Дипломная работа на тему «Оценка вклада...
TRANSCRIPT
Дипломная работа
на тему
«Оценка вклада излучения при исследовании теплофизических свойств веществ в стадии иррегулярного теплового режима»
Дипломник: Симахин Е.А., гр. 08-601.
Научный руководитель: д.т.н., проф. Спирин Г.Г.
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Москва 2013
1
Проблемы радиационно-кондуктивного теплообмена
Наличие процессов поглощения и испускания фотонов вызывает появление
радиационного или фотонного переноса тепла, который существует наряду с молекулярным. В
общем случае результирующий тепловой поток в среде складывается из поток, вызванного
кондуктивной ( молекулярной) теплопроводность и лучистого потока:
Радиационный перенос тепла существенно усложняет процедуру нахождения
температурных полей, в частности, реализуемых в процессе измерения теплопроводности; с
другой стороны, пренебрежение им или некорректность его учета является источником
погрешности в определении молекулярной теплопроводности. По существу, в экспериментах
определяется некоторое эффективное значение теплопроводности, в большей или меньшей
степени отличное от истинной молекулярной теплопроводности, обусловленной внутренней
структурой вещества.
с rq q q
Соответственно, нестационарное уравнение теплопроводности, учитывающее
радиационный механизм переноса тепла приобретает вид:
c r
Tc T q
t
2
Цилиндрическая симметрия температурного поля
Запишем уравнение переноса тепла в виде: 2
2
1 рад
rqT T Ta
t r r r c
с граничным условием
0
0 02
рад
rl
r r
qqT
r r
Используя приближение оптически тонкого слоя ( оптическая толщина среды 𝐾𝑛 = 2ϰ 𝑎𝑡 ≪ 1),
для случая цилиндрической симметрии температурного поля можно получить:
2 3
0 016 ,рад рад
рад r rr
q qq n T T r t T
r r
0
2 3
0 04(1 ) ,рад s
rq n T T r t T
Подставляя данные выражения в исходную систему, получим:
2
02
1,
T T Ta B T r t T
t r r r
0
0
0 0
,2
l
r r
qT CT r t T
r r r
где 𝐵 =16ϰ𝑛2𝜎𝑇0
3
𝜌𝑐, 𝐶 =
4(1−𝜌𝑠)𝑛2𝜎𝑇03𝑟0
𝜋λ.
Данная система решается методом итераций.
3
Решение цилиндрической задачи методом итераций. Нулевое приближение.
Рассмотрим соответствующие уравнения в нулевом приближении (отсутствует
перенос тепла излучением) с учетом начально условия:
0 2 0 0
02
1, ,
T T Ta r r
t r r r
0
0
0
,2
l
r r
qT
r r
0
0( ,0)T r T
Решение данного уравнения хорошо известно и имеет следующий вид:
2
20
0 1 0 1
0 00
0 2 2 2 3
1 10
( , ) 1
au t
rl
r rY u J u J u Y u
r rq duT r t T e
J u Y u u
2
20
0
0 0 3 2 2 3
1 10
1
2( , )
au t
r
l
e
q duT r t T
J u Y u u
Подставим полученные решения в радиационные слагаемые исходной системы.
4
Решение цилиндрической задачи методом итераций. Первое приближение.
Преобразуем полученные уравнения по Лапласу:
1 2 1 1
0
02
1,
T T Ta B T r t T
t r r r
0
10
0
0 0
,2
l
r r
qT CT r t T
r r r
0'' ' 0
03/2
1 0
1,
K rTSD r r
r a a S K r
0 0'
03/2
0 1 0
, ,2
lK rq
A r rr S S K r
где 𝜃 = 𝐿 𝑇(𝑟, 𝑡) 𝑡→𝑆 , 𝐾𝑚 - модифицированная функция Бесселя второго рода, 𝛽 = 𝑆/𝑎,
𝐴 =𝐶𝑞𝑙 𝑎
2𝜋λ𝑟02, 𝐷 =
𝐵𝑞𝑙
2𝜋λ𝑟0 𝑎 .
