< expo & log > · 2016-04-07 · 2 (5) ( ab ) (6) (7) a ex1. กําหนดให ้...

เนอหาสาระการเรยนรตามหลกสตรขนพนฐาน พทธศกราช 2544

1. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม 2. รากท n ในระบบจานวนจรงและจานวนจรงในรปกรณฑ 3. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ 4. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 5. ฟงกชนลอการทม 6. การคาลอการทม 7. การเปลยนฐานลอการทม 8. สมการเอกซโพเนนเชยล และ สมการลอกการทม 9. การประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และ ฟงกชนลอการทม

“ เอกสารชดน P 1 ไดจดทาขนเพอใหนองๆสามารถเรยนร และ พฒนาตนเอง นาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาชวต และ เปนเครองมอในการเรยนรคณตศาสตรตลอดจนศาสตรอนๆ ในระดบทสงขนไป ในสวนของการนาไปจดการเรยนการสอนผสอนสามารถปรบลดหรอเพมเนอหาสาระ ตลอดจนความลกซงไดตามความเหมาะสมของนกเรยนแตละคน เพอสนองตอความตองการของนกเรยน ทมความสามารถทางคณตศาสตรทแตกตางกน ” ขอความสาเรจจงเปนของนองๆพทตงใจเรยน

P 1

คณตศาสตรคณตศาสตร มม..55 เพมเตมเพมเตม เทอม เทอม 11.. บทท บทท 11.. ฟงกชนเอกซโพเนนเชนยลฟงกชนเอกซโพเนนเชนยล

และ และ ฟงกชนลอการทมฟงกชนลอการทม

<< EEXXPPOO && LLOOGG >>

Concept การสอนของพหนงเปนอยางไรบาง

1. ใหความสาคญกบนร.พนฐานออน – ปานกลาง เปนหลก ( นร.พนฐานดอาจรสกวาสอนชา ) 2. มระบบการบานทสอดคลองกบทกหวขอยอย ( เปนตวเตอรหวโบราณยงเนนการบาน ) 3. ใชภาษาพดทว ไๆปในการอธบายทฤษฎตางๆ ( เนนความเขาใจ ไมใชภาษานกคณตศาสตร ) 4. ไมใชเทพ !! เปนตวเตอรธรรมดา

( จาไววาความสาเรจในการเรยนขนอยกบความตงใจเรยน มากกวาตวตวเตอร )

““ จดเดนการตวแบบจดเดนการตวแบบอนทาเนยสไตลอนทาเนยสไตล BByy PP’’11 ””

สอนละเอยด +++

ตรงตามหลกสตรกระทรวงฯ เวอรชนลาสด ครบทกบท และ ทกหวขอยอย

มทนทเดยว !! !

คลปเฉลยโจทยตงแตยคสมย Ent , A-NET , PAT 1 และ 7 วชาสามญ

มากกวา 2,000 ขอ จดเปนระบบทงแยกตามบทเรยน และ แยกตามป พ.ศ.

ขออภยเนนการบาน !!! วธสอนของพหนงอาจโบราณ ทยงเนนการบาน และ แบบฝกหด

อยางเปนระบบ นะครบ

มรายงานการเขาเรยน >_<<

ผปกครองหรอนร.สามารถตรวจสอบ เวลาเรยนในทกๆครง ซงจะมรายงาน แจงรายละเอยดอยางครบถวน

แบบวา... โปรงใส ตรวจสอบได

““ ตวเลขตวเลข ออนไลน ออนไลน

สไตล สไตล IInnttaanniiaa ”” *Intania < อนทาเนย > เปนชอเรยกของนสตคณะวศวกรรมศาสตร จาก จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ทมา : th.wikipedia.org

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 1

บทท บทท 11.. ฟงกชนเอกซโพเนนเชนยลฟงกชนเอกซโพเนนเชนยล และและ ฟงกชนลอการทมฟงกชนลอการทม


Ex1. กาหนดให a , b I+ จงทาใหเปนผลสาเรจและมเลขชกาลงเปนบวก

(1) 325 842 (2) 242

27

93

(3) 177 432 (4) 415

4234

33

)3()3(

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

ถา a , b เปนจานวนจรงทไมเปน 0 และ m , n เปนจานวนเตมจะได

(1) aman = am+n “ เลขยกกาลงคณกน ฐานเหมอนกน เอาเลขชกาลงมาบวกกน ”

(2) n

m

aa

= am–n “ เลขยกกาลงหารกน ฐานเหมอนกน เอาเลขชกาลงมาลบกน ”

(3) a–n = na1

“ อยบนเปนลบ ตบลงลางเปนบวก ”

(4) ( an )m = amn “ เลขชกาลงครอมกนอยเอาเลขชกาลงมาคณกน ( ครอม – คณ ) ”

(5) ( ab )n = anbn “ เลขชกาลงแจกเขาผลคณ , ผลหารได แตแจกเขาผลบวก , ผลตางไมได ”

(6) n

ba

= n

n

ba

( a b )n an bn

(7) a0 = 1 , a 0


(5) 05

23

410

410

(6) 05

53

23

32

(7) 0

010

0 42

11

(8)

0

210

3 34

4444

4

44

(9) 2

225

23

32

8

cba

cba (10)

4

22

15

7

bc

ba

2

32

5

14

c

ca


(11) 1

2

2

12

3

ab

ba 3

23

42

ba

ba

(12) 12

12

2

144

xx

xx

(13) 22

22

11

2

)(

ba

abba

ba


(14) xx

x

1

4

3

9

(15) 11

33

ba

ba


(16) 1

1

22

2425

nn

nn

(17) 23133

332313

535457

55352

nnn

nnn

(18)

3

4

22

)2(2 22

333

2122 2 nn

nn

nnn


Ex2. ถา a 0 และ an – a–n = 3 แลว a2n + a –2n มคาเทาใด ( ตอบ 11 )

Ex3. ถา a 0 และ an + a–n = 4 แลว an – a– n มคาเทาใด ( ตอบ 12 , – 12 )


Ex4. ถา a 0 และ an – a–n = 3 แลว a2n – a– 2n มคาเทาใด ( ตอบ 117 , – 117 )

Ex5. ถา a 0 และ a + a1

= 5 แลว a3 + 3a1

มคาเทาใด ( ตอบ 110 )


Note.


Ex1. จงหาคาของ 1. รากทสองของ 9 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ 9 คอ ................ 2. รากทสองของ 169 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ 169 คอ ................ 3. รากทสองของ 196 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ 196 คอ ................

4. รากทสองของ 14425

คอ ................... คาหลกของรากทสองของ 14425

คอ ................

5. รากทสองของ 7 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ 7 คอ ................. 6. รากทสองของ –10 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ –10 คอ ................ 7. รากทสองของ –1 คอ ................... คาหลกของรากทสองของ –1 คอ ................ 8. รากทสามของ 8 คอ ................... คาหลกของรากทสามของ 8 คอ ................

รากท n. ในระบบจานวนจรง และ จานวนจรงในรปกรณฑ

บทนยาม ให n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 โดยท a และ b เปนจานวนจรง b เปนรากท n ของ a กตอเมอ bn = a

ตวอยาง เชน


9. รากทสามของ – 27 คอ ................... คาหลกของรากทสามของ –27 คอ ................ 10. รากทสามของ –7 คอ ................... คาหลกของรากทสามของ –7 คอ ................ 11. รากทสของ 81 คอ ................... คาหลกของรากทสของ 81 คอ ................ 12. รากทสของ –81 คอ ................... คาหลกของรากทสของ – 81 คอ ................

SA – RUP (1) รากคของจานวนจรงบวกม 2 คา ( มทง บวก และ ลบ ) , คาหลกเอาคา บวก (2) รากคของจานวนจรงลบ ( ไมม ) , คาหลกกไมม (3) รากคของจานวนจรงบวกม 1 คา ( เปนบวก ) ซงมคาเทากบคาหลก (4) รากคของจานวนจรงลบม 1 คา ( เปนลบ ) ซงมคาเทากบคาหลก


Note.


Ex1. จงทาใหเปนรปอยางงาย 1.1 2 32 + 8 – 6 2 1.2 3 + 243 – 2 27

1.3 3 16 –3 3 54 – 3 250

การบวก ลบ คณ หาร จานวนทตดกรณฑ และ คอนจเกต

การบวก และ ลบ (1) พยายามจดรปจานวนทตดกรณฑใหอยในรปอยางงาย (2) นา สปส. หนาจานวนทตดกรณฑเดยวกน ( อนดบทของกรณฑ และ ตวเลขในกรณฑ เทากน ) มาบวก ลบกนตามปกต

การคณ และ หาร (1) พยายามจดรปจานวนทตดกรณฑใหอยในรปอยางงาย (2) นา สปส. หนาจานวนทตดกรณฑ คณ และ หาร กนตามปกต

(3) กรณฑทคณ หาร กน ตองมอนดบทของกรณฑเทากน โดยใชสมบต n a n b = n ab , n

n

ba

= nba

, ( b0 )

คอนจเกต ( Conjugate ) คอ จานวนทมาคณกบจานวนทกาหนดใหเพอใหไดรปอยางงาย โดย (1) คอนจเกตของ a คอ a

(2) คอนจเกตของ a b คอ a b

(3) คอนจเกตของ 33 ba คอ 3 2333 2 bbaa


1.4 3 5 –7 3 40 – 3 3 625

1.5 3 6 2 24 1.6 31084

1.7 3

33

36342

1.8 2 3 ( 2 2 – 3 3 )


1.9 ( 7 – 5 )( 7 + 5 ) 1.10 ( 5 + 3 )( 5 + 3 ) 1.11 ( 7 – 2 )( 7 – 2 )

1.12 13

2

1.13 25

6


1.14 37372

1.15 2323

+2323

1.16 13132

+32341


1.17 932

+823

–3661

1.18 625

–1052

+20101

Ex2. กาหนด x = 3636

และ y = 3636

คาของ x2 – 4xy + y2 เทากบจานวนในขอใด

1. –2 2. – 4 3. 30 4. 34


Ex3. จงทาใหสวนไมตดกรณฑ

3.1 532

12

3.2 327

24

3.3 333 9645

3.4 1525

433


Note.


Ex1. จงทาใหเปนรปอยางงาย

1.1 4a 1.2 3 12b

1.3 4 3 36x 1.4 3 6y8

เลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

1. เมอ a R , n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n

2. ให a R , p , q เปนจานวนเตมท ( p,q ) = 1 , q 0 และ q/1a R โดยเมอ p 0 แลว a 0

3. ถา x เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวกท 2 แลว

n/1a = n a

q/pa = ( q/1a )p = ( aP )1/q q/pa = q pa

n nx = วกคเปนจานวนบn,x

วกคเปนจานวนบn,x


1.5 64ba 1.6 4 812ba16

1.7 pmm np q

qn

n1

mq1

p

yy

)x()x(

1.8 1312

3 4 32123 zyxxyzzyx


1.9 3( 31

5 ) – 4( 31

40 )+( 61

1600 ) –1031

258

Ex2. จงหาคาของ

)8(15)2(

)25.0(3)2(

3n2

52

10n5

n16n4


Note.


หมายเหตสาหรบนองทพนฐานไมด ใหเรมทาจากขอ 43 – 47 กอนนะครบ 1. จานวนในขอใดไมเปนจานวนจรง ( ตอบ 2 ) 1. 12 2. 4 6 3. 3 81 4. 5 77 2. พจารณาขอความตอไปน

ก. ( a+b )0 = 1 ข. ( a+b )–n = n)ba(1

ค. 0b,0aเมอba

baba nn

nnnn

ง. ถา ba n

1

แลว a = bn

ขอความใดถกตอง ( ตอบ 4 ) 1. ก. และ ข. เทานน 2. ก. และ ค. เทานน 3. ข. และ ค. เทานน 4. ค. และ ง. เทานน

3. พจารณาขอความตอไปน ขอใดไมเปนจรง เมอ x 0 และ m , n I ( ตอบ 3 )

1. nmnm x

x1

x1 2. nm

n

mx

xx

3. xm + xn = xm+n 4. ( xm + xn )– 1 = nm xx1

4. ผลสาเรจของ 53

32

25

)32(84

เทากบเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 0 2. 28 3. 30 4. 34

5. คาของ 23

23

54

43632

เทากบเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 29 2. 42 3. 43 4. 45


49

45

43

32

92

)ba27()ba16( ตรงกบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. 36a2b 2. 36ab2 3. 72a2b 4. 72ab2

การบานชดท 1.



32

)ba16(

)ba27(

168

93 ตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. 2b29

2. 2b29

3. 2b92

4. 2b92

8. พจารณาขอความตอไปน

ก. 23

)3( 4 = 729 ข. 6)a( 32

= a4 ค. 2)2( 43

32

ขอความใดถกตอง ( ตอบ 4 ) 1. ก. และ ข. เทานน 2. ก. และ ค. เทานน 3. ข. และ ค. เทานน 4. ก. , ข. และ ค. 9. ขอตอไปนขอใดไมถกตอง ( กาหนดใหตวแปรทกตวเปนจานวนจรงบวก ) ( ตอบ 3 )

1. 2

22

ab)ab12()ab12( 2

121

= 12 2. )xx(x 21

21

21

= 1+x

3. 2)]xx(x[ 31

32

31

= x2+2x+1 4. 2

32

123

241

d3ec2

edc3edc2

10. รปอยางงายของ 1

223

12323

6224

6422

zyxcba2

zyx2cba5

ตรงกบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 7

104

yz125cb32

2. y125

zcb32 7104

3. 7104 zcb32y125

4. 104

7

cb32yz125

11. ผลสาเรจของ )5a2a)(1a3a2( 31

32

31

32


1. 5a17a15a7a2 31

32

34

2. 5a17a15aa2 31

32

34

3. 5a15a17a7a2 31

32

34

4. 5a15a16aa2 31

32

34



31

23

38

37

25

ba

baba3ba 22 ตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. baba3ba 37

23

35

22 2. baba3ba 37

34

222

3. 222 baba3ba 37

23

35

4. 222 baba3ba 37

23

34

13. ผลสาเรจของ )baba)(ba( 3 233 233 ตรงกบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. ba 2. ba 3. a – b 4. a + b

14. กาหนด x = 3 1 3

4

)27)(9(

และ y = 23

81

27

81 คาของ

yx

ทไดจากสมการทกาหนดใหเทากบเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 8 2. 9 3. 12 4. 15 15. ขอตอไปนขอใดผด ( ตอบ 4 )

1. 31

320373

n

1n2n

2. 1x11

x11

mnnm

3. ba

1ba

baba22

2112

4. 125n

3n3n

21

3282816

16. พจารณาขอความตอไปน

ก. คาหลกของรากทหกของ 729 คอ 3 และ – 3

ข. 22 bab2a = a+b ขอใดเปนจรง ( ตอบ 4 ) 1. ขอ ก. ถกตองเทานน 2. ขอ ข .ถกตองเทานน 3. ขอ ก. และ ข. ถกตองทงสองขอ 4. ขอ ก. และ ข. ผดทงสองขอ

17. 2)2x31x2( มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 11x – 17 – 6 2x5x2 2 2. 11x – 17 – 6 2x3x2 2

3. 11x – 19 – 6 2x5x2 2 4. 11x – 19 – 6 2x3x2 2


18. จานวน 5757

ทาใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑไดตรงกบขอใด ( ตอบ 4 )

1. 12

5727 2.

