Programa de Matemática

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GUÍA N°2 DE CÁLCULO I

Composición y Límites de funciones

I Composición de Funciones

Dadas dos funciones f y g , la función compuesta gf está definida por 𝑓�𝑔(𝑥)�

En otros palabras: Sean dos funciones 𝑓 y 𝑔, donde 𝑓 depende de 𝑔 y 𝑔 depende de la

variable 𝑥

Al componer 𝑓 con 𝑔, es decir 𝑓𝑓𝑔, se obtiene que 𝑓 depende de la variable 𝑥.

1. Determine )(xf de las siguientes funciones:

a) xexgggf

=

=

)(4)(

b) 1538)(

)(35

13

−−=

=

xxxg

ggf c)

52)()log()(

+==

xxgggf

2. El costo unitario en dólares de la fabricación de 𝑛 motos para Cross country, se

describe con la función 112014320)( 031,0 += ⋅− nenC , donde }{ 120,...,97,96∈n

Además se sabe que hasta inicios del 2012, la cantidad de motos fabricadas ha

dependido de año de funcionamiento de la empresa. Esta variación se puede

analizar mediante el siguiente modelo matemático 962)( += ttn , donde t son los

años trascurridos a partir del 2000.

a) ¿Cuántas motos se fabricaron a inicios del 2001? ¿y cuál fue el costo unitario?

b) Determine 𝐶(𝑡)

c) Interprete la función )(tC indicando unidades de medida

d) Escriba dominio contextualizado )(tC

e) ¿Cuál fue el costo unitario de fabricación a inicios del 2007?

𝒇 𝒈 𝒙 Depende Depende

Depende

𝑓(𝑔)

𝒇(𝒙)

𝑔(𝑥)

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3. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar y establece un

modelo que indica que la cantidad de kilógramos embalados por día depende de la

cantidad 𝑛 de personas que trabajan, según:

( ) nnnk 530 3 +⋅= , donde [ ]343,1∈n

Además se sabe que el ingreso total en pesos que se percibe por la exportación

de la fruta embalada está dado por:

kkI 570)( = , donde [ ]1925,35∈k

a) ¿Cuántos kilos de fruta son embalados por 100 trabajadores? ¿Cuál sería el

ingreso?

b) Determine 𝐼(𝑛)

c) Interprete la función 𝐼(𝑛) (siempre indicar unidad de medida)

d) ¿Cuál es el ingreso si trabajan 150 personas?

4. El número de viviendas construidas N depende de la tasa de interés hipotecaria 𝑟

de acuerdo con la función:

210050)(

rrN

+= Donde N está en millones de viviendas.

La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en

los siguientes 2 años de acuerdo con la función:

24812)(+

−=t

ttr Donde t es el tiempo medido en meses.

a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo.

b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante?

c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido 1 año y 6 meses? ¿y cuál será la

tasa de interés?

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5. La velocidad de reacción de un químico (grados Celsius por segundo) depende de

la temperatura 𝑇 (en grados Celsius) de acuerdo con la función 100

32 TTR ⋅+= .

Si 𝑇 varía con el tiempo de acuerdo a )1(5,0 += tT , donde 𝑡 representa el tiempo

en segundos.

a) Exprese la velocidad de reacción en función del tiempo.

b) ¿Cuál es la velocidad de reacción a los 5 segundos?

6. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario

promedio de monóxido de carbono en el aire será 14,0)( += ppC partes por

millón (ppm) cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la

población de la comunidad será 22,08)( ttp += miles.

a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo.

b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy?

c) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el nivel de monóxido de carbono alcance

las 6,2 partes por millón?

7. La cantidad de unidades y , que venderá un fabricante dependerá del precio

unitario p del artículo (en dólares) y se modela con la siguiente función:

ppy23300)( −= , donde [ ]200,10∈p

Además se sabe que el ingreso semanal en dólares está dado por la función:

2

1001)( yyI = , donde [ ]285,0∈y

a) Determine 𝐼(𝑝)

b) Interprete la función 𝐼(𝑝)

c) Si el precio unitario es de US10 y US 200 ¿Cuál será el ingreso semanal

respectivo?

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II Límites de funciones

Para tener una visión intuitiva del concepto de límite de una función revisemos los

siguientes ejemplos.

Un avión para aterrizar sobrevuela un pista (variable 𝑥 longitud que recorre de la pista)

mientras que su altura va disminuyendo (variable 𝑓(𝑥)). A medida que la variable 𝑥 aumenta

𝑓(𝑥) disminuye hasta hacerse cero. En este caso el límite de la altura 𝑓(𝑥), cuando la distancia

𝑥 crece es cero, en otras palabra tenemos

Un segundo ejemplo. Una persona se contagia de una enfermedad y entra en contacto con

varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a aquellas con las que se cruzaron

¿Cuánta gente se contagiará de la enfermedad?

