Балтийский государственный технический

университет «ВоенМех» имени Д. Ф. Устинова

Санкт – Петербург

2004г.

Кафедра A5 “Процессов управления”.

Курс «Динамика полета». (преподаватель: Санников В.А., 68 час., 6 и 7-й семестры)

Выполнил:

Лукьященко К. В.

Группа: А591.

Проверил:

Шалыгин А. С.

2

Содержание:

1. Математическая модель движения жесткого ЛА с переменной

массой.

§1. Координатные системы, используемые при описании движения ЛА. 3

Связь между координатными системами. Направляющие косинусы.

§2. Кинематические соотношения.

§3. Связь между углами, ориентирующими ЛА в различных системах 7

координат.

§4. Уравнение динамики. 8

§5. Уравнение вращательного движения. 9

§6. Учет вращающихся масс внутри ЛА в условиях вращательного движения. 10

§7. Силы и моменты, действующие на ЛА. Их проекции на соответствующие 11

оси.

§8. Математическая модель жесткого ЛА. 12

§9. Режимы полета. 14

§10. Учет влияния ветра в задачах динамики ЛА. 16

2. Математическая модель тела движущегося в воде:

§1.Движение жидкости, вызванное телом, двигающимся с любой переменной 18

скоростью.

§2. Определение гидродинамических реакций. 21

§3. Коэффициенты присоединенных масс. 22

3. Учет влияния подвижности жидкого наполнения в задачах динамики ЛА:

§1. Учет колебаний жидкого наполнения в уравнениях движения ЛА. 26

§2. Уравнение плоского движения. 27

4. Упругие колебания корпуса:

§1. Учет влияния упругих колебаний корпуса в уравнениях движения. 29

§2. Уравнение упругих поперечных колебаний и его решение. 30

§3. Определение свободных колебаний. 31

Список литературы. 32

3

1. Математическая модель жесткого ЛА с переменной массой.

Математическая модель состоит из следующих групп уравнений:

1. Уравнение динамики пространственного движения.

2. Кинематическое соотношение, определяющее линейные или угловые координаты

ЛА при известных линейных и угловых скоростях.

3. Геометрическое и в-т соотношение, определяющее связь между координатными

системами, углами, определяющими ориентацию ЛА в координатной системе,

явных выражений для сил и моментов, входящих в уравнение динамики.

4. Уравнения, определяющие закон изменения силы и моментов инерции ЛА в

зависимости от времени.

5. Уравнения, определяющие работу систем управления.

§1. Координатные системы, используемые при описании движения ЛА.

Связь между координатными системами. Направляющие косинусы.

Для описания движения ЛА введем в рассмотрение следующие системы координат. Все

системы декартовы, прямоугольные и правые.

1. Стартовая (земная) с. к. 00010 zyx

10 - точка старта.

00 yx - плоскость стрельбы.

0x - направлена по направлению стрельбы.

Система неподвижна и инерциальна.

2. Связанная с. к. 1110 zyx

0 – центр масс ЛА.

Система неизменно связана с ЛА, т. е. Во вращательном движении ЛА она имеет три

степени свободы и её вращение воспроизводит вращение ЛА.

11 xy лежит в плоскости симметрии ЛА.

3. Скоростная с. к. xyz0

x совпадает со ..МЦV

xy и лежит в плоскости симметрии 11 yx , данная система также имеет три степени

свободы, т.е. её ориентация определяется тремя углами относительно инерциальной

системы.

4. Полусвязанная с. к. 2220 zyx . (полуподвижная).

0 - центр масс ЛА.

2x - совпадает с 1x .

22 xy и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через ось ЛА. Система имеет две

степени свободы.

5. Полускоростная с. к. zyx0

x совпадает с x .

4

y перпендикулярна x и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через вектор

скорости. Система имеет две степени свободы.

Взаимная ориентация 000111 zyxиzyx определяется углами:

- угол рыскания. - угол тангажа. - угол крена.

Рис. 1.1.1.

С помощью таблицы направляющих косинусов можно определить взаимное

расположение связанной и земной с.к.

Таблица направляющих cos. 1.1.1.

1x 1y 1z

0x 11a 12a 13a 0i

0y 21a 22a 23a 0j

0z 31a 32a 33a 0k

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A ; 1 AAT;

332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

AT ; ,,A .

Имея эту таблицу мы можем перейти от одной с. к. к другой:

1331321310

1231221210

1131121110

zayaxaz

zayaxay

zayaxax

В матричном виде:

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

z

y

x

A

z

y

x

и

z

y

x

A

z

y

x

.

Чтобы найти направляющий cos необходимо единичный вектор первого направления

спроектировать на др. При этом, если угол между двумя направлениями не обозначен,

5

необходимо предварительно единичный вектор разбить на компоненты исх. системы и

каждый компонент спроектировать на нужное направление.

Применим это правило:

01

101011

90cossin

coscos

.coscos^cos

i

iixxa

90cossin

cossin

0coscos

coscossinsinsincos

1

101012

j

jiyxa

0cos

cossinsin

sincos

cossinsinsincos^cos

1

101013

k

kizxa

cossin

coscos

sin

23

22

21

a

a

a

sinsinsincoscos

sinsincossincos

sincos

33

32

31

a

a

a

Сумма попарных произведений элементов любой строки (столбца) по элементам другй

строки (столбца) = 0.

Взаимное расположение xyzиzyx 000 определяется углами:

- угол возвышения – это угол между вектором скорости и горизонтальной плоскостью.

- угол курса – угол между проекцией скорости на горизонтальную плоскость и

плоскостью стрельбы. c - скоростной угол крена.

