第３回 cv におけるエピポーラ幾何
DESCRIPTION
第３回 CV におけるエピポーラ幾何 [email protected]. 第３回 CV におけるエピポーラ幾何. 第３回 CV におけるエピポーラ幾何 [email protected]. ＣＶの幾何学的解析に必要な数学. 線形代数 射影幾何学： 非ユークリッド幾何学 の一種 ３次元空間と投影点との１対１対応を 無限遠の世界まで拡張 ← 投影（透視）画法の理論 （１５ C) から発展 ※ 幾何学 (geomtry) : 変換 (transformation) ＆ 空間 (space) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
2
ＣＶの幾何学的解析に必要な数学 線形代数 射影幾何学： 非ユークリッド幾何学の一種
３次元空間と投影点との１対１対応を無限遠の世界まで拡張 ←投影（透視）画法の理論（１５ C) から発展
※ 幾何学 (geomtry) : 変換 (transformation) ＆ 空間 (space)
射影空間： ユークリッド空間＋無限遠要素
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
4
鉄道線路における無限遠点
6
結合の公理と双対原理 共線：同一直線に結びつく点の集合 共点：同一点に結びつく直線の集合 結合の公理
・１点と１直線は結びつかない・全ての直線は少なくとも異なる３点と結びつく・異なる２点に対しこれらと結びつく直線が 1 つ存在する・異なる２直線に対しこれらと結びつく点が 1 つ存在する
双対原理射影平面上で成立する命題の点と直線、直線と点を入れ替えた命題も成立
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
7
パップスの定理 ｖｓ．中線定理 直線 m 上に点 A ， B ， C を，
直線 m‘ 上に点 A’ ， B’ ， C’ をとる．この時， AB’ と A’B ， BC’ と B’C ， CA’ と C’A の交点を
P ， Q ， R とすると，この 3 点 P ， Q ， R は 1 直線上にある．
パップス：アレクサンドリア生まれの数学者（エジプト） ４ C 前半に活動
m m’
AA’
B B’
C C’
P
Q
R
8
パップスの定理の双対定理 点 M を通る直線を a ， b ， c ，
点 M’ を通る直線を a’ ， b’ ， c’ とする．この時，
a とｂ‘の交点と a’ と b の交点を通る直線を p, b と c‘ の交点と b’ と c の交点を通る直線を q, c と a‘ の交点と c’ と a の交点を通る直線を r, とするとき，この 3 直線 p,q,r は 1 点で交わる．
9
デザルグの定理
同一平面上に無い２つの三角形 ⊿ X １ X2X3 と⊿ X’ １ X’2X’3
において， X １ X’ １と X2 X’2 と X3 X’3 が一点で交わる時，直線 X １ X ２と直線 X’ １ X’2 ，直線 X ２ X ３と直線 X’ ２ X’3 ，直線 X3 X1 と直線 X’3 X’1 の交点を各々 X,Y,Z とすると， X,Y,Z は同一直線上にある．
デザルグの定理の双対定理＝デザルグの定理の逆 （自己双対）
← X ： X １ X’ １ Y ： X2 X’2 Z ： X3 X’3
G. デザルグ：フランスの数学者 射影幾何学の基本概念確立 １７ C 前半に活動
10
デザルグの定理の図示
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
幾何学的意味： 透視変換で結びつく三角形の対応する 辺の交点は全て一直線上に存在する
X
Y
Z
1 直線を通る
L11,l22,l33:1 点で交わる
11
３（４）種類の座標系画像座標系 ○ （一般）ディジタル画像座標系
○ 正規化（ディジタル）画像座標系カメラ座標系 世界座標系
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
12
世界座標系３次元空間を表現する３次元直交座標
系
原点： 基準位置に設定
X
Y
Z
13
カメラ座標系カメラ（視点）に固定された３次元直交
座標系 ～ 世界座標系における局所座標系
原点： カメラの焦点
X
Y
Z
14
ディジタル画像座標系画像上の点を表現する２次元座標系 左上が原点 u≧0, v≧0 (u, v) ： ディジタル画像座標 u 軸と v 軸は必ずしも直交しているとは限らな
い ｖｓ 正規化カメラ
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
15
世界座標系→カメラ座標系
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
(world coordinate system)
カメラの外部変数（ extrinsic parameters) ： ６個
又は D: 剛体変換(rigid transformation)
Ｓｍ’ = PM ｃ’ = PDMw’ ≡ PwMw’ （ Pw=PD)
RRt
= RtR= I
16
カメラ座標系→ディジタル画像座標系
ピンホールカメラモデルを利用～ 針穴写真機
17
中心投影モデル 画像平面後置型
C: レンズ中心、 焦点 (Focus)F: 焦点面 ｆ：焦点距離Z: 光軸 ｃ：画像中心
画像平面前置型C-XYZ 座標系：カメラ座標系
(camera coordinate system)
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
18
斉次座標表現： [x,y, １ ]
[x,y,z] ～ [λx, λy, λz] λ∈Rと見なす．
この場合， [x,y,z] はその比 x/z ， y/ ｚ，１によって定まるため，平面上の点 (x,y ）と [x,y, １ ] を１対１に対応付
ける．
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
20
正規化カメラとカメラの内部変数
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
正規化画像座標系（ｆ＝１）
カメラ校正(camera calibration):カメラの内部変数を推定すること
未知パラメータ 5個：画像中心 c の位置 (u0,v0)各軸のスケールと焦点 距離 f の積 αu α ｖ
両軸の角度 Θ（ intrinsic parameters)
22
射影モデル 1 ： 中心投影
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
中心 ( 透視）投影(perspective proj
ection): 非線形 x=X/Z ｙ =Y/Z (f=1)
線形近似
23
射影モデル２： 平行投影
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
平行投影(orthographic projection): 物体の位置に 非依存 x=X ｙ =Y
24
射影モデル３：弱中心投影
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
弱中心投影(weak perspective projection):光軸に近い時に良い近似 x=X/Zc y=Y/Zc Zc: 物体重心 G の奥行き （定数） 中心投影の０次近似
25
射影モデル４：平行透視投影
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
平行透視（擬似中心）投影(paraperspective projection):光軸と同じ側の時に良い近似x=1/Zc{X-(Xc/Zc)Z+Xc} ｙ =1/Zc{Y-(Yc/Zc)Z+Yc} (Xc,Yc,Zc ） : G の位置 （定数）
中心投影の１次近似
直線 GC に平行に射影
26
射影モデル（一般化）
第３回 CVにおけるエピポーラ幾何[email protected]
アフィン投影 (affine projection): 各線形近似投影の一般化 x = a11X + a12Y + a13Z + a14 ｙ = a21X + a22Y + a23Z + a24