数論アルゴリズム 確率的 composites 判定の各種テスト
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数論アルゴリズム 確率的 COMPOSITES 判定の各種テスト. 4.20 川原 未鈴. 1、絶対擬素数テスト. 絶対 擬 素数 ( Absolute Pseudo-Prime ) AP s P しかし 、どんな に対しても( 2.8 )を充たすn があり、それを 絶対擬素数 AP s P という。. 参考 定理 2.2.2 ( P.40 ) もし n に対して ( 2.8 ) これ を充たさない b が存在すればn. 定理 4.2.1 無限に多くの AP s P が存在. この AP s P を精密化して得られたアルゴリズムが・・・. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
数論アルゴリズム確率的 COMPOSITES判定の各種テスト
4.20 川原 未鈴
1、絶対擬素数テスト絶対擬素数( Absolute Pseudo-Prime ) AP s P
しかし、どんなに対しても( 2.8 )を充たすnがあり、それを絶対擬素数 AP s P という。
参考定理 2.2.2 ( P.40 )もしnに対して ( 2.8 )これを充たさないbが存在すればn
定理 4.2.1 無限に多くの AP sP が存在この AP s P を精密化して得られたアルゴリズ
ムが・・・
絶対擬素数テスト ( Absolute Peseudo-Primality Test ) AP s PT 算法 4.2.1 ( AP s PT ) 入力 奇数 出力 判定「」あるいは 主張「 」ℙ 手順 (ⅰ)以下を ( a )ランダムにを選ぶ ( b )もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了 ( c )もし( 2.8 )が不成立なら「 」と判定して終了 (ⅱ)「nは AP s P か確率 1- 」と 主張して終了
~計算量~
定理 1.4.1 と注意 1.3.2 から、各bに対する( 2.8 )の計算量は ( 4.3 )また、 SD による GCD の計算量は注意 2.1.2 から更に少ない。
参考定理 1.4.1 一つの数のn乗に必要な乗算回数は最少
注意 1.3.2 Õを次のように定義する:
注意 2.1.2 互除法 SDの計算量は𝜪
手順(ⅱ)のところQ 、なぜの確率が1-な のか?A 、に対し( 2.8 )を充たすb全体はの真部分群だから。
nが APs Pの時は無効+定理 4.2.1より算法 4.2.1APs PTは「 COMPOSITESRP」すら保証しない。
そこでこの欠陥を埋めてくれるアルゴリズムが…
2、平方剰余規準テスト
命題 2.3.1 の QRC から、もしならば (mod n) (4.4)
これを充たさないbが存在すればと判定できる。そこで平方剰余規準テスト(Quadratic Residuosity Criterion Test)QRCT を得る。
平方剰余規準 QRC命題 2.3.1 任意の p, に対して (mod p)
平方剰余規準テスト QRCT
算法 4.2.2 ( QRCT )入力 奇数および反復回数出力 判定「」あるいは 主張「 」ℙ手順 (ⅰ)以下を ( a )ランダムにを選ぶ ( b )もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了 ( c )もし( 4.4 )が不成立なら「 」と判定して終了 (ⅱ)「確率 1- 」と主張して終了
(ⅱ)のところQ 、なぜの確率が1-な のか?A 、どんなに対しても( 4.4 )を充たすb全体は
~計算量~は注意 2.3.3 の様に高速に実行できるので、各bに対して計算量は( 4.3 )の通りになる。
「 COMPOSITESRP 」 「 PRIMESP 」
このアルゴリズムでも十分に実用に耐える程度効率的であるが、更に現在最高速で簡単な COMPOSITESアルゴリズムが・・・
両方保証される
3、強擬素数テストn は奇数なので偶数 n-1 の2指数 e:=e(2)は簡単にできるので、
とする。任意のに対して が成り立つ。位数は , i=1,2,eここで、もしならば、巡回群の位数2の元は -1 唯一つである。
よって任意のに対してnを法とする合同式
又は 又は 又は
のうちでいずれか一つが成立するはずである。いずれも充たさないbが存在すればと判定できる。そこで強擬素数テスト(Strong Pseudo-Primality Test)SPsPTを得る。
強擬素数テスト SP s PT
算法 4.2.3 ( SP s PT )入力 奇数および反復回数出力 判定「」あるいは 主張「 」ℙ手順 (ⅰ)初期化 を計算 (ⅱ)以下を ( a )ランダムにを選ぶ ( b )もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了 ( c )もし( 4.5 )が不成立なら「 」と判定して終了 (ⅱ)「確率 1- 」と主張して終了
~計算量~-1 として、手順(ⅱ -a )を
『順次 b』
に変更すれば、これは EZH の下では(ⅲ)の出力を
『「」と判定して終了.』
とできることが証明されている。即ち、決定性アルゴリズムとなる。この反復回数だから計算量は
(4.6)となる。
算法 4.2.3 SP s PT も各bに対する計算量 (4.3) で「 COMPOSITES 」が保障され、( 4.6 )よりEZH の下で「 PRIMESP 」も保障している。
(ⅲ)のところQ 、なぜの確率が1-なのか?A 、任意に対し( 4.4 )を充たす は() /4個以下となること が既知だから。