고체역학 chapter2 stress and strain

8/18/2019 Chapter2 Stress and Strain

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xσ

yσ

z σ

yxτ

yz τ xyτ

xz τ

zxτ

zy

τ

Chapter.2 Stress and Strain

김 대 영

E-mail: [email protected]

HP: 010-9249-5551

바이오시스템공학과2014년도 2학기 강의자료 (고체역학)


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1. 응력(Stress)

1F

2F

3FS

1F

2F

3F

1F

2F

3F''S

'

S '

S

•

Sample S - 평형상태- 무게는 다른 외력들에 비해 무사할만 하다

• 고립된 면 S’에는 힘 F3를 제외한 F1과 F2가 작용함

• 힘의 평형상태를 유지시키기 위해서는 S’’부분에 의한

힘들이 평면 P에 가해져야 한다.

-> 재료를 결합시키는 힘: 내력

0321 F F F Spring

element

벡터를 사용한 각 결합력의표현 가능


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2. 표면응력, 수직응력, 전단응력

• : 표면응력 (traction: 표면력, 응력벡터) – 벡터함수

• 압력은 스칼라 함수이다.

• 단면 A상의 힘들은 임의의 방향으로 작용할 수 있기에 벡터

함수를 사용한다.

• 단면 A상의 한점에서 표면응력의 값은 벡터이므로 단면 A에

대한 수직 성분과 접선 성분으로 나눌 수 있다.

: 수직응력 (normal stress)

: 전단응력 (shear stress)

t

dAdAdA ,,t : 힘의 개념

각 응력의 단위: 힘/면적


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2. 표면응력, 수직응력, 전단응력• SI 단위: Pa, KPa, MPa, Gpa

• 미국 상용 단위계: pis (pounds per square meter), psf (pounds per square foot), ksi (kips per square inch), ksf (kips

per square foot)

• 고체 재료의 응력: 원자들의 결합력을 제거하기 위한 내부 힘의 개념

• 기체 속의 내력: 원자나 분자들 사이의 열운동으로 인해 발생하는 서로간의 충돌력

• 고체, 유체, 열 등에 대해서도 동일한 방법으로 내력들을 표현할 수 있다.

• 수직응력은 인장시에 양의 값으로 정의되는데 반하여 압력은 압축시에 양의 값으로 정의된다.

p


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3. 평균응력• 응력 성분들(수직응력, 전단응력)은 단면 A상의 위치의 함수로서 어떻게 결정할 수 있을까?

• 응력해석: 어떤 재료 속의 주어진 평면 P에 대한 응력분포를 평가

• 평행상태에서 단면 A에 작용하는 표면응력 t의 평균값

A dA At

1tav

avt 평균표면응력(average traction)

av 평균수직응력(average normal stress)

av 평균전단응력(average shear stress)


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4. 축하중을 받는 막대(봉) 속의 평균수직응력• 전 길이에 걸쳐서 단면이 일정한 직선 막대: 균일하다 (prismatic) – Ex.) 삼각형의 유리 프리즘

• 평균수직응력은 축하중에 비례하고 막대의 단면적에 반비례

• 막대의 축을 따르는 평면 P의 위치에 무관함

0av P A

A

P av


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5. 핀 속의 평균전단응력• 핀지지: 축하중 F 를 받는 막대 고정

• A : 핀의 단면적

02 av A F A

F

2av


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6. Example 2-1• 어떤 트러스가 10kN의 하중을 지지하고 있다. 그 부재들은 반경이 40mm이고 중실 원통형 막대이다. 평면 P에 작용하는

평균수직응력과 평균전단응력을 구하여라.


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6. Example 2-1• BC부재의 축력 결정 – 연결점(조인트) C의 자유물체도 작성

• 평면 P의 좌측에 있는 부재 BC 일부분을 고립시키고, 평균 수직 및 전단 응력에 의해서 가해진 힘들을 표시하여 자유물체도

작성

• 평면 P에 수직 및 접선 방향으로의 좌표계 설정후 x,ㅛ 방향으로 힘들을 합합으로써 응력에 의한 힘들로 표시된 간단한

평형방정식을 얻을 수 있음

01030sin

030cos

CD y

CD BC x

P F

P P F

kN20

kN3.17

CD

BC

P

P

030sin3.17

030cos3.17

av

av

A F

A F

y

x

kN66.8

kN15

av

av

A

A

2

2

m00580.0

)04.0(30cos

A

A

MPa49.1

MPa58.2

av

av


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7. Example 2-2• 트러스의 연결점 C에 대한 세부도가 그려져 있고, 그 연결은 20mm 반경의 핀으로 되어 있다. 그 핀 속의

평균전단응력은 얼마인가?


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7. Example 2-2• 앞의 예제로부터 부재 BC의 축력은 17.3kN의 압축 하중이 작용하는 것을 알고 있다.

