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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS DE ESTUDIOS ELASTO-PLÁSTICOS

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO EN ROBÓTICA INDUSTRIAL

PRESENTA:

OSCAR MAMRE JUÁREZ CORRAL

DIRECTORES:

DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA SOSA

M. en C. BEATRIZ ROMERO ÁNGELES

México, D. F., a 11 de Marzo de 2011

CAPÍTULO I

ESTADO DEL ARTE

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO III

ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA,

CASO DE ESTUDIO ELÁSTICO LINEAL, ELASTO-PLÁSTICO PERFECTO Y COMPORTAMIENTO BILINEAL

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA CON HISTORIA PREVIA

CONCLUSIONES

Índice General i

Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos

Contenido

Índice General i

Resumen iv

Objetivo v

Justificación vi

Índice de figuras vii

Índice de tablas x

Introducción xi

Capítulo I

I.1.- Generalidades 2

I.2.- Breve reseña histórica 3

I.3.- Elasto-plasticidad 16

I.4.- Sumario 17

1.5.- Referencias 18

Capítulo II

II.1.- Deformación elástica y permanente 21

II.2.- Teoría de deformación 24

II.3.- Relación elástica y perfectamente plástica 25

II.4.- Método del elemento finito 27

II.4.1.- Los sistemas discretos en general 27

II.4.2.- Definición 31

II.4.3.- ¿Cómo trabaja el MEF? 31

II.4.4.- Discretización o generación de malla 32

II.4.5.- Limitaciones 34

II.4.6.- Programas comerciales con aplicación al MEF 34

II.5.- Plasticidad en flexión 36

Índice General ii


II.5.1.- Flexión Elasto-plástica perfecta 36

II.5.1.1.- Método de superposición 38

II.5.2.- Flexión con endurecimiento superficial 39

II.6.- Sumario 40

II.7.- Referencias 40

Capítulo III

III.1.- Introducción 43

III.2.- Características del método del elemento finito 44

III.3.- Casos de análisis 45

III.4.- Aplicación de las propiedades mecánicas para el desarrollo del análisis numérico 47

III.5.- Análisis numérico 48

III.5.1.- Primer caso de estudio 48

III.5.2.- Segundo caso de estudio 51

III.5.3.- Tercer caso de estudio 56

III.6.- Desarrollo analítico sobre los casos de estudio 59

III.6.1.- Desarrollo analítico para el primer caso de estudio 59

III.6.2.- Desarrollo analítico para el segundo caso de estudio 61

III.7.- Sumario 65

III.8.- Referencias 66

Capítulo IV

IV.1.- Introducción 68

IV.2.- Endurecimiento por deformación 68

IV.2.1.- Simulación numérica de la aplicación del esfuerzo homogéneo y descarga 69

IV.3.- Inducción de esfuerzos residuales en un material con historia previa 73

IV.3.1.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta tensionada 74

IV.3.2.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta comprimida 77

IV.4.- Cálculo analítico de los esfuerzos residuales 81

Índice General iii


IV.5.- Sumario 85

IV.6.- Referencias 85

Conclusiones y trabajos futuros 87

Resumen iv


Una de las razones por la que el diseño mecánico es la base de casi todos los sistemas de

producción, se debe a la actual exigencia de estándares que se deben cumplir con requisitos que

primordialmente responden a solicitudes de seguridad y economía. En este mismo sentido, nace la

necesidad de poder desarrollar materiales ingenieriles más seguros y esto a su vez despierta en los

Ingenieros el interés de investigar el comportamiento de los componentes y desarrollar técnicas para

fortalecer a estos.

El uso de la cerámica junto con los metales ha permitido a la humanidad el desarrollo que se conoce

hasta la fecha, ya que permitió el desarrollo productivo y de supervivencia por el uso de

herramientas más eficaces. Un claro ejemplo de la importancia en la actualidad, es que sin el uso de

metales la transformación de energía sería inconcebible y la civilización tal como se conoce sería

una utopía, los metales únicos por su propiedad de absorber sin falla gran cantidad de energía por

unidad de área o volumen dependiendo del caso de aplicación; sin embargo a pesar de su tenacidad

o capacidad de absorber grandes cantidades de energía sin fracturarse, los componentes se rompen

de una manera instantánea, cuando están sometidos a cargas estáticas y/o dinámicas.

Hasta hace poco se pudo resolver el problema del diseño mecánico ante condiciones de carga

estáticas y a temperatura ambiente, todo esto en base a las condiciones de carga que sólo producen

deformaciones elásticas que en cierta forma garantizan una estabilidad estructural. A pesar de esto,

las fallas repentinas en algunos componentes mecánicos o estructuras no pudieron evitarse, y bajo el

mismo sentido comenzó el estudio elasto-plástico de los materiales, ahora ya considerando

deformaciones plásticas que antes se consideraban de presencia indeseable en el tiempo de servicio.

En esta tesis de investigación se realiza varios estudios numéricos de una barra prismática sometida

a deformaciones de tensión y compresión, ambas deformaciones plásticas, con la finalidad de

proveer una historia previa al material y después realizar una flexión en cuatro puntos de apoyo para

poder inducir un campo de esfuerzos residuales y de esta manera observar y decidir, si las

propiedades mecánicas del material fueron incrementadas o en su defecto aumento el riesgo de falla.

Objetivos v


Objetivo General

Este trabajo de investigación analiza numéricamente el efecto de las condiciones de historia previa

en un material y de cómo se ve modificada la inducción de un campo de esfuerzos residuales cuando

ha sido sometido a una pre-deformación plástica homogénea, todo esto mediante un ensayo a flexión

con cuatro puntos de apoyo, con el objetivo de poder ver y analizar qué condiciones de historia

previa favorecen o perjudican al material cuando es inducido un campo de esfuerzos residuales. Por

otro lado el principal objetivo, es hacer uso del método numérico de los elementos finitos para

realizar estudios elasto-plásticos simplificando el análisis analítico y poder comparar el método

analítico con el numérico, lo anterior con el propósito de comprobar la teoría de la Mecánica

Clásica.

Objetivos particulares

Conocer las condiciones de elasto-plasticidad y comportamiento bilineal.

Obtener conocimiento de los tipos de endurecimiento por deformación para entender el

comportamiento del material ante deformaciones plásticas.

Conocer y reproducir las condiciones para el ensayo de flexión pura en el MEF.

Aplicar el ensayo de cuatro puntos de flexión para poder obtener la condición de flexión

pura.

Aplicar las condiciones iniciales de las pruebas (tensión – compresión) y posteriormente

someter una carga no homogénea en la probeta con la finalidad de inducir un campo de

esfuerzos residuales.

Comprobar la existencia de manipulación alguna, del campo de esfuerzos residuales

mediante el pre-deformado homogéneo de la viga, considerándose esta deformación como

historia previa en la probeta.

Justificación vi


Justificación

El uso creciente de sistemas computacionales ha permitido poder realizar ejercicios ingenieriles y

ensayos mecánicos en un tiempo más corto y sobre todo más económico. Siendo el método del

elemento finito (MEF) uno de los métodos numéricos aplicados a dichos sistemas más usados para

este fin.

La caracterización de los materiales con el objeto de conocer sus propiedades mecánicas es muy

importante en el diseño mecánico, ya que comprendiendo estas características se puede realizar un

análisis más confiable; por otro lado los resultados obtenidos por MEF se consideran exactos aunque

en realidad tienen un margen de error muy próximo a cero.

Este trabajo de tesis está basado en el estudio numérico de una viga prismática sometida a flexión

pura, aplicando cargas homogéneas para establecer las condiciones iniciales del material (historia

previa), después se aplicarán cargas no homogéneas para conocer el comportamiento real mecánico

y en este mismo sentido establecer las condiciones favorables o perjudiciales del material antes y

después del análisis. La mayoría de los análisis realizados en la industria consideran al material

como libre de deformaciones y esfuerzos, y la finalidad de este trabajo de investigación es poder dar

un preámbulo al estudio de los componentes mecánicos como portadores de una historia previa, que

aunque sean nuevos dichos elementos existen casos donde la historia se genera desde la producción

de dicho componente.

Índice de figuras vii


Índice de figuras

Capítulo I

Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable 2

Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas 3

Figura 1.3.- Caracterización del material 4

Figura I.4.- Elasticidad 5

Figura I.5.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 6

Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada 8

Figura I.7.- De potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678 8

Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei 9

Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra 10

Figura I.10.- Ecuaciones de equilibrio interno, Auguste Cauchy 11

Figura I.11.- Criterio de Tresca y Von Misses 13

Figura I.12.- Efecto Bauschinger 15

Figura I.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material

Capítulo II

17

Figura II.1.- Curva característica de un componente elástico 22

Figura II.2.- Curva característica de descarga elástica 23

Figura II.3.- Curvas representativas de la transición del estado elástico al plástico 24

Figura II.4.- Diferente comportamiento a descarga (leyes de endurecimiento) 25

Figura II.5.- Curva esfuerzo-deformación elasto-plástico perfecto 25

Figura II.6.- Comportamiento Multi-lineal 26

Figura II.7.- Continuos 28

Figura II.8.- Modelación del sistema por medio de elementos finitos 29

Figura II.9.- Evolución del elemento finito 31

Figura II.10.- Simulación del continuo, con malla y patrón de solución 33

Figura II.11.- Carga de una viga y su descarga 36

Figura II.12.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 37

Figura II.13.- Método de superposición 39

Figura II.14.- Endurecimiento por deformación

40

Índice de figuras viii


Capítulo III

Figura III.1.- Material elasto-plástico perfecto

44

Figura III.2.- Viga prismática 46

Figura III.3.- Elemento plano de 8 nodos

Figura III.4.- Discretización del especimen

Figura III.5.- Material elástico lineal

47

47

48

Figura III.6.- Material elástico lineal 49

Figura III.7.- Esfuerzos de carga, caso elástico por medio de simulación numérica 49

Figura III.8.- Comportamiento elástico lineal del material 50

Figura III.9.- Estado de esfuerzos para descarga en el caso elástico 51

Figura III.10.- Propiedades elasto-plástica perfectas del material 51

Figura III.11.- Cuatro puntos de flexión, segundo caso de estudio 52

Figura III.12.- Comportamiento simulado elasto-plástico perfecto 52

Figura III.13.- Viga flexionada de manera elasto-plástica perfecta 53

Figura III.14.- Esfuerzos de carga para el comportamiento elasto-plástico perfecto 53

Figura III.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido, comportamiento elasto-plástico

perfecto

Figura III.16.- Distribución de esfuerzos residuales, comportamiento elasto-plástico perfecto

Figura III.17.- Comportamiento bilineal

Figura III.18.- Comportamiento bilineal del material. a) Distribución de esfuerzos a tensión y

compresión en la viga sometida a flexión. b) Línea de carga del material (comportamiento

bilineal)

Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales

en la viga b) Distribución del campo de esfuerzos residuales

Figura III.20.- Incremento de la zona plástica en una sección rectangular

54

55

56

57

58

63

Capítulo IV

Figura IV.1.- Representación del endurecimiento por deformación

69

Figura IV.2.- Propiedades del material 69

Figura IV.3.- Discretización del espécimen y carga aplicada 70

Figura IV.4.- Esfuerzos de tensión en el espécimen a presión 70

Índice de figuras ix


Figura IV.5.- Deformación unitaria en el espécimen a presión 71

Figura IV.6.- Efecto de descarga en el esfuerzo de tensión en el espécimen a presión 72

Figura IV.7.- Valor de la deformación unitaria del espécimen al ser descargado 72

Figura IV.8.- Comportamiento bilineal simulado del material

Figura IV.9.- Configuración de la flexión con cuatro puntos de apoyo

Figura IV.10a.- Esfuerzos en plena carga del material. a) Resultado del MEF a la flexión de

cuatro puntos

Figura IV.10b.- Esfuerzos en plena carga del material. b) Curva de esfuerzos en plena carga,

nótese el endurecimiento por deformación (tensión)

Figura IV.11.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF. b)

Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga

Figura IV.12.- Compresión del especimen

Figura IV.13.- Cargas aplicadas en la configuración de cuatro puntos de apoyo

Figura IV.14a.- Curva de esfuerzos (carga)

Figura IV.14b.- Curva de esfuerzos a plena carga

Figura IV.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF b)

Curva de esfuerzos residuales en la viga

Figura IV.16.- Representación gráfica de los esfuerzos obtenidos y su posición

Figura IV.17.- Representación gráfica de los esfuerzos con respecto a su posición

73

74

74

75

76

78

78

79

79

80

83

84

Índice de tablas x


Índice de tablas

Capítulo III

Tabla III.1.- Propiedades mecánicas para el análisis 48

Tabla III.2.- Valores obtenidos del componente, caso elástico 50

Tabla III.3.- Valores obtenidos por MEF 54

Tabla III.4.- Distribución de los esfuerzos residuales 55

Tabla III.5.- Esfuerzos a carga

Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales

Tabla III.7.- Valores obtenidos por MEF

Tabla III.8.- Valores analíticos obtenidos para casos de estudio elasto-plástico

perfecto y elasto plástico bilineal

58

59

61

65

Capítulo IV

Tabla IV.1.- Esfuerzos y deformaciones unitarias en el espécimen por el efecto de la

presión

71

Tabla IV.2.- Esfuerzos y deformaciones en el especimen al momento de descarga

Tabla IV.3.- Esfuerzos a plena carga

Tabla IV.4.- Esfuerzos residuales

Tabla IV.5.- Esfuerzos en plena carga


Tabla IV.7.- Cálculo de los Esfuerzos residuales para el caso de estudio con pre-

deformación a tensión

Tabla IV.8.- Esfuerzos obtenidos para el caso de estudio con pre-deformación a

compresión

72

75

77

79

81

82

83

Introducción xi


Introducción

Es muy utilizado para propósitos ingenieriles analizar las deformaciones plásticas en componentes

de máquinas o sistemas dejando de lado las condiciones de elasticidad para poder predecir una

condición de falla llamada “falla plástica”. En todos los diseños mecánicos se involucra una relación

de cargas entre las esperadas de servicio y las máximas soportadas de los materiales llamado factor

de seguridad y por lo tanto el estudio de los esfuerzos y deformaciones, acompañados a las

deformaciones plásticas, es de gran importancia. Los materiales usados para resistir cargas

mecánicas, se conocen como ingenieriles y pueden pertenecer a muchas clases como; metales,

polímeros, cerámicos, vidrios y compuestos. Estos se ligan a los procesos de diseño a nivel

industrial o de investigación.

Como indica la teoría mecánica, cuando el material es sometido a deformaciones elásticas, los

enlaces atómicos son “estirados” (en algunos casos son “comprimidos”) y esto da como resultado

una relación constante entre el esfuerzo y la deformación (módulo de Young, E), la cual, tiene un

valor muy elevado en materiales sólidos covalentes (que poseen un enlace covalente), un valor

intermedio en los metales y en los polímeros generalmente tienen un valor muy bajo.

