數學平時卷 高一下 Ch1－1 ~ Ch1－2

一年 6班 號姓名

一、是非題：每題 6分，共 18分。 245 1. 下列選項哪些正確？ (1)

4 6

1 3k k

k ka a

= =

=å å (2) 4 5

11 2

k kk ka a -

= =

=å å

(3) 5 6

2 2

2 3k kk k

= =

=å å (4) 5 4

3 3

2 1( 1)

k kk k

= =

= +å å (5)5 5

1 1(3 10) (28 3 )

k kk k

= =

+ = -å å

123 2. 已知一等差數列共有 59 項，滿足公差 d>0，且 a29+a30+a31=0，選

出正確的選項： (1) a59 > 0 (2) a1 < 0 (3) a30 = 0

(4) 58

10k

ka

=

>å (5) a18 + a19 + a20 = 0

1345 3. 將一個長度為 1024 的線段，取其12

圍成一個正方形；再將剩下的線段，

取其12

圍成一個正方形； 如此繼續下去，設 an為第 n 次所圍成

正方形的周長，bn為第 n 次所圍成正方形的面積：

(1) áanñ 是等比數列，公比為12

(2) ábnñ 是等比數列，公比為12

(3) a6 = b6 (4) a10 > b10 (5)10

34

kk

a a=

>å

二、填充題：每格 6分，共 72分。

1. 求在50～ 250之間，所有 6 的倍數總和為 4950 。

2. 設數列 na 為等比數列﹐若 214

a = - ﹐ 5132

a = ﹐且公比 r為實數﹐試求10

1k

ka

=

=å !"##%&"

。

3. 計算下列各式的值：

(1)10

1

1( )2

k

k==å

#%&!#%&"

(2) 1 ´ 3 + 2 ´ 5 + 3 ´ 7 + 4 ´ 9 + … + 30 ´ 61= 19375

(3) 113 + 123 + … + 203 = 41075 (4) 1 1 1 11 3 3 5 5 7 99 101

+ + + +´ ´ ´ ´

= '%#%#

(5)2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 4 6 2 4 181 2 3 9

+ + + + + ++ + + + = 476 。

4. 設1 1

n

kk

nan=

=+å ﹐則𝑎)=

#'*

。

5. 數列 á an ñ 之前 n 項和 Sn = a1 + a2 + … + an = n2 + 1，求： (1) a4 = 7

(2) an = 𝑎# = 2𝑎- = 2𝑛 − 1(𝑛 ≥ 2) 。

…

…

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6. 右圖是邊長為 2 的正方形，圖形中有 5 個黑色的三角形(均為相

似三角形)，求白色部分的面積 =__#)##&4

__平方單位。

7. 小王每年年初固定在銀行存入10000元﹐年利率 2%﹐每年複利

計息一次﹐求第10年年底的本利和為 112200 元。

（已知 ( )101.02 1.22» ）

解析：所求為 ( ) ( ) ( ) ( )10 9 810000 1.02 10000 1.02 10000 1.02 10000 1.02+ + + +

( ) ( )1010000 1.02 1.02 1

1.02 1

é ù-ë û=-

( )( )10000 1.02 0.220.02

= 112200= 元﹒

三、 證明題：使用數學歸納法證明「對所有正整數n，

( ) ( )( )1 4 11 2 3 4 5 6 2 1 2

3n n n

n n+ -

´ + ´ + ´ + + - ´ = 」（10 分）

1當 1n = 時﹐左式 1 2 2= ´ = ﹐右式1 2 3 23

´ ´= = ﹐原式成立﹒

2設n k= 時原式成立﹐即 ( ) ( )( )1 4 11 2 3 4 2 1 2

3k k k

k k+ -

´ + ´ + + - ´ = ﹐

則 1n k= + 時﹐左式 ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 2 1k k k k= ´ + ´ + + - ´ + + - ´ +é ùë û

( )( ) ( ) ( )1 4 1

2 1 2 13

k k kk k

+ -= + + ´ + ( ) ( ) ( )4 1

1 2 2 13

k kk k

-é ù= + ´ + +ê ú

ë û

( )( )21 4 11 6

3k k k+ + +

=( )( )( )1 2 4 3

3k k k+ + +

=

( ) ( ) ( )1 1 1 4 1 1

3k k k+ + + + -é ù é ùë û ë û= =右式原式也成立﹒

故由數學歸納法可知﹐對於所有正整數 n﹐

( ) ( )( )1 4 11 2 3 4 5 6 2 1 2

3n n n

n n+ -

´ + ´ + ´ + + - ´ = 恆成立﹒

…

…

…

…

…

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四、計算題（需寫出計算或思考過程）：有一隻螞蟻在坐標平面上由原點( )0,0 出發，

沿著x軸正向（即正東）的方向走了1分鐘，然後立即轉向正北，再走2分鐘，然後再

轉向正西方向走4分鐘，再轉向正南方向走8分鐘，再轉向正東方向走16分鐘，依此法

則走下去，且每分鐘走1公尺，速率不變且轉彎時間不計，那麼，牠走了511分鐘時，

牠的位置為何？（以坐標表示）（設單位為公尺）（8 分） 如右圖，

∵每分鐘走1公尺，且 2 8 91 2 2 2 2 1 511+ + + + = - = ，

∴依序走1﹐ 2﹐ 22 ﹐ 32 ﹐ ﹐ 72 ﹐ 82 公尺，考慮方向，

故 x坐標為 2 4 6 81 2 2 2 2 205- + - + = ，

y坐標為 3 5 72 2 2 2 102- + - = - ，

所以走了511分鐘時﹐位置在 ( )205, 102- ﹒

五、加分題：李白愛喝酒，身上總是攜帶一個酒壺，每遇見一位朋友，他就會將酒壺裡的酒加倍，然後與朋友飲去 8升的酒，已知今日李白遇見五位朋友，根據這樣的飲酒規則，若李白遇到這五位朋友都有喝到酒，則壺中應至少裝有幾升酒？ 假設一開始至少裝有 x升酒，an表示遇到第 n位朋友後剩餘的酒，則 a1=2x-8，a2=2a1-8= 22x-24，a3=2a2-8= 23x-56，

a4=2a3-8= 24x-120，a5=2a4-8= 25x-248 因為李白遇到這五位朋友都有喝到酒，所以 a4≥0，即 24x-120≥0，故𝑥 ≥ #'

& #

……