Un inicio apropiado para responder esta pregunta es recopilar los datos y graficarlos obteniendo

lo siguiente.

Vemos que aunque el número de contagios 𝑓(𝑡) puede continuar creciendo a medida que

aumenta el tiempo (variable 𝑡 ) nunca sobrepasa el número 700. En este caso el límite de la

cantidad de contagiados 𝑓(𝑡), cuando el tiempo 𝑥 crece es 700, en otras palabra tenemos

𝐥𝐥𝐥𝒕→∞

𝒇(𝒕) = 𝟕𝟕𝟕

Distancia X

Altura f(x)

𝐥𝐥𝐥𝑿→∞

𝒇(𝒙) = 𝟕

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II.1 Límite mediante a aproximaciones

8. Es costo en dólares de producción de x cantidad de artículos se modela mediante la

siguiente función 20400)( +=x

xC

a) ¿Cuál es el costo de producción al fabricar 2, 20 y 200 artículos?

b) ¿Qué ocurre con el costo de producción a medida que la fabricación de

artículos crece indefinidamente? Para responder puede completar la siguiente

tabla.

x 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000

)(xC

9. El porcentaje de interés por cuentas por cobrar asociados al uso de tarjetas de

créditos de un banco después de t meses de la obtención de la tarjeta está dado

por la función P(t) = 0,9(1− 3−0,08t)

a) ¿Qué % de interés se espera al finalizar el primer año?

b) Determine )(lim tPt ∞→

, para ello puede utilizar la siguiente tabla de valores

t 10 100 1.000 1.000.000

)(tp

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c) Interprete el valor del límite, obtenido en la pregunta anterior

II.1 Límites al Infinito Elementales.

i) , Si 𝑛 > 0 y 𝐶 es un número real

ii) , Si 𝐶 es un número real

10. Es costo en dólares de producción de x cantidad de artículos se modela mediante la

siguiente función 20400)( +=x

xC

a) Determine )(lim xCx ∞→

utilizando tabla e límites al infinito elementales

b) Interprete el valor del )(lim xfx ∞→

11. Se modela la preparación de un deportista que correrá 100 metros planos con la

función 152,010

3)( 2

2

++−−

=x

xxf , donde )(xf son los segundos que se demora en

llegar a la meta después de x días de entrenamiento.

a) Si su entrenamiento dura 6 días ¿En cuánto tiempo se estima que llegue a la

meta?

b) Determine )(lim xfx ∞→

(utilice límites al infinito elementales)

c) Interprete el valor del )(lim xfx ∞→

12. Una empresa consultora ha determinado que el número de mini-markets

existentes en una ciudad se puede representar por la función

32

3

22511204512)(

xxxxxM

+++−

= donde x son los años transcurridos.

a) ¿Cuántos de estos negocios habrá, transcurridos 11 años?

b) ¿Cuántos de estos negocios habrá a largo plazo?

lim𝑥→∞

𝐶𝑥𝑛

= 0

lim𝑥→∞

𝐶 = 𝐶

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13. El diámetro de la pupila (en milímetros) puede obtenerse a partir de la función

f(x) = 160+90x0,4

4+15x0,4 , donde x es la intensidad luminosa.

¿Qué ocurre con el diámetro de la pupila si la intensidad luminosa aumenta en

forma indefinida?

14. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis1, x días

después del primer caso reportado, está dado por la función P(x) = 100x2x2+32

.

a) Determine )(lim xPx ∞→

b) Interprete el valor del )(lim xPx ∞→

15. La Federación de caza de cierto estado introduce 50 ciervos en una determinada

región. Se cree que el número de ciervos crecerá siguiendo el modelo

f(x) = 50+30x1+0,04x

, donde x es el tiempo transcurrido en años

a) Calcule la cantidad de animales que habrá dentro de 10 años

b) ¿A cuántos animales se podrá llegar a medida que transcurre el tiempo

indefinidamente?

1 La mononucleosis también conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la misma familia del virus del herpes. Aparece más frecuentemente en adolescentes y adultos jóvenes, y los síntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamación de los linfonodos y fatiga

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SIGUE PRACTICANDO:

16. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, es

una función que depende del número de trabajadores, que viene dada por

58 += mP . Además el ingreso total (en dólares) al vender las unidades

producidas, está dada por la función PI 60= , determine:

a) Determine el ingreso total en función del número de trabajadores

b) ¿Cuál es el ingreso si trabajan en la producción 35 personas?