Por otro lado, un material que contiene las mismas características en todos los puntos del sólido, se

dice que es homogéneo y si las propiedades son las mismas en todas las direcciones, el material es

isotrópico y para que obedezca a este tipo de idealizaciones es necesario discretizarlo en partes

diferenciales, ya bajo estas consideraciones los resultados son verdaderos o muy próximos para

muchos materiales y cerámicos. Por todo lo anterior, se expresa que un material es elástico cuando

las deformaciones tienen una relación lineal con el esfuerzo o con la carga aplicada y si la carga es

retirada a cero, la deformación también se restaura a cero, como un resorte. La deformación plástica,

es una deformación que no depende del tiempo y no es recuperada después de retirar la carga en el

material, esto es por el desequilibrio entre los planos de los átomos de los granos del material, la

cual incrementa en manera de que aumenta el movimiento de dislocación del material.

Lo anterior puede ser considerado como preámbulo a los esfuerzos residuales; considerados como el

efecto de cargar del material más allá de su punto de cedencia y después de retirar la carga,

provocando que en el material aparezcan esfuerzos auto-equilibrantes que tratan de contrarrestar el

Introducción xii


efecto de la deformación plástica que fue sometido el material. Es por esto, que las deformaciones

plásticas sometidas intencionalmente, son las estudiadas para hacer el manejo idóneo de los campos

de esfuerzos residuales.

Capítulo I 2


I.1.- Generalidades

La plataforma de inicio sobre la moderna teoría de la Plasticidad fue asentada en el siglo XIX. Esta

moderna consideración sobre Plasticidad fue desarrollada con trabajos pioneros de Tresca, Saint-

Venant, Lévy y Bauschinger [I.1]. Posteriormente, a principios del siglo XX se realizaron algunos

avances en la comprensión de este fenómeno por parte de Prandtl, Von Misses y Reuss [I.1]. En esta

primera fase se introdujo el concepto de deformación irreversible, criterios de falla, endurecimiento

por deformación y plasticidad perfecta. Además de la forma incremental de las ecuaciones

constitutivas de la deformación plástica [I.2].

Justo después de la Segunda Guerra Mundial, aparecieron los trabajos de Prager, Drucker y Hill.

Donde se logró una mayor claridad de la formulación y se estableció la convexidad de las

superficies de fluencia [I.3]. Poco después, a partir de 1960, se produjeron ciertos avances

matemáticos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y las desigualdades variacionales que

resultarían ser particularmente provechosos para la teoría de la Plasticidad. Esos avances probaron

que el marco natural para resolver los problemás de valor incial en sólidos elastoplásticos eran las

desigualdades variacionales [I.4]. La confluencia de ciertos avances en el terreno de la mecánica de

sólidos y las matemáticas dieron lugar a nuevos desarrollos teóricos, de los cuales son un ejemplo

los artículos de Moreau, las monografías de Duvaut y Lions, y Temam [I.5].

Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable

Capítulo I 3


I.2.- Breve reseña histórica

En el estudio de Mecánica, es de vital importancia clasificar los materiales con base en sus

propiedades. Es por esto, que una de las razones más prácticas e importantes para trabajar al material

es determinar la resistencia mecánica del componente, mediante la identificación del tipo y

magnitud de los esfuerzos a los que se encuentran sometidos. Lo anterior se realiza con el fin de

identificar el tipo de deformación que sufrirá, si se deformará excesivamente o en el peor de los

casos si se producirá una falla o fractura que podría desarrollarse brusca y progresivamente (Figura

I.2) [I.6].

Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas

Por ejemplo, si se efectúan ensayos de tensión en dos barras, ambas de sección recta. Mientras que

una de las barras tiene el doble de espesor que la otra. Por lo que se puede esperar, que la barra con

doble sección recta soporte lo doble que la barra más delgada. Es probable que este fuera el primer

pensamiento que llevó al desarrollo de la evaluación de la resistencia mecánica del material. De ahí

parte la relación existente entre las fuerzas que actúan sobre el material y el área transversal del

Capítulo I 4


elemento o componente estructural. Esta puede expresarse como el coeficiente entre la fuerza y el

área de la sección transversal (Figura I.3) [I.7].

Figura I.3.- Caracterización del material

Conociendo los esfuerzos que puede alcanzar y ser sometido el material, el diseñador es capáz de

proporcionar o desarrollar miembros de tamaño lo suficientemente resistentes para los agentes

externos a los que será sometido. En general, el esfuerzo tendrá valores distintos en diferentes

puntos. Además, al variar el área de la sección transversal se puede variar de forma directa el valor

del esfuerzo, Asimismo, si se disminuye los valores de la carga aplicada se obtiene, en

consecuencia, esfuerzos menores. Por lo regular, en el área de la Ingeniería Mecánica se tiene una

relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación producida, a este comportamiento del

material se le conoce como lineal o elástico, ya que si se grafican los valores correspondientes de

fuerza y área de la sección transversal se obtiene un linea recta, donde la pendiente de este

comportamiento se le conoce como módulo de Young (Figura I.4) [I.8].

Cedencia

Máximo

Ruptura

Capítulo I 5


Figura I.4.- Elasticidad

En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo de tracción

pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la

tensión se comporta con pequeños incrementos en la deformación. Es decir, se tiene una

deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que

existe un límite, llamado límite elástico o punto de cedencia [I.9].

De tal manera que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite, entonces al

desaparecer la carga quedan deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su

forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento elasto-

plástico, es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos, y también en muchos otros

materiales.

Por otro lado, el comportamiento perfectamente plástico es algo menos frecuente, e implica la

aparición de deformaciones irreversibles por pequeña que sea la tensión. Materiales que presentan

similitud con este tipo de comportamiento es la arcilla de modelar y la plastilina (Figura I.5) [I.10].

E = /

Capítulo I 6


Figura I.5.- Comportamiento elasto plástico perfecto

Otros materiales, además presentan plasticidad con endurecimiento y necesitan esfuerzos

progresivamente más grandes para aumentar su deformación plástica total. Incluso los

comportamientos anteriores, pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las

tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se

conoce con el nombre de visco-plasticidad [I.11].

La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en estos materiales. A

diferencia del comportamiento elástico que es termodinámicamente reversible, un cuerpo que se

deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como desplazamientos de las

dislocaciones. En el comportamiento plástico, parte de la energía mecánica se disipa internamente,

en lugar de transformarse en energía potencial elástica [I.12].

Microscópicamente, en la escala de la red cristalina de los metales, la plasticidad es una

consecuencia de la existencia de ciertas imperfecciones en la red llamadas dislocaciones [I.13]. En

1934, Egon Orowan, Michael Polanyi y Geoffrey Ingram Taylor, más o menos simultaneamente

llegaron a la conclusión de que la deformación plástica de materiales dúctiles podía ser explicada en

términos de la teoría de dislocaciones [I.14].

E = /

Capítulo I 7


Para describir la plasticidad usualmente se usa un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y

no integrables que describen los cambios en las componentes del tensor deformación y el tensor

tensión con respecto al estado de deformación-tensión previo y el incremento de deformación en

cada instante. Asimismo, antiguamente no estaban muy preocupados por el precio de los materiales

de construcción, pero si era de importancia sus características. Es decir, que tuvieran una calidad

especificada. Todo esto más la experiencia empírica pudo hacer posible que se construyeran

construcciones duraderas.

Los primeros estudios sobre Mecánica de Materiales fueron realizados por el astrónomo, filósofo,

matemático y físico Galileo Galilei. Los estudios que realizó, este destacado científico, fueron del

funcionamiento de la palanca, como se compone la fuerza y los esfuerzos, y el comportamiento de

los cables y vigas (Figura I.6) [I.15]. Galileo Galilei escribe en el año de 1638 el primer tratado en

donde se habla por primera vez de una forma seria y científica sobre el comportamiento de las vigas

y las columnas.

Mientras que muchos años después, Robert Hooke que realiza experimentos en la conocida

institución científica inglesa llamada Royal Society, en donde se engendra una de las bases de la

Mecánica de sólidos. En el escrito llamado De Potentia restitutiva realizado en 1678, se establece la

proporcionalidad entre las cargas o fuerzas aplicadas y sus deformaciones o alargamientos en los

cuerpos elásticos, conocida esta como la ley de Hooke (Figura I.7) [I.16].

Capítulo I 8


Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada

Figura I.7.- De Potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678

Capítulo I 9


En los primeros años de estudio, se tenían dos problemás fundamentales:

No se podía tener una expresión matemática que represente la resistencia máxima de una

viga en cantiléver sometida a una fuerza en su extremo.

¿Como se determina el eje de rotación de la viga?, cuando esta se rompe; que era el

problema principal de Galileo.

Galileo efectuó los estudios correspondientes y estableció que la resistencia de la ménsula (viga en

cantiléver) es idéntica a la de la pieza sometida exclusivamente a tensión y se distribuye sobre la

sección transversal. También se define que el eje de rotación de la viga en el momento de que se

rompe está situado en la arista inferior de la sección de donde se empotra (Figura I.8). Años después

es denominado como fibra neutra.

Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei

En el siglo XV, Mariotte después de hacer unos estudios a los trabajos previos de Galileo y llevando

inicialmente la hipótesis que formuló Galileo que se refería al eje de rotación de la viga llegó a la

conclusión de que la resistencia que presenta la ménsula (viga empotrada) es la mitad de la

resistencia de la misma pieza fraccionada [I.17].

Capítulo I 10


En el año de 1713, Parent realizó los mismos estudios y corrigió los errores que Mariotte cometió y

colocó la fibra neutra en el centro de la sección de una viga hecha por ménsulas de sección

simétrica. El trabajo de Parent introdujo la idea de una distribución de fuerzas interiores actuando

sobre las fibras que forman parte de la sección. El problema de Galileo respecto a sus estudios fue

resuelto finalmente por Coulomb, incluso introdujo las leyes de comportamiento para sistemas no

lineales, esto fue escrito de forma matemática en las ecuaciones de equilibrio estático [I.17].

Posteriormente, Jacob Bernoulli estableció la proporcionalidad entre el momento flector que actúa

sobre cada sección de la viga y el radio de curvatura que une los ejes de rotación de las secciones

(Figura I.9). Después Leonhard Euler resolvió el problema de la elástica minimizando el funcional

que representa la energía potencial de flexión y esta se dedujo a partir de la relación momento-

curvatura que fue propuesta por Bernoulli [I.18].

Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra

Euler dedujo la ecuación diferencial de la elástica por medio del cálculo de variaciones, y estudió las

soluciones de la ecuación, entre las que se encuentra la de la inestabilidad de una columna

Capítulo I 11


comprimida (que se conoce como el pandeo de Euler) [I.17]. Augustus Love en 1927, en su tratado

sobre la elasticidad retoma los trabajos de Euler el trabajo es llamado A Treatise on the

Mathematical Theory of Elasticity [I.19].

Los fundamentos de la teoría de la elasticidad fueron establecidos en 1822 por Auguste Cauchy.

Cauchy fue quién introdujo en una forma axiomática el concepto de tensión actuando sobre un plano

y dedujo la expresión de esa tensión en función de la orientación del plano [I.20]. También

desarrolló las ecuaciones de equilibrio en la forma que hoy las conocemos y expresó el cambio de la

forma de un punto con respecto a los seis componentes de la deformación (Figura I.10).

Figura I.10.- Ecuaciones de Equilibrio interno, Auguste Cauchy.

En el siglo XIX, la teoría de la elasticidad tuvo un desarrollo muy rápido, principalmente por las

investigaciones realizadas en Francia por Saint-Venant y Clapeyron, en Alemania por Kirchhoff,

Capítulo I 12


Clebsch y Mohr, y en Gran Bretaña por Maxwell, Green y Love entre otros grandes investigadores

de la época [I.21].

El avance se frena a principios del siglo XX, porque en esa época era difícil disponer de cálculos sin

herramientas que proporcionen resultados confiables y prácticos. A pesar de que no se contaba con

herramientas que se usen con facilidad, el desarrollo tecnológico no se vio impulsado sino hasta la

segunda guerra mundial y se desarrolla principalmente en Estados Unidos y Gran Bretaña. En estas

fechas se impulsa mucho el desarrollo del diseño mecánico y es un parte aguas en la primera mitad

del siglo.

La necesidad básica en la Segunda Guerra Mundial fue el mejoramiento de armamento y máquinas

de ataque, que sean más durables y económicos para los países involucrados en el conflicto. Además

de que dio inicio del desarrollo de la computadora u ordenador. Bajo el contexto del desarrollo de

los computadores o máquinas capaces de realizar una gran cantidad de operaciones en un tiempo

muy reducido fueron capaces de desarrollar herramientas de análisis confiables y prácticos. Es

entonces que surge la aplicación real del método de elementos finitos que permite la aplicación de

los resultados teóricos de la Mecánica de sólidos a la resolución de problemas aplicados, ideado

principalmente al mismo tiempo por dos grupos de investigación liderados por Argyris y por Clough

[I.21].

Truesdell fue el investigador que durante la década de 1960 revisó y formuló los fundamentos de la

Mecánica del Continuo a partir del material generado hasta el momento [I.22]. El libro de

Timoshenko es una referencia clave en lo referente a la historia de la Mecánica de los Sólidos [I.23].

Por otro lado, la teoría de la plasticidad fue desarrollada a partir de 1930, pero sus estudios y

pruebas tienen un poco mas de historia y ésta empieza cuando Tresca empieza sus estudios en los

materiales y en la propiedad de fluir de los mismos. Inicialmente fue para tratar con metales aunque

años después fue aplicada a todos los materiales conocidos. Como ya se había mencionado Tresca,

Saint-Venant, Lévy y Bauschinger fueron los pioneros en este campo de estudio [I.24].

Capítulo I 13


Henri Éduard Tresca fue un Ingeniero Mecánico y profesor en el Conservatoire National des Arts et

Métiers en París. Es considerado como el padre del campo de la plasticidad o deformaciones que no

siguen la ley de elasticidad (no-recuperables), sus estudios empezaron en el año de 1864 con una

serie de experimentos considerados a la fecha, brillantes por los resultados y las aportaciones que

hizo al estudio de la mecánica. Su mayor aporte fue el criterio de Tresca, que en realidad es un

criterio de falla propuesta en 1868, el cual predice cuando un material va a fluir a cualquier tipo de

carga. También llamada Teoría del esfuerzo cortante máximo indica que la fluencia del material se

inicia cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en el material, llega al esfuerzo cortante máximo

que hace que fluya el mismo material. Por lo consiguiente el esfuerzo máximo cortante que se le

puede aplicar, según esta teoría tiene que mantener un valor de mucho menos que la mitad del

absoluto soportado por el material [I.24].

