- başarının adresi | metin yayınlarımetinyayinlari.com/content/pdf/trigonometri.pdf ·...
TRANSCRIPT
Bu kitabın bütün yayın hakları saklıdır.Tüm hakları, yazarlara ve METİN YAYINLARI’na aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve
sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz.
İSBN978-605-84769-4-3METİN YAYINLARI
Tel: 0538 395 11 00 – 0533 417 34 86http://www.metinyayinlari.com
YazarlarGökhan METİN
Müjdat [email protected]
Doç. Dr. Ayhan [email protected]
Bilimsel İncelemeHüseyin KIŞ
Hukuk DanışmanıHakan DEMİRBAY
Grafik TasarımMerve ÖZBAY
Genel DağıtımMeşrutiyet Caddesi No: 35/3
Kızılay / ANKARATel: 0312 434 24 00 Faks : 0312 434 24 19
BaskıAydan Yayıncılık A.Ş.www.aydan-ltd.com.tr
Ankara
FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ
Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım,
Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır.
� Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul-muştur.
� Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır.
� Konu Özeti : Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır.
� : Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir.
� (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır.
� ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir.
� : Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmın-
da, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur.
� Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur.
� Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm-leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur.
� Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır.
� Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir.
� Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır.
� Her konu, özenle oluşturulan Konu Testi ile pekiştirilirken, " " ikonuyla belirtilen soruların
çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz.
Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü, üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir, sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz.
Başarılı bir gelecek dileğiyle …
METİN YAYINLARIhttp://www.metinyayinlari.com
İÇİNDEKİLER
AÇISAL KAVRAMLARTrigonometri Kavramı ve Yönlü Açılar ................................................. 1Açı Ölçü Birimleri - I ............................................................................. 2Açı Ölçü Birimleri - II ............................................................................ 3Birim (Trigonometrik) Çember ............................................................. 4Esas Ölçü ............................................................................................ 5
Uygulama Zamanı – 1 ................................................................ 6TRİGONOMETRİK FOKSİYONLARSinüs ve Kosinüs Fonksiyonları........................................................... 8Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları...................................................... 9Sekant ve Kosekant Fonksiyonları .................................................... 10Tanım Kümesi ve Değer Aralıkları ..................................................... 11
Uygulama Zamanı – 2 .............................................................. 12Trigonometrik Özdeşlikler – I ............................................................. 13Trigonometrik Özdeşlikler – II ............................................................ 14Trigonometrik Sadeleştirmeler – I ...................................................... 15Trigonometrik Sadeleştirmeler – II ..................................................... 16Özel Açıların Trigonometrik Oranları ................................................. 17Trigonometri Cetveli .......................................................................... 18
Uygulama Zamanı – 3 .............................................................. 19Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 21ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................. 23
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLARDik Üçgenlerde Dar Açıların Trigonometrik Oranları ......................... 27Trigonometrik Oranlardan Biri VerildiğindeDiğer Trigonometrik Oranları Bulma .................................................. 28Trigonometrik Oranlardan Birini Elde Edip ........................................ 29Diğer Trigonometrik Oranları Bulma .................................................. 29Tümler Açıların Trigonometrik Oranları Arası İlişki ............................ 30Trigonometrik Oranlar YardımıylaKenar Uzunluğu Bulma...................................................................... 31Üçgenlerde Trigonometrik Oranlar .................................................... 32Trigonometrik Oranlar Cinsinden İfade .............................................. 33İkizkenar ve Eşkenar ÜçgenlerdeTrigonometrik Oranlar ........................................................................ 34Karelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik Oranlar .............................. 35Dörtgenlerde Trigonometrik Oranlar .................................................. 36Yamukta ve Çemberde Trigonometrik Oranlar .................................. 37Geometrik Cisimlerde veKoordinat Düzleminde Trigonometrik Oranlar ................................... 38
Uygulama Zamanı – 4 .............................................................. 39Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 41
TRİGONOMETRİK BÖLGELERTrigonometrik Bölge İşaretleri ............................................................ 44Bölgesine Göre Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ........................ 45Eksen Açıları Yardımıyla Trigonometrik Özdeşlikler .......................... 46Eksen Açıları Yardımıyla Trigonometrik Eşitlikler .............................. 47Negatif Açıyla ve Esas ÖlçüyleTrigonometrik Özdeşlikler .................................................................. 4890° den Büyük Özel Açılar veTrigonometrik Sadeleşmeler .............................................................. 49Trigonometrik İfadelerde Harflendirme .............................................. 50Trigonometrik İşaretlerin Geometrik Yorumu ..................................... 51Üçgenin İç Açıları veBirim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler ....................................... 52Trigonometrik Sıralamalar - I ............................................................. 53Trigonometrik Sıralamalar - II ............................................................ 54
Uygulama Zamanı – 5 .............................................................. 55Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 57
TOPLAM FARK FORMÜLLERİsin (a ± b) ve cos (a ± b) Formülleri ................................................... 60tan (a ± b) ve cot (a ± b) Formülleri ................................................... 61Özel Açılar ile Toplam ve Fark ........................................................... 62Toplam - Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu ................................ 63
Uygulama Zamanı – 6 .............................................................. 64Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 66ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ................................................................. 68
YARIM AÇI FORMÜLLERİSinüs Fonksiyonunda Yarım Açı ........................................................ 72Sinüs Yarım Açı Uygulamaları ........................................................... 73Kosinüs Fonksiyonunda Yarım Açı .................................................... 74Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonunda Yarım Açı ................................ 75Dik Üçgenlerde Yarım Açı ve Özel Yarım Açılar ................................ 76Yarım Açı İle Tam Kare, İki Kare Farkı ve1 den Kurtulma .................................................................................. 77Yarım Açıda Sadeleşme .................................................................... 78Üç Katlı Açı Formülleri ....................................................................... 79
Uygulama Zamanı – 7 .............................................................. 80Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 82
DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİToplamı Çarpıma Dönüştürme........................................................... 85Dönüşüm İle Sadeleşmeler ve Ardışık Dönüşümler .......................... 86Ters Dönüşüm Formülleri .................................................................. 87
Uygulama Zamanı – 8 .............................................................. 88Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ................................................................. 89
TEOREMLER VE PROBLEMLERKosinüs Teoremi ................................................................................ 92Kosinüs Teoremi Uygulamaları .......................................................... 93Sinüs Teoremi .................................................................................... 94Sinüs Teoremi Uygulamaları .............................................................. 95Üçgenin Sinüslü Alanı........................................................................ 96Diğer Alan Bağıntıları......................................................................... 97Trigonometrik Problemler .................................................................. 98Birim Çember Geometrisi .................................................................. 99
Uygulama Zamanı – 9 ............................................................ 100Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 102
TRİGONOMETRİK DENKLEMLERsin x = a ve cos x = a Denklemlerinin Çözümü................................ 105tan x = a ve cot x = a Denklemlerinin Çözümü ................................ 106Çözüm Kümesi Belirleme ................................................................ 107Özdeşlikler Yardımıyla Denklem Çözme ......................................... 108Açılımlar Yardımıyla Denklem Çözme ............................................. 1092. Dereceden Trigonometrik Denklemler ......................................... 110cos x ve sin x e Göre Doğrusal Denklemler .....................................111sin x ve cos x e Göre Homojen Denklemler .................................... 112Belirli Bir Aralıktaki Kökler................................................................ 113Trigonometrik Eşitsizlikler ................................................................ 114
Uygulama Zamanı – 10 .......................................................... 115Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 117
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİPeriyod ve Periyodik Fonksiyon ...................................................... 120Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu ........................................... 121Grafik Çizme ve Sinüs Fonksiyonunun Grafiği ................................ 122Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonunun Grafiği ..................................... 123Kotanjant Fonksiyonunun GrafiğiGrafik Yardımıyla Kök Sayısı Bulma ................................................ 124Trigonometrik Fonksiyonların Tekliği - Çiftliği .................................. 125
Uygulama Zamanı – 11 ........................................................... 126TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARTanım ve Değer Kümeleri ................................................................ 127Değer Tespiti .................................................................................... 128Ters Trigonometrik İfadelerin Trigonometrik Değerleri - I................. 129Ters Trigonometrik İfadelerin Trigonometrik Değerleri - II................ 130Fonsiyonel İfadeler ve Denklemler .................................................. 131Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ................................... 132
Uygulama Zamanı – 12 .......................................................... 133Tekrar ZamanıÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ............................................................... 134
KONU TESTLERİ .................................................................... 137SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ ................................................. 209
1
2. ( ) ° ( ) °m AB ve m CDE20 50= =-% X olduğuna göre
( ) ( )m BA m EDC+% X toplamının yönlü değeri kaç dere-
cedir?
3. Saatinin 15 dakika ileri olduğunu gören Ali, saatini düzeltmek için yelkovanı kaç derecelik yönlü açıyla döndürmelidir?
2) 30° 3) 90°
1. Şekilde dört eşit parçaya ayrılmış
OB
A
D
C
O merkezli çember için aşağıdaki açıların ve yayların ölçülerini yönlü olarak belirtiniz.
a) AB%
d) OC BX
b) AOBX e) BODX
c) ADB)
f) DBC)
1) a) 90° b) 90° c) –270° d) –90° e) 180 veya –180° f) 270°
ÖRNEK
Şekilde üç eşit parçaya ayrılmış O mer- A
O
CB
kezli çember için aşağıdaki açıların ve yayların yönü ile birlikte ölçüsünü belirtiniz.
a) AOCX b) AOBX c) AC%
d) ABC)
ÇÖZÜM Şekildeki her bir parça 360° ÷ 3 = 120° lik açı ölçüsüne sahiptir.
a) A
–120°O
CB
AOCX nin başlangıç kenarı [OA] dır, bitim kenarı [OC] dir.
b) A
+120°
OCB
AOBX nin başlangıç kenarı [OA] dır, bitim kenarı [OB] dir.
c) A
–120°
OCB
CA%
nin başlangıç noktası A dır, bitim noktası C dir.
d) A
+240°O
CB
ABC)
; A noktasından başlayarak B noktasından geçip C noktasında biter.
Konu Özeti
� Trigonometri; "trigon" üçgen, "metri" ölçüm anlamı-na gelen üçgenin açıları ile kenarları arasında bağıntı kuran matematik dalıdır.
v Fen bilimleri, mimarlık - mühendislik ve astronomi gibi birçok bilim alanında kullanılır.
� Trigonometri, "yönlendirilmiş açıların" sinüs ve cosi-nüs adı verilen fonksiyonlar ile hesaplanan değerleri üzerine inşaa edilir.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları trigonometrinin temel yapı taşlarıdır, ileride detaylı değinilicektir.
Öncelikle açısal kavramları detaylı öğrenmeliyiz.
� Yönlü Açılar: Saatin dönme yönünün tersi ( ) yö-nünündeki açılar pozitif yönlü açılar, saattin dönme ( ) yönündeki açılar negatif yönlü açılardır.
v Çember yaylarının açı ölçüleri de açılar gibi yönlü olarak belirtilebilir.
Bir çember "yayının uzunluğu" ile "açı ölçüsü" birbirinden farklı kavramlardır. DİKKAT EDİNİZ!
AÇISAL KAVRAMLARTrigonometri Kavramı ve Yönlü Açılar
2
3. Ekvator düzlemi ile
Ekvatordüzlemi
Yörüngedüzlemi
Dünya ekseni
yörünge düzlemi arasında kalan açıya Dünya'nın eksen eğikliği denir. Dünya ekseni ile yörünge düzlemi arasındaki açı 66° 33' olduğuna göre Dünya'nın eksen eğikliği-nin açı ölçüsü nedir?(Dünya ekseni ekvator düzlemine diktir.)
3) 23° 27'
1. 60000'' lik açı derece, dakika ve saniye cinsinden kaça eşittir?
2. ( ) ° ' ''m A 23 11 42=W olduğuna göre;
a) ( )m A2
W nin eşiti nedir?
b) A açısının bütünlerinin eşiti nedir?
1) 16° 40' 2) a) 11° 35' 51'' b) 156° 48' 18''
Konu Özeti (Derece ve Alt Birimleri)
� Tam bir çember yayının 1/360 ını gören merkez açı-nın ölçüsüne 1° (1 derece) denir.
v 1° nin 1/60 ı 1' (1 dakika) dır: 1° = 60'
v 1' nın 1/60 ı 1'' (1 saniye) dir: 1' = 60''
1° = 60' = 3600'' dir.
ÖRNEK (Derece, Dakika, Saniye Dönüşümleri)
Aşağıdaki verilen açı ölçülerini istenilen birime çeviriniz.
a) 58000'' = ?° ?' ?'' b) 1500'' = ?° ?' ?''
c) 10° 10' 10'' = ?'' d) 30° 40' = ?'
ÇÖZÜM Derece, dakika, saniye geçişlerinden modü-
ler aritmetikten (mod 60) faydalanılır.
a) 58000 60 540 966 60––––––– 0400 360––––––– 0400 360––––––– 40''
60 16°–––––– 366 360–––––– 6'
14
44
42
44
44
3
58000'' = 16° 6' 40'' dir.
Kalan hesaplamalarında
"SIFIRLAR
SADELEŞTİRİLMEZ"
DİKKAT EDİNİZ!
b) 1510 60 120 25'––––––– 310 300––––––– 10''
14
42
44
3
1510'' = 25' 10''
1510 '' nin içinde derece cinsinden açı yoktur.
ÖRNEK (Açılarla İşlemler)
( )m AW = 15° 35' 10'' ve ( )m BW = 60° 20' 45''
a) ( )m A2 W b) ( ) ( )m A m B3+W W c) ( ) ( )m B m A-W W
ÇÖZÜM
a) ( ) ( ° ' '') ° '''m A2 2 15 35 10 30 2070= = 8W dır.
' ' ' ° '70 60 10 1 101°
= + = +7 olduğundan,
O halde, ° ' '' ° ' ''30 70 20 31 10 20'1 10°
=7 dir.
b) ( ) ' ''m 15 35 10°=
( ) ' ''A
m B3 180 60 135°=
WW
+
( ) ( ) ' '' ' '' ' ''m A B3 195 95 145 195 97 25 196 37 25° ° °+ = = =; 7W W
120''+25'' = 2' 25' 60' 37' = 1° 37'
c)
( ) ° ' ''( ) ° ' ''
m Bm A
60 20 4515 35 10=
=
WW ⇒
° ' ''° ' ''
59 80 4515 35 10
–
( ) ( )m B m A-W W = 44° 45' 35'' bulunur.
c) 1° = 3600'' ⇒ 10° = 36000'' dir.
