= f (x)g( - askisopolis.gr · 15. Να διατυπώσετε το θεώρημα bolzano και...
TRANSCRIPT
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ
1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση;
Έστω Α ένα υποσύνολο τουℝ . Ονομάζουμε πραγματική
συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με
την οποία κάθε στοιχείο Ax ∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο
πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και
συμβολίζεται με )(xf .
2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
• για κάθε Ax ∈ ισχύει )()( xgxf = .
Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε
gf = .
3. Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων;
Ορίζουμε ως άθροισμα gf + , διαφορά g-f , γινόμενο fg και
πηλίκο g
f δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους
)()())(( xgxfxgf +=+
)()())(( xgxfxgf −=−
)()())(( xgxfxfg =
)(
)()(
xg
xfx
g
f=
.
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Το πεδίο ορισμού των gf + , gf − και fg είναι η τομή BA∩ των
πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το
πεδίο ορισμού της g
f είναι το BA∩ , εξαιρουμένων των τιμών του x
που μηδενίζουν τον παρονομαστή )(xg , δηλαδή το σύνολο
Axx ∈| και Bx ∈ , με 0)( ≠xg .
4. Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε
ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη
συνάρτηση με τύπο
))(())(( xfgxgof = .
g f
g(B) A
g
B f(A)
f
A1
g(f (x))
f(x)
x
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του
πεδίου ορισμού της f για τα οποία το )(xf ανήκει στο πεδίο ορισμού
της g. Δηλαδή είναι το σύνολο
)(|1 BxfAxA ∈∈= .
Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν ∅≠1A , δηλαδή αν
∅≠∩ BAf )( .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΧΟΛΙΑ
• Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog ,
τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.
• Αν hgf ,, είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η )(gofho , τότε
ορίζεται και η ofhog)( και ισχύει ofhoggofho )()( = .
Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε
με hogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες
από τρεις συναρτήσεις.
5. Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως
φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της;
Μια συνάρτηση f λέγεται:
• γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:
)()( 21 xfxf < (Σχ. α)
• γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:
)()( 21 xfxf > (Σχ. β)
Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως
γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως
f Δ).
∆
Ο
(a)
x2 x1 x
y
f (x2)
f (x1)
∆
Ο x2 x1
f (x1)
f (x2)
x
y
(β)
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
6. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε
ελάχιστο;
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:
• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) μέγιστο, το )( 0xf , όταν
)()( 0xfxf ≤ για κάθε Ax ∈ (Σχ. α)
• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) ελάχιστο, το )( 0xf , όταν
)()( 0xfxf ≥ για κάθε Ax ∈ (Σχ. β).
(a) C f
f (x0)
f (x)
O x
y
x0 x
(β)
C f
f (x0)
f (x)
O x
y
x0 x
7. Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1;
Μια συνάρτηση :f A →ℝ λέγεται συνάρτηση 11− , όταν για
οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:
αν 21 xx ≠ , τότε )()( 21 xfxf ≠ .
Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:
Μια συνάρτηση :f A → ℝ είναι συνάρτηση 11− , αν και
μόνο αν για οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:
αν )()( 21 xfxf = , τότε 21 xx = .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΧΟΛΙΑ
• Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι
11− , αν και μόνο αν:
— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση yxf =)(
έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια
τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη
γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. α).
x
y
συνάρτηση 1-1
O
O x2 x1
B A
x
y
συνάρτηση όχι 1-1
• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς,
είναι συνάρτηση "11" − .
8. Δικαιολογήστε γιατί οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και
-1f είναι συμμετρικές ως προς την
ευθεία y x= που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′.
Ας πάρουμε τώρα μια −1 1 συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις
γραφικές παραστάσεις C και C′ των f και της 1f − στο ίδιο
σύστημα αξόνων . Επειδή
( ) ( )f x y f y x−= ⇔ =1,
αν ένα σημείο ( , )M α β ανήκει στη γραφική παράσταση C της f ,
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
τότε το σημείο ( , )β α′Μ θα ανήκει
στη γραφική παράσταση C′ της
1f − και αντιστρόφως. Τα σημεία,
όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως
προς την ευθεία που διχοτομεί τις
γωνίες xOy και x Oy′ ′ . Επομένως:
Oι γραφικές παραστάσεις C και C′
των συναρτήσεων f και1f −είναι
συμμετρικές ως προς την ευθεία
y x= που διχοτομεί τις γωνίες
xOy και x Oy′ ′ .
9. Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;
Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.
ΘΕΩΡΗΜΑ 10
• Αν 0)(lim0
>→
xfxx , τότε 0)( >xf κοντά στο 0x
• Αν 0)(lim0
<→
xfxx , τότε 0)( <xf κοντά στο 0x
ΘΕΩΡΗΜΑ 20
Αν οι συναρτήσεις gf , έχουν όριο στο 0x και ισχύει
)()( xgxf ≤ κοντά στο 0x , τότε )(lim)(lim00
xgxfxxxx →→
≤
10. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, . Αν
• )()()( xgxfxh ≤≤ κοντά στο 0x και
• ℓ==→→
)(lim)(lim00
xgxhxxxx ,τότε ℓ=
→)(lim
0xf
xx .
y=x
C΄
C
O x
M΄(β,α)
M(α,β) y
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
11. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 του
πεδίου ορισμού της;
Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού
της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x , όταν )()(lim 00
xfxfxx
=→
.
12. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής;
Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου
ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση.
13. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β);
• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό
διάστημα ),( βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του
),( βα .
14. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β];
• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό
διάστημα ],[ βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ),( βα
και επιπλέον )()(lim αfxfαx
=+→
και )()(lim βfxfβx
=−→
15. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την
γεωμετρική του ερμηνεία.
Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα .
Αν:
• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και, επιπλέον, ισχύει
• 0)()( <⋅ βfαf ,
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε
0)( 0 =xf .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης 0)( =xf
στο ανοικτό διάστημα ),( βα .
Γεωμετρική ερμηνεία
Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη
γραφική παράσταση μιας συνεχούς
συνάρτησης f στο ],[ βα . Επειδή τα
σημεία ))(,( αfαA και
))(,( βfβB βρίσκονται εκατέρωθεν
του άξονα xx′ , η γραφική
παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.
ΣΧΟΛΙΟ
Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:
— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε
μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ∆x ∈ ή
είναι αρνητική για κάθε ∆x ∈ , δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο
διάστημα Δ. (Σχ. 1)
y
f (x)>0
O β a x
(α)
y
f (x)<0
O β a
x
1
(β)
— Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από
το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το
πεδίο ορισμού της.
′′x0 ′x0 x0
y
B(β, f (β))
Α(α, f (α)) f (a)
f (β)
O β a
x
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
y
ρ5
ρ4 ρ3
ρ2
ρ1
+
− − +
− +
Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για
τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός
γίνεται ως εξής:
α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.
β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές
ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f
στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f
στο αντίστοιχο διάστημα.
16. Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να
το αποδείξετε.
Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό
διάστημα ],[ βα . Αν:
• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και
• )()( βfαf ≠
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας,
τουλάχιστον ),(0 βαx ∈ τέτοιος, ώστε ηxf =)( 0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf < . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf <<
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ηxfxg −= )()( , ],[ βαx ∈ ,
παρατηρούμε ότι:
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
• η g είναι συνεχής στο ],[ βα και
• 0)()( <βgαg ,
αφού
0)()( <−= ηαfαg και
0)()( >−= ηβfβg .
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει
),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε 0)()( 00 =−= ηxfxg , οπότε ηxf =)( 0 .
17. Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα
μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο ],[ βα , τότε η f παίρνει στο
],[ βα μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.
Δηλαδή, υπάρχουν ],[, 21 βαxx ∈ τέτοια, ώστε, αν )( 1xfm = και
)( 2xfM = , να ισχύει
Mxfm ≤≤ )( , για κάθε ],[ βαx ∈ .
ΣΧΟΛΙΟ
Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού το ],[ βα είναι το κλειστό διάστημα ],[ Mm , όπου
m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.
• Τέλος, αποδεικνύεται ότι:
′x0 x0 ′′x0
y
B(β, f (β))
f (a)
f (β)
O β
y=η η
a x
Α(α , f (α))
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα
ανοικτό διάστημα ),( βα , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα
αυτό είναι το διάστημα ),( ΒΑ όπου
)(lim xfΑαx +→
= και )(lim xfB
βx −→=
.
Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( βα ,
τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα
),( AB
Μορφή
Διαστήματος
Είδος
μονοτονίας
Σύνολο Τιμών
[ ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= α β
[ )A ,α β= f γνησίως αύξουσα )( ) ( ) , lim ( )x
f A f f x−→
= βα
( ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα (( ) lim ( ) , ( )x
f A f x fα
β+→
=
( )A ,α β= f γνησίως αύξουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x
f A f x f x+ −→ →
=α β
[ ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= β α
[ )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα (( ) lim ( ) , ( )x
f A f x f−→
= βα
( ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα )( ) ( ) , lim ( )x
f A f f x+→
= αβ
( )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x
f A f x f x− +→ →
=β α
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση:
22-x , x 1f(x)=
1-x, x>1
≤
Να βρείτε:
α. Το πεδίο ορισμού της f .
β. Τις τιμές f(1) και f(f(4)) .
γ. Τα ∈ℝα για τα οποία ισχύει 7
f(συνα)=4
.
δ. Τα λ ∈ℝ για τα οποία ισχύει f(λ - 4λ + 6) = 10−2.
2. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων:
α. 3 2f(x) = x + 3x - 2x + 1 και
2g(x) = x + x + 1.
β. 2 xf(x) = x 2 + 9⋅ και
2 xg(x) = x + 9 2⋅
3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 2f(x) = x (2 )x ( 3)x+α 5, αα α+ − − + − ∈ℝ .
α. Να βρεθούν οι τιμές του α∈ℝ έτσι, ώστε η Cf να διέρχεται από το
σημείο Μ(1, -6).
β. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(1,-6), να βρεθούν τα κοινά
σημεία της Cf και του άξονα x x′ .
γ. Για α=1 να βρεθεί η σχετική θέση της Cf με τον άξονα x x′ .
4. Δίνονται οι συναρτήσεις:
2f(x) = x +αx + β και
3 2g(x) = x - 3x + β - 6α με α , β∈ℝ
Αν η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο 3− και η Cg τέμνει τον άξονα y y′
στο 6− , να βρείτε:
α. Τους αριθμούς α και β.
β. Τα διαστήματα στα οποία η fC είναι κάτω από τη Cg .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται
Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης
xlnx, x > 0f(x)=
0 , x = 0
Με τη βοήθεια της γραφικής
παράστασης:
α. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0 .
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
γ. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων:
i. f(x) = -1 ii.1
f(x)= - e
iii.1
f(x)= - 2
iv. f(x) = 0 v. f(x) = 2018
δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = α , για τις
διάφορες τιμές του α ∈ℝ .
6. Έστω f , g : →ℝ ℝ δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει
2f(x) = g(x) + x - 9 για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τη σχετική θέση των
fC και gC .
7. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι, να
βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες.
