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Érica Leandro Bezerra
𝐺𝑆2: um Gráfico de Controle por atributosno monitoramento da variabilidade de processos
São Paulo2017
Érica Leandro Bezerra
𝐺𝑆2: um Gráfico de Controle por atributosno monitoramento da variabilidade de processos
Dissertação apresentada à Escola Politécnicapara obtenção do título de Mestre em Ciên-cias
Universidade de São Paulo – USP
Escola Politécnica
Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção
Orientador: Profa. Dra. Linda Lee Ho
São Paulo2017
Catalogação-na-publicação
Bezerra, Érica Leandro Gs2: um Gráfico de Controle por atributos no monitoramento davariabilidade de processos / . L. Bezerra -- São Paulo, 2017. 96 p.
Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de SãoPaulo. Departamento de Engenharia de Produção.
1.Controle Estatístico do Processo 2.Gráfico de Controle S2 3.Gráficode Controle por Atributos 4.Algoritmos Genéticos I.Universidade de SãoPaulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Produção II.t.
Érica Leandro Bezerra
𝐺𝑆2: um Gráfico de Controle por atributosno monitoramento da variabilidade de processos
Dissertação apresentada à Escola Politécnicapara obtenção do título de Mestre em Ciên-cias
Aprovado em:
Banca Examinadora
Prof. Dr.Julgamento:
Instituição:Assinatura:
Prof. Dr.Julgamento:
Instituição:Assinatura:
Prof. Dr.Julgamento:
Instituição:Assinatura:
São Paulo2017
Agradecimentos
A Deus, pela sua presença em todos os momentos de minha vida, sendo suporte eforça ao longo desta caminhada.
Aos meus pais João Leandro Bezerra e Antonia Maria da Conceição Bezerra (inmemorian), exemplos de vida que despertaram em mim o amor pelo aprendizado.
Às minhas irmãs Lílian Leandro Bezerra e Camila Leandro Bezerra pelo apoio ecompreensão nos momentos difíceis.
À Profa. Dra. Linda Lee Ho pela orientação e incentivo na elaboração do trabalho.Agradeço imensamente pela sua disposição e paciência em me orientar, contribuindo parao meu desenvolvimento acadêmico.
Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Produção, emespecial à Lidia Nogueira da Silva.
Ao Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo pela oportunidade de realizaçãodo mestrado, em especial ao Vice-Almirante (RM1-EN) Carlos Passos Bezerril, Contra-Almirante (EN) André Luis Ferreira Marques, Contra-Almirante (RM1-EN) Luciano Pa-gano Junior pela autorização; Capitão de Mar e Guerra (RM1-EN) Ana Maria Vaz deAraújo, Eng. Percy Normanton Junior e Eng. Waldomiro Luiz Rios de Mello pelo apoioà realização deste trabalho.
Ao Capitão de Mar e Guerra (IM-REF) Servio Gama de Almeida (in memorian),Capitão de Mar e Guerra (REF) Emmanuel Gama de Almeida, Capitão de Mar e Guerra(RM1) Ricardo Otavio Samça Pelegrini e Eng. Dirceu Paulo de Oliveira pelo acolhimentoe incentivo ao meu desenvolvimento profissional nesta Instituição.
A todos os militares e civis do Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo quede alguma forma incentivaram para que o trabalho fosse concluído.
Aos amigos e familiares, em especial Fabiana Ghiringhello e Daniel Ghiringhello,que me incentivaram para que concluísse mais essa etapa em minha vida.
“ Toda a sabedoria vem do Senhor Deus, ela sempre esteve com ele. Ela existe antes detodos os séculos.“
(Bíblia Sagrada, Eclesiástico, 1, 1)
Resumo
Quando há interesse em monitorar a variância de uma característica daqualidade de interesse através de gráfico de controle por variáveis, o gráfico 𝑆2 éa alternativa mais usual. Entretanto, há situações onde mensurar a característicada qualidade é caro, consome mais tempo por unidade de inspeção, requer maioresforço dos operadores quanto à obtenção dos dados ou envolve ensaios destrutivos.Nestes casos, a classificação da variável contínua em categorias através de um dis-positivo torna-se uma alternativa interessante. A avaliação pode ser mais rápida, aanálise e o equipamento utilizado podem ser mais simples, de modo que o custo finalda inspeção seja menor. O objetivo do trabalho é propor um gráfico de controle poratributos para monitoramento da variabilidade. Para tanto a estatística 𝐺𝑆2 é cal-culada e gráfico sinaliza se 𝐺𝑆2 > 𝐿𝐶, 𝐿𝐶 limite de controle determinado de modoque minimize o 𝐴𝑅𝐿1, fixado um valor de 𝐴𝑅𝐿0. Como resultado a performancedo gráfico 𝐺𝑆2 é comparada ao gráfico 𝑆2 em termos de 𝐴𝑅𝐿1.
Palavras-chaves: Gráfico de Controle 𝑆2; Gráfico de Controle por Atributos; Al-goritmo Genético.
Abstract
In cases aiming at monitoring the variance of a products quality character-istics using a variable control chart, chart 𝑆2 is the most used alternative. However,in some situations, this solution can be expensive, demand more time per individ-ual inspected unit, demand greater efforts from operators to acquire data or involvedestructive tests. In such cases, the use of a gauge measurement tool to classify thecontinuous variable into categories, becomes an interesting alternative. The assess-ment can be faster, the analysis and the tool used can be simple, resulting in lesscostly final inspections. This work proposes the use of an attribute control chartto monitor variability. Statistics 𝐺𝑆2 is calculated and control chart signalize if𝐺𝑆2 > 𝐶𝐿, whereas 𝐶𝐿 is the determined control limit, minimizing 𝐴𝑅𝐿1 for afixed value of 𝐴𝑅𝐿0. 𝐺𝑆2 control chart performance is compared to 𝑆2 chart basedon 𝐴𝑅𝐿1.
Key-words: 𝑆2 Control Chart; Attribute Control Chart; Genetic Algorithm.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Modelo de dispositivo de classificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 2 – Processo de classificação de Stevens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 3 – Modelo de dispositivo de classificação com dois limites. . . . . . . . . . 37Figura 4 – Cálculo da estatística 𝐺. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 5 – Procedimento de um Algoritmo Genético. . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 6 – Procedimento do Algoritmo Genético NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . 46Figura 7 – Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para o gráfico 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 8 – Razão do custo médio por unidade de inspeção para o gráfico 𝐺𝑆2 vs 𝑆2. 63Figura 9 – Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Lista de tabelas
Tabela 1 – Parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tabela 2 – Procedimento para determinar o vetor de valores ótimos 𝑣 . . . . . . . 44Tabela 3 – Limites dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑠2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Tabela 4 – Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (Grid) . . . . . . . . . . 48Tabela 5 – Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (NSGA-II) . . . . . . . . 49Tabela 6 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 1 . . . . . . . . . . . . . 50Tabela 7 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 2 . . . . . . . . . . . . . 51Tabela 8 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 3 . . . . . . . . . . . . . 52Tabela 9 – Parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2 – Caso 4 . . . . . . . . . . . . . 53Tabela 10 –Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para os Casos 1 – 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Tabela 11 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2
– Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Tabela 12 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 1 . . . . . . . . . 57Tabela 13 –Valores de 𝐴𝑅𝐿*
0 para o gráfico de controle 𝐺𝑆2 . . . . . . . . . . . . . 58Tabela 14 –Gráfico de controle 𝐺𝑆2 : valores de 𝑤𝑗𝑝𝑗, limite discriminante 𝐿 e limite
de controle 𝐿𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Tabela 15 –Menor tamanho de amostra 𝑛𝐺𝑆2 para o gráfico 𝐺𝑆2 com 𝐴𝑅𝐿1 equi-
valente ao gráfico 𝑆2 com amostra de tamanho 𝑛𝑆2 . . . . . . . . . . . 61Tabela 16 –Qtde de itens classificados por grupo e valor da estatística 𝑔 . . . . . . 64
Tabela 17 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2
– Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Tabela 18 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2
– Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Tabela 19 –Valores de 𝐴𝑅𝐿 simulados para os parâmetros ótimos do gráfico 𝐺𝑆2
– Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Tabela 20 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 2 . . . . . . . . . 94Tabela 21 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 3 . . . . . . . . . 95Tabela 22 –Desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 – Caso 4 . . . . . . . . . 96
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da vari-abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Gráficos de Controle para variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Gráfico de Controle 𝑅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Gráficos de Controle 𝑆 e 𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade . . 272.2.1 Gráfico de Controle por Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Gráfico de Controle k-step gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Gráfico de Controle 𝑛𝑝𝑆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância . . . . . . . . . . 373.1 Distribuição da estatística 𝐺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Determinação do 𝐴𝑅𝐿1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Desempenho do gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Exemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Anexos 73
ANEXO A Rotina R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ANEXO B Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2
para os Casos 2, 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
ANEXO C Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2
para os Casos 2. 3 e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
19
1 Introdução
A qualidade dos produtos e serviços é considerada um fator importante na tomadade decisão nas empresas.
Os produtos ou serviços, resultados da transformação das entradas por um processoprodutivo - cuja saída é o produto final -, não possuem exatamente os mesmos valoresdas características da qualidade devido à variabilidade inerente ao processo.
Para oferecer produtos e serviços com qualidade as organizações investem em ativi-dade de monitoramento e controle tendo como objetivo sua melhoria contínua. Ao investirna melhoria da qualidade é possível diminuir desperdícios, reduzir os custos, aumentar aprodutividade, o lucro e a satisfação do cliente e ampliar a participação da empresa nomercado.
A melhoria da qualidade de produtos e serviços está relacionada à redução davariabilidade, pois uma grande variabilidade pode ser percebida como indesejável ou ina-ceitável pelo cliente. Produtos e serviços devem ser produzidos num processo estável demodo que a variabilidade em torno do valor-alvo das dimensões da qualidade seja pequena.
Como a variabilidade pode ser descrita em termos estatísticos, os métodos de con-trole estatístico do processo desempenham um papel central nos esforços para a melhoriada qualidade. (Montgomery (2009)).
O gráfico de controle é um dos métodos de controle estatístico do processo paraidentificar e analisar causas especiais no processo, de modo que possam ser eliminadas oureduzidas.
Quando há interesse em monitorar a variância de uma característica da qualidade,através de gráficos de controle por variáveis, o gráfico 𝑆2 é uma alternativa.
O gráfico 𝑆2, como todo gráfico por variáveis, requer maior esforço dos operadoresquanto à obtenção dos dados - mensuração, calibração, precisão do instrumento,... - edemanda maior tempo de inspeção, mas é mais informativo quanto à indicação de umproblema iminente.
Por outro lado, um gráfico por atributo pode ser mais vantajoso do ponto de vistaeconômico. A avaliação por classificação através do uso de dispositivos pode ser maisrápida, a análise e o equipamento utilizado podem ser mais simples, de modo que o custofinal da inspeção seja menor.
O presente trabalho propõe um novo gráfico de controle por atributos para moni-toramento de mudanças da variância de um processo.
20 Capítulo 1. Introdução
Esta dissertação está estruturada da seguinte maneira: os gráficos de controle maisusuais empregados no monitoramento da variabilidade estão no Capítulo 2. A propostade uma nova abordagem para monitorar a variação de um processo por atributos está noCapítulo 3. O Capítulo 4 apresenta os resultados do trabalho e finaliza com o Capítulo 5com as conclusões.
1.1 Objetivo
O objetivo do trabalho é propor um gráfico de controle por atributos para mo-nitoramento da variabilidade de um processo com distribuição Normal, quando a médiamantém-se inalterada, utilizando um gráfico de controle por atributos, onde os dados deentrada são a quantidade de dados agrupados através da classificação por um dispositivo.
O gráfico de controle por variáveis certamente terá melhor desempenho que umgráfico por atributos caso seja utilizado um mesmo tamanho de amostra. Porém o custopor atributo geralmente é menor, o que possibilita aumentar o tamanho da amostra parao gráfico por atributos de modo a ter o mesmo desempenho que o gráfico por variáveis.
Pretende-se que o gráfico proposto tenha desempenho semelhante ao gráfico decontrole Shewhart 𝑆2, de tal modo que o custo de inspeção/esforço amostral seja menorou equivalente ao requerido pelo gráfico 𝑆2.
Por ser um gráfico por atributos, é interessante por exigir um menor esforço amos-tral, ser mais fácil de operacionalizar e mais barato do ponto de vista econômico. Tambémé uma alternativa interessante para ensaios destrutivos, onde as unidades amostradas pre-cisam ser descartadas após mensuradas.
1.2 Revisão Bibliográfica
A qualidade dos produtos e serviços deixou de ser apenas um diferencial competi-tivo das organizações e tornou-se um requisito indispensável para garantir a sua partici-pação no mercado.
Qualidade possui diversas definições. Para Deming (apud Slack, Chambers e Johns-ton (2002) ) a qualidade é resultado da prevenção de defeitos através da melhoria dosprocessos e está associada à redução da variabilidade. Juran e Gryna (1991) define quali-dade como adequação ao uso, considerando as necessidades do cliente. Feigenbaum (1994)introduziu o conceito de controle da qualidade total levando em conta a estrutura orga-nizacional e os sistemas de melhoria da qualidade. Crosby (1994) desenvolveu o conceitode defeito zero e popularizou a ideia de “fazer certo da primeira vez”.
Para Montgomery (2009) a qualidade é inversamente proporcional à variabilidade.
1.2. Revisão Bibliográfica 21
A melhoria na qualidade é a redução na variabilidade nos processos e produtos.
Garvin (apud Slack, Chambers e Johnston (2002) ) definiu a qualidade a partir decinco abordagens: transcendental - excelência inerente ao produto; fabricação - produtose serviços precisamente de acordo com as especificações; cliente - adequado às especifi-cações de fabricação e do cliente; produto - características mensuráveis que atendem aoconsumidor e; valor - percebida em relação ao custo do produto.
Garvin propôs oito dimensões da qualidade (apud Montgomery (2009)): 1. Desem-penho: capacidade do produto em ser eficaz e eficiente; 2. Confiabilidade: probabilidadede falha do produto; 3. Durabilidade: vida útil de um produto; 4. Assistência técnica:eficiência em resolver problemas; Estética: aparência, sentimento ou sensação provocadapelo produto; 6. Características: o que o produto faz; 7. Qualidade Percebida: reputaçãoda empresa ou de seu produto e; 8.Conformidade com as especificações do projeto.
Segundo Montgomery (2009), a qualidade é resultante da interação entre a qua-lidade do design - resultado de decisões de gestão e de engenharia, e a qualidade daconformidade - redução sistemática da variabilidade e eliminação dos defeitos. Assim, aqualidade como conformidade pode ser entendida como adequação às especificações doproduto ou processo.
No ambiente industrial a melhoria continua dos processos resulta em redução decustos e produção de produtos com melhor qualidade, que atendam às exigências doconsumidor.
O controle estatístico do processo (CEP) é uma metodologia aplicada à melhoriade processos de produção que utiliza técnicas estatísticas no acompanhamento e controledos mesmos, que tem como objetivo minimizar a variabilidade e estabilizá-la ao redor dovalor-alvo desejado da qualidade do produto.
Todo processo produtivo, ainda que seja bem planejado e executado, possui umaquantidade de variação aleatória inerente, resultante do efeito cumulativo de pequenasfontes de variação. A esta fonte de variabilidade denomina-se causa comum ou não assi-nalável. Por outro lado, denomina-se causa especial ou assinalável, toda fonte de variaçãonão aleatória decorrente de eventos passageiros, que pode ser identificada e corrigida.
Um processo de produção diz que está sob controle estatístico quando opera napresença de causas comuns. Um processo que opera na presença de causas assinaláveis édito fora de controle.
De modo geral, é desejável que o processo de produção opere sob controle duranteum longo período de tempo. Entretanto uma causa assinalável pode ocorrer e mudar oestado do processo para fora de controle. O objetivo principal do CEP é detectar rapida-mente mudanças no processo devido às causas assinaláveis, de modo que ações corretivaspossam ser tomadas para evitar a produção de muitos itens não conformes. Dentre as
23
2 Gráficos de Controle mais comuns empre-gados no monitoramento da variabilidade
O gráfico de controle foi introduzido por Shewhart em 1924 e é uma representaçãográfica da mensuração de alguma estatística que está sendo monitorada de uma amostratomada no tempo.
O gráfico de controle é formado por três linhas: a linha central e os limites decontrole inferior e superior. Na linha central do gráfico localiza-se a média da estatísticamonitorada quando o processo está sob controle. Os limites de controle superior e inferiorsão determinados de modo que satisfaçam algum critério de desempenho.
Se o processo está sob controle, praticamente todos os pontos amostrais devemdistribuir-se aleatoriamente entre os limites de controle. Quando um ponto localiza-sefora dos limites de controle no gráfico, há indícios de que o processo está fora de controlee é necessário investigar a ocorrência de causas especiais e realizar ações corretivas.
Há uma relação entre gráfico de controle e teste de hipóteses. O gráfico de controleequivale ao teste de hipótese com a hipótese nula de que o processo está sob controle, ouseja, permanece estável ao longo do tempo. Se um ponto é registrado fora dos limites decontrole decide-se que o processo está fora de controle, a hipótese nula de que o processoestá sob controle é rejeitada e o processo deve ser ajustado. (Montgomery (2009))
O desempenho do gráfico de controle pode ser avaliado pela sua capacidade emdetectar rapidamente mudanças no processo, através do número médio de amostras co-letadas até a indicação de condição fora de controle estatístico (Average Run Length –𝐴𝑅𝐿).
No gráfico de Shewhart, que considera a independência entre as observações, ovalor do 𝐴𝑅𝐿 é inversamente proporcional à probabilidade de uma observação exceder oslimites de controle (Montgomery (2009))
O número de amostras coletadas até que o gráfico de controle sinalize que o pro-cesso está fora de controle (Run Length - RL) é uma variável aleatória com distribuiçãogeométrica com média (𝐴𝑅𝐿) igual a 1
𝛼, onde 𝛼 é a probabilidade de uma observação
exceder os limites de controle.
O plano do gráfico de controle Shewhart determina o tamanho adequado da amos-tra 𝑛 e os limites de controle de modo que certas condições de 𝐴𝑅𝐿 sejam satisfeitas.Quando o processo está sob controle são esperados grandes valores para o 𝐴𝑅𝐿, denomi-nado 𝐴𝑅𝐿0. Por outro lado, quando o processo sofre alterações, são esperados pequenos
24 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
valores de 𝐴𝑅𝐿, denominado 𝐴𝑅𝐿1, indicando rapidamente que o processo mudou.
O plano ótimo será aquele que, entre todos os planos com mesmo 𝐴𝑅𝐿0, possuao menor valor esperado de tempo para sinalizar uma mudança, quando esta realmenteocorre, ou seja, aquele com menor 𝐴𝑅𝐿1. (Hawkins e Olwell (1998)).
Seja 𝑋 uma característica da qualidade de interesse, variável aleatória com funçãode distribuição 𝑓(𝑋, 𝜃) e função de distribuição acumulada 𝐹 (𝑋, 𝜃), onde 𝜃 é o vetor deparâmetros.