1' = 60'' ⇒ 10' = 600'' dir.
O halde, 10° 10' 10'' = 36000'' + 600'' + 10'' = 36610'' bulunur.
d) 1° = 60' ⇒ 30° = 1800' dır.
O halde 30° 40' = 1800' + 40' = 1840' bulunur.
1° = 60'
Açı Ölçü Birimleri - IAÇISAL KAVRAMLAR
3
2. Aşağıda ölçüleri radyan cinsinden verilen açıların derece cinsinden değerini bulunuz.
a) π4 e) π65
b) π29 f) π
34
c) π43 g) 1,25π
d) π32 h) 2
2) a) 45° b) 40° c) 135° d) 120° e) 150°
f) 240° g) 225° h) 036π
1. Aşağıda ölçüleri derece cinsinden verilen açıların radyan cinsinden değerini bulunuz.
a) 15° e) 75°
b) 30° f) 120°
c) 45° g) 270°
d) 60° h) 360°
1) a) π12
b) 6π
c) 4π
d) 3π
e) 125π
f) 23π
g) 23π
h) 2π
Konu Özeti (Radyan)
� Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
v Ya da tam bir çember yayının 1/2π sini gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
� Derece ile radyanı birbirine çevirirken;
°D R D R360 2 180° π π
1801
&= =
bağıntısından faydalanılır.
ÖRNEK (Dereceyi Radyana Çevirme)
Aşağıda ölçüleri derece cinsinden verilen açıları radyan cinsinden ifade edeniz.
a) 0° b) 90° c) 180°
ÇÖZÜM D R180° π= bağıntısından faydalanılır.
a) °°
πR R180
0 0&= = radyandır.
b) R18090
2°°
ππ
&= radyandır.
c) °°
π πR R180180
&= = radyandır.
ÖRNEK (Radyanı Dereceye Çevirme)
Aşağıda ölçüleri radyan cinsinden verilen açıları derece cinsinden ifade edeniz.
a) π3 b) 2π c) π23
ÇÖZÜM D R180° π= bağıntısına göre,
a) DD180
3 60° π
π
°&= = bulunur.
b) DD180
2 360° ππ °&= = bulunur.
c) D D18023
2 07° π
π
°&= = bulunur.
AÇISAL KAVRAMLARAçı Ölçü Birimleri - II
10
2. ,A 53
54-c m noktası birim çember üzerinde a açılık
ölçüye sahip bir nokta olduğuna göre sec a · cosec a çarpımının değeri kaçtır?
3. [CD] şekilde verilen çeyrek birimy
x
T
CA
B
D
O
αçemberde T noktasında teğettir. ( ) αm ODC =X olduğuna göre BD AC+ toplamının a
cinsinden eşiti nedir?
2) 1225- 3) sec a + cosec a – 2
1. Aşağıdaki tabloda verilen açıların birim çember üzerindeki görüntülerini tespit edip, bu görüntüye göre verilen açıların sekantlarını ve kosekantlarını bulunuz.
Açı
(Derece)
Birim ÇemberÜzerindeki Görüntüsü
Sec Cosec
a) 0°
b) 90°
c) 180°
d) 270°
360°
1) a) (1, 0), 1, tanımsız b) (0, 1), tanımsız, 1 c) (–1, 0), –1, tanımsız
c) (–1, 0), –1, tanımsız d) (0, –1), tanımsız, –1 e) (1, 0), 1, tanımsız
Konu Özeti
� a açısının birim çember y
xαO
A
D(s, 0)
E(0, c)üzerindeki görüntüsü olan A noktasından çizilen teğe-tin x eksenini kestiği nokta D(s, 0) ve y eksenini kestiği nokta E(0, c) ise:
v D (s, 0) ın apsisi, a nın sekantıdır: s = sec a
v E (0, c) nin ordinatı, a nın kosecantıdır: c = cosec a
Sekant ve kosecantın sinüs ve kosinüs cinsinden ifadesi;
v ec oss c1
aa
= v ecco ins s1
aa
=
Sekant ve cosekantın 3. harflerini, kosinüs ve sinüs cinsinden yazarken ipucu olarak kullana-
bilirsiniz.
� π π,R k k Z2 !- +' 1 kümesindeki bir a reel sayısını
sec a ya dönüştüren fonksiyona sekant fonksiyonu ve ,R k k Zπ !- " , kümesindeki bir a reel sayısını cosec a ya dönüştüren fonksiyona kosekant fonk-siyonu denir.
ÖRNEK (Birim Çember Üzerindeki Nokta)
a açısının birim çember üzerindeki görüntüsü A(0,6; 0,8) noktası olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
a) sec a b) cosec a
ÇÖZÜM
a açısının görüntüsü A(0,6; 0,8) ise cos a = 0,6 ve sin a = 0,8 dir. O halde,
a) ,cossec 0 61
610
351
aa
= = = = tür.
b) ,cosec sin1
01 10 58 8 4a
a= = = = tür.
ÖRNEK (Birim Çember Geometrisi)
[AB] şekildeki birim çembere
y
xαO
A
BC
C noktasında teğet ise taralı alanı a cinsinden belirtiniz.
ÇÖZÜM
A(0, cosec a) ve
y
xαO
A (0, cosec α)
sec α
B(sec α, 0)
1
Ccosec αB(sec a, 0) olduğuna göre AOB dik üçgeninde |OA| = cosec a br ve |OB| = sec a br dir. O halde,
·sec cosecA AOB br22a a
=^ h bulunur.
Sekant ve Kosekant FonksiyonlarıTRİGONOMETRİK FOKSİYONLAR
11
Aşağıdaki ifadelerin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
3. A = 5 sinx + 3 cosy
4. A = 6 sinx – 2 cosy + 1
5. A = 4 sin x + 2 cos x
3) en büyük = 8 4) en büyük = 9 5) en büyük = 2 5
en küçük = –8 en küçük = –7 en kaçük = 2 5–
1. A = 3 sina – 1 olduğuna göre A nın değer aralığı nedir?
2. cosx2
5 3+ ifadesinin alacağı en büyük ve en küçük
değer kaçtır?
1) [–4, 2] 2) en büyük = 4, en küçük = –1
Konu Özeti
� Fonksiyon: Tanım kümesi → Değer Kümesi
sin : R → [−1, 1]
cos : R → [−1, 1]
tan : ,R k k Z2π π !- +' 1 → R
cot : ,R k k Zπ !- " , → R
� Sinüs ve kosinüs fonksiyonları [−1, 1] aralığı dışında değer alamaz. Yani ∀ a ∈ R için;
sin1 1– G Ga ve cos1 1– G Ga dir.
� Birim çemberde; bitim kenarı, tanjant eksenine pa-
ralel uzanan açıların π π,k k Z2 !+c m tanjantı ve ko-
tanjant eksenine paralel uzanan açıların ,k k Zπ !^ h kotanjantı tanımsızdır. Tanımlı olduğu aralıklarda ∀ a ∈ R için;
tan–3 3G Ga ve cot–3 3G Ga dur.
ÖRNEK (Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler)
Aşağıdaki ifadelerin alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulunuz.
a) A = 3 sin x + 4 cos y b) B = 3 sin x + 4 cos x
ÇÖZÜM
a) –1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ –3 ≤ 3 sin x ≤ 3
–1 ≤ cos y ≤ 1 ⇒ –4 ≤ 4 cos y ≤ 4 + ––––––––––––––––––––– ≤ ≤sin cosx y7 3 4 7
A
- +1 2 34444 4444
O halde A nın alabileceği en küçük değer –7, en büyük değer 7 dir.
b) Bağımlı değişkenli eşitsizlikler taraf tarafa TOPLANA-MAZ.
Bu tarz durumlar ile karşılaşırsanız.
sin cosa b a x b x a b≤ ≤2 2 2 2- + + +
bağıntısından faydalanınız. Sebebi ilerde anlatılacaktır.
≤ ≤ ≤ ≤sin cosx x B3 4 3 4 3 4 5 5B
2 2 2 2
55
&- + + + --
1 2 344 44 1 2 34444 4444 1 2 344 44
O halde
B nin alabileceği en küçük değer –5, en büyük değer 5 tir.
ÖRNEK (Değer Aralığı)
a = 2sin x + 1 olduğuna göre a nın değer aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
–1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 2 · (–1 ≤ sin x ≤1)sin sinx x2 2 2 2 2 21 1 1≤ ≤ ≤ ≤
a
& &- - + + +1 2 344 44
⇒ –1 ≤ a ≤ 3 yani a ∈ [–1, 3] bulunur.
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLARTanım Kümesi ve Değer Aralıkları
12
Uygulama Zamanı Uygulama – 2
1. Aşağıda verilen trigonometrik ifadelerin eşitini bulu-nuz.
a) sin 90° + cos 180° + cos 270° =
b) sin 270° + tan 0° + cot 180° =
c) tan 0° + sin 2π + cot 23π =
d) π ππ
sin cot
tan cos0
23
2-
+=
e) π ( π)
π π
sin cos
cos cos
225 18
27 15
·- -
-=
c m
2. ,A51
52f p birim çember üzerinde a açılık ölçüye
sahip bir nokta olduğuna göre 2tan a + 3cot a topla-mının değeri nedir?
3. a açısının birim çember üzerindeki görüntüsü birinci
bölgedeki ,y103f p olduğuna göre cos a + sin a
nedir?
1) a) 0 b) –1 c) 0 d) –1 e) –1 2) 211
3) 5
2 10
4. y
O
ABα
x
y = 1
Şekildeki birim çemberde verilen AO nın a cinsinden eşiti nedir?
5. A = 2cos a – 4 olduğuna göre A nın değer aralığı nedir?
6. cos x4
1 3 3- ifadesinin değer aralığı nedir?
7. Aşağıda ifadelerin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
a) A = 3sin x + 6 cos y
b) B = 5cos x – 3 sin y – 2
c) C = sin cosx y
21 2 4 3- -
d) D = 5cos x – 12 sin x
e) E = 6sin x + 3 cos x
f) F = sin2 x + cos2 y
4) αcot1 2+ 5) –6 ≤ A ≤ –2 6) ,211-; E 7) a) EB = 9
EK = –9
b) EB = 6EK = –10
c) EB = –2EK = 3
d) EB = 13EK = –13
e) EB = 53
EK = 3 5- e)
EB = 2EK = 0
13
1. 3sin x + 5cos x = sin x + cos x eşitliğine göre cot x kaçtır?
2. sin cos cos sinx x x x3
22
+=
- eşitliğine göre tan x
kaçtır?
1) 21- 2)
71
1. Aşağıda verilenlerin eşitini bulunuz.
a) sin2a + cos2a =
b) sin218 + cos218 =
c) cos244 + sin244 + 44 =
2. sin x + cosx 35
= olduğuna göre sin x · cos x kaçtır?
1) a)1 b) 1 c) 45 2) 98
Konu Özeti (sin2 a + cos2 a = 1)
� a açısının birim çember
y
xα
C
O B
1A (x, y)
üzerindeki görüntüsü A(x, y) isex = cos a = OB ve
y = sin a = OC dir.
AOB dik üçgeninde pisagor bağıntısı ile
( ) ( )ααcos sinOB AB 1 12 2 2 2 2 2&+ = + =
⇒ sin2 a + cos2 a = 1 dir.Buna göre;
v sin2 a + cos2 a = 1 ⇒ sin2 a = 1 – cos2 a dır.
v sin2 a + cos2 a = 1 ⇒ cos2 a = 1 – sin2 a dir.
Konu Özeti (tan a, cot a, sec a, cosec a)
� tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonları sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile ifade edilebilir.
v aaa
aaatan cos
sin cot sincosve= = dır.
v aa
aa
sec cos cosec sinve1 1= = dır.
ÖRNEK
sin a + cos a = 2 ise sin a · cos a nın değerini bulu-nuz.
ÇÖZÜM (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab olduğunu hatırlayı-nız.
(sin a + cos a)2 = ( 2 )
⇒ α αsin cos2 2
1
+1 2 3444 444 + 2sin a · cos a = 2
⇒ 1 + 2sin a · cos a = 2 ⇒ 2sin a · cos a = 1
⇒ ·α αsin cos 21
= bulunur.
ÖRNEK
3 sec a = 4 cosec a ise tan a + cot a nın değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
α αα α
sec cosec cos sin3 4 3 4
1 cosα αsin1
&= =< > ise
(i) α ααα
αsin cos cossin tan3 4 3
434
& &= = = tür.
(ii) α ααα
αsin cos sincos cot3 4 4
343
& &= = = tür.
O halde α αtan cot 34
43
1225
+ = + = bulunur.
TRİGONOMETRİK FOKSİYONLARTrigonometrik Özdeşlikler – I
35
3.
E
F
D
A B
C Şekil özdeş dört kareden oluşmuştur. [AC] ∩ [DE] = {F}
olduğuna göre ( )sin DFCW kaçtır?
4.
D
B
E F
C
A
Sekiz özdeş kareden oluşmuş yandaki şekilde B ve E noktaları [AC] üzerindedir. Buna göre
( ) · ( )sin cosABD FECW W çarpımının değeri kaçtır?
1) 132 13
4) 4125
1. D
A BE
F
C
Şekildeki ABCD dikdörtgeni özdeş 6 kareden oluşmak-tadır. Buna göre ( )tan AFEW değeri kaçtır?
2.
a
DA
B C Şekildeki ABCD dikdörtgeni özdeş 12 kareden oluşmaktadır. Buna göre sin a + cos a toplamı kaça eşittir?
1) 32
2) 57
Konu Özeti
� Karelendirilmiş şekillerde, trigonometrik oranı soru-lan açı, kenar birimleri belli dik üçgene taşınır.
ÖRNEK
Eş karelerden oluşan yandaki şekle a
göre sin a + cos a toplamının dereğerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a açısını kenarları bilinen
a
a
5 br
3 br
4 br
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
dik üçgene iç ters açı ile taşıyalım,
O halde
α αsin cosve53
54
= = olduğundan
α αsin cos 53
54
57
3 5 4 5
+ = + =; < bulunur.
Karelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik Oranlar DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
36
3. A
20x
3030
B C
D
F
ABCD dikdörtgeninde brBF 20=
DC brDF 30= = oldu-ğuna göre cot x nedir?
4. D
i
ix
4
10A B
CE
ABCD dikdörtgeninde
( ) ( ),m BAE m BEC=W W
EC DE<
AD br4= AB br10=
olduğuna göre EC x= kaç br dir?
3) 2 4) 2
1. A
x
B C
D
E
Şekilde ABCD kare ve DE EC3= olduğuna göre
cos x değeri kaçtır?
2.
α
A
2
B C
D
E
ABCD kare, ( ) αm CED =WAE br ve EC br2 8= =
olduğuna göre cot a nedir?
1) 53
2) 35
Konu Özeti
� Dörtgenlerde köşegen, benzerlik ve paralel doğrular-da açı özellikleri ile oluşturulan dik üçgenlerde trigo-nometrik oranlar uygulanabilir.
� Özel dörtgenler; paralelkenar, eşkenar dörtgen dik-dörtgen, kare, deltoid ve yamuğun özelliklerini kısaca hatırlayalım.
v Paralelkenar ve dikdörtgende
45°45° 45°
45°
45°45°
45°
Kare
45°köşegenler birbirlerini "orta-lar", kare ve eşkenar dört-gende köşegenler birbirini "dik ortalar".
v Paralel kenara sahip Paralel Kenar
dörtgenlerde, gerekti-ğinde "iç ters açılardan faydalanmayı unutma-yınız.
v Dik köşeli dörtgenlerde
Dikdörtgen90 – α
α
α
90 –
α
dik üçgen benzerliği ile "tümler açı aktarımı" yapılabilir.
ÖRNEK
Şekildeki ABCD karesinde E
α
D
A B
C
Ebulunduğu kenarın orta noktası ise cos a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
BE EC 1= = br dersek,
α
D1
1
2A B
C
90°– α
αE
5
AB br2= olur.
ABE dik üçgeninde pisagor bağın-
tısı ile AE br5= bulunur. ABE
dik üçgeninde, αcot 155
5= = bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki paralel kenarda
α
α
D
A B
E C
6 cm5 cmverilenlere göre sin a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
( ) ( )m A m BECBE =W W (iç ters) α
αα
D
A B
E
H
C
3 cm
3 cm4 cm
5 cm
5 cm
EBC ikizkenar üçgende;
EH HB cm26 3= = = dir.
EHC& de 3-4-5 özel dik üçgeni ile HC cm4= bulunur.
O halde EHC dik üçgeninde, αsin 54
= dir.
Dörtgenlerde Trigonometrik OranlarDİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
37
1. α
O
D
A B
C
12 br
3 brŞekildeki O merkezli yarım çembere B noktasında teğettir.
,AD br DC br12 3= = olduğuna göre tan a değeri kaçtır?
2.
αO
P
AB C
d
Şekildeki O merkezli çemberde d doğrusu çembere P noktasında teğettir. ,AB br OC br2 4= = olduğuna göre sin a değeri kaçtır?
1) 2 2) 32
1.
Şekildeki ABCD dik yamuk ( ) αm ABC =W
, ,DC br AD br AB br3 4 6= = = olduğuna göre sin a kaçtır?
2. D
A Bα
5 br
13 br
5 br 5 br
C
Şekildeki ABCD yamuk [DC] // [AB],
,AD DC CB br AB br5 13= = = = olduğuna göre cot a kaçtır?
1) 54
2) 43
D
A Bα
3 br
6 br
4 br
C
Konu Özeti (Yamukta Trigonometrik Oranlar)
� Yamukta genellikle aşağıdaki ek çizimler yardımıyla elde edilen dik üçgenlerde trigonometrik oranlar uy-gulanır.D
A
Ba
bd d
c
c a – c
C D
A
Ba
bbb
c
cα α α
a – c––––2a – c––––2
C D
A
Ba
Çeşitkenar Yamuk İkizkenar Yamuk Dik Yamuk
bdd
c
c a – c
C
Konu Özeti (Çemberde Trigonometrik Oranlar)
� Çemberde trigonometrik oran yazılırken genellikle aşağıdaki diklik durumlarından faydalanılır.
� �
MM
T
Teğetα α90-α 2α 2α
Çapı görenher çevreaçı 90° dir.
Merkezden teğetdeğme noktasınaçizilen doğru parçasıteğete diktir.
Merkez açı gördüğüyaya eşit, çevre açıgördüğü yayınyarısı ölçüdedir.
ÖRNEK
Şekildeki yamukta [DC] // [AB]
D
A Bα
12 br
17 br
5 br
4 brC
ise verilenlere göre sin a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
[CE], [AD] ye paralel olarak D
A
BE
α
12 br
17 br
5 br 5 br
4 br 13 br
4 brC
çizildiğinde oluşan EBC üçgeninin kenarları 5 br, 12 br, 13 br ve 132 = 52 + 122
olduğundan EBC, C açısı 90° olan bir dik üçgendir.
O halde EBC dik üçgeninde αsin 135
= bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki O merkezli yarım çembere
αO
D
A B
C4 br
9 br
[CA] A noktasında teğet, CD br ve DB br4 9= = olduğuna
göre cot a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
ABC dik üçgeninde öklit bağıntısını
αO
D
A B
C4 br
6 br9 bruygularsak
·AD AD br4 9 62&= = dir.
O halde ABD dik üçgeninde αcot 23
69
= = bulunur.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLARYamukta ve Çemberde Trigonometrik Oranlar
38
1.
α
A (9, 6)
B
y
xO
Şekildeki dik koodinat sisteminde OAB dik üçgen
( ) αm ABO =W , A(9, 6) olduğuna göre sin a kaçtır?
2.
α
A
D
C
B
O E
Şekildeki dik koodinat sisteminde; ABCD kare, A(6, 0), B(0, 8) ve ( ) αm EAC =W olduğuna göre
tan a nın değeri kaçtır?
1) 3 1313
2) 7
1.
α
K
N M
C
BA
D
L
Şekildeki küpte
( ) αm MAC =W dır.
Buna göre sin2a değeri kaçtır?
2.
α
CB
A
Şekildeki küpte B ve C noktaları bulunduğu ayrıntıların orta noktalarıdır. ( ) αm CAB =W olduğuna göre sin a · cos a çarpımı kaça eşittir?
1) 31
2) 592
Konu Özeti (Geometrik Cisimlerde Trigonometrik Oranlar)
� Üç boyutlu geometrik cisimlerde dik yüzeyler ve dik ayrıtlar yardımıyla oluşturulan dik üçgenlerde trigo-nometrik oranlar uygulanır.
Konu Özeti (Koordinat Düzleminde Trigonometrik Oranlar)
� Koordinat düzleminde noktaların koordinat düzlemi-ne olan dik uzunlukları ile oluşturulan dik üçgenlerde istenilen trigonometrik oranlar uygulanır.
ÖRNEK
Yandaki küpte verilenlere göre
α
K
N M
C
BA
D
L
cos a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
[DB] = [DN] olduğundan DBN dik üçgendir.
Küpün bir ayrıtı 1 br ise yüzey köşegen uzunluğu
BD br2= (ADB dik üçgeninde pisagor) ve cisim köşegen uzunluğu BN br3= dir (DBN dik üçgeninde pisagor). O halde DBN dik üçgeninde,
α B
N
D2
31 αcos32
36
( )3
= = bulunur.
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilenlere
α
A (4, 6)
B
y
xO
göre tan a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
α
A (4, 6)6
6 br 6 br
44 br
H
Ba
y
xO
AOB dik üçgeninde öklit bağıntısı uygulanırsa,
62 = 4 · a ⇒ a = 9 br dir.
O haldeAHB dik üçgeninde
αtan 96
32
= = bulunur.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR Geometrik Cisimlerde ve Koordinat Düzleminde Trigonometrik Oranlar
39
Uygulama Zamanı Uygulama – 4
1. α0 2π
< < olmak üzere αsin 135
= olduğuna göre
tan a + cot a toplamının değeri kaçtır?
2. 0 < a < 90° olmak üzere αcot 31
= olduğuna göre
sin a · cos a çarpımının değeri kaçtır?
3. α0 2π
< < olmak üzere tan a = a olduğuna göre
sin a + cos a toplamının a cinsinden eşiti nedir?
4. °cos m22 3 2= - olduğuna göre cos 68° nin m türünden eşiti nedir?
5. sin coscos sinx xx x3 2 2-
-= olduğuna göre
41 · cos2x – 10 · cot x ifadesinin değeri kaçtır?
1) 60169
2) 103
3) a
a
1
12+
+ 4) m 22- 5) 8
6. sin 25° = x olduğuna göre cos 25° + cot 65° ifadesi-nin x türünden eşiti nedir?
7. °°
°°
cossin
cottan
502 40
7020
+ ifadesinin değeri kaçtır?
8.
CD
xy
A
B
ABC dik üçgeninde
[AC] ⊥ [BC], AD DC=
ve tany 43
= olduğuna
göre sin x kaçtır?
9.
B
A
HC
ABC dik üçgen [BA] ⊥ [AC], [BC] ⊥ [AH] dir.
HCBH4 = olduğuna göre ( )cot ACBX değeri kaçtır?
10.
α
A
C
D
EB
3
Şekildeki ABC üçgeninde verilenlere göre ED uzunluğunun a türünden eşiti nedir?
6) x
x x
1
12
2
-
+ - 7) 3 8)
1010
9) 2 10) 3 cos2 a
51
TRİGONOMETRİK BÖLGELERTrigonometrik İşaretlerin Geometrik Yorumu
3.
B
A
DC
α
Şekilde ABC eşkenar üçgen BD BC6 = ve
( ) αm BDA =Xolduğuna göre cot a nın değeri kaçtır?
4.
α
D
A B
C
E
P
ABCD bir kare EB CE3 =
( ) αm DEB =W olduğuna göre tan a nın değeri kaçtır?
3) 9
2 3- 4)
34-
1.
i
Beş eş kareden oluşmuş yandaki şekilde tan i değeri kaçtır?
2. α
D
A B
5
15
10 12
C ABCD yamuğunda;
[AB] // [CD], ,AB br15=
,BC br12= CD br5= ve
AD br10= dir.
Buna göre, sin a + cos a toplamının değeri kaçtır?
1) 34- 2)
51
Konu Özeti
� Geometrik şekillerde, eksen açıları ile dik üçgene ak-tarılan açı yardımıyla trigonometrik oranlar uygulanır.
ÖRNEK (Geometrik Şekillerde Trigonometrik Oranlar)
Eş karelerden oluşmuş yandaki aşekilde tan a değerinin bulunuz.
ÇÖZÜM
a + θ = 180° ise
a = 180° – θ dır. a
θ
θyöndeş
( ° )αtan tan 180 i= -
32tan =i=- - tür.
ÖRNEK
ABCD yamuğunda, [DC] // [AB], D
A B
4
9
3 4
C
,DC CB cm4= =
AD cm3= ve AB cm9= dir.
Buna göre ( )tan CDAX değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
[CE] // [AD] çizilirse AECD D
A BE
4α
α θ4 5
3 3 4
Cparalelkenar ve CEB kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dik üçgen olur.
( ) ( ) ( )α θm CDA m CEA ve m BEC= = =X W W iken,
a + θ = 180° ⇒ a = 180° – θ dır.
O halde;
( ) ( )α θ θtan tan tan tanCDA 180 34–= = - = =-X tür.
52
1. y
xα
P
O
Şekildeki birim çemberde verilenle-re göre çember üzerindekiP noktasının koordinatlarını bulu-nuz.
2. y
xθ
K
O
Şekildeki birim çemberde verilenle-re göre K noktasının koordinatını bulunuz.
1) P(–sin a, cos a) 2) K(–sin i, –cos i)
1. Bir ABC üçgeninde aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) ( )cos cosA B C+ + =W W X
b) ( ) ( )sin sinA B C+ - =W W X
c) cos sinA C B2 2+
- =f fp pW X W
d) sin sinA B C2 2
2 2++
=f fp pW W X
e) ·cot cotA B C2 2
+=f p
W W X
1) a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) 1
Üçgenin İç Açıları ve Birim Çemberde Trigonometrik ÖzdeşliklerTRİGONOMETRİK BÖLGELER
ÖRNEK
Bir ABC üçgeninde cos sinA C B2 2+
-c cm m ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM Bir üçgenin iç açıları toplamının 180° oldu-ğunu hatırlayınız.
A B C A C B180 180° °&+ + = + = -
°A C B2 90 2&+= -
cos sin cos sinA C B B B2 2 90 2 2°
( )sinB B90 2 2°
+- = - -
-
c c cm m m6 7 844 44 6 7 8444 444
sin sinB B2 2 0= - = bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki birim çember üzerindeki
y
x
θP
OP noktasını θ cinsinden belirtiniz.
ÇÖZÜM
a = 270° + θ dır
α
y
xθ
P
P noktası P(cos a, sin a)
= P(cos (270° + θ), sin (270° + θ)
= P(sin θ, –cos θ) bulunur.
Konu Özeti (Birim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler)
� Birim çember üzerinde bir açının bitim noktasının ko-ordinatları tespit edilirken verilen açı pozitif x ekseni-ne göre düzenlenir gerekirse trigonometrik özdeşlik-lere başvurulur.
Konu Özeti (Üçgenin İç Açılarıyla Trigonometrik Özdeşlikler)
� Üçgenin iç açılar toplamının 180° olmasından fayda-lanılarak gerekli trigonometrik özdeşlikler işaretlerine dikkat edilerek kurulur.
53
ÖRNEK
0° < a < 45° < θ < 90° olmak üzere aşağıdaki ifadeleri karşılaştırınız.
a) sin a, sin θ, b) cos a, cos θ c) tan a, tan θ
d) cot a, cot θ e) sin a, tan a f) cos θ, cot θ
ÇÖZÜM
0° < a < 45° < θ < 90°
x
y
h
gfe
a dα θ
b c
cotekseni
tan ekseni
olacak biçimde birim çemberin eksenleri üzerinde a ve θ açılarının tahmini yerlerini belirleyelim.
a = cos θ, b = cot θ, c = cos a, d = cot ae = sin a, f = tan a, g = sin θ, h = tan θ dir.
a) e < g ⇒ sin a < sin θ dir.
b) a < c ⇒ cos θ < cos a tir.
c) e < h ⇒ tan a < tan θ dir.
d) b < d ⇒ cot θ < cot a tir.
e) e < f ⇒ sin a < tan a tir.
f) a < b ⇒ cos θ < cot θ dir.
