А. В. БЛОХИН

ЭЛЕКТРОТЕХНИКАУчебное пособие

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

А. В. Блохин

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Рекомендовано учебно-методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

по направлениям подготовки 550500 – Металлургия, 551800 – Машиностроительные технологии и оборудование

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2014

2

УДК 621.3 ББК 31.2 Б70 Рецензенты: кафедра «Автоматизация технологических процессов и систем» НТТИ (зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. В. А. Иванушкин); канд. техн. наук, доц. Н. В. Будылдина (УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ») Научный редактор – д-р техн. наук, проф. Ф. Н. Сарапулов

Блохин, А. В. Б70 Электротехника : учебное пособие / А. В. Блохин. – 2-е изд., испр. –

Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 184 с. ISBN 978-5-7996-1090-6

Учебное пособие соответствует Государственному стандарту дисциплины «Элек-

тротехника» для студентов высших учебных заведений. Содержит теоретический мате-риал об электрических колебаниях и их свойствах, методах расчета электрических цепей. В ней рассмотрены нелинейные и трехфазные цепи, трансформаторы, электрические ма-шины постоянного и переменного тока.

Предназначено для студентов неэлектротехнических специальностей высших учебных заведений, изучающих курс «Электротехника».

Библиогр.: 9 назв. Табл. 4. Рис. 81. УДК 621.3 ББК 31.2

________________________________________________________________ Учебное издание

Блохин Анатолий Васильевич

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Подписано в печать 23.12.2013. Формат 60×90 1/16. Плоская печать.

Усл. печ. л. 10,74. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 50 экз. Заказ № 84.

Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ 620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5 Тел.: 8(343)375-48-25, 375-46-85, 374-19-41

E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Тел.: 8(343) 350-56-64, 350-90-13 Факс: 8(343) 358-93-06

E-mail: press-urfu@mail.ru

ISBN 978-5-7996-1090-6 © Уральский федеральный университет, 2010 © А. В. Блохин, 2010 © Уральский федеральный университет, 2014

3

ВВЕДЕНИЕ Электротехникой, как известно, называют область науки и

техники, связанную с производством и использованием электри-ческой энергии. Электрические явления, приборы, устройства, машины, аппараты и системы проникли во все области практиче-ской деятельности человека – в народное хозяйство, промышлен-ность, научные исследования, быт, культуру. В связи с этим элек-тротехника включена в учебные планы неэлектрических специ-альностей, в том числе и технических и технологических специ-альностей и направлений подготовки системы высшего профес-сионального образования.

В настоящем учебном пособии излагаются сведения об электрических колебаниях и их свойствах, методах расчета элек-трических цепей при постоянном токе и гармоническом воздей-ствии, рассмотрены нелинейные и трехфазные цепи, трансформа-торы, электрические машины постоянного и переменного тока.

В системе очно-заочной бакалаврской и магистерской под-готовки большое, если не главное, значение имеет самостоятель-ная работа. Использование при этом «объемных» академических изданий, предназначенных в основном для студентов электротех-нических специальностей, вызывает определенные трудности при изучении. В связи с этим данное учебное пособие ориентировано на минимум информации с учетом того, что для углубленного самостоятельного изучения отдельных вопросов будут использо-ваться академические издания, имеющиеся в списке литературы, на которые в тексте приведены ссылки.

Основной задачей изучения электротехники студентами не-электротехнических направлений подготовки специалистов явля-ется ознакомление с законами протекания электрического тока, основными физическими процессами, имеющими место в элек-трических цепях, устройствах, аппаратах, системах, на уровне, необходимом для составления технического задания на проектиро-вание и расчет электрической части оборудования для инженера-электрика. Более простые технические задачи, как например, вы-бор типа и мощности электродвигателя, выбор типа и сечения проводов и кабелей, студент, изучивший данный курс, должен решать самостоятельно.

4

Глава 1

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

1.1. Классификация электрических колебаний Колебанием в физике называют любой процесс, меняющий-

ся во времени: x(t) ≠ const, при – ∞ ≤ t ≤ ∞. Для нас представляют интерес электрические колебания, к которым относятся колеба-ния напряжения, силы электрического тока, мощности, энергии и других параметров и характеристик. В дальнейшем под термином колебания будем понимать электрические колебания.

Все колебания принято делить на детерминированные (или регулярные) и случайные. Детерминированным называют любое колебание, которое можно описать аналитически, т. е. предста-вить математической формулой, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью еди-ницы. Примером регулярных колебаний может быть напряжение в сети питания, последовательность импульсов, форма, величина и положение которых во времени известны.

Регулярные колебания подразделяют на периодические и непериодические (или одиночные). Периодическим называют любое колебание, для которого выполняется следующее условие:

s(t) = s(t + KT), где К – любое целое число;

Т – период колебания. Простейшим периодическим регулярным колебанием явля-

ется гармоническое колебание (напряжение, ток, заряд, напря-женность поля), определяемое формулой

s(t) = A cos (2πt/T + θ) = A cos (ωt + θ), (1.1) где А, Т, θ и ω – постоянные амплитуда, период, угловая частота и начальная фаза колебания.

Строго говоря, гармоническое колебание называют моно-хроматическим, т. е. спектр такого колебания состоит из спек-тральной линии. У реальных колебаний, имеющих начало и конец, спектр неизбежно «размывается». В связи с этим в даль-

5

нейшем под гармоническим и монохроматическим колебанием будем подразумевать колебание, определяемое функцией (1.1).

Непериодическим регулярным колебанием называется ко-лебание, для которого не выполняется условие s(t) = s(t + KT). Примером таких колебаний могут быть единичные импульсы, от-рывки гармонических колебаний. Именно этот тип колебаний преимущественно используется в практике.

К случайным колебаниям относятся такие, значения кото-рых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с неко-торой вероятностью, меньшей единицы. К таким колебаниям от-носятся, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, шумы диодов и транзисторов, космические шумы.

По способу представления функции, описывающей колеба-ние, и аргумента этой функции колебания разделяют на четыре категории:

– непрерывные или аналоговые (рис. 1.1, а); – квантованные (рис. 1.1, б); – дискретизированные (рис. 1.1, в); – цифровые (рис. 1.1, г).

Рис. 1.1. Электрические колебания:

а – аналоговые; б – квантованные; в – дискретизированные; г – цифровые

s(t)

s(t) s(t)

s(t)

t

t t

t 0

0 0

0 а в

б г

t2 t1 tn

t1 t2 tn

s1 s1

s2 s2

sk sk

6

В первом случае функция s(t) и аргумент этой функции t принимают непрерывный ряд значений в определенном интерва-ле. Во втором случае функция принимает дискретный, а аргумент непрерывный ряд значений. В третьем случае, наоборот, функция имеет непрерывный, а аргумент дискретный ряд значений. В по-следнем случае и функция, и аргумент дискретны. Часто под термином «цифровое» понимают бинарное колебание, у которого два значения: ноль и единица (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Бинарное колебание

В информатике колебания несут в себе информацию, т. е. набор сведений о чем-либо. Информативными могут быть частота, амплитуда, фаза колебаний. Такие колебания называют сигнала-ми. Колебания, не содержащие в себе какой-либо информации или разрушающие информацию в других колебаниях, называют помехами. Чаще всего сигналы – регулярные колебания, а помехи – случайные.

1.2. Разложение колебаний в ряд Фурье

Из математики известно, что любая периодическая функция

f(x) может быть разложена в ряд по системе функций φ0(х), φ1(х), φ2(х),…, φn(х) при условии, что эта система функций является ор-тогональной:

xCxf nn

n

0, dxxxfС

b

an

nn

2

1 ,

где Cn – коэффициенты, разложенные в ряд;

s(t)

t 0

1

7

2 .b

n na

x dx

Возьмем в качестве ортогональных функций систему триго-нометрических функций, которые можно записать двумя спосо-бами:

I. 1, cos (ω,t), sin(ω,t), cos(2ω,t), sin(2ω,t), …, cos(nω,t), … II. …, e -jnωt, …, e -j2ωt, e -jωt, 1, e jωt, e j2ωt, …, e jnωt, … Во втором ряде функции синуса и косинуса видны из фор-

мул Эйлера:

.sincos

,sincos

xjxexjxe

jx

jx

(1.2)

Если взять систему ортогональных функций, записанную в форме II, получим комплексную форму записи ряда Фурье для периодического колебания s(t):

2/

2/

1

1

1 T

T

tjnn

n

tjnn

dtetsT

C

eCts, (1.3)

где T

2

1 .

Если систему ортогональных функций взять в виде ряда I, то получим тригонометрическую форму записи ряда Фурье:

nn

n nCCts

11

0 cos2 . (1.4)

Используя формулу Эйлера (1.2), коэффициент ряда Фурье

nС можно представить как

,)sin(1)cos(11

2/

2/1

2/

2/nsnc

T

T

T

Tn jCCdttnts

Tjdttnts

TС

8

где Cnc – косинусная составляющая коэффициента Cn; Cns – синусная составляющая коэффициента Cn. Причем

njnn eCС

, 22

nsncn CCC

,

nc

nsn C

Carctg ,

n

ntnjn eCts )( 1 .

Как видно из формулы (1.4), разложение в ряд Фурье позво-ляет любое колебание представить в виде совокупности постоян-

ной составляющей С0 и n гармоник, где

nC – амплитуды;

(nω1) – частоты; θn – начальные фазы гармонических составляю-щих. При n = 1 имеем первую гармонику, при n = 2 – вторую гармонику и так далее.

1.3. Спектры колебаний

Спектром колебаний называют упорядоченное расположе-

ние по частоте комплексных амплитуд гармоник (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Комплексный спектр Чаще всего используют амплитудно-частотную и фазо-

частотную характеристики, т.е. распределение по частоте моду-лей и аргументов комплексных коэффициентов ряда Фурье (рис. 1.4).

Ċ -5

Ċ -4

Ċ -3

Ċ -2

Ċ -1 Ċ 1

Ċ 2

Ċ 3

Ċ 4

Ċ 5 Ċ 0

Ċ n

ω –5ω

– 4ω – 3ω

– 2ω – ω ω

2ω 3ω

4ω 5ω

9

Из рис. 1.3 и 1.4 отчетливо видно, что спектры имеют дис-кретный или линейчатый вид. Это свойство спектров относится ко всем периодическим колебаниям.

Рис. 1.4. Амплитудный и фазовый спектры

Вычислим спектр последовательности прямоугольных им-пульсов (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Последовательность импульсов

Запишем аналитическую форму колебания s(t) за один пе-

риод:

2/,2/,0

2/2/, tt

tEts .

АЧХ ФЧХ

ω 2ω 4ω

3ω

ω ω

2ω 3ω

4ω ω

|Ċn|

|Ċ1| |Ċ2|

|Ċ3| |Ċ4|

|Ċ0|

Qn

Q3

Q1

Q4

Q2

s(t)

t

-τ/2

→ + ∞

T

← – ∞

τ/2

10

Вычислим постоянную составляющую из ряда Фурье:

2/

2/

2/

2/

2/

2/0

1)(1TEdt

TEEdt

Tdtts

TC .

Вычислим значения коэффициентов nС

:

1 1 1

/2/2 /2

1/2

1

1

1

sin( / 2) .( / 2)

jn t jn jnn

EC Ee dt e eT Tj n

nET n

Запишем ряд Фурье:

)cos()2/(

)2/sin(2 11 1

1n

ntn

nn

TE

TEts

.

Построим спектр (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Амплитудный и фазовый спектры последовательности прямоугольных импульсов

Ċ n

ω – 5ω1 – 3ω1 – ω1 ω1 3ω1 5ω1 0

2π/τ

4π/τ θ n(ω)

ω

2π

π

– π

– 2π

– 2π/τ – 4π/τ

АЧХ

ФЧХ

11

У одиночных колебаний в отличие от периодических спектр имеет совершенно другую форму: не дискретный, а сплошной

вид и называется спектральной плотностью S :

dtetsS tj

)()( ,

deSts tj)(21 .

Эти выражения называют соответственно прямым и обрат-

ным преобразованиями Фурье, связывающими спектральную плотность и колебание s(t). Использовав формулу Эйлера для

спектральной плотности S , получим

)()()sin()()cos()( jBAdtttsjdtttsS ,

)()()( 22

BAS , )()()( jeSS ,

.)()(arctg)(

AB

Вычислим спектральную плотность одиночного импульса (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Импульс прямоугольной формы

s(t)

t

–τ/2 τ/2

Е

12

Запишем формулу колебания:

2/,2/,0

2/2/,)(

tttE

ts

.

Затем вычислим спектральную плотность )(S :

.)2/(

)2/sin()( 2/2/2/

2/

EeejEdtEeS jjtj

Построим спектр (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Как видно из рис. 1.8, АЧХ совпадает по форме с огибаю-щей спектра из рис. 1.6.

1.4. Свойства спектров

Между колебанием s(t) и его спектром S существует од-

нозначное соответствие. Это соответствие одинаково как для пе-

|Ś(ω)|

ω

2π/τ 4π/τ θ (ω)

ω

2π

π

– π – 2π

– 2π/τ – 4π/τ

АЧХ

ФЧХ

13

риодических, так и одиночных колебаний, поэтому некоторые свойства спектров рассмотрим на примере одиночных колебаний.

1.4.1. Свойство линейности

Если колебание s(t) представляет собой алгебраическую

сумму других колебаний, то спектр такого колебания равен алгебраической сумме спектров суммируемых колебаний:

);(1

tstsN

ii

N

iiSS

1,

т. е. при суммировании колебаний складывают их спектры, при вычитании колебаний вычисляют разность их спектров.

1.4.2. Сдвиг колебаний во времени

Колебание s1(t) со спектром

1S сдвинуто по оси времени вправо на интервал времени to (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Сдвиг колебания во времени

s1(t)

t τ

Е

s2(t)

t

Е t 0

14

При этом s2(t) = s1(t – to). Спектральная плотность колебания s2(t) при этом

0)()( 12tjeSS

,

т.е. модуль спектра при сдвиге колебания вправо не меняется, а меняется фазовая характеристика на величину – ωto, при сдвиге влево – на величину + ωto.

1.4.3. Свойства спектров четных и нечетных колебаний

Если колебание s(t) описывается четной функцией своего

аргумента, то спектр такого колебания всегда действительный, т. е. мнимые составляющие отсутствуют:

Сns = 0, B(ω) = 0. Если колебание s(t) описывает нечетная функция своего ар-

гумента, то спектр такого колебания всегда мнимый, т. е. дей-ствительные составляющие спектра отсутствуют:

Сnс = 0, А(ω) = 0. Если колебание s(t) представляет функция, не относящаяся

ни к четным, ни к нечетным, то такое колебание имеет комплекс-ный спектр, содержащий и действительную, и мнимые части спектра:

Сnс ≠ 0, Сns ≠ 0, А(ω) ≠ 0, B(ω) ≠ 0.

1.4.4. Изменение масштаба времени

Пусть колебание s1(t), имеющее спектр

1S , сжато во вре-мени (рис. 1.10) в n раз:

s2(t) = s1(nt) при n >1. Тогда спектр колебания s2(t) будет равен

nS

nS 12

1,

15

т. е. модуль исходного колебания уменьшается в n раз, а полоса частот расширяется в n раз.

Рис. 1.10. Сжатие колебания во времени При растяжении колебания будет наоборот – модуль увели-

чится, а полоса частот спектра уменьшится в n раз.

1.4.5. Дифференцирование и интегрирование колебания

Пусть колебание s(t) имеет спектр S . При дифференциро-

вании (взятии производной) колебания n раз спектр исходного колебания дополняется сомножителем (jω)n:

s(t)→ S ,

s'(t) → jω S ,

s(n)(t) → ( jω)n S .

При интегрировании колебания n раз спектр исходного ко-

лебания дополняется сомножителем n

j

1 :

s(t) → S ,

dtts )( →

S

j1 ,

Sj

dtts nn

1)( .

s1(t)

t tи

s1 s2

tи/n

16

1.4.6. Произведение колебаний

Пусть имеются два колебания: g(t) со спектром

G и f(t)

со спектром F . Тогда новое колебание s(t) = g(t)f(t) будет

иметь спектр S , определяемый сверткой спектров исходных

колебаний, а не их произведением:

dххFхGS

21 .

Более подробно свойства спектров описаны в [ 1 ].

1.5. Временные характеристики колебаний Наряду с рассмотренным выше спектральным подходом к

описанию колебаний часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о других свой-ствах, например о скорости изменения колебания во времени, о длительности колебания без разложения его на гармонические составляющие. В качестве таких временных характеристик ис-пользуются корреляционные функции.

Автокорреляционная функция (АКФ) определяется формулой

dttstsRs

,

характеризует изменение колебания s(t) во времени, представляя степень связи колебания s(t) со своей копией s(t – τ), сдвинутой во времени на интервал τ.

АКФ обладает следующими свойствами: 1. Функция имеет максимум при нулевой задержке во вре-

мени: Rs(τ) = max при τ = 0 и равна Rs(0).

2. При τ = 0 АКФ равна энергии колебания:

dttsRs 20 .

17

3. АКФ – четная функция своего аргумента. 4. АКФ не имеет информации о начальной фазе колебания. 5. У периодических колебаний АКФ тоже периодическая

функция с тем же периодом T, что и у исходного колебания (рис. 1.11).

У гармонического колебания s(t)=A0 cos(ω0t – θ) АКФ имеет вид

)cos(2 0

20

, 21

AR ss .

Рис. 1.11. АКФ периодической последовательности

прямоугольных импульсов Взаимная корреляционная функция (ВКФ) характеризует

степень связи колебания s1(t) с копией другого колебания s2(t), сдвинутой во времени на интервал τ:

dttstsR ss

21, 21

.

В отличие от АКФ эта характеристика имеет информацию о начальных фазах колебаний и максимальна при

s(t)

t

T

τи

τ

E

Rs(τ)

τи – τи

)(2 tS

18

τ = ( θ1 – θ2) / ω1, где θ1 – начальная фаза колебания s1(t);

θ2 – начальная фаза колебания s2(t). У двух гармонических колебаний s1(t) = A1cos(ω1t + θ1) и

s2(t) = A2cos(ω1t + θ2) ВКФ имеет вид

21121

, cos221

AAR SS .

У колебания s(t) АКФ и спектральная плотность )(S связа-

ны соотношением:

deSR jS

2

21 ,

deRS jS

2 .

Эти формулы используют для вычисления спектра по АКФ или наоборот для вычисления АКФ по известной спектральной плотности.

1.6. Случайные колебания

Пусть случайное колебание (или случайный процесс, как

принято в литературе) обозначим X(t). Конкретный вид этого ко-лебания в данном опыте называют реализацией случайного про-цесса x(t). Каждая реализация будет отличаться от предыдущих и последующих (рис. 1.12).

В фиксированные моменты времени t1, t2 (сечения) значения, принимаемые случайным процессом, образуют совокупность случайных величин x1(t1), x2(t1), …, x3(t2). Свойства этих случай-ных величин, представляющие свойства случайного процесса x(t), определяются вероятностными характеристиками: законами рас-пределения вероятностей, моментными функциями, корреляци-онными функциями, энергетическим спектром.

Законы распределения: 1. Одномерная плотность вероятности (рис. 1.13), или диф-

ференциальный закон распределения вероятностей:

19

x

xxtxxPtxwx

111011 lim, ,

где P [x1≤ x(t) ≤ x1+∆x] – вероятность пребывания реализации в дифференциальном коридоре ∆x (см. рис. 1.12), т. е. между по-стоянными уровнями x1 и x1+∆x.

Рис. 1.12. Три реализации случайного процесса x(t) 2.Функция распределения вероятностей (рис. 1.13):

F1(x) =P [x(t1) ≤ x1], где P [x(t1) ≤ x1] – вероятность пребывания реализации ниже уровня x1.

Рис. 1.13. Плотность вероятности w1(x,t1) и функция распределения F1(x) случайного процесса

w1(x,t1)

x

1,0

F1(x)

x

x(t)

t

t2 t1

1

3

2

x1

x1+Δx

20

Некоторые свойства законов распределения случайных про-цессов:

.1

,0

,1

FF

dxxw

Моментные функции (числовые характеристики): 1. Математическое ожидание:

txdxxxwtxtxMmx )( .

Математическое ожидание характеризует среднее значение, вокруг которого группируются мгновенные значения исследуе-мого случайного процесса (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Математическое ожидание mx и дисперсия

случайного процесса Dx 2. Дисперсия:

dxtxwxxtxtxD xx ,)()( 2222

.

Дисперсия характеризует границы диапазона, внутри кото-рого группируются мгновенные значения случайного процесса (рис. 1.14).

x(t)

t

1

3

2

Dх

mx

21

Корреляционная функция 212121, xxxxttK x

характеризует изменение случайного процесса во времени. Энергетический спектр:

TSSG TT

Tx)()(lim ,

где ST (ω) – спектр реализации x(t); dtetxS tjT

T

0;

)(TS – комплексно-сопряженный спектр реализации x(t);

dtetxS tjT

T

0;

Т – длительность реализаций. Физический смысл энергетического спектра случайного

процесса Gx(ω) – это доля мощности случайного процесса, при-ходящаяся на единицу частоты.

Энергетический спектр и АКФ случайного процесса связаны друг с другом формулой Винера––Хинчина:

.21

,

deGK

deKG

jxx

jxx

Эти формулы используют для вычисления спектра Gx(ω) по АКФ или наоборот для определения автокорреляционной функ-ции случайного процесса по его энергетическому спектру.

В реализации случайного процесса длительностью Т можно выделить некоторые «особые точки» или мгновенные значения, соответствующие выбросам, экстремумам и пересечениям. Под выбросом случайного процесса понимают событие, заключающе-еся в превышении реализацией некоторого уровня U (рис. 1.15).

При этом реализацию случайного процесса на конечном ин-тервале времени могут характеризовать следующие параметры, связанные с пересечениями, выбросами и экстремумами: дли-тельность выброса τ, интервал между выбросами θ, амплитуда А

22

и площадь выброса s, время между двумя соседними пересечени-ями τn, интервал до первого пересечения τ0, локальные максиму-мы H+ и минимумы H-, интервал времени между соседними экс-тремумами τ-+ и τ+-, разность высот между соседними экстрему-мами h-+ и h+-, число выбросов N в реализации длительностью Т и другие, указанные на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Реализация случайного процесса

Вероятностные характеристики указанных выше амплитудно-временных параметров пересечений, выбросов, экстремумов ока-зываются необходимыми при решении разных практических з адач. К ним относятся следующие: анализ действия полезных сигналов и шумов на электронные ключи и триггеры; анализ ра-боты следящих систем в условиях шумов; расчет на прочность механических материалов, находящихся под действием случай-ных нагрузок; оценка микрошероховатости обработанной поверхности; обработка сигналов в медицинской и технической диагностике и многие другие.

U H+

τ+–

τ0

τ– –

τ–+

τ++

H–

ττn

θ

s А

Hm

h+ –

h – +

tm

t

T

x(t)

23

Глава 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

2.1. Основные понятия и определения Электрической цепью называется совокупность устройств и

объектов, образующих путь для электрического тока, электро-магнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об ЭДС, напряжении и токе. В общем случае электриче-ская цепь состоит из источников и приемников электрической энергии и промежуточных звеньев (проводов, аппаратов), связы-вающих источники с приемниками.

Источниками электрической энергии являются химические источники тока, термоэлементы, генераторы и другие устройства, в которых происходит процесс преобразования химической, мо-лекулярно-кинетической, тепловой, механической или другого вида энергий в электрическую. К источникам можно отнести и приемные антенны, в которых в отличие от перечисленных выше устройств не происходит изменения вида энергии.

Приемниками электрической энергии, или так называемой нагрузкой, служат электрические лампы, электронагревательные приборы, электрические двигатели и другие устройства, в кото-рых электрическая энергия превращается в световую, тепловую, механическую и др. К нагрузкам относятся и передающие антен-ны, излучающие электромагнитную энергию в пространство.

Расчеты электрических цепей и исследования процессов, происходящих в них, основываются на различных допущениях и некоторой идеализации реальных объектов электрических цепей. Под элементами в теории электрических цепей подразумевают обычно не физически существующие составные части электро-технических устройств, а их идеализированные модели, которым теоретически приписываются определенные электрические и магнитные свойства, так что они в совокупности приближенно отображают явления, происходящие в реальных устройствах.

В теории электрических цепей различают активные и пас-сивные элементы. Активными элементами считаются источники эклектической энергии: источники ЭДС и источники тока. К пас-

24

сивным элементам электрической цепи относятся сопротивления, индуктивности и емкости. Соответственно различают активные и пассивные цепи.

Эти важные понятия лежат в основе электротехники, по-дробно рассмотрены ниже.

Электрический ток может быть постоянным (неизменяю-щимся) или переменным, т. е. изменяющимся в зависимости от времени.

Направление тока характеризуется знаком тока. Понятия положительный ток или отрицательный ток имеют смысл, если только сравнивать направление тока в проводнике с некоторым заранее выбранным ориентиром – так называемым положитель-

ным направлением. Положительное направление тока

выбирается произвольно. Оно обычно указывается стрелкой. Если в резуль-тате расчета тока, выполненного с учетом выбранного положительного направления, ток имеет знак плюс (i > 0), то это означает, что его направле-ние совпадает с выбранным положи-тельным направлением. В противном случае, когда ток отрицательный (i < 0), он направлен противоположно.

Таким образом, выбранное поло-жительное для тока направление само по себе не означает направления, в котором перемещаются электрические заряды; оно только придает определенный смысл знаку тока.

Изобразим некоторый участок цепи, через который прохо-дит ток i, в виде прямоугольника и обозначим концы (выводы) этого участка цифрами 1 и 2 (рис. 2.1). Разность электрических потенциалов точек 1 и 2 представляет собой напряжение на дан-ном участке цепи. Напомним, что разность электрических потен-циалов определяется работой, затрачиваемой на перенос единич-ного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Значение напряжения в любой текущий момент времени обозначается через u, может быть постоянным или переменным. В системе СИ напряжение измеряется в вольтах (В).

Рис. 2.1. Участок электри-ческой цепи с выбранными положительными направ-лениями тока и напряже-ния

1 2

i

u12

u21

25

Для придания определенного смысла знаку напряжения на рассматриваемом участке цепи для напряжения, так же как и для тока, произвольно выбирается положительное направление. Чаще всего его выбирают совпадающим с положительным направлени-ем тока и указывают стрелкой.

В выбранном положительном направлении и отсчитывается напряжение. Пусть на рис. 2.1 отсчет напряжения ведется от точки 1 к точке 2. Когда потенциал точки 1 выше потенциала точки 2, напряжение положительное, в противном случае оно от-рицательное.

Для уяснения выбранного направления отсчета напряжения можно вместо стрелки пользоваться обозначением с помощью индексов, при котором порядок расположения индексов, соответ-ствующих точкам цепи, отвечает положительному направлению, выбранному для напряжения. Так, применительно к рис. 2.1 напряжение, отсчитываемое в положительном направлении тока, равно u12. Напряжение, отсчитываемое в обратном направлении, имеет противоположный знак: u21= – u12.

Двойное индексное обозначение возможно и для тока. Например, i12 обозначает ток, который имеет положительное направление на участке цепи от точки 1 к точке 2. Однако на практике большее распространение нашло обозначение с помо-щью стрелок.

Положительными направлениями токов и напряжений поль-зуются при исследовании процессов, происходящих в электро-технических устройствах, и расчете электрических цепей. Для краткости положительное направление будем называть просто направлением.

Отчетливое уяснение этих важных понятий совершенно обязательно для усвоения всего последующего материала.

Предположим, что через участок электрической цепи (при-емник энергии) под воздействием приложенного напряжения и проходит электрический заряд q. Совершаемая при этом элемен-тарная работа, или, что то же, поступающая в приемник элемен-тарная энергия, равна

uidtudqdw .

26

Производная энергии по времени, т. е. скорость поступле-ния в цепь электрической энергии в данный момент времени, представляет собой мгновенную мощность. Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произве-дению мгновенных значений напряжения и тока:

uidtdqu

dtdwp .

Мгновенная мощность р – величина алгебраическая; значе-ние ее положительно при одинаковых знаках и и i и отрицательно при разных знаках.

Если положительные направления для напряжения и тока приняты совпадающими, то при р > 0 энергия поступает в при-емник, а при р < 0 она возвращается из рассматриваемого участка цепи к источнику.

Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени от t1 до t2 выражается интегралом

2

1

t

tpdtW .

В отличие от мгновенной мощности р, которая может иметь любой знак, энергия, поступившая в приемник, не может быть отрицательной.

