author anna created date 9/12/2012 12:28:56 pm

ПОДГОТОВКА К ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ

Дидактические единицы 1, 2

Учебное пособие

Омск Издательство ОмГТУ

2012

2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

ПОДГОТОВКА К ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ

ПО ФИЗИКЕ

Дидактические единицы 1, 2

Учебное электронное издание локального распространения

Омск Издательство ОмГТУ

2012

Все права на размножение и распространение

в любой форме остаются за разработчиком. Нелегальное копирование и использование данного

продукта запрещено.

Авторы: С. В. Данилов, В. А. Егорова, Н. А. Проку-дина, В. П. Шабалин, Н. Г. Эйсмонт (текст издания)

Рецензенты: М. П. Ланкина, д-р пед. наук, профессор кафедры

общей физики ОмГУ им. Ф. М. Достоевского; М. В. Мамонова, канд. ф.-м. наук, доцент кафедры

теоретической физики ОмГУ им. Ф. М. Достоевского Редактор Ю. Ю. Аптрашева Компьютерная верстка О. Г. Белименко

Рекомендовано редакционно-издательским советом Омского государственного технического университета

Издательство ОмГТУ 644050, Омск, пр. Мира, 11 E-mail: [email protected]

© ОмГТУ, 2012

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее издание подготовлено в соответствии с кодификатором элемен-тов содержания дисциплины «Физика» цикла общих математических и естест-венно-научных дисциплин высшего профессионального образования. Ориенти-ровано на обеспечение уровня и качества подготовки студентов, соответст-вующего требованиям государственных образовательных стандартов профес-сионального образования третьего поколения. Проработка студентами пред-ставленных материалов обеспечит эффективность освоения всех дидактических единиц дисциплины на уровне единых требований к оценке качества подготов-ки специалистов.

Учебное пособие состоит из двух частей, соответствующих дидактическим единицам 1 «Механика» и 2 «Молекулярная (статистическая) физика и термодинамика». В каждой части содержатся основные выводы, обобщающие учебный материал раздела, рекомендации по подготовке к тестированию по со-ответствующей дидактической единице, подробный разбор типовых тестовых заданий и материалы для самоконтроля студентов.

В пособии использованы материалы открытого доступа сайта www.fepo.ru Национального аккредитационного агентства в сфере образования.

4

Дидактическая единица 1 МЕХАНИКА

Контролируемые темы

1 Кинематика поступательного и вращательного движения

2 Динамика поступательного движения 3 Динамика вращательного движения 4 Работа и энергия 5 Законы сохранения в механике 6 Специальная теория относительности

Тема 1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Необходимо знать: – кинематические характеристики поступательного движения: радиус-

вектор, скорость, ускорение, тангенциальная и нормальная составляющие ус-корения, полное ускорение;

– кинематические характеристики вращательного движения: угловое пе-ремещение, угловая скорость, угловое ускорение, связь линейных и угловых величин;

– виды движения: равномерное прямолинейное, равноускоренное прямо-линейное, движение по окружности с постоянной скоростью, движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Краткая теория

Поступательное движение – это вид механического движения системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся те-лом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается па-раллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. В этом случае движение тела можно заменить движением одной из его точек и гово-рить о движении материальной точки.

Основные характеристики поступательного движения: путь, перемеще-ние, скорость, ускорение.

Путь – это длина траектории тела. Перемещение – это вектор, соединяющий начало и конец траектории и ха-

рактеризующий изменение положения тела в пространстве.

б

пн

г

и

н

Вектбранных о

Скорперемещеносительн

В пря

где

Ускизменени

Полн

ную:

тор перемосей коор

рость – вения и нано выбран

ямоуголь

V

корение – ия скорост

ное ускор

a

мещения мрдинат. В

Δ

векторнаяаправленинной сист

ьной декар

x=V i+V

векторнати тела.

a

рение име

ata = τ)(

.можно вы прямоуг

Δ Δ=r xi

ΔΔr =

я физичесия движентемы отсч

Vt

=→Δ

lim

ртовой си

y zV j+V k;

ddVx =

ая физиче

a =

dtdVa x=

еет две со

na+ – п

5

ыразить чольной де

Δ Δ+ +yj

22 ΔΔ yx +

ская велиния матерчёта.

dd

tr=

ΔΔ

→0m

истеме коk; V =

dtdx

; Vy =

еская вел

dtVd

= ;

dtdV

i y+

оставляющ

полное ус

через его екартовой

Δzk ;

22 Δz+ .

ичина, хариальной

dtrd .

оординат:

2xV +=

dtdy

;Vz =

ичина, ха

kdt

dVj z+

щие – тан

скорение т

составляй системе

арактеризуточки в

2zy VV +

dtdz

.

арактериз

k .

нгенциал

тела.

яющие вде координ

ующая бпростран

2 ,

зующая б

льную и н

доль вы-нат:

(1.1)

(1.2)

ыстроту нстве от-

(1.3)

(1.4)

(1.5)

ыстроту

(1.6)

(1.7)

нормаль-

(1.8)

6

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю. Оно направлено по скорости, если тело разгоняется, и противоположно скоро-сти, если тело тормозит:

dtdVa =τ . (1.9)

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно направлено перпендикулярно скорости к центру кривизны траектории:

RR

Van2

2ω== , (1.10)

где R – радиус кривизны траектории. При равнопеременном движении:

atVV += 0 ; (1.11)

2

20

attVs += . (1.12)

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела – это вид механиче-ского движения, при котором его точки описывают окружности, расположен-ные в параллельных плоскостях, центры всех окружностей лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вра-щения.

Основные характеристики вращательного движения: угловое перемеще-ние, угловая скорость, угловое ускорение.

Угловая скорость – физическая величина, характе-ризующая быстроту вращения материальной точки. На-правление угловой скорости определяется по правилу «правого винта». Числовое значение скорости определя-ется как производная от угла поворота φ по времени:

dtdϕω = . (1.13)

Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела:

dtdωε = . (1.14)

Характеристики поступательного и вращательного движения связаны ме-жду собой:

Rs ⋅= ϕ ; (1.15)

7

RV ⋅=ω ; (1.16)

Ra ⋅= ετ . (1.17)

При описании равномерного вращательного движения используются ха-рактеристики период и частота.

Частота – число оборотов за единицу времени:

πων2

= . (1.18)

Период – время одного оборота по окружности:

ωπ

ν21

==T . (1.19)

Типовые тестовые задания

Задание 1(1) Радиус-вектор частицы изменяется во времени по закону

jitr ⋅+⋅−= 35 2 . В момент времени t = 1 с частица находится в некоторой точке А. Скорость частицы в этот момент вре-мени имеет направление …

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

Решение Связь между скоростью и радиус-вектором определяется формулой (1.3).

Тогда itV ⋅−= 10 ; а V( = 1 ) = 10×−t c i , т. е. в момент времени 1 с скорость на-правлена против оси х. Правильный ответ 5.

Задание 2(1) Как изменяется величина нормального ускорения материальной точки,

движущейся с постоянной по величине скоростью по траектории, изображен-ной на приведенных ниже рисунках:

(А) (В) (С)

рзук

з

рршу

с

(

а

1) ув2) ум3) не Реше

Соглрадиусу кзначит нуменьшаекривизны

Зада

Какозовать дви

1) в2) в3) в Реше

Соглрадиусу крадиус и шается, а ускорение

Зада

Матесунках пр

(А) На ка

ального у1) a2) a3) a

величиваеменьшаетсе изменяет

ение

ласно форкривизныормальноется, значы не меняе

ание 3(1)

ой из привижение меличина селичина селичина с

ение

ласно форкривизныускорениускорение уменьш

ание 4(1)

ериальнаяриведены

аком рисуускорения

n постоянn увеличиn уменьш

ется; ся; тся.

рмуле (1.1ы траектоое ускоречит нормается, знач

веденныхматериальскорости скорости скорости

рмуле (1.1ы траекторие остаютие увеличшается.

я точка Мграфики

унке изобя aτ выполнно, aτ раивается, aшается, aτ

10) нормаории. В сение умеальное усчит норма

х в предыьной точкии нормалне меняене меняе

10) нормарии. Пертся постоячивается.

М движетзависимо

(В)

бражен сллняются уавно нулюaτ постояτ постоян

8

альное ускслучае Аеньшаетсяскорение альное уск

ыдущем заи, для котльное ускется, нормется, норм

альное ускрвое утверянными. Третье –

ся по окрости вели

лучай, когусловия: ю; янно; но.

корение орадиус

я. В слуувеличивкорение н

адании риторой: орение осмальное умальное у

корение орждение Второе –

– случаю

ружностиичины ско

гда для но

обратно пкривизныучае В рвается. В не меняет

исунков м

стаются пскорениескорение

обратно псоответс

– случаю ВА: радиу

и со скороорости V о

(С)

ормально

пропорциы увеличрадиус крслучае Стся.

может хар

постоянные увеличиве уменьша

пропорциствует слуВ: радиусус увелич

остью V. от времен

ого an и та

ионально ивается, ривизны С радиус

рактери-

ыми; вается; ается.

ионально учаю С: с умень-ивается,

На ри-ни.

ангенци-

цогузТме

с

к

цопку

Реше

Соглциональнопределяеграфику Вутверждензначит таТретье утмерно, знется.

Зада

Матесунках (А

(А)Для к

ки М. Реше

Соглциональнопределяепостояннокак и полувеличива

ение

ласно форо квадратется измеВ: скоросние соотангенциалтвержденначит танг

ание 5(1)

ериальнаяА, В, С) и

каждого с

ение

ласно форо квадратется измеой, значиное (1.8),ается, зна

рмулам (ту скоросенением мсть и нортветствуетльное ускние соотвгенциальн

я точка Мизображен

случая ук

рмулам (ту скоросенением ит тангенц направлеачит танг

1.9) и (1сти (радимодуля скрмальное т графиккорение пветствует ное ускор

М движетны зависи

(В)кажите на

1.9) и (1сти (радимодуля сциальное ено по вегенциальн

9

.10) нормус постоякорости. Пускорениу А: скопостояннографику рение пос

тся по окримости ве

аправлени

.10) нормус постояскорости. ускорениктору 3. Нное ускор

мальное уянный), тПервое утие остаюторость уво, а нормС: скор

стоянно,

ружностиличины с

ие вектора

мальное уянный), тНа граф

ие равно На графирение по

ускорениетангенциатверждентся постовеличиваемальное уость умеа нормал

и со скорскорости

(С)а полного

ускорениетангенциафике А ск

0, нормалке В скорстоянно

е прямо альное усние соотвеоянными.ется равнускорениееньшаетсяльное – ум

ростью V.V от врем

о ускорен

е прямо альное ускорость ольное ускрость равни направ

пропор-скорение етствует Второе номерно, е растет. я равно-меньша-

V. На ри-мени.

ия точ-

пропор-скорение остается корение, номерно влено по

10

вектору 1 (по скорости) (1.9), нормальное ускорение направлено по вектору 3, их сумма направлена в сторону вектора 2 (1.8). На графике С скорость равно-мерно уменьшается, значит тангенциальное ускорение постоянно и направлено против вектора 1 (против скорости) (1.9), нормальное ускорение направлено по вектору 3, их сумма направлена в сторону вектора 4 (1.8).

Задание 6(1)

Точка М движется по окружности с постоянным тангенциальным ускоре-нием. Как меняется величина нормального ускорения, если проекция тангенци-ального ускорения на направление скорости: А) отрицательна; В) положитель-на; С) равна нулю?

1) уменьшается; 2) увеличивается; 3) не меняется. Решение

Согласно формулам (1.9) и (1.10) нормальное ускорение прямо пропор-ционально квадрату скорости (радиус постоянный), тангенциальное ускорение определяется изменением модуля скорости. В случае А тело тормозит, скорость и нормальное ускорение уменьшаются. В случае В тело разгоняется, скорость и нормальное ускорение увеличиваются. В случае С тело движется равномерно, скорость и нормальное ускорение не меняются.

Задание 7(1)

Тело движется с постоянной по величине ско-ростью по траектории, изображенной на рисунке. Сравнить величины полного ускорения тела в точ-ках А и В:

1) полное ускорение в точке А больше, чем в точке В;

2) полное ускорение в точке В больше, чем в точке А; 3) полные ускорения в точках А и В одинаковы. Решение

Согласно формулам (1.9) и (1.10) нормальное ускорение обратно пропор-ционально радиусу кривизны, тангенциальное ускорение определяется измене-нием модуля скорости и равно 0, так как скорость постоянна. В точке А нор-мальное, а значит и полное ускорение (1.8) больше, так как радиус кривизны меньше. Правильный ответ 1.

11

Задание 8(1)

Тело брошено с поверхности земли со скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в верхней точке g = 10 м/с2.

1) 10 м; 2) 20 м; 3) 30 м; 4) 80 м. Решение

В верхней точке траектории скорость тела направлена горизонтально. Го-ризонтальная составляющая скорости остается постоянной и составляет

cos 60 0,5 10 м/с= ° = =xV V V . Нормальное ускорение в этот момент направлено

вниз и совпадает с полным (1.8), т. е. равно 10 м/с2. Из формулы (1.10) следует,

что 2 210 10 м

10n

VRa

= = = . Правильный ответ 1.

Задание 9(1)

Частица движется по окружности радиусом 1 м в соответствии с уравне-

нием )122(2)( 2 +−= ttt πϕ , где ϕ – в радианах, t – в секундах. Найти момент

времени, когда скорость частицы будет равна нулю (время остановки и измене-ния направления движения частицы).

1) t = 12 c; 2) t = 1 c; 3) t = π c; 4) t = 4,5 c. Решение

Угловое перемещение связано с угловой скоростью соотношением (1.13). Зависимость угловой скорости от времени определяется уравнением ω(t) = 2 π(2t – 2). Угловая скорость ω = 0 в момент времени t = 1 c. Правильный ответ 2.

12

Задание 10(1)

Тело вращается вокруг неподвижной оси. За-висимость угловой скорости от времени ω(t) приведена на рисунке.

Для точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения, найти тангенциальное, нормаль-ное и полное ускорения в момент времени t = 2 c.

1) аτ = – 5 м/с2; аn = 20 м/с2; а = 25 м/с2; 2) аτ = – 5 м/с2; аn = 400 м/с2; а = 400 м/с2; 3) аτ = 20 м/с2; аn = 5 м/с2; а = 25 м/с2; 4) аτ = 400 м/с2; аn = 20 м/с2; а = 420 м/с2.