El criterio de Tresca es uno de los dos más usados actualmente, el segundo criterio más usado es el

de Von Misses, véase la siguiente figura para una comparativa entre los criterios, Figura I.11.

Figura 1.11.- Criterio de Tresca y Von Misses

Tresca también ayudó a construir la torre Eiffel y su nombre ocupa el tercer lugar de las personas

que intervinieron en el proyecto. Participó en la creación de Metro Standard, el diseño los perfiles de

los metros estándar y de los cuales se seleccionó uno para designarlo como patrón universal. En el

Criterio de Tresca

Criterio de Von Misses

Capítulo I 14


año de 1882, Tresca fue nombrado como miembro honorario de la Asociación Americana de

Ingenieros Mecánicos (ASME por sus siglas en inglés) [I.24].

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1876) fue un mecánico y matemático que

contribuyo tempranamente al análisis de esfuerzos. También desarrollo el flujo unidimensional no

estacionario del agua o ecuaciones de Saint-Venant. El desarrollo de la Elasticidad y Resistencia de

Materiales le debe mucho a Saint-Venant, quién realizó un trabajo teórico muy importante en la

fecha sobre el campo de análisis estáticos, dinámico y plástico (estableciendo las ecuaciones

fundamentales de la plasticidad). Su trabajo lo presenta en forma de tablas y diagramas para que

pueda ser entendido [I.25]. También editó el libro de Navier al cual le introdujo muchas ideas y

anotaciones propias de Saint-Venant. Estudió la torsión en probetas prismáticas y estudios

relacionados a la torsión y flexión de cilindros de pared delgada y gruesa.

Maurice Lévy (1838-1910) fue un Ingeniero francés y miembro del Institute de France. Lévy cambio

la hipótesis de la Teoría de la Deformación total propuesta por Saint-Venant y propuso Las

direcciones de las deformación principales coinciden con aquellas de los esfuerzos principales y esa

fue el primer intento de usar una ecuación de flujo incremental. Considerando la deformación de los

materiales como un flujo, es por eso que Saint-Venant considera que el material fluye. [I.26].

John Bauschinger fue un Ingeniero alemán que fue el pionero en estudiar el comportamiento de

endurecimiento por deformación en el año de 1881 a 1886. En sus trabajos habló sobre el

comportamiento anisotrópico del material cuando es presentada una pre-deformación uniaxial, el

comportamiento del material ante la pre-deformación uniaxial se le conoce como efecto

Bauschinger, Figura 1.12 [I.27].

Capítulo I 15


Figura 1.12.- Efecto Bauschinger

Bauschinger realizó sus pruebas con acero dulce y dedujo que, si una probeta es cargada a tensión y

se pasa el límite elástico, se descarga la misma probeta y de nuevo se carga en la misma dirección

que se hizo anteriormente, el límite elástico de la probeta se mueve y aumenta de valor [I.27].

Existen algunos casos en lo que la carga se produce en sentido contrario, el límite de cedencia

reduce y esto trae consigo que el material pierda propiedades como ductilidad [I.7].

Aunque en la época no se contaba con equipo de alta precisión para las pruebas que realizó

Bauschinger los avances en el campo de la plasticidad fueron muy fructuosos, ya que personalidades

como Wilson, Ashby, Gould, Hirsch y Humphreys por mencionar algunos, obtuvieron similares

resultados en sus respectivas pruebas y se pudo comprobar gran parte de los estudios realizados por

Bauschinger.

Recientemente Takeda y Nasu en el año de 1989, realizaron una serie de pruebas de flexión para

poder determinar las propiedades de tensión y compresión en placas, en esos mismos resultados

fueron estudiados el efecto Bauschinger y la anisotropía planar de los materiales [I.28].

σmax

σy

-σmax

-σy

2σy

Capítulo I 16


I.3.- Elasto-plasticidad

Para poder definir lo que significa elasto-plasticidad, o bien poder definir un comportamiento elasto-

plástico de un material, es importante señalar las propiedades elásticas y plásticas de un material.

Pero como es el caso de la mayoría de los materiales en la Ingeniería, existen diferentes propiedades

que caracterizan a cada uno de ellos, es por eso que se hace uso de una gráfica muy útil para el caso

de caracterizar a los materiales [I.29].

Este tipo de curvas es obtenida de una simple prueba de tensión, la cual indica puntos muy

importantes, en otras palabras indica las propiedades del material ensayado. En los materiales

elásticos, en específico en materiales que fluyen o son muy dúctiles, un esfuerzo de tensión pequeño

lleva consigo un comportamiento elástico del material. Esto significa que pequeño incrementos de

tensión provoca pequeños incrementos de deformación; si la carga se devuelve a cero el cuerpo

recupera su forma original, dicho de otra forma, la deformación que se presenta es completamente

reversible [I.30]. Se ha comprobado muchas veces que los materiales tienen un límite, llamado

límite elástico o punto de cedencia, tal que si bajo ciertas cargas homogéneas supera el dicho límite

existen deformaciones remanentes y el cuerpo no recupera su forma original, es decir, aparecen

deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento se le conoce como elasto-plástico y se

presenta en la mayoría de los metales conocidos y también en muchos otros metales usados en la

Ingeniería.

El comportamiento plástico perfecto es mucho menos frecuente que se presente en los materiales,

porque induce la presencia de deformaciones no reversibles aun por más insignificante que sea el

agente externo. En la Figura I.13, se puede observar en una curva esfuerzo-deformación las

propiedades elasto-plásticas de un material, estas propiedades son obtenidas de un ensayo de tensión

[I.31].

Capítulo I 17


Figura 1.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material

Aparte de las propiedades elasto-plásticas también se presentan otro tipo de propiedades, como se

mencionó anteriormente algunos materiales presentan propiedades de plasticidad con

endurecimiento (Efecto Bauschinger) y necesitan esfuerzos progresivamente más grandes para poder

alcanzar una deformación plástica total o máxima. Hablando termodinámicamente la energía

mecánica se disipa internamente, y no se transforma en energía potencial elástica [I.31].

I.4.- Sumario

En éste capítulo se presento de forma general, una reseña histórica de los estudios que iniciaron el

estudio de las propiedades de los materiales. Desde Da Vinci hasta Takeda y Nasu actuales

desarrolladores de conocimiento científico de esta rama de la física. Se presentaron las

características de las propiedades más representativas para este tipo de análisis, la elasticidad como

parte fundamental en el estudio de la plasticidad.

Deformación elástica

Deformación plástica

Esfuerzo de cedencia

Esfuerzo último

Deformación

Esfuerzo

Capítulo I 18


En el próximo capítulo se presentará de manera más explicita los conceptos fundamentales para los

estudios elasto-plásticos, así como los teoremas desarrollados por grandes investigadores

mencionados en el actual capitulo. Se usará el método de elemento finito para poder comprobar que

la teoría es correcta, ya que como se mencionará este método nos proporciona resultados muy

cercanos a la realidad, es por esto que es un método aceptado mundialmente para el análisis de la

respuesta de los materiales ante agentes externos.

I.5.- Referencias

1.- Hill, R., The mathematical theory of plascity, Ed. Oxford Press University, pp 1-8, 1950.

2.- Alcalá-Cabreles, J. y Llanes-Pitarch, L. M., Fractura de materiales, Ed. Politext, pp 215, 2002.

3.- Prager, W., An Introduction of plasticity, Ed. Thomson, 1959.

4.- Ciarlet, P. G., Basic Error estimates for elliptic problems - Handbook of numerical Analysis Vol.

II, Ed. North-Holland, Amsterdam, 1991.

5.- Krieg, R. D. y Key, S. W., Implementation of a time dependent plasticity theory into structural

computer programs, Constitutive Equations in Viscoplasticity; Computational and Engineering

Aspects, Ed. AMD-20 ASEM, New York, pp 125-137, 1995.

6.- Hernández-Albañil, H. y Espejo-Mora, E., Mecánica de la fractura y análisis de falla, Ed. Sede,

pp 14-15, 2002.

7.- Urriolagoitia-Sosa, G., Analysis of prior strain history effect on mechanical properties and

residual stresses in beams, Ph D Thesis, Oxford Brookes University, pp 52-57, 2005.

8.- Gere, J. M., Mecánica de materiales, Ed. Thomson, pp 2-29, 2005.

9.- Shigley, J. E. y Mitchell, L. D., Diseño en Ingeniería Mecánica, Ed. McGraw-Hill, pp 2-18,

1985.

10.- Alarcón-Álvarez, E., Modelos matemáticos en Ingeniería moderna, Ed. Consejo de Desarrollo

Científico y Humanístico, pp 198-200, 2000.

11.- Zienkiewics, O., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 551, 1964.

12.- Timoshenko, S. y Gere, J. M., Mecánica de Materiales. Ed. Cengage Learning, pp 25-27, 2001.

13.- Landau, L. D. Lifshitz, F., Teoría de la elasticidad, Ed. Reverté, pp 188, 1982.

14.-Kittel, C., Introducción a la física del estado sólido, Ed. Reverté, pp 667, 1997.

15.- Flores, F. y Aguirre, M. E., Educación en Física, Ed. UNAM, pp 45, 2003.

16.- San Juan, F. J., Historia de la ciencia y de la técnica; Vol. 50, Ed. Akal, pp 42-44, 1993.

Capítulo I 19


17.- Heyman, J., La ciencia de las estructuras, Ed. Imperial College Press, pp 70, 1999.

18.- Cervera-Ruíz, M., Mecánica de estructuras, pp 155, 2001.

19.- Love, A. E. H., A treatise on the mathematical theory of elasticity, Ed. Dover Publications,

1944.

20.- López-Cela, J. J., Mecánica de los medios continuos, Ed. DCLU, pp 40-43, 1999.

21.- Michavila, F. y Gavete, L., Programación y cálculo numérico, Ed. Reverté, pp 274, 1985.

22.- Wang, C. C. y Truesdell, C., Introduction to rational elasticity, Ed. NIP, 1973.

23.- Timoshenko, S., History of Strenght of Materials, Ed. McGraw Hill, 1983.

24.- Tresca, H. E., Tresca yield condition, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, Vol. 59, 1864.

25.- Sanchis-Sabatar, A., Fundamentos físicos para Ingenieros, Ed. Universidad Politécnica de

Valencia, pp 374-375, 1999.

26.- Levy, E., Diccionario Akal de Física, Ed. Akal, pp 263, 1999.

27.- Bauschinger, J., On the changes of the elastic limit and strength of iron and steel, by drawing

out, by heating and cooling, and by repetition of loading, Mittheilungen aus dem mechanischen

technischen laboratoriumder k, Hochschule in Munchen, pp 463-465, 1886.

29.- Takeda, T. y Nasu, Y., Determination of the Bauschinger effect and planar anisotropy from

bending test, Bull. Yamagata Univ. Eng., Vol. 20, No. 2, pp 169-177, 1989.

30.- Friedel, J., Dislocations Interactions and Internal Strains, Internal Stress and Fatigue in

Metals, Elsevier, Amsterdam, 1959.

31.- Euler, L., Additamentum I di Curvis Elastics , Methodus Inveniendi Lineas curvas Maximi

Manimivi Proprietate Gaudentes, Opera Omnia, Vol. 24. Zürich: Füssli, 1960.

32.- Ciarlet, P. G., The Finite Element Method for Elliptic problems. North-Holland: Ámsterdam.

1978.

Capítulo II 21


II.1.- Deformación elástica y permanente

Los ensayos mecánicos tienen por finalidad proveer información que permita predecir la respuesta

de los materiales frente a solicitaciones mecánicas externas (fuerzas o momentos). Estas

solicitaciones pueden originarse en el uso de los materiales como componentes o partes de una

estructura o mecanismo. En cuyo caso es necesario conocer los valores límite que pueden soportar

sin fallar a fin de determinar valores de diseño. Asimismo, el control de calidad también es un

motivo que lleva la realización de ensayos para la verificación de las propiedades previstas para un

dado material. La finalidad del ensayo es, entonces caracterizar la respuesta mecánica de un material

frente a una solicitación externa [II.1].

Los diagramas de esfuerzo-deformación unitario presentan el comportamiento de los materiales

ingenieriles cuando están axialmente tensionado o a compresión. Para ir un paso más allá si se

considera que sucede cuando la carga se remueve y el material se descarga [II.2]. Por ejemplo, si se

supone que una carga de tensión es aplicada a una muestra tal que el esfuerzo y la deformación van

incrementando poco a poco y parten del origen (que es cero, 0) hacia el punto A (Figura II.1).

También se debe suponer que cuando la carga se remueve, el material sigue exactamente la misma

curva de regreso al origen. Esta propiedad de un material, mediante la cual regresa a sus

dimensiones originales durante la descarga, se denomina elasticidad y se dice que el propio material

es elástico. Sin embargo, existen materiales que su característica principal es no contar con un

comportamiento lineal, esto quiere decir que la curva de 0 a A no es lineal.

Capítulo II 22


Figura II.1.- Curva característica de un componente elástico

Ahora, si se supone que se carga el mismo material hasta un nivel mayor que el punto A y se llega a

un punto B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (Figura II.2). Cuando se descarga, lo que

sucede es que a partir del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta es la línea de

descarga y es paralela a la parte inicial de la curva de carga. En otras palabras la línea BC es paralela

a la línea AB. Cuando se llega al punto C, la carga se ha removido por completo, pero en el material

permanece una deformación unitaria permanente, representada por la línea 0C. Como consecuencia,

la barra ensayada es más larga ahora que antes de la aplicación de la carga. Este alargamiento de la

barra se denomina deformación permanente. De la deformación total 0D desarrollada durante la

carga de 0 a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y la deformación unitaria

0C permanece como una deformación unitaria permanente.

Descarga

Carga A

E

F

Elástico Plástico

0 Límite

Capítulo II 23


Figura II.2.- Curva característica de descarga elástica

El proceso de carga y descarga del material se puede efectuar varias veces y verificar en la pieza la

deformación unitaria permanente. Cuando la probeta comienza a tener una deformación permanente

ya sea la mínima posible, ese punto en la curva se denomina límite elástico [II.3].

La característica de un material por la cual presenta deformaciones unitarias permanentes

inelásticas, más allá de la deformación unitaria en el límite elástico, se conoce como plasticidad. Por

tanto, en la curva esfuerzo-deformación unitaria se tiene una región elástica seguida de una región

plástica.

La transición del límite elástico a la ramificación que corresponde a la zona plástica, puede ocurrir

después de presentarse un pico y un decremento de la magnitud de la carga como es mostrado en la

Figura II.3(a) o bien puede ser gradual como lo muestra la misma figura (b).