2.2. Элементы электрических цепей

2.2.1. Сопротивление

Сопротивлением называется идеализированный элемент

цепи (резистор), в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в теплоту. При этом тер-мин «сопротивление» и соответствующее ему буквенное обозначе-ние r применяются как для обозначения элемента цепи, так и для количественной оценки величины, равной отношению напряжения на данном элементе цепи к току, проходящему через него:

iur . (2.1)

27

Здесь предполагается, что положительные направления тока и напряжения совпадают, при этом знаки и и i одинаковы и r > 0. Величина g = 1/r, обратная сопротивлению, называется проводи-мостью. В системе СИ сопротивление r измеряется в омах (Ом), а проводимость – в сименсах (См). Формула (2.1) выражает закон Ома, экспериментально установленный Омом в 1826 г.

Условное графическое изображение сопротивления (рези-стора) с указанием выбранных положительных направлений тока и напряжения приведено на рис. 2.2.

Мгновенная мощность, поступа-ющая в сопротивление, равна произве-дению мгновенных значений напряже-ния и тока:

22 guriuipr . Следовательно, параметр r может

быть численно определен как отноше-ние мгновенной мощности к квадрату мгновенного тока, проходящего через сопротивление:

2ipr r .

Электрическая энергия, поступившая в сопротивление r и превращенная в теплоту, начиная с некоторого момента времени, например t = 0, до рассматриваемого момента t, равна:

t t t

rr dtgudtridtpw0 0 0

22 .

В случае постоянного тока (i = I = const) wr = rI2t. Превращение электрической энергии wr в тепловую впервые

было доказано Джоулем и Ленцем, установившими тепловой эк-вивалент электрической энергии, равный 0,24 кал/Дж.

Выделение током тепловой энергии впервые использовано для целей освещения А. Н. Лодыгиным, создавшим в 1873 г. лам-пу накаливания. Оно целесообразно используется в технике – электронагревательных приборах и т. п. К вредным последствиям теплового действия тока относятся потери электрической энергии в проводах, машинах, аппаратах, порча изоляции проводов от нагрева и т. п.

Рис. 2.2. Условное обо-значение сопротивления

i

u

r

28

Параметр r в общем случае зависит от тока i (например, вследствие нагре-ва сопротивления током). Зависимость напряжения на сопротивлении от тока, про-ходящего через данное сопро-тивление, называется вольт-амперной характеристикой, которая в общем случае нели-нейна.

Если сопротивление r не зависит от тока и его направ-

ления, то имеет место прямая пропорциональность между напря-жением и током, выражающая закон Ома. В этом случае сопро-тивление называется линейным.

На рис. 2.3 показаны вольт-амперные характеристики со-противления – нелинейная (кривая а) и линейная (прямая б).

2.2.2. Индуктивность

Индуктивностью называется идеализированный элемент

электрической цепи, приближающийся по свойствам к индуктив-ной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля. При этом термин «индуктивность» и соответствующее ему условное обозначение L применяются как для обозначения само-го элемента цепи, так и для количественной оценки отношения потокосцепления самоиндукции к току в данном элементе:

iL .

Потокосцеплением самоиндукции цепи называется сумма произведений магнитных потоков, обусловленных только током в этой цепи, на число витков, с которыми они сцеплены. Если все витки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то потокосцепление равно произведению магнитного потока на чис-ло витков.

Рис. 2.3. Вольт-амперная характе-ристика сопротивлений: а – нелинейная; б – линейная

u

i 0

α

б

а

29

В Международной системе единиц СИ Ψ измеряется в вебе-рах (Вб), L – в генри (Гн). При этом всегда потокосцепление и ток имеют одинаковый знак, так что L > 0.

Зависимость потокосцепле-ния от тока в общем случае нели-нейна, и параметр L зависит от тока. В случае, когда ампер-веберная характеристика Ψ (i) прямолинейна, индуктивность L постоянна (линейная индуктив-ность). На рис. 2.4 показаны нелинейная и линейная зависимости потокосцепления от тока. В этом учебном пособии рассматрива-ются линейные индуктивности.

На основании закона элек-тромагнитной индукции Фарадея – Максвелла изменение потокосцеп-ления самоиндукции вызывает электродвижущую силу (ЭДС) са-моиндукции, которая выражается формулой

dtdeL

. (2.2)

По закону Ленца, выражаю-щему принцип электромагнитной инерции, эта ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что и учитывается знаком минус в (2.2), поскольку положитель-ное направление для eL выбрано совпадающим с положительным направлением i.

Ввиду совпадения положительных направлений eL и i поло-жительные направления магнитного потока вдоль оси витков и наводимой им ЭДС самоиндукции точно так же, как и положи-тельные направления тока и создаваемого им магнитного потока, связаны правилом правоходового винта.

Рис. 2.4. Зависимости потоко- сцепления от тока: а – нелинейная; б – линейная

Ψ

i 0

б а

Рис. 2.5. Условное обозна-чение индуктивности и по-ложительные направления тока, ЭДС самоиндукции и напряжения

i

uL

L

eL

30

Условное графическое изображение индуктивности с указа-нием выбранных положительных направлений тока и ЭДС само-индукции приведено на рис. 2.5. Если L не зависит от i, то предыдущая формула принимает вид

dtdiLeL . (2.3)

Величина

dtdiLeu LL (2.4)

называется падением напряжения в индуктивности или, что то же, напряжением на индуктивности. Положительное направление uL совпадает с положительным направлением i (рис. 2.5).

На основании (2.4) ток в индуктивности

dtuL

i L1 ,

или

t

LdtuL

i 1 .

Нижний предел интеграла принят равным – ∞, так как до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго.

При t = 0 ток в индуктивности равен

01)0( dtu

Li L ,

следовательно,

t

LdtuL

ii0

1)0( ,

т. е. в интервале времени от нуля до t ток в индуктивности изме-

няется на величину t

LdtuL 0

1 , определяемую площадью, ограни-

ченной в этом интервале кривой напряжения uL.

31

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, равна произведению мгновенных тока и напряжения:

dtdiLiiup LL .

Она связана с процессом нарастания или убывания энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля в произвольный мо-мент времени t определяется по формуле

tt

LL LLiLididtpw

0

22

22.

Здесь учтено, что при t = – ∞ ток в индуктивности i (– ∞) = 0. Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным

элементом, связана одновременно и с другим индуктивным эле-ментом, то эти два элемента, кроме параметров L1 и L2, обладают параметром М, называемым взаимной индуктивностью. Послед-ний представляет собой отношение потокосцепления взаимной индукции одного из элементов к току в другом элементе:

1

21

2

12

iiM

, (2.5)

где Ψ12 – потокосцепление первого элемента, обусловленное то-ком второго элемента;

Ψ21 – потокосцепление второго элемента, обусловленное то-ком первого элемента.

В этом случае в первом и втором элементах наводятся ЭДС взаимной индукции, равные соответственно:

.

,

1212

2121

dtdiM

dtde

dtdiM

dtde

M

M (2.6)

Выражения (2.6) получены в предположении, что М не зави-сит от i1 и i2, так как здесь рассматриваются линейные цепи.

М измеряется, так же как и L, в генри. Однако в отличие от параметра L взаимная индуктивность М обозначает не какой-либо

32

самостоятельный элемент электрической цепи, а лишь магнит-ную связь между индуктивными элементами.

Вопрос взаимной индуктивности подробнее рассмотрен далее.

2.2.3. Емкость Емкостью называется идеализированный элемент электри-

ческой цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля. При этом термин «емкость» и соответствующее ему буквенное обозначение С применяются как для обозначения самого элемента цепи, так и для количественной оценки отношения заряда к напряжению на

этом элементе: C = q / uc.

Если q и uC измеряются в ку-лонах (Кл) и вольтах (В), то С –в фарадах (Ф). При этом всегда за-ряд и напряжение имеют одинако-вый знак, так что С > 0.

Зависимость заряда от напряжения в общем случае нели-нейна, и, следовательно, параметр С зависит от напряжения.

В случае, когда вольт-кулон-ная характеристика q(и) прямоли-

нейна, емкость С постоянна (линейная емкость). На рис.2.6 пока-заны нелинейная и линейная зависимости заряда от напряжения. Далее рассматриваются линейные емкости.

Предположим, что емкость образована двумя пластинами, разделенными диэлектриком. Под влиянием приложенного напряжения на пластинах сосредоточатся равные количества электричества противоположных знаков. Пластина с более высо-ким потенциалом зарядится положительным электричеством, а пластина с более низким потенциалом – отрицательным.

Ток равен производной электрического заряда по времени, поэтому с изменением напряжения на емкости в присоединенной

Рис.2.6. Зависимость электри-ческого заряда от напряжения: а – нелинейная; б – линейная

q

u 0

б а

33

к ней последовательно электрической цепи создается ток, кото-рый определяется скоростью изменения заряда на емкости:

dtduC

dtdqi C . (2.7)

Здесь знак заряда q соответствует знаку пластины, к которой направлен ток i.

Этот ток рассматривается как ток проводимости в провод-никах, присоединенных к емкостному элементу (ток, обуслов-ленный движением заряженных частиц под действием электриче-ского поля в веществе, обладающем электропроводностью), переходящий в ток смещения в диэлектрике емкостного элемента. Последнее понятие, применяемое в теории поля, означает вели-чину, прямо пропорциональную скорости изменения напряжен-ности электрического поля.

Напомним, что напряженность электрического поля опреде-ляется силой, действующей на электрический заряд, равный еди-нице. Ток смещения имеет размерность тока. Благодаря введению этого понятия ток в цепи с емкостью представляется замкнутым через диэлектрик. Согласно (2.7) ток положителен, когда заряд q и соответственно напряжение ис возрастают.

На основании (2.7) напряжение на емкости

idtC

uC1

или

01 idt

CuC .

Здесь, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго, и поэтому нижний предел интеграла принят равным – ∞.

При t = 0 напряжение на емкости

01)0( idt

CuC .

34

Следовательно,

t

CC idtC

uu0

1)0( ,

т. е. в интервале времени от нуля до t напряжение на емкости из-

меняется на величину tidt

C 0

1 , определяемую площадью, ограни-

ченной в этом интервале кривой тока i. Условное графическое изображение емкости с указанием

положительных направлений тока и напряжения приведено на рис. 2.7. Полярность емкости, указанная на рис. 2.7 знаками «+» и «–», соответствует положительному напряжению ис, т. е. положи-

тельному заряду на пластине +. Мгновенная мощность, посту-

пающая в емкость, равна

dtduCuiup C

CCC .

Она связана с процессом накопления или убыли электриче-ского заряда в емкости.

Когда заряд положителен и возрастает, ток положителен и в ем-кость поступает электрическая энер-

гия из внешней цепи. Когда заряд положителен, но убывает, т. е. ток отрицателен, энергия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.

Допустим, что к емкости С приложено некоторое напряже-ние uC. Энергия электрического поля в произвольный момент времени t определяется по формуле

CuC

CC

t

CС CqCuduCudtpw

0

22

22.

В данном выражении учтено, что при t = – ∞ напряжение на емкости ис(– ∞) = 0.

i

uC

C + –

Рис. 2.7. Условное обозна-чение емкости и положи-тельное направление тока и напряжения

35

2.2.4. Замещение физических элементов идеализированными элементами цепи

Представление о сопротивлении, индуктивности и емкости

как идеализированных элементах электрической цепи основано на предположении, что потери энергии, магнитное и электриче-ское поля сосредоточиваются в отдельных, не зависящих друг от друга элементах цепи. Раздельное рассмотрение сопротивления, индуктивности и емкости представляет приближенный метод ис-следования цепи. В действительности потери энергии, магнитные и электрические поля сопутствуют друг другу.

Вследствие наличия магнитного и электрического полей проводник наряду с сопротивлением имеет некоторые индуктив-ность и емкость.

Для уменьшения индуктивности и собственной емкости проволочные резисторы выполняются в виде пластинчатых или плетеных элементов. Применяются также непроволочные рези-сторы. Последние представляют собой фарфоровые цилиндрики, на которые нанесен слой углерода (так называемые углеродистые резисторы), или стержни из глинистого материала, смешанного с графитом (объемные карбокерамические резисторы).

Теперь представим себе простейшую индуктивную катушку в виде нескольких круговых витков проводника, по которому проходит ток.

При постоянном токе напряжение на выводах катушки определится падением напряжения на ее сопротивлении в соот-ветствии с (2.1) и ток во всех точках будет одинаковым.

При переменном же токе изменяющееся магнитное поле бу-дет наводить в витках ЭДС самоиндукции. Между витками, так же как и между отдельными точками смежных витков, электри-ческое поле станет переменным. В связи с этим ток в различных витках будет неодинаковым, так как появится ток смещения между витками. Чем выше частота переменного тока, тем больше будут ЭДС самоиндукции и ток смещения. При низких частотах током смещения можно пренебречь, при высоких же частотах ток смещения, обусловленный изменением напряженности электри-ческого поля, может быть соизмерим по величине с током в вит-ках или даже может превышать его. Таким образом, в зависимо-

36

сти от выбранного диапазона частот индуктивная катушка может быть представлена либо как сопротивление r (при постоянном токе – рис. 2.8, a), либо как индуктивность L с последовательно включенным сопротивлением r (при низких частотах – рис. 2.8, б), либо как индуктивность L и сопротивление r, соединенные па-раллельно с емкостью С (при высоких частотах – рис. 2.8, в).

Если катушка имеет много витков, то проходящий через нее ток создает магнитный поток, пропорциональный числу витков. Считая, что этот магнитный поток сцеплен со всеми витками ка-тушки, приходим к выводу, что потокосцепление самоиндукции и соответственно индуктивность катушки пропорциональны квадрату числа витков.

Положим, например, что катушка, состоящая из w витков, насажена на тороидальный магнитопровод или достаточно длин-ный прямолинейный магнитопровод, длина которого l (м) и пло-щадь поперечного сечения S (м2).

Обозначим через μа абсолютную магнитную проницаемость магнитопровода (равную произведению относительной магнит-ной проницаемости на магнитную постоянную μ0 = 4π ·10–7 Гн/м).

Рис. 2.8. Электрические схемы замещения индуктивной катушки:

а – при постоянном токе; б – при низких частотах; в – при высоких частотах

Магнитный поток в веберах (Вб) определяется отношением

Магнитодвижущей силы (м. д. с.) всей катушки iw к магнитному сопротивлению магнитопровода rм ≈ l / μaS:

lSiw a ,

r r L

r L

C

а б в

37

поэтому индуктивность катушки в генри (Гн) согласно определению

lSw

iwL a

2

.

Она определяется геометрическими размерами катушки, магнитной проницаемостью материала магнитопровода и квадра-том числа витков.

Перейдем теперь к рассмотрению плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, разделенных диэлек-триком. При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи не будет. Если напряжение переменно, то в процессе изменения электрического заряда возникает переменный ток, со-здающий переменное магнитное поле. Эффект, вызываемый маг-нитным полем, может быть учтен в электрической схеме замеще-ния с помощью некоторой индуктивности, включенной последо-вательно с емкостью конденсатора. Обычно этой индуктивностью прене-брегают из-за ее относительной ма-лости. Наконец, в диэлектрике благо-даря некоторой проводимости возни-кают тепловые потери, которые воз-растают с частотой. Потери на нагрев учитываются в схеме замещения кон-денсатора посредством сопротивле-ния r, включенного параллельно емкости С (рис. 2.9).

Емкость конденсатора определяется размерами обкладок, расстоянием между ними и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

2.2.5. Источники ЭДС и источники тока

В теории электрических цепей пользуются идеализирован-ными источниками электрической энергии: источником ЭДС и источником тока. Им приписываются следующие свойства.

Идеальный источник ЭДС представляет собой активный элемент с двумя выводами, напряжение на которых не зависит от тока, проходящего через источник. Предполагается, что внутри такого идеального источника пассивные элементы (r, L, С) отсут-

Рис. 2.9. Электрическая схема замещения конден-сатора

r

C

38

ствуют, и поэтому прохождение через него тока не вызывает в нем падения напряжения.

Рис. 2.10. Источники ЭДС: а, б – идеальные; в – конечной мощности

Упорядоченное перемещение положительных зарядов в ис-

точнике от меньшего потенциала к большему возможно за счет присущих источнику сторонних сил. Работа, затрачиваемая сто-ронними силами на перемещение единицы положительного заря-да от вывода «–» к выводу «+», называется электродвижущей си-лой (ЭДС) источника и обозначается e (t).

В соответствии со сказанным выше напряжение на выводах рассматриваемого источника равно его ЭДС, т. е. u(t) = e(t).

Условные обозначения идеального источника ЭДС приведе-ны на рис. 2.10, а, б. Здесь стрелкой или знаками «+» и «–» указа-ны положительное направление ЭДС или полярность источника, т. е. направление возрастания потенциала в источнике для мо-ментов времени, соответствующих положительной функции е (t). Ток в пассивной электрической цепи, подключенной к источнику ЭДС, зависит от параметров этой цепи и ЭДС е (t). Если выводы идеального источника ЭДС замкнуть накоротко, то ток теорети-чески должен быть бесконечно велик, поэтому такой источник рассматривается как источник бесконечной мощности (теорети-ческое понятие). В действительности при замыкании зажимов ре-ального источника электрической энергии – химического источ-ника тока, генератора и т. п. – ток может иметь только конечное значение, так как ЭДС источника уравновешивается падением

+ e(t) e(t) u(t)

– u(t) e(t)=u(t)

а б в

39

напряжения от тока внутри источника (например, в сопротивле-нии r, индуктивности L).

Источник ЭДС конечной мощности изображается в виде идеального источника ЭДС с подключенным к нему последова-тельно пассивным элементом, который характеризует внутренние параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь (рис. 2.10, в). Обычно внутренние параметры ис-точника конечной мощности незначительны по сравне-нию с параметрами внешней цепи и могут быть отнесены к последней или в некоторых случаях могут вовсе не учи-тываться (в зависимости от соотношения величин и тре-буемой точности расчета).

Идеальный источник тока представляет собой активный элемент, ток которого не зави-сит от напряжения на его выводах. Предполагается, что внутрен-нее сопротивление такого идеального источника бесконечно ве-лико, поэтому параметры внешней электрической цепи, от кото-рых зависит напряжение на выводах источника, не влияют на ток источника.

Условные обозначения идеального источника тока приведе-ны на рис. 2.11, а, б. Стрелка в источнике тока или знаки «+» и «–» указывают положительное направление тока i(t) или поляр-ность источника, т. е. направление перемещения положительных зарядов, или, что то же, направление, противоположное направ-лению движения отрицательных зарядов, для тех моментов вре-мени, когда функция i(t) положительна.

По мере неограниченного увеличения сопротивления внешней электрической цепи, присоединенной к идеальному ис-точнику тока, напряжение на его выводах и соответственно его мощность, развиваемая им, неограниченно возрастают. По этой причине идеальный источник тока, как и идеальный источник напряжения, рассматривается как источник бесконечной мощности.

Рис. 2.11. Источники тока: а, б – идеальные;

в – конечной мощности

+ i (t)

–

а б в

I i (t)

40

Источник конечной мощности изображается в виде идеаль-ного источника тока с подключенным к его выводам пассивным элементом, который характеризует внутренние параметры источ-ника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю элек-трическую цепь.

Рис.2.12. Вольт-амперные характеристики источников ЭДС и тока: а – идеальный источник ЭДС; б – идеальный источник тока

Представляя собой теоретическое понятие, источник тока

применяется в ряде случаев для расчета электрических цепей. Некоторым подобием источника тока может служить

устройство, состоящее из аккумулятора, соединенного последо-вательно с дополнительным большим сопротивлением. Другим примером источника тока может являться пятиэлектродная уси-лительная электронная лампа (пентод). Имея внутреннее сопро-тивление, несоизмеримо большее, чем сопротивление внешней электрической цепи, эти устройства отдают ток, почти не зави-сящий от изменения внешней нагрузки в больших пределах, и именно в этом отношении они аналогичны источнику тока.

Вольт-амперные характеристики идеальных источников ЭДС и тока представляются прямыми, параллельными осям i и u (рис.2.12, а, б). Реальные источники электрической энергии по своим вольт-амперным характеристикам могут приближаться к идеальным источникам напряжения или тока. Например, в значи-тельной части характеристики u = f(i) напряжение на выводах ге-нератора постоянного тока с независимым возбуждением, а также

u

i

E

u

i I а б

41

ток i генератора постоянного тока с последовательным возбуж-дением изменяются незначительно.

2.3. Законы Кирхгофа

Основными законами теории цепей наряду с законом Ома

являются законы баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).

Распределение токов и напряжений в электрических цепях подчиняется законам Кирхгофа, поэтому они должны быть осно-вательно усвоены для отчетливого понимания материала всех по-следующих разделов курса.

2.3.1. Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

0 i . (2.8) Суммирование распространяется на токи i в ветвях, сходя-

щихся в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом выбранных положительных направлений токов: всем то-кам, направленным к узлу, в уравнении (2.8) приписывается оди-наковый знак, например положительный, и соответственно все токи, направленные от узла, входят в уравнение (2.8) с противо-положным знаком. Иначе говоря, всякий ток, направленный от узла, может рассматриваться как ток, направленный к узлу, но имеющий противоположный знак.

На рис. 2.13, а в качестве примера показан узел, в котором сходятся четыре ветви.

Уравнение (2.8) имеет в этом случае вид 04321 iiii .

Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле элек-трический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма элек-трических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

42

Рис. 2.13. Иллюстрация к первому закону Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к

любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме электричество одного знака не может накапли-ваться.

Так, например, для схемы рис. 2.13, б имеем 0321 iii .

2.3.2. Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна ал-

гебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

ue . (2.9) Обход контура совершается в произвольно выбранном

направлении, например по ходу часовой стрелки. При этом со-блюдается следующее правило знаков для ЭДС и падений напря-жения, входящих в (2.9): ЭДС и падения напряжения, совпадаю-

i1

i2

i3

i4

i1

i3 i2

а

б

43

щие по направлению с направлением обхода, берутся с одинако-выми знаками. Например, для схемы рис. 2.14 имеем

432121 uuuuee .

Рис. 2.14. Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа Уравнение (2.9) можно переписать так:

0)( eu . (2.10) Здесь (и – е) – напряжение на ветви. Следовательно, алгеб-

раическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом кон-туре равна нулю.

Формулы (2.8) и (2.9) написаны в общем виде для мгновен-ных значений токов, напряжений и ЭДС, справедливы для цепей как переменного, так и постоянного тока.

e1

e2

u2

u1

u3

u4 Направление обхода

44

Глава 3

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ТОКЕ И ПЕРЕМЕННОМ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Электрические цепи постоянного тока, как и любые цепи,

состоят из источников электрической энергии постоянного тока и потребителей энергии. В качестве источников широко распро-странены генераторы постоянного тока и гальванические элементы. Потребителями электрической энергии являются резисторы, элек-трические двигатели постоянного тока, электролизные ванны, электрические лампочки и другие устройства.

Электрическая энергия в настоящее время производится, распределяется и потребляется в виде энергии переменного тока, который в сравнении с постоянным током обладает рядом суще-ственных преимуществ. Переменный ток получают относительно просто, а энергию переменного тока легко передавать на большие расстояния. Используемые при этом машины переменного тока намного проще и дешевле машин постоянного тока.

Методы расчета (анализа) цепей постоянного и переменного тока одни и те же, поэтому ниже эти методы рассмотрены на примере цепей переменного тока.

3.1. Гармоническое воздействие

Электромагнитный процесс в электрической цепи, при кото-

ром мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называются периодом. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F(t), то для любого положительного или отрица-тельного значения аргумента t справедливо равенство

)()( tFTtF ,

где T – период.

45

Геометрически это значит, что ординаты двух произвольных точек графика F(t) с абсциссами, различающимися на T, одинаковы.

Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

Tf 1 .

Единицей измерения частоты служит герц (Гц). Частота равна 1 Гц, если период равен 1 секунде.

Преобладающим видом периодического процесса в элек-трических цепях является синусоидальный режим, характеризу-ющийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидаль-ными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных ЭДС и токах источников.

Рис. 3.1. Синусоидальная функция

Как известно из курса математического анализа, синусоида

является простейшей периодической функцией. Всякие другие несинусоидальные периодические функции могут быть разложе-ны в бесконечный ряд синусоид, имеющих кратные частоты. По этой причине для исследования процессов в цепях переменного тока в первую очередь необходимо изучить особенности цепей синусоидального тока.

0

u

ωt

Um Umsin ψ

ψ > 0 ωt

2π

u = Umsin (ωt + ψ)

46

На рис. 3.1 изображена синусоидальная функция )sin( tUu m , (3.1)

где Um – максимальное значение, или амплитуда; – скорость изменения аргумента (угла), называемая угло-

вой частотой, рад/с, f 2 ; (3.2)

– начальная фаза, определяемая смещением синусоиды относительно начала координат, измеряется абсциссой точки перехода отрицательной полуволны в положительную.

Начальная фаза представляет собой алгебраическую вели-чину. Угол положителен и отсчитывается вправо к точке t = 0, когда синусоидальная функция смещена влево относительно начала координат (рис. 3.1).

Косинусоида может рассматриваться как синусоида с начальной фазой 2/ . Если функция задана в косинусоидаль-ной форме )cos( 1 tUu m , то она может быть приведена к виду (3.1) путём замены 2/1 , поэтому к синусоидальным функциям (3.1) в общем случае причисляются и косинусоидаль-ные функции.

За аргумент функции (3.1) может быть принято время t или соответственно угол t . Аргументу t соответствует период T, а аргументу t – период 2T . Следует иметь в виду, что аргу-мент t выражается в радианах, причем в тех же единицах выра-жается и начальная фаза.

Если угол вычисляется в градусах, то аргумент t также переводится в градусы; в этом случае период составляет 360 0 .

Величина t , определяющая стадию изменения синусо-идальной величины (3.1), называется фазовым углом или фазой. С течением времени фаза возрастает, причем после увеличения фа-зы на 2 цикл изменения синусоидальной величины повторяется.

Рассмотренные в данном параграфе понятия, характеризую-щие синусоидальные электрические величины, являются исход-ными при изучении электрических процессов в цепях переменного тока.

47

Среднее значение периодической функции F (t) за период T определяется по формуле

dttfT

FT

ср 0

)(1 . (3.3)

Отсюда видно, что среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием T, площадь которого равна площади, ограниченной функцией F (t) и осью абсцисс за один период.

В случае синусоидальной функции среднее значение за пе-риод равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны синусоиды. В связи с этим здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютному значению среднего полупери-одного или средневыпрямленного значения, соответствующего положительной полуволне синусоиды (рис. 3.2).

В соответствии с этим среднее значение синусоидального тока с амплитудой mIA будет следующим:

mmTm

Tm

ср IItTIdtt

TII 637,02cos2sin2 2/

0

2/

0

. (3.4)

Аналогичное среднее значение синусоидального напряжения

mmср UUU 637,02

. (3.5)

Измерительные приборы магнитоэлектрической системы реагируют на средние значения за период. Для измерения средне-го полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне, синусоидальный ток предварительно пропускается через выпрямительное устройство.

Тепловое действие тока, а также механическая сила взаимо-действия двух проводников, по которым проходит один и тот же ток, пропорциональны квадрату тока, поэтому о величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадра-тичному) значению за период.

Действующее значение периодической функции F (t) вычис-ляется по формуле (3.6). Из этой формулы следует, что величина

48

2F представляет собой среднее значение функции 2)(tf за период T.

dttfT

FT

0

2)(1 . (3.6)

Эта величина равна высоте прямоугольника с основанием T, площадь которого равна площади, ограниченной функцией 2)(tf и осью абсцисс за один период.

Рис. 3.2. Среднее полупериодное значение синусоидальной функции В соответствии с (3.6) действующий периодический ток

dtiT

IT

0

21 . (3.7)

Возведя в квадрат и умножив обе части полученного выра-жения на r T, найдем

dtriTrIT

0

22 .

Это равенство показывает, что действующий периодический ток равен такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление r, за период времени T выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

0 t

f(t)

A

T/2

2A/π

49

Аналогично действующее напряжение

dtuT

UT

0

21 . (3.8)

При синусоидальном токе

TIdttIdttIdti mT

mT

m

T

2)2cos1(

2sin

2

0

22

0

2

0

2 .

Следовательно, согласно (3.7),

mm III 707,02 . (3.9)

Аналогично действующее значение синусоидального напря-жения

mm UUU 707,02 . (3.10)

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующими значения-ми, поэтому действующие значения представляют наиболее рас-пространённый электрический параметр.

Для измерения действующих значений применяются системы приборов: тепловая, электромагнитная, электродинамическая и др.

3.2. Синусоидальный ток в сопротивлении

Если синусоидальное напряжение )(sin tUu m подвести

к сопротивлению r (рис. 3.3), то через сопротивление пройдет си-нусоидальный ток

)(sin)(sin tItr

Ui mm .

Следовательно, напряжение на выводах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они одно-временно достигают своих амплитудных значений mU и mI и со-ответственно одновременно проходят через нуль (рис. 3.3).

