実例で学ぶ 精度保証付き数値計算...sgcライブラリ–85 実例で学ぶ...
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SGCライブラリ–85
実例で学ぶ精度保証付き数値計算
理論と実装
中尾 充宏・渡部 善隆 共著
サイエンス社
まえがき筆者らはこれまで，主として偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算と取り組んできま
した．それはすでに四半世紀にわたりますが，未だその技術は確立・完成されておらず，今後も当
面は「進行形」のままであると思います．ご存じの通り，非線形偏微分方程式の解の存在に対する
統一的な理論は存在しません．そのため解の精度保証（数値的存在検証）についても，最終的には，
与えられた問題の特性に応じて様々な工夫を凝らす必要があります．そして，その「個別撃破」の
過程で生じる難点を克服していく中で，結果的に，何種類かの数値的検証アルゴリズムが開発され
てきました．
本書の目的の一つ目は，これらの検証原理とアルゴリズムを，発表順になるべく一般的な形で整
理・分類して提示することにあります．第 3章を通読していただければ，1988年に筆者のひとりに
より初めて提起された検証理論の概念が，終始一貫していることを理解していただけるかと思いま
す．そして第 4章では，いくぶん抽象的な記述であった第 3章の議論が，これまで実際の問題に対
しどのように適用されてきたかを概観しています．
本書の目的の二つ目は，第二部にあたる第 5章～第 7章で示す具体的な問題に対する検証定式化
とプログラミングを通して，「精度保証付き数値計算のプログラミングは職人芸ではない」ことを
納得してもらうことにあります．すべてのスクリプトと関数は，MATLABと MATLAB ツールボックス
INTLABがあれば動作するように作成されています．近年，この分野では，その研究の深化とともに，
定式化・アルゴリズムの提案に加え，検証例を得ることのできるプログラムを公開し，誰でも追試
が可能となって初めて認められる時代になりつつあります．実際，そのようなコメントが学術雑誌
等への投稿論文の査読者から寄せられることも多くなりました．本書では，洗練されたコーディン
グではないことを承知の上で，あえて実装コードを一部を除きすべて公開することにしました．「な
んだ，これなら自分でもできるな」と思っていただければ幸いです．
はなしの順序が逆になりましたが，第 1章では精度保証付き数値計算の概念と意義を，そして 2
章では，連立方程式など有限次元問題の解の精度保証について述べています．ただし，この部分は
第 3章以降への問題意識を涵養するためという立場から，いずれも簡単に触れるにとどめています．
これらについては，すでに他の解説書もいくつか出版されていますので，必要があればそちらを参
照してください．また，第 8章では，本書で登場する理論的側面を理解する上で必要な関数解析の
基本事項をまとめました．なお，必ずしもこれらをすべて理解しておかなくても，第 5章～第 7章
における検証アルゴリズムを理解し自らコーディングすることは十分可能だと思います．
最後に，INTLABの開発者である Siegfried M. Rump教授には，有限次元問題の精度保証および
プログラミングについて丁寧なアドバイスを何度もいただきました．あわせて，出版に際し，「数理
科学」編集部・平勢耕介氏には大変お世話になりました．この場を借りて厚くお礼申し上げます．
2011年 6月 九州にて中尾 充宏・渡部 善隆
•本書で記載されている会社名，製品名などは，一般に，関係会社／団体の登録商標または商標
または製品名です．
Unix(UNIX)は，米国 The Open Group が独占的にライセンスしている米国ならびに他の国
における登録商標です．
なお，©, ®, ™ などのマークは，特に明記していません．•本書で紹介したすべてのプログラムコード群（以下コード）を，
http://www.saiensu.co.jp/
の「サポートページ」にて公開します．コードはどなたでも無償で使用・再配布・改良して構
いません．ただし，申し訳ありませんが，コードを利用して得られた計算結果に対して発生し
た誤りについては，作成者および出版者はその責任を負いかねることをご了承ください．また，
原則としてバージョンアップは行わないものといたします．もちろん，コードを用いて得られ
た研究成果を作成者に報告する必要はありませんが，何か意義深い結果が得られたならば，お
知らせいただければ大変嬉しく存じます．
ii
目 次
第 1章 「精度保証付き数値計算」とは 1
1.1 数値計算の誤差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 精度保証付き数値計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 “きわめて希”な例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 丸め誤差: その 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 丸め誤差: その 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 丸め誤差: その 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 離散化誤差がもたらす “幻影解” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 計算の品質保証のために . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 2章 区間演算と有限次元問題の精度保証 7
2.1 区間演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 区間表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 区間に対する四則演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 区間演算の実装 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 区間演算の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 区間演算の注意点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 INTLABの概要と基本的な使い方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 INTLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 設定値の変更 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 区間の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 よく使われる関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Krawczyk法による有限次元問題の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 問題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Krawczyk-Moore作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 解の存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4 検証アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 連立 1次方程式の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 解の検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 検証アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 verifylss関数（INTLAB） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 固有値問題の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 正定値性の判定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 正定値性・半正定値性の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 行列ノルムの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.3 正定値性の判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.4 isspd関数（INTLAB） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 スペクトルノルムの評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.1 よく知られたノルム評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.2 一般の行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.3 Hermite行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.4 norm関数（INTLAB ） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.5 区間行列の取り扱い例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 ‖DH2 G−1D
12 ‖2 の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8.1 Gが一般の行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8.2 Gが Hermite行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8.3 速度と精度の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9 ‖DH2 G−1L
12 ‖2 の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9.1 Gが一般の行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9.2 Gが Hermite行列の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 Krawczyk法の適用例—“幻影解”の作成と検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10.1 コード一覧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10.2 方程式の離散化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10.3 有限次元非線形方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10.4 メタ行列の作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10.5 近似解の作成と有限次元の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10.6 実行結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
第 3章 精度保証付き数値計算の原理 32
3.1 解の検証アルゴリズムの紹介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 問題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 関数空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 解きたい方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3 内積とノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.4 埋め込み定数とノルム評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 条件 A1: A−1 の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 条件 A2: Aの内積表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3 A−1 のノルム評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.4 条件 A3: f の連続・有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.5 不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iv 目 次
3.4 適用する不動点定理の紹介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Schauderの不動点定理 (1930) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 Banachの不動点定理 (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 有限次元部分空間と射影誤差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.1 有限次元部分空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 射影と要素の分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.3 条件 A4: 射影の誤差評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.4 Aubin-Nitscheの技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.5 行列の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.6 Xh の要素のノルム表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 逐次反復に基づく検証手法: FS-Int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 不動点問題の分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 近似解と検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.3 無限次元部分の成立条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.4 有限次元部分の成立条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.5 FS-Intプログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Newton型作用素に基づく検証手法: FN-Int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.1 Newton型作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.2 [I −Q]−1h の行列・ベクトル表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.3 Newton型作用素Nh の由来 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7.4 Newton型作用素による不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7.5 有限次元部分の縮小性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7.6 FN-Intプログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 引き戻し手法による精度の改善 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8.1 直接的な引き戻し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8.2 X∗ 型引き戻し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9 FN-Intの局所一意性版: FN-IntU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9.1 残差ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9.2 候補者集合の設定と解の存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.9.3 FN-IntUプログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.10 有限次元ノルム評価に基づく検証手法: FN-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10.1 候補者集合の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.10.2 行列のスペクトルノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.10.3 検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10.4 FN-Normプログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.11 FN-Normの局所一意性版: FN-NormU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11.1 検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11.2 FN-NormUプログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
v
3.12 無限次元逐次反復に基づく検証手法: IS-Res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.12.1 引き戻し形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.12.2 不動点定式化と解の検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.12.3 解の局所一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.12.4 局所一意性範囲の拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.12.5 なぜ引き戻さなくてはならないのか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13 無限次元 Newton法に基づく検証手法: IN-Linz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13.1 引き戻し形と qの条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.13.2 不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.13.3 解の存在検証条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.13.4 解の局所一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.13.5 局所一意性範囲の拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.13.6 無限次元 Newton法メモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.14 線形化作用素の可逆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.14.1 条件 A5, A6: 射影と qの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.14.2 可逆性条件と不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.14.3 候補者集合と十分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.14.4 式 (3.115)の成立条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.14.5 可逆性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.15 可逆性条件を用いたL −1 のノルム評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.15.1 M の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.15.2 M の評価メモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.15.3 M を用いたM の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16 L −1 のノルムの直接評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16.1 M の直接評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16.2 M の直接評価メモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.16.3 その他の逆作用素評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
第 4章 精度保証付き数値計算の展開 82
4.1 2階楕円型境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.1 問題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2 空間設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3 条件 A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.4 条件 A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.5 条件 A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.6 条件 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.7 条件 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.8 条件 A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
vi 目 次
4.1.9 領域が非凸の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.10 FS-Intの検証例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.11 FN-Intの検証例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.12 FN-Intと FN-Normの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.13 FN-Normと FN-NormUの検証例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.14 FN-IntUと FN-NormUの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.15 IN-Linzによる検証例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.16 Neumann境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 流体方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 定常 Navier-Stokes問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 キャビティ問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.3 Kolmogorov問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.4 熱対流問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 固有値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.1 2階楕円型固有値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Orr-Sommerfeld方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.3 固有値の非存在範囲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.4 M の評価方法の比較例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 発展方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.1 放物型問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 双曲型問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.3 最近の動向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 初期値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.1 問題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2 積分方程式への変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.3 不動点定理の適用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.4 時間項の消去方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.5 区間拡大への対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 常微分方程式の境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.1 2点境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.2 周期境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7 その他 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
