数字信号处理Digital Signal

Processing(DSP)教师：张中兆 马永奎

Tel:86413513Email:myk@hitcrc.hit.edu.cn

参考书4. 离散时间信号处理

[ 美 ]A.V 奥本海姆 R.W. 谢弗编 科学出版社

2. 数字信号处理 ( 丁玉美，高西奎 ) 西安电子科技大学出版社

3. 数字信号处理－学习指导系列 ( 海因斯 ) 科学出版社

讲授内容1. 绪论 --DSP 的发展和应用2. 离散时间信号分析 DFT

3. 快速付里叶变换 FFT

4. Walsh 变换

5. IIR DF 的设计 ( 无限长单位脉冲响应数字滤波器的设计 )

6. FIR DF 的设计 ( 有限长单位脉冲滤波器的设计 )

7. 自适应数字滤波器

第一章 绪论• 为何要上数字信号处理 ? 在过去的数十年中，数字信号处理

(DSP) 的领域，无论在理论上还是技术上都有非常重要的发展。 由于工业上开发和利用廉价的硬件和软件，使不同领域的新工艺和新应用现在都想利用 DSP 算法。

第一节什么是数字信号处理

一、数字信号处理 (DSP)(Digital Signal Processing)

• 凡是利用数字计算机或专用数字硬件、对数字信号所进行的一切变换或按预定规则所进行的一切加工处理运算。• 例如：滤波、检测、参数提取、频谱分析等。• 对于 DSP: 狭义理解可为 Digital Signal Proce

ssor 数字信号处理器。广义理解可为 Digital Signal Processing 译为数字信号处理技术。在此我们讨论的 DSP 的概念是指广义的理解。

1. 信号 ( 复习 )• 信号是一种物理体现。在信号处理领域中，信号被定义为一个随机变化的物理量。• 例如：为了便于处理，通常都使用传感器把这些真实世界的物理信号 ------> 电信号，经处理的电信号 ---> 传感器 ---> 真实世界的物理信号。如现实生活中最常见的传感器是话筒、扬声器话筒 ( 将声压变化 )---> 电压信号 --> 空气压力信号 ( 扬声器 )

2. 信号的最基本的参数• 频率和幅度• 3-30kHz:Very low frequency VLF( 潜水艇导航 )• 30-300kHz:Low frequency LF( 潜水艇通信 )• 300~3000kHz:Medium frequency( 调幅广播 )• 3-30MHz:High frequency(HF)( 无线电爱好者，国际广播，军事通信 无绳电话，电报，传真 )• 30-300MHz:Very High frequency(VHF)( 调频 FM ， VHF 电视 )• 0.3~3GHz:Ultra high frequency(UHF)(UHF 电视，蜂窝电话，雷达，微波，个人通信 )• 频率低 20Hz 范围，称为次声波，它不能被听到，当强度足够大，能被感觉到。 ( 处于 VLF Very low frequency)• 频率 20Hz~20KHz 称为声波， Low frequency ( 处于 LF)• 频率 >20KHz 称为超声波 ，具有方向性，可以成束 ( 处于 LF)

3. 信号分类• 连续信号和离散信号• 模拟信号和数字信号• 确定性信号和随机信号

(1) 连续信号和离散信号• 连续信号：指随时间信号而连续变化的

信号。• 离散信号：只有在离散的时间点有确定

的值。它通常都是通过对连续信号采样而得到的。

(2) 模拟信号和数字信号• 模拟信号：指幅度连续的信号，通常指 时间和幅度上都是连续的信号。• 数字信号：时间和幅度上都是离散的信 号。

x(t)

t

x(tn)

tn

x(n)

n

采样 模数保持 转换

(3) 确定性信号和随机信号• 确定性信号：它的每一个值可以用有限个参量来唯一地加以描述。例：直流信号：仅用一个参量可以描述。 阶跃信号：可用幅度和时间两个参量描述。 正弦波信号：可用幅度、频率和相位三个参量 来描述。• 随机信号：不能用有限的参量加以描述。也无法对它的未来值确定地参预测。它只能通过统计学的方法来描述 ( 概率密度函数来描述 ) 。例：许多自然现象所发生的信号、语音信号、图象信号、噪声都是随机信号。它们具有幅度 ( 能量 ) 随机性、或具有发生时间上的随机性或二都兼有之。

