˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

168

Upload: others

Post on 19-Feb-2022

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

�����������������������������������������������������������������

������������� ������������� ������������� �������������������� ������������������� ������������������� ������������������� �����������������

����������������� ���

������������

������������� ����������������������

��������

�������������� ������� ��������

������� ���

Page 2: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

�����������������������������������������������������������������

������������� ������������� ������������� ������������������������������������������������ ������������ ������������ ������������ ����������

����������������� ���

������������

��������

������������� ��� ��������������������������

�������������� ������� �������

���������������� ������ ������������������ ������ ������������������� ���������������

������� ���

Page 3: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������ii��

�������

������

������ ���� ������ ����� ���� �������� ������ ����� �������� ������ ����� ������ �������

����������������

Page 4: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������iii�

�������

������

������ ��� ������� ������ �� ������� ����� ��� ������ ����� ��� ������ ������ ������

������������ ��� ������ ����� ������� ������� ������ ������ ��� �������������� ������ ��� ���

������������ ������������������������������������ ��������������� ������������

������ ������������������������������������������������������������������������ ��

���� ����� �� �������� ����� ������ ��� ���� ����� ����� ������� ������ ��� ����� ��

�� ��������������� ������� �������� ���� ������� ��� ������� ������� ���� ���� ������ ��� �������

�������� ������ ������ ����� �������� ������ �������� ������ �������� ���������� ��������

������������ ����������������������������� �������������������������������������

������������������������������������������������������ ���������������������������

����� ����� ���� ����� ������ ��� ������ �������� ������ ��� ������ ���� ������� ���� �������

��� ������ ����� �� ������ ���� �������� ������ ����� ������ �������� ����������� ��� ������ ������

���������������������������������������������������� �������������������������� ���

��������� ������ ��� ������� ������� ��������� ���������� ���� ��� ������� ��� ��� ����

����������������������������������������� �� �������������������������������������

��������Prager�� ������ �������������������

������������������������ ����������������� ������������ ������� �����������������

���������������������������������������������������!��������������������� ����

�������������������������������������������������������������� �����������������

������������������������������ �������������������!���������� ������ �����������

������ �������� ������ ��� ������� ������ ������ ������� ���� ����� ������ ��� �����

����� ������������ ��� �� ������� �� ������ �������� ����� ������ ��� ������ � ����

���������� ������ ��� ������� ����� ����� ���� ������ �� ��������� ������ ����� ������

������������������!������������� �������� ��������������������������������������� ���

��������������������������� ������������������ ���������� ����������������

������� ���������� ��������� ������ ��� ����� �� ����� ������ � ����� ����� ��� ������ ���

������� ������� ��� ������������ ���������� ������ ��� ������ �����

Page 5: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������iv��

�������

� ������ ����

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"�"���������������� �������� ������������������������������������������������������������"�

"�#�����������������������������������������������������������������������������������������������$�

"�$������������������������������������������������������������������������������������������������%�

"�$�"���������������������������������������������������������������������������������&�

"�$�#������������������������� �������� ������������������������������������'�

"�%��������� �������������������������������������������������������������������������������������'�

"�&�������������������������������������������������������������������������������������������������(�

������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������

#�"���������������� �������� ����������������������������������������������������������")�

#�"�"��������������������������������������������������������������������������������������""�

#�"�#������������� ������������������������������������������������������������������""�

#�"�$��������������!�������!�����������������������������������������������������"#�

#�"�%����������������������������������������������������������������������������������"$�

#�"�&�����������������������������������������������������������������������������������"%�

#�"�'����� ���� �������������������������������������������������������������������"&�

#�"�*������������� ��������������������������������������������������������������������"'�

#�"�(������������������������� �������� ���������������������������������"'�

#�#������������������������������������������������������������������������������������������������"*�

#�$�����������������������������������������������������������������������������������������"(�

#�$�"���������� ����� ����������������������������������������������������#)�

#�%������������������������� �������� ��������������������������������������������#"�

����������� ��������� �������� ������� �� ���������������������������������������������������������

$�"����������������������������������������������������������������������������������������������������##�

$�#������������������SIMP������������������������������������������������������������������#$�

$�$������������������ ��Bendsoe & Kikuchi��������������������������������������#%�

�� ��� �� � ��� ���������� � �����������������������������������������������������������������������������

%�"����������������������������������������������������������������������������������������������������$)�

%�#������������ ������������������������������������������������������������������$"�

%�$����������������������� ��������������������������������������������������������������$&�

%�%������������������������������������������������������������������������������������������$'�

%�&����������������������������������������������������������������������������������%*�

�� ������� � ��� ��� ��������������� ������� �����������������������������������������������

Page 6: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������v��

�������

&�"����������������������������������������������������������������������������������������������������&)�

&�#�����������������������������������������������������������������������&"�

&�$����������� ���������������������������������������������������������������������&(�

&�%���������������������������������������������������������������������������������'$�

&�&���������������������������������������������������������������������������������������������'&�

&�'��������� ������������� �����������������������������������������������''�

&�*�� ��������������������������������������������������������������������������������''�

&�(������������������������������������������������������������������������������������������'*�

&�+������������ ������������������������������ ������������������������*#�

&�+�"�� ���������������������������������������������������������������������������������*$�

&�+�#����������������������������������������������������������������������������������*%�

&�")�������� �����������������������������������������������������������������������*&�

&�")�"������� ������������������������������ ������������������*'�

&�")�#��������������������������������������������������������������������������������**�

&�""�������������������������������������������������������������������������������������()�

&�""�"�����������������������������������������������������������������������������������("�

&�""�#�� ��������������������������������������������������������������������������������($�

&�""�$����������������������������������������������������������������������������������(%�

&�"#��������������������������������������������������������������������������������������(&�

&�"#�"������������������������������������������������������������������������(&�

&�"#�#�����������������������������������������������������������������������������������('�

&�"#�$��������������������������������������������������������������������������������((�

��������� ��� ������� � ��� ��� ���������� ����������������������������������������������������!��

'�"����������������������������������������������������������������������������������������������������+)�

'�#���������������������� ���������������������������������������������������������������+)�

'�$������������������������������������������������������������������������������������������+'�

'�$�"���������� ��������������������������������������������������������������+'�

'�$�#����������������������������������������������������������������������"))�

'�$�$���� �������� ����� ������ ��� ������� ������������ ����

������, , ,.������������������������������������������������������������������������������������������")%�

'�$�%���������������������� ������������������������� ��������")'�

"����� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������

*�"���������������������������� �������������������������������������������������"")�

*�"�"��������������������������������������������������������������������������������"""�

*�#����������������������������������������������������������������������������������������"""�

*�#�"��������������������������������������������������������������������������������""$�

Page 7: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������vi�

�������

*�$������������������������� ����������������������������������������������������������""%�

*�$�"��������������������������������������������������������������������������������""&�

#�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �

!� ���� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������

+�"������I�-��� ������ ��������������������� ����������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������"$$�

+�"�"��������������������������������������������������������������������������"$$�

+�"�#��� ��LU���Choleski������������������������������������������������������������"$&�

+�"�$��������������������������� ������������� �������������"$'�

+�"�%���������������������������������������������������������������������������������"$+�

+�"�&����������������������������������������������������������������������������������"$+�

+�"�'����������������������������������������������������������������������������"%)�

+�"�*���������������!���������������� �������������������������"%)�

+�"�(�� �����������������������������������������������������������������������������"%"�

+�"�+��������������������������������������������������������������������������������������"%#�

+�#�������II�.���� ����������������������������������� ��������

�������.�����������������������������������������������������������������������������������������������������"%$�

+�#�"����������������������������������������������������������������������������������"%(�

Page 8: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������vii�

�������

� ���������� ��

�����"-���������������������������������������� ����������� �������������������%�

�����#�-����������������������������������������������������������������������������������������������&�

�����$-������#������� �������������������������Prager����������������������������������"(�

�����%�-��������� ���������������������������������������������������������������������������#$�

�����&�-������������������������� ����������� ���������������������������������$"�

�����'�-�������������������������������������������������������������������$#�

� ����*� -������ ������� �� ������ ������ ���� ������� ������ �������� �

������������������������������������������������������������������������������������������$%�

�����(�-�����������������������������������������������������������������������������$*�

� ����+� -� ������� ��� ���� ����������� ������ ������ ��� �������� ������� �

�������������������������������������������������������������������������������������������$(�

� ����")� -������ ������ ����� ����� ��� ������ ������ ���� ������� � ������ ���

�������������������������������������������������������������������������������������������������%)�

�����""�-�����������������������������������")�������������������������������������������%#�

� ����"#� -� ������� ����� �� ��� ����h=b=34, l=17� ���������� ������ �������

������������������������������������%����������������������������������������%%�

�����"$�-������������������ ����*� ����������34x34x17�� ������ ��������%�

�������������������������������������������������������������������������%%�

� ����"%� -�� ��� ����� ��� ���� ���������� ������� �����-*)l=� �h=24 b=22�

��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������%&�

� ����"&� -� ��������� ��������������������� � ����������l=50� �h=30, b=22�

��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������%'�

� ����"'� -������������������������������������������������� �����������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������%+�

�����"*�-�������������������������������������������������������������������������������&"�

Page 9: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������viii�

�������

�����"(�-���������������������������������������������������������������������������������&#�

� ����"+� -� � ��������� ������ ��� ��f� �� �����u� ���������� �������p���� ���

�������k��������������������������������������������������������������������������������������������������'%�

� ����#)� -�������� ������ �������� ��������� ����� ������ ������� ������ ��

�������������������������������������������������������������������������������������������'(�

�� ���#"� -� ������ ����� ���� ������ ������ ����� �� �������� �����#)� ������

��������������������������������������������������������������������������������������������'(�

� ����##� -������� ������� ������ ���� �������� ������������ ������ ����

�����������������������������������������������������������������������������*)�

�����#$�-�������������������������������##������������ ����������������*)�

�����#%�-����������������������������������������������������������������������������*"�

�����#&�-����I�������������� ������������������������������������������������������*#�

�����#'�-����������������������������� ���������������������������������������������������*%�

�����#*�-���������������������������������Pr������������Pt������������������������*&�

�����#(�-������������� ����������������������������������������������������*(�

�����#+�-����������������������������������������#(�����������������������������������**�

� ����$)� -������������������������ �������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������*+�

�����$"�-�������� ��������������������������������������������������������()�

� ����$#� -��������� ����� ������� ����� ���� ����� ��� ���� ���� ���� ����� ��

����������������������������������������������������������������������������������������������������������("�

� ����$$� -��� ������ ����������� ����� ������ ����� ��� ������ ������� ����

�������������������������������������������������������������������������������������(&�

� ����$%� -� ������ ������������ ������� ���� ��� ������ ���$$����� �����

�����������������������������������������������������������������������������������������������������(&�

� ����$&� -�� �������� ������ ��� ������ ����� �����#������� �������� ������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������((�

Page 10: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������ix��

�������

�����$'�-�����������������������������������������������������������������������((�

� ����$*� -������ ����������� ���������������������$'� ������������ �����

������ ������������������������������ ���������������������������������������(+�

� ����$(� -�������� ��� ����� ���� ����� ��� ���� ��������� ��������� �����

���������������������������������������������������������������������������������������������������������+#�

� ����$+� -��� ����� ��� ���� ���� �������� ������ ������ ��� ���� ����

������������������������������������������������������������������+*�

�����%)�- ����������� ���������������������������� ��������������������������������+(�

� ����%"� -������������� ��������� ������������ ����������� $+� ������� ����

��������������������������������������������������������������������������������������++�

� ����%#� -�� ������ ������ ��������� ���� �������� ���� ������� $+� ������ ����

�������������"/#����������������������������������������������������������������������������������������++�

� ����%$� -��� ����� ����� ����� ����� ������� �� ��� ����� ���� ������� �����

����������������������������$�&����%�&������������������)�#&���������������������"))�

� ����%%� -����� ���� ���� ���� ����� ����� ��� ���� ���� ������� ������ ���

�����������������������������������������������������������������������������������")"�

�����%&�-������������������� ����������� ���0�N���������������������������������")#�

�����%'�-��������������������������� �����������������������1N� 2������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������")$�

� ����%*� -� ����������� ������������������ ��������Kirchhoff��������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������")&�

�����%(�-���������������������������������%*������������������������������������������������")'�

�����%+�-� ������1���������2��������������������������������������������������������")*�

�����&)�-��������� ����������������� ������������%+��������������������������������������")(�

�����&"-������������� ����������������� ���������%+���������������� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������������")+�

Page 11: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������x��

�������

�����&#�-��������������������������������������� �����"))��!����")�����

������������������������������1Flops2����������������������������������������������������"%#�

�����&$�-������������������������������������������������������������������������������������������"%$�

�����&%�-�����������������������������������������������������������������������������������"%&�

������� ����� ��

���� "�-��������� �������������������������� �����������������������������������"$%�

Page 12: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������xi�

�������

���� ����� ���

������������������ E

�������������������� G

��� ����������� C

��������� � K

��� V

Lagrangian L

�������������������������� F

����� W

��������������� ��������������� M

������������������������������������������������ N�AN

������ ������������������������ t,b

��������������������� � p

�������������� ������� m

���������������������������� n

��� h

�� �������������� x,y,z

������������������� f

������������������������ t,r

1��3������� i

��������� j,k,l

����;������������� w

����������������������������k������� ��k�

���������� ����������������� u�3t�

��������� �����k�������k+1���������� k-1������� k�����k

�������������k� k�

���� �

��� ����Hamilton �

����� �

��������� u

Page 13: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������xii�

�������

������������ ���� �

�����������;������Lagrange �

�����

�������

������������������������� �

������Lagrange ,��

�������������������� , ,� �

�������1� �������2 �n

������� ��� 1

���������� �� ei

���� �������k kf

�������������������k�� k-1 �����������k���k+1��������kf��kf

Page 14: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"��

�������

�������

�$�� ��� ��� ���������� ��������������

������� ����� ��� �� ������ ���� ������ ����� ������ ��� ������ �� ������� ����

������ ������� �������������������������������������������������������

���������������������������������"+� � �������Prager��-�(Prager and Rozvany 1977)�

��������� �� ���� ����� ������� ������� ����� ����� ������ ���� ������ ���� ����

������ ��� ������� ����� ����� ��� ����� ����� ������� ����� ������ ��� ����� ������� ���

����� ��������� ���� � �������� ����� ����������� ������ ���������������� ��� ��

������� ����� ������ ������ ��� ����� ���� ������� �� �������� ��� ����� ������

����� ��� ����� ����� ���� ����� �������� ���� ����� ������ ��������� ������� � ��

���� ������� ������ ��������� ���� ����� ��������� ����� ��� ��� ����� ����� ���

���������� ���������

������ ������� ���� ����� �� ������ ������ ������ ������ ������ ��1������ ����-

Dorn et al. 1964��2��������������������������������������������������������

���������������������������������������������� ��������� ����������������

������ ��� ������������� ����� ���� ����� ������ ����� ������� ���� ��������

Auster� �� ����(Auster 1988, p32)�� ������� ����� ������� ������� ��!���� � ��� �

� ����Michelangelo!� -���� ������ ����� ���� ����� ���� ������ ����� ���� �����

���� ������ ������� ��� ����� ������ !� ������ ������� ������ ��������

���������

����� �������� ������� �� ������ �������� ������ ����� �� � ��� ����� ���1����-

Kirsch 1989 � 2����� ���� ���� ����� ������ �������� ������� ����� ������ ����� ���

� ������������� ������������ ��� �� ��������������������������������

Page 15: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#��

�������

�������� ��� �� �� ������� ��� ���� ������ ���������� ������ � ������ ������� ����

�������������������� ����� ����� ������ ���� ���� ��� ����� ���� ���������� �������

������ ������������������� ������ ������� ���������� ����������������������� ���

���������� �������������������������� ����������� � ������������������� ���

���������������������������� ���������!� �Bendsoe and Kikuchi (1988)� �������

��� � ��� ���� ����� ���� ������ ����� ��� ���� ������ ������� ��������� ������������� ���

������������������������������������������������������������� ���������

������ ������ ����� ���� ������ ����� �� ������� ��������� ����� ������ ���� ����

����������������������������������������(Taylor 1977)� ����������������� ����

������ ��������������� �������� ������� ����� �������� ����� ���� ���� ������

������ ����� ����� ��� ���������� �������� ��������� ������������ �� ������� ������

��������� � ���� ������ ���� ��������� � ���� �� ������ ����� ����� ������� ���� ���

������ �����������������1Pedersen 1989�2�

������� ����������� ������ ����� ������ ��������� � ����� ������������ ���� ����

� � ������ ��� ���� ���� ����Solid Isotropic Microstructure with Penalty) SIMP�

Rozvany and Zhou. 1991,� �2���������������������������������� ������������������

� ��� ������� ����� ���� ������ ����� �������� ������Hashin - Shtrikman ��

1(Bendsoe and Sigmund 1999� ������������������SIMP��������������������������

����������� ��� ����� � � ������� ��� ����MMA�Method of Moving Asymptotes)�

Svanberg 1987,� 2� ��� ������ ������ �������� ������� ��1heuristic� 2����� � ����

���� ����� ����� ���� ���� ����� ��� ������������ ����� ��� ��������� ��������

���� ������� ������� ���� �������������� � ��� ��� ������ ���� ������� ��� ��� ����

������� ��������� ������� ������ ��� ����� ����� ������ �������� ������ ���������

������� ����� �� ��������� ������ ����� ���� ���� ������ ����� ��������� ����

� �������1���� �� ���:�Sigmund and Petersson 1998� 2������ ������� ������ ���

Page 16: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$��

�������

������ ���� ������ ����� ������� � ��� ������� ������� ����� ������������ ���

����� �������������������������������������������������� �������������������

��������� ������ ��� ����� ���������� ��� ������� ����� ������ �� ������ ������� ���

�����������

�$�� ������ � ������

���� ������ ������ ����� ����� ������ ��� ������ ������ ��� ������ ������� ��������� ���

���������������� �������� ���������� ������������� ���� ���������������

����� ���� ���� ����� ��������� ����� ������� �������� ��� �������� ���� ����� ������

����� ���� ���� ���� ������ ������ ���� ������ ����� ������� ��� ����� �� ������� ���

������� ��� ������ � �� ��� ����1transmissible load� 2������� �������� ����� ���� ����� ���

�����������������������������������������������

���� ���� ���� ������ ����� ��� �������� ����� � ������ ����� ����� ����� ���� �������

�����������������������������������������������������������������������������

������ ���� �� ��������� �������� ����� ������������������������ �������������

������ ������ ������ ����������� ����� ��� �� ����� ����� �� ������ �������� ���

�������

������ �� ������ ����� ���������� ������������� ������ ���������� ������ ��

� �������� ������ ������� �������� ����� ����� �� ���� ��� ���1� ���� ����"�2��� �����

���������������� ����� �� �������������� ���� �� �������������������� ����

��������� �������� ����� ������ ����� �� �������� ������� ������ ��������

����� ������� ��������� ������ ������� �������� ������ ����� �� ������ ������� ���

���������������� ������ ������������������������������ �����������������������

�������������

Page 17: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%��

�������

� ����"� -�� ������ ����� ����� ��� ���� ���� ������� �#������ �������� ������

������ ���� ������������������������ �������������������������������������

������ ����������������� ����������������������������������������������������

���������������

���

��������������������� ���������������������������� �������������������������

�������������������������������������������������������������� ����������

�$�� ������� � ����

� ������������������������� ������ ��� ������� ������� ������ ������� ��������

� �������� �������� ������ ��� �����1� ������ ���� ����#2� �� ���������������������

������� ���� ������� ����� ������ ���� ������ ���� ����� ������ ����� ������ ����

����� ����� ������������� ������� ���� ������� ��� ������ �� ������� ���� ����

��� �� ��� ������� ������ ������� �������������������� ������������ �����������

����� �������������������� ������������������������ ��� ����������������

����� �� ������������� ������ ������ ���� ����� �������� ����� ����� ������ ������ ����

���������������������������������������������������������������

������ ������ ����� ����� � �� ���� ������ ���� ����� ��������� ������ ������� ��

����� ������� ��� ������� ���� ������ ������� ������ ����� ��� ���� ����� ��� ���

�������������������� �� �������������������� ��� �������� �������������� ��������

Page 18: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&��

�������

������������ ���� ����� ������������������ ����� �������������� ��������� ���

��������� ����� � ������ ���������� ���� ������ �������������������������� ������

�����

1��2�������1��2�

� ����#� -��������� ������� ������ -�������� ��� ���� ����� ��������� ������ ������

������� ���������������������������������������

���

"�$�"��������������������������

��� ������� ����� ��� ������ ������� �������� � ����� ���� ������� ������� ����

��� ��� ������ �� ������ ������� �������1�� ������� 2������ ������� ��������

������������������������������������������������������������������������

������������������������������������� �������� ����������������������������

������������������������������������������������������������������

����������� �����������������������������������������������������������

1quasi� 2�������� �������� ���� ������ �������� ��� ��� ��� ������������ �������

Page 19: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'��

�������

������� ������� ��� �������� ������� ������ ��� ���� ���������� �����������������

������������������������������������������������������������������

� ������ ��� ��Nuller and Ryvkin 1980)2� ������� ������ �� �� ���� �������

����� ����� ������ ��� ���� ����� ����� ����� ������� ������������� ��������� ��� � ��

� �����1DFT2� ��� ����� ������� ���� ��Born-Von Karman�������� ���� ��������

�� ���� ����� ���������� ������ ���� ��� � �������� ���� ����� ������ ��� �����

������� ������������������������������������������������ ���������� ��������

���� ������ ������� �� ����� ������ ��� ����� ����� ������ ���� ��� ��� ������� ��

� ���� ���1Ryvkin and Nuller 19972� ������� ������ ������ ����� � ��� ����� ��

�������������� ����������������������������

"�$�#������������������������� �������� ����

� ���� ���������� ����������� ����� ����� ������� ����� ������ �� ���� ����� �������

��!�� ����������������� ��������� ������� ������� ����� ������ �������� ����

�������� ��� �� ������� ������� ��� ������� ���� ����� ������ �� ���� ����� � �������

������ ��� ������� � ������ ����� ���� ������ �� �������� ������ ����� ������ ����

���� ����������� ������� �������������������� ������� ���� �� �������������������

��� ��� ������ �����!������� ���� ���� ���� ������ �� �������� ������ ���� ������ ����

����������������������������������������� ������������������������������

���������� ���������������������

�$��������������

����� ������ ����� �� ����� ����� ������ �� �������1Sigmund 2001a�

� 3Rozvany 2001a2� �������������������� �������� ����������������������� ����

����� ���� ����� �� �� ����� ��� ������ ����� ��� ������� ������ ��� ������ � �

Page 20: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*��

�������

���� ������ ����� ��� ����� ������ � ��� ������ ������� ������� �� ������ ��� ����

����������������� ����������� ���������������� ������������������� ������� �����

������������������������$��������������� ���-�

�$� ��� �� � ������� ������������� ���� ����� �� �������%

������������������������� ���� ������������������������������� ����

���� ��������� ���� ����� ������ ������ � ����� �� ��� ����� ��� ��

������������ �������������� �� ������ ������ ������ ��� ����� �� ������ ��

��������� �������� �������� ���� ������ �������� ��� ������ ��� �������

������������� � ����� ��� �������������������������������������������

��������������������������������������������������������������

�$������ ������� ������ ����� � �� ���� ������ �� �� � �����&�� �� �� ��� ��������

������������� ��%

� ��� ����� � ��� ���������� ������������� ����� ����� ������� ��� ��

��� ��� ������� ������ ��� ���� ������DFT������� �� �� ���� ����

���� ������ �������������� ������ ��� ����� ���� ����� ������� ������ �� ����

������� ������� �������� �� ������ �������������� �������� ��� ���

��� ���� ����� ������ ������ �� ��������������� ������� ������������� ����

'����� �������� ��� ����� ����� ����� 2�������� ��������� ������� �� ����� ������

������

�$� ������� � ��� ��� ������ ��������������� ���� ����� �� �������%

������� �� ������� ���� �������� ���� ��� ������ � ���� ������ � ��� ����

������ � ���� ����� � ���� ��������� ������ ������������ �� ��� ������ ���

����� ����� ��� ����� ��� ������ ������� �� ����� ������� ����� ��� � ��

Page 21: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(��

�������

������������������������������� ����������������������������������

������� ������ � �������� ��� ����� �� ���� ����� ����������� ������ ���

��������������������������������

�$�������� ����

����$����%�

��������� ���������������������������� �������� ���� ����������������

��������� ������ �� ����$� �������� � ��� ��� ��������� ������� ������� �� ���

������� ��� ������ �� ����� ��Bendsoe and Kikuchi (1988)� �������� � ���

����������������������������������������������

����$ ��� �� � ��� ���������� � ��-

� ����%� ������ ������� �� ������ ����� ����� �� �� ������������ ��� �����

������ ����� ���������� �������� ���� ������� �������� � ����� ���� ����� ���

������ ��� ��� ����� ��� ���� ��������� ����� ��������� ���� ������ ����

������ ��� ������� ��� ������ ����� ����� ��� ������� �������� ������ ���

���������� ��������� �������� �������������� ��� ��������� ��������"��

� ���� ������� ������� ����� ������ �������� ��� ������ ���� ������

Prager�(Rozvany et al. 1982)��� ������ ��������� ������� ����������� �����

����� �������� ������ ������� ��� ������ ����� ����� ���� ��� ������ � ����

��������������������������������� �� ������

����$ ������� � ��� ��� ������%

������� ������������� ���������� ������� ����� ������ �� ����&�� ��� ����

������ ����� ��� ��������� ������ ������������ ��� ���� ������ ���� �����

Page 22: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+��

�������

��DFT������� ����� ���� ����� ��� �������� ������� ��������� ���� ������

������ ��� ��� ������� �� ������ ���� ����� ������� ����� ���� ������

����� ���� �������� �� ������ ������ �������� �� ���� ������� ���� ���� ��

� ����� � ��� ����� �������� ������� ������� ������ ���� ���� ������

��� ������ ����� ���������� ��������������� ���� ���� ��� ������

��� ����� ��� ��������� ����������� ���� �� ���� ������������ �� � �

������������������������������

����$ ������� � ��� ��� ��������� � ��%

� ����'� ��� ����� ��� ��������� ������ ��� ������ � ���� ���� ����� ����

� ����� ������ �������&� ����� ���� ���� ����� ��� ������� ���� � ���

����������� ����������������������������������������������������

� ����� ����� ��� ��������� ������ ������ ���� �� ���� /��������� ��� ������

���������������������������������������� �����������������������������

������������������������ ����������� �������������������������������

a$ ���� �%

� ����*� �������� ��������� ����� ��������� �������� �������������� ���

������������������������������

Page 23: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")��

�������

������� �������

�$�� ��� ��� ���������� �������������

���� ������ �� ������� ����� ���� ��� ��� ����� ������� ������� �������

������ ���� ���� ��� ������ ������ ���� ���������� ������ ������ ��� ������� ����� �

����� ������ ���� �������� ��� ������� ��� ���� ���� ��� ��� ������� ������ �����

� ���������������������������������������� ���������������� ����������������

���� ����� ������� ����� ������� ���� ������� ������ � ���� ����� ������� �� �����

������������������������������������������������������������������������

������ ��� ������� ������ �� ������ ������ ���� ������� ������� �� ��� ��������

� ������ � ����� ������� ���� �� ���� �������� ����� ����� ������"+��!��

1��� 2Maxwell� ������� ������ ������ ����������� ���1��� 2Michell� ������� ��

������� ��������� ������������������� ������ �����������������������������

������������������������������������������� ��������� �����������������

���� ��� ������ ���� ���� ������ �� ����� ������ ���� ����� �� ���������� ����

����� ��� ���� ��������� ��� �� ������� ������� ��� ������� ����� ���� ������� �����

� ��� ������������������������������ ���� ��������������������� ��������*)�

���������������!��Prager and Rozvany (1977)��������

����� ������� �������������� ������� ��������� ������� ���� ���� �����

������ ����������������� ����� ������������������������������ ���������� ���

������ � ��� �� ������� ������ �� ��� ������ ����Haftka et al. (1990)�����

�Kirsch (1993)������ ������������ ����� �������� �����������������������������

����������������Haftka and Gandhi (1986) �� Kirsch (1989)����Rozvany et al (1995)��

���������� ����� ��� ������ ��� ����� ����� ����� ������ �� ���� ��������� ����

�������� ����� ��� ������ ��������� ������� ����� ����� �� ������ ��� ���������

Page 24: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""��

�������

������� ������ ��������� ������ ���� ���� ����� ��� ������ ����� ��� ���������

������ ��� ����� ��� ������ ������� ����� ������� ����� ���� �� ������ ��� ������ ��

������������������������������

� ������ ����� ������� ���� �� ��� ������1Compliance� 2� ������ ��(Taylor 1977)��

���������� ������ ��� ������� ������ ������ �������� ��� ������ ������ ���� ������ ������

�������������������������������

#�"�"����������

����� ������ ��� ������ ��� ����� ���� ����� ������ ������� ������� ����� ���� ������

���������� ����������1� ���2��������� �������������������������������#����

$������� �� ����� ����� ����� ��� ����1Ground structure2� ��������� ������������ �����

���Da-Silva (1998)� ������������ �������������� ����� ���������� �����������

������ ������ �������� �������� ���� ���� ���� ���� ������� ��������� ������ �����

� ��� ������� �����Dorn et al. (1964)� ����Dobbs and Felton (1969)� �������

�� ����� ����� ����� ������ ��� �������� ��������Zhou and Rozvany (1991)����

�Beckers and Fleury (1997)� ��������� ����� ��� ���� ���� ���� ��� ������ ��� ���� ��

������ ����� ������������������� ������������������ ���� ������������ ����������

������� � ������ ���� ����� ������� ����� ���� ������ ����� ����� ��� ����� ������

� ��� ������ ������� ���� ����� ������ ���� ������� -Krog and Olhoff (1999)����

������ �������� �������� ����� ���� ���� ����� ��� ������ ���� ������������� ��� ����� �

������������ ����

#�"�#������������� ����

������ � ������� ���� ������ ���� ����� ���� ������ ������ ��� �����

����� �Kikuchi�Bendsoe and� ������ �������� ������������� ����� ������������

Page 25: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#��

�������

������ ��������� ��� ��� �����������������!� ��������������������������� ��

����� ���� ������� ��� ���� ������ ������ ���������� ������� �������� ����� ����

���������������� �������� ����� ����������� Rodrigues�����Bendsoe��

��Olhoff et al. (1991���1991,1992� Kikuchi �����Suzuki� ����� � Thomsem�����

�Jog et al. (1994)� ������������� ��� ��� ������� ����� ������ ����� ������ ����

Bendsoe (1995)��

#�"�$��������������!��������!�

�� ������ ������ ��� ������ ������������ ��!������1� !Relaxed2�

1�Kohn and Strang 1986; Allaire and Kohn 1993� �2� ����� ���� ������� ������� ���

�����������������������������������������������������������������������������

����� ����� �� ������ ����� ������ ������ ���� ���� ������� ���� �� �������� �����

���������������������!��Olhoff et al. (1998)������������������������������������

������� ��� ������� ��� �� ��� �������� ���� ������ ����� ������� ��� ������� ����� ��

������ ��� ���� ����� ������ ����������� ���� ������� ����� ����� ��� ���� ����

�� ������ ��� ������� ����� ����� ������ ���� ����� ���� ������ �������� �����

����� ������ ���� ������ �� ��� ������� ����� ���� ������ ����� ���� ������������

����� �� ���� ��� ���� ������ ���� ������ ����� ���� ������ ����� ���� ����� ������

���� �� ���-��a,b��� Lurie et al.���a,b��� Murat and Tartar � ���� Kohn ����

��(2000�Cherkaev����� ����� ���� ������� ������ ������ ������ ������ ���� ������

��� �������������������������������������������������������� ���1Pedersen 1989��2

��������� ���� �� ��� �������� ������ ������ ������� ����� ������ ����� ����

��������������������������� �����������������������������������������!��

Bendsoe and Kikuchi (1988)� �� ���� ������ ������� ������� ������� �� ����� ����!��

Page 26: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$��

�������

�� ������� ���!������� !��������� ������ ����� �������� ��������

�(Susuki and Kikuchi 1991; Diaz and Bendsoe 1992)� �� ����� ��� ����� ���� ����

��������� ������� ������ ������ ��� ��������� ����������� ������ ��������� �� �����

��� ����� ���� �������� ���� ���� ����� ��� ������� ������ � ���� � ���� ������ ���

��������������������������������������������

���� ������ ������ ���� ������ ������� ����� ������ ������� ��� ������ ���� ��� ���

�������� ������ ����� ������ ������ ������ ��� ����� ��� ��� ����� ���� ��������

������������������������������ ���

��� ������ ������������ ��� ���� ����� ����� ������� ���� ������� ���� ���

������� ��� �������� ����!� �1, 1982���� Cheng and Olhoff� ������ ������� ������

���� ���� ����� ����� �������� ��������������� �������������������������

������������ ���� �������� �������� ������ ���� ������ ����� ������ ��� ���� ������

������������������������� �������������������� ���������������������

#�"�%�������������������

���������������������������������������� ��������� ���������������������

� ��������� ������������� ������ ���� ���� ������ ������� ���1Bendsoe and Kikuchi 1988��2

����� ���� ����������������� � ���!�� ����������� ���������������� ������������ ��

���� ���������������������������������������� �������������������� ��������

�� ������� ������ � ���� ���Rank2� ���� ����� ���������;Allaire and Kohn 1993)

Gibiansky and Cherkaev 1984; Vigdergauz 1986� 2�-�Rank3������ �� ����� �����

(Olhoff et al. 1998)� ��������������������������������������������������������

��� ����� �������� �������� �� ���� ������ ����������� �������� �������� ���

Hashin Shtrikman�(Hashin and Shtrikman 1963) � ������ �������� ���� ������ ����

� ������ ��� ���� ���� ����� ����� ��� ����SIMP-;Rozvany and Zhou 1991)

Page 27: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%��

�������

�Bendsoe 1989� 2������� ������� ������������ � ���� ������� ����� ������ ��� ������

SIMP���������� ������ ������ ��� �� ���� ��������� ����� �������� �� ����� �����

�����������������������������������������1penalty2����������!���������$���!��

���� ������� ����� ��� ������ ������� ������ ��� ������� ����� ��� ������� ������ ����

� ����"� ���)� ��� ���� ��� ����� ���������� ��� ����� �������!�

1�Bendsoe and Sigmund (1999���� ������� ����� ������ ���� ��� ����� ��������

������ ����� ������� ���� �� ����� �������� ����� ������ ������� ����� ����� �����

Hashin Shtrikman�����������������������$���

������� ������ ������� ������� ����� ��� �������� ����� ������ � �������� �����

�� ������Hassani and Hinton (1998) ����Rozvany (2001)� ��������� ����� �����

����������������������������������������������������� �����������������

������� �� ���� ����������� �������������� ������� ���������� ��������������

������ ��� ���!������ Aboudi�� ������ �� ������� ����� ������!��

�Fuchs et al. (1999)����Moses (1997)� ������� ������� ��� ���������������� ��������

��������������������������������� Hashin���

#�"�&����������������

������ ��� ������ � ��� ������ ������� ����� �� ���������� ��������� �������� ���

�������������� ������ ������� ��� ������ ������������������ ������������ ��������

1����� ������������������������2����������������������������������������������

������ ������� ������� �� ����� ������ ���� ������ ������ ����� ���� ����� ����

� ����� ������ ��� ������1����� ���� -Allaire 1997� �2������� ������� ���� ���� ������

��������������������� �Cheng and Olhoff�������������������� ���������������

���� ����� ��� ������� ����� ����� ��� ������ � ���� ������ ������ ��������

Page 28: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"&��

�������

��� �Sigmund and Petersson�������� ������� �������� �������� ������ ���

������ � ��� ���� ���� ����� ������� ����� ��������� ������ �1checker-boarding2�

������ ������� ����� �� ������ ��� �����#������� ����� ������ ����� ���� ���

������ ������ ��� ������ �� ������ �������perimeter constraint�;Petersson 1999)�

Haber et al. 1996; Fernandes et al. 19992���������������!������ Sigmund�������

���� ������� ���� ������ ����� ������� ������ ��� ������ ������ ����� ����������� ����

�� ������������ �������� ���������������������������������������������

������������������������������ ����

#�"�'��� ������������� ���

����� � ��� ���� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ������� ����� ����� ������� �����

��������� ������ ����� ����� ���� ������ ����� ���� ���� �� ����� ��� � ������ ������

������ �� ���� ���� ���� ������ ���!������ !����� ��� ������ � ���� ������ �������

������!�������������������������� �������������������������������� ����

������ �� ����������� ������ �����!����������� ���!FSD1�Fully Stressed Design��2

��� � ��� ��� ������ ����� ���� �� ���� ����� ��� ������ ���� �������� ��������� ����

�������� ��������������� ���� ���������������������������������������������

������ � ��� ����� ����� ��� ������ ����� �� ��� � ��� ����� ��� ������� ����� ���

����������Hinton and Sienz (1995)��Fuchs and Moses (1997)�����Fuchs et al. (1999)��

�������������� ���������������!����������1�!Hard Kill�2�������������������

Van Keulen and Hinton (1996)���������������������������� ���������������-

Mattheck and Burkhardt (1990)� 1�Tanaka et al. (1995���� (1997)�Xie and Steven��

�� �� ��� � ���� � ���� ������ ������������ ������ ����� ������ �������� ��������

���� ����� ����� �� ��� ������� ��������� ���� ��� ������� ������ ����������

��� ������ ���� ������� ������������� �������������!����� �������������������

Page 29: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"'��

�������

������ ������ ��� ������ ���� ����� ������ ���� ������ ������ ����� ����������

��������������������� �������� �������������������������������������� ����

�����(Beaupre et al. 1990; Lanyon 1987)� �����������Beaupre �����������������

��� ����� ����� ����� ���� � ���� ���� ����� ������� ����� ����� ����� ���� ��

������� ������������

#�"�*������������� ���

���������� �������� �������������������� ��������� ��������������!�������

����� ������ ������ ����� ���� ��������� ������ ��� ������ � ������� ���� ������ ����

� ������� �������1� ��� ����� ����� 2������ ����� �������� ������ ������ ��������

����������� ������ ������� ����������� � ���� ������� ���������� ���� ���� � ��

� �����(Sigmund 1997)� ������ ������� ���� ��� ����CONLIN1�Fleury 1989�2

�� ����� � � ������� ����(Method of Moving Asymptotes) MMA��� �����!��

Svanberg (1987)� ��� ����MMA��� ������� ������������ ���� ��� ������ ��

������ � �� ������ ����Sigmund����(Sigmund 2001b)�� ���������� �������� �����

������������������������������������������������������Bulman et al. (2000)���

#�"�(�������������������������� �������� ����

����� ���� ����� �������� ��������� �� ������� ������ ������ ���� �������

������� �������� ��� ������ � ������� �� ������ ������ ������������� ����� ���� ����

���� �� ������ ��� � ����� ������� ���� ������ ����� �� ���� ��������� �����

������ ����� �� ��� ��� ����� ��� ������� ����� ����� ����� ��� ���������� ������ ���

��� ���� ������ �������� ������� ������ ����� ���� �������� ��������� ����� ���� �����

�� ������� ���(Micro-Electro Mechanical System) MEMS� ������ ������� �

�������� ���� ������� �������� ���� �����������:�Anathasuresh and Kota (1995)��

Page 30: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"*��

�������

Frecker et al. (1997)����Sigmund (1997)� ���������� ���� �������� ��� ���� ����

� ����� ����������� ����� ������ ���� ���� �������� ��������� ������ ����� ��� ������ �

��������� ������ � ���� ���� ����� �� Larsen et al. (1997)� �Sigmund (2000)����

(1999)�Sigmund and Torquato� �� ����� ��������������������������������� ���� ��

���� �������������������� ����������������������������� ������������� � ������

������ ������� ����� ��� ������ ���� � ���� ����� ���� �� �� ���� ���� � ��� ����

������ ������ ��� ������� �������� ����� ���� ���!�������� ��� �������� ��������

� ���� ���Sigmund 2000b, 2000c)� 2����� �������� ��� ���� �����Moulton and

Ananthasuresh 2001)��2�

�$�� ��� ������

���� ����� ����� ������� ����� �������� ��� ���� ����� ������� ����� ��� ��������

�������� ������ �������� ������� �� ����� ��� �����Prager1������ ���-�

���Rozvany and Prager � �2����Prager ����������������������� ��������������

���� ������� ����������� �������� ��� �������� �������� ��� ������ ���� ������

����������������������������������������������������������� �����������������

�����#�������� ������������#������������������������������������P1����������$2

�����������������Prager1������� ����-Rozvany et al. 1982�2�

Page 31: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"(��

�������

�����$-������#����������������������������� ���Prager��������������������������

�������

���� ������� ������ ���� ����� ������ ����� �������� �������

�Fuchs and Moses 1999, 2000)2� �� ������� ���� ������ �� ������ � ���� �� �����

� ������ ������ �� ����� ���� ������� �����1;Chen and Kikuchi 2000�

Hammer and Olhoff 1999,2000�2�

�$��� ������������� � ��� ���

������ ������� ������ ����� ���������������� ��� �������� �� �� �� ������� �����

������� ������� ������ ����� �� ��� ������ ����Li and Benaroya (1992)������������

��������������������� ����������������������������������������������������

Bloch��������� ������� ���� ��� �������� ������������� ������� ������� ����� �����

����������������������� ����� ���� ���������� ��Bloch� �������������������

� ����� ���� ������ ��1������ ���� �Brillouin 19532� ������� ������ ������� ������

���� ��������������� �� ������ � �Langley� ���������� �Langley et al.� ������

������ ��1grillage� 2��� ��������������� ����� ������ ����� ������� ����� ������� ���

���� ������������ ������� �� ��� �������� ������Bloch������ ����� ���� ������

���������������������������������� Allaire et al. ��������������������

� ��Bloch���� ����� ��� �������������� ����� ���������������������� ���� �����

��������������� ����� �������������� ���� ��� �.Conca et al.� ���Bloch�������

p

45°

Page 32: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"+��

�������

� ���DFT�� �������� ������ �������� � ��� ������ �����������������

������������ �����������������������������������������������������

����������������������������DFT��������������������������������� ���� ������

��������� ����� ���1"+(#2Eatwell and Willis �������� ������ ��� ������� ���������

� ����� ������� ���� ��������� ���Slepyan (1974,1988)� �������� �������� �����

� ���� ���� � ��� ������� ��� ������ ������� ������ ���1���� 2Baklanov�������

��������������������������������������

������ ��� � ��� �������� ������������������������ ����� ����� ������ �����

� �������� �������1Renton 1964a� 2����� ������� �� ������ ����� ������ ��� �

� ���� ���� ������ ���� �����Clapeyron1����� -Gutkowski 1974� �2������� ����� �

�� ���� ����� ����� ��������� �������� ��������� �������� ����� ��� �� ���

������ �� ������ ����� ����� ��� ����� ������ ������ ��� � ��������� ������ ����

������������ �� ������� ��� ������ �� ���� ����� ��� ������ ��� �������� ��� ����

����� ��� ���� ����� ����������� ������������ �������� �������� ��� ����� ���

�!� �11964b� 2Renton� ������� ��� ����� � ���� ��� ������� ������ ������ ������ ���

������������� ������������������������������������� ���1���2�Gutkowski��

������ ��� ������� �� ����� ��� ���������� �� ������ �������� ������

1�Wah and Calcote 1970�Dean 1976;��2�

������� ��� ��� ������ ��� ���� ������ ������� ����� ���� ���� �������� ���

��� ���������������������������������� �������������������������������

������ ��� ������� ���� ����� ������� ������ ������� ����� ������� ������������

1�Bossavit 1986; Dinkevich 1990� 2�� �����1����� 2Burishkin��� ����� �� ����

����� ������ ������� � ���� ��� ������ ������� ������ ���� ������� ����������

� ���� ���1Kangwai et al. 1999� �2����� ����� ������ ���� ����� ���� ����������� ����

���� ������������ ��������������� ����������������DFT� ���������������

Page 33: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#)��

�������

������ ������ � ���� ������ � ���� ������� ��� ��� ��DFT����� ����� ����

������� ��� ��� ���DFT���������� ������ ����� ������� ������ ����� ���

������� ���������� ������� ����� ��� ������ ������� �������������� ��� ����� ������

�1Samartin 1988�(Karpov et al. 2002;���

����� ���� ����� ��������������� ���������������������������������������

������� ����� ���� ������� ���������� � ��� ���� ������ ����� ���

1�Noor et al. 1978; Noor and Andersen 1979� �2����� ������ ���� ������� ������

���������������������������������������������������������(Renton 1970,1996)��

� ��� �������� �������� ������ ������ ������ ��� ����� �� ������ ��� ���� ���

������� ����� �� ���� ������ ������� �Bolotin and Partsevskii������ �� ��������

�������� �������� ������ ������ ������ ������� � ���� �������� ���� ����� �������

���������������������

#�$�"���������� ����� ���������

�������� ������ ��� � �� ������� ��� ������ �� �� ��� ����� �������� ���DFT�

1�Bolotin 1980� 2����� �� ��� ��������� ������ �� ������ �� ��� ��������� ������

������ ��������� ������ ������ ����� ������ ������ ���� �������� ����� ��� ����

� ������� ������ �������� ������� ������ � ���1Budiansky and Wu 1961� �2���

��� ��������������� ��������������������� ����������� ��������������� ����������

� ��������� ������� ��1Mead et al. 1988; Langley et al. 19972� ���� ��� ���� � ����

������� ����������������

� ������ ��� ���� ������ ����� ���1Nuller and Ryvkin 1980� �2�������� ����

���� �������������� ����� �����DFT���������� ���������������������� ��������

��������������������������������������������� �� ����������������� ���DFT��

Page 34: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#"��

�������

� ������ ����� ���� ����� ��� ����� ��������� ����� �� ��� ���������������� ��� ��

�������� ���� ���� ������ �� ����� ��������� � � ������� ���� ������ ����������

����������� ��������������������������� ���� ������ ������������������� ���

� ��� ������� ��� ������ ������� ��������1Ryvkin and Nuller 1997� �2������� �� ���

������ ������ ��� ������� ��� ���� ������1�� 2Ryvkin et al.��������� ���� �

����� ���������������������������������������������

�$�� ������� � ��� ��� ���������� �������������

���������������� � ����������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������� ���������������

������ ���� ����� ������ ��� ���� ����� ������ ������

Sigmund 1994; Neves et al. 1998; Bendsoe and Sigmund 1999)� �2�������� ����

������� ������ ��� ����� �� ���� ���� ������������ �������� ���� ���� ������ ���

������������� ������������������������������� ����� ������������������������

�������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������

�������� �� ������ ������ ��� �������� ������� ���� ������� ������

����Moses et al. 2� ������� ��������������� ������������������������������� �����

���������������������������������������������������������������������������

����� ���� ����� ���� ��� ������� ������ ��� ���� ����� ��� ������ ������

��� ���������� ������ �� ��������� ���������� ����� ��� ��� ������

��� �Ryvkin et al.� ������ ��� ������ ��� ������� ��DFT����� ���� ��� �����

� ���������������������������������������������� ���������� �������������������

������DFT��� �������������� ��������������

Page 35: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������##��

�������

���������������� �������� ���� �

����������

������� ��� ������ � ���� ������� � ���� ��� ��������� ��������� �� ������ ��� ����

�������� ����� ����� �� ������������ ��(Bendsoe and Kikuchi 1988)� ������

��� ������� ����� ���� ��������� �� ������ � ���� �������� ������ ������ ����� ��

���������������������������

�$�������

������ ������ ������ ���� ����� ������� ���� ����� ������� �� ����� ����

������ ����� �� ���� ������ ���� ����� ������ �����1������� ������ ���� �����

������� 2�����������������������������t�������t�� �� �������b� ����������������

�����u��1� ���� ����%� �2������� ����� ����� ���� ������� �� ������ ����� ����

���� ����� ��� ���� ����� ������� ����� ��� ���� ����� ������� ���������� �� ������

������ �� ������ ��� ������ �������� ��������������� ����� ���� ���� ������ �������

������������������������������������� ��� ������������������������������

Page 36: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#$��

�������

� ����%� -������� �� ������ ������ ��� ����� �� ��� ���������� ��� ������ ������ ����

��������������������������������������

���

�$������������������SIMP�

������������������ ������������ ������������� �� ���� ����������������� ������

������� ���� ������ � ������� ���� ��� ������ ���!�� ���� ������������ ����� ���� ����

���� ������ ������� ������� ����� ���� ��� ������� �� ������ ������������ �������

0 1�� �� �������� �������� ����� ���� ���� ������Rozvany (2001)� ����� �����

���� ������� ����� ������ ������� ������ �� ���� ������ � ������� ���������� ��

��� ��������������� �� ��������������� ��-������������ ������ ����������������

��� ������ ��� ����SIMP�(Bendsoe, 1989)��� ����� � ���� ���� ����� ������� ����� ����

�������������������������������� �����������������������

��� ����������E ����������������������-�

Page 37: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#%��

�������

10EE ��������1"2�

�����0E���������������� ��������������������1 ������������������ ��������!��

������������$� ��!��������������������������� ����������������������������������

� ����� ����� ������ ��"� ���)������ ���� ��� ����� ������� ������ ��� ����� �����

����������������������������������������������������������

1

2 4max ,

1 1

� �� �� � �� �� �

�����1#2�

� ��������� ��� ������� ����� ����� ���������� ���� ����� ������� ����� ���

�Hashin Shtrikman�� ��������1 3 �� ���� �� ����-�Bendsoe and Sigmund (1999)�

���� ������������������������� ��������������������������������SIMP�1#2���

�$�������������������� ���Bendsoe & Kikuchi�

��� � ������� ���� ��� ���������� ������ �� ������� ���� ������������ ����� ���

������������������������������������������-�

0min ( ) ( ) t

u b d u t dS d V�

� � � �� � �

� �� �� � � �� �

� �� � ���1$2�

� ����00 1�� ��� ������ ��� �������� ������� ������� ������V������ ���� ���� ����

���� �� ������������ ������ ����� ���������������������������������������1�����

������������2���� 1$2��������������������������-�

Page 38: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#&��

�������

! " 0u�Max Min j j

j

u Ku p u V V� �� �

# #� �� �� �

$����1%2�

� ��u������ ����� �� ���� ����� �p��������� �������� �� ���� ����� �K���� �� ����

������ ������ �j�� ������ ������ ������ ����j� �jV� ����� ����1� ����� � ������ �����2

� ��������j���������j���������� �������������������������� �������������1transpose�2

������ �������������������������������� ��������������������Bendsoe (1995)��

���� ����� ������ ��� ������������� ���� ������� ���� ����� ������� �������

�������������������������������������

�����������������Lagrangian�-�

! " ! " 0, , j jj

L u u Ku p u V V� % % � �� �

# #� � � �� �� �$���1&2�

����( )j jjK K �� $� ���jK�� ������� ��� �� ���� ����� �j ������� ������

������ ���� ����� ����Lagrange�� ��� ���� ����� ������ ����� ����L��� ����� ���

������ �������������������������L�����j�� ��������u ���������������� �����

������������-�

��0jj

j

Ku u V%

&# � �&

������1'2

��0 0j jj

V V� �� �$������1*2

��- 0Ku p �������1(2

Page 39: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#'��

�������

� ������1'2���1*2��� � ���� � ���� ������ �� ������������������� ���������

��������1(2����������������������� ��������������� � ��� ��� �����������

������� �� ����� ������� �� ������1'2������� ������ ����� ���� �� �����

�������-�

���

' /

1

jj

j

Ku u V

%

� �&� �� �&� ��������1+2�

�� ����������� ����� ��� ������� ����� ����� ����� ���������� �������

K jj

ju u V�

&� �#� �&� �������� �� ��� ������� ���� �� �������� ����1+2� ��j�1��������� ���

����� �������� ����� ����2����� �����������������-�

( )

( 1)

' /

k

jj

jkj j

Ku u V

�� �

%�

' (� �&) *� �� �&) *� �� ) *) *) *+ ,

����1")2�

���k ���� �����������������

�������������������� ���������������������������������������������FSD���

� 1 j

������1""2�

Page 40: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#*��

�������

���j� ������������������������j 1�������� �������������������Von Misses2���

��� ����� ������ ����� ���� ���� ������ ������� ����������� ������� ������� �����

� ����� ����dU����� -/ 6dU G �� �� ����G������ ��� ������ ������ ����� �������� ��

������� ���� �jj

j

Ku u V�

&� �#� �&� �����j� ����� ����������� ������������������ ��

����� �� ������� ��� ������� ���� ����� ����1""2��� ��� �� ������� ���� ������� �����

��� ���������������� � ���FSD�-�

)(

)1(

kj

jk

j ���

����

���

�������1"#2�

���������j������������������������1+2 ����1""2 ������ ������������������������

� ��� ��� � ���� ������ �� ������ ����� ���j�� �� ������� �� ������ ���0�j���

������ ������������������������������������1+2����1""2�������������� ��� ����

j������������������������ ��������

���� � ���� �������� ����� ������ ��� ����� ���� ��� ��� ����� ������� ������� ����

������������������������ ������� ����FSD� �������� �����������������1+2���

���������������1*2��������-�

0

1' j

j j jj jj

KV u u V� � �

% �

&� �

&$ $����1"$2�

����������������1*2����������������������������-�

Page 41: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#(��

�������

0

' jjj

j

Ku u

V

��

%�

&

&�

$�����1"%2�

� ���� ����1"%2� ���� �����������1")2���������������� � ���������������

�������������-�

( )

( 1)

'

'

kj

jjk

j ojj

jjj

Ku u

VKV

u u

��

� ��

&� �� �&� ��� �&� �&� �$

����1"&2�

��� ���������� ������ ���FSD�������������������� ������������ �����������

����� ����� ����� ��� ����� ������ ����� �� ������ ����� ���"� ����� ������� ��� �����

Fuchs et al. (1999) ��-�

���- .max jj ������1"'2�

��������������������� ��� �����������������������)����"���

������� ������ ����� ��� ������ �������� ����� ����� �������� ��� �������� ����� �

�� �������������

! "- .l

0u1 1

max min ' ' ln

l l l l j jl j

w u Ku p u V V�

� �� �

� �� �� �

� �$ $��1"*2�

Page 42: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������#+��

�������

���lw������������������������l� �lu�������������������������l���ln����������

������ ������ ����� �� �� ���FSD������ ���������� ������ ������� ������ ������

���������������

- .maxj jlj ������1"(2�

�����jl� ����������������������j����������������l��

���� ����� ����� ���� ����� �� ����� ���� ������� ������ ��������10 �� j�� �������� ��

������������ ���1"&2��������������-�

���0 j� /����j 0� ������1"+2�

���1 j� 0����j 1� ��

� ��� ������������ ������������ ������ �������� ���� ����%�������� ���� ������ ���

� �����������1+2���������������������������������1"$2����������������������

1"+2�����������������������������!�����������!����������1������ ����-Sigmund

2001a��2�� �����FSD�����������������������������)�"� �� ������������

�������������������������� � ����� �������� �������������������� ����

� �� ���� ����� ����� ���� ���FSD��������� ������ ��� ���� ���� ������� ������ ��

������ �� ����� � ���� ��������� ����� ��� ������� �� ��� ������ ���� � ����

� ����� ���� ���1���� �� ���� -(Diaz and Sigmund, 1995� �������� �������� ���

���������������� ����� ���������� �������� ���� ����� ��������� ������������

����������������� �������

Page 43: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$)��

�������

��������������������� � ���

�$�������

�������� �� ���������������� ���!�����! 1relaxation� 2�� ������ �� �����������!��

����� ���������� ��� ������� ������� ��� ������ ����� �������������������������� �����

������ ���� ��� ������� ������� ��� ������ ���� ����� ������� ����� ������ �����

��� ����� ������ ��� ������������� ����� ����� ������ ������� ���� ��� ������� �����

������ ������� ����� �� ������ ��� ���� ����� ������� �� ����� ����������� �

��������������� ������

������� �� ����� � ���� ������ ������� �� ���� ����� ��� ���� ����� �� ����� ���

����������������������������������������������������������&�������������

������ ������� ����� ������ ��� ����� ���� ����&��� ������� ������ ����� ������� ��

�������� ������ ����� ��� ������ ������ ���� ���� �� ��������� ������ �����

������&��� ��������� ����������� �������������������������������������� ���� ��

��� ������ ��� ��� ������� ����� ���� ����� ��� ������ ����� �� ������� ��� ����� ������ �����

���� ���� ���� �� ��� �������� ��������� � ����� ������ ����� ������� �

� ����� ���� ������ �� �������� �����1������ ������� ���� �� �� 2�������� �����

�� ������������ �����������������������º%&������������������&����

������� ��� ������ �������� �������� ������������� �������� �������� �� ����� ��

����� ������ ����� ������ ������ ������ ������ �������� �������� �� ������ ���

��������������

���� � ���� ������������������� -����� ��� ������������������������������������

���������� �� ������������������������������������� ������������������������

����� ����� ������ ������� ����� ����� �� ������� �� ������ ��� �� ������ ������

Page 44: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$"��

�������

��� ������� �� ����� ������ ������ �� ���� �������� ������ ���1���� �� ����-

Hammer and Olhoff 1999,20002�����

���������

�����&�- ����������� ����������������� ������������������������-������������

������ ����� ������ ������ ����� ������ ����� ����� ���� ������������� ���� �����

�����������������������������������������

�$�� ��� �������������� ������ ��������

������ ����� ����� ������� ����� ������������ ������ ����� �� ����� ���� ������

��������������������������������������������������������������1����

� ����'� �2������ ����� ���� ����� -� ���������� ������� -�������� ����� ������� ������

������� ����� ������ ��� ����� ���� ������� ����j ���� ����� ����� ����� ���� ����

� �������j� ����� ����� �� ���������� ����3.0������� ��� ���� ������ ��� ���� �������

�������1"2��� 0E�����������������������������������5.11 � ��

Page 45: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$#��

�������

� ����'� -�� ��� ����� ������ ����� ����� ������� ����� ��� ��� ��� ������������

��������������������������������������

�� ������ ��� ��� �� ���� ������� ������ ������ ������ �����1 Kj j �� ���K j�����

� ������ ��� ������ ������ ��� �����0E� ���� ���� �� ������� ���� �� ��K j�& &�

� �������1 11 Kj j

� ����������1"&2�������-�

Page 46: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$$��

�������

(20) 1

1

( )1

( 1)1

ˆ'ˆ'

k

j jkj o

j j jj

u K uVV u K u

�� �

��

� �� ��� �� �$

� ���� ���� ������(20)� ������ ��� ����� ���� ��� ����2.00 ��� �1�jV���

11524824 �1�V������� �� ������ ����� ����� ��� ��� ���� ������ ����� ������

� �������Ansys 5.0������ �� �������PLANE42� ��������� ���� ��������������� ����%�

������ ����1����� �� ���:�Swanson Analysis Systems Inc. 1992� �2����� ���

��� ����� ���� ��� �� ����� ���������Ansys � �� ����� ������� �����������

�������������������*� ����������������������� ��������������������� ���������

����� ���������������������� ��� ��� ������� ��������� ������������ ����� ������

���� ��������� �������� �� ������ �������� ���� �������� ������ � ����� �� ��

���� ����� ����� � ����������� ����������� ������ ���� �������������� ���������

���������������������������������������������������������������������

������ �������� ����� ����� ��� ����� ��� ������ ������� �������� ��� � ���� ���� ��

������ ������ ��� ������ ���� ��� �������� ���� �������� �� ����� ���������� �����

� ���� ������ �������� �������� ������� �����!��� �� !�������� ������ ��� �����

��� ������ ������� ���������� ��� ��������� ��������������������������� ������

��������������� ������������������������4�

Page 47: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$%��

�������

� ����*� -�� ����������� ���� ���������������������������������������������

������������ ��� ������������������� ������������������������������� ��������

� �� ������ �������� �� ������� ������ �����"� ���)������� �������� ������ ��� ����

1�����2�������������1�����2�������������

����������� �� ������������������������������������������ ����������������'����

���� ������ ��������� �������� ��� ����� ����������� ��� ������� �������� ��

���� ��� ������������������ ������� ���������� ���� ��������� ����� ��� ��������

��� ��!������� ������ ������ ������ ��� ����� ����� ���� ��� ������� ��� ���� ��� �

������� ��� ���� ������ ����� ������� �������� ����� ����� �������� ������� ������

��������������������������������

Page 48: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$&��

�������

�$�� ��� ������ ����������� � ���

��� ��������������������������������������������������������������� ���

����� ����� ��� ������� ���� �� ����� ������ ������� �� ����� ��� ���� ���� ��������

���� ������ ����1�!�� 2����� ��������������� ������ �������� ����� ����

�������'��� ���������������������������������������������������������������

� ���� ����� ������� ������ ����� ���� ����� �� ���� ���������� ���� �� ����

����������

�� ����� ���� ����� ������ ����� ����'�� ������ ������� �������� �������� �������� ��

� ������Ii 2� �� ������ ���� ��� ������� �����i� ������� �����ip��� ����������� ������M�

�������������������������������

(21) 0, im im M

p p i I2

� � 2$

�������M��������������!���������������������imp��������������������������ip�

��!��m� �� ��������������������'�� �� ������11�I�������������������������������

� ���� ������7�M������ �������� ����� �������� �� ����� ���� ���� � �

������ ��� ���� ����� ������ �� ���� ����� ��� ����� ���� ����� ������������� ����

��������1%2�������-�

(22) j 0j

( ' - ' ) | ; 0, im

j im iP u

m M

Max Max Min u Ku p u V V p p i I�

� �2

� �� � � 2� �

� �$ $

����������Lagrangian�

Page 49: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$'��

�������

(23) ( , , , , ) ( ' - ' ) ( ) ( )im i j j o i im ii I m M

L u p u Ku p u V V p p� % � % � � �2 2

� � � � �$ $

� ��� ������ �����),,,,( iimpuL �%� ������� ����� �� �������� �� ������ ����� ��

�� �,�� �� ������-�

(24) 0 im iu i I�� � 3 2 �

� �����������(21)� �� ���imu� ������������������imp� ������������������� ���

� �������(24)� �� ����� ����� ��� ������ ���(21)� ��� ������� ����� ������ ������ip�

������������������������������������������������������������������������������

����� ��� ������ ���� ����� �������� ������� ������� �� ����� ��� ������ ������ ���

�������������������������������������������������������������

����� ����� ������� ����� ����� ������� ������� ����� ���� ���� ������ ������ ��� �����

� �������� ������� �������1(2� ���������� �� ������� ������������� ����� ��� ���

(24)� �� ���� ���������� ����� ����(24)��������������� � ���������������������

����� ������ ������� ������ �������� �� ������ ������ �������� ������ ������ ������

� ��� ����� ��� ����� ���� ������ �� �������� ����� ����� �������� ������ ���FSD�

1"#2 ���������

�$��������� ����������

��������� ���� ����� ������ ������������� ������������������������� ����

������� ����� ������ ��� ����� ���� ������ �� �� ���� ����1� ���� ����(� 2������ ���

��������������1"+(#�2Rozvany et al.���������������������������������������

Page 50: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$*��

�������

����� ������������� ������� ���� � �������� ��� ������� ��� ��� ������ ������ ����

� ���� ��� ���� �� �� ��� ������� ������ ��� ������ �������� ������ �� �� ���� ��

���� ���� ���� �������� ������ ��� ������� ��� ������ ������� ������ ������� ����

� ������+��� ���� ������ ��� ������ �������� ����� ������ ������ ����� �����

� �����������º%&� ������ ������ ���� �� ������������ ����� ����� �����º%&� ������� ��

������+��� ������ ������� ���������������������� ��������� �������������

� ����� �� ������ ������ ��� ��������� ���� �� �� ��� �����"� �")���#)���� ���� �����

���� ���� ���������������������������º%&� ���������������

�����(�-���������������������������������������������� ������������������

��������������������������������������������������������� ���)24(���������

Page 51: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$(��

�������

� ����+� -�������� ������� ����������� ������������ ������������������������ �

������� ����� ��� ����� ����������� ��� ��������� ���� �� �� ����� �� ������ ��

������ ���"��")���#)���� �����������������������������������

��� ��� ����� ������ ��������������� ���� ������������ ��� ����� �������������� ���

����� ������� ������� ��� ������� ���������������� ������ ��� �� ������ �����

1� ����'��� �2�� ���� ���������")����������� ����� ���������������1������� ���� 2���

)�#&��)�%)����"�))������������0�������������)�#��)�"���)�"���������� ��������������

�������������� ���������1"2�������������3.0�����������������������������������

Page 52: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������$+��

�������

(25)

2

'

'

jj

jj o

jjjj

j

Ku u

VKV

u u

��

� ��

&� �� �&� �4� �&� �&� �$

� ����1"&2��������� ������� ������� � ���� ��������20.8 1.2 � �� ��� ���� ����� �����

������2 ����������������������������

��������������������")� ��������������� ����� ���������������� ���������������

������ ����� ����� �������� ���� ���� ������ ������ ����� ����� ����� ��� ������� �����

�����������������������������������������������1�����������������������2

� ��� ������ ����� ��!�����1� !� ����� ����� ������ �2����� ������� ������ ��� �����

����������������������������������������������������������������������������

������� ������ ��� ����� ������ ��� ������� ����� ����� ������ ���� ������������

��������������������������������������������������������������������������

���� ������ ���� ���� ������ ������ ������������ �������� ������� ���� �����

� ����� ���� ����� ���� Prager����45º� ���� ������ ��� ��� ��� ����� �� ����� ���

������������������������������������������ ���Rozvany et al. (1982)��

� �������� ������� ��� ������� �����1����� ������ 2� ��� ����� ������� ���� ���� ������

������� �������� ���� ����� ��� ������ ��������� ����� ����� ��� ����� ������ ������

������������ �������������� ���� ������ ������ ������� �������� �������

� ���� ��� �������� ������ ����� ���� ����479.0/ �bh� ������� �� � ����� ����� ���

�� ��� ����� �������� ����������������������������������������������

����� ���� ������ ������ ���� ��������� ���� �� �� ��� ������ �������� ����� ���� ����

� ������ ����bh /� �������� ����� ���� ������ ��������� ������� ���� ��� ������ ���

� ���� ����� ����! " 433.04/3/ min ��bh� ��� ����� ���� ���� ��� ����� ���� ����")��

Page 53: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%)��

�������

���� ��� ����� ������� �� ����Prager� ����� �����4/3���� ��� ����� ����� ����� ����

Prager����� �����������!��Rozvany and Wang (1983)���

� ����")� -� ������ ������ ���� ������� 1������ 2�� ����� ����� ���1������ 2�����

��������������������������������������������������������������-)�#&��)�%)���

"�))� �������� ����������� �)�'&�� ��������������������������������)�$&�����������

��������������

��

Page 54: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%"��

�������

��������� ������ ����� ��� ����� ����� ������ �� ������ ����� �������� ������ �����

������ ��������� ��������� ������ ��� ���� ��� ������� ����*� ��������� ��� ������ ���

������� ������ ���� ��� ������ ����� �� �� ����� ������ ������1���� 2��� ��

�������� ����� ������� �������� �������� �������� �� ������ ������ �������� ������

����� ���� ������� ����� ������ ����� ��������� ���� ������ �� ����� �����

���������������������������������������������������� ��������������������

����� ���������������������������������������������������������������������

��������������� ��������������������������������������������������������

���� ����� ������� �������� ���� ������� ������ ��� �� ��� ����� ������ ����)�&)'�

�� ��������"�)+���"�)%��� ������ ������� ��������� ����*� ������� ������ �������

����� ������� ������ ��������� ���� ������ ������� ������ ���������� ������ �������

����������������������������

����� �� ����� �������� ������ ��� ������ ����")� �������� ������� ����

������� �������� �������� �� ������ ������� ���� ������ ��� ������� ������� �����

����������������������������������������� �������� Sigmund 2001a)��2�

� � ����� ����1 � ������� ������1"2���2 ���� (25)�� ������ ������� ����""� ������ �����

������� ������ ����� ��� ������� ����� ������ ������ ������� � ������� �������

�� �� ���� ������ ����""������� �� ������ ���� ������ �������� ������ ������ �������

� ����� �����"� �$� �+���"#���� ���� ��� ������ ��� ��� ��� ������� �������� ����

�������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������

������� �������� ������1 ��

(26) 1)(

1)1(

1 ���� kk

Page 55: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%#��

�������

� ��5.0)0(1 � ���075.01 �� � �� ����� ����� ����� � ����8.02 � ���� ������ ������

� ��� ����1 �� ����� ���� ��� �������2 � ��� ����� �����1 �� ����� ��� ������ ������1 3 ���

����� ����� ������ ����� ������1#2� ������ ������ �1 3 ������ ��������� ���� ����

�����������������)�"���������������������������

� ����""� -��� �������� ���� ���� ������� ����� ����")� ��������� �������������� ������

������ �� ����� ������ ����"� �$� �+� �"#���� ���� ������� ��!����� !������ �������

��� ����� ���������������� ������� ������������������� ������� �������������� ���

1 � �� ������� �������� ���� ������� ���� ������ ������� ��1"2��������1 0.5 ������

1 2 ��

Page 56: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%$��

�������

������� ���� ����� ������� ������ ����� ������� ��� ������ ������ ���� ������

������� ���� �� ��� ������� ������ ��1 1 /� ���������� ������� �� ����� ������

��������� �������� �� ������ ������� ����� ������ ������ ������ ����� ����������

� ����1 ����� ������ ������� �� �� ������� ���� ����� ����!����� !���� ������

���� ������������ ����

��� �� ���� ����� �������� �������� ��������� ����� ������ ������� ��� �� �����

�� ����� ��� ��������� �� ������������������������� ���� ������ ���� ����

�� ����� ����� ������ ������ ������������� ���� ������%������� ������� ����������

���������������"#�������������������1.00 ����������������������x �17�x�171������

���� ���� 2����� �� ������ ���� ���� ���SOLID45� �� ����( ������ �����������

�� ����� ����"$� ������ ������ ������ ��� ������� ������������� ��� �������������

���������������������� ���������������������������� ���������������������

� ����"� �������� ���� ������� ������ ��� ���� ����� ���� ����� ���� � ��������� ���

� ��� �����%� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ���� ���������� ��� ��� ���

��������� ����� ������ ���������� ��� �� ������ ����� ����� ������� ����� ���

� ��� ��������'������ �������� �������������� ����� �������������� ������� ���

������� ����� �� ��� ������� ���� ��� ������ ������� ������� ������ ����� ����

������ ��������� ���!������!���� ������������������������������������� ���

����(0)1 10.075, 0.5 � � �����8.02 � ��

Page 57: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%%��

�������

� ����"#� -����� ������� ��� ����� ��������17=, l34=b=h� �����������������������

������������������������������������%�������������������

���1��2������1��2�

� ����"$� -� ������ ����� ������ ����*� �� ���� ����17x34x34�� �������� ������%�

���� ������� �������� ��������� ����� �������� ����� ������� ������� ����� �����

� ���������������������������������������1.00 ��� ������������� �����������

������"� ������� �������� ������������������������ ����� ���������� ��� ���� �����

���������� ���

Page 58: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%&��

�������

����� ������� �� ����� �� ���� ������ ����� ����� ����� ��� ������ ����

22x24x70�� ����������������������"%���������������������������������

� ����"%� -�������� ��� ����� ��� ���� ����������� ������� ������ -24 =, h70=l

22=b�� ������ ��� ���� ������%���������� ����� �������� ����� ������ �������

�������� ������� �������� �� ����� ���� ������������ ���� ���� �������� ������

�� �����������������������������

Page 59: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%'��

�������

��� ������ ������� ������ ������ �� ������ ���� ����������� ���� ���� ����

� ������ ������� ������ ������ ������ �� ���� ������1��� � ����"&���� �2��� ������

� �� ���22x30x50������� �� ������ � ������ ������ ������ ����� ������� ���� ���

�� ���� ������ ����� ����"&���� ����� ������ ������ ������ ���� ����� �������� ����

Michell��1���Michell�2�

��1��2������1��2�

� ����"&� -������ ������� ����� ����� ����� ��� ���� ����� �22=, b30=, h50=l�

�� ��������������������������������� ������������ ��������������������������

��������� �������������� ������ ���������������������������� ������������

�������������� �����b

Page 60: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%*��

�������

�$������������������������ ��� � ��

������������� ���������������������������������������������������������

��� ������������ ������� ������ � ����� ���� ������� ����� ��� �������� � ����� ���

������ ��������������� ���� �� ���������� ������ �� ����� ���������������� ������

���� ������� ����� ����� ���� ���� ������ �� �������������� ��� ���� ��� ��������

������ ��������� ��� �� ������ ������� ��� ����� �������� � ���� �� �������������

������ �������������������������������������������������������������������

�� �������������� ����� ����� ������ ���� ������ ����� ������� ������� ������������

����������������SIMP���������������������������������� ��-�

�01111 EE ���������������������1#*2�

�a

EE 0

2222 �������������������

��� �� 01122 EE �� �b

EE 0

1212 ��

� ��ijklE �������������������� ������� �� ��� � ��������������)�%����$�&����������

� ���������������������a = 8���b = 10� ��������������������������������������������

�����������������������������������������������1Pedersen 19892���

����������������������������������"'����������������1.00 ���������������

"'����������������������������������"'��������������������������������������

������� ������� ����� ����� ����� ����� ��� ������ �������� ������ ��������� ��

� ����� ����� ���� ��������� ���� ������� ������������� �� ������� ������� �����

�� ���������������������� ��� ������� �������������������������� ������� ��� ����

����� ���� ��� ������ �������������������� ���������������� �� ������� ����� �����

Page 61: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%(��

�������

���� ���� ����� ���������� ����� ������� ��������� ����������������� ��� �����

�� �������� ������ ������������ ��� � ���������� ������ �� �� ���� ��� �������������

� ���� ����������������� ������ ������ � ���� ���� �� ���� ���������� ����

���������������������������������������

����������� ���������� ������1� ����"'���2�� � ������� ���������������������

�������� �� �� ������ -���� ��� �� ������ ��� ����� ��1� ����������� 2������ ������

��������������������������������������������������������������������������

����� ������� ������� �� ���������������������� ������ ����� ������������� ����

��� �� ����� ����������������������������������������������1����������������2

��������������������������

Page 62: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������%+��

�������

��

1��2�

1��2�

� ����"'� -��������������������������������������� ����������� ��������������

���������������������������������������������������������������������� �����

������� ������� ��������������.10= 0�� ��������� ��� ����� �������� ���������������

�������������������������1������������2���������������������

Page 63: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&)��

�������

������������ ��������� � �������

�������������

�$�������

��� ������� ��������� �������� ���� ���� ��������� ������ ��� ���� ���� ��� ������ ������

��� ���� ������ ��� ������ � ������� ���� ������ ���� ������ ���� ����� ������ ����

������ ������� ����� ����� ����� ���� ��� ������� ���� ����� ���� ����� ������� ���

������ �� ������ ������ ������ ������ ��� ����� ����� ����� ��� �������� ���� ������ ��

������������� ��������� ���������������� ���������������� ����������������

������������������������������� ������������������������1DFT���2�

�������� �� ���������� ��������� ������ ����� � �� ���� ����� ������� �������

�������������������������������� ������������������ ������ ������������

������������������������������������������������������ ������ ��������� ���

���� ����� �� ��� ���������� ����� ������� ������� ���� ������ ������ ��� ������� ���

��� ������������������DFT�����������������������������������������������

���� ���������� ����������������� ����� �������������������������������

������ ��� ������ �������� �������� ������ �������� ����� ������

���������� � ������� ������ ����� ���� ������� ������ �� ������ ������ ��� ��

��� ������ ���� ����������� ����� ��������� ����� �������� ������� ����

��� ����� �� ���� ���� �������� ����������� ������ ��� ������ ������� �����

���������� ������������� ���������������

Page 64: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&"��

�������

�$���������� ����������� �� ���� ����� �����&��������

����� ������ ����� ����� ������� ������ ��� ��� ���� �� ������� ������� ����

������� ����� ��� �������� ������ ������ ����������� �������� ����� ������ ������

������ ���� ������ ��� �� �������� ������� ����� ��� ������� �� ������ ���� ����

����� ����� ������ ���� ���� ����� �������� ��� ������ �������� �����������

���������������"*��

�����"*�-�����������������������������������

� ����k��������� ����� ��� �������� ����� ��it����� ��������� ��� ��� �� ����

� ����i� ���� ����� ����� ���� ��������� ��������� ������������� ��������� ��

� ����� �� ��� �����1Nuller and Ryvkin 1980; Ryvkin and Nuller 1997� �2���� �

�� ����������� � ��� ���� ����� ��� ������� �������� ������ ������ �� ����� ���

��� ����� ��� ��������� �� ���� �5�� � ������� ����� ���)(6���� ���� ������

������� ������������� ����k����

(28) �5

�5�5 ���

kk ���������������������

Page 65: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&#��

�������

������� ���� ����� ���� ������ ������ ����� ������� ������ ��� �������� ���� ��� �����

������� ������ ����� ���� ������� ������ ������� ������ ��� ������� ����� ��������

������������ ��������������� ���k����� ������k��������������� ���������k�

����k���������������k����������1�� k���1�� k�������������������������������

���k����������� ���� ���� ��������r������������������� ������������������

����

� ����"(� -��.��� ����� ��� ������� ���� ������������� ���.� ������ ����� ����� ����

� ��������� �����Von Karman-Born���������������7�� ������������������

������������������������������������

�� ����"(��� �� ������� ���� ������ �����1�� k� �k�� ���1�� k� �� ����k�� ��� ���k��

���������������������

(29) tkk

ukkk �6�6�6��� ��

Page 66: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&$��

�������

�����uk��������������������������������t

k��������� ������������������

��������� �������������� ������������ ��� ��� ���5�������� ����1���� �������������2

���

� 0��8� kk f

(30) ! "Tkkk uu ����

21

����������� ,...2,1,0 77�k

� k kC � 8

������������-�

(31) kukk uu ˆ| ��

ktkk tn ˆ| ��8�

�����������������������������-�

(32) ���

� ��� 11 || kkkk uu

(33) ����

�� �8��8 11 || kkkk nn

�����)(ruu kk ������������������� ���� �����k� �kf���� ���������������k��

k ��k������ ������� ������� ����� � ���� ������� ���� � ���� ��� ������ �������

���� �����������������������C1����������k2� ����� ���������Hamilton� ��n�����

Page 67: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&%��

�������

� ������1� ���� ���� 2������ ����� �������� ��ku���kt�������� ������ ������ ���

��������������������������������������������������������(32)��(33)��������������

������ ������ ��� ��� ��������� ����� ������ ����� ������ ������� �������� �����

���������1k kt � ����������k�������k-1���������� ���������(33)������

(34) 1 1 1| |k k k k k kn n t � �� � � � �8 � � 8 � �

�� ������� �����(33)������� ��� ������� ������ ������ ������ ����� ������ ����

� ����� ��� ����������� ���� �������� ���� ���������� �� ������ ���� ������ ��

������������������������������������������������������������

������ �� ���� ������ ���� ���� ����� ������� ��� ������ ���� ���������� ����� ���

�������������������������������� �������� �������� ����������� ���� ��

� ��������� ������� �1� ��k� 2����� �� ��� ����� ���� ������ ����� ���� ����� ��� ����

� ���� ���� ����Born-Von Karman1����� -Ashcroft and Mermin, 1976� ����� ����

������� ������� ����� �� �� ���� ��� ����� ����DFT� �� ��� ������ ���� ��� �����(30)�(33)�

�������������exp(ik�)1����i����������"��2������������������������������������k

�����������������������������������������������������1������"(���2�

(35) 0��8� f

(36) ! "Tuu ����21

��� C � 8

Page 68: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&&��

�������

������������-�

��

�� uu u ˆ| ���������� �

(39) tn t ˆ| ��8�

��������������Born-Von Karman�

���� � uu 1�� �� �

(41) ��� � tt 1�

�������

� ! "exp i� �9 �������� �

� ������������������.� ��� 5��������������� �����������������������������

� �� ��� ����k� �� ���k-1� �� ����k+1������� ����� ����� ������ ����� ������� ���

� ������� ������ �������� �������� ��������� ���� ����������������� �����

���������:�

(43) ! "�ikuuk

kk exp$

5�

�5�

Page 69: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&'��

�������

����������� ������������������������� ���� ��������������������������������

��������������������������������������������������������������������

����������������Born-Von Karman����������������������������������(32)���

(33)����������������������������-�

(44) ! " �

��:

:

��:

dikuuk exp21

���������������������(32)������������Born-Von Karman ��� �

(45)

! "

! " ! "11 1

11 1

1| exp

2

1 1| exp ( 1) exp

2 2

| |

k k

k k

k k k k

u u ik d

u u i k d u ik d

u u u u

:

:

: :

: :

� �:

� � � � �: :

� �

� � � �� �

� �

� � � � �� �

� � �

� � � � � �

� � � ; �

��������������������������������������(33)�����������Born-Von Karman �(41)��

� ������(35)�.�(41)���� �� ���� ������ ������ ����� ����� ��� ���� ������ �����

������������������������������������������������ ���(41)�������������������

�����"������ ������������������������� ���������������������������� ���

�������k�����������(44)�

������������������������������������������� �������������� ��������������

� ����� �����(35)� ������ ���������w� ��� ���� ���� ���� ���� ����������������

1 ������������������������������������������������������ ������������������������������������

Page 70: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&*��

�������

������� ���1�divergence theorem� �2������ ������ ��� �������� ������� �����

� ������ �� ���� ������ ���u� �� �������� ����� ����� �� ��������� ����� ����

�Born – Von Karman������������ ����������������w����������������������

(46) 0| ��uw

������ ����������������������-�

(47) ! " � �

���

�� �

�8���8��8��8888 dtwwdtwfdwdCwˆˆ 1�

� ������� ���� � ���w������������ ������ ���w���� �����(36)� �� �7w�� ������ ������

� ��������� .��� ������� �� ���� ���1"++*� 2Ryvkin and Nuller� ��������� ������ ��

����������������������������������������������������� ��

(48) 1w w�� � ��

� ����������������������� ������1���������� 2����������(47)���������������������

����������������������-�

� ���

�8��8��8888

dtwfdwdCwˆ �� �

� ����� ����� ����� ���� ������������������� ���� ������ ����� �������� ��� �������

��� ���� �1� ���� �� ���"+('��Bossavit� �2� �������� �� ���� ��� �������� �����

Page 71: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&(��

�������

� �������� � ��� ������� ��� ������ ������ ����1Ryvkin and Nuller 1997� �2������

� ������ �������� ��� ���������� ����� �������� ������ ����� ���� ������ ����� ��� �����

Bor-Von Karman���������������1"++&�2Conca et al.���

������ ��������������� ���� �������������� ����������������� ������ �������

��������������������� ��������������� ����������� ������������� �������

������������������������ ���������������������������������� ��� �����

�$��������� ������ ������� ��������������

� ������ ���������� �������� ������� ���� ������������ ��(48)��� �������

���� ��� ���� ����� ������� ���� ����� ����� ������ ������������ ���� ��� ��� ����� ���

� ������ ����� �����1discretization2� ���������� ��������� ����� ����� ���� ����

����� ������ ������� ����� ������ ��� �� ������ ��� ����������������������

� ����� ������ ���� ��� �����M� ��M� ��M���uM������� ��� ������ ������ �����

, ,u � �� � ���������������0M�����������������������

(50) uMMMMM 666� ��0

����������������������������� �����������������������

(51) ummmmm ���� ��0

Page 72: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������&+��

�������

����������������������������uM �������������������������������������������

������� ������ ������������� ����� �������� � mm������� ���� ����� ����������

�� 2 MA ��������� 2 MA�������������������-�

(52) arrAA

�� ��

���a������������������ �������������� ���������5����

� ����� ������� �������� ������ �� ������ ��� ��� ���� �����(35).(39)� ����� �����

� ���� �����Born-Von Karman��� ���(41)�� ������ �������������� ��� �� ����

���������������������

(53) 0|| ��8��8 ��

�� nn

��������������������������������������� �������� ��� ���� ����� �������� ������

������������� �����������

(54) pKu �

� ���K� ������� �������� ������� ��� �� ������ ���)2( 0mmndf ������� ��� ������

����� �������������������������������������������������dfn��u �����������

� ������ ����� �� ��� ���1���� �����(43)� ������� ������ ���� 2��p��� ��� ����

������ �������� � ��� ������ ��� ��� ������ ������� ��� ����� ��������5���

Page 73: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������')��

�������

���������������DFT��������������(43)� ����� �����������������3�dfn� ����

�� �����p � ��u�������� �������� ���� ���� ����� �� ���� ��� ������� ����� �����K�

�� ��� ����������� �������� ������� ������ �� ��p� ������� �������� ���� ������ ���

)(rN A������ �������� ������� ��� ��������� ����� �������������� ������ ����

������ ���������������� �����������������������������������������������

�� ��� ���� ��(43)� � ����� ������ ������ ��� ������� �(54)������� ����� �����

������(50)�

(55) ��

��

��

��

���

��

��

��

***

,

(

)))

+

'

�����

��

�����

pp

p

uu

u

KKKKKK

KKK00

0

0000

0

� ��K � ������� ���� ��� ����������� ����� ���!���������������� ��������(��������

��� �������������������&�������������������� ������������� ����������� ���������

������� �������� ������� ��� �������� �������� ��� ����� ����� ���� ���p�����������

������������ ����������� ���������������� ���� ���������������������������

(35).(39)������� ���� ���� ���������� ������� �������� ������� ��� ������� ���� ��

� ���� ���Born-Von Karman� ����� �������� �� ������� ������ ��������� ����AN�

�������� �������� ���� �������� ��� ������ ��� ����� ����� ����� ������ ���������

�������������������������������������������������������������� ���(48)��

������ ������ ����� ����� �������� �� ������ �������� ����u(r)������� ��������

�2 MMA \�������-�

(56) ! "! "

! " ! "! "0

1

for

for

uAu

AA A

N r A M MN r

N r N r A M�� �� �

� 2 6�� � �� 2�

Page 74: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'"��

�������

��������������������w(r) �������������������������

! "! "

! " ! "

0 for for

AwA

A A

N r A MN r

N r N r A M�� ��

� 2�� � � 2��

����� �

�����������������������������A����A��������� (52)��

� ���� ���� ����� ��� ������ ����Born-Von Karman� �������� �������� ������������

�������������� ���!���������������!��������������������������umm �����

)( ��� mmm u���������������

�����������������������������������������������������

(58) ! " ! " ! "0

( ) ( )

1

ˆe edf

u

ni u i u

A A i A A ii A M M A M

u r u N r u N r�� 2 6 2

� �� �� �

� �$ $ $

(59) 0

( )

1

( ) ( )edfn

i wA A i

i A M M

w r w N r�� 2 6

� $ $

�����)()()( ,ˆ, iA

iA

iA wuu������������ ��������������������������������������������

�� �����ei������� ��� ��� ���� �� ������� ����� ������� �(58)����(59)� ���������� �

����� ���� ������� ���������� ����� �������� �� �������� �������� �� ���������

������(35)�.(41)������������������-�

(60) ''' puK �

Page 75: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'#��

�������

���

! "! " *

,

()+

'

�����

���

�����������

00010

001 )('

KKK

KKKKKKK

����

����� �

������ ���

���

��

0'

u

uu

��.�

(62) ���

��� �

���

0'

p

ppp

�������������������� ! "exp i� �9 �����

���-����� �����K��� �����p��������������� ���� ����K���p�������������������������

� ���� �� ��� ������ ���� ����K��� ��������� ������ ��� ������� ����� ������ ������

���������1�Mead et al. 1988��2�

��������������� ���ku�������k� ���������������������������������������

(44)������ ���� ����� ������� ���� ����� ��� ������ �� ������ ��� ����(60)�������

� ��� ������������� ������ �� ����� ����� ���� ����� ������ ���� �� ���K� �� ���� ��K�

� ���������������������(60)����������������������������

Page 76: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'$��

�������

�$���������������������� ������� �)���

��������������� ��� ����������� ���������� �������������������������������

(60)� ���� ������ ���������� �������� ��� ������ �������� ������� ������ �����

������ ��� ��� ����� ������� ���������� ��� ��� �������������������������

� ������� ����� ��������� ������(56)� ���� � �������� ����� �� ����� ���� ������

� ������� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ������� �������� �� ������������� ���� ��

����� ���������������������� �������������������������� �������� ���������

�������������� ���� ����� ���� ���� �������� �������� �������� �� �����������

���������������������������������������������������(54)�

(63) ��

��

��

��

���

��

��

��

���

��

��

��

***

,

(

)))

+

'

�����

��

�����

k

k

k

k

k

k

k

k

f

f

pp

p

uu

u

KKKKKK

KKK

000

0

0000

0

, ,...2,1,0 77�k

�����������������������������������������

(64) ���

����

����

���

��

��

1

1

k

k

k

k

u

f

u

f, ,...2,1,0 77�k

� ���� ����� �����kkk uuu ,, 0������� ����� ��������� ������ ��� ������ �� ��������

��� ����������k� ���kkk ppp ,, 0 �������������������� ��� �������� ������ ��� ������

������ ������� ��� ��������kk ff ,� ��� ����������� ���������k��������� ���� ����

�������� ����� ��������������������������������������������������������

����������1kf1����������"+2��

Page 77: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'%��

�������

�����"+�-������������������� ��f��������u������������������p�������������k�

�������� �������DFT ����(63)���(64)�����������������������������������������

������������������77 fuu ,, 0��

(65) ��

��

��

��

���

��

��

��

���

��

��

��

***

,

(

)))

+

'

�����

��

�����

f

f

pp

p

uu

u

KKKKKK

KKK

000

0

0000

0

! "���

����

�����

���

u

fi

u

f�exp������ �

��� ������ ���� ��� ������� ������� �������� ����� �� �� ���� ����

���� �Mead et al.� ������������������������������������(65)���exp(i�) ��������

� ��� �������� ��������� ��������� � ���� ����� �� ������ ���7f ������� �������

����� �� ����� �����u��� ������� ��������� ������������ � ������� ���� ���������

��������������������������������������������������� (60).(62)��

Page 78: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'&��

�������

��� ���������������� ���������������������������������������� ��������

��������������(43)���������������������������������������������

�$��������������

�������� ���������������������������������������� ���������������������

��������(44)������������� �����������������������������������

� ��� ! " ! " ! "1

0

1, exp

2

M

k l l ll

u r w u r ik� �:

< �$

� ���M�� ���� ����� ������ ����� �����1w������� ������� ������ ������ ���

��� ���� ����������� ���� ����� �������� ������ ��� ������ ���� ������� �����

� ������� ����� �����61, 0,1,..., 1l M� � �� 7� ���� ����� ���6�)�#� �7����� ��������

���������������������(60)�M������������������������������������'K���� 'p�

�������������������������������� ������������������������������ 'K�������� ���

���� ����������������������������� ����� �������������������M�����M� �����

� �����0�� ���� KK� �� ���� ���� �� ������ ��0�K���0�K����� �� �� �����

��������������� ���� ����������������������������Simpson 3/8 ������-�

(68)

2

3[1,3,3, 2,3,3, 2,..., 2,3,3,1]

8

l

ilM

w

:� �

Page 79: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������''��

�������

�$ ����� �������������� �������� ������� ���������

������������������������ ����������������������������������������������

�� ����� ������ ��������� ������ ��������� ���� ������� � ���� ����� ������� ����

�������������� ������ ���������� ����������������������������������������

�� �������� �������� �� ������ ���������� �������� ������ ������� ������ �����

������������������������������������ ��� ������������ ���� ��������� ��� ���

������ ������� ����������������������������������� ���������������������

����������������������������������������������� ������������������������

����������������������������������������1��������������-���Ikeda et al.��2������

������������������ ������������� �������������������� �����������������I���

�$"����� ���� ����� �� �� ������ ���

������ ������� ���� �� ������� ������� � ��������� ������� ��������� �� �����

������������������������ ����������������������������������� �������� ��� ���

������������������������������������������������������ ��������������������

������ �������� ��� ��������� ������ ������������� ������� ����� ��� �����

�����������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������

1����� ������ �������� ��������� ������ �� 2� ������ ��� � ���� ������� ��� ������

������������������������������������������������������������������ ������(30)�

������ �������� �������� ������� ��� ���������� ������� ��� ���� ���� ������ �������

�������� ��� ����� ������� ������DFT������� ������ ��� �������� ������� ���� ������ ��

����������������������������������������������������� �������������������

Page 80: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'*��

�������

�� �� � ������ �� �� �����DFT� � ����� �������� ��� ��� ��� ������� ���� ��������

������� ������� �������������������������������������������������

������� �������� ����������������������� � ���������� ���� �� ����� �������� ����

�8 ����������� ���������� ��� ������������������������������������������

��� ���� ����� ������ ��� �������� ������ ��������� ����������������������������

� ������ ������ ����� ���� �� ������������ ������ ������ �������� �����

������ ������� ����� ����� ������ ��� ����� ����� ������� ���� ����� ������ ����

������������������������������������������������������� ����������

�$#�������� ���������

�������������� ���� ��� ����������� �������������� ����������������������� ��

������� ���� ����� ����� ������ �������� ���������������������������������

Matlab� ���� ����� ����� ����� ��� ������ ������ ������ ������ ����

�Smith and Griffith (1997) � ���������� ������ ���� ���� ����� ���� ������ ����� ��

2000E ����������������0.3� ���

� �������� � ���� ������ ��� ������� ���� �������� ����� ,0x y a�5 / / 5 � ��

������������������0y �������������������p�������������1�0,h�2���������������#)��

Page 81: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'(��

�������

� ����#)� -�������� ������ ���� ������ ��������� ����� ������ ������� ������ ��

������������������������������������������������������������������

�����#"�-������������������������������������������������#)�������������

� ����� ����� ������ �����1���� ��� �2� ���� ������ ������������ �� ����� ������

� ����� ��������� ���'� �+���"#������ ��������������������� ���� ���������+�

��"#� ����� ����� ������ ���� ���� ������� �������� �� ������������ ������

������������

������������������������ ���������������������������������������� ���h�

����� ��� ��������� ������� �������� �������� ����������� � ���� ������ ��� ��������

��� �������� ������� ������� ���� � ����� ����� �������� ����� ����1����

����� �Uflyiand 1968� �2�� ����#"��� ������ ������ ����y � ����y = 0��������

����� �������������������������x/h�������� �������������������������������

� ��� ������� ������ ������� ��� �������x� �� ������� ��� �����x������ ��� ��������

� ��������� ������� ��� �� ���� �� ���� ������ ������� ������������� ����

�� ��������� �� �������� ������������� ������������������ ������ ���� ���

Page 82: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������'+��

�������

�(plane stress)������� ����� ����� ����� ���� ������� ��� ������� ��� ���� ��� ���������

����� ��� ���� ����������������� �������1�� ������� 2������ ���������� ��� ����

� ���� ���� ����� ��� ��� ������ �������� ����� ��� ����� ������(60)� ������� �����

�� ������� ������ ���� ��� ������� ����#"� �� ������� ����� ��������������

1��������������������1 2x h� �� �2����������������������������������������

�� �� ����� � ������ ������ �������� �������� �� ������������ ��� ������ ����

�� ���������� ���� ���� ������� �� ����� �������� ������� ����� ������� �� �

����� ������������� �����������������

������ ������� ������ �� �� ������� ������ ��������������� �� ������������

����� ����� �� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ��� ��������� ����� ������ �������

������ ��� �������� ������ ���� ������ ��� ����� ���� ����##� ������� ����� ����� ���

������ �� ����� �����h� ����������� ����� ������� ����� ��� �������� ������ ���� ��������

������ ����� �����r=0.7h� �����h����� ����� ���� ����������������� ����� ��� � ������

����������������� ������������ ���������q����������������� ������������������-

y=h; h/2 x h/2� �������� ��� �� ���������� �������� �� ������� ��������������

� ���� ���� ���������� ����� �� ������� ����� ������� ������ ���1plane stress�2

�� ���� ����#$� ������� ��� ���������� ������ ������ �������� ���� ���� �� �������

���������� ���������������������DFTw���������������������� ��������������

����� �� ��� ������ ��� ������� ���� ������� �������� �� ������ ������ �����(w)�

������������������������� ��������������� �������������� �� ���������� ��� �����

���������� ���� ���� �������� �������� ������ ���� ������� ����� ���� ��������

������ �������� ����� ������ ������ ������ ���� ������ ������ ������ ��� ������

������#%�

Page 83: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*)��

�������

� ����##� -�� ������ ���� �������� ������������ ������ ��������� ����� ������ ���

������ ����������������������������������������������������-�� ����SOLID����

������� ��������� ���� �������������� �� ����� ��� �� ������ ������� �������!���

���������� ���� ���-��� �������������������� ���������

�����#$�-��������������������������������##����������� ������������������

����������X��� ��������������; ��������������������������������

����� ������� �� ����� ����� �������� ����� ������� ��� ���� ������ ����� ����� ����

���������������� ������ ��������������� ���� ����������� ��������������� ����

��������������������������������������������������������� �����������

������ ������� ������ ��� ������ ������� ������ ����� ���� ����� ���� ���������� ���

����������� ������������ ��� ��� ���� ���������� ����� ������")���������������

������������������ ����������������������������#%��

Page 84: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*"��

�������

� ����#%� -�� ��� ���������� ������ ��� ������ ���� �������� �����1� ���� ����##2� ����

�������������� �� ����� ������ ������ ��� �����! "DFTW���� ��� ����� ��� ����������

� ���������� ������������������������ ��� ������ ���� ����� ����� ������ ������

������1W2�

� ���� ��� ���� �������� �����I��������� �������� ����� ������ � ���� ���� ��� �����

1F� ������ ����2F� �������� �������� ����� �������� ���� ������� ���� ����� ������ ���

������ ������ ������� ���� ��� ����� ��� �� �� ������ ����������� ����� ��� ��

����������������������������������������������������������������������������

�� ���� ������ ����#&� ������� ��� ����� ���� ���� ������ ��� ������ ����� ���������

� ������� �������������*1F���*

2F� �� ������ ���������������� ��������������

�� �������� �� ���������� ������ ��� ��� ������ ��������� ������ � �������

����� �������������� ���� ����� ����������� ����� �������������� ��������� �����

Page 85: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*#��

�������

������ ��� ��� ����� ���� ����#&1������� ������ ����� � ����� ����� 2����� ��������

������������������������

� ����#&� -�����I����� ������ �� � ���� ���� ��� ��������� ����� ������ ��� ����

������ ��� ������ ����� �������� ���� ���� �� ������ ������������ ������ ���

������������������������

�$!�������� ������ ��� � ����������������������������� ��

��������� ������ ������������� ������ ��� ����� ���������� �������� ��� ���

��� ���� ����� ������ �������������� ������� ��� ����� ������� ��������� �����

��������������

��� ���� ��������������� ���� ������ ������� ������������ ������� ����� ����

������� ���� ����� ��������� ���� �������������� �������� ��� ���������������

������� ������� ������� ���� ����� �������� ��� ������� ���� ������ ��� ��� �

��� ������������������������������� ���� �������������������������������������

������ ����� ����� ������ ������ ��������� ����� ����� ��� ������� ����� ����� ��

������������������������������

Page 86: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*$��

�������

&�+�"�� ����������

��� ���������������������� ����������������������������Nuller and Ryvkin (1980)��

��� � �������� ����� ������ ���� ������ ��������� ����� ����� ������ ���� ���� �����

� ����� ����Born-Von Karman��� ����(41)� ���� ���� ����� ������������������ ������

������� ��� ��� �������� �� ����� �)� ��������� ���������� ��� ������ ����� ��� ����

���������������".N��1����������������������������#'�2�

(69) 0 1k k Nu u� �� � ��

0 1k k Nt t� �� � ��

��� ���� ���� ������ ������ �� �� ���� ����� ����� �� �� ����� ��DFT� ������� ����

�������������(43)����������-�

��

�� �! " ! "$�

�1

0

,exp,N

klkl ikuru �������l

Nl

:�

2������ �

��������������������(44)������-�

! " ! " ! "$�

��1

0

,exp,1 N

lllk ikru

Nru ���������� ��

� ����N����� ����� ����� ���� ���� ��� �������������� ������ ������� �����

������������������������������

Page 87: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*%��

�������

� ����#'� -������� ���� ���� ���� ����� ��� ������ ���� ������ �� ����� ������ ����

����������������������� ���������������������

��������������������� (69)���������������

��

(72) ! " ! " ! " ! "rflirFN

rFN

rf Nk

N

l

N

lllk �

�� $ $ �89�

1

0

1

00 )2exp(,

1,

1:��

� �����f��� ������� ���������� �� ������ �� ��� ���u� ����F������� ��������� ����

��������

&�+�#������������

���������������������������������� ���������������������������������������

���� ����������������������������� ����� ������������������������������������������

����� �������� �� ��� ����� ����")� ����������� ����������� ������ ������ ������������

����� �������� ������ ��������� �������� ���� �� �������������1���������#*�������

Page 88: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*&��

�������

�������������� 2�������������� � ������������� ������������� ���������� �����

���������� �����������1��������Matlab�2��������������������������������

���� ��� ����� ������� �������� �� ������ � ���� ����� �������1ANSYS� �������

�������� �����#&���������������������������������������������

� ����#*� -� ������� ����� ������� ������� ������� ���Pr� ������ �����Pt������ ������� ���

��������������� ���������������� ��������������������������������������

MATLAB�������������������������������������������������� �����ANSYS�

�$���������� ������ ��� ��� ����������&������

��� ���� ���� ����� ������ ������ �������� ������������� ���� ������ ��� ����

������ ��� ���� ������ ��� ���� ����� ������ ����������� ������� ������ ����

��� ����������������������������������������������������

1 ������������� ������������������������ ��������������������������������������� �����������

�����������������������������������������

Page 89: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*'��

�������

&�")�"������� ������������������������������ ���������

���� ���������� ����� ����� ����������������������� ���� ���������������

�����������II���������������������� �������������

��� ����� ����� �������� ������ ����������� �� ���,x yN N���������� ����

���������x,y�������-�

(73)

11

( , )0 0

1( , )

22,

0,1, , 1; 0,1, , 1

yxyx

x y

x y

NNikik

k kk kx y

yx

x y

x x y y

F F e eN N

llN N

l N l N

��

::�

����

� �

� 8 8

� �

� � � �

$ $

�����������������������!����������������������

�����������������������������������������������������,� �-

� �� K u p8 ��������� �

����������� ������������������������ ������������������� ���������-�

��� ! " ! " ! " ! "1 1

, 20 1

1, , exp exp

4x y

M M

k k j l j l l lj l

u r w w u r jk lk� � � �:

� �

� �

< � �$ $

� ����������������������� �� �������������� ����� ������Simpson 3/8�(68)��

��������� �����������������������������U���������yx kk ,���

Page 90: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������**��

�������

&�")�#���������������

������������ ������������������� ��������������������� ������������

�������� ���� ������������������ ����� ����� ������� ����������� ����� ��������

������ ������ ����������� �� ����� ��� ����� ���� � �����������������������������

�������� ��� �� ���� �����������������!�������������� ����������� �����������

�� ����� ������������ �������� ���������� ���� �������������� �% ������ ������

1�Solid45������ANSYS2�������������#�����������

� �� ������ �������� ��5x4������� �� ���� ������ ������� ���� ����� ������ ��� ����

0�� yx kk� ������� ���� ������ ����� ������� ����� ������ ������ ������ ��������� �� ����

���������������#+���

�����#(�-�������������������������������

��

� ����� ������� �� ����� ������� ���� ��� ����1� ����ANSYS2� ���� ��� �� �����X���

���������������������������������������������������� �������������� ��

������1� ����MATLAB2� ��� ����#+� ��������������� ���� ������������

����������

��� ������� ������� ��� ������������ ��� ��� ��� ����� ���� ��������������������

����������������������������������������������������������������������

��������

Page 91: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*(��

�������

������

���1��2�������1��2�

� ����#+� -� ������� ������ ������� �� ����� ������ ����� ������#(� ���� �������� ����

����� ��������������� ������ ����� ��������� 1ANSYS2����������� ��� ������� �����

��������� ��1�MATLAB2�

��������������������#+������������������������� ���������������������������

� ����� ���1� �� ���#92�� ��� ������� ������ ����� ����� ���������� ����� �ANSYS�

����� ������������������������������������1'����������2�

�����������������������������1Grillage� 2���������������x-y� ������������$�

�!�� -�� ������� ����������� ������ �������1� ���z� 2������� ����������������x����y��

�� � �����������������BEAM-3D ������ANSYS�������������� �����������������

�����������%����������������# �������������

����� ������� ��� �������������������� ����� ���� ������� �� ������� ����1����

�� ����$)���� �2� �� ����� ����� ��")� � ����������� ������ ����� �� ��k=0� �������

������ ����� ����� ������ ������� ��� ����$)�������� ������ ������ ���� ���������� �

��������� ����������)�#&������������������������������������

Page 92: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������*+��

�������

1��2 1��2

�����$)�-�������������������������������������������������������������

�������������-���������������-��� ������������������������ �������

��

����� ������� ������� ���� ����� ��� ��� ������� �� ����� ������ ����� ����� ���

�� ��� ��� ��������� ���� ���� ���� ���� ������������� ��!������� ������ � ��� �

�������������������%���������������

�������� ������ ������� � ���� ������ ������ ������ ���� ����� ����� ������� �����

������ ������ ����� ���� ������� ������� ��� ������� ������� ������ ��������

��� ������������� �� � ��� �� ������ �� ���������� ����� ����� ������ ��� �

�������������������������������������������������������������������������

� ��� ��� ������� ������ �����#����� ����� ��������� �������� �� ����� �1� ���� ����$"�

������ 2�������"()� ���� ������ ���������� ���� �� ����'��!���������� ����������

���������������������������������� ����� ���������)�)#��� ��������1x1�������

����������������"��������������� ��)�*�������������������

��������������������������������������������������������������1��������A����

B�� ����$"� 2���� �������� ������1� �� ���C� �2���� �� ������ �������� ���

��������� ������ ������ ������ ������1plane stress� 2������ ��� ��� ����� ����

�����������$"���������

Page 93: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������()��

�������

� ����$"� -�������� ��� �������� ����� ������ �������� ������� ���� ������� ���

������

������������ ������������� ���������������������������������� �����������

��������������������������������������������� ��������������������������

�$��� ����� � �������� � ��� ��� �������

���������������������� ���� ����� ���������������������������������������

��� ����� ����� ��� ���� ����� ���������� ������� �������1������������ �� �� ���

���� ������� ������������ �2����� ����� ���� ����� ������� ���������� �����

����� ����������� ���������������������������������������������� ����������

������ ��� �������� ����� ������ ����� ����� ������ ������ ���� ��� ����� ������

��������������������� ����������������������������������������������� ��������

��� �� � ������������������������������������������� ��� �������������������

�������� ������������������������� ����

Page 94: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������("��

�������

�������

&�""�"� ���������������

� �������������������������������������������������������������������p��� �����

��������������������������t�����������������������������������������������

����������������������������������1���������$#����2�

������������1�����������2�

� ����$#� -�������� ���� ���� ����� ����������� ����� ������� ����� ���� ����� ���

����������� �p����������������������������������������������������������������

������������t������������������������������

��

� ������ ������ ��������� ����� ������ �� ������ �������!� �Budiansky and Wu (1961)��

��� ���� ������������ ��� ������ �������� ����������� ��Green����� �������� �����

����� ���� �� ����� ��� ����� ������ ��� ��� ����� ��� �������� �����!��

1��2

Page 95: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(#��

�������

�Nuller and Ryvkin (1987)� ��������� ��������� ������ ������ ����� ����� ���

�� ����!�� -1Samartin (1988����Karpov et al.(2002)� � ���� ���� ������� ����� ��

�������������������� �������������������� ����

�����������!��=������m������������������������������������������������

��������� �����>�����n���� ��� ���� ������ ��������� ��� ��������� ������ ������

��������������0x yu u� ��������������������������������0x yf f� ����

������� ����� ������� �������� ���������� ������ ��� �������� ��� ���� ������ ��

������ �������������������������� �� �����,p pf u���������������������������

��� �������� ���������� �� ������m n���������� ������ ��� �������� �������� ����� �

1it �� �� ����i���� ����� ���� ��� ������ ��� ����� ���� ����� ��� ������ ��� ����

������ ��� �������,i if u� ������ ����� �� ������ ������� ����� ���� ��it� ��� ��������

� ������������������� �� ������������K����������� ������� �������� ����������

��1K ����

������ �������� ����� �������� ���� ������ ������������� ������� ��� ������ ���� ���� ��

�� ���!��� �����������1���� ����� �������2� �������� ����� ��� ������ ������ ����

� ���������t������ ��������/��� �����������������!�� �������� ���������

�����������������p���

�1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

m n

p l ll

m n

p l ll

u i u i t u i

f j f j t f j i j

� � 8

� � 8 2= 2 >

$

$������������1*'2�

Page 96: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������($��

�������

��������������� ���������������M� ����������������������������N������

���������������������-�

( ) 0, ( ) 0 ,u i f j i j� � 2= 2 >�����1**2��

�����

1

1

( ) 0 ( )

( ) 0 ( ) M, N

m n

p l ll

m n

p l ll

u i t u i

f j t f j i j

� � 8

� � 8 2 2

$

$���1*(2�

�!�� ���� �������� ����� ����� ������ �����m+n�������� �������� ����� �� ����

����������1 2, , , , m nt t t ������������������������������������

� ������ ���u� ������ �����f������ ������ ��� ������� �� ������!� �1*'2�������� ���

�����������it�

2*+1 1

1

m n

p l ll

m n

p l ll

u u t u

f f t f

� � 8

� � 8

$

$

&�""�#�� �����������

������ ���� ����������� ����� ����� ������� �� �� � �� �� ������ ����� ���1����

������ �������2������ �� �����m n�� �������� ������ �������� ������ ����� ��� ����

�������� ������������ ������������������������t�������������������������

� ���������1*(2� �� ��� ������������ ���� ��� ������� ����� ����� �������� �����t�

������ ���� ���� ������ ����� ������������ ����� ��m n��� �� ������ �������m n��

Page 97: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(%��

�������

��������������������������������t��������������������������������� ������ ���������

��������1*(2��������������������������t����� ��������

������� ������� ����I��� ����� � ���� ������ ��������#��� ������ ���#'�����

���������������

&�""�$�������������

������� ���������� ������ ��� ����� ������ �������� �� ������� ����� ������ �������

� ��� ������ ���60x10�� ������ ���������� ��������� ���� ����������� ���������������

����������������������� ������������������������������������������������

��������� ������ ������������������������� ��������������10x2������ �����

���� �� ���� ������ �����44+1=45����� �������� ������� ���� ������ ����� �����

������������������������ ����������������������������������������������������

�������� ����� ������ ������ ���� ������ ������ ��� �������� ����� �� �� ���� ��������

22+1=23� ���� �������� ��� ���� ����� ���� ������ ���� ���� ��������� ����� ��

���������������������������������������� ���������������������������

����������������������� �������(60)��������� ���������� ��������������������

������� ���� ���� ���� ������ ����� ������� ����� ���45*6=270� ���� �������(60)��

� ���� ��� �� ����� ������ ������ ���� ��� �����1K ������� ��� ���� �� ����������

���� ��� �� ���� ����� ������ ������ �������� ����� ����� ������� ������ ���

������$$��������������������������$%�������������������������������������

������������������ �����ANSYS��

��

Page 98: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(&��

�������

�����1��2�����1�����2�

� ����$$� -��� ������ ��� ������ ������������ ���������� �������� ������ ����

��������� ��������������������������������������������������������������

����� ������� ����� ������ ������ ���� ���� ������ ����� ������������ ����������

��������������������������������

�����$%-�������������������������������������������$$����������������

���������

�$��� ���� ������� � ��� ��� ���������

��������� ��� ��������� ����� ������� ��������� ������� ������ ��� ������ �����

����������������� �������������������������������������������������

�������������� �����������������������������

&�"#�"���������������������������

������������������������������������������� ��� ������� ���� ��������� ����

�������� �������� ���� ������ ������ ����� ����� ��� ����� �������������� �

���������������������������-�

Page 99: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������('��

�������

(80) 0;5;kku

�������� ����� ������� ������ ������� ������ ��� ��� ���� ������� �������������� ��

�������1������� ����� ���� ����$&2� �������������������������������������)� �����

������ ���������������������������� ������������������������������������

� ����$&� -�����������������������������������#����������������������������

����������������������������������������� ������������� ����������������������

��� ��� ����� ������ ����������� ���� ������ ���� ����� ������ �����

��������Ansys����

����� ������������������� �����������K #��� ����������������������� ������� ��

���������������(60)����� ��������������������������� �����������������

&�"#�#����������������

� ���� ��� ����� ���� � ������� ������ ������ � ���K #� ����� ��� �������1��� �����

� ������� ���� ��� ������ ����� ��� ����K #����� ���� ��� ���� ������� �K�

(63)� ���� ������������������������������������ ��������������������K�������

� �����K #� ���� �� �� ��� ������ ��������� ������ ����� ��� ����� ��� �������K��

���� ����,i ir c�������������i�������i������������

Page 100: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(*��

�������

(81) 1

2

31 2 3

01 1 3

0 01 1 30 00 0

0 0 000

r r rrc c c

r

rc c c

K K KK K K K K K

K K K KK K K

K K K

�� � ��� �

�� �� �� �� � �� �� �

� ��� � ��

' (' (� � � �) *

� ; ) *) * �+ ,) *+ ,

������ ���K����(81)������ ��������������K #�������� ���������1� � �9������������1� 9��

� ���� ��� ��� ���������� ����� ��� ����� ������ ����'K�� ����!������ ����� �

� �������(60)� �����1� ?� �� ������������� �� ��� ������ ����� �������� ��

���������� ���1� ?���������������������������������������������

������ �� ��� ������ ��� �����!� ������ ���� �S������� �� ��� �������� ����!��

� ������ ��� � ���� ����� ������ ���� ������ �������1$��� ���������������� �2������

�������������������������������������������-�

(82) ! " ! "1

0

1exp 0

N

s l ll

u ik s SN

� ��

� � 3 2$

����������������������������������������!��S��������1� ����

(83) ! " ! " ! "1

01

1exp

N

s s l ll

u u ik s SN

� � ��

� � � 3 2$

������ �� �������� ������ ����� ������� �� ������ ����(60)� ����� �����1� �� � �����

��������� �������� �������������� ����� ��� �� ������� ����� ������� ����� �����

����������������������������������������������

Page 101: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������((��

�������

&�"#�$����������������

��������������������������������������������������� �����������������������

� ����������������� ��������������1���������$'� �2�������������������������������

����������������������������������������������� ����)�*�������������������

1x1��

�������1���2�����1��2�

� ����$'� -������� ���������� ��������� ������� ������ ��������� ����� ����� ������� ����

������� �������� ����� ����� �� ����� ������ ������ ������ �� ���� ����� � �����

�������������"�

��� ��� �� ���� ������� ����� � ����� ���� �� ����������� ���������� ���� ����

������������ ����������������������������������������������������������������

��� ������ ����� ������������������ ������ ���� ���� ���������������������

� �����&�")��������������������������������$*���������

Page 102: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������(+��

�������

�����$*�-���������������������������������������$'���������������������

��� ���������������������������������������

��������������������������������� �����������������������������������

�������������������� ���������������������

Page 103: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+)��

�������

�������� ���������� ������������

��������

$�������

����� � ������������ ��� ���� �������������������� ������� �������� ��� �� ����

����� �� ��� �������� ���� ��� �������� �� ��� ����� ����� ��� ����� �������!� ��� �

� ������ ������� ���� ������� ���� ������ ��1DFT� 2�������� ������ �� ��� ��

�������������������������� ����������� ���������� ������������ �����������

���������� ��������������������������������� �������� ���������������������

�������� ������ �������� ����� ������ ��� ���������� ��� �� ������� �� ��������

��������������������������������������������� ���������!�����������������

������������������������� ���� ���� ����������������� ���� ������� � ���������

��������� ������ ������� ��� ���� ���� �������� ������ ��� ������� ���� � ���

��������� ������������������������ ���� ���� ������ ����� �� ������ ��������

�� ����� ��� ��������� ������ ������ ���� /������� ������� ������ ��� ��� ����

���������������������� ���������������� ��������������������

������������

$��������� ����� ��� ��������� � ���

��� ����� �� ���� ��� � ���� �������� �� ���� ��������� ��� ������� ���� ������

������������������� ���� ������ ������������������������������������ ���$��

����������������������������

Page 104: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+"��

�������

� �������� ������ ���� ��������� ������ ��� ������ �� ���� ����� -���� ����� ���

���������� ������� ������������������������������������� ������������������

�����������������������������������������������������������������������

����������������������������1"+((�2Bendsoe and Kikuchi������������������������

��������� ���� ����� ������ ������ ���� �� ������� ����� �� ����� ������ ���

��������� ����� �� ����� ���� ������ ��j� ����� ����� ������� ��������� ���������� � ���

������ ���� �������j�� �������0 1j�� �� ��!���� ������ ����� ��������� ����� ���

�������������������������������1$2��

������� �� ��� � ��� ���� ��� ����� ���� ������ �� �� ��MMA���� ��� ��������

1���� 2Svanberg������� ���!�� ���� � ����� ���� ��� ���� ���� ������ ������ ������

�������� �� ���� ���� ��� ���� �� ������ ����� ��� ������� � �������� ������

� ���� ������� ����� ����)� ���"� ���������� ����������� ������ ������� ������ ������

� �����SIMP� ���� ����� ����� �������� ������� �� ������ ����1integer2� ����������

����������������������� �������������1Beckers 1999��2�

Page 105: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+#��

�������

� ����$(� -����������� ��� ������ ���� ����� ��� ���� ��������� ��������� ����

���������������������������������������� ������������������������������

k��������������������kkk ppp ,, 0

������������

kf����

kf�

������� ������ ����� ��������� ���������� ������� ��� ����� � ��� ����� ������� ���

��� ����� ��� ���� ����� ������������� �� ���� ����� ��� ����� ������ ����

������� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ������ ������� ����� ���� �������� ����� ����

������ ����� ����� ��������� ��������� ����� �a������� ���� ������� ������� �������

�� ������ ���� ��� ����� ����$(���� ����������� ���������� ����� ������ ���� ����

�� ������ ���� ���� ����$(��� ����� ������ ��k ����� ������������ ������ ���� ���

� ������� �� ����� ��� ������ ������Jj ,...,2,1�� ����� ����������� ������� ����� �

�������������� ������������������������������������ ���������������� �������

Page 106: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+$��

�������

� ��� ��� ��������� ������ ������ ��� ��k��� ���� ���� ���� ����� �� ������������

kf��������� ������ ����kp� �� ����� ��������� ������&� ����� ���� �� ���� �� ����

��������������������������������������)� �.� ��5� ����������������������������

���� ������ �)��� ���� ��� ������ ������ ���� ��������� ��� ���� ��� ������ 5�����

�����������������������������������������������������������������������

��k������(55)������������������� ���(64)��������������������

�������������������������������������������������������������������:�

0

1max min ( ) |

2k

T T Tk k k k ku

k

u Ku u p f v V�

� �� �� �' (� � �� � � �) *+ ,� �� �$����� �

��������������������������������(32)���(33)� ����������������� ������������

������ �����discrete) 2�� ������xu������ ��������� ����� ���� ������� ������ ��

�������������������� ���������K����� ������������������ ��������

������������������������������������� ������������������������������������

���Lagrangian�

(85) 0 1 1( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T Tk k k k k k k k k

k

L u u Ku p u v V u u f f� % � � % � � � �� � � �� �� � � � � � � �$

��� �%, � �� ������ ���Lagrange� �� �� � ���� ������� ��� �1

( )j jj

K K ��

� $�

�������� �����������

Page 107: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+%��

�������

����������� ������ ��� ����ku� �������Lagrange��� ������������������������

�����-�

0, 1, 2,...k k kKu p f k� � � 7 7 ����� �

� ��������� ����� ���� �������� �����(32)���(33)� ������ ������ ��� ��� ����

�� ������ ����� �������� �� ������DFT� �� ��� ����� �����L�� ������%�������

������������������������������������

0 0T v V� �� ��������� �

����� ��� ����� ������� �������Lagrangian� ��������� �����j� �� ������ �������

��������������������� ��������� �����������

�1

1

jTk k

k j

j

Ku u

V

%

&

&�

$������� �

� ����� ������ ��� � ������ ������������ ����� ������ ����� ����� ����� ����� ��������

��� ���� ������ ���� ������� ����� ���� � ������ ����� ������ ������ ����� �����

��������������������������������������������� ��-j� �

Page 108: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+&��

�������

2( )

( 1) 1

m

jTk k

k jmj j

j

Ku u

v

�� �

%�

� �&' (� �) *&� �) *4 � �) *� �) *� �+ ,� �

$������ �

�����m ��������������������2 ������ ���������������������(25)��

���� ��������� ������ ����� ������ ����� ������ ������ ������ ���� ������ ���

���������� ��������� ���������� ���������������( 1) 1mj� � 0�����������������"��

������ ������� ������������� ����������� ��������( 1)m� ��������������������������

� ����� ������� � ��� �������%������������ ���� ����� ���� ������� ������� �������

� ���� ��������k� ������� ����� ������ �����)1( ������� ��������� �������� ����

��� ����� � ���01.0�� ��� ������� ���� ������ ��������� ������ �!����� �� �������

����������������������������������������

� ����� ������� ���SIMP� �� ���� � ���� ������ ��� �� ����� ������ ��1"2������ ���

������ ������1/ 3� �� �� ���� �����0 1000E �� �������� �����1 3 �� ��������� ���� ���1"2�

��������������������������� ��������������� ���������

(90) 1 11jj

j j

KK

� ��&

�&

������� ������������������� �������������������������� ���� �� ��������� ���

��������������� ����������1a���2Sigmund���

���� ������ ����� ������ � ���� ������ ������ ������ ������� ��� �����DFT��

������ ��������������������� ����������������������������������� ���������

Page 109: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+'��

�������

����� ����������� ������������������������������ ��������������� �����������

�������� �� ������ ����� ������� ������� ��� ������� ������ ����� ���� ��� � ���

������ ��!���� ���� ��� ������� � ���� �� � �������� ������ ������ ������� �����

������ ������ �������� ����� �������� ������ ���� ����� ������ ����� �����

����������������������������������

$��������� ���������

� ��������� ������� ��� ������ �� ������� ������� ������ ������ ����� ���� �����

������ ������� � -��� ����� �� ���� ��� ������ ��� �������� ��������� �� ����

����� ���� ���� ��� ����� ���������� ����� ����� ������ ������� ������� � ��� ����

�� �������� ������� ������ ����� ������� ��� ������� ��������� ��������� ����� ������

� �����Matlab������ �������� ���� ���� ������ �������� �C� ��������� ��

� ������ ������ � ����Matlab� �� ���� �� ����C� ��������� �����Matlab� ��������

���� �������� ���� ������� ����� ������� ���� ����������� ��� ����Matlab��������

� ����C������ ���� �� ������� ����� �� ���� ������� ���������� ������� ������ �

��� �� ������ ����� ��������������� ��������� ����������� ����� ���� ���%������

� �����1������ ������ � ���� ����� ���� �2������� ����� ������������ �������

1 1 �� ����� �����SIMP�1"2� ������������������������������� � ���1�q � �1(+2��

������1Sigmund 2001a�2�������������������5.1�r����� ������������������

'�$�"����������� �������������������

��� ����� �� ���� ��� �������� ���� ����� �������� ����������� ����� �� ������

���� ������ ������ ���� ������ ������� �� ����� �������� ������ �����h�������� ������

������������������������������������������������������1�����$+�2�

Page 110: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+*��

�������

� ����$+� -��� ����� ��� ���� ���� �������� ������ ������ ��� ���� ����������

������� ����� ����� ������ ������ ����� ������ ����� ����� ������ ����� ����� ����

�������������������������a/h�

� ����� ���� ����� ������ ������� ���a���� ������� ��� ����5.4�ah� ��������� ���� ��

� �� ����� ������ ��� ��� ������ �������� �� �����24������� �� ������ ������ ����

��������0 0.15� ��������������� �����-�

Jj ,...,2,1���0.001j�� �����1+"2�

j�������������������������#������������������������������������ ������%)��

Page 111: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������+(��

�������

��

� ����%)� -��������������� ����� �������� ���������� ����������� � ���������������

� ���� ������� ��� ��.54= a /h� �� ���� ������ ���0 0.15� �� ������ ��� ������� �����

PIMS� �� ���1 3 �� � ���� ������� �����.51= r � ������ � ����� ����� ����� �������

���� � ��� ��������� ������� ����� ����� ��� �����045� � ���� ���������� ��� �����

�������������������������������������������������

�� ���� ������ �������� ��� ����%$� �������� ���� ����� ����� ������ ��������� ��

� ������ ��� � ��� ��� ������ ����457������ ����� ���� �������� �������� ��������

������� ����� ������ ���� ������� ���� ���� ������ ��� �������� ������ ����� ����

����� ��� �������� ���� ���������������� ����� ������� �������� ����� �������� ��

������ ��� ��������� ��� ���� ����%"� ������� ���� ����� ���� ������� ������ ����� ��

������������������������ ������������������������ ������������� ������� ���

������ ��� ��� ������ � ������ ������ �� ������ ���� ��������� ������� ������

1�"++*� 2Karolyi and Rozvany� ������ ���� ��� ������� ������ �� ���� �� ������� ���

��� ������� ���� ��� ���� ���� �������� ����� �� ������� ���� ������� ���� ������

���������������������������������

Page 112: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������++��

�������

� ����%"� -�� ������ ��������� ���� ��� ����� ���� ������� � ����$+��� �������� ����

������� ����� ������� ��� ��������� ���� ���� ����� ����� ����� ������ ����� ���� �

����������� �����������°%&��������������� ���

����� ����� ��� ����������� ������� ����� ������� ����� ���� ���� ������ ������ ����

���� ����� ����� ������ ������ �������� ����� �� ����������� ������� ���� � ��

������� ������ ������ ���� ��� ������� �������� ���� ���� ������ ������� ���

��������������������������������������

� ����%#� -��� ������ ��������� ���� ��� ����� ���� ������� � ����$+��� ������� ����

� ��� ����� ����/#"� ��������� ������� ����������� ������� ���� ���� ��������� �������

������� �� ����� ������ ����� ����� ������� ������ ������� ������ ������ ���� ��

������������������������ ���� ����

Page 113: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"))�

�������

��� ������ ������ � ��� ��� �������45���� ����� ����� ����������� �������� ����

)�&� ������� �� 4,4.5,5,...� ������� ����� ������������� ��� ��� ����� ��������

����� ���� ��� ������ �������� � ���� ���� ��� ����� ���� ������������ ����� ���

������� �� ����� ���%�#&1�� ���� ����%$� 2� ��� ������ ����� ���� ������ ����� ������

����������������45������������������������������� ���� ������� ����������

������ ����� ��������� �������� ������ ���� ������ ������ ����� ����� �������

��������������

�����%$�-������������������������������������������� ����������� ������������

������������������$�&1������2���%�&1������2�����������������)�#&�

'�$�#�����������������������������������

���� ����� ����� ���� ����� ������ ��� ����� ����%%� ����� ����� ����� ���� �����

� ���� ��������� ������� ������)�#���"�#� ������� �������� ������ ����� ����� ������� ����

������� �������� ����� ��� ��������� ����� ���� ���� ���� ���� ������ ������ ��� ������

���N������������������������N/2:���

Page 114: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")"�

�������

� ����%%� -���� ���� ���� ����� ����� ��� ���� ��������� ��������� ����� ������ ���

������� �������� ����� ������ ������ ����� ����� �� ���� ��� ������ ����� ���� ���N�

������������������������

��� ���� ����� ������� ������ ��� ����� � ������ ����� ������&�+� ���� ������

��� ������� ������� ������ ������ ������� ���� �������� �������� ����� ��� �������

������ �� ������ ����� ������ ��� ��N������� ������ ������ ������ ��� ��

��������������������� ���N��������

�� ����� ���� ������ ������� ������ ����� ��� �������� ��������������� ������ �� ���

�� ���������� ����� ������ �� ������ �� ���� ����� ����16�N� ������ �������� ������

�� ������ ���� �����70X27�� ������ �������� ���� ������ ������� ���� ��� ��� ����

������ ��� ����%&���� ������ ����� ����� ������� ��� ������ �� ����� ����

����������������16�N� ������������������������� ����������������� ���

�������������������� ����������������� �������������������������������

������� ����� ��� �� ���������� ���� ������ �������� ����� ������ ����� ������ �����

�����������������

Page 115: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")#�

�������

� ����%&� -���������� �������� ����������� ���0�N��������� �������������������

���� ������ ������ ����� ��� ������� ������ ��� ����� �� �� ����� ���� ����X����

������������ ��

�� ��� ����%'� ��������� ��� ��������� �������� ������ �� �����N� �������������

�������������������1�N� ������������������� ���������������� ����N��������

����1�N1����� ���� ���� 2� ���� ����� ��� ��� ����� ������ ���Michell� ������

2�N1������� ���� ���� 2� ������ ���� �� ����1� ���0N� 2������� ������� �����

����������������� �����������������������3�N� ����������������������������

� ��������������� �����10�N� ���� ���� ��� ����� �������������%&�������������

Page 116: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")$�

�������

������� �� ��� ���� �� ����� ����� ���� ������N� ������ ���� ���� ���� ������ ���

� ���� ���� ���� ����N�� ���� ������ ����� �������� ����������� �� �������� ���

��� ���������� ��������1�N� ����� ������� ������� ��� ������������������ �������

��������������������������������N���� ������������������

�����%'�-��������������������������� �����������������������1N� 2�����������

� ����� ������ ������ ���� ����� ������� 25, 18 , 10, 3, 1= N � ������� ���

� �� ���� ������ ������ ������0N� ��������� ����� ���� ��� �� �� ������ �����

���� �����

� �����S����������� ����%'� ���������������������������� ������� ��������� ������

� ��� ���N� ��������� ��������� ������ ������ ������� � ���� ��� ������� �������

� ��� ������ �����5@N����� ���� ��� ������N������ �� ����� ����� ������ ���

Page 117: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")%�

�������

����� ��� ������� ������ ������ ��� ������ ������� ��� ���� ������ ��� ��� ����

�� ����� ����� ������� ����%&� ���������� ���� ��� ������� ������ ���� ������� ��

�����������������������������������������������������������������������"���������

������� ���������������������� ������������ �������������������������

� ���� ��1�� 2Cherhaev and Checkaeva������� �� ����� ������ ���� �����

������ ������� �������� ���� ��� ������� ��� ��������� �������� ������ ��������� �����

��� ���� ���� ������� ���� ������ ��� ������� ����� ����� ������� ���� ������� ����

��������������������������������������������

'�$�$��������������������������������� �����������������������

���������������� ����� ������� ������ � ���������� ����� ����� �����������

������� ���������� �������� ����� ��������� ������ ���� ������ ��� ������ ������ �

����� �������������������������������������������������� ����������������

� ��Kirchhoff� ���������� ���� �'� ������ ����� ����1$�� ����� ���������$��������

�����2� �% ������������ �� ���� ����� ��� ����"x"���� ��������� �������� ��� �������

� ������� ����� ���� ���� ����� ���� ������0.3� �� �� ���� ����� ���� ���� ������

� ��� �� ����� ��� ������� ������ ���� ����� ���� ������� ������� ����1t� 2����

� ������ ����� ���� ������� ����� �������� ������ �������� ������������t�

������������(90)��-

(92) 3j j

j j

K K

t t

&�

&������

Page 118: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")&�

�������

������ �������� ���� ������ ������ �������� ����� ���� ��3x3� ��������� ��������1����

� ����%*2� �� �� ���� ������� ������ ��� �������016x16� �� ����� �� �����%�� ���������$�

��������������������������

��

���

)�����2�����1�����������2����

�����%*�-�� ����������������������������� ��������Kirchhoff�������������

������������������������3x3��������������������.�����������������������%���������

��� ���� ����� ��� �������� ����� ������ �������� ��������� ������ ��� ���� ��

��������������� ���������k1�������������������� 2����������������������k�

��l�������������������������2����� ���������������������1(+2����� �������-

(93)

( )1 1

0 0( 1) 1

mqN LjT

k kk l jm

j jj

Ku u

x

v� �

%

� �

� ��

� �&' (� �) *&� �) *4 � �) *� �) *� �+ ,� �

$ $

�����N���L�������������������������������������k���l��������$�����������

���������������������������������������� � �����������������&�""���

Page 119: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")'�

�������

1��2�

1��2

� ����%(� -��� ������ ������ ��� ������� ����� ����%*� ����������� ��� �� ������ ���

��� ����� ����������� ������������� ����� ��� ���� ������������ ��� ��� �������� ����

��������������������� �����������������������������

� ������ ��� ������ �� �����1� ����%(� 2����� ��� ���� ������� ��� ����� ������ ����

�� �������� ������������� � �� ������������ ����� ����������������������������

���%�������������������������� �����������������������������

'�$�%���������������������� ������������������������� ����

�������� ������ ����� ������ ���� �������� ������ ���� �������� ���������� ����

������%+���

Page 120: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")*�

�������

��

1��2���1��2�����

� ����%+� -�� �� ����1��������� 2����� �������������� �� ����������� ���� ���� ����

������� ����� � ������� ���� �������� ����� ������� ����� ���������1X1� ������ ���

�� �������������%))������������� ������

�� ���� ������ ������ ������� ����� ����� ������ ��������� ���� ������ ��� � ������� ���

� ����� �����1� ���� ����%+���� �2���� �� ������� �� �� ������ ���� ���� ����� � �

������ ����� �� ����� ���� �������������� ����� ������ �������� ��� �� �������� ���

��������������������������� �� ����������������&�"#� ���������������������������

������ ������ ����� ������ �������� ������ ����� ���� ����� �������������� ����� ��

��� �� ������ ���� ��!������ ������ ��� ����������������� �������������� ������� ���

� ������ ����������%))����� ������������� ���������� ������������� ���������������

� ����% ������ ������ �� ���� ������� ����� � ��)�*� ����������� ����� ��� ������1����

�����%+����2�

Page 121: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")(�

�������

1��2 1��2

� ����&)� -�� ����� �� ����� ������ ���� ���� ����� ����%+� ���������� ���� ����� ������

����������0 0.1� ������������� ����� �������������������������������0 0.2� ���

��

��� ��� ���� ������ ������� � ����� ������ ����� ������� ������&�"#� �������� ��

������������������������������������������������������������������������

����������������������������0 0.1� ������������������������� ����������&)�

��� ���� �� �������� ����� ����� ����� ����� ����������� �� �� ���� ��� ����� �����

������������������������������������������������������ 0 0.2� ������� ����

������ �������� ������ �� ������ ����� ���� ������ ��� ������ �� ��� ��������������

��� ���������� �������� ������ ��� ������ ����&)���� ���� ������� ����� ����� ����

���������������������������������������������������������

Page 122: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������")+�

�������

� ����&"���� ����� �� ����� ������ ���� ���� ������ ����%+� �������� �� ����� ���

���������������� ���������� ���� ����� ����������������������������������1� ����&)�

���2����� ���� �������������������������������� ����

� ����������������������������������������� ������������ ���������� ������

� ���� ��� ���� ����0 0.2� �� ���� ������� �������� ���� ���� �����������������������

��������������������������������������������������������������������������

��� ��� ���� ������������� ���� ������ �� �� ����� � ��� ������ ������� ������ �����

���� ��� ������� �������� ����� ������ ������� ������ ������� ����� �����

���� �������������������

Page 123: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"")�

�������

"�������

��������������������������������� ��������� ������������������������������

����� ����� �� � ���� ����� ������ ������� �� ������ ���� ���� ��� ����������

�!����� !� �������� ������ �� ������ ������� ����� ������ ������� ������ �� �����

����� �������� �������� ������ ����� ������� ���������� ������ ���� ����� ���� �����

����������������������������������������������� ����������������� ����������

������� ����������������� �������� ������������ ������� �������������������

������������� �����������������������������������

"$��� ��� ����������������������� � ���

����������������������������� ���������� �����������������������������������

������� ����� ������ ����� ����� ������� ����� ������� ��� ���� ������ ������ ����

������ �� ���� ��� ������� �� �������� �������� ����� ����� ����� ����� ����

��������� ������ �������� ����� ������ ���� ������ � ��� ��� ������� �� ��� ���

����� ������� ������� ����� ������� ��������� ������ ������ ��� ����� �������

������ ���� ������� ��� ����� ������� ����� ����� ��� ������ ����� ������ ����� ��������

����� �������������� � ��������� ������ ��� ��� �� ���������������� ����� ��� ����

�������� ���� ������� ��� ���� ������� �������� ������� �� �����Prager������� �����

����� ���� ����� ����� ����� �� ������� �������� ���� ������ ������� � ����������

����������������������������

������� ��� ������ ���� ����� ��� ������ ����� ����� ������ ������� ��� ����� �����

�������� ������� ������� ������� ���������� ������� ������� �� ����� ���� ����� ���

�������� ������ �������������������� ��������������������� ���������������� ����

����� � ���� ������ �������� ����� �������������� �� ����������� ������� �

Page 124: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"""�

�������

� ������� ������������ �������� ������ ���������� ���� ��������� ��� ������

���� ����� ����� ��� ������ ��� ���������� ������� �� ����� ��� ������� ����� ��������

����� ������ ��� �� ��� ������ ������ ����� ���� ��������� ��� � ����� ������ ����� ��

���������� �� ������ �� ������� ����� ������������ ����� ������������� ��� ������

����� ���������������������������

�������������������������������������������������������������������

����� ������ ���� ��� ��� ����� �������� ��������� ����� ������ ����� ������ ���������

��� ����������� ������� ������ ���� ������ ���� ������� ��������������������������

���� ���� ������ ������� ��� ���� ���� ����� ���� ���� ���� ����� �������� �������

� ����� �� ����� ���� ����� ������ ����� ������� �� �� ��� ���� ������������ ���

����� ���� ������� ��� ������ �� ����� ������ ���������� ���� �������� ������

� ���� ������� ��������������� �������������������������������������������

��������������������������

*�"�"��������������������

��������� � ���������������� �������������������������� �����������������

� ������� ���� ������ ����� ������� ������� ��� ������� ������� ���������� �����

������ ��� �������� ��������� �� ������ ������ ������ ��������� ����� ������ �����

����� �������� �� ����� ������ ������� ��� ��� �����1;Hammer and Olhoff 1999�

Chen and Kikuchi 2000��2��������������������������������������

"$�� ������� � ��� ��� ��������

����� ����� ������� ��� ������ ����� ���� ������� ������ ����� ������ ������� �� ��

������������������ �������������������������� ��������������������������

Page 125: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""#�

�������

������������������ ������������������� ����������������� ���������������

������������������������ ����������������� ����� ������������������������ ��

��� ���� �� ������� ���� ����� ��� � ���� ������������� ����� ����� ����� ����� ��

����� ����� ������ ������ ��� ������ ������� ���� ����� ���������� ������� ������ �����

������ ������� ������� ���� ��� ������ ������ ����� ������� ������ ��� �������

���� ���� ������� �������� ����� ����� ������ ������ ���� ������ ������ �������

������ ���� ���������� ������ ����� ��� ������ �� ����� ���� ��������� ���� ������ ����

������������������������������������������������������������

� ��� ������ ����� ����� ����� ����� ����������� ���� ���� ��������� ������ �����

��������� ��������� ����� ���������� ������ �������� ������������������� ����

������ ������ ����� ����� ��� ����� ������������ ������ �������� ������

������������������ �������������������������������������������� ����������

���� ������� ������ ������� ������������� �� ��� ������ ���� � �� ��������������

�������� �������� ������ ���� ��� ������ �� ����� ���� �� ������� �������� ���

���������� ������������������� ������� ����������������������������������

� ����� ������ ����� ����� ��M������ ����� ��M��������������������� ���������

�����������������������

����������������������� �������������� �������������� � ����� �����������

� �������� �� ������������ ����� ������� ���� ������ ������� ��� ������ �����

� ������ �����M� �� � ����� ������� ���������� ���� ��� � ������ ������ �� �����

������ ������ ����������������� ������� ��� ������ ������������� � ��������

������ ������� ������ ������������� ����� ����� �������������� ���� ��� �����

������� ������ ��� ��������� �� �� �� ����� ����� ��� ������� ���� ����� �������

������������ �������������������������������� ������")��������������������

������ � ���� ����� ��� ������ ����� ���� ��� �������� ����� ������� ���� ���

�������������������������������������������������������������������������

Page 126: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""$�

�������

���������������� ����� �������������������� � ������������ ������� ����������

������� �������� ����� ������ ������ �� � ���� �������� ����� �� ����� ��� ����

�� ���������� ����� ��� ���� ���� ������������ ��� ������� ��� ����� ������� ��

�������� ����� ����������� ������ ����� ������� ������ ������� ����� ���� ������������

������� ���� ��� ���� ����� ����� ��� ����� � ���� ���� ������� ����� � ����� �������

����� ������ ���� ����� ���� ����������� ��� ���� �� ���� ����� ������� �������

���������������������������

�� ����� ������ ������ ����� ����� ������ ���� � ���� ��� ������� �����������

� ������� �� ��������� ������ ������������� ��������� ����� ����� ������ �� ����� ���

��� ������ ������ ������ ������ ���� ��� ������������� ������ ����� ������ �����

������� � ���� �� ������ ����� ������� ������ ��������������������������

������� ������ �������� ������ ����� ����� ���������� ����� ��� ������ �����

������ ��� �� ������� ���� ��� �������� ������ ����� ����� ���� � ���� ������ ����

�� ���������� ������� ����� �� ���� ����� ������� ��������� �� ������ �������

�� ����� ��������� ������� ��� ������� ����� ����� � �����M�������� ������

� ����� ������M����� ������� ������ ������ ����� ������� ���� ����� ����� ����

������� � ���� ��� ������� ������ ����� ������� ������� ������ ����� ���� �����

��� ���� ��� ������� �������� ����� ����� ����� ������ ������ � ����� �������� ���

���������������������

*�#�"��������������������

������ ��� ����� ��� ��������� ������ ������ �������� ���� ������� �������

���� ����� ���� � �� ��� � ���� ������ ����������� �� ����� ���� ���� ��

������ �������� ����� ��� ����� ����� ��� ������ ����� ��������� ������ ���� ����

������� ������ ���� ����� ������ ����� ������� ���� ��� ����� ������� ������ ����

������ ������� ��� ���� ����� ������ ����� �� ������� ��� � ��� ������� ������

Page 127: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""%�

�������

������������������� �������������������� ������������������������������������

�� ����� ��������� ������ �� ����� ���� ����� ������� ��� ��������� ������ ���

DFT� �������� ������ ������� ������� ������ �������� ����� ��� ������ ��������� ����

�����1�������� �����DFT2� ���������������� ���� ���������� ���#��������������

������� ���� ������ ������� ������ ����� ����� ������ ��������� ������� ����

������� ���� ������ ������ ���� ������ � ����� ���� ����� ��� ���� ��� ������� �����

� ���� ������ ������� ������ ������� �� ����� ���� �� ����������� ���� �� ������

������������� ����������������������������������������������������

��

"$��� ������� � ��� ��� ��������� � ���

����� ����� �������� ���������� ������ ��� ����� ���� ������ � ���� � ��� �� ����

��� ���� ��������� ������ ��������� �������� ����� ����� ����� ���� ��� ���

����������������������������������� ���������� ������� ������ ����� ������ ����

������ ������ ��� �� �������� ����� ���� ����� �������� ��� ���� ������ ��� �������

������ ��� �������� �������� �� ���� ������� ������ ����� ������ ������� ���� ����

�� ������������ �� ������ ���� �������� ��� �������� ��� �� ����� ������ �����

������������ ��� ��� ������ � ���� ������� ������ ������ ��� ��� ���� ������� ��

��������������������� ������������������������� ������������������������

������ ��� ���� ��� ������ ������ �� ������ ������ ��� ����� ����� ������ �� ����

������ ��� ���� ����DFT� ������� ��� ��� ������� ���� ����� ��� ������ ��� ������

��������� ����������������������������������������������� ����������

��� ������������������� ���� ������������� �� ������ ������ ����������������

������ ��� ����� ���� ������ �� ������������ ������ ��� ������ ������ ����� ���� ���

������ �� ������ ����� ������ � ������ ��� � ��� �������� ������ ���� �����

��������� �� ������ ������� ����SIMP����������������������� ���� ������ ����� ���

Page 128: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""&�

�������

)/"��� ������ �������������� ��� ���� ����� ������� ��� �� ��� ����� ������ ����

���������� ��������������������������������������������������������������

��������������������� ������ ����������������� �������������������������� ���

�������� ��������������� �������

��� ����� � �������� �������� ����� ����� ��� ���� ���� ����� ��� ��� ������ ��

�������������������� ���������������� ������������������������������� �

������������ ��� ��������� ����������������������������� �����045����

�� ������ ������ ������������� ������ ���� ������� ��� ������ ��������� �

����� ������ ��� ����� ������� ������ ������ �������� ����� ���� ����� ����

� ������ �� �������� �����Michell� ������ ������ ������ ��� ����� �� ���� ����

������ �� ����� ����� ������ ����� ���� ������ ����� ������ ����� ����������

������� ����������� ����������� ���� ������������ ������������ ������ � ����

����� ���� ����� ��� ���� ����� ������� �� ������� ���� ����� ������������� �����

��������������� ��� �������������������������������� ���� ������������

�� �� ������� ���� ����� ��� ������� ���� ���1������ ������ ���� �� �2������� �������

������ ������� ���� ����� ������� ����� ������ ��� � ������� �������� ����� �����

��� �� �� ����� ����� ����� ������ ����� �� ������ ������ ���� ������ ��� �����

���� ������������

*�$�"��������������������

������ �� ����������������� ���������������� ���������������������� �������

����������� ������� ����������������� �����������������������������������������

��� ������!� ������� ������� �1Larsen et al. 19972� ����� ������� �������� ����������

��� ��� ��� ����� ������ � ���� ������������ �������� ��� ������� ������� �����

��������� ������ ������ ��� ��� ����� ����� ������ ����� �� ������� ����� ��� ����

������������������������������������������ �������������������������

Page 129: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""'�

�������

# ������

1. Aboudi, J. 1989: Micromechanical analysis of composites by method of

cells. App. Mech. Rev. 42(7), 193-221

2. Allaire, G. 1997: The homogenization method for topology and shape

optimization, In "Topology optimization in structural mechanics", G.

