Аутор овог документа је Петар Аврамовић.

Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ …. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили.

Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ).

У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 2003, Foxit PDF creator ( ако читате PDF датотеку ), AutoCAD 2006, Corel Draw 11.

текст куцао Пера слике цртао Пера

Наравно у циљу спашавања прашума немојте да штампате ову страницу већ све оне испод и штампајте са обе стране листа. Уживајте у читању.

ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ

За сваки троугао важи да му се симетрале страница секу у једној тачки.Та тачка је је- днако удаљена од темена тог троугла и она је центар описане кружнице. Симетрале страница неких четвороуглова секу се у једној тачки која је подједнако удаљена од темена датог четвороугла . Она је центар уписане кружнице око тог четвороугла . Стра- нице таквог четвороугла су тетиве кружнице чији је центар на пресеку симетрала страница .Четвороуглови који имају ту способност су квадрат, правоугаоник, једнакокраки трапез и неки трапезоиди.Сви наведени четвороуглови спадају у групу тетивних четвороуглова.

Међутим постоје четвороуглови код којих се симетрале страница не секу у једној тачкиТо су ромб, паралелограм,трапез у општем случају ,делтоид и неки трапезоиди.Они не спадају у групу тетивних четвороуглова.

Тетивни четвороуглови су они око којих може да се опише кружница тј. ако му темена припадају једној кружници .

- 1 -1.Теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако се симетрале његове три стра- нице секу у једној тачки.

Доказ. (

) Следи из чињенице да симетрале тетива кружнице пролазе кроз њен центар.( ) Ако се симетрале три странице неког чевороугла секу у једној тачки, тада је та та- чка једако удаљена од сва четири темена четвороугла.Стога је она центар кружнице ко-ја пролази кроз сва темена четвороугла.

2.Теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако је збир свака два наспрамна угла једнак 180

Доказ.

( ) Претпоставимо да је четвороугао тетиван. Тада тачке припадајунекој кружници .Како су и са разних страна тетиве , углови и су су-плементни ( према теореми о периферијским угловима ), .С обзи-ром да је збир углова у четвороуглу , то је и .( ) Узмимо сад да је . Нека је k кружница описана око Ако је , доказ је завршен.У противном је у спољашњости или унутрашњостикружнице . Рецимо да је у спољашњости ( слика 1 ).Обележимо са ’ тачку у којој кружница k сече дуж

. По теореми о периферијским угловима следи, што повлачи

Међитим је спољашњи за , па је> Очигледна контрадикција.

Нека је тачка у унутрашњости кружнице (слика 2). Поново са С’означимо тачку у којој дуж сече кру-жницу . По теореми о периферијским угловима је

,што повлачи . Међутим је спољашњи за , је тада и

> . Контрадикција. Остаје и четвороугао је тетиван.

Последица Четвороугао је тетиван ако и само ако је спољашњи угао код једног темена подударан са уну- трашњим углом код њему дијагоналног темена. Доказ. Следи директно из теореме 2.

Из теореме 2 јасно је зашто су квадрат правоугаоник, и једнакокраки трапез тетивничетвороуглови а правоугаоник, ромб и трапез у општем случају нису.

. - 2 - Уколико је тачка ван праве и , кажемо да се дуж види из тачке

под углом .Користећи овај појам долази се до још једне теореме.

Теорема 3 Четвороугао је тетиван ако и само ако му се свака страница види из преостала два темена под подударним угловима.

Доказ.

( )Нека је тетивни четвороугао и описана кружница.Тада су и углови под којима се страница види из тачака и , редом. Како су то перифери- јски углови над луком , следи њихова подударност.Слично је и за остале странице четвороугла. ( ) Претпоставимо да је у четвороуглу

. Нека је кружница описана око . Ако доказ је готов.

Претпоставимо супротно. Нека је у спољешњости кружнице .Обележимо са С’тачку у којој кружница

сече дуж ( слика 3 ) .Тада је односно . Meђутим је спољ- ашњи за и такав већи од . Контрадикција.Нека је сада тачка у унутрашњости кружнице .Са

означимо тачку у којој кружница сече праву ВС (слика 4) . Тада је и .

Meђутим је спољашњи за и такав већи од .

Контрадикција.

Брахмагупта Површина S тетивног

четвороугла, чије су странице дата је формулом

где је ѕ полуобим тј.

. Oву особину има сваки тетуван четвороугао.

