1

大学物理 B（ 2 ） 热 学 （第二册） 波动与光学（第四册）

量子物理 （第五册）

2

热 学

3

前 言 一 . 热学的研究对象及内容

▲ 对象：宏观物体（大量分子原子系统）或物体系 — 热力学系统 。

▲ 内容：与热现象有关的性质和规律。

关。微观上说是与热运动有有关；宏观上说是与温度

热现象 T

外界系统外界

例如汽缸：

4

二 . 热学的研究方法▲ 热力学（ thermodynamics ）

宏观基本实验规律 热现象规律逻辑推理

特点：普遍性、可靠性。

▲ 统计力学（ statistical mechanics ）

对微观结构提出模型、假设

统计方法 热现象规律

特点：可揭示本质，但受模型局限。

5

三 . 几个概念1. 平衡态（ equilibrium state ）：

不随时间变化的状态（动平衡）。

系统的宏观性质在不受外界影响的条件下

形式的物质与能量交换），（与外界无任何

要注意区分平衡态与稳定态。

平衡态

T1T1

热库

（恒

温）

系统

稳定态

T2

热库

热库T1

（恒

温）

（恒

温）

系统

6

宏观量

描写单个微观粒子运动状态的物理量

只能间接测量）。

3. 微观量（ microscopic quantity ）：

（一般

如分子的 …，， dm v

2. 宏观量（ macroscopic quantity ）：

表征系统宏观性质的物理量（可直接测量）。

广延量（有累加性）：如 M 、 V 、 E

强度量（无累加性）：如 p 、 T

7

5. 物态方程（ equation of state ）：

态参量之间的函数关系： 0),,( TVpf

4. 物态参量（态参量）（ state parameter ）：描写平衡态的宏观物理量。

如：气体的 p 、 V 、 T

一组态参量 一个平衡态描述

对应

理想气体物态方程： RTM

mpV

8

第一章 温度 （ Temperature ）

两系统热接触下，相当长时间

后达到的共同平衡态。

一 . 热平衡态：

A B绝热壁

导热板

绝热壁

本章自学，要着重搞清以下概念和规律：

9

二 . 温度

需要在热学中加以定义。态参量 p 、 V 、 T 中， T 是热学特有的物理量，

实验表明：

则 A与 B 必然热平衡

“ 分别与第三个系统处于同一热平衡态的两

— 热平衡定律（热力学第零定律）个系统必然也处于热平衡。”

若 A与 C 热平衡B 也与 C 热平衡

10

温度： 处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质。平衡态的系统有相同的温度。统内部的热运动（对质心的运动）状态。

