ДОКЛАДЫ - ЦНБ НАН...

1

ДОКЛАДЫНАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ

НАУК БЕЛАРУСИВыходит шесть номеров в год

Журнал основан в июле 1957 года

МИНСК, БЕЛОРУССКАЯ НАУКА, 2011, ТОМ 55, 5

Учредитель – Национальная академия наук Беларуси

Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:

М. В. Мясникович (главный редактор), А. М. Русецкий (заместитель главного редактора),

С. А. Чижик (заместитель главного редактора), И. М. Богдевич, Н. А. Борисевич, Г. А. Василевич, П. А. Витязь,

И. Д. Волотовский, И. В. Гайшун, В. Г. Гусаков, И. В. Залуцкий, О. А. Ивашкевич, Н. А. Изобов, А. Ф. Ильющенко, Н. С. Казак, С. Я. Килин, А. А. Коваленя, Ф. Ф. Комаров,

И. В. Котляров, В. А. Лабунов, Ф. А. Лахвич, О. Н. Левко, А. И. Лесникович, В. Ф. Логинов, А. А. Махнач, А. А. Михалевич, П. Г. Никитенко, О. Г. Пенязьков, Ю. М. Плескачевский,

А. Ф. Смеянович, Л. М. Томильчик, В. М. Федосюк, Л. В. Хотылева, И. П. Шейко

Адрес редакции:

220072, Минск, ул. Академическая, 1, к. 119,тел. 284-19-19

http:/nasb.gov.by/rus/publications/dan/E-mail: [email protected]

СОДЕРжАНИЕ

МАтеМАтикА

Прохорович М. А., Радыно Е. М. Скорость сходимости средних Стеклова для классов Соболева на пространстве р-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Корзюк В. И., Козловская И. С. Решение задачи Коши гиперболического уравнения для однородного дифференциального оператора в случае двух независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Шлык В. А. О вершинах главного многогранника Гомори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Бударина Н. В., Диккинсон Д., Берник В. И. О действительных и комплексных корнях целочислен-ных полиномов в окрестности их малых значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Забрейко П. П., Короц Ю. В. Об одной модификации теоремы Минти–Браудера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Прокопчук А. В., Тихонов С. В., Янчевский В. И. О специальных свойствах однородных тел неком-мутативных рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Деменчук А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с частью стационарных элемен-тов матрицы коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Национальная

академия наук

Беларуси

ФизикА

Сергеенко М. Н. Массы адронов и траектории Редже для потенциала типа воронки . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Толкачев Е. А. Галилеевски инвариантная электродинамика с источниками двух типов и принцип от-носительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Гончаренко А. М. Вращающиеся солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

хиМия

Поткин В. И., Бумагин Н. А., Зеленковский В. М., Петкевич С. К., Зубенко Ю. С., Ливанцов М. В., Белов Д. С. Синтез и структура комплексов палладия(II) с оксимом 5-(n-толил)изоксазол-3-карбальдегида и 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоксилатным фрагментом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Кулак Т. И., Олейникова И. А., Ткаченко О. В., Калиниченко Е. Н., Колбанова Е. В., Красинская Т. А., Кухарчик Н. В. Синтез и свойства аналогов 2',5'-олигоаденилатов, содержащих фрагменты рибавирина и 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Пашковский Ф. С., Адамович Ю. И., Шинкович М. А., Лахвич Ф. А. Синтез 4,8-интерфениленовых гетеропростаноидов и их предшественников на основе 3-арилтетроновых кислот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Биология

Бусева ж. Ф. Оценка влияния факторов среды на естественную смертность Cladocera в озерах разного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Вежновец В. В., Семенченко В. П. Влияние повышения температуры на вертикальное распределение зоопланктона в мезотрофном стратифицированном озере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Макаревич А. М., Решетников В. Н. Антиоксидантная активность плодов Vaccinium corymbosum L . и Vaccinium uliginosum L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

нАуки о зеМле

Конищев В. С. Тремлянская фаза тектономагматической активизации в Припятском прогибе . . . . . . . . 81Айзберг Р. Е., Бескопыльный В. Н., Грибик Я. Г. Структурное районирование межсолевого комплек-са Припятского нефтегазоносного бассейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

технические нАуки

Витязь П. А., Комаров А. И., Комарова В. И., Шипко А. А., Сенють В. Т. Создание наноструктуриро-ванных композиционных модификаторов для сплавов алюминия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Русецкий А. М., Новикова З. А., Городкин Г. Р., Коробко Е. В. Разработка магнитоструктури- рующихся жидкостей с управляемой реологией для технологии финишного полирования оптических изделий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Степаненко Д. А., Минченя В. Т. Разработка и исследование нового типа бесконтактных ультразвуко-вых двигателей на основе принципа конструктивной асимметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

социАльно-гуМАнитАрные нАуки

жарко В. И., Пиневич Д. Л., Сердюченко Н. С., Самоходкина С. В. Медицинская эконометрия и управление инновациями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Левко О. Н., Седов С. Г., Голобоков С. В. Археологическое изучение сооружений Шкловского замкас использованием метода сопротивлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Редактор Т . П . П е т р о в и чКомпьютерная верстка Н . И . К а ш у б а

Сдано в набор 11 .10 .2011 . Выпуск в свет 27 .10 .2011 . Формат 60×841/8 . Бумага офсетная . Печать цифровая . Усл . печ . л . 14,88 . Уч .-изд . л . 16,4 . Тираж 202 экз . Заказ 250 .

Цена номера: индивидуальная подписка − 19380 руб .; ведомственная подписка − 49174 руб .

Республиканское унитарное предприятие «Издательский дом «Беларуская навука» . ЛИ 02330/0494405 от 27 .03 .2009 . Ул . Ф . Скорины, 40, Минск, 220141 . Свидетельство о регистрации 387 от 18 .05 .2009 .

Отпечатано в РУП «Издательский дом «Беларуская навука» .

«Издательский дом «Беларуская навука» Доклады НАН Беларуси, 2011



Беларуси

3

DOKLADYOF THE NATIONAL ACADEMY

OF SCIENCES OF BELARUS

Published bimonthly

The journal has been published since July, 1957

MINSK, BELORUSSKAYA NAUKA, 2011, Vol. 55, No 5

Founder − National Academy of Sciences of Belarus

E d i t o r i a l B o a r d:M. V. Miasnikovich (Editor-in-Chief),

A. M. Rusetsky (Associate Editor-in-Chief),S. A. Chizhik (Associate Editor-in-Chief),

I. M. Bogdevich, N. A. Borisevich, G. A. Vasilevich, P. A. Vitiaz, I. D. Volotovski, I. V. Gaishun, V. G. Gusakov, O. A. Ivashkevich, N. A. Izobov, A. F. Ilyushchanka, N. S. Kazak, S. Ya. Kilin, A. A. Kovalenya, F. F. Komarov, I. V. Kotlyarov, V. A. Labunov, F. A. Lakhvich, O. N. Levko,

A. I. Lesnikovich, V. F. Loginov, A. A. Makhnach, A. A. Mikhalevich, P. G. Nikitenko, O. G. Penyazkov, Yu. M. Pleskachevsky, A. F. Smeyanovich,

L. M. Tomilchik, V. M. Fedosyuk, L. V. Khotyleva, I. P. Sheiko, I. V. Zalutsky

Address of the Editorial Office:220072, Minsk, 1 Akademicheskaya Str., room 119

telephone: 284-19-19http://nasb.gov.by/eng/publications/dan/

E-mail: [email protected]

CONTENTS

MAthEMAtiCS

Prokhorovich M. A., Radyna Ya. M. Convergence rate of Steklov means for functions from Sobolev classes on the space of p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Solving the Cauсhy problem of the hyperbolic equation for a homogeneous differential operator in the case of two independent variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Shlyk V. A. Vertices of the master Gomory polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Budarina N. V., Dickins N. D., Bernik V. I. Real and complex roots of integer polynomials in the neighborhood of their small values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Zabreiko P. P., Korots Y. V. Modification of Minty–Browder theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Prokopchuk A. V., Tikhonov S. V., Yanchevskii V. I. Special properties of homogeneous skew fields of noncommutative rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of a linear system with some constant elements of the matrix of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



Беларуси

PhySiCS

Sergeenko M. N. Hadron masses and Regge trajectories for the funnel type potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Tolkachev E. A. Galileo invariant electrodynamics with sources and the relativity principle . . . . . . . . . . . . . . . 44Goncharenko А. М. Rotary solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ChEMiStry

Potkin V. I., Bumagin N. A., Zelenkovskii V. M., Petkevich S. K., Zubenko Yu. S., Livantsov M. V., Belov D. S. Synthesis and structure of palladium(II) complexes with of the oxime 5-(n-tolyl)isoxasol-3-carbaldehyde and 4,5-dichloroisothiazol-3-carboxylate fragment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Kulak T. I., Oleynikova I. A., Tkachenko O. V., Kalinichenko E. N., Kolbanova E. V., Krasinskaya T. A., Kukharchyk N. V. Synthesis and properties of 2′,5′-oligoadenylate analogs containing ribavirin and 9-(2,3-anhydro-ß-D-ribofuranosyl)adenine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Pashkovsky F. S., Adamovich Yu. A., Shinkovich M. A., Lakhvich F. A. Synthesis of 4,8-interphenylene heteroprostanoid and their precursors on the basis of 3-aryltetronic acids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

BiOlOgy

Buseva Zh. F. Evaluation of the impact of environmental factors on the Cladocera non-predatory specific mortality in different-type shallow lakes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Vezhnovetz V. V., Semenchenko V. P. Impact of warming on a vertical distribution of zooplankton in a mesotrophic stratified lake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Makarevich А. М., Reshetnikov V. N. Antioxidant activity of the berries of Vaccinium corymbosum L . and Vaccinium uliginosum L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

EArth SCiEnCES

Konischev V. S. Tremlian phase of the tectonic and magmatic activity in the Pripyat trough . . . . . . . . . . . . . . . 81Aizberg R. Ye., Beskopylny V. N., Gribik Ja. G. Structural regions distinguished within the intersalt complexes of the Pripyat oil- and gas-bearing basin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

tEChniCAl SCiEnCES

Vityaz P. A., Komarov V. I., Komarova V. I., Shipko A. A., Senyut V. T. Creation of nanostructured composite modifiers for aluminium alloys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Rusetsky A. M., Novikova Z. A., Gorodkin G. R., Korobko E. V. Development of magnetostructured fluids with controlled rheology for high-precision finishing processing of optical products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Stepanenko D. A., Minchenya V. T. Development and study of a novel type of non-contact ultrasonic motors based on the principle of structural asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

SOCiAl SCiEnCES And huMAnitiES

Zharko V. I., Pinevich D. L., Serduchenko N. S., Samokhodkina S. V. Medical economics and innovation management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Levko O. N., Sedov S. G., Golobokov S. V. Archaeological study of constructions of the Castle of Shklov with the use of a method of resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



Беларуси

5

Доклады Национальной академии наук Беларуси2011 сентябрь–октябрь Том 55 5

МАТЕМАТИКА

уДк 517.5

М. А. ПрохороВич, е. М. рАДыно

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ СРЕДНИХ СТЕКЛОВА ДЛЯ КЛАССОВ СОБОЛЕВА НА ПРОСТРАНСТВЕ p-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

(Представлено академиком и. В. гайшуном)

Белорусский государственный университет, Минск Поступило 16.02.2011

Введение. Пусть (X, d, µ) – метрическое пространство с метрикой d и регулярной борелев-ской мерой µ . Тройку (X, d, µ) называют пространством однородного типа, если мера и метрика связаны условием удвоения

( ( , )) ( ( , )), , 0 ,rB x r c B x r x X r r

r

γ µ ≤ µ ∈ < ≤

(1)

где ( , ) : ( , ) B x r y X d x y r= ∈ < – шар с центром в точке x X∈ радиуса 0 .r > Здесь и далее через c обозначаем различные положительные постоянные, значения которых не играют роли . Пара-метр γ называют обычно doubling-размерностью – он выполняет роль размерности метрического пространства X) . Далее мы будем писать просто X, понимая под этим тройку (X, d, µ) с условием (1) . Используем следующие обозначения: rB – радиус шара B, λB – шар радиуса λrB, концентриче-ский с B . Через lp = lp(X), 1 ,p≤ < ∞ обозначаем обычные лебеговы пространства, порожденные мерой μ .

Рассмотрим максимальные функции

1( ) sup ( ) ( ), ,( )B B BB B B

B xf x r f y f d y f f d f d

B−α

α = − µ = µ = µµ∫ ∫ ∫

где точная верхняя грань берется по всем шарам B, (0,1),Br ∈ содержащим точку .x X∈ С по-мощью этих максимальных функций определим классы

( ) ( ) ( ): ,( 0) , 1 . p p pX X Xp p

C l lC f l fX f f pαα α= ∈ = + < ∞ α > < < ∞ (2)

Для n эти классы были введены в [1], а в общем случае в [2; 3] . Класс 1 ( )pC X совпадает

с классом Хайлаша–Соболева [4] (см . также [3; 5]), а при nX = – с классическим простран-ством Соболева 1 ( )p nW [1; 4] .

Рассмотрим емкости, соответствующие классам ),(pC Xα α > 0, 1 ,p≤ < ∞

, ( )Cap inf : , 1 ( ) ( ) в окрестности .p

p pp XC

u u C EE X uα

α α= ∈ ≥ (3)

При α = 1 они были введены и изучены в [6], а в случае 0 1< α ≤ – в [7] .Мы будем иметь дело со свойствами функций, которые зависят от изменения их значений на

множестве меры нуль, поэтому условимся, что значение локально суммируемой функции в каж-дой точке определяется равенством ( , )

0( ) s .l upim B x r

rf x f d

→+= µ∫



Беларуси

6

Напомним, что x X∈ называется точкой Лебега для функции 1loc ( ),f l X∈ если

( , )0lim ( ) .B x rr

f d f x→+

µ =∫

В работах [7–9] изучался вопрос о емкости множества точек Лебега для функций из классов pCα на пространствах однородного типа . Итоговый результат выглядит следующим образом:

Т е о р е м а 1 . Пусть 0 1,< α ≤ 0 ,< β < α 1 / .p< < γ α тогда для любой функции ( )pf C Xα∈ существует множество E X⊂ такое, что ,ap 0( )C p Eα−β = и для любого \x X E∈ существует предел

1/

( , )0( )lim ( ) 0q q

B x rrr f f x d−β

→+− µ =∫ при 1 1 .

q pα

= −γ

История подобных результатов на n достаточно подробно изложена в [10, глава 6 .2] . На

пространствах однородного типа при α = 1, β = 0 утверждение теоремы 1 было частично получе-но в [8] . Случай 0 1,< α ≤ β = 0 был рассмотрен в [7], а случай 0 1< β < α ≤ – в [9, следствие 6] .

Однако существуют ситуации, когда классы Гельдера ( )h Xα нетривиальны при некоторых значениях α > 1 (см ., например, [11]), поэтому условие 1α ≤ существенно сужает множество воз-можных ситуаций . В этой работе мы перенесем результаты из [9] на пространство l-адических чисел n

l (обычно используется обозначение p для пространства p-адических чисел, однако индекс p у нас уже занят . В названии статьи использовано стандартное обозначение), причем нам удалось избавиться от ограничения 1;α ≤ для β = 0 это было сделано в [12] .

Перейдем к точным формулировкам и опишем необходимые понятия .Основной результат. Пусть l – простое число . В поле можно ввести нормирование lx по

правилу 0 0,l = ( ) ,xlx l−δ= где число ( )xδ ∈ определяется из представления / ,x l k mδ= при-

чем k∈ и m∈ взаимно просты с l .Пополнение поля по l-адическому нормированию называется полем l-адических чисел

и обозначается l (см ., например, [13]) . Пространство nl состоит из точек 1 2( , , , ),nx x x x= …

,i lx ∈ 1, 2, , ,i n= … и снабжено нормой 1max ,n

li li n

x x≤ ≤

=

которая является ультраметрикой .Отметим, что пространство l-адических чисел n

l является пространством однородного типа с doubling-размерностью n . Следовательно, все утверждения о пространствах однородного типа остаются в силе с γ = n .

Классы ( )p nlCα и емкости на n

l определим так же, как и в общем случае – см . (2) и (3) .Теперь мы готовы сформулировать основной результат (см . [12] при β = 0) .Т е о р е м а 2 . Пусть α > 0, 0 < β < α, 1 < p < γ / α. тогда для любой функции ( )p n

lf Cα∈ суще-ствует множество n

lE ⊂ такое, что ,ap 0( )C p Eα−β = и для любого \nlx E∈ существует

предел

1/

( , )0( )lim ( ) 0q q

B x rrr f f x d−β

→+− µ =∫ при 1 1 .

q p nα

= −

Вспомогательные утверждения. Для доказательства теоремы 2 нам понадобится ряд вспо-могательных фактов . Прежде всего отметим те свойства, которые справедливы для произволь-ного пространства однородного типа . Мы будем использовать их с n

lX = и γ = n .Л е м м а 1 . если 1

loc ( ),f l X∈ p > 0, 0 < α < γ / p, то для любого шара B X⊂

1/ 1/ 1 1( ) ( ) , .( )q q p pB BB cBf f d cr f d

q pα

αα

− µ ≤ µ = −γ∫ ∫

Лемма 1 является частным случаем результатов работы [14, теорема 1] .Нам также понадобится следующее неравенство – для любого шара B X⊂ и p > 0

1/(( ) .) p p

B BB Bf f d r f dαα− µ ≤ µ∫ ∫

(4)

Это следует из усреднения по y B∈ очевидного неравенства ( ),B BB f f d r f yαα− µ ≤∫ .y B∈



Беларуси

7

Наконец, отметим следующее простое свойство емкости: для любого E X⊂ и 0 < β ≤ α име-ем [9, лемма 4]

, ,( ) ( )C .ap Capp pcE Eβ α≤ (5)

Следующая лемма 2 является основным результатом работы [12], для случая произвольного пространства однородного типа она имеется лишь при 0 1< α ≤ [7] .

Л е м м а 2 . Пусть α > 0, 1 < p < n / α. тогда для любой функции ( )p nlf Cα∈ существует мно-

жество nlE ⊂ такое, что , )Cap 0(p Eα = и для любого \n

lx E∈ существует предел

*

( , )0( )lim ,B x rr

f d u x→+

µ =∫

*( , )0

lim ( ) 0,q

B x rrf f x d

→+− µ =∫

1 1 .q p n

α= −

Лемма 3 является нашим основным инструментом для измерения емкости исключительных множеств . Ее формулировка имеется в [12] . При доказательстве леммы 3 существенно использу-ется специфика пространства n

l – как и лемма 2, для пространств однородного типа она имеет-ся лишь при 0 1< α ≤ (см . [6] для α = 1, переход к 0 1< α ≤ тривиален) .

Л е м м а 3 . Пусть 0,δ > ,n p> δ ( )p nlg l∈ и 0,g ≥ тогда

, (a 0,)C p p Eδ = где ( , )0

: sup 0 .lim p pB x r

rE x X r g dδ

→+= ∈ µ >∫

Доказательство теоремы 2. Доказательство основной теоремы следует схеме рассуждений из работы [15], в которой подобный результат (в терминах мер Хаусдорфа для α > 0) доказывает-ся для произвольного пространства однородного типа .

