27/06/2013 BĐT AM-GM - Trang 3 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/page-3 2/9

2)Cho chứng minh rằng

3)Cho thoả mãn chứng minh rằng

4)Cho chứng minh rằng

P/s: lời giải post sau ^^

Bài 1 hình như ta dùng đánh giá sau

Theo AM-GM thì

Xây dựng các BĐT tương tự

Bài 2:Tách mỗi hạng tử vế trái thành 2 và sử dụng đánh giá

Bài 3:Có

Theo AM-GM tiếp thì

đây đã là dpcm

Bài 4:hình như là 1 BĐT của vasile?

+ + ≥ ( + + )ab

c2

ca

b2

bc

a2

12

a + b

c

c + a

b

b + c

aa,b,c > 0

+ + ≥ 2( + + )b + c

a2

c + a

b2

a + b

c2

1a

1b

1c

a,b,c > 0 a + b + c = 3abc( + + ) ≤ 3a2 b2 c2

a,b,c,d > 0

+ + + ≥ 0a − b

b − c

b − c

c + d

c − d

d + a

d − a

a + b

+ + + + + ≥ 3ab

c2

ab

c2

bc

a2

ab

c2

ab

c2

ca

b2

a + b

c

+ ≥b

a2

1b

2a

abc( + + ) = abc(a + b + c)( + + )a2 b2 c2 13

a2 b2 c2

≤ (ab + bc + ca ( + + )19

)2a2 b2 c2

(ab + bc + ca ( + + ) = (ab + bc + ca)(ab + bc + ca)( + + ))2a2 b2 c2 a2 b2 c2

≤ (a + b + c = 27127

)3

no matter what

Xin lỗi các bạn mình để topic chững lại vài ngày,cảm phiền các bạn vì điều này

Kĩ thuật ghép đối xứng (đây cũng là phương pháp mình thích nhất)

Ta sẽ đến với 1 kĩ thuật nữa (mình nghĩ các bạn cũng sẽ thích phương pháp này).Nếu các bạn quan sát kĩ những bài toán

đã nêu(và được giải quyết) thì sẽ thấy hầu hết các bài toán đề có dạng (Với là mọt biểu thức cùng

các biến với A,B,C hoặc D là 1 số).Tuy nhiên,kĩ thuật sau sẽ giúp các bạn giải quyết dạng bài

hoặc

+,Dạng 1:Chứng minh

Ý tưởng :Ta sẽ chứng minh Và xây dựng các BĐT tương tự(tuy nhiên ,trong 1 số trường hợp ta có thể

chứng minh thẳng

Tổng quát hơn,ta sẽ chứng minh

và xây dựng các BĐT tương tự

+,Dạng 2 :Chứng minh

Ý tưởng vẫn là chứng minh và xây dựng các BĐT tương tự

Bài toán định hình

Chứng minh với mọi a,b,c dương,ta có BĐT sau

Giải: Đậy là bài toán dạng mẫu mực nhất của kĩ thuật ta nói tới với

Vậy chắc không cần nói nhiều mọ người đã định hình ra cách chứng minh rồi nhỉ

Theo AM-GM ta có

Các BĐT còn lại được xây dựng hoàn toàn tương tự

BĐT được chứng minh

* Không nên cái gì cũng nhất nhất rập khuôn:đó là điều mình muốn khuyên các bạn,

Ta sẽ đến với VD sau

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có BĐT sau

Giải:"Nó đâu khác gì bài trên,chỉ cần chứng minh là xong"

Phải chăng bạn đang nghĩ vậy,không sai,nếu theo phương pháp bạn sẽ chứng minh vậy,tuy nhiên,bạn hãy thử chứng

mnih xem

Bài toán buộc ta có 1 cách nghĩ khác hơn

ta đi tới biến tướng tiêu chuẩn chứng minh thành

Để chứng minh ,ta có thể chứng minh và xây dựng các BĐT tương tự

Đã gửi 3 0-1 1 -2 01 2 - 1 6 :3 4

A + B + C ≥ D D

A + B + C ≥ X + Y + Z

ABC ≥ XY Z

X + Y + Z ≥ A + B + C

X + Y ≥ 2A

X ≥ A

mX + nY + pZ ≥ (m + n + p)A

XY Z ≥ ABC

XY ≥ A2

+ + ≥ a + b + cab

c

bc

a

ca

b

X = ,Y = ,Z = ,A = a,B = b,C = cab

c

bc

a

ab

c

+ ≥ 2 = 2cab

c

bc

a.

ab

c

bc

a

− −−−−−√

+ + ≥ + +1

a + 3b

1b + 3c

1c + 3a

12a + b + c

12b + c + a

12c + a + b

+ ≥1

a + 3b

1b + 3c

22a + b + c

X + Y + Z ≥ A + B + C X + A ≥ 2Y

27/06/2013 BĐT AM-GM - Trang 3 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/page-3 3/9

ta sẽ vận dụng cách nghĩ trên vào bài toán này

Thật vậy,ta chỉ cần chứng mnih là đủ

Tuy nhiên theo 1 hệ quả quen thuộc của BĐT MA-GM dạng ,ta dễ dàng CM được BĐT trên