225444

3. 44

51444 4.

4451454


222246

222246

เทากบเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 4 2. 8 3. 16 4. 32 20. พจารณาขอความตอไปน

ก. baba 22 ข. 2)1x( = x + 1

ค. 3232

1

ง. ab28ab5ab3

มขอความทถกตองกขอ ( ตอบ 1 ) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

21. กาหนด x = 33 175175 คาของ x2 + x + 1 เทากบเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

22. ถา x = 23

1

, y = 23

1

คาของ x2 – 2xy + y2 เทากบเทาใด โดยท 2 = 1.41 , 3 = 1.73 ( ตอบ 1 )

1. 8 2. 6 3. 4 4. 2

23. กาหนด x = 2525

และ y = 2525

คาของ 2x2 – 14xy + 2y2 ตรงกบขอใด ( ตอบ 3 )

1. 36 2. 298 3. 630 4. 666


1321

1

เทากบเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 0 2. 1 3. 2

26 4.

2126


25. จงหาคาของ 3

21326732

4

( ตอบ 2 )

1. 1 2. –1 3. 3

349 4.

3349

26. 009.03.0

11.098.6 มคาใกลเคยงจานวนใดมากทสด ( ตอบ 2 )

1. 9 2. 10 3. 11.4 4. 12 27. สาหรบสบเซต A , B ใดๆ ของเซตของจานวนจรง

นยาม A+B = { (a,b) a A , b B }

ถา A = { x x3 +2 = 5 }

และ B = { x 41

21

xx – 6 = 0 } แลว A+B คอเซตใดตอไปน ( ตอบ 3 )

1. { ( 81,84 ) } 2. { ( 84,81 ) } 3. { ( 3,81 ) } 4. { ( 3,84 ) }

28. คาของ n1

nn

n2n

2432781729

มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent’39 คณต ก. ) ( ตอบ 2 )

1. 9 2. 27 3. 3n 4. n1

3

29. คาของ n1

2n2

2n43n4

)4)(3(33

มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent’41 คณต ก. ) ( ตอบ 4 )

1. 3 2. 5 3. 7 4. 9 30. พจารณาขอความตอไปน

ก. 12)10(

2)24(2)2(n2

)1n(23n2

เมอ n เปนจานวนนบ

ข. ab

ababab

เมอ a 0 , b 0 และ a b

ขอใดตอไปนถก ( Ent คณต ก ป 2532 ) ( ตอบ 3 ) 1. ถกเฉพาะขอ ก. 2. ถกเฉพาะขอ ข. 3. ถกทงขอ ก.และ ขอ ข. 4. ผดทง ก. และ ขอ ข.


31. ให R คอเซตของจานวนจรง ถา x , y R , x 0, y 0 แลว 1

11

)yx(yx

เปนจานวนจรงเมอใด ( ตอบ 2 )

1. x และ y มเครองหมายเหมอนกน 2. x และ y มเครองหมายตางกน 3. x – y เปนบวก 4. x – y เปนลบ

32. ถา a , b R+ ซง a b และ 3( a2+b2 ) = 10ab แลว 3

baba

ขอใดตอไปน ( Ent คณต กข ป 2536 ) ( ตอบ 4 ) 1. – 2 2. – 4 3. – 6 4. – 8 33. พจารณาขอความตอไปน

ก. 1xyyx เมอ x และ y เปนจานวนจรงใดๆ

ข. ถา x 0 และ y 0 แลว nnn xyyx เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ

ค. n nx = x เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมใดๆ ขอความใดไมถกตอง ( ตอบ 4 ) 1. ขอ ก. และ ข. เทานน 2. ขอ ก. และ ค. เทานน 3. ขอ ข. และ ค.เทานน 4. ขอ ก.,ข. และ ค. 34. พจารณาขอความตอไปน

ก. )3)(22()6)(4( ข. 1429)227( 2

ค. x,x2x2x2

x8x324

4 54 3

เปนจานวนจรงใดๆ ทมากกวา 0

ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 1 ) 1. ขอ ก.และ ข.เทานน 2. ขอ ก.และ ค.เทานน 3. ขอ ข.และ ค.เทานน 4. ขอ ก.,ข.และ ค. 35. พจารณาขอความตอไปนวาขอใดตอไปนถก ( Ent คณต ก ป 2533 ) ( ตอบ 1 )

ก. 446 3 943 6 9 a)a()a(

ข. 3

3329108

23

31

8 4

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด


36. 2525

มคาเทากบจานวนในขอใดตอไปน ( Ent คณต ก 2540 ) ( ตอบ 2 )

1. 3

107 2.

31027

3. 3

108 4.

31028

37. 32812

3222

มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent คณต 2 ม.ค. 42 ) ( ตอบ 4 )

1. 625 2. 625 3. 625 4. 625


1...

431

321

211

เทากบขอใดตอไปน ( Ent คณต ก 41 ) ( ตอบ 3 )

1. 1 2. 2 3. 2 4. 3

39. 2321882 มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’49 ) ( ตอบ 4 ) 1. 60 2. 60 2 3. 100 2 4. 200

40. 2/3

6

3

5

)64(2

2732

มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’49 ) ( ตอบ 1 )

1. 2413

2. 65

3. 23

4. 2419

41. 4 144

8 32

6)18( 2

1

มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’50 ) ( ตอบ 3 )

1. 32

2. 23

3. 2 4. 3

42. ( 1– 2 )2 ( 2+ 8 )2( 1+ 2 )3( 2– 8 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’50 ) ( ตอบ 1 ) 1. –32 2. –24 3. –32–16 2 4. –24–16 2


หมายเหต ขอ 43 – 47 มเฉลยอยหลงขอ 5. ทาใหเสรจแลวคอยไปดเฉลยนะครบ 43. จงทาใหเปนผลสาเรจ

(1) 3

2

27 (2) 4

1

16

(3) 2

3

25 (4) 3

2

8

(5) 3

2

125

1

(6) 2

1

64

(7) 2222 abab (8) 07275 cbaba

(9) 4

23

2

1

yx (10) 2

323

1

ba


(11) 832532 zyxxyx (12) 3

73

542

22

45

yx

yx

yx

yx

(13) 2

3

24

c

ba (14)

yxyx 632

2

118

(15) 3

23

2

1

yx (16) 1

26 2

x

xx

(17) 2

323

6

ba (18) 352 12

3

1

bbb


(19) 32

1432

yx

xyyx

(20) 105273 cbaba

(21)

826

21

xzy

yzx (22) 2

1

6

4

4

y

x

(23) 3

2

6

327

b

a (24)

3

3

2

2

3

a

a


(25) 2

1

74

32

xb

xb (26)

2

3

2

2

1

2

3

3

2

x

y

y

x

(27)

3

2

3

2

1

3

2

3

4

b

b

a

a (28) 3

2

34

32

8

yx

yx

(29)

3

1

12

4

135

6

232

1

zyx

zyx


(30)

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

yyxxyx

(31) 2

2

1

2

1

xx

(32)

2

1

2

1

4

1

4

1

8

1

8

1

8

1

8

1

23232323


(33) 31

2

1

3

1

2

10 027.04825.025

(34) 31

2

1

3

2

2

1

363224


44. กาหนดให n เปนจานวนเตม จงทาใหเปนรปอยางงาย

(1) 3

52

13

32

n

n

n

n

a

a

a

a (2) 312

213n

n

n

n

x

x

x

x

(3) 1

2

22

2423

nn

nn

(4) n

nn

nn1

112

1213

33

33


45. จงทาใหเปนผลสาเรจ (1) xbaxba (2) 2323

(3) 32283 (4) 232

(5) 3

412

3

aa

a (6) 15225


(7) 521053 (8) 732732 46. จงทาใหอยในรปอยางงาย (1) 183250 (2) 333 10832245 (3) 4 643223 (4) 333 19237581


(5) 753 164 xxx (6) xaxaxa 424 9432

(7) 3

111

27

131473 (8)

553

52

xx

xx

(9) 1

15

1

13

1

12

2

x

x

x

x

x

x


47. จงทาใหอยในรปอยางงาย

(1) 13

13

13

13

(2) 23

12

23

18

(3) 32

32

13

134


(4) 22

22

22

22

yxx

yyx

yyx

xyx

(5) 57

57

57

57

(6) 54

515122


เฉลย

ขอ 43. (1) 9 (2) 21

(3) 125 (4) 4 (5) 251

(6) 81

(7) 6

3

ba2

(8) 7a1

(9) 8

12

yx16

(10) 6

4

ba9

(11) 5

8

xz

(12) 17

6

xy

(13) 64

8

cba

(14) 2

4

yx9

(15) 6

9

yx8

(16) 5x41

(17) 6

4

b4a

(18) 4 (19) 4xy1

(20) 2

5

ba

(21) 4

77

zyx

(22) 32yx21

(23) 4

2

ba9

(24) 25

a (25) 5bx

(26) 25

2

y

x (27) 32ba (28) 4

4

x4y

(29) 1819

3

yxz

(30) x – y

(31) 4x (32) 1 (33) 0.3 (34) 96

ขอ 44. (1) 4a (2) n2x9 (3) 4 (4) 3 ขอ 45. (1) xb2 (2) 1 (3) 29 (4) 347

(5) a33

(6) 5512 (7) 2215 (8) 5

ขอ 46. (1) 26 (2) 3 46 (3) 25 (4) 3 34

(5) xx2x4x 2 (6) xa5 2 (7) 9

3149

(8) 5

x54 (9)

1x1x)x21(

2

2

ขอ 47. (1) 4 (2) 2356 (3) 1

(4) 2

xy

(5)

1157

(6) 1


Note.


Ex1. จงหาคาของ ........2222

Ex2. จงหาคาของ 4 4 4 .........777

Ex3. จงหาคาของ ......3333

รากทอนนต หลกการหารากทอนนต ใหใชหลกการสมมตตวแปร และ ตรวจคาตอบทไดทกครง

Tip!! ถา k 0

......kkkk = k

n n n n .....kkkk = 1n k

......kkkk = 2

1k41

......kkkk = 2

3k41


Ex4. จงหาคาของ ......7777 ( ตอบ 3 )


Ex5. จงหาคาของ ......3333 ( ตอบ 2 )


.....11

1

11

11


Ex1. จงหาคา x จาก 5x = 3 Ex2. จงหาคา x จาก x21 = –5 Ex3. จงหาคา x จาก 7x3 = x + 1 Ex4. จงหาคา x จาก 4x + x – 4 = 0

หลกการแกสมการรท

ใชหลกการสมดล ( Balancing ) ของตวแปร ประกอบกบ การสมมตตวแปร เขาชวย และ ตรวจคาตอบทไดทกครง


Ex1. ถา 2x31x2 = 4x53x4 แลว 1x5 มคาเทากบเทาใด Ex2. จงแกสมการ 1x8 + 5x3 = 4x7 + 2x2 ( ตอบ 3 )

หลกการสมดลตวแปร ( Balancing )


Ex3. จงแกสมการ 13x6 – 7x – 2x = 0

Ex4. จงหาคาตอบของสมการ x3x15x7x4 22 = 9x2 ( ตอบ 3 )


Ex1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x2x2 2 + x2–2x = 6

Ex2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x2 – 5x + 4x5x3 2 = 16 ( ตอบ –4/3 , 3 )

หลกการเปลยนตวแปร ( ปตป. )


Ex3. จงแกสมการ 4 5x3x2 = 3x2 – 9x + 11

Ex4. จงหาคาตอบของสมการ 5x232x5x22x = 7 2


Ex5. จงหาคาตอบของสมการ 5 2 )3x2()2x( – 2 5 1x = 3 ( ตอบ –2 , 242 )


Ex1. จงแกสมการ x17xx17x

= 21

Ex2. จงแกสมการ 2

2

xx63

xx63

=

x3x

( ตอบ 3/5 )

หลกการคอนจเกต ( Conjugate )


x 2 y y2x = ( a b ) รากทสองของ x 2 y = ( a b )

10+2 24

4+2 3

12+2 35

17+2 60

8 – 2 15

13 – 2 22

24 – 2 80

การหาคารากทสองของ x 2 y และ y2x

พสจน y2x = a b

SA – RUP y2x = a b กตอเมอ ...................................................................................


Ex1. รากทสองของ 18 – 8 5 Ex2. รากทสองของ 7+ 24

Ex3. 5

1258 Ex4. 215

Ex5. 154 Ex6. 2432


Ex7. จงหาคา 2x3x221x3 2

Ex8. คาของ 56142

526

เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 )

1. 2

53 2.

253

3. 2

523 4.

2532

Ex9. ให ba)641069( 21

เมอ a , b เปนจานวนจรงใดๆ คาของ ba

1


1. 16 2. 16 3. 5

16 4.

516


Ex10. ให a , b เปนรากของสมการ xx

)23(10

)625( +1 = 0 แลว คาของ ab ตรงกบขอใด ( ตอบ 2 )

1. –2 2. –4 3. –8 4. –10


Ex11. คาของ 36

)625()625( 2/32/3 เทากบขอใด ( ตอบ 1 )

1. 3 2. 38 3. 25 4. 156


Ex1. จงหาคา 1521026210 และ รากทสองของ 1521026210

Ex2. จงหาคา 3521424014 และ รากทสองของ 3521424014

การหาคารากทสองของ ( a+b+c ) + 2 ab +2 ac +2 bc


1. ถา n 0 คาของ n 2n22n 2420

คอขอใด ( ตอบ 1 )

1. 41

2. n21

3. n 521 4.

n4

2. ขอใดตอไปนเรยงจานวนจากนอยไปมากไดถกตอง ( ตอบ 1 ) 1. 2 , 3 3 , 4 5 2. 3 3 , 2 , 4 5 3. 4 5 , 3 3 , 2 4. 4 5 , 2 , 3 3

3. จงหาคาของ )222)(221(2 2/14/14/14/32/14/1 มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 3 ) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

4. ถา x , y , z เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0 และ 32x = 4y = 6–2z แลว z1

y1

x1

มคาเทากบขอใด ( ตอบ 2 )

1. –1 2. 0 3. 61

4. 1

5. กาหนด A = )32452)(32440)(32428)(32416)(3244()32458)(32446)(32434)(32422)(32410(

44444

44444

คาของ A คานวณไดตรงกบขอใดโดยใช [ ( x – y )2+y2 ][ (x + y )2 +y2 ] = x4+4y4 ( ตอบ 3 ) 1. 1 2. 370 3. 373 4. 375

6. กาหนดให x = y 3 4z , y = 2p–1 , z = 8 3p โดยท x : z = 4 : 1 จงหาคา yzx2

( ตอบ 1 )

1. 8 2. 12 3. 10 4. ไมมขอใดถก

7. จงหาคาตอบของสมการ 2 3 3x + 3 2x = 3 6 )3x)(2x( ( ตอบ 1 )

1. 63

190 2.