三 . 温标 （ temperature scales ）

在 > 0.5K 的范围适用（低压 3He 气）。

1. 理想气体温标：温标： 温度的数值标度。

一切处于同一热温度取决于系

用理想气体做测温物质的温标， 单位： K （ Kelvin ）。理想气体温标

11

T3 为水的三相点 (triple point) ，规定 T3 = 273.16K

一定质量的理想气体有规律： 333 Vp

pV

T

T

33

16.273Vp

pVT

2. 热力学温标 T ：性的温标，

不依赖测温物质及其测温属

于是有

想气体温标一致， 单位： K 。

在理想气体温标有效范围内与理

12

*4. 华氏温标 tF ：

3. 摄氏温标 t ：t = （ T - 273.15 ）C

t3 = 0.01 C

F)5

932( ttF

C8.37F100 ttF

F212

F32

F

F

t

t

水的沸点水的冰点

与热力学温标的关系：

水的三相点的摄氏温度为

演示 热记忆合金趣味实验（ KR011 ）

13

四 . 理想气体的物态方程的另一种形式

RTM

mpV nkTp

KJ1038.1 23

A

N

Rk

— 玻尔兹曼常量 （ Boltzmann Constant ）

（ m 气体质量， M 气体摩尔质量，

NA 阿伏伽德罗常量， n 气体分子数密度）

14

气体动理论第二章

（ Kinetic Theory of Gases ）

15

§2.1 理想气体的压强

§2.3 能量均分定理§2.4 麦克斯韦速率分布律

△§2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证§2.6 玻耳兹曼分布

△§2.7 真实气体等温线§2.8 范德瓦耳斯方程§2.9 气体分子的平均自由程§2.10 输运过程

§2.2 温度的统计意义

本章目录

16

一 . 气体动理论的基本观点1. 宏观物体由大量分子、原子构成，

有一定的间隙；

2. 分子永不停息地作无规则运动 — 热运动3. 分子间有一定相互作用力。

分子间

§2.1 理想气体的压强 （ pressure of ideal gases ）

TV 布朗运动（注 4 ）

17

二 . 理想气体的微观假设

1. 关于每个分子的力学性质

（ 1 ）大小 — 分子线度 << 分子间平均距离；

（ 2 ）分子力 — 除碰撞的瞬间，在分子之间、

分子与器壁之间无作用力；

（ 3 ）碰撞性质 — 弹性碰撞；

（ 4 ）服从规律 — 牛顿力学。

18

2. 关于大量分子的统计假设（对平衡态）

（ 2 ）由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，

（ 1 ）无外场时，分子在各处出现的概率相同，.const

d

d

V

N

V

Nn

速度取向各方向等概率，； vvv 0 zyx

2222

3

1vvvv zyx

即：

注意：统计规律有涨落 （ fluctuation ），统计对象的数量越大，涨落越小。

演示 伽尔顿板（统计规律及涨落）（ KR005 ）

19

三 . 理想气体压强公式的推导前提：平衡态，忽略重力，分子看成质点

（只考虑分子的平动）；设：同种气体，分子质量为 m ，

N — 总分子数，V — 体积，

V

Nn — 分子数密度（足够大），

V

Nn i

i 的分子数密度，速度为— iv

i

ii

i nnNN ，

20

取器壁上小面元 dA （ >> 分子截面面积）

iv

小柱体

dA

vixdt x

器壁

= 2 ni mvix2 dt dA

dIi = (2mvix)(nivixdtdA)

iv

dt 内所有 分子对 dA冲量：第 2步：一个分子对 dA冲量：

2mvix第 1步：

第 3步：dt 内所有分子对 dA冲量：

i

ixi Atmn dd2v

推导：

)0(

d2

1dd

vix iii III

可取任意值）和（ iziy vv

21

有 t3

2 np

由分子平均平动动能 2t 2

1vm 2

3

1v nmp 和

— 气体压强公式

第 4步： 2

dd

d

d

dix

iimn

At

I

A

Fp v

iix

i mV

N 2v

22

xixi nm

N

Nm

V

Nv

v

2

3

1vnm

演示 气体压强的模拟（ KR001 ）

22

§2.2 温度的统计意义

，kT2

3t

T 是大量分子热运动平均平动动能的量度。

单值对应。和即 tT

由此给出温度的统计意义：

kT2

3t

2t 2

1vm

m

kT32 vM

RT3 ，T

2v 称为方均根速率 (root-mean-square speed)

t3

2 np 由

nkTp 和

23

J1065.52

3 21t

kT

eV1053.3 2

（记住数量级！）： m/s1061.4O 22

2 v

m/s1084.1H 322 v ：

（记住数量级！）

T = 273K 时，

24

§2.3 能量均分定理一 . 气体分子自由度（ degree of freedom ）

如： He ， Ne… 可看作质点，只有平动。 t — 平动自由度（ degree of freedom of translation ）

i = t =3

自由度：决定物体空间位置的独立坐标数，用 i 表示。

1. 单原子分子（ monatomic molecule ）

25

质心 C 平动：（ x ， y ，z ）

2. 双原子分子 （ biatomic molecule ）如： O2 ， H2 ， CO …

r = 2

v = 1

∴ 总自由度： i = t + r + v = 6

C (x, y, z)

0

z

x

y

l

轴

轴取向：r — 转动 (rotation) 自由度，

距离 l 变化：v — 振动（ vibration ）自由度，

（，）t =3 — 平动自由度，

26

3. 多原子分子 （ multi-atomic molecule ） 如： H2O ， NH3 ，…

N ：分子中的原子数

i = t + r + v = 3N

r = 3 （ ， ，）

t =3 （质心坐标 x ， y ， z ）

0

z

x

y

轴

C (x, y, z)