рис.1.1.2.

Таблица направляющих cos. x y z

0x 11b 12b 13b

6

0y 21b 22b 23b

0z 31b 32b 33b

cB ,,

jiji ab

b

b

sin

coscos

21

11

z

y

x

B

z

y

x

0

0

0

;

0

0

0

1

z

y

x

B

z

y

x

;

332313

322212

312111

bbb

bbb

bbb

BT .

sincos

sin

coscos

310

210

110

VVV

VVV

VVV

bZ

by

bx

sin

1cos

Взаимное расположение xyzиzyx 111 определяется:

- угол атаки – угол между проекцией вектора скорости на плоскость симметрии и осью

ЛА.

- угол скольжения – угол между вектором скорости и плоскостью симметрии.

рис.1.1.3.

Таблица направляющих cos

1x 1y 1z

x 11c 12c 13c

y 21c 22c 23c

z 31c 32c 33c

,C

Запишем элементы матрицы:

sin90cos^cos

cossin^cos

1coscos^cos

113

112

111

zxc

yxc

xxc

7

0^cos

1cos

sin^cos

123

22

121

yzc

c

xyc

, - малые углы sin1coscossin ., а проекциями малых

величин можно пренебречь .0

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

C

Линейные преобразования: .;; 1

1

1

1

1

1

1

1

z

y

x

C

z

y

x

CC

z

y

x

C

z

y

xT

Запишем проекции V на оси 111 ,, zyx .

VVVCV

VVVCV

VVVCV

Z

y

x

sin

cossin

coscos

131

121

111

V

Vy1

V

VZ1 .

§2. Кинематические соотношения.

Кинематические соотношения определяют координаты центра масс и углы Эйлера.

10 - точка старта. Принимаем её неподвижной, тогда

dt

rdV .

000000 kzjyixr

При дифференцировании предыдущего уравнения получим:

sincos

sin

]coscos

0

0

0

0

0

0

VVdt

dz

VVdt

dy

VVdt

dx

Z

y

x

Для определения углов Эйлера обратимся к рис.1.

Т. к. связанную с. к. можно совместить со стартовой при помощи трёх поворотов по углам

,, , а связанная с. к. неизменно связана с ЛА, то абсолютное значение угловой

скорости ЛА: .

1cos

0sinsin^cos

sincos^cos

33

132

131

c

yzc

xzc

8

Используя рис.1. запишем выражение для проекций на 111 ,, zyx , для чего необходимо

смотреть на эти вектора и каждый вектор проектировать на соответствующие оси:

coscossincos3

sinsincoscos2

sin1

1

1

1

Z

y

x

Выразим ,, - искомые кинематические соотношения, определяющие закон

изменения эйлеровых углов.

sincos

sincoscos

1

cossin

111

11

11

Zyx

Zy

Zy

tg

1cossin

111 ,, Zyx - малы, крен обычно стабилизируется, что дает возможность работы

управляющих органов.

tgdt

d

dt

d

dt

dyxyZ 1111

cos

1

- для нахождения эйлеровых

углов.

§3. Связь между углами, ориентирующими ЛА в различных с. к.

Для решения можно воспользоваться линейными преобразованиями:

;

1

1

1

0

0

0

z

y

x

A

z

y

x

z

y

x

B

z

y

x

0

0

0

; ;

1

1

1

z

y

x

C

z

y

x

Найдем связь между этими соотношениями:

.

1

1

1

1

1

1

TT BACCABCBA

z

y

x

BC

z

y

x

B

z

y

x

A

т. к. ,,A cB ,, ,C

можно вычислить любую величину.

Воспользуемся 1 CAB . Определим какой из углов наиболее просто входит в состав

матрицы.

.sincossincossincossin

sinsincoscossincoscoscoscossinsin 13231222112121

малостьучитывая

cacacab

т. о.

Найдем .

13331232113121 sincos cacacab

= подставив, получим точное выражение - ,, - малы

coscossinsincos . (если , малы, то БР)

т. о.

cos

cos

sin

cos

coscossin 33233222312123

ccacacab

9

когда мал, то c .

§4. Уравнение динамики.

Для вывода уравнения поступательного движения воспользуемся уравнением

Мещерского:

AFGRdt

Vdtm .

Каждое векторное уравнение эквивалентно трем уравнениям в проекциях. Уравнение

можно рассматривать в проекциях на любую из координатных систем. Рассмотрим две из

них: полускоростную zyx0 и связанную 1110 zyx .

Запишем уравнения поступательного движения:

idt

dV

dt

Vd

~

1 .

1

1

1

1

1

1

~

2 kdt

dVj

dt

dVi

dt

dV

dt

Vd ZYX

Угловые скорости равны: для первого случая: СК (1)

для второго случая: СК (2)

)cos(

00

1

kjVkjV

V

kji

V YZZYX

.;cos

ZY

111111111111111

111

111

111

2 XYYXZXXZYZZY

ZYX

ZYX VVkVVjVVi

VVV

kji

V

VVX 1 ; VVY 1 ; VVZ 1 .

Используя полученные соотношения, запишем уравнения поступательного движения:

AZZZ

AYYY

AXXX

FGRdt

dmV

FGRdt

dmV

FGRdt

dVm

cos

1

1111111

1

1111111

1

1111111

1

2

AZZZXYYX

Z

AYYYZXXZ

Y

AXXXYZZY

X

FGRVVdt

dVm

FGRVVdt

dVm

FGRVVdt

dVm

10

§5. Уравнение вращательного движения.

Имеем уравнение:

AR MMdt

Ld0

0L - момент количества движения – кинетический момент.