Görüldüğü üzere I. bölgede sinüs ve tanjant artan, kosi-nüs ve kotanjant azalan fonksiyonlardır.
1. Aşağıdaki harflerin karşılık geldiği trigonometrik oran-ları a veya θ cinsinden belirtiniz.
a = b = c = d =
e = f = g = h =
2. Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri karşılaştırınız.
a) sin a sin θ e) sin a tan a
b) cos a cos θ f) cos θ cot θ
c) tan a tan θ g) sec a sec θ
d) cot a cot θ h) cosec a cosec θ
1) a = cot θ, b = cos θ c = cot a, d = cos a, e = sin a, f = sin θ,
g = tan θ, h = tan a 2) a) > b) > c) < d) > e) > f) > g) > h) <
π πα θ2 < < < olmak üzere istenilenleri verilen birim çem-
ber yardımıyla bulunuz.
sin ekseni tan ekseni
cotekseni
a b c
e
αθ
g
O
h
f
dcos
ekseni
Konu Özeti
� Trigonometrik fonksiyonlar birim çemberdeki yerleri-ne göre karşılaştırılırlar.
ÖRNEK (Birim Çember ile Sıralama)
a b c 23π π
< < < < iken,
cos a, cos b, cot b, ve cot c ifadelerini karşılaştırınız.
ÇÖZÜM Birim çember y
cos bcos a
cot c cot b
ab
c
cotekseni
cosekseni
yardımı ile bölge ve işarete dikkat ederek karşılaştıralım.
cos a < cos b < 0 ve 0 < cot c < cot b isecos a < cos b < cot c < cot b dir.
TRİGONOMETRİK BÖLGELERTrigonometrik Sıralamalar - I
54
4. π , π πtan cot tana b ve9 95
910
= - =c m olduğuna göre a,
b ve c nin büyükten küçüğü doğru sıralanışı nedir?
5. a = sin (–250°) b = – cot 140° ve c = cos (–290°) olduğuna göre a, b ve c nin küçükten büyüğe sıralanışı nedir?
6. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. sin 50° < tan 50° IV. cot 160° < sin 250°
II. cos 100° < cot 100° V. cot 220° < cos 350°
III. sin 230° > cos 170° VI. sec 290° > cosec 140°
4) c > b > a 5) c < a < b 6) I, III, IV, VI
1. a = sin 10°, b = sin 35° ve c = sin 75° olduğuna göre a, b ve c nin küçükten büyüğe doğru sıralınışı nedir?
2. π, πcos cosa b9 18= = ve πsinc 94
= olduğuna göre a,
b ve c nin büyükten küçüğe doğru sıralanışı nedir?
3. a = sin 110°, b = cos 130° ve c = sin 240° olduğuna göre a, b ve c nin küçükten büyüğe sıralanışı nedir?
1) a) < b < c 2) b = c > a 3) c < b < a
Konu Özeti
� I. Bölgede; sinüs ve tanjant artan,y
sinüsekseni
tanjantekseni
x
kosinüs ve kotanjant azalan fonksiyonlardır.
� Açı değerleri verilmiş trigono-metrik ifadeler sıralanırken her ifadenin dar açılı sinüs ve tanjant cinsinden özdeşleri yazılıp birim çemberdeki yerlerine göre,
İŞARETİNE DİKKAT EDİLEREK sıralanır.
v 45° ≤ x ≤ 90° iken 1 ≤ tan x olduğundan [45°. 90°] aralığında tanjant fonksiyonu sinüs fonksiyonu-nun her değerinden büyüktür.
Çünkü ∀ x ∈ R için –1 ≤ sin x ≤ 1 dir.
ÖRNEK (sinüs ve tanjant Karşılaştırması)
Aşağıdaki ifadeleri karşılaştırınız.
a) a = sin 35° ve b = tan 35°
b) m = sin 89° ve n = tan 46°
ÇÖZÜM
a) Birim çemberde görüldüğü üzere
y
a
b
x35°
I. bölgede aynı açının sinisü tanjantından küçüktür. O halde,
sin 35° < tan 35° ⇒ a < b dir.
b) m = sin 89° < 1 ve b = tan 46° > 1 olduğundan,
sin 89° < tan 46° ⇒ m < n dir.
ÖRNEK (I. Bölgeden sıralama)
a = sin 40°, b = cos 290° ve c = sin 230° değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
ÇÖZÜM Verilen ifadelerin dar açılı sinüs cinsinden özdeşlerini yazalım;
a = sin 40°, b = cos 290 = cos (270° + 20°) = sin 20°
ve c = sin 230° = sin (180° + 50°) = –sin 50° dir.
I. Bölgede sin artan olduğu için;
–sin 50° < sin 20° < sin 40° ⇒ c < b < a dır.
Trigonometrik Sıralamalar - IITRİGONOMETRİK BÖLGELER
76
Dik Üçgenlerde Yarım Açı ve Özel Yarım AçılarYARIM AÇI FORMÜLLERİ
1. πcot 12 nin değeri nedir?
2. cosec (22,5)° · sin (67,5)° çarpımının değeri nedir?
2) 2 3+ 3) 2 1+
1. x dar açısı için tan x2 34
= olduğuna göre tan x in değeri nedir?
2. ,α 0 2π
d c m olmak üzere
cos a = 51 olduğuna göre αtan 2 kaçtır?
1) 21
2) 521+
Konu Özeti (Dik Üçgende Yarım Açı)
� a açısının trigonometrik oranı belli α/2
α/2 α
iken şekildeki dik üçgen çizilerek α2 açısının trigonometrik oranları ko-layca bulunabilir.
Konu Özeti (Özel Yarım Açılar)
� 15° ; 22,5° ve 67,5° gibi özel açıların yarısı olan açıların trigonometrik oranları bulunurken yarım açı formüllerinden ya da dik üçgende yarım açıdan fay-dalanılır.
ÖRNEK
0° < a < 90° olmak üzere
ααsin tanise5
32= nin değerini dik üçgen çizerek
bulunuz.
ÇÖZÜM ADC dik üçgeninde;
αsin 53&=
α/2
α/2 α
A
5 3
CB 5 49
D
ABC dik üçgeninde αtan 23
31
9= = bulunur.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerin değerini bulunuz.
a) cos 15° b) tan (22,5°)
ÇÖZÜM
a) ° ( · °) °cos cos cos30 2 15 2 15 13 2
2
3 23 2
= = -1 2 344 44 1 2 3444 444>
°cos cos2 15 1 23 15 2
2 3°2& &- = =+ dir.
b)
tan 45° = 1 ⇒
22,5°
22,5°
A
1
1
+ 1
45°CB D
2
2
2
( , )°tan 22 52 11 2 1
( )2 1
=+= -
-
bulunur.
77
1. °cos1 40- ifadesinin eşiti nedir?
2. cos sin21 64 1 116° °-
+ - ifadesinin eşiti nedir?
3. sincosxx
21 2- ifadesinin eşiti nedir?
1) °sin2 02 2) cos32° 3) tan x
1. sin cosa a 21
=+ olduğuna göre sin 2a kaçtır?
2. x ∈ (0, 45°) için sin cosx x 58
+ = olduğuna göre
cot 2x kaçtır?
3. π πsin cos8 84 4+ ifadesinin değeri kaçtır?
1) 43- 2)
34
3) 43
Konu Özeti (Tam Kare – İki Kare Farkı)
� Tam kare; (a ± b)2 = a2 + b2 ± 2ab olduğundan
( )α αsin cos sin cos sin cosa a a a2 ·sin α
2 2 2
1 2
! != +1 2 3444 444 1 2 3444 444= 1 ± sin 2a olur.
� İki kare farkı; (a – b) · (a + b) = a2 – b2 ile
(cos a – sin a) · (cos a + sin a) = cosα α αcos sin 222 2 =-
Konu Özeti (1 den Kurtarma)
� sin 2a açılımı ile
± a a a a asin cos sin sin cos1 2 2 ·asin
2 2
1 2
!= +1 2 3444 444 1 2 3444 444
= (cos a ± sin a)2 olur.
� cos 2a açılımı ile
( )α α α αcos cos sin cos sin1 2αcos
2 2 2 2
1 2
- = + - -1 2 3444 444 1 2 3444 444
α α α α αcos sin cos sin sin22 2 2 2 2= + - + = olur.ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
a) α αsin cos 21
- = ise sin 2a nı değeri
b) α αcos sin 434 4- = ise cos 2a nın değeri
ÇÖZÜM
a) 2 ·cosα α α α αsin cos sin cos sin α21
41
αsin
2 222
1 2
&- = + =-^ ch m1 2 3444 444 1 2 3444 444
α αsin sin1 2 1 2 43
4& &- = = bulunur.
b) α α α αcos sin cos sin43
434 4 2 22 2
&- = - =^ ^h h
( (α α) α α) αcos sin cos sin cos43 2 4
3
cos2α
2 2 2 2
1
& &- + = =1 2 3444 444 1 2 3444 444
ÖRNEK
a ∈ (0, 90°) iken aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) αsin1 2+ b) αcos1 +
ÇÖZÜM
a) ·α α α α αsin cos sin cossin1 2 222+ + +=
1442443
1 1442443
1
( )α α α α α αsin cos sin cos sin cos2= + = + = + dır.
b) πα
α α αcos sin cos cos sin1 2 2 2 22 2 2 2+ = + + -
123
·α
cos 22
c m 1442443
1 144424443
·α
cos 22
c mα α αcos cos cos2 2 2 2 2 2
2= = =
123
+
Yarım Açı İle Tam Kare, İki Kare Farkı ve 1 den Kurtulma YARIM AÇI FORMÜLLERİ
78
4. °°
°°
sinsin
coscos
618
618
- ifadesinin sonucu nedir?
5. sin cos
sinx x
x
2 2
1
+
+ ifadesinin en sade hali nedir?
6. ° °cos cos201
703
- ifadesinin değeri kaçtır?
4) 2 5) sin cosx x2 2+ 6) –4
1. ··
sin sinsin cos
20 1040 80 ifadesinin en sade hali nedir?
2. coscos
xx
1 21 2-
+ ifadesinin en sade hali nedir?
3. coscos
sinsin
xx
xx
26
26
+ ifadesinin en sade biçimi nedir?
1) 2 cos 20° 2) cot2 x 3) 4 cos 4x
Konu Özeti
� Kesirli trigonometrik ifadelerde payda eşitleyerek ve yarım açı uygulayarak sadeleşebilicek terimler elde edilir.
ÖRNEK (Yarım Açı ile Sadeleşme)
αα
cossin2 ifadesinin en sade halini bulunuz.
ÇÖZÜM
αα
αα α
αcossin
cossin cos sin2 2 2·
= = dır.
ÖRNEK (Payda Eşitleme)
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) αα
αα
sinsin
coscos3 3-
b) cot 15° – tan 15°
ÇÖZÜM
a) ·· ·
αα
αα
α αα α α α
sinsin
coscos
sin cossin cos cos sin3 3 3 3
(cos ) (sin )
( )
α α
α αsin 3
- =-
-6 7 84444444 4444444
( )α αα α
αα
sin coscos
sinsin32
2 2 222
···
σιν2α
=-
= =1 2 3444 444
b) cot tan sincos
cossin15 15 15
151515° ° °
°°°
( ) ( )cos sin15 15° °
- = -
° · °·sin coscos sin
sin coscos
sincos
15 1515 15
15 1530
302 30
22
°· °° ° °
°°·
( )
( · °)
cos
sin
2 2
2 15
2 15
· °
=-
= =
6 7 844444 4444
1 2 34444 4444
°cot2 30 2 3= = bulunur.
ÖRNEK (1 den kurtararak Sadeleşme)
sincos
4040 1
°° + ifadesinin en sade halini bulunuz.
ÇÖZÜM
° · °° ° ° °
sincos
sin coscos sin cos sin
4040 1
2 20 2020 20 20 20
°°
°
°
sin
cos
2 2 2 2
40
40 1
+=
- + +6 7 844444 44444 6 7 844444 44444
1 2 34444 4444
sin coscos
sin coscos cos
2 20 202 20
2 20 202 20 20
°· °°
° · °° · °2
= =
sincos cot20
20 20°° °= =
Yarım Açıda SadeleşmeYARIM AÇI FORMÜLLERİ
79
4. tan x = 2 olduğuna göre, sin 4x in değeri nedir?
5. tanx 31
= olduğuna göre, tan 6x in değeri nedir?
6. cos 20° nin 8x3 – 6x – 1 = 0 denkleminin bir kökü olduğunu gösteriniz.
4) 2512- 5)
44117- 6) Çözüm sayfasına bakınız
1. , πx 0 2d c m için cosx 31
= olduğuna göre cos 3x in
değeri nedir?
2. θsin k2 = olduğuna göre θsin 23 nin k türünden eşiti
nedir?
3. tan 8° = m olduğuna göre tan 24° nin m türünden eşiti nedir?
1) 2723- 2) 3k – 4k3 3)
mm m1 33
2
3
-
-
Konu Özeti
� sin 3x = sin (2x + x)
= sin 2x · cos x + cos 2x · sin x
= 2 sin x · ·cos cosx xcos x26 7 844 44
+ (1 – 2 sin2 x) · sin x
= 2 sin x ·(1 – sin2 x) + sin x – 2 sin3 x ise
= 3 sin x – 4 sin3 x
O halde, sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x tir.
� cos 3x = cos (2x + x)
= cos 2x · cos x – sin 2x · sin x
= (cos2 x – sin2 x) · cos x – 2 sin x · cos x · sin x
= 4 cos3 x – 3 cos x
O halde, cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x tir.
� tan 3x = tan (2x + x)
= tan tantan tan
tantan tan
x xx x
xx x
1 22
1 33
· 2
3
-
+=
-
-
O halde, tan 3x = tan
tan tanx
x x1 3
32
3
-
- tir.
ÖRNEK
, πx 0 2d c m için sinx 31
= olduğuna göre sin 3x in değe-
rini bulunuz.