v = 3N - 6

二 . 能量均分定理（ equipartition theorem ）

27

一个平动自由度对应的平均动能为 kT2

1

kTmmm zyx 2

1

2

1

2

1

2

1 222 vvv即：

—— 能量均分定理

由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配没有任何自由度占优势。即：

在温度为 T 的平衡态下，分子热运动的每一个自由度所对应的平均动能都等于 kT

2

1

2

3 t kT 3 t由 及 有：

28

能量均分定理的更普遍的说法是：

的平均能量。能量中每具有一个平方项，就对应一个 kT

2

1

能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和固体，甚至适用于任何具有统计规律的系统。

对有振动（非刚性）的分子： i = t + r + v

振动势能也是平方项， v kT2

1kP

kTv kPv

29

kTrt2

1)2(vrt v

根据量子理论，能量是分立的，的能级间距不同。

振动能级间隔大转动能级间隔小平动能级连续eV)1010(~ 53 eV)1010(~ 12

一般情况下（ T <10 3 K ），对能量交换不起作用分子可视为刚性。

且 t ， r ， v

— 振动自由度 v “冻结”，振动能级极少跃迁，

分子平均能量

30

对刚性分子（ rigid molecule ）： rti ， v 0

kTi

2

（多）

（双）

（单）

kT

kT

kT

2

62

52

3

当温度 极低时，转动自由度 r 也被“冻结”，任何分子都可视为只有平动自由度。

31

三 . 理想气体内能（ internal energy of ideal gases ）内能：

分子自身： kTrt2

1)2(pk v

分子之间：

jij

iNE ppk ）（内能：

( i > j )

由 T 决定 由 V 决定对理想气体： ， 0p ij ； )(TEE

（不包括系统整体质心运动的能量）

),( VTE

相互作用势能 pij

系统内部各种形式能量的总和。

32

刚性分子理想气体内能：

：气体系统的摩尔（ mol ）数

NkTi

E 2

AA

NTN

Ri

2

RTi

2

33

§2.4 麦克斯韦速率分布律

一 . 速率分布函数要深入研究气体的性质，

一步弄清分子按速率和按能量等的分布情况。

等；，如 v 2t

不能光是研究一些平均值，还应该进

整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。麦克斯韦

（ Maxwells law of distribution of speeds ）

34

vi

Ni

0

一种是像前面那样用分立数据描写： v1 ， v2 … vi …

N1 ， N2 … Ni …

描写分子的速率分布可以有两种方式：

这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计的规律性。

35

另一种是用连续的分布函数来描述：设： dNv 为速率 v v +dv 区间内的分子数，

N 为总分子数，则： ， vv dd NN

即 vv dd

N

N

由于 dNv / N 是速率 v 附近 dv 区间的分子数与

写成： ， vvv d)(d

fN

N

总分子数之比，所以它应与 v 的大小有关，可以

即v

v v

d

d)(

N

Nf

（ function of distribution of speeds ）称速率分布函数)(vf

36

占总分子数的比例。”

率 v 附近单位速率区间的概率。

v

v v

d

d)(

N

Nf 由定义式 可看出 f (v) 的意义是：

因为

0

1d

v

v

N

N

所以

0

1d)( vvf这称为速率分布函数的归一化条件。

， v

v

0

d NN 即

对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速

“ 在速率 v 附近，单位速率区间内的分子数

37

二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（ Maxwell ）导出了理气在

无外场的平衡态（ T ）下，分子速率分布函数为：

22/2/3 2

)π2

(4)( vv v kTmekT

mf

f(v)

0 vv +dv

N

Nf vvv

dd)(

T ， m 一定

v

m — 气体分子的质量

曲线下面的总面积等于 1 。在左图上的几何意义为：

0

1dvvf归一化条件

38

麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。

碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率

的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小

和 v 很大的概率都必然很小。

39

三 . 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（ most probable speed ） 相应于速率分布函数 f(v) 的极大值的速率 v p 称为最概然速率。

f(v)

0 vp

T ， m 一定

v

TM

RT

m

kT

22pv

处在最概然速率 v p 附近就单位速率区间来比较，

的分子数占总分子数的百分比最大。

如图示，

， 0d

)(d

Pvvv

vf由 有：

40

12/1

π

8)(

e

kT

mf pv

当分子质量 m 一定时，

)( p

p

fT

v

v

速率大的分子数比例越大，

f(v)