17. Se sabe que el precio de un artículo en miles de pesos a medida que transcurre el

tiempo t (en meses) está dado por la función P(t) = 5t+1013+t

a) ¿Cuál es el precio del artículo transcurrido 10 meses?

b) Determine )(lim tPt ∞→

c) Interprete el valor del )(lim tPt ∞→

18. En una academia de mecanográfica, el número promedio de palabras por minutos

luego de t semanas prácticas, está dado por N(t) = 1571+5e−0,12t

a) Determine el número promedio de palabras por minuto que pueden escribir

una persona luego de haber recibido lecciones durante 10 semanas

b) Determine el número promedio de palabras por minuto que pueden escribirse

cuando el estudiante practica indefinidamente

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SOLUCIONES GUÍA N°2

Composición y Límites de funciones

N°1 a) ( )( ) xexgf 4=

b) ( )( ) ( )1335 1538 −−= xxxgf

c) ( )( ) ( )52log += xxgf

N°2 a) A inicios del 2001 se fabricaron 98 motos, cuyo costo unitario es de US

1.806,37

b) 112014320)( )962(031,0 += +−− tetC

c) La función C(t) indica el costo unitario en dólares por la fabricación

de motos que depende de los años transcurridos

d) [ ]12,0:)(tCdom

e) El costo unitario de fabricación iniciando el 2007 fue de

aproximadamente de US 1593,15

N°3 a) 100 trabajadores embalan aproximadamente 639,25 kilogramo de fruta,

cuyo ingreso será de $364.371 aprox.

b) ( ) ( )nnnI 530570 3 +⋅⋅=

c) El ingreso total en pesos por la venta de frutas dependiendo de la

cantidad de trabajadores n está dado por la función

d) El ingreso del fundo si trabajan 150 personas será de $518.357 aprox.

N°4 a) 2

24812100

50)(

+−+

=

tt

tN

b) La cantidad de viviendas construidas hoy es de 204.918 aprox

c) En un año y medio se estima que la cantidad de viviendas sea de 288.235

aproximadamente, con una tasa de interés de un 8,6%

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N°5 a) ( )100

5,05,035,05,0)(2 +++

=tttR

b) A los 5 segundos la velocidad de reacción es de sCº142,0 aprox.

N°6 a) 1)2,08(4,0)( 2 ++= ttC

b) En 2 años se estima que el nivel de monóxido de carbono sea de 4,52

partes por millón.

c) Se estima que en 5 años el monóxido de carbono sea de 6,2 partes por

millón

N°7 a) 2

23300

1001)(

−= pyI

b) El ingreso semanal en dólares está dado o depende del precio

unitario en dólares de las unidad vendidas

c) Si el precio unitario es de US10 el ingreso será de US812,25, y si es de

US200 el ingresó es US0

N°8 a) El costo de producción al fabricar 2, 20 y 200 artículos será

respectivamente de 220, 40 y 22 dólares

b) Entre más artículos se fabriquen el costo de producción tiende a ser de 20

dólares.

x 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000

)(xC 20,4 20,04 20,0004 20,00004

N°9 a) Al finalizar el primer año el % de interés se estima en 0,59%

b) )(tp 0,526280 0,899862 0,9 0,9 0,9 0,9

9,0)(lim =∞→

tPt

c) A largo Plazo (o a medida que transcurre el tiempo) se estima que el % de

interés de cuentas por cobrar llegará a un 0,9%

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N°10 a) 20)(lim =∞→

xCx

b) Entre más artículos se fabriquen el costo de producción tiende a ser de

20 dólares.

N°11 a) Si entrena 6 días se demorará 12,7 segundos aproximadamente en llegar

a la meta

b) 10)(lim =

∞→xf

x

c) Si entrena en forma indefinida, se estima que su tiempo para llegar a la

meta será de 10 segundos

N°12 a) Transcurridos 11 años se estiman 28 negocios

b) 60)(lim =

∞→xM

x

A largo plazo se estima que la cantidad de mini-markets llegue a los 60

locales

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N°13 6)(lim =→∞

xfx

Si la intensidad luminosa aumenta indefinidamente se espera que el

diámetro de la pupila sea de 6 mm

N°14 a) 0)(lim =∞→

xPx

b) A largo plazo se estima que el % de estudiantes enfermos disminuya a

un 0%

N°15 a) Se estima que a los 10 años existirán 250 ciervos

b) A medida que transcurre el tiempo se estima que se llegue a 750 ciervos

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N°16 a) )58(60)( += mmI

b) Si hay 35 trabajadores el ingreso será de $17.100

N°17 a) Trascurrido 10 meses el precio del artículo será de $2.609

aproximadamente.

b) 5)(lim =

∞→xP

t

c) A largo plazo se estima que el precio del artículo será de $5.000

N°18 a) Si la persona se prepara 10 semanas, se espera que escriba en promedio

63 palabras por minuto

b) Si la persona practica en forma indefinida, se espera que en promedio

escriba 157 palabras por minutos

t 100 1000 10000

)(tN 156,995176 157 157