ÇÖZÜM
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x tir. sinx 31
= ise
· ·sin x3 3 31 4 3
1 1 274
27233
= - = - =c m bulunur.
ÖRNEK (Denklem Kökü Tespiti)
sin 10° nin 8x3 – 6x + 1 = 0 denkleminin bir kökü oldu-ğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x ifadesinden
sin 30° = 3 sin 10° – 4 sin3 10° olur.
° ° ° °sin sin sin sin21 3 10 4 10 1 6 10 8 103 3& &= - = -
⇒ 8 sin3 10° – 6 sin 10° + 1 = 0 bulunur. Buradan
sin 10° = x alınırsa 8x3 – 6x + 1 = 0 bulunur.
Ç - 3
YARIM AÇI FORMÜLLERİÜç Katlı Açı Formülleri
98
2.
4 km
αα
2 km
x km
C
A
B
K
Şekilde K noktasındaki bir tank a derecelik açı ile A nok-tasına 2 km uzaklıktaki B noktasına atış yapıyor. Daha sonra bu tank K noktasından 2a derecelik açı ile de C noktasına atış yapıyor.
AK km ve AB km4 2= = olduğuna göre
BC x= kaç km dir?
2) 310
1.
4 mK
A
Bα
3 –– m2
2 m
5 –– m2
Şekiledeki K noktasındaki bir atıcı elindeki silah ile A noktasındaki balona nişan alıp ateş ediyor. Ancak silah elinden kaydığı için kurşun a derece saparak B nokta-sındaki balona isabet edip bolunu patlatıyor.
Buna göre, sapma açısı a nın tanjantı nedir?
1) 198
Konu Özeti
� Trigonometrik problemlerde ifadeye uygun şekil çizi-lerek şimdiye kadar öğrendiğimiz trigonometrik oran-lar, özdeşlikler, açılımlar ve bağıntılar uygun üçgenle-re uygulanıp oluşturulan denklem çözülür.
ÇÖZÜM Şekli geometrik olarak çizelim
( ) , ( )αm AKB m AKL x= =W Wve ( )m BKL y=W ise
a = x – y dir.
A B
L
30
10
10
30
30
α
MK
;
; .
tan
tan
AKM de ve
BKL de y t r
3030 1
4030
43 ü
= =
= =
&
&
( )tan x y= - =( )tan tan tan tantan tan
AKB a x yx y
1 ·α x y
1 3 4
1 3 4
=+
-
-
E E
> 5 ; ;
··
1 1 43
1 43
4741
41
74
71
=
+
-= = = bulunur.
ÖRNEK
Yerden 30 m yükseklikte uçan, A
K
B
L
A ve B noktalarından bağlı iki uçurtmanın, iplerinin diğer uçları K noktasında zemine bağlıdır.
AB m10= ve B nin dik izdüşümü olan L noktası için KL m40= olduğuna göre ipler arasındaki AKB açısının
tanjantını bulunuz.
Trigonometrik ProblemlerTEOREMLER VE PROBLEMLER
99
3. y
xA
EB
α
O
Şekildeki birim çemberin E noktasının ordinatı 41 ve
( ) αm BOE =X dır.
Buna göre, O noktasından doğrusal bir yol boyunca önce A noktasına sonra da E noktasına gelecek olan bir karıncanın alacağı yol kaç br olur?
3) 2
2 5 3+ -
1. y
xθ
A
O
Şekildeki O merkezli birim çemberde A noktasının koordinat-ları θ cinsinden nedir?
2. y
xθ
B
AO
Şekildeki O merkezli çeyrek
birim çemberde ( ) θm AOB =X dır.
( )θcosAB br1= + olduğuna
göre AB kaç br dir?
1) (–sin θ, –cos θ) 2) 5 1-
Konu Özeti
� Birim çemberde;
y = 0 doğrusunun kosinüs, α
y (x = 0)
x (y = 0)1–1
–1
1 y = 1
x = 1
A
x = 0 doğrusunun sinüs
y = 1 doğrusunun kotanjant
x = 1 doğrusunun tanjant
eksenleri olduğunu hatırlayınız.
v a açısının birim çember üzerindeki bitim noktası A(cos a, sin a) dır.
ÖRNEK (Açılımlar)
Şekildeki birim çembere AB
α
y
x1
–1
–1
O
1T
A
Bdoğrusu T noktasında teğettir verilenlere göre A(AOB) yi a cinsinden bulunuz.
ÇÖZÜM
αcosecOA =
α
y
xO
T
A
B
cosec α
sec α
αsecOB = olduğundan
AOB dik üçgende;
( ) α αcosec secA AOB 2·
=
α α αsin cos sin21
21
·= = = cosec 2a bulunur.
ÖRNEK (Simetri)
Şekildeki birim çember üzerinde
α
y
x1
–1
–1
1A
bulunan A noktası orjine göre simetrisinin koordinatlarını a cinsinden belirtiniz.
ÇÖZÜM
A noktasının orjine göre simetrisi
αα
y
x1
–1
–1
1A
AI
olan A' noktası 180° + a lık açının birim çember üzerindeki bitim noktasıdır. O halde;
A'(cos(180 – a), sin (180 – a)
= A'(–cos a, –sin a) dır.
TEOREMLER VE PROBLEMLERBirim Çember Geometrisi
100
Uygulama Zamanı Uygulama – 9
1.
B
A
x
4 br 2 br120°
C
ABC üçgeninde
( ) ,m BAC 120°=W ,AB br4=
ve AC br2= olduğuna göre
BC x= kaç br dir?
2.
B
A
x
3 C
5
Şekilde ,AB br5=
BC br3= ve tan B 21
=W dir.
Buna göre, AC x= kaç br dir?
3. D
A Bα
4 br
11 br
5 br 6 br
CŞekilde ABCD yamuk,
[DC] // [AB],
,AB br11=
,BC br6=
,DC br4=
DA br5= dir.Buna göre cos a kaçtır?
4. A
5 br 8 br
D
E
C
x
7 br3br
7 br
B
Şekilde ,AB br7=
,BE br3=
,AE br4=
DE br8= ve
EC br7= olduğuna
göre DC x= kaç br
dir?
1) 2 7 2) 2 3) 3519
4) 13
5. Bir ABC üçgeninin kenarları arasında
a2 = (b + c)2 – bc bağıntısı varsa ( )m AW kaç derecedir?
6.
B
A
b
a C
c
Şekildeki ABC üçgenini çevresi 24 br dir.
sin A + sin B = 3sin C
olduğuna göre AB kaç br dir?
7.
B
A
8 br
12C
Şekilde ( ) ° ( )m A m B90= +W W
,AC br8=
BC br12= olduğuna
göre ( )tan BW kaçtır?
8.
B
A
D
E
4 br5 br
2 br
x
8 br2 br C
ABC üçgeninde ,AD br2=
,BD br5=
,BE br2=
EC br8= ve
DE br4= dir.
Buna göre AC x= kaç br dir?
5) 120° 6) 6 7) 32
8) 58
101
9.
B
A
D E4 br
4 br
2 br 2 br
2 br
C
Şekilde ,AD DE br4= =
BD AE EC br2= = = dir. Buna göre A(ABC) kaç br2 dir?
10.
A 8 br
10 br
D
E
C 6 br
15 br
B
Şekilde[AD] ∩ [BE] = {C}
,AC br8=
,CD br6=
BC br15= ve
CE br10= dir.
Buna göre, şeklin tamamının alanı kaç br2 dir?
11.
B
A
D
EF
3 brx
2 br
2 br
C
Şekilde ,AE EC br2= =
DC br3= veA(AEF) = A(BFD) olduğuna göre
BD x= kaç br dir?
12.
B
A
D
4 br 6 br30° α
C
ABC üçgeninde ( ) °.m BAD 30=W
( ) ,αm DAC =W BA br4=
,AC br6= BD DC= dir. Buna göre, sin a kaç-tır?
9) 3 15 10) 72 11) 3 12) 31
13. Kenar uzunlukları 2 br, 3 br ve 4 br olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı ile çevrel çemberinin yarıçapının çarpımı kaçtır?
14. L
K
BA
Pist
Kule
32
8
24
α
A noktasındaki kontrol kulesi K noktasında yere para-lel olarak uçan uçağa L noktasına geldiğinde iniş izni veriyor ve uçak L noktasından alçalmaya başlıyor.K noktasının yerdeki dik izdüşümü B noktası ve
,AB km32= ,KB km8= ,LK km24= [AB] ⊥ [KB],
[LK] // [AB] ve ( ) αm LAK =W dır.
Buna göre tan a kaçtır?
15.
A45°
C
B
30°
( )m CAB 45°=W( ) °m ABC 30=X
Şekildeki dağa kurulu teleferik sistemi sabit hızla de-virdaim yapmaktadır. A dan teleferiğe binen bir kişinin B ye ulaşma süresi, B den teleferiğe binen bir kişinin C ye uluşma süresinden 10 dakika daha azdır.
Buna göre, A dan teleferiğe binen bir kişi ne kadar sürede C ye ulaşır?
13) 34
14) 53
15) 20 2 30+
112
1. sin2x – 2 sin x · cos x – 3 cos2x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. 3 sin2x + sin x · cos x – 2 cos2x = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
1) : ,αx x k V x k k Z43π
π π d= + = +' 1
2) : ,αx x k V x k k Z4π
π π d= + = +' 1
1. sin cosx x3 0- = denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. cos sinx x3 2 3 2 0+ = denkleminin çözüm kümesi nedir?
1) : ,π
x x k k Z3
π d= +' 1 2) :π,x x
kk Z
3 2π
d= +' 1
Konu Özeti (1. Derece Homajen Denklemler)
� a ve b sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzerea · cos x + b · sin x = 0 biçimindeki denklemler 1. dereceden homojen denklemlerdir.
v cossin tanxx
ba x b
a& &=- =- biçimine çevrilen
homojen denklem çözülür.
Konu Özeti (2. Derece Homajen Denklemler)
� a, b ve c sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzerea · cos2 x + b · cos x · sin x + c · sin2 x = 0 biçiminde-ki denklemler 2. dereceden homojen denklemlerdir.
v a · cos2 x + b cos x · sin x + c · sin2 x = 0 denkle-
minde eşitliğin her iki tarfafı "cos2 x" e bölünerek" a + b tan x + c tan2 x = 0 biçimine çevrilen homo-jen denklem çözülür.
ÖRNEK
sin x + cos x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
sin x + cos x = 0 ⇒ sin x = –cos x
cossin
xx 1& =-
⇒ tan x = – 1
⇒ tan x = tan 135°
⇒ x = 135° + k · 180°
Ç = {x: x = 135° + k · 180°, k ∈ Z}
ÖRNEK
sin2 x + sin x · cos x – 2cos2 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
sin2 x + sin x · cos x – 2 cos2 x = 0
·sin sin cos coscos cos
x x x xx
2 02 2
2 2&+ -
=
cossin
cossin cos
coscos
xx
xx x
xx2 0·
2
2
2 2
2
& + - =
tan tanx x 2 02& + - =
⇒ (tan x + 2) · (tan x – 1) 0 ⇒ tan x = –2 veya tan x = 1
(i) tan x = –2 eşitliğini sağlayan açı a olsun
tan x = tan a ⇒ x = a + k · π
(ii) tan x ⇒ π π · πtan tanx x k4 4&= = + dir.
: · π · παx x k V x k4Ç π= = + = +' 1
sin x ve cos x e Göre Homojen DenklemlerTRİGONOMETRİK DENKLEMLER
113
3. sin2x + sin 3x = cos2x denkleminin [0, π] aralığındaki kökleri nelerdir?
4. 2 sin2 x = 3 cos x denkleminin (0, 2π) aralığındaki çözüm kümesi nedir?
3) , ve10 2 10
9π π π 4)
π,π35
3' 1
1. sin cosx x2 3 2= denkleminin [0, 2π] aralığında kaç tane kökü vardır?
2. tan x + cot x = 2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki kökler toplamı kaçtır?
1) 4 2) π23
Konu Özeti
� Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde;
I. Adım: Denklemin çözüm kümesi bulunur.
II. Adım: k yerine ..., – 2, –1, 0, 1, 2,... tam sayıları yazılarak olabilecek tüm kökler tespit edilir.
III. Adım: Bu köklerden verilen aralıkta olanlar alınır.
ÖRNEK (Verilen Aralıkta Kök Sayısı)
x ∈ (0, 180°) olmak üzere, tan 10x = tan 20° olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
ÇÖZÜM Ardışık tam sayılarda,
son terim – ilk terim"terim sayısı = –––––––––––––––– + 1" artış miktar
olduğunu hatırlayınız.
tan 10x = tan 20° ve k ∈ Z olmak üzere
10x = 20° + k · 180° ⇒ x = 2° + k · 18° dir.
k = 0 için x = 2° ∈ (0°, 180°)
k = 1 için x = 2° + 2 · 18 ∈ (0°, 180°)
k = 9 için x = 2° + 9 · 18° ∈ (0°, 180°)
k = 10 için x = 2° + 10 · 18° ∉ (0, 180°)
0° < x < 180° olduğu için k nın değeri 0, 1, 2,...,9 olabilir.
Terim sayısı = 19 0 1 10-
+ = ise x in alabileceği 10
farklı değer vardır.
ÖRNEK (Belirli Aralıktaki Kökler)
0° < x < 360° olmak üzere, sin x2 23
= olduğuna göre x in alabileceği değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM sin sin sinx x2 23 2 60°
3 2
&= =H
ve k ∈ Z
olmak üzere;
2x = 60° + k · 360° V · °k 360+°x2 120° °180 60
=
-E
⇒ x = 30° + k · 180° V x = 60° + k · 180°
k = –1 için x = –150° V x = –120° dir.
k = 0 için x = 30° V x = 60° dir.
k = 1 için x = 210° V x = 240° dir.
k = 2 için x = 390° V x = 420 dir.
Buna göre, verilen denklemin 0° < x < 360° için çözüm kümesi, Ç = {30°, 60°, 210°, 240°} dir.
TRİGONOMETRİK DENKLEMLERBelirli Bir Aralıktaki Kökler
114
3. ≥tanx31 eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
kümesi nedir?
4. cot x1 3≤ <- eşitsizliğinin (0, 360°) aralığında çözüm kümesi nedir?