VD3,chứng mnih với mọi a,b,c dương có ab+bc+ca>0,ta có BĐT

Giải:Theo tiêu chuẩn,ta chỉ cần chứng minh

chứng minh bài nyà hoàn toàn là biến đổi tương đương(hoặc C-S),xin dành các bạn

*Đưa về dạng chính tắc

Xét bài toán sau

Cứng minh với mọi a,b,c thực dương có tổng bằng 3,ta có BĐT sau

Giải:Bài này mình đã trình bày cách giải,giờ xin viết lại

Để ý rằng bài toán không nằm trong bất kì dạng nào đã xét,việc ta cần làm là đưa nó về dạng ta đã có phươg pháp

Giờ,Áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số ta cần chứng minh

(với điều kiện a,b,c dương có tổng bằng 3)

Chú ý rằng theo AM-GM ta có

Xây dựng các BĐT tương tự,ta chỉ cần chứng minh

Hay

Với a+b+c=3,BĐT này không khó chứng minh

*Đưa về dạng chính tắc chưa đủ

Xét VD sau:Chứng minh với mọi số dương a,b,c ta có

Giải: Tư tưởng để chứng minh BĐT này hoàn toàn không có gì khác so với VD trước

Ta sẽ đưa về dạng chính tắc,bằng cách áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số,khi đó,ta phải chứng minh BĐT mạnh hơn

sau

Đến đây,ta bắt đầu thấy bối rối("VT toàn biểu thức bậc lẻ(3) thì ghép đối xứng thế quái nào được"),không sai,vậy thì

đơn giản,ta sẽ đưa nó về bậc chẵn là ok đúng không(dĩ nhiên là bậc 4)

BĐT tương đương với

Để chấm dứt hành trình gian nan,ta chỉ cần chứng minh

TUY nhiên,theo AM-GM, BĐT trên đúng

Để kết thúc phần nho nhỏ này,mình xin đưa ra 1 số bài tập

1,Chưgs mnih với mọi a,b,c thực dương

2, Chứng minh với mọi a,b,c dương ,ta có BĐT sau

3,Chứng minh với mộ a,b,c thực dương,ta có BĐT sau

4,Chứng minh với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác,ta có

P/s:Hầu hết kiến thức và bài tập phần này mình lấy trong sách"Sử dụng ppAM-GM đẻ chứng minh BĐT"của anh Võ

Quốc Bá Cẩn(vì sách có bản scan trên mạng nên mình nghĩ cũng không vi phạm bản quyền gì ở đây

Rất xin lỗi đã để topic chững lại

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi no matter what : 30-1 1 -201 2 - 1 6:36

+ ≥1

b + 3c

12a + b + c

2a + b + 2c

+ ≥1a

1b

4a + b

(1 + )(1 + )(1 + ) ≥ (a + b)(c + b)(a + c)a2 b2 c2

(1 + )(1 + ) ≥ (a + ba2 b2 )2

+ + ≥ 3a + b

c + ab

− −−−−−√ b + c

a + bc

− −−−−−√ c + a

b + ca

− −−−−−√

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + bc)(b + ca)(c + ab)

(c + ab)(a + bc) ≤ = =(c + ab + a + bc)2

4[b(c + a) + (c + a)]2

4(b + 1 (c + a)2 )2

4

(a + b)(b + c)(c + A) ≥ ( )(a + b)(b + c)(c + a)(a + 1)(b + 1)(c + 1)

8(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ 8

+ + ≥ 3a + b

+ abca3− −−−−−−√3

b + c

+ abcb3− −−−−−−√3

c + a

+ abcc3− −−−−−−√3

4√3

(a + b (b + c (c + a ≥ 64abc( + bc)( + ca)( + ab))3 )3 )3 a2 b2 c2

(a + b (b + c (c + a ≥ 64abc( + bc)( + ca)( + ab)(a + b)(b + c)(c + a))4 )4 )4 a2 b2 c2

(a + b (b + c ≥ 4a(b + c)( + bc))2 )2 a2

(a + b (b + c = = ≥ 4a(b + c)( + bc))2 )2 [(a + b)(b + c)]2 [( + bc) + a(b + c)]a22

a2

+ + ≥ 3+ 2a2 b2

+ ab + bca2

− −−−−−−−−−

√ + 2b2 c2

+ bc + cab2

− −−−−−−−−−

√ + 2c2 a2

+ ca + abc2

− −−−−−−−−−

√

(a + )(b + )(c + ) ≥ 4bc

a

ca

b

ab

c( + )( + )( + )a3 b3 b3 c3 c3 a3− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3

(1 + a + b + c)(1 + ab + bc + ca) ≥ 4 2(a + bc)(b + ca)(c + ab)− −−−−−−−−−−−−−−−−−−√

((2 + bc)(2 + ca)(2 + ab) ≥ (2 + 2 − )(2 + 2 − )(2 + 2 − )a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2

no matter what

Kĩ thuật đau lòng :Kĩ thuật tham số phụ(hay điểm rơi hay cái chi chi đó)

Phần này mình HOÀN TOÀN KHÔNG BIẾT 1 TÍ NÀO CẢ,cảm phiền mọi người search trên google vậy,xất xin lỗi vì sự

cố đáng tiếc này

Nói chung là mình đã trình bày sơ qua rồi,nhân đây mình cũng xin tập hợp các bài chưa được giải trong topic đồng thời

đưa thêm 1 số khác cho mọi người thoải mái chém

Đã gửi 03 -1 2 -2 01 2 - 1 3 :3 1