0).Аналитична геометрияЛекция 9. Фигури от втора степен – проективни и афинни свойства

Определете афинния вид на кривата x2 + y2 + 2xy − 4xt + 2t2 = 0 инамерете безкрайните и точки в случай, че съществуват.Пресмятаме

A =

∣∣∣∣∣∣1 1 −21 1 0−2 0 2

∣∣∣∣∣∣ = −4 6= 0, A33 =∣∣∣∣ 1 1

1 1

∣∣∣∣ = 0.

Кривата е неизродена (A 6= 0) и от параболичен тип (A33 = 0), сле-дователно е парабола и има една безкрайна точка, която е решениетона уравнението (получено от уравнението на кривата след полаганена t = 0)

x2 + y2 + 2xy = 0 ⇒ (x + y)2 = 0 ⇒ x = −y.

Безкрайната точка на тази парабола е U(1,−1, 0).


Определете афинния вид на кривата 2x2 + 4y2 − 5xy + xt + 2t2 = 0 инамерете безкрайните и точки в случай, че съществуват.Пресмятаме

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 − 5

212

− 52 4 0

12 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =526= 0, A33 =

∣∣∣∣∣ 2 − 52

− 52 4

∣∣∣∣∣ =74

> 0.

Кривата е неизродена (A 6= 0) и от елиптичен тип (A33 > 0), следо-вателно е елипса и няма реални безкрайни точки.


Център на фигура от втора степен

Център на фигура от втора степен се нарича полюсът на безкрайнатафигура (права или равнина). За крива от втора степен центърът еполюсът на безкрайната права относно кривата, а за повърхнина отвтора степен центърът е полюсът на безкрайната равнина относноповърхнината. Нека разгледаме случая на крива.Нека C(x0, y0, t0) е центърът на кривата от втора степен, определенаот (16). Тогава полярата на C се определя от познатото уравнение

π(C) : F1(C)x + F2(C)y + F3(C)t = 0.

По определение полярата π(C) на C трябва да бъде безкрайната пра-ва, т.е. правата с уравнение ω : t = 0. Следователно коефициентите вдвете уравнения трябва да бъдат пропорционални, откъдето получа-ваме, че точката C е център на крива от втора степен, точно когатоанулира първата и втората полупроизводни, т.е. F1(C) = F2(C) = 0(при F3(C) 6= 0, т.е. когато C не е особена точка за кривата).


Така C(x0, y0, t0) е решение на системата∣∣∣∣∣ a11x0 + a12y0 + a13t0 = 0a12x0 + a22y0 + a23t0 = 0.

(18)

Отбелязваме, че системата (18) винаги има ненулево решение, такаче всяка крива (фигура) от втора степен притежава център (краен илибезкраен).Нека разгледаме случая на краен център, т.е. C(x0, y0, 1). В системата(18) полагаме t0 = 1 и получаваме∣∣∣∣∣ a11x0 + a12y0 = −a13

a12x0 + a22y0 = −a23.(19)


За системата (19) имаме три възможности:съвместима и неопределена (безброй много решения), точно ко-гато ранговете на основната и на разширената матрица са рав-ни на 1, т.е. когато a11

a12= a12

a22= a13

a23. Тъй като в този случай

A = A33 = 0, кривата е изродена от параболичен тип – имабезброй много крайни центрове, лежащи върху една права.

съвместима и определена (точно едно решение), точно когаторангът на основната и на разширената матрица на системата е2. Това се случва, точно когато A33 6= 0. Следователно криви-те от елиптичен и хиперболичен тип (в частност – елипсата ихиперболата) имат един краен център.

несъвместима (няма решения), точно когато рангът на основнатаматрица е 1, а на разширената е 2. Това е случаят, за който A 6= 0и A33 = 0, т.е. кривата е парабола. Следователно параболатаняма краен център.


Нека изследваме случая на безкраен център C(x0, y0, 0). В системата(18) полагаме t0 = 0 и получаваме хомогенната система (която винагие съвместима) ∣∣∣∣∣ a11x0 + a12y0 = 0

a12x0 + a22y0 = 0.(20)

За системата (20) имаме следните възможности:съвместима и определена (има само нулевото решение), точнокогато рангът на основната и матрица е 2, т.е. когато A33 6= 0– криви от хиперболичен или елиптичен тип. Но наличието самона нулевото решение е в противоречие с факта, че в разширена-та равнина не съществува точка с хомогенни координати (0, 0, 0).Следователно кривите от хиперболичен или елиптичен тип не мо-гат да имат безкраен център.

съвместима и неопределена (има безброй много ненулеви реше-ния, зависещи от един параметър), точно когато рангът на основ-ната матрица е 1, т.е. когато A33 = 0. Следователно кривите отпараболичен тип (в частност – параболата) имат един безкраенцентър.