α.
2
2
x x 2 x 2f (x) και g(x)
x 1 x 1
− − −= =
− −
β. 2f (x) x και g(x) x= =
γ. ( )f (x) x x 2 και g(x) x x 2= + = ⋅ +
δ. 2 x 2 x
f (x) και g(x)2 x 2 x
− −= =
+ +
ε.
2 2
2 2
5x x 5x 6 x 1f (x) και g(x)=
x x x
− − +=
−
O
X1-e
y
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
8. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας
συνάρτησης f.
x
y
∆
Α
Β
Γ
Ε
Ζ
Η
Θ
y= -1
-4
-3
0
3
2
-2
-3
3
4 53
2
α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.
β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών.
γ. Να βρεθεί το f(0).
δ. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0
ε. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) f(x)=0 και ii) f(x)= -3
στ. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)= -1.
9. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με την ιδιότητα:
2 2 2(f+g) (x)-(f-g) (x)-4x 2(f+g)(x)[(f+g)(x)-2x]≥ για κάθε x ∈ℝ .
Να αποδείξετε ότι f = g .
10. Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α⊆ ℝ και
f(x)[f(x)+g(x)]-4[f(x)+g(x)] g(x)[f(x)-g(x)]-8≤ για κάθε x ∈ℝ .
Να αποδείξετε ότι f = g .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
11. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ. Να βρείτε
το πεδίο ορισμού της f g στις παρακάτω περιπτώσεις:
α. 2g(x) = x 3− και Δ= [-2, 1]
β. 3g(x) = x x-3+ και Δ = [7, 27]
12. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [-11, +∞ ). Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 8x - 4)− .
13. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ 5, +∞ ). Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 10x + 21)− .
14. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει
(f f )(x) = 4x-3 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδειχθεί ότι: f(1) = 1.
15. Έστω f, g : →ℝ ℝ με 2(f g)(x) = x 7x+16, x− ∈ ℝ και
(g f )(4) = 4 . Να αποδειχθεί ότι οι Cf , Cg έχουν τουλάχιστον ένα κοινό
στοιχείο.
16. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:
α. f(x) = 3 - 4 x - 2 β. 3f(x) = x + 2ln(x - 1) - 5
γ. 2 xf(x) = ln(x - 1) - e − δ.
1f(x) = - x - 2
x
17. Δίνετε η συνάρτηση x 1f(x) = 2 - e + , x ∈ℝ .
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f f .
γ. Για κάθε x 0< να αποδείξετε ότι x xf (5 ) f (7 )< .
18. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = 2 + x - 3 , x ∈ℝ .
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x η fC βρίσκεται κάτω από τον
άξονα x x′ .
γ. Να λύσετε την ανίσωση: 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6− −− > − + .
19. Δίνετε η συνάρτηση f : →ℝ ℝ γνησίως φθίνουσα και για κάθε
x ∈ℝ ισχύει: f (3 x) f (x 5) 0− + + = . Να λύσετε την ανίσωση
2f (x 2x 4) 0+ − < .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
20. Δίνετε η συνάρτηση f(x) = 2x -2+lnx , x 0> .
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β. Να βρείτε το πρόσημο της f .
21. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = e + ln(x+1) - 1.
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β. Να λύσετε την ανίσωση 2x 2e ln(x 1) 1+ + > .
γ. Να λύσετε την ανίσωση 2x x 2
2
x 3e e ln
x 1+ +
− >+
.
22. έστω xf(x) = e + x , x ∈ℝ .
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β. Να λύσετε την ανίσωση 2 2x x 5 x 5e e x 0+ + +− + > .
23. Να λύσετε την ανίσωση:
α. 9 3x 1 10x 5 9(10x 5) e e (3x 1)− ++ − < − + − .
β. 2 2ln(x x) x ln(x 3) 3+ + > + + .
24. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = f(x)+2x-2
για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
25. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = 3x-2 , για
κάθε x ∈ℝ .
α. Να δείξετε ότι f(1) = 1.
β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
γ. Αν η f είναι πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση και γνησίως
φθίνουσα, να βρεθεί ο τύπος της.
26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x 6
7
−.
α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f –1
β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
27. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:
f(f(x))+f 3(x) = 2x+3, x∈ℝ .
α. Να δείξετε ότι η f είναι 1–1
β. Να λύσετε την εξίσωση f(2x3+x) = f(4–x).
28. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ , για την οποία ισχύει:
f(x)–2f 3(x)+x–1= 0, για κάθε x∈ℝ .
α. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται.
β. Να βρεθεί η f –1
.
29. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η
γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(–1,5) και Β(2,4).
α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1
.
β. Να λυθεί η εξίσωση f ( f –1
(x2)–3)=5.
γ. Να λυθεί η ανίσωση f(f –1
(ex+3)–3) > 5.
30. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η
γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α( 2,5) και Β(3,8).
α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1
.
β. Να λυθεί η εξίσωση f ( -1+f –1
(x-1) ) = 5.
γ. Να λυθεί η ανίσωση f –1
(3+ f (x-5) ) < 3.
31. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με:
2 2(f f )(x) = x 5x+9 και g(x) = x xf(x)+3− − για κάθε x∈ℝ .
Να αποδείξετε ότι:
α. f(3) = 3 .
β. Η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται.
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
32. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x 4x+4+ .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
β. Να υπολογίσετε το f –1
(9) .
γ. Να λύσετε την εξίσωση f –1
(2x 3x+11) = 1− .
δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .
33. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x x 1+ − , x ∈ℝ .
α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β. Να βρεθούν τα f –1
( 1− ) και f –1
( 3− ).
γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .
34. Έστω η συνάρτηση f με 3f(x) = x x+2+ .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β. Να λυθεί η εξίσωση f –1
(x) =1 .
γ. Να λυθεί η εξίσωση f –1
( x) = x 1− .
δ. Να λυθεί η ανίσωση 1f (x) x 1.− ≥ −
35. Έστω f : →ℝ ℝ με f( )=ℝ ℝ για την οποία ισχύει:
f(x) 3e 2017f (x)+2018=x+ για κάθε x ∈ℝ .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
β. Να βρείτε τον τύπο της -1f .
36. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με σύνολο τιμών f( )=ℝ ℝ . Αν η f είναι
γνησίως μονότονη και η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1, 5) και Β(3,-1)
τότε:
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β. Να λυθεί η εξίσωση: ( )( )1 1 2f 2 f x x+3 3− −− + + =
γ. Να λυθεί η ανίσωση: ( )2f(x) 5 4f(x)≤ +
37. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: 2
22
x 3x+2 lim
x x 2xA
→−
+=
+ −
3 2
21
x +4x 3x 2lim
x 3x+2xB
→
− −=
−
4 2
21
x 3x 4lim
x x 2x→−
+ −Γ =
− −
3 2
21
x x x+1lim
x 4x+3x→
− −∆ =
−
4 2
23
x 2x 3x 54lim
x 2x 3xE
→
− − −=
− −
3
21
2
8x 1lim
4x 1x
Z→
−=
−
38. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια:
21
x+3 2lim
x 1xA
→
−=
−
2
1
x 3 2xlim
x+1xB
→−
+ +=
21
2 x+3lim
x 1x→
−Γ =
−
0
x+9 3lim
9 x 3x→
−∆ =
− −
2
4x 1 3lim
x x+2xE
→
+ −=
−
3
5x+1 4lim
8x+1 5xZ
→
−=
−
39. Αν f(x) = 2
2αx+ 3β, x <1
x 1, x >1
x 1
− −
, να βρείτε τα α, β∈ℝ , αν είναι γνωστό
ότι υπάρχει το x 1limf(x)
→ και η Cf να διέρχεται από το σημείο Α(–2,–8).
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
40. Αν f (x)
2
2
x , x 1
2x+5, 1 x< 3
x x 2, x 3
xα β
β α
+ + ≤
= < + − − ≥
, να βρείτε τις τιμές των α, β,
ώστε να υπάρχουν τα 1 3
limf(x) και limf(x)x x→ →
41. Έστω οι συναρτήσεις f και g που είναι ορισμένες στο ℝ για τις
οποίες υποθέτουμε ότι: 1
lim(2f(x)+3g(x))=3x→
και 1
lim(f(x) 2 (x))=4x
g→
− .
Να βρείτε τα όρια: 1
limf(x)x→
και 1
lim (x)x
g→
.
42. Αν 2f(x) 3x+5 x− ≤ για κάθε x 0≠ , να βρεθεί το
0limf(x)x→
.
43. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει x–x3≤g(x)≤x+x
3, να βρεθεί το
x 0
g(x)lim
x→.
44. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με την ιδιότητα 2f(x) x+2 x 2x+1− ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι
1limf(x)= 1x→
− .
45. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
3x+3 (x 2)f(x)+3 3 x+7 6≤ − ≤ − για κάθε x∈(1,3) . Να
υπολογίσετε το 2
limf(x)x→
.
46. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:
2 24x x +3 (x 1)f(x) + 8x 5x 3, x≤ − ≤ + ∈ℝ .
Να υπολογίσετε το όριο 1
limf(x)x→
.
47. Να υπολογιστούν τα όρια:
0
3lim x.ηµ
xxA
→
=
2
0
1lim x.ηµ
xxB ηµ
→
=
( )2
2
4x+3lim x 2x
x 2xηµ
→
Γ = − − ( )
1
2018lim x 1 .
x 1→
∆ = − − xηµ
0
2lim x.ηµ
xxE ηµ
→
=
2
0
x 4 2 1lim
x xxZ ηµ
→
+ −=
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
48. Να υπολογιστούν τα όρια:
20
2xlim
x 2xA
x
ηµ→
=+
0
6lim
3xx
xB
ηµηµ→
=
0
3xlim
xx
εφεφ→
Γ = 0
9 x 3lim
x+1 1x
ηµ→
+ −∆ =
−
0
x+xlim
x+1 1xE
εφ→
=−
0
5x xlim
x+ηµxxZ
ηµ→
−=
49. Αν για κάθε x κοντά στο 0 ισχύει: αημx+βημ2x ≤γημ3x, να
αποδείξετε ότι: α+2β = 3γ
50. Αν x 2
f (x) 4lim 2018
x 2→
+=
− τότε:
α. Να βρείτε το x 2limf (x)
→.
β. Να βρείτε το [ ]
x 2
ηµ f (x) 4lim
x 2→
+
−.