Отметим, что вся специфика пространства nl содержится в утверждениях лемм 2 и 3 . Это

является одной из причин, по которой мы не используем в нашей работе обозначения, принятые в p-адике . Например, в случае пространства n

l достаточно рассматривать лишь шары радиуса ( ) ,xlσ где число ( ) ,xσ ∈ но в наших рассуждениях это несущественно .

Пусть E1 – дополнение ко множеству точек ,nlx∈ для которых выполнено соотношение

( , )0lim ( ) ,) 0( B x rr

f x f→+

− = (6)

тогда по лемме 2 , 1( )Cap 0p Eα = и в силу (5)

, 1Cap 0) .(p Eα−β = (7)

Пусть 1\ ,nlx E∈ (0,1)r∈ и ( , )j

jB B x l r−= для .j∈ Тогда в силу (6)

( 1)( , ) ( , ) ( , )0

( ( ) ) .j jB x r B x l r B x l rjf x f f f− + −

∞

=− ≤ −∑

Отсюда, применяя условие удвоения (1) и неравенство (4), получаем

( , )0 1

( ) 1/ ( ) 1/( , )

0(

( )( )

( )

( ( ) ) sup ( ))

jj

j j

jB x r BB

j j

pj p p p p pB B B x t

t rj

Br f x f r f f d

B

c l r f d c t f d

∞−β −β

= +

∞α−β− β α−β

α α<=

µ− ≤ − µ ≤

µ

µ ≤ µ

∑ ∫

∑ ∫ ∫

и правая часть сходится к нулю при 0,r →+ если

( )

( , )0lim ( ) 0 .p p

B x rrr f dα−β

α→+

µ =∫

В силу леммы 3, примененной к функции g fα= с ( ),δ = α −β

, 2Cap 0) ,(p Eα−β = ( )2 ( , )

0: sup ( ) 0 lim . p p

B x rr

E x X r f dα−βα

→+= ∈ µ >∫ (8)



Беларуси

Итак, на дополнении ко множеству 1 2E E E= ∪ выполнено соотношение ( , )0lim ( ) 0,B x rr

r f x f−β

→+− =

а по лемме 1

1/ ( ) 1/

( , )( , ) ( , )( ( ) )( )q q p p p

B x rB x r B x crr f f d c r f d−β α−βα− µ ≤ µ∫ ∫

и для 2\nlx E∈ правая часть сходится к нулю при 0 .r →+ Следовательно, для любого

\nlx E∈

1/ 1/( , ) ( , )( , ) ( , )0 00

lim ( ) ( )sup ( ) lim ( ) lim 0 .q q qB x r B x rB x r B x rr rr

qr f f x d r f x f r f f d−β −β −β

→+ →+→+− µ ≤ − + − µ =∫ ∫

Осталось заметить, что в силу (7) и (8) , (ap 0 .)C p Eα−β = Теорема доказана .

Литература

1 . C a l d e r o n A . P . // Studia Mathematica . 1972 . Vol . 44 . P . 561–582 .2 . H u J . // J . of mathematical analysis and applications . 2003 . Vol . 280, 1 . P . 91–101 .3 . Y a n g D . // Science in China (series A) . 2003 . Vol . 46, 5 . P . 675–689 .4 . H a j l a s z P . // Potential Analysis . 1996 . Vol . 5, 4 . P . 403–415 .5 . И в а н и ш к о И . А . // Мат . заметки . 2005 . Т . 77, 6 . С . 937–940 .6 . K i n n u n e n J ., M a r t i o O . // Annales Academie Scientiarum Fennice Mathematica . 1996 . Vol . 21 . P . 367–382 .7 . П р о х о р о в и ч М . А . // Весці НАН Беларусі . Сер . фіз .-мат . навук . 2006 . 1 . С . 19–23 .8 . K i n n u n e n J ., L a t v a l a V . // Revista Matematica Iberoamericana . 2002 . Vol . 18, 3 . P . 685–700 .9 . К р о т о в В . Г . // Изв . НАН Армении . Математика . 2006 . T . 41, 2 . C . 25–42 .10 . A d a m s D . R ., H e d b e r g L . I . Function spaces and potential theory . Berlin; Heidelberg; New York, 1996 .11 . J o n s s o n A . // J . of mathematical analysis and applications . 2004 . Vol . 290, 1 . P . 86–104 .12 . О л е ш к е в и ч Д . Н ., П р о х о р о в и ч М . А . // Вестн . БрГУ . Сер . 4: Физика, Математика . 2010 . 2 . С .103–111 .13 . S c h i k h o f W . Ultrametric calculus . An introduction to p-adic analysis . London, 1984 .14 . И в а н и ш к о И . А ., К р о т о в В . Г . // Тр . Ин-та математики НАН Беларуси . 2005 . Т . 14, 1 . C . 51–61 .15 . К р о т о в В . Г ., П р о х о р о в и ч М . А . // Мат . заметки . 2011 . Т . 89, 1 . С . 145–148 .

M. A. PrOKhOrOViCh, ya. M. rAdynA

prokhorovich@bsu .by, yauhen .radyna@gmail .com

CONVERGENCE RATE OF STEKLOV MEANS FOR FUNCTIONS FROM SOBOLEV CLASSES ON THE SPACE OF p-ADIC NUMBERS

Summary

A convergence rate of Steklov means for functions from Sobolev classes on the space of p-adic numbers is investigated .



Беларуси

9


уДк 517.955

член-корреспондент В. и. корзЮк 1, и. с. козлоВскАя 2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

В СЛУЧАЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1институт математики нАн Беларуси, Минск 2Белорусский государственный университет, Минск Поступило в редакцию 16.03.2011

В данном сообщении дается в аналитическом виде решение задачи Коши для гиперболиче-ского уравнения порядка m с постоянными коэффициентами, где m – целое положительное чис-ло, оператор уравнения представляет собой композицию дифференциальных операторов перво-го порядка в случае двух независимых переменных .

Построение решения названной задачи Коши проводится методом характеристик . Одним из первых результатов метода характеристик является формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения колебания струны [1, с . 294; 2, с . 54–56] . Методом характеристик нахо-дится общее решение и решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка [3, с . 539–554; 4, с . 306–343] .

Этим методом найдены решения задачи Коши для многих других дифференциальных урав-нений, в том числе и нелинейных . Это уравнения Гамильтона–Якоби, квазилинейные уравнения первого порядка и др . [5] .

Результаты данного сообщения в последующих работах будут использованы для решения смешанных задач для рассматриваемого здесь гиперболического уравнения .

Задаче Коши для гиперболических уравнений с частными производными посвящена много-численная литература, где исследования проводятся другими методами . Но они не позволяют построить решения в аналитическом виде, а только доказать корректную постановку задачи [6–15] . Отметим еще работу [16], где общие решения в аналитическом виде для дифференциальных уравнений с частными производными и решения задачи Коши строятся с помощью систем ком-пьютерной алгебры .

1. На плоскости R2 двух действительных независимых переменных t и x рассмотрим полу-плоскость (0, ) .Q = ∞ ×R Для сокращенной записи введем обозначения частных производных:

,t t∂∂ =∂

,x x∂∂ =∂

,jj

t jt∂∂ =∂

,jj

x jx∂∂ =∂

.s js j

t x s jt x

+∂∂ ∂ =∂ ∂

В области Q рассмотрим относительно ис-

комой функции 2: ( , ) ( , )u Q t x u t x⊃ ∋ → ∈R R гиперболическое дифференциальное уравнение порядка m

( ) ( )

1( , ) ( , ), ( , ) ,( )

mm k

t xk

u a u t x f t x t x Q=

= ∂ − ∂ = ∈∏ (1)

где ( )ka − заданные из R числа; : ( , ) ( , )f Q t x f t x∋ = ∈R – заданная на Q функция; Q – замыка-ние области Q и [0, ) ;Q = ∞ ×R R − множество действительных чисел; [0, ) (0, ) (0, ) 0,∞ = ∞ = ∞ ∪ – обозначение объединения, 0 – одноточечное множество, элементом которого является 0 . На границе ( , ) | 0Q t x Q t∂ = ∈ = области Q задаются условия Коши

( )0

( ), , 0,1, , 1,j j jt tu d x x r j m

=∂ = ϕ ∈ = … − (2)

0 ,t u u∂ = .j j jd d dx=



Беларуси

10

2. Рассмотрим однородное уравнение (1), т . е . уравнение

( ) 0, ( , ) ,m u t x Q= ∈ (3)

Обозначим через Cm(R) множество непрерывно дифференцируемых до порядка m функций .Т е о р е м а 1 . общее решение уравнения (3) представляет собой сумму

( ) ( ) ( )

1( , ) ( )

m k k k

ku t x g x a t C

== + +∑ (4)

m функций ( ) ( ),m mg C∈ R где ( )m − гиперболический оператор вида (1) с действительными по-стоянными числами ( ) ( ) ,k ja a≠ ,k j≠ , 1, . . ., .k j m∈

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначение 1

( 1) ( )

1( , ) ( , ) ( , ) .( )

mm k

t xk

w t x u t x a u t x−

−

== = ∂ − ∂∏

Имеем уравнение первого порядка

( ) 0 .mt xw a w∂ − ∂ = (5)

Уравнение характеристик уравнения (5) есть уравнение

( ) 0,mdx a dt+ =

общее решение которого есть ( ) ( ) 0,m mx a t C+ + = где C(m) – произвольная постоянная . Делаем за-мену независимых переменных

( ) ( ) ,

.

m mx a t Ct

ξ = + +η =

(6)

В силу замены (6) уравнение (5) относительно функции ( , ) ( , )v w t xξ η = запишется в виде 0 .vη∂ = Отсюда общее решение этого уравнения есть ( )( , ) ( ),mv gξ η = ξ или ( ) ( ) ( )( ),m k kw g x a t C= + +

где g(m) – произвольная дифференцируемая функция .Продолжая таким образом интегрирование уравнения (3), получим общее его решение в ви-

де (4) .3. Рассмотрим теперь задачу Коши (3), (2) . Удовлетворяя решение (4) уравнения (3) условиям

Коши, получим систему уравнений

( )( ) ( ) ( )

1( ) ( ), 0, , 1 .( )

m jk j k k j

ka d g x C d x j m

=+ = = … −ϕ∑ (7)

Интегрируем уравнения (7) для 1, , 1 .j m= … − В результате получим алгебраическую систему

( ) ( ) (0) (0)

1( ) ( ) ,

m k k

kg x C x

=+ = ϕ +∑

(8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1( ) ( ) ( ) ( , ), 1, , 1 .

m k j k k j j j s

ka g x C x P x C j m

=+ = ϕ + = … −∑ ,

1

( ) ( , ) ( , )

0

1( , ) ,!

jj j s s j s

sP x C x C

s

−

=

=∑ 0! 1,= ( )0 0 .= Определитель левой части системы (8) представ-

ляет собой определитель Вандермонда [17, с . 50] и

( ) ( )

1( ) .i j

j i mA a a

≤ < ≤= −∏ (9)

Поскольку уравнение (1) является строго гиперболическим, то 0 .A ≠ Следовательно, систе-ма (8) имеет единственное решение, и определяется оно по правилу Крамера, т . е .

( ) ( ) ( )1( ) ( ( ) ( )) ,k k kg x C A x xA

+ = +ц Cφ



Беларуси

11

где

( )

(0)

(1) ( 1) ( 1) ( )(0, 0)(1)

(1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) 1( 1, )( 1) ( 1)

( ( ) ( ))

1 1 ( ) 1 1( )

.

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

k

k k m

m k m k m m mm sm m

A x x

xa a x C a a

a a x P x C a a

− +

− − − + − −−− −

ϕ + =

… ϕ …… ϕ + …

… … … … … … …… ϕ + …

C

(10)

В (10) k-й столбец (0) (1) (0, 0) ( 1) ( 1) ( 1, )( ) ( ) ( ( ), ( ) , , ( ) ( , ))m m m sx x x x C x P x C− − −ϕ + = ϕ ϕ + … ϕ +C рас-сматриваем как сумму двух столбцов (0) ( 1)( ) ( ( ), , ( ))mx x x−ϕ = ϕ … ϕ и (0, 0) (1, 0)( ) (0, ,x C C= +C

(1,1) ( 1) ( 1, ), , ( , )) .m m sxC x C− −… Тогда

( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) .k k kA x x A x A C xϕ + = ϕ +C

(11)

Согласно (4) и (11) решение задачи (3), (2) запишется через определители Вандермонда и типа Вандермонда в виде суммы

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1( , ) ( ) ( ) .m mk k k k

k ku t x A x a t A C x a t

A A= == ϕ + + +∑ ∑

(12)

Рассмотрим сумму определителей, которые представляют собой измененный определитель Вандермонда .A Здесь в A изменен k-й столбец ( ) ( )(1, , , ( ) )k k ma a… на столбец, который со-стоит из нулей и элемента ( ) ,( )

ska который находится на пересечении k-го столбца с ( j + 1)-й строкой, т . е .

( 1) ( 1) ( )(1)( )( 1, ) ( )(1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) 1( )( )

(1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) 1

1 1 0 1 1

( ) 0 ( ) ( )(( ) ) .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 ( ) ( )

k j k j m jjj k k s

j k j k j m jk s

m k m k m m m

a a a aB a

a a a a a

a a a a

− ++

+ − + + + +

− − − + − −

… …… … … … … … …

… …=

… …… … … … … … …

… …

Справедливо следующее утверждение Л е м м а 1 . Для любых различных действительных значений a(k), 1, , ,k m= … ( ( ) ( ) ,r pa a≠

,r p≠ , 1, , r p m= … )

( 1; ) ( )

1(( ) ) 0

m j k k s

kB a+

==∑

для 0, , 1 .s j= … − Доказательство проводится путем разложения каждого определителя ( 1; ) ( )(( ) )j k k sB a+ по

k-му столбцу, используя дополнительные миноры . Т е о р е м а 2 . если функции ( ) ( ),k kϕ ∈C R 0, , 1,k m= … − уравнение (3) является строго ги-

перболическим, то существует единственное решение u из класса ( )mC Q задачи (3), (2) и опре-деляется формулой

( ) ( )

1

1( , ) ( ) ,m k k

ku t x A x a t

A == ϕ +∑ (13)

где ( )mC Q – множество непрерывных и непрерывно дифференцируемых по t и x до порядка m включительно функций в замыкании Q области Q .

φ

φφ

φ φ

φ

φ

C

CCC



Беларуси

12

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение теоремы 2 является фактически итогом предыдущих рассуждений . В силу леммы 1 ( ) ( )

1( ) 0 .

m k k

kA x a t

=+ =∑ C Отсюда и из формулы (12) следует форму-

ла (13), которая дает решение задачи (3), (2) .4. Рассмотрим теперь задачу (1)–(2) . Поскольку она является линейной, то ее решение u мож-

но представить в виде суммы двух решений

(0) (1)( , ) ( , ) ( , ),u t x u t x u t x= + (14)

где u(0) − решение задачи (3), (2) и определяется формулой (13) . Тогда u(1) − решение неоднородно-го уравнения (1), удовлетворяющее однородным условиям Коши

( )1

00, , 0, , 1 .j

tt

u x j m=

∂ = ∈ = … −R

(15)

Для отыскания решения задачи (1), (15) воспользуемся результатами решения задачи (3), (2) . Пусть ( , , )w t xτ − решение задачи Коши:

( )

1

01

0

( ) ( , , ) 0,

( , , ) 0, 0, , 2,

( , , ) ( , ) .

mk

t xk

jt tmt x

a w t x

w t x j m

w t x f x

=

=

−

=

∂ − ∂ τ =

∂ τ = = … −

∂ τ = τ

∏

(16)

Введем обозначения: ( ) 2

0

1( , ) ( ) ( , ) ,( 2)!

xm mx x z f z dz

m−ϕ τ = − τ

− ∫ ( )( , ) (0, , 0, ( , )) .mx xϕ τ = … ϕ τ Че-

рез эти функции и формулу (13) будет определяться решение ( , , )w t xτ задачи (16) . Если сделать вычисления, получим функцию ( , , ),w t xτ определяемую формулой

( ) ( )

( ) ( )1

1,

1( , , ) ( , ) .( )

m m km

k ik

i i k

w t x x a ta a=

= ≠

τ = ϕ τ +−

∑∏

(17)

Функция u(1), представленная через ( , , )w t xτ по формуле

(1)

0( , ) ( , , ) ,

tu t x w t x d= − τ τ τ∫

(18)

будет решением задачи (1), (15) . Это легко проверяется непосредственной подстановкой в уравне-ние (1) и условия (15), используя при этом лемму 1 и то, что w является решением задачи (16) .

Объединяя формулы (17) и (18), получим формулу для функции u(1)

( ) ( )(1) ( ) 2

( ) ( )10 0

1,

1 1( , ) ( ( ) ) ( , ) .( 2)! ( )

kx a tt m k mm

k ik

i i k

u t x x a t z f z dzdm a a

+ −τ−

=

= ≠

= + − τ − τ τ− −

∑∫ ∫∏

(19)

Обозначим через 1( )C Q множество непрерывных и непрерывно дифференцируемых функ-ций, заданных на .Q

Т е о р е м а 3 . если уравнение (1) является строго гиперболическим, функции ( ) , 0, , 1,k k mϕ = … − условий (2) из класса ( ),kC R 1( ),f C Q∈ то существует единственное решение u из класса

( )mC Q задачи коши (1), (2), которое определяется через аналитические выражения с помощью формул (14), (13), (19).

φ



Беларуси


1 . D i B e n e d e t t o E . Partial Differential Equations . Dirkhauser; Djston; Basel; Berlin, 1995 . − 416 p .2 . Т и х о н о в А . Н ., С а м а р с к и й А . А . Уравнения математической физики . М ., 2004 . − 798 с .3 . М а т в е е в Н . М . Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений . М ., 1967 . − 564 с .4 . Е р у г и н Н . П . Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений . Минск, 1972 . − 664 с .5 . T r a n D u c V a n, M i k i o T s u j i, N g u e n D u y T h a i S o n The characteristic method and its generalizations

for first-order nonlinear partial differential equations . Boca Raton; London; New York; Washington, 2000 . − 237 p .6 . Г о р д и н г Л . Задача Коши для гиперболических уравнений . М ., 1961 . – 124 c . 7 . П е т р о в с к и й И . Г . // Мат . сб . 1937 . 2(44) . С . 815–870 . 8 . П е т р о в с к и й И . Г . // Мат . сб . 1939 . 5(47) . С . 152–166 . 9 . Р о й т б е р г Я . А . // Нелинейн . граничн . задачи . 1990 . 2 . С . 93–98 . 10 . Р о й т б е р г Я . А . // ДАН СССР . 1991 . Т . 316, 2 . С . 300–304 . 11 . Р о й т б е р г Я . А . // ДАН СССР . 1991 . Т . 318, 4 . С . 820–824 . 12 . L e r a y J . Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients . Prinston, 1952 . – 216 p . 13 . L e r a y J . Hyperbolic differential equations . New York, 1955 . – 238 p . (Рус . пер: Лере Ж . Гиперболические диф-

ференциальные уравнения . М ., 1984 . – 207 с .) .14 . T o r c h i n s k y A . The Fourier transform and the wave equation // arXiv: 0904 .3252v1 [math .AP] 21 Apr 2009 . 15 . М а м а д а л и е в Н . К . // Сибирский мат . журн . 2000 . Т . 41, 5 . C . 1087–1097 .16 . K r a g l e r R . // Computer Algebra Systems in Teaching and Research . Differential Equations, Dynamical Systems

and Celestial Mechanics . Siedlce, 2011 . P . 79–95 . 17 . К у р о ш А . Г . Курс высшей алгебры . М ., 1965 . − 432 с .

