Теория автоматического управления 2...

http://cifra.studentmiv.ru/tau-2-6-teoriya/

© И.В. Музылёва, 2014 год Страница 1

Теория автоматического управления

2 семестр Тема 6

Частотный критерий Михайлова

Теория

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Данная группа критериев позволяет судить об устойчивости САУ по виду

их частотных характеристик. Они являются графоаналитическими и широко

применяются по следующим причинам:

позволяют оценить устойчивость САУ даже по экспериментальным ча-

стотным характеристикам, когда уравнение динамики САУ неизвестно;

- легко применимы для САУ высоких порядков;

- имеют простую геометрическую интерпретацию;

- имеют большую наглядность.

В основе частотных критериев лежит Принцип аргумента.

Пусть дан некоторый полином n-й степени

F(p)= 01

1

1 ... apapapa n

n

n

n

.

В соответствии с теоремой Безу его можно представить в виде:

F(p)= ))...()(( 21 nn ppppppa , (1)

где iii jp - корни уравнения F(p)=0 – рис. 1, а.

На комплексной плоскости каждый корень рi может быть изображен век-

тором, проведенным из начала координат в произвольную точку на плоскости

(рис. 1, б). Сомножитель (р-р i ) соответственно является геометрической раз-

ностью вышеуказанных векторов (рис. 1, в). А его модуль и агрумент рассчи-

тываются как

arctgPP ii arg;22 При замене р на j конец элемен-

тарного вектора (j-p i ) будет на мнимой оси в точке с координатами (0, j)

(рис.1, г). Соответственно, выражение (1) преобразуется к виду

F(j)= ))...()(( 21 nn pjpjpja . (2)




Данное выражение - это вектор, равный произведению элементарных век-

торов на действительный множитель n . Модуль этого вектора равен произве-

дению элементарных векторов

F(j) = nn pjpjpja ...21 ,

а фаза соответственно будет равна сумме фаз элементарных векторов:

arg)( )arg(...)arg()( 21 npjpjpj .

1i

ipi

ipargip

а)

p

1

б)

1

p

ipipp

в)

ip

jipj

1

г)

+j +j

+j +j

Рис. 1. К принципу аргумента

Рассмотрим поворот каждого элементарного вектора при изменении от

-до + . Очевидно, что конец элементарного вектора (j-p i ) скользит по

мнимой оси снизу вверх. При этом если p i - левый корень, то вектор (j-p i )

поворачивается на угол +, а если правый, то на угол - (рис. 2, а и б).

Предположим, что полином F(p) имеет m правых корней и (n-m) левых.

Тогда при изменении частоты от -∞ до +∞ изменение аргумента, равное

сумме углов поворотов элементарных векторов, будет равно

)( jArgF (n-m)-m=n-m-m=(n-2m) . (3)




Отсюда правило: изменение аргумента F(j) при изменении частоты

от -∞ до +∞: равно разности между числом левых и правых корней уравне-

ния F(p)=0, умноженной на .

1

+j

ip

jω1

jω2

jω3

j∙(-∞ )

j∙(+∞ )

jω3-pi

jω2-pi

jω1-pi

j∙(-∞)-pi

j∙(+∞)-pi

1

+j

ip

jω1

jω2

jω3

j∙(-∞ )

j∙(+∞ )

jω3-pi

jω2-pi

jω1-pi

j∙(-∞)-pi

j∙(+∞)-pi

а б

Рис. 2. Поворот элементарного вектора при изменении частоты от -∞ до +∞:

а – для левого корня; б - для правого корня

Очевидно, что при изменении от 0 до + изменение аргумента будет

вдвое меньше:

2)( 0

jArgF (n-m) . (4)

Выражения (3) и (4) и являются основой частотных критериев.

Критерий устойчивости Михайлова

Сформулирован в 1938г. Он является геометрической интерпретацией

принципа аргумента. Данный критерий позволяет судить об устойчивости си-

стемы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Ми-

хайлова. Она получается следующим образом.

Пусть дано характеристическое уравнение САУ

0... 01

1

1

apapapa n

n

n

n . (5)

Запишем характеристический полином




М(р)= 01

1

1 ... apapapa n

n

n

n

. (6)

Подставим р=j, получим комплексный полином

М(j)= 01

1

1 )(...)()( ajajaja n

n

n

n

=X()+jY()=B()e )(j , (7)

где X()= ...4

4

2

20 aaa - действительная функция Михайлова,

Y()= ...5

5

3

31 aaa - мнимая функция Михайлова.