Решение

Нормальное ускорение (1.10) 2 2 2( 20) 1 400 м/с= = − ⋅ =na Rω . Тангенци-альное ускорение связано с угловым (1.17). Согласно графику угловая скорость линейно зависит от времени. Из формулы (1.14) следует, что при равномерном изменении угловой скорости угловое ускорение может быть найдено как

20 0 5 рад/с4t

Δ − −= = = −Δωε .Тангенциальное ускорение (1.17) 25 м/сa = −τ .

Полное ускорение (1.8) равно 2 2 2400 ( 5) 400 м/сa = + − ≈ . Правильный от-вет 2.


Диск радиуса R начинает вращаться из со-стояния покоя в горизонтальной плоскости во-круг оси z, проходящей перпендикулярно его плоскости через центр. Зависимость угла поворо-та от времени показана на графике.

Сравнить величины нормальных ускорений точки на краю диска в моменты времени t1 = 2 c и t2 = 7 c:

1) нормальное ускорение в момент t1 = 2 c больше, чем в момент времени t2 = 7 c;

2) нормальное ускорение в момент t1 = 2 c меньше, чем в момент времени t2 = 7 c;

3) нормальные ускорения в момент t1 = 2 c и в момент времени t2 = 7 c равны между собой и не равны 0;

4) нормальные ускорения в момент t1 = 2 c и в момент времени t2 = 7 c равны 0.

с(и(

оиф

чм

иω1

иво

в

в

в

Реш

Нормскорость (1.13) и ри t2 = 7 c(1.10). Пр

Зада

Твероси z с угизменяетсфике.

Уголчального мент врем

1) 2 2) 2,3) 5 4) 10 Реше

Угол

имеет геоωz(t). Эта10 с. Прав

Зада

Опреи углововращенииоси проти

1) увое ускор



4) у

шение

мальное уопределя

равна 0 в тc. Значит равильный

ание 12(1)

дое тело гловой скося во вре

л поворотположенимени, равнс; 7 с; с; 0 с.

ение

л поворот

ометричеа площадьвильный о

ание 13(1)

еделить ного ускори твердогив часовойугловая скрение – нугловая скрение – нугловая скрение – нугловая ск

ускорениеяется как точках эки нормай ответ

)

начинаеторостью, мени, как

та тела ия будет ный…

та соглас

ский смыь (а значиответ 4

)

направленрения прго тела й стрелкикорость –аправленкорость –аправленкорость –аправленкорость –

е можно производкстремумальные ус 4.

т вращатьпроекцияк показан

относитенаибольш

сно форм

ысл площит и угол4.

ния угловри равновокруг ни: – направлие 1;

– направлие 4;

– направлие 4; направле

13

вычислитдная от уа функцискорения

ся вокругя которойно на гра-

ельно на-шим в мо-

муле (1.13

щади подл поворот

вой скороозамедленнеподвиж

ение 4, у

ение 1, у

ение 4, у

ение 3, уг

ть по форуглового ии, т. е. в в эти мо

г й -

--

3) опреде

д кривой,та) максим

ости нном жной

угло-

угло-

угло-

ловое уск

рмуле naперемещмоментыоменты в

еляется к

ограничмальна в

корение –

2 .n R= ω ения по вы временивремени р

как ∫=ϕченной грмомент в

– направл

Угловая времени и t1 = 2 c равны 0

∫ dtzω и

рафиком времени

ление 3.

(но

цсНнк

Реш

Напр(1.13), оннаправленответ 1

Зада

Танг

Тако

Реше

На пциальномстке тангеНа третьеном ускоку 1.

шение

равление на направно против1.

ание 14(1)

енциальн

му движе

(1)

(3)

ение

первом учм ускорененциальнем участкрении ск

угловой влена ввервоположн

)

ное ускоре

ению соот

частке прии скороного ускорке при покорость р

скоростирх. При но углово

ение точк

тветствуе

и постоянсть равнорения нетстоянномравномерн

14

и определзамедленой скорос

ки меняет

ет зависим

нном по омерно увт, значит м по модуно умень

ляем по нном вращсти (1.14)

тся соглас

мость ско

(2)

(4)

модулювеличиваескорость

улю и отршается. Э

правилу щении уг), т. е. вн

сно графи

орости от

и положиется (1.9)ь по модурицательнЭто соотв

«правогогловое усниз. Прав

ику…

т времени

ительном). На вторулю не мном тангеветствует

о винта» скорение вильный

и …

танген-ром уча-меняется. енциаль-т графи-

15

Тема 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Необходимо знать: – динамические характеристики: сила, виды сил (модуль, направление и

точка приложения), масса, импульс; – закон всемирного тяготения; – три закона Ньютона.


Основное понятие динамики – понятие силы, основные законы динамики – три закона Ньютона.

Сила – это мера взаимодействия тел и причина изменения скорости тел. Импульс тела (количество движения) – это векторная физическая величи-

на, равная произведению массы тела на скорость его движения:

Vmp = . (2.1)

Первый закон Ньютона: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют никакие силы. Системы отсчета, связанные с этим телом, являются инерциальными».

Второй закон Ньютона: «Скорость изменения импульса пропорциональна приложенной к телу силе и происходит по направлению той прямой, по кото-рой эта сила действует»:

Fdtpd= . (2.2)

Если масса тела постоянная, то можно использовать другую формулировку второго закона Ньютона: «Ускорение, сообщаемое телу, прямо пропорцио-нально силе, приложенной к телу, и обратно пропорционально массе этого те-ла»:

mF

a i∑= . (2.3)

Третий закон Ньютона: «Действию всегда есть равное и противополож-ное противодействие; иначе, два тела действуют друг на друга с силами, на-правленными по одной прямой в противоположные стороны и равными по мо-дулю»:

12 21F F= − . (2.4)

Равнодействующая системы сил – это сила, оказывающая на тело такое же механическое действие, как и данная система приложенных к телу сил. Равно-действующая равна векторной сумме всех сил, приложенных к телу.

1 2= ...F F F+ + (2.5)

16

Центр масс (центр инерции) – это геометрическая точка, характеризую-щая движение тела или системы частиц как целого.

Радиус-вектор (положение) центра масс системы материальных точек в классической механике определяется формулой

.i i

ic

ii

m rr

m=∑∑

(2.6)

Скорость центра масс определяется выражением

.i i

ic

ii

m VV

m=∑∑ (2.7)

Основные силы в механике Сила всемирного тяготения – это сила, с которой притягиваются друг к

другу все тела во Вселенной. Закон всемирного тяготения: «Сила всемирного тяготения прямо пропор-

циональна массам взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадра-ту расстояния между центрами масс этих тел»:

1 22 .тяг

Gm mFr

= (2.8)

Сила всемирного тяготения направлена вдоль прямой, соединяющей цен-тры масс взаимодействующих тел.

Сила тяжести – это сила, с которой тело притягивается к Земле, находясь вблизи её поверхности (частный случай силы всемирного тяготения):

.TF mg= (2.9)

Сила тяжести действует на все тела, находящиеся у поверхности Земли, и направлена вертикально вниз.

Вес тела – это сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес:

( ).Р m g a= ± (2.10)

Знак «+» в формуле ставится, если ускорение тела направлено вверх, если ускорение направлено вниз, то ставится знак «–».

Вес действует на опору перпендикулярно её поверхности или на подвес вдоль его линии.

Сила упругости – это сила, возникающая в упруго деформированном теле и направленная так, чтобы вернуть его в недеформированное состояние.

17

Закон Гука: «Сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела»:

.упрхF k x= − ⋅ (2.11)

Сила трения скольжения – это сила, возникающая при скольжении одного тела по поверхности другого и препятствующая их перемещению относительно друг друга:

.= ⋅трF Nμ (2.12)



Величина скорости автомобиля менялась со временем, как показано на графике зависимости V(t).

В некоторый момент подъема по участку дуги результирующая всех сил,

действующих на автомобиль, была равна 0. Укажите этот момент времени. 1) t1; 2) t2; 3) t3; 4) t4; 5) нет такого момента времени. Решение

Результирующая сила связана с полным ускорением тела (2.3). Полное ус-корение равно 0, когда равны 0 обе его составляющие (1.8). Тангенциальное ус-корение (1.9) равно 0, когда модуль скорости не меняется, этому соответствуют моменты времени t2 и t4. Нормальное ускорение (1.10) равно нулю, когда ско-рость тела равна 0, этому соответствуют момент t4. Правильный ответ 4.

сНс

т

(

в

ЗадаНа р

стей силыНайти отскольжен

1) 1; 2) 1/23) 1,54) 2/3 Реше

Из оп

11

2

трFN

=μμ

ЗадаНа п

тела Vx от

(1) Для

вующую з

ание 16(2)рисунке пы трениятношение ия:

2; 5; 3.

ение

пределен

2

64тр

NF

=

ание 17(2)приведеннт времени

каждого зависимо

(А)

(С)

) представл Fтр от с μ1 /μ2

ия силы т

1,5.= Пр

) ных нижеи.

(2)

случая уость от вр

лены графсилы реа коэффиц

трения (2

равильный

е рисунка

укажите, кемени пр

18

фики завакции опоциентов

2.12), коэф

й ответ

ах (1–4) д

(3)

какой из оекции си

исимо-оры N. трения

ффициент

3.

дано изме

рисунковилы Fx, де

(В)

(D)

т трения

енение пр

(4)

в (A – D)ействующ

.= трFN

μ

роекции с

)

) дает сощей на тел

Отсюда

скорости

ответст-ло.

19

Решение

На графике А сила (соответственно и ускорение (2.3)) на первом участке меньше, чем на втором, и положительна. Значит скорость увеличивается снача-ла медленно, а на втором участке быстрее (1.9). На третьем участке сила и ус-корение отрицательны, значит тело тормозит, его скорость уменьшается (1.9). Графику А соответствует график 2. На графике В сила (соответственно и уско-рение (2.3)) на первом участке меньше, чем на втором, и больше, чем на треть-ем (и все положительны). Значит скорость увеличивается сначала медленно, на втором участке быстрее, а на третьем участке медленнее (1.9). Графику В соот-ветствует график 3. На графике С сила (соответственно и ускорение (2.3)) на первом и третьем участках положительна. Значит скорость на этих участках увеличивается, а на втором уменьшается. Графику С соответствует график 4. На графике D сила (соответственно и ускорение (2.3)) на первом участке боль-ше, чем на втором, и положительна. Значит скорость увеличивается сначала быстро, а на втором участке медленнее. На третьем участке сила и ускорение отрицательны, значит тело тормозит, его скорость уменьшается (1.9). Графику D соответствует график 1.


Скорость грузового лифта изменяется в соответ-ствии с графиком, представленным на рисунке. В ка-кой промежуток времени сила давления груза на пол численно равна силе тяжести?

1) 0 < t < t1; 2) t1 < t < t2; 3) t2 < t < t3; 4) 0 < t < t3. Решение

Вес тела определяется формулой (2.10) и равен силе тяжести в те моменты времени, когда у тела нет ускорения, т. е. когда скорость остается постоян-ной (1.9). Правильный ответ 2.


Материальная точка двигалась вдоль оси х равномерно с некоторой скоро-стью Vx. Начиная с момента времени t = 0 на нее стала действовать сила Fx, график временной зависимости которой представлен на рисунках (1–4).

(

ет

(

гпц1

нсрк

Δ

(1)Для к

ет соответточки Рх

(А) Реше

Соглграфиковпроекция ция силы1 – А, 2 –

Зада

На тена короткс постоянравным p

ке). Найти1) 1 к2) 2 к3) 3 к4) 4 к Реше

Соглр F tΔ = Δ

каждого стствующуот времен

ение

ласно вто, где проесилы пол

отрицатеС, 3 – D,

ание 20(2

еннисныйкое времянной сило

2 p (масшти величинкг · м/с; кг · м/с; кг · м/с; кг · м/с.

ение

ласно вт3 кг м/= ⋅

(2) случая укую зависни.

(В)

орому закекция силложительельна – п4 – В.

2)

й мяч, кот Δt = 0,01ой F = 3таб и напну началь

торому /с и напр

кажите, касимость ве

кону Ньюлы равна ьна – проепроекция

торый лет1 c подейс300 Н, и правлениеьного имп

закону равлено в

20

(3) акой из риеличины

(С)

ютона (2.0 – проекекция имимпульс

тел с импствовал пимпульс е указаныпульса 1.p

Ньютонвправо.

исунков (проекции

.2) на сокция импмпульса ува уменьш

пульсом p

порыв ветрмяча ст

ы на рису.

на (2.2)

2р рΔ = −

(4)(А–D) праи импульс

(D

оответствуульса не величивашается. П

1,p ра ал ун-

) измен

1,р− отсю

авильно оса матери

D)

ующих уизменяетется, если

Правильны

нение июда 1р р=

отража-иальной

участках тся, если и проек-ый ответ

мпульса

2 .р р−Δ .

21

Из правила сложения векторов следует, что вектор р1 = 1 кг·м/с и направлен вниз. Правильный ответ 1.


Теннисный мяч летел с импульсом 1p (масштаб и на-правления указаны на рисунке). Теннисист произвел по мячу резкий удар с средней силой 80 Н. Изменившийся импульс мяча стал 2.p Какое время действовала на мяч сила?

1) 0,2 с; 2) 2 с; 3) 0,5 с; 4) 0,05 с. Решение

Согласно второму закону Ньютона (2.2) время действия силы на мяч равно

изменению импульса мяча, деленному на среднюю силу: .ptFΔ

Δ = Изменение

импульса найдем из рисунка как разность векторов р2 и р1: это вектор, соеди-няющий конец начального импульса с конечным: он направлен вверх и равен четырем клеткам. В заданном масштабе 4 кг м/срΔ = ⋅ . Тогда

4 кг м/с 0,05 с80 Н

t ⋅Δ = = . Правильный ответ 4.


К потолку лифта, поднимающегося вверх тормозясь, на нити подвешено тело массой 10 кг. Модуль вектора скорости изменения импульса тела равен 50 кг·м/с2. Сила натяжения нити равна…

1) 50 кг · м/с2; 2) 150 кг · м/с2; 3) 0 кг · м/с2; 4) 100 кг · м/с2.