Пример - център на крива от втора степен

Намерете центъра на кривата x2−3y2−2xy+2xt+6yt = 0 (хипербола).Записваме

A =

∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 −3 31 3 0

∣∣∣∣∣∣ .

Следователно центърът C(x0, y0, t0) на тази крива е решението на∣∣∣∣∣ x0 − y0 + t0 = 0−x0 − 3y0 + 3t0 = 0.

Намираме C(0, 1, 1) или в нехомогенни координати C(0, 1).


Пример - център на крива от втора степен

Намерете центъра на кривата x2 +y2 +2xy−4xt+2t2 = 0 (парабола).Записваме

A =

∣∣∣∣∣∣1 1 −21 1 0−2 0 2

∣∣∣∣∣∣ .

Следователно центърът C(x0, y0, t0) на тази крива е решението на∣∣∣∣∣ x0 + y0 − 2t0 = 0x0 + y0 = 0.

Намираме C(1,−1, 0), която е безкрайната точка на кривата.


Асимптоти на фигура от втора степен

Асимптота на фигура от втора степен се нарича допирателна правав безкрайна точка от фигурата. Нека разгледаме случая на крива отвтора степен. Кривите от елиптичен тип нямат реални безкрайни точ-ки и следователно нямат реални асимптоти. Кривите от параболичентип имат една безкрайна точка и следователно имат една асимптота.Кривите от хиперболичен тип имат две безкрайни точки и следова-телно две асимптоти (в случай, че безкрайните точки не са особени).

Важно свойство на асимптотите е, че минават през центъра на фигу-рата (кривата).

Намиране на асимптоти на крива от втора степен:I начин – намиране на безкрайните точки на кривата. Тогаваасимптотите са техните поляри относно кривата.II начин – намиране на безкрайните точки на кривата и центъра и.Тогава асимптотите са прави през безкрайните точки и центъра.


Пример - асимптоти на крива от втора степен

Вече установихме, че кривата от втора степен с уравнение x2 − 3y2 −2xy+2xt+6yt = 0 е хипербола и намерихме нейните безкрайни точкиU1(1,−1, 0), U2(3, 1, 0) и център C(0, 1, 1). По първия начин намирамеасимптотите на кривата a1 и a2 като поляри съответно на U1 и U2,както следва:

a1 ≡ π(U1) : x + y − t = 0, a2 ≡ π(U2) : x− 3y + 3t = 0.

По втория начин намираме асимпотите като прави през центъра C снаправляващи вектори съответно u1(1,−1) и u2(3, 1).


Диаметри на крива от втора степен

Диаметър на крива от втора степен е поляра на безкрайна точка от-носно кривата.Асимптотите се явяват частен случай на диаметри, за който безкрай-ната точка лежи върху кривата.Свойства на диаметрите:

Диаметрите минават през центъра на кривата.Диаметърът на дадена безкрайна точка съединява средите навсички хорди през тази безкрайна точка.

Два диаметъра са наричат спрегнати, ако всеки от тях е поляра набезкрайната точка на другия. Ако два диаметъра са спрегнати, всекиот тях съдържа средите на хордите, успоредни на другия.


Пример - диаметър на крива от втора степен

Дадена е кривата от втора степен c : 9x2−4xy+6y2−6x+8y+2 = 0.Намерете диаметър d, успореден на правата l : 3x + 2y + 7 = 0, инеговия спрегнат диаметър d′.Намираме центъра C(x0, y0, t0) на кривата. Детерминантата на кри-вата е ∣∣∣∣∣∣

9 −2 −3−2 6 4−3 4 2

∣∣∣∣∣∣Следователно центърът е решението на системата∣∣∣∣∣ 9x0 − 2y0 − 3t0 = 0

−2x0 + 6y0 + 4t0 = 0.

Намираме C(1,−3, 5) или в нехомогенни координати C( 15 ,− 3

5 ). Тър-сеният диаметър d е успореден на правата l, следователно има общоуравнение от вида d : 3x + 2y + a = 0. Константата a определяме отусловието, че C лежи върху d и така достигаме до d : 15x+10y+3 = 0.


Тъй като направляващият вектор на правата d е (2,−3), безкрайнататочка на d е Ud(2,−3, 0). Спрегнатият диаметър d′ е поляра на Ud,следователно се определя от уравнението d′ : 12x− 11y − 9 = 0.


Литература

Гр. Станилов. Аналитична геометрия. Софтех, София, 1993, ISBN954–8495–01–5.Д. Мекеров, П. Рангелова, Б. Царева, Е. Павлов. Ръководствоза решаване на задачи по аналитична геометрия, 4. изд. УИ "П.Хилендарски" , Пловдив, 2008, ISBN 978–954–423–447–8.Douglas F. Riddle. Analytic Geometry, 6. ed. Cengage Learning, 1995,ISBN–13: 978–0534948542.


Лекция 9. Фигури от втора степен – проективни и афинни...

Documents