63109

3. 63

119 4.

63180



8. จงทาใหเปนรปอยางงาย 3

52442443 xx

xyxyxyx

x

จะไดผลลพธดงขอใด ( ตอบ 4 )

1. 2x 2. 2x2 3. 32x2 4. 32x


222

3 2235

)yx()yx(

yxy2x)yx(

ตรงกบขอใดตอไปน ( ตอบ 4 )

1. 21

)yx( 2. x – y 3. 2)yx( 4. 22 yx

10. กาหนดให 1yx

2xy

และ yx5yx5 = 4 จงหาคาของ yx ( ตอบ 3 )

1. 6 2. 5 3. 3 4. 2

11. ผลบวกของรากของสมการ 61

21x

xx

1x

มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 1 2. –1 3. 2 4. – 2

12. คาของ x จากสมการ 1xx

1xx

1xx

1xx2

2

2

2

= 123 ตรงกบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 )

1. 2

55 ,

255

2. 2

56 ,

256

3. 56 4. 55

13. กาหนดให 7x1x7x1x

= 2 คาของ 2xx คอขอใด ( ตอบ 3 )

1. 0 2. 12 3. 56 4. 240 14. ถา 2x – 7 = 0 แลว 53 19x13x เทากบเทาใด ( ตอบ 1 ) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


15. จงหาผลรวมคาตอบของสมการ 8x4 – 5x2 = 1 ( ตอบ 3 ) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 16. จงหาผลรวมคาตอบของสมการ 5x6 + 4x5 = 3x4 + 2x3 ( ตอบ 1 ) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

17. จงหาผลบวกรากของสมการ 1x

x3

– 2x3

1x = 1 ( ตอบ 4 )

1. –1 2. –2 3. –3 4. –4

18. รากคาตอบของสมการ 10x3x4 2 – x2x2 = 6xx2 อยในชวงใด ( ตอบ 3 )

1. ( –3,–2 ] 2. ( –2,0 ] 3. ( 0,2 ] 4.

19. จงหาเซตคาตอบของสมการ 6xx21x4x 22 = 39x5x6 2 ( ตอบ 4 ) 1. { – 5/3 , 2 , 3 } 2. { 2 , 3 } 3. { 2 } 4. { 3 }

20. เซตคาตอบของสมการ x

1x8x3x7

2 =

2

xx

8


1. { 2 , 3 , 5 } 2. { 5 } 3. { –1, 6 } 4. { –7/3 , 5 }

21. จากสมการ 4x2

453

= x2x 253 มผลบวกของรากของสมการคอขอใด ( ตอบ 2 )

1. – 4 2. 0 2. 2 4. 4


22. จากสมการ 4( 6+ 5x2)20 – 5 +1 = 0 จงหาคา 2x+5 เทากบเทาใด ( ตอบ 2 ) 1. 11.5 2. 9.5 3. 8.5 4. 7.5

23. คาของ 20291227 มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. 53 2. 35 3. 53 4. 4+ 53


23

23

23

)638()638(

)215()215(

( ตอบ 1 )

1. 8 / 17 2. 9 / 25 3. 16 / 27 4. 8 / 25

25. จงหาคาของ 4 4 4 ......555 ( ตอบ 3 ) 1. 5 2. 5 3. 3 5 4. 4 5

26. จงหาคาของ 9623536 – .....3333 มคาตรงกบขอใด ( ตอบ 1 ) 1. 2 2. 2 3. 2 2 4. 4+ 2

27. 3 31526 – 246 ทาใหอยในรปผลสาเรจไดตรงกบขอใด ( ต.อ. 51 ) ( ตอบ 2 ) 1. 3 – 2 2. 3 + 2 3. 2 3 – 2 4. 2 3 + 2


260235284224

( ตอบ 2 )

1. 3 2. 2 3 3. 2 3 +2 7 4. 2 3 +2 7 +2 5


Note.


ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ( Exponential Function )

คอ ฟงกชนทอยในรป f = { (x,y) RR+ y = ax , a 0 , a 1 }

ขอสงเกต (1) Exponential Function เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไปยง R+

(2) ถา 0 a 1 แลว Exponential Function จะเปนฟงกชนลด

(3) ถา a 1 แลว Exponential Function จะเปนฟงกชนเพม


Ex1. ฟงกชนทกาหนดตอไปนเปนฟงกชนเพม หรอ ฟงกชนลด

1. y = x51

2. y = x

23

3. y = 3–x 4. y = x

5. y = x23 6. y = e–x

7. y = ( sin 1) x


8. y = ( cos4 )– x

9. y = ( tan70) x


Note.


Ex1. จงวาดกราฟตามสมการทกาหนดใหตอไปน (1) y = 2x–2 (2) y = 2x + 3 (3) y = 3x+3– 2 (4) y = 3x–1+ 4

หลกการวาดกราฟฟงกชน Exponential ในรปแบบตางๆ

(1) จารปพนฐานของ Exponential Function ทงในกรณฟงกชนเพม และ ฟงกชนลดใหได

(2) เทยบสมการทโจทยใหมา กบ สมการมาตรฐาน y – k = ax–h (3) เลอนแกน y ไปยงเสนตรง x = h และ เลอนแกน x ไปยงเสนตรง y = k (4) ถาหนา a ตดลบ ( ไมใช a ตดลบนะจะ ) ใหพลกความสงของกราฟจาก + เปนลบ หรอ จาก – เปนบวก


(5) y = –2x+1–3

(6) y = 321 2x

(7) y = 1

31 2x

(8) y = 2x


(9) y = 2x

(10) y = x

21

(11) y = 2x


Note.


Ex1. 8(29x) = 64x+3 Ex2. 5

)2.0( 2/1x = 5(0.04)x – 1

Ex3. 0.125( 42x – 3 ) = x

82

การแกสมการ Exponential

รปแบบท 1. สมการทม 2 พจน

(1) ถา am = an แลว m = n “ ถาฐานเทากน เลขชกาลงกตองเทากน ” “ ใชเมอฐานเทากน ” (2) ถา am = bn แลว m = n = 0 “ ถาฐานไมเทากน เลขชกาลงตองเปน 0 ” “ ใชเมอฐานไมเทากน ”

(3) ถา am = bn และ m n 0 “ ถาฐานไมเทากน และเลขชกาลงไมเปน 0” “ ตอง take log ”


Ex4. 10x – 5x–12x–2 = 950 Ex5. 3x – 5 = 710 – 2x

Ex6. 188 – 4x = 2x3)254(


Ex7. 5x+1+5x+2 = 3775 – 5x–1 Ex8. 2x+2x+1+2x+2+2x+3 = 60

Ex9. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2x2 =

4

x4

42

เทากบขอใดตอไปน ( O–NET’49 ) ( ตอบ 3 )

1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


Ex10. ถา x3

83

3

=

8116

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’50 ) ( ตอบ 1 )

1. 94

2. 92

3. 91

4. 91

Ex11. ถา 8x – 8( x+1 ) + 8( x+2 ) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน ( O–NET ’50 ) ( ตอบ 2 )

1. 31

2. 32

3. 34

4. 35


Note.


Ex1. x24 = 82 1x2

Ex2. 72x + 47x – 5 = 0

Ex3. 553 3x2 = )23(28 x

รปแบบท 2. สมการทม 3 พจน

(1) ทาใหขวามอเปน 0 โดยการยายไปลบกบดาน ซายมอ (2) จดรปใหเลขชกาลงพจนกลางเปนครงหนงของพจนหนา ( อาจใชเทคนคการเปลยนตวแปร ( ปตป. ) เขาชวย ) (3) ใชหลกการแยกแฟกเตอรในการหาคาตอบ


Ex4. 44 21

x

= x29

Ex5. x1x2 33 = 93 3x

Ex6. 22x+1– 172 x–0.5 + 4 = 0


Ex7. 4x2x4xx 22)2(562

Ex8. 37)66(6 xx


Ex9. 6

1332

23 xx

Ex10. 0)26()613()36( x2xx2


Note.


Ex1. 27933 1x1xx2x 22 = 0

Ex2. ผลบวกของคาตอบของสมการ 12x – 2( 3x ) – 9(4x ) +18 = 0 มคาเทากบเทาใด ( Ent’48 ม.ค ) ( ตอบ 2.5 )

รปแบบท 3. สมการทมมากกวา 3 พจน ใชหลกการจบคดงตวรวมประกอบกบการแยกแฟกเตอร


Note.


การแกอสมการ Exponential ใชหลกการ f เพม , f ลด เขาชวย กลาวคอ

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา am an แลว m n ถา am an แลว m n

ถา am an แลว m n ถา am an แลว m n

“ เครองหมายเดม ” “ เครองหมายเปลยน ”

Ex1. พจารณาขอความตอไปนวาขอใดถกตองบาง

1. 32 55 2. 0a;a1

aa1

a 54

3. 54

31

31

4. 3

12

1

1cos1cos


5. 23 )1(sin)1(sin

6. 31

21

1eccos1eccos

7. 52 )46(tan)46(tan


8. 0a,32 a1aa1a

9. )70(tan)70(tan e

10. 23 )3()2(


Ex1. จงแกอสมการตอไปน

(1) 62504.0 8xx5 2

(2) 8x2x 2

21

12x

41

(3) )x1(x

32

49


(4) xx 2)1(sin 4x)1(sin

(5) 8131 2x

(6) 5 3x+2 7 3x+2


(7) 2x+2–2x+3–2x+4 5x+1–5x+2

(8) 22x – 2x+1– 8 0

(9) 22x – 62x + 8 0


(10) x2x 2xx , x 0


(11) 0)272(188 xxx


Note.


1. กาหนดให 4x22x)1213( = 13 + 12 ขอใดเปนคาของ x2–2x+1 ( ตอบ 3 )

1. – 1 2. 3 3. 4 4. 5 2. จงพจารณาขอความตอไปน ( ตอบ 2 )

ก. ถา a 0 จะได 35

1aa

1aa

ข. ถา a 0 จะได 5

2

27

2

2

a1a

a1a

1. ถกเฉพาะขอ ก. 2. ถกเฉพาะขอ ข. 3. ถกทง 2 ขอ 4. ผดทง 2 ขอ

3. จงหาคาสมบรณของผลบวกของรากของสมการ 27334 x/1x2/11 ( ตอบ 1 ) 1. 3/4 2. 4/5 3. 2/3 4. 1/2 4. จงหาผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการตอไปน 6x + 3x+1 – 3(2x ) = 9 ( ตอบ 4 ) 1. 4 2. 2 3. 0 4. 1 5. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา 898193 x1x22x4 แลว x = 21

ข. ถา 0684 xx3 แลว x = 31

, 32

ขอใดสรปถกตอง ( ตอบ 1 )


6. คาของ x จากสมการ 1x1xx2x1xx 5553333 อยในเซตขอใด ( ตอบ 2 ) 1. { –1,2, –2,3/2 } 2. { 1,–1, 2,3/2 } 3. { –1,2,3,–3 } 4. { 2,3/2,3,5/2 }

7. กาหนด x1x61x41x4 6252592 ถา y = 10000x แลว y มคาเทากบขอใด ( ตอบ 1 ) 1. 2,500 2. 3,000 3. 3,500 4. 4,000



8. กาหนด 1x5xx3x5 2)2(3)2(11)2(6 ถา y = 25( 3–x ) แลว y มคาเทากบขอใด ( ตอบ 2 )

1. 80 2. 100 3. 110 4. 120

9. ถา 8x81x224 )2m()2m()16m8m( แลว x เทากบเทาใด ( ตอบ 1 ) 1. –1 2. 3/4 3. 1 4. –5/4

10. คาตอบของสมการ 2x

x

29

4102

อยในเซตใด ( ตอบ 2 )

1. { –1, 2, 4 } 2. { 2, 3, 4 } 3. { 1, 8, 9 } 4. { 2, 4, 5 }

11. จากสมการ 8xx6 n1

n21

= 0 ถาคาหนงของ x มคาเปน 64 เทาของอกคาหนง แลว จงหาคาของ n เมอ n เปนจานวนเตมบวก ( ตอบ 4 )

1. 1/2 2. 1/4 3. 2 4. 3 12. คาสมบรณของผลตางของทกคาตอบของสมการ

]3[93 2xx)2xx1( 22 = 28 มคาเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 2.5 2. 5 3. 7.5 4. 10

13. ให A = { x

21

x21

x1x2 232292273 } ผลบวกสมาชกทงหมดของ A เทากบเทาใด ( ตอบ 1 )

1. 4 2. 8 3. 16 4. 32 14. จงหาคา x จากสมการ 4 1+x + 4 1–x = 10 ( ตอบ 1 ) 1. 1/2 , –1/2 2. 1/4 , –1/4 3. 1 , 2 4. 1 , 4

15. ถา a,b เซตคาตอบของ 12x6x 2

31

9x–12 คา a+b ตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. 4 2. –4 3. –8 4. 8


16. ถา a 1 แลวเซตคาตอบ (2xa ) 2x – 7 a 2–7x ตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. ( –,21

)( 1,2 ) 2. ( –,1 )( 1,2 ) 3. ( 1,2 ) 4.