第 5章 精度保証付き数値計算の簡単な例 102
5.1 問題と検証アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 関数空間の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.1 空間設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 有限次元部分空間の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
vii
5.2.3 基底関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.4 条件 A1–A4の確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 近似解の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1 行列D,Lの生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2 ベクトル f の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.3 uh と残差の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4 近似解の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 解の検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.1 有限次元部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.2 無限次元部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.3 検証部分のコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.4 検証結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.5 プログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
第 6章 非線形常微分方程式の精度保証プログラミング例 111
6.1 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 コード一覧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2.1 メインプログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 不動点定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 有限次元空間と射影誤差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.1 区間の分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.2 初期設定コード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.3 ノードと分割区間の対応付け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.4 基底関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.5 各種評価定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5 近似解の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5.1 有限次元非線形問題への変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5.2 Newton-Raphson法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5.3 非線形項 f(u(k))の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5.4 Jacobi行列 f′[u(k)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.5 行列D,Lの生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.6 行列 A1, A2 の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.7 初期値 u(0) の設定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.8 近似解作成プログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.6 近似解の概形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7 FN-Int有限次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7.1 qの設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7.2 ベクトル dの構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
viii 目 次
6.8 FN-Int無限次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.8.1 0次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.8.2 ノルム計算プログラムのチェック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.8.3 1次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8.4 2次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8.5 3次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.9 FN-Intによる解の存在検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9.1 MATLABコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9.2 FN-Intによる検証結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9.3 さらなる精度保証のためには . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.10 無限次元 Newton法 IN-Linzに基づく検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.10.1 離散化方程式の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.10.2 v0 の導入とノルム評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.10.3 近似解から導かれる各種ノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.10.4 残差方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.10.5 作用素L の可逆性検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.10.6 M の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.10.7 解の存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.10.8 局所一意性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.10.9 IN-Linzによる解の存在検証・一意性コード . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.10.10検証例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.10.11 [参考]M の評価方法の比較例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
第 7章 非線形偏微分方程式の精度保証プログラミング例 140
7.1 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2 コード一覧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.1 メインプログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Hilbert空間の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3.1 空間と作用素の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3.2 Poincare定数 Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 有限次元部分空間と射影誤差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.1 三角形要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.2 基底関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.3 初期設定コード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5 埋め込み定数の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6 近似解の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6.1 初期値の設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6.2 有限次元非線形方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
ix
7.6.3 行列D,Lの生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.6.4 行列 A1, A2 の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.6.5 近似解作成プログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.7 近似解の概形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.8 FN-Int有限次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.8.1 残差項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.8.2 0次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.8.3 1次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.8.4 2次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.8.5 3次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.9 FN-Int無限次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.9.1 0次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.9.2 ノルム計算プログラムのチェック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.9.3 1次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.9.4 2次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.9.5 3次項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.10 FN-Intによる解の存在検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.10.1 FN-Intによる検証結果（下の解） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.10.2 FN-Intによる検証結果（上の解） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.10.3 さらなる精度保証のためには . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.11 無限次元逐次反復 IS-Resに基づく検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.11.1 離散化方程式の精度保証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.11.2 v0 を用いた引き戻し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.11.3 近似解から導かれる各種ノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.11.4 解の存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.11.5 局所一意性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.11.6 IS-Resによる解の存在検証・一意性コード . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.11.7 IS-Resによる検証結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.12 無限次元 Newton法 IN-Linzに基づく検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.12.1 無限次元 Newton法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.12.2 作用素L の可逆性検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.12.3 M の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.12.4 解の存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.12.5 局所一意性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.12.6 IN-Linzによる解の存在／局所一意性検証コード . . . . . . . . . . . . . . 168
7.12.7 IN-Linzによる検証結果（下の解） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.12.8 IN-Linzによる検証結果（上の解） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.12.9 プログラミングメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
x 目 次
7.12.10FN-Intと IN-Linzの結果についての補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
第 8章 関数解析学の用語集 171
8.1 内積とノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.1 ノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.2 ノルムの同値性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.3 内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.4 内積とノルムの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2 Banach空間と Hilbert空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.1 収束列と Cauchy列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.2 完備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.3 Banach空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.4 Hilbert空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.5 直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.6 射影定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3 作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.1 作用素・写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.2 線形／非線形作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.3 連続性と有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.4 Frechet微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.5 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4 空間，集合あれこれ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.1 部分空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.2 閉集合，閉部分空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.3 閉包，内点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.4 有界集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.5 凸集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.5 コンパクト作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.6 Lp(Ω), Hm(Ω), Hm0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.6.1 Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.6.2 Holderの不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.6.3 Hm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.6.4 H10 (Ω), H
20 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.7 埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.8 Fredholmの交代定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
参考文献 179
索 引 195
xi
第 1 章
「精度保証付き数値計算」とは
この章で言わんとすることは，以下に要約されています [15]．
（数値計算結果と正しい結果の間に）著しい食い違いがあることはきわめて
希である．きわめて希であるため，常に心配する必要はない．ただ，無視
するほどに希というわけでもない．
W.M. Kahan
1.1 数値計算の誤差
数値計算の誤差は，その計算過程から，次のように階層的な分類をすること
ができます（岩波数学辞典・第 4版, 岩波書店, pp. 642）．
レベル 0: 科学計算のもとになる数学モデルが，現象を正しく記述できていな
いことによる誤差（モデル化誤差）
レベル 1: 問題の解法手順が，計算機内で本質的に実現不能なことに起因する
誤差（打ち切り誤差）
レベル 2: 計算機内で扱える数値が，有限桁であるために生じる誤差（丸め誤差）
レベル 1は，例えば微分方程式を離散化して解を求めることにともなう誤差
であり，離散化誤差とも呼ばれます．また，離散化によって得られる有限次元
問題を反復法で解く場合の打ち切り誤差などを，別の階層として括り出して分
類することもあります [2]．
1.2 精度保証付き数値計算
精度保証付き数値計算（self-validating numerical computations）とは，
第 2 章
区間演算と有限次元問題の精度保証
本章では，精度保証付き数値計算を実現するための基盤となる区間演算の概
念と，MATLABツールボックス INTLABの概要を紹介します．また，有限次元の非
線形連立方程式，連立 1次方程式，行列のスペクトルノルムの精度保証方式に
ついて説明します．なお，行列解析に関する用語や性質は，最低限の記述にと
どめています．詳しくは文献 [22], [23]を参照してください．以降，H は共役転
置記号，I は（この章では）単位行列とします．また，包含記号 ⊂は等号も含む意味で用います．
2.1 区間演算
区間演算（interval arithmetic）は，計算機で表現できる数を用いて無限桁
の実数を包み込むという発想から生まれました．区間演算の歴史については，
文献 [14, 1.5節], [6, 2.5節] を参照してください．
2.1.1 区間表現
X = [x, x] = {x ∈ R | x ≤ x ≤ x, x, x ∈ R}で表現される閉集合 X を区間（interval）と呼び，区間全体の集合を IRで表
記します．x, x ∈ R (x ≤ x)を区間X の下限・上限あるいは下端・上端と呼び
ます．x = x となる区間 X を点区間（point interval）と呼びます．したがっ
て，実数は特別な場合として区間に含まれます．
2.1.2 区間に対する四則演算
区間X = [a, b], Y = [c, d] ∈ IRと演算 ∗ ∈ {+, −, ·, /} に対し，2項演算
“∗”を，
第 3 章
精度保証付き数値計算の原理
この章で紹介する精度保証付き数値計算の原理は，筆者らが楕円型境界値問
題の解の存在検証を目的として開発したもの [1], [2], [7], [9]～[12]を，一般化して記述
したものです．なお，関数解析学の用語については 8章をご覧ください．
用語と表記について
関数解析学では，関数空間における写像のことを作用素（operator）と呼び
ます．ここでは，その慣例にしたがって，原則『作用素』を用います．また，作
用素の具体的な対応を，以下の例のように表記します．
� 線形作用素は括弧をつけずにAu, Phu, . . .
� 非線形作用素は括弧をつけて f(u), T (u), . . .
� uでの F の微分（線形作用素）は [ · ]を使って F ′[u]v, . . .