V. i. KOrZyuK, i. S. KOZlOVSKAyA

korzyuk@bsu .by; kozlovskaja@bsu .by

SOLVING THE CAUСHY PROBLEM OF THE HYPERBOLIC EQUATION FOR A HOMOGENEOUS DIFFERENTIAL OPERATOR IN THE CASE OF TWO INDEPENDENT VARIABLES

Summary

In the article, the solution of the Cauchy problem for the m-order hyperbolic equation with constant coefficients, where m is a positive integer and the operator of the equation is a composition of the first-order differential operators in the case of two independent variables, was found in the analytical form .



Беларуси

14


уДк 519.854.3:519.852.2

В. А. Шлык

О ВЕРШИНАХ ГЛАВНОГО МНОГОГРАННИКА ГОМОРИ

(Представлено членом-корреспондентом В. В. гороховиком)

институт математики нАн Беларуси, Минск Поступило 04.04.2011

Теоретико-групповой подход – один из основных в целочисленном линейном программиро-вании (ЦЛП) [1; 2] . Он был развит в 1960-х годах в работах Р . Гомори [3; 4] . При его применении задача ЦЛП заменяется ослабленной оптимизационной задачей на конечной абелевой группе g . Многогранник ее допустимых решений P(g, h, g0) есть выпуклая оболочка множества решений уравнения

0( ) ,

g ht g g g

∈=∑

где h – некоторое подмножество g, 0 .g g∈ При определенных условиях по оптимальному реше-нию групповой задачи удается построить решение исходной задачи ЦЛП . Фасеты (грани макси-мальной размерности) многогранника P(g, h, g0) дают сильные отсечения для задачи ЦЛП и широко применяются при ее решении методами ветвей и границ, отсечений и др . [5; 6] . Среди всех многогранников на g с различными h и g0 особое значение имеет главный многогранник Гомори

0 0( , ) ( , , ),P g g P g g g+=

где \0,g g+ = 0 – нулевой элемент g, так как из его вершин и фасет можно получить верши-ны и фасеты каждого группового многогранника P(g, h, g0) [1; 2; 4] .

Последующие работы о многогранниках на неабелевых группах, полугруппах и аддитивных системах, обобщающих классический групповой многогранник, привели к появлению полу-группового и субаддитивного подходов к решению задач ЦЛП, в том числе смешанных, см . [6; 7] . Интерес к теоретико-групповому подходу резко возрос в середине 1990-х годов, когда с его по-мощью научились строить практически применимые эффективные отсечения [7; 8] . В связи с важностью фасет групповых многогранников, их изучению уделялось основное внимание . О вершинах, за исключением некоторых оценок их числа, см . [6], в течение 40 лет после ключе-вой работы Гомори [4] ничего нового получено не было . Авторы [8] считают, что мы находимся сейчас только в начале понимания структуры главных многогранников Гомори, которые явля-ются «неприводимыми атомами целочисленного программирования» .

В работе исследуются вершины главного многогранника Гомори . Доказано, что все вершины P(g, g0) можно построить из некоторого подмножества вершин с помощью двух введенных ком-бинаторных операций . Более того, применение этих операций всякий раз приводит к смежным вершинам . Доказано, что вершины, полученные таким образом из некоторой вершины t, при-надлежат всем нетривиальным фасетам, содержащим t, а коэффициенты неравенств, определяю-щих эти фасеты, удовлетворяют определенным соотношениям . Доказательству результатов ра-боты существенно способствовало исследование политопа разбиений чисел [9–11], имеющего во многом сходную структуру .



Беларуси

15

В дальнейшем g – абелева группа порядка d > 2 . Главный многогранник P(g, g0) есть выпу-клая оболочка неотрицательных целочисленных решений ( ( ), )t t g g g+= ∈ уравнения

0( )g g

t g g g+∈

=∑ (1)

на группе g, являющихся точками пространства 1 .d− Для 0( , )t P g g∈ обозначим gt =

| ( ) 0 .tg g g t g+= ∈ > Фасеты многогранника P(g, g0) определяются неравенствами

0( ) ( ) ,g g

g t g+∈

π ≥ π∑ (2)

которые мы записываем в виде 0 ,tπ ≥ π где ( ( ), )g g g+π = π ∈ – векторы их коэффициентов . Фа-сеты подразделяются на два класса [1; 2; 4] . Тривиальные фасеты задаются неравенствами ( ) 0,t g ≥ ,g g+∈ определяющими координатные гиперплоскости 1,d−

а нетривиальные фасе-ты – неравенствами 0tπ ≥ π со свободными членами 0 0π > и векторами коэффициентов π, явля-ющимися базисными допустимыми решениями системы

0 0( ) ,gπ = π (3)

0 0 0( ) ( ) , , ,g g g g g g g+π + π − = π ∈ ≠

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), , ,g g g g g g g+π + π ≥ π + ∈ (4)

( ) 0, ,g g g+π ≥ ∈

в которой в случае 0 0g = условие (3) опускается .Р . Гомори [4] ввел понятие неприводимой точки многогранника P(g, g0) и показал, что все его

вершины неприводимы . Точка ( ( ), ),t t g g g+= ∈ решение (1), неприводима, если для любых то-чек 1, ,dr s −∈ удовлетворяющих условиям

0 ( ), ( ) ( ),r g s g t g≤ ≤ ( ) ( ) ,g g g g

r g g s g g+ +∈ ∈

=∑ ∑

следует, что r = s . Т е о р е м а 1 . Пусть целочисленная точка t многогранника P(g, g0) принадлежит его нетри-

виальной фасете, определяемой неравенством (2), ( ( ), ),u u g g g+= ∈ ,u t≠ – некоторая цело-численная точка с координатами 0 ( ) ( ),u g t g≤ ≤ ,g g+∈ и ( ) .

g gh u g g

+∈

= ∑ тогда справедливы

утверждения:а) точка ( ( ), )f f g g g+= ∈ с координатами ( ) ( ) ( )f g t g u g= − для ,g g+∈ ,g h≠ и f(h) =

( ) ( ) 1f h t h= + принадлежит всем нетривиальным фасетам P(g, g0), содержащим t;б) коэффициенты фасеты, определяемой (2), удовлетворяют соотношению ( ) ( ) ( ) .

tg gh u g g

∈π = π∑

Д о к а з а т е л ь с т в о . Приведем схему доказательства . Вычислив сумму ( ) ,g g

f g g+∈

∑ убе-

димся, что f – решение (1) . Пусть неравенство 0tπ ≥ π определяет нетривиальную фасету, содер-жащую t . Тогда 0( ) ( ) .

g gg f g

+∈

π ≥ π∑ Из (4) получаем, что ( ) ( ) ( ) .tg gu g g h

∈π ≥ π∑ Отсюда выводим

неравенство 0( ) ( ) :g g

g f g+∈

π ≤ π∑

\

\ \ \

0

( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

g g g g h

g g h g g h g g h

g g

g f g g t g u g g t h

g t g g u g g t h g u g

g t g

+ +

+ + +

+

∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈

π = π − + π + ≤

π − π + π + π =

π = π

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑



Беларуси

16

Получаемое в итоге равенство 0( ) ( )g g

g f g+∈

π = π∑ доказывает утверждение а) . Проанали-

зировав вычисления, обнаруживаем, что полученное равенство возможно только в случае ( ) ( ) ( ),

tg gh u g g

∈π = π∑ откуда следует утверждение б) . Теорема доказана .

Введем две комбинаторные операции, частично определенные на множестве решений груп-пового уравнения (1) .

О п е р а ц и я , .h fµ Пусть t – целочисленная точка многогранника P(g, g0) и ( ), ( ) 0;t h t f > для определенности считаем ( ) ( ) .t h t f≤ Построим точку , ( )h fs t= µ с компонентами ( ) 0,s h =

( ) ( ) ( ),s f t f t h= − ( ) ( ) ( )s h f t h f t h+ = + + и ( ) ( )s g t g= для ,g g+∈ , , .g h f h f≠ +О п е р а ц и я μh . Пусть t – целочисленная точка многогранника P(g, g0) и th g∈ таково, что

( ) 1 .t h > Построим точку ( )hs t= µ с компонентами ( ) 0,s h = ( ( ) ) ( ( ) ) 1s t h h t t h h= + и ( ) ( )s g t g= для ,g g+∈ , ( ) .g h t h h≠

Т е о р е м а 2 . если t – вершина многогранника P(g, g0), удовлетворяющая условиям ( ), ( ) 0t h t f > (соответственно ( ) 1t h > ), то и точка , ( )h f tµ (соответственно, ( )h tµ ) – вершина

P(g, g0) .Д о к а з а т е л ь с т в о . Поясним как доказывается теорема в случае операции , .h fµ Вы-

числив ( ) ,g g

s g g+∈

∑ убедимся, что , 0( ) ( , ) .h fs t P g g= µ ∈ Предположим, что s не является верши-

ной P(g, g0) . Тогда s есть выпуклая комбинация некоторых решений sq уравнения (1): 1

,k

q qq

s s=

= λ∑

11, 0 .

kq q

q=λ = λ >∑ Учитывая неприводимость t, можно показать, что тогда t является выпук-

лой комбинацией 1

kq q

qt

=λ∑ точек 0( , ),qt P g g∈ 1 ,q k≤ ≤ с компонентами ( ) ( );q qt h s h f= +

( ) ( ) ( );q q qt f s h f s f= + + ( ) 0qt h f+ = и ( ) ( )q qt g s g= для ,g g+∈ , , .g h f h f≠ + Но это проти-воречит тому, что t вершина P(g, g0) . Доказательство для ( )h tµ проводится аналогично . Теорема доказана .

Из теоремы 2 следует, что множество тех вершин многогранника P(g, g0), которые не явля-ются результатами применения операций ,h fµ или hµ к другим вершинам, образует вершин-ный базис множества всех вершин P(g, g0) .

Т е о р е м а 3 . если вершины t и s многогранника P(g, g0) таковы, что , ( )h fs t= µ для неко-торых , th f g∈ или ( )hs t= µ для некоторого ,th g∈ то t и s смежные вершины P(g, g0) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Приведем схему доказательства теоремы для вершин t и , ( ) .h fs t= µ Достаточно показать, что можно выбрать такие наборы Ft и Fs из d – 1 фасет многогранника P(g, g0), содержащих, соответственно, вершины t и s, что векторы коэффициентов неравенств, определяющих фасеты из каждого набора, линейно независимы и наборы различаются лишь одной фасетой . Тогда вершины t и s принадлежат ребру многогранника . Включим в Ft тривиаль-ные фасеты, определяемые неравенствами ( ) 0,t g ≥ \ ,tg g g+∈ и tg содержащих t нетриви-альных фасет многогранника P(g, g0), которые выберем таким образом, чтобы векторы коэффи-циентов всех неравенств были линейно независимы . В силу неприводимости t фасета, определя-емая неравенством ( ) 0,t h f+ ≥ войдет в Ft . Набор Fs построим из набора Ft, заменив ее фасетой, определяемой неравенством ( ) 0 .t h ≥ По теореме 1 все нетривиальные фасеты из Ft содержат s, а коэффициенты определяющих их неравенств удовлетворяют равенству ( ) ( ) ( ),h f h fπ + = π + π из которого следует линейная независимость векторов коэффициентов неравенств, определяю-щих фасеты из набора Fs . Как и требовалось, наборы Ft и Fs различаются всего лишь одной фасетой .

Для вершины ( )hs t= µ утверждение доказывается аналогичным образом . Теорема доказана .Автор благодарен Р . Гомори, Э . Джонсону и Ж .-Ф . Ришару за информацию о состоянии

исследований рассматриваемого многогранника и В . М . Демиденко за замечания по тексту работы .



Беларуси


1 . Х у Т . Целочисленное программирование и потоки в сетях . М ., 1974 .2 . С х р е й в е р А . Теория линейного и целочисленного программирования . М ., 1991 . Т . 2 .3 . G o m o r y R . E . // Proc . National Academy Sci . 1965 . Vol . 53 . P . 260–265 .4 . G o m o r y R . E . // Linear Algebra and Its Applications . 1969 . Vol . 2, 4 . P . 451–558 . DOI:10 .1016/0024-3795(69)90017-2 .5 . G o m o r y R . E ., J o h n s o n E . L . // Math . Program . 2003 . Vol . 96, 2 . P . 341–375 . DOI: 10 .1007/s10107-003-0389-3 .6 . Ш л ы к В . А . // Известия АH СССР . Техническая кибернетика . 1988 . 1 . С . 94–105 .7 . R i c h a r d J .-P . P ., D e y S . S . // 50 Years of Integer Programming 1958–2008: From the Early Years to the State-of-

the-Art, Jünger M . et al . (eds .) . Berlin; Heidelberg, 2010 . P . 727–801 . DOI: 10 .1007/978-3-540-68279-0_19 .8 . G o m o r y R . E ., J o h n s o n E . L ., E v a n s L . // Math . Program . 2003 . Vol . 96, 2 . P . 321–339 . DOI: 10 .1007/

s10107-003-0388-4 .9 . S h l y k V . A . // European J . Combin . 2005 . Vol . 26, 8 . P . 1139–1153 . DOI:10 .1016/j .ejc .2004 .08 .004 .10 . Ш л ы к В . А . // Докл . НАН Беларуси . 2009 . Т . 53, 6 . С . 27–32 .11 . Ш л ы к В . А . // Вестн . БГУ . Сер . 1 . 2010 . 1 . С . 153–156 .

V. A. ShlyK

v .shlyk@gmail .com

VERTICES OF THE MASTER GOMORY POLYHEDRON

Summary

We provе that there exists a subset of vertices of the master Gomory polyhedron, from which all other vertices can be built with the use of two combinatorial operations . Moreover, these operations transform vertices to adjacent ones and leave them on the same nontrivial facets . We also establish interrelations between the coefficients of inequalities which define nontrivial facets containing a given vertex .



Беларуси

18


уДк 511.42

н. В. БуДАринА1, Д. Диккинсон2, В. и. Берник3

О ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЯХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛИНОМОВ В ОКРЕСТНОСТИ ИХ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ

(Представлено членом-корреспондентом В. и. янчевским)

1Владимирский государственный педагогический университет, Владимир, россия 2университет г. Мейнус, ирландия 3институт математики нАн Беларуси, Минск Поступило 11.04.2011

Пусть ][ . . .)( 011

1 xaxaxaxaxP nn

nn Ζ∈++++= −

− и ini aPhh ≤≤== 0max)( – его высота . Пусть rx ∈0 и для некоторого 01 >w выполняется неравенство

.)( 10

whxP −< (1)

Обозначим через α1, …, αn C корни P(x), и будем считать, что α1 – ближайший к x0 корень . Сле-дующий вопрос является весьма естественным и возникает в ряде задач теории диофантовых приближений: является ли α1 действительным или комплексным числом? Ответ на этот вопрос имеет принципиальное значение . Если α1 r, то при любом ε > 0 множество решений неравен-ства 1x −α < ε непусто . Если же 1 1 2iα = γ + γ , то при 2ε < γ множество действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству 1 ,x −α < ε пусто .

В работе [3] доказано, что для n 2 и w1 > 2n – 3 при достаточно большом h > h0(n) корень α1 r . Тогда возникает другой вопрос: насколько точна оценка w > 2n – 3? В [3] показано, что при

21nw < корень α1 может иметь ненулевую мнимую часть . Данная работа посвящена исследова-

нию неравенства (1) при .322 1 −≤≤ nwn Оказывается для «большинства» чисел x0 оценку слева

для w1 можно увеличить . Оценка справа для w1 при дополнительной информации о P(x) и значе-ниях его производных в x0 может оставаться без изменения, а может быть и значительно умень-шена . Далее предполагается, что h > h0(n) .

Пусть в точке x0 для некоторых положительных δ0, c0, w2 выполняется система неравенств

1 1

0 0 0( ) ;w wh P x c h− −δ < <

2 2

0 0 0( ) ;w wh P x c h− −′δ < <

(2)

0 0 0( ) .h P x c h′′δ < <

О разрешимости (2) дополнительная информация содержится в доказательстве теоремы 5 .Т е о р е м а 1 . При w1 > 2n – 3 корень α1 r .Т е о р е м а 2 . если P(x) неприводим, то неравенства

w1 > 2n – 3, 2w2 + 1 > w1 (3)

в (2) невозможны .Т е о р е м а 3 . если 2 12 1 2 3w w n+ < ≤ − , то 1 rα ∈ .Т е о р е м а 4 . если 1 2 3w n≤ − , 1 22 1w w< + и точка x0, для которой выполняется (2) суще-

ствует, то 1 \C rα ∈ .



Беларуси

19

Определим класс многочленов при достаточно большом Q n∈ :

( ) ( ) [ ] : deg , ( ) .nP Q P x Z x P n h P Q= ∈ ≤ ≤

Т е о р е м а 5 . существует не менее 11

3 21( )

n

c n Qε+

− полиномов ( ) ( )nP x P Q∈ , у которых два

комплексно-сопряженных корня 1α и 2 1α = α удовлетворяют неравенству

11

3 21 2 2 ( )

n

c n Qε+

− +α − α < . (4)

Далее через 1 1( ), ( ), . . .,с с n c c n= = будем обозначать величины, зависящие от n и не зависящие от h и Q . Для двух величин A и B будем употреблять символ Виноградова A B<< , если суще-ствует c > 0, что A < cB . В работах [4], [5], [8] теорема 5 доказана для сопряженных алгебраиче-ских чисел . Мы считаем, что случай комплексно-сопряженных чисел значительно труднее . Пе-рейдем к доказательству теорем . Некоторые детали доказательств будут приведены схематично, о чем будет сказано в тексте .