Descarga

Carga A

E

F

ElásticoRecuperación

Elástica

B

D C

Capítulo II 24


Figura II.3 a y b.- Curvas representativas de la transición del estado elástico al plástico

II.2.- Teoría de deformación

Existen dos reglas que considera esta teoría, Endurecimiento Cinemático e Isotrópico y están

ilustradas en la Figura II.4. El endurecimiento cinemático predice que para que ocurra la cedencia en

la dirección contraria (compresión) a la dirección de carga inicial debe de ser, desde el momento que

comienza la descarga hasta que ocurre la cedencia igual a Δσ=2σ0. Por otro lado, el endurecimiento

isotrópico predice la cedencia a compresión o en el sentido contrario que la carga inicial como

Δσ=2σ’, en donde σ’ es el esfuerzo máximo alcanzado o el punto en donde empieza la descarga del

material. En conclusión el endurecimiento cinemático predice el efecto Bauschinger y el isotrópico

un aumento a la zona elástica tanto en compresión como en tensión

σ σ

Δl Δl 0 0

a) b)

Capítulo II 25


Figura II.4.- Diferente comportamiento a descarga (leyes de endurecimiento)

II.3.- Relación elástica y perfectamente plástica

Una relación elasto-plástica perfecta es mostrada en la Figura II.5 y tiene las propiedades siguientes:

σ=Eε (σ≤σ0) II.1

σ=σ0 (σ≥σ0/E) II.2

Figura II.5.- Curva esfuerzo-deformación elasto-plástico perfecto

σ0

E

σ'

2σ0

2σ’

Cinemático

Isotrópico

σ0

0

E

σ

ε

σ

ε

Capítulo II 26


Donde σ0 es el esfuerzo de cedencia, esta forma de análisis es razonablemente cercano al

comportamiento de algunos metales y materiales ingenieriles, también es usado como aproximación

para algunos materiales en los cuales las curva esfuerzo-deformación tiene algo de complejidad.

Después del punto de cedencia de un material la deformación total se puede expresar de la siguiente

forma:

ε = εe+εp =

EE p0

II.3

Donde:

ε es la deformación total

εe es la deformación elástica del material

εp es la deformación plástica del material

El comportamiento de endurecimiento lineal, bilineal o en algunos casos multi-lineal (Figura II.6) es

usado generalmente para aproximar de manera súbita la curva esfuerzo-deformación que

aparentemente tienen una inclinación después de la cedencia, como es considerada una relación

matemática con respecto a la línea inicial de la carga que esta denominado por el módulo de Young

(E), éste va acompañado por otro factor llamado factor de reducción δ, en otras palabras; el valor de

la línea después del punto de cedencia tiene un valor de δE.

Figura II.6.- Comportamiento multi-lineal

E

δ2E

δ3E δ4E

ε

σ

0

Capítulo II 27


El valor de δ puede variar desde 0 hasta la unidad, tiene el valor de 1 cuando es la línea elástica del

material y de ahí va disminuyendo su valor conforme aumentan las líneas (pendientes) de

endurecimiento lineal, todo esto después de la cedencia del material. Cuando δ tiene un valor de 0,

está haciendo referencia a un comportamiento elasto-plástico perfecto.

Para poder obtener una ecuación de las pendientes subsecuentes al punto de cedencia se toma en

cuenta cualquier punto de esta curva y el punto de cedencia, quedando la expresión como sigue:

0

0

E II.4

Por la curva se sabe que

E0

0

II.5

Resolviendo para los esfuerzos, se obtiene

E 01 II.6

Y la deformación total está dada por la deformación elástica y plástica, se obtiene:

02

0

1

EE

II.7

Donde 21 EyE corresponden al módulo de Young de la primera pendiente y la pendiente a calcular.

II.4.- Método del elemento finito

Los métodos numéricos son técnicas ingenieriles mediante los cuales es posible resolver problemas

muy complejos matemáticos de integración, diferenciación y sistemas de ecuaciones no lineales que

si se resuelven de la forma tradicional se tienen que desarrollar algoritmos muy complicados que

involucraría mucho tiempo, es por esto que el método del elemento finito es muy usado en la

investigación científica.

II.4.1.- Los sistemas discretos en general

Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo

mundo que la rodea en una sola operación global [II.4]. Es por eso que una forma natural de

proceder del Ingeniero, científico e incluso los Economistas, consiste en separar los sistemas en

componentes individuales o elementos, cuyo comportamiento se puede conocer sin mucha dificultad

Capítulo II 28


y a partir de ahí, se puede reconstruir el sistema general para estudiarlo a partir del componente

conocido. En la mayoría de los casos ingenieriles, se obtiene un modelo adecuado utilizando un

número finito de partes o componentes. Sin embargo, estos componentes o partes deben estar muy

bien definidos, a estos elementos se les conoce como elementos discretos [II.5]. En algunos sistemas

se puede llegar a tener una división del sistema indefinidamente pequeños y solo se puede

solucionar haciendo uso de la ficción matemática infinitésimo. Lo anterior involucra el uso de

ecuaciones diferenciales o expresiones que equivalen a un número infinito de elementos o partes

involucrado en el sistema en general y este tipo de sistemas se llaman continuos, Figura II.7 [II.6].

Figura II.7.- Continuos

Con el arribo y establecimiento de las computadoras digitales, los problemas discretos pueden ser

resueltos sin mucha dificultad. Aún cuando el número de elementos discretos sea muy elevado.

Como la capacidad de las computadoras es finita, los sistemas continuos sólo se pueden resolver con

la manipulación matemática. En este aspecto las técnicas matemáticas limitan las posibilidades de

solución a casos extremadamente simplificados. Para vencer esta barrera entre los sistemas

continuos reales y poder obtener un resultado confiable, los Ingenieros y Matemáticos han ido

Capítulo II 29


proponiendo métodos de discretización, con el fin de aproximar el resultado de tal manera que el

resultado se aproxime lo suficiente al resultado del sistema continuo o que la solución continúe

verdadera conforme el número de variables discretas aumente [II.7] (Figura II.8).

Figura II.8.- Modelación del sistema por medio de elementos finitos

La discretización de sistemas continuos ha sido estudiada de distintas formas por Ingenieros y

Matemáticos. Los matemáticos han desarrollado técnicas generales aplicables directamente a las

ecuaciones diferenciales que rigen el problema, una de ellas son las aproximaciones por

diferenciales finitas, métodos de residuos ponderados o técnicas aproximadas para determinar

puntos en funciones definidas de forma apropiada. Mientras los Ingenieros, hacen cara al problema

de una forma más intuitiva y crean una analogía entre elementos discretos reales y porciones finitas

de un dominio continuo [II.8]. Por ejemplo; Argyris y Turnery entre otros, demostraron que se

pueden sustituir las propiedades del continuo de un modo más directo, y no menos intuitivo,

supusieron que las porciones más pequeñas del sistema se comportan de una manera más

simplificada [II.9].

Capítulo II 30


Fue la posición de analogía directa, adoptada por los Ingenieros, de donde nació la expresión de

elemento finito. Parece que fue Clough el primero en usar este nombre que supone el uso de la

metodología general aplicable a los sistemas discretos. Esto es de gran importancia porque permite

una mayor comprensión del problema y el otro consiste en un criterio unificado para abordar una

gran cantidad de problemas y desarrollar procedimientos generales de cálculo.

Desde la década de 1950 hasta hoy en día, se ha avanzado mucho en las dos vertientes. Actualmente

las dos vertientes se dividen en meramente matemática y la analógica. Ambas clasificaciones están

en completo acuerdo en el procedimiento a seguir y los pasos que se deben de desarrollar. Como

ejemplo se tiene al Ingeniero civil, que trabaja con estructuras, este realiza primero el cálculo de las

relaciones entre fuerza y desplazamiento para cada miembro de la estructura, para después procede

al ensamblaje del conjunto siguiendo un procedimiento bien definido que consiste en establecer las

ecuaciones de equilibrio en cada nodo o intersección de la estructura, a partir de las ecuaciones de

pueden conocer los desplazamientos desconocidos. Por otro lado el Ingeniero hidráulico o eléctrico

que trabajan en tuberías con fuerzas dinámicas o con redes de sistemas eléctricos (resistencias,

condensadores) establecen primeramente una relación entre los flujos y la pérdida de potencia de

cada uno de los elementos aislados, después se unen para poder imponer de cierta manera el

comportamiento y continuidad de los flujos.

Todos los análisis siguen un patrón general que puede adaptarse a todos los sistemas discretos-

continuos, es por eso que es posible definir un sistema discreto tipo [II.10]. La existencia de una

manera universal para abordar estos sistemas o problemas discretos, permite poder definir el método

de los elementos finitos como procedimiento de aproximación de problemas continuos. Los que se

explican a continuación [II.10]:

(a) El continuo se divide en un número finito de partes (elementos), cuyo comportamiento

se especifica mediante un número finito de parámetros.

(b) La solución del sistema completo como ensamblaje de los elementos sigue

precisamente las mismas reglas que se aplican a los problemas discretos-continuos.

Capítulo II 31


Esto indica que después de que tanto Matemáticos e Ingenieros hicieron sus estudios aparte, todos

llegaron a un acuerdo que aplica unos métodos de discretización y métodos de ecuaciones

diferenciales finitas (Figura II.9).

Figura II.9.- Evolución del elemento finito

II.4.2.- Definición

El método de los elementos finitos (MEF), es un método numérico que se usa para la aproximación

de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y es muy utilizado en diversos problemas de

Ingeniería y Física aplicada [II.11].

II.4.3.- ¿Cómo trabaja el MEF?

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por

MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos

llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene

interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo

aproximada debido a este último paso [II.12].

Ingeniero

Sustitución Analógica de Estructuras

Funciones de Interpolación

Diferencias Finitas Matemático

Diferencias Finitas Variacionales

Residuos Ponderados y Métodos Variacionales

Elementos Directos de Continuo

Funciones de Interpolación Cuasi Continuos.

Estado Actual del Método de

los Elementos

Finitos

Capítulo II 32


El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema de

forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola

posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución

aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto de nodos.

Dicho conjunto de nodos forman una red, denominada malla y la cual está formada por retículos.

Cada uno de estos contenidos en la malla es un elemento finito. El conjunto de nodos se obtiene

dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada.

Mediante el punto de vista de la programación algorítmica las tareas necesarias para llevar a cabo un

cálculo mediante un programa MEF se divide en:

Preproceso, que es donde se denomina las propiedades del material, geometría, se genera

la malla, condiciones de frontera y otro tipo de propiedades. En la mayoría de los casos

ingenieriles es necesario diseñar la malla o el proceso de discretización muy preciso para

garantizar la convergencia de los resultados más óptima.

Cálculo, el resultado del preproceso, es un problema simple no dependiente del tiempo

generalmente se obtienen ecuaciones lineales y son fáciles de resolver; pero cuando el

sistema es dependiente del tiempo se producen una serie de ecuaciones no-lineales que

corresponden a un lapso determinado de tiempo, entonces la solución se complica más y

el resultado de una gama de ecuaciones diferenciales depende de la pasada.

Post-proceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos

de la malla que define la discretización, en este periodo se obtienen valores derivados de

las valores obtenidos en los nodos, y en ocasiones se aplican métodos de interpolación o

determinación de errores de aproximación.

II.4.4.- Discretización o generación de malla

La malla para la aplicación del MEF se genera y consta de miles de puntos (nodos). La información

sobre las propiedades del material y otras características del problema se almacena junto con la

información que describe la malla (Figura II.10). Por otro lado las fuerzas, los flujos térmicos o las

Capítulo II 33


temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una

densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica y otra propiedad.

Figura II.10.- Simulación del continuo, con malla y patrón de solución

Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen normalmente una mayor densidad de

nodos que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en; puntos de

fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de

elevada tensión, esto es para tener una mayor precisión en los resultados que nos arroja el método

[II.13].

La malla actúa como la red de una araña en la que desde cada nodo se extiende un elemento de

malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es que lleva las propiedades del material

objeto, creando varios elementos.

Es por esto que la discretización del material (malla) es muy importante en el proceso de pre-

proceso del MEF. Para poder obtener resultados aceptables y muy aproximados a la realidad.

Capítulo II 34


II.4.5.- Limitaciones

Se puede poner un apartado muy amplio de los beneficios que trajo consigo el MEF. Por lo que es

preciso especificar las limitaciones en la aplicación del MEF:

El MEF calcula soluciones numéricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de

entrada. No puede realizar un análisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como

variará la solución si alguno de los parámetros se altera ligeramente. Es decir,

proporciona sólo respuestas numéricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas

generales.

El MEF proporciona una solución aproximada cuyo margen de error en general es

desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error en la solución,

debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el método, los problemas no

lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error.

En el MEF la mayoría de las aplicaciones prácticas requieren mucho tiempo para ajustar

detalles de la geometría, existiendo frecuentemente problemas de más

condicionamientos de las mallas, desigual grado de convergencia de la solución

aproximada hacia la solución exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulación

requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometrías simplificadas o casos

menos generales que el que final pretende simularse, antes de empezar a lograr

resultados satisfactorios.

II.4.6.- Programas comerciales con aplicación al MEF

En la actualidad existen diferentes programas comerciales para la aplicación del MEF y a

continuación se citan los más importantes:

Flux

Cosmos

Staad.pro

Catia v5

Capítulo II 35


Cype

Dlubal RFEM

Sap2000

Algor

HKS/Abaqus/Simulia

ANSYS

CAELinux

Elmer

FEAP

Phase2

Nastran

I-deas

Femap

Pro/ENGINEER Mechanica

Elas2D

Comsol

Castem

SALOME-Code Aster

FreeFem

OpenFEM

OpenFlower

OpenFOAM

Calculix

Tochnog

Gmsh-GetDP

Z88

De igual forma existen programas para diferentes plataformas de sistemas operativos y también

existen los denominados open source (que son usados bajo comunidades de Linux y de personas que

le agregan funciones según las necesidades de particulares).

Capítulo II 36


II.5.- Plasticidad en flexión

El estudio de la flexión en vigas que se deforman de una manera elástica-lineal ha sido estudiado en

demasiados textos de Mecánica de Materiales, la flexión plástica es pocas veces mencionada o en

caso contrario es limitada a casos elasto-plásticos perfectos.

En el presente trabajo, se consideraran dos casos de flexión plástica:

1. Elasto-plástica perfecta.

2. Endurecimiento por deformación.

II.5.1.- Flexión elasto-plástica perfecta

En esta sección se considera una viga deformada plásticamente por un momento (M’) y después el

momento es removido como se muestra en la Figura II.11, después de descargar el material las

deformaciones disminuyen pero no llegan a cero, por lo tanto quedan deformaciones en la viga y a

su vez esfuerzos residuales también existirán.