Решение

Согласно второму закону Ньютона (2.2) модуль вектора скорости измене-ния импульса тела – это модуль равнодействующей всех сил, приложенных к телу. На тело действует две силы: сила тяжести mg (2.9), направленная вниз и равная 100 Н, и сила натяжения нити, направленная вверх. Чтобы равнодейст-вующая (2.5) была равна 50 Н и была направлена вниз (как и ускорение тела), нужно чтобы сила натяжения нити была равна 50 Н. Правильный ответ 1.

mкср

пт

тсч

м

м

Зада

Систm1 = 2 кг,как показсти центрравны V1 =

1) вд2) вд3) пр4) по Реше

Скорпервого итемы напр

Зада

Взаитериальностоянии rчечных м

1) r =2) r <3) r >4) r <

Реше

Теломо малы п

Необ– ди

мент инер– осн

ание 23(2

тема сос, m2 = 2 кзано на рра масс = 3 м/с, Vоль оси ооль оси оротивополод углом к

ение

рость цени третьегоравлен по

ание 24(2)

имодействой точкойr от его смасс, если= L; < L; >> L; << L.

ение

о можно спо сравне

Тема 3. Д

бходимо зинамическрции, момновной за

2)

стоит изкг, m3 = исунке. Кэтой сис

V2 = 2 м/с, ох; оy; ложно осик обеим о

нтра массо тела в суо импульс

)

вие междуй m, нахосередины,и…

считать мению с ра

ДИНАМ

знать: кие харакмент импуакон дина

з трех 3 кг, котоКак напратемы, есV3 = 2 м/с

и оy; сям.

с системыумме даюсу второг

у однорододящейся, можно р

материальсстояниям

МИКА ВРА

ктеристикульса; амики вра

22

шаров сорые двигавлен векли скорос?

ы определют 0. Векто тела. Пр

дным стея на линирассматри

ьной точкми до дру

АЩАТЕ

ки: момен

ащательн

с массамгаются тактор скорости шар

ляется фотор скороравильны

ержнем маии продоивать как

кой, если угих тел.

ЛЬНОГО

нт силы

ого движ

ми ак, ро-ов

ормулой ости центрый ответ

ассой М илжения к взаимод

его размеПравильн

О ДВИЖ

относите

жения.

(2.7). Имра масс э 1.

и длинойстержня

действие д

еры пренный ответ

ЖЕНИЯ

ельно точ

мпульсы той сис-

й L и ма-на рас-двух то-

небрежи-т 3.

чки, мо-

23


Момент силы относительно точки – это величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного от заданной точки к точке прило-жения силы, на вектор этой силы:

[ , ].M r F= (3.1)

Можно трактовать как вектор, направленный вдоль оси вращения и свя-занный с силой правилом «правого винта».

Момент силы относительно неподвижной оси – это скалярная величина, равная проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки данной оси:

cos⋅zM = M β или (3.2)

,= ⋅M F l (3.3)

где l – плечо силы; F – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дей-ствия этой силы.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси оп-ределяется формулой

2 ,I mr= (3.4)

где r – кратчайшее расстояние от точки массой m до оси вращения. Момент инерции твердого тела – скалярная аддитивная величина, яв-

ляющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси. Для дискретного распределения массы:

2

1 1.

= == =∑ ∑

N N

i i ii i

I I m r (3.5)

Для непрерывного распределения массы: 2 .

V

I r dm= ∫ (3.6)

Момент инерции обруча (полого цилиндра) относительно оси симметрии: 2.обручаI mR= (3.7)

Момент инерции диска (сплошного цилиндра) относительно его оси сим-метрии:

21 .2дискаI mR= (3.8)

24

Момент инерции шара относительно его оси симметрии:

22 .5шараI mR= (3.9)

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину:

21 .12стержняI ml= (3.10)

Теорема Штейнера: «Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины произведения массы тела на квадрат расстояния между ними, где m масса тела, d – расстояние от центра инерции тела до выбранной оси вращения»:

2.cI I md= + (3.11)

Момент импульса материальной точки относительно точки полюса – это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, прове-дённого из полюса в место нахождения материальной точки, на вектор её им-пульса:

[ , ] [ , ];= =L r p r mV (3.12)

( )sin .=L mVr α (3.13)

Момент импульса твердого тела относительно оси – это скалярная вели-чина, равная произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость:

.z z zL I= ω (3.14)

Основной закон динамики вращательного движения: «Скорость изменения момента импульса тела относительно оси вращения z равна результирующему моменту действующих на тело сил относительно этой же оси»:

.ZZ

dL Mdt

= (3.15)

Если момент инерции постоянный, то можно использовать другую форму-лировку основного закона динамики вращательного движения: «Угловое уско-рение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту сил и об-ратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно этой же оси»:

.z z zI Mε = (3.16)

дзрдв

т(м

т

(

ЗадаИз ж

детали в зали попории. Затедруга на вили симм

Срав1) I1 >2) I1 =3) I1 =4) I1 < РешеВ пе

тельно ос(3.5). В трмомент ин

ЗадаСрав

тел и внеш

(А)

ание 25(3)жести вывиде эллолам вдолем все чаодинаковметричновните мом> I2 > I3; = I2 > I3; = I2 = I3; < I2 < I3.

ение ервом и вси вращенретьем слнерции м

ание 26(3)вните момшние рад

Т

) ырезали тлипса. Двль разнысти отодввое расстоо относитементы ине

втором слния, значилучае точменьше. П

) менты инеиусы равн

(С)

иповые т

три одинае детали х осей сивинули дояние и рельно осиерции I1, I

лучае точит моментки тела р

Правильны

ерции телны: m1 = m

25

тестовые

аковые разре-иммет-друг от расста-и OO'. I2 и I3.

чки тела ты инерцрасположеый ответ

л, предстаm2, R1 = R

е задания

одинакоии в этихены ближ 2.

авленныхR2.

(В)

я

во распрх случаях же к оси в

х на рисун

ределены одинаковвращения

нках, есл

относи-вы (3.4), я, значит

и массы

26

1) I1 > I2; 2) I1 < I2; 3) I1 = I2. Решение В случае А масса полого цилиндра распределена дальше от оси вращения,

чем у сплошного и его момент инерции больше (3.7), (3.8). Правильный ответ 2. В случае В массы цилиндров распределены одинаково относительно оси вращения, моменты инерции одинаковые (3.8). Правильный ответ 3. В слу-чае С масса полого кольца распределена дальше от оси вращения, чем у сплош-ного диска и его момент инерции больше (3.7), (3.8). Правильный ответ 1.

Задание 27(3) Два сплошных цилиндра имеют равные массы и различные моменты инер-

ции: m1 = m2, I1 = 9I2. Отношение их радиусов 2

1

RRравно…

1) 9; 2) 1/9; 3) 3; 4) 1/3. Решение

Согласно формуле (3.8) радиус цилиндра 2 .IRm

= Отсюда, с учетом ра-

венства масс, 2 2

1 1

1 .3

R IR I

= = Правильный ответ 4.

Задание 28(3) Четыре шарика расположены вдоль прямой a. Расстояния между соседни-

ми шариками одинаковы. Массы шариков слева направо: 1, 2, 3, 4 г.

Если поменять местами шарики 2 и 4 , то момент инерции этой системы

относительно оси О, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину системы…

1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

27

Решение

Тяжелый шарик будет расположен ближе к оси вращения, чем более лег-кий, масса системы перераспределится ближе к оси вращения. Момент инерции системы маленьких шариков уменьшится согласно формулам (3.4), (3.5). Пра-вильный ответ 2.


При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Как изменится момент инер-ции, если ось вращения тонкого кольца перенести из центра масс на расстоя-ние 2R?

1) увеличится в 2 раза; 2) увеличится в 3 раза; 3) увеличится в 5 раз; 4) увеличится в 6 раз. Решение

Момент инерции кольца определяется формулой (3.7). Согласно теореме Штейнера (3.11) после перенесения оси вращения момент инерции кольца бу-

дет 2 2 20(2 ) 5 5I mR m R mR I= + = = . Правильный ответ 3.


Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости ри-сунка. Момент силы тяжести для данного положения маятни-ка направлен...

1) вниз; 2) влево; 3) на нас; 4) от нас. Решение

Согласно формуле (3.1) момент силы определяется по правилу векторного произведения векторов (правилу «правого винта») или в проекциях на ось вра-щения (3.3): момент сил, вращающих маятник против часовой стрелки, направ-лен на нас. Правильный ответ 3.

28


К стержню приложены три одинаковые по модулю силы, как показано на рисунках (А–С). Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку О. Для каждого случая определить направление вектора углового ускорения.

(А) (В) (С) 1) влево; 2) вправо; 3) на нас; 4) от нас. Решение

Вектор углового ускорения сонаправлен с вектором результирующего мо-мента силы (3.16). Момент будет больше у сил, приложенных дальше от оси вращения (3.3). Согласно определению момента силы (3.1) момент сил, вра-щающих стержень по часовой стрелке, направлен от нас, а момент сил, вра-щающих стержень против часовой стрелки, направлен на нас. В случае А сум-марный момент сил F1 и F3 будет больше момента силы F2 и будет вращать стержень по часовой стрелке. Правильный ответ 4. В случае В суммарный момент сил F1 и F2 будет равен 0, момент силы F3 будет вращать стержень по часовой стрелке. Правильный ответ 4. В случае С суммарный момент сил F1 и F3 будет равен 0, момент силы F2 будет вращать стержень против часовой стрелки. Правильный ответ 3.


На каком графике представлена соответствующая зависимость от времени углового ускорения тела, если момент силы, приложенный к вращающемуся телу, изменяется по закону:

1) M = At; 2) M = At2;

3) M = В –At; 4) M = B + At.

(

снмн

мл

т(т

(А) Реше

Пропсилы (дляном динамени двух 1; графние 4; г

Зада

Укажмость велла относи

1) L =2) L =3) L =4) L =5) L =

(А)

Реше

Завистела опр(3.15). Сота импуль

ение

порционаля тела с памики врах этих велфику В сографику D

ание 33(3)

жите, какличины мительно не= at2 + bt;= at3;

= at + b; = at – bt2;= at2.

ение

симость мределяетсяогласно емьса. В пер

(В)

льная завостоянныащательнличин будоответствуD соответ

)

кой из прмомента сиеподвижн;

(D)

между моя основнму моменрвом случ

висимостьым моменного движдет одинаует уравнтствует ур

риведеннил, дейстной оси и

(В)

оментом ным законт силы ячае M L=

29

(С)

ь между нтом инержения (3.аковая. Грнение 3равнение

ых графитвующих зменяется

(

силы и моном динвляется п

2tL at′ = +

угловымрции) опр16), поэтрафику А3; график 2.

иков прана тело, ея по закон

(Е)

моментомнамики впроизводн

,b этому

(D)

м ускоренеделяетсятому завиА соответсу С соотв

авильно оесли момну:

(С)

м импульсвращателной по вруравнени

нием и моя основныисимость ствует урветствует

отражает мент импу

са вращаюльного двремени отию соотве

оментом ым зако-от вре-

равнение уравне-

зависи-ульса те-

ющегося вижения т момен-етствует

30

график Е. Во втором случае 23 ,tM L at′= = этому уравнению соответствует график В. В третьем случае ,tM L a′= = этому уравнению соответствует гра-фик С. В четвертом случае 2 ,tM L a bt′= = − этому уравнению соответствует график D. В пятом случае 2 ,tM L at′= = этому уравнению соответствует гра-фик А.


Диск начинает вращаться под действием момента сил, графики временной зависимости которого даны на рисунках (1–3).

(1) (2) (3) Для каждого случая укажите график, правильно отражающий зависимость

момента импульса диска от времени.

(А) (В) (С) Решение

Зависимость между моментом силы и моментом импульса вращающегося тела определяется основным законом динамики вращательного движения (3.15). Согласно ему момент силы является производной по времени от момен-та импульса. Первому графику зависимости М(t) соответствует график B зави-симости L(t): сначала момент силы постоянный положительный – момент им-пульса равномерно возрастает, затем момент силы отсутствует – момент им-пульса не изменяется. Второму графику зависимости М(t) соответствует гра-фик С зависимости L(t): сначала момент силы отсутствует – момент импульса постоянный, затем момент силы постоянный положительный – момент импуль-са равномерно увеличивается. Третьему графику зависимости М(t) соответству-ет график А зависимости L(t): сначала момент силы постоянный положитель-ный – момент импульса равномерно возрастает, затем момент силы постоянный отрицательный – момент импульса равномерно убывает.

31

Тема 4. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ Необходимо знать: – работа силы; – кинетическая и потенциальная энергия; – связь силы и потенциальной энергии; – связь механической энергии с работой; – механическая мощность; – работа и мощность вращательного движения.

Краткая теория Механическая работа – это скалярная физическая величина, являющаяся

количественной мерой действия силы или сил на тело или систему тел. При поступательном движении работа

1212 12

;ss s

A Fds F ds= =∫ ∫ (4.1)

если F = const, то

cos .= ⋅ =A F s Fs α (4.2) При вращательном движении работа

1212

;zA M d= ∫ϕ

ϕ (4.3)

если М = const, A M= ϕ . (4.4)

Механическая энергия – это скалярная физическая величина, связанная с движением объекта или его положением, характеризующая способность совер-шать механическую работу.

Существует два вида механической энергии: кинетическая и потенциаль-ная.

Кинетическая энергия – это энергия движения: 2

( ) 2к постmVE = – при поступательном движении; (4.5) 2

( ) 2к вр

IE ω= – при вращательном движении; (4.6)

2 2

2 2кmV IE ω

= + – полная кинетическая энергия. (4.7)

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия: Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия:

1 2 .пG m mE

r⋅ ⋅

= − (4.8)

э

р

э

а

RсжR

Поте

Поте

СвязF =

rF =

Полнэнергии т

Мощработы:

N =

N =

СвязРабо

энергии т

Рабоальной эн

ЗадаДля т

R1 вокругсовершитже угловоR2 = 2R1, н

1) А2

2) А2

3) А2 4) А2

енциальна

енциальна

ь потенц(Egrad−

ndEdr

− –

ная механтела:

щность –

A F Vdtδ

= ⋅

A Мdtδ

= ⋅ω

ь работыта всех стела:

та консернергии тел

ание 35(4)того чтобг своей ость работу ой скоронеобходи= А1; = А1; = 4А1; = 2А1.

ая энергия

ая энергия

иальной э)пE или

– в проекц

ническая

скалярная

V – при п

ω – при в

ы с механисил, прил

Aрвативныла:

Т) бы раскруси до углоА1. Для т

ости дискмо соверш

я тела в п

пE

я упруго

(п уE

энергии с

циях на на

энергия

EE =

я величин

N =

поступател

вращател

ической эложенных

всех силA =ых сил, пр

конA

иповые т

утить дисковой скортого чтобык массы mшить рабо

32

поле Земн

.mgh=

деформир2

) 2упрkx

=

консерва

аправлени

– сумма

пк EE + .

на, харак

dtAδ

= .