Примери

Пример У троуглу угао код темена је .Ако су и висине и С’ сре- дина странице , тада је једнакостраничан. Решење Тачке леже на кружници чији јe центар тачка . Отуда је .Даље

је централни угао кружнице који одговара перифе- ријском . Следи . Отуда је

једнакостраничан.

- 3 - Пример (Птоломеј) ако су странице а и дијагонале тетивног четвороугла

тада је Решење Нека је тетивни четвороугао, где је , , ,

и описана кружница (слика 6). Уочимо на дијагонали АС тачку Е такву да је ( 1 ) Како је (периферијски углови над луком ),троуглови и су слични.Слeди : : односно ( 2 ) Из (1) следи ,a како jе троуглови и такође слични. Имамо

: : ,

односно ( 3 ) Сабирањем (2) и (3) добијамо )

Пример Нека су и тачке на страницама и троугла редом. Четворо- угао је тетиван ако и само ако је , где је центар кружнице описане око Решење ( Претпоставимо да су и редом тачке на страницама и троугла , та- кве да је четвороугао тетиван. Нека је кружница описана око и њена тангента у тачки ( слика 7 ). На основу теореме о углу између тетиве и тан- генте је .С друге стране,из те- тивног четвороугла следи (последица 1).Стога је .Из те- ореме о трансфензалним угловима следи . Како је

,то је . . ( Претпоставимо да је , и . Тада је и због тога , . Како је иz

истог разлога као горе , то је и . На основу последице 1 четвороугао је тетиван.

Кључне речи: Тетива ,кружница, четвороугао, угао

- 4 - ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ

Као што око сваког четвороугла не може да се опише кружница , тако ни у сваки четвороугао не може да се упише кружница.У ромб, квадрат, делтоид и неке трап- езоиде је могуће уписати кружницу, док то например није могуће у правоугаонику различитом од квадрата и паралелограму различитом од ромба.Четвороуглове у које може да се упише кружница зовемо тангентним. Име долази из чињенице да

су праве одређене страницама таквих четвороуглова тангенте једне кружнице.

Четвороугао је тангентан ако постоји кружница која додирује све његове странице.

Теорема 4 Четвороугао је тангентан ако и само ако се симетрале његових углова

секу у једној тачки.

Доказ.

Нека је тангентан четвороугао и центар уписане кружнице. Тачка је једнако удаљена од кракова и , па лежи на симетрали угла . Исто важи за симетрале углова

Нека се симетрале унутрашњих углова четвороугла секу у тачки . Тада је тачка једнако удаљена од њихових кракова, тј. од страница четвороугла.Ако то

растојање означимо са , кружница ( додирује све странице четвороугла. Напомена. Из другог дела доказа није тешко закључити да је за тангентност четво- угла довољно да се симетрале три унутрашња угла секу у једној тачки ; тада и четвр-

та симетрала пролази кроз ту тачку.

Теорема 5 Четвороугао је тангентан ако и само ако је

Доказ.

Претпоставимо да је тангентан четвороугао. Нека уписана кружница до- дирује странице редом у тачкама .( слика 8 ).

На основу теореме о подударности тангентних дужи повучених из тачке на кружницу добијaмо: , , ,

Отуда је ( )( )

( ) ( )

- 5 -

( Нека у четвороуглу важи једнакост . ( 1 )

Ако је , тада из ( 1 ) следи . је делтоид (слика 9 )

Из подударности троуглова и следи да дијагонала полови углове и

и да се симетрале углова и секу у ис- тој тачки на Дакле, симетрале унутрашњих углова делтоида секу се у једној тачки и делтоид

је, према теореми 4 , тангентан четвороугао. Узмимо да је,рецимо > ( За < доказ је сличан ).

Тада је, због (1) > . Уочимо на страницама и

тачке и , редом, такве да је и ( слика 10 ).Троуглови и су очигледно

једнакокраки. Исто важи и за с обзиром да је, на основу ( 1 ) ,

Из тога следи да се

симетрале углова код темена четворо- угла поклапају са симетралама страница

. Како се симетрале страница троугла секу у тачки центру описане кружнице, у истој та- чки

секу се и симетрале угловa четворугла . На основу напомене из теореме 4

је тангентан четвороугао.

Примери

Пример Нека је тетивни четвороугао чије се

дијагонале секу у тачки .Ако су нормалне пројекције тачке на странице

редом,та- да је четвороугао тангентан.

