,

,

,

,

,

-

- - - -

Sadr�aj

Predgovor 9

Uvod 11

1 Diferencijalne jednaqine kretanja slobodne materijalne

taqke 13

Uvod 13

1.1 Vektorski postupak odre�ivanja kretanja

slobodne materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Koordinatni postupak odre�ivanja

kretanja slobodne materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Diferencijalne jednaqine kretanja

u Dekartovim koordinatama . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Diferencijalne jednaqine kretanja u polarnim

i polarno-cilindriqnim koordinatama . . . . . . 16

1.2.3 Diferencijalne jednaqine kretanja u sfernim

koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4 Diferencijalne jednaqine kretanja

u krivolinijskim koordinatama . . . . . . . . . . . 18

1.3 Prirodni postupak odre�ivanja kretanja slobodne ma-

terijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Prvi zadatak dinamike materijalne

taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Drugi zadatak dinamike materijalne

taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Pravolinijsko kretanje materijalne

taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Sadr�aj

1.6.1 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi

samo od vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.2 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi

samo od brzine taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.3 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi

samo od polo�aja taqke . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Dinamika vezane materijalne taqke 27

Veze, podela veza, aksioma o vezama 27

2.1 Uslov za brzinu materijalne taqke pri kretanju po vezi 29

2.2 Uslov za ubrzanje materijalne taqke pri kretanju po vezi 31

2.3 Uslovi za brzinu i ubrzanje kod

nezadr�avaju�ih veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Kretanje vezane materijalne taqke sa

jednom zadr�avaju�om vezom . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Reakcija nezadr�avaju�ih veza . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Diferencijalne jednaqine kretanja

vezane materijalne taqke

u Dekartovim koordinatama.

Lagran�eve jednaqine prve vrste . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1 Kretanje taqke po idealno glatkoj povrxi . . . . . 35

2.6.2 Kretanje taqke po idealno glatkoj liniji . . . . . 37

2.6.3 Kretanje taqke po hrapavoj povrxi . . . . . . . . . 40

2.6.4 Kretanje taqke po hrapavoj liniji . . . . . . . . . 40

2.7 Diferencijalne jednaqine kretanja

materijalne taqke u prirodnim

koordinatama. Ojlerove jednaqine . . . . . . . . . . . . . 41

2.7.1 Kretanje taqke po glatkoj vezi . . . . . . . . . . . . 42

2.7.2 Kretanje taqke po realnoj vezi . . . . . . . . . . . 43

2.8 Dalamberov princip za vezanu

materijalnu taqku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Pravolinijske oscilacije materijalne taqke 46

Uvodna razmatranja 46

3.1 Slobodne nepriguxene oscilacije

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Slobodne oscilacije taqke u vertikalnoj ravni . 50

3.2 Slobodne priguxene oscilacije

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Slobodne priguxene oscilacije materijalne

taqke pod dejstvom sile otpora srazmerne

prvom stepenu brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Slobodne priguxene oscilacije materijalne

taqke pri postojanju otpora usled suvog trenja . . 59

Sadr�aj 3

3.3 Prinudne nepriguxene oscilacije

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Rezonanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.2 Podrhtavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.3 Dinamiqki faktor pojaqanja kod prinudnih

nepriguxenih oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Prinudne priguxene oscilacije

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1 Prinudne priguxene oscilacije materijalne

taqke pod dejstvom sile otpora proporcionalne

prvom stepenu brzine taqke . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.2 Dinamiqki faktor pojaqanja kod prinudnih

priguxenih oscilacija materijalne

taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Razvijanje proizvoljne funkcije

prinudne sile u Furijeov red . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Prinudne oscilacije pod dejstvom

proizvoljne prinudne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Opxte teoreme dinamike materijalne taqke 86

4.1 Impuls sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Koliqina kretanja materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1 Teorema o promeni koliqine kretanja

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.2 ,,Zakon” o odr�anju koliqine kretanja