Seja 𝑆 a estatística monitorada pelo gráfico de controle com limites de controleinferior (𝐿𝐶𝐿) e superior (𝑈𝐶𝐿). Quando o processo está estável, ele opera com 𝜃 = 𝜃0,ou seja, sob controle, e quando ocorre uma mudança no processo, tem-se 𝜃 = 𝜃1, numestado fora de controle. O teste de hipóteses equivalente é dado por⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0
𝐻1 : 𝜃 = 𝜃1
A probabilidade de que o gráfico erroneamente sinalize que o processo está forade controle quando na verdade não está é 𝛼 (ou erro tipo I) e a probabilidade de que ográfico não sinalize que o processo está fora de controle quando na verdade ele está é 𝛽
(ou erro tipo II). Ou seja
𝛼 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐶𝐿 < 𝑆 < 𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃0)
𝛽 = 𝑃 (𝐿𝐶𝐿 < 𝑆 < 𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃1)
O 𝐴𝑅𝐿 para os processos sob controle e fora de controle são expressos sob ascondições de independência, respectivamente, por
𝐴𝑅𝐿0 = 1𝛼
e 𝐴𝑅𝐿1 = 11 − 𝛽
. (2.1)
Ao assumir que a variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2) tem-se como vetor de parâmetros𝜃 = (𝜇, 𝜎2). A função de distribuição acumulada padronizada de 𝑋 é Φ(𝑍) onde 𝑍 =(
𝑋 − 𝜇
𝜎
).
No processo que opera sob controle estatístico, tem-se 𝜃 = 𝜃0 = (𝜇0, 𝜎20) e, no
processo fora de controle, 𝜃 = 𝜃1 = (𝜇1, 𝜎21).
Quando ocorre uma causa especial, o processo passa a operar num estado fora decontrole. Podem ocorrer diferentes situações.
1. A média e a variabilidade do processo igual a (𝜇0, 𝜎20), sob controle, sofrem
alteração para (𝜇1, 𝜎21) = (𝛾𝜇0, 𝛿2𝜎2
0), (𝛾, 𝛿) positivo e diferente de (1,1).
2. Quando tem-se (𝛾, 1), a média do processo 𝜇0 sofre uma alteração para 𝜇1 =𝛾𝜇0, sem que haja mudança na variância.
2.1. Gráficos de Controle para variáveis 25
3. Se ocorrer (1, 𝛿), a média mantem-se inalterada e há uma mudança na varia-bilidade do processo de 𝜎2
0 para 𝜎21 = 𝛿2𝜎2.
Neste trabalho assume-se que a variabilidade do processo sofre uma mudança demagnitude 𝛿2, e altera-se de 𝜎2
0 para 𝜎21, enquanto a média mantem-se inalterada. Ou seja,
assume-se que ocorre (1, 𝛿) e que (𝜇1, 𝜎21) = (𝜇0, 𝛿2𝜎2
0).
Os gráficos de controle podem ser classificados sob diferentes abordagens:
∙ Quanto à decisão com os dados da inspeção corrente ou não, ou seja, ter memóriaou não. Gráficos CUSUM e EWMA são exemplos do primeiro caso e os de Shewhartsão exemplos do segundo.
∙ Quanto à natureza da estatística a ser monitorada: variáveis ou atributos. 𝑋, 𝑅 e𝑆2 são exemplos de gráficos por variáveis e 𝑝, 𝑛𝑝, 𝑐 e 𝑢 são exemplos de gráficos poratributos.
∙ Quanto ao número de variáveis monitoradas: univariada ou multivariada.
∙ Quanto ao número de amostragens: única ou dupla.
∙ Quanto aos parâmetros fixos e variáveis: tamanho e limite de controle únicos; ta-manhos variados; intervalos variados; limites de controle variados.
2.1 Gráficos de Controle para variáveisGráficos de controle para variáveis são utilizados quando a característica da qua-
lidade a ser monitorada pode ser expressa por uma variável contínua.
Assume-se que esta característica é uma variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2).
Os gráficos de controle Shewhart para monitoramento da variância de variáveiscontínuas são baseados na amplitude amostral 𝑅, no desvio padrão amostral 𝑆 e na própriavariância amostral 𝑆2, que estão nas subseções 2.1.1 (𝑅) e 2.1.2 (𝑆 e 𝑆2), respectivamente.
2.1.1 Gráfico de Controle 𝑅
Shewhart desenvolveu o gráfico de controle para monitorar a dispersão do pro-cesso através da medida da amplitude da amostra, tomando como base as estatísticas dadistribuição desenvolvidas por Tippett (1925).
Sejam 𝑋(1), 𝑋(2), . . . 𝑋(𝑛) as estatísticas de ordem da variável aleatória 𝑋 comdistribuição Normal e função de distribuição 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) e acumulada padrão 𝐹 (𝑥) =Φ(𝑥), conforme descrito em Tippett (1925).
26 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
Define-se a amplitude amostral 𝑅 e a amplitude relativa amostral 𝑊
𝑅(𝑛) − 𝑋(1)
𝑊 = 𝑅
𝜎.
𝑋 (2.2)
A função de de distribuição de 𝑊 é dada por (Tippett (1925))
𝐹𝑊 (𝑤) = 𝑛
+∞∫−∞
[Φ(𝑥 + 𝑤) − Φ(𝑥)]𝑛−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (2.3)
Seja 𝑧 = 𝑥
𝜎. O valor esperado e o desvio padrão de 𝑊 são determinados por
𝐸(𝑊 ) =+∞∫
−∞
[1 − (1 − Φ(𝑧))𝑛 − Φ𝑛(𝑧)]𝑑𝑧 = 𝑑2 (2.4)
√𝑉 (𝑊 ) =
√𝐸(𝑊 2) − 𝑑2 = 𝑑3 (2.5)
onde 𝐸(𝑊 2) = 2+∞∫𝑢
𝑣∫−∞
{1 − [1 − Φ(𝑢)]𝑛 − Φ𝑛(𝑣) + [Φ(𝑣) − Φ(𝑢)]𝑛}𝑑𝑢𝑑𝑣.
O valor esperado de 𝑅 = 𝜎𝑊 é dado por 𝐸(𝑅) = 𝜎𝑑2 e o desvio padrão é𝜎𝑅 =
√𝜎2𝑉 (𝑊 ) = 𝜎𝑑3. Os valores de 𝑑2 e 𝑑3 podem ser encontrados em tabelas
da distribuição de R.
Os limites de controle 3𝜎 para 𝑅 são dados por
𝐸(𝑅) ± 3𝜎𝑅 = (𝑑2 ± 3𝑑3)𝜎 (2.6)
𝜎 conhecido. Limites exatos para o gráfico de controle R podem ser obtidos pela integraçãonumérica de 𝐹𝑊 (𝑤).
O gráfico 𝑅 é insensível às pequenas mudanças no desvio padrão do processo.Embora amostras maiores possam ser mais eficientes, à medida que o tamanho da amostraaumenta, a eficiência da amplitude para estimar o desvio padrão diminui drasticamente.(Montgomery (2009))
2.1.2 Gráficos de Controle 𝑆 e 𝑆2
A variância e o desvio padrão de uma amostra de tamanho 𝑛 de 𝑋 são dados por
𝑆2 =∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑛 − 1 (2.7)
𝑆 =√
𝑆2
Tem-se que (𝑛 − 1)𝑆2
𝜎2 ∼ 𝜒2𝑛−1.
2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 27
𝑆2 é um estimador não viesado de 𝜎2, ou seja, 𝐸(𝑆2) = 𝜎2 (Ross (2009)). O valoresperado de S é 𝐸(𝑆) = 𝜎𝑐(𝑛) onde
𝑐(𝑛) =√
2Γ(𝑛/2)√𝑛 − 1Γ(𝑛−1
2 )com
Γ(𝑡) =∞∫
0
𝑥𝑡−1𝑒−𝑡𝑑𝑥
O desvio padrão de 𝑆, 𝜎𝑆, é dado por
𝜎𝑆 =√
𝐸(𝑆2) − [𝐸(𝑆)]2 = 𝜎√
1 − 𝑐2(𝑛)
.
Os limites de controle 3𝜎 para o gráfico de controle 𝑆, 𝜎 conhecido, são dados por
𝐸(𝑆) ± 3𝜎𝑆 = 𝜎[𝑐(𝑛) ± 3√
1 − 𝑐2(𝑛)], (2.8)
O uso de limites 3𝜎 é aproximado e pode levar a limites de controle inferior ne-gativos quando o tamanho da amostra for pequeno, na ordem de cinco. (Zhang et al.(2005))
Os limites de controle inferior (LCL) e superior (UCL) para o gráfico de controle𝑆2, para 𝜎2 conhecido, são exatos e dados por
𝐿𝐶𝐿 = 𝜎2
𝑛 − 1𝜒21−(𝛼/2),𝑛−1
𝑈𝐶𝐿 = 𝜎2
𝑛 − 1𝜒2𝛼/2,𝑛−1
(2.9)
2.2 Gráficos de controle por atributos para monitoramento da va-riabilidadeEm determinadas situações a característica da qualidade, embora possa ser ex-
pressa em escala contínua, pode ser monitorada através de uma classificação ou conta-gem. De acordo com Montgomery (2009) o controle por variáveis é geralmente mais caroe consome mais tempo por unidade do que a inspeção por atributos.
Gráficos por atributos são aplicados para monitorar processos quando a carac-terística da qualidade é resultado de uma classificação dos itens em conforme ou nãoconforme.
Mensurar a característica de qualidade de interesse precisamente pode ser caro.Uma alternativa para controlar a estabilidade do parâmetro de interesse pode ser utilizarum dispositivo e, sem mensurar, classificar os valores em grupos.
28 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
O agrupamento de dados é um recurso que pode ser utilizado para resumo dainformação e apresentação na forma de gráficos e tabelas, como forma de preservar a fontede informação sigilosa ou como alternativa quando há dificuldade ou impossibilidade emobter medidas com precisão. (Haitovsky (1982))
Haitovsky (1982) definiu o agrupamento de dados como um processo no qual a va-riável 𝑋, com função de distribuição acumulada 𝐹 (𝑋), contínua ou discreta, é condensadanuma função de distribuição discreta
𝑝𝑗 =𝑐𝑗∫
𝑐𝑗−1
𝑑𝐹 (𝑋)
𝑗 = 1, . . . 𝑘 + 1.
𝑋 ∈ [𝑐0, 𝑐𝑘+1] é particionada em intervalos, equidistantes ou não, de limites 𝑐𝑗,onde 𝑐1 < . . . < 𝑐𝑘 , com 𝑐0 = −∞ e 𝑐𝑘+1 = +∞, de modo que são formados (𝑘 + 1)grupos disjuntos. Cada elemento 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 é classificado no grupo 𝑗, 𝑗 = 1, . . . 𝑘 +1,se 𝑐𝑗−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑐𝑗.
O número de elementos classificados no grupo 𝑗 é 𝑛𝑗, tal que𝑘+1∑𝑗=1
𝑛𝑗 = 𝑛.
Assim, uma observação 𝑥𝑖 ∈ [𝑐0, 𝑐1] é classificada no grupo 1, com probabilidade
𝑝1 =𝑐1∫
−∞
𝑑𝐹 (𝑋) e uma observação 𝑥𝑖 ∈ [𝑐𝑘, 𝑐𝑘+1] é classificada no grupo (𝑘 + 1), com
probabilidade 𝑝𝑘+1 =+∞∫𝑐𝑘
𝑑𝐹 (𝑋).
Na área de amostragem de aceitação, os itens não conformes, segundo os limites deespecificação, são monitorados de acordo com a classificação da característica da qualidadeem aceita ou rejeitada.
Tippett (1944) foi um dos primeiros a desenvolver as técnicas de gráficos de con-trole especificamente para uso com dados agrupados. Stevens (1948) propôs dois gráficosde controle que utilizam um dispositivo com dois limites, que classifica as observações emum de três grupos, para monitorar simultaneamente a média e o desvio padrão de umadistribuição que possa ser aproximada à normal.
Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) propuseram um gráfico de controle step gaugeem 𝑘 etapas, ou k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6, para monitorar mudanças unidirecionais namédia de uma distribuição normal. Em seguida, estenderam o trabalho para mudanças nasduas direções e propuseram um gráfico de controle Shewhart k-step gauge para monitorara média e o desvio padrão de um processo cuja produção segue uma distribuição normal.(Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996))
O gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 foi proposto por Ho e Quinino (2013) como uma al-ternativa para o gráfico 𝑆2 para monitorar a variabilidade de um processo por atributo
2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 29
quando a característica de qualidade segue uma distribuição normal.
Os gráficos de controle para monitoramento da variância propostos por Stevens(1948), Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) e Ho e Quinino (2013) são descritos nassubseções 2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3, respectivamente.
2.2.1 Gráfico de Controle por Classificação
Stevens (1948) propôs dois gráficos de controle para monitorar simultaneamente amédia e o desvio padrão de uma distribuição que possa ser aproximdada à normal, quandoo processo está operando sob controle, no qual as observações são classificadas em um dostrês grupos utilizando um dispositivo de duas etapas .
Um dispositivo (Figura 1) consiste de um número de pinos de diferentes diâmetrosutilizados para classificar um item de acordo com o resultado de se passar ou não passarpelo medidor, se é maior ou menor do que o padrão determinado. (Stevens (1948)).
Figura 1: Modelo de dispositivo de classificação.
Uma amostra aleatória 𝑋1, 𝑋2, . . . 𝑋𝑛, com distribuição simétrica aproximada àNormal quando o processo está sob controle, tem suas observações classificadas por umdispositivo com limites 𝑐1 = 𝐿 e 𝑐2 = 𝑈 , 𝐿 < 𝑈 , equidistantes do centro da distribuição(Figura 2). Cada variável 𝑥𝑖 é classificada nos grupos⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(1), com probabilidade 𝑝1 se 𝑥𝑖 < 𝐿
(2), com probabilidade 𝑝2 se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈
(3), com probabilidade 𝑝3 se 𝑥𝑖 > 𝑈
Quando ocorre um aumento na média do processo, sem mudança no desvio padrão,o valor de 𝑝3 aumenta, 𝑝1 diminui e 𝑝2 permanece inalterado. Por outro lado, quando ocorreaumento na variabilidade, 𝑝1 e 𝑝3 aumentam e 𝑝2 diminui.
30 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
Figura 2: Processo de classificação de Stevens.
A quantidade de itens classificados nos dos três grupos são, respectivamente 𝑛1, 𝑛2,e 𝑛3. Stevens (1948) propõe a estatística 𝑛3 − 𝑛1 para monitorar mudanças na média doprocesso e 𝑛1 + 𝑛3 para monitorar mudanças no desvio padrão.
Tem-se que (𝑛1, 𝑛2, 𝑛3) segue uma distribuição trinomial (𝑛, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3), (𝑛1 +𝑛3) ∼𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛, 𝑝1 + 𝑝3) e (𝑛3 − 𝑛1) pode ser aproximada para uma distribuição normal demédia 𝑛(𝑝3 −𝑝1) e variância 𝑛[𝑝1(1−𝑝1)+𝑝3(1−𝑝3)+2𝑝1𝑝3], quando 𝑛 é grande.(Johnson,Kotz e Balakrishnan (2004))
Stevens (1948) comparou a sensitividade do método através da razão da variânciadas estimativas para a média e o desvio padrão obtidas das medidas exatas e agrupadas,determinadas pela matriz de informação de Fisher com uma única observação. Os limitesótimos foram determinados de modo que maximizem a eficiência.
2.2.2 Gráfico de Controle k-step gauge
Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994) propuseram um gráfico de controle step gaugecom 𝑘 = 𝑐 limites ou k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6, para monitorar mudanças unidirecionaisna média de uma distribuição normal, quando o desvio padrão do processo é conhecido,com base na razão de verossimilhança das probabilidades multinomiais das hipóteses nulae alternativa.
2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 31
Utiliza-se um k-step gauge com limites 𝑐𝑗, para classificar valores da variável alea-tória 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2) em (𝑘 + 1) grupos. Assume-se que 𝜎2 é conhecido e igual a 1 de modoque o vetor de parâmetros é 𝜃 = (𝜇, 1). Quando o processo está fora de controle, a médiasofre mudanças enquanto o desvio padrão permanece inalterado.
𝑋𝑖 observações de uma amostra aleatória de tamanho 𝑛, 𝑖 = 1, . . . 𝑛, tomada acada período ℎ, são classificadas. A probabilidade de uma observação ser classificadacomo pertencente ao grupo 𝑗, 𝑗 = 1, .., 𝑘 + 1 é dada por
𝑝𝑗(𝜃) =𝑐𝑗∫
𝑐𝑗−1
𝑓(𝑥, 𝜃)𝑑𝑥
O modelo que descreve essa distribuição é multinomial, ou seja, (𝑛1, . . . , 𝑛𝑘+1) ∼
𝑀𝑢𝑙𝑡(𝑛, 𝑝1, . . . 𝑝𝑘+1) tal que𝑘+1∑𝑗=1
𝑝𝑗 = 1 e𝑘+1∑𝑗=1
𝑛𝑗 = 𝑛.
O teste uniformemente mais poderoso (UMP) para testar uma mudança em umprocesso significativo é a razão de verossimilhança das probabilidades multinomiais sobas hipóteses nula de que o processo está sob controle, e alternativa de que o processoopera fora de controle. Para Steiner, Geyer e Wesolowsky (1994), esta abordagem é con-siderada ideal pelo Lema de Neyman-Pearson, onde o particionamento ótimo da regiãode aceitação/rejeição é baseado na razão de probabilidade das alternativas específicas.
A estatística do teste, com nível de significância 𝛼 e poder 1 − 𝛽 é a razão deverossimilhança
𝐿𝑅(𝜃|𝑋) = 𝐿(𝜃1|𝑋)𝐿(𝜃0|𝑋) =
𝑘+1∏𝑗=1
(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃0)
)𝑛𝑗
A variável aleatória 𝑧𝑖 = 𝑙𝑛
(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃0)
)é atribuída a cada observação 𝑥𝑖 pertencente
ao grupo 𝑗 e a média amostral 𝑧 é utilizada como linha central do gráfico de controle.
O gráfico sinaliza que o processo está fora de controle se a média amostral estiverfora do limite de controle, ou seja, se 𝑧 > 𝑈𝐶𝐿. Deve-se determinar 𝑛 e 𝑈𝐶𝐿 tal que
𝛼 = 𝑃 (𝑛∑
𝑖=1𝑧𝑖 > 𝑛𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃0)
1 − 𝛽 = 𝑃 (𝑛∑
𝑖=1𝑧𝑖 > 𝑛𝑈𝐶𝐿|𝜃 = 𝜃1)
Quando 𝑛 é grande, 𝑧 é aproximado pela distribuição normal com média 𝜇𝑧(𝜃) evariância 𝜎2
𝑧(𝜃), onde
𝜇𝑧(𝜃) =𝑘+1∑𝑗=1
𝑝𝑗(𝜃)𝑧𝑗 (2.10)
32 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
𝜎2𝑧(𝜃) =
𝑘+1∑𝑗=1
𝑝𝑗(𝜃)𝑧2𝑗 − 𝜇𝑧(𝜃)2 (2.11)
Na solução aproximada pelo Teorema do Limite Central (TLC) os valores de 𝑛 e𝑈𝐶𝐿 são obtidos das equações:
𝑛 =[
Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0) − 𝜇𝑧(𝜃1)
]2
(2.12)
𝑈𝐶𝐿 = Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0)𝜇𝑧(𝜃1) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0)Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)
(2.13)
onde Φ−1 é a inversa da função de distribuição acumulada de 𝑁(0, 1) e (𝜇𝑧(𝜃), 𝜎2𝑧(𝜃) são
determinados por (2.10) e (2.11).
