Κλινική χρήση των ήχων

Κύματα υπερήχων

Ήχοι και ακουστότητα

Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων

α) απλός (αρμονική ταλάντωση), β) σύνθετος (άθροισμα

περισσότερων ήχων διαφορετικών συχνοτήτων)

γ) θόρυβος (μη περιοδική ταλάντωση) και

δ) κρότος (απότομος μικρής διάρκειας ισχυρός ήχος).

Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Υπό την στενή έννοια ήχους καλούμε τις μεταβολές της πίεσης του ατμοσφαιρικού αέρα που μπορούν να προκαλέσουν αίσθημα ακοής.

πλάτος ταλάντωσης αντιστοιχεί στην ένταση ήχου

συχνότητα

ταλάντωσης

ύψος ήχου

μορφή της

ταλάντωσης

χροιά ήχου

Μεταξύ της ταλάντωσης της ηχητικής πηγής και του ηχητικού αισθήματος που προκαλεί, υπάρχει η ακόλουθη σχέση:

Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων

Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων

Ένταση των ήχων

Η ένταση του ήχου: I = Ισχύς / επιφάνεια

I = (ρ u²)/2 ή I = p²/(2 ρ c) σε [W/m²]

Το κατώφλι ακουστότητας του ανθρωπίνου αυτιού είναι σε ένταση ήχου (στα 1.4 Ηz) Ι= 2.4 10-12 W m-2, το δε όριο πόνου είναι σε ένταση ήχου περίπου Ι= 10 W m-2. Στην πράξη για λόγους ευχρηστίας χρησιμοποιείται σαν μονάδα έντασης του ήχου το Dezibel (dB), που είναι ο δεκαδικός λογάριθμος του πηλίκου της έντασης του προς μέτρηση ήχου δια μιας κατά συνθήκη σταθεράς, πολλαπλασιαζόμενο επί το δέκα.

dB )log(102

1

I

Ix

(επειδή Ι ~ p², x καθαρός αριθμός)

dB )log(20 2

1

p

px

Ένταση των ήχων

Επειδή οι καμπύλες ακουστότητας στην περιοχή συχνοτήτων γύρω στα 1.000 Hz είναι πιο πεπλατυσμένες και επειδή σ' αυτή τη συχνότητα ο λόγος Imax προς Imin για τα δύο όρια ακουστότητας αντίστοιχα δίνει μία τιμή 1013, επινοήθηκε η κλίμακα μονάδων phon, από 0 έως 130 γι' αυτά τα όρια. Σε αντίθεση με την φυσική μονάδα, όπου οι μετρήσεις είναι αντικειμενικές, η ένταση του ήχου που δημιουργεί αίσθημα ακοής είναι ένα φυσιολογικό και έτσι υποκειμενικό μέγεθος.

[phon] 2

log(20

0p

p

(Λ = ένταση ήχου, p = πίεση ενός ισόηχα αντιλαμβανόμενου ήχου στα 1.000 Hz, po = πίεση ήχου = 2 10-5 N/m², δηλ. ένταση ήχου στο κατώφλι ακουστότητας).

Η συσχέτιση τς έντασης των ήχων σε μονάδες dB και Phon δείχνεται στο ακόλουθο σχήμα :

Το phon ορίζεται σαν

Ενδεικτικές τιμές έντασης ήχου σε [phon]

κατώφλι ακουστότητας 0 θορυβώδης δρόμος 70

κτύπος ρολογιού 12 φωνές, κραυγές 80

ψιθυρος, θροϊσμα 20 κομπρεσέρ 90

ήσυχος δρόμος 30 σφυριλατισμα 110

σιγανή συνομιλία 40 αεροπλάνο (4m) 120

Συνομιλία 50 Κατώφλι πόνου 130

κτύποι γραφομηχανής 60

Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων

Bιολογικές επιδράσεις των ήχων Οι ήχοι γενικά αποτελούν σημαντικό περιβαλλοντικό παράγοντα. Έχουν άμεση επίδραση στην λειτουργία και συμπεριφορά του ανθρώπου και μπορούν να προκαλέσουν ακόμη και σοβαρές επιπλοκές στην υγεία του. Η συχνότητα των ήχων, η ένταση και η διάρκεια τους είναι οι παράμετροι που λαμβάνονται υπόψη στην εκτίμηση της επιβάρυνσης (επιπλοκές).