4. 信号处理• 滤波• 变换• 压缩• 估计• 识别

信号处理的运算信号处理的运算• 时域 / 空域运算• 频域运算• 实时运算• 离线运算

时域信号运算时域信号运算基本运算• 尺度运算 :增益

–放大–衰减

• 延迟 / 超前• 相加

初等运算• 积分 / 求和• 微分 / 差分• 乘法• 卷积• 相关

滤波滤波滤波器参数• 通带 Passband• 阻带 Stopband• 过渡带 Transition

band• 截止频率 Cutoff

frequency

• 基本滤波器类型– 低通 Lowpass– 高通 Highpass–带通 Bandpass–带阻 Bandstop/

band eject

数学工具数学工具• 微分方程－ Differential Equation• 差分方程－ Difference Equation• Laplace 变换－ Laplace Transform• Z- 变换－ z-Transform• Fourier 变换－ Fourier Transform• Hilbert – 变换－ Hilbert Transform• 离散傅立叶变换－ Discrete Fourier

Transform• Walsh 变换－ walsh transform

二、数字信号处理的学科概貌 1. 数字信号处理开端• 在国际上一般把 1965 年由 Cooley-

Turkey 提出快速付里叶变换 (FFT) 的问世，作为数字信号处理这一学科的开端。

• 而它的历史可以追溯到 17 世纪 --18 世纪，也即牛顿和高斯的时代。

2. 数字信号处理领域的理论基础• 数字信号处理的基本工具：微积分，概率统计，随机过程，高等代数，数值分析，近代代数，复杂函数。

• 数字信号处理的理论基础：离散线性变换(LSI) 系统理论，离散付里叶变换 (DFT) 。

3.“ 数字信号处理”又成为一些学科的理论基础• 在学科发展上，数字信号处理又和最优控制，通信理论，故障诊断等紧紧相连，成为人工智能，模式识别，神经网络，数字通信等新兴学科的理论基础。

4. 数字信号处理基本学科分支• 数字信号滤波 分为经典滤波和现代滤波。经典滤波主要

为 FIR 和 IIR 滤波器• 数字信号频谱分析

FFT 进行谱分析 统计频谱分析

三、数字信号处理系统的基本组成• 以下所讨论的是模拟信号的数字信号处理系统 .

前置预滤波器 A/D变换器 数字信号处理器 D/A变换器 后置滤波器模拟Xa(t)

PrF ADC DSP DAC PoF

模拟Ya(t)

(1)前置滤波器• 将输入信号 xa(t) 中高于某一频率 ( 称折叠频率，等于抽样频率的一半 ) 的分量加以滤除。

(2)A/D 变换器• 由模拟信号产生一个二进制流。• 在 A/D 变换器中每隔 T秒 (抽样周期 )

取出一次 xa(t) 的幅度，抽样后的信号称为离散信号。

(3) 数字信号处理器 (DSP)

• 按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n) 进行加工处理得到输出信号 y(n).

(4)D/A 变换器• 由一个进制流产生一个阶梯波形，是形

成模拟信号的第一步。

(5)后置滤波器• 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号。• 以滤除掉不需要的高频分量，生成所需

的模拟信号 ya(t).

第二节数字信号处理的实现

数字信号处理实现方法• 1. 采用大、中小型计算机和微机。• 2. 用单片机。• 3. 利用通用 DSP芯片• 4. 利用特殊用途的 DSP芯片

1. 采用大、中小型计算机和微机• 工作站和微机上各厂家的数字信号软件，

如有各种图象压缩和解压软件。• 用这一方法优点：可适用于各种数字信

号处理的应用场合，很灵活。

2. 用单片机• 由于单片机发展已经很久，价格便宜，且功能很强。

• 优点：可根据不同环境配不同单片机，其能达实时控制，但数据运算量不能太大。

3. 利用通用 DSP芯片• DSP芯片较之单片机有着更为突出优点。• 如内部带有乘法器，累加器，采用流水线工作方式及并行结构，多总线速度快。配有适于信号处理的指令 ( 如 FFT 指令 ) 等。• 目前市场上的 DSP芯片有：• 美国德州仪器公司 (TI):TMS320CX 系列 占有 90%• 还有 AT&T公司 dsp16,dsp32 系列• Motorola公司的 dsp56x,dsp96x 系列• AD公司的 ADSP21X,ADSP210X 系列