Теорема 1 доказана в [3] . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3 .Третье неравенство в (2) выполняется для всех 1x i∈ ,

1 0: , 0 .i x r x x h −ε= ∈ − < ε >

В самом деле, по теореме Лагранжа

0 1 0 1 0( ) ( ) ( )( ), ( , ) .P x P x P x x x x′′ ′′ ′′′= + θ − θ ∈

Так как 11 0( )( )P x x h −ε′′′ θ − << , то при 0 ( , )h h n> ε и 1x i∈ неравенство (2 .3) можно переписать

в виде

0 01/ 2 ( ) 2h P x c h′′δ < < . (5)

При раскрытии знака модуля в (2) возникает несколько возможностей . Рассмотрим одну из них: в первом и третьем неравенстве (которое заменим на (5)) значения P(x0) и ( )P x′′ , 1x i∈ , положи-тельны, а 0( )P x′ отрицательно . Это означает, что в некоторой окрестности x0 многочлен убыва-ет, и на всем интервале i1 график P(x) обращен выпуклостью вниз . Докажем, что в интервале

2 132 0 0: 1/ 2 wi x r x x n h − −−= ∈ − < δ

выполняется неравенство 2 20 02 ( ) 1/ 2 .w wc h P x h− −′− < < − δ Запишем ( )P x′ в окрестности x0 в виде

0 2 0 2 0( ) ( ) ( )( ), ( , ) .P x P x P x x x x′ ′ ′′= + θ − θ ∈ (6)

Из оценок 2 213 32 0 0 0( )( ) 1/ 2 1/ 2 ,w wP x x n h n h h− − −−′′ θ − < δ = δ 2 2

0 0 0( )w wc h P x h− −′− < < δ получаем требуемое . Возьмем 1 21

1 0 0 04 .w wx x c h − +−= + δ Условие 1 22 1w w> + обеспечивает 1 1x i∈ и 1 2x i∈ при 0 ( ) .h h n> Из записи P(x1) в виде

1 0 3 1 0 3 0 1( ) ( ) ( )( ), ( , ) .P x P x P x x x x′= + θ − θ ∈

при предположении 1( ) 0P x > получаем противоречие, так как 10 1 0( ) ( ) ,wP x P x c h −− < а

2 1 2 113 1 0 0 0 0( )( ) 1/ 2 4 2 .w w w wP x x h h c h− − + −−′ θ − > δ δ = Это означает, что P(x1) < 0 . Многочлен P(x)

принимает в точках x0 и x1 значения разных знаков . Значит, существует действительное число 1 0 1[ , ],x xα ∈ что 1( ) 0P′ α = и

1 2

0 1 .w wx h − +− α <<

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4 .Рассмотрим интервал 3 1,i i⊂ определяемый неравенством



Беларуси

20

2 113 0 0 0: 4 ,wi x r x x c h − −−= ∈ − ≤ δ

и докажем, что на нем производная ( )P x′ имеет действительный корень . Возьмем точку 2 11

2 0 0 04 .wx x c h − −−= + δ Из разложения

2 0 4 2 0 4 0 2( ) ( ) ( )( ), [ , ] .P x P x P x x x x′ ′ ′′= + θ − θ ∈

в предположении 2( ) 0P x′ < получаем противоречие . В самом деле, тогда 22 0 0( ) ( ) ,wP x P x c h −′ ′− <

а 2 2114 2 0 0 0 0 0( )( ) 1/ 2 4 2 .w wP x x h c h c h− − −−′′ θ − > δ δ = Поэтому 2( ) 0P x′ > и на отрезке 0 2 3[ , ]x x i⊂

производная ( )P x′ имеет действительный корень β1 и

2 11

1 0 0 04 .wx c h − −−β − < δ (7)

При 1 22 1w w< + и равенстве

1 0 5 1 0 5 0 1( ) ( ) ( )( ), [ , ]P P x P x x′β = + θ β − θ ∈ β

из (7) и оценок 10 0( ) ,wP x h −> δ 23 1

5 0 0( ) 5 wP c n h −−′ θ ≤ δ следует, что 1( ) 0 .P β > Учитывая выпу-клость вниз P(x) на интервале i1 заключаем, что на интервале i1 многочлен не имеет действи-тельных корней . Однако хорошо известно [1; 7], что если α1 ближайший к x0 корень P(x) и вы-полняются условия (2), то

1 12

0 1 .w

x h+

−− α << (8)

Заключаем, что α1 – комплексный корень и у него есть комплексно-сопряженный корень 1α , который обозначим α2 . Из (8) и неравенства 1 2 0 1 0 2 0 12x x xα −α ≤ −α + −α = −α следует, что

1 12

1 2 .w

h+

−α − α << (9)

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 .Из теоремы 4 следует, что в некоторой окрестности точки x0 существуют два комплексно-

сопряженных корня α1 и α2 многочлена P(x) и корень 1β производной ( )P x′ . Так как P(x) непри-водим, то результант ( , )r P P′ многочленов P(x) и ( )P x′ не равен нулю, откуда из представления результанта ( , )r P P′ в виде определителя следует, что ( , ) .nr P P a′ ≥ Будем считать, что na имеет порядок высоты . В этом случае все корни P(x) ограничены . Общий случай, когда na мень-ше 1 ( )h Pδ при малых 1 0δ > , сводится к рассматриваемому различными методами [1; 7] . Из не-равенства

1

2

112

1 0 0 1 max( , ), 1, 2,w

wi ix x h h i

+− − −α −β ≤ −α + −β << =

и оценок результанта

2 1

1 1 2 1( , ) nh r P P h −′≤ << α −β α −β

вытекает неравенство

( )21 2 112 21 max( , ),wwnh h h − +− −−<<

которое для 1 2 3w n> − и 2 12 1w w+ > противоречиво при 0 ( )h h n> .Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 5 .При

1 2 1w w n+ = − (10)

с помощью принципа ящиков Дирихле нетрудно доказать, что существует 0 0 ( )c c n= , что в си-стеме неравенств (2) выполняются оценки сверху . Обозначим через 1 2( , )n nl l w w= множество

[ , ] [0,1),x i a b∈ = ⊂ для которых система (2) разрешима в полиномах ( ) ( ) .nP x P Q∈ В работе [6] доказано, что существует константа 0 0 ( ),nδ = δ при которой ( ) 1/ 2( ) .nl b aµ > − Возьмем 1 .nx l∈



Беларуси

Тогда найдется полином 1( ) ( ),nP x P Q∈ 0 ,δ 0 ,c для которых (2) выполняется в точке x1 . Потре- буем выполнение неравенства 2 12 1w w+ > , которое с учетом (10) приводит к неравенству

22 .

3nw −

>

Возьмем 1 0ε > и 2 12

3nw −

= + ε , 1 12 1

3nw −

= − ε . В теореме 4 доказано, что в этом случае у по-

линома P1(x) есть два комплексно-сопряженных корня 1α и 2α , такие, что

11

3 21 1 1 2 ,

n

x x hε+

− +− α = −α <<

113 2

1 2 .n

hε+

− +α − α <<

Ясно, что можно считать, что .h Q>> Возьмем другую точку x2 вне интервала 11

3 21 .

n

x x Qε+

− +− << Для нее в круге

113 2

2

n

z x Qε+

− +− << также найдется два комплексно-сопряженных

корня многочлена P2(x) . Полином P2(x) может совпадать с полиномом P1(x) не более чем для 2n

точек из таким образом построенных 1 22

, , . . ., .nnx x x l

∈ Обозначим через 1 2( ), ( ), . . ., ( )sP x P x P x

полиномы из ( ),nP Q для которых существуют точки из ln . Суммарная мера интервалов 11

3 2n

ix x Qε+

− +− << не превосходит

113 2( ) .

2

nnc n s Qε+

− +

Тогда

113 2( ) 1/ 2( ),

2

nnc n s Q b aε+

− + > −

113 2 ,

n

s Qε+

−>>

что и доказывает теорему 5 .


1 . B e r n i k V . I . // Acta Arith . 1983 . Vol . 42 . P . 219–253 .2 . B e r e s n e v i c h V . V . // Acta Arith . 1999 . Vol . 90 . P . 97–112 .3 . Б у д а р и н а Н . В ., Б е р н и к В . И ., О’Д о н н е л л Х . // Весці НАН Беларусі . Сер . фіз-мат . навук . 2011 . 1 .

С . 118–119 .4 . B e r e s n e v i c h V . V ., B e r n i k V . I ., G o t z e F . // Composito Math . 2010 . Vol . 146, 5 . P . 1165–1179 .5 . Б е р е с н е в и ч В . В ., Б е р н и к В . И ., Г е т ц е Ф . // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 22–23 .6 . B e r e s n e v i c h V . V . // http://arxiv .org/abs/0906 .4286, 2009 .7 . С п р и н д ж у к В . Г . Проблема Малера в метрической теории чисел . Минск, 1967 . – 184 с .8 . B u g e a u d Y ., M i g n o t t e M . // Proc . Edinb . Math . Soc . (2) 2004 . Vol . 47 . P . 553–556 .

n. V. BudArinA, n. d. diCKinS, V. i. BErniK

bernik|@im .bas-net .by

REAL AND COMPLEX ROOTS OF INTEGER POLYNOMIALS IN THE NEIGHBORHOOD OF THEIR SMALL VALUES

Summary

Conditions are found for the value of an integer polynomial, its first and second derivatives, for which the closest root to argument belongs to the field of real or complex numbers . Estimations from below for the number of polynomials of the bounded degree and height, which have close complex-conjugate roots, are proved .



Беларуси

22


уДк 517.5

П. П. зАБреЙко1, Ю. В. короц2

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ТЕОРЕМЫ МИНТИ–БРАУДЕРА

(Представлено членом-корреспондентом В. В. гороховиком)

1институт математики нАн Беларуси, Минск 2Белорусский государственный университет, Минск Поступило 11.04.2011

В работах [1–4] было установлено, что если оператор A удовлетворяет переменному условию Липшица с некоторой неотрицательной на отрезке функцией k(r), то при выполнении некоторых дополнительных условий можно установить существование и единственность решения уравнения x = Ax (1)в некотором кольце, причем единственность обнаруживается и при k(r) > 1 .

Естественным образом возникает вопрос о возможности перенесения соображений из вы-шеупомянутых источников к другим принципам однозначной разрешимости . В данном сообще-нии рассматривается возможность применения этих соображений к уравнению

Fx = 0, (2)

для которого выполнены условия Минти–Браудера . В вышеуказанных работах удалось полу-чить существенные результаты именно для уравнения (1), поэтому ограничимся ситуацией, ког-да F имеет вид F = i – A,чтобы применить полученные результаты к уравнению (2) . Таким образом, в данной работе по-пытаемся распространить полученные для уравнения (1) результаты на ситуации, когда приме-ним принцип Минти–Браудера .

1. Модификация принципа Минти–Браудера. Напомним, что оператор F, действующий из гильбертова пространства X в сопряженное пространство X*, называется монотонным (строго монотонным) по Минти–Браудеру, если для всех x1, x2 ∈ X выполнено условие

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) 0 ( , ) 0( ) .Fx Fx x x Fx Fx x x− − ≥ − − > (3)

Напомним также, что отображение F, действующее из X в X*, называется хеминепрерывным в точке x0 ∈ B[x0, r], если F(x0 + tx) → F(x0) при t → 0 для любых x ∈ B[x0, r], и h таких, что x + th ∈ B[x0, r] при достаточно малых положительных t .

Принцип Минти–Браудера утверждает, что если для хеминепрерывного и монотонного опе-ратора F выполнено на сфере S(x0, r) = x : || x – x0|| = r неравенство

0( , ) 0,Fx x x− ≥ (4)

уравнение (2) имеет по крайней мере одно решение x* в шаре B[x0, r], причем это решение един-ственно в шаре B[x0, r], если оператор F строго монотонный .

Пусть A – оператор в гильбертовом пространстве X, удовлетворяющий одностороннему (и переменному) условию Липшица вида

2

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( , , 0 ),Ax Ax x x k r x x x x r r r− − ≤ − ≤ < ≤ (5)

где k(r) – неотрицательная на [0, r] функция или даже вида



Беларуси

23

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( , , 0 , ) .Ax Ax x x k r x x x x r r r x x− − < − ≤ < ≤ ≠ (6)

Пусть r – фиксировано . Рассмотрим уравнение (1) в шаре 0 0[ , ] : .B x r x x x r= − ≤ Для опе-ратора A условия Минти–Браудера выполнены, если справедливо неравенство (5) с ( ) 1,k r ≤ и на сфере 0 0[ , ] : S x r x x x r= − = выполнено неравенство

0( , ) 0,x Ax x x− − ≥ (7)а также условие хеминепрерывности . Тогда по принципу Минти–Браудера уравнение (1) имеет в шаре B[x0, r] по крайней мере одно решение . Более того, это решение и единственно, если вы-полнено более строгое, чем (5), условие (6) .

Верна следующаяЛ е м м а 1 . Пусть оператор A удовлетворяет одностороннему (и переменному) условию

липшица вида (5) с неотрицательной функцией k(r), и ( ) ,a r r≤ где

0 0

0 ( ) ( )d , .r

a r a k t t a x Ax= + = −∫ (8)

тогда выполняется неравенство (7).Д о к а з а т е л ь с т в о . Для проверки условия (7) покажем, что при выполнении условия (5)

справедливо неравенство

0 0 0

0( , d ) ( ) ( ) .

rAx Ax x x k t t r x x r− − ≤ − =∫ (9)

Обозначим далее для некоторого фиксированного x

01 ,z x x

s sσσ σ = − +

1 0 0 1 0 1

1

1 ( ), ( ), . s

z z x x x x s z z Ax Ax Az Azsσ σ− σ σ− σ σ−

σ=− = − − = − − = −∑

Тогда в (9) при 0x x r− = получим

20 0 1 1 1 2 1

1 1

2 01 2 1 0 1 2 1 0

1 1

( , ) ( , )

1 ( ) ( ) .

1s s

s s

Ax Ax x x s Az Az z z s k r r z zs

x xk r r r x x k r r r x x

s s s s

sσ σ− σ σ− σ σ−σ= σ=

σ= σ=

σ− − ≤ − − ≤ + − ≤

−σ σ − − − ≤ − − −

σ −∑ ∑

∑ ∑

Переходя к пределу при s → ∞, для интегральной суммы выполняется (в данном случае r2 = r, r1 = 0)

00

1 21 0

( )d .1x xs x x

k r r k t ts ss

−

σ=

−σ+ →

σ −∑ ∫

Таким образом, очевидно, что неравенство (9) выполняется .Вернемся к рассмотрению условия (7):

0 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0

20 0 0 0

0 0

)( , ) (( ) ( ) ( ),

( , ) ( , )

( )d ( ( )d ) .r r

x Ax x x x x Ax Ax Ax x x x

x x Ax Ax x x Ax x x x

r k t t r Ax x r r k t t Ax x r

− − = − − − − − − =

− − − − − − − ≥

− − − ≥ − − −∫ ∫

(10)

В силу того, что по условиям леммы ( ) ,a r r≤ a функция a(r) определена в (8), получаем

0 00

( )d 0 ,r

r k t t Ax x− − − ≥∫ значит, в (10) получаем 0( , ) 0,x Ax x x− − ≥ следовательно неравен-

ство (7) доказано .Лемма доказана .



Беларуси

24

Таким образом по принципу Минти–Браудера получаем, что неподвижная точка оператора A существует в шаре B[x0, r], где *

( ) 1и s . upcr cr

k rr r r r r

≤< ≤ =

Однако в лемме 1 было показано, что для выполнения условия (7) требовать ( ) 1k r ≤ необяза-тельно, а достаточно ( ) .a r r≤

Таким образом справедлива следующаяТ е о р е м а 1 . Пусть A – хеминепрерывный оператор. Пусть далее функция a(r), определен-

ная в (8), имеет неподвижные точки на интервале [0, r], наименьшая из которых точка r*, и пусть

*

** sup : ( ) .r r r

r r a r r< ≤

= < Пусть также оператор A удовлетворяет на шаре B[x0, r] усло-

вию (5) с некоторой неотрицательной на [0, r] функцией k(r) (условию (6) в случае r* = rcr) .тогда для оператора A существует неподвижная точка * *

0[ , ],x B x r∈ единственная в ша-рах B[x0, r], где * ** .r r r≤ <

Теорема 1 позволяет установить, что неподвижная точка оператора A лежит в шаре B[x0, r], где * **,r r r≤ ≤ где

*

** sup : ( ) .r r r

r r a r r< ≤

= <

2 . Приложение к уравнениям Гаммерштейна . Рассмотрим нелинейное интегральное урав-нение Гаммерштейна

( ) ( , ) ( , ( ))dx t k t s f s x s s

Ω= ∫ (11)

в пространстве lp[a, b], 2 < p < ∞ . Здесь Ω – ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства; x(t) (t ∈ Ω) – неизвестная функция со значениями в n-мерном пространстве n; матрица-ядро k(t, s) (t, s ∈ Ω) измерима по совокупности переменных и симметрична ([k(t, s)]* = k(s, t)); f(s, u) (s ∈ Ω, u ∈ n) – функция со значениями в n, удовлетворяющая условиям Каратеодори (т . е . измеримая по s при всех u ∈ n и непрерывная по u почти при всех s ∈ Ω) .

Будем предполагать, что определяемый матрицей-ядром k(t, s) линейный интегральный опе-ратор

( ) ( , ) ( )Kx t k t s x s ds

Ω= ∫

действует из [ , ]pl a b′ в [ , ],pl a b а оператор суперпозиции

[ , ( )]fx f s x s= (12)

действует из [ , ],pl a b в [ , ],pl a b′ где [ , ],pl a b вложено в гильбертово пространство 2[ , ]l a b функ-ций с суммируемым скалярным квадратом (x(s), x(s)) со скалярным произведением

( , ) ( ( ), ( )) .x y x s y s ds

Ω= ∫



Беларуси

25

Предположим, что ядро k(t, s) оператора K положительно определено . В этом случае оператор K допускает представление (более детально в [7]) K = hh*, (13)

где h – действующий из 2[ , ]l a b в [ , ]pl a b линейный оператор, а h*, продолжение на pl ′ сопря-

женного к h оператора, – оператор, действующий из [ , ]pl a b′ в 2[ , ]l a b . Функции [ , ]px l a b∈ вида

2( [ , ])x hy y l a b= ∈ (14)

называются регулярными . Покажем, что задача об отыскании регулярных решений уравнения (11) равносильна решению уравнения

*( ) .y Ay A h fh= = (15)

Если y* решение в 2[ , ]l a b уравнения (15), то x* = hy* – регулярное решение уравнения (11) в [ , ]pl a b . Действительно, уравнение (11) представимо в виде

x = Kfx . (16)Далее, (16) в силу (13) и (14) преобразуется в

hy = hh*fhy . (17)Если из hx = 0 следует x = 0 (а значит и из h*x = 0, следует x = 0), можно утверждать, что если

y* – решение уравнения y = Ay (15), то x* = hy* – решение уравнения x = Kfx (11) .Далее будем предполагать, что существуют

2

( ) pp

a s l−

∈ и b >0 такие, что

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( ( , ) ( , ), ) ( ( ) ) .) ( ,pf s u f s u u u a s b u u u u u u−− − ≤ + − ≤ (18)

Положим

2

2,

( ) inf ( ),p

p

pla b

r a br−

−γ = + (19)

где inf берется по всем 2

( ) pp

a s l−

∈ и b > 0, для которых справедливо неравенство (18) .