A partição ótima para o step gauge é determinada minimizando o tamanho daamostra 𝑛 dado 𝑈𝐶𝐿. Dado um vetor de limites 𝑐𝑗 a partição ótima é obtida pela soluçãoda equação
𝑚𝑖𝑛[𝑛(𝑐) + 𝑚(𝑐)] (2.14)
onde
𝑛(𝑐) = 𝑛 =[
Φ−1(𝛼)𝜎𝑧(𝜃0) − Φ−1(1 − 𝛽)𝜎𝑧(𝜃1)𝜇𝑧(𝜃0) − 𝜇𝑧(𝜃1)
]2
(2.15)
𝑚(𝑐) =
⎧⎨⎩ 𝑀, se 𝑐𝑗−1 > 𝑐𝑗
0, caso contrárioé o critério de parada, 𝑀 grande.
Para grandes amostras uma solução aproximada pode ser obtida utilizando o teo-rema do limite central e para amostras de pequenas dimensões um procedimento iterativoé utilizado para determinar as partições. A solução pelo TLC é apropriada se o desviodas taxas de erro verdadeiros das taxas desejadas é pequeno. Quanto maior o númerode grupos (𝑘 + 1), menor o tamanho de amostra necessário para as taxas tornarem-seestáveis.
Segundo os autores, encontrar os limites de calibre ideais para pequenos tamanhosde amostra é computacionalmente caro. A distribuição de 𝑧 é assimétrica e os limites daspartições e os pesos correspondentes deixam de ser ótimos.
Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996) estenderam o trabalho para mudanças nasduas direções e propuseram um gráfico de controle Shewhart k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6,para monitorar a média e o desvio padrão de um processo cuja produção segue umadistribuição normal.
O teste de hipóteses para o gráfico detectar mudanças de processo é⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0
𝐻1 : 𝜃 = 𝜃1 ou 𝜃 = 𝜃−1
2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 33
onde 𝜃1 e 𝜃−1 são mudanças nas direções ascendente e descendente, respectiva-mente.
Duas abordagens foram propostas:
1. dois conjuntos de pesos (𝑧+𝑗 , 𝑧−
𝑗 ),variáveis aleatórias, com teste da razão deverossimilhança composto equivalente a dois testes de hipóteses unilateraissimples:
𝑧+𝑗 = 𝑙𝑛
(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃0)
), 𝑧−
𝑗 = 𝑙𝑛
(𝑝𝑗(𝜃−1)𝑝𝑗(𝜃0)
)(2.16)
2. um conjunto de pesos (𝑤𝑗), variável aleatória, com um único teste de hipótese.
𝑤𝑗 = 𝑙𝑛
(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃−1)
)(2.17)
Para o primeiro caso, define-se Ω = {𝜃1, 𝜃−1}. A estatística do teste é dada por
𝐶𝐿𝑅 = max𝜃∈Ω
𝑙𝑛
(𝐿(𝜃|𝑋)𝐿(𝜃0|𝑋)
)= max
𝜃∈Ω
𝑘+1∑𝑗=1
𝑛𝑗𝑙𝑛
(𝑝(𝜃)𝑝(𝜃0)
).
O teste é equivalente à 𝑚𝑎𝑥(𝑧+, 𝑧−).
Define-se os limites de controle para (𝑧+, 𝑧−) iguais a (𝑈𝐶𝐿, 𝐿𝐶𝐿), respectiva-mente.
Assume-se que 𝑧 ∼ 𝑁(𝜇𝑧(𝜃), 𝜎2𝑧(𝜃)), 𝜃 igual ao verdadeiro valor do parâmetro, com
média e desvio padrão segundo (??). Deve-se determinar o tamanho da amostra 𝑛 tal que
𝑃 [𝑧+ > 𝑈𝐶𝐿(𝑛)|𝜃0] + 𝑃 [𝑧− > 𝐿𝐶𝐿(𝑛)|𝜃0] ≤ 1𝐴𝑅𝐿0
onde𝑈𝐶𝐿(𝑛) = −𝜎𝑧+(𝜃1)Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿*
1)√𝑛
+ 𝜇𝑧+(𝜃1)
𝐿𝐶𝐿(𝑛) = −𝜎𝑧−(𝜃−1)Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿*1)√
𝑛+ 𝜇𝑧−(𝜃−1)
A segunda abordagem compara a probabilidade de 𝜃1 contra 𝜃−1. A estatística doteste é equivalente a
𝐿𝑅(𝑋) =𝑘+1∏𝑗=1
(𝑝𝑗(𝜃1)𝑝𝑗(𝜃−1)
).
Para grandes amostras 𝑤 pode ser aproximado para a distribuição normal e oslimites de controle podem ser expressos em função do tamanho da amostra. Os valores de𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 são determinados pela desigualdade
𝑃 (𝑤 > −𝜎𝑤(𝜃1)𝑟(𝑛) + 𝜇𝑤(𝜃1)|𝜃0) + 𝑃 (𝑤 < 𝜎𝑤(𝜃−1)𝑟(𝑛) + 𝜇𝑤(𝜃−1)|𝜃0) ≤ 1𝐴𝑅𝐿1
34 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
onde 𝑟(𝑛) = Φ−1(1/𝐴𝑅𝐿1)√𝑛
.
A solução baseada no TCL tem bons resultados para grandes tamanhos de amostra.Para tamanhos de amostra pequenos o efeito do problema da descontinuidade pode sersignificativo sendo necessário considerar a distribuição exata dos pesos para determinaros verdadeiros níveis de 𝐴𝑅𝐿 por meio de enumeração.
Os limites ótimos para o gráfico de controle Shewhart k-step gauge, 𝑘 = 1, . . . , 6,são os que maximizam a informação esperada de Fisher
𝐸(𝐼(𝜃)) =𝑘+1∑𝑗=1
1𝑝𝑗(𝜃)
(𝜕𝑝𝑗(𝜃)
𝜕𝜃
)2
numa amostra de tamanho um. Para a distribuição normal com parâmetros 𝜃 = (𝜇, 𝜎) oslimites ótimos são obtidos de max[𝐸(𝐼(𝜃))].
Os limites que maximizam a informação sobre a média e sobre o desvio padrão nãosão os mesmos (Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996)) e os limites ótimos para monitorarsimultaneamente a média e o desvio padrão são os que maximizam a soma ponderada daseficiências estimadas dos dois parâmetros 𝐸𝑓𝑓(𝜇, 𝜎, 𝑑) = 𝑑𝐸𝑓𝑓(𝜇) + (1 − 𝑑)𝐸𝑓𝑓(𝜎).
2.2.3 Gráfico de Controle 𝑛𝑝𝑆2
Wu et al. (2009) propuseram o gráfico de controle 𝑛𝑝𝑋 para monitorar a média doprocesso, com distribuição normal, através de inspeção por atributos, onde cada observa-ção é classificada como aprovada ou reprovada com base em limites discriminantes.
O gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 foi proposto por Ho e Quinino (2013) como uma alter-nativa para o gráfico 𝑆2 para monitorar a variabilidade de um processo de inspeção poratributos quando a característica de qualidade de interesse segue uma distribuição normalcom média 𝜇 e variância 𝜎2.
O procedimento é semelhante ao gráfico 𝑛𝑝𝑋 de Wu et al. (2009) onde um itemé classificado através de um dispositivo "passa / não passa", onde para uma amostra detamanho 𝑛, tomada a cada período ℎ, os itens são classificados em aprovado ou rejeitado.
O teste de hipóteses para o gráfico detectar mudanças unilaterais na variância doprocesso quando a média permanece inalterada é:
⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜎2 = 𝜎20
𝐻1 : 𝜎2 = 𝜎21 = 𝛿2𝜎2
0, 𝛿 > 1
No processo de classificação, baseado num dispositivo, um item é consideradoaprovado se a medida está dentro do intervalo [𝐿𝐷𝐿, 𝑈𝐷𝐿], limites discriminantes inferiore superior, respectivamente.
2.2. Gráficos de controle por atributos para monitoramento da variabilidade 35
O procedimento do gráfico 𝑛𝑝𝑆2 consiste em classificar sequencialmente as unidadesem aprovado ou rejeitado até que 𝑎 itens aprovados ou 𝑏 rejeitados sejam observados pelaprimeira vez. Se 𝑎 itens aprovados são observados antes, o processo é dito sob controle e aprodução continua, mas se 𝑏 itens rejeitados são observados antes, o processo é dito forade controle e a produção é interrompida para o ajuste.
A probabilidade de uma unidade ser rejeitada é
𝑝 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎2) = 1 − Φ(
𝑈𝐷𝐿 − 𝜇0
𝜎
)+ Φ
(𝐿𝐷𝐿 − 𝜇0
𝜎
)(2.18)
𝜎2 = 𝜎20 quando o processo está sob controle e 𝜎2 = 𝜎2
1 = 𝛿2𝜎20 quando o processo está
fora de controle.
A estatística de monitoramento 𝐷 assume, para cada amostra, valor 1 se 𝑎 itensaprovados são observados primeiro e valor 0 caso contrário. A probabilidade de que ográfico sinalize erroneamente que o processo está fora de controle quando na verdade eleestá sob controle, o erro tipo I, é
𝛼 = 1 −𝑎+𝑏−1∑
𝑥=𝑎
⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1
⎞⎠ 𝑝𝑎0(1 − 𝑝0)𝑥−𝑎 = 𝑃 (𝐷 = 0|𝑝0)
onde 𝑝0 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎20) conforme (2.18).
O erro tipo II, a probabilidade de que o gráfico de controle não sinalize que oprocesso está fora de controle quando na verdade ele está fora de controle, é
𝛽 =𝑎+𝑏−1∑
𝑥=𝑎
⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1
⎞⎠ 𝑝𝑎1(1 − 𝑝1)𝑥−𝑎 = 𝑃 (𝐷 = 1|𝑝1)
. onde 𝑝1 = 1 − 𝑃 (𝐿𝐷𝐿 < 𝑋 < 𝑈𝐷𝐿|𝜇0, 𝜎1 = 𝛿2𝜎20) conforme (2.18).
Há uma possibilidade de que nem todos os 𝑛 = (𝑎 + 𝑏 − 1) itens sejam examinados(Ho e Quinino, 2013). Seja 𝐼 o número de inspeções. O valor esperado de 𝐼 é
𝐸(𝐼) = 𝑃 (𝐷 = 1)𝑎+𝑏−1∑
𝑥=𝑎
⎛⎝ 𝑥 − 1𝑎 − 1
⎞⎠ 𝑝𝑎(1 − 𝑝)𝑥−𝑎 + 𝑃 (𝐷 = 0)𝑎+𝑏−1∑
𝑥=𝑏
⎛⎝ 𝑥 − 1𝑏 − 1
⎞⎠ 𝑝𝑏(1 − 𝑝)𝑥−𝑏,
onde 𝑝 é expresso por (2.18).
Os parâmetros 𝑎, 𝑏, 𝐿𝐷𝐿 e 𝑈𝐷𝐿 são determinados tais que a 𝐴𝑅𝐿1 é minimizada,sujeito a um 𝐴𝑅𝐿0. Uma vez que o valor de 𝛼 é fixado, o vetor de valores de parâmetrospara (𝑎, 𝑏, 𝑝0[𝐿𝐷𝐿, 𝑈𝐷𝐿]) pode ser escolhido, de tal modo que minimize 𝛽, para umamudança 𝛿 específica.
Fixados o tamanho da amostra 𝑛 e a magnitude da mudança 𝛿, o gráfico decontrole 𝑛𝑝𝑆2 quer determinar um tamanho de amostra tal que 𝐴𝑅𝐿1(𝑛𝑝𝑆2) ≤ 𝐴𝑅𝐿1(𝑅)ou 𝐴𝑅𝐿1(𝑛𝑝𝑆2) ≤ 𝐴𝑅𝐿1(𝑆2). O gráfico 𝑛𝑝𝑆2 tem um desempenho semelhante ao do gráfico
36 Capítulo 2. Gráficos de Controle mais comuns empregados no monitoramento da variabilidade
de controle 𝑅, com um tamanho de amostra próximo ou menor, mas seu desempenho emdetectar uma mudança no processo é inferior ao do gráfico 𝑆2.
Quando 𝑋 ∼ 𝑁(0, 1), para um 𝐴𝑅𝐿0 = 370, define-se o tamanho de amostra 𝑛*
para os gráficos 𝑆2 e 𝑅 como o tamanho mínimo da amostra necessária para produzirum 𝐴𝑅𝐿1 tão pequeno quanto possível, quando comparado com o 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico decontrole 𝑛𝑝𝑆2 e, para o gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 , como o número médio de classificaçõesnecessárias em cada amostra de tamanho 𝑛, onde 𝑛* ≤ 𝑛.
Ho e Quinino (2013) afirmam que o uso do gráfico de controle 𝑛𝑝𝑆2 é interessantedevido ao fato de que não há nenhuma medição das unidades, que são inspecionadaspor um processo de classificação com contagem de itens fora dos limites discriminantes.Considerando-se o custo médio por unidade de tempo, de acordo com os autores, o gráficode controle 𝑛𝑝𝑆2 apresenta uma vantagem econômica sobre o gráfico 𝑆2, quando o custode classificar itens é, em média, aproximadamente 25% inferior ao custo de mensurá-los.
37
3 Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitora-mento da variância
Em algumas situações, obter a medida exata de uma determinada característicada qualidade a ser monitorada é impossível ou economicamente inviável. Nestes casos,uma alternativa é classificar a variável contínua em categorias através de um dispositivocomo, por exemplo, um anel de calibração tipo passa - não passa.
Suponha que se queira monitorar a variabilidade de um processo em que a carac-terística da qualidade de interesse segue uma distribuição normal com média 𝜇 e variância𝜎2. A variável a ser monitorada é classificada em grupos, através de um dispositivo passa– não passa.
Para uma amostra de tamanho 𝑛, cada item 𝑥𝑖, 𝑖 = 1 . . . 𝑛, é classificado pelodispositivo no grupo 𝑗, 𝑗 = 1 . . . 𝑘 + 1, com probabilidade 𝑝𝑗. Ao final da inspeção, tem-se
𝑛𝑗 itens em cada grupo 𝑗, onde𝑘+1∑𝑗=1
𝑛𝑗 = 𝑛.
Considera-se, inicialmente, um dispositivo com dois limites de controle: inferior𝑐1 = 𝐿 e superior 𝑐2 = 𝑈 (Figura 3) que classifica as observações em três grupos distintos.
Figura 3: Modelo de dispositivo de classificação com dois limites.
De acordo com a Figura 3, ajustadas as medidas de limite 𝐿 - parte externa e 𝑈 -parte interna (A), um item pode não-passar por 𝐿 (B); passar por 𝐿 e não passar por 𝑈
(C) ou; passar por ambos (D).
38 Capítulo 3. Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância
A probabilidade de um item 𝑥𝑖 pertencer à um dos três grupos é dada por:
𝑝𝑗 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Φ(
𝐿 − 𝜇
𝜎
), se 𝑥𝑖 ≤ 𝐿
Φ(
𝑈 − 𝜇
𝜎
)− Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
), se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈
1 − Φ(
𝑈 − 𝜇
𝜎
), se 𝑥𝑖 ≥ 𝑈
(3.1)
Para cada grupo 𝑗, dados os parâmetros (𝑎, 𝑡), 𝑎 > 1 constante, associa-se um peso𝑤𝑗, conforme abaixo:
𝑤𝑗 =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(2 − 𝑎)(𝐿 − 𝑡)2, se 𝑥𝑖 ≤ 𝐿
𝑡2, se 𝐿 < 𝑥𝑖 < 𝑈
𝑎(𝑈 − 𝑡)2, se 𝑦𝑖 ≥ 𝑈
(3.2)
Define-se a estatística a ser monitorada
𝐺𝑆2(𝑋 | 𝜇, 𝜎2) =𝑘+1∑𝑗=1
𝑤𝑗𝑝𝑗𝑛𝑗 (3.3)
Por simplicidade adota-se a notação G para 𝐺𝑆2 .
A Figura 4 apresenta o cálculo da estatística 𝐺 conforme a classificação do dis-positivo nos grupos 𝑗 = 1, 2, 3.
Figura 4: Cálculo da estatística 𝐺.
3.1. Distribuição da estatística 𝐺 39
Assume-se que, sob controle, 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇0, 𝜎20) e que ao ocorrer um aumento na
variância, sem mudanças na média, tem-se 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇0, 𝛿2𝜎20). A hipótese a ser testada é
⎧⎨⎩ 𝐻0 : 𝜎2 = 𝜎20
𝐻1 : 𝜎2 = 𝜎21 = 𝛿2𝜎2
0, 𝛿 > 1
O gráfico sinaliza se 𝐺(𝑋 | 𝜎2) > 𝐿𝐶, 𝐿𝐶 limite de controle determinado parasatisfazer alguma medida de desempenho.
3.1 Distribuição da estatística 𝐺
Seja {𝑁𝑠} o conjunto de todas as 𝑠 possíveis partições das 𝑛 observações em (𝑘+1)grupos, de modo que se tenha 𝑛𝑗 observações em cada grupo, onde
𝑘+1∑𝑗=1
𝑛𝑗 = 𝑛.
O número de partições é dado por (Johnson, Kotz e Balakrishnan (2004))
𝑠 =⎛⎝ 𝑛 + 𝑘
𝑘
⎞⎠ .
A distribuição da estatística 𝐺 é discreta e formada por 𝑔1, 𝑔2, . . . 𝑔𝑠 valores quantosforem o total de partições possíveis do número total de observações da amostra (𝑛).
No caso de se classificar 𝑛 itens em três grupos, o número de partições possíveis é
𝑠 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)2 . (3.4)
Para cada partição determina-se o valor da estatística 𝐺(𝑋 | 𝜇, 𝜎2), ou seja, paraa 𝑙-ésima partição formada pelo vetor (𝑛𝑙1, 𝑛𝑙2, 𝑛𝑙3), determina-se
𝑔𝑙 = (2−𝑎)(𝐿−𝑡)2Φ(
𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙1+𝑡2
[Φ(
𝑈 − 𝜇
𝜎
)− Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)]𝑛𝑙2+𝑎(𝑈−𝑡)2Φ
(𝑈 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙3
(3.5)
onde 𝑛𝑙1 + 𝑛𝑙2 + 𝑛𝑙3 = 𝑛 e 𝑙 = 1, . . . , 𝑠.
A probabilidade de ocorrência do ponto 𝑔𝑙 é determinada por
𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙) = 𝑛!𝑛𝑙1!𝑛𝑙2!𝑛𝑙3!
𝑝𝑛𝑙11 𝑝𝑛𝑙2
2 𝑝𝑛𝑙33 (3.6)
onde 𝑝𝑗 é a probabilidade de um item pertencer ao grupo 𝑗 conforme (3.1), nassituações sob controle com 𝜎2 = 𝜎2
0 ou fora de controle com 𝜎2 = 𝜎21 = 𝜎2
0𝛿2.
Tem-se as probabilidades sob 𝐻0 : 𝑝01, 𝑝02, 𝑝03 e 𝐻1 : 𝑝11, 𝑝12, 𝑝13
40 Capítulo 3. Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância
3.2 Determinação do 𝐴𝑅𝐿1
Para uma amostra de tamanho 𝑛, o processo de classificação pelo dispositivo comlimites [𝐿, 𝑈 ] produz, para cada vetor da partição, a estatística 𝑔𝑙 com probabilidade𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2
0) sob controle e 𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎21 = 𝜎2
0𝛿2) fora de controle.
A função de distribuição acumulada nos 𝑠 pontos da estatística 𝐺, dada por𝐹 (𝑔𝑙) =
𝑚∑𝑙=1
𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙 | 𝜎2), determina os quantis 𝐹0(𝑔𝑙) sob 𝐻0 e 𝐹1(𝑔𝑙) sob 𝐻1,𝑙 = 1, . . . , 𝑠.