51. Να υπολογιστούν τα όρια:
2
x+4lim
x 2x→Α =
−
25
x+8lim
x 25xB
→=
−
2
23
9lim
x 6x+9x
x→
−Γ =
−
22
x+5lim
x 4x+4x→∆ =
−
( )
2
31
x 5x 6lim
x 1xE
→
+ −=
−
1
x 4lim
x+1xZ
→−
+=
52. Να βρεθούν τα όρια:
( )5 2lim 2x 3x 2x+12x
A→+∞
= + + ( )3 2lim 4x 5x 3x+6x
B→−∞
= − +
2
2
6x 3x+5lim
2x 4x+3x→+∞
+Γ =
−
4 2
2
3x 4x 6x+3lim
x 5x 7x→−∞
+ −∆ =
+ −
2
3 2
3x 7x+4E= lim
4x 5x 2x+3x→+∞
−+ −
6 3
7 4 2
2x 4x 2x+24Z= lim
x 6x 3x 12x→−∞
+ −− − +
2x 3x
H= limx+6x→+∞
−
2x 5x+12lim
x+4x→−∞
+Θ =
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
53. Να βρεθούν τα όρια:
( )2A= lim x 4x+6 x+7x→+∞
+ + ( )2B= lim x x+2 x+5x→−∞
+ −
( )2lim x 3x+4 x+5x→+∞
Γ = + − ( )2lim 4x 3x+5 2x 5x→−∞
∆ = − + −
( )2 2E= lim 4x 5 x x+1 3xx→+∞
+ + + −
54. Για τις διάφορες τιμές του α∈ℝ να υπολογίσετε τα όρια:
3
2
( 1)x x 3A= lim
( 2)x x+5x
αα→+∞
− + −− +
3
2
( 3)x ( 5)x+6B= lim
(α+1)x 5x+4x
α α→−∞
− − −−
3 2
2
( 2)x ( 7)x 5x 4lim
( 3)x ( 1)x+6x
α αα α→+∞
− + − + −Γ =
− + −
( )2lim 4x 3x+2 xx
α→−∞
∆ = − +
( )2E= lim 9x 5x+3 xx
α→+∞
+ −
( )2 2 2Z= lim x x 9xx
α α→−∞
+ − +
55. Να βρείτε τους α, β∈ℝ ώστε:
α. ( )2lim x 2x+4 x+β 5x
α→+∞
+ − =
β. ( )2lim x x+2 x+β 3x
α→+∞
+ + =
γ. 2x x+2
lim x+β 5x+1x
α→−∞
+− =
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
56. Να βρεθούν τα όρια:
( )
4 2
x+1 2xΑ= lim
x 3x 2x
ηµ→−∞ + +
2
3
3x x+xσυνxB= lim
x 3x+4x
ηµ→−∞ −
2
2
2x xlim
x xx
ηµσυν→+∞
−Γ =
+ ( )2lim x 1 x 3x
xηµ
→+∞
∆ = + −
57. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=1 τη συνάρτηση:
2x 3 2, x 1f(x)= x 1
3 , x=1
+ − ≠ −
58. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=0 τη συνάρτηση:
2ηµxηµ , x 0
f(x)= x 0 , x=0
≠
59. Δίνεται η συνάρτηση:
2αx x 5 ,x 1
f(x)= x 1 6 , x=1
β + −≠
−
Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής.
60. Δίνεται η συνάρτηση f(x) 2
αx + β , x 2
x + 5- 3 3 , x=2
≠
=
.
Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής
στο ℝ .
61. Δίνεται η συνάρτηση 2
7αx+6β , x -1f (x)
x +2βx+4 , x>-1
≤=
.
Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ , αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο
0x = -1 και η fC διέρχεται από το σημείο ( )M 3,1 .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
62. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι 2 2f (x) 6f (x) 9 x 0− + συν ≤ για
κάθε x ∈ℝ , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0.
63. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f
στις παρακάτω περιπτώσεις:
α. xf(x)=ηµ(2018x) για κάθε x ∈ℝ .
β. 2f(x)+ x x+2 1 x(f(x)+1)+ = + για κάθε x ∈ℝ .
γ. ( ) 2x 1 f (x) 2 x 3− + = + για κάθε x ∈ℝ .
64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=0 και ισχύει:
3xf(x) 5x xηµ− ≤ για κάθε x ∈ℝ , να βρεθεί η τιμή f(0).
65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, να υπολογίσετε την τιμή
f(x0) στις παρακάτω περιπτώσεις:
α. 2(x 1)f(x)=x 3 4x− + − για κάθε x ∈ℝ και x0=1.
β. 3 3x x xf(x) x+ xηµ ηµ− ≤ ≤ για κάθε x ∈ℝ και x0=0.
γ. [ ]xf(x) 2 f(x)+ηµ(x 2)≤ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.
δ. 4 2 3
xf(x) x xx
ηµ ηµ− ≤ για κάθε *x∈ℝ και x0=0.
ε. 2(x 2)f(x) x 5x+6− ≥ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.
66. Aν f , g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο ℝ και h(x)=f(x)g(x) . Αν η
συνάρτηση h(x) είναι συνεχής στο x0 με h(x0)≠ 0 και η f δεν είναι
συνεχής στο x0, τότε να δείξετε ότι η g(x) δεν είναι συνεχής στο x0.
67. Έστω f, g δυο συναρτήσεις στο ℝ για τις οποίες ισχύουν:
• Η g είναι συνεχής στο 2018.
•2018 2018
lim f(x)=2019 και lim f(x)=2017x x+ −→ →
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x)=f(x)g(x) είναι συνεχής στο x0=2018,
όταν και μόνο όταν g(2018)=0.
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Αν δίνεται ότι η f είναι συνεχής σε κάποιο 0x α= και ζητείτε η
συνέχεια στο ℝ τότε εργαζόμαστε με βάση τον παρακάτω πίνακα
αν η σχέση
περιέχει τη
μορφή
Τότε θέτουμε Έτσι
όταν
Τότε
είναι Και θα έχουμε
f (x y)+ 0x x h α− = −
0x x→
h α→ 0f (x) f (x h α) ...= + − =
f (x y)− 0x x h α− = − − h α→ 0f (x) f (x h α) ...= − − =
f (x y)⋅
0
x h
x α= h α→ 0
hf (x) f (x ) ...