2,

21

17. เซตคาตอบ 23x–1 6x255x–1 75x ตรงกบขอใด ( ตอบ 3 )

1. ( –,21

] 2. [21

, ) 3. [41

, ) 4. ( –,41

]

18. ถา U = { x R2x+2 –10 6 } เปนเอกภพสมพทธแลวขอใดตอไปนเปนจรง ( ตอบ 3 )

1. x[ 3x= x

31

] 2. x

xx

31

3 3. x

xx

31

3 4. x

2

31

3x

x

19. ถาคาตอบของอสมการ 1xx8 2)1(sec 1x2x2 2

)1(sec คอ ( –,a )( b, ) จงหาคาของ 3a+2b ( ตอบ 3 ) 1. 0 2. 1 3. –1 4. 2

20. ถาคาตอบของอสมการ x)1x( 2x)1x( เมอ x –1 คอ ( a, ) จงหาคา a ( ตอบ 2 )

1. 0 2. 1 3. –1 4. 2 21. คาตอบของสมการ ( 2x )x = 4( 1– x) คอขอใดตอไปน ( Ent’41 เลข 2 ) ( ตอบ 1 )

1. 31 2. 21 3. 23

1 4. ไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

22. ให }027933Rx{A 1x1xx2x 22 ผลบวกกาลงสองของสมาชกทงหมดของ A เทากบเทาใด

( Ent’39 ) ( ตอบ 4.25 )

23. เซตคาตอบของสมการ 3x x)x(2 เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน ( Ent’39 ) ( ตอบ 1 )

1. [ 0,3 ] 2. [ 2,4 ] 3. [ –3,–2 ][ 2,3 ] 4. [ –2,–1 ][ 1,2 ]


24. ให R เปนเซตของจานวนจรงบวก และ }0222{ 312 xxxA

}1222{ xxxB

ขอใดถกตอง ( Ent’40 ) ( ตอบ 1 )

1. A B 2. B A 3. AB = 4. AB = R

25. ถา

4

9

3

2)1( xx

RxA แลวเซต B เปนชวงในขอใดตอไปน ททาให AB ( Ent’41 ) ( ตอบ 1 )

1. ( –2,–1 ) 2. ( –1,0 ) 3. ( 0,1 ) 4. ( 1,2 )

26. กาหนดให }255Rx{A2/1x353x23

ผลบวกของสมาชกทงหมดของ A มคาเทากบขอใด ( Ent’42 ต.ค. ) ( ตอบ 1 )

27. ถา x เปนรากของสมการ x1x5x1x3 752562 แลว x มคาเทากบเทาใด ( Ent’43 ม.ค. ) ( ตอบ 1/4 )

28. เซตคาตอบของอสมการ

x32

)3x(x 822

เปนสบเซตของเซตในขอใด ( Ent’44 ม.ค.) ( ตอบ 4 )

1. ( 1, ) 2. ( –2,100 ) 3. ( –10,10 ) 4. ( –,2 )

29. เซตคาตอบของสมการ x2x2 2934 = x613 เปนสบเซตในขอใดตอไปน ( Ent’44 ต.ค.) ( ตอบ 3 ) 1. [ –4,0 ] 2. [ –3,1 ] 3. [ –2,2 ] 4. [ 1,3 ]

30. เซตคาตอบของอสมการ )5x4x2( 2

4 ) 321

คอเซตในขอใดตอไปน ( O–NET ’50 ) ( ตอบ 4 )

1.

25

,25

2.

1,

25

3.

1,

21

4.

25

,21


Note.


31. จงวาดกราฟตามสมการทกาหนดใหตอไปน

(1) y = 2x–1+3 (2) y–2 = 2x+1

(3) y = x

21

+1 (4) y = 2 –x


Note.


ฟงกชนลอการทม ( Logarithmic Function )

คอ ฟงกชนทอยในรป f = { (x,y) R+R y = logax , a 0 , a 1 }

ขอสงเกต (1) Logarithmic Function เปนฟงกชนอนเวอรสของ Exponential Function (2) Logarithmic Function เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก R+ ไปยง R

(3) ถา 0 a 1 แลว Logarithmic Function จะเปนฟงกชนลด

(4) ถา a 1 แลว Logarithmic Function จะเปนฟงกชนเพม


ลอกการทมสามญ ( Common Logarithm ) คอ ลอการทมทมฐาน ( a ) เทากบ 10 xlog10 เขยนแทนดวย log x

ลอกการทมธรรมชาต ( Natural Logarithm ) คอ ลอการทมทมฐาน ( a ) เทากบ e xloge เขยนแทนดวย ln x ตาราตางประเทศบางเลมใช คาวา

“.ลอการทมแบบเนเปยร Napierian Logarithm “ โดย e มคา ประมาณ 2.7183…


Ex1. จงวาดกราฟตามสมการทกาหนดใหตอไปน (1) y = log2( x+2 ) (2) y = ( log3x )+3 (3) y = log1/3( x–1 ) (4) y = log1/2( x–2 ) – 3

หลกการวาดกราฟฟงกชน Logarithmic ในรปแบบตางๆ (1) จารปพนฐานของ Logarithmic Function ทงในกรณฟงกชนเพม และ ฟงกชนลดใหได

(2) เทยบสมการทโจทยใหมา กบ สมการมาตรฐาน y – k = loga( x–h ) (3) เลอนแกน y ไปยงเสนตรง x = h และ เลอนแกน x ไปยงเสนตรง y = k (4) ถาหนา x ตดลบ ใหพลกกราฟจาก ขวา ไปซาย


(5) y = log2( –x ) (6) y = log2( –x–2 ) +2

(7) y = log3 x (8) y = log3x


(9) y = log1/3 x

(10) y = log3x


Note.


สมบตของลอการทมทควรทราบ

ถา M , N เปนจานวนจรงบวก และ a 0 , a 1 และ p , q R แลว

…………………………………….………………………. Ex1. จงคาของ 1. log1/2 128 2. log 3 81 3. log1250.04

1. ถา logaM = N แลว aN = M

…………………………………….……………………….

2. loga1 = 0

…………………………………….……………………….

3. logaa = 1


…………………………………….……………………….

กาหนดให log 2 = A , log 3 = B จงหาคาของ

1. log6 = 2. log18 = 3. log24 = 4. log360 = 5. log600 = 6. log1800 =

4. logaMN = logaM + logaN


…………………………………….………………………. จงหาคา log5 = . กาหนดให log 2 = A , log 3 = B จงหาคาของ

1. log0.2 = 2. log0.03 =

3. log0.006 = 4. log0.0005 =

5. log0.75 = 6. log1.6 =

5. loga

N

M = logaM – logaN

JUM!!


……………………………….…………………

6. logaM = alog

Mlog =

alog

Mlog

p

p

JUM!! ………………………………………………..

………………………………………………..

…………………………………….……………………….

จงคาของ 1. log1/2 128 2. log 3 81 3. log1250.04

7. Mlogp

qMlog a

qap



(1) log 53 25 (2) log

32 16

81

(3) log

1258 3

425

(4) log4 22

(5) log

41

3 3 224 (6) log 3 [ log2512]


(7) log

41 [ log2 (log4256)]

Ex2. จงใชสมบต log 7 ขอแรกหาคาของ

(1) log23+log2 316

(2) log3 32

– log3 272

(3) 2log3 95

– log

271

12527

( ตอบ –3 )


(4) log15+log

1001 25

9– log

27

+log 10 14 ( ตอบ 2 )

(5) 384log

1

2 +

384log1

4+

384log1

6+

384log1

8 ( ตอบ 1 )

(6) 3log

1

45 –

9log1

36+

3log1

36–

9log1

100 ( ตอบ 3 )


(7) ให log 2 = a จงหาคาของ 16.0log2log25.0log 4

24

(8) 16log

1xxlogxlogxlog

x41

584 ในรปของ xlog2

(9) กาหนดให log35 = a และ log258 = b จงหาคาของ log38 ในรปของ a , b


(10) กาหนดให log1227 = a จงหาคาของ log616 ในรปของ a


Note.



(1) 2log33 = ……………………… (2) 2log2 33 = …………………………

(3) 2log33 = ……………………… (4) 2log

21

33 = …………………………

(5) 2log327 = ……………………… (6) 2log273 = …………………………

= ……………………… = ………………………

(7) 2log1 33 = ……………………… (8) 2log2 33 = ………………………… = ……………………… = …………………………. = ……………………… = ………………………….

…………………………………….……………………….

8. Ma Mloga



(1) 5log2 24 = (2) 81log1 168 =

(3) 4log8log2 3279 =

Ex3. จงหาคาสาเรจของ 2log13log

35log

3

23

933

( ตอบ 4 )

1. 21

2. 31

3. 1213

4. 3613


Ex4. จงหาคาของ 3log3log1

3log13log1

75

64

49253616

( ตอบ 2 )

1. 0 2. 2 3. 10 4. 15

…………………………………….……………………….

9. alogclog bb ca


สรปสมบตลอการทมทควรทราบ

(1) ถา logaM = N แลว aN = MM (2) loga1 = 0 (3) logaa = 1 (4) logaMN = logaM + logaN

(5) loga

NM

= logaM – logaN

(6) logaM = alogMlog

= alog

Mlog

p

p = alog

1

M

(7) qa

Mlog p = Mlogpq

a

(8) Mlogaa = MO

(9) clogba = alogbc


คราวนลองนาสมบตทกขอของ log ทาโจทยตอไปน Ex1. กาหนดให A = )]16(loglog3[log 242

B = 2log4 3 9

271

จงหาคาของ logAB

Ex2. กาหนดให 3 341 )27)(9(logx

และ 924

log35

log2825

logy

คาของ x / y ทไดจากสมการทกาหนดใหคอคาในขอใดตอไปน

Ex3. 91log325log28log100

1

10

110 มคาเทาใด ( Ent’42 ม.ค. ) ( ตอบ 1 )


Ex4. กาหนดให c3log คาของ 81.0log3log9log 33

9

1 เทากบขอใดตอไปน ( Ent’38 ) ( ตอบ 1 )

1. c43

4 2. c4

3

4 3. c4

3

8 4. c4

3

8

Ex5. กาหนด log789,000 = 5.8971 จงหาคาของ 1029.510 ( ตอบ 4 )

1. 51089.5 2. 51089.7 3. 810589 4. 810789

Ex6. จงแสดงรปอยางงายของ

xa

log1alogxlog

)x(log1

axa

3a โดยกาหนด a 0 , x 0 , a 1 , x 1

1. logax 2. logxa 3. log a 4. log x


Ex7. คาตอบของ

3log5log

31

8

1

16

1

6481


1. 590

1 2.

5909

3. 2

545 4.

25125

Ex8. จงหาคาของ ablog1

1calog1

1bclog1

1

cba

( ตอบ 2 )

1. 0 2. 1 3. 2 4. 0

Ex9. กาหนดให 2logeNlog 5In10In คาของ log( 200N ) เปนเทาไร ( ตอบ 2 ) 1. 2 2. 4 3. 10 4. 50


Ex10. ถา ln( log23 ) – ln( log43 ) – ln( log54 ) – …. – ln( logn( n–1 ) ) = (10–log2)( ln36 ) แลวคาของ n คอขอใด ( ตอบ 2 ) 1. 12 2. 64 3. 36 4. ผดทกขอ

Ex11. 63532733

log3

มคาเทากบขอใดตอไปน ( Ent’43 ม.ค. ) ( ตอบ 1 )

1. )23(log43

41

3 2. )23(log41

21

3 3. 19log41

43

3 4. 19log41

41

3


Note.


1. จงพจารณาขอความตอไปน ( ตอบ 3 )

ก. 451

549 2log2log1 57

ข. 91000log1000log

001.0log1000log

01.0100


2. คาของ 27log

1aalogalogalog

a3/1

3279 เปนเทาไร ( ตอบ 1 )

1. alog95

3 2. alog181

3 3. alog9

133 4. alog

94

3

3. ถา log2 = 0.3010 แลว log 12.5 + log 5 มคาเทากบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. 2.5100 2. 2.1140 3. 1.8130 4. 1.7960 4. ถา x และ y สอดคลองสมการ

logkxlog5k = 1 เมอ k 1

และ y210 = 625 ตามลาดบ แลวขอใดตอไปน ผด ( ตอบ 4 )

1. 5 x + y 7 2. 3 x – y 4 3. 0 xy 10 4. 0 x/y 1/2

5. กาหนด A = 6log1

43log1

29log1

1

362

คาของ A จะอยในเซตขอใด ( ตอบ 1 )

1. [ 2,4 ) 2. ( 3,5 ] 3. ( 5,7 ) 4. [ 7,9 )



6. ถา logam = r3 และ logma = 2r5

แลวคาของ log125r2 มคาเทาไร ( ตอบ 1 )

1. –32

2. –23

3. 32

4. 23

7. กาหนด log( 1+21

) = a , log( 1+31

) = b และ log( 1+41

) = c คาของ log(25

) ตรงกบขอใด ( ตอบ 1 )

1. a+b+c 2. a – b – c 3. abc 4. a/bc

8. จงหาคาของ 8log3

2log1

log75

6 252 448 ( ตอบ 1 )

1. 99 2. 79 3. 49 4. 29

9. ถา A 6log3 22 มคาเทากบ 648 แลว A

2 6log3 2 มคาเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 216 2. 72 3. 64 4. 48

10. กาหนดให log65 = a , log 645 = b ขอใดเปนคาของ

61

log3 ( ตอบ 1 )

1. ba

2

2. ab

2

3. 2

ab 4.

2ba

11. ถา f(x) = xlog)x(g,931

xlog9 และ h(x) = )x(loglog 5x5 แลวคาของ h(a) ( f(3)+g(9) ) คอขอใด ( ตอบ 3 )

1. –1 2. 0 3. 1 4. 9



log5log271

log3

21259 คอขอใด ( ตอบ 4 )

1. 1 2. 0.5 3. –0.5 4. – 1

13. จงหาคาของ 27log31

3log373

log2

335

735

245 42log2loglog2loglog

( ตอบ 4 ) 1. 4 2. –4 3. –3 4. 3

14. จงหาคาของ 2log5 +21

log1296 – 3log3 +41

log81 – 2 ( ตอบ 3 )

1. –1 2. –2 3. 0 4. 1

15. จงหาคาของ 5log4536499253 35log

95

log3log36log7log81log5log

( ตอบ 2 )

1. 8 2. –8 3. 4 4. – 4

16. จงหาคาของ 2log

3log1 56

51

36

( ตอบ 4 )

1. 2 2. 6 3. 3.5 4. 4.5 17. กาหนดให log2 = 0.3010 และ log N = –5+0.3010 ขอใดเปนคาของ N ( ตอบ 3 ) 1. 0.0000002 2. 0.000002 3. 0.00002 4. 0.0002

18. จงหาคาของ

81

log27log10loglog10loglog 233

3212

32 ( ตอบ 1 )

1. 11 2. 9 3. – 9 4. – 7


19. ให 163 4 18A จงหาคาของ log4(log1/2A) ( ตอบ 1 )

1. 1 2. –1 3. 0 4. หาคาไมได

20. คาของ 4log3log81

log9log251

log16log 82722752 เทากบเทาไร ( ตอบ 4 )

1. 0 2. 1 3. –31

4. –952

21. กาหนด 2log2log2log2logB,27A 1684

33

2222121log

31

ดงนน A +B เทากบเทาไร ( ตอบ 3 )

1. 33 2. 360 3. 393 4. 423 22. จงหาคาของ log40.25 + log250.04 + log500.02 + log50.2 ( ตอบ 4 ) 1. –1 2. –2 3. – 3 4. – 4

23. ถา x , y , z R ซงไมเทากบ 0 และ z2yx2 643 แลว z1

y1

x1

เทากบของใดตอไปน ( ตอบ 2 )

1. –1 2. 0 3. 1/6 4. 1 24. ถา 2x = 3y = 12z แลว z เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 )

1. y2x

xy

2. y2x

xy

3. xy2

xy

4. x2y

xy

25. กาหนดให 3x = 4y = 5z = 60k คาของ 2( x–1+y–1+z–1 ) ในรปของ k เทากบขอใด ( ตอบ 1 )

1. k2

2. k1

3. k 4. 2k


26. ถา ( log y x ) ( log z y ) ( log 25 z ) = log5125 แลว คาของ x คอขอใด ( Ent’30 ) ( ตอบ 2 ) 1. 53 2. 56 3. 65 4. ขอ 1 , 2 และ 3 ไมมขอใดถก 27. กาหนดให x เปนจานวนจรงบวก ซงสอดคลองสมการ

xx 23

102 และ y = log64 log86 log108

คาของ xy เทากบขอใดตอไปน ( Ent’36 ) ( ตอบ 1 ) 1. 2log3 2. –2log3 3. 2log2 4. –2log2

28. กาหนดให )1log()( xxf สาหรบ Rx คาของ

nfff1

...2

1)1( เทากบขอใด ( Ent’39 ) ( ตอบ 2 )

1. )1( nf 2. )(nf 3.

nf1 4.