Л е м м а 2 . При выполнении условия (18) оператор суперпозиции fx(s), определенный в (12), удовлетворяет условию

2

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) .p p pl l lfx fx x x r x s x s x x r− − ≤ γ − ≤ (20)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно из (18) при фиксированном a(s) и b вытекает

( )

( )

( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

221 2 1 2

2 2

2 21 2 1 2

2

2 1 2

( , ) ( , ( )) ( , ( )), ( ) ( ) d

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) d

( ) ( ( ) ( ) ) d ( ) ( ) d

(( ( ) d ) ( ) ( ) d

p

pp p ppp p

ppppp

fx fx x x f s x s f s x s x s x s s

a s b x s x s x s x s s

a s b x s x s s x s x s s

a s s b x s x s s

Ω

−

Ω−

− −

Ω Ω

−

−Ω Ω

− − ≤ − − ≤

+ ∨ − ≤

+ ∨ − ≤

+

∨

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

2

2

21 2

2 21 2 1 2( ) ( ) ( ) .

p

pppp

pp

l

plll

x x

a s b x s x s x x−

−

−

− ≤

+ ∨ −

(21)



Беларуси

26

Здесь, как обычно, 1 2 1 2( ) ( ) max ( ) , ( ) .x s x s x s x s∨ =Пусть теперь 1 2,

p pl lx x r< и 0δ > такие, что 1 2, .p pl lx x r≤ − δ Пусть n такое целое,

что 2r < nδ . Положим

1 21 , 0,1, , .n

n nx x n nn n

ψ = − + = …

Тогда

1 2 1 2 1 1 2 1 1

0 0( , ) ( , ) ( , )

n nn n n n n n

n nfx fx x x f f x x n f f− − −

= =− − ≤ ψ − ψ − ≤ ψ − ψ ψ −ψ∑ ∑

и из (21) получаем

2

2

2 21 2 1 2 1 1

0

2 21 1 2

0

( , ) ( ( ) ( ) )

1 ( ( ) ( ) ) .

pp

p

p pp

n pn n n n l

n l

n pn nl l

n

fx fx x x n a b s s

a b s s x xn

−

−

−− −

=

−−

=

− − ≤ + ϕ ∨ ϕ ψ −ψ =

+ ϕ ∨ ϕ −

∑

∑

Далее, 1 1 21 12 .

ppn n ll x x rn n−ψ −ψ ≤ − ≤ < δ Поэтому,

1 1 1 1( ) ( ) 0 ,

p ppn n n n n n nl ll

s s r r r− − − −ψ ∨ ψ = ψ + ∨ ψ − ψ ≤ − δ + ψ − ψ ≤ − δ + δ =

а значит, ( ) .plr s r≤

Таким образом, получаем

2

221 2 1 2 1 2( , ) ( ) ,

p pp

pl lfx fx x x a br x x

−

−− − ≤ + −

а следовательно

2

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ,plfx fx x x r x x− − ≤ γ −

где ( )rγ определяется в (19) .Лемма доказана .Рассмотрим

2

* *1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ,l

Ay Ay y y h fhy h fhy y y fhy fhy hy hy

r hy hy r h y y r K y y k r y y

− − = − − = − − ≤

γ − ≤ γ − = γ − = − (22)

где ( ) ( ) .k r K r= γТогда уравнение y Ay= (15) имеет решение * *

0 2[ , ] ,y B y r l∈ ⊂ единственное в шарах

0[ , ],B y r где * **,r r r≤ < где r* – наименьшее решение скалярного уравнения r = a(r), где

2

20 0 ,0

( ) inf ( )dp

p

rp

la ba r y Ay K a bt t

−

−= − + +∫ (23)

и *

** sup : ( ) .r r r

r r a r r< ≤

= <

Так как задача об отыскании регулярных решений (11) равносильна решению уравнения (15), то уравнение x = Ax также имеет решение * * * *

0 0[ , ] [ , ] ,px hy B x r B hy r l= ∈ = ⊂ единственное



Беларуси

в шарах 0 0[ , ] [ , ],B x r B hy r= где * **,r r r≤ < где r* – наименьшее решение скалярного уравнения r = a(r), где a(r) из (23) . Таким образом справедлива следующая

Т е о р е м а 2 . Пусть положительно определенное ядро k(t, s) является ядром линейного ин-тегрального оператора K, действующего из pl ′ в lp . Пусть далее нелинейность f(s, u) удовлет-воряет неравенству (18) с некоторыми

2

( ) pp

a s l−

∈ и b > 0 . Пусть наконец функция a(r), опреде-

ленная в (23), имеет неподвижные точки на интервале [0, r], наименьшая из которых точка r* .тогда уравнение (11) имеет единственное решение x* в шаре B[x0, r*]; более того, это реше-

ние единственно и в каждом шаре B[x0, r], для которого r > r* и a(r) < r .Выше предполагалось, что K, как оператор в l2, положительно определен . Можно показать,

что утверждение теоремы 2 остается справедливым и в случае, когда оператор K неотрицатель-но определен . Применяя стандартные [7] рассуждения, можно рассмотреть и случай, когда опе-ратор K имеет конечное число отрицательных собственных значений .


1 . З а б р е й к о П . П ., К о р о ц Ю . В . // Докл . НАН Беларуси . 2009 . Т . 53, 6 . С . 33–38 .2 . K o r o t s Yu . V ., Z a b r e i k o P . P . // http://arxiv .org/abs/1101 .3671 .3 . З а б р е й к о П . П ., К о р о ц Ю . В . // Докл . Беларуси . 2010 . Т . 54, 4 . С . 5–12 .4 . З а б р е й к о П . П ., К о р о ц Ю . В . // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 4 . С . 35–41 .5 . В а й н б е р г М . М . Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений .

М ., 1972 . – 416 с .6 . К р а с н о с е л ь с к и й М . А ., З а б р е й к о П . П . Нелинейные методы геометрического анализа . М ., 1975 . –

510 с .7 . З а б р е й к о П . П ., П о в о л о ц к и й А . И . // Ученые зап . Ленинградского гос . пединститута . 1971 . С . 374–

379 .

P. P. ZABrEiKO, y. V. KOrOtS

yulya .korots@gmail .com

MODIFICATION OF MINTY–BROWDER THEOREM

Summary

In the article it is shown that if hemi-continuous operator A satisfies the one-sided variable Lipshits condition on a certain ball of Hilbert space, then all the necessary conditions of the Minty–Browder principle are fulfilled . In addition, operator A fixed point uniqueness zone is defined more exactly than in the Minty–Browder principle .

Due to the fact that this modification is applied to the Hammershtain equation with positively defined kernel, new solvability conditions for Hammershtain equation are found .



Беларуси

28


уДк 514.142

А. В. ПрокоПчук, с. В. тихоноВ, член-корреспондент В. и. янчеВскиЙ

О СПЕЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ НЕКОММУТАТИВНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ


В [1] была предложена схема вычисления приведенных групп Уайтхеда конечномерных тел некоммутативных рациональных функций . Для практической реализации этой схемы потребо-валось уточнение определения класса этих тел, которое хотя и применялось неоднократно (на-пример, в [2]), но нигде ранее не публиковалось . В связи с появлением недавно работы [3], в ко-торой были получены результаты, близкие к вытекающим из применения вышеупомянутой схе-мы, в [4] было опубликовано уточненное определение класса тел некоммутативных рациональных функций (более общее, чем в [1] в том смысле, что к рассмотрению допускались и бесконечно-мерные тела), а также были получены различные результаты, углубляющие и дополняющие, анонсированные в [1] . Напомним, что класс однородных тел некоммутативных функций, возни-кающий из уточненного определения, рассматривавшихся в [4], возникает как некоторая кон-струкция, связанная с телом A, семейством элементов , 1, . . ., ij i j na = его мультипликативной груп-пы A* и некоторого набора 1 , . . ., nϕ ϕ автоморфизмов тела A . В [4] были установлены необходи-мые условия на тело A, семейство , 1, . . ., ij i j na = и набор 1 , . . ., ,nϕ ϕ возникающие при реализации такой конструкции . Там же указано, что эти условия являются и достаточными для ее реализуе-мости . Одной из целей нашего сообщения является доказательство последнего утверждения . Кроме того, для конечномерных тел A мы исследуем свойства однородных тел некоммутативных рациональных функций в случае, когда группа, порождаемая набором 1 , . . ., ,nϕ ϕ конечна и не содержит нетривиальных внутренних автоморфизмов (заметим, что тут наши рассмотрения яв-ляются обобщением конструкции универсальных абелевых скрещенных произведений из [5]) . Для таких тел мы описываем их структуру в терминах тел констант и упомянутых универсаль-ных абелевых скрещенных произведений из [5], а также вычисляем их экспоненты (т . е . порядки соответствующих элементов в группах Брауэра) .

Для точной формулировки результатов напомним необходимые определения и обозначения из [4–6] .

Для любого ассоциативного кольца r с единицей r* обозначает его мультипликативную группу, Autr – его группу автоморфизмов . Для всякого *r r∈ ir обозначает внутренний авто-морфизм r, задаваемый с помощью r: 1ira rar−= для произвольного .a r∈ Центр кольца r по-всюду обозначается через Z(r) . Кольцо с делением, рассматриваемое как алгебра с делением над его центром (или подполем этого центра), называется телом . Если B – подтело тела A, то A есте-ственно является левым векторным пространством над B . Под степенью [A : B] понимается раз-мерность (левая) этого пространства над B . Пусть A – тело, g – подгруппа его автоморфизмов, тогда корректно определено ограничение g на центр Z(A) . Иногда для удобства, допуская неко-торую вольность, через Z(A)g мы будем обозначать подполе в Z(A) инвариантов ограничения группы g на Z(A) . Любая конечномерная простая центральная алгебра над полем K определяет элемент в группе Брауэра Br(K), его порядок называется экспонентой этой алгебры . Две конеч-номерные простые центральные K-алгебры называются подобными, если они определяют один элемент в Br(K) (подобие алгебр будет обозначаться знаком ~, а изоморфизм через ) . Скрещен-



Беларуси

29

ное произведение расширения Галуа полей F / K и его группы Галуа g с помощью 2-коцикла c, т . е . простая центральная K-алгебра с максимальным подполем F, правым F-базисом guσ σ∈ и таблицей умножения ( , ) ,u u c uσ τ στ= σ τ будет обозначаться через (F / K, g, c) [6] . В случае, ког-да группа g абелева, это скрещенное произведение может быть представлено в терминах мень-шего числа образующих [5] . Действительно, пусть 1 ,ng S S= ⊕…⊕ где Si – циклическая группа порядка qi с образующей σi, 1 ,i n≤ ≤ и z = (z1, …, zn), где zi, 1 ,i n≤ ≤ – обратимый в A = (F / K, g, c) элемент со свойством: ограничение автоморфизма

izi на поле F совпадает с σi . Тогда z – система образующих над F для скрещенного произведения A .

Положим 11 . . . n

nz z zαασ = ⋅ ⋅ для произвольного 1

1 . . . .nnαα

σ = σ ⋅ ⋅ σ . Тогда естественно возникает 2-коцикл d группы g со значениями в F*: 1( , ) ( )d z z z −

σ τ στσ τ = такой, что A = (F / K, g, d) . Иногда для удобства рассматривают и другие вычисляемые по z семейства элементов поля F . Именно,

, 1, . . ., ij i j nu u == , где 1 1,ij i j i ju z z z z− −= и b = (b1, …, bn), iq

i ib z= (i = 1, …, n) . В этом случае абелево скрещенное произведение A обозначается через (F / K, z, u, b).

В дальнейшем нам потребуются также определения и обозначения, связанные с кольцами не-коммутативных многочленов и их телами частных .

Пусть A – область целостности, 1, , nϕ … ϕ – автоморфизмы кольца A и 1 ij i j na a ≤ < ≤= – семей-ство элементов в A* . Построим по индукции однородное кольцо некоммутативных многочленов от переменных 1, , nx x… над A относительно автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейства a . Рассмо-

трим кольцо некоммутативных (косых) многочленов [1] 1 1[ , ]A A x= ϕ [7] . Предположим, что авто-

морфизм ϕ2 продолжается до автоморфизма *2ϕ кольца A[1] такого, что

*2

12 11 .x a xϕ = Положим *

[2] [1] 2 2[ , ] .A A x= ϕ Пусть уже построено кольцо *[ 1] [ 2] 1 1[ , ],n n n nA A x− − − −= ϕ где *

1 [ 2]Autn nA− −ϕ ∈ про-должает ϕn–1 и такой, что

*1

1n

i i n ix a xϕ −−= при 1 .i n< − Предположим, что автоморфизм ϕn про-

должается до автоморфизма *nϕ кольца A[n–1] так, что

*n

i in ix a xϕ = при i < n . Тогда положим *

[ ] [ 1][ , ] .n n n nA A x−= ϕО п р е д е л е н и е 1 . кольцо A[n] называется однородным кольцом некоммутативных мно-

гочленов от переменных 1, , nx x… над A относительно автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва a. Если A – правое кольцо Оре, то A[n] также правое кольцо Оре [7, предложение 0 .8 .4], значит

определено правое тело частных An этого кольца (см ., например, [7]) . О п р е д е л е н и е 2 . An называется однородным телом некоммутативных рациональных

функций от переменных 1, , nx x… над A относительно автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва a. З а м е ч а н и е . нетрудно видеть, что в случае, когда A – тело, последнее определение экви-

валентно определению однородного тела некоммутативных рациональных функций, данному в [4, определения 1 и 2].

Перейдем к формулировке основных результатов .Пусть A – тело . В [4] было установлено, что для существования тела An над A относительно

автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва , 1, . . ., ij i j na = необходимо выполнение следующих условий:

1, 1, 1 , ;ij ji iia a a i j n−= = ≤ ≤

, , ;ji k

ik ji ji jkjk ika a a a a a i j kϕϕ ϕ= <

1 1i j i j− −ϕ ϕ ϕ ϕ – внутренний автоморфизм, индуцированный элементом aij .

Нетрудно видеть, что эти условия эквивалентны следующим:

1, 1, 1 , ;ij ji iia a a i j n−= = ≤ ≤ (1)

, 1 , , ;ji kik ji ji jkjk ika a a a a a i j k n

ϕϕ ϕ= ≤ ≤ (2)

j i i jij ija a a a

ϕ ϕ ϕ ϕ= для любого , 1 , .a A i j n∈ ≤ ≤ (3)



Беларуси

30

Оказывается, что условия (1), (2) и (3) являются достаточными для существования однород-ного кольца некоммутативных многочленов от переменных 1, , nx x… над A относительно авто-морфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва , 1, . . ., ij i j na = даже в более общей ситуации .

Т е о р е м а 1 . Пусть A – область целостности, 1, , nϕ … ϕ – автоморфизмы кольца A, *,ija A∈ 1 , ,i j n≤ ≤ удовлетворяющие условиям (1), (2) и (3). тогда существует кольцо некоммутативных многочленов [ ] 1 1[ , , , , , ]n n nA A x x= … ϕ … ϕ такое, что

,1 , ;i j ji j ix x a x x i j n= ≤ ≤ (4)

ii ix a a xϕ= для любого ,1 .a A i n∈ ≤ ≤ (5)

Из теоремы 1 немедленно вытекаетС л е д с т в и е . если A – тело, то условия (1), (2) и (3) являются необходимыми и достаточ-

ными для существования однородного тела некоммутативных рациональных функций от пере-менных 1, , nx x… над A относительно автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва , 1, . . ., .ij i j na =

Второй основной результат сообщения формулируется следующим образом . Пусть автомор-физмы 1, , nϕ … ϕ тела A с центром Z(A) таковы, что порождают конечную группу g без нетриви-альных внутренних автоморфизмов . Пусть также Ag (соответственно, Z(A)g) – инвариантные от-носительно g элементы в A (соответственно, в центре Z(A) тела A) . Тогда описание однородных тел некоммутативных рациональных функций дается следующим утверждением .

Т е о р е м а 2 . Пусть группа g с образующими 1, , nϕ … ϕ конечна и не содержит нетривиаль-ных внутренних автоморфизмов и An – однородное тело некоммутативных рациональных функ-ций от переменных 1, , nx x… над A относительно автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва

, 1, . . ., .ij i j na = тогда , 1, . . ., ( )ij i j na Z A= ∈ и

( ) ( )( ( )) ( ) ,nn g Z A n Z A ng

A A Z A Z A≅ ⊗ ⊗

где Z(A)n – однородное тело некоммутативных рациональных функций от переменных 1, , nx x… над Z(A) относительно ограничения на Z(A) автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ и семейcтва , 1, . . ., .ij i j na =

Для формулировки третьего основного результата нам потребуется следующее утверждение из [5], связанное с понятием универсального абелева скрещенного произведения .

Пусть снова F / K – абелево расширение с группой 1 ,ng S S= ⊕…⊕ где Si – циклическая группа порядка qi с образующей ϕi, 1 .i n≤ ≤ Положим A = F . Тогда для семейства , 1 ,ij i j na a = …= удовлетворяющего равенствам (1), (2) и (3), определено тело некоммутативных рациональных функций 1 1( , , , , , , ),n n nF F x x a= … ϕ … ϕ которое называется универсальным абелевым скрещен-ным произведением, соответствующим семейству a, и обозначается через ( / , , )F K g a . В [5] доказана следующая

Т е о р е м а 3. ( / , , )F K g a – абелево скрещенное произведение, изоморфное алгебре ( / , , , ),l C z a b где

(a) qii ib x= и 1( , , ),nl F b b= …

(b) ,i iz x=(c) существуют ia F∈ такие, что 1( , , ),nC K y y= … где .i i iy a b=Третий основной результат сообщения дает формулу вычисления экспонент общих абелевых

скрещенных произведений ( / , , )F K g a в терминах экспонент подходящих K-алгебр .Т е о р е м а 4 . Экспонента алгебры ( / , , )F K g a равна наименьшему общему кратному

экспоненты K-алгебры 11( / , , , )i i nF K z a a− ≤ ≤′ и чисел qi, 1 .i n≤ ≤

Обратимся теперь к доказательствам теорем 1, 2 и 4 .Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1 . Применим индукцию по n . При n = 1 определено коль-

цо некоммутативных многочленов 1 1[ , ],A x ϕ в котором имеет место равенство

11 1 для любого .x a a x a Aϕ= ∈

Предположим, что построено кольцо



Беларуси

31

*[ 1] [ ] 1 1[ , ],m m m mA A x+ + += ϕ

где *1 [ ]Aut ,m mA+ϕ ∈ продолжающий автоморфизм 1 Autm A+ϕ ∈ и такой, что

*1

1 ,mi i m ix a xϕ +

+= 1 .i m≤ ≤ Тогда в [ 1]mA + имеют место равенства

,1 , 1;i j ji j ix x a x x i j m= ≤ ≤ +

для любого , 1 1 .ii ix a a x a A i mϕ= ∈ ≤ ≤ +

Покажем, что автоморфизм 2m+ϕ может быть продолжен до автоморфизма кольца [ 1] .mA + По-

ложим *

22 ,m

i i m ix a xϕ ++= 1 1,i m≤ ≤ + и продолжим отображение *

2m+ϕ по аддитивности на все кольцо [ 1] .mA + Покажем, что *

2 [ 1] .m mAut A+ +ϕ ∈ Для этого достаточно проверить, что

** *

22 21 1( ) mm m

m mx b x bϕϕ ϕ++ ++ += ⋅ (6)

для всех [ ] .mb A∈ Заметим, что b можно считать одночленом 11

ii si is

cx xββ

… ( 0,jiβ > 1j ji i +< )

в кольце [ ] .mA Чтобы убедиться в справедливости (6), применим индукцию по степени

1i isd = β +…+β одночлена b . Если d = 0, то справедливость равенства (6) следует из условия (3) . Предположим, что равенство (6) справедливо при d = d0 . Рассмотрим случай d = d0 + 1 .

Тогда

* *11 12 1 2

1 1 11 11 1* * * * *1 1

1 11 2 2 1 2 2 21 1 1 11 1 1 11 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

i ii is sm m mm i m i mi i i is s

i ii is sm m m m m m mi m i m i m i mi i i is s

x cx x c a x x x x

c a x x x x c a x x x x

β ββ β −ϕ ϕ ϕ+ + ++ + +

β ββ − β −ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + + ++ + + +

… = … =

… = …

где последнее равенство получено с учетом индуктивного предположения . Далее

* * *111 2 2 2

1 11 1 1*1

2 1 11 2 22 11 21 1 11 1

( ) ( ) ( )

( ) .

ii sm m m mi m i m i is

ii im sm m mi m i mm mi m i is

c a x x x x

c a a a x x x x

ββ −ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + ++ +

βϕ β −ϕ ϕ ϕϕ ++ + ++ ++ ++

… =

…

С другой стороны, ввиду (3) и определения отображения *2m+ϕ получаем

* * *11 12 2 2 2

1 1 2 1 21 11 1*1

1 12 1 21 2 1 12 1 11 1

1 11 21 2 1 2 1 2 1 12 1 11

( ) ( ) ( )

( )

(

i ii is sm m m mm m m m i m ii i i is s

iim sm m mm m i m i mi m i is

mm mm m m m m m i m i mi m

x cx x a x c a x x x

a c a a x x x x

a a c a a a x x x

β ββ β −ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + ++ + + + +

ββ −ϕ ϕ ϕϕ ++ + ++ + + ++

ϕ ϕ− ++ ++ + + + + + + ++

ϕ

… = … =

… =

*11 2

1*1

1 11 2 21 2 1 12 1 11 1

*12 1 11 2 2

1 11 21 1 11 1

)

( )

( ) ,

ii s mi is

iim sm m mm m i m i mi m i is

ii im sm m mi m i mm mi m i is

x

c a a a x x x x

c a a a x x x x

ββ − ϕ +

ββ −ϕ ϕ++ + ++ + + ++

βϕ β −ϕ ϕ++ + ++ ++ ++

ϕϕ

ϕϕ

… =

… =

…

где последнее равенство получено с учетом (2) .Таким образом, формула (6) имеет место . Следовательно, *

2 [ 1]Aut ,m mA+ +ϕ ∈ а тогда можно построить кольцо некоммутативных многочленов *

[ 1] 2 2[ , ],m m mA x+ + +ϕ в котором будут выполне-ны соотношения (4) и (5) . Теорема доказана .