0 vp1

m 一定

vvp2

T1

T2 >T1

思考 T 一 定， m2 > m 1 ，速率分布曲线如何？

m

kT2pv

气体分子的热运动越激烈。

左图表明： 温度 越高，

41

麦克斯韦速率分布函数的另一种表示：令 简化（约化）速率，—

pvv

u 则有：

vvv d)(d

fN

N

pvv

uuuN

Nu ，）（很小时：

uu d)(

uue u d4 22

42

，时， v m/s395300 p KT

取 ，，则， 2m/s10m/s790p

vv

vv u

395

10

p

vv

u

422 1058.2395

102

π

4 2 e

即：速率为 790 — 800m/s 的分子数占总分子数的比例为万分之 2.58 。

uueN

N u 22

π

4

例

43

i

ii

N

N vv分立：

连续：vi v ，

对麦氏速率分布经计算得：M

RT

m

kT

π

8

π

8v

N

N

N

N

0

0

d

d

v

vvv

N

NN vvd

0

0

d)( vvv f

Ni dNv=N f (v)dv，

2. 平均速率（ average speed ）

平均速率

任意函数 (v) 对全体分子按速率分布的平均值：

0

d)()( vvvv f

44

例设某气体的速率分布函数)0( 0

2 vv v ，a)(vf

)(0 0vv ，

求：

（ 3 ）速率在2

0 0v 之间分子的平均速率v

解：

（ 1 ）常量 a 和 v0 的关系v（ 2 ）平均速率

1d)(0

vvf

300 0

2

3

1dd)( 0 vvvvv v

aaf

（ 1 ）归一化条件30

3

va

)(vf

vv00

为

45

（ 2 ）设总分子数为 N ，

（ 3）

2

0

2

0 0

0

d)(d)( v

v

vvvvvv

v fN

Nf

则

对否？

——不对！上式分母上的 N 应为2

00 d)(

v vvNf

2

0

2

0

0

0

d)(

d)(v

v

vv

vvvv

f

f3

23

424

)(

)(0

0

v

v

a

a

vv 08

3

N

Nf

0d)( vvv

v 0

d)( vvv f

404

va

0

02 d

v vvv a 0403

0 4

3)

3(

4

1vv

v

46

（与前同）

—— 讨论分子平均平动动能时用—— 讨论分子碰撞问题时用—— 讨论分子的速率分布时用pv

v2v

3. 方均根速率（ root-mean-square speed ）

M

RT

m

kT 332 v

m

kTf

3d)(

0

22

vvvv（麦）

73.1:60.1:41.13:π

8:2:: 2

p v v v

47

四 . 麦克斯韦速度分布律 （ Maxwells law of distribution of velocitie

s ） 分布于速度v附近小体积元

zyxN

NF

vvvv v

ddd

d)(

设在速度空间中，zyx vvv ddd 内的分子数为 ， v

Nd

则速度分布函数定义为：

速度空间体积内的分子数占总分子数的比例。v

—— 速度 附近，单位vx

vy

zyx vvv ddd

v

0

速度空间vz

48

1859年麦克斯韦首先导出了理想气体的速度

分布律为： kT

m zyx

ekT

mF 2

)(

2

3222

)π2

()(vvv

v

——麦克斯韦速度分布律（推导见书 P53 注）

的分布函数，)()()( zyx ggg vvv ，， zyx v v v ，，令 分别为

)()()()( zyx gggF vvvv

则

kTmx

xekT

mg 221 2

)π2

()( vv g(vx)