3.1 解の検証アルゴリズムの紹介
表 3.1に，本章で紹介する解の検証アルゴリズムの一覧を示します．
表 3.1 解の検証アルゴリズム一覧．
名称 概要 特徴
FS-Int 逐次反復に基づく検証 実装が（比較的）容易FN-Int Newton型作用素に基づく検証 有限次元を区間係数で表現FN-IntU FN-Intの局所一意性版 Banachの不動点定理を適用FN-Norm Newton型作用素に基づく検証 有限次元をノルムで表現FN-NormU FN-Normの局所一意性版 Banachの不動点定理を適用IS-Res 無限次元逐次反復に基づく検証 軽コストIN-Linz 無限次元 Newton法に基づく検証 線形化逆作用素ノルム評価を利用
第 4 章
精度保証付き数値計算の展開
この章では，前章で紹介した精度保証付き数値計算の原理を，具体的な問題
に適用して得られた検証結果を紹介します．なお，プログラミング例について
は，5章以降で解説します．
4.1 2階楕円型境界値問題
3章の精度保証付き数値計算の原理は，もともとは，2階楕円型Dirichlet問
題に対する解の包み込み理論として提起されたものです．また，この節の方程
式 (4.1)を 5章以降のプログラミングで取り扱うため，詳しく説明します．
4.1.1 問題設定
次の問題を考えます．{−Δu = f(x, u,∇u), x ∈ Ω,
u = 0, x ∈ ∂Ω.(4.1)
方程式 (4.1) の定義域 Ω は，Rn(n = 1, 2, 3) の有界凸領域とします．x =
[x1, · · · , xn]T に対し，
Δu =∂2u
∂x21+ · · ·+ ∂2u
∂x2n, ∇u =
[∂u
∂x1, . . . ,
∂u
∂xn
]Tです．境界条件が 0ではなく与えられた関数 u0(x)である場合は，v := u− u0を式 (4.1)に代入して得られた方程式の v を再び uと置き直すことにより，同
じ方程式に帰着することができます．以下，簡単のため，f(u) := f(x, u,∇u)と略記します．
4.1.2 空間設定
3章で紹介した精度保証付き数値計算の原理を，問題 (4.1)にあてはめます．
第 5 章
精度保証付き数値計算の簡単な例
この章，および，6章，7章では，3章で紹介した精度保証付き数値計算の原
理を具体的な問題に適用し，解の検証に至るまでの道筋を MATLAB プログラム
付きで詳解します．本章では，簡単な 1次元問題を取り上げます．
5.1 問題と検証アルゴリズム
次の常微分方程式を考えます．{−u′′ − πu = (π − 1) sinπx, 0 < x < 1,
u(0) = u(1) = 0.(5.1)
この問題 (5.1)に有限要素法 [140], [142] を適用し，得られた近似解 uh の周りで，
真の解の存在する範囲を具体的に与えます．方程式 (5.1)は，厳密解
u(x) =1
πsinπx
を与えることがわかりますので，検証アルゴリズムの妥当性を確認するという
意味でも有効です∗1）．検証には FS-Intを用います．
5.2 関数空間の設定
5.2.1 空間設定
Ω = (0, 1)に対し，4.1節で導入した関数空間
X = H2(Ω) ∩H10 (Ω), X = H1
0 (Ω), Y = L2(Ω)
と内積
*1） 特に未知の解の検証を行う準備として，このように厳密解の分かる問題を設定して，積分や積分から導かれる内積・ノルムの値を確認する作業は，地味ながらも大切です．
第 6 章
非線形常微分方程式の精度保証プログラミング例
この章では，前章で導入した基底関数を用いて，具体的な非線形常微分方程
式の解を FN-Int, IN-Linzにより検証する手順とプログラムを紹介します．な
お，可能な限り簡単な記述で済むようにコードを作成しましたので，計算／メ
モリ効率は二の次になっていることをお断りしておきます．
6.1 問題
次の連立 2点境界値問題を考えます．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−ε2u′′ = u(1− u)(u− a)− δv, −1 < x < 1,
−v′′ = u− γv, −1 < x < 1,
u = v = 0, x ∈ {−1, 1}.(6.1)
ここで，ε, δ, γ ∈ R, 0 < a ≤ 1/2 は与えられたパラメータとします．方程
式 (6.1)は，反応拡散モデルの定常状態を記述する非線形方程式として知られ
ています [138]．以下，簡単のため，γ = 0で考えます∗1）．γ �= 0の定式化は，文
献 [77]をご覧ください．
6.2 コード一覧
本章で用いるコードの一覧を，表 6.1に示します．
6.2.1 メインプログラム
各種関数を呼び出すスクリプトファイル main.mを次頁に示します．IN-Linz
による精度保証を行う設定になっています．適宜コメントアウト（%）を調整し
てください．
*1） 本質的な難しさが増すというよりは，表記が込み入ってくるのが簡単にした理由です．
第 7 章
非線形偏微分方程式の精度保証プログラミング例
この章では，前章の常微分方程式と同様，具体的な非線形楕円型方程式を例
に，精度保証に至るまでの道筋を INTLABコード付きで解説します．なお，1次
元の検証例で登場済みの用語は，説明を省略して用いています．
7.1 問題
2次元正方領域 Ω = (0, 1)× (0, 1)に対し，次の問題を考えます．{−Δu = λ(1 + u+ u2 − au3) in Ω,
u = 0 on ∂Ω.(7.1)
λ, a > 0は，与えられたパラメータとします．問題 (7.1)は，微小な aに対し，
λを変数として，図 7.1のような解の “分岐曲線”を描くことが知られていま
す [143]．
7.2 コード一覧
本章で用いるコードの一覧を，表 7.1に示します．
‖u‖∞
0λλ∗
図 7.1 λをパラメータとした分岐曲線の概形．
第 8 章
関数解析学の用語集
この章では，定式化の段階で必要となる，おもに関数解析学に関わる用語を
簡単にまとめました．くわしくは文献 [144]～[151]を参照してください．なお，
線形代数の用語は既知としています．
8.1 内積とノルム
8.1.1 ノルム
線形空間X から [0,∞)への写像 ‖ · ‖X が• a ∈ C, u ∈ X に対し ‖au‖X = |a| ‖u‖X ,
• u, v ∈ X に対し ‖u+ v‖X ≤ ‖u‖X + ‖v‖X（三角不等式）,
• ‖u‖X = 0 ⇔ u = 0
を満たすとき，ノルム（norm）であるといいます．ノルムが定義されている線
形空間を，ノルム空間（norm space）と呼びます．
8.1.2 ノルムの同値性
ノルム空間X の 2つのノルム ‖ · ‖a, ‖ · ‖b が同値であるとは，c1, c2 > 0が
存在して，
c1‖u‖a ≤ ‖u‖b ≤ c2‖u‖a, ∀u ∈ Xを満たすことです．
8.1.3 内積
線形空間X に対し，X ×X から Cへの写像
[u, v]T ∈ X ×X �→ (u, v )X ∈ C
が，任意の u, v ∈ X および a ∈ Cに対し，• (u, v)X = (v, u)X ,
参考文献
� 精度保証付き数値計算の教科書[1] 中尾 充宏, 山本 野人: 精度保証付き数値計算—コンピュータによる無限への挑戦—, 日本評論社, 1998.
精度保証付き数値計算の意義・原理から具体的な検証アルゴリズムの構築までを解説した本です．特に本書の検証アルゴリズム FS-Int, FN-Int について詳細な記述があります．
[2] 田端 正久, 中尾 充宏（若山 正人・編）: 偏微分方程式から数値シミュレーションへ／計算の信頼性評価—数値解析の新たな切り口, 講談社サイエンティフィク, 2008.
テーマ 1 では偏微分方程式の数値解法の基本事項が，テーマ 2 では数値的存在証明手法が平易に解説されています．
[3] 大石 進一: 精度保証付き数値計算, コロナ社, 2000.数値計算の各分野について高速で効率的な精度保証付き数値計算のための理論とこれまでに蓄積したノウハウを展開した本です．
[4] G. Alefeld, and J. Herzberger (Translated by J. Rokne): Introduction to Interval Com-putations, Academic Press, New York, 1983.
区間演算の概念と線形／非線形問題への応用を記述した本です．1974 年にドイツ語で出版された本の改訂・翻訳版です．
[5] A. Neumaier: Interval Methods for Systems of Equations, Cambridge University Press,Cambridge, 1990.
有限次元の連立 1 次方程式と非線形方程式の精度保証法を中心に記述されています．
[6] R.E. Moore, R.B. Kearfott, and M.J. Cloud: Introduction to Interval Analysis, Societyfor Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2009.
区間演算の先駆者のひとりである Moore さんによる入門書です．INTLABの解説と応用例もあります．
� 精度保証付き数値計算に関するサーベイ論文・寄稿[7] 中尾 充宏: 偏微分方程式の解に対する数値的存在検証—研究の原点とその展開—, Fundamen-
tals Review, vol. 2, no. 3, pp. 19–28, January, 2009.どうしてそのような研究に進むようになったのか，そして今日までどのような進展を見ているのかを回顧録風に述べています．
[8] 大石 進一: なぜ精度保証付き数値計算の研究を追求したか—私の研究の原点—, FundamentalsReview, vol. 2, no. 2, pp. 9–19, October, 2008.
教科書 [3] の著者が精度保証付き数値計算の研究の発展と研究の個人史の交錯を描き出しています．
[9] M.T. Nakao: “Numerical verification methods for solutions of ordinary and partial dif-ferential equations,” Numerical Functional Analysis and Optimization, vol. 22, no. 3-4,pp. 321–356, June, 2001.
この時点までの微分方程式の精度保証の成果を広くサーベイしています．
[10] M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “Numerical verification methods for solutions of semi-linear elliptic boundary value problems,” Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE,vol. 2, no. 1, pp. 2–31, January, 2011.
2 階楕円型境界値問題の精度保証に関するこれまでの手法をまとめたものです．
[11] 中尾 充宏: 関数方程式の解の存在に対する数値的検証法, 数学, vol. 42, no. 1, pp. 16–31,January, 1990.
この時点での現状と動向を考察した論説です．
[12] 中尾 充宏: 精度保証付き数値計算の現状と動向, 情報処理, vol. 31, no. 9, pp. 1177–1190,September, 1990.
精度保証付き数値計算の意義と実現方法を外観しています．
[13] S.M. Rump: “Verification methods for dense and sparse systems of equations,” in Top-ics in Validated Computations, ed. J. Herzberger, pp. 63–135, Elsevier Science, North-Holland, Amsterdam, 1994.
この時点までに主に著者によって提案された線形／非線形方程式に対する精度保証法についてまとめたものです．
[14] S.M. Rump: “Verification methods: Rigorous results using floating-point arithmetic,”Acta Numerica, vol. 19, pp. 287–449, May, 2010.
区間演算の基礎から偏微分方程式の精度保証までを記述した大部のサーベイ論文です．アルゴリズムとして紹介される MATLABコードも参考になります．
� 第 1章「「精度保証付き数値計算」とは」に関連した文献など[15] W.M. Kahan: “The regrettable failure of automated error analysis,” a mini-course pre-
pared for the conference at Massachusetts Institute of Technology on Computers andMathematics, June, 13th, 1989.
原典を入手することができませんでした．複数の文献から引用されていることは確認済みです．英語では以下の通りです．“Significant discrepancies [between the computed and the true result] are
very rare, too rare to worry about all the time, yet not rare enough to ignore.”
[16] U.W. Kulisch, and W.L. Miranker: “The arithmetic of the digital computer: A newapproach,” SIAM Review, vol. 28, no.1, pp. 1–40, March, 1986.
Karlsruhe 大学の Kulisch 教授らの開発した完全精度内積演算とその応用を記述したサーベイ論文です．桁落ちなどによって浮動小数点演算結果が正しい結果から外れてしまう例題が豊富に掲載されています．
[17] E. Loh, and G.W. Walster: “Rump’s example revisited,” Reliable Computing, vol. 8. no.3, pp. 245–248, June, 2002.