Докажем теорему 2 .Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 . Покажем сначала, что ( ) ( ) .g Z A g

A A Z A≅ ⊗ Пусть

1 , . . ., ng g g= и элемент ( )w Z A∈ таков, что 1

det( ) 0 .j ig gw−

≠ Тогда 1 , . . ., nggw w – нормальный ба-



Беларуси

32

зис для Z(A) над Z(A)g (см . [8]) . Ввиду условия 1

det( ) 0j ig gw−

≠ заключаем, что элементы 1 , . . ., nggw w A∈ являются линейно независимыми над Ag . Откуда следует, что

1 . . . .ngg

g gA A w A w= + + (7)

В самом деле, ввиду теории Галуа тел размерность A над Ag равна порядку g [9], а ввиду отсут-ствия нетривиальных внутренних автоморфизмов g этому же порядку равна и размерность Z(A) над Z(A)g . Откуда и следует (7) . Также из (7) вытекает, что Z(Ag) = Z(A)g . Так как ( ) ( )g Z A g

A Z A⊗ – простая Z(A)-алгебра, то гомоморфизм Z(A)-алгебр ( ) ( ) ,g Z A g

A Z A A⊗ → переводящий i ia z⊗∑ в ,i ia z∑ инъективен . Кроме того, он сюръективен ввиду (7) . Таким образом,

( ) ( ) .g Z A gA A Z A≅ ⊗

Так как в g отсутствуют нетривиальные внутренние автоморфизмы и условие (3) эквива-лентно равенству 1 1 ,

iji j i j ai− −ϕ ϕ ϕ ϕ = то элементы ( ) .ija Z A∈ Таким образом, существует однород-

ное тело Z(A)n некоммутативных рациональных функций от переменных 1, , nx x… над Z(A) от-носительно ограничений автоморфизмов 1, , nϕ … ϕ на Z(A) и семейcтва , 1, . . ., .ij i j na =

Заметим также, что ввиду изоморфизма ( ) ( )g Z A gA A Z A≅ ⊗ линейно независимые элементы

zi над Z(A)g остаются линейно независимыми в A и над Ag . Рассмотрим отображение ( ): ( ) ,g Z A n ng

A Z A Aϕ ⊗ → задаваемое следующим образом: ( ) ,i i i ii ia c a cϕ ⊗ =∑ ∑ где ,i ga A∈ ( ) .i nc Z A∈ Покажем, что ϕ – гомоморфизм колец . Для этого

достаточно проверить, что

1 1 2 2 1 1 2 2(( ) ( )) ( ) ( )a c a c a c a cϕ ⊗ ⋅ ⊗ = ϕ ⊗ ⋅ϕ ⊗

для любых 1 2, ,ga a A∈ 1 2, ( ) .nc c Z A∈ Последнее равенство непосредственно вытекает из следу-ющей цепочки равенств:

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

(( ) ( )) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .

a c a c a a c c a a c ca c a c a c a c

ϕ ⊗ ⋅ ⊗ = ϕ ⊗ = ⋅ =⋅ = ϕ ⊗ ⋅ϕ ⊗

Инъективность ϕ следует из простоты алгебры ( ) ( ) .g Z A ngA Z A⊗ Проверим сюръектив-

ность . Ввиду изоморфизма ( ) ( )g Z A gA A Z A≅ ⊗ получим, что любой одночлен P из An имеет вид

11 .n

na x xα αα ⋅…⋅ Тогда 1 1

1 1( ) ( ),n ni i n i i n

i iP a z x x a z x xα αα α

α α= ⋅…⋅ = ⋅…⋅∑ ∑ где ,a Aα ∈ ,i ga A∈

( )iz Z A∈ и .i iia a zα α= ∑ Значит, 11( ) .n

i i niP a z x xα αα= ϕ ⊗ ⋅…⋅∑

Заметим далее, что ( ( ) ) ( ) .n nZ Z A Z A= В самом деле, пусть M – базис расширения тел ( ) / ( ) .n gZ A Z A Ясно, что произвольный элемент z из ( ) ( )g Z A ng

A Z A⊗ имеет вид ,i ii

a z⊗∑

где , .i g ia A z M∈ ∈ Перестановочность z с любым элементом из ( ) ( )g Z A ngA Z A⊗ эквивалентна

его перестановочности с любым элементом вида , , ( ) .g na y a A y Z A⊗ ∈ ∈ Что влечет соотно- шение ( ( ) ) 0i i i

ia a aa z− ⊗ =∑ для любых .ga A∈ Значит, ( )i ga Z A∈ и ввиду совпадения

( ) ( )g gZ A Z A= 1 , ( ) .nz w w Z A= ⊗ ∈ Так как элемент z перестановочен со всеми элементами вида 1 , ( ) ,i i nz z Z A⊗ ∈ то 1 , ( ( ) ) .nz w w Z Z A= ⊗ ∈ Кроме того, легко видеть, что верно и обратное, т . е . 1 , ( ( ) ),nz w w Z Z A= ⊗ ∈ принадлежит центру ( ) ( ),g Z A ng

A Z A⊗ и потому

( )( ( ) ) ( ( )) .n g Z A ngZ Z A Z A Z A⊂ ⊗ Из этого заключаем ( ( ) ) ( ) .n nZ Z A Z A= Откуда уже без труда выводится, что ϕ является изоморфизмом Z(An)-алгебр .

Простое применение свойств тензорных произведений приводит к изоморфизму Z(An)-алгебр ( ) ( )g Z A ng

A Z A⊗ и ( ) ( )( ( )) ( ) .ng Z A n Z A ng

A Z A Z A⊗ ⊗ Теорема доказана .Для доказательства теоремы 4 нам понадобится следующее



Беларуси

33

П р е д л о ж е н и е . тензорное произведение алгебр (1) (1) (1)( / , , , )F K z u b и (2) (2) (2)( / , , , )F K z u b подобно алгебре (3) (1) (2) (1) (2)( / , , , )F K z u u b b для некоторого набора z(3) (набор u(1)u(2) обознача-ет совокупность элементов (1) (2)

, 1, . . ., ,ij ij i j nu u = а b(1)b(2) – набор (1) (2), 1, . . ., ij ij i j nb b = ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Алгебры (1) (1) (1)( / , , , )F K z u b и (2) (2) (2)( / , , , )F K z u b изоморфны со-ответственно алгебрам (1)( / , , )F K g c и (2)( / , , ),F K g c где с(k)(σ, τ) = z(k)

σz(k)τ(z

(k)στ)

–1 (k = 1, 2) . Сле-довательно, тензорное произведение алгебр (1) (1) (1)( / , , , )F K z u b и (2) (2) (2)( / , , , )F K z u b подоб-но алгебре ( / , , ),A F K g c= где (1) (2) .c c c= Представим алгебру A в виде ( / , , , ) .F K z u b Пусть A имеет набор элементов uσ такой, что ( , ) .u u с uσ τ στ= σ τ С другой стороны, .

i j j iiju u u u uσ σ σ σ= Ввиду абелевости группы g имеем цепочку равенств

1 1 1( ) ( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ) .

i j j i i j j iij i j j i i j j iu u u u u c u c u c c− − −ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ

При i = j (1) (2) .ii ii iiu u u= Вычислим ( , )i jc ϕ ϕ при i < j . Имеем

(1) (2) (1) (1) (1) 1 (2) (2) (2) 1

(1) (1) (1) (1) 1 (2) (2) (2) (2) 1

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) 1,i j i j i j i j

i j i j i j i j

i j i j i jc c c z z z z z z

z z z z z z z z

− −ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ = =

=

в противном случае

(1) (2) (1) (1) (1) 1 (2) (2) (2) 1

(1) (1) (1) (1) 1 (2) (2) (2) (2) 1 (1) (2)

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) .i j i j i j i j

i j j i i j j i

i j i j i j

ij ij

c c c z z z z z z

z z z z z z z z u u



ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ = =

=

Значит, 1 (1) (2)( , ) ( , ) .ij i j j i ij iju c c u u−= ϕ ϕ ϕ ϕ = Также имеют место следующие равенства:

2

12 . . . ( , ) . . . . . . ( , ) ( , ) . . . ( , ) .iii i i i ii

qqi i i i i i i iu u u u c u u c c c −

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ= ⋅ ⋅ ⋅ = ϕ ϕ ⋅ ⋅ = = ϕ ϕ ⋅ ϕ ϕ ⋅ ⋅ ϕ ϕ

Легко видеть, что для 1ij q< −

(1) (1) (1) (2) (2) (2)(1) (2) 1 11 1( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 1 .j j j

i i i i i i j j j ji ii i i ic c c z z z z z z− −

ϕ + ϕ +ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ = =

При 1ij q= − имеем

(1) (1) (1) (2) (2) (2)(1) (2) 1 11 1

(1) (1) (2) (2) (1) (2)1 1 (1) (2)

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) .

j j ji i i i i i j j j ji ii i i i

j ji ij ji i i ii i

c c c z z z z z z

z z z z z z b b

− −ϕ + ϕ +ϕ ϕ ϕ ϕ

+ +ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ = =

= =

Следовательно, (1) (2) .iiq

i iu b bσ = Таким образом, алгебра A изоморфна алгебре

(F / K, i

uσ , u(1)u(2), b(1)b(2)) . Предложение доказано .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4 . В обозначениях теоремы 3 имеем 1 .i i ib a y−= Тогда ввиду предложения 1 для подходящих наборов z′ и z′′ получаем

11( / , , , ) ( / , , , ) ( / , ,1, ),i i nl C z a b l C z a a l C z y−≤ ≤′ ′′∼ ⊗

где 1, , .i i ny y = …=Заметим далее, что 1 1

1( / , , , ( ) ) ( / , , , ) .i i i n Kl C z a a F K z a a C− −≤ ≤′ ′∼ ⊗ Отметим также, что ав-

томорфизы ,iϕ 1 ,i n≤ ≤ естественным образом продолжаются до C-автоморфизмов поля l, эти продолжения будем также обозначать через .iϕ Из предложения для подходящих наборов

1, , nz z… получаем 1 1 1( / , ,1, ) ~ ( / , ,1, ) ( / , ,1, ),r n nl C z y l C z y l C z y′′ ⊗…⊗ где li – подполе в l, состоящее из элементов, неподвижных относительно автоморфизмов , .i i jϕ ≠



Беларуси

Для всякого 1 i n≤ ≤ индекс ветвления алгебры ( / , ,1, )i i il C z y относительно нормирования, опередляемого элементом yi, равен qi . Тогда экспонента алгебры ( / , , )F K g a делится на наи-меньшее общее кратное чисел 1 .i i nq ≤ ≤ Таким образом, экспонента алгебры ( / , , )F K g a рав-на наименьшему общему кратному экспоненты F-алгебры 1

1( / , , , )i i nF K z a a− ≤ ≤′ и чисел qi, 1 .i n≤ ≤ Теорема доказана .


1 . П л а т о н о в В . П ., Я н ч е в с к и й В . И . // Докл . АН СССР . 1979 . Т . 249, 5 . С . 1064–1068 .2 . Я н ч е в с к и й В . И . Приведенная унитарная K-теория: дис . … д-ра физ .-мат . наук / Ин-т математики АН

БССР . Минск, 1980 . С . 289 .3 . H a z r a t R ., W a d s w o r t h A . R . // Israel J . Math . [Electronic resource] . Mode of access: http://www .math .uni-

bielefeld .de/LAG/ .4 . Я н ч е в с к и й В . И . // Зап . науч . семинаров СПб отд . МИРАН . 2011 . Т . 388 . С . 196–209 .5 . A m i t s u r S . A ., S a l t m a n D . // J . of Algebra . 1978 . Vol . 51 . P . 76–87 .6 . П и р с Р . Ассоциативные алгебры . М ., 1986 . – 541 с .7 . К о н П . Свободные кольца и их связи . М ., 1975 . – 424 с . 8 . Л е н г С . Алгебра . М ., 1968 . – 564 с . 9 . Д ж е к о б с о н Н . Теория колец . М ., 1947 . – 288 с .

A. V. PrOKOPChuK, S. V. tiKhOnOV, V. i. yAnChEVSKii

alexpro@im .bas-net .by; tsv@im .bas-net .by; yanch@im .bas-net .by

SPECIAL PROPERTIES OF HOMOGENEOUS SKEW FIELDS OF NONCOMMUTATIVE RATIONAL FUNCTIONS

Summary

Let A be a skew field, 1, , nϕ … ϕ be its automorphisms . Necessary and sufficient conditions on A and 1, , nϕ … ϕ are obtained for the existence of homogeneous twisted polynomial rings over A in n variables with respect to 1, , .nϕ … ϕ Furthermore, the structure of quotient skew fields of such rings (homogeneous skew fields of noncommutative rational functions) is described in the case where the group generated by 1, , nϕ … ϕ is finite and has no nontrivial inner automorphisms . Besides, exponents of generic abelian crossed products are computed in terms of appropriate constant algebras .



Беларуси

35


уДк 517.925:517.977

А. к. ДеМенчук

УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЧАСТЬЮ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ

(Представлено академиком н. А. изобовым)


Рассмотрим линейную систему управления

( ) , , , 2,nx A t x Bu t r x r n= + ∈ ∈ ≥ (1)

где A(t) – непрерывная ω-периодическая ( )n n× -матрица; B – постоянная ( )n n× -матрица . Будем считать, что управление задается в виде линейной по фазовым переменным обратной связи

u = u(t)x (2)

с непрерывной ω-периодической ( )n n× -матрицей u(t) . Условия протекания процесса, когда ко-лебания системы описываются сильно нерегулярными решениями [1–5], называют асинхрон-ным режимом [6; 7] и др .

Задачу выбора такой матрицы u(t) (коэффициента обратной связи), чтобы замкнутая система

( ( ) ( ))x A t Bu t x= + (3)

имела сильно нерегулярные периодические решения с заданным спектром частот l (целевым множеством), будем называть задачей управления спектром частот нерегулярных колебаний с целевым множеством l (задачей управления асинхронным спектром) .

Поставленная задача является вариантом обобщения задачи о назначении спектра для неста-ционарного случая . Следует отметить, что для регулярных колебаний спектр предопределен правой частью уравнения . В контексте управления речь может идти только об увеличении или уменьшении амплитуды тех или иных гармоник . Выбор же частот, отличных от кратных частот правой части, для регулярных колебаний невозможен .

В [8] показано, что в случае невырожденной матрицы B, задача управления спектром сильно нерегулярных колебаний разрешима, при этом мощность целевого множества частот не превос-ходит половины размерности системы . В [9] дано решение сформулированной задачи с вырож-денной матрицей B и нулевым средним значением A матрицы коэффициентов A(t) .

В настоящей работе при наличии некоторых стационарных элементов матрицы коэффициен-тов и нижнем блочно-треугольном представлении ее усреднения в критическом случае приво-дится решение задачи управления асинхронным спектром .

Пусть 1 , , rl ′= λ … λ – целевое множество частот, элементы которого попарно различны, со-измеримы между собой и несоизмеримы с 2π / ω . В таком случае найдется наибольшее положи-тельное вещественное λ, которому будут кратны числа 1, , ,r′λ … λ т . е . j jkλ = λ ( ; 1, ) .jk n j r′∈ = Обозначим 2 / ,Ω = π λ при этом отношение чисел ω и Ω иррационально .

В силу вышеизложенного будем рассматривать случай вырожденной матрицы B

rank , ( ) .B r n n r d= < − = (4)



Беларуси

36

Следуя [10] приведем систему (3) к блочному виду . Обозначим через , ,,d n r nB B – матрицы, составленные соответственно из d первых и r остальных сторок матрицы B . Можно считать, что первые d строк матрицы B нулевые, т . е .

, 0,d nB = (5)

так как в противном случае этого можно добиться линейным неособенным стационарным пре-образованием . Отметим, что в силу (4), (5) ранг матрицы ,r nB также равен r .

Представим матрицу коэффициентов A(t) в блочном виде . Пусть (11), ( ),d dA t (21)

, ( )r dA t – ее левые верхний и нижний, а (12)

, ( ),d rA t (22), ( )r rA t – правые верхний и нижний блоки (нижние индексы

указывают размерность) . Соответственно такому представлению усредненную матрицу

0

1 ( )A A dω

= τ τω ∫

в свою очередь разобъем на четыре блока (11)

, ,d dA (21), ,r dA

(12), ,d rA

(22), .r rA В дальней-

шем будем предполагать, что матрица A имеет нижнюю блочно-треугольную форму, т . е .

(12), 0,d rA = (6)

причем у левого верхнего блока (11)

, ,d dA имеются чисто мнимые собственные числа

( 1, , '; ' [ / 2]) .ji j d d d± λ = … ≤ (7)

Случай (7), когда левый верхний блок размерности d d× матрицы A имеет чисто мнимые соб-ственные значения, абсолютная величина мнимых частей которых принадлежит целевому мно-жеству частот, будем называть критическим .

Из [4] вытекает, что в смысле существования нерегулярных периодических решений система (3) эквивалентна системе

( ) , ( ( ) ( )) 0,x A Bu x A t Bu t x= + + =

(8)

где u – постоянная ( )n n× -матрица; ( )u t – непрерывная ω-периодическая ( )n n× -матрица с нулевым средним значением; ( ) ( ) .A t A t A= − С учетом (5), (6) систему (8) можно записать в виде

(11)[ ] [ ] [ ], , ,[ ] , , [ ]

(11) (12) (21)[ ] [ ] (22)[ ] , , , , , [ ], , ,

, ,

( ) ( ) 0, ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0,

d d dd d n d n rr r n r n r

d dr r n n d r r r n n r rd d d r r d

x A x x B u x B u x

A t x A t x A t B u t x t A t B u t x t

= = +

+ = + + + =

(9)

где [ ][ ]col( , ),drx x x= [ ]

1col( , , ),ddx x x= … [ ] 1col( , , ),r d nx x x+= … , , , ,n d n ru u u= ( )u t =

, , ( ), ( )n d n ru t u t (нижние индексы матриц указывают их размерность) . Возьмем ( )d n× -матрицу (11) (12)

, , ,( ) ( ), ( ),d n d d d rA t A t A t= которая образована первыми d строка-ми матрицы коэффициентов A(t). Пусть p – число первых стационарных столбцов матрицы Ad,n(t) ( 0 p n≤ ≤ ) . Это означает, что ( )d n× -матрица (11) (12)

, , ,( ) ( ), ( )d n d d d rA t A t A t= имеет p нулевых пер-вых столбцов . Обозначим через , ( )d n pA t−

блок размерности ( ( )),d n p× − составленный из по-следних n–p столбцов матрицы , ( ) .d nA t

Рассмотрим сначала случай, когда d p n≤ < , (10)

в то время как последние n–p столбцов матрицы , ( )d nA t линейно независимы, т . е .

col ,rank ( ) ,d n pA t n p− = − (11)

где под столбцовым рангом матрицы подразумеваем наибольшее число ее линейно независимых столбцов [5] .