Выбираем с. к. Чаще всего используется связанная с. к. 1110 zyx

Т. к. моменты инерции входящие в уравнение будут изменяться относительно осей из-

за изменения массы и не будут зависеть от вращения ЛА ,т. к. вращение связанной с. к.

воспроизводит вращение ЛА.

Иногда используют полусвязанную с. к. 2220 zyx ,

имеющую угловую скорость .

А т. к. у нас осесимметричный ЛА, то момент

инерции = const, даже при повороте осей.

Будем использовать связанную с. к..

Ldt

Ld

dt

LdСК

~0 , где СК .

111111 kLjLiLL ZYX

111111111

111111111

111111111

YYZXXZZZZ

ZZYXXYYYY

ZZXYYXXXX

IIIL

IIIL

IIIL

причем 111 ,, ZYX - абсолютная угловая скорость ЛА (проекции на связанную с. к.)

111 ,, ZYX III - осевые моменты инерции массы.

M

X dmzyI 2

1

2

11

11YXI - центробежные моменты инерции.

M

YX dmyxI 1111

1

1

1

Z

Y

X

L

L

L

L ;

1

1

1

Z

Y

X

;

111111

111111

111111

ZZYZXZ

ZYYYXY

ZXYXXX

Y

III

III

III

A .

Тогда YAL .

Если ЛА имеет самолетную схему, т. е. 11 yx - плоскость симметрии, то равны нулю все

центробежные моменты, содержащие координаты ii yиx .

01111 YZXZ II

Если 1x - ось симметрии, то все центробежные моменты инерции равны нулю.

.;; 111111111 ZZZYYYXXX ILILIL

0

0

~

Ldt

Ld

dt

LdX

11

1

1

11

1

11

1

1

0

~

kdt

dIj

dt

dIi

dt

dI

dt

Ld Z

Z

Y

Y

X

X

1111111

11111111111111

111111

111

111

0

YXXXYY

XZZZXXZYYYZZ

ZZYYXX

ZYX

IIk

IIjIIi

III

kji

L

Уравнения Эйлера:

111111

1

1 AXRXYZYZ

X

X MMIIdt

dI

111111

1

1 AYRYZXZX

Y

Y MMIIdt

dI

111111

1

1 AZRZXYXY

Z

Z MMIIdt

dI

Если объект управляемый, т. е. 111 ,, ZYX - малые величины, то в уравнениях

пропадут вторые слагаемые.

§6. Учет вращающихся масс внутри ЛА в условиях вращательного

движения.

] имеем ЛА внутри которого находится три маховика, расположенных вдоль осей ЛА.

1MXI - момент инерции маховика.

1m - масса маховика.

Маховики вращаются относительно осей с угловыми скоростями: 3

1

2

1

1

1 ,, ZYX .-

относительная угловая скорость вращения маховиков.

111 ,, ZYX - абсолютная угловая скорость вращения ЛА.

321 ,, mmm - малы по сравнению с массой ЛА, точечные массы.

111111 kLjLiLL ZYX

11111

11111

11111

ZMZZZZ

YMYYYY

XMXXXX

IIL

IIL

IIL

131

121

111

MZZ

MYY

MXX

III

III

III

, где

2

1211

2

3111

2

3211

dmmII

dmmII

dmmII

MZMZ

MYMY

MXMX

321 ,, III - моменты инерции ракеты без маховиков, относительно соответствующих осей.

1

1

1

1

11

1

1

1

11

1

1

1

1

~

kdt

dI

dt

dIj

dt

dI

dt

dIi

dt

dI

dt

dI

dt

Ld Z

MZ

Z

Z

Y

MY

Y

Y

X

MX

X

X

12

111111111111

111

111

ZMZZZYMYYYXMXXX

ZYX

IIIIII

kji

L

.

§7. Силы и моменты, действующие на ЛА. Их проекции на

соответствующие оси.

Будем учитывать действие на ЛА следующих сил: аэродинамических сил, тяги и веса.

рис.1.7.1.

Аэродинамические силы и моменты.

kFjFiFF AZAYAXA - главный вектор аэродинамических сил.

XFAX - сила лобового сопротивления.

YFAY - подъемная сила.

ZFAZ - боковая сила.

ЭHВXX Mcc ,,,,,

ВYY Mcc ,,

HZZ Mcc ,,

HZZZZ

ВYYYY

ЭHВXX

H

В

cccс

cccc

EDCBAcc

0

0

0

13

z

y

x

1

ccAZ

ccAY

AX

ZYF

ZYF

XF

cossin

sincos

1

1

1

2

z

y

x

ZXZXF

XYZXYF

XYXZYXF

AZ

AY

AX

cossin

sinsincossincos

cossinsincoscos

1

1

1

] тяга по оси ЛА:

111111 kMjMiMM AZAYAXA

1

2

112

1lSVmM XAX - момент крена.

2

2

112

1lSVmM YAY - момент рыскания.

3

2

112

1lSVmM ZAZ - момент тангажа.

ldlll 321

111 ,, ZYX mmm - безразмерные коэффициенты моментов.

V

l

V

lMmm YX

ЭHXX

11

11 ,,,,,,

V

l

V

l

V

lMmm YX

ЭHYY

,,,,,, 11

11

V

l

V

lMmm Z

ВZZ

,,,, 1

11

Тяга:

111111 kRjRiRR ZYX

R 0

RR

RcRRRR

RRR

Z

ccccY

X

sincossinsincoscossin

coscos

111111 kMjMiMM RZRYRXR - выражение момента в связ. с. к.