Fixado 𝛼 = 1𝐴𝑅𝐿0
e dadas todas as partições possíveis {𝑁𝑠}, o limite de controle
𝐿𝐶 é tal que 𝑃 (𝐺 > 𝐿𝐶 | 𝜎20) = 𝛼.
Obtido o limite de controle 𝐿𝐶, deve-se determinar os limites do dispositivo decalibração 𝐿 = −𝑈 e o valor da constante 𝑎, que minimizem o valor do 𝐴𝑅𝐿1 para oprocesso fora de controle, isto é, de modo que 𝐴𝑅𝐿1 = 1
1 − 𝛽seja mínimo, onde 𝛽 =
𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎21) .
Os valores ótimos para (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) são obtidos da solução da equação
fixado 𝐴𝑅𝐿 = 𝐴𝑅𝐿0
dados os valores iniciais 𝑣0 = (𝐿0, 𝑈0, 𝑎0, 𝑡0)determinar 𝑣* = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡)
tal que min[
11 − 𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎2
1)
]sujeito a 𝑣 ∈ Ω
Ω = {𝐿 ∈ [−2, 0], 𝑈 ∈ [0, 2], 𝑎 ∈]1, 2[, 𝑡 ∈ [0, 1]}
(3.7)
Assim, fixado 𝐴𝑅𝐿0 = 1𝛼
, o limite de controle 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0 é determinado dentre osvalores 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠, tal que
𝑙0∑𝑙=1
𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎20) ≤ 1 − 𝛼 (3.8)
Obtido o limite de controle 𝐿𝐶, o 𝐴𝑅𝐿1 = 11 − 𝛽
é determinado em função de
𝛽 =𝑙1∑
𝑙=1𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2
1) (3.9)
tal que, dentre os valores de 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠), tem-se um 𝑔𝑙1 > 𝐿𝐶.
Considerou-se quatro casos de restrição aos parâmetros do gráfico proposto paraavaliação do desempenho em termos de 𝐴𝑅𝐿. As restrições de cada caso estão resumidasna Tabela 1.
3.2. Determinação do 𝐴𝑅𝐿1 41
Tabela 1: Parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2
Caso Parâmetros Restrições
1 𝐿, 𝑎 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 𝑈 + 𝐿
2 = 02 𝐿, 𝑎, 𝑡 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 03 𝐿, 𝑈, 𝑎 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 𝑈 + 𝐿
24 𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡 𝑈 = |𝐿|, 𝑡 = 0
Caso 1
No primeiro caso assumem-se limites discriminantes simétricos, 𝑈 = −𝐿, e o pa-râmetro 𝑡 como função destes limites, 𝑡 = (𝑈 + 𝐿)
2 = 0. Neste caso, a equação resume-sea determinar apenas os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑎).
O valor da estatística 𝐺(𝑋 | 𝜎2) definida em (3.5) para a 𝑙-ésima partição (𝑛𝑙1, 𝑛𝑙2, 𝑛𝑙3),𝑔
(1)𝑙 , é dado por
𝑔(1)𝑙 = (2 − 𝑎)𝐿2Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙1 + 𝑎𝐿2Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙3 (3.10)
Caso 2
Neste caso os limites discriminantes são mantidos simétricos, mas o parâmetro𝑡 = 0. A equação considera os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑎, 𝑡) e o valor da estatística 𝑔
(2)𝑙
é dado por:
𝑔(2)𝑙 = (2 − 𝑎)(𝐿 − 𝑡)2Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙1 + 𝑡2
[1 − Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)]𝑛𝑙2 + 𝑎(−𝐿 − 𝑡)2Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛𝑙3
(3.11)
Caso 3
No terceiro caso, os limites discriminantes não possuem restrição de simetria e oparâmetro 𝑡 é dado como função destes limites, ou seja, 𝑡 = (𝑈 + 𝐿)
2 . Neste caso são
considerados os valores ótimos para 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎) e o valor da estatística 𝑔(3)𝑙 é dado por:
𝑔(3)𝑙 = (2 − 𝑎)
[𝐿 −
(𝑈 + 𝐿
2
)]2Φ(
𝐿 − 𝜇
𝜎
)𝑛1 +
(𝑈 + 𝐿
2
)2 [Φ(
𝑈 − 𝜇
𝜎
)− Φ
(𝐿 − 𝜇
𝜎
)]𝑛𝑙2+
+𝑎[𝑈 −
(𝑈 + 𝐿
2
)]2 [1 − Φ
(𝑈 − 𝜇
𝜎
)]𝑛𝑙3
(3.12)
42 Capítulo 3. Gráfico de Controle 𝐺𝑆2 para monitoramento da variância
Caso 4
No último caso a ser analisado, os limites discriminantes são mantidos sem restriçãode simetria, mas tem-se o parâmetro 𝑡 = 0. Os valores ótimos a serem determinados pelaequação são 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) e o valor da estatística 𝑔
(4)𝑙 é dado em (3.5).
43
4 Resultados
Para determinar os limites ótimos do gráfico a partir da função de distribuiçãoacumulada, assumimos que a variável aleatória 𝑋 ∼ 𝑁(0, 1) quando o processo está sobcontrole e 𝑋 ∼ 𝑁(0, 𝛿2) quando o processo está fora de controle, mantendo-se a médiainalterada.
Dada uma amostra de tamanho 𝑛, os itens foram classificados por um dispositivocom limites (𝐿, 𝑈) em três grupos distintos, 𝑗 = 1, 2, 3. A cada item do grupo 𝑗 é atribuídoa estatística 𝐺𝑗 dados os valores dos parâmetros 𝑣 = (𝐿, 𝑈, 𝑎, 𝑡) conforme os quatro casosdescritos.
De um modo genérico, para uma amostra de tamanho 𝑛, seja 𝑄𝑠×3 a matriz detodas as partições possíveis da amostra em três grupos distintos, com 𝑠 determinado por(3.4). Cada linha de 𝑄 é formada pelo vetor 𝑞𝑙 = [𝑛𝑙1 𝑛𝑙2 𝑛𝑙3], 𝑙 = 1, . . . , 𝑠.
Para cada vetor 𝑞𝑙, dado o vetor de parâmetros 𝑣, determinam-se os valores daestatística 𝑔𝑙(𝑣) e as probabilidades acumuladas 𝐹0(𝑔𝑙(𝑣)), sob 𝐻0.
O limite de controle 𝐿𝐶 para o gráfico é o limite da função de distribuição acu-mulada sob 𝐻0, ou seja, 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0(𝑣) determinado de acordo com (3.8).
Com uma mudança de magnitude 𝛿2 > 1 na variância do processo sem alteraçãona média, para cada elemento 𝑞𝑙 determinam-se as probabilidades acumuladas 𝐹1(𝑔𝑙(𝑣)),sob 𝐻1.
Obtem-se, então, o valor do 𝐴𝑅𝐿1
𝐴𝑅𝐿1(𝑣) = 11 − 𝛽
(4.1)
onde 𝛽 é dado conforme (3.9).
Os valores de ótimos são o vetor 𝑣* tal que o 𝐴𝑅𝐿1(𝑣*) é mínimo.
Devido à natureza discreta de 𝐺, o verdadeiro valor do 𝐴𝑅𝐿0, denominado 𝐴𝑅𝐿*0,
difere do valor assumido inicialmente para o 𝐴𝑅𝐿0, pois depende do tamanho da amostra.Também, devido à natureza dos dados, é possível haver mais de um vetor de valores 𝑣
ótimos no qual o 𝐴𝑅𝐿1 é mínimo para a amostra de tamanho 𝑛.
A determinação dos valores ótimos de 𝑣 na abordagem descrita acima pode serresumida na Tabela 2.
Como o processo de otimização, conforme descrito, exige um grande esforço com-putacional, optou-se por utilizar a abordagem da otimização multiobjetivo para encontraro conjunto de soluções eficientes na região das restrições dos parâmetros.
44 Capítulo 4. Resultados
Tabela 2: Procedimento para determinar o vetor de valores ótimos 𝑣
Dado uma amostra de tamanho 𝑛, para uma mudança 𝛿, fixando o 𝐴𝑅𝐿0:1. Determine todas as 𝑠 partições da amostra para os três grupos2. Tome um vetor de valores 𝑣3. Calcule 𝑔𝑙(𝑣) para cada partição 𝑞𝑙, 𝑙 = 1, . . . , 𝑠4. Determine a função de distribuição acumulada sob 𝐻0, 𝐹0(𝑔𝑙(𝑣))
5. Determine o limite de controle 𝐿𝐶 = 𝑔𝑙0 tal que𝑙0∑
𝑙=1𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2
0) ≤ 1 − 𝛼,𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠
6. Dado 𝛿 > 1, determine a função de distribuição acumulada sob 𝐻1, 𝐹1(𝑔𝑙(𝑣))
7. Determine 𝛽 =𝑙1∑
𝑙=1𝑃 (𝐺 = 𝑔𝑙|𝜎2
1) tal que 𝑔𝑙1(𝑣) > 𝐿𝐶, 𝑔1 < 𝑔2 < . . . < 𝑔𝑠
8. Calcule o valor de 𝐴𝑅𝐿1(𝑣)9. Repita os passos de 1 - 8 para vários valores de 𝑣10. Escolha o vetor ou conjunto de vetores no qual o 𝐴𝑅𝐿1 é mínimo.
O problema multiobjetivo envolve a otimização de várias funções objetivos simul-taneamente, de modo que a solução é um conjunto de pontos eficientes no espaço desoluções.
Define-se o problema multiobjetivo como
min[𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), . . . 𝑓𝑛(𝑥)]sujeito a𝑥 ∈ 𝑋
𝑔𝑖(𝑥) ≥ 0, 𝑖 = 1, · · · , 𝐼
ℎ𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, · · · , 𝐽
(4.2)
onde 𝑥 é o vetor de parâmetros e 𝑋 o espaço de restrições.
Diferente da otimização mono-objetivo, a solução ótima de um problema multiob-jetivo é formada por um conjunto de soluções não dominadas (ou ótimo de Pareto).
Seja Ω a região viável para o problema de otimização. A solução 𝑢 ∈ Ω é ótimo dePareto se não há nenhuma outra solução 𝑣 ∈ Ω que melhore alguma função objetivo, semdegradar pelo menos uma das demais.
Assim, no problema de minimização na região Ω, a solução 𝑢 é dita não-dominadapela solução 𝑣, se ∀𝑖 ∈ (1, . . . , 𝑛), 𝑓𝑖(𝑢) ≤ 𝑓𝑖(𝑣)∧∃𝑗 ∈ (1, . . . , 𝑛)|𝑓𝑗(𝑢) < 𝑓𝑖(𝑣). O conjuntode soluções não dominadas constitui, no espaço dos objetivos, uma fronteira de Pareto.
Dentre os métodos para otimização de problemas multiobjetivo, destacam-se osalgoritmos evolucionários de busca, que incluem os Algoritmos Genéticos (AG).
Introduzidos por Holland (1975), os AG são procedimentos de busca baseados emmecanismos de seleção natural envolvendo processos de evolução genética de populações,
45
sobrevivência e adaptação. A partir de uma população inicial de resultados possíveis aoproblema de otimização, evolui-se aos melhores resultados através dos operadores genéti-cos de cruzamento, mutação e seleção, dentro de um processo iterativo. A Figura 5 resumeo procedimento de um AG.
Figura 5: Procedimento de um Algoritmo Genético.
Na literatura há diversas propostas de algoritmos evolucionários multiobjetivo. Oprocedimento Elitist Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA II) é um deles.
Desenvolvido por Deb et al. (2002), O NSGA II é uma evolução da forma pro-posta por Goldberg (1989), que aplica critérios de ordenação elitista por dominância eclassificação por comparação de povoamento das soluções.
No método NSGA-II uma população de tamanho 𝑛 é gerada e são aplicados os ope-radores genéticos de cruzamento e mutação, formando 𝑛 descendentes. Os 2𝑛 indivíduossão classificados e ordenados conforme o grau de dominância, constituindo fronteiras, ondeos indivíduos da primeira fronteira tem maior grau de dominância. Uma vez ordenados,calcula-se a distância de povoamento dos indivíduos. A nova população de tamanho 𝑛 éselecionada nas primeiras fronteiras de dominância incluindo-se os indivíduos com maiordistância de povoamento. Este procedimento é repetido até que se atinja a convergência.(Figura 6)
Métodos de busca baseados em AG tem sido largamente utilizados na determinaçãode parâmetros de gráficos de controle. Na literatura podem ser encontradas várias contri-
46 Capítulo 4. Resultados
Figura 6: Procedimento do Algoritmo Genético NSGA-II.
buições. Entre elas podem ser citadas Aparisi e García-Diaz (2004), Aparisi e García-Diaz(2007), Bakir e Altunkaynak (2004), Carlyle, Montgomery e Runger (2000), Chen, Hsiehe Chang (2007), Chou, Wu e Chen (2006), He, Grigoryan e Sigh (2002), Ho e Aparisi(2016), Torng, Lee e Liao (2009).
Ao assumir o problema de otimização dos parâmetros do gráfico de controle 𝐺𝑆2
como multiobjetivo, considera-se a restrição ao 𝐴𝑅𝐿0 como uma função objetivo junta-mente com a equação para determinação do 𝐴𝑅𝐿1.
Então, o problema torna-se minimizar o 𝐴𝑅𝐿1 e a diferença em módulo entre o𝐴𝑅𝐿0 e o 𝐴𝑅𝐿*
0 determinado pelo gráfico proposto.
Assim, os valores ótimos dos parâmetros do gráfico (𝑣) são obtidos da equação
fixado 𝐴𝑅𝐿 = 𝐴𝑅𝐿0
dados os valores iniciais 𝑣0 = (𝐿0, 𝑈0, 𝑎0, 𝑡0)determinar 𝑣* = (𝐿*, 𝑈*, 𝑎*, 𝑡*)
tal que min[
11 − 𝑃 (𝐺 < 𝐿𝐶 | 𝜎2
1) ,
1𝑃 (𝐺 > 𝐿𝐶|𝜎0)
− 𝐴𝑅𝐿0
]
sujeito a 𝑣 ∈ Ω
(4.3)
onde Ω é o espaço de restrições dos parâmetros (Tabela 3).
Do conjunto de soluções ótimas de Pareto, selecionam-se aquelas com o menor
4.1. Desempenho do gráfico 47
valor de 𝐴𝑅𝐿1.
4.1 Desempenho do gráfico
Para avaliar o desempenho do gráfico, considerou-se tamanhos de amostra 𝑛 =(5, 6, . . . , 25) e os seguintes intervalos dos parâmetros para os casos:
Tabela 3: Limites dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑠2
Caso L U a t1 [−2, 0] |𝐿| ]1, 2[ 02 [−2, 0] |𝐿| ]1, 2[ [0,1]3 [−2, 0] [0,2] ]1, 2[ [0,1]4 [−2, 0] [0,2] ]1, 2[ [0,1]
Fixado o 𝐴𝑅𝐿0 = 370, determinou-se os valores ótimos ou conjunto de valores óti-mos de 𝑣 para as amostras nos quatro casos descritos na Tabela 3, considerando mudançasna variância de magnitude 𝛿2 para 𝛿 = (1.1, 1.2, 1.5, 2).
O verdadeiro valor do 𝐴𝑅𝐿0 para o gráfico de controle é o 𝐴𝑅𝐿*0. Os valores ótimos
de 𝑣 para cada amostra foram de fato determinados fixando-se o verdadeiro 𝐴𝑅𝐿*0.
Como a distribuição de 𝐺 é discreta, o 𝐴𝑅𝐿*0 é determinado tal que, dado o
𝐴𝑅𝐿0 = 370, tem-se
|𝐴𝑅𝐿*0 − 𝐴𝑅𝐿0| ≤ 2 (4.4)
Na primeira abordagem ao problema, considerou-se a busca do 𝐴𝑅𝐿1 mínimodentro de um grid de resultados possíveis dentro do espaço de restrições dos parâmetros(Ω), para intervalos de tamanho 0.005.
Considere-se, como exemplo de busca dentro do grid, uma amostra de tamanho𝑛 = 5 e uma mudança na variância de magnitude 𝛿2 = 1.22. Há 𝑠 = 21 partições possíveispara a classificação desta amostra em três grupos distintos, conforme (3.4) .
Assume-se que os parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 são os do caso 1. Então, para oconjunto de valores de 𝑣 no espaço de restrições da Tabela 3, tomados em intervalosde tamanho 0.005, determinam-se os valores de 𝑔
(1)𝑙 , com 𝑙 = 1, . . . , 21, as distribuições
acumuladas sob 𝐻0 e 𝐻1, o limite de controle 𝐿𝐶 e o 𝐴𝑅𝐿 conforme descrito na Tabela2.
Assim, dos 74663 valores de 𝐴𝑅𝐿 obtidos, seleciona-se o conjunto de valores 𝑣
cujo 𝐴𝑅𝐿*0 atende (4.4). O gráfico da Figura 7 apresenta a distribuição do 𝐴𝑅𝐿1 pelos
respectivos valores de 𝑣 = (𝐿, 𝑎).
48 Capítulo 4. Resultados
Figura 7: Valores de 𝐴𝑅𝐿1 para o gráfico 𝐺𝑆2 .
Por fim, selecionam-se os vetores 𝑣 com o menor 𝐴𝑅𝐿1 = 81.25. Os valores ótimospara o gráfico são: limite discriminante inferior 𝐿 = −1.545 e constante 𝑎 no intervalo(1.145, 1.33). Assim, combinando o valor de 𝐿 com o valores de 𝑎, obtem-se 38 resultadospossíveis dentro do grid estabelecido. Para 𝑎 = 1.33, por exemplo, tem-se que o gráficosinaliza uma mudança de magnitude 𝛿2 = 1.22 na variância após, aproximadamente 81amostras, com 𝐴𝑅𝐿*
0 = 369. Mantidos os mesmos valores de 𝑛, 𝛿2 e 𝐴𝑅𝐿*0, o gráfico 𝑆2
apresenta melhor desempenho (𝐴𝑅𝐿𝑆21 = 67).
Tabela 4: Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (Grid)
L a g 𝐴𝑅𝐿1 𝐴𝑅𝐿*0
-1.545 1.33 0.4877 81.25 368.633
Este procedimento deveria ser repetido, aumentando-se a precisão e reduzindo-se os limites do intervalo, de modo a encontrar o 𝐴𝑅𝐿1 mínimo dentro das restriçõesestabelecidas.
A busca por grid exige grande esforço computacional, que aumenta à medida queo tamanho da amostra cresce e o do intervalo diminui. A inclusão de mais parâmetros erestrições aumenta este esforço substancialmente.
Como alternativa para a determinação da solução ótima, utilizou-se a metodolo-gia com procedimento de busca baseado em algoritmos genéticos na forma NSGA-II. O
4.1. Desempenho do gráfico 49
procedimento utilizado é o implementado no pacote mco do R, desenvolvido por Mers-mann (2014). Neste procedimento são controlados o tamanho da população e o númerode gerações.
A rotina de otimização utilizada para a obtenção dos parâmetros através da me-todologia de Algoritmos Genéticos NSGA-II está no Anexo A.
Os valores ótimos dos parâmetros do gráfico 𝐺𝑆2 , para tamanhos de amostra 𝑛
variando de 5 a 25 e mudanças na variância de magnitude 𝛿2 = (1.12, 1.22, 1.52, 22),obtidos para os quatro casos, estão nas Tabelas 6 - 9.