Беларуси

37

Имеет местоТ е о р е м а . Пусть у матрицы B первые d строк нулевые, матрица коэффициентов A(t) удо-

влетворяет условиям (10), (11), а ее усреднение допускает нижнее блочно-треугольное представ-ление (6) в критическом случае (7). тогда задача управления асинхронным спектром для системы (1) с обратной связью (2) разрешима тогда и только тогда, когда

| | ' [( ) / 2] .l d p d≤ + − (12)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность . Пусть выполнены условия теоремы . Требуемый для решения поставленной задачи ω-периодический коэффициент обратной связи управления (2) представим в каноническом виде ( ) ( ) .u t u u t= + Как показано выше, при сделанных предполо-жениях (5), (6), задачи управления спектром нерегулярных колебаний для систем (1) и (9) эквива-лентны .

Рассмотрим алгебраические системы

(21), , , ( ) 0r n n d r dB y A t+ = (13)

и

(22), , , ( ) 0r n n r r rB y A t+ = (14)

с неизвестными матрицами yn,d и yn,r размерностей n d× и n r× соответственно . Пусть Er,r и Er,d – произвольные постоянные соответственно ( )r r× и ( )r d× -матрицы . Так как ранг матри-цы Br,n равен r, r < n, то системы , 1 , 0r n r rB y E+ = и , 2 , 0r n r dB y E+ = разрешимы . Пусть y01 и y02 – какие-либо их решения соответственно . Тогда матрицы (21)

, 01 ,( ) ( )n d r dy t y A t= и (22), 02 ,( ) ( )n r r ry t y A t

будут решениями систем (13) и (14) .Положим

, ,( ) ( ), ( ) .n d n ru t y t y t= (15)

Такой выбор компоненты ( )u t канонического представления матрицы обратной связи u(t) обе-спечивает выполнение последних двух равенств в (9) .

Первые два уравнения в (9) образуют стационарную линейную систему с нижней блочно-треугольной матрицей коэффициентов . Это означает, что частоты ее периодических и квазипе-риодических решений будут определяться только чисто мнимыми собственными значениями диагональных блоков . Поэтому для перехода к блочно-диагональной системе возьмем

, 0 .n du = (16)

Тогда с учетом (10), (15) и (16) систему (9) можно записать в виде

(11)[ ] [ ], ,[ ] , [ ] , [ ], , ( ) 0,d d

d d n rr r n r d n p n px A x x B u x A t x− −= = =

(17)

где [ ] [ ] [ ]col( , ),r p d n px x x− −= [ ] 1col( , , )p d d px x x− += … – вектор, составленный из первых p–d, а [ ] 1col( , , )n p p nx x x− += … – вектор, составленный из последних n–p компонент вектора [ ] .rx

Согласно (11), все столбцы матрицы , ( )d n pA t− линейно независимы, причем периоды этой

матрицы и искомого решения [ ]( )n px t− несоизмеримы . Поэтому из [4] вытекает, что

[ ] ( ) 0 .n px t− ≡ (18)

Возьмем блочно-диагональную ( )r r× -матрицу , 1 2diag , r rd d d= такую, что ее ( )p d− ×( )p d− -блок d1 имеет собственные числа ' 1, , ,d ri i ′+± λ … ± λ а ( ) ( )n p n p− × − -блок d2 произ-вольный ( [( ) / 2]r p d′ ≤ − ) .

Рассмотрим линейную систему , , , 0r n n r r rB Z d− = (19)



Беларуси

38

с неизвестной ( )n r× -матрицей , .n rZ Так как ранг матрицы Br,n равен r, r < n, то система (19) раз-решима относительно , .n rZ Пусть ,n rZ – какое-либо частное ее решение . Положим

, , .n r n ru Z= (20)

Тогда с учетом (18), (20) система (17) примет вид

(11)[ ] [ ], [ ] 1 [ ] [ ], , ( ) 0 .d d

d d p d p d n px A x x d x x t− − −= = = (21)

В силу (12) система (21) имеет 2( )d r′ ′+ -параметрическое семейство Ω-периодических решений

[ ]1[ ] [ ]( ) col( ( ), ( ), ( )),d

p d n px t x t x t x t− −=

'[ ]1

[ ] [ ]1

col( ( ), ( )) cos sin , ( ) 0,d rd

p d j j j j n pj

x t x t a t b t x t′+

− −=

= λ + λ ≡∑ (22)

где коэффициенты аj, bj зависят от 2( )d r′ ′+ произвольных вещественных постоянных .Таким образом, при выполнении условий теоремы для системы (1) разрешима задача управ-

ления асинхронным спектром . Требуемый коэффициент обратной связи управления (2) имеет канонический вид ( ) ( ),u t u u t= + где у постоянной ( )n n× -матрицы u блок из первых d столб-цов , 0,n du = блок ,n ru из последних r столбцов определяется равенством (20), а матрица ( )u t – равненством (15) . Сильно нерегулярное периодическое решение с целевым множеством частот l замкнутой управлением (2) системы (3) представлено тригонометрическим многочленом (22) .

Докажем теперь, что условия теоремы являются необходимыми . Пусть найдется непрерыв-ный ω-периодический матричный коэффициент u(t) обратной связи (2) такой, что замкнутая си-стема (3) имеет сильно нерегулярное периодическое решение x(t) с целевым множеством частот l . Как показано выше, при выполнении предположений (5), (6) в смысле существования сильно нерегулярных периодических решений, система (3) эквивалентна системе (9) .

В силу (7) первое уравнение из (9) имеет семейство периодических решений [ ]( ),dx t мощ-ность множества частот которого равна d'. По предположению (10) третье уравнение в (9) при-нимает вид , ( ) ( ) 0,d n p n pA t x t− − = откуда на основании (11) следует, что [ ] ( ) 0 .n px t− ≡ Тогда второе уравнение в (11) можно записать следующим образом:

[ ] [ ][ ] , [ ] , , [ ] ,( ) ( ), 0 ( ),d d

p d p d p d p d p d d n p p d p d n p dx t P x Q x t P x Q x t− − − − − − − − −= + = + (23)

где , ,p d p dP − − ,n p p dP − − – левые верхний и нижний блоки матрицы ,, ,n rr nP B u= а ,- , , ,col , n dp d d n p d r nQ Q B u− = (нижние индексы указывают размерность) .

Заметим, что первая система в (23) является линейной с постоянной матрицей коэффициен-тов размерности (p–d)×(p–d) и периодической неоднородностью, мощность множества частот которой равна d' . Поскольку соответствующая однородная система может иметь периодическое решение не более, чем с [(p–d) / 2] частотами, то мощность множества частот решения неодно-родной системы не превосходит величины [(p–d) / 2] + d′. Это означает, что для целевого множе-ства частот l сильно нерегулярного периодического решения x(t) системы (3) выполняется оцен-ка (12) . Теорема доказана .

З а м е ч а н и е 1 . В случае p < d при выполнении условий (5), (6), (7), (11) выбор компонент канонического представления матрицы обратной связи в виде (15), (16) также приводит (9) к си-стеме (17), где p < d . Из последнего равенства в (17) в силу (11) следует, что [ ] ( ) 0 .n px t− ≡ Тогда система (17) примет вид

(1) (2)[ ] [ ] [ ], , [ ], 0, ( ) 0,p p p

p p d p p n px A x A x x t− −= = ≡ (24)



Беларуси

где [ ]px – вектор, составленный из p первых компонент вектора x; (1)

, ,p pA (2)

,p pA – соответственно левые верхний и нижний блоки матрицы

(11), .d dA Пусть матрица

(1),p pA имеет p' пар чисто мнимых

собственных значений ( 1, ) .ji j p′± λ = Тогда первая система в (24) будет иметь периодическое решение [ ]( )px t с p' частотами из целевого множества l . Для того чтобы [ ]( )px t удовлетворяло всей системе (24) должно выполняться тождество

(2) [ ], ( ) 0 .p

d p pA x t− ≡ (25)

Пусть при выполнении тождества (25) у [ ] ( )px t останется только p p′′ ′≤ частот . В таком слу-чае задача управления асинхронным спектром разрешима тогда и только тогда, когда | | .l p′′≤

З а м е ч а н и е 2. Случай, когда у матрицы , ( )d nA t стационарными будут не первые, а произ-вольные столбцы с номерами 1, , ,pj j… т . е . соответствующие столбцы матрицы , ( )d nA t будут нулевыми, в то время как ее остальные n–p столбцы с номерами 1, ,p nj j+ … будут линейно неза-висимыми, непосредственно сводится к рассмотренному выше .

Действительно, в такой ситуации из (9) вытекает, что 1

0 .j nx x=…= = Тогда система (9) сво-дится к системе, аналогичной по структуре (17) .

Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси в рамках ГПФИ «Конвергенция» .


1 . M a s s e r a J . L . // Bol . de la Facultad de Ingenieria . 1950 . Vol . 4, 1 . P . 37–45 .2 . К у р ц в е й л ь Я ., В е й в о д а О . // Чехосл . мат . журн . 1955 . Т . 5, 3 . С . 362–370 .3 . Е р у г и н Н . П . // Прикл . матем . и механика . 1956 . Т . 20, вып . 1 . С . 148–152 .4 . Г р у д о Э . И ., Д е м е н ч у к А . К . // Дифференц . уравнения . 1987 . Т . 23, 3 . С . 409–416 .5 . D e m e n c h u k А . К . // Math . Bohemica . 2001 . Vol . 126, 1 . P . 221–228 .6 . П е н н е р Д . И ., Д у б о ш и н с к и й Д . Б ., К о з а к о в М . И . и др . // Успехи физ . наук . 1973 . Т . 109, вып . 1 .

С . 402–406 .7 . Л а н д а П . С ., Д у б о ш и н с к и й Я . Б . // Успехи физ . наук . 1989 . Т . 158, вып . 4 . С . 729–742 .8 . Д е м е н ч у к А . К . // Докл . НАН Беларуси . 2009 . Т . 53, 4 . С . 37–42 .9 . Д е м е н ч у к А . К . // Дифференц . уравнения . 2010 . Т . 46, 10 . С . 1381–1387 .

A. K. dEMEnChuK

math@im .bas-net .by

CONTROL OF THE ASYNCHRONOUS SPECTRUM OF A LINEAR SYSTEM WITH SOME CONSTANT ELEMENTS OF THE MATRIX OF COEFFICIENTS

Summary

We consider a linear control periodic system with reverse communication . It is supposed that the average matrix coefficient is block triangular in the critical case and some elements of the matrix of the coefficient are constant . The control problem of asynchronous spectrum is solved .



Беларуси

40


ФИЗИКАуДк 530.145

М. н. сергеенко

МАССЫ АДРОНОВ И ТРАЕКТОРИИ РЕДжЕ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ТИПА ВОРОНКИ

(Представлено членом корреспондентом л. М. томильчиком)

Белорусский государственный университет транспорта, гомель Поступило 15.07.2011

При высоких энергиях основной вклад в полное сечение взаимодействия адронов дают мяг-кие процессы . Для описания таких процессов успешно разрабатываются подходы, основанные на теории полюсов Редже . Траектории Редже определяют асимптотическое поведение амплиту-ды рассеяния и дают ожидаемое поведение сечений адронных процессов при высоких энергиях .

Развитие метода Редже привело к созданию теории Грибова–Редже [1; 2] . Этот подход связан со всеми свойствами цветовых сил и основан на релятивистской квантовой теории . В отличие от теории возмущений КХД он очень хорошо описывает мягкие адронные процессы, полные сече-ния и предсказывает ожидаемое асимптотическое поведение амплитуды рассеяния [3; 4] .

В рамках этого подхода было предложено несколько моделей . Основные положения реджев-ских моделей, таких как модель кварк-глюонных струн (МКГС) [3–8], сформулированы в терми-нах линейных траекторий Редже . Это ограничивает возможности таких моделей областью мяг-ких процессов . Однако, как показывает эксперимент, траектории Редже не являются линейными функциями .

В настоящем сообщении в рамках потенциального подхода изучается релятивистская систе-ма двух взаимодействующих частиц . В физике адронов одним из наиболее реалистических по-тенциалов взаимодействия кварков и глюонов является Корнельский потенциал V(r) = −α / r + σr, в котором α и σ − параметры [9] . Этот потенциал не описывает асимптотически свободные со-стояния цветных кварков, но, как известно, величина связи αs(q

2) в КХД является функцией и стремится к нулю при q2 → ∞ .

Используя известное решение уравнения Дайсона–Швингера [10], в котором глюон имеет ди-намически генерируемую массу, т . е . в координатном пространстве зависящую от координаты r (переменная масса), можно записать величину связи КХД в координатном представлении так:

2 2 2 2

0( ) ,

ln[(1 4 ) / ]sg QCd

krb m r r

α =+ Λ

(1)

где k = 4/3 для qq и k = 3 для gg систем, b0 = (33 − 2nf) / 12π2, nf − число ароматов кварков, mg − масса глюона, Λ − параметр обрезания в КХД .

Учет зависимости константы от координат может обеспечить асимптотическую свободу, т . е . потенциал взаимодействия можно записать в виде

( )( ) .s rV r rr

α= − + σ (2)

В потенциале (2) величина αs(r) → 0 при r → 0 и 2 20/ [ ln(4 / )]g QCdk b m∞α = Λ при r → ∞ . Этот по-

тенциал используется в наших дальнейших вычислениях .В настоящей работе мы решаем релятивистское квазиклассическое волновое уравнение для

скалярного потенциала (2) [11; 12] . Радиальная часть этого уравнения в точности совпадает с ра-диальной составляющей квазипотенциального уравнения типа Бете–Солпитера [13], в котором выполнена замена типа Крамерса–Лангера J(J + 1) → (J + ½)2, и имеет вид уравнения Шредингера:



Беларуси

41

22 2 2

2 2( ) ( 1 / 2) ( ) 0 .

4s rd E Jm r rrdr r

α + + − − + σ − χ =

(3)

В этом уравнении потенциал взаимодействия является Лоренц-скаляром . т . е . аддитивен к мас-сам частиц [13; 14] . Отметим, что величину m(r) = m − αs(r) / r + σr можно рассматривать как пе-ременную массу, зависящую от координаты r [14].

Решить уравнение (3) аналитически не представляется возможным . Однако, решая его в от-дельности для кулоновской и линейной составляющих, можно получить два точных аналитиче-ских решения . Сшивая эти асимптотические решения с помощью аппроксимации Паде получа-ем массовую формулу [11; 12]

2 22 2

2

48 (2 3 / 2) 4 .

( 1)rr

mE n J m

n J∞

∞α

= σ + −α + − ++ +

(4)

Асимптотическая массовая формула (4) имеет простой и прозрачный вид; она отражает структуру потенциала (2) . Этот потенциал получен в результате суммирования двух предельных выражений: кулоновского вклада при r → 0, отвечающего одноглюонному обмену, и линейного − соответствующего натяжению струны . Величина 8σ(2nr + J − α∞ + 3/2) есть вклад линейной ча-сти потенциала (2), а второе слагаемое − его кулоновской составляющей .

Рассмотрим формулу (4) как кубическое уравнение относительно углового момента J . Реше-ние этого уравнения дает траектории Редже адронов в асимптотическом подходе [11; 12] .

Используем теперь квазиклассический метод решения уравнения (3) . В данном случае квази-классический метод позволяет получить точные собственные значения спектра масс с учетом уже осуществленной замены Крамерса–Лангера в радиальном члене . Это уравнение имеет четы-ре точки поворота и может быть решено квазиклассическим методом с помощью условия кван-тования в комплексной плоскости и использовании метода стереографической проекции [11] . Тогда получим для фазового интеграла

2122 2

2 12 ( ) 4 ,8 24 8

rmEi J n

E m∞

∞∞

α = π + α + − + = π + σ − + − α σ (5)

где α∞ − асимптотическое значение «постоянной» сильной связи при r → ∞ .Аналитическое решение для E2 находится из уравнения (5), которое приводится к кубическо-

му уравнению . Вводя обозначения: a2 = m2 / 2σ, b = a2 – n, y = E2 / 8σ − a2 + α∞, n = 2nr + J + 3/2, получаем уравнение

y3 + ry2 + sy + t = 0, (6)

где r = 2b, s = b2, t = α2∞a2 . Исследование уравнения (6) показывает, что физическое решение да-

ется его вторым корнем, и имеет вид

2

2 cos[( ) / 3] / 3, 0,/ 3, 0,

1 , 0,2 3

p r gy r g

rq g q g g

− − ϕ+ π − <= − = − − + − − − >

(7)

где введены обозначения: p = −r2 / 9 + s / 3, q = r3 / 27 − rs / 6 + t / 2, g = p3 + q2, φ = acos(−q / √−p3) . Для квадрата массы кваркония с помощью (7) получаем

2 2

28 ( ) 4 .nE y a m∞= σ − + (8)

+



Беларуси

42

Из уравнения (5) следует также вы-ражение для траекторий Редже. Решая это уравнение относительно углового момента J, для траекторий Редже α(t) ≡ J получаем выражение

2

3( ) 22 8

2 .4 8

rtt n

m

t m

∞

∞

∞

α = − − + α + +σ

α

− + − α σ

(9)

Траектории Редже (9) являются ком-плексными функциями и, в соответствии с общими свойствами траекторий, име-ют правый разрез, начинающийся в по-роговой точке tп = 4m2 − 8α∞σ.

Формулы (4) и (8) использовались нами для расчета масс кваркониев, глю-болов и соответствующих траекторий

Редже. Результаты расчетов по этим формулам приводятся в табл. 1 и на рисунке.Как видно из данных табл. 1, фитирование данных с использованием асимптотической (4)

и точной (8) формул дает очень близкие значения для масс кваркониев и параметров. Экспериментальные значения масс частиц в этих расчетах были взяты из таблиц Particle Data Group 2010.

Т а б л и ц а 1. Массы адронов лидирующих ρ- и φ-траекторий и глюболов

Состояние(nr + 1)2S+1LJz

mасим, МэВ/с2, (4) mточн, МэВ/с2, (8) mэксп, МэВ/с2,эксперимент Параметры

ρтраектория (изоспин I = 1)13S1 ρ(770) 776 776 775,5 ± 0,34

α∞ = 1,477 ± 0,003 σ = 0,142 ± 0,002 ГэВ2

m = 0,034 ± 0,043 ГэВ

13P2 a2(1320) 1317 1317 1318,3 ± 0,613D3 ρ3(1690) 1694 1694 1688,8 ± 2,113F4 a4(2040) 2001 2001 2001,3 ± 10,023S1 ρ(1700) 1694 1694 1720,0 ± 20,033S1 ρ(1450) 2266 2266 −

φтраектория (изоспин I = 0)13S1 φ(1020) 1019 1020 1019,46 ± 0,01

α∞ = 1,260 ± 0,002σ = 0,125 ± 0,002 ГэВ2

m = 0,434 ± 0,008 ГэВ

13P1 f2(1525) 1526 1503 1525,0 ± 5,013D3 φ3(1850) 1852 1866 1854,0 ± 7,013F4 f4(2050) 2115 2169 2018,0 ± 11,023S1 φ(1820) 1824 1866 −

Массы глюболов (траектория Померанчука )15S1 f(1710) 1705 1720 1710* α∞ = 2,446 ± 0,008

σ = 0,310 ± 0,004 ГэВ2

m = 0,469 ± 0,005 ГэВ15P2 f2(1525) 2374 2492 −15D3 f3(1850) 2869 3079 −

П р и м е ч а н и е. * − кандидат в глюболы f(1710).