Rump の例題として知られる桁落ちの例を IEEE 標準 754 規格でも再現するように修正しています．
[18] L.V. Foster: “Gaussian elimination with partial pivoting can fail in practice,” SIAMJournal on Matrix Analysis and Applications, vol. 15, no. 4, pp. 1354–1362, October,1994.
部分ピボット選択付きGaussの消去法が不安定となる例を実際の問題から導いて紹介しています．MATLAB
コードを以下から入手することができます．http://www.math.sjsu.edu/~foster/publications.html
[19] 渡部 善隆: 連立 1次方程式の基礎知識～およびGaussの消去法の安定性について～, 数値解析チュートリアル 2004資料, 2004年 3月. http://www.cc.kyushu-u.ac.jp/RD/watanabe/
第 7 章に Gauss の消去法の安定性に関する記述があります．
[20] B. Breuer, M. Plum, and P.J. McKenna: “Inclusions and existence proofs for solutionsof a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods,” in Topics inNumerical Analysis with Special Emphasis on Nonlinear Problems, eds. G. Alfeld, andX. Chen, pp. 61–77, Computing Supplement, vol. 15, Springer-Verlag, Wien, New York,2001.
Enden 方程式の幻影解についての記述がある論文です．
[21] B. Gidas, W.-M. Ni, and L. Nirenberg: “Symmetry and related properties via the max-imum principle,” Communications in Mathematical Physics, vol. 68, no. 3, pp. 209–243,
180 参考文献
October, 1979.最大値原理に基づく楕円型境界値問題の対称性について論じています．
� 第 2章「区間演算と有限次元問題の精度保証」に関連した文献[22] G.H. Golub, and C.F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd edition, The Johns Hopkins
University Press, 1996.線形計算に関する標準的な教科書と言える本です．節ごとにあげられる文献群もとても参考になります．ペーパーバック版も販売されています．
[23] 山本 哲朗: 行列解析の基礎－ Advanced線形代数－, サイエンス社, 2010.行列に関する既修の知識の再確認と通常の教科書・参考書に記載されていない興味ある話題を数多く提供しています．数値計算との親和性にも富んでいます．
[24] Oracle Solaris Studiohttp://www.oracle.com/technetwork/server-storage/solarisstudio/
区間演算機能付きの Fortran, C++コンパイラと関連マニュアルがダウンロードできます．旧 Sun
Studio です．
[25] R.B. Kearfott: “Algorithm 763: INTERVAL ARITHMETIC: A Fortran 90 module for aninterval data type,” ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 22, no. 4, pp.385–392, December, 1996.
演算子再定義を用いた Fortran 区間演算ライブラリが紹介されています．
[26] N. Matsuda, and N. Yamamoto: “On the basic operations of interval multiple-precisionarithmetic with center-radius form,” Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, vol.2, no. 1, pp. 54–67, January, 2011.
多倍長区間演算を中心-半径形式で持つことの利点を論じています．
[27] S.M. Rump: “INTLAB – INTerval LABoratory,” in Developments in Reliable Computing,ed. T. Csendes, pp. 77–104, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/
INTLABの原論文です．INTLABを用いた結果を論文にするときには必ずこの文献を参照しましょう．
[28] J. Rohn: “VERSOFT: Verification software in MATLAB/INTLAB,”http://uivtx.cs.cas.cz/~rohn/matlab/
MATLAB/INTLABで記述された精度保証関数が公開されています．
[29] S.M. Rump: “A note on epsilon-inflation,” Reliable Computing, vol. 4, no. 4, pp. 371–375,November, 1998.
検証アルゴリズムに採用した加速法 epsilon-inflation に関するノートです．
[30] S.M. Rump: “On the solution of interval linear systems,” Computing, vol. 47, no. 3-4,pp. 337–353, September, 1992.
区間係数連立 1 次方程式の精度保証方法を提案しています．
[31] T. Ogita, and S. Oishi: “Fast verified solutions of linear systems,” Japan Journal ofIndustrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp. 169–190, October, 2009.
連立 1 次方程式の高速精度保証法に関するサーベイ論文です．
[32] N. Yamamoto: “A simple method for error bounds of eigenvalues of symmetric matrices,”Linear Algebra and its Applications, vol. 324, no. 1-3, pp. 227–234, February, 2001.
LDLT 分解と Sylvester の慣性則に基づく固有値の精度保証法を提案しています．
[33] 渡部 善隆, 山本 野人, 中尾 充宏: 一般化固有値問題の精度保証付き計算とその応用, 日本応用数理学会論文誌, vol. 9, no. 3, pp. 137–150, September, 1999.
一般化固有値問題の絶対値最大固有値の上界の精度保証法をいくつか紹介しています．
181
[34] S.M. Rump: “Verification of positive definiteness,” BIT Numerical Mathematics, vol. 46,no. 2, pp. 433–452, June, 2006.
対称および Hermite 対称行列の高速な正定値性判定法を INTLABコード付きで提案しています．
[35] S.M. Rump: “Verified bounds for singular values, in particular for the spectral norm of amatrix and its inverse,” BIT Numerical Mathematics, vol. 51, no. 2, pp. 367–384, June,2011.
特異値および行列のスペクトルノルムの精度保証についての論文です．
[36] G. Alefeld, and G. Mayer: “The Cholesky method for interval data,” Linear Algebra andits Applications, vol. 194, pp. 161–182, November, 1993.
区間 Cholesky 分解の実行可能性を検討した論文です．
� 第 3章「精度保証付き数値計算の原理」に関連した文献[37] M.T. Nakao: “A numerical approach to the proof of existence of solutions for elliptic
problems,” Japan Journal of Applied Mathematics, vol. 5, no. 2, pp. 313–332, June, 1988.はじめて 2 階楕円型境界値問題の解の数値的検証原理を提起した論文です．その概念の原点がうかがえると思います．
[38] M.T. Nakao: “A computational verification method of existence of solutions for non-linear elliptic equations,” in Recent topics in nonlinear PDE IV, eds. M. Mimura, andT. Nishida, Lecture Notes in Numerical and Applied Analysis, pp. 101–120, vol. 10,Kinokuniya, Tokyo, 1989.
文献 [37] の原理を非線形問題に適用しています．アルゴリズムは FS-Int です．
[39] M.T. Nakao: “A numerical approach to the proof of existence of solutions for ellipticproblems II,” Japan Journal of Applied Mathematics, vol. 7, no. 3, pp. 477–488, October,1990.
文献 [37] の原理を Newton 型反復に拡張した FN-Int の原論文です．Sadovskii の不動点定理を用いています．
[40] M.T. Nakao: “Solving nonlinear elliptic problems with result verification using an H−1
type residual iteration,” in Validation Numerics: theory and applications, eds. R. Al-brecht, G. Alefeld, and H. J. Stetter, pp. 161–173, Computing Supplementum, vol. 9,Springer-Verlag, Wien, 1993.
v0 を用いた引き戻し方法を提案しています．
[41] N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “Numerical verifications for solutions to elliptic equa-tions using residual iterations with a higher order finite element,” Journal of Computa-tional and Applied Mathematics, vol. 60, no. 1-2, pp. 271–279, June, 1995.
高次要素を用いた v0 の a posteriori 評価とその効用について論じています．
[42] N. Yamamoto: “A numerical verification method for solutions of boundary value problemswith local uniqueness by Banach’s fixed-point theorem,” SIAM Journal on NumericalAnalysis, vol. 35, no. 5, pp. 2004–2013, October, 1998.
FN-IntUの原論文です．Minkowski型ノルムを使った評価はこれ以降いくつかの応用を見せることになります．
[43] M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “An efficient approach to the numerical verification forsolutions of elliptic differential equations,” Numerical Algorithms, vol. 37, no. 1-4, pp.311–323, December, 2004.
FN-Norm の原論文です．FN-Int が必ずしも有効でない問題に対して有限次元部分をノルムで評価する手法を提案しています．
182 参考文献
[44] 渡部 善隆, 山本 野人, 中尾 充宏: 楕円型方程式の解に対する局所一意性付き数値的検証法の効率化, 日本応用数理学会論文誌, vol. 15, no. 4, pp. 509–520, December, 2005.
FN-NormU の原論文です．FN-Norm を拡張し FN-IntU が必ずしも有効でない問題に対して有限次元部分をノルムで評価する手法を提案しています．
[45] M.T. Nakao, K. Hashimoto, and Y. Watanabe: “A numerical method to verify the invert-ibility of linear elliptic operators with applications to nonlinear problems,” Computing,vol. 75, no. 1, pp. 1–14, July, 2005.
IN-Linzの原論文です．FN-Normを拡張して楕円型問題に対する無限次元 Newton法に拡張する方法を提案しています．
[46] N. Yamamoto, M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “A theorem for numerical verificationon local uniqueness of solutions to fixed-point equations,” Numerical Functional Analysisand Optimization, accepted.
不動点問題に対する局所一意性を保証する一般的な定理と検証例を与えています．
[47] J.M. Ortega: “The Newton-Kantorovich theorem,” The American Mathematical Monthly,vol. 75, no. 6, pp. 658–660, June-July, 1968.
解の存在と局所一意性を保証する Newton-Kantorovich の定理が紹介されています．
� 逆作用素のノルム評価をともなう解の検証[48] M. Plum: “Computer-assisted existence proofs for two-point boundary value problems,”
Computing, vol. 46, no. 1, pp. 19–34, March, 1991.Sturm-Liouville型または周期型の境界条件を持つ非線形問題に対する解の包み込み手法を検証例とともに示しています．
[49] M. Plum: “Explicit H2-estimates and pointwise bounds for solutions of second-order el-liptic boundary value problems,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.165, no. 1, pp. 36–61, March, 1992.
H2 から C0 への具体的な埋め込み定数の評価をもとに線形化作用素のノルム評価と非線形問題への応用を示しています．
[50] M. Plum: “Existence and enclosure results for continua of solutions of parameter-dependent nonlinear boundary value problems,” Journal of Computational and AppliedMathematics, vol. 60, no. 1-2, pp. 187–200, June, 1995.
