离散数学 Discrete thematics

课程回顾

命题：命题的定义、真值、分类及其表示。命题联结词：

否定、合取、析取、条件、双条件。

P Q ┐P P Q∧ P Q∨ P→Q P Q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

第一章 命题逻辑 第 2 讲 §1—3 命题公式与翻译 §1—4 真值表与等价公式

要求：理解合式公式及两个合式公式等价的定义，熟悉命题定律，会证明等价公式。

重点：合式公式的定义，两个合式公式等价的定义， 10 个命题定律。

难点：推证等价公式。

§1—3 命题公式与翻译一、合式公式 前面已经提到，不包含任何联结词的命题叫做原子命题，

至少包含一个联结词的命题称作复合命题。 设 P 和 Q 是任意两个命题，则┐ P ， P Q∨ ， (P∨

Q ）→ (F Q∨ ）， P (Q ┐P)∨ 等都是复合命题。 若 P 和 Q 是命题变元，则上述各式均称作命题公式。 P

和 Q 称作命题公式的分量。

说明：⑴ 命题公式没有真值，仅当其中命题变元用确定的命题代入时，才得到一个命题。这个命题的真值，依赖于代换变元的那些命题的真值。⑵ 并不是由命题变元，联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式。

定义 1-3.1 命题演算的合式公式 (wff) ，规定为： (1) 单个命题变元（常元）本身是一个合式公式。 (2) 如果 A 是合式公式，那么┐ A 是合式公式。 (3) 如果 A 和 B 是合式公式，那么 (A B)∧ ， (A B)∨ ， (A→

B ）和 (A B) 都是合式公式。 (4) 当且仅当能够有限次地应用 (1) 、 (2) 、 (3) 所得到的包含

命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。

这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中 (1) 称为基础， (2)(3) 称为归纳， (4) 称为界限。

按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P Q∧ ），┐ (P→Q) ， (P→(P ┐Q)∨ ， (((P→Q ）∧ (Q→R)) （ S T))

而 (P→Q ）→ ( Q)∧ ， (P→Q ， (P Q∧ ）→ Q ）等都不是合式公式。

练习11 页（ 1 ）

联结词的优先级联结词的优先级 命题公式外层的括号可以省略； 联结词的优先级：联结词的优先级：┐、∧、∨、→、。 利用加括号的方法可以提高优先级利用加括号的方法可以提高优先级。范例：如下的 WffWff ： P Q→R∧等价于 WffWff ： （（ P Q∧ ）→ R ）等价于 WffWff ： （ P Q∧ ）→ R

不等价于 WffWff ： P∧（ Q→R ） 练习11 页

（ 2）

二、翻译（符号化） 有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有些

语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结词

和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化。符号化应该注意下列事项：① 确定给定句子是否为命题。② 句子中联结词是否为命题联结词。③ 要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

命题符号化步骤：(1) 分成原子命题(2) 用大写字母代替命题(3) 按题意用联结词

自然语言的语句用 WffWff 形式化主要是以下几个方面： ① 要准确确定原子命题，并将其形式化。

② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要放准确。

③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式，但要保证表达意思一致。 ④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。 自然语言的语句用 WffWff 形式化的例子。的例子。

例题

解 找出各原子命题，并用命题符号表示： A ：我们要做到身体好。 B ：我们要做到学习好。 C ：我们要做到工作好。 P ：我们要为祖国四化建设而奋斗。

例题 1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。

故命题可形式化为：

（ A ∧ B ∧ C ） P

从表中可看出原命题不能用前述五个联结词单独写出，但是如用命题和联结词组合，可以把本命题表达为：┐ (P Q ）。

解 P ：上海到北京的 14 次列车是下午五点半开。 Q ：上海到北京的 14 次列车是下午六点开。 在本例中，汉语的“或”是不可兼或，而逻辑联结词∨是“可兼或”，

因此不能直接对两命题析取。构造表如表如表 1-3.1 所示。

P Q 原命题 P Q ┐(P Q)

T T F T F

T F T F T

F T T F T

F F F T F

表 1-3.1

例题 2 上海到北京的 14 次列车是下午五点半或六点开。

解 若设 P ：他聪明。 Q ：他用功。 在自然语言中这个“既……又……”显然

与“且”的意义一样，故本例可记为： P∧Q 。

例题 3 他既聪明又用功。

解 这里“虽……但……”这个词不能用前述联结词表达，但其实际意义是：他聪明且不用功。若设

P ：他聪明。 Q ：他用功。 本例可表示为： P ┐Q∧

例题 4 他虽聪明但不用功。

解 这个命题的意义，亦可理解为：如果你不努力则你将失败。 若设 P ：你努力。 Q ：你失败。 本例可表示为： ┐P→Q

例题 5 除非你努力，否则你将失败。

解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设 P ：张三可以做这事。 Q ：李四可以做

这事。 本例可表示为： P Q∧

例题 6 张三或李四都可以做这件事。

从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词，如：“与”“且”“或”“除非…则…”等等都各有其具体含义，因此需分别不同情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也常常采用列出“真值表”的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词，使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。