Для них найдем дополнительные функции:

B()= )()( 22 YX -

модуль комплексного полинома;

)(

)()(

X

Yarctg -

аргумент комплексного полинома.

При изменении частоты от 0 до + вектор D(j) будет своим концом

описывать на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годо-

графом Михайлова.

Годограф Михайлова – это геометрическое место конца вектора, соответ-

ствующего комплексному полиному, полученному из характеристического

уравнения при изменении частоты от 0 до + .

В соответствии с принципом аргумента (4) угол поворота вектора D(j)

при =0 до + равен

2)( 0

jArgF (n-2m).

Отсюда найдем число правых корней m полинома М(р):

2)(

jArgМ n-m;

m=

)(2

jArgMn

. (9)

Очевидно, что m=0 только тогда, когда

2)(

jArgМ n . (10)




Иными словами, у характеристического уравнения не будет правых кор-

ней при выполнении этого условия.

Чтобы среди оставшихся корней не было корней, лежащих на мнимой

оси, нужно чтобы D(j) 0 при =0…+ .

Проанализируем выражение (8). Для устойчивых САУ все коэффициенты

характеристического уравнения положительны ( 00 а , 01 а ,…, 0nа ) и

начальная точка годографа Михайлова D(0)= a0 >0 лежит на вещественной по-

ложительной полуоси.

По мере роста каждому пересечению мнимой оси будет соответствовать

корень полинома

X()=0. (11)

Каждому пересечению действительной оси – корень полинома

Y()=0. (12)

Чтобы годограф Михайлова прошел n квадрантов, т.е. выполнилось

условие (10), нужно, чтобы:

- корни полиномов X() и Y() чередовались по величине и были вещественны-

ми числами (т.е. «не перескакивали» на следующую по очереди полуось, что и

происходит при умножении на j);

- при этом сумма корней полинома (11) и (12) равняется, естественно, порядку

характеристического уравнения n;

- при =+ годограф Михайлова должен уходить в бесконечность в n-м квад-

ранте (это следует из выражения (8)).

Для системы первого порядка (n=1)

Для n=1 М(р)= 01 apa ; M(jω)= 01 aja .

X(ω)= 0a - не зависит от w; Y(ω)=a1∙ω - линейная функция (рис. 3).

Для устойчивой САУ параметры a1>0 и a0>0. Поэтому графики X(ω) и

Y(ω) располагаются в первом квадранте и идут снизу вверх (рис. 3, а). Годо-

граф пойдет параллельно мнимой оси на расстоянии 0a от нее (рис. 3, б).




X, YY(ω)

X(ω)

a1>0

a0>0

ω

jY(ω)

X(ω)

a0

а б

Рис. 3. Критерий Михайлова для устойчивой системы 1-го порядка:

а – действительная и мнимая функции Михайлова,

б – годограф Михайлова

Для неустойчивой САУ возможны следующие варианты:

При a1<0 и a0>0 (рис. 4) годограф Михайлова пойдет по часовой стрелке

(т. е. в отрицательном направлении).

X, Y

Y(ω)

X(ω)

a1<0

a0>0

ω

jY(ω)

X(ω)a0

Рис. 4. Критерий Михайлова для неустойчивой системы 1-го порядка

При a1<0 и a0<0 (рис. 5) годограф Михайлова начинается на отрицательной

полуоси, идет в отрицательном направлении.




X, Y

Y(ω)

X(ω)a1<0

a0<0

ω

jY(ω)

X(ω)a0<0


При a1>0 и a0<0 (рис. 6) годограф начинается на отрицательной полуоси,

идет в положительном направлении.

X, Y

Y(ω)

X(ω)a1<0

a0>0

ω

jY(ω)

X(ω)

a0>0


Для системы второго порядка (n=2)

Характеристический многочлен

01

2

2)( apapapM ,

кривая Михайлова 01

2

2)( ajaajM . Мнимая функция 1)( aY - как в

случае n=1. Действительная функция 0

2

2)( aaX изменяется по сравнению

с системой первого порядка. Найдем, при какой частоте вещественная функ-

ция равна нулю, т. е. где годограф пересекает мнимую ось. Для искомой ча-

стоты 0)( X . Данное условие выполняется, если 00

2

2 aa , следователь-




но, 2

20 aa . Отсюда 2

0

a

a . Поскольку построение осуществляется только

при положительных частотах, оставляем только одно решение 2

0

a

a (рис. 7).