文献 [49] の手法をパラメータ連続的解の検証方法に拡張しています．
[51] M. Plum: “Computer-assisted enclosure methods for elliptic differential equations,” Lin-ear Algebra and its Applications, vol. 324, no. 1-3, pp. 147–187, February, 2001.
文献 [49] の手法をより一般的な問題に拡張し古典解および弱解や非凸領域など様々な問題に適用可能であることを示しています．
[52] M. Plum: “Computer-assisted proofs for semilinear elliptic boundary value problems,”Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp. 419–442, Oc-tober, 2009.
楕円型問題に対する計算機援用証明法のひとつである Plum の方法をコンパクトに紹介した論文です．
[53] S. Oishi: “Numerical verification of existence and inclusion of solutions for nonlinear op-erator equations,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 60, no. 1-2,pp. 171–185, June, 1995.
閉グラフノルムを用いた線形化作用素のノルム評価と解の存在証明理論を偏微分方程式も包含する形で展開し 1 次元の検証例を与えています．
[54] J.G. Heywood, W. Nagata, and W. Xie: “A numerically based existence theorem for theNavier-Stokes equations,” Journal of Mathematical Fluid Mechanics, vol. 1, no. 1, pp.
183
5–23, April, 1999.Katoの摂動論に基づく線形化作用素のノルム評価によって Navier-Stokes方程式の定常解の存在検証理論を導いています．
� 構成的誤差評価（非凸領域は別項）[55] M.T. Nakao, N. Yamamoto, and S. Kimura: “On best constant in the error bound for
the H10 -projection into piecewise polynomial spaces,” Journal of Approximation Theory,
vol. 93, no. 3, pp. 491–500, June, 1998.区分 2 次多項式に対する最良定数 C(h) と区分 3 次多項式に対する最良に近い評価方法を提案しています．
[56] M.T. Nakao, N. Yamamoto: “A guaranteed bound of the optimal constant in the errorestimates for linear triangular element,” in Topics in Numerical Analysis with SpecialEmphasis on Nonlinear Problems, eds. G. Alfeld, and X. Chen, pp. 163–173, ComputingSupplement, vol. 15, Springer-Verlag, Wien, New York, 2001.
三角形一様分割における区分的 1 次関数で構成される基底の構成的誤差評価定数が 0.492h ≤ C(h) ≤0.494h であることを精度保証付きで示しています．
[57] M.T. Nakao, N. Yamamoto: “A guaranteed bound of the optimal constant in the errorestimates for linear triangular element Part II: Details,” in Perspectives on EnclosureMethods, eds. U. Kulisch, R. Lohner, and A. Facius, pp. 265–276, Springer-Verlag, Wien,New York, 2001.
文献 [56] の詳細版です．［余談］セミナーで「証明ができた♪」と思って見返すと，実は同じ方向の不等号を違う方法で証明していたことに気づいて，一時あわてたことを思い出します (W)．
[58] F. Kikuchi, and L. Xuefeng: “Determination of the Babuska-Aziz constant for the lineartriangular finite element,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 23,no. 1, pp. 75–82, February, 2006.
文献 [56], [57] の定数を改良してほぼ最適な評価: 0.49282h < C(h) < 0.49293h を証明しています．
[59] M.T. Nakao, K. Hashimoto, and K. Nagatou: “A computational approach to constructivea priori and a posteriori error estimates for finite element approximations of bi-harmonicproblems,” in Proceedings of the 4th JSIAM-SIMAI Seminar on Industrial and AppliedMathematics, GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications,vol. 28, pp. 139–148, Gakkotosho, Tokyo, Japan, 2008.
2 次元正方領域において Hermite Spline 基底関数に対する重調和方程式の構成的 a priori および a
posteriori 誤差評価を与えています．
[60] M.T. Nakao, and K. Hashimoto: “Guaranteed error bounds for finite element approxima-tions of noncoercive elliptic problems and their applications,” Journal of Computationaland Applied Mathematics, vol. 218, no. 1, pp. 106–115, August, 2008.
C(h)を用いて必ずしも強圧的でない線形作用素の誤差評価定数が構成可能であることを具体的な数値例とともに示しています．
[61] T. Kinoshita, K. Hashimoto, and M.T. Nakao: “On the L2 a priori error estimates tothe finite element solution of elliptic problems with singular adjoint operator,” NumericalFunctional Analysis and Optimization, vol. 30, no. 3-4, pp. 289–305, March, 2009.
Aubin-Nitsche の技巧が使えない作用素に対してオーダーをあげるための新しい評価方法を提案し具体的な有限要素空間において有効性を実証しています．
� 非凸領域に対する構成的誤差評価／解の検証[62] N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “Numerical verifications of solutions for elliptic equa-
tions in nonconvex polygonal domains,” Numerische Mathematik, vol. 65, no. 1, pp.503–521, December, 1993.
184 参考文献
非凸多角形領域に対する精度保証方法についての原論文です．この後他の方程式への拡張や評価定数の改良がなされました．
[63] N. Yamamoto, and K. Hayakawa: “Error estimation with guaranteed accuracy of finiteelement method in nonconvex polygonal domains,” Journal of Computational and AppliedMathematics, vol. 159, no. 1, pp. 173–183, October, 2003.
2 次元非凸多角形領域を三角形一様分割した時の C(h) の効率的な評価方法を提案しています．
[64] K. Hashimoto, K. Nagatou, and M.T. Nakao: “A computational approach to construc-tive a priori error estimate for finite element approximations of bi-harmonic problems innonconvex polygonal domains,” Information, vol. 9, no. 4, pp. 573–580, July, 2006.
2次元 L次型領域において Hermite Spline基底関数に対する重調和方程式の構成的誤差評価を与えています．
[65] N. Yamamoto, and K. Gemma: “On error estimation of finite element approximations tothe elliptic equations in nonconvex polygonal domains,” Journal of Computational andApplied Mathematics, vol. 199, no. 2, pp. 286–296, February, 2007.
文献 [63] を受けて非一様メッシュにおける誤差評価定数の評価と理論的なオーダとのギャップについて考察しています．
[66] M.T. Nakao, and T. Kinoshita: “Some remarks on the behaviour of the finite elementsolution in nonsmooth domains,” Applied Mathematics Letters, vol. 21, no. 12, pp. 1310-1314, December, 2008.
非凸領域においては Poisson 方程式の残差が滑らかな要素を用いても収束しないことを具体例とともに示しています．
[67] K. Kobayashi: “A constructive a priori error estimation for finite element discretiza-tions in a non-convex domain using singular functions,” Japan Journal of Industrial andApplied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp. 493–516, October, 2009.
π/2, π/3 の凹部を持つ非凸領域に対し特異関数を用いた離散化と構成的誤差評価を導いています．日本応用数理学会 2010 年度論文賞受賞作品です．
� 2階楕円型境界値問題[68] M.T. Nakao, and N. Yamamoto: “Numerical verifications of solutions for elliptic equa-
tions with strong nonlinearity,” Numerical Functional Analysis and Optimization, vol. 12,no. 5-6, pp. 535–543, 1991.
強い非線形性を持つ問題に対し候補者集合の空間を H10 (Ω) ∩ L∞(Ω) に設定することで定式化を拡張
し −Δu = eu に対する検証例を局所一意性付きで与えています．
[69] M.T. Nakao: “A numerical verification method for the existence of weak solutions fornonlinear boundary value problems,” Journal of Mathematical Analysis and Applications,vol. 164, no. 2, pp. 489–507, May, 1992.
2点非線形境界値問題に対する局所一意性も含む解の検証法を提案し Duffing方程式に対する適用例を示しています．
[70] M.T. Nakao: “Computable error estimates for FEM and numerical verification of solu-tions for nonlinear PDEs,” in Computational and Applied Mathematics, I: Algorithms andTheory, eds. C. Brezinski, and U. Kulisch, pp. 357–366, Elsevier Science, North-Holland,1992.
有限要素法の誤差評価を用いた非線形偏微分方程式の解の検証方法を一般的に論じています．
[71] Y. Watanabe, and M.T. Nakao: “Numerical verifications of solutions for nonlinear ellip-tic equations,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 10, no. 1, pp.165–178, February, 1993.
FN-Int アルゴリズムをいくつかの非線形偏微分問題に適用しその有効性を確認しています．
185
[72] M.T. Nakao: “Computable L∞ error estimates in the finite element method with appli-cations to nonlinear elliptic problems,” in Contributions in Numerical Mathematics, ed.R.P. Agarwal, pp. 309–319, World Scientific, Singapore, 1993.
H2 ↪→ L∞ の埋め込み定数による射影誤差評価を用いた L∞ ノルムの意味での解の包み込み方法と検証例を与えています．
[73] Y. Watanabe, N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “Verified computations of solutions fornondifferentiable elliptic equations related to MHD equilibria,” Nonlinear Analysis: The-ory, Methods & Applications, vol. 28, no. 3, pp. 577–587, February, 1997.
微分不可能な項を持つ MHD 問題に対して FN-Int を適用し 1, 2 次元の検証例を与えています．
[74] M.T. Nakao, and N. Yamamoto: “Numerical verification of solutions for nonlinear el-liptic problems using an L∞ residual method,” Journal of Mathematical Analysis andApplications, vol. 217, no. 1, pp. 246–262, January, 1998.
文献 [72] の改良として X∗ 型引き戻による事後誤差評価と最大値ノルムによる射影誤差評価を用いた精度保証法を提案しています．
[75] K. Nagatou, N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “An approach to the numerical verificationof solutions for nonlinear elliptic problems with local uniqueness,” Numerical FunctionalAnalysis and Optimization, vol. 20, no. 5-6, pp. 543–565, 1999.
線形化作用素のノルム評価を固有値の除外によって達成し解の検証は Newton-Kantorovich 型作用素を用いた不動点で行うというその後の FN-NormU と IN-Linz への萌芽を見ることのできる論文です．
[76] M.T. Nakao, and T. Kinoshita: “On very accurate verification of solutions for boundaryvalue problems by using spectral methods,” JSIAM Letters, vol. 1, pp. 21–24, 2009.