льном дв

ьном дви

нергией:х к телу,

2к кE E= −риложенн

Δнс nE= −

тестовые

к массы mрости ω, ны раскруm2 = m1/2оту …

ного тягот

рованног

.

ативной с

ие r.

а кинети

ктеризующ

ижении;

ижении.

равна пр

1 .к кE= Δных к тел

.

е задания

m1 и радиунеобходиутить до т2 и радиу

тения:

го тела:

силой:

ической и

щая быстр

риращени

лу, равна

я

уса имо той уса

и потенц

роту сове

ию кинет

убыли п

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

иальной

(4.13)

ершения

(4.14)

(4.15)

(4.16)

тической

(4.17)потенци-

(4.18)

т

д

=

дР

буП

цспдтс

Реше

Работить диск

диска (4

1( / 2)(22

m=

Зада

Постдиусом 1 Работа эт

1) 0,2) 103) 0,4) 3, Реше

При бота опреучитывая Правильн

Зада

Два мцах невесся в горипроходящдо угловотановилсяскорости

1) Q2

2) Q2

3) Q2

4) Q2

ение

та связанк, нужно

4.6). От

21

21 1

2 ) 2Rm R

ание 36(4)

тоянная ссм, застаой силы р1 Дж; 0 Дж; 628 Дж; 14 Дж.

ение

движенииеделяетсячто угол

ный ответ

ание 37(4)

маленькисомого стеизонтальнщей черезой скоростя, при этоω2 = 3ω1,

2 = 3Q1; 2 = 9Q1;

2 = Q1;

2 = Q1.

на с изменсоверши

тношение

2.= Прав

)

ила 10 Навила шарравна...

и под дейя формулол измеряет 3.

)

их массивержня длной плоск серединути ω1. Поом выдели, то при о

нением кить работу

е работ

вильный о

Н, приложр соверш

йствием пой (4.4), ется в рад

вных шарины d. Сткости воу стержнод действиилось тепстановке

33

кинетичесу, равную

в дву

ответ 4

женная пошить один

постоянногде момедианах, A

рика закретержень мкруг вертя. Стержием тренипло Q1. Есстержня

ской энерю конечн

ух случ

4.

о касательн полный

ого вращаент силы A Fl= =ϕ

еплены нможет вратикальноень раскрия стержесли стержвыделитс

гии (4.17ной кинет

чаях 2

1

АА

ьной к твоборот в

ающего м– это F ·10 0,01⋅ ⋅

на кон-ащать-й оси, рутили ень ос-жень раскрся тепло …

7). Чтобы тической

22

1

22

II

ω=

ω

вердому швокруг сво

момента с· l (3.3). О6, 28 0,6=

ручен до …

раскру-энергии

22

1

2 II

= =ω

шару ра-оей оси.

силы ра-Отсюда, 628 Дж .

угловой

34

Решение

Согласно закону сохранения энергии выделившаяся теплота равна той ме-ханической энергии, которой система обладала до остановки. В данном случае это кинетическая энергия вращательного движения (4.6). Сопоставим энергии, которыми обладал стержень в первом и втором случае:

222 2 2 1

21 1 11

32 9.2

Q E IQ E I

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

ω ωωω

Правильный ответ 2.


На частицу, находящуюся в начале координат, действует сила 4 5 .F i j= + Работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала ко-

ординат в точку с координатами (4; 3), равна... 1) 9 Дж; 2) 12 Дж; 3) 27 Дж; 4) 31 Дж. Решение

Механическая работа постоянной силы определяется формулой (4.2). Вос-пользуемся правилом скалярного произведения векторов:

4 4 5 3 31 Джx x y yF r F r F r⋅ = + = ⋅ + ⋅ = . Правильный ответ 4.


В потенциальном поле сила определяется градиентом потенциальной энергии Wp. На рисунках (1–4) представлены зависимости потенциальной энергии Wp от координаты.

(1) (2) (3) (4) Для каждого случая соответствующая зависимость проекции силы Fx на

ось х будет…

35

(А) (В) (С) (D)

Решение

В потенциальном поле сила определяется градиентом потенциальной энер-гии (4.11), для проекций на ось х выберем формулу (4.12). На первом графике зависимость потенциальной энергии от координаты задается параболой – это

квадратичная зависимость 2.pW ax= Производной от этой функции будет ли-

нейная функция. С учетом минуса перед градиентом, правильный ответ на гра-фике А. На втором графике зависимость потенциальной энергии от координаты задается прямой – это линейная зависимость .pW b kx= − Производной от этой

функции будет константа. С учетом минуса перед градиентом, правильный от-вет на графике С. На третьем графике зависимость потенциальной энергии от координаты задается прямой – это линейная зависимость .pW kx= Производ-

ной от этой функции будет константа. С учетом минуса перед градиентом, правильный ответ на графике D. На четвертом графике зависимость потенци-альной энергии от координаты задается параболой – это квадратичная зависи-

мость 2 .pW ax b= − + Производной от этой функции будет линейная функция.

С учетом минуса перед градиентом, правильный ответ на графике В. Задание 40(4)

Укажите, какой график дает зависимость проекции силы Fx на ось х, если потенциальная энергия равна Wp = ax2 – by2.

(1) (2) (3) (4)

гКтэлг

по

н

Нлрув

РешеВ пот

гии Wp (4Координатат не влэнергии олинейная график

ЗадаШари

правляющответству

На гр

на положи

Рабо1) 0Д2) 0,3) 0,4) –

РешеЧисл

На участкложительработа сиупругостивильный о

ение тенциаль4.11). Граата у, прилияет, воот коордифункция

1.

ание 41(4)ик, прикрщую, совеует точке

рафике прительное

та силы уДж; 04 Дж; 08 Дж; 0,04 Дж.

ение ленно рабке 0 – А рна, эти рилы упруги направлответ 4

ном полеафики отрисутствуюоспользуеинаты х кя. С учет

) репленныершает га0.

редставленаправле

упругости

боту можнработа сиаботы рагости отрлена влев4.

е сила опрражают зющая в фемся форквадратичтом мину

ый к пружармониче

ена зависение оси х

и на этапе

но опредеилы упрувны по мрицательнво) и равн

36

ределяетсзависимосункции пмулой (4чная. Проуса перед

жине и наские коле

симость пх от коорд

е 0 – А – В

елить какгости отрмодулю и на (так кана площа

ся градиенсть силы потенциал4.12). Завоизводнойд градиен

асаженныебания. П

проекции динаты ш

В равна...

к площадьрицательнв сумме ак шарикади под г

нтом потетолько ольной эневисимостьй от этойтом, прав

ый на горПоложени

силы упршарика.

ь под грана, на учадают 0. Н

к движетсграфиком

енциальноот коордиергии, наь потенцй функцивильный

ризонтальие равнов

ругости п

афиком F(астке А –На участкся вправо

– 0,04 Д

ой энер-инаты х. а резуль-иальной ии будет ответ –

ную на-есия со-

пружины

(x) (4.1). – 0 – по-ке 0 – В о, а сила Дж. Пра-

37


На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинако-вой массы от координаты х.

Для работ А1, А2, А3 сил, действующих на точки, спра-ведливо следующее соотношение:

1) A1<A2<A3; 2) A1<A2>A3; 3) A1>A2<A3; 4) A1>A2>A3. Решение

Ускорение, сообщаемое точке, пропорционально силе, действующей на точку (2.3). В первом случае как ускорение, так и сила были наибольшими, а значит и работа А1 – наибольшая (4.1). Во втором случае все величины меньше, а в третьем – наименьшие. Перемещение везде одинаково. Правильный ответ 4.


Соотношение работ силы тяжести при дви-жении тела из точки В в точку С по разным тра-екториям имеет вид, показанный на рисунке.

1) A1 < A2 < A3; 2) A1 = A2 = A3 0; 3) A1 > A2 > A3; 4) A1 = A3 > A2; 5) A1 = A2 = A3 = 0.

Решение

Работа любой консервативной силы, в том числе силы тяжести, равна из-менению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком (4.18). Изменение потенциальной энергии при перемещении из точки В в точку С одинаково во всех трех случаях и не равно 0, так как точки находятся на разной высоте. Рабо-ты тоже одинаковы и не равны 0. Правильный ответ 2.


Тело брошено горизонтально с некоторой высоты с начальной скоростью. Какой из графиков дает зависимость от времени кинетической энергии тела.

38

(1) (2) (3) (4)

Решение Скорость тела в данном случае зависит от времени линейно (1.11), так как

тело движется с постоянным ускорением. Кинетическая энергия квадратично зависит от скорости (4.5), а значит и от времени. В начальный момент времени тело обладало скоростью и некоторой ненулевой кинетической энергией (4.5). Правильный ответ 4.

Тема 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Необходимо знать: – законы сохранения: импульса, момента импульса, полной механической

энергии.

Краткая теория Закон сохранения импульса: «Импульс замкнутой системы тел остается по-

стоянным»: const.р = (5.1)

Замкнутая механическая система – это система тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами.

Закон сохранения момента импульса: «Момент импульса замкнутой сис-темы тел остается постоянным»:

const.L = (5.2)

Закон сохранения механической энергии: «Полная механическая энергия системы тел остается постоянной, если в ней действуют только консервативные силы»:

const.E = (5.3)

Консервативные силы – это силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна нулю. В механике консервативными являются сила тяготе-ния, сила тяжести, сила упругости.

ндс

в

мбддцн

г

Диссна механидругие несипативны

ЗадаСпло

вкатываю

Како1) спл2) по3) об РешеНа ц

механичебудет пердвижениядвиженияции (3.7),на горку о

ЗадаОбру

горки с од

У как1) у д2) у о3) у о

сипативныическую семеханичеым относ

ание 45(4)ошной и ются на г

ой из цилилошной; олый; а одинако

ение цилиндрыская энерреходить я (4.5) у ця (4.6) у п, (3.8), знон закати

ание 46(5)уч и дискдинаково

кого теладиска; обруча; обоих оди

ые (неконсистему ееские форсятся сила

Т

) полый цгорку с од

индров по

ово.

ы действургия будев потен

цилиндрополого циачит конеится выше

) к, имеющй высоты

а при скат

инаковая.

нсерватиеё полнаярмы энерга трения,

иповые т

цилиндрыдинаковой

однимется

ют толькет сохранянциальнуюв одинакоилиндра бечная поте (4.9). Пр

щие одины.

тывании с

39

вные) силя механичгии, напрсила сопр

тестовые

ы, имеющй начальн

я выше?

ко консеряться (5.3ю. Кинетовые. Кинбольше, татенциальнравильный

аковые м

скорость б

лы – силыческая энеример в теротивлени

е задания

щие одинаной скоро

рвативные3). При этические нетическаак как у нная энергй ответ

массы и р

будет бол

ы, при деергия убыеплоту. Вия.

я

аковые мостью.

е силы, зтом кинетэнергии ая энергинего больгия у него 2.

радиусы,

льше?

ействии кывает, перВ механик

ассы и р

значит ихтическая поступатия вращатше момено будет б

скатыва

которых реходя в ке к дис-

радиусы,

х полная энергия тельного тельного нт инер-ольше и

аются с

40

Решение

На диск и обруч действуют только консервативные силы, значит их полная механическая энергия будет сохраняться (5.3). При этом их потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию поступательного и враща-тельного движения. Потенциальные энергии диска и обруча одинаковы (4.9), значит и кинетические энергии после скатывания будут одинаковыми (4.7). Со-гласно формуле (4.7) при одинаковой кинетической энергии, чем больше мо-мент инерции тела, тем меньше его угловая скорость и тем медленнее оно будет скатываться. Момент инерции диска меньше, чем у кольца (3.7), (3.8), значит скатится с большей скоростью диск. Правильный ответ 1.


Небольшая шайба начинает движение без на-чальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты изображена на графике U(x),

Кинетическая энергия шайбы в точке С … 1) в 1,33 раза больше , чем в точке В; 2) в 2 раза меньше, чем в точке В; 3) в 2 раза больше, чем в точке В; 4) в 1,33 раза меньше, чем в точке В. Решение

В точке А покоящаяся шайба обладала только потенциальной энергией, равной 100 Дж. Полная механическая энергия шайбы тоже равна 100 Дж (4.13). Так как горка гладкая и сопротивления воздуха нет, на шайбу действуют только сила тяжести и сила реакции опоры, и полная механическая энергия сохраняет-ся (5.3). В точке В она складывается (4.13) из потенциальной энергии, равной

41

20 Дж, и кинетической энергии, равной 80 Дж. В точке С она складывается (4.13) из потенциальной энергии, равной 40 Дж, и кинетической энергии, рав-ной 60 Дж. Отношение кинетической энергии в точке С к кинетической энергии в точке В равно 1,33. Правильный ответ 4.


Два тела двигались к стенке с одинаковыми скоростями и при ударе оста-новились. Первое тело катилось, второе скользило. Сравните массы тел, если при ударе выделилось одинаковое количество тепла.

1) масса первого тела больше; 2) масса второго тела больше; 3) массы одинаковы; 4) массы могут быть любыми.

Решение

Первое тело обладало кинетической энергией как поступательного, так и вращательного движения (4.7), а второе – только поступательного (4.5). При ударе кинетические энергии тел перешли в тепло. По условию теплота выдели-лась одинаковая, значит и кинетическая энергия тел была одинаковая. При этом кинетическая энергия поступательного движения второго тела больше. Скоро-сти тел одинаковы, значит масса второго тела больше (4.5). Правильный от-вет 2.


На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же с импульсом р = 0,5 кг·м/с. После удара шары разлетелись под углом 90 так, что импульс первого шара стал р1 = 0,3 кг·м/с. Импульс второго шара после удара…

1) 0,2 кг · м/с; 2) 0,4 кг · м/с; 3) 0,3 кг · м/с; 4) 0,5 кг · м/с. Решение

Согласно закону сохранения импульса (5.1) суммарный импульс шаров по-сле удара равен импульсу движущегося шара до удара: 1 2.р р р= + Из правила сложения векторов следует, что импульсы р1 и р2 являются катетами прямо-угольного треугольника, а импульс р – гипотенузой. По теореме Пифагора р2 = 0,4 кг · м/с. Правильный ответ 2.

смувзнв

(виэв

дс

н

очв

ЗадаВокр

стью ω1 смого студерживавращениязультате ние R2 = 2в положен

1) 2ω2) 4ω3) ω4) ω РешеПри

(5.2). Момвую скороинерции уэтом угловет 4.