α= ⋅ =
x
f ( )y
0
x α
x h= h α→
0xf (x) f ( α) ...
h= ⋅ =
68. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(xy)=xf(y)–yf(x)
για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=4, να αποδειχθεί ότι η f
είναι συνεχής στο ℝ .
69. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει
f(x+y)=f(x)–f(y) για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=2, να
αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο ℝ .
70. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει 2
x 2
f(x) x 2x 5lim 2018
x 2→−
+ − −=
+. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται
από το σημείο Μ(–2,–3), να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0= –2.
71. Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο ℝ και τέτοιες, ώστε: f(x)<1
και g(x) > 1 για κάθε x∈ℝ . Αν υπάρχουν α, β*+∈ℝ με α < β και f(α)=α,
g(β)=β, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(α, β) έτσι, ώστε: f(ξ)·g(ξ)=ξ.
72. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
g(x)=ln(x+2) και h(x)=4x–1, έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με
τετμημένη 0x ∈(–1,e–2).
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
73. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x3+αx
2+2=0 με α<–3 έχει δύο,
τουλάχιστον, ρίζες στο (–1,1).
74. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x3–x
2+3 και g(x)=x
2+5x–4. Να δείξετε
ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον,
σημείο Μ(x0, y0) με x0∈(1,2).
75. Να δείξετε ότι η εξίσωση x3+3x
2–1=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες
στο (–2,1).
76. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2018 2019x 2018 x 2019
0x 1 x
+ ++ =
− έχει
μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , 1).
77. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β]
για την οποία ισχύει: ( ) ( ) [ ]2 2f(α) f(β) 5 2 f ( ) 2f ( )α β+ + ≤ − .Να
αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f κόβει τον άξονα x΄x σε ένα
τουλάχιστον, σημείο με τετμημένη x0∈(α, β).
78. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ για την οποία ισχύει:
x1+x f(x) e≤ ≤ για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι:
α. Η f είναι συνεχής στο x0=0.
β. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,
0x ( 1, 1)∈ − τέτοιος ώστε 00
f(x )x
2018= .
γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,
(0, 1)ξ ∈ τέτοιος ώστε 2f(ξ) e ξ= .
79. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει 0 f (x) 2< < για κάθε
x ∈ℝ να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x f (x) 2f (x)+ = έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,2).
80. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1]
με f(0)=α και f(1)=β, όπου α, β∈(0,1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει
ξ∈(0,1) τέτοιος, ώστε f(ξ)=ξ.
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
81. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f(x)=x x+γβ+ και
2g(x)= x x+γβ− +
με γ≠ 0. Αν 1ρ είναι ρίζα της f και 2ρ ρίζα της g με 1 2ρ ρ< , να
αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 2g(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο ( )1 2,ρ ρ .
82. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ , η οποία ικανοποιεί τις
συνθήκες: 1
f(x)lim 2018
x 1x→=
− και
24 (x 2) (x 2)f(x) x 4ηµ − ≤ − ≤ −
για κάθε x∈ℝ . Nα αποδείξετε ότι:
α. f(1) = 0 και f(2) = 4.
β. Αν g(x) = x2-x+1, τότε η Cf τέμνει την Cg σε ένα τουλάχιστον σημείο
Μ(x0, y0) με x0 ∈(1, 2).
83. Έστω f συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα
στο διάστημα [0,1]. Αν είναι f(1) < 2018 < f(0), να αποδείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση h(x) = f(x)-2018x είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1].
β. Υπάρχει μοναδικός x0∈(0,1) τέτοιος ώστε 0
0
f(x )2018
x= .
84. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(x)f(x) + e = 5 - 4x για κάθε για x ∈ℝ και f(1)=0 .
Να αποδειχθεί ότι:
α. Η f αντιστρέφεται
β. Η εξίσωση ( ) ( )3fof (x) - f 5-10x = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο
( )0,1 .
85. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει
lim f(x)=2018x→+∞
. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + lnx= 5 έχει
τουλάχιστον μία θετική ρίζα.
86. Να δείξετε ότι η εξίσωση x2ln x 3e 0+ = έχει μία τουλάχιστον
ρίζα στο (0,1).
87. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 2ln x x 2x 7x 3= + − + έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
88. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1].
Aν ισχύει 2018f(0)+2019f(1) = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει
μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [0,1].
89. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με α < 2018 < β και 4f (2018) f(α)f(β)=0+ , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον
ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.
90. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ef(α)+π f(β)=0eπ
να
αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.
91. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 2 2x x f(x) x xβ α− ≤ ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].
92. Αν η συνάρτηση f:[α, β]→ [α, β] είναι συνεχής και α, β > 0, να
αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) β
α ξ= .
93. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής και
γνησίως μονότονη στο ℝ και για την οποία ισχύει: 2 2f (0) 4f (1) 2 2f (0) 4f (1)+ + = +
α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο ℝ .
β. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x (0,1)∈
τέτοιος ώστε 0
0
f (x )1
x= .
94. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής στο ℝ με
f (1) 2= − και x 2limf (x) 0→−
> , αν 1− και 2 είναι οι μοναδικές ρίζες της
εξίσωσης f (x) 0= , να υπολογίσετε το όριο 3
2x
f (0)x 5x 2lim
f ( 3)x 3x 7→+∞
+ −− + +
95. Αν για κάθε x [-4, 4]∈ η f είναι συνεχής και ισχύει 2 2x f (x)=16+ ,
να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4, 4).
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
96. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (1, + )∞ →ℝ τέτοια ώστε
( )2019
20182 2
x 1 f (x) 1 x 1x 1
+ − = + + + για κάθε x (1, )∈ +∞ .
Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (1, )+∞ .
97. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ , ώστε για κάθε x ∈ℝ
να ισχύει η σχέση 2g (x)+f(x)g(x) 2018≤ − . Να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .
98. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει:
2 6 4 23f (x)+7f(x) 2018=5x 3x 2x 1− + + + για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε
ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .
99. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:
f(2019)+f(2018)=0 και f(x)≠ 0 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν
είναι συνεχής στο ℝ .
100. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ με:
( )( )2 2 2f(x) x f(x)+x 2x 1− = + για κάθε x ∈ℝ .
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 είναι αδύνατη.
β. Να βρείτε τον τύπο της f, αν f(2018)=24.1009 1+ .
101. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: →ℝ ℝ , με f(0)=2, για την
οποία ισχύει: 2 2 2f (x) - 6f(x)ηµx - 9συν x = x , για κάθε x ∈ℝ .
102. Έστω f :[ 1, 1]− →ℝ μια συνάρτηση που είναι συνεχής με
f (0) 1= ,για την οποία ισχύει: 2 2f (x) + 2x 2xf(x) + 1= , για κάθε
x [ 1, 1]∈ − . Να βρείτε τον τύπο της f .
103. Έστω f :[ 1, 4]− → ℝ μια συνεχής συνάρτηση για την οποία
ισχύει: 2 2f (x) + x 3x + 4= , για κάθε x [ 1, 4]∈ − .
α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .
β. Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y
στο σημείο με τεταγμένη -2, να βρείτε τον τύπο της f .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
104. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις
οποίες ισχύει: 2 2f (x) - x -2x + 1= για κάθε x ∈ℝ .
105. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις
οποίες ισχύει: ( ) ( )22 2 2f(x) +1 +2 x x + 1 2f ( )x= + για κάθε x ∈ℝ .
106. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2∈[α, β], να
αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε 3f(x1)+4f(x2)=7f(ξ).
107. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β], να
αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε
f(x1)+2f(x2)+3f(x3)=6f(ξ).
108. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β]. Aν
κ, λ, μ είναι θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2018 να αποδείξετε ότι υπάρχει
ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε: 1 2 3κf(x )+λf(x )+µf(x )f(ξ)=
2018.
109. Έστω f: [0,6]→ℝ συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με
f(0)=8 και f(6)=2. Να αποδείξετε ότι:
α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(0, 6) τέτοιος, ώστε
f(1) + 2f(2) + 3f(3) + 4f(4)
f(ξ) = 10
β. Η εξίσωση f(x)=7 έχει μοναδική ρίζα.
110. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1,4]
με:
f(1)f(2)f(4)=8 και f(x)≠ 0 για κάθε x∈[1,4].
Να αποδείξετε ότι:
α. f(x)>0 για κάθε x∈[1,4].
β. Η εξίσωση f(x)=2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].
γ. Η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
111. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(2) = 5 και
f(f(x))+f(x) = 20 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(10).
112. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(8) = 5 και
f(f(x)).f(x) = 2 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(3).
113. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞)
με limx 0+→
f (x) = γ ℝ∈ και limx → +∞
f (x) = δ ℝ∈ , να αποδείξετε ότι υπάρχει
μόνο ένας αριθμός x0 > 0 τέτοιος ώστε να ισχύει: 0x +10 0f(x )+e +lnx =1.
114. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (0,3) →ℝ η οποία είναι γνησίως
αύξουσα στο (0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,3) . Αν f (1) 2= ,
x 0lim f (x) 1
+→= − και
x 3lim f (x) 2
−→= − , να βρείτε:
α. Το σύνολο τιμών της f .
β. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) 0= στο ( )0,3 .
115. Να δείξετε ότι , αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [ ]1, 3
και σύνολο τιμών το ( )3,6 , τότε η f δεν είναι συνεχής.
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
1. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:
2 1
xf (x) ηµ3x 4x 5x ηµx
+ = − ⋅ για κάθε x ∈ℝ .
α. Να βρείτε τον τύπο της f.
β. Να υπολογίσετε τα όρια xlim f (x)→−∞
και xlim f (x)→+∞
.
γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μία τουλάχιστον
αρνητική και μία τουλάχιστον θετική ρίζα.
2. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[0,2] →ℝ για την οποία ισχύει ότι
f (0) f (2) 0+ = .
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο διάστημα [0,2] .
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [0,2]∈ τέτοιο ώστε:
f (1)
f (ξ)3
=
γ. Δίνεται η συνάρτηση g(x) f (x) (2x 1)f (x 1)= + − +
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g .
ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα
x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο.
3. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : →ℝ ℝ . Οι fC και gC δεν
έχουν κανένα κοινό σημείο και ισχύει ότι f (2018) g(2018)> . Επίσης
ισχύουν οι σχέσεις:
2
x 1
(x 1)f (x) x 3 2 7lim
x 1 4→
− − + +=
− και
2x 0
xg(x) ηµxlim 1
x x→
−= −
+
α. Να αποδείξετε ότι f (x) g(x)> για κάθε x ∈ℝ .
β. Να βρείτε τις τιμές f (1) και g(0) .
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ τέτοιο
ώστε: 0 0 03f (x ) g(x ) 4x+ = .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
4. Έστω f : →ℝ ℝ μία συνάρτηση με f (0) 0= , η οποία είναι
συνεχής και ισχύει ότι: 2f (x) f (x)e 2x e 1+ ⋅ = , για κάθε x ∈ℝ .
α. Να δείξετε ότι 2f (x) ln( x 1 x)= + − , για κάθε x ∈ℝ .
β. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.
γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f (x)e 2017 1− = έχει, μια τουλάχιστον
ρίζα.