Legendre多項式を基底とする有限次元空間とその誤差評価を用いて精度よい残差が得られることを示し Emden 方程式の検証例でその有効性を示しています．
[77] Y. Watanabe: “A numerical verification method for two-coupled elliptic partial differen-tial equations,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3,pp. 233–247, October, 2009.
偏微分方程式を含む連立系の楕円型問題に対しひとつの方程式の線形性を利用して問題を単独の非線形問題に書き直して解を検証する手法を提案しています．
� Neumann境界条件[78] N. Yamamoto, M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “Validated computation for a linear el-
liptic problem with a parameter,” in Advances in Numerical Mathematics, GAKUTO In-ternational Series, Mathematical Sciences and Applications, vol. 12, pp. 155–162, Gakko-tosho, Tokyo, Japan, 1999.
Neumann境界条件を持つパラメータ付き線形問題に対する効率的な解の評価方法について述べています．
� 流体方程式: Stokes方程式，Navier-Stokes方程式[79] M.T. Nakao, N. Yamamoto, and Y. Watanabe: “A posteriori and constructive a priori er-
ror bounds for finite element solutions of the Stokes equations,” Journal of Computationaland Applied Mathematics, vol. 91, no. 1, pp. 137–158, April, 1998.
Stokes方程式の有限要素近似による誤差（Stokes射影誤差）の構成的誤差評価と具体例を与えています．
[80] M.T. Nakao, N. Yamamoto, and Y. Watanabe: “Constructive L2 error estimates for fi-nite element solutions of the Stokes equations,” Reliable Computing, vol. 4, no. 2, pp.115–124, May, 1998.
186 参考文献
文献 [79] の Aubin-Nitsche 型評価が可能であることを具体例とともに示しています．
[81] Y. Watanabe, N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “A numerical verification method of so-lutions for the Navier-Stokes equations,” Reliable Computing, vol. 5, no. 3, pp. 347–357,August, 1999.
文献 [79], [80]の構成的誤差評価を用いて Navier-Stokes方程式の定常解の検証手順と解の包み込み例を与えています．
[82] K. Nagatou, K. Hashimoto, and M.T. Nakao: “Numerical verification of stationary solu-tions for Navier-Stokes problems,” Journal of Computational and Applied Mathematics,vol. 199, no. 2, pp. 445–451, February, 2007.
2 次元 driven cavity 問題を重調和問題に変換し文献 [59] の誤差評価定数を用いた IN-Linz により解の包み込みに成功しています．
[83] M.T. Nakao, K. Hashimoto, and K. Kobayashi: “Verified numerical computation ofsolutions for the stationary Navier-Stokes equation in nonconvex polygonal domains,”Hokkaido Mathematical Journal, vol. 36, no. 4, pp. 777–799, November, 2007.
2次元非凸領域における IN-Linzによる定式化と構成的誤差評価定数を提案し step flow問題に対する数値例を与えています．
[84] Y. Watanabe: “A computer-assisted proof for the Kolmogorov flows of incompressibleviscous fluid,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 223, no. 2, pp.953–966, January, 2009.
Kolmogorov問題の解に対する FN-NormUによる局所一意性付き精度保証付き数値計算手法を提案しています．
� 流体方程式: 熱対流問題[85] Y. Watanabe, N. Yamamoto, M.T. Nakao, and T. Nishida: “A numerical verification
of nontrivial solutions for the heat convection problem,” Journal of Mathematical FluidMechanics, vol. 6, no. 1, pp. 1–20, March, 2004.
2 次元問題に対する定式化と検証結果を与えています．
[86] M.T. Nakao, Y. Watanabe, N. Yamamoto, and T. Nishida: “Some computer assistedproofs for solutions of the heat convection problems,” Reliable Computing, vol. 9, no. 5,pp. 359–372, October, 2003.
文献 [85] に加えて様々な非自明解の包み込み結果を報告しています．出版が先になってしまいました．
[87] T. Kawanago: “A symmetry-breaking bifurcation theorem and some related theorems ap-plicable to maps having unbounded derivatives,” Japan Journal of Industrial and AppliedMathematics, vol. 21, no. 1, pp. 57–74, February, 2004.
分岐点の検証に用いた対称性破壊分岐点の存在定理が述べられています．
[88] M. Kim, M.T. Nakao, Y. Watanabe, and T. Nishida: “A numerical verification methodof bifurcating solutions for 3-dimensional Rayleigh-Benard problems,” Numerische Math-ematik, vol. 111, no. 3, pp. 389–406, January, 2009.
3 次元問題に対する定式化と検証結果を与えています．
[89] Y. Watanabe, and M.T. Nakao: “Numerical verification method of solutions for ellip-tic equations and its application to the Rayleigh-Benard problem,” Japan Journal ofIndustrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp. 443–463, October, 2009.
これまでの熱対流問題の精度保証に対する結果のサーベイです．
[90] M.T. Nakao, Y. Watanabe, N. Yamamoto, T. Nishida, and M. Kim: “Computer as-sisted proofs of bifurcating solutions for nonlinear heat convection problems,” Journal ofScientific Computing, vol. 43, no. 3, pp. 388–401, June, 2010.
2 次元問題に対する対称性破壊分岐点の存在検証手順を中心に検証手順と結果を述べています．
187
� 無限次元固有値問題一般[91] K. Nagatou: “A numerical method to verify the elliptic eigenvalue problems including a
uniqueness property,” Computing, vol. 63, no. 2, pp. 109–130, September, 1999.楕円型固有値問題に対する FN-IntUによる固有対の検証と固有値・固有関数それぞれの一意性を与える手法を提案し検証例を与えています．
[92] M.T. Nakao, N. Yamamoto, and K. Nagatou: “Numerical verifications for eigenvalues ofsecond-order elliptic operators,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics,vol. 16, no. 3, pp. 307–320, October, 1999.
FN-Int による固有対の包み込みと固有値除外による絶対値最小固有値の検証方法を提案しています．
[93] K. Nagatou, and M.T. Nakao: “An enclosure method of eigenvalues for the elliptic op-erator linearized at an exact solution of nonlinear problems”, Linear Algebra and itsApplications, vol. 324, no. 1-3, pp. 81–106, February, 2001.
非線形方程式と線形化方程式を同時に FN-IntUで検証する手法と検証された固有値の順序付けとりわけ最小固有値であることの確認方法を与えています．
[94] K. Toyonaga, M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “Verified numerical computations for mul-tiple and nearly multiple eigenvalues of elliptic operators,” Journal of Computational andApplied Mathematics, vol. 147, no. 1, pp. 175–190, October, 2002.
固有値が多重または多重に近い問題に対し固有値と不変部分空間の基底を FN-IntUにより同時に包み込む手法を提案しています．
[95] K. Nagatou: “Validated computation for infinite dimensional eigenvalue problems,” in12th GAMM - IMACS International Symposium on Scientific Computing, ComputerArithmetic and Validated Numerics (SCAN 2006), pp. 3, IEEE Computer Society, OrderNumber E2821, 2007.
無限次元固有値問題に対する精度保証を概観しあわせて無限領域における本質的スペクトル問題に対する定式化を与えています．招待講演論文です．
[96] K. Nagatou: “Numerical verification method for infinite dimensional eigenvalue prob-lems,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp. 477–491,October, 2009.
無限次元固有値問題の精度保証法を筆者が開発してきた包み込み／除外法を中心に丁寧に解説しています．
[97] K. Nagatou, and T. Morifuji: “An enclosure method for complex eigenvalues of ordinarydifferential operators,” Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, vol. 2, no. 1, pp.111–122, January, 2011.
常微分作用素に対する複素重複固有値を同時に検証する定式化を行い FN-Intによる包み込みに成功しています．
� 無限次元固有値問題: Orr-Sommerfeld方程式[98] Y. Watanabe, M. Plum, and M.T. Nakao: “A computer-assisted instability proof for the
Orr-Sommerfeld problem with Poiseuille flow,” Zeitschrift fur Angewandte Mathematikund Mechanik, vol. 89, no. 1, pp. 5–18, January, 2009.
Orr-Sommerfeldの固有対の存在を検証することで平行 Poiseuille流れの不安定性を数学的に証明しています．
[99] Y. Watanabe, K. Nagatou, M. Plum, and M.T. Nakao: “A computer-assisted stabilityproof for the Orr-Sommerfeld problem with Poiseuille flow,” Nonlinear Theory and ItsApplications, IEICE, vol. 2, no. 1, pp. 123–127, January, 2011.
188 参考文献
文献 [98] と反対に固有値の非存在範囲を検証することにより平行 Poiseuille 流れの安定性を数学的に証明しています．
� 無限次元固有値問題: 調和振動子[100] K. Nagatou: “An enclosure method for real eigenvalues of non-selfadjoint elliptic oper-
ators,” Proceedings of the Fifth China-Japan Joint Seminar on Numerical Mathematics,pp. 57–64, Science Press, Beijing, China, 2002.
1 次元実数全体における調和振動子の非自己共役固有値問題に対し実固有値を FN-IntU により包み込む手法と検証結果を与えています．
[101] K. Nagatou, M.T. Nakao, and M. Wakayama: “Verified numerical computations foreigenvalues of non-commutative harmonic oscillators,” Numerical Functional Analysisand Optimization, vol. 23, no. 5-6, pp. 633–650, January, 2002.
非可換調和振動子に関する coupling 型固有値問題に対する数値的検証法を提案しています．
� 無限次元固有値問題: Kolmogorov問題[102] K. Nagatou: “A computer-assisted proof on the stability of the Kolmogorov flows of
incompressible viscous fluid,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol.169, no. 1, pp. 33–44, August, 2004.