练习 把下列自然语言命题符号化：(1)小张既聪明，又勤奋，所以他学习好。(2)小李不在图书馆，他要么找老师去了，要么就是因为身体

不适，回宿舍去了。

命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中常常最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于

说推理的首要前提没有了。

解 (1) 设 P ：小张聪明。 Q ：小张勤奋。 R小张学习好。则命

题符号化为： P Q→R∧(2) 设 P ：小李在图书馆。 Q ：小李找老师。 R ：小李身体不适。 S ：小李回宿舍。则命题符号化为： ┐ P (Q (R→S)∧ ∨

小结 学习本节要深刻理解命题公式的定义，能够把用自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 合式公式：命题演算的合式公式 (wff) 规定为： (1) 单个命题变元本身是一个合式公式。 (2) 如果 A 是合式公式，那么┐ A 是合式公式。 (3) 如果 A 和 B 是合式公式，那么 (A B)∧ ， (A B)∨ ， (A→B ）和 (A B) 都是合式公式。 (4) 当且仅当能够有限次地应用 (1) 、 (2) 、 (3) 所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。 翻译 把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 优先次序 规定联结词运算的优先次序为：┐、∧、∨、→、

练习12 页（ 5 ）（ 6 ）（ 7 ）

§1—4 真值表与等价公式 1. 真值表 定义 1-4.1 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能

组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

P Q ┐P ┐P Q∨

T T F T

T F F F

F T T T

F F T T

现举例说明如下：例题 1 构造┐ P Q∨ 的真值表。解（见表 1-4.1 ）

表 1-4.1

例题 2

给出 (P Q∧ ）∧┐ P 的真值表。解 （见表 1-4.2 ）

P Q P Q∧ ┐P (P Q∧ ）∧┐ P

T T T F F

T F F F F

F T F T F

F F F T F

例题 3 给出 (P Q∧ ）∨（┐ P ┐Q∧ ）的真值表。解

P Q ┐P ┐Q P Q∧ ┐P ┐Q∧ （ P Q∧ ） ∨ （┐ P ┐Q∧ ）T T F F T F T

T F F T F F F

F T T F F F F

F F T T F T T

表 1-4.3

例题 4 给出┐ (P Q∧ ） （┐ P ┐Q∨ ）的真值表。解

P Q P Q∧ ┐(P Q)∧ ┐P ┐Q ┐P ┐Q∨ ┐(P Q∧ ） （┐ P ┐Q∨ ）T T T F F F F T

T F F T F T T T

F T F T T F T T

F F F T T T T T

表 1-4.4

由表 1-4.4 ( 表 1-4.2) 可以看出，有一类公式不论命题变元作何种指派，其真值永为真 (假 ) ，我们把这类公式记为 T(F) 。

在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于分量的个数。例如，由 2 个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值，由 3 个命题变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来， n 个命题变元组成的命题公式共有 2n种真值情况。

练习17 页（ 1 ）18 页（ 6 ）

从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐ P∨Q 与 P→Q 的对应真值相同，如表 1-4.5 所示。

P Q ┐P Q∨ P→Q

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

表 1-4.5我们说┐ P Q∨ 和P→Q 是等价的，这在以后的推理中特别有用。

同理 (P Q) (┐P ┐Q)∧ ∨ ∧ 与 P Q 对应的真值相同，如表 1-4.6 所示。

表 1-4.6

P Q P Q (P Q) (┐P ┐Q)∧ ∨ ∧

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

练习17 页（ 2 ）

二、等价公式 1. 定义 定义 1-4.2 给定两个命题公式 A 和 B ，设

P1 ， P2 ，……， Pn 为所有出现于 A 和 B 中的原子变元，若给 P1 ， P2 ，……， Pn 任一组真值指派， A 和 B 的真值都相同，则称 A

和 B 是等价的或逻辑相等。记作 A B 。

在这里，请注意和的区别与联系：区别：是逻辑联结词，属于目标语言中的

符号，它出现在命题公式中；不是逻辑联结词，属于元语言中的符号，表示两个命题公式的一种关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符号。