Rozvany ed., pp.101-134, CISM Courses and Lectures 374, Springer

3. Allaire, G.; Conca, C.; Planchard, J. 1998: Homogenization and Bloch

wave method for fluid tube bundle interaction. Comput. Meth. Appl. Mech.

Eng. 164, 333-361

4. Allaire, G.; Kohn, R.V. 1993: Optimum design for minimum weight and

compliance in plane stress using external microstructures. Eur. J. Mech.,

A/Solids 12, 839-878

5. Ananthasuresh, G.K.; Kota, S. 1995: Designing compliant mechanisms.

Mech. Engrg. 117(11), 93-96

6. Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D. 1976: Solid State Physics; Saunders College:

Philadelphia.

7. Atkinson, W.E. 1988: An introduction to numerical analysis. John Wiley

& Sons.

8. Auster, P. 1988: The invention of solitude. London: Faber and Faber Ltd.

9. Beaupre,G.S.; Orr, T.E.; Carter, D.R. 1990: An approach for time-

dependent bone modeling and remodeling .Theoretical development. J.

Orthopedic Res., 651-661

Page 130: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""*�

�������

10. Baklanov, E.V. 1964: Radiation of electromagnetic waves from a system

of semi-infinite plates. Soviet. Phys. Dokl. 8(11), 1100-1102

11. Beckers, M. 1999: Topology optimization using a dual method with

discrete variables. Struct. Optim. 17(1), 14-24

12. Beckers, M.; Fleury, C.A 1997: Primal-dual approach in truss topology

optimization. Computers & Structures 64, 77-88

13. Bendsoe, M.P. 1989: Optimal shape design as a material distribution

model. Struct. Opt. 1, 193-202

14. Bendsoe, M.P. 1995: Optimization of structural topology, shape and

material. Springer

15. Bendsoe, M.P.; Kikuchi, N. 1988: Generating optimal topologies in

structural design using a homogenization method. Comp. Meth. Appl.

Mech. Engrg. 71, 197-224

16. Bendsoe, M.P.; Rodrigues, H.C. 1991: Integrated topology and boundary

shape optimization of 2-D Solid. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg 87, 15-

34

17. Bendsoe, M.P.; Sigmund, O. 1999: Material interpolations in topology

optimization. Arch. Appl. Mech. 69, 635-654

18. Bolotin, V.V. 1980: Mechanics of multilayered structures.

Mashinostroenie, Moscow, (in Russian)

19. Bolotin, V.V.; Partsevskii V.V. 1968: Stresses in lamellar medium

acted on by a concentrated force. Mekhanika Tverdogo Tela 3(2), 52-57

Page 131: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""(�

�������

20. Bossavit, A. 1986: Symmetry, groups and boundary value problems. A

progressive introduction to noncommutative harmonic analysis of partial

equations in domains with geometrical symmetry. Comp. Meth. Appl.

Mech. Eng. 56, 167-215

21. Brillouin, L. 1953: Wave propagation in periodic structures. Dover

Publication, New York

22. Budiansky, B.; Wu, T.T. 1961: Transfer of load to sheet from a rivet-

attached stiffener. J. Math. Phys. 40, 142-162

23. Bulman, S. Sienz, J. Hinton, E. 2001: Comparisons between algorithms

for structural topology optimization using a series of benchmark studies.

Computers & Structures 79(12), 1203-1218

24. Burishkin, M.L. 1975: On the static and dynamic computations of one-

dimensional regular systems. J. Appl. Math. Mech. 39(3), 487-493

25. Cai, C.W.; Liu, J.K.; Chan, H.C. 2002: Exact analysis of bi-periodic

structures. World Scientific Publishing Co., Inc.

26. Chen, B.C.; Kikuchi, N. 2000: Topology optimization of structures and

compliant mechanisms subject to pressure loads. Proc. OptiCON 2000,

pp.1-10, Irvine, CA: Altair Engineering, Inc.

27. Cheng, K. T., Olhoff, N. 1982: Regularized formulation for optimal

design of axisymmetric plates. Int. J. Solids Structures, 18(2), 153-169

28. Cheng, K.T.; Olhoff, N. 1981: An investigation concerning optimal design

of solid elastic plates. Int. J. Solids Structures 17, 305-323

Page 132: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������""+�

�������

29. Cherkaev, A. 2000: Variational methods for Structural. Optimization.

Springer Verlag, NY

30. Cherkaev, A., Cherkaeva., E. 1999: Stable optimal design-for uncertain

loading conditions. in: Homogenization. V. Bordichevsky, V. likov and G.

Papanicolauo (Eds.), Series on Advances in Mathematics for Applied

Sciences, 50, World Scientific Publishing Co. Ltd., Singapore, 193-213

31. Conca, C.; Planchard, J.; Vanninathan, M. 1995: Fluids and Periodic

Structures. Wiley, Chichester

32. Da Silva, S.O. 1998: Generation of ground structures for 2D and 3D

design domains. Engineering Computations 15(4).462-500

33. Dean, D.L. 1976: Discrete field analysis of structural systems. CISM,

Courses and Lectures 203, Udine

34. Diaz, A.; Bendsoe, M. 1992: Shape optimization of multipurpose

structures by a homogenization method. Struct. Opt. 4, 17-22

35. Diaz, A.R.; Lipton R. 1997: Optimal material layout of 3D elastic

structures. Struct Opt. 13, 60-64

36. Diaz A.; Sigmund O., 1995: Checkerboard patterns in layout optimization,

Struct Opt. 10, 40-45

37. Dinkevich, S. 1990: Finite symmetric systems and their analysis. Int. J.

Solids Struct. 27(10), 1215-1253

38. Dobbs, M.W.; Felton, L.P. 1969: Optimization of truss geometry. J.

Struct. Div., ASCE 100(ST1), 1118 – 2105

Page 133: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#)�

�������

39. Dorn, W.C.; Gomory, R.E.; Greenberg, H.J. 1964: Automatic design of

optimal structure. J. de Mecanique 3, 25-52

40.�Eatwell, G.P.; Willis, J.R. 1982: The excitation of fluid loaded plate

stiffened by semi-infinite array of beams. J. Appl. Math. 29, 247-270

41. Fernandes, P.; Guedes, J.M.; Rodrigues, H. 1999: Topology optimization

of three-dimensional linear elastic structures with a constraint on

"perimeter". Computers & Structures, 73(6), 583-94

42. Fleury, C. 1989: An efficient dual optimizer based on convex

approximation concepts, Struct. Optim. 1, 81-89

43. Frecker, M.; Ananthasuresh, G.K.; Nishiwaki, N.; Kikuchi, N.; Kota, S.

1997: Topological synthesis of compliant mechanisms using multi-Criteria

optimization. ASME, J. Mech. Des. 119(2), 238-245

44. Fuchs, M.B.; Moses E. 2000: Optimal structural topologies with

transmissible loads. Struct. Medtidiscip. Opt. 19(4), 263-273

45. Fuchs, M.B.; Moses, E. 1997: Shape Design of Structures Using a Bi-

material Composite with a Stress-Ratio Redesign Algorithm. WCSMO-2,

The Second World Congress of Structural and Multidisciplinary

Optimization, Zakopane 26-30 May

46. Fuchs, M.B.; Moses, E. 1999: Topological design solutions for structures

under transmissible loads. 5th International Conference on Computational

Structures Technology, Leuven 6-8 September, 2000

Page 134: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#"�

�������

47. Fuchs, M.B.; Paley, M.; Miroshnik, E. 1999: The Aboudi

micromechanical model for shape design of structures. Comp. Struct. 73,

355-362

48. Gibiansky, L.; Cherkaev, A. 1984: Design of composite plates of extermal

rigidity. Report 914, Phys.-Tech. Inst., Acad. Sci. USSR, Leningrad

English translation in: Cherkaev, A.; Kohn, R. (eds.) Topics in the

mathematical modeling of composite materials. New York: Birkhauser,

1997

49. Gutkowski, W. 1964: Unistrut plates. Bull de I'Academie Polonaise des

Sciences 12(3): 219-226

50. Gutkowski, W. 1974: Mechanical problems of elastic lattice structures. In:

Kuchemann, D. (eds.) Progress in. Aerospace Science, 15, Pergamon

Press, Oxford

51. Haber, R.B.; Jog, C.S.; Bendsoe, M.P. 1996: A new approach to variable-

topology shape design using a constraint on perimeter. Struct. Opt. 11, 1-

12

52. Haftka, R.T.; Gandhi, R.V. 1986: Structural shape optimization - A

survey. Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 57, 91-106

53. Haftka, R.T.; G u��rdal, Z.; Kamat, M.P. 1990: Elements of Structural

Optimization. Dordrecht: Kluwer

54. Hammer, V.B.; Olhoff, N. 1999: Topology optimization with design

dependent loads. WCSMO-3 Short Papers Proc. 629-631

Page 135: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"##�

�������

55. Hammer, V.B.; Olhoff, N. 2000: Topology optimization of continuum

structures subjected to pressure loading. Strct. Multidiscip. Opt. 19(2), 85-

92

56. Hashin, Z. 1983: Analysis of composite materials - a survey. J. Appl.

Mech. 50, 481-505

57. Hashin, Z.; Shtrikman, A. 1963: A variational approach to the theory of

the elastic behaviour of multiphase materials. J. Mech. Phys. Solids 11,

127-140

58. Hassani, B.; Hinton, E. 1998: A review of homogenization and topology

optimization II� analytical and numerical solution of homogenization

equations Computers & Structures 69, 719-738

59. Hinton, E.; Sienz, J. 1995: Fully stressed topological design of structures

using an evolutionary approach. Eng. Comput. 12, 229-244

60. Ikeda, K; Ario, I.; Torii, K. 1992: Block-diagonalization analysis of

symmetric plates. Int. J. Solids Struct. 29, 2779-2793

61. Jog, C., Haber, R. B., and Bendsoe, M. P. 1994: Topology design with optimized

self-adaptive materials. Int. J. Num. Meth. Engrg. 37(8), 1323-1350

62. Kangwai, R.D.; Guest S.D.; Pellegrino, S. 1999: An introduction to the

analysis of symmetric structures. Comp. Struct. 71, 671-688

63. Karolyi, G.; Rozvany. G.I.N. 1997: Exact analytical solutions for .non self

adjoint variable topoloy shape optimization problems: perforated

cantilever plates in lane stress subject to displacement constraints. Part I.

Struct. Optim. 13, 119—127

Page 136: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#$�

�������

64. Karpov, E.G.; Stephen, N.G.; Dorofeev, D.L. 2002: On static analysis of

finite repetitive structures by discrete Fourier transform, Int. J. Solids and

Struct. 39, 4291-4310

65. Kirsch, U. 1989: Optimal topologies of Structures. Appl. Mech. Rev. 42,

223-239

66. Kirsch, U. 1993: Structural Optimization. Berlin Heidelberg, New York:

Springer

67. Kohn, R. V. 1991. The relaxation of a double-well energy. Continuum Mechanics

and Thermodynamics 3, 193-236

68. Kohn, R. V.; Strang G. 1986: Optimal design and relaxation of variable problem.

Comm. Pure Appl. Math. 39, 1-25, 139-182, 353-377

69. Krog, L.A.; Olhoff, N. 1999: Optimum topology and reinforcement design

of disk and plate structures with multiple stiffness and eigenfrequency

objectives. Computers & Structures 72, 535-563

70. Langley, R.S. 1996: The response of two-dimensional periodic structures

to point harmonic forcing. J. Sound Vib. 197(4), 447-469

71. Langley, R.S.; Bardell, N.S.; Ruivo, H.M. 1997: The-response of two-

dimensional periodic structures to harmonic point loading: a theoretical-

and experimental study of a beam grillage. J. Sound Vib. 207(4), 521-535

72. Lanyon, L.E. 1987: Functional strain in bone as an objective, and

controlling stimulus for adaptive bone remodeling. J. Biomech. 20,1083 –

1093

Page 137: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#%�

�������

73. Larsen, U. D.; Sigmund, O.; Bouwstra, S. 1997: Design and fabrication of

compliant mechanisms and material structures with negative Poisson's

ratio. Journal of Micro-electromechanical Systems 6(2), 99-106

74. Li, D.; Benaroya, H. 1992: Dynamics of periodic and near-periodic

structures. Appl. Mech. Rev. 45(11), 447-459

75. Lurie, K. A.; Cherkaev, A. V.; and Fedorov, A. V. 1982a. Regularization of

optimal design problems for bars and plates, I. J. Optim. Theory and Appl. 37(4),

499-522

76. Lurie, K. A.; Cherkaev, A. V.; and Fedorov, A. V. 1982b. Regularization of

optimal design problems for bars and plates, II. J. Optim. Theory and Appl. 37(4),

523-543

77. Math-works, 1995: MALAB High-performance numerical computation and

visualization software – Reference guide� The Math Works Inc.

78. Mattheck, C.; Burkhardt, S. 1990: A new method of structural shape

optimization based on biological growth. Int. J. Fatigue 12,185-190

79. Maxwell, C. 1890: Scientific papers II. Cambridge: Cambridge University

Press

80. Mead, D.J.; Zhu, D.C.; Bardell, N. S. 1988: Free vibration of an

orthogonally stiffened flat plate. J. Sound Vib 127(1), 19-48

81. Michell, A.G.M. 1904: The limits of economy of material in framed

structures. Phil. Mag. 8, 589-597

Page 138: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#&�

�������

82. Moses, E. 1997: Structural topology optimization using the FSD method

(MSc-Thesis). The Iby and Fleischman faculty of engineering, Tel Aviv

University

83. Moses, E.; Fuchs, M.B.; Ryvkin, M. 2002: Topological design of modular

structures under arbitrary loading. Struct. Medtidiscip. Opt. (to appear)

84. Moses, E.; Ryvkin, M.; Fuchs, M.B. 2001: A FE methodology for the

static analysis of infinite periodic structures under general loading. Comp.

Mech. 27, 369-377

85. Moulton, T.; Ananthasuresh, G.K. 2001: Design and manufacture of

electro-thermal-compliant micro devices. Sensors and Actuators, Phys.

90, 38-48

86. Murat, F.; Tartar, L. 1985a. Calculus variations et homogenization, 57:

319-369

87. Murat, F.; Tartar, L. 1985b: Optimality conditions and homogenization,

Nonlinear variational problems (Isola d'Elba, 1983), Pitman Publishing

Ltd.,London, pp. 1-8

88. Neves, N.N.; Rodrigues, H.C.; Guedes, J.M. 1998: Optimal design of

periodic under elastic microstructures. NATO-ASI on Mechanics of

Composite-Materials and Structures, Trola, Portugal

89. Noor, A.K.; Andersen, M.S. 1979: Analysis of beam-like trusses. Comp.

Meth. Appl. Mech. Eng. 20, 53-70

90. Noor, A.K.; Andersen, M.S.; Greene W.H. 1978: Continuum models for

beam and plate-like lattice structures. AIAA J. 16, 1219-1228

Page 139: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#'�

�������

91. Nuller, B.; Ryvkin, M. 1980: On boundary value problems for elastic

domains of a periodic structure deformed by arbitrary loads. Proc. of the

State Hydraulic Institute 136, 49-55, Energia, Leningrad (in Russian)

92. Nuller, B.M.; Ryvkin, M.B. 198�: Boundary value problem for a domain

being a part of elastic space possessing translational symmetry. Proc. of

the state hydraulic institute 202, 11-14. Energia Leningrad (in Russian)

93. Olhoff, N.; Bendsoe, ,M.P.; Rasmussen, J. 1991 On CAD integrated

structural topology and design optimization. Comp. Meth. Appl. Mech.

Engrg. 89, 259-279

94. Olhoff, N.; Ronholt E.; Scheel J. 1998: Topology optimization of three-

dimentional structures using optimum microstructure. Struct. Opt. 16, 1-

18

95. Pedersen, P. 1989: On optimal orientation of orthotropic materials. Struct.

Optim. 1, 101-106

96. Petersson J. 1999 Some convergence results in perimeter-controlled

topology optimization. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 171(1-2), 123-40

97. Prager, W.; Rozvany, G.I.N. 1977: Optimization of Structural Geometry.

Dynamical Systems, A. R. Bednarek and L. Cesari, ed., Academic Press, New

York, pp. 265-293

98. Renton, J.D. 1964a: A Finite difference analysis of the flexural torsional

behavior of grillages. Int. J. Mech. Sci. 6, 209-224

99. Renton, J.D. 1964b: On the stability analysis of symmetric frameworks.

Quart. J. Mech. Appl. Math. 17, 175-197

Page 140: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#*�

�������

100. Renton, J.D. 1970: General properties of space grids. Int. J. Mech. Sci.

12, 801-810

101. Renton, J.D. 1996: Generalized beam theory and modular structures.

Int. J. Solids Struct. 33(10): 1425-1438

102. Rozvany, G.I.N. 2001: Aims, scope, methods, history and unified

terminology of computer-aided topology optimization in structural

mechanics. Struct. Mult. Optim. 21, 90-108

103. Rozvany, G.I.N.; Bendsoe, M.P.; Kirsch, U. 1995: Layout optimization

of structure. Appl. Mech. Rev. 48, 41-119

104. Rozvany, G.I.N.; Prager, W. 1979: A new class of structural

optimization problems: optimal archgrids. Comp. Meth. App. Mech.

Engrg. 19, 49-58

105. Rozvany, G.I.N.; Wang, C.M. 1983: On plane Prager-structures - I. Int.

J. Mech. Sci. 25, 519-527

106. Rozvany, G.I.N.; Wang, C.M.; Dow, D. 1982: Prager -tructures:

archgrids and cable networks of optimal layout. Comp. Meth. Appl. Mech.

Engng. 31, 91-113

107. Rozvany, G.LN.; Zhou, M. 1991: Applications of COC method in

layout optimization. From conf. "Eng. Opt. in Design .Processes" (held

in.Karrisruhe) pp.59-70; Berlin, Heidelberg, New York: Springer

108. Ryvkin, M.; Fuchs, M.B.; Nuller, B. 1999: Optimal design of infinite

repetitive structures. Struct. Optim. 18(2/3), 202-209

Page 141: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#(�

�������

109. Ryvkin, M.; Nuller, B. 1997: Solution of quasi-periodic fracture

problem by the representative cell method. Comp Mech. 20, 147-149

Page 142: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"#+�

�������

110. Samartin, A. 1988: Analysis of spatially periodic structures -

application to shell and spatial structures. Proc. of the Int. Symp. on

Innovative Applications of Shells and Spatial Forms, pp. 205-221.

Bangalore, India, New Delhi, Oxford IBH Publishing

111. Sigmund, O. 1994: Materials with prescribed constitutive parameters:

an inverse homogenization problem. Int. J. Solid Struct. 31(17), 2313-

2329

112. Sigmund, O. 1997: On the design of compliant mechanisms using

topology optimization. Mech. Struct. Mech. 25(4), 495-526

113. Sigmund, O. 2000: A new Class of extremely composites. J. Mech.

Phys. Solids 48(2), 397-428

114. Sigmund, O. 2001a: A 99 line topology optimization code written in

Matlab. Struct. Medtidiscip. Opt, 21(2), 120-127

115. Sigmund, O. 2001b: Design of multiphysics actuators using topology

optimization. I. One-material structures. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg.

190(49-50), 6577-6604

116. Sigmund, O. 2001c: Design of multiphysics actuators using topology

optimization. II. Two-material structures. Comp. Meth. Appl. Mech.

Engrg. 190(49-50),6605-6627

117. Sigmund, O.; Petersson, J. 1998: Numerical instabilities in topology

optimization: A survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-

dependencies and local minima. Struct. Optim. 16, 68-75

Page 143: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$)�

�������

118. Sigmund, O.; Torquato, S. 1999: Design of smart composite materials

using topology optimization, Smart Materials and Structures 8, 365-379

119. Slepyan, L. 1974: Crack in a layered medium. Selected problems of

Applied Mechanics, pp. 557-564. Viniti, Moscow, (in Russian)

120. Slepyan, L. 1988: Some basic aspects of crack dynamics. In:

Cherepanov G (eds.) Fracture: A Topical Encyclopedia of Current

Knowledge Dedicated to Alan Arnold Griffith, pp. 620-661. Krieger

Publishing Company, Melbourne

121. Smith I. M.; Griffith D. V. (1997) Programming the Finite Element

Method, 3rd edition. John Wiley & Sons

122. Suzuki, K.; Kikuchi, N. 1991: A homogenization method for shape and

topology optimization. Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 93, 291-318

123. Suzuki K.; Kikuchi, N. 1992: Generalized layout optimization of three-

dimensional shell structures. in D.A. Field and V. Komokov, Geometric

Aspects of Industrial Design, SIAM, 62-88

124. Svauberg, K. 1987: Method of moving asymptotes - a new method for

structural optimization. Int. J. Num. Meth. Eng. 24, 359-373

125. Swanson Analysis Systems, Inc. 1992: Ansys user's manual, Revision

5.0. Houston

126. Tanaka, M.; Adachi, T.; Tomita, Y. 1995: Optimum design of lattice

continuum material suggested by mechanical adaptation model of

cancellous bone. In: Olhoff. N.; Rozvany, G.I.N. (eds.) WCSMO-1, Proc.

Page 144: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$"�

�������

First World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization

(held in Goslar, Germany), pp. 185-192. Oxford: Pergamon Press

127. Taylor, J.E. 1977: Optimal truss design based on an algorithm using

optimality criteria. Int. J. Solids Struct. 13, 913-923

128. Thomsen, J. 1992:.Topology optimization of structures composed of

one or two materials. Struct. Optim. 5, p 108-115

129. Uflyiand, I.S. 1968: Integral transforms in problems of the theory of

elasticity, Nauka, Leningrad (in Russian)

130. Van Keulen, F.; Hinton, E. 1996: Topology design of plate and shell

structures using the hard kill method. In: Advances in structural

engineering optimization, Civil-Comp Press, Edinburgh, pp.167-176

131. Vigdergauz, S. 1986: Effective elastic parameters of a plate with a

regular system of equal-strength holes. Mech. Solids 21, 162-166

132. Wah, T.; Calcote, L.R. 1970: Structural Analysis by Finite Difference

Calculus. Van Nostrand, NY

133. Wilkinson, J.H.; Reinsch C. 1965: Symmetric decomposition of

positive defined band matrices. Numer. Meth. 7, 355-361

134. Wilkinson, J.H.; Reinsch, C. 1971: Linear Algebra. Springer-Verlag N.Y.

135. Xie, Y.M.; Steven, G.P. 1997: Evolutionary structural optimization.

Berlin, Heidelberg, New York: Springer

136. Zhou, M.; Rozvany, G.I.N. 1991: The COC algorithm. Part II:

Topological, geometrical and general shape optimization. Comp. Meth.