50

Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинако-вую частоту, называется фазовым сдвигом.

В данном случае фазовый сдвиг между напряжением u и током i равен нулю:

.0 iu

При прохождении синусои-дального тока через сопротивление r не только мгновенные напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно дей-ствующее напряжение и ток связа-ны законом Ома:

.; rIUrIU mm

Пользуясь величиной прово-димости g = 1/r, получаем

., gUIgUI mm

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление:

,)(2cos1)(sin2 tUItIUuip mmr (3.11)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с ча-стотой напряжения и тока, и колеблется в пределах от 0 до 2UI.

Как видно из (3.11), кривая rp состоит из двух слагаемых: постоянной величины UI и косинусоидальной функции, имеющей амплитуду UI и угловую частоту 2 .

Ввиду того, что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. всегда имеют одинаковый знак (плюс или минус), их произведение всегда положительно.

Среднее значение мощности за период T

r dtpT

P0

1 называ-

ется активной мощностью и измеряется в ваттах. В рассматриваемом случае, как видно из выражения (3.11),

активная мощность 2rIUIP . Это следует также из определе-ний, данных в предыдущем параграфе.

Рис. 3.3. Синусоидальный ток в сопротивлении

u,i

ωt ψ > 0

2π

u

i π

u

r i

51

Сопротивление r в свою очередь может быть определено как отношение активной мощности к квадрату действующего значе-ния тока: 2/ IPr .

Известно [1], что сопротивление проводника при перемен-ном токе больше, чем при постоянном токе, вследствие явлений поверхностного эффекта, возникновения вихревых токов и излу-чения электромагнитной энергии в пространство (при высоких частотах).

3.3. Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L (рис. 3.4) проходит ток

)(sin tIi m .

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по фор-муле

)2

sin()cos( tUtLI

dtdiLe mmL .

Значит, напряжение на индуктивности

)2

(sin tUeu mLL .

Полученное выражение показывает, что напряжение на ин-

дуктивности опережает ток на угол 2 : максимум напряжения

смещен влево относительно максимума тока. Когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрица-тельного максимума, так как оно пропорционально скорости из-менения тока dtdi / , которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наиболь-шую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его из-менения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обра-щаются в нуль. Под фазовым сдвигом понимается разность начальных фаз напряжения и тока. Следовательно, в данном случае

2

in .

52

Амплитуды, так же как и действующие значения напряже-ния и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома:

.; IxUIxLIU LmLmm

Величина LxL , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротив-лением, обратная ей величина

LbL /1 называется индуктивной проводимостью.

Итак, .; UbIUbI LmLm

Индуктивное сопротивление представляет собой расчетную вели-чину, с помощью которой учитыва-ется явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, посту-пающая в индуктивность, будет

).(2sin)sin()cos(22

)sin()2

(sin

tUIttIU

ttIUuip

mm

mmL

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой часто-той 2 , имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном слу-чае равна скорости изменения энергии магнитного поля индук-тивности.

Энергия магнитного поля индуктивности

)(2cos12

)(sin22

22

22

tLItLILiW mL

изменяется периодически с угловой частотой 2 в пределах от 0

до 2

2mLI .

Поступая от источника, энергия временно запасается в маг-нитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля дости-

u,i

ωt ψ > 0

u i

φ = π/2

u

L i

Рис. 3.4. Синусоидальный ток в индуктивности

53

гает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между ис-точником и индуктивностью, причем активная мощность, посту-пая в индуктивность, равна нулю.

Так как максимальная энергия, запасаемая в магнитном по-ле, равна 2

max LIWL , то индуктивное сопротивление LxL может быть определено как

2max

lWx L

L

.

3.4. Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости C (рис. 3.5) синусоидально:

)sin( tUu m .

Ток в емкости

)2

(sin)(cos tItCU

dtduCi mm . (3.12)

Выражение (3.12) показывает, что ток I опережает прило-женное напряжение u на угол 2/ (рис. 3.5).

Нулевым значениям тока соот-ветствуют максимальные (положи-тельные или отрицательные) значе-ния напряжения u. Физически это объясняется тем, что когда электри-ческий заряд q и соответственно напряжение Cqu / достигают мак-симального значения (положитель-ного или отрицательного), ток i ра-вен нулю.

Под фазовым током относи-тельно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т. е.

2/ iu .

Рис. 3.5. Синусоидальный ток в емкости

u,i

ωt ψ > 0

u i

φ = π/2

u

C i

54

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где 2/ , фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае

емкости отрицателен ( 2/ ) . Амплитуды и соответственно действующие напряжение и

ток связаны соотношением, подобным закону Ома:

IxUIxIC

U CmCmm

;1 .

Величина ,/1 CxC имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина

CbC называется емкостной проводимостью. Следовательно,

UbIUbI CmCm ; .

Энергия электрического поля емкости

)(2cos12

)(sin22

22

22

tCUtCUCu mС

изменяется периодически с угловой частотой 2 в пределах от 0

до 2

2mCU .

Поступая от источника, энергия временно запасается в элек-трическом поле емкости, затем возвращается в источник при ис-чезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при амплитудном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как и в случае индуктивности, проис-ходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность P = 0.

Так как максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле, равна 2

max СUWL , то емкостное сопротивление CIUxC /1/ может быть определено как

2max

lWx C

C

.

55

3.5. Последовательное соединение R, L, C При прохождении синусоидального тока tIi m sin через

электрическую цепь, состоящую из последовательно соединен-ных элементов r, L и C (рис. 3.6), на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, рав-ное алгебраической сумме сину-соидальных напряжений на от-дельных элементах (второй закон Кирхгофа):

CLr uuuu .

Напряжение ru на сопротив-лении r совпадает по фазе с током i, напряжение Lu на индуктивно-сти L опережает, а напряжение Cu

на емкости C отстает по фазе от i на 2 . Следовательно, напряже-

ние u на выводах цепи следующее:

.cossincos)1(sin

cos1cossin)sin(

txtrItIC

LtrI

tIC

tLItrItU

mmm

mmmm

(3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных напря-

жений. Входящая в него величина C

Lxxx CL

1 называ-

ется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (x > 0) или емкостный характер (x < 0).

В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопро-тивление r всегда положительно.

Для нахождения mU и воспользуемся следующими триго-нометрическими соотношениями:

r L

ur

u

C

uL uC

i

Рис. 3.6. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

56

.arctg

);(sincossin 22

mn

nmnm

(3.14)

Итак,

;22mm IxrU (3.15)

rx

tg . (3.16)

Выражение (3.15) показывает, что амплитуда и действую-щее напряжение и ток, проходящий через данную цепь, связан-ный соотношением, аналогичным закону Ома,

,, zIUzIU mm

где

22 xrz , (3.17) называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Выражения (3.13) и (3.16) показывают, что ток i отстает от

напряжения u на угол rxarctg .

Если задано напряжение )(sin tUu m на выводах цепи с последовательно соединенными r, L и С, то ток определяется по формуле

).(sin tz

Ui m

Угол , равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси t в направлении от напряжения к току и бывает острым или прямым:

2

.

57

Угол положителен при индуктивном характере цепи, т. е. при x > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения и отсчиты-вается по оси абсцисс вправо от напряжения к току (рис. 3.7).

Угол отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при x < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение и отсчиты-вается по оси абсцисс влево от напряжения к току (рис. 3.8).

Итак, следует всегда помнить, что угол положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе.

Ток совпадает с напряжением по фазе при 0 CL xxx , т. е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений.

Рис. 3.7. Ток отстает

от напряжения

Рис. 3.8. Ток опережает напряжение

Из выражений (3.16) и (3.17) следует, что активное и реак-

тивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами

sin,cos zxzr . (3.18) Умножив правые и левые части выражений (3.18) на дей-

ствующий ток I, получим действующие напряжения на активном и реактивном сопротивлениях, называемые активной и реактив-ной составляющими напряжения:

u,i

ωt

φ > 0

u i

ψi

ψи

u,i

ωt

φ < 0

u i

58

.sinsin;coscos

UIzxIUUIzrIU

р

а (3.19)

Мгновенные значения напряжений на активном и реактив-ном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически, имеют фа-

зовый сдвиг 2 . По этой причине непосредственное сложение

действующих активного и реактивного напряжений не дает дей-ствующего напряжения всей цепи: согласно (3.19), активная и ре-активная составляющие напряжения связны с действующим сум-марным напряжением формулой

.22pa UUU

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением элементов r и L, пользу-ются понятием добротности катушки rLrxQ LL // , которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз для катушки. Чем меньше сопротивление r, тем выше при прочих равных условиях доброт-ность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в радио-технике, автоматике и приборостроении, обычно не превышает

300200LQ . Для достижения более высокой добротности при-меняются так называемые пьезоэлектрические резонаторы.

3.6. Параллельное соединение R, L, C

Если к выводам электрической цепи, состоящей из парал-

лельно соединенных элементов r, L и С (рис. 3.9), приложено си-нусоидальное напряжение tUu m sin , то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме синусо-идальных токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа):

.CLr iiii

Ток ri в сопротивлении r совпадает по фазе с напряжением u, ток Li в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на 2/ .

59

Следовательно, суммарный ток в цепи

.cossincos)1(sin1

coscos1sin1)sin(

tbtgUtCL

tr

U

tCUtUL

tUr

tI

mm

mmmm

(3.20)

Уравнение (3.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных токов. Входящая в него величина

CL

bbb CL

1 называется ре-

активной проводимостью цепи, ко-торая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или ем-костный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b вели-чина rg /1 , которая в данном случае называется активной прово-димостью, всегда положительна.

Для нахождения mI и воспользуемся следующими соот-ношениями:

,22mmm yUUbgI (3.21)

.tggb

(3.22)

Из (3.21) следует, что ,или yUIyUI mm

где

22 bgy (3.23)

полная проводимость рассматриваемой цепи. Активная, реактивная и полная проводимости относятся к

числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

r L u C

i

ir iL iC

Рис. 3.9. Параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

60

Согласно (3.22), ток в неразветвленном участке цепи i отста-ет от напряжения u на угол

.

1

arctgarctgg

CL

gb

Если задано напряжение )sin( tUu m на выводах цепи с параллельно соединенными r, L и С, то ток определяется по фор-муле

).sin( tyUi m

Угол , как и в предыдущем случае, отсчитывается по оси углов t в направлении от напряжения к току и является острым или прямым:

20

.

Угол положителен при индуктивном характере цепи, т. е. при b > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Угол отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при b < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение.

Ток совпадает с напряжением по фазе при 0 CL bbb , т. е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимости. Та-кой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (3.22) и (3.23) следует, что активная и реактивная прово-димости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

.sin;cos ybyg (3.24) Умножив правые и левые части выражений (3.24) на дей-

ствующие значения напряжения U, получим действующие значе-ния токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями, называемые активной и реактивной составляющими тока:

.sinsin;coscos

IUybUIIUygUI

p

a

(3.25)

61

Активная и реактивная составляющие тока связаны с дей-ствующим значением суммарного тока формулой

.22pa III

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с параллельным соединением элементов r и С, применяется поня-тие добротности конденсатора CrgbQ CC / , которое равно-значно тангенсу угла конденсатора. Обратная величина назы-вается тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора:

CQ/1tg (угол диэлектрических потерь дополняет угол до 90 0 ).

Чем больше сопротивление r, тем больше (при прочих рав-ных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол по-терь.

Добротность конденсаторов, применяемых в радиотехнике, автоматике и приборостроении, определяется сотнями и тысячами.

3.7. Мощность в цепи синусоидального тока Ранее рассматривались энергетические соотношения в от-

дельных элементах r, L и C при синусоидальном токе. Разберем теперь более общий случай участка электрической

цепи, напряжение на котором равно U = Um sin ωt, а ток I = Im sin (ωt – φ).

Мгновенная мощность, поступающая в цепь, P = UmIm sin (ωt) sin (ωt – φ) (3.26)

состоит из двух слагаемых: постоянной величины UIcos φ и си-нусоидальной, имеющей удвоенную частоту по сравнению с ча-стотой напряжения и тока.

Среднее значение второго слагаемого за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменений, равно нулю, по-этому активная мощность, поступающая в рассматриваемый уча-сток цепи,

T

UIiudtT

P0

cos1 . (3.27)

62

Множитель cos φ носит название коэффициента мощности. Как видно из (3.27), активная мощность равна произведению дей-ствующих значений напряжения и тока, умноженному на коэф-фициент мощности.

Чем ближе угол φ к нулю, тем ближе cos φ к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях U и I актив-ная мощность передается источником приемнику.

Повышение коэффициента мощности промышленных электроустановок представляет важную технико-экономическую задачу.

Выражение активной мощности может быть преобразовано с учетом (3.18) и (3.24):

P = z I2 cos φ = rI2, P = y U2 cos φ = gU2 .

Активная мощность может быть также выражена через ак-тивную составляющую напряжения (Ua = Ucos φ) или активную составляющую тока (Ia = Icos φ):

P = UaI, P = UIa. Рассмотрим более общий случай активно-реактивной цепи,

например цепи, содержащей сопротивление и индуктивность; при этом

20

и 1cos0 .

Согласно (3.26) мгновенная мощность колеблется с удвоен-ной угловой частотой 2ω относительно линии, отстоящей от оси времени на P = UI cos φ.

В промежутки времени, когда U и I имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна; энергия поступает от ис-точника в приемник, поглощается в сопротивлении и запасается в магнитном поле индуктивности.

В электрических системах, в которых источниками электри-ческой энергии являются генераторы переменного тока, мощность получается от первичных двигателей, приводящих ге-нераторы во вращение. В радиотехнике и электронике, где сину-соидальные колебания создаются с помощью электронных или

63

полупроводниковых приборов, мощность получается от источни-ков постоянного тока, питающих электронные генераторы или другого рода устройства.

Величина, равная произведению действующих тока и напряжения,

S = UI (3.28) называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА). Следует заметить, что амплитуда синусоидальной составля-ющей мгновенной мощности численно равна полной мощности.

На основании (3.27) и (3.28) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной:

cos φ = P/S. При расчетах электрической цепи и на практике в эксплуа-

тации пользуются также понятием реактивная мощность, кото-рая вычисляется по формуле

Q = UI sin φ и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока. Эта мощность выражается в единицах, называемых вар. Очевидно

S2 = P2 + Q2, sin φ = Q/S, tg φ = Q/P. Выражение реактивной мощности может быть преобразовано

с учетом (3.18) и (3.24): Q = zI2 sin φ = xI2, Q = yU2 sin φ = bU2.

Реактивная мощность может быть также выражена через ре-активную составляющую тока (Ip = I sin φ) или реактивную со-ставляющую напряжения (Up = U sin φ):

Q = UpI, Q = UIp. В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла

φ реактивная мощность положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка).

Понятия активная (средняя), реактивная и полная мощности являются удобными определениями мощностей, которые прочно укоренились на практике.

64

Реактивные мощности, приводимые к индуктивности и емкости, могут быть представлены в следующем виде:

max

22

22sin L

mL WLILIUIUIQ

;

max

22

2)

2(sin C

mC WCUCUUIUIQ

,

где WLmax и WCmax – максимальные значения энергии, периодиче-ски запасаемой индуктивностью и емкостью.

Реактивная мощность цепи, содержащей индуктивность и емкость, пропорциональна разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

Q = ω (WLmax – WCmax) . (3.29) Читателям предлагается проверить и самостоятельно убе-

диться в том, что эта формула справедлива при любом соедине-нии индуктивности и емкости: последовательном, параллельном или в какой-либо комбинации с сопротивлениями.

3.8. Представление синусоидальных функций в виде

проекции вращающихся векторов

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей синусоидального тока, рассмотренная ранее, практически приме-нима только для простейших электрических цепей, не содержа-

щих большого числа контуров и ис-точников, взаимных индуктивностей.

С усложнением электрических цепей тригонометрическая форма расчета становится крайне затрудни-тельной и требуется метод, позволя-ющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраиче-ски, аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным ме-тодом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), ос-

+

A

α

A1

A2

+ j

0

Рис. 3.10. Вектор, изоб-ражающий комплексное число

65

нованный на замене рассмотрения синусоидальных функций рас-смотрением вращающихся векторов.

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиусом-вектором этой точки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец нахо-дится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 3.10). Пользуясь показательной или полярной формой запи-си комплексного числа, имеем

AAeA j , где А – модуль;

α – аргумент или фаза. Применив формулу Эйлера, можно получить тригономет-

рическую форму записи комплексного числа A = Acos α + jAsin α

или, соответственно, алгебраическую форму A = A1 + jA2,

где A1 = Acos α, A2 = Asin α.

Очевидно, что 22

21

2 AAA , 1

2arctgAA

.

Вектор, вращающийся в положительном направлении, т. е.

против часовой стрелки, с угловой скоростью ω, может быть вы-ражен следующим образом:

tjtj eAAe )( , (3.30)

где jAeA – комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0. Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны со-ответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусои-дальной функции.

66

Множитель tje является оператором вращения. Умножение комплексной амплитуды A на tje означает поворот вектора A на угол ωt в положительном направлении.

Записывая комплексную функцию (3.30) в тригонометриче-ской форме

)( tjAe = A cos (ωt + α) + jA sin (ωt + α), заключаем, что синусоидальная функция может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции, взятая без множителя j, или, что то же, как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записывается так:

A sin (ωt + α) = Im( tjeA ). Символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплекс-

ной функции. Аналогично косинусоидальная функция может быть в слу-

чае необходимости представлена как действительная часть ком-плексной функции (3.30):

A cos (ωt + α) = Re( tjeA ), где символ Re обозначает, что берется действительная часть ком-плексной функции.

Если синусоидальные функции имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с оди-наковой угловой скоростью и поэтому углы между ними сохра-няются неизменными.

Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Ввиду того что сумма проекций двух векторов равна проекции геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза результирующей кривой могут быть найдены из векторной диаграммы.

3.9. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в

случае последовательного и параллельного соединений r, L и С.

67

3.9.1. Последовательное соединение r, L и С Положим, что в уравнении Кирхгофа

idtCdt

diLriu 1 (3.31)

заданными являются величины r, L, С и синусоидальное напря-жение U = Umsin (ωt + φ) на цепи, а искомой величиной является ток I. Ввиду того, что здесь рассматривается установившийся ре-жим цепи синусоидального тока, решение этого дифференциаль-ного уравнения должно дать синусоидальную функцию вида

I = Imsin (ωt + φ – ψ), где Im и (φ – ψ) – пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.

Пусть в соответствии с предыдущим параграфом заданное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией tj

meU , а искомый синусоидальный ток – комплексной функцией tj

meI ; комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно:

jmeUU , )( j

meII .

Сложение, дифференцирование и интегрирование синусои-дальных функций в уравнении (3.31) заменяются теми же мате-матическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:

dteIC

eIdtdLeIreU tj

mtj

mtj

mtj

m )Im(1)Im()Im()Im( . (3.32)

Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями. Объясняется это коммутативностью операций сло-жения, дифференцирования и интегрирования относительно символической операции Im. Итак, (3.32) преобразуется следую-щим образом:

)1Im()Im( dteIC

eIdtdLeIreU tj

mtj

mtj

mtj

m .

68

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Поэтому заключенные в скобки комплексные выраже-ния, от которых берется мнимая часть, должны быть равны друг другу. Производя дифференцирование и интегрирование, получа-ем:

tjm

tjm

tjm

tjm eI

CjeILjeIreU

1 . (3.33)

Здесь следует обратить внимание на то, что при интегриро-вании функции tje постоянная интегрирования опущена, так как в рассматриваемом установившемся режиме цепи синусои-дального тока электрические заряды или напряжения на емкостях представляют собой синусоидальные функции, не содержащие постоянных слагающих.

В результате сокращения всех частей уравнения (3.33) на множитель tje получается алгебраическое комплексное уравнение

mmmm ICj

ILjIrU

1 . (3.34)

Ток mI может быть вынесен за скобки. При этом вводится условное обозначение для комплексного сопротивления рассмат-риваемой электрической цепи:

jxrC

LjrZ

)1( . (3.35)

Таким образом, получается уравнение mm IZU , (3.36)

выражающее закон Ома для комплексных амплитуд. Разделив обе части уравнения (3.36) на 2 , получим закон

Ома для комплексных действующих значений:

.U ZI . (3.37)

Следовательно, комплексное сопротивление электрической цепи равно отношению комплексного напряжения на данной цепи к комплексному току в этой цепи.

69

Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3.35) в алгебраической форме. Та же величина в тригонометри-ческой и показательной формах имеет вид:

Z = zcos φ + jzsin φ; Z = zejφ . (3.38) Здесь z = |Z| – модуль комплексного числа Z – представляет

собой полное сопротивление цепи, а φ – аргумент комплексного числа Z:

22 xrz , rxarctg .

На основании (3.36) комплексная амплитуда тока

)()(

zUe

zU

ZUI mjmm

m

,

где (ψ – φ) – начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в тригонометрической форме

)sin()( tz

UeIIi mtjmm .

3.9.2. Параллельное соединение r, L и C

Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенным

выше, можно прийти к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, состоящей из элементов r, L и С, соединенных параллельно (см. рис. 3.9).

Ограничиваясь записью для комплексных действующих значений, пропорциональных комплексным амплитудам, имеем в соответствии с первым законом Кирхгофа:

CLr IIIUCjULj

UgI

1 , (3.39)

где UgIr – ток в сопротивлении r (совпадает по фазе с

напряжением U );

70

UL

jI L

1 – ток в индуктивности (отстает от напряжения

на π/2); UCjIC

– ток в емкости (опережает напряжения на π/2). Выражение

jbgCL

jgY

)1( (3.40)

представляет собой комплексную проводимость рассматривае-мой цепи; g и b – активная и реактивная проводимость цепи.

Уравнение UYI (3.41)

выражает закон Ома в комплексной форме. Следовательно, ком-плексная проводимость электрической цепи равна отношению комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на ее выводах.

Тригонометрическая и показательная (полярная) формы комплексной проводимости имеют следующий вид:

Y = ycos φ + jysin φ, Y = ye–φ , здесь y = |Y| – модуль комплексного числа Y представляет собой полную проводимость цепи, а (– φ) – аргумент комплексного числа Y:

22 bgy ; gbarctg .

На основании (3.41) комплексный ток равен:

)()( yUyUeI j ,

что соответствует синусоидальному току

)sin()Im( tyUeIi mtj

m .

3.10. Комплексная форма записи мощности Допустим, что проходящие через электрическую цепь сину-

соидальный ток и напряжение на выходах цепи приняты совпа-дающими по направлению (рис. 3.11, а).

71

Комплексный ток и напряжения равны соответственно

1 II и 2UU .

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разно-сти начальных фаз:

φ = ψ2 – ψ1.

Рис. 3.11. Положительные направления (а) и комплексные напряжения (б)

Умножим U на комплексное значение 1

II , сопряжен-ное с I :

UIUIIU )( 12 .

Отсюда следует, что

jQPjUIUIIUS

sincos~ .

Так как напряжение U может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагаемых ( pa UUU ), то умножение

этих слагаемых на комплексное значение тока I дает активную и

реактивную мощности:

jQPIUIUIUIU pa

2sin0cos .

Аналогично мощность может быть выражена через актив-ный и реактивный токи.

Z

+

I

ψ1

+ j

0

ψ2

φ = ψ2 – ψ1

U

I

U

б а

72

Таким образом, комплексная величина S~определяет дей-ствительной частью активную мощность, а мнимой частью реак-тивную мощность, поступающую в цепь.

Модуль S равен полной мощности. S~ носит название мощ-ности в комплексной форме или комплексной мощности.

На комплексной плоскости S~ изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат P и Q (рис. 3.12).

Треугольник мощностей, изобра-женный на рис 3.12, подобен треуголь-нику сопротивлений:

tgrx

PQ .

Если комплексно сопряженное напряжение

U умножить на комплекс-ный ток I , то получится:

jQPjUIUIIU

sincos .

В связи с этим активная мощность P и реактивная мощность Q на выходе цепи могут быть записаны в следующем виде:

)(21 IUIUP

;

)(21 IUIUj

Q

.

Комплексное сопротивление цепи легко вычислить если из-вестны комплексная мощность S~и действующее значение тока I:

2~ ZIIIZIUS , 222

~

IQj

IP

ISZ .

Откуда:

)( maxmax22 C L WWI

jIPZ

.

+ P φ

+ j

0

jQ S~

Рис. 3.12. Треугольник мощностей на комплекс-

ной плоскости

73

Эта формула справедлива при любой схеме соединений со-противлений, индуктивностей и емкостей.

Энергетический метод определения комплексного сопро-тивления применим и к комплексной проводимости:

YUYUUIUS 2~ ,

где

Y – комплексная проводимость, сопряженная с Y. Откуда следует, что

2

~

USY

.

Следовательно,

)( maxmax2222 C L WWU

jUP

UQj

UPY

.

Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопро-тивления и проводимость – от разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитных и электрических полях.

74

Глава 4

ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ

4.1. Основные положения и определения При изменении магнитного поля, связанного с каким-либо

витком, в последнем наводится ЭДС, которая в соответствии с законом электромагнитной индукции определяется скоростью изменения магнитного потока независимо от того, чем вызвано изменение потока. В катушке, состоящей из большого числа витков, наводится ЭДС, пропорциональная скорости измене-ния потокосцепления, т. е. скорости изменения суммы маг-нитных потоков, сцепленных с отдельными витками данной катушки. Если все витки катушки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то потокосцепление равно произве-дению магнитного потока на число витков.

При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось явление самоиндукции, т. е. наведение ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндук-ции, обусловленного током в этой цепи. Отношение потокосцеп-ления самоиндукции к току характеризовалось скалярной величи-ной – индуктивностью L.

Теперь нам предстоит заняться рассмотрением явления взаимной индукции, т. е. наведения ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления взаимной индукции, обуслов-ленного током в другой электрической цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС взаимной индукции, называются индуктивно свя-занными цепями.

Связь потокосцепления взаимной индукции одной электри-ческой цепи с током в другой цепи, равная отношению пото-косцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, характеризуется взаимной индуктивностью М, которая, так же как и индуктивность, представляет собой скалярную величину.

75

Если потокосцепление 2

Ф1 Мw первой цепи обусловлено током i2 второй цепи, то взаимная индуктивность цепей опреде-ляется как

2

112

2Фi

wM М . (4.1)

Соответственно, если потокосцепление 1

Ф2 Мw второй цепи обусловлено током i1 первой цепи, то

1

221

1Фi

wM М . (4.2)

Для линейных электрических цепей всегда выполняется ра-венство

2112 MM , и поэтому индексы у параметров взаимной индуктивности мо-гут быть опущены.

Справедливость последнего равенства можно доказать, если выразить потоки взаимной индукции

1ФМ и

2Ф М через соответ-

ствующие магнитодвижущие силы (МДС) 11wi и 22wi и магнит-ную проводимость путей, по которым замыкаются эти потоки.

iSa

M ;

.

;

211

11221

212

22112

MM

MM

wwiwiwM

wwiwiwM

(4.3)

Отсюда также видно, что величина М пропорциональна произведению чисел витков катушек и магнитной проводимости пути общего потока, которая зависит от магнитной проницаемо-сти среды и взаимного расположения катушек.

На основании сказанного формулируется свойство взаимно-сти для индуктивно связанных цепей: если ток, проходящий в первой цепи, обусловливает во второй цепи потокосцепление

76

взаимной индукции 1

Ф2 Мw , то такой же ток, проходящий во второй цепи, обусловит в первой цепи потокосцепление взаим-ной индукции

2Ф1 Мw той же величины.

4.2. Полярности индуктивно связанных катушек.

ЭДС взаимной индукции Напомним, что положительные направления тока и созда-

ваемого им магнитного потока согласуются всякий раз по пра-вилу правоходового винта. Условимся положительные направ-ления токов il и i2 в двух индуктивно связанных катушках считать с о г л а с н ы м и , если положительные направления создаваемых ими магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции совпадают.

На рис. 4.1, а и б, показаны индуктивно связанные катушки, насаженные на общий магнитопровод; здесь в зависимости от направления намотки витков выбраны такие положительные направления для токов i1 и i2, при которых магнитные потоки са-моиндукции и взаимной индукции в каждой катушке совпадают. Таким образом, рис. 4.1, а и б, иллюстрирует согласное направ-ление токов.

При согласном направлении токов i1 и i2 в двух индуктивно связанных катушках выводы этих катушек, относительно кото-рых токи i1 и i2 направлены одинаково, называются одноимен-ными или однополярными.

На рис. 4.1. а, где витки обеих катушек намотаны в одном направлении, одноименными выводами являются выводы, отме-ченные точками (два других вывода на рис. 4.1, а составляют вторую пару одноименных выводов).