Σε οριακές εντάσεις της τάξης των 120 dB και 130 dB η επίπτωση είναι αίσθημα πόνου και διάρρηξη του τυμπάνου του αυτιού αντίστοιχα. Αλλά και σε χαμηλότερη ένταση >80 dB ή 90 dB τα συμπτώματα είναι φανερά, όπως είναι:

α) ελάττωση της ακουστικής οξύτητας, β) ψυχολογικές διαταραχές (εκνευρισμός), μειωμένη απόδοση εργασίας, αδυναμία συγκέντρωσης, γ) αϋπνία. δ) Ελάττωση της ακουστικής ικανότητας παρατηρείται συνήθως σε ανθρώπους προχωρημένης ηλικίας.

Για την προστασία των εργαζομένων που εκτίθενται σε περιβάλλον υψηλής ηχητικής επιβάρυνσης έχουν θεσπιστεί διεθνώς ανώτατα όρια τιμών. Σημαντικοί παράγοντες που λαμβάνονται υπόψη, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, είναι η ένταση, η συχνότητα των ήχων και ο χρόνος έκθεσης.

ν [Ηz] 63 125 500 1000 2000 8000

Ι [dB 103 96 87 85 83 79

Διάρκεια [ώρες/ημέρες]

8 6 4 3 1 1/4

Ι [dB] 90 92 95 97 100 115

Η μουσική, διατονική κλίμακα: Η μουσική ή διατονική κλίμακα αποτελείται από οκτώ τόνους. Κάθε ένα ζευγάρι δυο διαδοχικών τόνων βρίσκεται σε μια ορισμένη σχέση συχνοτήτων. H ισοθυμική κλίμακα: Το διάστημα στην ισοθυμική ή συγκεκραμένη κλίμακα χωρίζεται σε δώδεκα ίσα μέρη, τα ημιτόνια. Αυτή περιλαμβάνει μεταξύ του τονικού και του κατά μία οκτάβα υψηλότερου τόνου πέντε τόνους και δύο ημιτόνια. Ο λόγος των συχνοτήτων δύο διαδοχικών ημιτονίων είναι :

δ = 12 √2 = 1.059 Ο τόνος αποτελείται από δύο ημιτόνια έτσι το μεταξύ δύο διαδοχικών τόνων διάστημα είναι

Δ = δ² = (1.059)² = 1.121 Όπως δείχνεται και στον πίνακα, πολλαπλασιάζοντας την συχνότητα ενός τόνου επί το 1.059 ή επί το 1.121 προκύπτει η συχνότητα του αμέσως επόμενου τόνου ή ημιτόνου αντίστοιχα. Τόνος αναφοράς για όλες τις κλίμακες είναι ο τόνος λα (a) με συχνότητα 440 Ηz. Οι συχνότητες όλων των υπολοίπων τόνων μπορούν απ' αυτόν να υπολογιστούν. Αρμονία, παραφωνία ήχων Εάν δύο ταυτόχρονα αντιλαμβανόμενοι από το ανθρώπινο αφτί ήχοι (τόνοι) δώσουν το συναίσθημα της αρμονίας ή παραφωνίας, εξαρτάται από τον λόγο των συχνοτήτων των δύο αυτών τόνων. Αρμονία προκύπτει όταν ο λόγος των συχνοτήτων είναι ακέραιος αριθμός, μικρότερος του επτά. Η καλύτερη αρμονία είναι αυτή με λόγο 2:1, δηλαδή μεταξύ ίδιων τόνων που διαφέρουν κατά μία οκτάβα. Παραφωνία παράγεται από τον συνδυασμό δύο συχνοτήτων που διαφέρουν μόνο κατά λίγο. Προκύπτει διακρότητα που είναι αρκετά ενοχλητικό.

όνομα τόνου

σχέση συχνοτήτων απόλυτη συχνότητα

διατονική ισοθυμική σε [Hz]

ντο 1.000 1.000 261.63 ρε 1.125 1.122 293.67 μι 1.250 1.259 329.63 φα 1.333 1.334 349.23 σολ 1.500 1.498 392 λα 1.666 1.681 440 σι 1.875 1.887 493.88