11

nf

29. ถา xxf x ,10)( R+ และ a , b Rf แลว )(

)(1

1

bf

abf

คอขอใดตอไปน ( Ent’41 ) ( ตอบ 3 )

1. a10log 2. a10log1 3. ablog1 4. balog1

30. 91log325log28log100

1

10

110 มคาเทาใด ( Ent’42 ม.ค.) ( ตอบ 1 )

31. ขอใดตอไปนถกตอง ( A–NET’49 ) ( ตอบ 1 )

1. log73 log53 log710 2. log53 log73 log710

3. log73 log710 log53 4. log710 log53 log73


Note.


32. จงวาดกราฟตามสมการทกาหนดใหตอไปน (1) y = log1/2( 3–x ) – 2

(2) y = log1/3 x

(3) y = log3 x+3 + 2


(4) y = log3 x

(5) y–2 = log3 x+3 (6) y = ln(x–2) – 3


Note.


Ex1. จงหาคาคาแรกเทอรสตก และ แมนทสซาของ log659 Ex2. จงหาคาคาแรกเทอรสตก และ แมนทสซาของ log15.2 Ex3. จงหาคาคาแรกเทอรสตก และ แมนทสซาของ log0.00000932

การหาคา Characteristic , Mantissa

เราสามารถเขยน log N ใหอยในรป log M10n เมอ 1 M 10 และ n I

logN = log ( M10n ) = log M + log10n

แลว เราจะ เรยก log n10 วา “ คาแรกเทอรสตก ( Characterristic ) “ ของ log N และ เรยก log M วา “ แมนทสซา ( Mantisca ) ” ของ log N

SA–RUP Characteristic คอ คาของ log ในสวนทเปนจานวนเตม ( Char I )

Mantissa คอ คาของ log ในสวนทเปนทศนยม ( 0 Man 1 )


Ex4. จงหาคาคาแรกเทอรสตก และ แมนทสซาของ log0.00431

ขอสงเกต (1) Characterristic ตองเปนจานวนเตมเสมอ ( I+ , I0 , I– )

(2) 0 Mantisca 1 ( Man = ทศนยมบวก , หามตดลบ ) (3) ถา Characterristic เปน +N แลว เลขหลง log จะมเลขหนาจดทศนยม N+1 หลก (4) ถา Characterristic เปน –N แลว เลขหลง log จะมเลขศนยหลงจดทศนยม N–1 ตว


Ex1. กาหนดให log 2 = 0.3010 และ log 7 = 0.8451 จงหาวา 16875 มคาทเปนสวนเลขเตม จานวนกหลก ( ตอบ 3 ) 1. 46 2. 47 3. 48 4. 49 Ex2. กาหนดให log2 = 0.3010 จงหาวา 5 0125.0 มคาเปนเลขทศนยมทตงตนดวยเลข “0” หลงจดทศนยมกตว ( ตอบ 1 ) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

Ex3. แคแรกเทอรสตกของ log5500 มคาเทาไร ( ตอบ 2 ) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


Ex4. กาหนดให 25.0x

41x441x4

4

16100

23

รากของสมการจะเทากบแคแรกเทอรสตกของขอใด( ตอบ 1 )

1. log11125 2. log22125 3. log2211 4. log110.5


Ex1. จงหาคา antilog 6.7752 Ex2. จงหาคา antilog 2.0212 Ex3. จงหาคา antilog 0.4099 Ex4. จงหาคา antilog –1.0472 Ex5. จงหาคา antilog –2.1203

Antilogarithm ถา logx = y จะไดวา antilog y = x


Ex6. จงหาคา antilog 3.2135 Ex7. จงหาคา antilog –3.9518

Ex8. จงหาคาของ 4.12


Note.


1. กาหนดให antilog 0.9877 = 9.72 และ log 6.273 = 0.7975 จงหาคาของ 5 0972.0 ( ตอบ 2 ) 1. 0.7975 2. 0.6273 3. 0.1975 4. 0.1595

2. ให log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 และ log 7 = 0.8451 จงหาคา N เมอ 9.02

343.0)25.0(9N

34 ( ตอบ 3 )

1. – 1.887 2. 0.012 3. antilog ( –1.887 ) 4. antilog ( 0.7374 ) 3. ถา log7x มคาคาแรกเทอรสตกเปน 3 แลว จะมคา x ทเปนจานวนเตมบวกตางๆกนไดทงหมดกคา ( ตอบ 2 ) 1. 2057 2. 2058 3. 2059 4. 2060

4. คาของ 75 831.21)938.1( ทกาหนดโดย log 19.38 = 1.2874 , log 2.1831 = 0.3391 , log 27.35 = 1.4370 , log 15.54 = 1.1913 จะเทากบขอใด ( ตอบ 4 )

1. 28.40 2. 42.89 3. 25.85 4. 28.90 5. กาหนด log 0.00341 = – 2.4672 ขอใดเปนคาของ log 34100 ( ตอบ 3 ) 1. 3.5328 2. 4.4672 3. 4.5328 4. 5.4672 6. กาหนด log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 , log 19 = 1.2788 , antilog 2.2873 = 194

คาของ H ในสมการ 5200,1

H3861.3 เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 )

1. 1,940 2. 19,400 3. 194,000 4. 1,940,000



7. ขอใดถกตอง ( ตอบ 4 ) 1. ให log 31 = 1.4914 จะได log0.031 = –1.4914 2. ให log 0.0752 = –1.1238 จะได log0.0000752 = –4.1238 3. ให log65 = 0.8982 จะได log 1/6 5 = – 0.8982 4. มคาตอบถกมากกวา 1 ขอ 8. กาหนดให log 3 = 0.4771 ขอใดตอไปนเปนคาของ log 0.027 ( ตอบ 1 ) 1. –1.5687 2. –1.9546 3. –1.4771 4. –2.4771

9. กาหนด log 63.7 = 1.9041 จงหาคาของ 10 0959.1 ( ตอบ 2 ) 1. – 0.637 2. 0.0637 3. 0.637 4. 6.37 10. จงหา antilog( –3.9279 ) เมอกาหนดให log 1.18 = 0.0719 และ log 1.19 = 0.0755 ( ตอบ 2 ) 1. 0.00011804 2. 0.00011806 3. 0.001184 4. 0.001186

11. ให 15.410 618.0 และ 41.210 382.0 จะไดคาของ antilog ( –2.618 ) ตรงกบขอใด ( ตอบ 3 ) 1. 2.41 2. 4.15 3. 0.00241 4. 0.00415


Note.


การแกสมการลอการทม (1) log ฝงเดยว ใชกฎการปลด log , ดนตส

กลาวคอ “ ถา logaM = N แลว M = aN “

(2) log 2 ฝง ทาฐานใหเทากน แลว ปลด log ทงทง 2 ฝง กลาวคอ “ ถา logaM = logaN แลวจะไดวา M = N

(3)* ตรวจคาตอบ 2 ททกครง

1. หลง log ตอง 0 2. ฐาน log ตอง 0 และ 1

Ex1. จงหาคาของ x จากสมการตอไปน (1) log 2x = 3 (2) log2x = log2 + 5 (3) 3logx = log8 (4) 2logx = 1 (5) log(3x+5) – 1 = log(2x+1) (6) log x = 1–log( x–9 ) ( ตอบ 10 )


(7) log16x + log4x + log2x = 7 ( ตอบ 16 ) (8) log4log3log2 (x

2–2x) = 0 ( ตอบ 4 , –2 ) (9) )}]xlog31(log1{log2[log 2234 = 0.5 (10) 532log 4log 16xlog

(11) 222 xlog)4xlog()16x4log(


(12) )13(log2)79(log 1x2

1x2

(13) 6log5logx)21log(x x (14) log3x+8logx3 = 6


(15) 2log2(x – 2 ) – 2)2x(

log

16 +3 = 0

(16) ( log3x)2 = log9x

2 + 2

(17) ( log2x)3 – 22 )x(log

21

= 3log2x3 – 18


(18) logx2 = log2x25

(19) 4 x31x 3 ( ตอบ – 0.7259 ) (20) 3 x = 36 ( ตอบ 3.2618 )

(21) 3 5x35x2 2 ( ตอบ 75.9863 ) (22) 3 14x21x 2 ( ตอบ 37.5588 )


Ex2. ถาให

x3logx4log2

x3log1

2

25.0

6

= 1 คาของ x จะตกอยในชวงใด ( ตอบ 2 )

1. ( –3,0 ] 2. ( 0,3 ] 3. [ –2,2 ] 4. [ –1,3 )

Ex3. เซตคาตอบของสมการนเปนสบเซตของเซตในขอใด xlog100 = 510log)3log( xlog6log 3 ( ตอบ 1 ) 1. [ 3,14 ] 2. ( 14,20 ] 3. [ –4,6 ) 4. [ 16,24 ] Ex4. จงแกสมการ 2xlog4xlog1 42 = 4 หารากของสมการไดอยในเซตขอใด ( ตอบ 4 ) 1. { 2 , 3 , 29, 210 } 2. { 3 , 99 , 299, 210 } 3. { 9 , 210 , 99 , 299 } 4. { 1 , 4 , 6 , 8 }


Ex5. จงหาคา x จากสมการ xlogx = 10x2

( ตอบ 1 )

1. 10 2. 1/10 3. 10 , 1/10 4. 10, 100

Ex6. ให A = คาตอบของสมการ 10log2x = 10

B = คาตอบของสมการ 3 xlog52 – 2log5x = 32 แลว จงหาคาของ A+B ( ตอบ 2 ) 1. 621 2. 627 3. 680 4. 646 Ex7. จงหาผลบวกของคาตอบจากสมการ ]5x4[log xlog

x5 = 2log5x ( ตอบ 3 )

1. 18/3 2. 23/4 3. 26/5 4. 28/6


Ex8. ให 32 xlog21)x(log )25.6()4.0( จงพจารณาขอความตอไปน

ก. คา x ทสอดคลองกบสมการดงกลาวมเพยงคาเดยว ข. คา x ทสอดคลองกบสมการดงกลาวนน 10 หารลงตว ค. คา x ทสอดคลองกบสมการดงกลาวนนม 2 คา ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ก. และ ข. 2. ข. และ ค. 3. ก. และ ค. 4. ถกเฉพาะ ค.

Ex9. ผลบวกของรากของสมการ )1xlog(

21

)1xlog()10xlog(

2)10xlog(

เทากบขอใด ( Ent’35 ) ( ตอบ 2 )

1. 20.2 2. 111.1 3. 202 4. 1111

Ex10. ผลรวมคาตอบของสมการ 1)x(logx3

log 23x3

คอ ( ตอบ 4 )

1. 10 2. 18 3. 22/3 4. 37/9


Ex11. กาหนดสมการ logx36 + log183x = 3 จงหาผลรวมของคาตอบของสมการ ( ตอบ 4 ) 1. 300 2. 310 3. 320 4. 330


Note.


การแกอสมการลอการทม (1) log ฝงเดยว ใชกฎการปลด log , ดนตส

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา logaM N แลว M aN ถา logaM N แลว M aN

ถา logaM N แลว M aN ถา logaM N แลว M aN

(2) log 2 ฝง ทาฐานใหเทากน แลว ปลด log ทงทง 2 ฝง

f เพม ( a 1 ) f ลด ( 0 a 1 )

ถา logaM logaN แลว M N ถา logaM logaN แลว M N

ถา logaM logaN แลว M N ถา logaM logaN แลว M N

SA-RUP “ f เพม เครองหมายเดม , f ลด เครองหมายเปลยน ”P

(3) ตรวจคาตอบ 2 ททกครง ( เหมอนสมการ log )

1. หลง log ตอง 0 2. ฐาน log ตอง 0 และ 1P

Ex1. ขอใดถกตอง

1. 4log3log

21

21 2.

51

log41

log 30sec30sec

3. 53

log32

log21

21

55 4. ถกมากกวา 1 ขอ


Ex2. จงหาเซตคาตอบของอสมการตอไปน

2.1 3)x2x(log 22 2.2 )3x5(log)4x2(log 22

2.3

11x46x4x2

log2

21 –1

2.4 1xlog12x3log 22


2.5 )3x3(log)4x2x2(log 5.02

5.0 )4.0()4.0( 2.6 )x624(log)3x2(log 2x2x


ลองทาโจทยขอสอบแขงขนระดบประเทศบางนะครบ

Ex1. ผลบวกของรากทงหมดของสมการ log3( 31/x+27 ) = log34 + 1 +

x21

เทากบขอใดตอไปน ( A–NET ’51 ) ( ตอบ 3 )

1. 0 2. 21

3. 43

4. 1

Ex2. ถา A = { x a x b } เปนเซตคาตอบของอสมการ log2(2x–1) – log4

21

x 2 21

แลว a+b มคาเทากบ

เทาใด ( A–NET ’51 ) ( ตอบ 2.5 )

Ex3. กาหนดให A = { z R z = yx

และ 6log( x–2y ) = log x3 + logy3 } ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต

A มคาเทากบขอใดตอไปน ( A–NET ’50 ) ( ตอบ 2 )

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6


Ex4. ถา log23 = 1.59 แลวคาของ x ซงสอดคลองสมการ 22x+132x+2 = 122x เทากบเทาใด ( A–NET ’50 ) ( ตอบ 2.09 )

Ex5. จานวนเตมทสอดคลองกบอสมการ log

21 [ log3(x+1) ] –1 มจานวนเทากบขอใดตอไปน ( A–NET ’49 ) ( ตอบ 2 )

1. 6 2. 7 3. 8 4. มากกวา 8

Ex6. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ log( log x ) + log( 9 – logx2 ) 1 ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามากทสดและคานอยทสด ตามลาดบ แลว ab มคาเทากบขอใด ( Ent’48 ม.ค. ) ( ตอบ 2 )

1. 27

10 2. 29

10 3. 211

10 4. 213

10


Ex7. ผลบวกของคาตอบของสมการ 1 + ( 2 logx3) ( log9( 9 – x ) ) = logx 14 มคาเทากบเทาใด ( Ent’47 ต.ค. ) ( ตอบ 9 )

Ex8. ให S เปนเซตคาตอบของสมการ 52x + 11 12(5x) – 9 ถา a และ b เปนสมาชกของ S ทมคามากทสด และนอยทสด ตามลาดบ แลว a + b เทากบขอใดตอไปน ( Ent’47 ต.ค. ) ( ตอบ 2 )

1. log515 2. log520 3. 2 4. log530


Ex9. ผลบวกของคาตอบของสมการ log2( 4

x– 1 + 2x– 1 + 6 ) = 2 + log2 ( 2x–1 +1 ) มคาเทาใด ( Ent’47 ม.ค. ) ( ตอบ 3 )

Ex10. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 229241

10x

log2xlog

0 ถา a และ b เปนสมาชก

ของ S ทมคามากสดและคานอยสด ตามลาดบ แลว ba

เทากบขอใดตอไปน ( Ent’47 ม.ค. ) ( ตอบ 4 )

1. 20 2. 100 3. 200 4. 1000


Ex11. กาหนดให S เปนเซตคาตอบของอสมการ

1x3x

logx 1

และ T = { xlog 3 x S } T เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( Ent’46 ต.ค.) ( ตอบ 1 )

1. [ 0,2 ] 2. [ 1,3 ] 3.