Ao aplicar otimização por NSGA-II para o exemplo considerado na busca porgrid: amostra de tamanho 𝑛 = 5 e mudança na variância 𝛿2 = 1.22, obtém-se os seguintesvalores para os parâmetros:
Tabela 5: Valores do gráfico 𝐺𝑠2 para 𝑛 = 5 e 𝛿2 = 1.22 (NSGA-II)
L a g 𝐴𝑅𝐿1 𝐴𝑅𝐿*0
-1.831 1.00 0.2297 59.709 368.513
O desempenho obtido em termos de 𝐴𝑅𝐿1 utilizando o procedimento NSGA-II émelhor que o obtido na busca por grid, como já esperado, reduzindo o valor de 81.25 para50.709.
Para o procedimento NSGA-II foram considerados uma população de tamanho500 e 150 gerações. Os limites utilizados são os da Tabela 3 para o Caso 1.
O vetor de parâmetros ótimos selecionado é aquele com menor 𝐴𝑅𝐿1 cujo 𝐴𝑅𝐿*0
atende (4.4).
50 Capítulo 4. ResultadosTa
bela
6:Pa
râm
etro
sdo
gráfi
code
cont
role
𝐺𝑆
2–
Cas
o1
N𝛿
La
gN
𝛿L
ag
N𝛿
La
g5
1.1
-1.8
315
1.02
020.
2336
121.
1-1
.937
31.
0522
0.31
6119
1.1
-1.9
306
1.03
780.
4248
51.
2-1
.831
71.
0055
0.22
9712
1.2
-1.9
372
1.02
600.
3112
191.
2-1
.930
51.
0760
0.43
545
1.5
-1.8
315
1.03
340.
2364
121.
5-1
.937
21.
0035
0.30
5519
1.5
-1.9
305
1.02
500.
4230
52
-1.8
316
1.00
530.
2300
122
-1.9
371
1.05
040.
3176
192
-1.9
305
1.04
190.
4269
61.
1-1
.930
81.
0335
0.20
8113
1.1
-1.9
757
1.11
210.
3152
201.
1-1
.954
71.
0029
0.40
546
1.2
-1.9
305
1.16
220.
2328
131.
2-1
.975
51.
0100
0.29
3120
1.2
-1.9
547
1.10
600.
4285
61.
5-1
.930
71.
0064
0.20
3813
1.5
-1.9
755
1.00
230.
2913
201.
5-1
.954
71.
0058
0.40
636
2-1
.930
51.
1129
0.22
4013
2-1
.975
61.
0599
0.30
3820
2-1
.954
61.
0528
0.41
737
1.1
-1.9
895
1.01
010.
2742
141.
1-1
.778
71.
0503
0.51
1321
1.1
-1.9
773
1.03
780.
4013
71.
2-1
.989
71.
0073
0.27
4914
1.2
-1.7
788
1.05
070.
5100
211.
2-1
.977
41.
0090
0.39
347
1.5
-1.9
898
1.10
300.
2485
141.
5-1
.778
71.
0002
0.49
6721
1.5
-1.9
773
1.05
070.
4036
72
-1.9
895
1.12
030.
2439
142
-1.7
787
1.05
720.
5142
212
-1.9
773
1.03
460.
4007
81.
1-1
.724
51.
0775
0.41
1115
1.1
-1.8
143
1.03
950.
4904
221.
1-1
.829
41.
0157
0.60
578
1.2
-1.7
244
1.07
960.
4123
151.
2-1
.814
41.
0161
0.48
2222
1.2
-1.8
293
1.04
990.
6125
81.
5-1
.724
51.
0466
0.40
1715
1.5
-1.8
143
1.09
450.
5048
221.
5-1
.829
31.
0014
0.60
808
2-1
.724
41.
0061
0.38
9915
2-1
.814
41.
0317
0.48
6622
2-1
.829
31.
0032
0.60
749
1.1
-1.7
901
1.06
310.
3795
161.
1-1
.847
11.
0208
0.46
3623
1.1
-1.8
512
1.09
060.
5994
91.
2-1
.789
91.
0176
0.36
8516
1.2
-1.8
469
1.10
310.
4888
231.
2-1
.851
21.
0761
0.59
829
1.5
-1.7
900
1.01
660.
3670
161.
5-1
.846
91.
0427
0.47
3123
1.5
-1.8
512
1.03
230.
5929
92
-1.7
899
1.04
180.
3756
162
-1.8
470
1.01
510.
4651
232
-1.8
512
1.06
580.
5967
101.
1-1
.845
71.
0201
0.34
7217
1.1
-1.8
771
1.08
780.
4664
241.
1-1
.871
81.
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-1.8
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3688
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.877
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2724
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-1.8
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130.
5796
101.
5-1
.845
71.
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1817
1.5
-1.8
770
1.04
470.
4567
241.
5-1
.871
81.
0381
0.58
0410
2-1
.845
81.
0049
0.34
1117
2-1
.877
01.
0873
0.46
7724
2-1
.871
81.
0345
0.58
1811
1.1
-1.8
942
1.07
870.
3420
181.
1-1
.904
91.
0878
0.45
0925
1.1
-1.8
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1.06
450.
5689
111.
2-1
.894
21.
1246
0.35
3418
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-1.9
048
1.00
170.
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2-1
.891
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1.5
-1.8
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1.13
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3567
181.
5-1
.904
71.
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1.5
-1.8
914
1.05
250.
5688
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-1.8
942
1.07
380.
3408
182
-1.9
047
1.08
690.
4520
252
-1.8
913
1.05
000.
5692
4.1. Desempenho do gráfico 51
Tabe
la7:
Parâ
met
ros
dogr
áfico
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𝑆2
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2
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N𝛿
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51.
1-1
.831
51.
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1-1
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200.
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000.
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2-1
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2-1
.954
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1-1
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1-1
.778
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1-1
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2-1
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2-1
.778
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2-1
.977
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5-1
.989
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1890
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500.
3020
141.
5-1
.778
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5-1
.977
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-1.9
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2-1
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100.
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000.
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5-1
.851
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2-1
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100.
0670
0.65
20
52 Capítulo 4. ResultadosTa
bela
8:Pa
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1-1
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5-1
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2-1
.780
11.
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1.83
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21.
7246
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.851
51.
8426
1.03
840.
4737
231.
2-1
.842
81.
8597
1.07
710.
5958
91.
5-1
.790
91.
7892
1.05
380.
3774
161.
5-1
.849
01.
8450
1.01
800.
4669
231.
5-1
.857
41.
8451
1.07
680.
6007
92
-1.7
977
1.78
251.
0418
0.37
9116
2-1
.843
31.
8506
1.05
960.
4755
232
-1.8
522
1.85
021.
0549
0.59
6210
1.1
-1.8
362
1.85
531.
0501
0.34
9117
1.1
-1.8
564
1.89
821.
1075
0.46
2524
1.1
-1.8
719
1.87
191.
0785
0.58
3010
1.2
-1.8
399
1.85
141.
1409
0.37
4917
1.2
-1.8
838
1.87
031.
0090
0.45
1824
1.2
-1.8
599
1.88
411.
0892
0.58
0510
1.5
-1.8
348
1.85
681.
1589
0.37
6417
1.5
-1.8
793
1.87
461.
0618
0.46
3324
1.5
-1.8
643
1.87
941.
0550
0.57
7910
2-1
.847
11.
8442
1.11
010.
3717
172
-1.8
744
1.87
941.
0860
0.46
5924
2-1
.871
41.
8723
1.00
780.
5749
111.
1-1
.874
51.
9147
1.08
130.
3323
181.
1-1
.899
51.
9100
1.00
050.
4352
251.
1-1
.883
91.
8989
1.09
680.
5703
111.
2-1
.913
91.
8754
1.07
660.
3563
181.
2-1
.897
51.
9120
1.12
150.
4564
251.
2-1
.882
81.
9001
1.05
340.
5637
111.
5-1
.889
91.
8986
1.13
480.
3532
181.
5-1
.899
71.
9097
1.09
480.
4510
251.
5-1
.894
31.
8886
1.06
510.
5693
112
-1.8
906
1.89
791.
0430
0.33
0718
2-1
.905
81.
9037
1.10
370.
4569
252
-1.8
898
1.89
301.
0773
0.57
00
4.1. Desempenho do gráfico 53
Tabe
la9:
Parâ
met
ros
dogr
áfico
deco
ntro
le𝐺
𝑆2
–C
aso
4N
𝛿L
Ua
tg
N𝛿
LU
at
g5
1.1
-1.8
371
1.82
631.
2735
0.11
860.
2915
161.
1-1
.842
81.
8513
1.09
100.
0293
0.48
235
1.2
-1.8
215
1.84
211.
1370
0.07
390.
2503
161.
2-1
.842
21.
8519
1.09
040.
1508
0.73
015
1.5
-1.8
111
1.85
271.
1929
0.01
750.
2587
161.
5-1
.846
31.
8478
1.06
290.
0918
0.56
065
2-1
.811
81.
8523
1.09
250.
0817
0.25
0116
2-1
.844
71.
8492
1.07
200.
0027
0.47
856
1.1
-1.9
101
1.95
241.
1263
0.20
430.
3773
171.
1-1
.861
01.
8936
1.08
600.
0353
0.46
106
1.2
-1.9
493
1.91
281.
2527
0.22
820.
3963
171.
2-1
.886
11.
8682
1.16
660.
2026
0.93
596
1.5
-1.9
534
1.90
881.
0577
0.14
240.
2883
171.
5-1
.866
11.
8880
1.17
190.
0643
0.51
286
2-1
.925
61.
9358
1.01
680.
1201
0.27
8417
2-1
.873
41.
8804
1.01
890.
0081
0.44
847
1.1
-1.9
891
1.98
991.
1526
0.14
800.
3547
181.
1-1
.909
21.
9003
1.11
840.
0518
0.48
037
1.2
-1.9
887
1.99
001.
3598
0.08
820.
2663
181.
2-1
.907
61.
9021
1.02
040.
0355
0.44
667
1.5
-1.9
898
1.98
951.
2610
0.15
020.
3228
181.
5-1
.904
51.
9049
1.00
830.
0463
0.46
897
2-1
.989
01.
9900
1.27
390.
1952
0.38
8218
2-1
.903
61.
9058
1.16
270.
0649
0.50
458
1.1
-1.7
289
1.72
001.
0326
0.04
970.
4050
191.
1-1
.911
41.
9507
1.10
600.
0328
0.43
678
1.2
-1.7
301
1.71
921.
0383
0.11
790.
4774
191.
2-1
.894
31.
9695
1.15
730.
0464
0.45
428
1.5
-1.7
228
1.72
631.
1014
0.05
590.
4089
191.
5-1
.929
41.
9317
1.22
800.
1770
0.85
328
2-1
.713
11.
7360
1.03
740.
0331
0.39
8219
2-1
.930
81.
9302
1.20
240.
2050
0.99
589
1.1
-1.7
932
1.78
701.
0418
0.11
430.
4565
201.
1-1
.926
11.
9852
1.14
830.
0562
0.45
509
1.2
-1.7
752
1.80
551.
1812
0.04
960.
4026
201.
2-1
.945
81.
9636
1.17
190.
0970
0.55
359
1.5
-1.7
806
1.79
951.
0526
0.01
570.
3695
201.
5-1
.949
81.
9595
1.09
740.
1124
0.59
839
2-1
.794
81.
7854
1.10
180.
0689
0.39
3120
2-1
.957
51.
9519
1.10
160.
0195
0.42
9110
1.1
-1.8
756
1.81
771.
0013
0.05
550.
3637
211.
1-1
.987
61.
9673
1.19
310.
1866
0.94
3710
1.2
-1.8
349
1.85
701.
0144
0.08
720.
4153
211.
2-1
.979
31.
9756
1.00
960.
0795
0.50
7810
1.5
-1.8
425
1.84
891.
1810
0.13
500.
4608
211.
5-1
.976
81.
9779
1.16
290.
0939
0.54
3510
2-1
.842
31.
8494
1.11
630.
0293
0.36
6021
2-1
.977
01.
9777
1.00
100.
0718
0.49
1511
1.1
-1.8
778
1.91
131.
0909
0.02
890.
3360
221.
1-1
.818
61.
8406
1.00
620.
0288
0.61
6211
1.2
-1.8
862
1.90
261.
0009
0.02
610.
3361
221.
2-1
.820
71.
8383
1.08
310.
1185
0.82
3911
1.5
-1.8
985
1.89
001.
0207
0.00
830.
3278
221.
5-1
.829
11.
8295
1.00
650.
0491
0.64
9011
2-1
.888
01.
9006
1.08
430.
0028
0.33
9822
2-1
.970
01.
9900
1.15
540.
0806
0.55
0312
1.1
-1.9
245
1.95
041.
0823
0.01
860.
3171
231.
1-1
.842
61.
8600
1.23
460.
1830
1.12
0812
1.2
-1.9
170
1.95
821.
0670
0.04
710.
3264
231.
2-1
.856
21.
8462
1.08
010.
0219
0.60
3812
1.5
-1.9
342
1.94
011.
2033
0.16
140.
5254
231.
5-1
.849
81.
8526
1.11
470.
0812
0.69
6912
2-1
.934
91.
9394
1.22
020.
1119
0.42
8623
2-1
.851
61.
8508
1.14
460.
1308
0.86
0813
1.1
-1.9
697
1.98
191.
1794
0.09
650.
3893
241.
1-1
.890
31.
8539
1.04
110.
0483
0.62
9713
1.2
-1.9
620
1.98
991.
1267
0.15
450.
5221
241.
2-1
.872
61.
8711
1.07
960.
0414
0.60
6913
1.5
-1.9
772
1.97
411.
0014
0.00
330.
2900
241.
5-1
.870
31.
8733
1.14
120.
1403
0.91
5713
2-1
.971
41.
9798
1.09
940.
1122
0.41
1224
2-1
.871
71.
8719
1.00
590.
0469
0.61
9614
1.1
-1.7
845
1.77
321.
0825
0.09
740.
5808
251.
1-1
.885
51.
8948
1.11
070.
0443
0.62
5814
1.2
-1.7
781
1.77
941.
1390
0.19
130.
8423
251.
2-1
.886
01.
8968
1.12
840.
1583
1.02
3514
1.5
-1.7
798
1.77
771.
0368
0.07
500.
5610
251.
5-1
.893
81.
8890
1.21
980.
1583
1.01
4614
2-1
.767
61.
7904
1.17
110.
1665
0.74
2525
2-1
.888
81.
8939
1.14
770.
1589
1.02
3915
1.1
-1.8
060
1.82
301.
2092
0.22
210.
9696
151.
2-1
.807
81.
8214
1.15
070.
1483
0.69
2415
1.5
-1.8
078
1.82
121.
1614
0.09
570.
5748
152
-1.8
167
1.81
211.
1535
0.19
410.
8629
54 Capítulo 4. Resultados
Os valores de 𝐴𝑅𝐿1 obtidos estão na Tabela 10. Observa-se que os quatro casosapresentam desempenhos semelhantes. Como a inclusão de parâmetros exige maior esforçocomputacional, o uso de limites discriminantes simétricos com 𝑡 = 0 (Caso 1) é a melhoropção, na prática.
Para verificar os resultados, realizou-se a simulação de 5000 amostras com os va-lores ótimos e obteve-se os valores do 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 simulados, 𝐴𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚)0 e 𝐴𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚)1
respectivamente. Os valores simulados para o Caso 1 estão na Tabela 11. Observa-se queestes valores são próximos aos obtidos com os parâmetros ótimos. As simulações para osdemais casos estão no Anexo B.
Comparando-se o desempenho do gráfico 𝐺𝑆2 para o Caso 1 com o gráfico de con-trole 𝑆2, o gráfico mais comum para monitorar a variabilidade do processo por variáveis,verifica-se que o desempenho do 𝐺𝑆2 é inferior ao 𝑆2 para o mesmo tamanho de amostra,ou seja, quando 𝑛𝐺𝑆2 = 𝑛𝑆2 tem-se 𝐴𝑅𝐿
𝐺𝑆21 < 𝐴𝑅𝐿𝑆2
1 (Tabela 12). Por exemplo, parauma mudança na variância de magnitude 𝛿2 = 22 o gráfico proposto apresenta desem-penho semelhante ao 𝑆2 com tamanhos de amostras maior que 25. As comparações dodesempenho do gráfico 𝐺𝑆2 com o 𝑆2 nos casos 2, 3 e 4 estão no Anexo C.
Ressalta-se que o desempenho do gráfico de controle 𝑆2 foi calculado segundo osvalores de 𝐴𝑅𝐿 sob controle obtidos do gráfico 𝐺𝑆2 , ou seja, segundo o 𝐴𝑅𝐿*
0. A Tabela13 apresenta os valores de 𝐴𝑅𝐿*
0 obtidos do gráfico 𝐺𝑆2 para os quatro casos.
4.1. Desempenho do gráfico 55
Tabe
la10
:Val
ores
de𝐴
𝑅𝐿
1pa
raos
Cas
os1
–4
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
51.
113
1.54
113
1.53
813
1.57
713
1.69
012
1.1
90.0
8489
.978
90.1
1490
.051
191.
170
.640
70.7
7970
.663
70.7
305
1.2
59.7
0959
.675
59.7
0259
.734
121.
231
.726
31.7
2831
.737
31.7
4519
1.2
21.5
6821
.565
21.5
7021
.625
51.
513
.107
13.1
2913
.117
13.1
1512
1.5
5.09
45.
092
5.09
45.
093
191.
53.
136
3.13
53.
136
3.13
65
23.
991
3.99
23.
991
3.99
412
21.
652
1.65
21.
652
1.65
219
21.
227
1.22
71.
227
1.22
76
1.1
120.
796
120.
617
120.
773
120.
871
131.
186
.237
86.2
5786
.255
86.2
8020
1.1
68.4
3168
.489
68.4
4868
.593
61.
251
.477
51.5
4151
.484
51.5
6213
1.2
29.5
5529
.557
29.5
5929
.598
201.
220
.537
20.5
3520
.536
20.5
306
1.5
10.3
6210
.360
10.3
6710
.369
131.
54.
625
4.62
64.
625
4.62
620
1.5
2.95
92.
959
2.95
92.
959
62
3.10
83.
108
3.10
83.
109
132
1.54
01.
540
1.54
01.
540
202
1.19
41.
194
1.19
41.
194
71.
111
4.44
411
4.52
311
4.41
811
4.46
414
1.1
85.3
6085
.431
85.4
4585
.450
211.
166
.427
66.5
9266
.471
66.4
557
1.2
47.1
7947
.131
47.1
9247
.120
141.
229
.212
29.2
0329
.205
29.2
0621
1.2
19.6
0119
.601
19.6
1319
.609
71.
59.
049
9.04
49.
044
9.04
414
1.5
4.59
24.
592
4.59
34.
592
211.
52.
804
2.80
42.
804
2.80
47
22.
720
2.72
02.
720
2.72
014
21.
541
1.54
11.
541
1.54
221
21.
166
1.16
61.
166
1.16
68
1.1
112.
845
112.
810
112.
858
112.
782
151.
181
.705
81.8
7781
.804
81.7
8522
1.1
65.2
4065
.308
65.2
5165
.329
81.
246
.073
46.1
4446
.133
46.1
1815
1.2
27.2
3227
.269
27.2
4727
.264
221.
219
.122
19.1
2919
.136
19.1
448
1.5
8.75
68.
760
8.75
48.
758
151.
54.
190
4.18
94.
190
4.19
222
1.5
2.75
62.
756
2.75
72.
756
82
2.63
52.
635
2.63
52.
635
152
1.44
91.
449
1.44
91.
449
222
1.16
21.
162
1.16
21.
162
91.
110
5.57
510
5.61
210
5.45
610
5.56
816
1.1
78.5
6478
.528
78.5
8078
.542
231.