ντο' 2.000 2.000 523.25

Παραγωγή ήχων

Παραγωγή ήχων με διαπασών

Ανάκλαση και διάθλαση των (ήχων) κυμάτων

Ταλαντώσεις και κύματα

Διάδοση ενέργειας

Μηχανικά Κύματα

Διαμήκη και εγκάρσια Κύματα

Διαμήκη και εγκάρσια Κύματα

Διαμήκη και εγκάρσια Κύματα

Αρχή της Επαλληλίας

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Άσκηση / Παράδειγμα

Θεμελιώδης εξίσωση του κύματος

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Αρμονικά οδεύοντα κύματα

Διάδοση σε μέσο που έχει όρια

Διάδοση σε μέσο που έχει όρια

Στάσιμα κύματα

Στάσιμα κύματα

Στάσιμα κύματα

Στάσιμα κύματα

Ασκηση

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή

Ταχύτητα κύματος σε χορδή

Άσκηση

Μετασχηματισμός κατά Fourier

Όπως η υπέρθεση, η συμβολή, ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών ταλαντώσεων οδηγεί στην σύνθεση περιοδικών φαινομένων, έτσι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή η δυνατότητα ανάλυσης των περιοδικών συναρτήσεων στις συνιστώσες που τις απαρτίζουν: Σύμφωνα με το θεώρημα του Fourier κάθε περιοδική συνάρτηση f(ωt) μπορεί να παρασταθεί ως το άθροισμα ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων, των οποίων οι συχνότητες πρέπει να έχουν τιμές ακεραίων πολλαπλάσιων της βασικής συχνότητας.

2

00

2

0

2

00

)()sin()(2

1

,....3,2,1 )()cos()(2

1

)()(2

1

tdtntfb

ntdtntfa

tdtfa

n

f(ωt) = ao + a1 cos 1ωt + α2 cos 2ωt + α3 cos 3ωt + ....

+ b1 sin 1ωt + b2 sin 2ωt + b3 sin 3ωt + ....

Oι σταθερές αο, αn και bn είναι οι συντελεστές Fourier, οι οποίοι μπορούν να προσδιοριστούν αναλυτικά και γραφικά.

Ισχύει, ότι

Μετασχηματισμός κατά Fourier

Οι δείκτες n=1, 2, 3, .. αντιστοιχούν στη θεμελιώδη (πρώτη αρμονική), δεύτερη αρμονική, κ.ο.κ. Οι σταθερές α0, αn, bn αντιστοιχούν στα πλάτη των επιμέρους ταλαντώσεων. Φυσικά ένα μέρος των συντελεστών Fourier στο άθροισμα μπορεί να είναι μηδέν. Την παράσταση μιας ανάλυσης κατά Fourier ως γράφημα πλάτους-συχνότητας αποτελεί το φάσμα συχνοτήτων μιας ανάλυσης περιοδικής συνάρτησης κατά Fourier. Για να αποδοθεί πιστά μία περιοδική συνάρτηση πρέπει να ληφθεί υπόψη ένας μεγάλος αριθμός συντελεστών. Για πρακτικούς όμως σκοπούς αρκεί απλά μία προσέγγιση της συνάρτησης, που σημαίνει, ότι πλέον περιορίζεται ο υπολογισμός σε έναν πολύ μικρότερο αριθμό συνιστωσών.

Παράδειγμα: Σήμα Ηλεκτροκαρδιογραφήματος

Στο παράδειγμα που ακολουθεί παριστάνεται ένα τυπικό Ηλεκτροκαρδιογράφημα για το οποίο χρειάζονται περισσότεροι από 100 συντελεστές, ώστε να αποδοθεί κατά κάποιον τρόπο πιστά η καμπύλη.

Στο σχήμα φαίνονται: α) το ΕKG και οι τρεις πρώτοι συντελεστές Fourier, b) η προσέγγιση του EKG με τους πρώτους 7, 18, 29 και 60 συντελεστές.

Διαπιστώνεται, ότι τελικά αρκούν περίπου 30 συντελεστές, ώστε να αποδοθεί το EKG σε ικανοποιητικό βαθμό.

Τα χαρακτηριστικά των κυμάτων μήκος κύματος λ, περίοδος Τ, ταχύτητα διάδοσης του κύματος c και η συχνότητα ν συνδέονται μεταξύ τους με την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής

Tcc

ή

Στο παρακάτω σχήμα δείχνονται παραστατικά η μεταβολή του πλάτους αρμονικού κύματος σαν συνάρτηση του χρόνου και της απόστασης.

Χαρακτηριστικά των κυμάτων

2

0

2

0

22

2

1

2

1

2

1

2

1xkvmxkvmE

2

0mk

Η ενέργεια E που μεταφέρει ένα κύμα ισούται με την κινητική και δυναμική ενέργεια του σωματιδίου που ταλαντούται.

(xo = πλάτος ταλάντωσης, vo = μέγιστη ταχύτητα σωματιδίου)

με

222 )2(2

1

2

1 mxmE

22

0

22 vxmE 22

0

22 vxVE

όπου ρ η πυκνότητα και V ο όγκος του μέσου και ν η συχνότητα.