5. Έστω f :[0, )+∞ →ℝ μία συνεχής συνάρτηση με f (0) 1= , για την
οποία ισχύει ότι: 2f (x) 1 2x f (x)= + ⋅ , για κάθε x 0≥ .
α. Να βρείτε τη συνάρτηση f.
β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να βρείτε το
πεδίο ορισμού της 1f (x)−
.
γ. Για κάθε α,β 0≥ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (α) f (β)
0x 1 x 2
+ =− −
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2) .
6. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) x e 1= + − .
α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β. Να λύσετε την εξίσωση xe 1 x= − .
γ. Να λύσετε την ανίσωση ( )1f f (x) x 1 1− − + >
δ. Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση
g : →ℝ ℝ η οποία για κάθε x ∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση
g(x)g(x) e 2x 1+ = + . Να αποδείξετε ότι:
i. H g είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Η gC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2018g g (x) g 1 x 0− − = , έχει μία
τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( )0,1 .
7. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει η σχέση: 32f (x) 3 2x 3f (x)− = − , για κάθε x ∈ℝ .
α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
β. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το ℝ , να αποδείξετε ότι η f
αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f −.
γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0= .
δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων f και 1f −.
8. Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0,1) →ℝ
για την οποία ισχύουν:
x 0
f (x) 2lim 3
x→
+=
22ηµ(x 1) (x 1)f (x) x 1− ≤ − ≤ − , για κάθε ( )x 0,1∈ .
α. Να βρείτε τα όρια x 0lim f (x)
+→ και
x 1lim f (x)
−→.
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:
g(x) f (x) ln x 3= − − , ( )x 0,1∈
γ. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f (x) 3h(x) e −= τέμνει την ευθεία y x= σε ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ .
9. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε x ∈ℝ ,
ισχύει: ( ) ( )2 2f (x) x 2 f (x) x− ≤ +
α. Να δείξετε ότι στο σημείο 0x 1= − η f είναι συνεχής.
β. Να βρείτε το όριο 2x
f (x)lim
x→+∞ .
γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 6x=
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1
0, 2
.
10. Έστω συνάρτηση [ )f : 1, +− ∞ →ℝ που είναι συνεχής στο πεδίο
ορισμού της και για κάθε x 1≥ − ισχύει:
28x 8 4 (x 1) f (x) 2x 2 2+ − ≤ − ⋅ ≤ + −
α. Να βρείτε τον αριθμό f (1) .
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0x 1, 1∈ − ώστε να ισχύει 0 0f (x ) 2x= .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
11. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε
x ∈ℝ , ισχύει: 2xf (x) 2 f (x) 3x 1+ = + + . Να δείξετε ότι υπάρχει
0x (0,1)∈ , ώστε 0 04f (x ) 7x= .
12. Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]f : 0,2 →ℝ με f (0) 0 , f(1) = 5=
και f (2) 5= − . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f (x) 16 = έχει,
τουλάχιστον δύο ρίζες στο ( )0,2 .
13. Δίνονται οι συνεχείς στο ℝ συναρτήσεις f και g για τις οποίες
ισχύουν:f (x) 0≠ για κάθε x∈ℝ .Οι γραφικές τους παραστάσεις
τέμνονται στο A(2, 1)− . 1ρ 1= − και 2ρ 5= είναι δύο διαδοχικές ρίζες
τηςg(x) 0= . Να αποδείξετε ότι:
α. f(x) < 0 για κάθε x∈ℝ .
β. g(x) 0< για κάθε x ( 1,5)∈ − .
γ. 4 2
3x
f (3) x 2x 1lim
g(2) x 5→−∞
⋅ + += −∞
⋅ + .
14. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-3,3] για την οποία ισχύει
2 23x 4f (x) 27+ = για κάθε x∈ [-3,3].
α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .
β. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-3,3).
γ. Να βρεθεί ο τύπος της f .
δ. Αν επιπλέον f (1) 6= να βρείτε το όριο x 0
3 3f (x)
2limx→
− .
15. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[0, )+∞ →ℝ για την οποία
ισχύει: 2 8 2 x
x 2x 9 3 x f (x) x ηµ 3x 3
+ + ≤ + ⋅ ≤ + + για κάθε x 0> .
Να βρείτε:
α. Το όριο: 2
x 0
x 2x 9 3lim
2x→
+ + −.
β. Το όριο: 7
x 0
2lim x ηµ
x→ .
ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
γ. Το όριο: x 0limf (x)
→.
δ. Το f (0) .
16. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:
(f f )(x) 2f (x) 2x 1+ = + για κάθε x∈ℝ και f (2) 5= .
α. Να βρείτε το f (5) .
β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
γ. Να βρείτε το 1f (2)−
.
δ. Να λύσετε την εξίσωση: ( )1 2f f (2x 7x) 1 2− + − = .
17. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν
οι συνθήκες:
21
3ηµx 2xf (x) x2
− ≤ , για κάθε x ∈ℝ .
24f (x) 3f (x 1) 2x 2019+ + = − , για κάθε x ∈ℝ .
α. Να βρείτε το όριο x 0limf (x)
→ .
β. Να βρείτε το f (1) .
γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης g(x) x 1= − σε ένα τουλάχιστον σημείο με
τετμημένη 0x (0,1).∈
18. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:
2 2f (x) x x 1= + + , για κάθε x ∈ℝ .
x 0
1 f (x) 1lim
x 2→
+= − .
α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία
με τον άξονα x΄x .
β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι 2f (x) x x 1= − + + , x ∈ℝ .
γ. Να βρείτε το όριο xlim (x f (x))→−∞
− .
δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο g(x) x f (x)= − , έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο ( , 0)−∞ .