Аналогичным образом на рис. 4.1, б, где витки катушек намотаны в противоположных направлениях, одноименные вы-воды также отмечены точками.

Таким образом, одноименные выводы индуктивно связан-ных катушек характерны тем, что при одинаковом направлении токов i1 и i2 относительно этих выводов магнитные потоки само-индукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются.

77

Рис. 4.1. Согласное направление токов

в индуктивно связанныхкатушках, намотанных: а – в одном направлении; б – в противоположных направлениях

В связи с введением понятия об одноименных выводах при

вычерчивании электрических схем нет необходимости показывать намотку витков индуктивно связанных катушек, а достаточно разметить на схеме их одноименные выводы. На рис. 4.2 показа-но схематическое изображение двух индуктивно связанных кату-шек с указанием одноименных выводов и выбранных положи-тельных направлений токов i1 и i2. Как это следует из сказанного выше, токи i1 и i2 направлены согласно на рис. 4.2, а и встречно на рис. 4.2, б.

Рис. 4.2. Схематическое изображение индуктивно связанных катушек при направлениях токов: а – согласном; б – встречном Ранее отмечалось, что положительное направление ЭДС

самоиндукции выбирается совпадающим с положительным направлением тока, поэтому положительные направления маг-нитного потока и наводимой им ЭДС самоиндукции связаны

i1

Ф

e1M e2M i2 e2M i2 i1 e1M

Ф

1 2 1 2

а б

i1 i1 i2 i2

б а

78

правилом правоходового винта. Точно так же и положительное направление ЭДС взаимной индукции е1М, наводимой в катушке 1 током i2, принимается совпадающим с положительным направ-лением тока i1. Соответственно, положительное направление ЭДС взаимной индукции е2М, наводимой в катушке 2 током i1, совпадает с положительным направлением i2. При таких условиях и согласном направлении токов i1 и i2 в формуле ЭДС взаимной индукции имеется знак «минус», так же как в формуле ЭДС само-индукции, причем положительное направление магнитного по-тока и наводимой ЭДС взаимной индукции связано правилом правоходового винта:

.Ф

;Ф

122

211

1

2

dtdiM

dtdw

e

dtdiM

dtdw

e

MM

MM

(4.4)

Рассмотрим случай, когда через катушку 1 проходит ток i1, причем di1/dt > 0. На основании (4.4) в катушке 2 наводится ЭДС

взаимной индукции 012

dtdiMe M . В этом случае потенциал

вывода катушки 2, одноименный с тем, в который входит ток i1, оказывается выше потенциала второго вывода катушки 2.

Отсюда можно заключить, что одноименные выводы двух ин-дуктивно связанных катушек обладают той особенностью, что под-ведение к одной из них возрастающего тока вызывает повышение потенциала на одноименном выводе второй катушки.

На указанном свойстве основано экспериментальное нахож-дение одноименных выводов индуктивно связанных катушек. Одна из них включается в цепь источника постоянного напряжении, а к другой присоединяется вольтметр постоянного тока.

Если в момент замыкания цепи источника стрелка измери-тельного прибора отклоняется в сторону положительных показа-ний, то выводы индуктивно связанных катушек, подключенные к положительному полюсу источника электрической энергии и по-ложительному выводу измерительного прибора, являются одно-именными.

79

Теперь рассмотрим случай встречного направления токов i1 и i2, схематически изображенный на рис. 4.2, б, где токи i1 и i2 направлены различно относительно одноименных выводов.

Ввиду того что положительные направления магнитных по-токов самоиндукции и взаимной индукции в этом случае противо-положны, ЭДС взаимной индукции при встречном направлении токов вычисляются по формулам, содержащим знак плюс:

.Ф

;Ф

122

211

1

2

dtdiM

dtdw

e

dtdiM

dtdw

e

MM

MM

(4.5)

Рассмотрим последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек (рис. 4.3, а и б).

При согласном направлении токов (рис. 4.3, а) ЭДС взаим-

ной индукции dtdiMe M

21 и

dtdiMe M

12 , совпадающие по

направлению с токами, могут быть при обходе контура в том же направлении заменены падениями напряжения от взаимной ин-дукции MM eu 11 и MM eu 22 . Поэтому суммарное напряже-ние на обеих катушках с учетом того, что i1 = i2 = i, равно:

.22121

12222

21111

dtdiMLLirr

dtdiM

dtdiLir

dtdiM

dtdiLiruсог

(4.6)

Полученное выражение показывает, что две индуктивно связанные катушки, соединенные последовательно, при согласном направлении токов эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивление r1 + r2, и индуктивность L1 + L2 + 2М.

Таким образом, как и следовало ожидать, наличие взаим-ной индукции при согласном направлении токов в катушках, со-единенных последовательно, увеличивает индуктивность цепи.

При встречном направлении токов (рис. 4.3, б) падение напряжения от взаимной индукции при обходе контура в направ-лении тока получается со знаком минус:

80

.22121

12222

21111

dtdiMLLirr

dtdiM

dtdiLir

dtdiM

dtdiLiru вст

(4.7)

Данное выражение показывает, что две индуктивно свя-занные катушки, соединенные последовательно, при встречном направлении токов эквивалентны катушке, имеющей активное со-противление r1 + r2 и индуктивность L1 + L2 – 2M.

Следовательно, наличие взаимной индукции при встречном направлении токов в катушках, соединенных последовательно, уменьшает индуктивность цепи.

На основании сказанного можно сделать следующий вывод: при согласном направлении токов падение напряжения от взаим-ной индукции имеет знак плюс, а при встречном – знак минус (обход цепи в обоих случаях совершается в положительном направлении тока).

Рис. 4.3. Согласное (а) и встречное (б) направления токов в индуктивно связанных катушках, соединенных последовательно

4.3. Комплексная форма расчета цепи

с взаимной индукцией Представив ток в комплексной форме, получим выражение

ЭДС взаимной индукции для случая согласного направления токов в комплексной форме:

i1

i1

i2

i2

r2

r2 r1

r1

а

б

М

М

L1

L1

L2

L2

81

tjm

tjm eIMjeI

dtdM ,

откуда комплексная действующая ЭДС взаимной индукции IMjE M

и соответственно, падение напряжения от взаимной индукции IMjU M ,

где jωМ – комплексное сопротивление взаимной индукции; в радиотехнике его называют сопротивлением связи.

Комплексные напряжения, соответствующие (4.6) и (4.7), запишутся так:

,2

;2

2121

2121

IMLLjrrU

IMLLjrrU

вст

сог

Отсюда, между прочим, вытекает следующий способ экспери-ментального нахождения взаимной индуктивности М: если через xсог обозначить индуктивное сопротивление цепи при согласном направлении токов последовательно соединенных элементов, а через хвст – то же при встречном направлении, то есть

,2;2

21

21

MLLxMLLx

вст

сог (4.8)

то в результате вычитания второго равенства из первого получим:

4

встсог xxM .

4.4. Коэффициент индуктивной связи.

Индуктивность рассеяния Рассмотрим картину магнитного поля индуктивно связанных

катушек, схематически представленную на рис. 4.4 (для согласно-го направления токов).

Положим, что первая катушка состоит из w1 витков, а вто-рая из w2 витков, расположенных в каждой катушке настолько

82

близко друг к другу, что магнитный поток охватывает целиком витки данной катушки.

Рис. 4.4. Магнитные потоки двух индуктивно связанных катушек

В общем случае, когда по обеим катушкам проходят токи i1 и

i2, магнитные потоки могут быть представлены как результат нало-жения потоков, создаваемых каждым током в отдельности.

На рис. 4.4 приняты следующие обозначения магнитных потоков:

Ф1 – весь поток, созданный током i1 первой катушки; 1

ФМ – поток взаимной индукции первой катушки, пронизы-вающий витки второй катушки;

1ФS – поток рассеяния первой катушки, пронизывающий

только витки этой катушки; Ф2,

2Ф М ,

2ФS – аналогичные потоки, созданные током i2 вто-

рой катушки; ФМ – общий поток взаимной индукции, пронизывающий

витки обеих катушек. Из сказанного следует, что

11ФФФ1 МS ,

22ФФФ2 МS ,

21ФФФ МММ .

Ф1 Ф2

ФS2 ФS1

ФМ1

ФМ2 ФМ

w1 w2

i1 i2

83

Чем меньше потоки рассеяния 1

ФS и 2

ФS , тем больше при-ближается

1ФМ к Ф1 и соответственно

2Ф М к Ф2.

При изменении токов i1 и i2 во времени изменяются также и потоки, создаваемые этими токами. Индуктивность каждой ка-тушки, как известно, определяется отношением потокосцепления самоиндукции к току данной катушки:

.ФФФ

;ФФФ

2

2

2

2

2

222

1

1

1

1

1

111

22

11

iw

iw

iwL

iw

iw

iwL

MS

MS

(4.9)

Первые слагаемые этих выражений

1

1 1

1

Фi

wL S

S ,2

2 2

2

Фi

wL S

S (4.10)

называются индуктивностями рассеяния катушек. Магнитные потоки могут быть выражены через произведе-

ния МДС на магнитные проводимости путей, по которым замы-каются эти потоки:

.Ф;Ф

;Ф;Ф

2211

2211

21

2211

MMMM

SSSS

wiwi

wiwi

Следовательно,

.

;

2

1

222

211

MS

MS

wL

wL

(4.11)

Таким образом, индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков и сумме магнитных проводимостей путей потоков рассеяния и взаимной индукции.

Магнитная проводимость в свою очередь зависит от формы и размеров катушек, их взаимного расположения и магнитной проницаемости среды. На основании (4.1), (4.2), (4.9) и (4.10) индуктивности рассеяния

1SL и 2SL можно выразить через

84

L1, L2 и М следующими формулами, учитывающими число витков катушек:

.,1

22

2

11 21

MwwLLM

wwLL SS (4.12)

Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи k, определяемым как среднее геометриче-ское из отношений потока взаимной индукции ко всему потоку катушки, т. е.

21 Ф

ФФ

Ф21 MMk . (4.13)

Если выразить потоки через параметры L1, L2 и М по форму-лам (4.1), (4.2) и (4.9), то получим

221

22

112

11

iLwwMi

iLwwMik

или

21LL

Mk . (4.14)

Из формулы (4.13) видно, что коэффициент связи всегда меньше единицы (так как

1ФМ / Ф1 < 1 и

2ФМ / Ф2 < 1). Коэффициент

связи возрастает с уменьшением потоков рассеяния 1

ФS и 2

ФS . С учетом (4.3) и (4.11) коэффициент связи может быть вы-

ражен через магнитные проводимости:

))((21 MSMS

Mk

.

Повышение коэффициента связи достигается бифилярным способом намотки катушек и применением магнитопровода, так как с увеличением магнитной проницаемости и соответственно магнитной проводимости магнитопровода доля потоков рассея-ния снижается.

85

При перпендикулярном расположении осей катушки коэф-фициент связи обращается в нуль, поэтому, перемещая одну ка-тушку относительно другой, можно плавно изменять коэффициент связи в широких пределах, а при последовательном соединении этих катушек плавно изменять их результирующую индуктивность. Такое устройство называется вариометром.

При наличии магнитопровода цепь теряет свойство линейно-сти. Однако в тех случаях, когда по условиям работы магнитная ин-дукция в магнитопроводе не выходит за пределы прямолинейного участка кривой намагничивания и его магнитная проницаемость может быть принята постоянной, данная цепь рассматривается как линейная и изложенная выше теория сохраняет силу.

В предыдущем параграфе было показано, что при встречном направлении токов в двух катушках, соединенных последовательно, результирующая индуктивность равна L1 + L2 – 2M.

Докажем теперь, что величина L1 + L2 – 2M всегда положи-тельна. Для этого воспользуемся двумя неравенствами:

02 2121

2

21 LLLLLL

и

MLL 21 .

Заменив в первом неравенстве 21LL меньшей величиной М, получим:

0221 MLL .

4.5. Резонанс в электрических цепях

4.5.1. Резонансные (колебательные) цепи

Резонансными или колебательными цепями называются

электрические цепи, в которых могут возникать явления резо-нанса напряжений или токов.

Резонанс представляет собой такой режим пассивной элек-трической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при ко-тором реактивное сопротивление и реактивная проводимость

86

цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивная мощность на выводах цепи.

Резонанс напряжения наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индук-тивности и емкости. Неразветвленная цепь, состоящая из по-следовательно соединенных элементов r, L и С, представляет со-бой один из простейших случаев такой цепи. В радиотехнике ее называют последовательным колебательным контуром.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательно соединенной с первой. В ре-зультате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

В свою очередь резонанс токов наблюдается в электриче-ской цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. В радиотехнике такую цепь называют параллельным колебательным контуром.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реак-тивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Исследование резонансных режимов в электрических цепях заключается в нахождении резонансных частот, зави-симостей различных величин от частоты или параметров L и С, а также в рассмотрении энергетических соотношений при резо-нансе.

Резонансные цепи очень широко применяются в электро-технике и представляют собой неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства.

4.5.2. Последовательный колебательный контур,

резонанс напряжений Резонансная цепь с последовательным соединением r, L и

С (рис. 4.5) является простейшей цепью для изучения явления

87

резонанса напряжений и подробно рассматривается ниже. Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:

CLjrZ 1 . (4.15)

Резонанс напряжений наступает при частоте ω0, когда

CL

00

1

,

отсюда

LC1

0 .

Мгновенные энергии выражаются следующими формулами:

2;

2

22C

CLCuWLiW .

Если принять tIi m 0sin , то tUumCC 0cos , поэтому

tLIW mL 0

22

sin2

и

tCU

W mCC 0

22

cos2

.

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как

222

22

0

2mmC LI

CICCU

m

.

Это следует и из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность и емкость, при любой схеме соеди-нений пропорционально разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

r L C

E

Рис. 4.5. Последовательный колебательный контур

88

maxmax2 CL WW

Ix

,

поэтому условию резонанса (х = 0) соответствует равенство

maxmax CL WW .

Мгновенные значения WL и WC колеблются с удвоенной ча-стотой около среднего значения LI2

m/4, причем происходит непре-рывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

2

cossin2

2

02

02

2mm

CLLIttLIWW .

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений, рис. 4.5) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реак-тивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, посту-пающая от источника, расходуется в сопротивлении r.

Мы уже встречались с понятием добротности индуктивной катушки QL = ωL/r и конденсатора QC = ωCr. Умножив и разде-

лив выражение для QL на 2

21

mI , получим

PTW

rI

LIQ L

m

m

Lmax2

2121

2

2

,

где maxLW – максимум энергии, периодически запасаемой индук-

тивностью L; Р – активная мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока Im.

Аналогично рассуждая, т. е. умножив и разделив выражение

QС на 2

21

mU , получим

PTW

rU

CUQ C

m

m

Cmax2

21

21

2

2

,

89

где maxСW – максимум энергии, запасаемой емкостью С;

Р – активная мощность потерь в параллельном сопротивле-нии r при амплитуде напряжения на емкости Um.

Следовательно, в обоих случаях добротность определяется в зависимости от отношения максимума энергии реактивного эле-мента к энергии РТ, выделяемой в виде тепла за период.

В случае резонансной цепи также пользуются понятием добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину

P

WQ max0 , (4.17)

где ω0 – резонансная частота; maxW – сумма максимальных значений энергии, периодиче-ски запасаемой при резонансе в индуктивных (или емкостных) элементах; Р – активная мощность на выводах цепи при резонансе.

Знак в (4.17) относится к случаю, когда число индук-тивных (или емкостных) элементов превышает единицу. В рассматриваемом нами случае резонанса напряжений в цепи (рис. 4.7) знак опускается.

Для схемы рис. 4.5 на основании (4.17) получаем

rr

CL

CrrLQ

0

0 1 , (4.18)

где

CL

называется характеристическим (а также волновым) сопротив-лением резонансного контура.

90

4.5.3. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов

Явление резонанса токов удобно изучать применительно

к электрической цепи с параллельно соединенными r, L и С (рис. 4.6), так как при этом можно непосредственно воспользо-ваться результатами, полученными ранее.

Действительно, выражение для комплексной проводимости такой цепи

CL

jgY 1 (4.19)

по своей структуре аналогично выражению (4.15), причем резо-нансная частота определяется согласно (4.16).

Добротность резонансной цепи на основании (4.17) сле-дующая:

rCr

rU

CUQ m02

2

0

2.

По аналогии с предыдущим выражение (4.19) приводится к виду

121 jQgY ,

где δ – относительная расстройка частоты [1]

10

.

При заданном напряжении U на выводах цепи ток, иду-щий от источника в цепь, следующий

121 jQUgUYI .

Этот ток достигает минимума при резонансной частоте, так как при этом

r L U C

Рис. 4.6. Параллельный колебательный контур

91

UgI 0 .

Следовательно, отношение токов I0 и I определяется из вы-ражения

222

0

121

1

QII .

В случае резонанса токов токи в индуктивном и емкостном элементах схемы рис. 4.6 равны и противоположны по знаку

QIjUCjII LC 0000

.

Полученное выражение показывает, что добротность рас-сматриваемой цепи определяется как кратность токов в L и С по отношению к суммарному току I0.

При Q > 1 эти токи превышают I0. Если параллельный колебательный контур питается от

источника тока с внутренним сопротивлением Ri, то чем меньше сопротивление Ri, присоединяемое параллельно сопротивлению r, тем ниже добротность и шире полоса пропускании контура. В свя-зи с этим в отличие от последовательного колебательного кон-тура с точки зрения сокращения полосы пропускания параллель-ного колебательного контура выгоден источник тока с большим внутренним сопротивлением.

92

Глава 5 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ

5.1. Преобразование схем электрических цепей При расчете электрических цепей часто возникает целесо-

образность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета. Так, при одном или нескольких источниках электрической энергии в ряде случаев удается преобразовать электрическую схему в одноконтурную или в схему с двумя уз-лами, что весьма упрощает последующий расчет.

Описываемые ниже приемы преобразования схем электри-ческих цепей применимы для цепей постоянного и переменного тока; ради общности изложения они приводятся в комплексной записи.

Одним из основных видов преобразования электрических схем, часто применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное со-единение элементов представляет собой сочетание более простых соединений – последовательного и параллельного.

5.1.1. Последовательное соединение

На рис. 5.1 изображена ветвь электрической цепи, в которую

последовательно включены комплексные сопротивления Z1, Z2,…, Zn. Через все участки цепи, соединенные последовательно, проходит один и тот же ток I.

Напряжения на отдельных участках цепи обозначены через

,1

U 2

U , ..., nU

. По второму закону Кирхгофа,

nUUUU

...21 ,

или, что то же самое,

)...(... 2121 nn ZZZIIZIZIZU

.

93

Сумма комплексных сопротивлений всех последовательно соединенных участков цепи

n

kkZZ

1

называется эквивалентным комплексным сопротивлением.

Рис. 5.1. Последовательное соединение

Если мнимые части сопротивлений

Zk= rk + jxk

представляют собой сопротивления одинакового характера – ин-дуктивного или емкостного, то эквивалентное комплексное сопротивление Z находится в результате арифметического сло-жения в отдельности сопротивлений rk, индуктивностей Lk или величин 1/Ck, обратных емкостям:

LjrZ или

CjrZ

1 ,

где

n

kkrr

1;

n

kk

LL1

;

n

k kCC 1

11 .

Ток в цепи равен

ZUI

.

n

kkZZ

1

1U

Z1 Z2 Zn

2U nU U

I I

94

Напряжения на участках цепи, соединенных последователь-но, относятся как комплексные сопротивления этих участков: напряжение на k-м участке равно произведению суммарного напряжения

U на отношение комплексного сопротивления k-го участка к эквивалентному комплексному сопротивлению цепи:

ZZUU k

k

.

Приведенные выше формулы справедливы при любых зна-чениях Zk.

5.1.2. Параллельное соединение

На рис. 5.3 изображена схема электрической цепи с двумя

узлами. Между этими узлами параллельно соединены ветви с комплексными проводимостями Y1, Y2,…, Yn. Напряжение на всех ветвях одинаковое, равное

U .

Рис. 5.3. Параллельное соединение

Токи в ветвях обозначены через 1I , 2

I , …, nI

. По первому

закону Кирхгофа,

nIIII ...21 ,

или, что то же,

UYUYUYI n...21 .

n

kkYY

1

nI

Y1 Y2 Yn U

I

I U

1I 2I

95

Сумма комплексных проводимостей всех ветвей, соединен-ных параллельно,

1,

n

kk

Y Y

называется эквивалентной комплексной проводимостью. Если мнимые части комплексов Yk =gk – jbk представляют

собой проводимости одинакового характера – емкостного или индуктивного, то эквивалентная комплексная проводимость Y находится в результате арифметического сложения отдельных активных проводимостей gk, емкостей Сk или величин 1/Lk, об-ратных индуктивностям :

Y = g + jωC или

LjgY

1 ,

где

n

kkgg

1;

n

kkCC

1;

n

k kLL 1

11 .

Суммарный ток в цепи равен

UYI . Токи в ветвях соотносятся, как их комплексные проводимо-

сти: ток в k-й ветви равен произведению суммарного тока всех ветвей на отношение комплексной проводимости k-й ветви к эк-вивалентной комплексной проводимости:

k

kk Z

ZIYYII

.

Данным выражением особенно удобно пользоваться при ко-личестве ветвей n > 2. При этом значения Yk могут быть любыми.

В случае параллельного соединения двух ветвей (n = 2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивле-ния Z1 = 1/Y1 и Z2 = 1/Y2 ветвей; эквивалентное сопротивление

96

21

21

21

21 1111

ZZZZ

ZZYY

Z

.

Токи в параллельных ветвях:

21

21

ZZZII

, 21

12 ZZ

ZII

,

т. е. ток одной из двух параллельных ветвей равен суммарному току, умноженному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопротивлений обеих ветвей.

5.2. Применение законов Кирхгофа для расчета

сложных цепей В предыдущих главах рассматривались простейшие схемы

электрических цепей – одноконтурные схемы, цепная схема с од-ним источником электрической энергии и схемы с двумя узлами. Были описаны методы преобразования схем, с помощью кото-рых в ряде случаев удается упростить расчет разветвленной элек-трической цепи. При этом под расчетом цепи подразумевается вычисление значений электрических величин или их отношений при заданных схеме и параметрах цепи.

Описываемые ниже методы и теоремы применимы для це-пей постоянного и переменного тока; ради общности изложения они приводятся в комплексной форме.

В общем случае искомые значения электрических величин и их соотношения могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений, выражающих первый и второй за-коны Кирхгофа для заданной электрической цепи.

Положим, что в схеме, содержащей P ветвей и q узлов, за-данными являются источники ЭДС, а искомыми – токи в ветвях. Следовательно, число неизвестных равно числу ветвей.

По первому закону Кирхгофа, выражающему равенство ну-лю алгебраической суммы токов в узле, можно записать (q – 1) независимых уравнений; уравнение для последнего, q-го, узла является следствием предыдущих (q – 1) уравнений. Действи-тельно, ввиду того, что каждая ветвь связывает два узла, ток каждой ветви входит дважды с различными знаками в уравнения,

97

записанные для q узлов, поэтому если просуммировать q уравне-ний, то получится тождество вида 0 = 0. Следовательно, одно из этих уравнений является зависимым, т. е. вытекающим из всех остальных уравнений.

Узлы, для которых записываются независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, можно назвать независимыми уз-лами. Из сказанного следует, что из общего числа q узлов любые (q – 1) узлов являются независимыми, а оставшийся последний узел является зависимым.

По второму закону Кирхгофа, выражающему равенство алгебраической суммы ЭДС в контуре алгебраической сумме па-дений напряжения в нем, может быть записано (p – q + 1) незави-симых уравнений, где p – число ветвей. В самом деле, если ко всем ветвям применить закон Ома, то получится p уравнений вида

nnnkiik IZEUUU

, (5.1)

где

ikU – комплексное напряжение между узлами i и k;

En,

nI – комплексные ЭДС источника и ток в n-й ветви, направленные от узла 1 к узлу k; Zn – комплексное сопротивление той же ветви.

В систему уравнений вида (5.1) входят р неизвестных токов

nI и (q – 1) неизвестных потенциалов iU

,

kU и т. д. ( потенциал одного из узлов принимается равным нулю). Если из имеющейся системы уравнений исключить эти неизвестные токи и потенциа-лы, останется (p – q + 1) уравнений, связывающих комплексные ЭДС источников с напряжениями на комплексных сопротивлени-ях; полученные таким путем уравнения выражают второй закон Кирхгофа.

Итак, расчет электрической цепи с помощью первого и второго законов Кирхгофа сводится к решению (q – 1) + (p – q +1) = p уравнений – по числу ветвей.

Контуры, для которых уравнения, записанные по второму закону Кирхгофа, являются независимыми, называются незави-симыми контурами. Независимые контуры отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью.

98

5.3. Метод контурных токов Метод контурных токов является одним из основных мето-

дов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике. Этот метод заключается в том, что вме-сто токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурные токи, замыкающиеся в кон-турах.

На рис. 5.5 в виде примера показана двухконтурная элек-

трическая цепь, в которой 1I и 2

I – контурные токи. Токи в со-

противлениях Z1 и Z2 равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении Z3, являющемся общим для обоих контуров,

равен разности контурных токов

1I и 2I , так как эти токи

направлены в ветви Z3 встречно. При этом если положительное направление искомого тока в ветви Z3 принять совпадающим с

направлением контурного тока 1I , то тогда ток в ветви Z3 будет

равен 1I – 2

I . В противном случае он будет равен 2

I – 1

I .

Рис. 5.5. Иллюстрация к методу контурных токов

Число уравнений, записываемых для контурных токов по

второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, т. е. для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей р задача нахождения контурных токов сведется к решению систе-

Z1 Z2

Z3

1I

1E2I

2E

99

мы (p – q + 1) уравнений. Так, в схеме рис. 5.5 q = 2, p = 3, следо-вательно, число уравнений равно 3 – 2 +1 = 2 (число независимых контуров).

Условимся сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, называть собственным сопротивлением контура, а ком-плексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум или нескольким контурам, – общим сопротивлением этих контуров.

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлени-ем контурного тока, поэтому при составлении уравнения по вто-рому закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурно-го тока в собственном сопротивлении контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис. 5.5, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис. 5.5) могут быть записаны два уравнения по вто-рому закону Кирхгофа, а именно:

231311 )(

IZIZZE ; 232132 )(

IZZIZE ,

где (Z1 +Z3) – собственное сопротивление контура 1; (Z2 +Z3) – собственное сопротивление контура 2; Z3 – общее сопротивление контуров 1 и 2 (знак минус в уравнениях обусловлен выбором положительных направлений контурных токов).

Если заданная электрическая схема содержит n независи-мых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получа-ется система из n уравнений:

....

;...

;...

2211

22221212

12121111

nnnnnn

nn

nn

IZIZIZE

IZIZIZE

IZIZIZE

(5.2)

100

Здесь

iE – контурная ЭДС в контуре i (i = 1,2,…, n), т. е. алгеб-раическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно – со знаком минус;

Z(ii) – собственное сопротивление контура i; Z(ik) – общее сопротивление контуров i и k. Уравнения (5.2), выражающие второй закон Кирхгофа, за-

писаны в предположении, что источниками электрической энер-гии служат источники ЭДС. При наличии в электрической схеме источников тока они могут быть заменены эквивалентными ис-точниками ЭДС.

Если проводимости источников тока равны нулю, то целе-сообразно выбрать заданные токи в качестве контурных, тогда число неизвестных контурных токов и соответственно число уравнений сократится на число заданных токов.

Если в заданной электрической схеме имеются параллель-ные ветви, то замена их эквивалентным комплексным сопротив-лением сокращает число контуров (за счет тех, которые образо-ваны параллельными ветвями).

Решая систему уравнений (5.2), находят контурные токи, по которым находят токи в ветвях.

5.4. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений заключается в том, что на осно-

вании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.

101

Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов, поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.

На рис. 5.6 в виде примера изображена электрическая схе-ма с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Вы-берем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и обозначим

напряжения точек 1 и 2 через

1U и

2U . Согласно принятым на рис. 5.6 обозначениям комплексные проводимости ветвей рав-ны соответственно:

11

1Z

Y ; 2

21

ZY ;

33

1Z

Y .

Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно:

для узла 1

23131213111 UYUYYUUYUYI ;

для узла 2

23213123222 UYYUYUUYUYI .

Величина Y1 + Y3, представляющая собой сумму комплекс-ных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1. Величина Y3, равная ком-плексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется общей проводимостью между узлами 1 и 2.

Если заданы токи источников тока и комплексные проводи-мости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.

102

Рис. 5.6. Иллюстрация к методу узловых напряжений В общем случае если электрическая схема содержит q узлов,

то на основании первого закона Кирхгофа получается система из (q – 1) уравнений (один узел принят за базисный):

....

.........................................................