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3 Kinetiqki moment materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 92

4.3.1 Teorema o promeni kinetiqkog momenta

materijalne taqke za pol . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.2 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta

materijalne taqke za pol . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.3 Teorema o promeni kinetiqkog momenta za osu . . 95

4.3.4 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta materi-

jalne taqke za osu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Rad i snaga sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.1 Rad sile na elementarnom pomeranju . . . . . . . . 99

4.4.2 Rad sile na konaqnom pomeranju . . . . . . . . . . . 101

4.4.3 Rad sile Zemljine te�e, centralne sile i sile

trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.4 Snaga sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Kinetiqka energija materijalne taqke . . . . . . . . . . . 106

4.5.1 Teorema o promeni kinetiqke energije

materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Polje sila. Potencijalno polje sila . . . . . . . . . . . . 108

4.6.1 Potencijalna energija. Ukupna mehaniqka

energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 Sadr�aj

4.6.2 Primeri odre�ivanja potencijala . . . . . . . . . . 117

5 Kretanje taqke pod dejstvom centralne sile 119

5.1 Centralna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Diferencijalne jednaqine kretanja taqke

pod dejstvom centralne sile . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.2 Bineova jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.3 Kretanje taqke pod dejstvom Njutnove

gravitacione sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Keplerovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3 Trajektorije vextaqkih Zemljinih

satelita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6 Dinamika relativnog kretanja materijalne taqke 130

6.1 Diferencijalna jednaqina relativnog

kretanja materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.2 Teorema o promeni kinetiqke energije

pri relativnom kretanju materijalne

taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3 Princip relativnosti klasiqne

mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.4 Relativno mirovanje materijalne taqke . . . . . . . . . . 135

6.5 Skretanje taqke ka istoku pri slobodnom padu na Zemlju 138

6.6 Fukoovo klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7 Dinamika taqke promenljive mase 144

7.1 Jednaqina Mexqerskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.1.1 Specijalni sluqajevi jednaqine Mexqerskog . . . 147

7.2 Zadaci Ciolkovskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.2.1 Prvi zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.2.2 Drugi zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8 Dinamika materijalnog sistema i krutog tela 154

8.1 Materijalni sistem. Podela sila

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 Geometrija masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.1 Masa materijalnog sistema. Centar masa

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Momenti inercije materijalnog sistema . . . . . . . . . . 158

8.3.1 Polarni, aksijalni i planarni

momenti inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3.2 Zavisnost momenta inercije materijalnog

sistema u odnosu na dve paralelne ose.

Hajgens-Xtajnerova teorema . . . . . . . . . . . . . 163

Sadr�aj 5

8.3.3 Odre�ivanje momenta inercije materijalnog

sistema u odnosu na proizvoljnu osu koja

prolazi kroz zadatu taqku . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.4 Elipsoid inercije. Glavne ose i glavni

momenti inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.3.5 Osobine glavnih i glavnih centralnih

osa inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.3.6 Odre�ivanje aksijalnog momenta inercije

za proizvoljnu osu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9 Opxte teoreme dinamike materijalnog sistema 175

9.1 Diferencijalne jednaqine kretanja

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.2 Teorema o kretanju centra masa

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.1 ,,Zakon” o odr�anju kretanja centra masa

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.3 Koliqina kretanja materijalnog sistema . . . . . . . . . . 178

9.3.1 Teorema o promeni koliqine kretanja

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.3.2 ,,Zakon” o odr�anju koliqine kretanja

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4 Kinetiqki moment materijalnog sistema . . . . . . . . . . 182