Appl. Mech. Eng. 89, 309-336

Page 145: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$#�

�������

! ����

Page 146: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$$�

�������

!$��� ���I� %� �������� � ��� ��������� ��� ������� ���� ����

������ ����� � ���������� ��

� ��������������������������������������������������������� ���������� ���

��� ������� ����������� �������� ������ ��������� �������� ������ ��� ������� ������

�������������������������������������������������������������������������

������������������ ����� ������� ������� ������� �����������������������������������

��������������� ���� ���� ����� ���������� �� ������� ���� ����������������� ����

����� ������� ��� �������� ������� ������� ����������� ������� ������ �������

������ ���� ����������� ���� ��������������������� ����� ��������������������

� ��� ������� ������ ������ �������� ������ ������� ��� ���� ������ �������

� ����������������������� �������� ������ �� ��� ������ ����� ��� ���� ���� ��

��� ����� ������ ������� ���� ������� ������ ��� ��� ����� ��� ������� �� ����

�������������

+�"�"���������������������������

� � ��LU���Choleski� ��������������������� ������������� ��� ���� �� �������

��������������������������Gaussian� ��������������������������� �������������

Gaussian�� ������� ��� ������ ������ �� ���� ������ ����� �������������

1�� ��������� ������-�Atkinson 19882��

���������������������������������������������� ��������������� �������

� ������LU� ������� ���Choleski�������� ����� ��� �������� �� ���� ��� �

����8�����������8�����������������������������������������������������������

Page 147: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$%�

�������

�����

MD�0��������������

AS0��������������

= Flops������������������(Floating Point Operations)�

b,a �0�����������������

A,B�0������������� ��

�:�0�����

��� �� � ���� �� ������ � ���� ��������

MD� AS� Flops� MD� AS� Flops�

a+b� 0� 1� 1� 0� 2� 2�

a*b� 1� 0� 1� 4� 2� 6�

A+B� 0� n^2� n^2� 0� 2*n^2� 2*n^2�

A*B� n^3� n^3� 2*n^3� 4*n^3� 2*n^3� 6*n^3�

LU(A)� (1/3)*n^3� (1/3)*n^3� (2/3)*n^3� (�/3)*n^3 (�/3)*n^3 2*n^3

Choleski (A)� (1/6)*n^3� (1/6)*n^3� (1/3)*n^3� (2/3)*n^3� (1/3)*n^3� n^3�

���� "�-��������� �������������������������� �

��� ����������������� ��������������������������-Math-works (1995)� �

����������������������������������������������������������� ������������

� � ���� ������������������������� ����� ��������������� �� ���� ������ ���

LU�� ���Choleski����

Page 148: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$&�

�������

+�"�#�� ���LU���Choleski�

� ��LU������� ����� ������ ����� ������� ������� � ���� ����� �����bAx ���

� ���� ��� ����� ��� ������ � ���A� ������� ������ ���� ���U� ����� �������L�

������������������������"�������ALU ����

����� ��������L,U������-�

(94) 3

26

)12)(1(3

)1( 32 nnnnnnASMD

ASMD

<��

���

� �����

����

� ��� �

������������������������

(95) 32

26

)12)(1(23

)1(424 n

nnnnnASMD <

���

���

�����������������������

����� ������������L�U�����������������������������-�

(96) gUxbbLga

bxLU

))

)(

��������������������-�

(97) ! " 22)1(2

)1(2

)1(nnn

nnnnAS

MD

<����

���

� ��

������������������������

(98) 26)1(2)1(424 nnnnnAMD <�����

Page 149: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$'�

�������

� ��Choleski��������������������������������������� ��������bAx �������

� �A� �� ����1� ��Hermitian������� ������� 2�� ����� ��������� ���� ��� �����������

����������� �L������ALLT ������� ���������L���������������������������

��������������LU� ����3/3n���������������������������32 / 3n�����������������

������� �� �� ����� ������ ����u� �� ���� ������� ���� ����LU���������� ����� ��

22 2,6 nn� ������� ������� ����� ������� ����������������� �������� � ���� ������

�������������-�Wilkinson and Reinsch (1971)��

+�"�$���������������������������� ������������� ����������

�� ���� ��� ��� ����������K��� ��������� �� �� �����n����� ����� ������� ���

��������������-

2++1 00 0

, ,

, 0, ,

p p p q

n nq p q q

K KK

K K

7

7 77

' (� ) *

) *+ ,

�����-�

�p q n� �

00,p pK� 0�� ����� ���� ��� ���� ������� �� ����� ������ �� ���!� �������� ���

�������������������������� ���,� �� ���

,q qK 77� 0�� ����� ���� ���� ������� �� ��� ������� ��������q���!����������

��������������,� �� ��

0,p qK 7� 0�� ������� ������� ���� �� ����� ������� ����q��!�������� ��������

��������,� �� �����p���!����������

����� ��U�L�����������K����������������������-�

Page 150: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$*�

�������

(100) ! " 00 000

0

0;

0

T

pxp pxqpxp pxqnxn nxn

qxp qxqqxp qxq

U UUL U

UL L

7

777 77

' ( ' () *� � ) *) * ) *+ ,+ ,

�����-��

� ��! "00 00 00T

pxp pxp pxpU U K8 � �����

� ���� ��� ��� ����A����� ������� ��� ����� ������� �� ���� ������ �� ����

� ������ ������� �����00U������� �� ������� ��� � ���� ������ ���� ����� ��� ��

Choleski����33p���������������������� ����-Wilkinson and Reinsch. (1971)��

��������������������� ��������������������� �0 0,U L� ����

��� �������������� ������ ��������� �k, l, u������ ���������������������U� �L���K��

���������������U�������������������0,1ik 7������-�

2")#1 0 0,1 1,1 ,1 1,2, , ,i il u k i q7 78 � �

�����-

2")$1 0

,1,1 00

1,1

1, 2, , ,ii

kl i q

u

777 � �

����������0,1il7��������0

,2il7������

(104) qiCUU iii ,,,2,12,2,22,2,11, ��8�8

����-�

Page 151: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$(�

�������

2")&1 0 0 00

,2 ,1 1,20,2 00

2,2

1,2, , ,i ii

k l ul i q

u

7 77 � 8

� �8

���������p����������������0,p qL7��������������������������-�

2")'1

10 0 00

, , ,0 1

, 00,

: 1, , , : 1, , ,

j

i j i k k jk

i jj j

k l ul i q j p

u

�7 7

7 �

�� � �

$

����������������� ����������������������������0U 7�����-�

2")*1

10 00 0

, , ,0 1

, 00,

: 1, , , : 1, , ,

j

j i i k k jk

i ji i

k u uu i q j p

u

�7 7

7 �

�� � �

$

���������������������������������������������������������������������������

���������������������������������-)1(8 �qpq�����������������

����� ����,L U77 77��������������LU���������� �������K 77� ������-�

2")(1 0 0, , , , ,

1 1

, 1,2, , ,p q

i j i k k j i k k jk k

k u l l u i j q77 7 7 77 77

� �

� � �$ $

������-�

2")+1 0 0, , ,

1

, 1, 2, , ,p

i j i k k jk

k u l L U i j q77 7 7 77 77

� � 8 �$

Page 152: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"$+�

�������

� ���� ���� ����,L U77 77������� ����� ���� ������ ������ ������� ������� ����

�����!����������������LU����-�

��

2"")1 0 0, , ,

1

, ( ) , 1...p

i j i k k jk

l u LU k u l i j q77 77 77 7 7

� � �$

� ����� ������� �qxq�������������pq 26��������������������� ������pq 22��������

� ���� �K 77������� �� �����32q� ���� �� ������U�L� ����!� �pqq 23 82 ��������

��������������,L U77 77��

+�"�%��������������

������������������������������ ��������u1����������������2��������������26n�

� ������ �������� ����� ����� �������� �����LU� �� ���� ��� ���� ��������1�������2

������������ ��������� ����� �� �� � �� �� ����� ����b������� ������ �� ���� ����

������������������������

+�"�&������������

���� �������������������������������������������������������������!��

���������������������������������N������������������� ������������ ���������

������� ��������� � ��� ������ ������ ���� ���� ����� ��� �������� �������� �����

� �������� ������� �������!����� !� ����FFT1�Fast Fourier Transform2�������� ����

�������������������������������������������������������������#��

Page 153: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%)�

�������

������� ���� ����� �������� � ������ ����$ �

�N

iii xfwdxxf

1

)()(� �����

�Gauss Legendre� �Simpson� �Newton-Cotes������ �� ������ ��������� ����� ��� ����N�

���� ������ ����� ������ �������� ��� ��� ��N� ��� ��� ����� ��� �����!� ������� �N�

� ����������������������������� ���� ���� ��� ����� �����!�������� �N8�������� ����

�����������������!��������������28nN����������

+�"�'���������������������

�� ������ ��� ���� �,L U������ ��� ����N������� ���������� ��������� ��� ���� ����

���� ������������������������������������������������-�

2"""1 �� 22323 863/)162( nNnppqqN ���� �

+�"�*���������������!����������������� ������������

� ����� ������ ������ �������� �� ������������ ������� ������� �� ������ ��

���������������� ������������������� �������� �������������������������

������ � ��� ����������������� ������� ��� ������ ������������� �����������

��� ���� ���� �� ������ ������� ���� ��������� �� ����� �� ����� ��������� ��������

�� ����� ��� ���� ��������Wilkinson and Reinsch (1965)� ���������� �������

Dyna� ��������������� �����������Choleski������ ��������������������� �

��������� �������

� ����N����� ������ ���������� ����� ������� �� ��� ���������� ��N������ �����

������� ������������ ��� ���� �������������� ������ �������� ����

Page 154: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%"�

�������

�Wilkinson and Reinsch (1965)�� �������)2)(1( �� mmnN����� �� ������ ��������

���������� ����������2m+1������ ��� ��Choleski��������! " 3/3

nN���������������

���� ����

+�"�(�� ����������

�� ������������� ��������������������������������������� ������� ������ �������

�������� ������ ��� ����� ��������m����� ���������� ������ ���� ������ ������ �����

2/nm ���

� ������� ������ ��� �����4/3nN ���� ������ ������ ��������������� �� �����

22323 8624/)162( nNnnpqqN ��������� �� ������ ��� ����������00K�����

������������������������2/n���

�����&#������������ ����������n=100 ,q=10��!����

Page 155: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%#�

�������

� ����&#� -� ���� �������� ����� ��� �������� ������ � ���� ������ �����"))��!�� ��")�

������������������������������������������������1lopsF2�

+�"�+�������

�� ����� �������� ����� �� ��� ��� ������� �����#������ ����� �������� ��

� ��������� ����� ����� ���� ������������� ����� ��������� ��� ����������

� ���������� ����� ������ ��������� ����� ���� ����N� ����� ������������������� ��

����� ����� ��� �������� ���� �������� ������� ��������������������� ������ ��� ���

������������������������������������N�

Page 156: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%$�

�������

!$��� ����II�* � ��� � �� � ������� ������� ���� ���� � �����

����� ����������� ������

������� ��� ����� ��� ������� � ���� ����� ����� �(Nuller and Ryvkin1980)��

��������� ������� ������ ���� �������� ���� ���� ����������� ������ ������ �����

������� �������������������������������������������������������������������

����� �� ���� ���� ����� ������ ��� �� ��� ���� ������� ������ ������ ���������

������� ������������������������

� ����� ����������������1���������&$2� �� ������������������������� ���������1x� 2������

1y� �2,y xk k�������������������������������������x����y������� ������������� �����

�����������������������������������N�������������15�xN�5�yN�2�

�����&$�-�������������������yx kk ,��������������������

Page 157: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%%�

�������

����������� ������� ������� ��������� ��� ������ �������f�������� ��� �������� ����

���-

(112)

11*

( , )0 0

1( , )

22,

0,1, , 1; 0,1, , 1

yxyx

x y

x y

NNikik

k kk kx y

yx

x y

x x y y

f f e eN N

llN N

l N l N

��

::�

����

� �

� 8 8

� �

� � � �

$ $

���������������������������������;�������������������-�

(113) 11 *

( , )0 0

1( , )

yxyx

x y

llikik

x yk kx y

f k k f e el l

��

��

� �

� 8 8$ $

���� ������� ��� ������ ��� ������ -x yN N� � 5����0 2 ; 0 2� : :� � � �������

�����������-�

2 2 *

( , )20 0

1( , )

4yx ikik

x yf k k f e e d d� : :

��

� :

� ���

� �

� 8 8 8 8 ��1""%2�

� ������� �� ������ ������ �������� ������ �� ���1����� ����&%� 2����� �� �� ����

�� ��������������������� ,K ������������� �������������� �����F� ����� �����

��������������������������������� ����� ���������������������������� ���

��������������.

Page 158: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%&�

�������

�����&%�-���������������������������������������

������������������������������������������� ����������(112)-�

(115)

11*

( , )0 0

1( , )

22,

0,1, , 1; 0,1, , 1

yxyx

x y

x y

NNikik

k kk kx y

yx

x y

x x y y

F F e eN N

llN N

l N l N

��

::�

����

� �

� 8 8

� �

� � � �

$ $

������� ��� ��� ���������� ������ ���� ������ ���������� ������ �� ���� �����

�������������������������������������������������������� ���*

U����-�

Page 159: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%'�

�������

(116)

11*

( , )0 0

1( , )

22,

0,1, , 1, 0,1, , 1

yxyx

x y

x y

NNikik

k kk kx y

yx

x y

x x y y

U U e eN N

llN N

l N l N

��

::�

����

� �

� 8 8

� �

� � � �

$ $

�����������������������-�� ie��������<2: )��� A ie������� <2: )��

��� ������ ���� ����� �� ����� ��yx kk ,�� ��� ��� �������� ������ ����������

1, x yk k�� ���x��� �� �� ��� ��� �������� ������ �������� ������ ���� ����1�xk��

�� ������x��1������ ����&%2� �������� �������� ������ ���� ����� ����� �����

� �� ��� ��� �������1�yk� ��1�yk� �� �y��� ��y

��������� �� ����m��!���� ������ ��

�������� �xn��!� ����� ��� �������� ������ �� ������x����yn��!������� �

�����������������������y��

���������������������������������������������-�

( ) ( 1) ( , ) ; ( 1, )

( ) ( 1) ( , ); ( , 1)

i x j x x x y x x y

i y j y y x y y x y

F k F k i k k j k k

F k F k i k k j k k

� �

� �

� � � 2� 2� �

� � � 2� 2� ��1""*2��

� �����ji FF ,��� ����� �������������������� ����������������� �������� �����

���������!��i,j�������������������1���2�����(115)����-�

Page 160: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%*�

�������

(118)

11*

( , )0 0

11( 1)

( , )0 0

1( 1) 1 *( 1)

( 1, )( 1) 0 0

1 yxyx

x y

x y

yxyx

x y

x y

yx xyx

x y

x y

NNikik

i i k kk kx y

NNiiki k

j k kk kx y

Nk Niiki k

j k k jk kx y

F F e eN N

eF e e

N N

eF e e F

N N

� �

� � �

����

� �

���� �

� �

�� � ��� �

�� � �

� 8 8 �

� � 8 8 �

� � 8 8 � �

$ $

$ $

$ $

���������������������������������������x�1""*2�������������������

(119) * *

;i j x xF F i j� � �� � 2� 2�

� �������� ������� ������ ������ ������� ������ ���� ����� �����y�������� ����

����������

(120) * *

;i j y yF F i jA � �� � 2� 2�

������������������ ��������������������:�

(121) 1

1

( ) ( 1) ;

( ) ( 1) ;x x

y y

i x j x k k

i y j y k k

U k U k i j

U k U k i j

� ��

� ��

� � 2� 2�

� � 2� 2�

������������ ���������������-�

(122) * *

;i j x xU U i j� � �� 2� 2�

* *

;i j y yU U i jA � �� 2� 2�

Page 161: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%(�

�������

���������������������������!�������������������������������������

2"#$1 * * *

K U P8 �

����������������������������������������� ����(119)��(122)�

��������������� U ������������������������������� ��

2"#%1 �:

� �

:

:�

ddeeUkU ikik 8888� ���

� ),(

*2

0

2

024

1)(

+�#�"������������

�������� ������ ������� ������ �� ��� ����!���� ��� ������ ���� ���� �������� ��

*

U� �� ������ ���� ����� ������� ������ ������Simpson 3/8� �������� ����� ����

�������� ���� ,y xM M��������x���������y���������

�������� ��������������������������������������Simpson 3/8����-�

(125) ! "! " ! "

2 2 *

( , )20 0

11 *22 2 2

2 ,221 1

1( , )

4

1(9 16 )

4

[1,3,3, 2,3,3, 2,..., 2,3,3,1]

yx

yxyx

ikikx y

MMik j Mik i M

i M j Mi ji j

U k k U e e d d

w w U e e M

w

� : : �

::: :

� :

::

� ���

� �

����

� �

� 8 8 8 8 <

< 8 8 8 8

$ $

Page 162: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

��������������� �������� ������������� ��������"%+�

�������

�����������������������������������������������������U��������yx kk ,��

����������� ��������������������������������������������������������������

��������.���������������������������������������������������������*

U���

���������������������������������������������������������������������-�

���� �

�yx

x

x

y

y

ikikl

k

l

kyx

eeUll

kU 88� $ $�

),(

*1

0

1

0

1)( �

������� ����������

Page 163: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

Topology Optimization of Repetitive Structures page - i

������

Abstract

This work extends the classical topology optimization method based on the homogenization

approach, to problems of structures subjected to transmissible loads and to periodical

structures. For the latter, a new efficient method for finite element analysis of periodical

structures is presented based on the method of the representative cell.

In the first part of this work we will use transmissible loads in topological optimization.

Classical topology design enables us to find the optimal structural layout in the design

region when only the forces and displacements are pre-defined. In the optimal structure

one often notices a marked difference between the main bearing structure and the load

transfer zones. The latter are composed of relatively light elements, the exact nature of

which is not very distinct. The main advantage of using transmissible loads is to allow the

main bearing part of the structure to emerge. Moreover, in many cases the location point

of the external load on its line of action is not fixed. We will show that in these cases the

condition that the load is transmissible can be converted to a condition of equal translation

along the force’s line of action. It also enables us to produce the load bearing structural

zones only without the secondary load transfer zones. The method is illustrated by typical

examples of two and three-dimensional structures. It is observed that this numerical

method produces indeed crisp images of the main structural components unblurred by the

secondary load transfer elements. It is also indicated that many results are often replicas of

Prager structures, which were previously obtained by analytical methods

In addition we will present a numerical method for the topology optimization and finite

element analysis of periodic structures under arbitrary static loads. The analysis and design

are defined on a single repetitive module. The analysis is reduced to a single cell by the

representative cell method that uses the discrete Fourier transform (DFT) to transform the

original problem to a boundary value problem defined on a single module, the

representative cell. This cell is meshed into dense finite elements and solved by the finite

element method in the transformed plane. Using the inverse DFT the real translations of

the periodic structure are obtained. This technique is combined with the topology

optimization of spatial periodical structures, under arbitrary loading. The method is

illustrated by typical examples of periodic structures with one and two-dimensional

translational symmetry, rotational symmetry, finite modular structures and floating

periodic structures under auto-equilibrated loads.

Page 164: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

Topology Optimization of Repetitive Structures page - ii

������

Table of contents

1 Introduction ......................................................................................1

1.1 Topology optimization of structures ..............................................1

1.2 Sliding loads ................................................................................3

1.3 Periodic structures........................................................................4

1.3.1 Periodic structures analysis ....................................................5

1.3.2 Topology optimization of periodic structures...........................6

1.4 Research objectives ......................................................................6

1.5 Research content ..........................................................................8

2 Literature survey ............................................................................ 10

2.1 Topology optimization of structures ............................................ 10

2.1.1 Design spaces ...................................................................... 11

2.1.2 The homogenization method................................................. 11

2.1.3 Formulation of the relaxation problem .................................. 12

2.1.4 The micro-mechanical model................................................ 13

2.1.5 Numerical difficulties .......................................................... 14

2.1.6 Heuristical search methods ................................................... 15

2.1.7 Minimization methods ......................................................... 16

2.1.8 Topology optimization of quasi-mechanisms ......................... 16

2.2 Transmisible loads ..................................................................... 17

2.3 Periodic structures analysis ......................................................... 18

2.3.1 Static analysis and the representative-cell method.................. 20

2.4 Topology optimization of periodic structures ............................... 21

3 The classical method for topology optimization ............................... 22

3.1 Introduction ............................................................................... 22

3.2 The micro-mechanical model 'SIMP'............................................ 23

3.3 The homogenization method by Bendsoe and Kikuchi .................. 24

4 Topology design with transmissible loads ........................................ 30

4.1 Introduction ............................................................................... 30

4.2 Main bearing structure and secondary elements ............................ 31

4.3 Topological design with transmissible loads................................. 35

4.4 Numerical example..................................................................... 35

Page 165: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

Topology Optimization of Repetitive Structures page - iii

������

4.5 Structural design for tension or compression only ........................ 47

5 Finite element method for periodic structure analysis ..................... 50

5.1 Introduction ............................................................................... 50

5.2 Strong and weak formulation for quasi-periodic problems............. 51

5.3 Finite elements analysis solution ................................................. 57

5.4 Short way to get the representative cell problem formulation ........ 62

5.5 Inverse transformation ................................................................ 64

5.6 Complexity calculation and comparison with the classical method. 65

5.7 Dynamic analysis applications .................................................... 65

5.8 Numerical examples ................................................................... 66

5.9 The representative cell method to solve structures with cyclic

symmetry ............................................................................................. 71

5.9.1 Method description .............................................................. 72

5.9.2 Numerical example .............................................................. 74

5.10 Analysis of structures with 2 dimensional symmetry..................... 75

5.10.1 The representative cell method of solving structures with two

dimensional symmetry....................................................................... 75

5.10.2 Numerical examples............................................................. 76

5.11 Analysis of modular finite structures ........................................... 79

5.11.1 Formulations ....................................................................... 80

5.11.2 The method’s effectiveness .................................................. 83

5.11.3 Numerical examples............................................................. 83

5.12 Analysis of periodic floating structures........................................ 84

5.12.1 The method of solving floating structures under self equilibrated

loads …………………………………………………………………….86

5.12.2 Formulation .......................................................................... 87

5.12.3 Numerical examples…………………………………………… 87

6 Topological optimization of periodic structures .............................. 90

6.1 Introduction ............................................................................... 90

6.2 Topology design of periodic medium ........................................... 90

6.3 Numerical examples ................................................................... 96

6.3.1 Infinite medium with linear symetry ..................................... 96

6.3.2 Disk solution under concentrative tangential force ............... 100

Page 166: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

Topology Optimization of Repetitive Structures page - iv

������

6.3.3 Optimization of structures with two dimensional periodicity or

finite structures............................................................................... 104

6.3.4 Optimization of infinite floating medium under self-

equilibrated loads............................................................................ 106

7 Conclusions ................................................................................... 110

7.1 Topological design of structures with transmissible loads ........... 110

7.1.1 Directions for further research…………………………………..110

7.2 Periodic structure analysis ........................................................ 111

7.2.1 Directions for further research…………………………………..112

7.3 Topological design of periodic structures................................... 113

7.3.1 Directions for further research…………………………………..114

8 References ..................................................................................... 116

9 Appendixes .................................................................................... 132

9.1 Appendix 1- The representative cell method complexity calculations

and comparison with the classical method ............................................ 133

9.1.1 The number of calculations for basic arithmetic operations ... 133

9.1.2 LU and Choleski method .................................................... 135

9.1.3 The proposed algorithm ..................................................... 136

9.1.4 Solving the equations......................................................... 139

9.1.5 Inverse transformation ....................................................... 139

9.1.6 Algorithm effectiveness ..................................................... 140

9.1.7 Commercial finite element solver .... ………………………...140

9.1.8 Comparison of the two methods .......................................... 141

9.1.9 Conclusions....................................................................... 142

9.2 Appendix 2- Development of the representative method for

structures with 2 dimensional symmetry .............................................. 143

9.2.1 Inverse transformation ....................................................... 148

Page 167: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

TEL AVIV UNIVERSITY

THE IBY AND ALADAR FLEISCHMAN FACULTY OF ENGINEERING

Topology Optimization

of

Repetitive Structures

By

Eyal Moses

THESIS SUBMITTED FOR THE DEGREE OF “DOCTOR OF PHILOSOPHY”

SUBMITTED TO THE SENATE OF TEL-AVIV UNIVERSITY

This research Work was Carried Out at Tel-Aviv University

In The Faculty Of Engineering

Under The Supervision of

Prof. Maurice Bernard (Moshe) Fuchs

and

Dr. Michael Ryvkin

June 2003

Page 168: ˘ ˇ ˘ˆ ˇ - eng.tau.ac.il

TEL AVIV UNIVERSITY�

THE IBY AND ALADAR FLEISCHMAN FACULTY�OF ENGINEERING

Topology Optimization

of

Repetitive Structures

By

Eyal Moses

THESIS SUBMITTED FOR THE DEGREE OF “DOCTOR OF PHILOSOPHY”

SUBMITTED TO THE SENATE OF TEL-AVIV UNIVERSITY

June 2003