;...

;....

11,122,111,11

11,22221212

11,12121111

qqqqqq

qq

qq

UYUYUYI

UYUYUYI

UYUYUYI

(5.3)

Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла – со знаком минус; Y(ii) – соб-ственная проводимость всех ветвей, сходящаяся в данном узле i; Y(ik) – общая проводимость между узлами i и к, входящая со зна-ком минус при выбранном направлении всех узловых напряже-ний к базису.

Уравнения (5.3), выражающие первый закон Кирхгофа, за-писаны в предположении, что в качестве источников электриче-ской энергии служат источники тока. При наличии в электриче-ской схеме источников ЭДС последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Если в схеме имеются ветви, содержащие только ЭДС (про-водимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми

Y1 Y2

Y3

1I

1U

2I

1 2

3

2U

103

напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным ЭДС.

При наличии только одной ветви с ЭДС и бесконечной про-водимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь, тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокра-щается на одно.

Метод узловых напряжений имеет преимущество перед ме-тодом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравне-ний, записанных по второму закону Кирхгофа.

5.5. Метод наложения

В линейной электрической цепи, содержащей источники

ЭДС, контурные токи (и соответственно токи в ветвях) представ-ляют собой линейные функции контурных ЭДС. Математически они выражаются формулой

1

1 ,n

k i ikiz

I E

где Δz – определитель сопротивлений из (5.2); Δik – алгебраическое дополнение определителя Δz.

Физический смысл этой формулы заключается в том, что ток в любом контуре линейной электрической цепи может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этом контуре каждой из ЭДС в отдельности.

Метод расчета токов, основанный на определении токов в одном и том же контуре (или ветви) при поочередном воздей-ствии ЭДС и последующем алгебраическом сложении этих токов, называется методом наложения.

При определении частичных слагающих токов по методу наложения необходимо считать включенными внутренние сопро-тивления тех источников ЭДС, которые принимаются отсутству-ющими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники ЭДС, т. е. внутренние сопротивления

104

источников равны нулю, то при определении токов, вызываемых какой-либо ЭДС, все остальные источники ЭДС закорачиваются.

В свою очередь в линейной электрической цепи, содержа-щей источники тока, узловые напряжения (и соответственно напряжения на ветвях) представляют собой линейные функции задающих токов источников. Математически они выражаются формулой

ik

q

ii

yk IU

1

1

1 ,

где Δy – определитель проводимостей из (5.3); Δik – алгебраическое дополнение определителя Δy.

Физический смысл этой формулы заключается в том, что узловое напряжение для любого узла линейной электрической цепи может быть получено как алгебраическая сумма напряже-ний, вызываемых в этом узле каждым из задающих токов в от-дельности.

При определении частичных слагающих узловых напряже-ний по методу наложения необходимо считать включенными внутренние проводимости тех источников тока, которые прини-маются отсутствующими при вычислении слагающих напряже-ний. Если источники тока заданы без внутренних проводимостей, т.е. проводимости их равны нулю, то при пользовании методом наложения ветви с неучтенными источниками тока разрываются.

Если в линейной электрической цепи заданными являются одновременно источники ЭДС и источники тока, то метод нало-жения применим и в этом случае. Например, ток в каком-либо кон-туре данной цепи может быть получен в результате алгебраическо-го сложения токов, вызываемых в этом контуре поочередным дей-ствием источников ЭДС и тока. При этом отсутствующие источ-ники ЭДС заменяются внутренними сопротивлениями, а отсутствующие источники тока – внутренними проводимостями.

105

Глава 6

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

6.1. Основные определения и классификация четырехполюсников

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению

к любым двум парам ее выводов, называется четырехполюсни-ком (рис. 6.1). Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только в двух ветвях или двух парах узлов электрической цепи. Так, в качестве четы-рехполюсника могут быть представлены длинная линия, электри-ческий фильтр, трансформатор, усилитель, корректирующее и всякое другое устройство с двумя парами выводов, включенное между источником и приемником электрической энергии, когда предметом исследования являются токи и напряжения на этих выводах, а не токи и напряжения внутри самого четырехполюс-ника.

Выводы четырехполюсника, к которым присоединяется ис-точник электрической энергии, называются входными, а выводы, к которым присоединяется нагрузка, – выходными. Ради краткости приме-няются также термины «вход» и «вы-ход» четырехполюсника.

На практике возможны случаи, когда обе пары выводов четырехпо-люсника являются входными (случай двустороннего питания четырехпо-люсника) или выходными (случай четырехполюсника, содержа-щего независимые источники электрической энергии и нагру-женного с обеих сторон).

Четырехполюсники могут быть классифицированы по раз-личным признакам.

По признаку линейности элементов, входящих в них, четы-рехполюсники разделяются на линейные и нелинейные. Ниже рассматриваются линейные четырехполюсники.

Рис. 6.1. Четырехполюсник

106

По схеме внутренних соединений четырехполюсников раз-личают Г-образный (рис. 6.2, а), Т-образный (рис. 6.2, б), П-образный (рис. 6.2, в), мостовой (рис. 6.2, г), Т-образно-мостовой (рис. 6.2, д) и др.

Рис. 6.2. Разновидности четырехполюсников:

а – Г-образный; б – Т-образный; в – П-образный; г – мостовой; д – Т-образно-мостовой

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. Че-

тырехполюсник называется активным, если он содержит внутри источники электрической энергии. При этом если эти источники являются независимыми, то в случае линейного четырехполюс-ника обязательным дополнительным условием активности четы-рехполюсника является наличие на одной или обеих парах его разомкнутых выводов напряжения, обусловленного источниками электрической энергии, находящимися внутри него, т. е. необхо-димо, чтобы действия этих источников не компенсировались вза-имно внутри четырехполюсника. Такой активный четырехпо-люсник называется автономным.

В случае, когда источники внутри четырехполюсника явля-ются зависимыми, как это, например, имеет место в схемах замещения электронных ламп и транзисторов, то после отсоеди-нения четырехполюсника от остальной части цепи напряжение на

а б в

г д

107

разомкнутых выводах его не обнаруживается. Такой активный четырехполюсник называется неавтономным.

Четырехполюсник называется пассивным, если он не содержит источников электрической энергии. Линейный четы-рехполюсник может содержать источники электрической энер-гии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжения на обеих парах разомкнутых выводов четырехполюсника равны нулю. Так, четырехполюсник на рис. 6.2, а пассивен, так как лю-бые две ЭДС четырехполюсника взаимно компенсируются в кон-туре (в уравнениях Кирхгофа эти ЭДС взаимно уничтожаются). Четырехполюсник, изображенный на рис. 6.2, б, пассивен вслед-ствие того, что напряжение на выводах ветви с источниками всегда равно нулю.

Различают четырехполюсники симметричные и несиммет-ричные. Четырехполюсник является симметричным в том случае, когда перемена местами его входных и выходных выводов не из-меняет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен. В противном случае четырехполюсник является несимметричным.

Четырехполюсник называется обратимым, если выполняет-ся теорема обратимости, т. е. отношение напряжения на входе к току, на выходе, или, что тоже, передаточное сопротивление входного и выходного контуров не зависит от того, какая из двух пар выводов является входной и какая выходной. В противном случае четырехполюсник называется необратимым.

Пассивные линейные четырехполюсники являются обрати-мыми, несимметричные же активные (автономные и неавтоном-ные) четырехполюсники необратимы. Симметричные четырехпо-люсники всегда обратимы.

Основной смысл теории четырехполюсника заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами че-тырехполюсника, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), име-ющая входные и выходные выводы, может рассматриваться как совокупность составных четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

Теория четырехполюсника позволяет вычислить параметры такого сложного четырехполюсника по параметрам составных

108

четырехполюсников и, таким образом, получить аналитическую зависимость между токами и напряжениями на входе и выходе результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.

Получаемые таким путем значения величин на входе и вы-ходе позволяют оценить режим работы передачи в целом. При этом пользование обобщенными параметрами четырехполюсника дает возможность сопоставлять и правильно оценивать передаю-щие свойства электрических цепей, различных по своему типу и структуре.

Теория четырехполюсника позволяет также решать задачи синтеза, т. е. находить структуру и элементы четырехполюсника по заданным характеристикам.

6.2. Системы уравнений четырехполюсника

Положим, что имеется четырехполюсник, не содержащий

независимых источников электрической энергии. Обозначим ле-вую пару выводов четырехполюсника цифрами 1–1', а правую пару выводов – цифрами 2–2'. Этого условного обозначения бу-дем придерживаться во всем последующем изложении, приписы-вая индексы 1 и 2 токам и напряжениям, относящимся соответ-ственно к левой и правой парам выводов четырехполюсника. Те-

ми же индексами 1 и 2 будут обозначаться входной и вы-ходной контуры четырехпо-люсника.

На рис. 6.3 обозначены принятые положительные направления для токов и напряжений на выводах че-тырехполюсника. Вариант с токами İ1 и İ2 принято назы-вать прямой передачей (см. уравнения по форме || А ||), вариант с токами İ'1 и İ'2 –

обратной передачей (см. уравнения по форме || В ||). Использует-ся также вариант с токами İ1 и İ'2 который будем называть треть-

1U 2U

1I 2I

2I 1I

1’ 2’

1 2

Рис. 6.3. Положительные направ-ления токов и напряжений

четырехполюсника

109

им вариантом (см. уравнения по формам || Y ||, || Z ||,|| H ||,|| G ||).

Во всех случаях каждое из напряжений

1U и

2U понимается как разность потенциалов верхнего (1 или 2) и нижнего (1' или 2') выводов четырехполюсника.

Напряжения и токи на выводах четырехполюсника обуслов-ливаются присоединением активных цепей к обеим парам выво-дов либо присоединением активной цепи к одной паре, а пассив-ной цепи к другой паре выводов четырехполюсника.

Электрические цепи, присоединенные к выводам 1–1' и 2–2', могут быть на основании теоремы компенсации в любом режиме

замещены источниками ЭДС Ė1 =

1U и Ė2 =

2U , которые могут рассматриваться как контурные ЭДС, включенные в два незави-симых контура четырехполюсника, а токи İ1 = –İ'1 и İ2 = –İ'2 – как контурные токи.

Соотношения между напряжениями и токами на входе и вы-ходе четырехполюсника могут быть записаны в виде следующих ниже шести форм уравнений:

1. Форма || Y || : İ1 и İ'2 выражаются в зависимости от

1U и

2U :

İ1= Y11

1U + Y12

2U ;

İ'2 = Y21

1U + Y22

2U . (6.1)

2. Форма || Z ||:

1U и

2U выражаются в зависимости от İ1 и İ'2:

1U = Z11 İ1+ Z12 İ'2;

2U = Z21 İ1+ Z22 İ'2. (6.2)

3. Форма || А ||:

1U и İ1 выражаются в зависимости от

2U и İ'2:

1U = А11

2U + А12 İ2;

İ1= А21

2U + А22 İ2. (6.3)

110

4. Форма || В ||:

2U и İ'2 выражаются в зависимости от

1U и İ'1:

2U = В11

1U + В12 İ'1;

İ'2 = В21

1U + В22 İ'1. (6.4)

5. Форма || H ||:

1U и İ'2 выражаются в зависимости от İ1 и

2U :

1U = H11 İ1+ H12

2U ;

İ'2 = H21 İ1+ H22

2U . (6.5)

6. Форма || G ||: İ1 и

2U выражаются в зависимости от İ'2 и

1U :

İ1= G11

1U + G12 İ'2;

2U = G21

1U + G22 İ'2. (6.6) Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмот-

рим более подробно формы || Y || и || Z||. Коэффициенты и определители каждой системы уравнений

четырехполюсника могут быть выражены через коэффициенты и определители любой другой системы.

Контурные токи İ1 и İ'2 связаны с контурными ЭДС Ė1 =

1U

и Ė2 =

2U (рис. 6.3) линейными уравнениями (6.1). Коэффициенты Y представляют собой входные и передаточ-

ные проводимости контуров 1 и 2. В общем случае – это ком-плексные величины, зависящие от частоты, они определяются следующим образом:

Y11 =01

1

2

UU

I – входная проводимость со стороны выводов 1

при закороченных выводах 2;

Y22 =02

2

1

UU

I – выходная проводимость со стороны выводов

2 при закороченных выводах 1;

111

Y21 =01

2

2

UU

I – передаточная проводимость при закорочен-

ных выводах 2;

Y12 =02

1

1

UU

I – передаточная проводимость при закорочен-

ных выводах 1. В случае обратимого четырехполюсника Y12= Y21 , (6.7)

т. е. только три коэффициента в уравнениях (6.1) являются неза-висимыми.

Если четырехполюсник симметричен, то наряду с (6.1) выполняется условие

Y11= Y22 . (6.8) В этом случае число независимых коэффициентов равно

двум (например, Y11 и Y12). Коэффициенты Z11, Z22, Z21, Z12 в общем случае комплексные

и зависят от частоты. Они имеют размерность сопротивления и могут быть определены следующим образом:

Z11 =01

1

2

II

U – входное сопротивление со стороны выводов

1 при разомкнутых выводах 2;

Z22 =02

2

1

II

U – выходное сопротивление со стороны выво-

дов 2 при разомкнутых выводах 1;

Z21 =01

2

2

II

U – передаточное сопротивление при разомкну-

тых выводах 2;

112

Z12 =02

1

1

II

U – передаточное сопротивление при разомкну-

тых выводах 1.

6.3. Схемы замещения четырехполюсника На основании уравнений четырехполюсника могут быть по-

строены различные схемы замещения, которые облегчают иссле-дование общих свойств рассматриваемой цепи. Ниже показаны некоторые схемы замещения четырехполюсника, параметры ко-торых выражаются через коэффициенты Y, Z и А. На практике чаще всего пользуются П-образной и Т-образной схемами заме-щения четырехполюсника.

На рис. 6.4 показана П-образная схема замещения четырех-полюсника, в которой проводимости ветвей выражены через коэффициенты Y. При этом зависимый источник тока (Y21 –

Y12)

1U сохраняется в эквивалентной схеме только в случае необратимого четырехполюсника; в схеме обратимого четы-рехполюсника (Y12 = Y21 ) источник тока отсутствует (см. рис. 6.5, a).

Рис. 6.4. Схемы замещения необратимого четырехполюсника

2I 1I

2U 1U

– Y12

Y11 + Y12 Y22 + Y12

(Y21 – Y12) 1U

113

Рис. 6.5. Эквивалентные схемы пассивного четырехполюсника:

а – П-образная эквивалентная схема; б – Т-образная эквивалентная схема Схема рис.6.5,a соответствует системе уравнений (6.1). Дей-

ствительно, по первому закону Кирхгофа ток İ1 равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Y11+ Y12 и – Y12. Ток,

входящий в первую ветвь, равен (Y11+ Y12)

1U , а ток, входящий во

вторую ветвь, равен – Y12 (

1U –

2U ). Итак,

İ1 =(Y11+ Y12)

1U – Y12(

1U –

2U ) = Y11

1U + Y12

2U .

В свою очередь ток İ'2 равен сумме токов, входящих в ветви

с проводимостями Y22 + Y12 и – Y12, и тока источника (Y21 – Y12)

1U . Следовательно,

İ'2 = (Y22+ Y12)

2U – Y12(

2U –

1U ) + (Y21 – Y12)

1U = Y21

1U + Y22

2U . Применив второй закон Кирхгофа, легко убедиться в том,

что уравнениям (6.2) будет соответствовать Т-образная схема за-мещения. Таким образом, один и тот же четырехполюсник можно представить различными схемами замещения.

Y11 + Y12

Y22 + Y12

– Y12

Z12

Z11 – Z12 Z22 – Z12

а б

114

Глава 7

ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

7.1. Основные понятия и определения Трехфазная электрическая цепь (ТЦ) – это совокупность

трех однофазных электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электрической энергии.

Фаза – отдельная электрическая цепь, входящая в состав ТЦ, в которой может существовать один из токов трехфазной систе-мы. Фазами называют и отдельные элементы этой цепи, напри-мер фазные обмотки трехфазного источника и др. Общепринятое обозначение фаз ТЦ приведено в табл. 7.1.

Фазное напряжение Uф – напряжение между началом и кон-цом фаз источника или приемника. Фазный ток Iф – ток в фазе трехфазной цепи.

Линейные провода – провода, соединяющие начала одно-именных фаз источника и приемника. Линейный ток Iл – ток в линейных проводах. Линейное напряжение Uя – напряжение между линейными проводами или между началами разных фаз.

Трехфазная система ЭДС (токов, напряжений) – совокуп-ность ЭДС (токов, напряжений) в трехфазной цепи. Трехфазную систему ЭДС (токов, напряжений) называют симметричной, если амплитудные (действующие) значения ЭДС (токов, напряжений) во всех фазах равны и сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол ψ = 2π/3, и несимметричной, если хотя бы одно из приве-денных условий не выполняется.

Таблица 7.1 Обозначение фаз в трехфазных электрических цепях

Фаза Источник Приемник

начало конец начало конец А А X а х В В Y Ь у С С Z с z

115

Трехфазная симметричная система ЭДС для мгновенных и комплексных значений может быть описана системой уравнений:

eA = Emsin(ωt+ ψ), ĖA = Еejψ,

eB = Emsin(ωt+ ψ – 3

2 ), ĖB = Еejψe-j2π/3= Еejψ(–0,5 – j0,867),

eC = Emsin (ωt+ ψ – 3

4 ), ĖC = Еejψe-j4π/3= Еejψ(–0,5 – j0,867).

Здесь индексы А, В, С обозначают принадлежность ЭДС со-ответствующей фазе трехфазной цепи.

Трехфазные симметричные системы ЭДС (токов, напряже-ний) удовлетворяют уравнениям:

eA + eB + eC = 0, ĖA + ĖB + ĖC = 0.

Симметричный приемник электрической энергии – трехфаз-ный приемник, у которого комплексные сопротивления всех фаз одинаковы, т. е. Ża = Żb = Żc.

Симметричный режим работы ТЦ – режим работы, при ко-тором трехфазные системы напряжений и токов симметричны.

Связанная трехфазная электрическая цепь – цепь, в которой все фазы электрически соединены. Основными способами соеди-нения фаз являются соединения звездой (Y) и треугольником (D).

7.2. Соединение звездой

Схемы соединения звездой в четырех- и трехпроводных це-

пях приведены на рис. 7.1, где указаны и общепринятые услов-ные положительные направления токов, напряжений и ЭДС. На электрических схемах:

N и n – нейтральные точки источника и приемника соответ-ственно;

N – п – нейтральный (в соответствии с ГОСТ 13109 – нуле-вой рабочий) провод;

А – а, В – b, С – с – линейные провода;

116

a, b, c – комплексные фазные и линейные токи одновре-менно, их совокупность представляет собой трехфазную систему токов;

N – комплексный ток в нейтральном проводе; AB, BC, CA – линейные напряжения источника; например,

AB — линейное напряжение между линейными проводами А и В или началами фаз А и В источника;

A= AN, B= BN, C= CN – фазные напряжения источника; ab, bc, ca – линейные напряжения приемника; a = an, b = bn, c = cn, – фазные напряжения приемника; nN – напряжение между нейтральными точками;

ΔU – падение напряжения на линейных проводах; a, b, c – комплексные фазные сопротивления приемника; N И ПР – комплексные сопротивления нейтрального и ли-

нейных проводов. Фаза А трехфазной цепи – участок цепи NAan. Аналогично

можно выделить фазы В и С этой цепи. Комплексные фазные сопротивления и проводимости от-

дельных фаз (без учета внутреннего сопротивления источника) равны

A = a + ПР, B= b + ПР, C = c + ПР,

A = 1/ A, B = 1/ B, C = 1/ C. Линейные и фазные напряжения источника электрической

энергии связаны соотношениями

AB = A – B, BC= B – C, CA= C – A,

из которых следует, что AB + BC + CA = 0. Расчеты симметричных и несимметричных режимов в трех-

фазной цепи могут быть выполнены с помощью законов Ома и Кирхгофа и другими известными методами, подобно расчету од-нофазных цепей. При этом наиболее целесообразно пользоваться комплексным методом.

117

Рис.7.1. Соединение звездой: а – трехпроводная схема; б – четырехпроводная схема

Фазные токи и ток в нейтральном проводе определяют по

закону Ома в комплексной форме

a = a / a = a a = An / A = An A,

b = b / b = b b = Bn / B = Bn B, (7.1)

c = c / c = c c = Cn / A = Сn С,

N = nN / N = nN N = a + b + c, где a =1/ a – комплексная проводимость фазы a приемника;

ĖA CAU

ĖC ĖB

BCU

ABU

A

B C

ANU

BNU CNU

прZ

прZ

прZ

N nNU

AnU U

aI

bI

cI

n

a

b c

aZ

bZ cZ

caU

bcU

abU

cnU bnU

anU

ĖA CAU

ĖC

ĖB

BCU

ABU A

B C

ANU

BNU CNU

прZ

прZ

прZ

N

nNU

ABU U

aI

bI

cI

n

a

b c

aZ

bZ

caU

bcU

abU

cnU bnU

anU

cZ

NZ NI

а

б

118

b =1/ b – комплексная проводимость фазы b приемника; c =1/ c – комплексная проводимость фазы c приемника; N = 1/ N – комплексная проводимость нейтрального провода.

Линейные и фазные токи при соединении звездой равны, т. е. Iл = Iф.

Напряжения An, Bn, Cn определяют по второму закону Кирхгофа. В соответствии со схемой, представленной на рис. 7.1, а, имеем

An = A – nN, Bn = B – nN, Сn = С – nN, где напряжение nN между нейтральными точками источника и приемника

nN = ( A A + B B + C C)/( A+ B + С + N ). В трехпроводных цепях (см. рис. 7.1, а) напряжения An, Bn,

Сn можно определить по известным линейным напряжениям ис-точника, пользуясь методом узловых потенциалов:

An = ( AB B – CA С) / ( A+ B + С),

Bn = ( BC С – AB A) / ( A+ B + С), (7.2)

Сn = ( CA A – BC B) / ( A+ B + С). Фазные напряжения приемника и падения напряжений в ли-

нейных проводах

a = a a, b = b b, c = c c, ΔUa = a пр, ΔUb = b пр, ΔUc = c пр.

Линейные напряжения на зажимах приемника

ab = a – b, bc= b – c, ca= c – a, откуда следует, что ab + bc + ca = 0.

При симметричной системе напряжений Uл = Uф.

7.3. Соединение треугольником Схема соединения и условные положительные направления

всех электрических величин показаны на рис. 7.2. В узлах А, В и С соединены конец одной фазы с началом другой, равно как и в узлах а, b и с приемника.

119

Токи A, B, C связаны с фазными токами ab, bc, ca следую-щими соотношениями:

A = ab – ca, B = bc – ab, C = ca – bc, причем

A + B + C = 0.

Рис. 7.2. Соединение треугольником При симметричной нагрузке Iл = Iф. Фазные токи в соответствии с законом Ома равны

ab = ab / ab = ab ab,

bc = bc / bc = bc bc,

ca = ca / ca = ca ca. При соединении треугольником Uл = Uф. Связь между линейными напряжениями источника и прием-

ника с учетом падения напряжения в линейных проводах при условии равенства их сопротивлений np устанавливается ниже-приведенными соотношениями:

ab = AB – np ( A – B),

bс = BС – np ( B – C), (7.3)

ca = CA – np ( C – A).

ĖA CAU

ĖC ĖB

BCU

ABU

A

B C

прZ

прZ

прZ

U

AI

BI

CI

a

b c

abZ

bcZ

caZ

caU

bcU

abU

abI

bcIcaI

120

При симметричной нагрузке, когда ab= bc = ca = ,

ab = AB / ( +3 пр),

bс = BС / ( +3 пр),

ca = CA / ( +3 пр), так как в этом случае разность линейных токов в уравнениях (7.3) в три раза больше фазного тока, например A – B = 3 ab.

При несимметричной нагрузке расчет можно упростить, ес-ли приемник, соединенный треугольником, заменить эквивалент-ным приемником, соединенным звездой (рис 7.3). Параметры эк-вивалентного приемника связаны с параметрами реального при-емника следующими соотношениями:

a= ab ca / Σ , b= bc ab / Σ , c= ca bc / Σ , где Σ = ab + bc + ca.

Рис. 7.3. Эквивалентные соединения: а – треугольником; б – звездой В эквивалентной цепи находят линейные токи A, B, C

(см. уравнения (7.1) и (7.2)), линейные напряжения ab, bс, ca на зажимах приемника и, наконец, определяют фазные токи ab, bc, ca.

b

AI

BI

CI

a

c

abZ

bcZ

caZ

a

b c

aZ

bZ cZ

AI

BI

CI

а б

121

7.4. Мощность трехфазной цепи В трехфазной цепи полную, активную и реактивную фазные

мощности определяют как и в однофазных цепях:

S ф = ф ф* = Sфejφ = Pф + jQф,

Sф = │S ф│= 2QP ф2

ф ,

Pф = Re(S ф) = ф ф cos φ, Qф = Im( S ф) = ф ф sin φ,

где İф* – сопряженный комплексный фазный ток. Мощность трехфазного приемника или источника

S =

3

1ф

nS =

3

1ф

nP + j

3

1ф

nQ = P + jQ,

S =│S│= 2QP 2 , P =

3

1ф

nP , Q =

3

1ф

nQ .

При симметричном режиме трехфазной цепи S = 3Sф, S = 3UфIф = UлIл ,

P = 3Pф= 3UфIф cos φ = UлIл cos φ, Q = 3Qф= 3UфIф sin φ= UлIл sin φ.

122

Глава 8

ТРАНСФОРМАТОРЫ

8.1. Устройство и принцип действия трансформатора Различают трансформаторы напряжения и трансформаторы

тока. Трансформатор напряжения – статический электромагнит-ный аппарат, предназначенный для преобразования одного пе-ременного по величине напряжения в другое при одной и той же частоте. Трансформатор тока – прибор, предназначенный для преобразования одного переменного по величине тока в другой при одной и той же частоте.

В конструктивном отношении трансформаторы тока и напряжения незначительно отличаются друг от друга.

Трансформатор напряжения состоит из стального сердеч-ника, собранного из тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга с целью снижения потерь мощно-сти на вихревые токи.

На сердечнике однофазного трансформатора (рис. 8.1) рас-положены две обмотки из изолированного провода. К первичной обмотке подводится питающее (первичное) напряжение U1. Co вторичной его обмотки снимается напряжение U2, которое под-водится к потребителю электрической энергии (нагрузке) Zн.

Во многих случаях трансформатор имеет не две, а несколь-ко вторичных обмоток (многообмоточный трансформатор), к каждой из которых подключается свой потребитель электроэнер-гии. В конструктивном отношении различают однофазные и трехфазные трансформаторы.

В процессе работы переменный ток, проходя по виткам первичной обмотки трансформатора, возбуждает в сердечнике магнитопровода переменный магнитный поток Ф(t). Изменяясь во времени по синусоидальному закону Ф = Фm sinω(t), этот по-ток пронизывает витки как первичной w1 так и вторичной w2 обмоток трансформатора. При этом в соответствии с законом электромагнитной индукции в обмотках наводятся ЭДС, мгно-венные значения которых для первичной и вторичной обмоток составляют:

123

e1 = w1dt

d Ф = Em1 sin(ωt + π/2),

e2 = w2 dt

d Ф = Em2 sin(ωt + π/2),

где w1 и w2 – число витков первичной и вторичной обмоток трансформатора; Em1 и Em2 – амплитудные значения ЭДС в первичной и вто-ричной обмотках.

Рис. 8.1. Схема подключения однофазного двухобмоточного

трансформатора Из полученных уравнений следует, что ЭДС E1, так же как и

ЭДС E2 трансформатора, опережает магнитный поток Ф на угол π/2.

8.2. Режим холостого хода трансформатора. Коэффициент трансформации

Ток I1 первичной обмотки трансформатора при отключен-

ном потребителе электроэнергии (I2 = 0) является намагничи-вающим током холостого хода I1 = I0.

Пренебрегая влиянием насыщения, несинусоидальный намагничивающий ток можно заменить эквивалентным синусои-дальным: i0 = Im0 sin(ωt + α).

Входящий в уравнение угол магнитных потерь α (угол сдвига по фазе между током и магнитным потоком трансформа-

Фр1

2I 1I

Ė1 Ė2 нZ

w2 w1

R2 R1

X1 X2

Н1

К1

Н2

К2

Фр2

1U 2U

Ф

124

тора) обусловлен потерями мощности в магнитопроводе транс-форматора.

Значение угла α для современных электротехнических сталей обычно невелико и составляет порядка 4...6°; им можно пренебречь, считая i0 = Im0 sin ωt. Напряжение, подводимое в ре-жиме холостого хода к трансформатору, в соответствии со вто-рым законом Кирхгофа для первичной обмотки составит

1 = 1 + R1 0+ jX1 0 = 1 + 0 (R1 + jX1) = 1 + 0 0, (8.1) где R1 – активное сопротивление первичной обмотки; X1 – индуктивное сопротивление первичной обмотки, обу-словленное потоками рассеяния.