9.4.1 Veza kinetiqkog momenta materijalnog sistema

u odnosu na pol i kinetiqkog momenta u odnosu

na centar masa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.4.2 Teorema o promeni kinetiqkog momenta

materijalnog sistema za taqku . . . . . . . . . . . 190

9.4.3 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta

materijalnog sistema za taqku . . . . . . . . . . . 192

9.4.4 Kinematiqka interpretacija teoreme o promeni

kinetiqkog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.4.5 Teorema o promeni kinetiqkog momenta

materijalnog sistema za osu . . . . . . . . . . . . . 194

9.4.6 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta

materijalnog sistema za osu . . . . . . . . . . . . . 197

9.5 Kinetiqka energija materijalnog

sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.5.1 Odre�ivanje kinetiqke energije pri

proizvoljnom kretanju materijalnog sistema . . . 198

9.6 Rad sila materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.6.1 Rad unutraxnjih sila . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.6.2 Rad spoljaxnjih sila neizmenjivog materijalnog

sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

9.6.3 Polje sile. Potencijalno polje sila . . . . . . . . 207

9.6.4 Rad sile u homogenom polju Zemljine te�e . . . . . 209

6 Sadr�aj

9.6.5 Rad momenta otpora kotrljanju . . . . . . . . . . . 210

9.7 Teorema o promeni kinetiqke energije

materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9.7.1 ,,Zakon” o odr�anju energije . . . . . . . . . . . . . 213

9.8 Dalamberov princip i primena na

vezani materijalni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.8.1 Odre�ivanje glavnog vektora i glavnog momenta

sila inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10 Dinamika krutog tela 220

Osnovni zadaci dinamike krutog tela 220

10.1 Diferencijalne jednaqine opxteg

kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.1.1 Diferencijalne jednaqine sfernog kretanja

krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.1.2 Diferencijalne jednaqine ravnog kretanja

krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

10.1.3 Diferencijalne jednaqine obrtanja krutog

tela oko nepokretne ose . . . . . . . . . . . . . . . . 226

10.1.4 Diferencijalne jednaqine translatornog

kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

10.2 Primeri vezani za specijalne

sluqajeve kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10.2.1 Odre�ivanje ukupnih reakcija u le�ixtima

pri obrtanju krutog tela oko nepokretne ose . . . 229

10.2.2 Fiziqko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10.2.3 Eksperimentalno odre�ivanje momenata

inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.3 Ojlerov sluqaj obrtanja krutog tela oko nepokretne taqke237

10.3.1 Stabilnost obrtanja krutog tela oko glavnih osa

inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.4 Lagran�ev sluqaj obrtanja oko

nepokretne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.5 Obrtanje krutog tela oko nepokretne

taqke. Sluqaj Kovalevske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

10.6 Pribli�na teorija giroskopskih

pojava. Kinetiqki moment giroskopa . . . . . . . . . . . . 253

10.6.1 Uravnote�eni giroskop sa tri stepena slobode . 255

10.6.2 Regularna precesija texkog giroskopa . . . . . . . 257

10.6.3 Giroskop sa dva stepena slobode. Giroskopski

efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

11 Elementi analitiqke mehanike 262

11.1 Veze materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.2 Generalisane koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Sadr�aj 7

11.2.1 Generalisane brzine i ubrzanja . . . . . . . . . . . 269

11.3 Virtualna pomeranja materijalnog

sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

11.3.1 Varijacija koordinata . . . . . . . . . . . . . . . . 269

11.3.2 Virtualno, mogu�e i stvarno pomeranje . . . . . . 271

11.3.3 Broj stepena slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

11.3.4 Rad sila na virtualnom pomeranju . . . . . . . . . 276

11.3.5 Idealne veze. Reakcije idealnih veza . . . . . . . 277

11.3.6 Generalisane sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11.4 Lagran�ev princip virtualnih

pomeranja - opxta jednaqina statike . . . . . . . . . . . . 283

11.4.1 Opxta jednaqina statike u generalisanim

koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11.5 Lagran�-Dalamberov princip

virtualnih pomeranja - opxta

jednaqina dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.5.1 Lagran�eve jednaqine prve vrste . . . . . . . . . . 291