Kolmogorov問題の線形化問題に対しいくつかの固定したアスペクト比での安定性を計算機援用証明で導いています．
� 無限次元固有値問題: Schrodinger作用素[103] K. Nagatou: “Validated computations for fundamental solutions of linear ordinary differ-
ential equation,” in Inequalities and Applications, eds. C. Bandle, A. Gilanyi, L. Losonczi,Z. Pales, and M. Plum, International Series of Numerical Mathematics, vol. 157, part I,pp. 43–50, 2009.
1次元 Schrodinger作用素に関連する線形作用素の基本解を厳密に包み込む手法を提案しています．この後固有値の除外にも成功しています（現在論文投稿中）．
� 放物型問題[104] M.T. Nakao: “Solving nonlinear parabolic problems with result verification. Part I: one-
space dimensional case,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 38, no.1-3, pp. 323–334, December, 1991.
1 次元放物型問題に対する逐次反復に基づく検証手法を提案し検証例を示しています．
[105] M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “On computational proofs of the existence of solutionsto nonlinear parabolic problems,” Journal of Computational and Applied Mathematics,vol. 50, no. 1-3, pp. 401–410, May, 1994.
文献 [104] の手法を 2 次元以上に拡張した（Part II）論文です．
[106] T. Minamoto, and M.T. Nakao: “Numerical verifications of solutions for nonlinearparabolic equations in one-space dimensional case,” Reliable Computing, vol. 3, no. 2,pp. 137–147, May, 1997.
1 次元放物型問題を無限次元 Newton 法で定式化し線形化逆作用素評価を理論的に与える手法を提案しています．
[107] T. Minamoto: “Numerical existence and uniqueness proof for solutions of semilinearparabolic equations,” Applied Mathematics Letters, vol. 14, no. 6, pp. 707–714, August,2001.
文献 [106] の定式化を 2 次元以上かつ局所一意性を保証する検証条件に拡張しています．
189
[108] M.T. Nakao, and K. Hashimoto: “A numerical verification method for solutions of non-linear parabolic problems,” Journal of Math-for-Industry, vol. 1, 2009A-9, pp. 69–72,2009.
放物型問題の線形化逆作用素を IN-Linz によって評価する手法を提案しています．
� 双曲型問題[109] M.T. Nakao: “Numerical verifications of solutions for nonlinear hyperbolic equations,”
Interval Computations, vol. 4, no. 4, pp. 64–77, 1994.IS-Int に基づく検証手法を提案し 1 次元の検証例を示しています．
[110] T. Minamoto: “Numerical verification of solutions for nonlinear hyperbolic equations,”Applied Mathematics Letters, vol. 10, no. 6, pp. 91–96, November, 1997.
文献 [106] の手法を 1 次元双曲型問題に拡張し検証例を与えています．
[111] T. Minamoto: “Numerical verification method for solutions of nonlinear hyperbolic equa-tions,” in Symbolic Algebraic Methods and Verification Methods, eds. G. Alefeld, J. Rohn,S.M. Rump, and T. Yamamoto, pp. 173–181, Springer-Verlag, Wien, NewYork, 2001.
文献 [110] を 2 次元以上の問題に拡張しさらに Banach の不動点定理を用いた局所一意性の定式化と検証例を与えています．
[112] T. Minamoto: “Numerical existence and uniqueness proof for solutions of nonlinear hy-perbolic equations,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 135, no. 1,pp. 79–90, October, 2001.
文献 [111] で提示した補題の証明や 1 次元検証例が追加されています．
� 初期値問題[113] R.J. Lohner: “Enclosing the solutions of ordinary initial and boundary value prob-
lems,” in Computerarithmetic: Scientific Computation and Programming Languages, eds.E. Kaucher, U. Kulisch, and C. Ullrich, pp. 255–286, B.G. Teubner, Stuttgart, 1987.
常微分方程式の解の包み込み法としてよく知られている Lohner法の手法原理を本人が詳しく述べています．境界値問題への応用も提案されています．
[114] R. Rihm: “Interval methods for initial value problems in ODEs,” in Topics in Vali-dated Computations, ed. J. Herzberger, pp. 173–207, Elsevier Science, North-Holland,Amsterdam, 1994.
一般的な初期値問題の解の包み込みの入門的な解説を Lohner法も含めて豊富な文献とともに詳しく与えています．
[115] K. Makino, and M. Berz: “Taylor models and other validated functional inclusion meth-ods,” International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 4, no. 4, pp. 379–452,2003.
Taylor モデル (TM) 法の紹介と他の手法との詳しい比較がされています．
[116] 小森 喬, 山本 野人: 常微分方程式境界値問題の精度保証法の初期値問題への適用, 日本応用数理学会論文誌, vo1.18, no. 3, pp. 303–319, September 2008.
初期値問題を境界値問題に置き直し解を検証することで時刻 T における解の誤差限界を精度よく算定する方法を提案しています．
[117] N. Yamamoto, and T. Komori: “An application of Taylor models to the Nakao methodon ODEs,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, vol. 26, no. 2-3, pp.365–392, October, 2009.
190 参考文献
初期値問題を積分方程式に書き直し FN-Int による解の検証を行う過程で被積分関数の評価に 2 次のTaylor モデル法の適用を試みています．
[118] T. Minamoto, and M.T. Nakao: “A numerical verification method for a periodic solutionof a delay differential equation,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol.235, no. 3, pp. 870–878, December 2010.
遅延 Rossler方程式の周期解の存在を精度保証付きで検証しています．コンパクト性を持たない作用素に対する condensing mapの議論に基づく解の存在定理（Theorem 1）は他の問題へも適用可能です．
[119] Z. Arai, H. Kokubu, and P. Pilarczyk: “Recent development in rigorous computationalmethods in dynamical systems,” Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics,vol. 26, no. 2-3, pp. 393–417, October, 2009.
力学系に対する精度保証付き数値計算の話題をまとめたサーベイ論文です．
� 分岐曲線の追跡[120] T. Tsuchiya, and M.T. Nakao: “Numerical verification of solutions of parametrized non-
linear boundary value problems with turning points,” Japan Journal of Industrial andApplied Mathematics, vol. 14, no. 3, pp. 357–372, October, 1997.
パラメータ付き 1 次元非線形境界値問題がターニングポイントを持つ場合でも可逆性を持つ拡大方程式を考えることで検証可能であることを示しています．
[121] M.T. Nakao, N. Yamamoto, and Y. Nishimura: “Numerical verification of the solu-tion curve for some parametrized nonlinear elliptic problem,” Proceedings of the ThirdChina-Japan Seminar on Numerical Mathematics, eds. Z. Shi, and M. Mori, pp. 238–245,Science Press, Beijing, 1998.
対称性を持つ方程式を 1次元積分方程式に帰着させ FN-IntUと陰関数定理を組み合わせることで分岐曲線を追跡する手法を提案しています．
[122] T. Minamoto, N. Yamamoto, and M.T. Nakao: “Numerical verification method for so-lutions of the perturbed Gelfand equation,” Methods and Applications of Analysis, vol.7, no. 1, pp. 251–262, March, 2000.
問題を積分方程式に変換し FN-IntUを適用することで分岐曲線を追跡する手法と検証例を与えています．
[123] T. Minamoto: “Numerical method with guaranteed accuracy of a double turning pointfor a radially symmetric solution of the perturbed Gelfand equation,” Journal of Com-putational and Applied Mathematics, vol. 169, no. 1, pp. 151–160, August, 2004.
拡大方程式をふたつ用意することによりダブルターニングポイントが存在するための条件を精度保証付きで検証しています．
[124] T. Minamoto, and M.T. Nakao: “Numerical method for verifying the existence and localuniqueness of a double turning point for a radially symmetric solution of the perturbedGelfand equation,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 202, no. 2,pp. 177–185, May, 2007.
ダブルターニングポイントの存在定理を FN-IntUで検証することにより分岐点を局所一意性付きで検証することに成功しています．
� 変分不等式ここにあげた以外の文献については Ryoo さんの web サイトhttp://math0.hannam.ac.kr/ryoocs/list_pub.html をご覧ください．
[125] C.S. Ryoo, and M.T. Nakao: “Numerical verification of solutions for variational inequal-ities,” Numerische Mathematik, vol. 81, no. 2, pp. 305–320, December, 1998.
191
第一種変分不等式に対し 3章の原理を拡張して適用することが可能なことを示し，1次元問題の具体的な検証例を与えています．
[126] M.T. Nakao, and C.S. Ryoo: “Numerical verifications of solutions for variational in-equalities using Newton-like method,” Information, vol. 2, no. 1, pp. 27–35, January,1999.
文献 [125] の手法を Newton 型作用素に置き換え有効性を確認しています．
[127] C.S. Ryoo: “Numerical verification of solutions for obstacle problems using a Newton-like method,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 39, no. 3-4, pp. 185–194,February, 2000.
Newton 型作用素に基づく検証手法を提案し逐次法との優位性を示す検証例を与えています．
[128] M.T. Nakao, S.H. Lee, and C.S. Ryoo: “Numerical verification of solutions for elasto-plastic torsion problems,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 39, no. 3-4,pp. 195–204, February, 2000.
文献 [125] の手法を自由境界問題となる elasto-plastic torsion 問題に対して適用し微分不可能項の扱いを含めた定式化と 1 次元の数値例を与えています．
[129] C.S. Ryoo, and M.T. Nakao: “Numerical verification of solutions for variational inequal-ities of the second kind,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 43, no. 10-11,pp. 1371–1380, May-June, 2002.
第 2 種積分不等式に対する定式化と 1 次元問題の検証例を与えています．
[130] C.S. Ryoo, and R.P. Agarwal: “Numerical inclusion methods of solutions for variationalinequalities,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 54, no.11, pp. 1535–1556, August, 2002.
変分不等式の精度保証についてのサーベイと三角形一様分割における誤差評価と検証例を与えています．
[131] C.S. Ryoo, H. Song, and S.D. Kim: “Numerical verification of solutions for some uni-lateral boundary value problems,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 44,no. 5-6, pp. 787–797, September, 2002.