163
.299
63.2
7363
.277
63.3
319
1.2
41.1
9941
.266
41.2
5541
.270
161.
225
.523
25.5
6125
.538
25.5
3623
1.2
18.2
4718
.250
18.2
4818
.253
91.
57.
407
7.40
87.
409
7.40
816
1.5
3.85
73.
857
3.85
73.
858
231.
52.
617
2.61
72.
617
2.61
79
22.
254
2.25
42.
255
2.25
516
21.
375
1.37
51.
375
1.37
523
21.
138
1.13
81.
138
1.13
810
1.1
99.4
0999
.421
99.4
1699
.629
171.
175
.714
75.5
7975
.642
75.7
0624
1.1
61.4
9561
.463
61.5
1961
.492
101.
237
.380
37.3
8137
.372
37.4
1917
1.2
24.0
4824
.036
24.0
5124
.061
241.
217
.457
17.4
5217
.462
17.4
5510
1.5
6.42
26.
421
6.42
36.
421
171.
53.
577
3.57
83.
577
3.57
824
1.5
2.49
42.
494
2.49
42.
494
102
1.99
01.
989
1.98
91.
990
172
1.31
61.
316
1.31
61.
316
242
1.11
81.
118
1.11
81.
118
111.
194
.340
94.3
5294
.369
94.3
9718
1.1
73.0
9172
.979
72.9
9173
.014
251.
159
.806
59.9
0059
.798
59.9
0111
1.2
34.2
7934
.303
34.3
2134
.303
181.
222
.739
22.7
3522
.733
22.7
4725
1.2
16.7
2616
.722
16.7
2916
.724
111.
55.
676
5.67
65.
676
5.67
618
1.5
3.34
03.
340
3.34
03.
340
251.
52.
384
2.38
42.
385
2.38
511
21.
797
1.79
71.
797
1.79
718
21.
268
1.26
71.
268
1.26
725
21.
101
1.10
11.
101
1.10
1
56 Capítulo 4. ResultadosTa
bela
11:
Valo
res
de𝐴
𝑅𝐿
simul
ados
para
ospa
râm
etro
sót
imos
dogr
áfico
𝐺𝑆
2–
Cas
o1
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
51.
112
9.53
537
8.16
012
1.1
91.0
9036
8.39
319
1.1
70.9
2836
5.09
35
1.2
59.2
6436
5.51
112
1.2
32.0
4536
8.42
719
1.2
21.6
9037
1.40
45
1.5
12.7
4936
3.65
612
1.5
5.07
335
8.12
919
1.5
3.18
036
9.80
85
23.
995
359.
252
122
1.67
837
3.49
519
21.
218
362.
152
61.
112
3.25
537
1.64
513
1.1
86.7
2237
1.54
720
1.1
67.3
3236
4.60
96
1.2
51.4
2536
5.05
313
1.2
30.0
1937
2.83
620
1.2
20.9
6536
7.76
26
1.5
10.6
5336
8.57
513
1.5
4.63
536
8.38
820
1.5
2.93
737
1.62
16
23.
100
359.
075
132
1.54
837
9.84
820
21.
183
365.
700
71.
111
5.97
336
8.46
414
1.1
87.0
3237
0.19
921
1.1
66.5
0636
7.24
97
1.2
47.0
2136
1.71
114
1.2
29.1
4437
8.54
721
1.2
19.3
8736
0.49
37
1.5
9.01
437
0.94
314
1.5
4.64
035
8.08
921
1.5
2.86
637
7.22
57
22.
792
360.
808
142
1.54
836
3.61
721
21.
174
361.
612
81.
111
2.34
337
0.58
015
1.1
81.5
5437
5.56
022
1.1
65.0
1936
8.80
28
1.2
45.0
1638
6.19
615
1.2
27.2
2435
6.82
322
1.2
19.5
0136
6.88
68
1.5
8.69
136
3.44
215
1.5
4.09
237
8.14
822
1.5
2.75
937
0.12
48
22.
652
371.
103
152
1.45
736
7.21
622
21.
151
362.
985
91.
110
4.28
336
9.22
916
1.1
80.9
8237
1.90
323
1.1
63.1
5636
9.56
99
1.2
40.8
2136
9.74
116
1.2
25.6
0036
3.14
123
1.2
17.8
4736
4.48
79
1.5
7.38
836
3.05
116
1.5
3.87
936
2.27
523
1.5
2.64
336
9.18
59
22.
238
365.
463
162
1.36
237
1.27
223
21.
132
371.
034
101.
110
0.83
137
5.04
617
1.1
76.0
2438
2.86
524
1.1
61.7
9337
0.08
210
1.2
36.4
0336
7.67
417
1.2
23.8
6036
0.85
124
1.2
17.3
6636
7.09
510
1.5
6.41
437
0.31
917
1.5
3.55
136
9.44
024
1.5
2.48
935
7.30
610
22.
001
374.
196
172
1.32
037
0.09
924
21.
127
361.
943
111.
193
.124
372.
748
181.
173
.660
362.
311
251.
158
.929
364.
004
111.
234
.304
366.
482
181.
222
.858
375.
059
251.
217
.004
362.
175
111.
55.
622
364.
455
181.
53.
380
372.
544
251.
52.
400
367.
915
112
1.82
336
1.71
518
21.
263
373.
789
252
1.09
936
4.58
4
4.1. Desempenho do gráfico 57
Tabe
la12
:Des
empe
nho
dos
gráfi
cos
deco
ntro
le𝐺
𝑆2
e𝑆
2–
Cas
o1
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿𝐺
𝑆2
1𝐴
𝑅𝐿
𝑆2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1
51.
113
1.54
110
6.40
712
1.1
90.0
8467
.791
191.
170
.640
50.2
035
1.2
59.7
0942
.347
121.
231
.726
20.6
9819
1.2
21.5
6813
.247
51.
513
.107
8.00
812
1.5
5.09
43.
167
191.
53.
136
2.01
85
23.
991
2.51
312
21.
652
1.26
719
21.
227
1.06
56
1.1
120.
796
98.0
2913
1.1
86.2
3764
.546
201.
168
.431
48.3
746
1.2
51.4
7736
.929
131.
229
.555
19.2
1520
1.2
20.5
3712
.568
61.
510
.362
6.59
913
1.5
4.62
52.
917
201.
52.
959
1.92
66
23.
108
2.11
213
21.
540
1.21
720
21.
194
1.05
47
1.1
114.
444
90.8
6914
1.1
85.3
6061
.596
211.
166
.427
46.6
837
1.2
47.1
7932
.795
141.
229
.212
17.9
3021
1.2
19.6
0111
.944
71.
59.
049
5.60
014
1.5
4.59
22.
707
211.
52.
804
1.84
67
22.
720
1.84
414
21.
541
1.17
721
21.
166
1.04
48
1.1
112.
845
84.9
2815
1.1
81.7
0558
.906
221.
165
.240
45.1
178
1.2
46.0
7329
.416
151.
227
.232
16.7
7522
1.2
19.1
2211
.369
81.
58.
756
4.85
415
1.5
4.19
02.
527
221.
52.
756
1.77
38
22.
635
1.65
515
21.
449
1.14
522
21.
162
1.03
69
1.1
105.
575
79.8
3716
1.1
78.5
6456
.514
231.
163
.299
43.6
379
1.2
41.1
9926
.661
161.
225
.523
15.7
4523
1.2
18.2
4710
.846
91.
57.
407
4.28
316
1.5
3.85
72.
372
231.
52.
617
1.70
99
22.
254
1.51
616
21.
375
1.11
923
21.
138
1.03
010
1.1
99.4
0975
.247
171.
175
.714
54.2
8624
1.1
61.4
9542
.240
101.
237
.380
24.3
5717
1.2
24.0
4814
.832
241.
217
.457
10.3
6510
1.5
6.42
23.
830
171.
53.
577
2.23
824
1.5
2.49
41.
650
102
1.99
01.
412
172
1.31
61.
097
242
1.11
81.
024
111.
194
.340
71.2
7618
1.1
73.0
9152
.192
251.
159
.806
40.9
1511
1.2
34.2
7922
.388
181.
222
.739
14.0
0225
1.2
16.7
269.
916
111.
55.
676
3.46
618
1.5
3.34
02.
121
251.
52.
384
1.59
811
21.
797
1.33
118
21.
268
1.08
025
21.
101
1.02
0
58 Capítulo 4. ResultadosTa
bela
13:V
alor
esde
𝐴𝑅
𝐿* 0
para
ogr
áfico
deco
ntro
le𝐺
𝑆2
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
N𝛿
Cas
o1
Cas
o2
Cas
o3
Cas
o4
51.
136
8.14
236
8.13
236
8.25
936
8.62
912
1.1
368.
690
368.
153
368.
796
368.
435
191.
136
8.36
336
9.28
636
8.29
236
8.72
25
1.2
368.
513
368.
217
368.
301
368.
658
121.
236
8.26
036
8.30
436
8.41
836
8.21
619
1.2
368.
097
368.
003
368.
129
368.
111
51.
536
8.08
436
9.37
436
8.34
936
8.03
512
1.5
368.
321
368.
033
368.
317
368.
068
191.
536
8.17
836
8.05
036
8.12
436
8.21
15
236
8.35
036
8.45
236
8.04
236
8.49
712
236
8.07
236
8.05
536
8.16
036
8.11
419
236
8.20
036
8.05
036
8.10
536
8.04
96
1.1
368.
935
368.
278
368.
823
369.
028
131.
136
8.49
736
8.60
436
8.56
136
8.70
220
1.1
368.
136
368.
541
368.
065
368.
696
61.
236
8.07
336
8.73
036
8.13
936
8.70
013
1.2
368.
063
368.
094
368.
115
368.
698
201.
236
8.32
936
8.25
236
8.19
736
8.03
56
1.5
368.
614
368.
427
368.
833
368.
474
131.
536
8.06
636
8.22
936
8.06
436
8.30
520
1.5
368.
112
368.
069
368.
104
368.
005
62
368.
086
368.
057
368.
054
368.
590
132
368.
180
368.
146
368.
206
368.
263
202
368.
006
368.
091
368.
074
368.
161
71.
136
8.33
736
8.64
436
8.23
436
8.41
314
1.1
368.
278
368.
663
368.
733
368.
749
211.
136
8.10
036
9.27
036
8.39
436
8.23
57
1.2
368.
726
368.
183
368.
870
368.
058
141.
236
8.50
036
8.32
036
8.36
136
8.36
721
1.2
368.
293
368.
290
368.
653
368.
516
71.
536
9.02
436
8.57
136
8.53
936
8.59
014
1.5
368.
263
368.
176
368.
222
368.
210
211.
536
8.18
636
8.13
536
8.04
236
8.13
47
236
8.21
736
8.17
236
8.43
636
8.46
314
236
8.14
236
8.19
436
8.11
036
8.86
821
236
8.07
736
8.08
736
8.04
536
8.20
48
1.1
368.
380
368.
243
368.
336
368.
120
151.
136
8.08
636
9.06
336
8.64
536
8.50
222
1.1
368.
262
368.
756
368.
283
368.
830
81.
236
8.14
636
8.97
136
8.36
436
8.64
315
1.2
368.
297
369.
061
368.
551
368.
911
221.
236
8.00
636
8.26
036
8.37
536
8.62
48
1.5
368.
332
368.
671
368.
083
368.
559
151.
536
8.14
836
8.08
536
8.32
936
8.61
022
1.5
368.
087
368.
085
368.
234
368.
090
82
368.
189
368.
235
368.
080
368.
045
152
368.
302
368.
028
368.
263
368.
259
222
368.
119
368.
090
368.
136
368.
215
91.
136
8.63
036
8.78
536
8.01
536
8.59
316
1.1
368.
569
368.
356
368.
424
368.
430
231.
136
8.31
236
8.11
636
8.07
836
8.49
89
1.2
368.
095
368.
972
368.
675
368.
849
161.
236
8.10
736
8.98
836
8.43
236
8.38
423
1.2
368.
136
368.
222
368.
087
368.
291
91.
536
8.33
336
8.51
836
8.59
036
8.39
516
1.5
368.
153
368.
103
368.
293
368.
526
231.
536
8.25
036
8.32
136
8.28
736
8.16
69
236
8.01
236
8.03
436
8.60
736
8.72
416
236
8.22
936
8.28
736
8.03
736
8.26
423
236
8.23
936
8.20
936
8.22
236
8.39
010
1.1
368.
053
368.
104
368.
041
368.
643
171.
136
8.84
736
8.01
536
8.14
236
8.63
824
1.1
368.
308
368.
062
368.
498
368.
062
101.
236
8.19
536
8.21
436
8.04
536
8.66
717
1.2
368.
360
368.
051
368.
389
368.
599
241.
236
8.36
736
8.20
236
8.38
336
8.30
110
1.5
368.
099
368.
006
368.
116
368.
026
171.
536
8.22
836
8.40
036
8.15
036
8.22
024
1.5
368.
165
368.
100
368.
221
368.
036
102
368.
469
368.
033
368.
087
368.
535
172
368.
242
368.
213
368.
118
368.
048
242
368.
039
368.
048
368.
289
368.
163
111.
136
8.12
836
8.18
536
8.06
736
8.25
918
1.1
368.
824
368.
108
368.
168
368.
321
251.
136
8.20
336
8.95
536
8.10
036
8.09
111
1.2
368.
117
368.
505
368.
458
368.
445
181.
236
8.34
336
8.24
036
8.13
636
8.54
825
1.2
368.
220
368.
091
368.
239
368.
116
111.
536
8.00
036
8.04
836
8.07
936
8.06
218
1.5
368.
183
368.
130
368.
116
368.
171
251.
536
8.08
936
8.15
836
8.41
636
8.19
611
236
8.12
436
8.13
836
8.15
436
8.31
618
236
8.24
636
8.04
136
8.37
136
8.06
025
236
8.03
436
8.23
936
8.08
736
8.04
6
4.1. Desempenho do gráfico 59
Então, a partir dos resultados obtidos, o gráfico de controle 𝐺𝑆2 a ser considerado éo do Caso 1: com limites discriminantes simétricos, 𝑈 = −𝐿, e parâmetro 𝑎 > 1 constante.
Como os limites são simétricos, o monitoramento do processo é feito observando-seo comportamento das frequências nas caudas da distribuição de 𝑋.
Consideram-se apenas as quantidades de itens classificados no primeiro (𝑛1) eterceiro (𝑛3) grupos para determinar o valor da estatística 𝑔. A Tabela 14 apresenta osvalores dos pesos relativos aos respectivos grupos de classificação (𝑤1𝑝1, 𝑤3𝑝3) para ocálculo da estatística 𝑔 conforme expresso em (3.3), o limite discriminante inferior (𝐿) eo limite de controle (𝐿𝐶) do gráfico 𝐺𝑆2 para os dados normalizados.
60 Capítulo 4. ResultadosTa
bela
14:G
ráfic
ode
cont
role
𝐺𝑆
2:v
alor
esde
𝑤𝑗𝑝
𝑗,l
imite
disc
rimin
ante
𝐿e
limite
deco
ntro
le𝐿
𝐶
N𝛿
LLC
𝑤1𝑝
1𝑤
3𝑝3
N𝛿
LLC
𝑤1𝑝
1𝑤
3𝑝3
N𝛿
LLC
𝑤1𝑝
1𝑤
3𝑝3
51.
1-1
.831
50.
2336
0.11
010.
1147
121.
1-1
.937
30.
3161
0.09
370.
1041
191.
1-1
.930
60.
4248
0.09
600.
1035
51.
2-1
.831
70.
2297
0.11
180.
1130
121.
2-1
.937
20.
3112
0.09
640.
1015
191.
2-1
.930
50.
4354
0.09
220.
1074
51.
5-1
.831
50.
2364
0.10
870.
1162
121.
5-1
.937
20.
3055
0.09
860.
0993
191.
5-1
.930
50.
4230
0.09
730.
1023
52
-1.8
316
0.23
000.
1118
0.11
3012
2-1
.937
10.
3176
0.09
390.
1039
192
-1.9
305
0.42
690.
0956
0.10
406
1.1
-1.9
308
0.20
810.
0964
0.10
3113
1.1
-1.9
757
0.31
520.
0835
0.10
4620
1.1
-1.9
547
0.40
540.
0964
0.09
706
1.2
-1.9
305
0.23
280.
0836
0.11
6013
1.2
-1.9
755
0.29
310.
0931
0.09
5020
1.2
-1.9
547
0.42
850.
0864
0.10
706
1.5
-1.9
307
0.20
380.
0991
0.10
0413
1.5
-1.9
755
0.29
130.
0939
0.09
4320
1.5
-1.9
547
0.40
630.
0961
0.09
736
2-1
.930
50.
2240
0.08
850.
1110
132
-1.9
756
0.30
380.
0884
0.09
9720
2-1
.954
60.
4173
0.09
160.
1018
71.
1-1
.989
50.
2742
0.09
140.
0932
141.
1-1
.778
70.
5113
0.11
310.
1251
211.
1-1
.977
30.
4013
0.09
030.
0974
71.
2-1
.989
70.
2749
0.09
160.
0930
141.
2-1
.778
80.
5100
0.11
310.
1251
211.
2-1
.977
40.
3934
0.09
300.
0947
71.
5-1
.989
80.
2485
0.08
280.
1018
141.
5-1
.778
70.
4967
0.11
910.
1191
211.
5-1
.977
30.
4036
0.08
910.
0986
72
-1.9
895
0.24
390.
0812
0.10
3414
2-1
.778
70.
5142
0.11
230.
1259
212
-1.9
773
0.40
070.
0906
0.09
718
1.1
-1.7
245
0.41
110.
1161
0.13
5615
1.1
-1.8
143
0.49
040.
1101
0.11
9122
1.1
-1.8
294
0.60
570.
1109
0.11
458
1.2
-1.7
244
0.41
230.
1158
0.13
5815
1.2
-1.8
144
0.48
220.
1128
0.11
6422
1.2
-1.8
293
0.61
250.
1071
0.11
838
1.5
-1.7
245
0.40
170.
1200
0.13
1715
1.5
-1.8
143
0.50
480.
1038
0.12
5422
1.5
-1.8
293
0.60
800.
1125
0.11
298
2-1
.724
40.
3899
0.12
510.
1266
152
-1.8
144
0.48
660.
1110
0.11
8222
2-1
.829
30.
6074
0.11
230.
1131
91.
1-1
.790
10.
3795
0.11
020.
1251
161.
1-1
.847
10.
4636
0.10
810.
1127
231.
1-1
.851
20.
5994
0.09
990.
1199
91.
2-1
.789
90.
3685
0.11
560.
1198
161.
2-1
.846
90.
4888
0.09
910.
1218
231.
2-1
.851
20.
5982
0.10
150.
1183
91.
5-1
.790
00.
3670
0.11
570.
1196
161.
5-1
.846
90.
4731
0.10
570.
1152
231.
5-1
.851
20.
5929
0.10
640.
1135
92
-1.7
899
0.37
560.
1128
0.12
2616
2-1
.847
00.
4651
0.10
880.
1121
232
-1.8
512
0.59
670.
1027
0.11
7110
1.1
-1.8
457
0.34
720.
1084
0.11
2817
1.1
-1.8
771
0.46
640.
0972
0.11
6024
1.1
-1.8
718
0.58
050.
1015
0.11
3010
1.2
-1.8
457
0.36
880.
0991
0.12
2117
1.2
-1.8
770
0.47
270.
0952
0.11
8024
1.2
-1.8
719
0.57
960.
1018
0.11
2810
1.5
-1.8
457
0.35
180.
