*?�BM _mH2 Ĝその直観的な理解

戸瀬 信之

AhPa1 S_PC1*h

kyRd年 RR月

戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV *?�BM _mH2 Ĝその直観的な理解 kyRd 年 RR 月 R f Ry

MSF 2 0 2 0 E 05 Part 03 .

Part 0 2 a 、 方向 9知分 。

*?�BM _mH2

R2の開集合U とU 上のC1級関数

f : U �! R

が与えられているとします．

U 中の微分可能な曲線

(A,B) �! U t 7! (x(t), y(t))があるとします．

このとき R変数の関数 F : (A,B) ! Rを

F (t) = f(x(t), y(t))

と定義できます．

戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV *?�BM _mH2 Ĝその直観的な理解 kyRd 年 RR 月 k f Ry

vii.槖撿→

合成 =代入

F'lt) = ?

*?�BM _mH2UkV

定理

F 0(t) = fx(x(t), y(t)) · x0(t) + fy(x(t), y(t)) · y0(t)

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2 変数 内 たの全微分可能性。

パラメータ表示された曲線の接線⽅向 URV

上で与えた曲線の P0(a, b) =(x(0), y(0)) における接線⽅向は

✓x0(0)y0(0)

◆

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〇 式

パラメータ表示された曲線の接線⽅向 UkV

j次元空間中の曲線

c : (A,B) ! R3 t 7! (x(t), y(t), z(t))

が与えられているとき c のQ0(x(0), y(0), z(0)) における接線⽅向は

c0(0) =

0

@x0(0)y0(0)z0(0)

1

A

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空間中の k曲線が接するとき

j次元空間中の k曲線

c1 : (A,B) ! R3 t 7! (x1(t), y1(t), z1(t))

c2 : (A,B) ! R3 t 7! (x2(t), y2(t), z2(t))

が与えられていて点Q0(a, b, c)が共有されているとします．すなわち

(a, b, c) = (x1(t1), y1(t1), z1(t1)) = (x2(t2), y2(t2), z2(t2))

がある t1, t2 2 (A,B)に対して成⽴するとします．このとき

c1 と c2 がQ0で接する, C01(t1) k C0

2(t2)

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. . ... .短

空間中の接する k曲線

空間中には曲線

(x(t), y(t), F (t))

があって，x � y 平⾯の曲線(x(t), y(t))上を動きます．さらに別の曲線

(a + x0(0)t, b + y0(0)t, f(a + x0(0)t, b + y0(0)t))

が接線 (a + x0(0)t, b + y0(0)t)の上を動きます．k曲線は (a, b, f(a, b))で接します．

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→ ・

-.-蘅Iii_

.

mnnnne

接線⽅向 URV

曲線

(x(t), y(t), F (t))

の (x(0), y(0), F (0)) における接線⽅向は

0

@x0(0)y0(0)F 0(0)

1

A

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~

接線⽅向 UkV

G(t) = f(a + x0(0)t, b + y0(0)t)

とするとき，曲線

(a + x0(0)t, b + y0(0)t, G(t))

の t = 0の (a, b, f(a, b))における接線⽅向は

(x0(0), y0(0), fx(a, b)x0(0) + fy(a, b)y

0(0))

これは⽅向微分にあたります．

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Gitに gc a txt, et ft )

G'cos = t.g.ca 、 tit p.ggCaer)

G'( 0 )

x.- (な? ) 方 に

*?�BM _mH2

(x(t), y(t), F (t)) の接線⽅向0

@x0(0)y0(0)F 0(0)

1

A

と別の曲線 (a + x0(0)t, b + y0(0)t, G(t))の接線⽅向0

@x0(0)y0(0)

fx(a, b)x0(0) + fy(a, b)y0(0)

1

A

は平行です．

従ってF 0(0) = fx(a, b)x

0(0) + fy(a, b)y0(0)

戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV *?�BM _mH2 Ĝその直観的な理解 kyRd 年 RR 月 Ry f Ry

「籤

F(t, s ) = J (か (t, SS, y ( t, s s )

S = S o

Fit , SD = 5 ( 水 (t.sn, yet , Sol )

をもで 9年5 分

器 = J。。

( の いい、 y しすい) -器

~re

t Jy ( っく けか, y LTD器n.

書 = ち、く つるな +5が つい噐

、

☆ 弦内 た 定理、逆 内 た 定理.TT

*?�BM _mH2

(x(t), y(t), F (t)) の接線⽅向0

@x0(0)y0(0)F 0(0)

1

A

と別の曲線 (a + x0(0)t, b + y0(0)t, G(t))の接線⽅向0

@x0(0)y0(0)

fx(a, b)x0(0) + fy(a, b)y0(0)

1

A

は平行です．

従ってF 0(0) = fx(a, b)x

0(0) + fy(a, b)y0(0)

戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV *?�BM _mH2 Ĝその直観的な理解 kyRd 年 RR 月 Ry f Ry