これまでの定式化を 2 次元の unilateral な境界条件に適用し三角形一様分割に対する射影誤差評価と検証例を与えています．
[132] M.T. Nakao, and C.S. Ryoo: “Numerical verification methods for solutions of free bound-ary problems,” in Mathematical Modeling and Numerical Simulation in Continuum Me-chanics, eds. I. Babuska, P.G. Ciarlet, and T. Miyoshi, pp. 195–208, Lecture Notes inComputational Science and Engineering, vol. 19, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,2002.
文献 [125], [127], [128] の結果と Signorini 問題および第 2 種積分不等式に対する新しい評価を紹介しています．
[133] C.S. Ryoo, and M.T. Nakao: “Numerical verification of solutions for obstacle prob-lems,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 161, no. 2, pp. 405–416,December, 2003.
文献 [125] の方法をより一般的な問題に拡張した定式化と 1 次元検証例を与えています．
[134] C.S. Ryoo: “Numerical verification of solutions for Signorini problems using Newton-likemethod,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 73, no. 8, pp.1181–1196, February, 2008.
文献 [131] の手法を Newton 型作用素に拡張し 1 次元および 2 次元の検証例を与えています．
192 参考文献
� 特異摂動問題[135] K. Hashimoto, R. Abe, M.T. Nakao, and Y. Watanabe: “A numerical verification
method for solutions of singularly perturbed problems with nonlinearity,” Japan Journalof Industrial and Applied Mathematics, vol. 22, no. 1, pp. 111–131, February, 2005.
1 次元特異摂動問題を Green 関数を用いた線形問題の誤差評価を適用した定式化に帰着させ具体的な検証例を与えています．
� 自由境界問題[136] K. Hashimoto, K. Kobayashi, and M.T. Nakao: “Numerical verification methods for so-
lutions of the free boundary problem,” Numerical Functional Analysis and Optimization,vol. 26, no. 4-5, pp. 523–542, June, 2005.
1 次元自由境界値問題を不動点定式化し問題に応じた空間設定と誤差評価を準備した上で IN-Linz によって不動点を検証しています．
� 逆問題[137] M.T. Nakao, Y. Watanabe, and N. Yamamoto: “Verified numerical computations for
an inverse elliptic eigenvalue problem with finite data,” Japan Journal of Industrial andApplied Mathematics, vol. 18, no. 2, pp. 587–602, June, 2001.
与えられた誤差付きデータから楕円型問題のポテンシャル関数を再構築する手法を FN-IntUと有限次元の精度保証を組み合わせることで実現しています．
� 第 6章「非線形常微分方程式の精度保証プログラミング例」に関する文献[138] G. Sweers, and W.C. Troy: “On the bifurcation curve for an elliptic system of FitzHugh-
Nagumo type,” Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 177, no. 1-4, pp. 1–22, March,2003.
例題として取り上げた方程式の背景と理論的・数値的な考察を与えています．
� 有限要素法に関する教科書[139] 菊地 文雄: 有限要素法の数理—数学的基礎と誤差解析—, 培風館, 1994.
有限要素法の数学的基礎付けの根幹を成す Babuska-Brezzi-Kikuchi の条件（inf-sup 条件）の提案者でもある著者が基礎から応用までを解説しています．
[140] 菊地 文雄: 有限要素法概説［新訂版］—理工学における基礎と応用—, サイエンス社, 1999.有限要素法を初めて学ぶ人のため入門書です．1980 年発行の改訂版です．
[141] M.H. Schultz: Spline Analysis, Prentice-Hall, London, 1973.有限要素基底を用いた際に必要となる各種補完誤差定数の具体的な値と導き方が特に参考になります．
[142] P.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Ams-terdam, 1978.
有限要素法の標準的教科書として知られている本です．
� 第 7章「非線形偏微分方程式の精度保証プログラミング例」に関する文献[143] P.L. Lions: “On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations,”
SIAM Review, vol. 24, no. 4, pp. 441–467, October, 1982.−Δu = f(u) の Dirichlet 境界条件下における正値解の振る舞いをまとめたサーベイ論文です．
193
� 第 8章「関数解析学の用語集」に関する文献
[144] 田端 正久: 微分方程式の数値解法 II, 岩波講座・応用数学 13[方法 3], 岩波書店, 1994.偏微分方程式の離散化手法に関して関数解析の基礎事項から具体的な応用例に至るまでわかりやすく解説しています．
[145] 岡本 久, 中村 周: 関数解析, 岩波講座・現代数学の基礎 7, 岩波書店, 1997.関数解析が数理物理学や応用数学でどのように役立っているかを解説したユーザのための関数解析入門（まえがきより）書です．
[146] 大石 進一: 非線形解析入門, コロナ社, 1997.非線形現象のための方法論を基礎から第一線まで平易かつ体系的に記述しています．
[147] 宮島 静雄: ソボレフ空間の基礎と応用, 共立出版, 2006.Sobolev 空間論が初学者にもわかりやすい形で丁寧に述べられています．
[148] 藤田 宏: 理解から応用への関数解析, 岩波書店, 2007.関数解析リテラシーの獲得を目標（まえがきより）とした教科書です．偏微分方程式への応用を意識した豊富な例が紹介されています．岩波講座・応用数学 5[基礎 5], 岩波書店, 1995 の改題です．
[149] P. Grisvard: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston, 1985.必ずしも滑らかでない境界に対する楕円型方程式の解の存在と存在する空間およびノルム評価について論じています．
[150] E. Zeidler (Translated by P.R. Wadsack): Nonlinear Functional Analysis and its Appli-cations, Part I: Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, 1986.
一冊丸ごと不動点定理にあてた本です．
[151] R.A. Adams, and J.J.F. Fournier: Sobolev Spaces, 2nd edition, Academic Press, 2003.一般化された導関数より導かれる Sobolev空間の諸性質を詳しく論じています．1975年に初版が刊行されています．
� MATLABによる数値計算の本[152] 大石 進一: MATLABによる数値計算, 培風館, 2001.
数値計算のためのアルゴリズムの原理とその原理に基づいて作られている MATLAB の命令で問題を解く方法を解説しています．最終章の数値計算パッケージの開発の歴史もとても参考になります．
[153] 櫻井 鉄也: MATLAB /Scilab で理解する数値計算, 東京大学出版会, 2003.数値計算アルゴリズムを理解するための教科書であるとともにソフトウェア利用法の入門書としても読むことができます．
194 参考文献
索 引
欧字・記号Aubin-Nitscheの技巧 39
Banach空間 173
Banachの不動点定理 36, 37
Cauchy列 172
epsilon-inflation 13
FN-Int 45
FN-IntU 53
FN-Norm 57
FN-NormU 60
Frechet微分 174
Frechet微分可能 174
Fredholmの交代定理 178
Fredholmの択一定理 178
FS-Int 41
H10 (Ω) 177
H20 (Ω) 178
Hilbert空間 173
Hm(Ω) 177
Holderの不等式 177
IN-Linz 67
IS-Res 64
Kolmogorov問題 90
Krawczyk-Moore作用素 12
Krawczyk作用素 12
Krawczyk法 11
L2(Ω) 176
Lp(Ω) 176
Navier-Stokes方程式 89
Newton-Raphson法 116
Oberbeck-Boussinesq方程式 92
Orr-Sommerfeld方程式 95, 96
Poincareの不等式 83
Riesz-Schauderの交代定理 178
Riesz-Schauderの択一定理 178
Schauderの不動点定理 36
Schwarzの不等式 172
Stokes方程式 90
ア打ち切り誤差 1
埋め込み 178
埋め込み定数 178
埋め込み定数の評価 146
カ完備 173
機械区間演算 8
基本列 172
強収束 172
区間 7
区間演算 7
計算機エプシロン 45
係数ベクトル 38
幻影解 6, 25
構成的誤差評価 39
候補者集合 36
コンパクト 176
コンパクト作用素 176
サ作用素 32, 174
三角形要素分割 143
射影 173
射影作用素 174
弱形式 34
射撃法 100
収束 172
縮小写像 37
数値的検証 2
正射影 173
正定値行列 16
精度保証付き数値計算 1
線形作用素 174
線形汎関数 53
双対空間 53
タ超関数 53
直和分解 173
直交 173
直交射影 173
直交分解 173
直交補空間 173
点区間 7
凸集合 176
トレース 177
ナ内積 172
内積空間 172
内点 175
ノード 103
ノルム 171
ノルム空間 171
ノルムの同値性 171
ハ半正定値行列 16
引き戻し 51
非線形作用素 174
不動点定理 36
部分空間 175
平均値の定理 175
閉集合 175
閉部分空間 175
閉包 175
変分形式 34
マ丸め区間演算 8
丸め誤差 1
モデル化誤差 1
ヤ有界 174
有界集合 175
ララッピングエフェクト 100
離散化誤差 1
連続 174
196 索 引
著者略歴
中なか尾お 充みつ宏ひろ
1974 年 九州大学大学院理学研究科数学専攻修士課程修了1984 年 理学博士1994 年 九州大学大学院数理学研究科教授2010 年 九州大学名誉教授同 年 佐世保工業高等専門学校 校長2016 年 同校名誉教授専 門 数値解析，精度保証付き数値計算主要著書「精度保証付き数値計算」（日本評論社，1998）「計算の信頼性評価」（現代技術への数学入門シリーズ，講談社，2008）
渡わた部なべ 善よし隆たか
1991 年 九州大学大学院理学研究科数学専攻修士課程修了1996 年 博士（数理学）2007 年 九州大学情報基盤研究開発センター准教授専 門 数値解析，計算数学
臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-85
『実例で学ぶ 精度保証付き数値計算 理論と実装』（電子版）
著 者 中尾 充宏・渡部 善隆2019 年 3 月 10 日 初版発行 ISBN 978─4─7819─9959─3この電子書籍は 2011 年 10 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．
数 理 科 学 編 集 部 発行人 森 平 敏 孝TEL.（03）5474─8816FAX.（03）5474─8817
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