vx0

于是有

)()()( xzy ggg v vv 与、 形式相同。

49

五 . 分子碰壁数 — 单位时间、单位面积上碰壁的分子数

v

小柱体

dA

vxdt x

器壁n

小柱体内速度在 v

v3d附近

速度空间体元内的分子数为vvvv 3d)()dd(d FAtnN x

的分子总数为：内碰 At dd

xxxzyzy gAtnggN vvvvvvv d)(dddd)()(d0

xxx gtAn vvv d)(dd 0

， vvvv zyx dddd3

令 则

50

又平均速率

xxxgnAt

NΓ vvv d)(

dd

d0

m

kTn

π2

m

kT

π

8v

v nΓ4

1

xxkT

m x

ekT

mn vv

v

d)π2

( 22

1

0

2

51

已知：

p0

V

A

p 外T

N

小孔面积 A 。求： tpp 的时间压强由 00 2

1

解：则设 t 时刻容器内分子数为 N ，

tAΓN dd

tAV

Nd

4 v

tAVN

Nd

4

d

v

tAVp

pkT

V

Np d

4

vd ，有：由

[ 例 ] 如图示， p0>>p 外，T = const. ，体积 V ，

52

tAVp

p tp

pd

4

d

0

2/0

0

v积分：

2ln4

A

Vt

v得

例如对氧 气，

设 V=103cm3 ，

t = 62.3 s

则计算得：

，m/s445vT = 300K 时，

A = 0.1mm2 ，

53

* 扩散法分离同位素

多孔膜

真空

同位素混合气

n1 1v

n2 2v

同位素丰度：

21

22

21

11 nn

nN

nn

nN

，

2121 vv ，则若 mm

1 > 2

分离系数 前

后

前

后）（）（

（ 21

21

21

21

/

/

)

)(

nn

nn

NN

NN

前)/(

/

21

21

nn

ΓΓ

前

前)/(

)/()/(

21

2121

nn

nn vv

1

2

2

1

m

m

vv

54

的 U 化合物。

天然铀 235U 的丰度为 0.71% ，反应堆中要求235U 的丰度为 3% 。因为金属 U 要在 2500K 以上才能成为铀蒸汽，

所以采用 UF6 ，它是唯一在室温下具有 高蒸汽压

00429.1)619235

619238( 2/1

为把 235U丰度由 0.71% 提高到 3% ，需多级分离。

把 238UF6 （质量 m2 ）和 235UF6 （质量 m1 ）分离：

55

生产核武器时 235U浓度需高达 90% ，此时，，310131.1 这需要占用大量的厂房，消耗

大量的电力。

设级联数为， 则：

%71.0

%3

21037.300429.1lg

22535.4lg

22535.4lg71.0

3lglg

56

△§2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证

（自学书 P57 — P60 ）在自学中要搞清以下几点：

1. 实验的原理

2. 实验装置的结构

3. 实测曲线和麦克斯韦速率分布的关系

思考一下，通过学习该实验能得到什么启发。

57

§2.6 玻耳兹曼分布 （ Boltzmanns distribution ）

一 . 有外场时分子浓度的分布以重力场为例，设 T = const.

