1

การวิเคราะหและออกแบบแผนพื้นและ

ฐานรากแพดวยโปรแกรม FEM

รศ.ดร. อมร พิมานมาศ

ภาณุวัฒน จอยกลัด

ปรีดา ไชยมหาวัน

2

เนื้อหาทฤษฎีเบื้องตนของแผนบาง (Plate theory)

ประเภทของ Element สําหรับการวิเคราะหแผนพื้นดวย FEM

ขั้นตอนการวิเคราะหโครงสรางแผนบางดวย FEM

การอานผลจาก FEM

การแปลผล FEM เพื่อนําไปออกแบบเหล็กเสริม

3

การออกแบบ ฐานรากแพการออกแบบฐานรากโดยวิธีดั้ง

เดิม (conventional method)

สามารถใชไดกับโครงสรางที่ไม

ซับซอน

ในกรณีที่โครงสรางมีความซับ-

ซอน เชน มีทั้งกําแพงเฉือนและเสา

น้ําหนักบรรทุกที่แตกตางหรือรูปราง

ของฐานรากที่มีความซับซอน

การวิเคราะหดวย FEM เปน

วิธีที่เหมาะสมและใหคาที่ถูกตอง

Spring supports

Stress results

4

การจาํลองฐานรากดวย FEM

การจําลองฐานรากแพดวย FEM โดยทั่วไปสามารถทําได 3 วธิี

(1) การจําลองดวย อลีีเมนตเชิงเสน (Line element) ขึ้นรูปเปน

โครงสรางตาขาย (grid)

(2) การจําลองดวย อลีีเมนตแผนบาง (Plate element)

(3) การจําลองดวย อลีีเมนตทรงลูกบาศก (3D-solid element)

ปจจุบันวิธีที่ 2 เปนที่นิยมมากที่สุด

5

อีลีเมนตเชิงพื้นที่ (Area element) ใน FEM

โดยทั่วไปในโปรแกรมวิเคราะหโครงสราง area element จะมี 3 แบบ คือ membrane, plate และ shell

มีคุณสมบัติแตกตางกัน ขึ้นอยูกับจุดประสงคการใชงาน

Membrane จะมี DOF ที่ node นอยที่สุด คือ 2 (Δx,Δy)

Plate จะมี DOF ที่ Node = 3 (θx, θy, Δz)

Shell (membrane + plate) จะมี DOF ที่ Node มากที่สุด คือ 6 (θx, θy, θz, Δz, Δx,Δy)

ผลของ DOF จะมผีลตอแรงที่เกิดขึ้น นั่นคือ หาก DOF มาก ผลลัพธที่แสดงออกมาจากการวิเคราะหก็จะมากตามไปดวย

6

Membrane Element

Shear wall + Frame

• ไมรับแรงดัดนอกระนาบ

• รับแรงดัดในระนาบไดโดยอาศัยความเคนในระนาบ

• รับแรงเฉือนในระนาบ

• เหมาะสําหรับโครงสรางที่มีความบาง

• เชน กําแพงรับแรงเฉือน (Shearwall)

7

Plate Element

• รับแรงดัดนอกระนาบเปนหลัก

• แรงเฉือนและแรงดัดเปนแรงที่พิจารณา

• เหมาะสําหรับการจําลองพื้น

• รับเฉพาะแรงที่ตั้งฉากกับระนาบ

• ใชไดทั้ง 2 มิติและ 3 มิติ

• ใชกับโครงสรางแผนบาง เชน หลังคา (Flat roof)

หรือหลังคาแผนพับ (folded roof)