Решение данного неоднородного уравнения Бесселя при 𝑟 = 𝑟0 имеет вид:
0
2 2
0 0 0 0 00
3/2 2 3/2 2
0 1 0 1 0 0 1 02
l
r r
q K r AK r KT Dd
S r SK r S K r r S K r
Используя обратное преобразование Лапласа, запишем окончательный результат для
температуры линейного источника:
2 3 2
1 0 00 0 03 02
2 4, ,( ) l l
k
q n T q rT t T F F F Fr
5
В полученном выражении для температуры линейного источника:
2
0 2
0
число Фурьеat
Fr
2
0
0 3
0
1
( )
F u
k
eF F du
u u
0
34
0 0
0 0
0
1,
2
( , , )16
( ) ( )
s R u v FF dudv
uv uF F
r v
2 20 02 2
0 2 2 2 2( , , ) 1
F u F ve v e u
R u v Fu v v u
2 2
1 1( )u J u Y u
6
Численный расчет полученного решения.
Численный расчет полученного выражения для температуры источника был
проведен в системе символьных вычислений “Wolfram Mathematica”, ниже приведен фрагмент
соответствующей программы расчета:
7
Численное решение исходного уравнения.
Численное решение исходной системы уравнений проводилось в системе “Maple”,
ниже приведен фрагмент соответствующей программы расчета:
8
Сравнение различных решений 9
Оценка влияния излучения
Перепишем выражение для температуры источника в следующем виде:
1
0 0( , ) ,c rT r t T T T
тогда для относительного вклада излучения имеем:
2 3 2 2
00
00
2, ,r
c
n TTF
TF F
r
Из графиков видно, что для слабо поглощающих сред ϰ~10 ÷ 100 м−1 , вклад
излучения не превышает 2,5%.
10
Трехмерное представление решения. 11
Плоская симметрия температурного поля
Сформулируем тепловую задачу, отвечающую следующим условиям: в
нерассеивающей серой среде с характеристиками, не зависящими от температуры, имеется
неограниченная плоскость с зеркальным отражением и нулевой толщиной. В начальный момент
времени 𝑡 = 0 в плоскости начинает действовать источник постоянной мощности 𝑞𝑠(в расчете
на единицу площади). До начала воздействия источника температура среды постоянна и равна
𝑇0:
2
2
rT T qc
x t x
2 2 r
s
Tq q
x
0( , )T t x T
0(0, )T x T
В случае плоской симметрии, выражение для правой части уравнения имеет
следующий вид:
3
0 0 2 0 0 1 1
2
0
1 0, ( ) 2 0, 08 ,sr
s sT T t T E x T t T T t T E x x E x x dxq
nx
При решении данной задачи будем использовать метод итераций.
12
Решение плоской задачи методом итераций.
За нулевое приближение возьмем известное решение этой задачи без учета излучения:
0
0
| |,
2
sq t xT x t T ierfc
at
Подставляя полученное решение в слагаемые исходного уравнения, учитывающие излучение,
запишем тепловую задачу для первого приближения:
1
12 2
r
s
Tq q
x
1
0( , )T t x T
1
0(0, )T x T
12 1 1
2
rT T q
cx t x
Аналогично случаю цилиндрической симметрии, путем преобразования Лапласа, получим
выражение для температуры в плоскости:
1
0
30,
2
Rc cT t T T t T t f Kn
где
sc
q tT t
2 3
016
3R
n T
3 2
0
( ) 12
s sf Kn E E ieat
rfc d
13
Оценка вклада излучения в случае плоской симметрии при
больших значения числа Кнудсена.
Относительная величина “возмущения”, вносимая радиацией в температуру плоскости,
равна
2 3
08( )r
c
n TTKn f Kn
T
График данной зависимости был построен посредством численного расчета. В частности, для пентана (ϰ = 3 м−1), при значении числа Кнудсена 𝐾𝑛 = 15, погрешность не превышает 2%.
14
Оценка вклада излучения в случае плоской симметрии при кратковременных измерениях.
Рассмотрим вклад, вносимый излучением в температуру источника в диапазоне времени 𝑡 = 10−3 ÷ 1 𝑐, при фиксированном значении ϰ = 3м−1 . Данный промежуток времени соответствует диапазону числа Кнудсена 𝐾𝑛 = 0 ÷ 0,02.
По графику видно, что при измерениях, длительностью менее одной секунды, погрешность не превышает 0,25%.
15
Заключение.
При кратковременных измерениях слабопоглощающих
сред ϰ~10 ÷ 100 м−1 , полученные теплофизические
характеристики являются чисто молекулярными.
При увеличении коэффициента поглощения ϰ, влияние
излучения может достигать 20% и более, и, при проведении
исследования, требуется привлечение данных по оптическим
характеристикам исследуемой среды.
16