11.5.2 Opxta jednaqina dinamike u generalisanim

koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

11.6 Lagran�eve jednaqine druge vrste . . . . . . . . . . . . . 293

11.6.1 Kinetiqka energija izra�ena pomo�u

generalisanih brzina i koordinata . . . . . . . . 295

11.6.2 Lagran�eve jednaqine druge vrste za

konzervativne sisteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

11.6.3 Cikliqna koordinata i njen integral . . . . . . . 298

12 Teorija udara 299

12.1 Pojava udara. Udarna sila. Udarni

impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

12.1.1 Teorema o promeni koliqine kretanja

materijalne taqke pri udaru . . . . . . . . . . . . . 301

12.2 Teorema o promeni koliqine kretanja materijalnog si-

stema pri udaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

12.3 Teorema o promeni kinetiqkog momenta

materijalnog sistema pri udaru . . . . . . . . . . . . . . . 304

12.4 Udar materijalne taqke u nepokretnu povrx. Koefici-

jent restitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

12.5 Udar taqke o pokretnu povrx . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

12.6 Odre�ivanje udarnih reakcija tela koje se obr�e oko

nepokretne ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

12.6.1 Centar udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.7 Udar dva tela pri opxtem kretanju . . . . . . . . . . . . . 314

12.8 Primena Lagran�evih jednaqina druge vrste u teoriji

udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

12.9 Teorema Ostrogradskog-Karnoa o

promeni kinetiqke energije pri udaru . . . . . . . . . . . 321

8 Sadr�aj

Literatura 325

Indeks 328

Predgovor

Neposredan povod za izdavanje ove publikacije nije proistekao iz po-

trebe da se njome popuni nedostatak ovakvih izdanja u doma�oj struq-

noj literaturi, ve� da se dopunom i proxirenjem analize nekih nauq-

nih oblasti studentima omogu�i da upotpune svoje teorijsko znanje.

Zajedno sa knjigom MEHANIKA–II (KINEMATIKA), ovaj u�benik

qini zaokru�enu celinu potrebnu za pra�enje nastavnog plana i pro-

grama predmeta MEHANIKA 2 i MEHANIKA 3 osnovnih akademskih

studija, kao i predmeta MEHANIKA M master akademskih studija

Maxinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu. Pojedina poglavlja

mogu olakxati i pra�enje kursa MEHANIKA D na doktorskim aka-

demskim studijama pomenutog fakulteta. Pored toga xto je knjiga pr-

venstveno namenjena studentima maxinskih fakulteta, ona mo�e biti

od koristi i studentima ostalih tehniqkih fakulteta i vixih ma-

xinskih xkola.

Pri izlaganju materije zadr�ana je uobiqajena podela dinamike, na

osnovu koje je sadr�aj knjige podeljen na dve celine: Dinamiku mate-

rijalne taqke i Dinamiku materijalnog sistema, sa ukupno dvanaest

poglavlja. U cilju izbegavanja nepotrebnog ponavljanja sliqnih pos-

tupaka, pristup gradivu u nekim poglavljima je deduktivan, xto je

znaqajno doprinelo umanjenju obima tih tematskih celina.

Autori su vodili raquna da su na naxem jeziku raspolo�ive brojne

zbirke zadataka iz oblasti teorijske i primenjene mehanike, odnosno

dinamike, xto je uticalo na njihovu odluku da primerima dopunski

ne optere�uju sadr�aj ove knjige. Studenti se upu�uju da izborom

zbirke zadataka iz oblasti koje teorijski obra�uje ova knjiga primene

steqeno znanje i pripreme se za polaganje ispita.

Na ovaj naqin autori �ele da izraze svoju duboku zahvalnost recen-

zentima, prof. dr Dragomiru Zekovi�u, prof. dr Mirku Pavixi�u

i prof. dr Oliveri Jeremi�, na velikoj pomo�i i ulo�enom trudu

pri pregledu rukopisa i nastojanju da korisnim savetima doprinesu

boljem sadr�aju i izgledu ove knjige.