Рис. 8.2. Схема замещения трансформатора при холостом ходе Нетрудно видеть, что в режиме холостого хода трансфор-

матор фактически ведет себя как обычная катушка с ферромаг-нитным сердечником, для которой справедливо соотношение

1 = 0 0 = 0 (R0 + jX0), где R0 – активное сопротивление, обусловленное потерями мощ-ности в магнитопроводе; Х0 – реактивное индуктивное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком.

С учетом этого выражение (8.1), записанное для первичной обмотки трансформатора, преобразуют к виду

1 = R1 0 + jX1 0 + 1 = R1 0 + jX1 0 + R0 0 + jX0 0 . (8.2)

a

X0

X1 R1

R0

b

1U

0I

1E

125

Исходя из уравнения электрического равновесия (8.2) на рис. 8.2. представлена полная схема замещения (ab – намагничи-вающая цепь).

При синусоидальном изменении магнитного потока и от-сутствии насыщения магнитной системы действующие значения ЭДС, наводимых в первичной и вторичной обмотках трансфор-матора, определяют по формулам

Е1 = 4,44 w1f1Фm и Е2 = 4,44 w2f1Фm, где f1 – частота переменного тока; Фт – амплитудное значение магнитного потока трансформа-тора.

Отношение ЭДС Е1 первичной обмотки трансформатора к ЭДС Е2 вторичной его обмотки, равное отношению соответ-ствующих чисел витков обмоток, называют коэффициентом трансформации трансформатора:

E1/E2 = w1/w2 = п. При Е1 < Е2 трансформатор является повышающим (п < 1);

при Е1 > Е2 – понижающим (n > 1).

8.3. Рабочий режим трансформатора Исследование работы трансформатора при нагрузке удобно

производить на основе векторных диаграмм, построенных исхо-дя из схемы замещения трансформатора, заменяющей реальный трансформатор, в которой параметры вторичной обмотки приве-дены к напряжению и числу витков первичной обмотки. При нагрузке трансформатора ко вторичной его обмотке подключает-ся потребитель электрической энергии ZH. При этом ток во вто-ричной обмотке нагруженного трансформатора, согласно закону Ома, определяют отношением

I2 = U2 / ZH,

где 22ннн XRZ – полное сопротивление нагрузки.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первич-ной и вторичной обмоток нагруженного трансформатора можно записать соответственно уравнения электрического равновесия:

126

1 = 1 1 + 1 = (R1 + jX1) 1 + 1;

2 = (R2 + jX2) 2 + 2 , где 1 и 2 – комплексные токи первичной и вторичной обмоток нагруженного трансформатора; R1 и R2 – активные сопротивления первичной и вторичной обмоток; Х1 и Х2 – индуктивные сопротивления первичной и вторичной обмоток, обусловленные потоками рассеяния Фр1 и Фр2 (см. рис. 8.1).

Так как падение напряжения на первичной обмотке транс-форматора 2

12

1111 XRIZI в пределах до номинального тока I1ном нагрузки обычно мало по сравнению с ЭДС Е1, то можно приближенно считать, что

U1 = Е1 = 4,44 w1f1Фm. Из этого следует, что при неизменном значении f1 и напря-

жении питающей сети U1 = const при нагрузке трансформатора ЭДС Е1 можно считать неизменной: Е1 = const. Так как ЭДС наводится результирующим магнитным потоком, то этот поток должен также оставаться практически постоянным в пределах от холостого хода до номинальной нагрузки трансформатора, т. е. Фт = const.

8.4. Полная схема замещения трансформатора

Первичную ЭДС Е1 равную как указывалось, можно за-

менить векторной суммой активного и реактивного индуктивно-го падений напряжения на участке намагничивающей цепи ab в соответствии с уравнением

1 = R0 0+ jX0 0 = 0 (R0 + jX0) = 0 0 , где X0 – индуктивное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком Ф трансформатора; R0 – активное сопротивление, обусловленное магнитными потерями мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е. не-которое условное активное сопротивление, в котором выделяется

127

активная мощность Рм = R0I20, равная потерям мощности в маг-

нитопроводе. С учетом полученных уравнений для U1, и Е2, при наличии

приведенных параметров вторичной обмотки трансформатора, можно записать уравнение электрического равновесия для вто-ричной обмотки:

.

Рис. 8.3. Полная (Т-образная) схема замещения трансформатора Таким образом электромагнитная связь, существующая

между первичной и вторичной обмотками реального трансфор-матора, заменяется непосредственной (гальванической) связью в схеме замещения трансформатора, что значительно упрощает изучение вопросов теории и расчета трансформаторов.

8.5. Трехфазный трансформатор

Процесс трансформирования трехфазной системы напряже-

ний может быть осуществлен либо с помощью группы, состоя-щей из трех однофазных трансформаторов, либо одним трехфаз-ным трансформатором, который имеет меньшие габариты и сто-имость, чем группа однофазных трансформаторов. Основные элементы трехфазного трансформатора показаны на рис. 8.4.

В отличие от однофазных трехфазные двухобмоточные трансформаторы содержат общий трехстержневой магнитопро-

a

X0

X1 R1

R0

b

1U

1I

1E

0I

2X 2R

2U

2I

нZ

128

вод, набранный из тонких изолированных листов электротехни-ческой стали, с двумя фазными обмотками – первичной и вторичной, расположенными на каждом из стержней.

Начала и концы трех фаз первичной обмотки трансформа-тора обозначают буквами АХ, BY, CZ, начала и концы трех фаз вторичной обмотки – ах, by, cz. К началам А, В, С первичных об-моток подают напряжения UAB, UBC, UСА питающей сети. При этом концы первичных фазных обмоток и концы фаз х, у, z вто-ричных обмоток в зависимости от величины фазных напряжений соединяют либо звездой, либо треугольником.

К началам фаз а, b, с вторичной обмотки подключают трех-фазный потребитель с фазными нагрузками Za, Zb, Zc, в данном случае также соединенных звездой (соединение обмотки трех-фазного трансформатора звездой обозначают знаком , а тре-угольником – Δ).

При подаче напряжения питающей сети в фазах первичной обмотки трансформатора появляются фазные токи A, B, C, так же как и фазные напряжения A, B, C, сдвинутые друг относи-тельно друга по фазе на угол 2π/3. Под действием этих токов в стержнях магнитопровода возникают соответственно магнитные потоки A, B, C, также сдвинутые друг относительно друга по фазе на угол 2π/3, причем векторная сумма этих потоков равна нулю ( A + B + C = 0).

Таким образом, в результате реализации процесса транс-формирования трехфазной системы напряжений питающей сети с помощью трехфазного трансформатора становится возможным в соответствии с коэффициентом трансформации п = U1/U2, рав-ным отношению первичного напряжения ко вторичному пони-зить или соответственно повысить напряжение, подаваемое на зажимы потребителя электроэнергии в сравнении с величиной напряжения питающей сети.

При симметричной нагрузке схемы замещения и векторные диаграммы каждой фазы трехфазного трансформатора идентич-ны и имеют тот же вид, что и у однофазного трансформатора. Вследствие этого формулы, полученные для однофазного транс-форматора, справедливы и для каждой из фаз трехфазного трансформатора.

129

В трехфазных мощных силовых трансформаторах для отво-да теплоты, выделяемой в обмотках при протекании токов, предусмотрена радиаторная система охлаждения. При этом бак трансформатора, в котором размещены магнитопровод с обмот-ками, заполняют специальным трансформаторным маслом, которое отводит теплоту от обмоток и в то же время является дополнительной электрической изоляцией между витками обмо-ток и заземленными частями трансформатора.

Рис. 8.4. Устройство трансформатора и схема его включения

A

B

C

A B C

Z Y X N

x y z

a b c

n

bZ aU aZ bU cU cZ

AU BU CU

aI bI cI

AI BI CI

AФ CФ BФ

n

ABU

BCU CAU

130

В процессе работы трансформаторов, особенно устанавли-ваемых на открытой части подстанции, вследствие колебания температуры окружающего воздуха происходит изменение объ-ема масла в баке трансформатора, во избежание чего трансфор-матор снабжают специальным расширителем, обеспечивающим полное заполнение бака трансформатора независимо от влияния внешней среды.

8.6. Автотрансформатор

Автотрансформаторы относят к группе специальных транс-

форматоров. Различают однофазные и трехфазные автотранс-форматоры. Каждую фазу трехфазного автотрансформатора вы-полняют в виде однофазного автотрансформатора. В конструк-тивном отношении автотрансформаторы выполняют так же, как и обычные трансформаторы. Отличительной особенностью авто-трансформатора является то, что его первичная и вторичная об-мотки имеют непосредственное электрическое (гальваническое) соединение, причем обмотка низшего напряжения с числом вит-ков w2 является частью обмотки высшего напряжения с числом витков w1 > w2.

В зависимости от того, на какую из обмоток подается пер-вичное напряжение U1, автотрансформатор может быть как по-нижающим, так и повышающим.

На рис. 8.5 представлена принципиальная схема однофазно-го понижающего автотрансформатора (U1 > U2). Автотрансфор-матор, так же как и обычный трансформатор, содержит магнито-провод, изготовленный из изолированных друг от друга тонких листов электротехнической стали, на котором намотана обмотка АХ, состоящая из секций ас и ах, электрически соединенных между собой в точке а. К первичной обмотке АX автотрансфор-матора подается первичное напряжение U1, со вторичной обмот-ки ах снимается вторичное напряжение U2, подаваемое на зажи-мы нагрузочного сопротивления ZН.

В данном случае напряжение U1, подводимое к первичной обмотке АХ, больше вторичного напряжения U2, подаваемого на зажимы нагрузки ZН. Так как при этом ЭДС Е1 больше ЭДС Е2, то автотрансформатор работает в режиме понижения напряжения.

131

Рис. 8.5. Устройство и схема включения автотрансформатора При подаче к виткам cх обмотки первичного напряжения U1

и подключении нагрузочного сопротивления ZH к напряжению U2, снимаемому с обмотки АХ, автотрансформатор будет рабо-тать в режиме понижения напряжения. Пренебрегая падениями напряжения в обмотках и током холостого хода, коэффициент трансформации автотрансформатора независимо от того, в каком режиме он работает, может быть представлен в виде отношений:

2

1

2

1

2

1

UU

EE

wwn .

Автотрансформаторы довольно широко применяют в схемах электропередачи для пуска крупных синхронных и асин-хронных короткозамкнутых электродвигателей, для осветитель-ных установок, в схемах автоматики, радиоэлектроники и проводной связи. В трехфазных сетях используют автотранс-форматоры в трехфазном исполнении. В лабораторных условиях широкое применение находят автотрансформаторы с плавной регулировкой выходного напряжения – лабораторные авто-трансформаторы (ЛАТРы), в которых соединение в точке с об-

A

X

a

x

Ф

2E

1U

2U нZ

2I

1I

2I

3I

1I

1E

c

132

мотки выполняют в виде подвижного контакта, обеспечивающе-го плавный переход с одного витка обмотки на другой, при этом происходит изменение коэффициента трансформации п транс-форматора, а следовательно, создается возможность плавного изменения напряжения на зажимах потребителя электроэнергии в широком диапазоне.

Недостатком автотрансформаторов является наличие галь-ванической связи между его обмотками, что требует применения усиленной изоляции обмоток для обеспечения безопасности об-служивающего персонала. Существенным недостатком авто-трансформаторов является то, что они имеют малое сопротивле-ние короткого замыкания, что обусловливает значительную кратность тока короткого замыкания. Существование электриче-ской связи между источником питания и потребителем электро-энергии делает невозможным применение автотрансформаторов при наличии у потребителей электроэнергии заземленного полю-са, в частности в выпрямительных устройствах.

Следует отметить, что при отрыве витков обмотки авто-трансформатора на участке aх (см. рис. 8.5) высокое напряжение U1 проникает в цепь низкого напряжения U2, в результате чего возрастает опасность поражения током обслуживающего персо-нала, в связи с чем исходя из соображений безопасности в ряде случаев применять автотрансформатор не допускается. В трех-фазных сетях находят применение трехфазные автотрансформа-торы, обмотки которых обычно соединяют звездой.

133

Глава 9

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДВИГАТЕЛИ Электрические двигатели бывают двух типов: электриче-

ские генераторы и двигатели. Генераторы вырабатывают элек-трическую энергию. При этом подвижную часть электрической машины (якорь – у машин постоянного типа, ротор – у машин переменного тока) вращают какой-то внешней силой (водой, па-ром, газом и др.). С неподвижной обмотки – статора – при этом снимают электрическую энергию. У двигателей наоборот – элек-трическую энергию, подаваемую на двигатель, превращают в ме-ханическую энергию вращения подвижной части машины. В принципе любая электрическая машина может работать и как ге-нератор, и как двигатель, но практически эти два типа машин имеют особенности, поэтому промышленность выпускает от-дельно генераторы и отдельно двигатели. В металлургическом и механико-машиностроительном производстве чаще используют электрические двигатели.

9.1. Электрические двигатели постоянного тока

9.1.1. Устройство и принцип действия электродвигателей

постоянного тока Электродвигатель постоянного тока – электрическая маши-

на, предназначенная для преобразования электрической энергии постоянного тока в механическую.

Электродвигатели постоянного тока в конструктивном от-ношении не отличаются от генераторов постоянного тока, так как электрические машины постоянного тока обратимы и могут ра-ботать как в генераторном, так и в двигательном режимах. На не-подвижной части электродвигателя постоянного тока (рис. 9.1) статоре (станине I) расположены главные 2 и дополнительные 3 полюса с обмотками возбуждения 4 и 5. Подвижной частью элек-тродвигателя является якорь 6, набранный из тонких изолирован-ных друг от друга листов электротехнической стали для умень-шения потерь мощности на гистерезис Рг вследствие перемагни-

134

чивания и потерь мощности от вихревых токов Рвх в магнитопро-воде якоря. В пазах якоря размещена обмотка якоря 7, выводы которой соединены с пластинами коллектора 8, смонтированного

на валу электродвигателя.

Рис. 9.1. Устройство электродвигателя постоянного тока При подаче постоянного напряжения к зажимам электриче-

ского двигателя постоянного тока в обмотках возбуждения и якоря возникают токи. В результате взаимодействия тока якоря с магнитным потоком, создаваемым обмоткой возбуждения в маг-нитопроводе статора возникает электромагнитный момент электродвигателя, под действием которого якорь приходит во вращение. При этом электромагнитный момент, развиваемый двигателем,

ЯМ Ф IсМ ,

где сМ – коэффициент, зависящий от конструкции обмотки якоря и числа полюсов электродвигателя; Ф – магнитный поток одной пары главных полюсов электро-двигателя; IЯ – ток якоря электродвигателя.

135

При вращении якоря в его обмотке в результате пересечения магнитных силовых линий наводится ЭДС, которая при работе машины в режиме двигателя направлена против тока якоря

и, так же как и при работе машины в режиме генератора, состав-ляет

nсЕ Фе ,

где се – коэффициент, завися-щий от конструктивных эле-ментов машины; n – частота вращения якоря электродвигателя.

Для изменения направле-ния вращения электродвигателя постоянного тока необходимо изменить полярность напряже-ния, подводимого к якорю или обмотке возбуждения. В зави-симости от способа включения обмотки возбуждения различают электродвигатели постоянного тока с параллельным, последовательным и смешанным возбуж-дением.

У двигателей с парал-лельным возбуждением обмот-ка рассчитана на полное напряжение питающей сети и включается параллельно цепи якоря (рис. 9.2).

Двигатель с последова-тельным возбуждением имеет обмотку возбуждения, которая включается последовательно с якорем, поэтому эта обмотка рассчитана на полный ток яко-ря (рис 9.3).

I IВ

Iя

ОВ

RВ

RР Rпуск.

Rя U

+

–

Рис. 9.2. Схема включения элек-тродвигателя постоянного тока с параллельным возбуждением

I

ОВ

RВ

Rпуск.

Rя U

+

–

Eя

Рис. 9.3. Схема включения элек-тродвигателя постоянного тока с последовательным возбуждением

136

Двигатели со смешанным возбуждением имеют две обмот-ки: одна включается параллельно, другая – последовательно с якорем.

9.1.2. Способы пуска в ход электродвигателей постоянного тока

При пуске в ход электродвигателей постоянного тока (неза-

висимо от способа возбуждения) путем прямого включения в пи-тающую сеть возникают значительные пусковые токи, которые могут привести к выходу двигателей из строя. Это происходит в результате выделения значительного количества теплоты в об-мотке якоря и последующего нарушения ее изоляции, поэтому пуск в ход двигателей постоянного тока производится специаль-ными пусковыми приспособлениями. В большинстве случаев для этих целей применяют простейшее пусковое приспособление – пусковой реостат. Процесс пуска электродвигателя постоянного тока с пусковым реостатом показан на примере двигателя посто-янного тока с параллельным возбуждением (см. рис. 9.2).

Исходя из уравнения, составленного в соответствии со вто-рым законом Кирхгофа для левой части электрической цепи (см. рис. 9.2), ток якоря

Я

e

ЯЯ

ФR

ncUR

EUI

,

где U – напряжение, подводимое к электродвигателю; Rя – сопротивление обмотки якоря.

В начальный момент пуска электродвигателя частота вра-щения якоря n = 0, поэтому противоЭДС, наводимая в обмотке якоря, в соответствии с полученным ранее выражением также будет равной нулю: E = ceФn = 0.

Сопротивление обмотки якоря Rя – величина довольно ма-лая. Для того чтобы ограничить возможный при этом недопу-стимо большой ток в цепи якоря при пуске, последовательно с якорем (независимо от способа возбуждения двигателя) включа-

137

ют пусковой реостат (пусковое сопротивление Rпуск). В этом слу-чае пусковой ток якоря

Iя.пуск = (U – 0)/(Rя + Rпуск). Сопротивление пускового реостата Rпуск рассчитывают для

работы только на время пуска и подбирают таким образом, что-бы пусковой ток якоря электродвигателя не превышал допусти-мого значения из расчета (Iя.пуск ≤ 2Iя.норм). По мере разгона элек-тродвигателя ЭДС, наводимая в обмотке якоря, вследствие возрас-тания частоты его вращения n возрастает. В результате этого ток якоря при прочих равных условиях уменьшается. При этом со-противление пускового реостата Rпуск по мере разгона якоря электродвигателя необходимо постепенно уменьшать. После окончания разгона двигателя до номинального значения частоты вращения якоря ЭДС возрастает настолько, что пусковое сопро-тивление может быть сведено к нулю, без опасности значительно-го возрастания тока якоря.

Таким образом, пусковое сопротивление Rпуск в цепи якоря необходимо только при пуске. В процессе нормальной работы электродвигателя оно должно быть отключено, во-первых, пото-му что рассчитано на кратковременную работу во время пуска, во-вторых, при наличии пускового сопротивления в нем будут воз-никать тепловые потери мощности, равные RпускI2

я, существенно снижающие КПД электродвигателя.

Для электродвигателя постоянного тока с параллельным возбуждением в соответствии со вторым законом Кирхгофа для якорной цепи (см. рис. 9.2) уравнение электрического равнове-сия имеет вид

E = U – RяIя. С учетом выражения для ЭДС (Е = сеФn), записав получен-

ную формулу относительно частоты вращения, получим уравнение частотной (скоростной) характеристики электродвигателя n(Iя):

яе

я

ее

яя IФс

RФс

UФс

IRUn

. (9.1)

Из него следует, что при отсутствии нагрузки на валу и токе якоря Iя = 0 частота вращения электродвигателя при данном зна-чении питающего напряжения

138

0е

nФcUn . (9.2)

Частота n0 является частотой вращения идеального холосто-го хода. Кроме параметров электродвигателя она зависит также от значения подводимого напряжения и магнитного потока.

С уменьшением магнитного потока при прочих равных условиях частота вращения идеального холостого хода возраста-ет, поэтому в случае обрыва цепи обмотки возбуждения, когда ток возбуждения становится равным нулю (Iв = 0), магнитный поток двигателя снижается до величины, равной небольшому значению остаточного магнитного потока Фост. При этом двигатель «идет в разнос», развивая частоту вращения, намного большую номинальной, что представляет определенную опасность как для двигателя, так и для обслуживающего персонала.

9.1.3. Способы регулирования частоты вращения

электродвигателей постоянного тока Важной является возможность регулирования частоты

вращения электродвигателей постоянного тока. Анализ выраже-ний (9.1), (9.2) для частотных характеристик показывает, что ча-стоту вращения электродвигателей постоянного тока можно ре-гулировать несколькими способами: включением добавочного сопротивления Rдоб в цепь якоря, изменением магнитного потока Ф и изменением напряжения U, подводимого к двигателю.

Одним из наиболее распространенных является способ ре-гулирования частоты вращения включением в цепь якоря элек-тродвигателя добавочного сопротивления. С увеличением сопротивления в цепи якоря при прочих равных условиях про-исходит снижение частоты вращения. При этом чем больше сопротивление в цепи якоря, тем меньше частота вращения электродвигателя.

При неизменном напряжении питающей сети и неизменном магнитном потоке в процессе изменения значения сопротивле-ния якорной цепи можно получить семейство частотных харак-теристик, например для электродвигателя с параллельным возбуждением.

Преимущество рассмотренного способа регулирования заключается в его относительной простоте и возможности полу-

139

чить плавное изменение частоты вращения в широких пределах (от нуля до номинального значения частоты nном). К недостаткам этого способа следует отнести то, что здесь имеют место значи-тельные потери мощности в добавочном сопротивлении Rдоб, увеличивающиеся с уменьшением частоты вращения, а также необходимость использования дополнительной регулирующей аппаратуры. Кроме того, этот способ не позволяет регулировать частоту вращения электродвигателя вверх от ее номинального значения, так как в механическом отношении двигатель не рас-считан на эти скорости.

Изменения частоты вращения электродвигателя постоян-ного тока можно достигнуть и в результате изменения значения магнитного потока Ф возбуждения. Изменение магнитного потока позволяет регулировать частоту вращения электродвигателя только вверх от номинального ее значения, что является недо-статком данного способа регулирования. К недостаткам этого способа следует отнести также относительно небольшой диапа-зон регулирования вследствие наличия ограничений по механи-ческой прочности и коммутации электродвигателя.

Преимуществом данного способа регулирования является его простота. Для двигателей с параллельным возбуждением это достигается изменением сопротивления регулировочного рео-стата Rp в цепи возбуждения.

У двигателей постоянного тока с последовательным воз-бужднием изменение магнитного потока достигается шунтирова-нием обмотки возбуждения сопротивлением, имеющим соответ-ствующее значение, либо замыканием накоротко определенного количества витков обмотки возбуждения.

Широкое применение особенно в электроприводах, постро-енных по системе генератор – двигатель, получил способ регу-лирования частоты вращения путем изменения напряжения на зажимах якоря двигателя.

Преимуществом этого способа регулирования является ши-рокий диапазон плавного изменения частоты вращения без увеличения потерь мощности. К недостаткам данного способа следует отнести то, что при этом необходим источник регулиру-емого питающего напряжения, а это приводит к увеличению массы, габаритов и стоимости установки в целом.

140

9.2. Асинхронные трехфазные электрические двигатели

9.2.1. Устройство трехфазных асинхронных электрических двигателей

Асинхронные электродвигатели предназначены для преоб-

разования электрической энергии переменного тока в механиче-скую энергию. В зависимости от системы переменного тока асинхронные электродвигатели выполняют в виде одно-, двух- и трехфазных конструкций. В технике нашли наибольшее распро-странение асинхронные трехфазные электродвигатели.

Асинхронный трехфазный электродвигатель состоит из не-подвижного статора (рис. 9.4) и вращающегося ротора (рис. 9.5, 9.6). Статор двигателя представляет собой полый цилиндр, со- бранный из отдельных тонких кольцеобразных листов электро-технической стали, изолированных друг от друга с целью умень-шения потерь мощности в магнитопроводе на вихревые токи. В пазах сердечника статора (см. рис. 9.4) уложена трехфазная обмотка, выполненная из изолированного провода и состоящая из трех отдельных обмоток фаз, оси которых сдвинуты в про-странстве друг относительно друга на угол 120°. Обмотки фаз соединены между собой звездой или треугольником в зависи-мости от величины подводимого напряжения.

Рис. 9.4. Внешний вид статора трехфазного асинхронного элек-тродвигателя

Рис. 9.5. Внешний вид короткоза-мкнутого ротора

141

Ротор асинхронного электродвигателя изготовляют в двух исполнениях: короткозамкнутым (см. рис. 9.5) и с контактными кольцами (см. рис. 9.6).

Рис. 9.6. Внешний вид ротора трехфазного асинхронного элек-тродвигателя с контактными кольцами: 1 – контактные кольца; 2 – контактные щетки; R – пусковое сопротивление

Рис. 9.7. Схема включения реоста-та в цепь ротора трехфазного асинхронного двигателя с кон-тактными кольцами: 1 – обмотка ротора; 2 – неподвижные контактные щетки; 3 – контактные кольца; 4 – трехфазный реостат; 5 – ось вала двигателя

Короткозамкнутый ротор представляет собой ферромагнит-ный сердечник в виде цилиндра с пазами, в которые уложена обмотка ротора, состоящая из медных или алюминиевых стержней, соединяемых между собой торцовыми кольцами и образующих цилиндрическую клетку. В большинстве случаев клетку ротора отливают из алюминия или из сплава на его осно-ве. Для уменьшения потерь мощности в магнитопроводе ротор, так же как и статор, собирают из отдельных изолированных друг от друга листов электротехнической стали.

Ротор с контактными кольцами (см. рис. 9.6), называемый также фазным, имеет трехфазную обмотку, выполненную изоли-рованным проводом, которая в конструктивном отношении мало чем отличается от обмотки статора двигателя. В большинстве случаев обмотки ротора соединены звездой (рис. 9.7). Свобод-ные концы обмотки подводятся к контактным кольцам 1 ротора. В процессе работы контактные кольца скользят по неподвижным металлографитовым щеткам 2, обеспечивающим электрическое

142

соединение обмотки вращающегося ротора с трехфазным непо- движным пусковым реостатом R, подключенным к щеткам. Это позволяет изменять активное сопротивление электрической це-пи ротора асинхронного двигателя в процессе его вращения, что необходимо для уменьшения значительного пускового тока, воз-никающегого при пуске, а также для целей регулирования часто-ты вращения ротора при работе и изменения пускового момента двигателя.

Рис. 9.8. Схема включения обмотки статора трехфазного асинхронного

электродвигателя в трехфазную питающую сеть При подключении трехфазной обмотки статора (рис. 9.8)

к трехфазной системе однофазных синусоидальных напряже-ний, сдвинутых относительно друг друга по фазе во времени на угол 2π/3, в его обмотках возникнет трехфазная система синусо-идальных токов, соответственно сдвинутых во времени по фазе на угол 2π/3, которая, в свою очередь, создает трехфазную си-стему синусоидальных магнитных потоков, также сдвинутых во времени по фазе на угол 2π/3. Выражения для мгновенных зна-чений магнитных потоков, создаваемых фазами А, В и С обмот-ки статора, с учетом изложенного, представлены в следующем виде при начальной фазе:

32,

32;0 СВА ;

;sinФФ tmА

A

0

C

AU

AI

BI

CI

B

BU CU

BФCФ

AФ

BCU

ABU CAU

143

32sinФФ tmВ ;

32sinФФ tmС .

Можно показать, что при любом промежуточном значении угла поворота t , соответственно времени t, вектор результиру-ющего магнитного потока Ф, конец которого, перемещаясь по окружности, занимает на комплексной плоскости промежуточ-ные положения, соответствующие данному t , причем в любой

момент времени t модуль его оказывается равным mФ23Ф .

Приведенные данные свидетельствуют о том, что созда-ваемый трехфазной обмоткой статора результирующий маг-нитный поток

constФ23Ф m

вращается во времени в межполюсном пространстве асинхрон-ного трехфазного электродвигателя с угловой частотой

.const

9.2.2. Принцип действия трехфазного асинхронного электродвигателя

Результирующий магнитный поток Ф при своем вращении

пересекает проводники обмотки ротора и наводит в них ЭДС. Так как обмотка ротора асинхронного двигателя представляет со-бой замкнутую электрическую цепь, в ней возникает ток, кото-рый, взаимодействуя с магнитным потоком статора, создает электромагнитный момент двигателя. Под действием этого мо-мента ротор вращается в сторону вращающегося магнитного по-ля двигателя, причем частота вращения ротора всегда меньше частоты вращения вращающегося магнитного поля (n2 < n1). Если ротор будет вращаться с частотой поля, его обмотка не пересечет-ся этим полем и в ней не будет наводиться ЭДС. Следовательно, при отсутствии тока в роторе электромагнитный момент, разви-

144

ваемый двигателем, равен нулю. При этом двигатель замедляет свой ход до тех пор, пока в роторе не появится ток, необходимый для обеспечения соответствующего момента, при этом двигатель продолжает вращаться при частоте вращения n2.