4. 利用特殊用途的 DSP芯片• 市场上推出专门用于 FFT,FIR 滤波器，卷积、相关等专用数字芯片。• 如： BB公司： DF17XX 系列• MAXIM公司： MAXIM27X ,MAXIM28X• National公司： National-SEMI 系列： MF 系列。• 其软件算法已在芯片内部用硬件电路实现，使用者只需给出输入数据，可在输出端直接得到数据。

第三节数字信号处理的特点• 与模拟系统 (ASP)相比，数字系统具有如下特点：

– 精度高– 可靠性– 灵活性大– 易于大规模集成– 时分复用– 可获得高性能指标– 二维与多维处理

1.精度高• 在模拟系统中，它的精度是由元件决定，

模拟元器件的精度很难达到 10-3 以上。而数字系统中， 17 位字长就可达 10-5精度，所以在高精度系统中，有时只能采用数字系统。

2. 可靠性强• 数字系统：只有两个信号电平 0 ， 1受噪声及环境条件等影响小。• 模拟系统：各参数都有一定的温度系数，易受环境条件，如温度、振动、电磁感应等影响，产生杂散效应甚至振荡等• 且数字系统采用大规模集成电路，其故障率远远小于采用众多分立元件构成的模拟系统。

3.灵活性大• 数字系统的性能主要决定于乘法器的各

系数，且系数存放于系数存储器内，只需改变存储的系数，就可得到不同的系统，比改变模拟系统方便得多。

4.易于大规模集成• 数字部件：高度规范性，便于大规模集成，大规模生产，对电路参数要求不严，故产品成品率高。• 例： (尤其 ) 在低频信号：如地震波分析，需要过滤几 Hz~几十 Hz 的信号，用模拟系统处理其电感器、电容器的数值，体积，重量非常大，且性能亦不能达到要求，而数字信号处理系统在这个频率处却非常优越 (显示出体积，重量和性能的优点 ) 。

5. 时分复用• 利用 DSP 同时处理几个通道的信号。• 某一路信号的相邻两抽样值之间存在很大的空隙时间，因而在同步器的控制下，在此时间空隙中送入其他路的信号，而各路信号则利用同一 DSP ，后者在同步器的控制下，算完一路信号后，再算另一路信号，因而处理器运算速度越高，能处理的信道数目也就越多。

多路器 DSP 分路器同步

1

2

3

n

1

2

3

n

6. 可获得高性能指标• 例：对信号进行频谱分析• 模拟频谱仪在频率低端只能分析到 10Hz 以上频率，且难于做到高分辨率 (也即足够窄的带宽 ) 。• 但在数字的谱分析中，已能做到 10-3Hz 的谱分析。• 又例：有限长冲激响应数字滤波器，则可实现准确的线性相位特性，这在模拟系统中是很难达到的。

7.二维与多维处理• 利用庞大的存储单元，可以存储一帧或数帧图象信号，实现二维甚至多维信号包括二维或多维滤波，二维及多维谱分析等。

8.局限性• 数字系统的速度还不算高，因而不能处

理很高频率的信号。 ( 因为抽样频率要满足奈奎斯特准则定理 )

• 另外，数字系统的设计和结构复杂，价格较高，对一些要求不高的应用来说，还不宜使用。

第四节数字信号处理的应用领域• 自 20 世纪 60 年代以来，数字信号处理的应用已成为一种明显的趋势，这与它突出优点分不开的。• 数字信号处理大致可分为：• 信号分析• 信号滤波

一、信号分析• 任务：涉及信号特性的测量。它通常是一个频域的运算。• 主要应用于：谱 ( 频率和 / 或相位 ) 分析语音分析说话人识别目标检测

二、信号滤波• 任务：是信号入 ---> 信号出的情况。实现这个任务的系统被称为滤波器。它通常 (但不总是 )作时域运算。• 主要应用于：滤除不需要的背景噪声，去除干扰频带分割， 信号谱的成形所以它广泛地应用于数字通信，雷达，遥感，声纳，语音合成，图象处理，测量与控制，高清晰度电视，多媒体物理学，生物医学，机器人等。

三、 DSP 的典型应用• 1.网络• 2. 无线通信• 3.家电• 4.另外还有虚拟现实，噪声对消技术，电机控制，图像处理等等• 可以说 DSP 是现代信息产业的重要基石，它在网络时代的地位与 CPU 在 PC 时代的地位是一样的。