Tekst je proqitala Svetlana Iliji�, diplomirani filolog, kojoj se

10 Predgovor

autori tako�e zahvaljuju na zalaganju u �elji da u�benik bude u skladu

sa pravopisom naxeg jezika.

Za sve eventualne xtamparske i tehniqke grexke odgovorni su autori,

koji �e biti zahvalni svima koji upute korisne komentare, sugestije

ili ispravke grexaka.

Autori

u Beogradu,

septembar 2015.

12.5 Udar taqke o pokretnu povrx 309

12.5 Udar taqke o pokretnu povrx

Ako je povrx u koju udara materijalna taqkaM mase m nestacionarna,

tada se ova veza analitiqki definixe nejednaqinom:

f(x, y, z; t) ≥ 0. (12.39)

Kada se taqka nalazi na vezi, njene koordinate moraju zadovoljavati

uslov:

f(x, y, z; t) = 0. (12.40)

Da bi se odredio trenutak dodira T1 taqke i povrxi, dovoljno je

konaqne jednaqine kretanja taqke:

x = x(t), y = y(t) i z = z(t) (12.41)

zameniti u relaciju (12.40), tj.

f[x(t), y(t), z(t); t

]= f(t) = 0, (12.42)

i na�i korene tako dobijene jednaqine. Najmanji realni i pozitivni

koren odre�uje trenutak T1 dodira taqke i povrxi.

Dalje kretanje taqke zavisi od toga da li su njene konaqne jednaqine

kretanja u trenutku t = T1 saglasne sa uslovima koje name�e veza. Ako

su zadovoljeni uslovi (2.8) iz poglavlja 2.1, tj.(df

dt

)t=T1

= 0,

(d2f

dt2

)t=T1

= 0, . . . ,

(dnf

dtn

)t=T1

= 0, . . . , (12.43)

taqka ostaje na vezi. Ukoliko je makar jedan od navedenih izvoda po-

zitivan, taqka ostavlja vezu u trenutku t = T1. U oba pomenuta sluqaja

ne dolazi do pojave udara. Udar nastaje ukoliko konaqne jednaqine

kretanja taqke u trenutku t = T1 dovode do relacije:(df

dt

)t=T1

< 0, (12.44)

xto je u protivureqnosti sa nejednaqinom (12.39), zajedno sa uslo-

vom (12.40). U tom sluqaju dolazi do pojave udarne reakcije veze,

koja menja brzinu taqke tako da ona ne protivureqi uslovu (12.39)

i uslovima koji iz njega proizilaze. Trenutak T1 odgovara poqetku

udara.

Za vreme udara izvod df/dt predstavlja neprekidnu funkciju, koja menja

svoj znak pri prolazu kroz nulu.

Ukoliko je izvod df/dt jednak nuli u trenutku t = Tm, a u t = T2 pozi-

tivan, saglasno razmatranjima iz prethodnog poglavlja, dolazi se do

zakljuqka da vremenski interval od poqetka udara do trenutka t = Tm

310 Teorija udara

odgovara prvoj fazi udara, dok interval vremena od trenutka t = Tmdo trenutka t = T2 = T1 + τ , odnosno kraja udara, odgovara fazi uspo-

stavljanja. Na kraju druge faze udara ispunjen je uslov(df

dt

)t=T2

> 0 (12.45)

i taqka napuxta povrx. Pri udaru taqke o nepokretnu povrx, trenu-

tak koji razdvaja dve faze udara odre�uje se iz uslova da je projekcija

brzine taqke na normalu nepokretne povrxi u taqki dodira jednaka

nuli, xto se mo�e izraziti u analitiqkoj formi:

gradf · �vm =∂f

∂xxm +

∂f

∂yym +

∂f

∂zzm = 0, (a)

gde je �vm brzina taqke na kraju prve faze udara, dok su xm, ym i zmnjene projekcije na ose Dekartovog koordinatnog sistema. Za staci-