Эксцентриситет тяги – главный фактор

Вес:

В стартовой с. к.: 0jGG

Обратимся к рис.1 и рис.2 и таблицам направляющих косинусов.

sincos

coscos

sin

231

221

211

GGaG

GGaG

GGaG

Z

Y

X

- связанная с. к.

1iRR

14

0

cos

sin

Z

Y

X

G

GG

GG

- полускоростная с.к.

§8. Математическая модель жесткого ЛА.

Имеем систему уравнений, описывающую движение ЛА:

1.) sincoscos GXRdt

dVm

2.)

cossinsincoscossin GZRYRdt

dmV cc

3.) cc ZRYRdt

dmV

cossincossinsincos

4.) lSVmMIIdt

dI XRXYZZY

X

X

2

111111

1

12

1

5.) lSVmMIIdt

dI YRYXZZX

Y

Y

2

111111

1

12

1

6.) lSVmMIIdt

dI ZRZXYYX

Z

Z

2

111111

1

12

1

7.)

sincos 111 ZYX tgdt

d

8.)

cos

1

dt

d

9.)

cossin 11 ZYdt

d

10.) coscos0 Vdt

dx

11.) sin0 Vdt

dy

12.) sincos0 Vdt

dz

13.) cossinsincoscossinsincoscossin

14.)

sinsinsincoscossin

sincossincoscossincossincoscoscossin

15.) cossincoscossinsinsinsincoscossin c

15

16.) 0,, yZВВ

17.) 01 ,, zYHH

18.) 2

2

1SVcX X

2

2

2

1

2

1

SVcZ

SVcY

Z

Y

Будем считать, что: tfIII iZYX 111 ,, - известные функции времени.

0y

Если закон изменения массы не задан, то к системе добавляется уравнение:

19.) Qdt

dm - секундный массовый расход. Зависит от типа двигателя, режима работы,

высоты полета.

tQmm 0

(1-3) – описывает поступательное движение вместе с центром тяжести.

(4-6) – описывает вращательное движение относительно центра тяжести.

(1-3) - можно записать в проекциях на связанные оси:

;sin.1 1

1 ZYXGRdt

dVm X

X

;coscos.2 111

1 YXGRVdt

dVm YYZ

Y

;cossin.3 111

1 ZXGRVdt

dVm ZXY

Z

причем .;; 1111 VVVVVV ZYX

(7-12) – кинематические соотношения: причем (7-9) описывают закон изменения

эйлеровых углов (крена, тангажа, атаки); (10-12) описывают закон изменения координат

центра тяжести в стартовой с. к.

(13-15) – геометрические соотношения, показывающие связь между углами,

ориентирующими объект в различных координатных системах.

Характеристика системы: Система нелинейная.

Общий вид линейной системы: FytAdt

dy , где

ny

y

y 1

;

kaA i , nk 1 .

Способы упрощения: Разделение продольного движения ЛА на продольное и боковое.

Система управления движения существенно упрощается, если удается разделить её на две

подсистемы меньшего порядка, чем исходная.

С. у. продольного движения описывает движение ЛА в вертикальной плоскости.

С. у. бокового движения описывает движение ЛА в горизонтальной плоскости и движение

крена (боковое).

16

Принципиальная возможность такого разделения обусловлена наличием симметрии ЛА

относительно продольной плоскости 11 yx .

Разрешение возможно при следующих условиях:

1.) боковое движение обладает малой интенсивностью:

0,,,,,,,,, zHВYXc - малые величины.

2.) Коэффициент лобового сопротивления Xc является функцией параметров

продольного движения и не зависит от параметров бокового

движения: ВX Hc ,, .

.sin;sin;sin;1cos ccc

§9. Режимы полета.

Балансировочный режим.

Это режим прямолинейного установившегося полета на постоянной высоте.

Будем рассматривать этот полет в плоскости 00 yx .

Параметры балансирующего режима:

.0,0 consty

.01

1

dt

d

dt

d

dt

d

dt

dV Z

Z

Режим стационарный.

Боковая сила отсутствует, т. к. движение происходит в вертикальной плоскости.

constyRR 0

constymgG 0;

2

2

1SVcX X ЭHВXX Mcc ,,,,,

ВYY Mcc ,,

3

2

112

1lSVmM ZAZ В

В

ZZZZ mmmm 11101

т. к. 0Z , то тушащего момента не будет, и момент от запаздывающего скоса также

отсутствует. 1Z - коэффициент статической устойчивости. Статическая устойчивость означает, что

когда возникает угол атаки, то возникает момент, который старается уменьшить его по

абсолютной величине.

Запишем уравнения, описывающие этот режим. Обратимся к системе 2 и подставим в

неё условия этого режима .

1cos0: XR - уравнение в проекции на касательную.

1cos - т. к. это малый угол.

2sin0: GYRn

2

2

1SVcY Y

17

654

30

0

0

11

Vdt

dxconsty

MM AZRZ

Определим параметры: 2

2

10 SVcR X . Будем учитывать Xc только от Маха.

a

VM - скорость распространения малых возмущений в среде равна скорости звука.

Отсюда можно найти балV . Решаем: ] в (1.) правая часть равна VF .

Обратимся ко (2.) уравнению: mgSVcR Y 2

2

10 .

2

2

1SVcR

mg

Y

бал

.

Теперь обратимся к уравнению (3.): lSVmmmM В

В

ZZZRZ

2

111012

10

отсюда мы определим балВ .

011 В

В

ZZ mm - балансировочное соотношение. Это соотношение часто

используется вместо уравнения моментов, в котором пренебрегают инерционным и

тушащим моментом. Оно позволяет уменьшить порядок системы.

В

Z

Z

балБАЛВm

m

1

1 .