四、举例1.语音处理

• 它是最早采用数字信号处理技术的领域之一。• 本世纪 50 年代提出语音形成数字模型，经过十多年对语音的分析、综合、证明是正确的。• 在语音领域现存在着三种系统：语音分析系统： ( 自动语音识别系统，它能识别语音，辨认说话的人是谁，而且破译后，能立即作出决断。语音综合系统：盲人的自动阅读机，声音响应的计算机终端，会说话玩具，家用电器

(CD,VCD,DVD) 。语音分析综合系统：语音存储和检索系统。• 即广泛应用于电话窃听。即应用于语音编码、语音合成、语音识别、语音增强、说话人确认、语音邮件、语音存储等。

2.图像处理• 数字信号处理技术成功应用的图像处理方法有：

– 数据压缩–图像复原–清晰化与增强

由于单个数字图像以 1 兆个采样值的量级表示，所以要求高性能的处理机、高密度的数据存储器。即要求高速度硬件。

3. 雷达• 在军事上，雷达、计算机、射击武器等组成一个自动控制系统。• 当目标进入雷达的作用半径以内并被雷达自动跟踪时，雷达就测量出目标的当前位置 (距离、方位角和高低角 ) ，并把数据送入计算机，推算出目标的航向，航速，引导导弹或自动火炮去击中目标 ( 爱国者导弹对飞毛腿导弹 ) 。雷达系统是应用高性能数字信号处理技术的一个例子。• 雷达系统主要信号处理功能包括：• 信号产生、匹配滤波、门限比较、目标参数 ( 如射程、方位和速度 )估计。

4. 通信• 整个通信领域几乎没有不受数字信号处理技术影响的地方。• 数字技术已用于信号的调制、解调、滤波、混频、检波和多路传输等问题中。• 语音数据压缩与解压是数字信号处理的重要内容。• 在电信领域，数字处理技术已发展到音调检测，回波清除、数字开关网和自适应均衡、数据加密、数据压缩、可视电话等。许多音频通信的信号处理功能，已由单块集成电路实现。

5. 电话、电报•下面介绍它们在通讯中的应用大家知道，脉冲编码调制通讯（简称 PCM）的主要优点是抗干扰性强。但是，要对语音信号进行脉冲编码传输，起码要有 64 千比特 /秒。为了提高信道的利用率，必须压缩语音数码率。语音压缩编码的方法很多，如自适应差分脉调制（ ADPCM）， 32千比特 /秒的数码率达到了长途电话的质量标准，且复杂程度较低， 1988年被 CCITT（国际电报电话咨询委员会）建议为长途传输中的一种新型国际通用语音编码方法。

6.扩频通信•与数据压缩相反的数据扩张，也是很有用的技术。它的根据是仙农编码定理：在一定的条件下，只要码的长度充分大时，一定存在一种编码、译码方法，使错误译码率充分小。近年来，在国防上实现发射功率隐蔽与抗电子干扰，采用了数据扩张技术，用 300 千比特 /秒的数码率传送 64 千比特 /秒的语音，可以使敌方对此信号难以侦察或干扰。

7.移动通信• 现代通信系统是信息时代的生命线。最近几年，电信业在我国发展很快，安装电话的用户与日俱增，移动通信已开始全国联网。现在，世界性的全球通讯网连接着 6 亿个以上的电话，还提供大量的用户电报以及数据通信业务。到本世纪末，通讯将超过能源、汽车、钢铁、交通和农业，成为世界上最大的行业。

8.其他• 生物医学信号处理 CT / CAT

• CT ：计算机 X射线断层摄影装置。其中头颅 CT英国 EMI公司豪斯菲尔德获诺贝尔奖。

• CAT: 计算机 X射线空间重建装置。出现全身扫描，心脏活动立体图形，脑肿瘤异物，人体躯干图像重建。• 嵌入式电子系统

蜂窝电话无线通信蜂窝电话无线通信 DSPDSP 系统系统 Nasser Kehtarnavaz, and Mansour Keramat, DSP System

Design: Using the TMS320C6000, Prentice Hall, 2001.

ADSL ADSL 有线通信 有线通信 DSP DSP 系统系统 Nasser Kehtarnavaz, and Mansour Keramat, DSP System

Design: Using the TMS320C6000, Prentice Hall, 2001.

硬盘驱动 硬盘驱动 DSP DSP 系统系统 Nasser Kehtarnavaz, and Mansour Keramat, DSP System

Design: Using the TMS320C6000, Prentice Hall, 2001.