Ενέργεια κύματος

To πιστόνι στο σχήμα δίπλα, κινoύμενο παλινδρομικά καλύπτει σε χρόνο t την απόσταση s, ταχύτητα u = ds/dt. Ο σωλήνας εμπεριέχει αέρα και έχει μήκος x. Ισχύουν:

t

uAxAp

mF

H διατάραξη του αέρα στον κύλινδρο από την κίνηση του εμβόλου διαδίδεται κατά μήκος του σωλήνα και διανύει την απόσταση x σε χρόνο t.

Άρα η ταχύτητα του κύματος είναι:

με την παραπάνω σχέση προκύπτει, ότι (u = ταχύτητα των επιμέρους σωματιδίων του μέσου, c = ταχύτητα (φασική) κύματος)

(p = πίεση, Α = διατομή)

t

xc

p = ρ c u

Παράδειγμα:

222

222

2

2

vxcI

St

vxVI

St

EI

Η ένταση I ενός κύματος ορίζεται ως το πηλίκο της ενέργειας του κύματος δια του γινομένου διατομής και χρόνου. λόγω Ε = 1/2 mv² = 1/2 ρVv² και v = ω x

Η πυκνότητα ρ και η ταχύτητα διάδοσης c είναι μεγέθη που χαρακτηρίζουν το μέσον διάδοσης, πχ για τον αέρα είναι σε θερμοκρασία δωματίου ρ = 1.2Kg/m3 και c = 340m/s. Aπό το γινόμενο των δύο προκύπτει ένα νέο μέγεθος η ακουστική αντίσταση Ζ.

u

pcZ ή

‘Ενταση κύματος

2

02

1vcI

H ταχύτητα διάδοσης του κύματος ή φασική ταχύτητα, η οποία είναι διαφορετική από την ταχύτητα ταλάντωσης των επιμέρους σωματιδίων του μέσου, δίδεται από τον τύπο

(εγκάρσιο κύμα)

(Ε = ελαστικότητα του μέσου, ρ = πυκνότητα)

Ως κύμα μπορούμε να ορίσουμε μια διαταραχή που διαδίδεται μέσα σε ένα ελαστικό μέσο (σώμα) και έχει χαρακτηριστική, πεπερασμένη ταχύτητα. Εφ' όσον η διαταραχή αυτή περιγράφει αρμονική ταλάντωση, τότε το παραγόμενο κύμα θα είναι επίσης αρμονικό.

H ταχύτητα διάδοσης

Στάσιμα κύματα

T

t π2sin

λ

x π2 cos ξ 2 ξ ξ

2αι κ 2

021

ολ

0201

ξ

)λ

x

T

t(cosξξ )

λ

x -

T

t(cosξξ

Στάσιμα κύματα παράγονται από την υπέρθεση, τη συμβολή, δύο κυμάτων ίδιας φάσης, συχνότητας και πλάτους, τα οποία συναντώνται προερχόμενα από αντίθετες κατευθύνσεις. Τότε σε αντίθεση με ότι συμβαίνει με το τρέχον κύμα, στο οποίο η κυματομορφή κινείται προς μία κατεύθυνση, στο στάσιμο κύμα η κυματομορφή φαίνεται να μην προχωράει και μόνο οι απομακρύνσεις του μέσου αυξομειώνονται με τον χρόνο.

βsin αsin β coscos2 β cos α cos

T

t 2sin

λ

x π2 cos ξ 2 Ξ 0

Η εξίσωση (3) περιγράφει το στάσιμο κύμα ξολ που παράγεται από τη συμβολή των επιμέρους κυμάτων ξ1 και ξ2 . Το πλάτος Ξ του στάσιμου κύματος (παίρνει μέγιστη τιμή 2ξο) ανεξάρτητο του χρόνου (αντίθετα απ’ ότι στο τρέχον κύμα) εξαρτάται μόνο από τη θέση. Υπάρχουν ως εκ τούτου περιοχές στο στάσιμο κύμα, όπου το πλάτος μηδενίζεται. Τα σημεία αυτά ονομάζονται δεσμοί (ή κόμβοι) και σχηματίζονται σε απόσταση x από την πηγή διέγερσης: Δηλαδή κάθε σημείο που απέχει από την πηγή περιττό πολλαπλάσιο του λ/4 είναι δεσμός (κόμβος).

Στάσιμα κύματα

...) 2, 1, 0, (n 4

λ 1) n (2 x

2

πn λ

x 2π 0

λ

x 2π cos