Figura II.11.- Carga de una viga y su descarga

Sucede lo siguiente, cuando la viga se carga se producen dos tipos de esfuerzos, a tensión y

compresión que corresponden a la carga máxima producida por el momento, después como

respuesta del material, es tratar de equilibrar esos esfuerzos produciendo unos de igual magnitud

Momento flexionante

M’

Tiempo

Capítulo II 37


pero en sentido contrario. Al descargarse la viga los esfuerzos producidos son contrarios al momento

máximo flector, entonces la suma algebraica de estos esfuerzos dependiendo de la posición en la

sección recta de la viga varía, y algunos esfuerzos quedan atrapados en las fibras del material, estos

son llamados esfuerzos residuales y pueden ser manipulados para cambiar las propiedades del

material según se requiera.

Para efectos de estudio, consideremos una viga de material elasto-plástico perfecto con sección

transversal rectangular y ha sido flexionada más allá del punto de cedencia. El ejemplo es mostrado

en la Figura II.12. En el diagrama se puede observar que cuando el momento máximo de flexión M

alcanza su punto máximo M’ el comportamiento de los esfuerzos es como el mostrado; esto a su vez

está relacionado con una deformación ε’c (Deformación producida por el momento flector M’).

Figura II.12.- Comportamiento elasto-plástico perfecto, obsérvese los esfuerzos para tensión y

compresión.

El valor de M’ puede ser calculado con la ecuación:

2

00

2

'3

11'

cEtcM

II.8

Donde:

t = espesor de la viga.

c = distancia del eje neutro a la fibra más lejana.

M = M’

σ0

-c

c

0 σ -σ

Capítulo II 38


0 = Esfuerzo de cedencia

La ecuación pasada es uno de los muchos métodos para poder hacer el cálculo del momento máximo

que la viga soporta, pero generalmente cuando se hacen este tipo de ensayos se conocen las

condiciones iniciales de carga, es decir el momento máximo que se le aplicará a la viga, y como

variables son las deformaciones.

Y calculando la deformación en cualquier punto de la sección transversal, se obtiene:

cc

y II.9

Donde:

c = Deformación máxima provocada por M’

y = Distancia del eje neutro a un punto en la sección transversal de la viga

Si la deformación es sólo elástica, la deformación responde al Módulo de Young. Como se había

mencionado, el principal objetivo es el uso del elemento finito para hacer estudios elasto-plásticos,

para poder simplificar el análisis analítico y poder compararlo con el numérico, se hará uso de un

método del cálculo de esfuerzos residuales llamado de superposición y se podrá comprobar que la

teoría se aplica directamente en el método numérico.

II.5.1.1.- Método de superposición

El método de superposición se usa para sumar algebraicamente los esfuerzos producidos por un

momento plástico y el efecto de la descarga del material, La descarga del material se considera

lineal y corresponde al Módulo Young del material, tal como se muestra en la Figura II.13.

Capítulo II 39


Figura II.13.- Método de superposición

Se puede observar que para cada punto que se requiere analizar desde el eje neutro de la sección

transversal hasta cualquier punto, se puede obtener un valor de los esfuerzos residuales sólo

sumando algebraicamente los valores de los esfuerzos.

II.5.2.- Flexión con endurecimiento superficial

Si un material es ensayado más allá de su límite elástico sin sobrepasar el punto último de la gráfica

esfuerzo-deformación y después es descargado, en otras palabras el incremento en la zona de tensión

es proporcional a la disminución en la zona de compresión (endurecimiento cinemático) esta

condición es llamada endurecimiento por deformación, de igual forma la curva de descarga es lineal

y está en función de la constante del material, el Módulo de Young. El nuevo punto formado al

instante que se descarga la probeta se le conoce como nuevo punto de cedencia, es decir; cuando el

material se vuelva a ensayar con algún tipo de agente externo tiene que pasar este punto de cedencia

para que empiece a ceder el material. No se debe olvidar que al pasar el punto de cedencia del

material se provocó deformaciones permanentes en el material y estarán presentes en las nuevas

propiedades del material. Todo lo anterior se puede observar en la Figura II.14.

y

-y

y

-y

y

-y

σ

-σ -σ

+σ

+σ +σ

Capítulo II 40


Figura II.14.- Endurecimiento por deformación

La línea de descarga que pasa el punto de cedencia, será la nueva línea de carga para el nuevo punto

de cedencia. Esta condición aplica para puntos que se encuentran abajo del último esfuerzo del

material, pasando éste punto el material falla.

II.6.- Sumario

Es importante mencionar los principios de la elasticidad y plasticidad, así como los diferentes

fenómenos que se presentan ante diferentes condiciones de trabajo para el material, todo esto para

poder entender los resultados del método numérico. En el próximo capítulo se presentará la

metodología que se usó, tanto para poder hacer el modelo matemático en MEF como para

resolverlo, entender los resultados y también el análisis de estos.

II.7.- Referencias

1.- Autillo, J., Utilización del ensayo miniatura de punzonamientos en la caracterización mecánica

de aceros, Anales de Mecánica de la Fractura Vol. 1, pp 1-5, 2006.

2.- Bravo-Diez, P.M., Efecto de la deformación plástica inicial en el comportamiento frente a

deformaciones cíclicas de un acero inoxidable endurecido por precipitación, VIII Congreso

Nacional de Propiedades Mecánicas de Sólidos, pp 235 – 241, 2002.

3.- Timoshenko, S. y Gere, J. M., Mecánica de Materiales. Ed. Cengage Learning, pp 25-27, 2001.

σ

ε

Línea de carga

Línea de descarga y carga

Nuevo punto de cedencia σY’

Deformación permanente

Capítulo II 41


4.- Prevost, J. H., Mechanics of Continuous Porous Media, Int. J. Engineering Science, Vol. 18, pp

787-800, 1980.

5.- Zienkiewicz, O. C., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 1-4, 2007.

6.- Sonzogni, V. E., Uso de una malla compuesta para estimar errores de discretización y mejorar

la solución en elementos finitos, Mecánica Computacional Vol. XVI, pp 123-124, 1996.

7.- Kosteski, L., Aplicación del método de los elementos discretos para la determinación del factor

de intensidad de tensiones estático y dinámico, Mecánica Computacional Vol. XXV, pp 2109-2123,

2006.

8.- Batista, R. G., Aplicación del método de los elementos discretos al estudio del mecanismo de

fractura por crecimiento y coalescencia de vacíos, Mecánica Computacional Vol. XXV, pp 2125-

2142, 2006.

9.- Zienkiewicz, O. C., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 26-37, 2007.

10.- Casanova, J., Un elemento finito 3D para el análisis cinemáticamente no lineal de láminas

elastoplásticas, Revista internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

Vol. 5, pp 60-62, 1989.

11.- Azevedo, A. F. M., Método dos elementos finitos, Facultadade de Engenharia da Universidade

do Porto-Portugal, pp 1-6, 2003.

12.- Moreno, P. A., et al, Método de los Elementos Finitos Introducción a Ansys, Universidad de

Sevilla, pp 2-3, 2004.

13.- Torrano, S., Alternativas de discretización para la integración numérica de tensiones en

secciones de hormigón armado, Métodos Computacionais em Engenharia, pp 2-5, 2004.

Capítulo III 43


III.1.- Introducción

En esta parte del trabajo se presenta el análisis numérico de diferentes casos de estudio donde el

material se considera elástico (para corroboración de la exactitud del programa comercial del

método de elemento finito) y elasto-plásticos. Los ejercicios que aquí se consideran son vigas

sometidas a cargas de flexión (cuatro puntos). El someter al material a la carga de flexión en cuatro

puntos para los casos donde se considera al material elasto-plástico, es debido al efecto que la carga

no homogénea producirá sobre el componente al rebasar el esfuerzo de cedencia del material y ser

liberado de la acción del agente externo (descargarlo). El efecto que se producirá es la inducción de

un campo de esfuerzos residuales, lo cual se desea corroborar por medio de un desarrollo analítico

(Mecánica clásica) y evaluar la exactitud de trabajo del programa computacional del método de

elemento finito que se está utilizando.

El uso de sistema CAE (Computer Aided Engineering, por sus siglas en inglés), se extiende cada vez

más en la industria y como principales ventajas se puede citar la interactividad y la facilidad con la

que se pueden desarrollar nuevos diseños. Asimismo, la posibilidad de poder simular el

comportamiento del sistema antes de la construcción del respectivo prototipo. Además de tener la

capacidad de generar los planos necesarios para obtener las vistas, detalles y perspectivas que se

necesite [III.1].

En este trabajo se evalúa numéricamente un ensayo a flexión pura por cuatro puntos, así como,

principalmente la introducción de un campo de esfuerzos residuales. Para efecto del desarrollo de

este tipo de análisis numéricos, se utilizó el método de elementos finitos (MEF) a través de un

paquete computacional comercial muy conocido en el medio ingenieril.

En un inicio se decidió desarrollar el caso de flexión en cuatro puntos de manera elástica y

corroborar la similitud en los resultados que se pueden obtener entre la Mecánica clásica y el estudio

numérico. Asimismo, se propone un caso simple de flexión inelástica en cuatro puntos,

considerando un material elasto-plástico perfecto para inducir un campo de esfuerzos residuales, lo

cual ocurre cuando el material de la viga esta bajo el efecto de un agente no homogéneo por encima

de su esfuerzo de cedencia y es descargado. Dicho material sigue la ley de Hooke hasta el punto de

cedencia y después cede plásticamente bajo la acción de esfuerzo constante [III.2]. Es muy

Capítulo III 44


importante considerar que la descarga del material se considera lineal (bajo la hipotesis de

Timoshenko)

En este sentido, la curva esfuerzo-deformación para un material elasto-plástico perfecto es

considerado con el mismo punto de cedencia y el mismo módulo de elasticidad E en ambas zonas

(tensión y compresión, concepto de isotropía). En la Figura III.1, se muestra el comportamiento

mecánico del material que se desea analizar.

Figura III.1.- Material elasto-plástico perfecto

En la simulación del comportamiento mecánico del material que se propone se puede observar que

existe una región de elástica lineal, seguido de una entre la región perfectamente plástica. El

comportamiento plástico no presenta un incremento del esfuerzo en la zona plástica y un incremento

de la deformación unitaria plástica. Es por esta razón, que se usa el término de material elasto-

plástico perfecto [III.1].

III.2.- Características del método de elemento finito

Los sistemas CAE que permiten el diseño de objetos tridimensionales y a su vez la posible

simulación del sistema, se componen de tres etapas principales en el diseño [III.3]:

a. Pre-proceso.- Es la zona del proceso numérico donde se define de forma interactiva la

forma y geometría del componente en estudio. En esta parte del análisis numérico el

computador almacena un modelo (que puede ser en una dimensión, dos dimensiones o

Tensión

Compresión

σ

ε

Capítulo III 45


tres dimensiones dependiendo las necesidades del análisis). Así como, permite la

generación de cualquier vista, secciones, detalles y planos. También el modelo de

representación contiene la información necesaria para el cálculo de las propiedades

geométricas del objeto que se está diseñando, superficie, peso, centro de gravedad,

momentos de inercia, etc. En está parte del estudio también se realiza la discretización

del sistema (mallado) y se definen los agentes externos (restricciones de movimiento y

cargas) de los cuales dependerá directamente el análisis numérico.

b. Proceso.- En esta zona del paquete numérico, se utiliza el modelo obtenido para realizar

cálculos y simulaciones más complejos. Como pueden ser el cálculo de esfuerzos o la

simulación del comportamiento aerodinámico en el caso del diseño de carrocerías,

perfiles de avión, etc. En otras palabras, es en el procesador que se realiza la solución de

la configuración numérica estipulada.

c. Post-proceso.- En esta tercera fase y última se pueden visualizar gráfica y numericamente

todo los tipos de resultados obtenidos por el programa de cálculo. Si no son correctos, el

usuario podrá cambiar la forma del objeto, cambiar los valores de los agentes externos y

repetir el proceso, sin en cambio ya son aceptables (muy aproximados a la solución) se

interpretan y se analizan. Es muy importante mencionar que el programa del método de

elemento finito no proporciona resultados reales, sino aproximaciones matemáticas a la

posible realidad del comportamiento mecánico.

III.3.- Casos de análisis

Se tienen tres casos de estudio:

Elástico lineal.

Elasto-plástico perfecto.

Elasto-plástico bilineal.

La principal problemática en el desarrollo de esta parte del trabajo, es que el métdo de elemento

finito realiza las simulaciones numéricas en condiciones ideales y bajo condiciones consideradas por

Capítulo III 46


la Mecáncia clásica, lo cual en realidad no es real, pero son consideraciones que se han utilizado por

varios años y alrededor del mundo en la solución de problemas ingenieriles.

Para todos los casos de estudio, la caracterización del material se lleva acabo mediante una

configuración de flexión por cuatro puntos de apoyo. Para los casos de flexíon por encima del punto

de cedencia fue necesario especificar en la simulación el esfuerzo de cedencia a tensión y

compresión que tiene considerado en material. Además, por medio de este tipo de configuración del

material es posible que se evaluen los campos de esfuerzos residuales que originaron la aplicación

de cargas no homogéneas en el espécimen.

La geometría del espécimen que se utilizó para el desarrollo del trabajo de simulación numérica de

este trabajo de investigación se muestra en la Figura III.2 y tiene una sección transversal rectangular

de 1 mm por 10 mm. Asimismo, todo el análisis numérico desarrollado fue realizado a una escala de

milimetros, lo que obliga a considerar a los agentes externos también el milimetros.

Figura III.2.- Viga prismática

Se decidió realizar el análisis del caso de estudio en 2D y el elemento que se utilizó para efectuar el

mallado del modelo del componente fue el elemento Plano 183. El cual se define como un elemento

plano, con una conducta de desplazamiento cuadrático y es ajustable en mallas con formas o

geometrías irregulares. Este elemento esta definido por 8 nodos (4 nodos en las esquinas y 4 nodos

intermedios, Figura III.3), cuenta con tres grados de libertad para cada uno de los nodos, traslación

en x y y, permitiendo su rotación sobre el eje z.

200 mm 1 mm

10 mm

Capítulo III 47


Figura III.3.- Elemento plano de 8 nodos

La discretización del componente se realizó de la manera siguiente; en donde no son de importancia

los resultados que produce el agente externo, se aplicó una malla de forma no detallada, pero

controlada. Por el contrario de donde se necesitan obtener los valores aproximados a la realidad la

malla es mas detallada, esto es en la parte central de la viga. La parte central de la viga es de suma

importancia, ya que según la Mecánica clásica, es en esta zona donde al activar el agente externo se

pueden visualizar la acción de esfuerzos a tensión y compresión, además, de que no se produce el

efecto de un efecto cortante.