电机控制 电机控制 DSP DSP 系统系统 Nasser Kehtarnavaz, and Mansour Keramat, DSP System

Design: Using the TMS320C6000, Prentice Hall, 2001.

五、 DSP 技术的发展趋势 1• DSP 技术的发展趋势，可用四个字“多快好省”来概括。• 1.多。可从广度和深度看，广度是指 DSP 的型号越来越多。如 TMS320C2x（控制） /5x（低功耗） /6x（高性能处理） .从深度讲是多 CPU 的糅合，一种多 DSP 的糅合，一种 D

SP 的核和其他事务性处理的核的糅合在一起。• 2. 快，即运算的速度越来越快，指令速度越来越快，频率越来越高，功能越来越强。

五、 DSP 技术的发展趋势 2

• 3. 好。主要是指性能价格比。• 性价比符合摩尔定律：每隔 18 个月，芯片的速度提高一倍，价格是原来的一半。这是由于半导体工艺的发展，使得成本降低引起的。• 4.省。功耗越来越低。• 正是由于 DSP多快好省的发展， DSP 的应用范围越来越宽。

作业• 写一篇综述文章，主要方面为 DSP 的技术、发展趋势、或在某一方面的研究，或是了解某一领域用 DSP 的的前景等。• 要求按论文写作要求。有题目、作者、摘要、关键字、参考文献及外文摘要。• 上交时间为二个星期之后的今日。

小结• 1.什么是数字信号处理• 2.数字信号处理的学科分支• 3.数字信号处理的基本组成• 4.数字信号处理的实现方法• 5.数字信号处理的特点• 6.数字信号处理的应用领域• 7.数字信号处理的发展趋势

离散时间的信号离散时间的信号与系统与系统

离散时间信号离散时间信号 : : 序列序列• 连续时间信号 : xC(t)• 离散时间信号在数学上是表示成数值的序列• 一个数的序列 x 可以记作

– x = {x[n]}–其中 x[n] 是序列中第 n 个数， n 为整数 .

– 离散时间信号和连续时间信号之间的关系可以表示为x[n] = xC(nT)

– T 称为采样周期 , 它的倒数 1/T 称为采样频率 .

连续时间的语音信号和它的样连续时间的语音信号和它的样本序列本序列

离散时间信号的图解表示离散时间信号的图解表示

基本序列基本序列– 单位样本序列 : [n] = 0, n 不等于 0

= 1, n = 0.– 单位阶跃序列 : u[n]= 1, n > and = 0

= 0, n < 0,or u[n]= [k], k = [-infinity, n],or u[n]= [n-k], k = [0, infinity].

– 指数序列 : x[n] = Kn.如果 K 和 为实数 , 则这个序列为实序列 .

正弦序列 :x[n]= Kcos[0n + ], all n,

= Kcos[(0 + 2r)n + ]

其中 K 和 为实常数 ; n 和 r 为整数 . 0 和 为相应复正弦的频率和相位 . 因此 ,- < 0 < and = or 0 < and = 0 < and = 2

基本序列的图解表示基本序列的图解表示

序列表示为一组幅度加权和延序列表示为一组幅度加权和延迟单位样本序列之和的例子迟单位样本序列之和的例子

p[n] = ap[n] = a-3-3[n+3] + a[n+3] + a11[n-1] - a[n-1] - a22[n-2] – a[n-2] – a77[n-7][n-7]

序列运算序列运算• 两个序列的积与求和定义为对应样本间乘积与求和。 .• 一个序列乘上一个数被定义为序列的所有样值乘以这个数 .• 序列 y[n] 为序列 x[n] 的延迟或移位，如果

y[n] = x[n – nd] 其中 nd 为一个整数 .• 基本序列的组合

Ex 1 x[n] = Kn, n > and = 0, = 0, n < 0,

or x[n]= Knu[n].

连续时间和离散时间信号周期连续时间和离散时间信号周期性间的区别性间的区别• 在连续时间的情况下，一个正弦信号和一个复指数信号都是周期的，它们的周期等于 2 除除除除除 .• 在离散情况下，一个周期序列是周期的，当

x[n] =x[n + N], 对所有 n,其中周期 N必须为一个整数 .– 对于离散正弦序列来说

A cos[0n + ] = A cos[0n + 0N + ]

其中 0N = 2k , k 为整数 .