2 、证明方法： ⑴ 真值表法

由表 1-4.7 可知 P Q 与 (P→Q) (Q→P∧ ）真值相同，命题得证。

例题 5 证明 P Q (P→Q) (Q→P)∧证明 列出其值表 表 1-4.7

P Q P →Q Q→P P Q (P→Q) (Q→P∧ ）T T T T T T

T F F T F F

F T T F F F

F F T T T T

⑵ 推导的证明方法① 命题定律（表 1-4.8 列出的命题定律都可以用真值表予以验证） 表 1-4.8

对合律 ┐┐P P 1

幂等律 P P ∨ P ， P P ∧ P 2

结合律 (P Q∨ ）∨ R P∨ （ Q R∨ ）(P Q∧ ）∧ R P∧ （ Q R∧ ）

3

交换律 P Q ∨ Q P∨P Q ∧ Q P∧

4

分配律 P∨ （ Q R∧ ） （ P Q∨ ）∧（ P R∨ ）P∧ （ Q R∨ ） （ P Q∧ ）∨（ P R∧ ）

5

吸收律 P∨ （ P Q∧ ） P

P∧ （ P Q∨ ） P

6

德摩根律 ┐(P Q) ∨ ┐P ┐Q∧┐(P Q) ∧ ┐P ┐Q∨

7

同一律 P∨F P ， P∧T P 8

零律 P∨T T ， P∧F F 9

否定律 P ┐P ∨ T ， P ┐P ∧ F 10

例题 6 验证吸收律 P∨ （ P Q∧ ） P P∧ （ P Q∨ ） P证明 列出真值表 表 1-4.9

P Q P Q∧ P∨ （ P Q∧ ） P Q∨ P∧ （ P Q∨ ）T T T T T T

T F F T T T

F T F F T F

F F F F F F

由表 1-4.9 可知吸收律成立。 练习

18 页（ 4 ）

② 等价置换 在一个命题公式中，如果用公式置换命题的某个部分，

一般地将会产生某种新的公式，例如 Q→(P (P Q))∨ ∧中以 (┐P→Q) 取代 (P Q)∧ ，则 Q→(P (┐P→Q) )∨ 就与原式不同。为了保证取代后的公式与原始公式是等价的，故需对置换作出一些规定。

P Q P (P Q)∨ ∧ Q→(P (P Q))∨ ∧ ┐P→Q P (┐P→Q)∨ Q→(P (┐P→Q) )∨

T T T T T T T

T F T T T T T

F T F F T T T

F F F T F F T

定义 1-4.3 如果 X 是合式公式 A 的一部分，且 X

本身也是一个合式公式，则称 X 为公式 A 的子公式。

证明 因为在相应变元的任一种指派情况下， X 与 Y

的真值相同，故以 Y 取代 X后，公式 B 与公式 A 在相应的指派情况下，其真值亦必相同，故 A B 。 口

满足定理 1-4.1 条件的置换称为等价置换 ( 等价代换 ) 。

定理 1-4.1 设 X 是合式公式 A 的子公式，若 X Y ，如果将 A 中的 X 用 Y来置换，所得到公式 B 与公式 A 等价，即 A B 。

例题 7 证明 Q→(P (P Q)) ∨ ∧ Q→P

P Q P Q∧ P∨ （ P Q∧ ） Q→P∨ （ P Q∧ ） Q→P

T T T T T T

T F F T T T

F T F F F F

F F F F T T

有了最基本的的命题公式的等价关系，再利用定理 1-4.1 ，就可以推证一些更为复杂的命题等价公式。

证明 设 A ： Q→(P (P Q))∨ ∧ ， B ： Q→P 因为 P (P Q) ∨ ∧ P 故 A B

对 A B亦可用表 1-4.10予以验证： 表 1-4.10

吸收律

例题 8 证明 (P Q) (P ┐Q) ∧ ∨ ∧ P

例题 9 证明 P →(Q→R) Q→(P→R) ┐R→(Q→┐

P)

P →(Q→R) ┐P (┐Q R) ∨ ∨ R (┐Q ┐P)∨ ∨

┐R→(Q→┐P)

证明 P →(Q→R) ┐P (┐Q R) ∨ ∨ ┐Q (┐P R)∨ ∨ Q→(P→R)

P

P T∧

证明 (P Q) (P ┐Q) ∧ ∨ ∧ P (Q ┐Q)∧ ∨

合取对析取的分配律

否定律 同一律

例题 10 证明 ((P Q) ┐(┐P ┐ (Q R))) (┐P ┐Q) (┐P ┐R) ∨ ∧ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ T

T

((P Q) (P R)) ┐((P Q) (P R))∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨

((P Q)∨ ∧(P Q)∨ (P R))) ┐((P Q) (P R))∧ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨

原式左边 ((P Q) (P (Q R))) ┐ (P Q) ┐ (P R)∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨

证明

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小结 本节主要内容：

真值表 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

逻辑相等 给定两个命题公式 A 和 B ，设 P1 ， P2 ，……， Pn 为所有

出现于 A 和 B 中的原子变元，若给 P1 ， P2 ，……， Pn 任一组真值指派，

A 和 B 的真值都相同，则称 A 和 B 是等价的或逻辑相等。记作 A B 。

子公式如果 X 是合式公式 A 的一部分，且 X 本身也是一个合式公式，则称 X 为公式 A 的子公式。

定理 1-4.1 设 X 是合式公式 A 的子公式，若 X Y ，如果将 A 中的X 用 Y来置换，所得到公式 B 与公式 A 等价，即 A B 。

10 个命题定律。

作业

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