1) ,π,
6 27 36 2
π π π,m m; ; 2) °, ° °, °30 135 210 315,^ ^@ @
1. sinx 23
> eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
kümesi nedir?
2. ≤cosx 21 eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözüm
kümesi nedir?
1) π,π32
3c m 2) ,
3 35π π; E
Konu Özeti
� Trigonometrik eşitsizliklerin çözüm kümeleri tespit edilirken, "birim çember" üzerinde eşitsizliği sağlayan yayların açı ölçülerinin aralıkları tespit edilir.
ÖRNEK
b) cosx 2
2= nin [0, 2π] aralı-
ğındaki kökleri π πve4 47 tür.
y
7π––4
π––4
2πO x2
2
≥cos 22 eşitsizliğini sağlayan yay ölçüleri birim
çemberde görüldüğü üzere ≤ ≤ πx0 4 ve π ≤ ≤ πx47 2
aralığındadır.
O halde ,Ç , π π π0 4 47 2,= ; ;E E dir.
c) tanx 3= ün [0, 2π] aralığın-
daki kökleri π3 ve π34 tür.
y
4π––3
π––3π––2
2πO x
(1, )3
3π––2
tanx 3< eşitliğini sağlayan yay ölçüleri birim çemberde görüldüğü üzere,
;x x0 3 2 34π π π
< < < < ve π πx23 2< < aralığındadır.
O halde ,,Ç , π ππ π π0 3 22 34
23
, ,= c c cm m m dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki eşitsizliklerin [0, 2π] aralığındaki çözüm ara-lıklarını bulunuz.
a) sinx 21
> b) ≥cosx 22 c) tanx 3<
ÇÖZÜM
a) sinx 2
1= nin [0, 2π] aralığın-
daki kökleri π πve6 65 dır.
y
5π––6π––61/2
O x
sinx 21
> eşitsizliğini sağlayan yay ölçüleri birim çem-
berde görüldüğü üzere, π πx6 65
< < aralığındadır.
O halde ,Ç π π6 65
= c m dır.
Trigonometrik EşitsizliklerTRİGONOMETRİK DENKLEMLER
123
2. f(x) = 1 + tan x fonksiyonunun [0, 2π] aralığında grafi-ğini çiziniz.
x
y
O
2)
x
y
21
π 2ππ––4π––2
3π––43π––2
O
1. f: [0, π] → R, f(x) = 2 cos 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
y
O
1) x
y
2
–2
ππ––4
π––23π––4
O
Konu Özeti (Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği)
� f(x) = a cos (bx + c) + k türündeki fonksiyonların gra-fiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleyelim.
Konu Özeti (Tanjant Fonksiyonunun Grafiği)
� f(x) = a tan (bx + c) + k türündeki fonksiyonların gra-fiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleyelim.
ÖRNEK
f(x) = tan x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM "tan: ,R k k Z R2π · π "!- +' 1 " olduğunu
hatırlayınız.
( ) tan cossinf x x xx
= = olduğundan cos x = 0 ın
kökleri olan " π · π,x k k Z2 d= + " değerinde
f(x) = tan x tanımsızdır ve grafiği x k2π · π= +
doğrularını kesmez.
f(x) = tan x fonksiyonun periyodu, π πT1
= = dir.
x
tan x+∞ –∞
0 π/4 π/2 3π/4 π
0 1 –1 0
–πx
y
3π––2–1
1
π... ...
π 2ππ––4
3π––4π––2
o
π π
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) f(x) = cos x b) f(x) = 1 – cos 3x
ÇÖZÜM "cos: x → [–1, 1]" olduğunu hatırlayınız
a) f(x) = cos x fonksiyonunun periyodu, π πT12 2= = dir.
x
cos x
0 π/2 π 3π/2 2π
1 0 –1 0 1
–2π x
y
3π––2–1
12π... ...
π2π
π––2o
2π
b) f(x) = 1 – cos 3x fonksiyonunun periyodu π πT32
32
= =
x
3x
1 – cos 3x
0 π/6 π/3 π/2 2π/30 π/2 π 3π/2 2π
0 1 2 1 0
–2π x
y
π––6π––3
π––22π––3
4π––3
1
2
2π––3... ...
2πo
2π––32π––3
Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonunun Grafiği TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
124
1. x ∈ [0, 2π] için cos x3 52
= denkleminin kaç tane kökü vardır?
2. [–π, π] aralığında 3 sin 4x = cot 2x denklemini sağla-yan kaç tane x değeri vardır?
1) 6 2) 12
1. f: [0, π] → R, f(x) = 1 + cot 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
y
O
1)
x
y
2
1
π––4π––8
π––25π––8
7π––8π3π––8
3π––4O
Konu Özeti (Kotanjant Fonksiyonun Grafiği)
� f(x) = a cot (bx + c) + k türündeki fonksiyonların gra-fiklerini ve katsayılarının grafik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleyelim.
Konu Özeti (Grafik Yardımıyla Kök Sayısı Bulma)
� Trigonometrik bir fonksiyon ile doğrusal bir fonksiyo-nun eşitliğinden oluşan denklemlerin kök sayısı gra-fiklerindeki kesim noktaları ile tespit edilebilir.
ÖRNEK
f(x) = cot x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM "cot: R – {k · π, k ∈ Z} → R" olduğunu hatırlayınız.
( ) cot sincosf x x x
x= = olduğundan sin x = 0 ın
kökleri olan " ,x k k Z· π d= " değerinde
f(x) = cot x tanımsızdır ve grafiği x = k · π doğrula-rını kesmez.
f(x) = cot x fonksiyonunun periyodu, πT1π
= = dir.
x
cot x–∞ –∞+∞ +∞
0 π/4 π/2 3π/4 π
1 0 –1
–π π x
y
3π––43π––2–1
1
π... ...
2ππ––4
π––2–π––2
o
π π
ÖRNEK
Aşağıdaki denklemlerin kök sayılarını bulunuz.
a) x ∈ [0, 2π] için sin x2 43
= b) sin x = x
ÇÖZÜM
a) sin x2 43
= denklemi için siny x ve y2 43
= = fonksi-
yonlarının grafiğini çizip kesim noktalarını görelim.
y = sin 2x fonksiyonunun
periyodu, π πT22
= = dir. x
y
1
π 2π
y = sin2x–1
3/4
x1 x2 x3 x4
3y = –– 4
o
sin x2 43
= eşitliğini sağlayan [0, 2π] aralığında 4 adet x
değeri vardır.
b) sin x = x denklemi için y = sin x ve y = x fonksiyonları-nın grafiğini çizip kesim noktalarını görelim.
y = sin x fonksiyonunun
periyodu, T = 2π dir.
x
y
1
2π–2π
y = sin2xy = x
–1
x1
x2 x3
o
sin x = x eşitliğini sağlayan 3 adet x değeri vardır.
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği/Grafik Yardımıyla Kök Sayısı BulmaTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
125
2. f(x) = (m – 2) sin x + cos3 x + (n + 1)x + 2 fonksiyonu-nu çift fonksiyon ise m + n toplamı kaçtır?
3. f fonksiyonunun grafiği orjine göre simetriktir.
f(x) + 3f(–x) = (a – 4) cos x + a tan x olduğuna göre,
f 4πc m değeri kaçtır?
2) 1 3) –2
1. Aşağıda verilen fonksiyonların tekliğini (T), çiftliğini (Ç) ile belirtiniz.
a) f(x) = x2 + cos x + 1
b) ( ) sinf xxx x12=+
+
c) f(x) = sin x · cos x + 3x
d) ( )costanf x
x xx x3
4
2 2=
+
+
1) a) Ç b) T c) T d) Ç
Konu Özeti
� f: R → R, ∀x ∈ R için,
v f(–x) = f(x) ise f fonksiyonu çitftir.
v f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu tektir.
� Geometrik olarak,
x
Çift fonksiyon Tek fonksiyon� �
y = x2
o x
yyy = x
simetri merkezisimetri ekseni
� Trigonometrik fonksiyonlar için,
v Kosinüs fonksiyonu açısının eksiliğini yutan (cos (–x) = cos x) ve y eksenine göre simetrik olan çift bir fonksiyondur.
v Sinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları açısının eksiliğinin çıkaran (sin (–x) = –sin x, tan (–x) = –tan x ve cot (–x) = –cot x) ve orjine göre simetrik olan tek fonksiyonlardır.
Bir fonksiyon tek ya da çift olmak zorunda değildir!
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların tekliğini - çiftliğini belirtiniz.
a) f(x) = cos x + 15 b) g(x) = sin x + tan x + x3
c) h(x) = cos x + sin x d) k(x) = cos x · sin x
ÇÖZÜM
a) f(–x) = cos (–x) + 5 = cos x + 5 = f(x)
⇒ f(–x) = f(x) olduğundan f çifttir ve grafiği y eksenine göre simetriktir.
b) g(–x) = sin(–x) + tan(–x) + (–x)3 = –sin x – tan x – x3
( ) ( )sin tanx x x g x( )g x
3=- + + =-1 2 34444 4444
⇒ g(–x) = –g(x) olduğundan g tektir ve grafiği orjine göre simetriktir.
c) ( ) ( ) ( )cos sin cos sinh x x x x xcos sinx x
- = - + - = -
-6 7 844 44 H
h(–x) ≠ h(x) ve h(–x) ≠ –h(x) olduğundan h tek ya da çift değildir.
d) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin cos sinx x x x x k xk · ·cos sinx x
- = - - =- =-
-6 7 844 44 H
⇒ k(–x) = –k(x) oldğundan k tektir ve grafiği orjine göre simetriktir.
Trigonometrik Fonksiyonların Tekliği - Çiftliği TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
137
1. Şekilde verilen açı için aşağıdakilerden B
AC
hangisi yanlıştır?
A) B noktası CBA açısının köşesidir.
B) [BA ve [BC ışınları ABC açısının sırasıyla başlan-gıç ve bitim kollarıdır.
C) ABCW saatin dönme yönünde bir açıdır.
D) CBAW negatif yönlü bir açıdır.
E) [ [CBA BC BA,=W dir.
2. A ve B bir çember üzerindeki farklı iki noktadır.
Minor AB yayının açı ölçüsünün yönlü değeri 155° olduğuna göre major AB yayının açı ölçüsünün yönlü değeri kaç derecedir?
A) –315° B) –205° C) 155° D) 205° E) 315°
3. 1785'' lik açı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 13° 5' B) 13° 5'' C) 29' 45''
D) 45' 29'' E) 48' 29''
4. Aşağıdakilerden hangisi 10° 50' lık açıya eşittir?
A) 650'' B) 650' C) 30900''
D) 36000'' E) 60° 10''
5. 34° 15' 21'' lik açının üçte biri aşağıdakilerden hangi-sine eşittir?
A) 11° 5' 7'' B) 10° 7' 5'' C) 7° 25' 11''
D) 11° 25' 7'' E) 25° 11' 7''
6. ( ' '' ( ' '') )m A ve m B45 50 30 3 40 15= =c cW W dir.
Buna göre ( ) ( )A Bm m3-W W işlemi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 29° 45' 49'' B) 29° 50' 45'' C) 34° 39' 35''
D) 34° 49' 45'' E) 35° 49' 40''
7. Şekilde;
A
B
C
O
DE
( ) ( ) ' ''m AOB m DOE 5 30 40= = cX X , ve ( ) ' ''m B CO 3 40 15= cX dir.
AOEX dik açı olduğuna göre COD açısının ölçüsü nedir?
A) 75° 18' 25'' B) 73° 25' 35'' C) 70° 32' 42''
D) 65° 38' 23'' E) 60° 40' 50''
8. Bir ABC üçgeninde; ( ) ' ''AB AC ve m B 55 45 15= = cW dir.
Buna göre, A açısının ölçüsü nedir?
A) 68° 29' 30'' B) 68° 30' 29'' C) 67° 29' 30''
D) 69° 29' 30'' E) 69° 30' 30''
Açısal Kavramlar KONU TESTİ - 1
1381. D 2. B 3. C 4. B 5. D 6. D 7. A 8. A 9. B 10. B 11. A 12. E 13. B 14. C 15. C 16. E
13. Aşağıda radyan cinsinden ölçüleri verilen açılardan
hangisinin esas ölçüsü 47π değildir?
A) π473– B) π
445– C) π
415
D) π423 E) π
431
14. x açısının esas ölçüsü 200° dir.
Buna göre, x4 açısının esas ölçülerinden biri aşa-
ğıdakilerden hangisi olamaz?
A) 50° B) 140 C) 200° D) 230° E) 320°
15. 1,57 radyanlık açı kaç derecedir? π ,3 14,^ h
A) 30 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120
16. 2 radyanlık merkez açısının gördüğü yayının uzunlu-ğu 6 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm dir?
A) π B) 2π C) 3π D) 4π E) 6π
9. (15,33)° = 15° x' y'' olduğuna göre y – x farkı kaça eşittir?
A) 19 B) 29 C) 38 D) 48 E) 52
10. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) 0° = 0 rad. B) °rad3 30π= C) °rad2
3 270π=
D) ° rad90 2π
= E) 360° = 2π rad
11. Aşağıdakilerden hangisinin esas ölçüsü 10° dir?
A) 370° B) 780° C) 1070° D) 2000° E) 2020°
12. Birim çemberde aşağıda ölçüleri verilen yaylardan hangisinin bitim noktası –100° lik yayın bitim nokta-sı ile çakışır?
A) 140° B) 160° C) 180° D) 240° E) 260°
139
1. Aşağıdaki noktalardan hangisi birim çember üzerin-de bir noktadır?
A) (0, 1) B) (1, 1) C) (1, –1)
D) (–1, 1) E) (–1, 2)
2. Birim çember üzerindeki ,T 21
23c m noktası kaç dere-
celik merkez açıyı görür?
A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°
3. Dik koordinat düzleminde orjine uzaklığı 1 birim olan noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x2 + 1 B) x = y2 + 1 C) x · y = 1
D) x y 1+ = E) x2 + y2 = 1
4.
OA x
y
D
α
B
C
E(a,b)
Şekildeki birim çember-de ( ) αm AOE =X ve çember üzerindeki E noktasının koordinatları (a, b) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğru olarak verilmiştir?
A) asin ba
= B) acos b= C) atan a=
D) acot ab
= E) asec a1
=
5. Birim çemberde ordinatı 23 olan II. bölgedeki açının
apsisi nedir?