• 연결점 C의 핀 구조물과 BC 부재의 일부분에 대한 자유물체도 작성 – 17.3kN의 압축력은 핀 속의 평균 전단응력들에 의해

지지됨

• 부재 CD의 자유물체도를 사용하여 핀 속의 평균전단응력을 결정할 경우 – 앞의 예제로부터 부재 CD는 20kN의 인장력 작용

단면적을 고려한 후 계산하면,

MPa89.6

m00126.0)02.0(

kN66.8

023.17

av

22

av

av

A

A

A

kN66.8

01030sin20sin2

030cos20cos2

av

A

A F

A F

av y

av x

MPa89.6av


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8. Example 2-3• 충분한 힘 F를 펀치에 가하여 평판으로부터 원형 블랭크를 따내기 위한 배치를 보여주고 있다. 평판의 두께는 t이고,

펀치와 평판 밑의 원공의 지름은 D이다. 펀치에 힘 F를 가했을 때, 평판 속에 발생되는 평균전단응력의 크기는 얼마인가?


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8. Example 2-3• 펀치를 통과하는 지름 D 의 평판 컷을 통해 자유물체도 작성

• 자유물체도상의 힘 F는 원통 형상으로 잘려진 평판 요소의 표면에 작용하는 수직 방향의 전단응력에 의하여 지지됨

D F

F Dt

F A

av

av

av

0))((

0


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9. Example 2-4

• 수직응력은 y 가 증가함에 따라 증가하므로, 최대치는 y =6in에서 발생

• 수직응력은 y 에만 의존하므로, 총수직력은 수평띠 형상의 면적 요소 dA에 대한 적분을 통해 구할 수 있음

• 평균응력은 총수직력을 면적 A로 나눈 것과 같다.

• 최대수직응력이 평균수직응력의 3배

• 평균응력만을 설계에 적용하기에 불충분한 이유임 -> 응력의 실제적인 분포를 알 필요가 있음

22

max lb/in7200)6)(200(

최대 수직응력

총수직응력

lb000,57

3800

)4()200(

6

0

3

6

0

2

y

dy ydA A

총수직응력

2lb/in400,2

)600,57()6)(4(

1

1

Aav dA A


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10. 변형률 (Strain): 신장변형률

• 물체는 외력을 받으면 변형한다(deform).

• 주어진 물체의 형상과 그 형상 변화를 어떻게 이론적으로 묘사할 수 있을까?

• 전체적인 형상 변화가 아닌 물체의 어떤 한 점 부근의 재료에 어떤 변화가 생길지를 생각!!

• 신장변형률은 재료가 변형시 얼마나 많이 수축하는지 혹은 인장하는지를 측정

- 수축 (-), 인장 (+)

- 무차원 (non-dimensional) / 재료속의 위치에 따라 변화

- 기준상태(reference state) 혹은 초기상태에 관해 압축과 신장

dL

dLdL

'

: 미소길이

: 변화된 미소길이

: 신장변형률 (extensional strain: 수직변형률, 종방향변형률)

dL

'dL


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10. 변형률 (Strain): 신장변형률

L ' L

• 변형 전의 주어진 점과 방향에 해당되는 값을 안다면?

• 유한 선분의 길이를 L 이라고 하면, 변형상태에 있는 선분의 길이 L’ 는?

• 만약 의 값이 선분을 따라 균일하다면, 길이변화는?

dLdL )1('

L L dL LdL L )1('

L dL L L '

L L L '

: 유한 선분의 길이에 대한 변형량


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11. 전단변형률 (Shear strain)

1dL2

dL2

'1dL

'2

dL

2

• 미소 선분 과 사이의 각이 변형후 갖게 되는 각을 로 표현하면, 이 각은 양의 값, 음의 값을 가질 수 있다.

• : 전단변형률 (shear strain, 횡방향 변형률)

- 기준상태에서 수직이었던 두 선분들 사이의 각도 변화에 대한 척도

- 라디안 각도로서 무차원

2dL1dL

1dL

2dL

2

2

2

'1dL

'2

dL


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12. Example 2-5

• 하중을 받지 않는 상태에서의 어떤 막대의 길이 L=2m이다.

• (a) 막대는 축하중을 받아 길이가 2.04m로 증가되었다. 만약 막대의 길이 방향으로의 신장변형률 이 막대 길이 전체에

걸쳐서 일정하다면, 은 얼마인가?

• (b) 막대의 한쪽 끝을 매달아 길이가 2.01m로 증가되었다. X방향으로의 신장변형률 (a는 일정)으로

주어진다면,, a의 값은 얼마인가?

Lax /

P P

2.04m

x

y

2.01m

(a) (b)

02.0

)2(04.0

)2(204.2

'

L L L

01.0

22

01.0

2201.2

'

2

0

2

2

0

a

a xa

dxax

dL L L L


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12. Example 2-6

• 기준상태에 있는 어떤 재료의 한 점에서의 미소 직사각형을 생각하자. 과 방향으로의 신장변형률을 , 라

하고, 과 방향에 관한 전단변형률을 라 하자. 대각선 방향으로의 신장변형률은 얼마인가?

1dL

2dL 1 2

1dL 2dL dL

1dL

2dL

'1dL

'2dLdL 'dL

sin)1()1(

cos)1()1(

222

'

2

111

'

1

dLdLdL

dLdLdL

2

'dL

'2dL

'1dL

2cos''2)()()'( 21

2

2

2

1

2 dLdLdLdLdL코사인 법칙으로부터

2cossin)1(cos)1(2sin)1(cos)1()'( 21

2

2

2

1

2 dLdLdLdLdL

2

21

22

2

22

12cossincos)1)(1(2sin)1(cos)1( dL

12

cossincos)1)(1(2sin)1(cos)1('

21

22

2

22

1

dL

dLdL

고체역학 chapter2 stress and strain

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