Запишем балансировочное соотношение, разрешив его относительно :

1

1

Z

В

Z

Вm

m если статическая устойчивость большая 1Zm , то будет маленький .

А в свою очередь большая статическая устойчивость приводит к плохой управляемости.

Произвольный разворот в вертикальной плоскости.

Параметры этого режима изменяются в зависимости от высоты полета, т. е. являются

нестационарными.

Для нахождения параметров этого режима обратимся к системе управления

продольного движения 2.

1.) 2

2

1sin SVcGR

dt

dVm X

2.) 2

2

1cos SVcGR

dt

dmV Y

3.) lSVV

lmmmmM

dt

dI Z

ZВ

В

ZZZRZ

Z

Z

211

111101

1

12

1

4.) 1Zdt

d

5.)

6.) cos0 Vdt

dx

0

0

y

yRR

18

7.) sin0 Vdt

dy

Существует две постановки задачи определения параметров движения:

1. Задан закон изменения угла возвышения: tпр .

Найти прпрВпр V,,

Решение: подставим во все уравнения заданный закон возвышения. Тогда, решая задачу

численным интегрированием, найдем все параметры.

Решение задачи можно упростить:

Рассмотрим (1) и (7). В (1) считаем, что Xc зависит только от Маха. Находим

прпр yиV 0 , численно интегрируя (1) и (7).

Обратимся к (2), откуда находим пр , решая простое алгебраическое уравнение:

2

2

1

cos

SVcR

Gdt

dmV

Y

пр

пр

пр

обратимся к (3). Заменим балансировочное соотношение, пренебрегая инерционным и

тушащим моментом. В

Z

Z

прпрВВ

В

ZZm

mmm

1

1

11 0 .

После нахождения оставшихся величин расчет можно уточнить повторив вычисления с

учетом прX Mc , .

2. Задан закон изменения угла тангажа: tпр .

Найти прпрВпр V,,

Подставим во все уравнения заданный закон изменения угла тангажа. Тогда, решая

задачу численным интегрированием, найдем все параметры.

Возможные упрощения:

t

t

пр

пр

sinsin

coscos

из (1) и (7) находим прпр yиV 0

из (2):

2

2

1cos SVctGR

dt

d

dt

tdmV Yпр

пр

.

tQtPdt

d

.

Далее по аналогии.

§10. Учет влияния ветра в задачах динамики ЛА.

Учет влияния ветра можно произвести двумя способами:

1.) основан на рассмотрении абсолютного движения ЛА по отношению к Земле.

2.) Основан на рассмотрении относительного движения ЛА

При наличии ветра вектор скорости центра масс ЛА V можно представить:

WVV r

W - скорость ветра относительно Земли

V - скорость ЛА – путевая скорость.

19

rV - скорость ЛА относительно ветра – воздушная скорость.

Рассмотрим первый способ:

Основная идея учета ветра в том, что аэродинамические силы и моменты определяются

величиной и ориентацией вектора воздушной скорости.

Задаем вертикальную и горизонтальную составляющие: 0000 jWiWW YX .

11 yx - плоскость симметрии.

X - направлена против воздушной скорости.

Y - перпендикулярно.

Запишем силы и моменты:

),(

2

1 2

rrXX

rX

MCC

SVCX

a

VM r

r

),(

2

1 2

rrYY

rY

MCC

SVCY

Момент тангажа: 2

112

1rZAZ SVmM

Коэффициент аэродинамического момента в линейной апроксимации:

r

r

Z

r

Z

ZВZrZZZV

lm

V

lmmmmm ZВ

1

1

1111011

Запишем уравнение движения: YXGRdt

Vdm ур. в вертикальной плоскости.

Уравнения моментов: 11

1

1 AZRZ

Z

Z MMdt

dI

.

Спроектируем на оси yиx сопровождающего трехгранника:

lSVmMdt

dI

GYXRdt

dmVn

GYXRdt

dVm

rZRZ

Z

Z

2

11

1

12

1

coscossinsin:

sinsincoscos:

sinsin

1cos1cos

Найдем r и rV .

)( 0000 jWiWVWVV YXr

r

Спроектируем данное выражение на оси 1x и 1y :

)cossin(sinsin

)sincos(coscos

00

00

YXrr

YXrr

WWVV

WWVV

20

2

00

2

00

2 )cossinsin()sincoscos( YXYXr WWVWWVV

.sincos

;cossin

.;1cos;sin;sin

00

00

V

W

V

W

V

W

V

W

VV

XY

r

YX

r

rrr

рис.1.10.1

Уравнения динамики продольного движения ЛА:

1.) ;sin2

1 2 GSVCRdt

dVm X

2.) ;2

1

2

1cos 22 SVCSVCGR

dt

dmV YX

3.) );(2

1 1

11110

2

1

1

11

V

lmmmmSVM

dt

dI Z

ZВZZZRZ

Z

ZZВ

4.) ;1Zdt

d

5.) ;cos0 Vdt

dx

6.) ;sin0 Vdt

dy

7.) .

21

2. Математическая модель движения в воде.

Рассмотрим жесткий ЛА с переменной массой. Вода несжимаема.

При описании движения в воде в число действующих сил стоит включить силу

Архимеда, приложенную в метацентре и гидродинамические реакции.

Если тело движется равномерно и прямолинейно, то гидродинамические реакции можно

определить через аэродинамические коэффициенты.

§1. Движение жидкости, вызванное телом, двигающимся с любой

переменной скоростью.

Рассмотрим тело, двигающееся в неограниченной, невязкой и несжимаемой жидкости -

идеальной.