平衡时有一定分布分子在底部重力

均匀浓度热运动

n

0

z+dzz

z

p

p+dp

T

n

n0

S

薄层气体：底面积 S ，厚 dz ，分子质量为 m ，平衡时：

pSzmgnSSpp d)d(

zmgnp dd

58

将 p = nkT 代入上式， zkT

mg

n

nd

d

nn

z zkT

mg

n

n0 0 d

d 积分：

zkT

mg

n

n

0

ln

kTmgzenn /0

kTmgzepp /0

——等温压强 公式

得：

59

体元内分子数：zyxr dddd3

renN kTr

3/

0 dd P

为重力势能mgzp

为势能零点）（ 0z

，任意外场时 )(pp r

renNkTr

r

3/)(0 dd p

——玻耳兹曼分布律其中 n0 为 p = 0 处的分子数密度（浓度）。

z

x y

r

0

r3d

有：

60

已知分子质量为 m 。

设 r =0 处分子数密度为 n0 ，

例一装有气体的容器以角速度 绕竖直轴在水平面内均匀旋转。求：气体分子数密度沿径向分布的规律。

r0

解：以容器为参考系，力 m 2r 作用。分子的离心势能为：

kTrmkT enenrn P 2/0

/0

22

)(

则气体分子受惯性离心

220 2P 2

1d)( rmrrmr

r （设 P （ 0 ） =0 ）

分子数密度则由玻耳兹曼分布，

61

二 . 麦克斯韦— 玻耳兹曼分布（麦—玻分布）在有外场的情况下，进一步考虑速度分布：设 dN 为位置在

r附近 r

3d 体积元内，速度在v

v3d附近 速度空间体积元内的分子数， 则：

vv 3d)(dd FNN r

vv 322

33

0 d)2

(d

2p

kT

m

kT ekT

mren

v 33/)(2/3

0 dd)2

(d kp re

kT

mnN

kT

—— 麦克斯韦—玻耳兹曼分布律

62

为分子总能量，令 kp 则：kTeN /

)(d

— 玻耳兹曼分布律

玻耳兹曼因子

例

对 H 原子：

eV4.34

112 EE

（基态能量） eV6.131 E

， 12

1E

nEn （ n = 1,2,3, ）

按量子理论，原子能级是分立的。

63

E2 、 N2

E1 、 N1 基态

室温下 T = 300K ，则：

kTEEeN

N /)(

1

2 12 2118 1014.4/1063.1 e

170394 10 e

即在室温的平衡态下，

处于激发态的极少。

原子处于基态的最多，

64

△§2.7 真实气体等温线 （ isotherm of real gales ）

临界点临界等温线

饱和蒸汽压临界温度

自学中要求搞清：图中的四种状态

临界态

TV 临界态（注 3 ）Vm

(10-3 L/mol)

p(atm)

气

汽

液

汽液共存

65

§2.8 范德瓦耳斯方程

了真实气体的物态方程

（ Van der Waals equation ）理想气体：真实气体： 不满足理气物态方程。 p较大，

p较小，满足理气物态方程；T 较高，T 较低，

找真实气体物态方程的途径：▲ 从实验中总结出经验的或半经验的公式▲ 修改理气模型，在理论上导出物态方程1873年，范德瓦尔斯用简洁的物理模型导出

— 范德瓦耳斯方程。

66

sr0

r

合力

斥力

引力d

f

0 10 -9m

分子力曲线一 . 气体分子间的作用力分子间的作用力十分复杂。

上是电磁力。不过总的来说，

r 大无作用

r 小吸引

r 更小排斥

分子力基本

r0 — 平衡距离（ d ） s — 有效作用距离（ 102d ）

d — 分子有效直径（ 10-10m ）

r

67

对理想气体模型需要做两方面的修正：二 . 范氏气体模型

简化sr0

r

合力

斥力

引力d

f

0 10 -9m

分子力曲线d

sr

f

0

范氏气体模型

▲考虑气体分子本身的体积▲考虑分子之间的相互作用力

68

范氏气体模型：（ 1 ）分子是直径为 d 的刚球；（ 2 ）在 d s 的范围内，

三 . 范德瓦耳斯方程 设气体为 1 mol

对理想气体： pVm = RT

p — 实测压强 Vm — 1 mol 气体分子自由活动空间的体积 （容器容积）

有引力的分子刚球模型

分子间有恒定 引力。

69

对真实气体：

1. 分子体积引起的修正设分子自由活动空间的体积 = Vm – b ，

则：

b 是与分子体积有关的修正量。

RTbVp )( m

bV

RTp

m

2. 分子间引力引起的修正

70

合f

s

2s

0合f

器壁

inm

pbV

RTp

令

使分子碰壁冲量合f

bV

RTp

m

RTbVpp )( min）（则

进入表面层范围 s 内每个分子都减小了对器壁的冲力：

pin n 表

（ 2 ）撞向器壁的分子数密度越高，压强的减小越大，

pin 称内压强

（ 1 ）表面层内分子浓度越高，压强的减小量越大，

pin n 撞

故

故

71

常量 a ， b 可由实验定出，对 mol 气体： ，mVV

RTbVV

ap ))((

22 — 范德瓦

耳斯方程

于是有：不同气体 a ， b 不同。

，2

m

2in

1

Vnp

a 为反映分子间引力作用的修正项，

2m

inV

ap 令

RTbVV

ap ))(( m2

m

则 （ 1mol ）

而 n 表 = n 撞 = n ，

方程中的 p 为实测压强，V 为容器的容积。

72

常温常压下： ，3m

10~

V

b ，2in 10~

p

p

当 p ~ 数百 atm 时， b ~ Vm ， pin ~ p 。

)(m

m V

bV

)(

)(in2inm p

p

V

apV

m

所以分子体积和分子间作用力的修正可忽略。但是随着压强 p 的增加：

此时分子体积和分子间作用力的修正就不可忽略了。

73

书 P70 表 2.3 给出了 1 摩尔氮气在 T = 273K 时的数据：

此表说明范氏气体方程更符合实际。

Vm

实 验 值 计 算 值p

(atm)Vm

（ l）pVm

( latm )l )( atm

))(( 2

. b

ap Vm

1 22.41 22.41 22.41100 0.2224 22.24 22.40500 0.06235 31.17 22.67700 0.05325 37.27 22.65900 0.04825 43.40 22.4

1000 0.0464 46.4 22.0

.