1064
0.11
4917
1.5
-1.8
770
0.45
670.
1018
0.11
1424
1.5
-1.8
718
0.58
040.
1032
0.11
1410
2-1
.845
80.
3411
0.11
000.
1111
172
-1.8
770
0.46
770.
0973
0.11
5924
2-1
.871
80.
5818
0.10
360.
1110
111.
1-1
.894
20.
3420
0.09
620.
1126
181.
1-1
.904
90.
4509
0.09
400.
1121
251.
1-1
.891
40.
5689
0.09
800.
1115
111.
2-1
.894
20.
3534
0.09
140.
1174
181.
2-1
.904
80.
4296
0.10
290.
1032
251.
2-1
.891
40.
5675
0.09
940.
1101
111.
5-1
.894
20.
3567
0.09
000.
1188
181.
5-1
.904
70.
4437
0.09
770.
1085
251.
5-1
.891
40.
5688
0.09
930.
1103
112
-1.8
942
0.34
080.
0967
0.11
2118
2-1
.904
70.
4520
0.09
410.
1120
252
-1.8
913
0.56
920.
0995
0.11
00
4.1. Desempenho do gráfico 61
Monitorar uma característica da qualidade através de gráficos de controle porvariáveis é sempre mais informativo que o monitoramento por atributos. Por outro lado,mensurar itens para controle de um processo requer, muitas vezes, maior treinamento dooperador e demanda um tempo maior de inspeção. Classificar os mesmos itens utilizando,por exemplo, um dispositivo, normalmente requer menos treino e demanda um tempomenor de inspeção o que pode resultar num custo por unidade de inspeção menor.
Embora o gráfico de controle 𝑆2 seja mais informativo para monitorar mudançasna variância do processo do que um gráfico por atributos, o mesmo possui um custo maiorpor unidade de inspeção.
Pretende-se que o gráfico de controle proposto tenha menor custo por unidade deinspeção. Para tanto é preciso determinar o tamanho de amostra necessário para que seudesempenho alcance o desempenho do gráfico 𝑆2, em termos de 𝐴𝑅𝐿1. Observa-se naTabela 12 que, por exemplo, para detectar uma mudança na variância de magnitude 𝛿2 =1.12, o gráfico 𝑆2 possui desempenho 𝐴𝑅𝐿𝑆2
1 = 106.407 com uma amostra de tamanho𝑛𝑠2 = 5. O gráfico 𝐺𝑆2 atinge o mesmo desempenho com amostras de tamanho 𝑛𝐺𝑆2 ≥ 9,com desempenho 𝐴𝑅𝐿
𝐺𝑆21 = 105.576.
A Tabela 15 apresenta o tamanho da amostra do gráfico 𝐺𝑆2 , 𝑛𝐺𝑆2 , necessário paraque o mesmo tenha desempenho similar ao gráfico 𝑆2 com tamanho de amostra 𝑛𝑆2 parao Caso 1.
Tabela 15: Menor tamanho de amostra 𝑛𝐺𝑆2 para o gráfico 𝐺𝑆2 com 𝐴𝑅𝐿1 equivalente ao gráfico 𝑆2 comamostra de tamanho 𝑛𝑆2
𝑁𝑆2 𝛿 = 1.1 𝛿 = 1.2 𝛿 = 1.5 𝛿 = 25 9 9 9 96 11 11 10 107 12 12 12 118 15 14 13 129 16 16 15 15
10 18 17 17 1611 19 19 18 1712 21 20 19 1913 23 22 21 2014 24 24 23 2115 26 25 24 23𝑟0 1.77 1.73 1.66 1.59
min 𝑟0 1.71 1.67 1.58 1.50max 𝑟0 1.88 1.83 1.80 1.80
Seja 𝑛0 o tamanho mínimo da amostra para que o gráfico 𝐺𝑆2 tenha 𝐴𝑅𝐿1 equiva-lente ao do gráfico 𝑆2. A razão entre o tamanho minímo 𝑛0 necessário ao gráfico proposto
e o tamanho da amostra do gráfico 𝑆2 é 𝑟0 = 𝑛0
𝑛𝑆2. O valor do 𝑟0 médio para os diferentes
62 Capítulo 4. Resultados
valores de 𝛿2 encontra-se na Tabela 15 . Observa-se que o valor de 𝑟0 diminui conforme amagnitude da mudança aumenta.
Analisando a Tabela 15, uma regra simples pode ser estabelecida: se utilizar umaamostra com tamanho igual ao dobro do tamanho empregado no gráfico 𝑆2, o gráfico 𝐺𝑆2
terá um desempenho melhor ou similar ao 𝑆2, ou seja, para 𝑛0 ≈ 2𝑛𝑆2 tem-se 𝐴𝑅𝐿𝐺𝑆21 ≤
𝐴𝑅𝐿𝑆21 .
O desempenho do gráfico de controle também pode ser avaliado do ponto de vistaeconômico através do custo por unidade de inspeção para o gráfico de controle. O custo porunidade de inspeção compõe o custo de prevenção que por sua vez é uma das categoriasde custo da qualidade.
Segundo Montgomery (2009) os custos da qualidade podem ser divididos em qua-tro categorias: custo de prevenção que inclui, entre outros, planejamento da qualidade econtrole do processo; custo de avaliação, associado à qualidade em relação ao atendimentodas especificações; custo de falha interna, que ocorre antes da entrega do produto ao cli-ente e; custo de falha externa, quando o produto possui desempenho insatisfatório apósa entrega ao cliente.
O custo por unidade de inspeção pode englobar o custo fixo do instrumento demensuração 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡, o custo horário do operador 𝐶ℎℎ e o custo horário de ociosidade damáquina 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞. Seja 𝑡𝑐 o tempo para coletar uma amostra, mensurar a característica daqualidade de interesse e registrar a informação. O custo por unidade de inspeção (𝐶) podeser definido por:
𝐶 = 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝑡𝑐(𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) (4.5)
Sejam 𝐶𝐺𝑆2 e 𝐶𝑆2 os custos por unidade de inspeção dos gráficos de controle 𝐺𝑆2
e 𝑆2 respectivamente. Assume-se que os custos dos instrumentos de mensuração para osgráficos 𝐺𝑆2 e 𝑆2 são os mesmos. Então, tem-se:
𝐶𝐺𝑆2 = 𝑡𝐺𝑆2𝑐 (𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) e 𝐶𝑆2 = 𝑡𝑆2
𝑐 (𝐶ℎℎ + 𝐶ℎ𝑚𝑎𝑞) (4.6)
Portanto, o custo por unidade de inspeção é dado em função de 𝑡.𝑐. O custo médio
por inspeção (AIC) dos gráficos são 𝐴𝐼𝐶𝐺𝑆2 = 𝑛𝐺𝑆2 𝐶𝐺𝑆2 e 𝐴𝐼𝐶𝑆2 = 𝑛𝑆2𝐶𝑆2 .
Sabe-se que, geralmente, o custo de inspeção para o gráfico de controle por atributoé menor que o por variáveis. Tem-se, então, 𝐶𝑆2 = 𝑘𝐶𝐺𝑆2 onde 𝑘 > 1 é a razão entre oscustos por unidade de inspeção por atributo e variável.
A razão entre os custos médios dos gráficos 𝐺𝑆2 e 𝑆2 é 𝑅𝐶 =𝑛𝐺𝑆2
𝑘𝑛𝑆2.
4.2. Exemplo numérico 63
Fazendo 𝑛𝐺𝑆2 = 𝑟𝑛𝑆2 , onde 𝑟 > 1 é a razão entre os tamanhos de amostra dosgráficos por atributo e variável, 𝑅𝐶 pode ser definida como
𝑅𝐶 = 𝑟
𝑘(4.7)
A Figura 8 apresenta a razão do custo médio (𝑅𝐶) em função de 𝑘 e 𝑟.
Quando o tamanho do gráfico 𝐺𝑆2 é 𝑛𝐺𝑆2 ≈ 2𝑛𝑆2 , o custo por unidade de inspeçãodo gráfico por variável deve ser no mínimo o dobro do custo por inspeção do gráfico poratributo. Nesta condição o desempenho do gráfico por atributo 𝐺𝑆2 atende tanto o critérioeconômico quanto o 𝐴𝑅𝐿1.
Figura 8: Razão do custo médio por unidade de inspeção para o gráfico 𝐺𝑆2 vs 𝑆2.
4.2 Exemplo numérico
Para demonstrar o uso do gráfico de controle 𝐺𝑆2 , considera-se o exemplo apre-sentado por Montgomery (2009) que descreve a necessidade de monitorar a espessura daplaca de circuito impresso, que é uma importante característica da qualidade.
Quando o processo está sob controle, as placas são produzidas com média 0.06 𝑝𝑜𝑙.
e desvio padrão 0.004 𝑝𝑜𝑙..
64 Capítulo 4. Resultados
Para monitorar a variabilidade da espessura da placa de circuito impresso, tomam-se 15 amostras de tamanho 𝑛 = 15. Assume-se que as 10 primeiras amostras são coletadascom o processo sob controle e que as seguintes são coletadas após a variância do processosofrer uma alteração de magnitude 𝛿2 = 22.
O limite discriminante e o limite de controle para os dados normalizados são,respectivamente, 𝐿 = −1.8144 e 𝐿𝐶 = 0.4866 (Tabela 14).
Um dispositivo passa-não passa, como o da Figura 3, é calibrado com limitesdiscriminantes (0.0527424, 0.0672576) 𝑝𝑜𝑙..
A amostra é coletada, cada item é classificado pelo dispositivo e a estatística 𝑔 écalculada segundo (3.3) considerando-se os pesos 𝑤𝑗𝑝𝑗 da Tabela 14. O valor da estatística𝑔 e a quantidade de observações alocadas em cada um dos três grupos (𝑛1, 𝑛2, 𝑛3) das 15amostras estão na Tabela 16
Tabela 16: Qtde de itens classificados por grupo e valor da estatística 𝑔
amostra 𝑛1 𝑛2 𝑛3 g1 0 15 0 0.00000002 1 14 0 0.11095743 1 14 0 0.11095744 1 13 1 0.22917975 1 14 0 0.11095746 2 13 0 0.22191477 0 14 1 0.11822248 1 12 2 0.34740219 0 14 1 0.118222410 0 14 1 0.118222411 2 11 2 0.458359412 2 10 3 0.576581813 4 8 3 0.798496514 3 8 4 0.805761515 1 10 4 0.5838468
Os valores de 𝑔 e do limite de controle (𝐿𝐶) são plotados na Figura 9. A mudançana variância é detectada na segunda amostra do processo fora de controle.
67
5 Conclusão
Este trabalho propôs um novo gráfico de controle por atributos para monitorar avariabilidade de uma característica da qualidade num processo em que a média mantém-seinalterada: o gráfico de controle 𝐺𝑆2 .
A proposta do gráfico 𝐺𝑆2 para monitorar mudanças na variância de um processoé classificar itens segundo um dispositivo passa-não passa, monitorando a estatística 𝑔𝑆2
calculada conforme o resultado da classificação. O gráfico sinaliza se o valor da estatísticaé maior que o limite de controle.
O gráfico proposto foi comparado com o gráfico de controle por variáveis 𝑆2 sobdois aspectos: o tamanho de amostra necessário para que tenha mesmo desempenho queo gráfico de Shewhart e o custo por unidade de inspeção.
Para a comparação foram considerados tamanhos de amostra variando de 5 a 25unidades e aumento da variância de magnitudes 𝛿2 = (1.12, 1.22, 1.52, 22) sem alteraçãona média.
Mantendo-se o mesmo tamanho de amostra, o desempenho do gráfico de controle𝐺𝑆2 , em termos de 𝐴𝑅𝐿1, é sempre inferior ao gráfico 𝑆2. Quando a magnitude de mu-dança é de 𝛿 = 22, os desempenhos são semelhantes para amostras de tamanho maior que25.
Porém, com um tamanho de amostra próximo ao dobro do requerido pelo gráfico𝑆2, o gráfico proposto apresenta um desempenho melhor. Por exemplo, com uma amostrade tamanho 𝑛𝐺𝑆2 = 9, o gráfico 𝐺𝑆2 apresenta um desempenho melhor que o gráfico 𝑆2
com amostra de tamanho 𝑛𝑆2 = 5 para detectar mudanças na variância do processo nasmagnitudes avaliadas.
O uso gráfico 𝐺𝑆2 também é interessante quando seu custo é, no mínimo, a metadedo custo do gráfico 𝑆2.
Portanto, para um tamanho de amostra aproximadamente igual ao dobro do re-querido pelo gráfico 𝑆2, a utilização do gráfico 𝐺𝑆2 é interessante pois atende tanto aocritério de desempenho em termos do número médio de amostras coletadas até a emissãode um sinal fora de controle, quanto ao critério econômico em termos de custo por unidadede inspeção.
69
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75
ANEXO A – Rotina R
Segue abaixo a rotina de otimização para obtenção dos parâmetros do gráfico decontrole 𝐺𝑆2 através de Algoritmos Genéticos NSGA-II para os casos 1, 2, 3 e 4.
################################## Caso 1 - simétrico com t = 0################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,1)ub<-c(-0.1,2)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=7)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=7,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#
76 ANEXO A. Rotina R
i<-1for(i in 1:nd){
delta<-d[i]## Estatística gg<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]((2-a)*((L)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+(a*((L)^2)*(1-pnorm(-L))*X[3,])
}# probabilidades sob controleq0<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(-L)-pnorm(L)),(1-pnorm(-L)))))
}# probabilidades fora de controleq1<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(-L/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(-L/delta)))))
}# corteC<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))
}## ARL1ARL1<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)
77
(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))
}## ARL0* (verdadeiro)ARL0v<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))
}## multiobjetivomARL<-function(x){
y<-numeric(2)y[1]<-ARL1(x)y[2]<-abs(ARL0v(x)-370)return(y)
}## otimizaçãoMAmin<-nsga2(mARL,2,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,6]<-apply(tab[,3:4],1,ARL0v)tab[,7]<-apply(tab[,3:4],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:7],(tab[,6]>368)&(tab[,8]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,5])sub2<-subset(sub1,sub1[,5]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]
78 ANEXO A. Rotina R
Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1
}#Saida#################################### Caso 2 - simétrico com 0<t<1################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,1,0)ub<-c(-0.1,2,1)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=8)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=8,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){
79
delta<-d[i]## Estatística gg<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]((2-a)*((L-t)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((t^2)*(pnorm(-L)-pnorm(L))*X[2,]) +(a*((-L-t)^2)*(1-pnorm(-L))*X[3,])
}# probabilidades sob controleq0<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(-L)-pnorm(L)),(1-pnorm(-L)))))
}# probabilidades fora de controleq1<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(-L/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(-L/delta)))))
}# corteC<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))
}## ARL1ARL1<-function(y){
L<-y[1]
80 ANEXO A. Rotina R
a<-y[2]t<-y[3]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))
}## ARL0* (verdadeiro)ARL0v<-function(y){
L<-y[1]a<-y[2]t<-y[3]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))
}## multiobjetivomARL<-function(x){
y<-numeric(2)y[1]<-ARL1(x)y[2]<-abs(ARL0v(x)-370)return(y)
}#MAmin<-nsga2(mARL,3,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,7]<-apply(tab[,3:5],1,ARL0v)tab[,8]<-apply(tab[,3:5],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:8],(tab[,7]>368)&(tab[,9]==1)))# seleciona ARL1
81
valor<-min(sub1[,6])sub2<-subset(sub1,sub1[,6]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1
}#Saida########################################### Caso 3 - assimétrico com t = (L+u)/2########################################## carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,0.1,1)ub<-c(-0.1,2,2)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## ResultadosSaida<-matrix(ncol=8)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=8,nrow=nd)
82 ANEXO A. Rotina R
colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){
delta<-d[i]## Estatística gg<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]((2-a)*((L-((L+U)/2))^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((((L+U)/2)^2)*(pnorm(U)- pnorm(L))*X[2,]) +(a*((U-((L+U)/2))^2)*(1-pnorm(U))*X[3,])
}# probabilidades sob controleq0<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]apply(X,2,function(x) dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(U)-pnorm(L)),(1-pnorm(U)))))
}# probabilidades fora de controleq1<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(U/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(U/delta)))))
}# corteC<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))
}
83
## ARL1ARL1<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))
}## ARL0* (verdadeiro)ARL0v<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))
}## multiobjetivomARL<-function(x){
y<-numeric(2)y[1]<-ARL1(x)y[2]<-abs(ARL0v(x)-370)return(y)
}#MAmin<-nsga2(mARL,3,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,7]<-apply(tab[,3:5],1,ARL0v)tab[,8]<-apply(tab[,3:5],1,C)
84 ANEXO A. Rotina R
## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:8],(tab[,7]>368)&(tab[,9]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,6])sub2<-subset(sub1,sub1[,6]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1
}#Saida#################################### Caso 4 - assimétrico com 0<t<1################################### carregar pacoterequire(mco)## Valores# ARL0ARL0<-370## matriz dos valores das partições de XN<-5X <- t(as.matrix(expand.grid(0:N,0:N,0:N))); X <- X[, colSums(X) == N]## limites parâmetroslb<-c(-2,0.1,1,0)ub<-c(-0.1,2,2,1)## deltad<-c(1.1,1.2,1.5,2)nd<-length(d)## Resultados
85
Saida<-matrix(ncol=9)colnames(Saida)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#Result<-matrix(ncol=9,nrow=nd)colnames(Result)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’)#i<-1for(i in 1:nd){
delta<-d[i]## Estatística gg<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]((2-a)*((L-t)^2)*(pnorm(L))*X[1,])+((t^2)*(pnorm(U)- pnorm(L))*X[2,]) +(a*((U-t)^2)*(1-pnorm(U))*X[3,])
}# probabilidades sob controleq0<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]apply(X,2,function(x) dmultinom(x,prob=c(pnorm(L),(pnorm(U)-pnorm(L)),(1-pnorm(U)))))
}# probabilidades fora de controleq1<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]apply(X,2,function(x)dmultinom(x,prob=c(pnorm(L/delta),(pnorm(U/delta)-pnorm(L/delta)),(1-pnorm(U/delta)))))
}# corte
86 ANEXO A. Rotina R
C<-function(y){L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))
}## ARL1ARL1<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]1/(1-(approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q1(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0)))))
}## ARL0* (verdadeiro)ARL0v<-function(y){
L<-y[1]U<-y[2]a<-y[3]t<-y[4]1/(1-approxfun(g(y)[order(g(y),decreasing=F)],cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),method=’constant’,yleft=0,yright=0)(approxfun(cumsum(q0(y)[order(g(y),decreasing=F)]),g(y)[order(g(y),decreasing=F)],yleft=0,yright=0)(1-(1/ARL0))))
}## multiobjetivomARL<-function(x){
y<-numeric(2)y[1]<-ARL1(x)y[2]<-abs(ARL0v(x)-370)return(y)
87
}#MAmin<-nsga2(mARL,4,2,generations=150,popsize=500,lower.bounds=lb,upper.bounds=ub)## tabela de resultadostab<-cbind(N,delta,MAmin$par,MAmin$value[,1],NA,NA,MAmin$pareto.optimal)colnames(tab)<-c(’N’,’delta’,’L’,’U’,’a’,’t’,’ARL1’,’ARL0v’,’g’,’otimo’)tab[,8]<-apply(tab[,3:6],1,ARL0v)tab[,9]<-apply(tab[,3:6],1,C)## seleciona ARL0sub1<-cbind(subset(tab[,1:9],(tab[,8]>368)&(tab[,10]==1)))# seleciona ARL1valor<-min(sub1[,7])sub2<-subset(sub1,sub1[,7]==valor)#Result[i,]<-sub2[1,]Saida<-rbind(Saida,sub1)i<-i+1
}#Saida##########################################
90 ANEXO B. Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2 para os Casos 2, 3 e 4Ta
bela
17:
Valo
res
de𝐴
𝑅𝐿
simul
ados
para
ospa
râm
etro
sót
imos
dogr
áfico
𝐺𝑆
2–
Cas
o2
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
51.