La Figura III.4 muestra en detalle de cómo se realizó la discretización del componente y claramente

se puede visualizar las zonas de interés para el análisis. Donde es posible observar que la zona

central de la viga es de suma importancia y por medio de la teoría de flexión pura se sabe que en

esta zona el efecto del momento es constante.

Figura III.4.- Discretización del espécimen

III.4.- Aplicación de las propiedades mecánicas para el desarrollo del análisis numérico

Para efectos del análisis numérico se seleccionó el comportamiento mecánico de un acero inoxidable

AISI 316L. El módulo de elasticidad para este tipo de acero es de 200 GPa, pero como se

consideran en milímetros el valor del módulo que se utilizará es de 200 000 N/mm2. Para la

consideración de un material con propiedades elasto-plásticas, el acero inoxidable AISI 316L (el

Capítulo III 48


cual por su aplicación en la biomecánica se considera como el material idóneo para este tipo de

análisis) tiene unas propiedades como las que se describen en la Tabla III.1.

Tabla III.1.- Propiedades mecánicas para el análisis Propiedades Mecánicas Sistema Métrico

Esfuerzo de cedencia (y) 400 MPa

Módulo Elástico (E) 200 GPa

Relación de Poisson () 0.28

III.5.- Análisis numérico

III.5.1.- Primer caso de estudio

En el primer caso de estudio que se realiza en esta tesis es por medio de la simulación del

comportamiento elástico del material AISI 316L. Las características utilizadas en el análisis se

muestran en la Figura III.5.


El procedimiento de la aplicación del agente externo no homogéneo y la secuencia de descarga de la

probeta se realizó en dos pasos. En la probeta se aplicó una carga puntual de la manera que se

muestra en la Figura III.6 y está restringido de manera nodal en los extremos. Todos los casos de

y= 400 N/mm2

y = 0.002

E= 200 000 N/mm2

σ

ε

y= 400 N/mm2

y = 0.002

Capítulo III 49


estudio fueron cargados de la misma manera, con la única diferencia en la magnitud de la carga

aplicada para cada caso de estudio.


En la Figura III.7 se puede observar el efecto de la secuencia de carga sobre la probeta por medio de

la aplicación de una flexión pura en la parte central del componente. Asimismo es posible observar

la distribución de esfuerzos a lo largo de la altura de la viga.

Figura III.7.- Esfuerzos de carga, caso elástico por medio de simulación numérica

La distribución de esfuerzos se presenta en la Figura III.8 y es posible observar el comportamiento

elástico lineal del material. Es decir, se aprecia que la relación entre el esfuerzo-deformación que es

linealmente proporcional conforme aumenta su valor y el punto máximo alcanzado es el

correspondiente al punto de cedencia del material. Cabe aclarar que en este caso de estudio, más allá

del punto de cedencia no se considera, ya que se puede dejar en el material al descargar algún tipo

de esfuerzo y deformación remanente.

P = 133.33 N P = 133.33 N

50 mm 100 mm

Capítulo III 50


σ

Figura III.8.-Comportamiento elástico lineal del material

En la Tabla III.2 se puede observar los valores obtenidos en el MEF.

Tabla III.2.- Valores obtenidos del componente, caso elástico

Altura (mm)

Esfuerzo de carga (MPa)

5 -400 4 -320 3 -240 2 -160 1 -80 0 0 -1 80 -2 160 -3 240 -4 320 -5 400

En el presente caso de estudio, no se presenta la descarga del material de la carga no homogénea, ya

que como lo establecido por Timoshenko, la descarga es lineal elástica y los esfuerzos se igualan a

cero. Sin embargo en la Figura III.9 se presenta la distribución de esfuerzos obtenidos después de

realizar la descarga. Para este caso, como era de esperarse es cero.

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

Capítulo III 51


Figura III.9.-Estado de esfuerzos para descarga en el caso elástico

III.5.2.- Segundo caso de estudio

Para realizar el análisis del segundo caso de estudio, se utilizará un material elasto-plástico perfecto,

con las siguientes características (Figura III.10).

Figura III.10.- Propiedades elasto-plástica perfectas del material

El procedimiento que se realizó fue nuevamente de carga y descarga de la probeta por medio de una

carga no homogénea y mediante una configuración llamada flexión de cuatro puntos. La fuerza

aplicada será lo suficientemente grande como para poder rebasar el punto de cedencia y poder

apreciar el comportamiento elasto-plástico perfecto del componente. Posteriormente, el sistema se

descarga (segundo etapa) y es inducido el campo de esfuerzos residuales. Para poder comprobar la

eficiencia del método, es posible calcular este campo de esfuerzos de forma analítica y corroborar

los resultados de análisis numérico [III.4].

Para los siguientes dos casos de estudio, la configuración del caso de estudio es el mismo que la

simulación numérica anterior. La flexión por cuatro puntos de flexión inducirá un campo de

y= 400 N/mm2

y = 0.002

E= 200 000 N/mm2

σ

u = 400 N/mm2

u = 0.01

ε

Capítulo III 52


esfuerzos residuales, esto es por medio de una carga homogénea, Asimismo, en las condiciones

iniciales para el análisis numérico el componente sufrirá un cambio en sus propiedades mecánicas en

la etapa de pre-proceso. Las condiciones de frontera que se dispuso en la viga, se localizan en los

nodos del extremo izquierdo inferior, impidiendo el desplazamiento en el eje x y y. Mientras que en

el nodo del extremo derecho se restringió sólo en un eje y (Figura III.6). En la Figura III.11 se puede

observar el valor de la carga utilizado y las restricciones de frontera. Mientras que en la Figura III.12

se presenta la simulación del comportamiento elasto-plástico perfecto del material.

Figura III.11.- Cuatro puntos de flexión, segundo caso de estudio

Figura III.12.- Comportamiento simulado elasto-plástico perfecto

Los esfuerzos obtenidos por la simulación del ensayo a cuatro puntos de flexión se puede observar

en la Figura III.13 y como era de esperarse los esfuerzos máximo y mínimo de tensión y compresión

se encuentra en la parte central de la viga y sobre las respectivas superficies. También es posible

observar, que en la parte media de la altura de la viga se encuentra el eje neutro del componente,

donde los valores de los esfuerzos son cero.

166.66 N 166.66 N

Capítulo III 53


Figura III.13.- Viga flexionada de manera elasto-plástica perfecta

En la Figura III.14, se presenta el primer paso de la simulación numérica, que es la carga del

espécimen.

Figura III.14.- Esfuerzos de carga para el comportamiento elasto-plástico perfecto

En la figura anterior también se puede observar el comportamiento elasto-plástico perfecto al que

está sometido el material. Después del punto de cedencia se observa que el esfuerzo se mantiene

constante a lo largo de la altura de la viga. La Tabla III.3 contiene los valores obtenidos en el MEF y

tabulados con respecto a la posición del eje neutro en el eje de la sección transversal.

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

Capítulo III 54



Altura (mm)


5 -400 4 -400 3 -388.87 2 -251.83 1 -125.91 0 0 -1 125.91 -2 251.83 -3 388.87 -4 400 -5 400

La siguiente parte del análisis, es la descarga del sistema y la inducción del campo de esfuerzos

residuales. Se elimina la carga y se desarrolla la solución del sistema, posteriormente se observa que

después de haber deformado la viga plásticamente es inducido un campo de esfuerzos residuales

debido a la carga no homogénea (Figura III.15).

Figura III.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido, comportamiento elasto-plástico perfecto

En la Figura III.16 se presenta de manera gráfica, la distribución del campo de esfuerzos residuales

en la viga a lo largo de la altura.

Capítulo III 55


Figura III.16.- Distribución de esfuerzos residuales, comportamiento elasto-plástico perfecto

La Tabla III.4 representa la distribución del campo de esfuerzos residuales a lo largo de la altura de

la viga después del análisis realizado.

Tabla III.4.- Distribución de los esfuerzos residuales

Altura (mm)

Esfuerzos residuales

(MPa) 5 98.01 4 15.99 3 -65.89 2 -43.833 1 -21.916 0 0 -1 21.916 -2 43.833 -3 65.89 -4 -15.99 -5 -98.01

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

Capítulo III 56


III.5.3.- Tercer caso de estudio

El comportamiento bilineal en los materiales, es más común en su utilización científica que la

consideración elasto-plástica perfecta. La consideración bilineal se fundamenta en la determinación

de dos puntos; el esfuerzo de cedencia (que establece la zona elástica) que en la mayoría de los

materiales se describe la relación lineal entre el esfuerzos y la deformación unitaria o conocido

como módulo de Young y el segundo punto, el establecimiento del esfuerzo máximo, que

claramente establece la zona plástica del material. Las características anteriores son introducidas en

el programa computacional de MEF para realizar la simulación numérica (Figura III.17). De igual

forma que en el caso de estudio pasado, el material se considera sin historia previa y se somete a

flexión por cuatro puntos.

Figura III.17- Comportamiento bilineal

En la Figura III.18 se presentan los resultados del análisis después de haber sometido a la viga a una

carga no homogénea y que es capaz de producir una deformación plástica permanente en el

componente. Por lo que es posible la inducción del campo de esfuerzos residuales al descargar el

sistema. En las siguientes figuras se demostrará como el comportamiento mecánico del material

influye mucho en la distribución de los esfuerzos residuales en la probeta. Así como, la curva de

Capítulo III 57


carga del material. Además, se puede observar la línea de carga, la cual describe el comportamiento

bilineal de la viga sometida al ensayo antes descrito.

a)

Figura III.18.- Comportamiento bilineal del material. a) Distribución de esfuerzos a tensión y compresión en la viga sometido a flexión.

b) Línea de carga del material (comportamiento bilineal).

En la Tabla III.5 se encuentran tabulados los valores de los esfuerzos a plena carga a lo largo de la

altura de la viga. Mientras que en la Figura III.19, se ilustra el comportamiento de los esfuerzos

residuales en la viga sometida a la flexión. Obsérvese la distribución de los esfuerzos residuales que

dependen principalmente de la posición con respecto al eje neutro.

a)

Esf

uerz

o (M

Pa)

b)

Altura (mm)

Capítulo III 58


Tabla III.5.- Esfuerzos a carga

Altura (mm)

Esfuerzo a Carga (MPa)

5 -457.17 4 -439.27 3 -416.48 2 -369.44 1 -175.45 0 0 -1 175.45 -2 369.44 -3 416.48 -4 439.27 -5 457.17

Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales en la viga. b) Distribución del campo de esfuerzos residuales.

a)

b)

Altura (mm)

Esf

uerz

o (M

Pa)

Capítulo III 59


En la Figura III.19a se observa la viga con esfuerzos residuales, después de retirar la carga en la

simulación numérica, donde es posible observar el campo de esfuerzos residuales denotado por los

distintos colores que son ploteados por el análisis numérico. En la curva de la Figura III.12b se

observa la distribución de los esfuerzos residuales en la viga, que como se había explicado

anteriormente cambia con respecto a la altura de viga.

En la Tabla III.6 se observan los esfuerzos obtenidos por MEF correspondientes a cada sección de la

altura de la sección transversal de la viga.

Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales

Altura (mm)

Esfuerzos Residuales

(MPa) 5 117.47 4 40.733 3 -56.479 2 -116.76 1 -55.45 0 0 -1 55.45 -2 116.76 -3 56.479 -4 -40.733 -5 -117.47

III.6.- Desarrollo analítico sobre los casos de estudio

III.6.1.- Desarrollo analítico para el primer caso de estudio

Como el primer caso de estudio, corresponde a un comportamiento elástico lineal para una viga

deformada por flexión en cuatro puntos. La ecuación utilizada para el desarrollo de este tipo de

sistema se establece a continuación [III.5]:

I

Mc III.1

Capítulo III 60


Donde es el esfuerzo localizado en la altura de la sección transversal, PlM es el momento

alcanzado por la carga aplicada P y l es la distancia del punto de apoyo a la carga, c es la distancia

del eje neutro a la fibra más lejana e I es el momento de inercia de la sección transversal (que en

este caso es una sección rectangular y se calcula por la fórmula 12/3bhI ), de donde se

desprenden otras dos variables, b es la base de la sección transversal y h es la altura de la sección

transversal.

Teniendo los datos arriba descritos, se obtienen los valores para cada altura de la sección transversal.

Se obtiene de la Ecuación III.1:

MPaI

Plc005.400

33.83

5.33332

12

101

55033.1333

El valor arriba obtenido son para la fibra más alejada del eje neutro. A continuación se determinan

los valores de los esfuerzos para cada punto de la altura de la sección transversal de la viga.

Para la altura o posición 4c :

MPaI

Plc004.320

33.83

5.33332

12

101

45033.1333

Para 3c ,

MPaI

Plc003.240

33.83

5.19999

12

101

35033.1333

Para 2c ,

MPaI

Plc002.160

33.83

13333

12

101

25033.1333

Capítulo III 61


Para 1c

MPaI

Plc001.80

33.83

5.6666

12

101

15033.1333

Para 0c el esfuerzo localizado es nulo. Para el caso de la zona de compresión, los valores son los

mismos que en la zona de tensión, ya que se considera la condición de isotropía del material y el

componente no considera historia previa. En la Tabla III.7 se presentan los valores obtenidos de

manera tabular.


Altura (mm)


5 -400.005 4 -320.004 3 -240.003 2 -160.002 1 -80.001 0 0 -1 80.001 -2 160.002 -3 240.003 -4 320.004 -5 400.005

III.6.2.- Desarrollo analítico para el segundo caso de estudio

Para el desarrollo analítico de los casos de estudio descritos en este trabajo, se considera la barra

prismática antes descrita, flexionada por dos pares iguales en magnitud y en dirección opuesta en

cada uno de los extremos. El esfuerzo producido por los momentos está definido por la fórmula:

l

M

R

E yy III.2

Capítulo III 62


Donde E es el módulo de Young del material, R radio de curvatura, I momento de inercia de la

sección transversal y h es la distancia del eje neutro al extremo de la viga. Para este caso de sección

transversal rectangular, se tiene que el momento de inercia es 33/2 bhI , siendo el valor de b la base

de la sección transversal de la viga. La cedencia plástica sucede inicialmente en la zona hy

cuando el momento plástico flexionante alcanza el siguiente valor:

ye bhM 23

2 III.3

La Ecuación III.3 corresponde al comportamiento totalmente elástico de la barra, esta parte es

importante, porque de ahí se fundamenta el estudio elasto-plástico de los casos de estudio.