Известно, что движение жидкости, которое возникает в начальный момент времени от

движения тела, будет потенциальным. А т. к. жидкость идеальная и несжимаемая, а

массовые силы консервативны, то оно будет потенциальным все время(теорема

Лагранжа).

Для нахождения потенциальной скорости абсолютного движения жидкости необходимо

решить задачу Неймана.

0 (1). тел

nS

жид

n VV (2).

2

1

2

2

1

2

2

1

2

zyx

Задача Неймана состоит в том, чтобы найти 111 ,,, zyxt - потенциальные скорости

неустановившегося движения жидкости.

i

T

i rUV

Решение задачи можно искать в виде:

6

1

111 .3,,,

tuuzyxtp

111 ,, zyx

- функция, определяемая формой поверхности S и выбором системы координат.

Если (3)(1), (2), 2 , то можно показать, что функция удовлетворяет уравнению

Лапласа.

0 (4)., а граничные условия,

Sn

4

Установим физический смысл :

Обратимся к (3):

.161514131211 ;;;;; zYXZYX uuuuuuuuu

Если все 01 iu i , а 11 u , то мы полагаем, что 1 .

Вывод:

22

1 - это потенциал скорости такого движения жидкости, которое соответствует

поступательному движению тела жидкости в направлении оси 1x с единичной скоростью.

Аналогично определяется физический смысл 2 и 3 .

§2. Определение гидродинамических реакций.

P - суммарная гидродинамическая сила.

S

dSnP

01L - результирующий гидродинамический момент

S

i dSnpL 01 (5).

p - давление на поверхности тела.

Т. к. жидкость идеальна и несжимаема, массовые силы консервативны, движение

жидкости потенциально, то давление на поверхности тела имеет вид:

2

2

0

V

tpp

(6). где - массовая плотность жидкости,

0p - давление на бесконечности.

56 и получаем возможность для вычисления. Но на практике определение этого

затруднительно, т. к. p переменное.

Если применить законы механики к этой массе жидкости, можно получить выражение

для гидродинамической реакции: S

dSndt

dP .

S

i dSndt

dL 01 (7).

Запишем векторное уравнение движения тела в жидкости: k - количество движения тела;

01L - момент количества движения тела относительно 10 (кинетический момент тела).

F - главный вектор;

01M - главный момент.

FPdt

kd

0101

01 LMdt

Ld

Подставим:

MdSnLdt

d

FdSnkdt

d

S

i

S

01

(8).

Если бы тело двигалось в пустоте, то мы бы получили

23

01

01 Mdt

Ld

Fdt

kd

(8’).

Сравнивая две эти системы, приходим к выводу, что неустановившееся движение тела

в жидкости происходит так, будто к главному вектору количества движения

присоединяется добавочное количество движения: S

dSnB (9).

А к главному моменту количества движения присоединяется: S

dSnI (10).

Эти векторы получили название: B - импульсивная сила;

I - импульсивная пара.

Если ввести эти обозначения, то (8) примет вид: FBkdt

d .

MILdt

d

01 .

Выразим из (3) и подставим его в(9) и(10).

6

1

S

dSnuB

6

1

S

i dSnuI

т. к. зависит только от координат точек жидкости, то эти выражения представляют

собой векторы. Разложим эти векторы по осям:

312111 kjin

131211 kBjBiBB

S S S S

ii dSBdSBdSBdSB .;; 332211

S

i dSn

S

i

in

3

1

BuB

6

1

6

1

BuB

dt

du

dt

BdP (11).

dt

IdL 01

6

1

6

1

0010

IBuuI

dt

duPLL (12).

131211 kBjBiBB

161514 kBjBiBI

iiB

S

i

S

i

i dSdSdn

d

(13).

24

ij - коэффициенты присоединенных масс.

§3. Коэффициенты присоединенных масс.

Всего 36 коэффициентов. Они зависят лишь от формы тела. При этом матрица этих

коэффициентов симметричная ii , т. о. Различных всего 21 причем часть из них

считается нулевыми, что является следствием соотношений, имеющих место для

потенциалов скоростей и их нормальных производных n

i

в симметричных точках.

Если тело имеет одну плоскость симметрии, то имеется 12 0 и 9=0.

Если тело имеет ось симметрии 1x , то отличные от нуля 7 коэффициентов:

.,,,,,, 35266655332211

при этом: 3322

6655

3526

Теоретические формулы для i существуют только для ограниченного количества тел.

Характерным примером таких тел является эллипсоид, с осями cba .

11

2

11

прm

lr

Rdt

dVmm пр

Если шар, то:

3

3322113

4

2

1r

В общем случае для произвольных тел i определяется экспериментально.

Запишем выражение для гидродинамических реакций в случае движения БР в

вертикальной плоскости 00 yx с которой совпадает плоскость симметрии 11 yx т.е. в

случае продольного движения. Zyx LPP 011 ,, .

В этом случае: 0;;; 543161211 uuuuuuuu Zyx - движение плоское.

2666

2211

- для плоского движения.

;

11

1

11

1

11

6

1

6

1

26

2

1132111

1

213111

dt

du

dt

duB

BBuBdt

duBBuB

dt

duпоP

xx

ZZy

x

Zyx

Т. к. движение плоское, то 1y нет.

VVu yy 11

25

.1111

1

26

1

22

6

1

111126

1

22

16

1

311121

xZ

Zy

Zx

Zy

dt

xZy

udt

d

dt

du

BuBdt

dB

dt

duBBuB

dt

duP

.111111261122

1

26

1

66

6

1

6

1

41511121610

xyyZxy

yZ

dt

yxyxZ

uuuuudt

du

dt

d

BBBuBuuBdt

duL

Полученные гидродинамические силы и момент не учитывают влияние трения и

вихреобразования, т. к. жидкость идеальная и движение её потенциальное.