25

,21

4.

37

,31

Ex12. ถา a , b เปนคาตอบของสมการ 6x – 3x+1 – 2x+2+ 12 = 0

แลวคาตอบของสมการ ( ab )2x+1 = ( ab+3 )x เทากบขอใดตอไปน ( Ent’46 ต.ค. ) ( ตอบ 4 )

1. 3log2log

3log

2. 16log7log

4log

3. 28log

1

5 4.

25log1

2


Ex1. จงแกระบบสมการ y2x2 2525 = 30 และ

yx25 = 55

Ex2. จงแกระบบสมการ log )yx( 22 –1 = log 13 และ log ( x+y ) – log ( x–y ) = 3 log 2

ระบบสมการ log & Expo


Note.


1. กาหนด log2(x+2)+log29

2x2 ขอใดเปนคา x ( ตอบ 3 )

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

2. ผลบวกของคาสมบรณของราก

21

3log6xlog1x7log3xlog2log2


1. 3.6 2. 5.4 3. 9.0 4. 12.6 3. ขอใดเปนรากคาตอบของสมการ log2( x+1 )+log2( x–1 ) = 1 ( ตอบ 2 ) 1. – 3 2. 3 3. 2 – 1 4. ไมมคาตอบ 4. เซตคาตอบของสมการ log2( x+3 ) – log2x = 5 เปนสบเซตในขอใด ( ตอบ 2 )

1.

0,

21

2.

1,

21

3. ( 1,2 ) 4. ( 2,4 )

5. เซตคาตอบของสมการ log64log 1/16 log 1/9 log 1/64 x = –1/3 เปนสบเซตในขอใด ( ตอบ 3 )

1. ( 0,81

) 2.

61

,81

3.

31

,61

4.

21

,31

6. จงหาเซตคาตอบของสมการ log (5 9xx ) = x( 1–log2 ) เปนสบเซตในขอใด ( ตอบ 3 ) 1. ( 0,3 ) 2. ( 3,6 ) 3. ( 6,12 ) 4. ( 12,15) 7. ผลบวกของรากคาตอบ logx125 = log8x3 ( ตอบ 4 ) 1. 4 2. 5 3. 4.1 4. 5.1

8. จงหารากของ 4log 1x1x 22 log31

2

729 = 1x 2log23

10 – 1xlog

12

45 เปนสบเซตในขอใด ( ตอบ 4 )

1. ( –2,–1 ) 2. ( –1,1 ) 3. ( 1,2 ) 4. ( –2,2 )



9. เซตคาตอบของสมการ log

x

x3

21 2

22 = 2 – x เปนสบเซตขอใด ( ตอบ 2 )

1. ( 2,5 ) 2. ( 0,3 ) 3. ( –2,1 ) 4. มคาตอบถกมากกวา 1 ขอ 10. ผลบวกของรากคาตอบของ logx = log52x คอ ( ตอบ 2 )

1. –101

2. 101

3. 0 4. – 1

11. เซตคาตอบของ loga(ax) + loga(a

2x) + loga(a3x) + ... + loga(a

9x) = 45 เปนสบเซตในขอใด ( ตอบ 2 ) 1. ( –1,0 ] 2. ( 0,1 ] 3. ( 1,2 ] 4. ( 2,3 ] 12. เซตคาตอบของสมการ log2x+4logx2 = 5 เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน ( ตอบ 3 )

1. [ 1,3 ][ 5,9 ] 2. [ –1,5 ] 3. [ –1,3 ][ 8,16 ] 4. [ 3,18 ] 13. เซตคาตอบของสมการ logx 28 +logx 325 – logx 91 = logx คอขอใดตอไปน ( ตอบ 4 )

1. 2. { 1/10 } 3. { 10 } 4. { 10 , 1/10 }

14. กาหนดให A = { xxxRx 2xlog2log 2x } ผลบวกกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ( ตอบ 2 )

1. 19 2. 18 3. 16 4. 14

15. จากสมการ 2log)24log()424log( xxx คา x อยในเซตคาตอบของอสมการหรอสมการในขอใด ( ตอบ 2 )

1. 024x10x 2 2. 168222 4x2xx

3. 011xlog3 4. x)6

cos3

(sinlog 4

21

16. 222

2

2 )x(log3xlog2

2x

log

1xlog

จะมผลตางของรากของสมการเทาใด ( ตอบ 3 )

1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5


17. ผลรวมคาตอบของสมการ logx2logx/162 = logx/642 คอเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 6 2. 20 3. 12 4. 24

18. จงหาผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log 1xlog6xx 32

3 1+log 3 (x 12 )+ log 3 2 ( ตอบ 1 ) 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10 19. เซตคาตอบของสมการ log( 2x+x–4 ) = x ( 1–log5 ) เทากบเซตคาตอบของขอใด ( ตอบ 2 )

1. 0)15x(logloglog 423 2. 216log xx x

3. )2xx(log)1x(log 222 4. 222 xlog)2xlog()4x2log(

20. เซตคาตอบของสมการ 05logloglog )x2x(log234

25 เปนสบเซตของชวงใด ( ตอบ 2 )

1. [ –5,1 ] 2. [ –4,3 ] 3. [ –1,5 ] 4. [ 0,6 ]

21. ผลรวมคาตอบของสมการ 1510log1xlog xlog100 คอ ( ตอบ 1 )

1. 5 2. 10 3. 20 4. 25

22. จงหาเซตคาตอบของอสมการ logx( 2x2+x–1 ) logx( x2+1 ) ( ตอบ 1 )

1. 2. ( 0,2 ) 3. [ 0,1 ) 4. ( 0,3 )

23. กาหนด }03xlog8)x(logx{A 162

2 และ

}016)2(122x{B x1x2

แลวผลคณของสมาชกทงหมดใน AB มคาเทาใด ( Ent’36 ) ( ตอบ 4 ) 1. 2 2. 1 3. 1/2 4. 1/4

24. เซตคาตอบของอสมการ ( 4x–2 )log( 1–x2 ) 0 เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน ( Ent’46 ม.ค ) ( ตอบ 1 )

1. ( –2,21

) 2. ( –21

,2 ) 3. ( 0,10 ) 4. (21

,20 )


25. กาหนดให ))x(log(loglog 248 = 2 ถา )2( n4x แลว n มคาเทากบเทาใด ( Ent’45 ต.ค. ) ( ตอบ 127 )

26. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ xlogxlogxlog 2416 7 และ

B เปนเซตคาตอบของอสมการ )3(263 3x23x4 1 แลว A – B คอชวงในขอใดตอไปน ( Ent’45 ต.ค. ) ( ตอบ 1 )

1. ( 023

, ) 2. ( 23

,16 ) 3. ( 0,3 ) 4. ( 3,16 )

27. x ทสอดคลองกบสมการ )12x(log3logx2log

3 = 5x5xxlog 3 มคาเทากบเทาใด ( Ent’45 ม.ค.)

( ตอบ 13 )

28. กาหนดให a 0 เปนคาตอบของสมการ 2294 1aa = 0

เซตคาตอบของอสมการ )1x(log)2x(log2 aa 4 เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( Ent’45 ม.ค. ) ( ตอบ 4 )

1. ( –3,3 ) 2. ( –2,7 ) 3. ( 0,8 ) 4. ( 1,10 )

29. ถา log2y = log4( xy–2 ) และ log9x2+log3( x–y ) = 1 จะไดคา

yx

log 9 คอขอใด ( ตอบ 3 )

1. 23log21 2. 2log

21

9 3. 2log21

9 4. 2log21

3

30. ให )ylogxlog2(3

x1y 2 = 10 และ xy = 81 จงหาคาของ x+y ( ตอบ 2 )

1. 18 2. 30 3. 82 4. 130/7

31. จากสมการ 3 yx = 2 และ 3 yx = 5 ขอใดตอไปนเปนคาของ x ( ตอบ 3 ) 1. log3100 2. log310 3. log910 4. log 10


Note.


ตารางแสดงคา log ฐานสบ ( log สามญ )