A) –1 B) 23– C) 2
2– D) 21– E) 4
1–
6. ,K m22 1– -^ h; E noktası birim çember üzerinde
olduğuna göre m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 21 B) 1 C) 2
3 D) 2 E) 3
7. Aşağıdakilerden hangisi trigonometrik çember için doğrudur?
A) x = 0 doğrusu kosinüs eksenidir.
B) y = 0 doğrusu sinüs eksenidir.
C) x = 1 doğrusu sekant eksenidir.
D) y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir.
E) x + y = 1 doğrusu kosekant eksenidir.
8. ,A51
52f p birim çember üzerinde q açıklık ölçüye
sahip bir nokta olduğuna göre tan coti i+ toplamı kaçtır?
A) 2 B) 25 C) 3 D) 2
7 E) 4
Trigonometrik Çember KONU TESTİ - 2
1401. A 2. B 3. E 4. E 5. D 6. D 7. D 8. B 9. B 10. A 11. A 12. B 13. B 14. A 15. E 16. D
13. x y m xy n4 4 32 2+ + - =^ h ifadesinin birim çember belirtmesi için m + n toplamı kaç olmalıdır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
14. a x b y c3 4 32 2- + - + =^ ^h h denklemi birim çember denklemi olduğuna göre a + b + c toplamı aşağıdaki-lerden hangisi olamaz?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
15.
OA x
y
D
α
B
C
Şekilde iki köşesi birim çember üzerinde bir köşesi orijinde olan OBC üçgeni verilmiştir.
( ) am AOB =X olduğuna göre OBC üçgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos– \ B) cos2\ C) 2
1
D) 1 E) sin2\
16.
Ox
x = 1
y = 1
y
dc
α-1
-1
1
1
ba
Şekilde verilen birim çemberde a açısı için verilen aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) αcos a= B) b ca
= C) ·b d 1=
D) αtan ba
= E) αsin c=
9. Aşağıda açı ölçüleri verilen yayların trigonometrik çember üzerindeki bitim noktaları verilmiştir.
Buna göre verilenlerden hangisi yanlıştır?
AÇI NOKTA
A) 0° (1, 0)
B) 90° (1, 1)
C) 180° (–1, 0)
D) 270° (0, –1)
E) 360° (1, 0)
10.
α
AO
B
C
Şekildeki çeyrek birim çember-de ( ) am COB =X olduğuna göre taralı alan aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) °a asin360 2π- B) °
a acos360 2π-
C) °a atan360 2π- D)
° a acos360
902°
π--
^ h
E) °° a acot360
902
π--
^ h
11. a x b y2 1 62 2- + + =^ ^h h ifadesinin birim çember belirtmesi için a + b toplamı kaç olmalıdır?
A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
12.
OA
P
x
y
D
α
B
Cθ
Şekildeki birim çemberde m OPA \=^ hX ve m POB i=^ hX olduğuna göre P'nin koordinatları aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (cosq, sinq) B) (sinq, cosq)
C) (sina, cosa) D) (1, 0)
E) (0, 1)
157
1. CD
BA
αABCD dikdörtgeni 12 eşkenardan oluşmuştur.
Buna göre, asec değeri kaçtır?
A) 43 B) 3
4 C) 53 D) 3
5 E) 125
2. Bir ABC üçgeninde; AB cm6= , BC cm7= ve AC cm5= dir.
Buna göre, cosA Bcos5 7+W W ifadesi kaça eşittir?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
3. α
Eş karelerden oluşan yandaki şekle göre, acot değeri kaçtır?
A) 43 B) 3
4 C) 53 D) 3
5 E) 125
4.
A B
E
D C
Şekildeki ABCD kare ve EB DE5 = olduğuna göre, ( )tan AEDW kaçtır?
A) 21 B) 1 C) 2
3 D) 2 E) 25
5. , πx 0 2! c m olmak üzere cos sinx x3 7 52 + = olduğu-
na göre cot x kaça eşittir?
A) 42 B) 2
2 C) 1 D) 2 E) 2 2
6. α
A B
E
D CŞekilde ABCD kare,
CE AB2 = ve ( ) αm AEB =W dır.
Buna göre, acosec değe-ri kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 2 D) 5 E) 6
7.
B
4
6
A
CD
α
Şekilde ABCD dik yamuk, DC br4= , AD br6= ve
Alan(ABCD) = 33 br2 ve ( ) αm CBA =W dır.
Buna göre, acos kaçtır?
A) 31 B)
51 C) 2
1 D) 52 E) 3
2
8.
BAx
yCD Şekilde ABCD dikdörtgeni 7 eş
dikdörtgenden oluşmuştur.
Buna göre tan x · cot y çarpımı kaça eşittir?
A) 31 B) 2
1 C) 32 D) 2
3 E) 2
KONU TESTİ - 11Trigonometrik Oranlar
1581. D 2. C 3. C 4. C 5. E 6. D 7. B 8. D 9. E 10. E 11. C 12. C 13. B 14. A 15. E 16. B
13.
α
A BR
P
K
N M
L
D C
Şekildeki küpte P ve R orta noktalar ve ( ) αm PMR =X dır.
Buna göre, cos \ de-ğeri kaçtır?
A) 32 B) 5
3 C) 54 D) 5
5 E) 56
14.
A(3,0)
B(0,4)
xO
y
D
C Şekildeki dik koordinat sisteminde ABCD kare, A(3,0) ve B(0,4) dir.
Buna göre, ( )tan AODX değeri kaçtır?
A) 73 B) 5
3 C) 43 D) 3
4 E) 35
15.
α
A BK
D C
A' B'
D' C' Şekildeki ABCDA'B'C'D' küpünde; BK KC= ve ( ' ' ) αm BAK =Y olduğuna
göre, cos \ nın değeri kaçtır?
A) 35 B) 3
1 C) 45 D)
51 E) 3
2
16.
BD
C
d
A
[AD] çaplı yarım çembere d doğrusu C noktasında teğettir.
, ( ) aAD cm DB cm ve m CD B8 6= = =W olduğu-na göre, acos2 nın değeri kaçtır?
A) 51 B) 5
2 C) 53 D) 5
4 E) 65
9.
53°
2,8 mA B
Şekildeki aşırı rüzgardan kırılmış sokak lambası-nın zemine değdiği A ve B noktaları arası mesafe 2,8 m dir.
Sokak lambasının kırık parçaları arasındaki açı 53° olduğuna göre, sokak lambasının kırılmadan ön-ceki boyu kaç m dir? ° , .sin dir53 0 8,^ h
A) 3,2 B) 3,6 C) 4 D) 4,8 E) 5,6
10. Bir ABCD yamuğunda; ,AB CD AB AD='6 6 6 6@ @ @ @, BC br ve CD br15 6= = dir.
sin(CBWA) = 0,6 olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç br2 dir?
A) 36 B) 42 C) 54 D)60 E) 108
11.
BA
CD
6
13
E x
ABCD dikdörtgeninde ( ) ( )m ADE m BEC=X W , EB AE< , AB br6= ve DC br13= olduğuna
göre, EB x= kaç br dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 3 2 E) 2 5
12.
A B
T
CO
Şekilde O merkezli yarım çemberde, [AT, O merkezli çembere T noktasında teğettir.
AB OC3= olduğuna göre, cos ( )BATW kaçtır?
A) 41 B) 2
1 C) 415 D) 5
2 5 E) 52 6
159
Trigonometrik Bölge İşaretleri ve Özdeşlikler
1. sin55° aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
A) –sin235° B) sin125° C) –cos305°
B) cos35° E) cos325°
2. sin cos tan cot5 4 5 273π · π π π
+ - c m işleminin sonucu
kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) πsin sini i- =^ h B) coscos π –i i- =^ h
C) tan tanπ –i i- =^ h D) cotcot π i i- =^ h
E) cosec cosecπ i i- =^ h
4. Aşağıdakilerden hangisi αcos 2π-c m ya eşit değildir?
A) αsin B) αcos 23π+c m C) αsin 2π +^ h
D) π αsin -^ h E) αsin –^ h
5. sin tan
tan xx x180
180 360°
° °- - +
+^^ ^
hh h
ifadesinin eşiti aşağı-
dakilerden hangisidir?
A) –1 B) 0 C) cosx – 1
D) cos2 x – 1 E) cosx + 1
6. ° °° °
cos cotsin tan
33 2130 120 00 0-
+ işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 23 C) 2
1 D) 23– E) –3
7. cos2105° + cos2120° + cos2135° + cos2150° + cos2165° işleminin sonucu kaçtır?
A) 0 B) 21 C) 1 D) 2
3 E) 25
8. I. πcos sin23
i i+ =c m III. π cossin i i- =^ h
II. cottan 2πi i=-c m IV. cot tan2
3π –i i- =c m
Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri yanlıştır?
A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III
D) I ve IV E) III ve IV
9. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) πsin125 1= B) πcos 6109 0=
C) tan 623
33– π
=c m D) πcot 2127
23
=
E) πsin 211 0– =c m
10. ( ) π πsin cosf x x x 23
= + - -^ ch m olduğuna göre,
f 4317πc m nın değeri kaçtır?
A) 23– B) –1 C) 0 D) 2
3 E) 1
KONU TESTİ - 12
1601. C 2. C 3. D 4. E 5. C 6. A 7. E 8. E 9. C 10. C 11. D 12. B 13. E 14. D 15. C 16. C 17. D 18. A 19. D
15. I. cos330 23
=c III. cot tan340 70–=c c
II. sin 210 23– –=c^ h IV. tan 135 1– –=c^ h
Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri doğrudur?
A) I ve IV B) II ve III C) I ve III
D) III ve IV E) I ve II
16. ( ) sin tanf x x x2 3= - olmak üzere f x2π+c m in eşiti
aşağdakilerden hangisidir?
A)sin cotx x2 3- B) cos tanx x2 3-
C) sin cotx x2 3– + D) sin tanx x2 3+
E) tan cosx x3 2-
17. πtanx2 i= +^ hotcy3 2π i= +^ h
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdaki-lerden hangisidir?
A) 2x = 3y B) 2x + 3y = 1 C) 2x + 3y = 0
D) ·x y 61
= E) 4x2 = 9y2
18. sin40° = a olmak üzere
sin(–140°) + cos400° + cos140° – tan220° · cos320° işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2a B) –a C) 0
D) 1 E) a2 1 2-
19. tan cota b ve a b a b2 3 2 2 23π
+ = + + =+^ ^h h olduğu-
na göre, sina · sinb çarpımı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 25– B) –1 C) 0 D) 5
2 E) 1
11. π α
α
sin
sin
223π
+
-
^c
hm
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) αsin B) αcot 2π+c m C) π αtan +^ h
D) π αcot -^ h E) αtan 23π-c m
12. °° ° °tan
tan sin sin29
7 5 230
0 0 0+ + ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
13. I. π πcos sin2 i i- = -c ^m hII. π tantan 3 –i i- =^ hIII. cossin 2
5πi i- =c m
IV. cot cot πi i- = -^ ^h hV. cos sin2
π –i i- = -c ^m hVI. π πcossin 4 2
3–i i+ = -^ ch mYukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14. cosec coscos tan
tancos sin
0 3000 135
240225 210
1521
°· °°· °
°°· °2
2
2+ işleminin
sonucu kaçtır?
A) –1 B) 32– C) 4
3– D) 65– E) 4
3 Ç - 10
175
Toplam Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu
1.
B
A
CD
3
6
5
Şekildeki ABC üçgeninde AD BC=6 6@ @, AB br5= ,
AD br3= , DC br6= dir.
Buna göre, ( )cos BACW kaçtır?
A) 51– B)
54– C) 75
7 5–
D) 703 5 E) 75
11 5
2. A, B ve C bir üçgenin iç açıları olmak üzere,
cos tan sincos tan sin
C B CA B A
··
-
- ifadesi aşağıdakilerden hangisi-
dine eşittir?
A) coscos
BA– B) tan
tanCA– C) 1
D) coscos
AC E) sinsin
AC
3.
BA
CD
Ex
Şekilde ABCD kare, EBBC4=
ve m DEA x=^ h dir.
Buna göre tan x kaçtır?
A) 1312 B) 1 C) 13
14 D) 1315 E) 13
16
4.
θB
A
D 41 2√5
_
C
Şekildeki ABC dik üçgeninde BD br1= , DC br2 5= , AC br4= ve ( )m BCD i=X dir.
Buna göre, coti kaçtır?
A) 213 B) 2
11 C) 29 D) 7
2 E) 25
5.
B
A
C
D
7
2420
15
ABCD dörtgeninde AB BC=6 6@ @, AB br20= , BC br15= , AD br24= ve DC br7= dir.
Buna göre, ( )sin BADW kaçtır?
A) 257 B) 5
3 C) 54 D) 25
24 E) 1
6.
Bx
A
C
D
ABC eşkenar üçgeninde DC AD2 = olduğu-
na göre tan x kaçtır?
A) 83 B) 6
2 C) 63 D) 5
2 E) 53
7. A
B
Cx
Yandaki şekil eş karelerden meydana gelmiştir.
Buna göre ( )m ABC x=W kaç dere-cedir?
A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
8.
B 3
x
2
A
C45°D
Şekilde ABC dik üçgen ( )m ACB 45= cX , BD br3= , DC br2= ve ( )m DAC x=W dir.
Buna göre, tan x kaçtır?
A) 21 B) 3
1 C) 41 D) 6
1 E) 81
KONU TESTİ - 20
1761. A 2. D 3. E 4. B 5. C 6. E 7. C 8. C 9. B 10. B 11. D 12. A 13. C 14. A 15. C 16. E
13.
BA
CD
E
FG
Şekilde ABCD ve AEFG karedir.
EBAB4= olduğuna göre
( )cot DFB kaçtır?
A) 41– B) 2
1– C) 43– D) 2
3 E) 34
14.
α
A
B
CYukarıdaki şekil 8 özdeş kareden oluşmaktadır.
Buna göre acos kaçtır?
A) 6513 B) 60
13 C) 4513 D) 20
13 E) 1313
15.
α
BA
CD E
F
Şekilde ABCD karedir. E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır. AB br4= olduğuna göre atan değeri kaçtır?
A) 41 B) 2
1 C) 43 D) 3
4 E) 45
16.