Предлагается следующий способ учета сил трения и вихреобразования.

Записав аэродинамические силы и моменты и определив аэродинамические

коэффициенты опытным путем добавляем к этим силам и моментам те слагаемые и

формулы (4), которые не учитываются.

В воздухе было:

;1 XFAx ;1 YXFAy .1 ZXFAZ

где : 2

2

1SVCX x 2

2

1SVCY y 2

2

1SVCZ Z .

В воде будет: dt

duXP x

Ax

1

111

dt

d

dt

dulSVmM

udt

d

dt

duYXP

Zy

ZAZ

Zx

Zy

Ay

1

66

1

26

2

11

1111

1

26

1

221

2

1

Кроме того, надо учитывать силу Архимеда, приложенную в метацентре ЛА.

0jGG AA

0jGG

011

1

jGG

GGG A

11 ixr AA где Ax1 - расстояние между центром тяжести и метацентром.

AAA GrGM 0

.

0

00 11111

11

10 kGxGkGjx

GG

x

kji

GM AyAAyAxA

AyAx

AA

cos2

1

cos:

sin:

1

1

26

2

11

1

661

111111

1

22

11

1

11

AA

y

ZRZ

Z

Z

yxZ

y

x

x

xGdt

dVlSVmM

dt

dI

YXGRVmdt

dVmy

XGRdt

dVmx

26

3. Учет влияния подвижности жидкого наполнения в задачах

динамики ЛА.

§1. Учет колебаний жидкого наполнения в уравнениях движения ЛА.

При решении этой задачи представляет интерес определение дополнительных сил и

моментов, которые действуют на ракету со стороны колеблющейся жидкости. Также

интересует проблема устойчивости невозмущенного движения механической системы,

которая имеет дополнительную степень свободы,

обусловленную движением жидкости в баках.

Принимают допущения, аналогичные предыдущим.

В предположении малости отклонений свободной

поверхности жидкости от вертикали для этого потенциала

можно записать уравнение Лапласа 0 и поставлена

задача Немана, но граничные условия выступают на стенках

бака и на свободной поверхности жидкости.

Решение основано на методе механических аналогов

колебания жидкости в баках.

рис.3.1.1.

Параметры аналога выбираются так, чтобы силы и моменты, действующие на ракету со

стороны колеблющейся жидкости, были одинаковы.

Они зависят от формы бака, характера переносного движения ракеты, свойств

жидкости.

Колебательный процесс равен суперпозиции токов колебаний с разной частотой.

Исследования показывают, что масса жидкости, участвующая в колебании первого тока в

30 раз меньше, чем второго. можно учитывать один аналог. Этот аналог указывает, что

не вся масса жидкости участвует в колебании. При этом аналог этот приводится к

идеальной несжимаемой жидкости, а содержащий её бак не имеет перегородок.

Пример:

рис.3.1.2.

27

Мат. маятник, точка подвеса которого раскладывается на оси бака и считается, что его

поверхность мало отклоняется от вертикали.

Силы и моменты, действующие на ракету со стороны жидкости действуют через точку

подвеса маятника.

Составим уравнение движения ракеты при учете колебаний в одном баке.

11110 jaiaW yx

1111001 iljlWW

1

1

11

1

1

1

1

2

11

111xy V

LLl

LV

L , - ур-е колебательного движения маятника.

где 1

2

1 xV - собственная частота свободных колебаний жидкости первого тона в баке.

11 xН VmF - сила натяжения.

Запишем дополнительные силы, которые должны быть учтены в уравнениях

поступательного движения.

111

11

sin

cos

НННy

НННx

FFF

FFF

11111

lVmM xЖZ - момент, входящий в уравнения вращательного движения.

Момент инерции неподвижной части жидкости, используя формулу Штейнера,

добавить к моменту инерции ракеты без топлива относительно оси 1z :

0112

2

2001 ; lllllmII ЖZ .

§2. Уравнение плоского движения.

Будем рассматривать движение в вертикальной плоскости ЛА. В этом случае силовое

воздействие колеблющейся жидкости на ЛА проявляется в силе натяжения маятника,

передаваемой на точку подвеса.

0y Уравнения движения ЛА в связанной системе:

1x

dt

dVm

YXGRdt

dVm

x

x

1

1

1 sincoscos

0

dt

dVmX

YGVdt

dVm

x

Zx

y

1

11

11

1

sin

cossin

28

dt

dVlm

lSVmMdt

dII

x

ZRZ

z

ЖZZ

1

111

2

1

1

112

1

;cos;sin 00 Vdt

dyV

dt

dx

.1cos;sin

,, 1ZВВ

В этой системе: 0mmm K - масса корпуса и неподвижной части жидкости.

1ZI - момент инерции ракеты без топлива, но с маятниками в положении равновесия.

29

4. Упругие колебания корпуса.

§1. Учет влияния упругих колебаний корпуса в уравнениях движения.

Физическая сущность взаимодействия упругих колебаний корпуса с системой

управления заключается в следующем:

Гироскопы, измеряющие угловую ориентацию ракеты, реагируют на возникающие в

полете угловые ускорения так же, как и на колебания корпуса как твердого тела. В

результате возникающей дополнительной обратной связи колебания в системе угловой

стабилизации оказываются взаимосвязанными с упругими колебаниями. Если частота

среза системы стабилизации и частота упругих колебаний близки друг к другу, то может

возникнуть явление резонанса. Плюс ко всему упругие колебания обуславливают

появление дополнительных аэродинамических нагрузок, появляются лишние углы атаки,

которые вызывают дополнительные, упругие деформации (явление Платтера).