113
2.33
537
4.75
812
1.1
88.7
5937
1.28
619
1.1
69.0
7537
0.22
85
1.2
60.9
7536
3.23
312
1.2
31.1
0137
5.63
719
1.2
21.8
2437
8.75
55
1.5
13.0
1536
5.15
412
1.5
5.20
735
9.28
819
1.5
3.17
035
9.00
75
23.
956
364.
445
122
1.65
736
8.79
219
21.
227
376.
440
61.
112
3.52
936
5.57
013
1.1
86.1
5635
9.47
620
1.1
68.6
1736
0.19
56
1.2
51.9
3537
2.97
013
1.2
29.3
4435
9.61
920
1.2
20.7
1336
6.87
16
1.5
10.2
3535
7.91
713
1.5
4.61
536
9.72
520
1.5
2.96
535
8.96
56
23.
115
367.
222
132
1.53
736
6.51
820
21.
184
371.
066
71.
111
6.56
536
8.82
314
1.1
84.6
6337
0.07
321
1.1
66.0
2235
9.04
97
1.2
46.8
8336
9.52
914
1.2
29.3
9037
7.48
121
1.2
19.6
7135
6.11
77
1.5
9.01
538
1.65
614
1.5
4.56
737
2.42
121
1.5
2.81
036
4.87
37
22.
713
371.
686
142
1.53
835
5.88
021
21.
174
356.
553
81.
111
1.74
137
1.02
615
1.1
80.9
9837
3.26
922
1.1
65.3
4636
0.84
98
1.2
44.6
8836
7.42
615
1.2
27.7
8937
6.47
322
1.2
18.9
7436
3.96
18
1.5
8.87
137
1.28
215
1.5
4.23
437
6.25
922
1.5
2.75
036
3.46
98
22.
609
363.
202
152
1.42
536
9.64
122
21.
155
366.
817
91.
110
6.04
636
7.99
916
1.1
77.4
7537
0.87
223
1.1
64.3
5136
4.71
19
1.2
41.0
0536
5.02
916
1.2
24.7
7637
4.30
623
1.2
17.7
5436
4.56
99
1.5
7.37
737
2.85
016
1.5
3.85
236
5.03
323
1.5
2.68
836
5.74
99
22.
250
372.
799
162
1.37
736
6.85
223
21.
132
367.
829
101.
199
.481
373.
514
171.
175
.112
361.
248
241.
160
.867
371.
790
101.
236
.562
370.
622
171.
223
.945
371.
447
241.
217
.445
369.
093
101.
56.
458
359.
038
171.
53.
528
365.
079
241.
52.
503
366.
669
102
1.98
037
2.79
617
21.
324
370.
613
242
1.12
136
4.69
711
1.1
95.6
3036
5.96
918
1.1
71.0
2536
5.87
125
1.1
60.7
1637
0.10
411
1.2
33.4
4436
8.02
318
1.2
23.2
3636
7.04
625
1.2
17.0
7636
0.79
711
1.5
5.64
436
8.44
718
1.5
3.34
536
3.16
225
1.5
2.41
837
9.47
011
21.
795
361.
887
182
1.25
437
2.38
325
21.
100
374.
801
91
Tabe
la18
:Va
lore
sde
𝐴𝑅
𝐿sim
ulad
ospa
raos
parâ
met
ros
ótim
osdo
gráfi
co𝐺
𝑆2
–C
aso
3
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
51.
113
1.83
236
8.91
912
1.1
90.1
9136
2.64
619
1.1
69.4
2136
3.58
45
1.2
60.1
2636
3.09
812
1.2
31.9
8437
8.44
519
1.2
21.6
6036
2.43
05
1.5
13.0
1336
4.77
012
1.5
5.08
436
5.43
619
1.5
3.14
435
7.12
85
23.
919
365.
556
122
1.65
737
1.71
919
21.
231
368.
648
61.
111
8.63
037
4.45
813
1.1
83.9
4937
4.49
820
1.1
67.4
3136
8.79
36
1.2
51.7
4836
5.57
413
1.2
29.2
8537
1.56
320
1.2
20.7
7137
2.85
36
1.5
10.2
0437
2.28
813
1.5
4.65
937
0.98
320
1.5
2.93
737
4.65
56
23.
127
361.
989
132
1.54
636
3.24
420
21.
193
370.
632
71.
111
2.66
337
3.45
714
1.1
85.5
2236
3.56
521
1.1
66.7
1137
3.82
77
1.2
47.2
7636
4.64
314
1.2
29.3
1336
8.54
521
1.2
20.0
1135
6.76
67
1.5
9.05
536
2.35
014
1.5
4.64
735
9.59
821
1.5
2.77
536
7.44
17
22.
725
368.
096
142
1.54
136
9.17
121
21.
169
372.
588
81.
111
4.87
636
2.55
315
1.1
80.5
3837
1.94
122
1.1
65.9
5537
1.14
08
1.2
46.6
0236
8.66
715
1.2
26.7
4336
9.32
322
1.2
18.9
5736
7.11
88
1.5
8.78
537
2.27
115
1.5
4.12
836
2.43
822
1.5
2.67
435
9.89
28
22.
595
369.
826
152
1.45
336
6.04
422
21.
161
356.
351
91.
110
3.26
336
9.94
716
1.1
77.7
1836
5.56
723
1.1
63.3
8936
4.86
19
1.2
41.2
2337
9.47
116
1.2
25.6
2536
2.98
123
1.2
18.5
5336
7.03
29
1.5
7.40
236
6.48
616
1.5
3.82
637
2.58
523
1.5
2.64
637
5.70
99
22.
232
372.
310
162
1.38
536
4.19
123
21.
127
371.
681
101.
110
0.41
337
0.18
217
1.1
76.8
2336
5.64
224
1.1
61.3
8437
7.41
910
1.2
37.8
0137
5.02
717
1.2
23.5
0836
9.78
724
1.2
17.2
6836
8.74
110
1.5
6.30
436
7.08
817
1.5
3.59
736
6.32
524
1.5
2.46
736
9.75
410
21.
964
363.
780
172
1.32
337
0.02
024
21.
119
365.
009
111.
194
.579
366.
547
181.
172
.265
362.
905
251.
159
.955
358.
281
111.
234
.493
369.
762
181.
222
.859
373.
427
251.
216
.413
366.
709
111.
55.
664
368.
544
181.
53.
295
372.
529
251.
52.
410
371.
101
112
1.79
836
4.60
018
21.
278
365.
591
252
1.10
036
4.71
2
92 ANEXO B. Valores simulados de 𝐴𝑅𝐿0 e 𝐴𝑅𝐿1 do gráfico de controle 𝐺𝑆2 para os Casos 2, 3 e 4Ta
bela
19:
Valo
res
de𝐴
𝑅𝐿
simul
ados
para
ospa
râm
etro
sót
imos
dogr
áfico
𝐺𝑆
2–
Cas
o4
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿(𝑠
𝑖𝑚)
1𝐴
𝑅𝐿
(𝑠𝑖𝑚
)0
51.
113
1.98
237
7.90
012
1.1
91.4
8236
8.51
219
1.1
72.5
3237
1.34
35
1.2
60.4
3936
9.56
212
1.2
31.9
6336
4.30
719
1.2
21.6
6537
2.89
75
1.5
12.6
3837
1.77
912
1.5
5.11
537
1.73
119
1.5
3.04
836
6.33
75
24.
011
377.
271
122
1.64
136
6.74
319
21.
222
365.
869
61.
111
9.57
137
4.09
913
1.1
86.4
8937
4.95
420
1.1
69.5
3136
7.06
96
1.2
52.0
3737
2.86
913
1.2
30.1
6336
6.92
220
1.2
20.1
6537
6.06
76
1.5
10.4
3636
5.92
013
1.5
4.55
836
7.63
320
1.5
2.96
536
7.59
06
23.
093
371.
283
132
1.52
536
9.31
720
21.
188
374.
695
71.
111
5.44
837
4.50
914
1.1
83.9
6936
9.68
621
1.1
66.7
7737
5.64
77
1.2
47.0
0436
4.66
314
1.2
29.3
1737
5.58
221
1.2
19.5
0036
6.71
17
1.5
9.06
436
9.37
314
1.5
4.57
837
3.23
621
1.5
2.77
936
5.91
17
22.
742
372.
961
142
1.54
037
5.82
621
21.
175
361.
437
81.
111
3.31
136
9.82
715
1.1
81.8
6836
7.72
222
1.1
64.8
0737
3.71
08
1.2
45.5
6037
4.47
915
1.2
27.2
5637
1.70
522
1.2
19.1
9836
4.02
28
1.5
8.74
435
8.30
615
1.5
4.15
136
3.61
022
1.5
2.73
036
8.42
38
22.
673
381.
114
152
1.46
137
6.89
922
21.
145
371.
044
91.
110
4.96
836
3.64
316
1.1
77.2
1736
6.30
923
1.1
64.7
7437
3.66
79
1.2
40.7
2737
4.61
016
1.2
25.7
4637
6.62
123
1.2
18.4
7237
2.91
89
1.5
7.32
237
1.87
716
1.5
3.88
636
8.05
023
1.5
2.62
037
3.01
89
22.
265
366.
498
162
1.37
536
2.21
223
21.
139
362.
603
101.
198
.699
368.
392
171.
177
.616
370.
244
241.
160
.572
369.
942
101.
237
.732
374.
626
171.
223
.786
371.
576
241.
217
.303
367.
976
101.
56.
351
368.
387
171.
53.
589
371.
024
241.
52.
468
359.
231
102
1.99
336
5.76
417
21.
301
364.
366
242
1.11
637
2.67
711
1.1
94.7
5836
6.30
618
1.1
74.0
0836
5.31
625
1.1
58.6
0036
0.20
611
1.2
33.1
5536
3.75
618
1.2
22.0
5536
7.71
125
1.2
17.3
1738
1.80
011
1.5
5.59
035
8.16
518
1.5
3.24
536
7.26
125
1.5
2.32
236
2.66
811
21.
791
368.
406
182
1.26
437
6.13
225
21.
100
366.
432
94 ANEXO C. Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 para os Casos 2. 3 e 4Ta
bela
20:D
esem
penh
odo
sgr
áfico
sde
cont
role
𝐺𝑆
2e
𝑆2
–C
aso
2
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿𝐺
𝑆2
1𝐴
𝑅𝐿
𝑆2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1
51.
113
1.53
810
6.40
512
1.1
89.9
7867
.715
191.
170
.779
50.2
955
1.2
59.6
7542
.325
121.
231
.728
20.7
0019
1.2
21.5
6513
.245
51.
513
.129
8.01
912
1.5
5.09
23.
166
191.
53.
135
2.01
75
23.
992
2.51
312
21.
652
1.26
719
21.
227
1.06
56
1.1
120.
617
97.8
9013
1.1
86.2
5764
.560
201.
168
.489
48.4
136
1.2
51.5
4136
.972
131.
229
.557
19.2
1620
1.2
20.5
3512
.567
61.
510
.360
6.59
713
1.5
4.62
62.
917
201.
52.
959
1.92
66
23.
108
2.11
213
21.
540
1.21
720
21.
194
1.05
47
1.1
114.
523
90.9
2914
1.1
85.4
3161
.645
211.
166
.592
46.7
917
1.2
47.1
3132
.764
141.
229
.203
17.9
2521
1.2
19.6
0111
.944
71.
59.
044
5.59
814
1.5
4.59
22.
706
211.
52.
804
1.84
67
22.
720
1.84
414
21.
541
1.17
721
21.
166
1.04
48
1.1
112.
810
84.9
0315
1.1
81.8
7759
.023
221.
165
.308
45.1
608
1.2
46.1
4429
.457
151.
227
.269
16.7
9422
1.2
19.1
2911
.373
81.
58.
760
4.85
515
1.5
4.18
92.
527
221.
52.
756
1.77
38
22.
635
1.65
515
21.
449
1.14
522
21.
162
1.03
69
1.1
105.
612
79.8
6316
1.1
78.5
2856
.489
231.
163
.273
43.6
209
1.2
41.2
6626
.700
161.
225
.561
15.7
6623
1.2
18.2
5010
.847
91.
57.
408
4.28
316
1.5
3.85
72.
372
231.
52.
617
1.70
99
22.
254
1.51
616
21.
375
1.11
923
21.
138
1.03
010
1.1
99.4
2175
.255
171.
175
.579
54.1
9524
1.1
61.4
6342
.219
101.
237
.381
24.3
5817
1.2
24.0
3614
.825
241.
217
.452
10.3
6310
1.5
6.42
13.
830
171.
53.
578
2.23
824
1.5
2.49
41.
650
102
1.98
91.
411
172
1.31
61.
097
242
1.11
81.
024
111.
194
.352
71.2
8418
1.1
72.9
7952
.117
251.
159
.900
40.9
7411
1.2
34.3
0322
.402
181.
222
.735
14.0
0025
1.2
16.7
229.
914
111.
55.
676
3.46
618
1.5
3.34
02.
121
251.
52.
384
1.59
811
21.
797
1.33
118
21.
267
1.08
025
21.
101
1.02
0
95
Tabe
la21
:Des
empe
nho
dos
gráfi
cos
deco
ntro
le𝐺
𝑆2
e𝑆
2–
Cas
o3
N𝛿
𝐴𝑅
𝐿𝐺
𝑆2
1𝐴
𝑅𝐿
𝑆2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1
51.
113
1.57
710
6.43
412
1.1
90.1
1467
.805
191.
170
.663
50.1
965
1.2
59.7
0242
.331
121.
231
.737
20.7
0319
1.2
21.5
7013
.247
51.
513
.117
8.01
012
1.5
5.09
43.
167
191.
53.
136
2.01
85
23.
991
2.51
212
21.
652
1.26
819
21.
227
1.06
56
1.1
120.
773
98.0
0513
1.1
86.2
5564
.554
201.
168
.448
48.3
676
1.2
51.4
8436
.933
131.
229
.559
19.2
1720
1.2
20.5
3612
.566
61.
510
.367
6.60
013
1.5
4.62
52.
917
201.
52.
959
1.92
66
23.
108
2.11
213
21.
540
1.21
720
21.
194
1.05
47
1.1
114.
418
90.8
4914
1.1
85.4
4561
.653
211.
166
.471
46.7
107
1.2
47.1
9232
.803
141.
229
.205
17.9
2621
1.2
19.6
1311
.950
71.
59.
044
5.59
814
1.5
4.59
32.
706
211.
52.
804
1.84
57
22.
720
1.84
414
21.
541
1.17
721
21.
166
1.04
48
1.1
112.
858
84.9
2015
1.1
81.8
0458
.973
221.
165
.251
45.1
198
1.2
46.1
3329
.426
151.
227
.247
16.7
8122
1.2
19.1
3611
.374
81.
58.
754
4.85
315
1.5
4.19
02.
527
221.
52.
757
1.77
38
22.
635
1.65
515
21.
449
1.14
522
21.
162
1.03
69
1.1
105.
456
79.7
3316
1.1
78.5
8056
.497
231.
163
.277
43.6
179
1.2
41.2
5526
.687
161.
225
.538
15.7
5323
1.2
18.2
4810
.845
91.
57.
409
4.28
416
1.5
3.85
72.
372
231.
52.
617
1.70
99
22.
255
1.51
616
21.
375
1.11
923
21.
138
1.03
010
1.1
99.4
1675
.245
171.
175
.642
54.2
0924
1.1
61.5
1942
.255
101.
237
.372
24.3
5117
1.2
24.0
5114
.832
241.
217
.462
10.3
6510
1.5
6.42
33.
830
171.
53.
577
2.23
824
1.5
2.49
41.
651
102
1.98
91.
411
172
1.31
61.
097
242
1.11
81.
024
111.
194
.369
71.2
6718
1.1
72.9
9152
.123
251.
159
.798
40.9
0711
1.2
34.3
2122
.401
181.
222
.733
13.9
9825
1.2
16.7
299.
916
111.
55.
676
3.46
618
1.5
3.34
02.
121
251.
52.
385
1.59
811
21.
797
1.33
118
21.
268
1.08
025
21.
101
1.02
0
96 ANEXO C. Comparação do desempenho dos gráficos de controle 𝐺𝑆2 e 𝑆2 para os Casos 2. 3 e 4Ta
bela
22:D
esem
penh
odo
sgr
áfico
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21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1N
𝛿𝐴
𝑅𝐿
𝐺𝑆
21
𝐴𝑅
𝐿𝑆
2
1
51.
113
1.69
010
6.52
112
1.1
90.0
5167
.755
191.
170
.730
50.2
395
1.2
59.7
3442
.358
121.
231
.745
20.6
9719
1.2
21.6
2513
.247
51.
513
.115
8.00
712
1.5
5.09
33.
166
191.
53.
136
2.01
85
23.
994
2.51
312
21.
652
1.26
719
21.
227
1.06
56
1.1
120.
871
98.0
4913
1.1
86.2
8064
.573
201.
168
.593
48.4
286
1.2
51.5
6236
.970
131.
229
.598
19.2
3520
1.2
20.5
3012
.563
61.
510
.369
6.59
813
1.5
4.62
62.
917
201.
52.
959
1.92
66
23.
109
2.11
213
21.
540
1.21
720
21.
194
1.05
47
1.1
114.
464
90.8
8414
1.1
85.4
5061
.656
211.
166
.455
46.6
967
1.2
47.1
2032
.757
141.
229
.206
17.9
2621
1.2
19.6
0911
.948
71.
59.
044
5.59
814
1.5
4.59
22.
706
211.
52.
804
1.84
67
22.
720
1.84
414
21.
542
1.17
721
21.
166
1.04
48
1.1
112.
782
84.8
8115
1.1
81.7
8558
.956
221.
165
.329
45.1
678
1.2
46.1
1829
.440
151.
227
.264
16.7
9022
1.2
19.1
4411
.378
81.
58.
758
4.85
515
1.5
4.19
22.
527
221.
52.
756
1.77
38
22.
635
1.65
515
21.
449
1.14
522
21.
162
1.03
69
1.1
105.
568
79.8
3116
1.1
78.5
4256
.498
231.
163
.331
43.6
529
1.2
41.2
7026
.694
161.
225
.536
15.7
5223
1.2
18.2
5310
.848
91.
57.
408
4.28
316
1.5
3.85
82.
373
231.
52.
617
1.70
99
22.
255
1.51
616
21.
375
1.11
923
21.
138
1.03
010
1.1
99.6
2975
.340
171.
175
.706
54.2
6324
1.1
61.4
9242
.219
101.
237
.419
24.3
7617
1.2
24.0
6114
.837
241.
217
.455
10.3
6410
1.5
6.42
13.
830
171.
53.
578
2.23
824
1.5
2.49
41.
650
102
1.99
01.
412
172
1.31
61.
097
242
1.11
81.
024
111.
194
.397
71.2
9518
1.1
73.0
1452
.139
251.
159
.901
40.9
0611
1.2
34.3
0322
.400
181.
222
.747
14.0
0625
1.2
16.7
249.
914
111.
55.
676
3.46
618
1.5
3.34
02.
121
251.
52.
385
1.59
811
21.
797
1.33
118
21.
267
1.08
025
21.
101
1.02
0