BA C D E
FG
HK
LM
NP
Yukarıdaki şekilde ABNP, BCLM, CDHK ve DEFG bi-rer karedir.
AB DE BC CD4 4 2= = = olduğuna göre
( )cot ALEW kaçtır?
A) 112– B) 11
5– C) 1113– D) 11
14– E) 1116–
9. A
B
C
Birim kareler üzerine çizilmiş yandaki ABC üçgeninin A açısının tanjantı kaçtır?
A) –35 B) –21 C) 935– D) 3
25 E) 27
10.
α
A B
EF
3
5
4
D C Şekilde ABCD dikdört-gen, AB br5= , AD br4= , BF br3=
ve ( ) αm BEF =W dir.
Buna göre, acot de-ğeri kaçtır?
A) 3512 B) 35
13 C) 52 D) 7
3 E) 3516
11.
BA
CD
E
Fx
Şekilde ABCD kare, AE EB2 3= ve ( )m AFE x=W
dir.
Buna göre, sin x değeri kaçtır?
A) 171710 B) 17
8 17 C) 176 17
D) 174 17 E) 17
172
12.
BA
CD
14
4
6
Şekilde ABCD dik yamuk AD DC=6 6@ @, AD AB=6 6@ @, AB br14= , AD br6= ve DC br4= dir.
Buna göre, ( )tan ACBW kaçtır?
A) –21 B) –16 C) –12 D) 91– E) 15
1–
177
Toplam Fark Formüllerinin Geometrik Yorumu
1.
α
A BE
D C
Şekildeki ABCD dikdört-
geninde
AE EB BC3 2 6= =
dir.
Buna göre, asin kaçtır?
A) 52 B) 4
2 C) 32 D) 2
2 E) 2
2.
B
x
A
CD
ABC üçgeninde AD DC= ,
( )sin BAD 135
=W dir.
Buna göre, tan x kaç-tır?
A) 31 B) 3
2 C) 1 D) 34 E) 3
5
3.
B
θ
A E
F
CD Şekilde ABCD kare, BE AE5 = ve
( )m BDE i=X dir.
Buna göre, coti de-ğeri kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 6 D) 41 E) 6
1
4.
α
A B
ED C Şekilde ABCD dikdört-gen E ∈ [DC], EC AB br3 6= = , BC br3= dir.
Buna göre, atan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 111 B) 10
1 C) 112 D) 11
3 E) 52
5. Dik koordinat sisteminde A, B ve C noktalarının koor-dinatları sırası ile (2, 5), (–3, 7) ve (–4, –5) dir.
Buna göre, BAC açısının tanjantı kaçtır?
A) 54 B) 5
12 C) 524 D) 5
31 E) 534
6.
α
A
B
C
Yandaki şekil 6 özdeş kareden oluşmaktadır.
Buna göre, acot kaçtır?
A) 38 B) 49 C) 59 D) 1011 E) 79
7.
BA
CD 12
E
513
x
ABCD dik yamuğunda EC CB=6 6@ @, AD AB=6 6@ @, ED br5= , DC br12= , BC br13= ve
( )m AEB x=W dir.
Buna göre, sin x kaçtır?
A) 262 B) 26
5 2 C) 2613 2 D) 26
17 2 E) 2625 2
8.
BA
CD Şekildeki ABCD dörtgenin-de DA AB=6 6@ @, tan D 2=X
ve tanC 21–=X olduğuna
göre cos BW aşağıdakiler-den hangisidir?
A) 52 B) 5
3 C) 54 D) 6
5 E) 73
KONU TESTİ - 21
1781. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. D 7. D 8. B 9. B 10. D 11. C 12. B 13. A 14. D 15. B 16. E
9.
B
x
A
CD
E1
2
34
K
ABC dik üçgen AC BC=6 6@ @, BD br4= , DC br3= , EC br2= , AE br1= ve
( )m DKE x=W dir.
Buna göre, tan x değeri kaçtır?
A) 97– B) 9
5– C) 1 D) 79 E) 5
9
10.
BEa
bc
A
C
D Şekilde ABCD dik yamuk, AD AB=6 6@ @, AB BC=6 6@ @ dir. ( )m AED a=W , ( )m DEC b=W , ( )m CEB c=W ,
sina 31
= ve sinc 21
= olduğuna göre sin b kaçtır?
A) 62 2 3- B) 3
3 2- C) 63 2+
D) 63 2 2+ E) 3
3 4 2+
11.
B 4 8
A
CD
α
Şekilde ADC ikizkenar dik üçgen, AD DC= , AD AC=6 6@ @, BD br4= , DC br8= ve
( ) αm BAD =W dır.
Buna göre, tan a kaçtır?
A) –2 B) 23– C) 3
1 D) 32 E) 4
3
12.
α
BA
CD
E
FG
ABCD kare, AEFG dikdörtgen, AE AG2 = , AG GD= ve ( ) αm FAC =W dır.
Buna göre, tan a değeri kaç-tır?
A) 51 B) 3
1 C) 52 D) 3
2 E) 53
13.
B
A
C
D
E
Şekilde ABC eşkenar üçgen, BD AC=6 6@ @, BE ED2 = ve
( ) αm BAE =W dır.
Buna göre, atan kaç-tır?
A) 93 B) 6
3 C) 53 D) 3
3 E) 23
14.
B
D
A
CŞekildeki yarı çemberde [AB] çap, AC br24= , B brC 7= ve AD br20= dir.
Buna göre, CAD açısının sinüsü kaçtır?
A) 259 B) 25
17 C) 12536 D) 125
44 E) 12552
15.
Bx y z
A
CD E
F1
1
3 1 5
Şekildeki ABC dik üçgeninde AB BC=6 6@ @, AF FB DE br1= = = BD br3= , EC br5= ,
( )m FDB x=X , ( )m FEB y=W ve ( )m ACB z=X dir.
Buna göre x + y + z toplamı kaç derecedir?
A) 30° B) 45° C) 60° D) 120° E) 150°
16.
A B
KD C
EF
LH G
ABCDEFGH küpünde HF EG L+ =6 6@ @ dir.
BK KF3 = olduğuna göre, [DL] ve [DK] ara-sındaki açının tanjantı kaçtır?
A) 53 B) 5
2 3 C) 53 2 D) 5
4 2 E) 75 2
197
1.
Şekilde düzgün sekizgen biçimindeki kitaplığın arka
tarafı kontraplak ile kapatılacaktır. Kitaplığın simetri
merkezinin bir köşesine uzaklığı 2 m olduğuna göre,
kitaplığın arka tarafı için marangozdan kaç m2 lik kontraplak kestirilmelidir?
A) 8 B) 8 2 C) 8 3 D) 12 E) 12 6
2. 60°
C
A B
BetülAli
Buluşmak için birbirleri ile telefon görüşmesi yapan A noktasındaki Ali'nin ve B noktasındaki Betül'ün tele-fonlarının sinyal aldığı C noktasındaki baz istasyonu-na uzaklıkları sırasıyla 12 km ve 10 km dir.
Telefonlar ile baz istasyonunu birleştiren doğrular arasındaki açı 60˚ olduğuna göre Ali ile Betül ara-sındaki uzaklık kaç km dir?
A) 42 B) 3 7 C) 5 5 D) 2 31 E) 3 62
3. Kuzey
DoğuBatı
Güney
o
12°
18°
V1 = √ 3 m/sn
V2 = 2 m/sn
Şekildeki gibi O noktasından belirtilen yönlerde ve hızlarda aynı anda yola çıkan iki aracın 6 sn sonra aralarındaki uzaklık kaç m olur?
A) 6 13 B) 6 15 C) 8 13
D) 10 15 E)12 13
4.
x
y
BK
Aa
O
Şekildeki birim çemberin K noktasının ordinatı 61 ve
( ) αm BOK =X dır.
Buna göre, O noktasından doğrusal bir yol boyun-ca önce K noktasına, sonra da B noktasına gide-cek olan bir örümceğin alacağı yol kaç br dir?
A) 1 15+ B) 1 53
+ C) 3151 +
D) 1 515
+ E) 1 35
+
5.
B
A
OK
El Feneri
Perde
Şekilde K noktasındaki bir ışık kaynağının perde üze-rinde oluşturduğu aydınlanmış bölge A ile B arasında-ki dairesel bölgedir.
Aydınlanmış bölgenin yarıçapı 4 br, ışık kaynağı-nın perdeye uzaklığı 6 br ve ( ) am AKB =W olduğu-na göre, cota değeri kaçtır?
A) 125 B) 2
1 C) 32 D) 4
3 E) 512
6.
BA
a
Şekilde yerden 4 km yükseklikte bulunan bir polis heli-kopteri hızları sabit ve birbirine eşit olan A ve B araçla-rını aydınlanma mesafesi sabit AB arası olacak şekilde aydınlatarak sabit hızla takip ediyor. Helikopterlerin A ve B araçlarına uzaklıkları sırasıyla 2 5 ve 5 km dir.
Buna göre, a açısının sinüsü kaçtır?
A) 53 5 B) 5
2 5 C) 55 D) 25
4 5 E) 252 5
KONU TESTİ - 31Trigonometrik Problemler
1981. B 2. D 3. A 4. C 5. A 6. E 7. B 8. C 9. B 10. B 11. D
10.
ML9 km
BA
K
a
Şekilde yerden 15 km uzaklıktaki A ve B savaş uçakları K noktasındaki hedefe şekildeki konumda iken atış yapıyorlar. Atış yapıldığı anda KL km9= ,
( ) αm AKB =W ve αtan 41
= tür.
Buna göre, atış yapıldığı anda bu iki uçak arasın-daki uzaklık kaç km dir?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
11.
a 2a
A
B
K
x
Sinema
Spor Salonu
Okul
Ev
C
Yukarıdaki şekilde Çağan'nın evi, okulu ve gittiği spor salonunun yerlerini ve yolunu gösteren kroki verilmiş-tir. Krokiye göre ABC üçgen, KXC B merkezli çember yayı, BK BC=6 6@ @, ( ) αm BAC =W ve ( ) αm BCA 2=X dır.
V m/dk hızla saat 8:00 da evden çıkan Çağan saat 8:16 da okula varmıştır. Okuldaki dersi bittikten son-ra okuldan ayrılıp aynı hızla t1 sürede spor salonuna gitmiş ve bir süre spor yaptıktan sonra aynı hızla t2 sürede sinemaya gitmiştir.
Buna göre, t1 + t2 nin a cinsinden eşiti aşağıdaki-lerden hangisidir?
A) αcos
8 B) αcos
16 2 C) αsin
4 8 2+
D) αcos
8 8 2+ E) sinα4 4 2+
7.
L4 km
2 km
A
K
a
Şekilde K noktasındaki bir tank zemin ile α derece-lik açı yaparak A noktaısındaki hedefi vurabiliyor. KL km4= , AL km2= olduğuna göre, bu tank ze-
min ile 2a derecelik açı yaparsa A dan kaç km uzak-lıktaki hedefi vurabilir? (Tankın boyu ihmal edilcek.)
A) 3 B) 310 C) 4 D) 3
14 E) 316
8.
ML
BA
K
a
Yerden 18 m yükseklikte uçan A ve B uçurtmalarının ipleri K noktasında zemine bağlıdır. AB m12= ve B uçurtmasının dik izdüşümü M için KM m24= oldu-ğuna göre, ipler arasındaki a açısı için tana değeri kaçtır?
A) 174 B) 17
5 C) 176 D) 17
7 E) 178
9.
B
A
L
2 m
6 m
4 m
K
El Feneri
Duvar
a
Şekilde K noktasındaki el feneri duvarın A ve B nok-taları arasını aydınlatıyor. AB m4= , BL m2= , KL m6= ve ( ) αm AKB =W dır.
Buna göre, cota nın değeri kaçtır?
A) 3 B) 2 C) 21 D) 3
1 E) 41
209
Ç - 1
ABC üçgeninde A dan [BC] ye dik indirilerek ABD ve ADC dik üçgenlerini oluşturalım.
B
A
7 br
a 7 – a
5 br 6 br
CD
BD a= dersek DC a7= - olur.
ABD& de cosB a
5= tir.
ADC& de cosC a
67
=- dır.
O halde,
· · ·cos cosB C a a5 6 55
66
7+ = +
-
a a7 7= + - = bulunur.
Ç - 2
A + B + C = 180° ⇒ A + B = 180° – C dir.
( ) ( ° )tan tanA B C180tanC
+ = -
-6 7 8444 444
tan tantan tan tan
A BA B C
1 1·&-
+= -
⇒ tan A + tan B = –tan C (1 – tan A · tan B)
⇒ tan A + tan B = –tan C + tan A · tan B · tan C
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C dir.
Ç - 3
° ( ° °)cos cos60 40 201 2
= +H
° · ° ° · °cos cos sin sin21 40 20 40 20
( ° )cos2 20 12
& = -
-H
( ° )· ° ° · ° · °cos cos sin cos sin21 2 20 1 20 2 20 20 202& = - -
° ° °· °cos cos cos sin21 2 20 20 2 20 20
( °)cos
3 2
1 202
& = - -
-H
°· ° °( °)cos cos cos cos21 2 20 20 2 20 1 203 2& = - -
cos cos cos cos21 2 20 20 2 20 2 20° ° ° °3 3& = - - +
⇒ 8 cos3 20° – 6 cos 20° – 1 = 0 dır.
cos 20° = x alırsak, 8x3 – 6x – 1 = 0 olur.
Ç - 4
Sinüs teoremine göre,
sin sin sinAa
Bb
Cc R2= = = olduğundan,
b = 2R sin B ve c = 2R sin C dir.
sin sinsin sin
b cb c
R B R CR B R C2 22 2
-
+=
-
+
Dönüşüm
( )( )sin sinsin sin
b cb c
R B R CR B C
2 22
&-
+=
-
+6 7 8444 444
1 2 34444 4444 Dönüşüm
tan B C2+c m cot B C
2-c m
cos sin
sin cos
b cb c
B C B C
B C B C
2 2 2
2 2 2
·
·&-
+=
+ -
+ -
c c
c c
m m
m m
·tan cotb cb c B C B C
2 2
tanB C
12
&-
+=
+ -
-
c c
c
m m
m6 7 8444 44
tan
tan
b cb c
B C
B C
2
2&-
+=
-
-
c
c
m
m olur.
Sizin İçin Çözdüklerimiz