Para el comportamiento elasto-plástico de la barra al ser cargada, se tiene que analizar cada uno de

los momentos presentes; esto es, bajo un momento intermediario (no totalmente plástico, ni

elástico), por otro lado la zona plástica ha penetrado una cierta distancia de h por ambas caras de la

barra, por lo tanto el momento en cualquier punto de la sección transversal está compuesto de un

componente elástico y uno plástico [III.2], como se muestra en la Ecuación III.4:

Fsy

MMM ypeep

2 III.4

Donde s = d - h es la distancia entre las fuerzas resultantes de la zona plástica como se puede

apreciar en la Figura III.13. Donde bhF y en cada zona donde hay deformación plástica y la

dimensión 2/)2( hdy indica la distancia que está ocupando la zona elástica del material desde el

eje neutro, por último el momento de inercia de la zona elástica es 12/)2( 3hdbI . Entonces el

momento elasto-plástico puede quedar expresado de la siguiente manera:

))(()2(12

)2(2 2

hdbhhd

hdbM yep

III.5

Reduciendo y factorizando (III.4) se tiene:

Capítulo III 63


y

Eje Neutro

F

F Fult

sult

+y

-y

Fult

+y +y

-y -y

s

d

h

d

hMM eep 1

21 III.6

Figura III.20.- Incremento de la zona plástica en una sección rectangular

Para el caso de cuando el momento sea totalmente plástico, como se puede apreciar en la Figura

III.14, la zona plástica se hace totalmente presente en ambas zonas, tanto a tensión como a

compresión, tomando como referencia el eje neutro. Por lo tanto, el momento en la zona totalmente

plástica está dado por la Ecuación III.7.

422

2yy

ultultult

bddbdsFM

III.7

Los esfuerzos residuales en flexión ocurren cuando una viga elasto-plástica es descargada totalmente

y el momento epM vale cero, esto produce un estado o campo de esfuerzos residuales R que

quedaran en toda la sección transversal siguiendo lo establecido por Timoshenko, cuando todo

material al ser sometido a una carga mecánica y posteriormente al ser descargado, la curva de

descarga sigue la pendiente del Módulo Young o en otras palabras la descarga es lineal. Para el caso

de estudio se considera que la descarga es puramente elástica desde el estado de esfuerzos elasto-

plástico al que fue sometido el material bajo el momento epM .

Capítulo III 64


Por definición, se obtiene:

EepR III.8

Donde ep son los esfuerzos alcanzados bajo el momento epM . La fórmula que define la descarga en

función de la posición de la sección transversal, se define como:

I

yM epE III.9

Desarrollando con (III.2) y (III.5), se obtiene:

yd

h

d

h

dy

E

1

21

2 III.10

Donde es igual a 2/)2/( dyhd , es decir para la zona plástica la ecuación quedaría como:

yd

h

d

h

dy

yR

1

21

2 III.11

Dentro de la zona elástica los esfuerzos residuales son:

yd

h

d

h

dI

yM yeR

1

21

2 III.12

Y en dentro de la zona plástica los esfuerzos residuales son:

EultR III.13

Escribiéndolo de otra forma, quedaría como sigue:

Capítulo III 65


yd

h

d

h

d

bd yyR

1

21

2

4

2 III.14

Se puede observar que el cálculo de los esfuerzos residuales involucra el cálculo por separado de las

secciones en las curvas y después haciendo el uso del método de superposición (suma y resta

algebraica) se calcula el valor final de los esfuerzos residuales. En la Tabla III.8 se presentan los

resultados analíticos para los casos de estudio elasto-plástico perfecto y elasto-plástico bilineal.

Tabla III.8.- Valores analíticos obtenidos para casos de estudio elasto-plástico perfecto y elasto plástico bilineal

Altura (mm)

Caso elasto-plástico perfecto

Caso elasto-plástico bilineal



(MPa)



(MPa) 5 -400 98.56 -458.25 118.27

4 -400 16.5 -440.27 41.233

3 -387.25 -66.1 -416.42 -57.11

2 -250.9 -44.12 -370.44 -116.46

1 -125.1 -22.45 -175.95 -55.95

0 0 0 0 0

-1 125.1 22.45 175.95 55.95

-2 250.9 44.12 370.44 116.46

-3 387.25 66.1 416.42 57.11

-4 400 -16.5 440.27 -41.233

-5 400 -98.56 458.25 -118.27

III.7.- Sumario

En este capítulo se analizó el comportamiento elasto-plástico y bilineal de un material al ser

inducida una deformación plástica y a su vez provocar un campo de esfuerzos residuales en el

interior de la viga flexionada.

Se usó una configuración de cuatro puntos de flexión en el ensayo para poder demostrar los

esfuerzos de compresión y tensión; el uso de esta configuración es para poder reproducir en cierta

forma una condición ideal en la ingeniería mecánica, la flexión pura.

Capítulo III 66


Se demostró la forma de comprobar lo que se obtuvo por MEF, el cálculo de los esfuerzos

residuales. En el siguiente capítulo se analizará el último caso de estudio, comportamiento bilineal

con endurecimiento por deformación, explicando dos casos de pre-deformado (tensión y

compresión).

III.8.- Referencias

1.- Clough, R., The finite element method after twenty-five years: a personal view, Computers and

structures, Vol. 12, No. 4, pp 361, 1980.

2.- Timoshenko, G., Mechanics of materials, Ed. PWS Pub Co., pp 139-140, 1997.

3.- Moaveni, S., Finite element analysis theory and application with ANSYS, Ed. Pearson Prentice

Hall, pp 6, 2008.

4.- Urriolagoitia-Sosa, G., Analysis of prior strain history effect on mechanical properties and

residual stress in beams, Thesis Ph D, Oxford Brookes University, pp 129-142, 2005.

5.- Craig R. R., Mecánica de materiales, Ed. CECSA, pp 338-350, 2003.

Capítulo IV 68


IV.1- Introducción

Según la literatura mundial uno de los métodos más comunes para manipular y enriquecer la

resistencia del material es la aplicación de cargas homogéneas en tensión, comúnmente conocido

como endurecimiento por deformación. Además, la aplicación del endurecimiento por deformación

puede ser aplicada previamente a la introducción de un campo de esfuerzos residuales y fortalecer

aún más la resistencia del material. El endurecimiento por deformación, prácticamente se realiza por

medio de un estirado o compresión homogénea del material.

En este sentido, ya sea que el material fue inducido con endurecimiento por deformación o un

campo de esfuerzos residuales no siempre es benéfico para el componente. A estos dos tipos de

respuesta que son dejados en el componente se les conoce como historia previa y varía dependiendo

del tipo carga al que haya sido sometido el componente en cuestión. En otras palabras; si una viga es

pre-jalada el campo de esfuerzos residuales se verá afectado de una forma, mientras que si es

comprimida la distribución de esfuerzos residuales cambia de magnitud y orientación, se

demostrarán los dos casos más adelante.

IV.2.- Endurecimiento por deformación

Como ya se mencionó en la sección anterior, el endurecimiento por deformación enriquece la

resistencia del material, ya que el punto de cedencia se incrementa por medio de un proceso

mecánico homogéneo. En este sentido, la consideración elasto-plástica perfecta no es eficiente al

tratar de demostrar la manera que el endurecimiento por deformación funciona. En la Figura IV.1 se

presenta de manera esquemática el enriquecimiento de la resistencia del material por medio de este

método mecánico.

En la Figura IV.1 se puede observar que el material al ser tensionado axialmente de manera

homogénea por primera vez hasta el punto A, sufre de una deformación plástica. Posteriormente al

descargar el material hasta el punto B, se puede claramente observar que el material se encuentra

libre de esfuerzos, sin embargo, se pude visualizar que existen deformaciones unitarias permanentes

[IV.1]. Si el material es cargado nuevamente en la misma dirección de tensión, se puede observar en

la grafica que el nuevo punto de tensión quedará ubicado en donde se aplicó la primera carga

Capítulo IV 69


homogénea que deformó plásticamente al material. A este efecto mecánico se le conoce como

endurecimiento por deformación [IV.2].

Figura IV.1.- Representación del endurecimiento por deformación

IV.2.1.- Simulación numérica de la aplicación del esfuerzo homogéneo y descarga

En esta sección se presenta la corroboración numérica de la aplicación de una carga homogénea en

tensión para visualizar el efecto de una deformación unitaria existente sin la acción presente de un

esfuerzo. Las propiedades del material que se utilizarán para la simulación numérica están descritas

en la Figura IV. 2.

Figura IV.2.- Propiedades del material

01.0

600

MPa

002.0

400

MPa

A

B

y

yII

y (Punto de cedencia original)

yII (Punto de cedencia mejorado)

Capítulo IV 70


En la Figura IV.2 se puede observar claramente la definición de los puntos de cedencia y esfuerzo

máximo del comportamiento bilineal que se utilizará para esta simulación.

Mientras en la Figura IV.3 se presenta la geometría del espécimen que se utilizará, que es similar a

los casos anteriores. El agente externo que se aplicará en este caso, es una presión homogénea sobre

una de las caras de la viga. Las consideraciones de frontera para este ejercicio son restricción de

movimiento en dirección del eje x y en la cara opuesta con respecta a donde se aplicó la carga. Tal

como se había mencionado anteriormente, la probeta será tensada más allá del punto de cedencia del

material.

Figura IV.3.- Discretización del espécimen y carga aplicada

En la Figura IV.4 se puede observar los esfuerzos localizados y homogéneamente distribuidos en el

espécimen por el efecto de la presión. Como antes se había mencionado y como lo fundamenta la

Mecánica Clásica, al aplicar un agente homogéneo genera un esfuerzo homogéneo a lo largo de todo

el componente que es igual a la presión aplicada [IV.3]. Asimismo, en la Figura IV.4 se puede

visualizar la distribución del esfuerzo que es de 500 MPa. Mientras que la Figura IV.5 se presenta el

valor de la deformación unitaria obtenida. Además, que al ser descargado y cargado nuevamente en

la misma dirección el sistema se generará un nuevo punto de cedencia en el material.

Figura IV.4.- Esfuerzos de tensión en el espécimen a presión

P = 500 MPa

= 500 MPa

Capítulo IV 71


Figura IV.5.- Deformación unitaria en el espécimen a presión

Además, en la Tabla IV.1 se presentan los resultados obtenidos de diferentes puntos a lo largo de la

altura de la viga. Así como, la deformación unitaria producida en el componente.

Tabla IV.1.- Esfuerzos y deformaciones unitarias en el espécimen por el efecto de la presión Altura

(mm)

Esfuerzo

(MPa)

Deformación

unitaria

5 500 0.006

4 500 0.006

3 500 0.006

2 500 0.006

1 500 0.006

0 500 0.006

-1 500 0.006

-2 500 0.006

-3 500 0.006

-4 500 0.006

-5 500 0.006

Posteriormente, en el segundo paso de este análisis numérico, se descarga la probeta del efecto del

agente externo (presión de 500 MPa), como se aprecia en la Figura IV.6. En esta figura se puede ver

que el efecto del esfuerzo es equivalente a cero. Además, en la Figura IV.7 se presenta el valor de la

deformación unitaria que se produce por el efecto de plasticidad que sufrió el material. La

deformación unitaria existente en el material es consecuencia del efecto de plasticidad efectuado por

la acción del agente externo y existe sin la colaboración de un esfuerzo actuante.

= 0.006

Capítulo IV 72


Figura IV.6.- Efecto de descarga en el esfuerzo de tensión en el espécimen a presión

Figura IV.7.- Valor de la deformación unitaria del espécimen al ser descargado

En la Tabla IV.2 se puede apreciar los valores obtenidos al descargar el sistema y no se encuentran

esfuerzos localizados en el espécimen. Sin embargo, como el agente externo rebasó el esfuerzo de

cedencia del material existen deformaciones unitarias permanentes en el componente.

Tabla IV.2.- Esfuerzos y deformaciones en el espécimen al momento de descarga Altura

(mm)

Esfuerzo

(MPa)

Deformación

unitaria

5 0 0.0035

4 0 0.0035

3 0 0.0035

2 0 0.0035

1 0 0.0035

0 0 0.0035

-1 0 0.0035

-2 0 0.0035

-3 0 0.0035

-4 0 0.0035

-5 0 0.0035

= 0 MPa

= 0.0035

Capítulo IV 73


IV.3.- Inducción de esfuerzos residuales en un material con historia previa

En esta sección de la tesis se evaluará el caso de la introducción de un campo de esfuerzos residuales

en un componente bajo una condición de historia previa. La condición de historia previa será

considerada por el efecto de la aplicación de una presión homogénea sobre la viga (idéntica al caso

anterior).

Posteriormente se inducirá un campo de esfuerzos residuales, por medio de cuatro puntos de flexión

y se observará el efecto de la acción de la historia previa en la magnitud y distribución del campo de

esfuerzos residuales inducido.

Nuevamente, en este ejercicio se aplicarán las propiedades bilineales que se utilizaron anteriormente

en esta sección de la tesis (Figura IV.2). Las propiedades utilizadas por el paquete computacional

comercial de MEF que son representadas en la simulación se pueden observar en la Figura IV.8.

Figura IV.8.- Comportamiento bilineal simulado del material

Capítulo IV 74


IV.3.1.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta tensionada

La inducción de esfuerzos residuales se hace por medio de una carga no homogénea aplicada en la

configuración de flexión por cuatro puntos de apoyo, como se puede apreciar en la Figura IV.9. El

valor de las cargas fue calculado para poder generar un momento plástico constante en el espécimen.

Figura IV.9.- Configuración de la flexión con cuatro puntos de apoyo

En la Figura IV.10a se puede observar la viga flexionada, como se puede apreciar en la parte de en

medio es donde se encuentran los esfuerzos máximos, lo que corresponde a los colores azul

(compresión) y rojo (tensión). En la Figura IV.10b, se puede observar la gráfica de esfuerzos en

plena carga, se observa el comportamiento bilineal así como el endurecimiento por deformación

provocado por la carga homogénea a tensión aplicada en el inicio del análisis de este caso de

estudio. En la Tabla IV.3, se tabulan los esfuerzos localizados con respecto a la altura de la sección

transversal.

Figura IV.10a.- Esfuerzos en plena carga del material a) Resultado del MEF a la flexión de cuatro puntos

P = 183.33 N P = 183.33 N

50 mm 100 mm

a)

Capítulo IV 75


Figura IV.10b.- Esfuerzos en plena carga del material b) Curva de esfuerzos en plena carga, nótese el endurecimiento por deformación (tensión)

Tabla IV.3.- Esfuerzos a plena carga

Altura (mm)


5 -396.828 4 -351.14 3 -330.82 2 -310.39 1 -228.05 0 -73.125 -1 81.805 -2 236.73 -3 391.66 -4 506.01 -5 522.238

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

b)

Capítulo IV 76


Al ser descargado el espécimen después de haber pasado el punto de cedencia nuevo, se induce un

campo de esfuerzos auto-equilibrantes, que tratan de compensar las deformaciones plásticas

provocadas por la acción de un agente externo. En la Figura IV.11a, se puede observar el espécimen

descargado y con esfuerzos aún localizados en el cuerpo a lo largo de la sección transversal. En la

Figura IV.11b, se puede observar el campo de esfuerzos residuales que quedó en el espécimen

después de haber retirado la carga no homogénea.