74

对 O2 ，

这表明：

Vm更小时分子体积修正为主， p 范 > p 理。 Vm小时分子引力影响为主， p 范 < p 理；

常温常压下， a ， b 影响很小；

在 T = 300K 时，b =32×10-6m3/mola = 1.36×10-6 atm m6/mol2 ，

计算得到：

Vm （ l/mol ） 20 0.2 0.05

1.23 142 492

1.23 113 824

）（理 atmmV

RTp

）（范 2mm V

a

bV

RTp

（ atm ）

75

范德瓦耳斯(1837-1923) 荷兰人

范德瓦耳斯由于在研

究气态和液态方程方

面的贡献， 获 1910

年诺贝尔物理学奖。

76

四 . 范氏气体内能理想气体： )(

2TERT

iE （刚性分子）

范氏气体： pin作功分子间引力势能 Ep ，pin作元功 lSpA dd in

pinVm S

dl

1mol

min dVp

1mol 范氏气体： （刚性）

Ek Ep

),(2 m

m

VTEV

aRT

iE

)/2

(mol

V

aRT

iE ：

V

aRT

i 2

2 ),( VTE

）（设 0)(p E m

minmp d)(V

VpVE

mm2

m

dm V

aV

V

aV

77

Vm

pK

TK

五 . 范氏气体等温线

AB段：汽态

BE段：过饱和蒸汽

EF段：实际不存在

DC段：液态

CF段：过热液体（云室）

（气泡室）

不稳定态

BC段：饱和蒸汽与液体的共存态

78

1 mol 范氏气体： RTbVV

ap ))(( m2

m

展开： 0)( m2

m3

m p

abV

p

aV

p

RTbV

在 T 一定时，一个 p 值一般有三个 Vm 的解。临界点 （ critical point ） Vm = VmK 为三重根：

0330)( 3mKm

2mK

2mmK

3m

3mKm VVVVVVVV

(A)

(B)

比较 (A)(B) 式，， bV 3mK ，

22mK

K273 b

a

V

ap

Rb

a

R

VpT

27

8

3

8 mKKK

注意此时 T = TK ， p = pK ，有：

* 测出临界参量，就可定出常量 a 和 b ：

79

§2.9 气体分子的平均自由程碰撞在分子运动中是个最活跃的因素，

它在气体动理论中占有重要地位：非平衡 平衡

碰撞一 . 平均碰撞频率与平均自由程的定义

平均次数。

平均碰撞频率 (mean collision frequency) ：z单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的

— 自由程

80

平均自由程（ mean free path ）

：

z

v相邻两次碰撞间飞行的平均路程 —

二 . 平均碰撞频率与平均速率的关系 理想气体，在平衡态下，并假定： （ 1 ）只有一种分子； （ 2 ）分子可视作直径为 d 的刚球；

u（ 3 ）被考虑的分子以平均相对速率 运动，其余的分子静止。

气体分子在

81

— 碰撞截面 （ collision cross-section ）u 单位时间内扫过的体积

undnuz 2π

u

vv 碰撞夹角 有各种可能（ 0 — 180 ）

中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞

2dd

u

2π d

n

90 v2 u

vn d z2

π2

82

三 . 平均自由程与压强、温度的关系

ndz 22

1

v

p

T

pd

kT22

nkTp

1 ～ 7×10-8

10-7 ～ 0.7 （灯泡内）10-11 ～ 7×103 （几百公里高空）

T = 273K ：p(atm) (m)