ЗадаКаки

действуюствуют то

1) зак2) зак3) зак РешеВ слу

ные ответ ЗадаЧело

оси карусчастота врвертикаль

1) ув2) ум3) не

ание 50(5)руг неподсвободно тержня иается нитя. Нить мчего шай

2 R1 от осинии 2, равω1; ω1; ω1/2; ω1/4.

ение вращениимент импуость (3.14увеличитовая скор

ание 51(5)ие законыют внешниолько внукон сохракон сохракон сохра

ение учае А прты 1,

ание 52(5)овек сидисели и деращения,ьное? величитсяменьшитсе изменит

) движной вращаетс

и массивнтью на рмедленнойба соскаи вращенивна...

и системыульса опр4). При удтся в 4 рарость сис

) ы сохранение силы, аутренние канения иманения моанения ме

равильны 2, 3 (

) ит в центржит в р если чел

я; ся; тся.

оси с углся системной шайасстоянии освобожальзываетия. Углов

ы выполнределяетсдалении шаза (3.4) (стемы ум

ния выпоа среди внконсерватмпульса;омента имеханическ

ые ответы (5.1), (5.2)

тре вращауках длиловек пове

42

ловой скома из невейбы, котои R1 от ждают, в т на расствая скорос

няется закся произвешайбы отшайбу сч

меньшится

олняются нутреннитивные си

мпульса;кой энерг

1 и ), (5.3).

ающейся нный шеернет шес

оро-есо-орая оси ре-тоя-сть систем

кон сохраедением мт оси вращчитаем мая в 4 раз

в системих сил естилы?

гии.

2 (5.1), (

по инерцст за его ст из гори

мы, когда

анения момомента ищения в 2атериальнза (3.14).

ме, если ть диссип

(5.2). В сл

ции вокрсерединуизонтальн

а шайба о

омента иинерции 2 раза, еёной точкоПравиль

на ее телативные?

лучае В п

руг вертиу. Как изного поло

окажется

мпульса на угло- момент ой). При ьный от-

ла: А) не ? В) дей-

правиль-

икальной менится ожения в

43

Решение

При вращении человека на карусели выполняется закон сохранения мо-мента импульса (5.2). При повороте шеста из горизонтального положения в вертикальное, его момент инерции уменьшится, при этом согласно формуле (3.10), (3.4) увеличится его угловая скорость и частота вращения. Правильный ответ 1.


Шар массы m1, имеющий скорость V, налетает на неподвижный шар мас-сы m2.

Правильный вариант ответа направления скорости V1 и V2 после столкно-вения показан на рисунке…

Решение

Шары после удара будут двигаться согласно закону сохранения импульса (5.1). До удара полный импульс системы был направлен вправо, значит и после удара полный импульс будет направлен вправо. Рисунки 2 и 3 этому условию не удовлетворяют. Первый шар сможет полностью передать свой импульс вто-рому шару (как на рисунке 4), если массы шаров одинаковы. По условию массы шаров разные, правильный ответ показан на рисунке 1.


Шарик массой m падает с высоты h на горизонтальную плиту. Изменение импульса шарика в результате удара, если шарик упруго отскочил от плиты вверх, равно…

1) 2 2 ;m gh

2) 2 ;m gh

3) 2 ;m gh

4) .m gh

44

Решение

Изменение импульса шарика при ударе 2 1.р р рΔ = − Импульсы р1 и р2 равны по модулю и противоположны по направлению, так как удар абсолютно упругий. По модулю изменение импульса 1 2 12 .р р р рΔ = + = Выразим импульс шарика перед ударом р1 через его энергию. Кинетическая энергия, которой об-

ладал шарик при подлете к плите (4.5) равна 22

1 .2 2к

pmVЕm

= = Отсюда

1 2 .кр mE= Кинетическую энергию найдем из закона сохранения энергии: при падении на шарик действует только сила тяжести, при этом его полная механи-ческая энергия сохраняется (5.3), потенциальная энергия на высоте h переходит в кинетическую при подлете к плите: к пЕ Е mgh= = (4.9). Подставив эти вы-ражения в формулу для изменения импульса, получим:

12 2 2 2 2 2 2 .кр р mE mmgh m ghΔ = = = = Правильный ответ 1. Тема 6. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО) Необходимо знать: – постулаты СТО; – преобразования Лоренца; – следствия из преобразований Лоренца: сокращение длины, замедление

времени, преобразование скоростей; – релятивистский импульс; – релятивистская масса; – полная энергия; – энергия покоя; – кинетическая энергия релятивистской частицы.

Краткая теория СТО – это теория, описывающая движение, законы механики и простран-

ственно-временные отношения при произвольных скоростях движения тел, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света.

Первый постулат СТО (Принцип относительности Эйнштейна): «Все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциаль-ной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных систе-мах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму».

Второй постулат СТО (Принцип постоянства скорости света): «Ско-рость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Это пре-дельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки про-странства в другую».

с = 3·108 м/с – скорость света в вакууме.

45

Преобразования Лоренца – кинематические формулы преобразования ко-ординат и времени в СТО. Они устанавливают связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'. В частности, если К'-система движется вдоль оси х К-сис-темы со скоростью V = const, близкой к скорости света в вакууме: При переходе К→К':

2,

1 ( / )

x VtxV c

−′ =−

(6.1)

,y y′ = (6.3) ,z z′ = (6.5)

2

2

/ .1 ( / )

t xV ctV c

−′ =−

(6.7)

При переходе К'→К:

2,

1 ( / )

x VtxV c

′ ′+=

− (6.2)

,y y′= (6.4),z z′= (6.6)

2

2.

1 ( / )

xtV c

′ ′=

−

t+ V /c

(6.8)

Следствия из преобразований Лоренца: 1.Относительность одновременности: «События, происходящие одно-

временно в одной системе отсчета могут быть неодновременными в другой системе отсчета; принцип причинности при этом не нарушается».

2. Относительность длительности событий: «Длительность события, происходящего в некоторой точке, различна в разных системах отсчета. Наи-меньшую длительность событие имеет в той системе отсчета, в которой оно по-коится»:

02

.1 ( / )

ttV c

ΔΔ =

− (6.9)

3. Относительность размеров тел: «Длина тела, измеренная в разных системах отсчета, различна. Линейные размеры тела наибольшие в той системе отсчета, в которой тело покоится»:

20 1 ( / ) .l l V c= − (6.10)

4. Релятивистский закон сложения скоростей: При движении частицы в К'-системе со скоростью U'x её скорость в К-системе, относительно которой К'-система движется со скоростью V:

2 .1 /

xx

x

U VUV U c′ +

=′+ ⋅

(6.11)

5. Пространственно-временной интервал является инвариантом, т.е. не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую.

46

Пространственно-временной интервал – это величина, характеризующая событие в четырехмерном пространстве-времени Эйнштейна.

2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1Δ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − − − −S c t t x x y y z z (6.12)

или 2 2 2Δ Δ .= −S c t l (6.13)

Релятивистская масса частицы увеличивается с увеличением её скорости:

02

,1 ( / )

mmV c

=−

, где m0 – масса покоя частицы. (6.14)

Релятивистский импульс частицы:

2)/( cV1

VmVmр 0

−== . (6.15)

Энергия покоя – это энергия, которой обладает покоящееся тело: 2

0 0 ,Е m c= (6.16)

где m0 – масса покоящегося тела.

Полная энергия – это сумма энергии покоя и кинетической энергии систе-мы:

20 .кЕ m c Е= + (6.17)

Закон взаимосвязи массы и энергии: «Полная энергия системы равна про-изведению её массы на квадрат скорости света в вакууме»:

2.Е mc= (6.18)

Отсюда кинетическую энергию релятивистской частицы можно предста-вить как разность полной энергии и энергии покоя:

20 .кЕ Е m c= − (6.19)



Космический корабль с двумя космонавтами летит со скоростью V = 0,6 c (c – скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, перпендикулярного направлению движе-ния, в положение 2, параллельное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта…

47

1) изменится с 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2; 2) равна 1,0 м при любой его ориентации; 3) изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2; 4) изменится от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2.

Решение

Так как стержень покоится относительно обоих космонавтов, его размеры не меняются (6.10). Правильный ответ 2.


Космический корабль удаляется от Земли со скоростью V = 0,8 c (c – ско-рость света в вакууме). Космонавт, находящийся на корабле, медленно повора-чивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению дви-жения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Длина стержня с точки зрения земного наблюдателя...

1) изменится с 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2; 2) равна 1,0 м при любой его ориентации; 3) изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2; 4) изменится от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2.

Решение

Стержень вместе с кораблем движется относительно земного наблюдателя. При этом его линейные размеры сокращаются в направлении движения. Попе-речные размеры тела не изменяются (6.3). В положении 1 согласно формуле (6.10) длина стержня составляла 2 2

0 1 ( / ) 1 1 (0,8 / ) 0,6 м.l l V c с с= − = − = При повороте перпендикулярно направлению движения длина стержня со-

ставила 1 м. Таким образом, длина стержня с точки зрения наблюдателя, нахо-дящегося на Земле, изменяется от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2. Правильный ответ 4.


Космический корабль приближается к Земле со скоростью V = 0,6 c (c – скорость света в вакууме). Космонавт и земной наблюдатель измеряют длительность некоторого процесса, происходящего на корабле. По часам кос-монавта длительность этого процесса равна 6,0 с. Длительность того же про-цесса (в секундах) по часам земного наблюдателя составляет...

1) 6,0 с; 2) 6,6 с; 3) 7,5 с; 4) 9,6 с.

48

Решение

Время течет по-разному в системе отсчета, связанной с кораблем, и в сис-теме отсчета, связанной с Землей (6.9). Относительно космонавта событие по-коится, значит он измеряет его собственное время. По часам земного наблюда-

теля пройдет 02 2

t 6,0 7,5 с1 ( / ) 1 (0,6 / )

tV c с c

ΔΔ = = =

− −. Правильный ответ 3.


Космический корабль удаляется от Земли со скоростью V = 0,6 c (c – ско-рость света в вакууме). Космонавт и земной наблюдатель измеряют длитель-ность некоторого процесса, происходящего на Земле. По часам земного наблю-дателя длительность этого процесса равна 12,0 с. Найти длительность того же процесса (в секундах) по часам космонавта.

1) 6,0 с; 2) 7,2 с; 3) 12,0 с; 4) 15,0 с.

Решение

Время течет по-разному в системе отсчета, связанной с кораблем, и в сис-теме отсчета, связанной с Землей (6.9). Относительно земного наблюдателя со-бытие покоится, значит он измеряет его собственное время. По часам движуще-

гося космонавта пройдет 02 2

t 12,0 15 с1 ( / ) 1 (0,6 / )

tV c с c

ΔΔ = = =

− −. Правильный от-

вет 4.


Пи-ноль-мезон, двигавшийся со скоростью 0,8 с (где с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона ϒ1 и ϒ2. В собственной системе отсчета мезона фотон ϒ1 был испущен вперед, а фотон ϒ2 − назад относительно направления полета мезона. Чему равна скорость фо-тонаϒ2 в лабораторной системе отсчета?

1) –1,0 с; 2) 1,8 с; 3) –0,2 с; 4) 1,0 с.

49

Решение

Фотон может существовать, только двигаясь со скоростью с, т. е. со скоро-стью света в вакууме. Согласно второму постулату скорость света в вакууме не зависит от движения источника света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому скорость фотонаϒ2 с учетом направ-ления его движения в лабораторной системе отсчета равна –1,0 с. Правильный ответ 1.


На борту космического корабля нанесена эмблема в виде геометрической фигуры.

Из-за релятивистского сокращения длины эта фигура изменяет свою фор-

му. Если корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой, со скоростью, сравнимой со скоростью света, то в неподвижной системе отсчета эмблема примет форму, указанную на рисунке…

(1) (2) (3)

Решение

Размер тела, движущегося с релятивистской скоростью, сокращается в на-правлении скорости (6.10). Другие размеры тела не изменяются. Правильный ответ 2.


На борту космического корабля нанесена эмблема в виде геометрической фигуры.

Из-за релятивистского сокращения длины эта фигура изменяет свою фор-

му. Если корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой со скоростью, сравнимой со скоростью света, то в неподвижной системе отсчета эмблема примет форму, указанную на рисунке…

50

(1) (2) (3) Решение

Размер тела сокращается в направлении скорости (6.10). Другие размеры тела не изменяются. Правильный ответ 1.


Какая из ниже приведенных формул определяет А) кинетическую энергию, В) импульс, С) энергию покоя, D) полную энергию релятивистской частицы:

(1) 2

2

2

1

mc

Vc

− (2)

22

2

21

mc mcVc

−

− (3) 2

21

mV

Vc

− (4) 2mc

Решение

Согласно теории (6.19), (6.15), (6.16), (6.17) правильный ответ А) –2; В) –3; С) –4; D) –1.


Инвариантной величиной является … 1) импульс частицы; 2) скорость света в вакууме; 3) длина предмета; 4) длительность события. Решение

Согласно второму постулату Эйнштейна правильный ответ 2. Задание 64(6)

Относительной величиной является… 1) барионный заряд; 2) длительность события; 3) скорость света в вакууме; 4) электрический заряд. Решение


51

Дидактическая единица 2

МОЛЕКУЛЯРНАЯ (СТАТИСТИЧЕСКАЯ) ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Контролируемые темы

7 Распределения Максвелла и Больцмана

8 Средняя энергия молекул

9 Второе начало термодинамики. Энтропия. Циклы

10 I начало термодинамики. Работа при изопроцессах

Тема 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Необходимо знать: – распределение молекул идеального газа по скоростям и компонентам

скорости; – наиболее вероятная скорость; – средняя скорость; – среднеквадратичная скорость; – зависимость распределения Максвелла от температуры и массы моле-

кул.


Распределение Максвелла – распределение относительного числа молекул по скоростям – имеет вид:

23/ 2 020 2( ) 4 .

2−⎛ ⎞= = ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

mkTmdNf e

N d kT

υ

υ π υυ π (7.1)

Площадь под кривой определяет общее количество частиц газа, является величиной постоянной и условно для каждого газа принимается за единицу:

0

( ) 1.∞

=∫ f dυ υ (7.2)

Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число моле-кул (атомов) содержит вещество. Площадь под кривой определяет общее число молекул. Площадь заштрихованной площадки равна относительному числу мо-лекул ΔN/N, имеющих скорость в пределах от υ1 до υ2.

рнмрув

в

Вид р

рода газа на распремум функрастягиваусловию выше и уж

Т1, Т2

m1, mНаиб

вует макс

Сред

Сред

распредел(массы меделение кции распается и понормировже.