Частота вращения магнитного поля (синхронная частота вращения) находится в строгой зависимости от частоты f1 под-водимого напряжения и числа пар полюсов р двигателя:

рfn /60 12 .

Из этого следует, что при промышленной частоте питающе-го напряжения f1 = 50 Гц максимальная частота вращения маг-нитного поля n1 оказывается равной 3000 мин при р = 1 . При увеличении числа пар полюсов частота вращения магнитного поля соответственно уменьшается, а следовательно, снижается и частота вращения ротора двигателя. При р = 2 n1 = 1500 мин-1, при р = 3 n1 = 1000 мин-1, при р = 4 n1 = 750 мин-1 и т. д.

Асинхронный электродвигатель характеризуется номи-нальными данными, на которые он рассчитан. Основные техни-ческие данные двигателя указаны в соответствующих каталогах, а также в паспортах, выполненных в виде специальных табличек, закрепленных на корпусах двигателей.

Асинхронные трехфазные электродвигатели имеют шесть выводов обмотки статора (три начала и три конца обмоток фаз). Начала обмоток каждой из трех фаз маркируются С1 С2, С3, а кон-цы соответственно С4, С5, С6. Подобная конструкция обмотки статора дает возможность соединять обмотки фаз двигателя как треугольником, так и звездой. Благодаря этому каждый трехфаз-ный электродвигатель можно использовать при двух различных по значению напряжениях питающей сети (линейном и фазном), например при напряжениях 380 и 220 В.

9.2.3. Схема замещения ротора трехфазного асинхронного

электродвигателя Одним из важнейших показателей, характеризующих

работу асинхронного двигателя, является скольжение ротора s:

145

1

21

nnns

, (9.3)

где n1 – частота вращения магнитного поля, мин-1; n2 – частота вращения ротора электродвигателя, мин-1.

Для большинства типов асинхронных электродвигателей скольжение ротора при номинальной нагрузке составляет sном = = 2 – 6 % (в относительных единицах s = 0,02 – 0,06), а при работе в режиме холостого хода, т. е. когда электродвигатель работает без нагрузки на валу, – доли процента.

При вращении ротора с частотой вращения поля n1 его скольжение, как это следует из (9.3), s = 0. При частоте вра-щения ротора n2 = 0, т. е. при неподвижном роторе, скольжение ротора s = 1.

Разность частот вращения (n1 – n2) = sn1 представляет собой частоту скольжения вращающегося поля статора двигателя отно-сительно поверхности его ротора. Нетрудно видеть, что от часто-ты скольжения, а также от абсолютного значения магнитного потока, характеризующего вращающееся магнитное поле, зави-сит и значение ЭДС, наводимой в обмотке ротора, а следователь-но, ток ротора и его частота при данном скольжении s:

,60 1

12 sfspnf s

где f1 – частота тока неподвижного ротора. При увеличении нагрузки на валу электродвигателя, обу-

словленной возрастанием момента сопротивления, частота вра-щения ротора уменьшается, а скольжение возрастает. Это вызывает увеличение ЭДС ротора Е2s, а следовательно, токов ротора и статора асинхронного двигателя. При этом мощность Р1 , потребляемая из сети, также возрастает.

При неподвижном роторе вращающееся магнитное поле в обмотках статора и ротора асинхронного электродвигателя бу-дет наводить переменные ЭДС, действующие значения которых определяют по формулам, сходным с формулами, полученным для ЭДС трансформатора:

mwfkЕ Ф44,4 1111 ;

146

mwfkЕ Ф44,4 2222 ,

где Е1 – фазное значение ЭДС, наводимой в обмотке статора; Е2 – фазное значение ЭДС, наводимой в обмотке ротора при неподвижном его состоянии (s = 1,n2 = 0); w1, w2 – число витков в фазе статора и ротора; Фm – амплитудное значение магнитного потока фазы асин-хронного двигателя; k1, k2 – обмоточные коэффициенты статора и ротора асин-хронного двигателя.

В отличие от трансформатора вследствие конструктивных особенностей асинхронного двигателя вращающийся магнитный поток не будет одновременно сцеплен со всеми витками обмоток статора и ротора, что учитывается обмоточными коэффициента-ми k1 и k2, меньшими единицы (у трансформатора k1 = k2 = 1).

В [3] показано, что ток ротора вращающегося двигателя можно определить через ЭДС Е2 непо- движного ротора. Сопротивление f1 и является постоянным, а активное сопротивление электрической цепи ротора при этом зависит от сколь-жения и находится из соотношения

2

22 1 Rs

sRs

R

.

С учетом этого для тока ротора схема замещения вращающегося ротора асинхронного электро-двигателя может быть приведена к схеме замещения неподвиж-ного ротора, представленной на рис. 9.9.

9.2.4. Рабочие характеристики трехфазного асинхронного

электродвигателя Зависимости между М (электромагнитным моментом, раз-

виваемым двигателем), потребляемой мощностью Р1, коэффи-циентом мощности cos φ1, КПД η, скольжением ротора s и тока статора I1, потребляемого двигателем из сети, от полезной

Рис. 9.9. Схема замещения электрической цепи непо-движного ротора

R2 X2

ss

R1

2

2I

2E

147

мощности, т. е. мощности на валу двигателя Р2 (рис. 9.10), яв-ляются рабочими характеристиками асинхронного электродви-гателя (при U1 = const и f1 = const). При этом зависимость М(Р2) определяют формулой М = 9550Р2 /n2, из которой следует, что эта зависимость представляет собой несколько искривленную пря-мую, проходящую через начало координат, так как с изменением нагрузки на валу частота вращения ротора двигателя n2 несколь-ко уменьшается.

Рис. 9.10. Рабочие характеристики асинхронного трехфазного

электродвигателя Характер зависимости соs φ1(Р2), т.е. зависимости коэффи-

циента мощности асинхронного двигателя от мощности на валу, определяют выражением

.3/cos 1111 IUP

Значение коэффициента мощности для нормальных асин-хронных двигателей средней мощности при номинальной нагрузке составляет cos φ1ном = 0,83–0,89. С уменьшением нагруз-ки на валу двигателя коэффициент мощности снижается и дохо-дит до значений, равных 0,2–0,3 при холостом ходе. В этом ре-

I1 P1 M

n2

s

η

cos φ1

P2 P2ном 0

n2, η, M, P1, I1, cos φ1, s

148

жиме полезная мощность на валу Р2 равна нулю, однако при этом двигатель потребляет мощность Р1 из сети, поэтому коэффици-ент мощности не равен нулю. С увеличением нагрузки сверх номинальной наблюдается некоторое снижение значения коэф-фициента мощности за счет увеличения падения напряжения на индуктивной составляющей сопротивления обмотки статора асинхронного двигателя. Характер изменения коэффициента мощности от нагрузки асинхронного двигателя имеет примерно такой же вид и изменяется по тем же причинам, что и у транс-форматора.

Зависимость КПД асинхронного двигателя от нагрузки η(Р2) описывают формулой

η = P2/P1 = P2/( P2 + PΣ), где Р1 – активная мощность, потребляемая двигателем из пита-ющей сети; РΣ – суммарные потери мощности в двигателе, равные сумме потерь мощности в магнитопроводе, электрических потерь мощно-сти в обмотках статора, электрических потерь мощности в обмотке ротора, механических потерь и добавочных потерь мощности.

При отсутствии нагрузки Р2 = 0 КПД электродвигателя при этом также равен нулю. С увеличением нагрузки КПД двигате-ля растет и принимает наибольшее значение при условии, что постоянные потери мощности в электродвигателе (Рм + Рмех) ока-зываются равными переменным потерям мощности (Рэ1 + Рэ2) в нем. При дальнейшем росте нагрузки КПД электродвигателя, так же как и у трансформатора, снижается. Ток с увеличением мощ-ности Р2 на валу, т. е. с увеличением нагрузки двигателя, вызыва-емой возрастанием момента сопротивления исполнительного ме-ханизма, частота вращения n2 ротора уменьшается, а его сколь-жение при этом возрастает, вызывая увеличение ЭДС Е2 в об-мотках ротора, а следовательно, возрастание токов ротора и ста-тора. При неизменном магнитном потоке двигателя это приводит к увеличению момента, развиваемого двигателем. Таким образом, с увеличением нагрузки на валу равновесие между моментом, развиваемым двигателем, и моментом сопротивления наступает при снижении частоты вращения. При возрастании момента нагрузки на валу электродвигателя происходит снижение часто-

149

ты вращения ротора, т. е. частоты вращения n2 асинхронного двигателя.

Ток статора при отсутствии нагрузки равен току холосто-го хода (I1 = I0). При увеличении мощности на валу электродви-гателя возрастает и ток I1, потребляемый двигателем из питаю-щей сети. Увеличение тока происходит приблизительно по линейному закону. Однако при значительном возрастании мощ-ности на валу линейность нарушается и ток начинает возрастать интенсивнее, чем мощность, так как коэффициент мощности двигателя при этом снижается, а электрические потери мощно-сти в обмотках двигателя при больших нагрузках значительно возрастают. Снижение соs φ1 и увеличение потерь мощности в двигателе компенсируются увеличением тока нагрузки вслед-ствие возрастания мощности. Этим же объясняется и характер изменения потребляемой из сети мощности Р1.

9.3. Синхронные трехфазные электрические двигатели

9.3.1. Устройство и принцип действия трехфазных

синхронных электродвигателей Синхронные машины, так же как и другие электрические

машины, обратимы, т. е. могут работать как в режиме генератора, так и в режиме двигателя, поэтому конструкция синхронного электродвигателя практически ничем не отличается от конструк-ции синхронного генератора, представленной на рис. 9.11.

Основными частями синхронной машины являются непо-движный статор 1 и вращающийся ротор 3 (рис. 9.11). В пазах 2 статора, представляющего собой цилиндрический магнито-провод, набранный из отдельных изолированных листов элек-тротехнической стали, размещаются проводники 4 обмотки ста-тора. В конструктивном отношении статор и обмотка статора синхронной машины принципиально не отличаются от кон-струкции статора и обмотки статора асинхронной машины. Вра-щающаяся часть синхронной машины – ротор 3 – выполняется с электромагнитами, обмотки которых питаются постоянным то-ком через систему контактных колец 5 и создают необходимое для работы машины вращающееся магнитное поле.

150

Рис. 9.11. Устройство трехфазных синхронных генераторов:

а – с неявно выраженными полюсами; б – с явно выраженными полюсами

Эту часть синхронной машины называют индуктором.

В процессе работы синхронной машины в обмотке статора наво-дится ЭДС, поэтому ее статор называют якорем. Питание об-мотки индуктора синхронной машины осуществляется от неза-висимого источника постоянного тока или от сети переменного тока через специальные выпрямительные устройства. С этой це-лью для мощных синхронных машин используют относительно небольшие генераторы постоянного тока, так называемые возбу-дители, приводимые во вращение от вала синхронной машины. При использовании в качестве электродвигателя синхронная машина потребляет электрическую энергию из питающей сети и преобразует ее в механическую. По сравнению с асинхронными синхронные электродвигатели имеют ряд существенных пре-имуществ, особенно при незначительных частотах вращения и больших мощностях машин.

Синхронные электродвигатели могут быть выполнены одно-, двух- и трехфазными. Наиболее распространены трех-фазные синхронные двигатели, работа которых основана на взаимодействии поля постоянных магнитов (электромагнитов) ротора с вращающимся магнитным полем, создаваемым обмот-кой якоря (статора). В большинстве случаев синхронные элек-

151

тродвигатели выполняют явнополюсными (их относят к кате-гории тихоходных).

Частота вращения синхронных электродвигателей в отли-чие от асинхронных строго постоянна и зависит только от ча-стоты f питающего напряжения и числа пар полюсов р двига-теля:

n = 60f/р. При включении обмотки статора синхронного электродви-

гателя в трехфазную сеть, так же как в асинхронном двигателе, возникает вращающееся магнитное поле, частота вращения ко-торого определяется приведенным выражением.

9.3.2. Способы пуска в ход трехфазных синхронных

электродвигателей В практике наиболее широкое распространение получили

способы пуска в ход синхронного двигателя с помощью вспомо-гательного электродвигателя и асинхронного пуска синхронного электродвигателя.

При пуске по первому способу ротор синхронного двига-теля с возбужденными полюсами с помощью другого, предна-значенного для этого вспомогательного электродвигателя, до-водится до частоты вращения ротора, равной или близкой к синхронной частоте вращения. При этом разноименные полюса ротора и поля статора, неподвижные друг относительно друга в пространстве, притягиваются через воздушный зазор машины. Ротор входит в синхронизм и далее вращается самостоятельно с частотой вращающегося магнитного поля = const. Вспомо-гательный электродвигатель оказывается при этом ненужным и его следует отключить от сети. В качестве вспомогательного двигателя обычно используют электродвигатель постоянного тока. Для этого также можно использовать и асинхронный элек-тродвигатель с соответствующим числом пар полюсов.

Недостатком рассмотренного способа пуска является отно-сительная сложность процесса пуска и необходимость приме-нения вспомогательного электродвигателя, который после окон-чания пуска оказывает некоторое тормозное воздействие на

152

синхронный двигатель, снижая КПД установки. Учитывая это, в ряде случаев после окончания пуска вспомогательный двига-тель с помощью специального устройства отключают от вала синхронного электродвигателя. В отдельных случаях в качестве вспомогательного двигателя при пуске используют возбудитель синхронного двигателя.

В современных условиях чаще применяют так называемый асинхронный пуск синхронного электродвигателя, лишенный указанных недостатков. Сущность этого способа заключается в том, что в полюсных наконечниках ротора синхронного двига-теля укладывается дополнительная короткозамкнутая обмотка ротора, выполняющая ту же роль, что и обмотка ротора асин-хронного электродвигателя. При включении обмотки статора синхронного двигателя в трехфазную сеть в магнитопроводе и воздушном зазоре машины создается вращающееся магнитное поле. Это поле наводит в короткозамкнутой обмотке неподвиж-ного ротора переменный ток, который, взаимодействуя с вращающимся магнитным полем, создает вращающий момент, приводящий ротор во вращение в направлении вращающегося магнитного поля.

Происходит нарастание частоты вращения ротора синхрон-ного двигателя, которая после окончания разгона достигает зна-чения, близкого к синхронной частоте вращения, так как процесс пуска синхронного двигателя происходит в режиме холостого хода, без нагрузки. Затем включается питание обмотки ротора синхронного электродвигателя. Полюса ротора возбуждаются и в результате взаимодействия магнитных полей статора и ротора синхронный электродвигатель входит в синхронизм. После окончания пуска относительная скорость перемещения провод-ников обмотки ротора в магнитном поле оказывается равной нулю. Ток в этой обмотке уменьшается до нуля, и при дальней-шей работе синхронного двигателя с синхронной частотой вра-щения короткозамкнутая обмотка ротора не оказывает воздей-ствия на работу синхронного двигателя, так как момент враще-ния, создаваемый с ее помощью, также равен нулю.

При появлении толчков, возможных при сбросе и нараста-нии нагрузки на валу синхронного двигателя, когда происходит кратковременное скачкообразное изменение частоты вращения

153

ротора в результате изменения угла нагрузки , в короткоза-мкнутой обмотке ротора возникает ток, который, взаимодействуя с полем статора, будет создавать момент, препятствующий из-менению частоты вращения. В этом случае вспомогательная короткозамкнутая обмотка ротора выполняет роль своеобразного демпфера, сглаживающего толчки нагрузки.

Преимуществом рассматриваемого способа пуска син-хронного двигателя является его простота. В этом случае пуск синхронного двигателя производится простым включением в питающую сеть. К недостаткам этого способа следует отнести то, что при пуске в обмотке статора достаточно мощного син-хронного двигателя возникают значительные пусковые токи, которые могут вызвать заметное снижение напряжения в пита-ющей сети, что неблагоприятно отражается на работе других электрических машин и потребителей электроэнергии, питаю-щихся от той же сети электроснабжения.

Для уменьшения пускового тока пуск синхронных электро-двигателей производят при пониженном напряжении. С этой целью при пуске используют автотрансформаторы или включа-ют реакторы последовательно с обмоткой статора. При пуске синхронных двигателей малой мощности, а также при неболь-ших напряжениях иногда осуществляют пуск с переключением обмотки статора со звезды на треугольник.

В [3] показано, что недовозбужденный синхронный двига-тель при работе в этих условиях потребляет из питающей сети отстающий по фазе от напряжения ток, в то время как перевоз-бужденный синхронный двигатель при работе в этих условиях потребляет опережающий ток.

Свойство синхронных электродвигателей потреблять из питающей сети опережающий ток особенно ценно для промыш-ленных установок, так как оно позволяет одновременно с использованием синхронной машины в качестве приводного двигателя использовать ее и для повышения коэффициента мощности (соs φ) установки без применения статических конден-саторов.

При необходимости компенсации реактивных индуктивных токов питающей сети в ряде случаев мощные синхронные элек-тродвигатели включают без нагрузки на валу, используя их

154

только в качестве компенсаторов реактивной мощности. Для этой цели промышленность выпускает специальные синхронные электродвигатели с облегченным валом, работающие вхолостую и предназначенные для генерирования емкостной реактивной мощности. Синхронные электродвигатели подобной конструк-ции называют синхронными компенсаторами или синхронными конденсаторами.

Синхронные электродвигатели по сравнению с другими электродвигателями имеют существенные преимущества, так как сохраняют постоянство числа оборотов с изменением нагрузки, имеют высокий коэффициент мощности и позволяют повышать соs φ потребителей электроэнергии путем изменения тока воз-буждения машины. Вместе с тем синхронные электродвигатели оказываются более устойчивыми к колебаниям напряжения пи-тающей сети, так как момент, развиваемый ими, пропорциона-лен напряжению U, в то время как момент асинхронного элек-тродвигателя пропорционален квадрату напряжения U2 питаю-щей сети.

К недостаткам синхронных электродвигателей следует от-нести то, что они характеризуются относительно сложным про-цессом пуска, способны выпадать из синхронизма при перегруз-ках, затрудняют возможность регулирования частоты вращения исполнительного механизма и связаны с необходимостью приме-нения источников постоянного и переменного токов одновре-менно.

Благодаря отмеченным особенностям синхронных электро-двигателей последние нашли широкое применение для привода механизмов с редкими пусками, когда необходимо или допусти-мо иметь постоянную частоту вращения.

155

Глава 10

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Нелинейной называют электрическую цепь, которая содер-

жит хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейных элементов, как и линейных, в электротехнике три: резистор R, индуктив-ность L и емкость С. У нелинейного резистора нелинейна вольт- амперная характеристика U = f(I). Примерами такого элемента служат диоды и транзисторы. У нелинейной емкости нелинейна вольт-фарадная характеристика U = f(C). Пример нелинейной ем-кости – варикап, представляющий собой диод с очень тонким p-n переходом. Если в любую катушку индуктивности вставить сер-дечник из магнитомягкого материала, то такая индуктивность будет иметь нелинейную ампер-веберную характеристику I = = f(ψ).

10.1. Аппроксимация нелинейных характеристик

Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать

вольт-амперные или иные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Реальные характеристики обычно имеют сложный нелинейный вид. Современная математика позволяет точно описать любую функцию, в том числе и характеристику нелинейного элемента. Однако формулы, получаемые при этом, не представляется возможным использовать в расчетах ввиду сложности этих аналитических выражений. В электротехнике широкое распространение получили способы представления ха-рактеристик нелинейных элементов относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные ха-рактеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется аппроксимацией харак-теристики.

Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида нели-нейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных и широко ис-пользуемых способов аппроксимации является аппроксимация

156

степенным полиномом. Пусть нелинейная функция f(x), изобра-женная на рис. 10.1, представлена следующим полиномом:

...33

2210 xaxaxaaxfy , (10.1)

где xfy – аппроксимирующая функция; а0, а1, а2, а3, ... – коэффициенты полинома.

Рис. 10.1. Аппроксимация степенным полиномом

Этот вид аппроксимации используют для описания неболь-

ших участков характеристики. Диапазон аргумента функции ∆х небольшой. Исходя из требуемой точности, выбирают высшую степень полинома – чем она выше, тем больше точность описа-ния. Ограничимся второй степенью:

2210 xaxaay .

Затем на характеристике выбирают n + 1 точку, где n – выс-шая степень полинома аппроксимирующей функции, т. е. в нашем случае: 2 + 1 = 3. Две точки – на краях диапазона (рис. 10.1), а остальные – на участке наибольшей крутизны функции y = f(x). Затем для каждой точки записывают уравнения:

y

y

1

2

3

x

Δx x1 x3 x2

y3

y2

y

157

2121101 xaxaay

2222102 xaxaay , 2

323103 xaxaay

где х1, х2, х3; y1, y2, y3 – координаты точек; а0, а1, а2 – коэффициенты полинома.

Решая эту систему уравнений, находят числовые значения коэффициентов полинома и записывают аппроксимирующую функцию. На рис. 10.1 эта аппроксимирующая функция показана пунктиром. Этим способом широко пользуются при описании начальных участков вольт-амперных характеристик диодов и транзисторов.

При необходимости аппроксимировать характеристику не-линейного элемента y = f(x) в широком динамическом диапазоне используют полигональную аппроксимацию (или аппроксима-цию кусочно-линейную):

0, х ≤ x1

y S(x – x1), x1 < x < x2 , (10.2)

y2, x ≥ x2

где S – крутизна функции y на интервале x1 < x < x2.

Рис. 10.2. Полигональная аппроксимация

y

y

x

Δx x1 x2

y2

y

158

Несмотря на кажущуюся, на первый взгляд, «грубость» ап-проксимации, при использовании в задачах анализа цепей по-грешности не превышают 5–10 %, что вполне допустимо для ин-женерных расчетов.

Для повышения точности аппроксимации при больших ди-намических диапазонах ∆x используют кусочно-параболическую аппроксимацию, представляющую собой комбинацию из двух ранее рассмотренных методов, и другие способы. Все эти спосо-бы аппроксимации применимы к соответствующим характери-стикам не только активных (диодов, транзисторов), но реактив-ных нелинейных элементов.

10.2. Воздействие гармонических колебаний

на нелинейные элементы Рассмотрим действие гармонического колебания на нели-

нейный элемент при рассмотренных выше двух способах аппрок-симации его характеристики. Пусть характеристика нелинейного элемента аппроксимируется степенным полиномом (10.1). Огра-ничимся третьей высшей степенью этого полинома:

...33

2210 xaxaxaay (10.3)

Входное колебание для нелинейного элемента: txxtx 00 cos .

Подставляя эту формулу в (10.3), получим отклик нелиней-ного элемента (колебание на его выходе):

...coscoscos 033

03022

020010 txatxatxaaty . (10.4)

С помощью тригонометрических соотношений

xxxxx 3cos4/1cos4/3cos;2cos2/12/1cos 32 (10.5) выражение (10.4) приведем к виду

....4/3coscos3

2cos12

cos

00330

0

20

20010

ttax

txatxaaty

159

Как видно из этого выражения, при действии на входе гар-монического колебания с частотой ω0 на выходе будут следую-щие спектральные составляющие:

...2

202

0 xaa – постоянная составляющая;

...cos43cos 0

303001 txatxa – первая гармоника;

...2

202

xa – вторая гармоника;

...3cos4 03

30 tax – третья гармоника.

Полученный выше результат представлен на рис. 10.3 ам-плитудно-частотными характеристиками.

Рис. 10.3. Спектр на входе и выходе нелинейного элемента

Таким образом, спектр отклика при действии на нелиней-

ный элемент одного гармонического колебания обогащается за счет постоянной составляющей а0 и высших гармоник – второй и

ω0

ω

ω0 2ω0 3ω0

a0

ω

| S вх(ω) |

0

| S вых(ω) |

160

третьей. При повышении степени аппроксимирующей функции (10.1) число высших гармоник будет увеличиваться, причем но-мер высшей гармоники будет равен высшей степени полинома.

При действии двух гармонических колебаний txtx 111 cos и txtx 222 cos

на нелинейный элемент при полиномиальной аппроксимации с третьей высшей степенью полинома получим:

....cos

coscos3coscos3

coscoscoscos2

coscoscos

233

23

22

1221321

22

213

133

13222

2221212

122

122211110

txa

ttxxattxxa

txatxattxxa

txatxatxaaty

Используя тригонометрические соотношения (10.5), а также

coscos21coscos ,

нетрудно увидеть, что в отклике нелинейного элемента будут присутствовать спектральные составляющие на частотах:

1) ω = 0 – постоянная составляющая; 2) ω = ω1, 2ω1, 3ω1, ω2, 2ω2, 3ω2 – гармоники входного коле-

бания; 3) ω = (ω1 + ω2), (ω1 – ω2),(2ω1 + ω2), (2ω1 – ω2), (ω1 + 2ω2),

(ω1 – 2ω2) – комбинационные частоты. Таким образом, при действии двух гармонических колеба-

ний на нелинейный элемент спектр отклика обогащается за счет постоянной составляющей, высших гармоник входных частот, а также комбинационных частот, образованных суммами и разно-стями основных (входных) частот и их гармоник.

При полигональной аппроксимации и действии одного гар-монического колебания U(t) отклик имеет форму периодических импульсов с тем же периодом колебаний, что и у входного напряжения (рис. 10.4). При этом периодическую последователь-ность можно разложить в ряд Фурье. В результате получим, что отклик будет иметь бесконечно большое число гармоник.

161

Рис. 10.4. Отклик при полигональной аппроксимации При действии на нелинейный элемент двух и более колеба-

ний в отклике появится также бесконечно большое число комби-национных частот.

10.3. Практическое использование

Преобразование спектра в нелинейном элементе широко ис-

пользуется при решении различных практических задач. В общем виде принцип преобразования спектра виден из рис. 10.5.

Рис. 10.5. Преобразование спектра в нелинейном элементе

i i

t

t

U(t)

U

T

T

Нелинейный

элемент

Фильтр

x1

x2

y Z

162

Одно или два гармонических колебания подают на нелиней-ный элемент. Отклик будет иметь обогащенный спектр, как пока-зано в параграфе 10.2. С помощью фильтра из этого спектра выделяют нужные спектральные составляющие. Так, например, при работе выпрямителей (преобразователей переменных напря-жений и токов в постоянные) выделяют фильтром постоянную составляющую отклика. Преобразование спектра в нелинейном элементе широко используют в радиоэлектронике при реализа-ции таких функциональных элементов, как нелинейный резо-нансный усилитель, умножитель частоты, детектор, модулятор, преобразователь и смеситель частот, автогенератор и другие. В электротехнических цепях в качестве нелинейных элементов используют диоды, которые можно рассматривать как некоторое активное сопротивление, величина которого зависит от направ-ления тока; триоды, которые можно рассматривать как нелиней-ное управляемое сопротивление; катушки индуктивности с сер-дечником из ферромагнитных материалов; дроссели и магнитные усилители.

Расчет цепей с нелинейными элементами в общем виде сво-дится к решению системы нелинейных алгебраических уравне-ний, если характеристики элементов заданы аналитическими уравнениями. Общего метода точного решения таких систем нет, однако в ряде случаев возможно использование ряда аналитиче-ских приемов, позволяющих достаточно просто получить нуж-ный результат.

163

Глава 11

ВЫБОР ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ И ПРОВОДОВ

11.1. Выбор электродвигателей

11.1.1. Основные сведения об электроприводе и режимах работы электродвигателей

Для приведения в движение производственных машин и

механизмов используют электропривод, состоящий из электро-двигателя, передаточного устройства и систем преобразования, управления и автоматизации. В некоторых случаях передаточ-ные устройства и преобразователи (тока, частоты и другие) мо-гут отсутствовать.

Характер движения электропривода описывает уравнение моментов:

M = Mc + MД, (11.1) где M – вращающий момент двигателя; Mс – статический момент сопротивления механизма; MД – динамический момент.

Динамический момент определяется как

dtdJМ

Д ,

где J – момент инерции вращающихся масс;

dtd – угловое ускорение.

В установившемся режиме M = Mс. Установившееся значе-ние угловой скорости ω или частоты вращения п у двигателей (кроме синхронных) зависит от момента сопротивления меха-низма (нагрузки). Mеханические характеристики ω(М) или п(М) электродвигателей приведены на рис. 11.1.

Механизмы создают моменты сопротивления Мс, которые в свою очередь зависят от ω или п.

164

Характеристики ω(Мс) или п(Мс) наиболее распростра-ненных механизмов представлены на рис. 11.2.