onarne veze leva strana jednaqine (a) jednaka je

(dfdt

)t=Tm

. Kraj prve

faze udara odre�uje se iz istog uslova i kod nestacionarnih veza, tj.(df

dt

)t=Tm

=

(∂f

∂t

)t=Tm

+∂f

∂xxm +

∂f

∂yym +

∂f

∂zzm = 0, (12.46)

xto se mo�e kra�e zapisati:(∂f

∂t

)t=Tm

+ �vm · gradf∣∣t=Tm

=

(∂f

∂t

)t=Tm

+∣∣gradf ∣∣

t=Tmun = 0, (12.47)

gde je un projekcija na normalu povrxi f(x, y, z; t) = 0 zajedniqke br-

zine dveju taqaka, taqke povrxi i materijalne taqke M , koja udara u

pomenutu povrx, na kraju prve faze udara. U okvirima klasiqne teo-

rije udara nije mogu�e odrediti trenutak t = Tm u kome se prva faza

udara zavrxava. Zbog veoma kratkog vremena trajanja udara pretpo-

stavlja se da koordinate taqke i vreme zadr�avaju svoje vrednosti,

koje su imali u trenutku t = T1 na poqetku udara. Na osnovu tih

pretpostavki mo�e se napisati:(∂f

∂t

)t=T1

+∣∣gradf ∣∣

t=T1un = 0. (12.48)

Primenom teoreme (12.11) o promeni koliqine kretanja materijalne

taqke za svaku fazu udara dobija se:

mun −mvn = IN1,

mv′n −mun = IN2.

(12.49)

Razlike projekcija un − vn i v′n − un predstavljaju projekcije na nor-

malu relativne brzine taqke povrxine f(x, y, z; t) = 0 i brzine taqke Mna poqetku prve i kraju druge faze udara.

12.6 Udarne reakcije tela koje se obr�e oko nepokretne ose 311

Ukoliko je poznata relacija:

IN2= k IN1

, (12.50)

u kojoj je konstanta k koeficijent uspostavljanja, na osnovu jedna-

qina (12.48) i (12.49) mogu se odrediti projekcija v′n brzine taqke Mna normalu na kraju druge faze udara, projekcija un brzine taqke

povrxi, odnosno materijalne taqke M na normalu na kraju prve faze

udara, kao i projekcije na normalu impulsa udarnih reakcija IN1i IN2

u toku prve i druge faze udara, respektivno. Projekcija impulsa

ukupne udarne reakcije odre�ena je zbirom:

IN = IN1+ IN2

,

dok se iz jednaqina (12.49) odre�uje odnos projekcija relativnih br-

zina:

k = −v′n − unvn − un

, (12.51)

xto predstavlja generalizaciju izraza (12.38).

12.6 Odre�ivanje udarnih reakcija tela koje

se obr�e oko nepokretne ose

Slika 12.4

Na slici 12.4 prikazano je kruto telo

mase M koje je vezano potpornim le�ixtem

u taqki A i cilindriqnim u taqki B. De-

kartov koordinatni sistem Axyz kruto je

vezan za telo i obr�e se zajedno sa telom

oko nepokretne ose Az ugaonom brzinom in-

tenziteta ω. U nekom trenutku na telo

u taqki K(xK , yK , zK) dejstvuje spoljaxnja

udarna sila qiji je impuls

→

I s. U taqkama Ai B javljaju se udarne reakcije qiji su im-

pulsi:

→

IA = IAx�ı+ IAy�j+ IAz�k i

→

IB = IBx�ı+ IBy�j.

Neposredno posle udara telo ima ugaonu

brzinu intenziteta ω′. Centar masa C te-

la nalazi se na koordinatnoj ravni yOz i

njegove koordinate su C(0, yC , zC). Brzine

taqke C neposredno posle i pre udara su:

�v′C(−yCω′, 0, 0) i �vC(−yCω, 0, 0), (12.52)