Т2, Т3 – темm2, m3 – маболее версимум фун

дняя ариф

дняя квадр

ления момолекул mмолекул пределенионижаетсвки. Для

мпературыассы молроятная скнкции рас

фметическ

ратичная

лекул газm) и от тене влияюия молекуся, а площгазов с б

ы газа с оекул разнкорость дспределен

2=вер m

υ

кая скорос

8

=υπ

скорость

3=кв

km

υ

52

за по скоремпературют. При пул по скощадь подбольшей м

одной и тоных газов движенияния Макс

0

2 2=

kT Rm М

сть движе

0

8 8=

kT Rmπ π

ь движени

0

3=

kT Rm М

ростям длры (Т). Дповышениоростям сд кривой массой мо

ой же маспри одно

я молекулсвелла:

.RTМ

ения моле

.RTМπ

ия молеку

.TМ

ля каждогДавление Pии темпесмещаетсостанетсяолекул кр

ссой молеой и той жл газа, ко

екул газа

ул газа:

го газа завP и объёмературы Тся вправоя неизменривая ста

екул; же темпероторой со

:

1 2T T< <

1 2m m>

висит от м газа V Т макси-, кривая нной по ановится

ратуре. ответст-

(7.3)

(7.4)

(7.5)

3T<

2 3m>

в

з

и

млдлвм

нвкм

нктл

Распрв условия

Бароземного т

или конце

Вид массой μ)ладают бдавление лярной мвысотой. мятся зап

С геоничной плвой функколичествмолекул г

Зада

На рного газа кул, скороте на единляются …

пределениях термодметричестяготения

ентрацию

кривой р) и его темольшей эубывает

массы) газЭта зави

полнить по

ометричеслощадьюкции распве молекугаза, тем б

ание 65(7)

рисунке ппо скороости котоницу этог

…

е Больцмдинамичесская форм и опреде

ю молекул

распределмпературэнергией с высотоза наблюсимость ооложения

ской точк основанипределениул (равенсбольше и

Т

)

представлостям (раорых заклго интерв

ана – расского равмула хареляет атмо

0 exр р=

л воздуха

0 exn n=

ения Болрой (Т). Пи могут ой медлендается бообъясняетя с наимен

ки зренияия S междия Больцмстве площх концент

иповые т

ен графиспределенлючены в вала. Для

53

спределенновесия.актеризуеосферное

xp МgRT

⎛ −⎜⎝

на заданн

xp МghRT

⎛ −⎜⎝

льцмана оПри большподнятьсннее. Приолее резктся тем, чньшей по

я количестду уровнямана на ищадей подтрация n0

тестовые

ик функциние Максинтервалэтой фун

ние молек

ет распрее давление

hT

⎞⎟⎠

ной высот

.h ⎞⎟⎠

определяеших темпеся на боли увеличекое убывачто болееотенциаль

тво частиями h1 и hинтервалед графика0 на нулев

е задания

ии распресвелла), гле скороснкции вер

кул в поте

еделение е на задан

те h:

ется родомературах льшую выении масание колие тяжелыеьной энер

иц N12 в слh2 – это пе [h1, h2]. ами) чем вой высот

я

еделения где f(v) = тей от v дрными ут

енциальн

молекулнной высо

м газа (мчастицы ысоту h, пссы молекичества че молекулргией.

лое сосудплощадь пПри одинбольше мте.

молекул – дол

до v + dv тверждени

ном поле

л в поле оте h:

(7.6)

(7.7)

олярной газа об-поэтому кул (мо-частиц с лы стре-

да с еди-под кри-наковом масса m0

идеаль-ля моле-в расче-иями яв-

рт

л

щ

вд

ш

нПмсннзпв

ксг(

здт

1) правна чистервале от

2) пличина ма

3) пщадь под

4) пвисит какды газа;

5) п6) п7) п8) п

шаться. Реше

Первния МаксПлощадь молекул гсоответстнии темпная скорозаштрихопри этом верждени

Зада

На рки функцискоростямгазов при(распреде

– долзаключендо + dv в тервала. Д

1) м2) п

площадь зслу молект v до v +при понижаксимумапри понижкривой у

положениек от темпе

при изменпри изменпри понижплощадь з

ение

вое утвержсвелла (7под кривгаза и не твует наиературы ость станоованной пбудет умиями явля

ание 66(7)

рисунке пий распрем для двуи одной иеление Мля молекуы в интеррасчете нДля этих фмолярная мпри увелич

заштрихокул со ск dv; жении теа уменьшажении темуменьшаее максимературы,

нении темнении темжении темзаштрихов

ждение сл.1). Четввой из усл изменяетболее верскоростиовится меполоски сменьшатьсяются 1

)

представледеления ух разных той же т

Максвелла)ул, скоросрвале скона единицфункций масса перчении тем

ванной пкоростями

емператуается; мпературтся; мума кривтак и от

пературыпературымпературыванной п

ледует изертое утвловия нортся при ироятной с движениеньше, мас ростом ся доля м1, 4,

лены графмолекул х идеальнтемперату), где f(v)сти котороростей оцу этого ивернымирвого газампературы

54

полоски и в ин-

уры ве-

ры пло-

вой за-приро-

ы положены площадьы максимолоски с

з физичесвержденирмировкиизмененискорости ия молекуаксимум ктемпераолекул с

6, 7,

фи-по

ных уре ) = рых т v ин-и утвержда больше,ы величи

ние максиь под кримум криворостом т

ского смыие следуеи (7.2) соои темпердвижениул уменьшкривой смтуры буднизкими 8.

ениями я, чем вторна максим

имума не ивой не изой смещаетемперату

ысла функет из видответствуратуры. Мия молекушаются, нмещаетсядет уменьскоростя

вляются…рого; мумов ум

изменяетзменяетсяется влевоуры будет

кции распда функциует общемМаксимумул, при умнаиболее я влево. Пьшаться, ями. Верн

…

меньшаетс

тся; я; о; т умень-

пределе-ии (7.1). му числу м кривой меньше-вероят-

Площадь так как

ными ут-

ся;

55

3) при увеличении температуры оба максимума сместятся вправо; 4) масса второго газа больше массы первого; 5) наиболее вероятная скорость второго газа меньше, чем первого; 6) количество вещества второго газа больше, чем количество вещества

первого газа. Решение

При одинаковой температуре максимум функции, соответствующий наи-более вероятной скорости, будет расположен левее у газа с большей молярной массой (7.3). В данном случае молярная масса больше у второго газа, у него же наиболее вероятная скорость меньше. Это объясняется тем, что более тяжелые молекулы имеют меньшие скорости. При увеличении температуры максимумы кривых сдвигаются вправо, опускаются ниже, но становятся шире, площади под кривыми остаются неизменными (7.2). Количество вещества и общее коли-чество молекул газа определяется площадью под кривой (7.2), в данном случае для первого газа площадь под кривой незначительно больше, значит и количе-ство вещества первого газа больше. Массы вещества по данным графикам сравнить невозможно, так как они пропорциональны и молярной массе, и коли-честву вещества (молекул). В данном случае молярная масса второго газа больше, а количество вещества для него меньше, чем для первого. Верные ут-верждения 2, 3, 5.


На рисунке представлен график функции распределения молекул идеаль-ного газа по скоростям (распределение Максвелла), где f(v)= – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до + dv в расчете на едини-цу этого интервала. Для этой функции верными утверждениями являются…

1) вероятность обнаружить молекулу со скоростью в интервале от до больше, чем со скоростью в интервале от до ;

2) число молекул со скоростями от до меньше, чем со скоростями от до ;

3) площадь равна числу молекул, которые имеют скорости от до ; 4) площадь равна относительному числу молекул, которые имеют ско-

рости от до ; 5) число молекул со скоростями в интервале ; равно S2 · N, где N –

общее число молекул газа.

56

Решение

Площадь под кривой определяет относительное число молекул, скорости которых принадлежат данному интервалу скоростей, и вероятность обнаружить молекулу с данной скоростью (7.1). Правильные утверждения 2, 4, 5.


На рисунке представлен график функции распределения молекул иде-ального газа по скоростям (распределе-ние Максвелла), где f(v) = – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до + dv в расчете на единицу этого интервала. Если температура газа повысится, то…

1) максимум кривой сместится влево в сторону меньших скоростей; 2) величина максимума уменьшится; 3) площадь под кривой увеличится; 4) максимум кривой сместится вправо в сторону больших скоростей; 5) величина максимума увеличится; 6) площадь под кривой уменьшится. Решение

С ростом температуры кривая, описывающая распределение Максвелла, становится ниже и шире, площадь под кривой не изменяется (7.2). Правильные ответы 2, 4.


На рисунке представлен график функции распределения молекул иде-ального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). С ростом температуры Т газа площадь под этим графиком будет…

1) расти пропорционально Т3/2; 2) расти пропорционально Т; 3) оставаться неизменной; 4) расти пропорционально √Т.

пм

взнн

кс

в

о

дч

св

т(

РешеПлощ

пературыменяться

ЗадаНа р

вые распрза по абсоных значние темпе

1) 252) 4/53) 164) 5/4 РешеМакс

кул газа псти (7.3) с

вероятны

ответ ЗадаВ тр

дится одчем Т

Распрсосуде с вать крив

1) 1; 2) 2; 3) 3. РешеСамо

тигается п(7.3). Пра

ение щадь под количестне будет

ание 70(7)рисунке пределенияолютнымчениях теератур Т

/16; 5; /25; 4.

ение симумы кпри темпеследует, ч

х скорост

1.

ание 71(7)рех одинаинаковоеТ Т . ределенитемператая…

ение ой низкойпри самойавильный

кривой хтво молек(7.2). Пра

) приведеня молекулм скоростяемператур

равно

кривых соературах что темпе

тей =Тυ

) аковых се количест

ие скоросттурой Т

й темперай низкой й ответ

характерикул газа навильный

ы две крл одного ям при рр. Отношо…

оответствТ1 и Т2. Иературы г

2

;2вер

Rυ μ

о

сосудах нтво газа,

тей молекбудет оп

атуре сооскорости

1.

57

изует колине изменяй ответ

ри-га-аз-ше-

вуют наиИз формугазов проп

отсюда 2

1

TT

нахо-при-

кул в исы-

ответствуеи молекул

ичество чется, знач

3.

более верулы для нпорциона

222

21 1= вер

вер

TT

υ

υ

ет криваял, т. е. рас

частиц газчит и пло

роятным наиболее вальны ква

2

2500400

= =

я, максимсположен

за. С ростощадь под

скоростявероятнойадратам н25 .16 Прав

мум котор левее ост

том тем-д кривой

ям моле-й скоро-наиболее

вильный

рой дос-тальных

рв

мв

ондвми

ркс

кв

онм(жл

ЗадаВ тр

равных увое колич

; He; молекул вая…

1) 1; 2) 2; 3) 3. РешеПред

определитнаибольшдвижутсяветствовамасса зани азота. П

ЗадаВ тр

равных уковое колслого газа

Распркул углеквать крив

1) 1; 2) 2; 3) 3. РешеПред

определитнаибольшмолекулы(7.3). Углжением мленных га

ание 72(7)рех одинусловиях чество вод

. Распгелия бу

ение дставленнть по табшая – у аз

медленнать криваянимает прПравильны

ание 73(7)ех одинакусловиях личество а и кислорределеникислого гая….

ение дставленнть по табшая – у угы движутлекисломумаксимумазов. Прав

) наковых находитсдорода, гпределениудет опи

ные газы блице Мезота. Принее, для ня со средромежуточый ответ

) ковых сонаходитсводородрода: ие скоросгаза буде

ные газы блице Меглекислогтся медлеу газу бума, так каквильный

сосудах ся одингелия и азие скоросисывать к

имеют раенделееваи одинаконих криваядним полчное знач 2.

осудах прся одинаа, углеки, , стей молеет описы

имеют раенделееваго газа. Пеннее, длудет соотвк его молответ

58

при ако-зота: стей кри-

азличныеа. Наименовой темпя смещаеожением чение меж

и а-и-. е-ы-

азличныеа. НаименПри одиная них маветствовалярная ма1.

е молярныньшая мопературе ется влевомаксимужду моля

е молярныньшая моаковой теаксимум ать криваяасса наиб

ые массылярная мболее тяжо (7.3). Геума, так кярными м

ые массылярная мемпературкривой ся с крайнбольшая и

, которыемасса у вожелые моелию будкак его ммассами в

, которыемасса у воре более тсмещаетсним левыиз трех пр

е можно одорода, олекулы дет соот-молярная водорода

е можно одорода, тяжелые ся влево ым поло-редстав-

рди

f

ввЕк

рлМf

Зада

В сорегородкода и и .

Укажf(v) =

.

(1)

(3) Реше

Массв этой повающей рЕсли темпкривых бу

Зада

В сорегородколярная маМ и М . f(v) =

.

ание 74(7)

суде, разой, наход. Масса

жите рис числ

ение

са газа в половине браспределпературыудут соот

ание 75(7)

суде, разой, находасса молеУкажите

числ

)

деленномдится одингаза в ле

сунок, нала молеку

первой побольше. Сление молы газа в катветствов

)

деленномдятся два екул газа е рисунокла молеку

м на равнн тот же евой и пр

а котороул газа по

оловине сСледователекул в пеаждой часать разны

м на равнразличнв левой к, на котол газа по

59

ные частигаз. Темправой пол

ом предсо абсолют

(2)

(4)

осуда болельно, плервой чассти сосудые скорост

ные частиых газа пи правойором предабсолют

и неподвипературы ловинах с

тавлены тным знач

)

)

льше, знаощадь пости сосудада и ти (7.3). П

и неподвипри одинй половиндставленытным знач

ижной непгаза в кажсосуда со

функциичениям их

ачит и колод первойа, тоже боне равныПравильн

ижной непнаковой тнах сосудаы функцичениям их

проницаеждой часоответстве

и распрех скорост

личество мй кривой,ольше (7.ы, то максный ответ

проницаетемператуа соответии распрех скорост

емой пе-ти сосу-енно

еделения тей, если

молекул , описы-1), (7.2). симумам т 3.

емой пе-уре. Мо-тственно еделения тей, если

(

(

нм

рси

fМ

(

(1)

(3) Реше

При нее, для нмум второ

Зада

В сорегородкосуда равни М2.

Укажf(v)=dN/dvМ1 > М2.