8

Shell Element

I curved girders bridge

• เปนการรวมคุณสมบัติของ

membrane และ plate เขาดวยกัน

• เหมาะสําหรับโครงสรางแบบพื้นผิว

(surface) ทั่วไป

• โดยเฉพาะอยางยิ่งโครงสรางที่โคง

• แตคอนขางจะแปรผลยาก เนื่องจาก

มี degree of freedom จํานวนมาก

9

Plate vs. Shell Elementแมวา shell element จะมีประสิทธิภาพสูงสุดในการวิเคราะห

เนื่องจากสามารถวิเคราะหไดทั้ง plate และ membrane ใน

คราวเดียวกัน

อยางไรก็ดีผลลัพธที่มากเกินจําเปนทําใหการใช shell element

อาจไมสะดวกนัก

ในกรณีของฐานรากแพ ที่รับแรงตั้งฉากกับระนาบ (Out of

plane loading) เปนหลักสามารถใช plate element ได

10

โมเมนตและและแรงเฉือนใน PLATE

เมื่อ mxx และ myy คือ โมเมนตที่เกิดจาก σxx หรือ σyy ซึ่งอาจ

พิจารณาเปนการหมุนที่มีทิศขนาน (กฏมือขวา) กับแกน y และ x

ตามลําดับ

11

STRESS vs. Moment in a PLATEmxy = myx คือ Twisting moment

12

ผลการวิเคราะห Plate element ดวย FEM

โดยทั่วไปโปรแกรม FEM จะแสดงผลออกมา 2 แบบ คือ

(1) แรงตอหนวยที่หนาตัด Element หรือ Element forces

(2) แรงที่กระทํา ณ จุดตอ หรือ Nodal force

13

Element forces (Unit : Force/unit length)

เปนวิธีที่โปรแกรมสวนมากใชกัน

14

Nodal forces (Unit : Force)

โปรแกรมจะคํานวณ

Nodal forces จาก Nodal

displacements

ตามหลักสมดุล F = KX

โดยที่ K เปนสติฟเนสของอิลีเมนต

Equilibrium

conditions

15

Element force : Wood & Armer Method

แตโปรแกรมสวนใหญจะแสดงแรงกระทําใน element ที่ตําแหนงของ Node ของแตละ Element

คาแรงกระทํากับ element ที่แตละ Node จะมี 3 คา คือ mxx, myy และ mxy

การออกแบบเหล็กเสริมนิยมออกแบบตอแถบ (strip) ซึ่งสามารถหาโมเมนตทั้งหมดไดจากการอินทิเกรตหรอืรวมโมเมนตของทุกๆ element ที่อยูในแถบนั้น

การคํานวณโมเมนตมีความละเอียดสูงเมื่อจํานวน element ที่ใชมีมากขึ้น

16

Simplified Wood & Armer Method (1968)

คาโมเมนตเพื่อออกแบบ เหล็กลาง (Bottom reinforcement)

mrx = mxx + |mxy| และ mry = myy + |mxy|

หาก mrx หรือ mry ที่คํานวณไดมีคาเปนลบ ใหใช mrx = 0 หรือ mry = 0

คาโมเมนตเพื่อออกแบบ เหล็กบน (Top reinforcement)

mrx = mxx - |mxy| และ mry = myy - |mxy|

ทํานองเดียวกัน หาก mrx หรือ mry ที่คํานวณไดเปนบวกใหใช mrx หรือ

mry = 0

17

mxx Moment (Unit : (kgf-m)/m)

7

6

5

4

3

2

1

0 0

97.5 97.5

161 161

183 183

161 161

97.5 97.5

0 0

y

x

Mxx = mavg*w= (m2 + m3)/2*w

การกระจายของโมเมนต

w

1

2

3

4

5

6

18

Total moment : Mrx

Node mxx

mxy

mxx

+|mxy

| Elem Avgwidth

h Mrx

1 0.0 0.00 0.00

2 97.5 0.00 97.50 1 48.75 0.5 24.38

3 161.0 0.00 161.00 2 129.3 0.5 64.65

4 183.0 0.00 183.00 3 172.0 0.5 86.0

5 161.0 0.00 161.00 4 172.0 0.5 86.0

6 97.5 0.00 97.50 5 129.3 0.5 64.65

7 0.0 0.00 0.00 6 48.75 0.5 24.38

Σ 350

19

myy Moment (Unit : (kgf-m)/m)

y

x

39396

396340

35146

36259

37337

38382

40 41 42 43 44

0 146 259 337 382

382

382

337

337

259

259

146

146

0

0

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

20

The total moment : Mry

Node myy mxy

myy

+|mxy

| Elem AvG W AvG

34 0.0 0.00 0.00

35 146.0 0.00 146.00 34 73.00 0.5 36.5

36 259.0 0.00 259.00 35 202.5 0.5 101.3

37 337.0 0.00 337.00 36 298.0 0.5 149.0

38 382.0 0.00 382.00 37 359.5 0.5 179.8

39 396.0 0.00 396.00 38 389.0 0.5 194.5

40 382.0 0.00 382.00 39 389.0 0.5 194.5

41 337.0 0.00 337.00 40 359.5 0.5 179.8

42 259.0 0.00 259.00 41 298.0 0.5 149.0

43 146.0 0.00 146.00 42 202.5 0.5 101.3

44 0.0 0.00 0.00 43 73.0 0.5 36.5

Σ 1322

21

Comments on Element force Methodในบางกรณทีีต่องการความรวดเร็ว ผูออกแบบอาจไมตองทําการเฉลี่ย