Учет влияния поперечных, упругих колебаний следует учитывать, когда 4d

l.

Корпус ракеты схематически представляется в виде тонкостенной балки.

xm - погонная масса.

xIE - изгибная жесткость.

I - момент инерции площадки поперечного сечения относительно оси перпендикулярной

плоскости колебаний и проходящей через центр тяжести балки E - модуль Юнга.

txq , - погонная нагрузка.

txy , известна

Запишем уравнение продольного движения ракеты с учетом упругих колебаний.

Будем пренебрегать дополнительными аэродинамическими силами, которые возникают

вследствие упругости корпуса.

Пренебрегаем составляющей силы тяжести в направлении перпендикулярном продольной

оси ракеты.

Следовательно, влияние упругости корпуса на динамику проявляется лишь в том, что

вектор тяги R получает дополнительное угловое отклонение, равное углу наклона

упругой линии в точке подвеса двигателя. А сама точка подвеса смещается от центра оси

жесткого Лана величину прогиба:

1

,XXx

txytg

RRRX cos

1

,sin

XX

Yx

txyRRRR

Сосредоточенный момент от этой тяги R :

TC

XTX

TRZ xxx

yRRyM

1

XTXT yy

Можем записать уравнение динамики с учетом упругих колебаний.

.sin;1cos

30

подъемная сила равна нормальной. Запишем в проекциях на оси сопряженного

трехгранника:

XTX

Y

X

dt

txyRSVcGR

dt

dmVn

SVcGRdt

dVm

,

2

1cos:

2

1sin:

2

2

относительно 1z запишем момент:

TC

XTX

ZупрR

Z

Z xxx

txyRlSVmM

dt

dI

,

2

1 2

1

1

1

.sin;cos 00 Vdt

dyV

dt

dx

Уравнение управления: ,, ZВВ

Момент, определяемый жестким корпусом: V

lmmmmm Z

ZВ

В

ZZZZ

1

11101

.

где V

lm Z

Z

1

1

- тушащий момент.

§2. Уравнение упругих поперечных колебаний и его решение.

При составлении этого уравнения следует учитывать силы внутреннего неупругого

сопротивления и продольного усилия, вызванные силой тяги и силой тяжести, а также

влиянием движения топлива в баках. Для упрощения будем пренебрегать силой

внутреннего неупругого сопротивления и силой продольного усилия.

Получим дифференциальное уравнение четвертого порядка:

.1,,,

2

22

2

2

2

2

txqt

txyxm

x

txyxEI

x

где x - координата точки на продольной оси. Отсчитывается от носа корпуса.

txy , - смещение в направлении оси балки,

I - изгибная жесткость.

xm - погонная масса – масса единицы длины.

txq , - погонная нагрузка перпендикулярная оси балки (сила на единицу длины).

При действующей сосредоточенной силе её можно привести к погонной используя дельта

функцию Дирака: rrrF xxFtxq ,

Решение txy , можно получить по постановке краевой задачи, учитывая граничные

условия.

Для корпуса в полете оба конца свободны.

0,

02

2

lXXx

txyxEI (2.) – изгибный момент.

.30,

0

2

2

Xx

txyxEI

x - перерезывающая сила.

(2.) и (3.) – граничные условия.

.00,;0, 0 xyyxy - начальные условия.

31

.4,,, 21 txytxytxy - свободные плюс вынужденные колебания.

1y найдем как решение оборотного уравнения:

.5,,,

2

2

2

2

2

2

txqt

txyxm

x

txyxEI

x

1y - должен удовлетворять (5.), граничным условиям (2.) и (3.) и начальным условиям.

txy ,2 - должен удовлетворять данному уравнению (1.)

При таком выборе 1y и 2y , их сумма (4.) и будет общим решением уравнения (1.)

§3. Определение свободных колебаний.

Используем метод Фурье:

1

1 .6,n

nn xftStxy где xftS nn - частное решение уравнения (5.)

Подставляя значения txy ,1 в (5.) можно получить систему управления.

.702

xfxmxfxEI nn

.802 tStS nnn 2

n - постоянная величина.

Принятая форма решений (6.) показывает, что система (8.) определяет закон колебаний

во времени каждой точки упругой линии, а система (7.) определяет распределение

амплитуд колебаний вдоль этой линии.

Для решения (7.) необходимо четыре условия, которые на основании условий (2.) и (3.)

приобретают следующий вид:

.10.0;0;0;00 0

lXnXxnnn xfxEIxfxEIlff

Задача (7.)+(9.)+(10.) имеет элементарное решение 0xf n при каждом постоянном

n .

Примечание:

Если constxmиxI (однородная балка), то задача (7.)+(9.)+(10.) имеет точное

аналитическое решение через принцип суперпозиции.

Если балка неоднородна, то точного аналитического решения не существует и оно ищется

приближенно.

32

Список литературы:

1. Конспект лекций по курсу «Динамика полета» (седьмой семестр, читал

лекции Санников В. А.)

2. Учебное пособие. Под. ред. В.А. Санников, Математические модели динамики ЛА.

1988г.

3. Кочин Н.Е., Теоретическая гидромеханика. 1963г.

33

Отчет по эксплуатационной практике.

Я, студент группы А-591, Лукьященко К. В. подготовил электронную версию лекций по

курсу «Динамика полета» (седьмой семестр).

Вел лекции проф. Санников В.А.

Курс был прочитан в седьмом семестре в течении 84 часов.

Данный курс закончился экзаменом.