Будем рассматривать только случай, когда выполняется необходимое

условие устойчивости - все параметры системы положительны: 02 a , 01 a ,

00 a .

X, Y

Y(ω)

X(ω)

a0

ω

jY(ω)

X(ω)a02

0

a

a

2

0

a

a

1

21

2

Р

ис. 7. Кривые Михайлова устойчивой САУ 2-го порядка

Действительная функция )(X пересекает ось частот на значении 2

0

a

a ,

при этом 2

011

2

0 )(a

aaa

a

aY . Таким образом, точка 2 имеет координаты

);0(2

01

a

aa .

Таким образом, годограф Михайлова при n=2 пересекает оси в двух точ-

ках: 1 и 2 и соответственно )(X и )(Y имеют на отрезке 0 два кор-

ня.

Для системы третьего порядка (n=3)

Полином Михайлова в этом случае выглядит как

01

2

2

3

3)( apapapapM .

Функция Михайлова




01

2

2

3

3)( ajaajajM .

Здесь действительная функция 2

30)( aaX - как в случае n=2; мнимая

функция Михайлова 0)( 1

3

3 aaY . Если 01 , получается точка 1 и

2

31 aa , следовательно,3

1

a

a . Оставляем только положительный корень

(рис. 8)3

1

a

a.

Вновь рассмотрим случай, когда все коэффициенты характеристического

уравнения положительны: 03 a , 02 a , 01 a , 00 a , а 0 .

При этом 02)( aX - точка 1 на рис. 53.

3

120

3

12)(

a

aaa

a

aXX

- точка 2 на рис. 8.

Очевидно, что функция )(Y должна иметь максимум на участке

3

1;0a

a.

03 1

2

3 aad

dY

, когда

3

1

3

1

3

1 58,03

1

3 a

a

a

a

a

a .

Таким образом, частота, при которой )(Y имеет максимум, зависит от

соотношения коэффициентов 1a и 3a , может располагаться и левее, и правее

относительно частоты 2

0

a

a , когда 0)( X . Схема и результаты моделиро-

вания для примера системы 3 порядка представлены на рис. 8.

3

11

3

3

13

3

1max

3

1

3

1

a

aa

a

aa

a

aY

.

Очевидно, что корни )(X и )(Y чередуются: 1 и 3 – корни мнимой кри-

вой, 2 – корень вещественной.

Поскольку годограф Михайлова устойчивой САУ движется против часо-

вой стрелки при )(X =0 и )(Y ≠0.




Рис. 8. Кривые Михайлова устойчивой САУ 3-го порядка

При этом соблюдаются условия:

возрастаетXетd

dXеслиY

убываетXетd

dXеслиY

i

i

i

i

)(..,0

)(,0)(

)(..,0

)(,0)(

Здесь 0)( iX .

Так, для n=4 вид кривых Михайлова для устойчивой САУ: количество пе-

ресечений с осями равно 4 и корни мнимой и вещественной функций череду-

ются. Схема и результаты моделирования для примера системы 4-го порядка

приведены на рис. 9, годограф в более крупном масштабе – на рис. 10.

Формулировка критерия: для того, чтобы САУ была устойчива, необ-

ходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении

частоты ω от 0 до , начинаясь при ω=0 на вещественной положи-

тельной полуоси, обходила только против часовой стрелки последова-

тельно n квадрантов координатной плоскости, нигде не проходя через




начало координат. Здесь n – порядок характеристического уравнения си-

стемы.

Рис. 9. Кривые Михайлова устойчивой САУ 4-го порядка

Рис. 10. Годограф Михайлова устойчивой САУ 4-го порядка




Таким образом, для устойчивых САУ годограф Михайлова всегда имеет

плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в

том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени харак-

теристического уравнения (при n=5 это, естественно, будет 1-й квадрант – так,

как показано на рис. 11).

Рис. 11. Годограф Михайлова устойчивой САУ 5-го порядка

На рисунке 12 приведен годограф неустойчивой системы – начинается на

отрицательной полуоси и не соблюдается порядок обхода квадрантов.

Рис. 57. Годограф Михайлова для неустойчивой САУ 5-го порядка




Пример по критерию Михайлова

Анализ устойчивости можно проводить только по анализу корней веще-

ственной и мнимой функций Михайлова. Например, для САР, представленной

на рис. 13, нужно определить, устойчива ли она при параметрах k1=1, k2=2,

k3=3, T1=0,1, T2=0,2.