Figura IV.11.- Campo de esfuerzos residuales inducido a) Esfuerzos residuales en MEF

b) Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga

a)

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

b)

Capítulo IV 77


En la Tabla IV.4 se encuentran tabulados los esfuerzos residuales localizados en el espécimen.


Altura (mm)


5 159.65 4 88.855 3 -0.82544 2 -90.395 1 -118.06 0 -73.125 -1 -28.193 -2 16.738 -3 61.67 -4 66.67 -5 -5.0127

Para el siguiente caso de estudio sólo es presentado la parte de inducción de esfuerzos residuales, ya

que como se había mencionado antes, son presentados dos casos de estudio con comportamiento

mecánico bilineal; el primero es presentado con una pre-deformación a tensión y el segundo es con

una pre-deformación a compresión y en el inicio del presente capítulo se demostró la forma

numérica en que se realiza el pre-deformado a tensión, lo que para el siguiente caso sólo cambia la

orientación de la presión homogénea siendo de compresión en lugar de tensión.

IV.3.2.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta comprimida

En este caso de estudio se considera el espécimen con una pre-deformación a compresión, similar al

caso anterior en propiedades y procedimiento, pero con el cambio en la dirección de la aplicación de

la carga de historia previa. La simulación numérica de este caso de estudio se muestra en la Figura

IV.12, la carga a compresión es homogénea y tiene un valor numérico de 500 MPa. Es muy

importante que mencionar que la viga fue discretizada de la misma manera que los casos de estudio

anteriores, lo cual se realizó de una forma contralada y cuidando de manera muy especial la parte

central del componente. Ya que ahí es donde se concentran los resultados más relevantes del trabajo

y se determinarán la manera en que se comporta el material bajo el efecto del agente externo.

Capítulo IV 78


Figura IV.12.- Compresión del espécimen

Después de haber incrementado el valor del nuevo punto de cedencia por medio del endurecimiento

por deformación en compresión, se aplica la carga no homogénea en flexión hasta provocar un

momento plástico constante en el centro de la viga. En la Figura IV.13 se puede observar la

configuración de cuatro puntos y el valor de las cargas aplicadas.

Figura IV.13.- Cargas aplicadas en la configuración de cuatro puntos de apoyo

Mientras que en la Figura IV.14a, se puede observar la simulación numérica de la viga en plena

carga plástica. Asimismo, se observa por medio de diferentes colores la correspondencia de los

diferentes valores de esfuerzos localizados alcanzados a lo largo de la altura de la sección

transversal del espécimen. Los esfuerzos localizados, se encuentran en la gráfica de la Figura

IV.14b, se puede observar el endurecimiento por deformación, siendo en este caso en la zona de

compresión. En la Tabla IV.5 se encuentran tabulados los valores de la gráfica de esfuerzos en plena

carga.

500 MPa

P = 183.33 N P = 183.33 N

Capítulo IV 79


Figura IV.14a.- Curva de esfuerzos (carga)

Figura IV.14b.- Curva de esfuerzos a plena carga

Tabla IV.5.- Esfuerzos en plena carga

Altura (mm)


5 -553.194 4 -506.01 3 -391.66 2 -236.73 1 -81.805 0 73.125

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

a)

Capítulo IV 80


-1 228.05 -2 310.39 -3 330.82 -4 351.14 -5 368.003

Al retirar la carga no homogénea del espécimen, se induce un campo de esfuerzos residuales, tal

como se ilustra en la Figura IV.15. Los colores ploteados corresponden a esfuerzos auto-

equilibrantes localizados a lo largo de la sección transversal de la viga.

Figura IV.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido a) Esfuerzos residuales en MEF. b) Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga

a)

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

b)

Capítulo IV 81


En la Tabla IV.6 se puede observar los valores de los esfuerzos residuales que quedaron después de

retirar la carga no homogénea en el material.


Altura (mm)

Esfuerzos Residuales

(MPa) 5 5.0127 4 -66.014 3 -61.67 2 -16.738 1 28.193 0 73.125 -1 118.06 -2 90.395 -3 0.82544 -4 -88.855 -5 -159.65

Para el caso de comportamiento bilineal con pre-deformación (compresión) el campo resultante de

los esfuerzos residuales indica que en las dos superficies hay esfuerzos, uno a tensión y otro de

compresión, siendo el último de mas valor en una de las caras.

IV.4.- Cálculo analítico de los esfuerzos residuales

El cálculo analítico de los esfuerzos residuales, corresponde directamente al cálculo de cada una de

las partes mas importantes de las curvas, esto es, en otras palabras que para cada punto de la altura

se debe obtener el momento elasto-plástico o totalmente plástico y bajo los fundamentos de

Timoshenko, considerando una descarga totalmente lineal, se usa el método de superposición para su

obtención.

Para el caso de la zona elasto-plástica se tiene:

EepR IV.1

Capítulo IV 82


Para el caso de la zona totalmente plástica, se tiene:

EultR IV.2

Desarrollando la ecuación IV.1 y la ecuación IV.2, se obtiene para los dos casos respectivamente:

yd

h

d

h

dI

yM yeR

1

21

2 IV.3

yd

h

d

h

d

bd yyR

1

21

2

4

2 IV.4

Partiendo de la ecuación IV.1 y IV.2 se obtienen los esfuerzos residuales para los casos de estudio

antes presentados, para el caso de tensión se obtiene la siguiente tabla:

Tabla IV.7.- Cálculo de los esfuerzos residuales para el caso de estudio con pre-deformación a

tensión

Altura

(mm)

Esfuerzos

de carga (MPa)Descarga (MPa) adescacER argarg

Esfuerzos Residuales (MPa)5 -396.828 -556.478 159.65

4 -351.14 -439,995 88.855

3 -330.82 -329,99456 -0.82544

2 -310.39 -219,995 -90.395

1 -228.05 -109,99 -118.06

0 -73.125 0 -73.125

-1 81.805 109,998 -28.193

-2 236.73 219,992 16.738

-3 391.66 329,99 61.67

-4 506.01 439,34 66.67

-5 522.238 527,2507 -5.0127

Capítulo IV 83


De la tabla antes mencionada, se grafican las curvas superpuestas, para tener una idea más clara de

cómo funciona el método de superposición para estos casos. En la Figura IV.16 se puede observar

los esfuerzos localizados para la mayoría de los puntos calculados, la línea verde representa la

descarga lineal del material, la línea roja los esfuerzos residuales y la línea azul representa la línea

de carga del material.

Figura IV.16.- Representación gráfica de los esfuerzos obtenidos y su posición

Para el caso en donde la pre-deformación fue de compresión se tiene la Tabla IV.8 con los esfuerzos

calculados.

Tabla IV.8.- Esfuerzos obtenidos para el caso de estudio con pre-deformación a compresión

Altura

(mm)

Esfuerzos

de carga (MPa)Descarga (MPa) adescacER argarg

Esfuerzos Residuales (MPa)5 -553.194 -556.478 5.0127

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm)

396.828

556.478

159.65

-0.825

-330.82

-329.99

-228.05

-118.06

-109.99 -28.193

81.80

109.99 61.67

329.99

391.66

-5.0127

522.238

527.25

Capítulo IV 84


4 -506.01 -439,995 -66.014

3 -391.66 -329,99456 -61.67

2 -236.73 -219,995 -16.738

1 -81.805 -109,99 28.193

0 -73.125 0 73.125

-1 228.05 109,998 118.06

-2 310.39 219,992 90.395

-3 330.82 329,99 0.8254

-4 351.14 439,34 -88.855

-5 368.003 527,2507 -159.65

En la Figura IV.17 se observan los valores de los esfuerzos y su posición respecto a la sección

transversal.

Figura IV.17.- Representación gráfica de los esfuerzos con respecto a su posición

Esf

uerz

o (M

Pa)

Altura (mm) 5.0127

553.194

556.478

-329.99

-391.66

-61.67 28.193

-81.805

-109.99

228.05

118.06

109.99

0.8254

330.82

329.99

-159.65

527.25

368.003

Capítulo IV 85


IV.5.- Sumario

En el presente capítulo se hizo el análisis numérico del efecto de endurecimiento por deformación

aplicando una presión homogénea en el espécimen elevando su punto de cedencia y descargandolo,

cabe señalar que se indujeron deformaciones plásticas cuando se carga el material y cuando se

descarga quedaron deformaciones remanentes en el mismo por el efecto de la presión homogénea a

la que fue sometida (Figura IV.6 y Figura IV.7).

Por otro lado, también se presentó el análisis numérico de dos casos de estudio con una pre-

deformación plástica homogénea a tensión y compresión, se observó que los campos de esfuerzos

residuales se ven afectados dependiendo de la historia previa que puede tener o que se le puede

inducir al material. Se presenta la forma de obtener analíticamente los esfuerzos residuales, y se

presenta una tabla de esfuerzos obtenidos para cada caso de estudio, presentando el método de

superposición como la forma mas rápida y confiable de obtener los esfuerzos.

Todo lo anterior con la finalidad si de alguna manera se puede manipular el campo de los esfuerzos

residuales para obtener un beneficio en la resistencia mecánica del material. En el siguiente apartado

se concluirá con las respectivas conclusiones de los casos de estudio.

IV.6.- Referencias

1.- Urriolagoitia-Sosa, G, Durodola J. F., Fellows, N. A., Determination of Residual Stress in Beams

under Baushinger Effect Using Surface Strain Measurements, Strain, Vol. 39, pp 177-185, 2003

2.- Urriolagoitia-Sosa, G, Durodola, J. F., Fellows, N. A., Effect of strain hardening on residual

stress distribution in beams determined using the crack compliance method, The Journal of Strain

Analysis for Engineering Design, Vol. 42, pp 115-121, 2007.

3.- Sandoval-Pineda, J. M., Urriolagoitia-Sosa, G., Urriolagoitia-Calderón, G., Hernández-Gómez,

L. H., García-Lira, J., Beltrán-Fernández, J. A. y Rodríguez-Martínez, R., Numerical and

experimental evaluation of the residual stress relaxation and the influence zone due to application

of the crack compliance method, Journal of Physics: Conference Series, Vol. 181, 2009.



Conclusiones

Al término del desarrollo de este trabajo de tesis, pueden exponerse las conclusiones que se

derivaron del mismo, teniendo en cuenta su objetivo principal: analizar numéricamente de cómo se

ve modificada la inducción de un campo de esfuerzos residuales cuando ha sido sometido a una pre-

deformación plástica homogénea, los casos de estudio son los siguientes:

Elástico Lineal

Elasto-Plástico perfecto

Elasto-Plástico Bilineal sin historia previa

Elasto-Plástico Bilineal con historia previa a tensión

Elasto-plástico Bilineal con historia previa a compresión

En los diferentes casos de estudio mencionados anteriormente, el material se considera elástico,

elasto-plástico y elasto-plástico bilineal, esto con la finalidad de realizar la corroboración de la

exactitud del programa comercial del método de elemento finito. En las vigas sometidas a cargas de

flexión pura (cuatro puntos de apoyo), en donde la carga no homogénea produce en el espécimen

deformaciones plásticas y posteriormente al ser liberado de la acción del agente externo

(descargarlo), un campo de esfuerzos residuales al pasar el esfuerzo de cedencia del material.

En los primeros tres casos de estudio se comprobó la teoría establecida por Timoshenko, la cual

establece que cuando un material es cargado antes o más allá de su punto de cedencia, la descarga

del dicho material es lineal elástica siguiendo el Módulo de Young. Y el campo de esfuerzos

residuales es calculado por el método de superposición, realizando una suma y resta algebraica de

los esfuerzos alcanzados en plena carga y los esfuerzos de la descarga lineal del material a lo largo

de la altura de la sección transversal de la viga.

En los últimos dos casos de estudio, fue inducido un nuevo punto de cedencia en el material tanto

para tensión y para compresión, después aplicando flexión pura (cuatro puntos de apoyo) se indujo

el campo de esfuerzos residuales, siendo este afectado por la historia previa del material,

demostrando que al inducir una historia previa a tensión se presentan esfuerzos residuales a tensión

en las superficies del material, siendo estos causantes a la nucleación y propagación de grietas en el



material. Por otro lado, cuando se induce historia previa a compresión se presentan esfuerzos

residuales a compresión en las superficies del material, demostrando con esto que aumenta la

resistencia mecánica del material, debido a que, para que exista el riesgo de nucleación de grieta y

su propagación los esfuerzos localizados tienen que equilibrar los esfuerzos residuales de

compresión y provocar la tensión necesaria para la nucleación.

Fue determinado, que para poder fortalecer el material en este caso de estudio es necesario aplicar

una historia previa a compresión, que como se observó en el caso con historia previa a tensión

aumenta el riesgo de falla del material o del componente mecánico. Es importante mencionar que el

uso del ensayo de flexión pura (cuatro puntos de apoyo) fue de gran ayuda, ya que permite ver

gráficamente la isotropía del material y con esto disminuye el tiempo para realizar el análisis a

compresión y tensión por separado.

Por otro lado, el uso del método numérico MEF agiliza por mucho el análisis disminuyendo el

tiempo de investigación, traduciéndose en menores costos de producción y elimina el tiempo de

experimentación. Este tipo de análisis ayuda al investigador a proyectar un tiempo de vida útil y

seguro del componente mecánico y poder predecir fallas catastróficas, que de igual forma se traduce

en la disminución de costos de mantenimiento e inspección.

La inducción de historia previa en el material se puede considerar como un método de mejora en las

propiedades mecánicas del material, aunque sólo en éste caso con la pre-deformación a compresión

se induce un campo de esfuerzos residuales benéfico para el material.

Trabajos Futuros

Lograr deducir las condiciones optimas de diseño para un material con comportamiento mecánico

bilineal, lo anterior por medio de la manipulación de los esfuerzos residuales. Partiendo de los

resultados obtenidos de esta tesis, es de importancia mencionar que se pretende continuar con el

estudio de la manipulación de los campos de esfuerzos residuales ante diferentes condiciones de

carga que inducen deformaciones plásticas en el material. El trabajo que se deriva de esta tesis de

investigación es, analizar las condiciones de historia previa favorables para el material ante la

presencia de grietas en la superficie del material, ya que como se conoce de la teoría de la Mecánica



de la Fractura, la superficie de todos los materiales contienen agrietamientos e imperfecciones que

bajo ciertas condiciones de carga pueden provocar la nucleación y propagación de grietas en el

material, provocando que el material falle irremediablemente aún cuando las condiciones de carga

no son las máximas soportadas.

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