83

求： ?? z

m/s425π

8

M

RTv

325 /m1069.2 kT

pn

秒！）亿次（ /66~

s1058.6π2 192

v ndz

m1046.6 8z

v

记住数量级

解：

T = 273K 、 p = 1atm

[ 例 ] O2 ， d 3.6×10-10m ，已知：

84

为何多原子分子在碰撞中能看成球形？

说明： kTJ2

1

2

1 2 J

kT 2

在 T = 300K 时：

z 分子在碰撞中可视为球形

H2

O2

CO2

N2

0.0407

1.94

1.39

1.45

3.19 1013

4.62 1012

5.45 1012

5.34 1012

气体 J(10-46 kg m2) )(s 1

85

§2.10 输运过程（ transport process ）非平衡态下气体各部分性质不均匀。热运动 +碰撞 、 p 、 m 的迁移

（称内迁移或输运过程）

的迁移。不均匀扩散：密度定向动量的迁移；

不均速度内摩擦（粘滞）：定向

的迁移；不均匀热传导：温度

输运过程

热

m

u

T

下面以热传导为例，说明处理输运过程的方法。

86

一 . 热传导（ thermal conduct ） 1. 产生原因：

x x+dx

T T+dTx 0

d

d

x

T温度梯度

2. 被迁移的物理量：热运动平均能量 3. 宏观规律：实验表明：

xx0

dS

dQ0

d

d

xx

T

tS

x

TQ

x

ddd

dd

0

—付里叶（ Fourier ）定律

“—” 表示传热沿 T 下降的方向进行。（也称热传导方程）

87

付里叶定律中的 称导热系数

由物质性质及 T 、 p 决定

一般气体： ～ 10-3 — 10-2 W/ Km

实验表明： = const.

p0 pc

T 一定

p

（ thermal conductivity ）

88

4. 微观解释： 为保证纯热传导，不许有扩散，则 dS 两侧交换分子数 要相等：dS

x0

x

dN1

dN2

x1 x2

1 2NNN ddd 21

NQ d)(d 21

下面分别求 dN 和 ）（ 21 ▲ 求 dN 设：

（在交换分子数上忽略 T 的差异）运动分子皆以v①

②沿 +x 运动的分子占 1/6dSn n

tdv tdv tSnN dd6

1d v tS

mdd

6

1v

89

再设：▲求 ）（ 21 ③分子穿过 dS 之前最后一次碰撞在距 dS为

处

④分子一次碰撞就得到x

dS

x0T1

T2

1 2

）（ 1221 2

d

d

0

xx

2d

d

d

d

0

xx

T

T

碰撞点处的平均能量

则 NE

， 2d

d

d

d1

0

21

xx

T

T

E

N

令 E 为 N 个气体分子的内能，

VV C

T

Q

T

E

d

d

d

d而定体热容

90

tSmx

TC

NQ

xV dd

6

12

d

d1d

0

v

，tSx

T

Nm

C

x

V ddd

d

3

1

0

v

上式与 tSx

TQ

x

ddd

dd

0

相比较，

TcV v3

1 —— 与 p 无关

，tSx

TcQ

xV dd

d

d

3

1d

0

v

.constV c（ ，T

pn ），

p

TT v

有：

则有

令Nm

Cc V

V

定体比热

91

.const)( 容器线度时，但 lppp c

一定时）（TpT

p

例已知保温瓶胆夹层厚 l = 5mm ，

解：当 时， l 一定时）（TpT

p

空气分子 d 3.510 -10m ，取 T = 350K ，

令l

pd

kT

2π2

ld

kTpc 2π2

问要抽空到多大压强以下，才能有效地保温？

这很好地解释了 T 一定时 ~ p 的实验关系。

92

3210

23

2c105)103.3(14.341.1

3501038.1

π2

ld

kTp

Pa00.2510013.1

atm00.2

atm1097.1 5 mmHg1050.1 2

即保温瓶胆夹层内要抽空至 1.510-2mmHg

才能随压强的下降达到有效地保温。

当 p < pc 时，才能随 p 的下降，使 也下降。

以下，

93

△ 二 . 内摩擦（粘滞）（ internal friction ）

演示

△ 三 . 扩散 （ diffusion ）

自学中，对“内摩擦”和“扩散”要求搞清：

1. 产生原因2. 被迁移的物理量3. 宏观规律4. 微观解释内摩擦（空气粘滞）（ KR003 ）

94

气体动理论小结提纲一 . 模型与简化假设： 二 . 统计平均的思想： ，22

3

1vv x

三 . 处理问题的方法：四 . 统计规律：

理气、范氏、碰撞、内迁移… v2u

小柱体法、比较法能量均分、麦氏分布、玻氏分布、

五 . 宏观规律：物态方程，内迁移规律六 . 微观量的量级及与 p 、 T 的关系： ，，，， zdn v

，z

七 . 重要常量：NA ， R ， k

本章结束