Рис. 13. Функциональная схема САУ для примера

Найдем передаточную функцию замкнутой САУ:

32121

321

21

321

3

2

2

1

1

)1)(1(

)1)(1(1

11)(

kkkppTpT

kkk

ppTpT

kkk

p

k

pT

k

pT

k

pW

.

Соответственно, характеристическое уравнение имеет вид

;

.063,002,0

0

;0)1)(1(

23

321

2

1

2

2

3

21

32121

ppp

kkkppTpTpTT

kkkppTpT

(13)

Действительная характеристика Михайлова: 23,06)( X ;

.0..5,4

;5,43,0

6

;03,06

2,1

2

кт

Мнимая характеристика Михайлова 302,0)( Y . Найдем пересечение

с осью

Y(ω)=0, когда ω-0,02ω3=0;

;01




.7

;7

;5002,0

1;002,01

2

3,2

2

2

Расположим корни X(ω) и Y(ω) в таблице

1 2 3

Корни Y(ω) 0 7

Корни X(ω) 4,5

Корни чередуются, следовательно, САУ с таким характеристическим

уравнением устойчива.

Контрольное задание

Исследовать систему на устойчивость по критерию Михайлова для ПОС

и ООС. Смоделировать годограф Михайлова в VisSim. Варианты функцио-

нальной схемы САУ приведены в прил. 2.

Пример решения

Схема исследования приведена на рис. 43 в задании по критерию Гурви-

ца (стр. 49). Там же приведен вывод характеристического уравнения.

Для отрицательной обратной связи

Характеристическое уравнение:

8p3 + 14p

2 + 7p + 9 = 0.

Многочлен Михайлова:

M(p)= 8p3 + 14p

2 + 7p + 9;

M(jω)= 8 (jω) 3

+ 14 (jω) 2

+ 7(jω) + 9 = -8jω

3 - 14ω

2 + 7jω

+ 9 ;

X(ω) = 9 - 14 ω

2 - действительная характеристика Михайлова;

Y(ω) = -8ω

3 +7ω

- мнимая характеристика Михайлова;

6422322 648420381)87()149()( B ;

2

3

149

87)(

arctg .

Найдем корни действительной характеристики –

9 - 14 ω 2

=0;




9 = 14 ω 2

;

8,014

92,1 ;

ω=0,8, так как ω=0 … +∞.

Мнимая характеристика Михайлова: . Ее корни

ω1=0;

7 - 8ω2 = 0, отсюда

94,08

73,2 .

Следовательно, ω=0,94, так как ω=0 … +∞.

Расположим корни и в таблице

1 2 3

Корни 0 0,94

Корни 0,8

Вывод: корни чередуются; годограф Михайлова начинается на веще-

ственной положительной полуоси и пересекает все 3 квадранта против часовой

стрелки, уходя в бесконечность именно в 3-м квадранте, также он не пересека-

ет начало координат – следовательно, система устойчива (рис. 14).

Рис. 14. Годограф Михайлова для системы с ООС




Для положительной обратной связи

Характеристическое уравнение:

8p3 + 14p

2 + 7p - 7 = 0.

Многочлен Михайлова:

M(p)= 8p3 + 14p

2 + 7p - 7;

M(jω)= 8 (jω) 3

+ 14 (jω) 2

+ 7(jω) + 9 = -8jω

3 - 14ω

2 + 7jω

- 7;

X(ω) = -7 - 14 ω

2 - действительная характеристика Михайлова;

Y(ω) = -8ω

3 +7ω

- мнимая характеристика Михайлова;

6422322 648424549)87()147()( B ;

2

3

147

87)(

arctg .

Найдем корни действительной характеристики –

-7 - 14 ω 2

=0;

- 7 = 14 ω 2

;

j71,014

72,1 .

Мнимая характеристика Михайлова: . Ее корни

ω1=0;

7 - 8ω2 = 0, отсюда

94,08

73,2 .

Следовательно, ω=0,94, так как ω=0 … +∞.

Расположим корни и в таблице

1 2 3

Корни 0 0,94

Корни 0,71j

Вывод: среди корней есть мнимые; годограф Михайлова начинается на

вещественной отрицательной полуоси и пересекает 2 квадранта – следователь-

но, система не устойчива (рис. 15).




Рис. 15. Годограф Михайлова системы с ПОС

Таким образом, вопрос об устойчивости системы решается на основе кри-

терия Михайлова, без решения дифференциальных уравнений, описывающих

динамику САУ.


Теория автоматического управления 2...

Documents