(1)

ение

одинаковних максиой кривой

ание 76(7)

суде, разой, находны. Массы

жите рисdv числа

вой темпеимум крий располо

)

деленномдится одины газа в л

сунок, намолекул

ературе бивой смещожен леве

м на равнн и тот жлевой и п

а которогаза по а

60

(2)

(4)

более тяжщается влее на рису

ные частиже газ. Теправой пол

ом предсабсолютн

(2)

)

желые моллево (7.3)унке 3. Пр

и неподвимпературловинах с

тавлены ным значе

лекулы д). В данноравильны

ижной непры газа в сосуда со

функцииениям их

движутся ом случаеый ответ

проницаекаждой чоответств

и распрех скорост

медлен-е макси- 3.

емой пе-части со-енно М1

еделения ей, если

(

щбп

в

н

нни

(3) Реше

Больщадь подболее верполовина

Зада

На рвысоты h

1) ко2) чи3) чи4) сре Реше

Соглный ответ

Зада

В оченый газ пнородными Т2 > Т1 и

ение

шей массд кривой (роятную сх сосуда

ание 77(7)

рисунке днад пове

нцентрацисло молекисло молекеднюю ко

ение

ласно физт 2.

ание 78(7)

ень высокпри темпем, то графимеют ви

се газа со(7.1). Макскорость,одинаков

)

дан графирхностью

цию молеккул в столкул в кубонцентрац

зическому

)

ком вертиературе Т1

фики завиид, предст

оответствуксимумы так как вы (7.3). П

ик зависию Земли. З

кул на вылбе высотбе с реброцию моле

у смыслу

икальном1. Если счисимости тавленный

61

(4

ует большфункциймассы моПравильны

мости коЗаштрихо

ысоте ;той с пом ; екул на вы

у распред

м цилиндрчитать вндавленияй на рису

4)

шее числой приходяолекул и ый ответ

онцентрацованная пл

площадью

ысотах от

деления Б

рическом ешнее поя от высотнке…

о молекулятся на одтемперат 4.

ции n моллощадь о

ю основан

т 0 до .

Больцман

сосуде нотенциальты для дв

л и большдну и ту тура газа

лекул возопределяе

ния 1 м2;

на (7.7), п

аходитсяьное полевух темпер

шая пло-же наи-в обеих

здуха от ет

правиль-

идеаль-е сил од-ратур Т1

62

(1) (2)

(3) (4) Решение

Зависимость давления идеального газа от высоты при некоторой темпера-туре определяется барометрической формулой (7.6). Из нее следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненци-альному закону тем медленнее, чем больше температура Т. Давление идеально-го газа на дно сосуда р0 определяется весом газа и не зависит от температуры. Правильный ответ 4.


Зависимости давления р идеального газа во внешнем однородном поле си-лы тяжести от высоты h для двух разных температур представлены на рисунке.

63

Для графиков этих функций неверными являются утверждения, что … 1) температура Т1 выше температуры Т2; 2) давление газа на высоте h равно давлению на «нулевом уровне» (h = 0),

если температура газа стремится к абсолютному нулю; 3) температура Т1 ниже температуры Т2; 4) зависимость давления идеального газа от высоты определяется не толь-

ко температурой газа, но и массой молекул. Решение Из барометрической формулы (7.6) следует, что зависимость давления от

высоты определяется как температурой газа, так и массой его молекул. Для од-ного и того же газа с повышением температуры зависимость становится все более слабо выраженной, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно. При понижении температуры давление на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль. Правильные ответы 1, 2.

Тема 8. СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ Необходимо знать: – степени свободы молекул (поступательные, вращательные, колебатель-

ные); – число степеней свободы одно-, двух- и многоатомных молекул; – закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы; – теплоемкости газов.

Краткая теория Число степеней свободы – наименьшее число независимых координат, оп-

ределяющих положение и конфигурацию молекулы в пространстве:

2 ,n вр кi i i i= + + (8.1)

где iп – число поступательных степеней свободы, iвр – число вращательных степеней свободы, iк – число колебательных степеней свободы. Для одноатомной молекулы: iп = 3, iвр = 0, iк = 0, i = 3; Для двухатомной молекулы с жесткой связью: iп = 3, iвр = 2, iк = 0, i = 5; Для многоатомной молекулы с жесткой связью: iп = 3, iвр = 3, iк = 0, i = 6. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы: «На

каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия,

равная 1 ,2kE kT= (8.2)

где k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана».

64

Средняя кинетическая энергия поступательного движения для любых мо-

лекул равна 3 .2kE kT= (8.3)

Средняя кинетическая энергия молекул равна

.2kiE kT= (8.4)

Теплоемкость – это физическая величина, характеризующая количество теплоты, необходимой телу для его нагревания на 1 градус. Различные по при-роде тела одинаковой массы требуют для своего нагревания различное количе-ство тепла:

.QСT

=Δ (8.5)

Удельная теплоемкость – это физическая величина, характеризующая ко-личество теплоты, которое необходимо передать 1 кг вещества для его нагрева-ния на 1 градус:

.Qcm T

=⋅Δ (8.6)

Молярная теплоемкость – это физическая величина, характеризующая ко-личество теплоты, которое необходимо передать 1 молю вещества для его на-гревания на 1 градус:

.=⋅ΔQС

Tμ ν (8.7)

Связь удельной теплоемкости с молярной: .= ⋅С с Мμ (8.8)

Для газов теплоемкость зависит от процесса, в котором происходит их нагревание.

Теплоемкость газа при изохорном нагревании (V = const):

– молярная: ,2

=ViС Rμ (8.9)

– удельная: .2Vi Rc

M= (8.10)

Теплоемкость газа при изобарном нагревании (р = const):

– молярная: 2 ,

2+

=piС Rμ (8.11)

– удельная: ( 2) .

2pi Rc

M+

= (8.12)

65

Типовые тестовые задания Задание 80(8) Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа при температуре T

равна ε = kT. Здесь i = + вр + 2 , где , вр и – число степеней свобо-ды поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движе-ние, для водорода число i равно…

1) 5; 2) 2; 3) 7; 4) 8. Решение Двухатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы и 2 вра-

щательные (8.1), итого i = 5. Правильный ответ 1. Задание 81(8) Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа при температуре T

равна ε = kT. Здесь i = + вр + 2 , где , вр и – число степеней свобо-ды поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. Для атомарного водорода число i равно..

1) 7; 2) 5; 3) 3; 4) 1. Решение Атомарный водород – одноатомный. Одноатомная молекула имеет толь-

ко 3 поступательные степени свободы (8.1), итого i = 3. Правильный ответ 3. Задание 82(8) Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа при температуре T

равна ε = kT. Здесь i = + вр+ 2 , где , вр и – число степеней свобо-ды поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движе-ние, для водяного пара число i равно…

1) 6; 2) 5; 3) 3; 4) 3/5.

66

Решение

Трехатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы и 3 вра-щательные (8.1), итого i = 6. Правильный ответ 1.


Кинетическая энергия вращательного дви-жения линейной молекулы углекислого газа , согласно модели жесткой связи атомов в молеку-ле, составляет от полной энергии долю…

1) 2/5; 2) 3/5; 3) 12/3; 4) 3/6.

Решение

Трехатомная линейная молекула имеет 3 поступательные степени свободы и 2 вращательные (8.1), итого i = 5. Средняя кинетическая энергия молекул (8.4)

,2i kTε = энергия вращательного движения .

2= вр

врi

kTε Отношение энергий

2 2 2 / 5 2 5

= ⋅ =вр kTkT

εε (8.1). Правильный ответ 1.


Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна 9 ,2рС R=

где R = 8,31 Дж/(кг моль) – универсальная газовая постоянная. Число враща-тельных степеней свободы молекулы равно…

1) 9; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

67

Решение

Из формулы (8.11) i + 2 = 9, i = 7. Здесь i = iп + iвр + 2iк, in = 3, iвр = 2 или 3, так как 2iк – величина четная и не может быть равной 1, то iвр = 2. Правильный ответ 3.


Средняя кинетическая энергия молекулы газа при температуре T зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения ато-мов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и вра-щательное движение, средняя энергия молекул азота N2 равна…

1) 7/2 kT; 2) 3/2 kT; 3) 1/2 kT; 4) 5/2 kT. Решение

Средняя кинетическая энергия молекулы газа определяется по формуле (8.4). Двухатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы и 2 вра-щательные (8.1), итого i = 5. Правильный ответ 4.


Средняя кинетическая энергия молекулы газа при температуре T зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения ато-мов в молекуле. Средняя кинетическая энергия молекул гелия He равна …

1) 7/2 kT; 2) 3/2 kT; 3) 1/2 kT; 4) 5/2 kT. Решение

Гелий – одноатомный газ. Одноатомная молекула имеет только 3 поступа-тельные степени свободы (8.1), итого i = 3. Согласно формуле (8.4) правильный ответ 2.

68


Если не учитывать колебательные движения в молекуле водорода при тем-пературе 200 К, то кинетическая энергия (в Дж) всех молекул в 4 граммах во-дорода равна …

1) 8310; 2) 4986; 3) 3324; 4) 1662.

Решение

Согласно формуле (8.4) средняя кинетическая энергия одной молекулы во-

дорода (двухатомного) равна 5 .2kE kT= В 4 граммах водорода содержится N

молекул .A AmN N NM

= ν ⋅ = Их общая энергия к k k AE E N E N= = ν ⋅ =

5 5 .2 2A

m mN kT RTM M

= = Получили формулу для внутренней энергии идеально-

го газа (10.9). 5 4 8,31 200 8310 Дж.2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ =кE Правильный ответ 1.

Тема 9. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНТРОПИЯ. ЦИКЛЫ

Необходимо знать: – энтропия; – характер изменения энтропии в различных процессах; – цикл Карно в различных координатах (p,V), (T,S).


Циклы – круговые процессы в термодинамике, в которых начальные и ко-нечные параметры, определяющие состояние рабочего тела (давление, объём, температура, энтропия), совпадают.

КПД термодинамического цикла:

100 % 100 %,−= ⋅ = ⋅н х

н н

Q QAQ Q

η (9.1)

где Qн – количество теплоты, полученной за цикл от нагревателя; Qх – количество теплоты, отданной за цикл холодильнику; А – работа за цикл.

69

Цикл Карно – идеальный термодинамический цикл с максимальным КПД, состоящий из двух изотерм и двух адиабат.

КПД цикла Карно:

100 %,−= ⋅н х

н

Т ТТ

η (9.2)

где Тн – температура нагревателя; Тх – температура холодильника. В различных координатах цикл Карно выглядит следующим образом.

В координатах «давление-объем»:

В координатах «температура-давление»:

Второе начало термодинамики – физический принцип, который задает

направление протекания термодинамических процессов. Формулировка II начала термодинамики Клаузиуса: «Невозможен процесс,

единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более хо-лодного тела к более горячему».

Другая формулировка II начала термодинамики – Закон неубывания эн-тропии: «Энтропия изолированной системы не может уменьшаться»:

0≥ΔS . (9.3)

Энтропия – мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов, в частности, в статистической физике – мера вероятности осуществления какого-либо макроскопического состояния.

ln ,S k= ⋅ Ω (9.4)

где Ω – статистический вес состояния – число возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно осуществить данное макросостояние.

Малое приращение энтропии определяется через приведенное количество

теплоты: TQdS δ

= . (9.5)

70

Изменение энтропии в термодинамических процессах при переходе из со-стояния А в состояние В:

∫=−=ΔB

AAB T

QSSS δ. (9.6)



Процесс, изображенный на рисунке в коорди-натах (T, S), где S – энтропия, является…

1) изохорным нагреванием; 2) адиабатным сжатием; 3) изобарным расширением; 4) изотермическим расширением. Решение

S = const, значит процесс адиабатный (изоэнтропийный) (9.5), (10.7). Тем-пература увеличивается, значит объем уменьшается согласно формуле (10.6). Ответ 2.


Процесс, изображенный на рисунке в координа-тах (T, S), где S – энтропия, является…

1) изохорным охлаждением; 2) изобарным сжатием; 3) изотермическим сжатием; 4) адиабатным расширением. Решение

S = const, значит процесс адиабатный (изоэнтропийный) (9.5). Температура уменьшается, значит объем увеличивается согласно формуле (10.6). Ответ 4.


Энтропия изолированной термодинамической системы в ходе необрати-мого процесса…

1) только убывает; 2) остается постоянной;

71

3) только увеличивается; 4) остается постоянной или убывает. Решение

Согласно второму началу термодинамики (9.3) правильный ответ 3. Задание 91(9)

В ходе необратимого процесса при поступлении в неизолированную тер-модинамическую систему тепла для приращения энтропии верным будет соот-ношение …

1) TQdS δ

> ;

2) TQdS δ

= ;

3) TQdS δ

< ;

4) TQdS δ

≤ .

Решение

Согласно второму началу термодинамики (9.3) в изолированных системах энтропия не может убывать при любых происходящих в ней процессах: 0≥dS . Знак равенства относится к обратимым процессам, а знак «больше» – к необра-тимым процессам. Если в неизолированную систему поступает тепло и проис-ходит необратимый процесс, то энтропия возрастает за счет не только получен-

ного тепла, но и необратимости процесса: .QdSTδ

> Правильный ответ 1.


Энтропия изолированной термодинамической системы в ходе обратимого процесса…

1) только убывает; 2) остается постоянной; 3) только увеличивается. Решение

Согласно второму началу термодинамики (9.3) правильный ответ 2.

72


В процессе изотермического сообщения тепла постоянной массе идеально-го газа его энтропия …

1) увеличивается; 2) не изменяется; 3) уменьшается. Решение По определению изменения энтропии (9.6), если система получает теплоту,

то энтропия увеличивается. Правильный ответ 1. Задание 94(9) В процессе изохорического охлаждения постоянной массы идеального газа

его энтропия … 1) не меняется; 2) уменьшается; 3) увеличивается. Решение При изохорическом охлаждении система отдает теплоту без совершения

работы (10.8), (10.12). По определению изменения энтропии (9.6), если система отдает теплоту, то энтропия уменьшается. Правильный ответ 2.

Задание 95(9) Энтропия неизолированной термодинамической системы в процессе плав-

ления вещества в ней … 1) увеличивается; 2) убывает; 3) может как убывать, так и оставаться постоянной; 4) остается постоянной. Решение При плавлении система получает теплоту (10.14). По определению изме-

нения энтропии (9.6), если система получает теплоту, то энтропия увеличивает-ся. Правильный ответ 1.

Задание 96(9) При изотермическом сжатии идеального газа энтропия … 1) уменьшается; 2) увеличивается;

73

3) сначала увеличивается, потом уменьшается; 4) не изменяется. Решение При изотермическом сжатии система отдает теплоту (так как внутренняя

энергия не изменяется (10.12), а работа сжатия отрицательна (10.9)) согласно I началу термодинамики (10.8). По определению изменения энтропии (9.6), ес-ли система отдает теплоту, то энтропия уменьшается. Правильный ответ 1.