mxx หรือ myy โดยการเลือกคาสูงสุดที่ node มาใช

การออกแบบจะอยูในเชิงปลอดภัย แตก็อาจจะสิ้นเปลืองเหล็กเสริมมาก

เกินไป

Mxx,max = mxx,maxb = 183x3 = 549 kgf-m

mxx = 183 (kgf-m)m Myy = 396 (kgf-m)m

Myy,max = myy,maxa = 396x5 = 1980 kgf-m

22

การแบงพื้นออกเปนแถบออกแบบ

ในกรณีของฐานรากแพหรือพื้นไรคาน การเสริมเหล็กจะพิจารณาใน

แตละ “แถบออกแบบ (Design Strip)”

ในกรณีของแผนพื้นที่มีการวางตัวของเสาอยางสม่ําเสมอ แถบ

ดังกลาวอาจจะแบงอยางเทาๆกัน

สําหรับในกรณีที่แผนพื้นมีรูปรางไมสม่ําเสมอหรือมีการกระจายตัว

ของแรงไมคงที่ ความกวางของแตละแถบอาจจะพิจารณาไดจาก

“เสนระดับของโมเมนต (Moment contour)”

23

Contour plotContour plot มีประโยชนในการมองภาพรวมของการกระจายของหนวยแรง

และโมเมนตในองคอาคาร

อีกทั้งยังสามารถตรวจสอบ stress concentration ที่หัวเสาหรือที่มุมของพื้น

หรือบริเวณที่มีแรงกระทําสูง (วามีคาสูงมากจนผิดปรกติ) ไดอยางรวดเรว็

P จุดนี้มคีา stress สูงกวาบริเวณอื่น ควรใหความระมดัระวังในการออกแบบ

24

Case myy

Bc

Bb

Bb

25

หลักในการกําหนดความกวางของแถบการกําหนดความกวางแถบออกแบบ : ซอยแถบออกแบบใหถี่ (Narrow strip)

ในบริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตสูง (high moment gradient) สวน

บริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตนอย ก็อาจใชแถบออกแบบที่มีความกวาง

มากขึ้นได

ความกวางของแถบไมควรมาก

กวาความยาวชวง (ใน 1 span ควรจะ

ตองซอยหลายๆแถบ)

แถบการออกแบบ ตองไมครอมบริเวณที่โมเมนตมีทิศทางตรงกันขามกัน ดังนั้น

ควรซอยแถบแยกออกจากกัน

26

Nodal force Method เปนการรวมแรงที่เกิดขึ้นในแตละ nodes ของแตละ element

คาแรงประกอบดวย (สําหรับ Plate element) : Mx, My และ Vz

z

yx

1

2

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

Mx11

Mx12

Mx21

Mx22

Mx31

Mx32

My11

My12

My21

My22

My31

My32

Cut section z

yx

1

2

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

Cut section

Myy

Mxx[M] = [ke][d]

เมื่อ [ke] = สตฟิเนสของแตละอีลีเมนต

27

Nodal forces Method ผลจากการรวม Mxi และ Myi (มีหนวยเปน “แรงxระยะทาง” เชน

kN-m หรือ Ton-m) ในแตละ nodes ภายในแถบ (strip) ที่

กําหนด นั่นคือ

จะไดคาโมเมนตรวม Myy และ Mxx (ตามลําดับ) ของแตละ strip

∑ ∑== =

n

i

m

kkiyyxx MMorM

1 1,

28

Mxx Moment (Unit : kgf-m)

72

61

50

39

28

11

12

-7 7

-17 17

-29 29

-36 36

-42 42

-44 44

-44 44

-42 42

-36 36

-29 29

-17 17

-7 7

y

x

Mxx = 2(7+17+29+36+42+44)

= 350 kgf-m

29

Myy Moment (Unit : kgf-m)

y

x

3998 98

-98 -9834-10

35-26 -44

36-57 -70

37-79 -87

38-92 -96

40 41 42 43 44

10 26 44 57 70 79 87 92 96

-96 -92

96 92

-87 -79

87 79

-70 -57

70 57

-44 -26

44 26

-10

10

Myy = 2(10+26+44+57+70+79+87+92+96+98)

= 1318 kgf-m

30