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

5.0 5.1 5.2 5.3 5.4

.0000

.0414

.0792

.1139

.1461

.1761

.2041

.2304

.2553

.2788

.3010

.3222

.3424

.3617

.3802

.3979

.4150

.4314

.4472

.4624

.4771

.4914

.5051

.5185

.5315

.5441

.5563

.5682

.5798

.5911

.6021

.6128

.6232

.6335

.6435

.6532

.6628

.6721

.6812

.6902

.6990

.7076

.7160

.7243

.7324

.0043

.0453

.0828

.1173

.1492

.1790

.2068

.2330

.2577

.2810

.3032

.3243

.3444

.3636

.3820

.3997

.4166

.4330

.4487

.4639

.4786

.4928

.5065

.5198

.5328

.5453

.5575

.5694

.5809

.5922

.6031

.6138

.6243

.6345

.6444

.6542

.6637

.6730

.6821

.6911

.6998

.7084

.7168

.7251

.7332

.0086

.0492

.0864

.1206

.1523

.1818

.2095

.2355

.2601

.2833

.3054

.3263

.3464

.3655

.3838

.4014

.4183

.4346

.4502

.4654

.4800

.4942

.5079

.5211

.5340

.5465

.5587

.5705

.5821

.5933

.6042

.6149

.6253

.6355

.6454

.6551

.6646

.6739

.6830

.6920

.7007

.7093

.7177

.7259

.7340

.0128

.0531

.0899

.1239

.1553

.1847

.2122

.2380

.2625

.2856

.3075

.3284

.3483

.3674

.3856

.4031

.4200

.4362

.4518

.4669

.4814

.4955

.5092

.5224

.5353

.5478

.5599

.5717

.5832

.5944

.6053

.6160

.6263

.6365

.6464

.6561

.6656

.6749

.6839

.6928

.7016

.7101

.7185

.7267

.7348

.0170

.0569

.0934

.1271

.1584

.1875

.2148

.2405

.2648

.2878

.3096

.3304

.3502

.3692

.3874

.4048

.4216

.4378

.4533

.4683

.4829

.4969

.5105

.5237

.5366

.5490

.5611

.5729

.5843

.5955

.6064

.6170

.6274

.6375

.6474

.6574 .665 .6758 .6848 .6937

.7024 .7110 .7193 .7275 .7356

.0212

.0607

.0969

.1303

.1614

.1903

.2175

.2430

.2672

.2900

.3118

.3324

.3522

.3711

.3892

.4065

.4232

.4393

.4548

.4698

.4843

.4983

.5119

.5250

.5378

.5502

.5623

.5740

.5855

.5966

.6075

.6180

.6284

.6385

.6484

.6580

.6675

.6767

.6857

.6946

.7033

.7118

.7202

.7284

.7364

.0253

.0645

.1004

.1335

.1644

.1931

.2201

.2455

.2695

.2923

.3139

.3345

.3541

.3729

.3909

.4082

.4249

.4409

.4564

.4713

.4857

.4997

.5132

.5263

.5391

.5514

.5635

.5752

.5866

.5977

.6085

.6191

.6294

.6395

.6493

.6590

.6684

.6776

.6866

.6955

.7042

.7126

.7210

.7292

.7372

.0294

.0682

.1038

.1367

.1673

.1959

.2227

.2480

.2718

.2945

.3160

.3365

.3560

.3747

.3927

.4099

.4265

.4425

.4579

.4728

.4871

.5011

.5145

.5276

.5403

.5527

.5647

.5763

.5877

.5988

.6096

.6201

.6304

.6405

.6503

.6599

.6693

.6785

.6875

.6964

.7050

.7135

.7218

.7300

.7380

.0334

.0719

.1072

.1399

.1703

.1987

.2253

.2504

.2742

.2967

.3181

.3385

.3579

.3766

.3945

.4116

.4281

.4440

.4594

.4742

.4886

.5024

.5159

.5289

.5416

.5539

.5658

.5775

.5888

.5999

.6107

.6212

.6314

.6415

.6513

.6609

.6702

.6794

.6884

.6972

.7059

.7143

.7226

.7308

.7388

.0374

.0755

.1106

.1430

.1732

.2014

.2279

.2529

.2765

.2989

.3201

.3404

.2989

.3784

.3962

.4133

.4298

.4456

.4609

.4757

.4900

.5038

.5172

.5302

.5428

.5551

.5670

.5786

.5899

.6010

.6117

.6222

.6325

.6425

.6522

.6618

.6712

.6803

.6893

.6981

.7067

.7152

.7235

.7316

.7396


N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

6.0 6.1 6.2 6.3 6.4

6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

7.0 7.1 7.2 7.3 7.4

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4

8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

9.0 9.1 9.2 9.3 9.4

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

.7404

.7482

.7559

.7634

.7709

.7782

.7853

.7924

.7993

.8062

.8129

.8195

.8261

.8325

.8388

.8451

.8513

.8573

.8633

.8692

.8751

.8808

.8865

.8921

.8976

.9031

.9085

.9138

.9191

.9243

.9244

.9345

.9395

.9445

.9494

.9542

.9590

.9638

.9685

.9731

.9777

.9823

.9868

.9912

.9956

.7412

.7490

.7566

.7642

.7716

.7789

.7860

.7931

.8000

.8069

.8136

.8202

.8267

.8331

.8395

.8457

.8519

.8579

.8639

.8698

.8756

.8814

.8871

.8927

.8982

.9036

.9090

.9143

.9196

.9248

.9299

.9350

.9400

.9450

.9499

.9547

.9595

.9643

.9689

.9736

.9782

.9827

.9872

.9917

.9961

.7419

.7497

.7574

.7649

.7723

.7796

.7868

.7938

.8007

.8075

.8142

.8209

.8274

.8338

.8401

.8463

.8525

.8585

.8645

.8704

.8762

.8820

.8876

.8932

.8987

.9042

.9096

.9149

.9201

.9253

.9304

.9355

.9405

.9455

.9504

.9552

.9600

.9647

.9694

.9741

.9786

.9832

.9877

.9921

.9965

.7427

.7505

.7582

.7657

.7731

.7803

.7875

.7945

.8014

.8082

.8149

.8215

.8280

.8344

.8407

.8470

.8531

.8591

.8651

.8710

.8768

.8825

.8882

.8938

.8993

.9047

.9101

.9154

.9206

.9258

.9309

.9360

.9410

.9460

.9509

.9557

.9605

.9652

.9699

.9745

.9791

.9836

.9881

.9926

.9969

.7435

.7513

.7589

.7664

.7738

.7810

.7882

.7952

.8021

.8089

.8156

.8222

.8287

.8351

.8414

.8476

.8537

.8597

.8657

.8716

.8774

.8831

.8887

.8943

.8998

.9053

.9106

.9159

.9212

.9263

.9315

.9365

.9415

.9465

.9513

.9562

.9609

.9657

.9703

.9750

.9795

.9841

.9886

.9930

.9974

.7443

.7520

.7597

.7672

.7745

.7818

.7889

.7959

.8028

.8096

.8126

.8228

.8293

.8357

.8420

.8482

.8543

.8603

.8663

.8722

.8779

.8837

.8893

.8949

.9004

.9058

.9112

.9165

.9217

.9269

.9320

.9370

.9420

.9469

.9518

.9566

.9614

.9661

.9708

.9754

.9800

.9845

.9890

.9934

.9978

.7451

.7528

.7604

.7679

.7752

.7825

.7896

.7966

.8035

.8102

.8169

.8235

.8299

.8363

.8426

.8488

.8549

.8609

.8669

.8727

.8785

.8842

.8899

.8954

.9009

.9063

.9117

.9170

.9222

.9274

.9325

.9375

.9425

.9474

.9523

.9571

.9619

.9666

.9713

.9759

.9805

.9850

.9894

.9939

.9983

.7459

.7536

.7612

.7686

.7760

.7832

.7903

.7973

.8041

.8109

.8176

.8241

.8306

.8370

.8432

.8494

.8555

.8615

.8675

.8733

.8791

.8848

.8904

.8960

.9015

.9069

.9122

.9175

.9227

.9279

.9330

.9380

.9430

.9479

.9528

.9576

.9624

.9671

.9717

.9763

.9809

.9854

.9899

.9943

.9987

.7466

.7543

.7619

.7694

.7767

.7839

.7910

.7980

.8048

.8116

.8182

.8248

.8312

.8376

.8439

.8500

.8561

.8621

.8681

.8739

.8797

.8854

.8910

.8965

.9020

.9074

.9128

.9180

.9232

.9284

.9335

.9385

.9435

.9848

.9533

.9581

.9628

.9675

.9722

.9768

.9814

.9859

.9903

.9948

.9991

.7474

.7551

.7627

.7701

.7774

.7846

.7917

.7987

.8055

.8122

.8189

.8254

.8319

.8382

.8445

.8506

.8567

.8627

.8686

.8745

.8802

.8859

.8915

.8971

.9025

.9079

.9133

.9186

.9238

.9289

.9340

.9390

.9440

.9489

.9538

.9586

.9633

.9680

.9727

.9773

.9818

.9863

.9908

.9952

.9996


(1) การเตบโตของประชากร ณ เวลาหนงในกรณทการเพม ไมไดเปนไปอยางตอเนองตลอดเวลา มสตรดงน

Nn(t) = n0(1+r)tPP

Ex1. ในเวลา 8 ป ฟารมเลยงกระตายแหงหนงมกระตายจานวน 4,100 ตว และมอตราการเตบโต 55 % ตอป

1. จงหาวาฟารมนมกระตาย ณ จดเรมตนประมาณกตว ( กาหนดให 1.558 100/3 ) ( ตอบ 123 ตว )

2. อก 12 ปขางหนา จะมจานวนกระตายประมาณกตว ( กาหนดให 1.5520 6406.69 ) ( ตอบ 788,023 ตว )

1.9 การประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และ ฟงกชนลอการทม ในหวขอนเปนการนาความรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และ ฟงกชนลอการทมไปประยกตในสาขาวชาอนๆ

เชน การเตบโตของจานวนประชากร , ปรมาณสารกมมนตรงสทกาลงสลายตว , ความเขมของเสยง และ ระดบความเปนกรด – ดางของสารละลาย เปนตน

เมอ n(t) แทน จานวนประชากรเมอเวลาผานไป t n0 แทน จานวนประชากร ณ จดเรมตน r แทน อตราเตบโตของจานวนประชากรตอเวลา t แทน เวลา


Ex2. ในป พ.ศ. 2546 พบวา มประชากรของโลกทงหมด 6.1 พนลานคน และ มอตราการเตบโต 1.4 % ตอป อยากพบวา

เมอไรประชากรของโลก จะมจานวนเปน 122 พนลานคน ( โปรดใชตาราง log หรอ เครองคดเลขวทยาศาสตร เขาชวย ) ( ตอบ 215.5 ป )


Ex1. ธาตโปโตเนยม – 210(210P0) มครงชวต 140 วน ถาเดมมธาตโปโลเนยมอย 300 มลลกรม จงหา 1. ปรมาณของธาตโปโลเนยมทเหลออย เมอเวลาผานไป 1 ป ( 49.26 มลลกรม ) 2. ใชเวลานานกวน จงจะมธาตโปโลเนยมเหลออย 200 มลลกรม ( 82 วน )

วธทา 1. r = 140

2ln = 0.00495

( ถาไมใชเครองคดเลขวทยาศาสตร ตองจด ln2 = elog2log

แลวเปดตาราง log แลว

เทยบบญญตไตรยางคหาคา loge = log2.7183 ) 1 ป = 365 วน

m(365) = 300e–0.00495365 = 300e–1.8

300( 0.1642 ) ( ตองใชเครองคดเลขวทยาศาสตรเขาชวย )

49.26

2. 200 = 300e–0.00495t 2/3 = e–0.00495t ln(2/3) = –0.00495t ( ตองใชเครองคดเลขวทยาศาสตรเขาชวย เพอหา ln(2/3) )

t = 81.9 82

(2) การสลายตวของสารกมมนตรงส ทมครงชวตเทากบ h ปรมาณสารทเหลออย มสตรดงน

m(t) = m0e–rtPP

เมอ m(t) แทน ปรมาณของสารกมมนตรงสทเหลออยเมอเวลาผานไป t m0 แทน ปรมาณของสารกมมนตรงส ณ จดเรมตน

r = h2ln

: h คอ ครงชวต

t แทน เวลา ( ตองมหนวยเดยวกบครงชวต )


Ex1. นกชววทยาไดทาการเพาะเชอแบคทเรยทเปนกลมตวอยางจานวนหนง พบวา มอตราการเตบโต 40% ตอชวโมง ตองการทราบวา จะมจานวนแบคทเรยประมาณกตว เมอเวลาผานไป 10 ชวโมง ถามจานวนแบคทเรย ณ จดเรมตน

เทากบ 500 ตว ( กาหนดให e4 54.6 ) ( ตอบ 27,300 ตว )

(3) การเตบโตของจานวนเชอแบคทเรยซงเปนไปอยางตอเนองตลอดเวลา มสตรดงน

nn(t) = n0ertPPP

เมอ n(t) แทน จานวนประชากรเมอเวลาผานไป t n0 แทน จานวนประชากร ณ จดเรมตน r แทน อตราเตบโตของจานวนประชากรตอเวลา t แทน เวลา


Ex1. จงหาระดบความเขมของเสยงเครองบนไอพน เมอกาลงบนขนสทองฟามความเขมเสยง 100 วตต / ตารางเมตร วธทา

(4) การวดระดบความเขมเสยง เปนการวดความเขมเสยงโดยเทยบกบความเขมเสยงท หคนปกตเรมไดยนเปนเกณฑอางอง ระดบความเขมเสยง มสตรดงน

= 10 log0I

I

เมอ แทน ระดบความเขมเสยงมหนวยเปนเดซเบล

I แทน ความเขมเสยงทตองการวด

I 0 แทน ความเขมเสยงทหคนปกตเรมไดยน

ซงเทากบ 10–12 วตต / ตารางเมตร


Ex1. กลมตวอยางเลอดของคนคนหนงมความเขมขนของประจไฮโดรเจน เทากบ 3.1610– 8 โมล จงหาคา pH พรอมทง พจารณาความเปนกรด – ดาง ของกลมตวอยางเลอดน ( ประมาณ 7.5 เปนดาง )

วธทา

(5) ระดบความเปนกรด – ดางของสารละลายมสตรดงน pH = – log [ H+]P

โดยสารละลายทมคา pH = 7 เปนสารละลายทมความเปนกลาง

คา pH 7 เปนสารละลายทมความเปนกรด , คา pH 7 เปนสารละลายทมความเปนดาง

เมอ pH แทน ระดบความเปนกรด – ดางของสารละลาย [H+] แทน ความเขมขนของประจไฮโดรเจนในสารละลาย

1 ลตรมหนวยเปนโมล


1. จานวนแบคทเรยในการเพาะเชอจลนทรย ใน t ชวโมง มสตร n(t) = 500e0.45t

1) จงหาจานวนแบคทเรยเมอเวลาผานไป 3 ชวโมง ( ตอบ 1,929 ตว )

2) เปนเวลานานกชวโมง จงจะมจานวนแบคทเรย 10,000 ตว ( ตอบ 7 ชวโมง )

2. ในป พ.ศ. 2541 จานวนประชากรของจงหวดหนงเทากบ 112,000 คน และมอตราการเตบโตเทากบ 4% ตอป 1) จงหาจานวนประชากรของจงหวดหนงนเมอเวลาผานไป t ป ( ตอบ 112,000(1.04)t )

2) จงหาจานวนประชากรโดยประมาณหลงจากเวลาผานไป 3 ป ( ตอบ 126,000 คน )

3) จงหวดน จะมจานวนประชากร 200,000 คน เมอไร ( ตอบ พ.ศ. 2556 )

3. ธาตซเซยม – 137 มครงชวต 30 ป ถาธาตซเซยมทเปนกลมตวอยางจานวน 10 กรม 1) จงหาปรมาณของซเซยมทเหลอ เมอเวลาผานไป t ป ( ตอบ 10e–0.0231t )

2) จงหาปรมาณของซเซยมทเหลอเวลาผานไป 80 ป ( ตอบ 80 ป )

3) จะใชเวลานานกป จงจะมซเซยมเหลออย 2 กรม ( ตอบ 70 ป )

4. ถาสารกมมนตภาพรงสจานวน 250 มลลกรม สลายตวเหลออย 200 มลลกรม ในเวลา 48 ชวโมง จงหาครงชวตของสารน

( ตอบ 149 ชวโมง )

5. ถาคา pH ของนมชนดหนงเทากบ 6.5 จงหาความเขมขนของประจไฮโดรเจน H+ ในนมน ( ตอบ 3.16210–7 โมล ) 6. ถาระดบความเขมเสยงของรถไฟฟาเทากบ 98 เดซเบล รถไฟฟานจะมความเขมเสยงกวตตตอตารางเมตร

( ตอบ 6.3110–3 วตต / ตารางเมตร )



Note.


1. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ฟงกชน xay จะตดแกน y ทจด ( 1,0 ) เสมอ

2. ถา a 1 และ n เปนจานวนเตม ซง na = 1 แลว n = 0

3. ถา a 1 แลวเซตคาตอบของสมการ xa = x จะเทากบ

4. ถา a 1 และ 0 b 1 แลว xx ab สาหรบจานวนจรง x ทกจานวน 2. ขอใดตอไปนไมถกตอง ( ตอบ 4 )

1. ถา a 1 แลว xay เปนฟงกชนลด 2. โดเมนของฟงกชนลอการทมเปนเซตของจานวนจรง 3. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเปนฟงกชน 1 – 1 จากเซตจานวนจรงบวกไปยงเซตของจานวนจรง

4. กราฟของ y = xlog2 เหมอนกบกราฟของ x = y2 3. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 )

1. 21

8 3/1)4(log 32

2. คาตอบทงหมดของสมการ 0)x2x(logloglog 2234 อยในชวง ( 2,4 )

3. )baln(10blogalog elog10

elog10

เมอ a 0 และ b 0

4. aaalog8 a = 7 เมอ a 1 และ a 0 5. พจารณาขอความตอไปน

ก. เซตคาตอบของอสมการ 161

21 x2x 2

คอ ( –,–4 )( 2, )

ข. เซตคาตอบของอสมการ 0)15x2(log

21 คอ ( 7.5 , 8 ) ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ถกเฉพาะขอ ก. 2. ถกเฉพาะขอ ข. 3. ถกตองทง 2 ขอ 4. ผดทง 2 ขอ

แบบฝกหดทายบท


6. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 01232 1x21x2 B เปนเซตคาตอบของสมการ 1)1x(log)3x(log 55

ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) 1. A และ B มจานวนสมาชกเทากน 2. BA ไมใชเซตวาง 3. ผลบวกของทกสมาชกใน BA เทากบ 3 4. ถกทกขอ 7. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. กราฟของ x2y และ 2xy ตดกน 1 จดเทานน 2. กราฟของ xlogy ตดแกน x มากกวา 1 ครง

3. กราฟของ x2y และ 33y x ไมตดกน

4. กราฟของ )xlog(y เมอ x 0 ไมตดแกน x 8. กาหนดให A = เปนเซตคาตอบของสมการ 52log4xlog x2

B = เปนเซตคาตอบของสมการ 1622x

C = เปนเซตคาตอบของสมการ log ( x–1 ) + log ( x+1 ) = log 3 ดงนน C)BA( เทากบเซตใดตอไปน ( ตอบ 2 ) 1. { –2,2 } 2. { –2,16 } 3. { 2,16 } 4. { –2,2,16 } 9. จงพจารณาขอตอไปน

ก. 32 )1log(sin)1log(sin

ข. ถา a 1 แลว 32 aa ขอสรปใดถกตอง ( ตอบ 1 ) 1. ถกเฉพาะขอ ก. 2. ถกเฉพาะขอ ข. 3. ถกตองทง 2 ขอ 4. ผดทง 2 ขอ


10. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. xlog2xlog 2 เสมอ เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ ข. ถา log xy = k , x และ y จะตองมคาเปนบวกเสมอ

ค. 222log8 2 = 7 ขอสรปใดถกตอง ( ตอบ 1 ) 1. ถก 1 ขอ 2. ถก 2 ขอ 3. ถก 3 ขอ 4. ผดทง 3 ขอ 11. ถา A เปนผลคณของคาตอบทงหมดของสมการ

xlog11xlog6xlog 3xlog

3xlog

33

x3log3 – 6 = 0

คาของ log3A + log9A + log27A คอขอใด ( ตอบ 4 ) 1. 3 2. 6 3. 9 4. 11 12. ฝากเงน 8,000 บาท ไวทธนาคารแหงหนงไดดอกเบยทบตนรอยละ 8 ตอป ฝากไวกปจงจะไดเงนรวม 10,080 บาท

โดยใชสตร A = t

100r

1

โดยท A แทน เงนรวม P แทน เงนตน R แทน อตราดอกเบยตอป t แทน เวลาเปนป

กาหนด log 8 = 1.0334 และ log 100.8 = 2.0034 ( ตอบ 2 ) 1. 2 ป 2. 3 ป 3. 4 ป 4. 5 ป 13. ประชากรอาเภอหนงมจานวนของประชากรเทยบเวลาตามสมการ P = P0e

kt เมอ P เปนจานวนประชากร ในเวลา t ป , P0 เปนจานวนประชากรเมอ t = 0 , e และ k เปนคาคงตว ถาหากประชากรอาเภอนมจานวน 9,000 คน โดยเมอ 10 ปทแลวมอย 3,000 คน ดงนนอก 20 ปขางหนาจะมประชากรกคน ( ตอบ 2 )

1. 18,000 2. 81,000 3. 810,000 4. 27,000


Note.