При адиабатическом расширении идеального газа … 1) температура понижается, энтропия не изменяется; 2) температура и энтропия не изменяются; 3) температура понижается, энтропия возрастает; 4) температура и энтропия возрастают. Решение

Адиабатический процесс – изоэнтропийный (10.7), т. е. энтропия не изме-няется. Если объем адиабатически увеличивается, то температура уменьшается согласно формуле (10.6). Правильный ответ 1.


Теплоемкость металлов при низких температурах линейно зависит от тем-пературы: .=С Тα Если энтропия при абсолютном нуле температуры равна ну-лю, то зависимость энтропии от температуры имеет вид…

1) 2ТS α= ; 2) энтропия от температуры не зависит; 3) ТS α= . Решение

Если энтропия при абсолютном нуле равна нулю (9.4), то изменение эн-тропии равно энтропии в конечном состоянии и может быть вычислено по

формуле для изменения энтропии (9.6). 0 0 0

.Δ = = = = =∫ ∫ ∫T T TCdT TdTS S dT T

T Tα α α


мнжткб

т(ут

он

2(

Зада

На рмашины внамическжите темточников)ков), котобочим тел

1) на, , ;

2) на3) на4) на Реше

Циклтропия из(9.6). Нагуменьшаетемперату

Зада

На рординатахное сжати

1) 2–2) 1–3) 3–4) 4– Реше

В ад2–3 и 4–1(10.6). Пр

ание 99(9)

рисунке пв координая темпемпературы) и холоорые осущлом в этомагревател агревателиагревателиагреватели

ение

л тепловозотермичегревателиется, систуры ,

ание 100(9

рисунке их (T, S), ие происх–3; –2; –4; –1.

ение

иабатном1. При сжравильный

)

представлнатах T, Sратура, Sы нагреводильникоществлялм цикличли – ,

и – , ;и – , ,и – , ,

ой машинески увели имеют тема отдае

, . Пра

9)

изображенгде S – э

ходит на э

м процессжатии объй ответ

лен цикл S, где T –S – энтрователей ов (теплои теплообческом пр

, холоди

; холодил, ; холо, ; холо

ны идет «личиваетстемпера

ет теплотавильный

н цикл Каэнтропия.этапе…

се энтропъем газа у 4.

74

теплово– термодиопия. Ука

(теплоисоприемнибмен с раоцессе. ильники

льники – одильникдильники

«по часовся, систематуры ,ту холодилответ

арно в ко. Адиабат

пия остаетуменьшае

й и-а-с-и-а-

–

, , ;ки – , и – , .

вой стрелма получа, . На льнику (92.

о-т-

тся постоется, а те

;

лке». На уает теплотучастка

9.6). Холо

оянной (1емператур

участках,ту от награх, где эодильники

0.7), это ра увелич

, где эн-ревателя нтропия и имеют

участки чивается

75

Задание 101(9) На рисунке изображен цикл Карно в коорди-

натах (T, S), где S – энтропия. Теплота подводится к системе на этапе...

1) 2–3; 2) 1–2; 3) 3–4; 4) 4–1. Решение Если теплота подводится к телу, то его энтропия меняется (9.5). При по-

стоянной температуре энтропия при получении теплоты будет увеличиваться (9.6), что соответствует участку 1–2. Правильный ответ 2.


На диаграмме (p, V) изображен цикл Карно для идеального газа. Сравните площади I и II заштрихованных криволинейных трапеций I и II.

1) I II ; 2) I II; 3) I = II ; 4) невозможно сравнить. Решение

Площади заштрихованных фигур численно равны работе (10.9) в адиабат-ных процессах 2–3 и 4–1. Из первого начала термодинамики (10.8) для адиабат-ного процесса Q = 0, ΔU = –A. Изменение внутренней энергии зависит от разно-сти температур (10.12), в обоих процессах разность одна и та же (Т2 – Т1) и (Т1 – Т2). Значит и работы, и площади фигур равны. Правильный от-вет 3.

Тема 10. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. РАБОТА ПРИ ИЗОПРОЦЕССАХ

Необходимо знать: – первое начало термодинамики; – изопроцессы (изотермический, изобарный, изохорный, адиабатный); – работа при изопроцессах; – внутренняя энергия.

во

о

хт

мсг

т

к

Изопвремя котобъём или

Из ур

– при

– при

– при

– при

он же адиПерв

хранения тем.

Однамодинамисистемой,гии и сове

Работии):

ЕслиРабо

координат

процессы торых одни темпера

равнения

и постоян

и постоян

и постоян

и постоян

иабатичес

вое началэнергии

а из формики: «Кол, идёт на ершение р

ота газа –

и р = constта газа мтах P – V

– термодна из физатура – ос

состояни

нном давл

p

нном объе

V

нной темп

T

нной энтр

S

ский проц

ло термои для тер

мулировокличество изменениработы пр

– это раб

t, то A =ожет быт

V.

Крат

динамичесзических стаются н

ия идеальн

лении (из

p = const, т

еме (изохо

V = const, т

пературе (

T = const,

опии (изо

S = const, т

ТV γ

цесс (Q =

одинамикирмодинам

к первоготеплоты

ие её внутротив вне

Q

бота, сов

.p V⋅Δ ть определ

76

ткая теор

ские процвеличин –неизменны

ного газа

зобарный

то coVT=

орный про

то copT=

(изотерм

то cpV =

оэнтропи

то =рV γ

1 cons− =γ

0).

и – законмических

о начала ы, получетренней эешних си

Q U= Δ +

ершенная

2

1

V

V

А pd= ∫

лена как

рия

цессы с по– параметыми.

а mpVM

=

процесс)

onst;

оцесс):

onst;

ический п

const;

ийный про

const,=

st,

н со-сис-

тер-енное энер-л»:

.A+

я газом п

.dV

площадь

остояннотров сост

RTM след

):

процесс):

оцесс):

при расши

под граф

ой массойтояния: да

дует:

ирении (и

фиком про

газа, во авление,

(10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

(10.5)

(10.6)

(10.7)

(10.8)

или сжа-

(10.9)

(10.10)оцесса в

77

Внутренняя энергия – это полная энергия тела за исключением кинетиче-ской энергии тела как целого и потенциальной энергии во внешнем силовом поле. Она включает в себя кинетическую энергию хаотического движения мо-лекул тела и потенциальную энергию взаимодействия между молекулами.

Внутренняя энергия идеального газа – это сумма кинетических энергий хаотического движения всех молекул газа:

.2 2i iU RT pV= ν = (10.11)

Изменение внутренней энергии идеального газа постоянной массы:

.2 2i i mU R T R T

MΔ = ν Δ = Δ (10.12)

Количество теплоты – это энергия, которую получает или теряет тело при теплопередаче.

Количество теплоты при нагревании/охлаждении тел:

2 1( ),Q m с T T= ⋅ ⋅ − (10.13)

где с – удельная теплоемкость. Количество теплоты при плавлении/кристаллизации тел:

,= ± ⋅Q m λ (10.14)

где λ – удельная теплота плавления. Количество тепла при парообразовании/конденсации тел:

,Q m L= ± ⋅ (10.15)

где L – удельная теплота парообразования.

Типовые тестовые задания Задание 103(10) Чтобы расплавить некоторую массу меди, требуется большее количество

теплоты, чем для плавления такой же массы цинка, так как удельная теплота плавления меди в 1,5 раза больше, чем цинка ( = 1,8 · 10 Дж/кг, = = 1,2 · 10 Дж/кг). Температура плавления меди примерно в 2 раза выше темпе-ратуры плавления цинка ( = 1356 K, = 693 K). Разрушение кристалличе-ской решетки металла при плавлении приводит к возрастанию энтропии. Если энтропия цинка увеличилась на ΔS , то изменение энтропии меди будет рав-но …

1) 3/2ΔS; 2) 4/3Δ S; 3) 2ΔS; 4) 3/4ΔS.

78

Решение

Из определения изменения энтропии (9.6) следует, что при плавлении при

постоянной температуре Q mST TΔ λ

Δ = = (9.6), (10.14). Отношение изменения

энтропии меди к изменению энтропии цинка 1,5 3 ;2 4

Cu Cu Cu Zn

Zn Cu Zn Zn

S m TS T m

Δ λ= ⋅ = =

Δ λ

3 .4Cu ZnS SΔ = Δ Правильный ответ 4.


Одинаковому объему для циклического про-цесса, приведенного на рисунке, соответствуют точки…

1) 2 и 4; 2) 1 и 3; 3) 1 и 2; 4) 2 и 3. Решение

Точки, соответствующие одинаковому объему, должны лежать на одной изохоре (10.3). Правильный ответ 1.


На (p, V) диаграмме изображен циклический процесс. На участках BC и CD температура…

1) повышается; 2) понижается, 3) на BC – повышается, на CD – понижается; 4) на BC – понижается, на CD – повышается.

Решение

ВС – изохорный процесс, температура уменьшается пропорционально дав-лению (10.3); СD – изобарный процесс, температура уменьшается пропорцио-нально объему (10.2). Правильный ответ 2.

79


На (p, V) диаграмме изображен циклический процесс. На участкеAB и BC температура…

1) повышается; 2) на AB – понижается, на ВС – повышается; 3) на АВ – повышается, на ВС – понижается; 4) понижается. Решение

АВ – изобарный процесс, температура увеличивается пропорционально объему (10.2); ВС – изохорный процесс, температура уменьшается пропорцио-нально давлению (10.3). Правильный ответ 3.


На (p, V) диаграмме изображен цикличе-ский процесс. На участках DA и АВ температу-ра …

1) повышается; 2) на DA – повышается, на АВ – понижает-

ся; 3) на DA – понижается, на АВ – повышает-

ся; 4) понижается. Решение

DA – изохорный процесс, температура повышается пропорционально дав-лению (10.3); АВ – изобарный процесс, температура повышается пропорцио-нально объему (10.2). Правильный ответ 1.


Диаграмма циклического процесса иде-ального одноатомного газа представлена на ри-сунке. Отношение работы за весь цикл к работе при охлаждении газа равно…

1) 3; 2) 1,5; 3) 5; 4) 2,5.

80

Решение

Работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в р–V координатах. В данном случае это прямоугольник площа-дью 300 · 0,4 = 120 кДж. Работа в процессе численно равна площади фигуры под графиком процесса, изображенного в р–V координатах (10.10). В данном случае охлаждению газа соответствует процессы 1–2 и 2–3 (10.3), (10.2), работа в процессе 1–2 равна 0, работа в процессе 2–3 равна площади прямоугольника под отрезком 2–3, это 200 · 0,4 = 80 кДж. Отношение работ 120/80 = 1,5. Пра-вильный ответ 2.


Диаграмма циклического процесса идеального одноатомного газа пред-ставлена на рисунке. Работа цикличе-ского процесса равна …

1) 90 кДж; 2) 20 кДж; 3) 30 кДж; 4) 15 кДж. Решение

Работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в р–V координатах. В данном случае это трапеция площадью 300 · (0,2 + 0,4)/2 = 90 кДж (высота, умноженная на полусумму оснований). Правильный ответ 1.


Идеальный газ переводится из первого состояния во второе двумя способами (1а2 и 1b2), как показано на рисунке. Теплота, полученная газом, изменение внутренней энергии и работа газа при переходе его из одного состояния в другое связаны соотно-шением…

81

1) ; ∆ = ∆ ; ; 2) ; ∆ ∆ ; ; 3) ; ∆ = ∆ ; ; 4) ; ∆ = ∆ ; . Решение

Изменение внутренней энергии одинаково в обоих процессах, так как на-чальные и конечные температуры газа совпадают (10.12). Работа газа больше в процессе 1а2, так как больше площадь под кривой этого процесса (10.9). Со-гласно первому началу термодинамики (10.8) теплота, полученная газом, также больше в процессе 1а2. Правильный ответ 1.


Количество теплоты, получаемое рабочим телом от нагревателя, – Q1. Если количество теплоты, отдаваемое рабочим телом холодильнику, – Q2, увеличи-вается в два раза, то коэффициент полезного действия тепловой машины…

1) увеличится на 2

12QQ

;

2) уменьшится на 2

1

QQ

;

3) уменьшится на 2

12QQ

;

4) увеличится на 2

1

QQ

.

Решение

Из определения КПД (9.1), выраженного в долях, 21

11 ,= −

QQ

η 22

1

21 .= −QQ

η

Разность КПД в первом и втором случае 2 2 21 2

1 1 1

2 .− = − =Q Q QQ Q Q

η η Правильный

ответ 2.

82


На (p, V) диаграмме изо-бражены два циклических про-цесса. Отношение работ I/ II, совершенных в циклах I и II, равно…

1) –2; 2) 1/2; 3) 2; 4) –1/2. Решение

Работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в р–V координатах. В данном случае это прямоугольники. Площадь пер-вого прямоугольника в 2 раза меньше, чем второго. С учетом направления про-цессов правильный ответ 2.

83

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физи-ка / И.В. Савельев. – М. : Наука, 1987. – 432 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимо-ва. – 7-е изд., стер. – М. : Высш. школа, 2003. – 542 с.

3. Детлаф Ф.Ф. Курс физики: учеб. пособие для втузов / Ф.Ф. Детлаф, Б.М. Яворский. – М. : Наука, 1989. – 608 с.

4. Данилов С.В. Классическая и релятивистская механика: конспект лек-ций / С. В. Данилов. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. – 60 с.

5. Суриков В.И. Молекулярная физика и термодинамика: конспект лек-ций / Вал. И. Суриков. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. – 64 с.

84

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................... 3

Дидактическая единица 1. МЕХАНИКА

Тема 1. Кинематика поступательного и вращательного движения ........................ 4

Тема 2. Динамика поступательного движения ....................................................... 15

Тема 3. Динамика вращательного движения .......................................................... 22

Тема 4. Работа и энергия ........................................................................................... 31

Тема 5. Законы сохранения в механике ................................................................... 38

Тема 6. Специальная теория относительности (СТО) ........................................... 44

Дидактическая единица 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ (СТАТИСТИЧЕСКАЯ) ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Тема 7. Распределения Максвелла и Больцмана .................................................... 51

Тема 8. Средняя энергия молекул ............................................................................ 63

Тема 9. Второе начало термодинамики. Энтропия. Циклы ................................... 68

Тема 10. Первое начало термодинамики. Работа при изопроцессах .................... 75

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................... 83

author anna created date 9/12/2012 12:28:56 pm

Documents