Рис. 11.1. Механические характеристики электродвигателей: 1 – синхронного; 2 – асинхронного; 3 и 4 – постоянного тока

параллельного и последовательного возбуждения соответственно

Рис. 11.2. Характеристики моментов сопротивления механизмов: 1 – грузоподъемные и транспортные, поршневые насосы, строгальные станки (Mс = const); 2 – некоторые металлорежущие станки и моталки

прокатных станов (Мсω = const); 3 – вентиляторы, центробежные насосы, компрессоры и центрифуги

Определение угловой скорости или частоты вращения и момента М в установившемся режиме производится графиче-ским путем, как показано на рис. 11.3. Точка пересечения характе-ристики рабочего механизма (кривая 1) с характеристикой электро-двигателя (кривая 2) соответствует значениям ω (или п) и М.

M

ω, n

0

1

3

2

4

0

1

3

2 ω, n

M

165

При работе двигателя в нем происходит постоянное выделение теплоты, что приводит к его нагреву. Превышение температуры двига-теля над температурой окружаю-щей среды описывается уравнени-ем

Tt

Tt

eeAQ

01 , (11.2)

где Q – количество теплоты, выде-ляемое в единицу времени; А – теплоотдача окружающей среды в единицу времени; Т – постоянная времени; 0 – превышение температуры двигателя над температурой окружающей среды в момент вклю-чения двигателя при t = 0.

В установившемся тепловом режиме, когда количество теп-лоты, выделяемое в двигателе, и теплоты, рассеиваемой в окру-жающую среду, становятся одинаковыми (т. е. теоретически при t = ∞, а практически при t ≈ 4Т ), превышение температуры до-стигает максимального значения AQ / . С учетом последнего

Tt

e0 . (11.3)

Установившееся значение превышения температуры двига-теля зависит от мощности P2 на его валу.

При отключении электродвигателя Q = 0 и с учетом (11.2)

Te1

откл , где откл – превышение температуры в момент от-ключения, т. е. превышение температуры двигателя уменьшает-ся по экспоненциальному закону.

В соответствии с характером работы производственных меха-низмов в условиях эксплуатации различают следующие основные режимы работы двигателя: продолжительный, кратковременный и повторно-кратковременный.

M

ω, n

0

1 2

Рис. 11.3. К определению угловой скорости или

частоты вращения: 1 – характеристика рабочего

механизма; 2 – характери-стика электродвигателя

166

Продолжительный режим – режим, в котором электродвига-тель может работать длительное время, при этом установившееся значение превышения температуры двигателя над температу-рой окружающей среды не превышает установленного значения. Такой режим работы характерен для двигателей вентиляторов, насосов, компрессоров, транспортеров, мощных металлорежущих станков и др.

Кратковременный режим – режим, при котором превыше-ние температуры электрического двигателя достигает пре-дельно допустимого значения для данного класса изоляции, но не достигает установившегося значения. В этом режиме двига-тель работает в течение сравнительно небольшого периода времени, а перерыв в работе велик, и двигатель успевает охладиться до температуры окружающей среды. В кратковре-менном режиме работают двигатели затворов шлюзов, подъем-ных механизмов разводных мостов и т. д.

Повторно-кратковременный режим – режим, при котором периоды работы электродвигателя под нагрузкой чередуются с паузами, когда двигатель отключается. При этом периоды работы и паузы не настолько длительны, чтобы температура достигла установившегося значения. Такой режим характерен для двига-телей подъемно-транспортных механизмов, прессов, штампо-вочных машин и некоторых металлообрабатывающих станков. Время цикла этого режима tц = tp + t0, где tp – время работы дви-гателя, а t0 – время паузы. Время цикла обычно не превышает десяти минут.

Повторно-кратковременный режим характеризуется про-должительностью включения.

11.1.2. Принципы выбора электродвигателей

Выбор двигателя заключается в подборе для соответству-

ющего механического оборудования электродвигателя, подхо-дящего по роду тока, напряжению, мощности и частоте враще-ния.

Для машин и механизмов, не требующих регулирования частоты вращения, рекомендуется применять асинхронные

167

двигатели с короткозамкнутым ротором или синхронные. Дви-гатели постоянного тока допускается применять только в слу-чаях, когда двигатели переменного тока не удовлетворяют ха-рактеристикам механизма или являются неэкономичными. Синхронные двигатели рекомендуется применять для нерегу-лируемых механизмов продолжительного режима работы при единичной мощности 100 кВт и более.

Современной серией асинхронных двигателей является серия 4А. Двигатели выпускаются в двух вариантах исполне-ния по степени воздействия окружающей среды: защищенные (1Р23) и закрытые обдуваемые (1Р44).

Двигатели мощностью от 60 до 370 Вт выпускаются на напряжение 220/380 В, двигатели мощностью 0,55–110 кВт – на напряжение 220/380 и 380/660 В, мощностью 132–400 кВт – на напряжение 380/660 В.

Асинхронные двигатели выпускаются следующих типов: 4А, 4АН, 4АК, 4АР и 4АС. Обозначения в типах: 4 – номер се-рии, А – асинхронный, Н – защищенного исполнения, К – с фаз-ным ротором, Р – с повышенным пусковым моментом и С – с по-вышенным скольжением.

11.1.3. Определение мощности двигателя. Выбор двигателя

по каталогу Допустимая температура нагрева изоляции электродвига-

теля и температура окружающей среды определяют значение мощности Р2 на валу двигателя. Температура окружающей среды определена стандартом и составляет 40°С. Для каждого класса изоляции установлены значения допустимого превышения температуры: А – 60 °С, Е – 75 °С, В – 80 °С, F – 100 °С, Н – 125 °С. В каталогах и паспортных данных указана номи-нальная мощность Рном, соответствующая температуре окру-жающей среды 40 °С.

Выбор двигателя для продолжительного режима работы производится, исходя из условия Рном ≥ Р. Если двигатель пред-назначен для работы в продолжительном режиме при перемен-ной нагрузке, предварительный выбор электродвигателя про-

168

изводится, исходя из условия Рном ≥ Pср, а затем выполняется проверочный расчет.

Все методы проверки сводятся к условию, что среднее значение мощности потерь в двигателе не должно превышать мощность потерь при номинальной нагрузке Pпер ≤ Pп. ном. На практике применяют методы, основанные на расчете эквива-лентных значений тока, момента, мощности.

Метод эквивалентного тока основан на замене действи-тельного, изменяющегося во времени действующего значения тока двигателя, эквивалентным током, при котором мощность потерь соответствует средним потерям при переменном режи-ме работы.

Эквивалентное значение тока определяют по формуле

02211

22

221

21

2

экв tk...ttttktI...tItItII

тп

ттпп

, (11.4)

где I1, I2, Im – значения тока двигателя в интервалах времени t1, t2, tm, соответствующие участкам с неизменной нагрузкой; IП, IТ – средние значения тока, соответствующие времени пуска tП и торможения tТ; t0 – время паузы; k1 – коэффициент, учитывающий уменьшение теплоотдачи при пуске и торможении; k2 – коэффициент, учитывающий уменьшение теплоотдачи во время паузы.

Для двигателей постоянного тока k1 = 0,75, а k2 = 0,5; для асинхронных двигателей k1 = 0,5, а k2 = 0,25. Номинальный ток двигателя выбирают из условия Iном ≥ Iэкв.

Переменная нагрузка может быть задана в виде графиче-ской зависимости M (t). В этом случае определяют эквивалент-ный момент

02211

т2т2

221

21

2п

экв tk...ttttktМ...tМtМtММ

тп

п

, (11.5)

169

где MП, MТ, M1, M2 и так далее – значения момента на валу дви-гателя в соответствующие промежутки времени.

Номинальную мощность двигателя выбирают из условия Pном ≥ Pр,

где Pр – расчетная мощность. Pр = 0,105 Mэквnном,

где nном – номинальная частота вращения двигателя. Наиболее простым методом выбора двигателя является

определение его эквивалентной мощности

02211

22

221

21п

2

экв tk...ttttktР...tРtРtРР

тп

ттп

, (11.6)

где PП, PТ, P1, P2 и так далее – значения мощности на валу двига-теля в соответствующие промежутки времени.

Формулы (11.4)–(11.6) упрощаются, если не учитывать вли-яние пуска, торможения и работы без нагрузки.

Номинальную мощность двигателя определяют, исходя из условия Pном ≥ Pр = Pэкв. Этот метод может быть использован при выборе двигателей постоянного тока параллельного воз-буждения, асинхронных и синхронных двигателей.

Проверку двигателя по перегрузочной способности про-изводят путем сравнения наибольшего момента нагрузки Mнб, определяемого по графику нагрузки, с максимальным моментом двигателя

Mmax = Mmax* · Mном, где Mmax* – кратность максимального момента (для двигателей постоянного тока Mmax* = 2 – 2,5, для асинхронных двигателей – 1,6 – 2,5).

Необходимо выполнить условие Mнб ≤ kиMmax, (11.7)

где kи – коэффициент, учитывающий снижение напряжения.

170

При тяжелых условиях пуска проводят также проверку электродвигателя по пусковому моменту. Пусковой момент дви-гателя

Mп = Mп*Mном ≥ Mпс, где Mп* – кратность начального пускового момента; Mпс – момент сопротивления на валу двигателя при пуске.

Для повторно-кратковременного режима, когда периоды ра-боты чередуются с паузами, при которых двигатель отключается или работает на холостом ходу, номинальная мощность электро-двигателя определяется для одного из значений ПВ (15, 25, 40, 60 %).

При многоступенчатом графике нагрузки эквивалентная мощность за период работы определяется по графику нагрузки

n

1kk

n

1kk

2k

t

tРРэкв , (11.8)

где Pk – мощность двигателя в промежутке времени tk; n – число ступеней цикла графика нагрузки.

При одноступенчатом графике нагрузки Pэкв = P. Продолжи-тельность включения

n

kk 1

n

k 0k 1

tПВ 100 %

t t

, (11.9)

где t0 – время паузы. При одноступенчатом графике нагрузки

100%ПВ0

ttt

р

р .

Мощность двигателя выбирают, исходя из условия

стэкврном ПВ

ПВРРР ,

171

где ПВст – стандартное значение ПВ, указанное в паспорте двига-теля.

Коэффициенты kм – механической перегрузки двигателя в кратковременном режиме при номинальном напряжении и kT – тепловой перегрузки соответственно равны

/Тt

*

е11МРk

МРР

Рk

кр

2*

2кр*т

ном

кркр*м

, (11.10)

где tкр – время работы в кратковременном режиме (стандартные длительности периода кратковременной работы 10, 30, 60 и 90 мин); Т – постоянная нагрева двигателя (для асинхронных двигате-лей защищенного исполнения малой и средней мощности обычно принимают 15–60 мин.).

При кратковременном режиме мощность Pкр двигателя, предназначенного для продолжительного режима работы, равна:

тномкр kРР . (11.11)

11.1.4. Определение мощности двигателей

для некоторых механизмов Расчетную мощность двигателей выбирают по следующим

формулам. Для металлообрабатывающих станков

с

рр

FSР

, (11.12)

где F – удельное сопротивление резанию; S – сечение стружки; υр – скорость резания; ηс – КПД станка.

172

Для вентиляторов

ПВ

QpРр , (11.13)

где Q – производительность вентилятора; р – давление газа; ηв – КПД вентилятора; ηп – КПД передачи.

Для насосов

ПН

QНРр , (11.14)

где Q – производительность насоса; Н – дифференциальный напор столба жидкости; υ – плотность жидкости; ηн – КПД насоса.

Для компрессоров

ПК

QАРр , (11.15)

где Q – производительность компрессора; А – работа, затрачиваемая на сжатие одного кубического метра газа до необходимого давления; ηк – КПД компрессора.

Для горизонтальных ленточных транспортеров

П

QfLРр , (11.16)

где Q – производительность транспортера; f – коэффициент трения; L – рабочая длина транспортера.

Для подъемных механизмов кранов

ПМ

0

GGРр , (11.17)

где G – масса поднимаемого груза;

173

Go – масса захватывающего приспособления; υ – скорость подъема; ηпм – КПД подъемного механизма.

Технические данные асинхронных двигателей приведены в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Технические данные асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором с частотой вращения 1500 об/мин

Тип двигателя Pном, кВт N2 ном, об/мин ηном,% cos φном Mmax*

4А80А4УЗ 1,1 1420 75,0 0,81 2,2 4А80В4УЗ 1,5 1415 77,0 0,83 2,2 4A90L4У3 2,2 1425 80,0 0,83 2,4 4A100S4У3 3,0 1435 82,0 0,83 2,4 4А100L4УЗ 4,0 1430 84,0 0,84 2,4 4А112M4УЗ 5,5 1445 85,5 0,85 2,2 4А132S4УЗ 7,5 1455 87,5 0,86 3,0 4А132M4УЗ 11,0 1460 87,5 0,87 3,0 4А160S4УЗ 15,0 1465 88,5 0,88 2,3 4А160M4УЗ 18,5 1465 89,5 0,88 2,3 4А180S4УЗ 22,0 1470 90,0 0,90 2,3 4А180M4УЗ 30,0 1470 91,0 0,90 2,3 4А200M4УЗ 37,0 1475 91,0 0,90 2,5 4А200L4УЗ 45,0 1475 92,0 0,90 2,5 4А225M4УЗ 55,0 1480 92,5 0,90 2,5 4А250S4УЗ 75,0 1480 93,0 0,90 2,3 4А250M4УЗ 90,0 1480 93,0 0,91 2,3

Более подробно технические данные электродвигателей и

рекомендации по их выбору приведены в [2].

11.2. Выбор проводов

11.2.1. Выбор марки провода Провода состоят из проводящей жилы, изоляции и защитно-

го покрова. По материалу проводящей жилы провода бывают мeдные и алюминиевые. На практике в основном применяются

174

алюминиевые провода. В марке проводов с алюминиевой жилой присутствует буква «А». Если проводящая жила состоит из большого числа тонких перевитых проволок, то такой провод бу-дет гибким и в марке провода это будет отмечаться буквой «Г».

В качестве изолирующего материала применяют (в скобках указано обозначение данной изоляции в марке прово-да): резину (P), наиритовую резину (Н), поливинилхлорид (В), полиэтилен (П). Кроме изолированных проводов для воздушных линий применяют неизолированные (голые) провода, для кото-рых в качестве проводящего материала применяют также и сталь.

Защитные покровы используют для защиты изолирующего материала от механических и химических воздействий. Для за-щиты применяют оплетку из пряжи, иногда пропитанную лаком, пластмассовые или металлические оболочки.

11.2.2. Выбор сечения провода

Промышленность выпускает провода следующих сечений,

мм2: 0,5; 0,75; 1,0; 1,2; 1,5; 2,0; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 16; 25; 35; 50 и т. д. Выбор сечения осуществляют по трем критериям: по меха-нической прочности (qмх), по току нагрузки (qi) и по потере напряжения (qΔu).

11.2.3. Выбор по механической прочности

В зависимости от условий прокладки проводов и материала

проводящей жилы в справочных таблицах указаны минимально допустимые сечения проводов с точки зрения механической прочности. Выбранное сечение должно удовлетворять условию qмх ≥ qmin.

Для большинства условий прокладки алюминиевых прово-дов qmin = 2,5 мм2, а для медных qmin = 0,5 или 0,75 мм2.

11.2.4. Выбор по току нагрузки

Провода служат для присоединения электроприемников к

источнику питания. Ток в проводнике зависит от мощности

175

электроприемника: чем больше мощность, тем больше ток в проводнике. В проводнике с сопротивлением R при протекании тока I имеет место мощность потерь I2R, при этом провод и его изоляция нагреваются. Так как мощность потерь зависит от то-ка и сопротивления провода, а сопротивление зависит от сечения провода, то для провода с конкретным сечением с увеличением тока увеличивается температура нагрева изоляции. Каждый класс изоляции имеет максимально допустимую температуру нагрева, а следовательно, максимально допустимый ток Iдоп.

В зависимости от сечения провода, материала проводящей жилы, класса изоляции, условий прокладки проводов и числа жил в справочных таблицах приводят допустимые значения то-ков в проводах (табл. 11.2).

Вычислив расчетный ток Iр в проводе, по таблице находят такое сечение qi, что бы Iдоп ≥ Iр. Расчетный ток Iр зависит от типа и числа электроприемников, присоединенных к данной линии передачи.

В случае однофазного приемника, присоединенного в кон-це линии, имеющего электрическую мощность P, расчетный ток находят по формуле

cosф

p UPI , (11.18)

где Uф – фазное напряжение; cos φ – коэффициент мощности электроприемника.

В случае трехфазного приемника, присоединенного в конце линии, расчетный ток

cos3 л

p UPI , (11.19)

где P – мощность трехфазного приемника; Uл – линейное напряжение.

Как однофазные, так и трехфазные электроприемники могут быть распределены вдоль одной линии (рис. 11.4), т. е. присоединены к линии передачи в разных точках. В этом случае в формулах (11.18) и (11.19) вместо мощности P надо принимать расчетную мощность Pр

176

n

iiPkР

1cр , (11.20)

где Pi – номинальная мощность i-го электроприемника; kc – коэффициент спроса; п – число электроприемников, присоединенных к линии.

Таблица 11.2

Длительно допустимый ток для проводов АПР, АПРТО, АПРВ,

АПВ, ПР, ПРТО, ПРГ, ПРВ, ПВ, ПГВ, ПРГВ с резиновой и пластмассовой изоляцией на напряжение до 1 кВ с алюминие-

выми (числитель) и медными (знаменатель) жилами при температуре окружающего воздуха 25°С

Сечение провода,

мм2

Допустимый ток Iдоп, А, в зависимости от способа прокладки

открыто в стальных трубах при числе проводов в трубе 2 3 4 5–6 7–8

1,0 –/17 –/16 –/15 –/14 – – 1,2 –/20 –/18 –/16 –/15 – – 1,5 –/23 –/19 –/17 –/16 –/15 –/14 2,0 21/26 19/24 18/22 15/20 12/17 11/16 2,5 24/30 20/27 18/25 19/25 15/20 14/19

3 27/34 24/32 22/28 21/26 18/22 17/21 4 32/41 28/38 28/35 23/30 22/28 21/26 5 36/46 32/42 30/39 27/34 24/33 22/28 6 39/50 36/46 32/42 30/40 26/34 24/31 8 46/62 43/54 40/51 37/46 30/40 29/38 10 60/80 50/70 47/60 39/50 38/48 35/45 16 75/100 60/85 60/80 55/75 48/64 45/60 25 105/140 85/115 80/100 70/90 65/80 60/75 35 130/170 100/135 95/125 85/115 75/100 70/95 50 165/215 140/185 130/170 120/150 105/135 95/125 70 210/270 175/225 165/210 140/185 130/165 125/155 95 255/330 215/255 200/255 175/225 – –

Коэффициент спроса учитывает тот факт, что не все эле-

кроприемники могут быть включены одновременно, не все одновременно работают в номинальном режиме, и другие

177

условия. Для нескольких светильников, присоединенных к линии и включаемых одним выключателем, коэффициент спроса kс = 1. Для линии, питающей светильники ряда помещений, можно при-нимать kс = 0,8–0,9.

Рис. 11.4. Распределение электропотребителей вдоль линии

В случае присоединения к линии электродвигателей или

электротехнологических установок с изменяющейся мощно-стью в первом приближении можно пользоваться вычисленными коэффициентами зависимости спроса от числа электроприемни-ков:

n 2 3 4 5 6 8 9 10 15 20

kc 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,47 0,44 0,35 0,31

11.2.5. Выбор по потере напряжения

Каждый электроприемник имеет номинальное напряже-

ние, указанное в паспорте. Большинство приемников допускает отклонение напряжения на ±5%. Следовательно, в линиях пере-дачи от источника питания до самого удаленного приемника допускается иметь потерю напряжения не более 5%.

L

L1

Li

P1 Pi P2 Pр

U

178

Как известно, на участке электрической цепи с током I потеря напряжения равна sincos XRIU , где R и X – ак-тивное и индуктивное сопротивления этого участка цепи. В сетях с напряжением до 1 кВ индуктивным сопротивлением прене-брегают и считают, что

cosIRU . (11.21) В случае однофазной нагрузки в конце линии ток находят

по (11.18), а сопротивление – по формуле

qLR

γ2

,

где L – длина линии, м; γ – удельная проводимость, 2ммОм

м

;

q – сечение провода, мм2. Заменив потерю напряжения ΔU в вольтах на потерю

напряжения в процентах ном

100%UuU

, получим формулу для

определения сечения провода qΔU, обеспечивающего допусти-мую потерю напряжения:

– для однофазной нагрузки в конце линии сечение провода определяется выражением

2ф

200uU

PLq U ; (11.22)

– для однофазных нагрузок, распределенных вдоль линии:

2ф

1200

uU

LPq

n

iii

U

; (11.23)

– для трехфазной нагрузки в конце линии:

2л

100uU

PLq U ; (11.24)

179

– для трехфазных нагрузок, распределенных вдоль ли-нии,

2л

1100

uU

LPq

n

iii

U

. (11.25)

В формулах (11.22)–(11.25) следует принимать удельную проводимость алюминиевых и медных проводов соответственно равными 33 и 54 м/(Ом∙мм2). Найдя три значения сечения прово-да, в качестве выбранного сечения qвыбр принимают максималь-ное из трех (qмх, qi, qΔU). Выбрав сечение линейных проводов, можно найти действительную потерю напряжения на участке, например,

выбрq

quu UД

. (11.26)

В четырехпроводных сетях с заземленной нейтралью прово-димость нейтральных проводов должна быть не менее 50 % про-водимости линейных проводов.

180

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники / Г. И. Атабеков. М.: Энергия, 1978. 592 с.

2. Иванов И. И. Электротехника / И. И. Иванов, А. Ф. Лукин, Г. И. Соловьев. СПб. : Лань, 2002. 192 с.

3. Рекус Г. Г. Общая электротехника и основы промышленной электроники : учебное пособие для вузов / Г. Г. Рекус. М. : Выс-шая школа, 2008. 654 с.

4. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов / И. С. Гоноровский. М. : Сов. радио, 1987. 608 с.

5. Попов В. П. Основы теории цепей / В. П. Попов. М. : Выс-шая школа, 2000. 356 с.

6. Бакалов В. П. Теория электрических цепей / В. П. Бакалов, П. П. Воробиенко, Б. И. Крук. М. : Радио и связь, 2001. 428 с.

7. Блохин А. В. Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии / А. В. Блохин, М. П. Трухин. Екате-ринбург : УГТУ–УПИ, 2000. 48 с.

8. Рекус Г. Г. Электрооборудование производств / Г. Г. Рекус. М. : Высшая школа, 2005. 426 с.

9. Касаткин А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. М. : Высшая школа, 1998. 276 с.

181

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................. 3 Глава 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ СВОЙСТВА ................................................................................ 4

1.1. Классификация электрических колебаний ................... 4 1.2. Разложение колебаний в ряд Фурье .............................. 6

1.3. Спектры колебаний ......................................................... 8 1.4. Свойства спектров ........................................................... 12 1.4.1. Свойство линейности .......................................... 13 1.4.2. Сдвиг колебаний во времени .............................. 13 1.4.3. Свойства спектров четных и нечетных колебаний ........................................ 14 1.4.4. Изменение масштаба времени ............................ 14 1.4.5. Дифференцирование и интегрирование колебания .............................................................. 15 1.4.6. Произведение колебаний .................................... 15

1.5. Временные характеристики колебаний ........................ 16 1.6. Случайные колебания ..................................................... 18

Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ .......................................... 23 2.1. Основные понятия и определения ................................. 23 2.2. Элементы электрических цепей ..................................... 26 2.2.1. Сопротивление ....................................................... 26 2.2.2. Индуктивность ....................................................... 28 2.2.3. Емкость ................................................................... 32 2.2.4. Замещение физических элементов идеализированными элементами цепи ................ 35 2.2.5. Источники ЭДС и источники тока ....................... 37 2.3. Законы Кирхгофа ............................................................. 41 2.3.1. Первый закон Кирхгофа ....................................... 41 2.3.2. Второй закон Кирхгофа ........................................ 42

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ТОКЕ И ПЕРЕМЕННОМ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ .......................................................................... 44

3.1. Гармоническое воздействие ........................................... 44 3.2. Синусоидальный ток в сопротивлении ......................... 49

182

3.3. Синусоидальный ток в индуктивности ......................... 51 3.4. Синусоидальный ток в емкости ..................................... 53 3.5. Последовательное соединение R,L,C ............................. 55 3.6. Параллельное соединение R,L,C .................................... 58 3.7. Мощность в цепи синусоидального тока ...................... 61 3.8. Представление синусоидальных функций в виде проекции вращающихся векторов ................................. 64 3.9. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме ........... 66 3.9.1. Последовательное соединение R,L,C ................... 66 3.9.2. Параллельное соединение R,L,C ........................... 69

3.10. Комплексная форма записи мощности .......................... 70 Глава 4. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ .................... 74

4.1. Основные положения и определения ............................. 74 4.2. Полярности индуктивно связанных катушек. ЭДС взаимной индукции ................................................. 76 4.3. Комплексная форма расчета цепи с взаимной индукцией ........................................................ 80 4.4. Коэффициент индуктивной связи. Индуктивность рассеяния .......................................................................... 81 4.5. Резонанс в электрических цепях .................................... 85 4.5.1. Резонансные (колебательные) цепи ..................... 85 4.5.2. Последовательный колебательный контур, резонанс напряжения ............................................ 86 4.5.3. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов ....................................................... 90

Глава 5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ...................................................... 92

5.1. Преобразование схем электрических цепей ................. 92 5.1.1. Последовательное соединение ............................. 92 5.1.2. Параллельное соединение .................................... 94 5.2. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей ................................................................. 96 5.3. Метод контурных токов .................................................. 98 5.4. Метод узловых напряжений ........................................... 100 5.5. Метод наложения ............................................................. 103

Глава 6. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ........................................... 105 6.1. Основные определения и классификация четырехполюсников ........................................................ 105

183

6.2. Системы уравнений четырехполюсника ....................... 108 6.3. Схемы замещения четырехполюсника ......................... 112

Глава 7. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ .............. 114 7.1. Основные понятия и определения ................................. 114 7.2. Соединение звездой ......................................................... 115 7.3. Соединение треугольником ............................................ 118 7.4. Мощность трехфазной цепи ........................................... 121

Глава 8. ТРАНСФОРМАТОРЫ ................................................. 122 8.1. Устройство и принцип действия трансформатора ....... 122 8.2. Режим холостого хода трансформатора. Коэффициент трансформации ........................................ 123 8.3. Рабочий режим трансформатора .................................... 125 8.4. Полная схема замещения трансформатора ................... 126 8.5. Трехфазный трансформатор ........................................... 127 8.6. Автотрансформатор ......................................................... 130

Глава 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДВИГАТЕЛИ ............................. 133 9.1. Электрические двигатели постоянного тока ................ 133 9.1.1. Устройство и принцип действия электродвигателей постоянного тока .................. 133 9.1.2. Способы пуска в ход электродвигателей постоянного тока ................................................... 136 9.1.3. Способы регулирования частоты вращения электродвигателей постоянного тока .................. 138 9.2. Асинхронные трехфазные электрические двигатели .......................................................................... 140 9.2.1. Устройство трехфазных асинхронных электрических двигателей .................................... 140 9.2.2. Принцип действия трехфазного асинхронного электродвигателя .......................... 143 9.2.3. Схема замещения ротора трехфазного асинхронного электродвигателя .......................... 144 9.2.4. Рабочие характеристики трехфазного асинхронного электродвигателя .......................... 146 9.3. Синхронные трехфазные электрические двигатели ......................................................................... 149 9.3.1. Устройство и принцип действия трехфазных синхронных электродвигателей ........................... 149 9.3.2. Способы пуска в ход трехфазных синхронных электродвигателей ........................... 151

184

Глава 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ............................................................................................ 155

10.1. Аппроксимация нелинейных характеристик .............. 155 10.2. Воздействие гармонических колебаний на нелинейные элементы ............................................. 158 10.3. Практическое использование ...................................... 161

Глава 11. ВЫБОР ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ И ПРОВОДОВ ............................................................................. 163

11.1. Выбор электродвигателей ............................................ 163 11.1.1. Основные сведения об электроприводе и режимах работы электродвигателей ............ 163 11.1.2. Принципы выбора электродвигателей ............ 166 11.1.3. Определение мощности двигателя. Выбор двигателя по каталогу ....................................... 167 11.1.4. Определение мощности двигателей для некоторых механизмов .............................. 171 11.2. Выбор проводов ............................................................. 173 11.2.1. Выбор марки провода ....................................... 173 11.2.2. Выбор сечения провода .................................... 174 11.2.3. Выбор по механической прочности ................ 174 11.2.4. Выбор по току нагрузки ................................... 174 11.2.5. Выбор по потере напряжения ........................... 177

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ....................................... 180