Решење Ако се симетрале унутрашњих углова

четвороугла секу у једној тачки, четвороугао је тангентан по теореми 4.

Узмимо прво да тачке леже на страницама четвороугла (слика 11). Како су углови и прави, четвороугао

је тетиван,из чега сле- ди ( 1 )

Слично из тетивног четвороугла следи ( 2 )

по услову задатка и четвороугао је тетиван, па је ( 3 )

Из(1),(2)и(3)следи ,тј. тачка лежи на симетрали угла

.На исти начин сепоказује да тачка лежи на симетралама углова и .

Уколико неке од тачака леже на продужецима страница четвороугла

,доказ је сличан.

- 6 - Пример Четвороугао је тангентан ако и само ако

се кружнице уписане у троу- глове и додирују.

Решење Нека је тангентан четвороугао. Показаћемо да се кружнице и уписане редом у троуглове и додирују.То је еквивалентно са чињеницом да

додирују дијагоналу у истој тачки. Претпоставимо супротно,тј. да додирује у тачки а у тачки (слика 12). Тада је

Уколико је распоред тачака имамо

<

тј. < Међутим из теореме 5 следи . Контрадикција.

На сличан начин за распоред

добијамо > , што је такође ко- нтрадикција.Тако остаје

тј. кружнице и се додирују.

Претпоставимо да кружнице и додирују дијагоналу у тачки ( слика 13 ). Тада је

Следи

и четвороугао је тангентан на основу теореме 5.

Кључне речи: тангента, четвороуго, круг

- 7 -

ТЕТИВНО-ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ

Четвороугао за који постоји и описана и уписана кружница зове се тетивно- -тангентни. У ту групу спада квадрат, неки једнакокраки трапези и неки

трапезоиди који имају особину да постоји кружница која може бити описана око њега и још једна која се може уписати у њега.

Четвороугао је тетивно-тангентан ако постпји кружница која садржи сва његова темена и кружница која додирује све његове странице.

Теорема 6 Сваки тетивно-тангентни четвороугао може се добити из

неког тетивног четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне. При

томе су нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четво- угла на његове странице.

Доказ.

Нека је центар кружнице уписане у тетивно тангентни четвороугао . У тачкама уочимо праве које су нормалне на праве редом (слика 14 ). Обележимо са редом пресеке правих и , и и , и Тврдимо да је тражени четвороугао.

Из тетивног четвороугла следи

( 1 )

где је Слично из тетивног четвороугла

имамо ( 2 )

где је .Како је (јер је тетивни четвороугао),из (1) и (2)следи односно На сличан начин показује се да су и углови и прави.То значи да су дија- гонале четвороугла узајамно нормалне и да се секу у тачки Дакле, тачке

су нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четвороугла на његове странице. Остаје још да се покаже да је тетивни четвороугао.Из тетивног четвороугла

је

( 3 )

( 4 )

- 8 -

док је из тетивног четвороугла

( 5 )

( 6 )

где је и Како је из (3),(4),(5) и (6) следи

На основу теореме 2 четвороугао је тетиван.

Површина тетивно-тангентног четвороугла

Површина тетивно-тангентног четвороугла, чије су странице дата је формулом . Објашњење: Због тангентности имамо , одакле је ( је полуобим ).То даље повлачи , , ,

. Када све то уврстимо у формулу Брахмагупте добијамо .

Кључне речи: тетива, тангента, кружница, четвооугао, теорема

- 9 -

Литература

1 Војислав Петровић , Тетивни и тангентни четвороугловиПросветни преглед , Београд 1996.

2 Владимир Стојановић , Тетиве и тангенте ( лектира математископа – књига 4 ) ИП МАТЕМАТИСКОП , Београд 2004.

3 Математика општа енциклопедија Larousse1967. LIBRAIRE LAROUSSE , Parizза Југославију – ИП ,, Вук Караџић ‘‘ , Београд 1973.

- 10 - САДРЖАЈ

1. Тетивни четвороуглови……………………………………………. 1

2. Тангентни четвороуглови………………………………………….. 5

3. Тетивно-тангентни четвороуглови………………………………... 8

4. Литература…………………………………………………………..10

Аутор овог документа је Петар Аврамовић.

Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ …. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили.

Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ).

У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 2003, Foxit PDF creator ( ако читате PDF датотеку ), AutoCAD 2006, Corel Draw 11.

текст куцао Пера слике цртао Пера