离散时间系统离散时间系统• 在数学上，离散时间系统可以定义为一种变换或算子，它把值为 x[n]输入序列映射为值为 y[n] 的输出序列 .

y[n] = T{x[n]}• 系统的分类可以通过加在变换 T{.} 的性质上的限制来定义 .

一些简单而有用系统的举例理想延迟系统 : y[n] = x[n – nd]滑动平均系统 : y[n] = (x[n – k])/(M1+M2+1)

无记忆系统 : y[n] = (x[n])2 , nd = 0

累加器系统 : y[n] = x[k] , k = [-infinity,n]压缩器系统 : y[n] = x[Mn] , M = + integer前向差分系统 : y[n] = x[n + 1] – x[n]后向差分系统 : y[n] = x[n] – x[n – 1]

离散时间系统 离散时间系统 22• 无记忆系统 : 如果在每一个 n 值上的输出 y[n]只决定于 n 值的输入 x[n] ，那么就说该系统是无记忆的 .• 线性系统 : 它由叠加原理来定义 :

T{ax1[n] + bx2[n]}=aT{x1[n]} + bT{x2[n]}

– 可加性 : T{x1[n]+x2[n]} = T{x1[n]} + T{x2[n]}

–齐次 (比例 ) 性 : T{kx[n]} = kT{x[n]}• 非线性系统 : y[n] =ln(|x[n]|)

离散时间系统 离散时间系统 2-2- 续续• 时不变系统 : 输入序列的移位或延迟将引起输出序列相应的移位或延迟 .

– 等价于移位不变系统 .• 因果系统 : 对每一个选取的 n0, 输出序列在 n = n0 的值仅仅取决于 n < and = n0 的值 .• 稳定系统 : 当且仅当一个有界的输入序列产生一个有界的输出序列时，称该系统是稳定的 .

线性时不变系统线性时不变系统 y[n] =T{x[k][n-k]}由叠加原理

y[n] = x[k]T{[n-k]} = x[k]hk[n]

从线性角度来说 , hk[n] 将同时依赖 n 和 k. 但是应用时不变性质 , hk[n] 将只依赖于 n. 这样hk[n] =h[n]=T{[n]}

and h[n – k]= T{[n – k]}So, y[n] = x[k]h[n-k]

这个公式就是通常所说的卷积和 , 并用下面的符号表示y[n] = x[n]*h[n]

这就是一个线性时不变系统，它完全可以用冲激响应 h[n]来完全表征 .

用傅立叶变换表示序列用傅立叶变换表示序列• 正向或对称傅立叶变换

– , X(ej) 具有周期性，且周期为 2.

– 它也可以称为离散傅立叶变换 (DTFT).• 反向或分析傅立叶变换

njj enxeX ][)(

de)e(X]n[x njj

21

• X(ej) 可以以多种形式表示 .

– 直角坐标形式 : XR(ej) + j XI(ej)

– 极坐标形式 : | X(ej)|ejARG{X(ej)}

• X(ej) 可以称作傅立叶谱或简单地称为谱 .

傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质• 它的对称性质在简化问题的解上往往很有帮助 .• 一个共扼对称序列 xe[n] 定义为 xe[n] = xe*[-n] 的序列 .• 一个共扼反对称序列 xo[n] 定义为 xo[n] = -xo*[-n] 的序列 .• 任何序列 x[n] = xe[n] + xo[n]

– 其中 xe[n] = (x[n] + x*[-n])/2 = xe*[-n]

– xo[n] = (x[n] - x*[-n])/2 = -xo*[-n]

• 一个共扼对称的实序列称为偶序列– xe[n] = xe[-n]

• 一个共扼反对称的实序列称为奇序列– xo[n] = -xo[-n].

傅立叶变换定理• 傅立叶变换的线性

– ax[n] + by[n] aX(ej) + bY(ej)• 时移和频移

– x[n – nd] ejnd X(ej), – ejnx[n] X(ej()

• 时间倒置 – x[-n] X(e-j)

• 频域微分– nx[n] jdX(ej)/d

• Parseval’s 定理 , |X(ej)|2 称为能量密度谱 .

• 卷积定理– x[n]*y[n] X(ej)Y(ej)

• 调制或加窗定理– x[n]y[n]

deYeX jj )()(21 )(

deXnx j 22 )(21][

deYeXnynx jj )(*)(21][*][

傅立叶变换 序列 傅立叶变换