ขอสอบ PAT 1 ( พ.ศ. 2552 – ปจจบน ) ( PAT 1’52 ม.ค. ) 1. ถา 4x – y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (C) 1. –2 2. –1 3. 1 4. 2 2. ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยในชวงใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (C) 1. [ 0,4 ) 2. [ 4,8 ) 3. [ 8,12 ) 4. [ 12,16 )

3. กาหนดสมการ x

254

+

x

259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาเดยว

ขอใดตอไปนถก ( ตอบ 3 ) (A) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข.ผด


( PAT 1’52 ก.ค. ) 4. คาตอบของสมการ 149log4log 22

xx อยในชวงใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (C) 1. [ –10,–6 ] 2. [ –6,–2 ] 3. [ –2,2 ) 4. [ 2,6 ) 5. กาหนดให 0, yx ถา xy yx และ xy 5 แลว คาของ x อยในชวงใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B) 1. [ 0,1 ) 2. [ 1,2 ) 3. [ 2,3 ) 4. [ 3,4 )

6. กาหนดให a , b , c 1 ถา logad = 30 , logbd = 50 และ logabcd = 15 แลวคาของ logcd เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 ) (B)

1. 75 2. 90 3. 120 4. 150


( PAT 1’52 ต.ค. )

7. ถา x 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B) 1. [ 0,1 ) 2. [ 1,2 ) 3. [ 2,3 ) 4. [ 3,4 ) 8. กาหนด logyx + 4logxy = 4 แลว logyx

3 มคาเทาใด ( ตอบ 6 ) (B)

9. รากทมคานอยทสดของสมการ 2log( x–2 ) 2 log( x–3 ) = 2 log2 มคาเทาใด ( ตอบ 4 ) (C)


( PAT 1’53 ม.ค. )

10. กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงบวกและ y 1 ถา logy2x = a และ 2y = b แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 ) (B)

1. 21

( log2b )a 2. 2( log2b )a 3. 2a

( log2 b ) 4. 2a( log2 b )

11. เซตคาตอบของสมการ 72x + 72 23x+3 + 32x+2 เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (A) 1. ( log87,log98 ) 2. ( log98,log89 ) 3. ( log89,log78 ) 4. ( log910,log89 )


12. ถา สมการ x

41

+

1x

21

+ a = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวก

แลวคาของ a ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (A)

1. ( –,–3 ) 2. ( –3,0 ) 3. ( 0,1 ) 4. ( 1,3 )

13. กาหนดให A = 7 77 , B = 777 , C = 777 และ D = 7777 ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) (C)

1. B A C D 2. B C A D 3. C B D A 4. C A D B

14. ถา S = { x R 1x3 + 1x = 1x7 } เมอ R แทนเซตของจานวนจรง แลว ผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (C)


( PAT 1’53 ก.ค. ) 15. พจารณาขอความตอไปน

ก. 2/32 3/43 ข.

83

log2

21

log3

ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 ) (B) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด 3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

16. ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ logx + log( x–1 ) = log( x+3 )

แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AB เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


17. กาหนดให x เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ

2xx5 93 = 27 และ

y = )7)(log5)(log3(log)7)(log5)(log3(log

864

642

คาของ xy เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B)

1. 81

2. 81

3. –27 4. 27

18. กาหนด a = 248 , b = 336 และ c = 524

ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 ) (C)

1. a1

c1

b1

2. c1

b1

a1

3. c1

a1

b1

4. b1

c1

a1

19. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา S = { xR 1x + 1x3 = 1x7

และ T = { yR y = 3x + 1 , x S } แลวผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด ( ตอบ 2 ) (B)


( PAT 1’53 ต.ค. ) 20. ถา a , b และ c เปนรากของสมการ x3+kx2–18x+2 = 0 เมอ k เปนจานวนจรง

แลว log27

c1

b1

a1

เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B)

1. 91

2. 31

3. 32

4. 1

21. เซตคาตอบของสมการ 23log x – log27x

3 = 6 ตรงกบเซตคาตอบของสมการในขอใดตอไปน ( ตอบ 1 ) (B)

1. 322/13/14/1 29x244x9

1logloglog

= 0

2. 2log2( x+1 ) – log2( x2–14x+41 ) = 1

3. 5x8x1 23 + 5x8x2 2

3 = 28

4. log3x3 + log273x+34

= 0



ถา A = { xR 2x2 – 2x + 9 – 2 3xx 2 = 15 } แลวผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ( ตอบ 13 ) (B) 23. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ

ถา B = { xR log2( –x2+7x–10 ) + 3 17xcos 2 π = 1 } แลวผลบวกของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด ( ตอบ 3 ) (A)


24. ให R แทนเซตของจานวนจรงและให

C = { xR 1x4x322

7x11x3 = 1 } จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (A) 25. กาหนดให a , b , c และ d เปนจานวนจรงทมากกวา 1

ถา ( logba )( logdc ) = 1 แลว

คาของ )1blog()1alog()1dlog()1clog( adcb dcba เทากบเทาใด ( ตอบ 1 ) (B)


( PAT 1’54 ม.ค. )

26. ถา A แทนเซตคาตอบของ 2( log3x–1 ) 21

+ log31 x3 +4 0 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( ตอบ 4 ) (B)

1. ( 0,3 ) 2. ( 1,4 ) 3. ( 2,5 ) 4. ( 2,9 ) 27. ให R แทนเซตของจานวนจรง

A =

11x27x3x2

41

21

Rx

2

B =

01x

5x6xRx

2

BA เปนสบเซตในขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B)

1. { xR –1 x 0 } 2. { xR –1 x 2 }

3. { xR 0 x 1 } 4. { xR 0 x 3 }


28. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ

ถา A = { xR 32x – 34(15x – 1 ) + 52x = 0 }

และ B =

x21

16log1255logRx 5x1

5

แลว จานวนสมาชกของเซต AB เทากบเทาใด ( ตอบ 4 ) (B) ( PAT 1’54 ต.ค. )

29. กาหนดให A =

32222Rx 2

1x2xx2 เมอ R แทนเซตของจานวนจรง

จานวนสมาชกทเปนจานวนเตมของเซต R – A เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


( PAT 1’55 ม.ค. ) 30. ให R แทนเซตจานวนจรง

ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ 3x23x5 2

53

5x

35

แลว A เปนสบเซตขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B)

1. { xR ( 5x–1 )( x–3 ) 0 } 2. { xR ( 4x–1 )( x–4 ) 0 }

3. { xR ( 2x–1 )( x–5 ) 0 } 4. { xR x–1 2 }

31. กาหนดให x 1 , a 1 และ c 1 พจารณาขอความตอไปน ก. ถา b2 = ac แลว ( logax )( logbx–logcx ) = ( logcx )( logax – logbx )

ข. ถา c b + 1 และ a2 + b2 = c2 แลว log( c+b )a + log( c–b )a = 2( log( c+b )a )( log( c-b )a ) ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 ) (A)

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด


32. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ log 51x = log x

และ B เปนเซตคาตอบของสมการ log2( 3x ) + log4( 9x ) + log8( 27x ) = 3 + 2 log64(x)

ผลคณของสมาชกทงหมดในเซต AB เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B)

1. 9

12 2.

916

3. 9

32 4.

996

33. กาหนดให a = 347 , b = .....2222 และ c = 32 ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 ) (B)

1. c1

a1

b1

2. c1

b1

a1

3. b1

a1

c1

4. b1

c1

a1


( PAT 1’55 ต.ค. ) 34. ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ

2x 2)2x( 10x2)2x( เมอ x 2

แลว A เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B) 1. ( 2,3 ) 2. ( 3.5,5 ) 3. ( 2.5,4 ) 4. ( 4,7 )

35. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ )x2()x21( 93 = 244 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน ( ตอบ 1 ) (B)

1. ( –1,4 ) 2. ( –2,0.5 ) 3. ( 0,5 ) 4. ( –3,0 )


36. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 1x3610x31x322x3 = 14

และ B เปนเซตคาตอบของสมการ 2x2 – 6x + 11 + 2 5x3x 2 = 25

ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AB เทากบเทาใด ( ตอบ 11 ) (B)

37. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ x2log4( x

2+2x–1 ) + x31log ( x2+2x–1 ) = 2x – x2

และ ให B = { x2 x A } ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด ( ตอบ 10.5 ) (A)


38. ถา x , y และ z เปนจานวนเตมบวกทสอดคลองกบ x + y + z = 16

zxy = )zx(2x และ y3 = )9(3 z แลวผลคณของ xyz เทากบเทาใด ( ตอบ 108 ) (B)

( PAT 1’56 ม.ค. ) 39. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ logx

1x2

1

แลว A เปนสบเชตในขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (A)

1. { xRx2+2x–3 = 3 – 2x – x2 }

2. { xR 2x+5 9 }

3. { xR0 x+3 5 }

4. { xR x3 3x2 }


40. กาหนดให A = 3 57 , B = 3 75 , C = 3 75 และ D = 3 57 ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) (B)

1. D C A B 2. A C B D

3. A B D C 4. C A D B 41. ถา x แลว y เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ

AA y)2x( 25 = (16)64 เมอ A = xlogylog

แลว คาของ x + y เทากบเทาใด ( ตอบ 20 ) (A)



ถา A = { xR )1x(log)1x(log 3 33 = 1 } และ

B = { xR 1x + 1x = 2 }

แลวสามเทาของผลคณของสมาชกในเซต AB ทงหมดเทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (B) 43. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ

1x4x2

xx451x4x1 2

2

255 = 126

ผลบวกของสมาชกในเซต A ทงหมดเทากบเทาใด ( ตอบ 4 ) (A)


( PAT 1’56 ธ.ค. ) 44. ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A = { xRx2+ 4x3x 2 3x + 2 } แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (B)

1. ( –,2 )( 3,4 ) 2. ( –,0 )( 3, ) 3. ( –,–1 )( 4, ) 4. ( –1, )


45. ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ

22 xx59xx314 = 1

แลวคาของ 12

21

x2x3x9x124

เทากบเทาใด ( ตอบ 4 ) (B)


46. กาหนด ให A แทนเซตคาตอบของสมการ

)93(log x2x23

2 =

3log1

xx 2

และ ให B = { x2x A } ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (B)


( PAT 1’57 เม.ย. ) 47. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log2x + log4x + log8x + log16x – 2log64x = 7 แลว x สอดคลองกบสมการ x – 3 x = 4

(ข) ถา a , b และ c เปนจานวนทสอดคลองกบ ( 1–a )log32 = 2 – log35 ( 3+b )log52 = 2 – log53 และ ( 3+c )log72 = 4log73 – log75 แลว 2a + b – c = 2 + 5log25 – 9log23

ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 ) (B) 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


48. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ

log2( x+7 )2 + 4log4( x–3 ) = 3log8( 64x2 – 256x +256 ) ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A เทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (B)


49. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log6(34x+29x ) = x + log65

และให B แทนเซตคาตอบของสมการ x + 2x1 = 1 + 2x 2x1

จานวนสมาชกของเซต AB เทากบเทาใด ( ตอบ 3 ) (B)


( PAT 1’57 พ.ย. ) 50. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกทมากกวา 1 และสอดคลองกบ

loga4 + logb4 = 9logab2

คามากทสดของ loga(ab5) + logb

ba2

เทากบเทาใดตอน ( ตอบ 2 ) (B)

1. 13.5 2. 11.5 3. 9 4. 7

51. ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกและสอดคลองกบสมการ

ylogxlog)yx(log2

21

212 = 0

แลว 1yx

2

เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 4 ) (B)

1. 2 2. 5 3. 10 4. 17


52. ให a และ b เปนจานวนจรง โดยท a 0 และ b 1

ถา ab = ba และ b = ab3a แลว 20a + 14b เทากบเทาใด ( ตอบ 66 ) (C)

53. ให S แทนเซตคาตอบของสมการ 2x44x26x23 = 10 – 3x

ถาผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต S เทากบ ba

เมอ ห.ร.ม ของ a และ b เทากบ 1 แลว a + b เทากบเทาใด ( ตอบ 11 ) (A)


54. ให A แทนเซตคาตอบของสมการ ( 4x + 2x – 6 )3 = ( 2x – 4 )3 + ( 4x – 2 )3

ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A เทากบเทาใด ( ตอบ 3.5 ) (B) ( PAT 1’58 ม.ค. ) 55. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบระบบสมการ

....2log2log2log 8a

4aa =

31

และ 2logblog b24 = 8

พจารณาขอความตอไปน วาถกหรอผด ( ตอบ 3 ) (B) (ก) a + b = 102 (ข) alogb = 16

ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


56. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ )4x11x6(log1x4x4log 2n

2m = 4

เมอ m = 4x3 และ n = 2x + 1 และ ให B = { 8x2x A } ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด ( ตอบ 4.5 ) (A)

57. ให A แทนเซตของ ( x,y ) ทงหมด ทสอดคลองกบระบบสมการ

ylog241

x2 = 1x421

ylog)2(981

x2 = ylog9 2

21

และ ให B =

A)y,x(yx

คานอยทสดของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด ( ตอบ 4 ) (A)


58. ให S แทนเซตคาตอบของสมการ x + 3 2x2x3 = 3 + 2 1x – 2 x2 ถา a และ b เปนคาสงสด และ คาตาสดของสมาชกในเซต S ตามลาดบ

แลว คาของ 25b + 58a เทากบเทาใด ( ตอบ 112 ) (A)

< expo & log > · 2016-04-07 · 2 (5) ( ab ) (6) (7) a ex1. กําหนดให ้...

Documents