В табл. 2 приводятся значения основных параме-тров траекторий Редже − интерсепты и наклоны. Эти параметры несколько отличаются от известных в ли-тературе, так как в нашем случае траектории − нели-нейные функции.

В этой работе мы рассмотрели связанное состоя-ние двух релятивистских частиц. Взаимодействие

Траектории Редже ρ, φмезонов и померона. Крестик обозначает кандидата в глюболы f(1710) для померона. Черные символы обозначают: треугольники − данные группы ZEUS [15], кружки −

массы мезонов на ρ и квадраты − на φ траекториях

Т а б л и ц а 2. Параметры траекторий Редже ρ-, φ-мезонов и померона

Интерсепт траектории Наклон траектории (GeV/c)–2

αρ(0) = 0,472 α′ρ(0) = 0,874αφ(0) = 0,445 α′φ(0) = 0,416αP(0) = 1,081 α′P(0) = 0,274



Беларуси

частиц в системе моделируется с использованием КХД мотивированного потенциала типа во-ронки с бегущей «постоянной» сильной связи αs(r), удовлетворяющей свойству асимптотической свободы . В нашем исследовании потенциал взаимодействия является лоренц-скаляром и адди-тивен к массам частиц . Это значит, что составляющие связанную систему частицы могут рас-сматриваться как частицы с координатной зависимостью массы m(r) .

На основе этого решения получена асимптотическая массовая формула, а также выраже-ние для траекторий Редже, в том числе померона, которые являются комплексными нелиней-ными функциями квадрата массы связанной системы – инвариантной переменной t в задачах рассеяния .


1 . Р е д ж е Т . Теория сильных взаимодействий при больших энергиях . М ., 1963; // Nuovo Cimento . 1959 . Т . 14 . С . 951 .

2 . К о л л и н з П . // Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий . М . Атомиздат . 1980 .3 . К а й д а л о в А . Б ., Т е р - М а р т и р о с я н К . А . // ЯФ . 1984 . Т . 39 . С . 1545; ЯФ . 1984 . Т . 40 . С . 211 .4 . L y k a s o v G . I ., K a r p o v a Z . M ., S e r g e e n k o M . N ., B e d n y a k o v V . A . // Euro . Phys . Lett . 2009 .

Vol . 86 . P . 61001 .5 . S e r g e e n k o M . N . // Phys . Rev . D . 2000 . Vol . 61 . P . 056010 .6 . Л ы к а с о в Г . И ., А р а к е л я н Г ., С е р г е е н к о М . Н . // Модель кварк-глюонных струн: мягкие и жесткие

адронные процессы . Дубна . ЭЧАЯ . 1999 . Т . 30(4) . С . 1 .7 . Л ы к а с о в Г .И ., С е р г е е н к о М .Н . // ЯФ . 1991 . Т . 54 . С . 1691; ЯФ . 1992 . Т . 55 . С . 2502; ЯФ . 1996 . Т . 59 . С . 503 .8 . L y k a s o v G . I ., S e r g e e n k o M . N . // Z . Phys . C . 1996 . Vol . 70 . P . 455 .9 . E i c h t e n E . et al . // Phys . Rev . D . 1978 . Vol . 17 . P . 3090 .10 . C o r n w a l l G . I . et al . // Phys . Rev . D . 1982 . Vol . 26 . P . 1453 .11 . S e r g e e n k o M . N . // Euro . Phys . Lett . 2010 . Vol . 89 . P . 11001 .12 . S e r g e e n k o M . N . // Z . Phys . C . 1994 . Vol . 64 . P . 315; ЯФ . 1993 . Т . 56 . С . 140 .13 . Б о г у ш А . А ., О с т а п е н к о А . В ., Т о л к а ч е в Е . А . // ЯФ . 1980 . Т . 31 . С . 188 . 14 . Г о р б а ц е в и ч А . К ., Т о м и л ь ч и к Л . М . // Препринт 415 / Институт физики АН БССР . Минск, 1986 .15 . D e r r i c k M . et al . (ZEUS Collaboration) // Phys . Lett . 1992 . Vol . B293 . P . 465 .

M. n. SErgEEnKO

msergeen@mail .ru

HADRON MASSES AND REGGE TRAJECTORIES FOR THE FUNNEL TYPE POTENTIAL

Summary

The potential approach in hadron physics to solve the relativistic two body problem is used . Interaction of particles in the system is described by the relativistic quasi-potential equation of Bethe–Salpeter type with the scalar potential . Eigenvalues of the system – squared hadron masses – are defined by the quasi-classical method . Mass spectra, Regge trajectories, αr(t), of hadrons and the pomeron, αP(t), in the whole region of the invariant variable t are obtained in apparent form .



Беларуси

44


уДк 530.12

е. А. толкАчеВ

ГАЛИЛЕЕВСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА С ИСТОЧНИКАМИ ДВУХ ТИПОВ И ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

(Представлено членом-корреспондентом л. М. томильчиком)

институт физики им. Б. и. степанова нАн Беларуси, Минск Поступило 18.07.2011

Введение. Принято считать [1], что существуют две системы уравнений электродинамики, инвариантные относительно преобразований группы Галилея . Одна из них, именуемая «магнит-ной» [1], или «домаксвелловской» [2]

[ ] 0, [ ] , ( ) , ( ) 0,t e eh E h j E h∂ + ∇ = ∇ = ∇ = ρ ∇ = (1)

отличается от уравнений Максвелла в вакууме отсутствием тока смещения, вторая

[ ] 0, [ ] , ( ) , ( ) 0t e eE E h j E h∇ = − ∂ + ∇ = ∇ = ρ ∇ = (2)

называется «электрической» [1] . Различные подходы к выводу этих уравнений с помощью пре-дельной процедуры из уравнений Максвелла или редукции представлений группы Пуанкаре предложены и описаны в [3–5] . В настоящей работе продемонстрировано, что только система (2) непосредственно удовлетворяет принципу относительности Галилея, а закон преобразования тока в системе (1) не допускает его интерпретации в терминах движения зарядов . Будет показа-но, что «магнитная» система уравнений согласуется с законом сложения скоростей зарядов при замене электрических источников на магнитные . Обе системы полевых уравнений инвариантны относительно дуальных преобразований, введенных в [6] . Галилеевски инвариантная система уравнений электродинамики в макроскопической форме с уравнениями связи, зависящими от абсолютной скорости, подчиняется принципу относительности при наличии электрических и магнитных источников, но не является дуальноинвариантной .

Теоретическая часть. Наиболее просто уравнения электродинамики и конечные преобра-зования групп пространственно-временной и дуальной симметрии представляются с помощью бикватернионного варианта векторной параметризации Ф . И . Федорова соответствующих групп . Напомним [7], что любой элемент алгебры бикватернионов в векторном базисе пред-ставим в виде 0 0 0 ,a aq q e q e q q= + = + где 0 0 ,a a ae e e e e= = 2

0 1,e = ( ) [ ],a b a b a be e e e e e= − + ( ) , [ ] ,ab abca b a b ce e e e e= δ = ε , , 1, 2, 3,a b c = 0 , ae e – произвольные образующие алгебры кватер-нионов, а q0 и qa – комплексные, двойные или дуальные числа, в зависимости от значения ква-драта «мнимой» единицы i2, соответственно равного –1, +1, или 0 . Отсюда следует закон умно-жения бикватернионов в векторной форме (обозначение векторной части кватерниона и вектора – черта снизу) – 0 0 0 0( ) [ ] .qp q p q p q p p q q p= − + + + Для бикватернионов определены операции комплексного * * *

0q q q= − и кватернионного сопряжений 0 .q q q= − Первое является автомор-физмом, а второе – антиавтоморфизмом алгебры бикватернионов .pq q p= ⋅ С помощью этих морфизмов в алгебре бикватернионов можно выделить следующие подмножества

1 . *0q q q q r= = ± → = либо 0;q ir=

2 . *0q q q r ir= ± → = + либо 0 ;q ir r= + (3)



Беларуси

45

3 . ,q q q r ip= − → = +

инвариантные относительно преобразований, осуществляемых с помощью бикватернионов еди-ничной нормы 1,ll =

1 . ,q lql q→ = 2 . *,q lql→ 3 . (*) (*) .q l ql→ (4)

В векторной параметризации бикватернион

1

1 ( )( )

a ibla ib a ib

+ +=

+ + + (5)

определяет преобразования шести параметрической группы – SO(3 .1) при 2 1,i = − SO(4) при 2 1i = и однородной группы Галилея при 2 0 .i = В последнем случае при 0b = имеем преобразо-

вание группы вращений SO(3), а при 0a = – преобразования Галилея – нерелятивистские бусты . Параметр b при этом может иметь размерность скорости, так как из-за 2 0,i = он всегда будет оставаться на «мнимой» оси .

Параметризуем теперь с помощью бикватернионов пространство–время, выбирая в качестве координат бикватернион второго типа . Если в пространстве Минковского с одинаковым успехом можно выбрать x it x= + или ,ix t ixξ = = − + то для физического пространства Галилея–Ньютона возможен только второй вариант . При преобразованиях Галилея имеем

( 2 ) ( ),t ix t i x bt t i x Vt− + → − + − ≡ − + − (6)

что согласуется с четырехмерным инвариантом 2tξξ = и позволяет не заботиться об одинаковой размерности скалярной и векторной части бикватерниона x . Очевидно, что при преобразованиях Галилея 4-скорость 1 1 ( ),tu d iv i v V= ξ = − + → − + − удовлетворяет нерелятивистскому закону сложения скоростей . Бикватернионный дифференциальный оператор, который будем по тради-ции выбирать в виде

,ti∇ = − ∂ +∇ (7)

преобразуется при бустировании (6) как «ковектор»

[ ( )] .t ti i V∇ = − ∂ +∇→ − ∂ + ∇ +∇ (8)

В пространстве Минковского с одинаковым успехом можно записывать уравнения Максвел-ла либо как

( ) ,e eh iE i j∇ − = ρ + (9)

где h iE− – бикватернион напряженностей электромагнитного поля; e ei jρ + – электрический ток; либо в виде

( ) .e eE ih ij∇ + = −ρ + (10)

Однако при 2 0i = только уравнение (10) приводит к «электрической» системе (2) со следую-щими законами относительно преобразований Галилея (6) напряженностей, плотностей зарядов и токов

[ ], ,, .e e e e e

h h VE E Ej j V

→ − →ρ →ρ → −ρ

(11)

Преобразование плотности тока, понимаемого как движение электрических зарядов, очевид-но, согласуется с законом сложения скоростей нерелятивистской механики . При подстановке же в уравнение (9) дуальной единицы получается «магнитная» система уравнений (1) с законами преобразования

, [ ],( ), .e e e e e

h h E E VhV j j j

→ → +ρ →ρ − →

(12)



Беларуси

46

Следует напомнить, что плотность eρ и ток ej в (12) являются независимыми, поскольку из (1), (9) не следует уравнение непрерывности . Кроме того, токи, входящие в (1), в соответствии с взглядами середины позапрошлого века, являются исключительно замкнутыми, так как ( ) 0 .ej∇ = «Магнитную» систему (1), (9) можно согласовать с принципом относительности, вводя в правую часть вместо электрических источников магнитные, в полном соответствии с ее назва-нием, выбранным из других соображений . Тогда

( ) ,g gh iE ij∇ − = −ρ + (13)

или в векторных обозначениях

[ ] , [ ] 0, ( ) 0, ( ) .t g gh E j h E h∂ + ∇ = − ∇ = ∇ = ∇ = ρ (14)

Уравнения (10) и (13) формально можно записать в двухзарядовом виде, используя дуальные преобразования напряженностей и токов [6], т . е . умножая их левую и правую части на exp( ) 1 ,i iϑ = + ϑ где ϑ – действительный параметр . При этом токи приобретают мнимую добавку, не изменяющуюся при преобразованиях Галилея

( )(1 ) ( ) .e e e e e g eij i i ij i iJ−ρ + + ϑ = − ρ ϑ+ −ρ + ≡ − ρ + (15)

Соответствующая формула преобразования магнитного тока в (13) отличается от (15) заме-ной .e g↔ Конечно, порождаемые дуальными преобразованиями токи и заряды фиктивны, так как не сказываются на наблюдаемых . Легко видеть, однако, что и для уравнений электродинами-ки в пространстве Галилея–Ньютона дуальные преобразования сохраняют свою эвристическую силу – позволяют предсказать форму уравнений при наличии двух типов зарядов . Действитель-но, если вместо (10) записать в пространстве Минковского уравнения Максвелла с электрически-ми и магнитными источниками [7]

( ) ( ),e e g gE ih ij i j∇ + = −ρ + − ρ + (15)

затем заменить в нем мнимую единицу на дуальную, то полученные уравнения будут удовле- творять принципу относительности Галилея лишь при 0,gj ≡ т . е . при исчезновении плотности магнитного тока в пределе малых скоростей . Аналогичное утверждение относится к системе

( ) ,e e g gh iE i j ij∇ − = ρ + −ρ + (16)

эквивалентной (15) в пространстве Минковского . Производя в ней контракцию 2 21 0,i i= − → = убеждаемся, что принципу относительности она удовлетворяет только при 0 .ej ≡

Таким образом, пространственно-временная и дуальная симметрии позволяют ввести в «элект-рическую» систему уравнений нерелятивистской электродинамики только плотность магнитно-го заряда, а в обобщенную «магнитную» систему (13) – только электрическую плотность .

Выше речь шла о нерелятивистском аналоге уравнений Максвелла в вакууме, когда перемен-ными являются только напряженности полей . Хорошо известно, что в пространстве Минковско-го вакуумные уравнения Максвелла можно рассматривать как предельный случай уравнений макроскопической электродинамики

[ ] 0, ( ) 0,[ ] 0, ( ) 0 .

t

t

B E Bd h d

∂ + ∇ = ∇ =

−∂ + ∇ = ∇ = (17)

при тривиальных уравнениях связи

, ,d E B h= = (18)

которые при преобразованиях Лоренца лишь формально изменяют свой вид

[ ] [ ], [ ] [ ],d V h E V B B V E h V d+ = + − = − (19)

в чем легко убедиться подстановкой этих уравнений друг в друга . При этом вне зависимости от значения скорости движения системы отсчета остаются справедливыми уравнения (18) . Хорошо



Беларуси

47

известно, что уравнения поля (17) могут быть записаны в тензорной форме, что обеспечивает их инвариантность относительно произвольных невырожденных линейных пространственно-временных преобразований [8] . Если, следуя [9], выбрать уравнения связи в виде

[ ], [ ],d E V B B h V d= + = − (20)

то система (17), (20) будет инвариантна относительно преобразований Галилея

, [ ],[ ], .

B B E E V Bh h V d d d

′→ → +′→ − →

(21)

При этом, естественно, происходит сложение скоростей по нерелятивистскому закону .V V V ′→ + Нетрудно заметить, что первая пара полевых уравнений (17) преобразуется относи-

тельно (21) аналогично «магнитной» системе, вторая – «электрической» . Это свойство позволяет ввести в полевые уравнения электрические и магнитные источники в полном согласии с прин-ципом относительности, но с потерей дуальной инвариантности . Это становится практически очевидным при записи (17), (19) и (20) в бикватернионах . При этом уравнения поля приобрета-ют вид

*

*

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

g g

e e

B iE B iE ij

d ih d ih ij

∇ − + ∇ − = −ρ +

∇ + + ∇ + = −ρ + (22)

а уравнения связи записываются как

* *

* *

[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ,

[( ) ( )] [ ( ) ( ) ] ,V V

V V

i u B iE B iE u u d ih d ih u

B iE u u B iE i u d ih d ih u

− + − = + − +

− − − = + + + (23)

где 1u iV= − + – галилеевская 4-скорость, а 1[ ] ( )2Vq q q≡ − означает взятие векторной части

бикватерниона q . Уравнения (22), (23) при 2 1i = − эквивалентны системе (17), (19), а при 2 0i = – (17), (20) . В первом случае, когда возможно умножение на мнимую единицу без потери информа-ции, уравнения связи (23) сводятся к равенству ,B iE h id− = − которое эквивалентно (18) и лег-ко преобразуется к дуально инвариантному виду .B id h iE+ = + Для бикватернионов над ду-альными числами нельзя проводить аналогичные манипуляции и уравнения (22), (23) не симметричны относительно дуальных преобразований .

Заключение. Сделаем несколько методологических замечаний . 1 . Скорость в вакуумных уравнениях связи (20) может трактоваться как скорость системы от-

счета относительно абсолютного пространства Ньютона – покоящейся системы отсчета, не свя-занной ни с каким конкретным телом . Исследование реликтового излучения привело к обнару-жению системы отсчета, в которой оно максимально изотропно . Эта инерциальная система, в отличие от стандартных определений, не связана ни с каким объектом во Вселенной, а лишь со свойством наполняющего ее электромагнитного излучения . Сегодня любое движение, включая равномерное, в принципе, обнаружимо, по появлению дипольной анизотропии в спектре релик-тового излучения . Наличие такой системы отсчета никак не сказывается на группе симметрии физических уравнений, которая определяет правила «пересчета» результатов наблюдений в си-стемах, движущихся с постоянной скоростью друг относительно друга, или связывает свойства тел, скорости которых отличаются на постоянную величину в одной и той же системе отсчета .

2 . К полевым уравнениям классической электродинамики принцип соответствия не приме-ним непосредственно, в отличие от уравнений движения точечных зарядов . Это следовало ожи-дать уже потому, что разложение по V / c преобразований Лоренца напряженностей электриче-ского и магнитного полей [ ], [ ], 1E E Vh h h VE c→ + → − = не воспроизводит ни одну из фор-мул (11), (12) .

3 . Существование единственного нерелятивистского предела уравнений Максвелла, удовлет-воряющего принципу относительности Галилея – «электрической» системы уравнений (2), так-



Беларуси

же не является неожиданным . Было бы странно, если бы таковой оказалась электродинамика Ампера–Вебера, представленная Максвеллом в 1855 г . в виде системы дифференциальных уравнений, которые в вакууме сводятся к (1) . Ведь известная сила Вебера (см . напр . [10; 11]), описывающая взаимодействие движущихся зарядов, не только фактически вносит в уравнения Ньютона зависимость массы от расстояния, но и приводит, как показала дискуссия Вебера и Гельмгольца, к неизбежному ограничению скорости движения электрических зарядов уни-версальной константой, что никак не может быть согласовано с нерелятивистским законом сложения скоростей .

4 . В нерелятивистских пределах уравнений Максвелла (1), (2) нельзя использовать дополни-тельное уравнение ,j E= λ поскольку его левая и правая части имеют различные трансформаци-онные свойства относительно преобразований Галилея . Магнитная система (1) с этим замыкаю-щим ее условием не удовлетворяет принципу относительности, в отличие от уравнений механи-ки . Таким образом, не существует последовательной механической модели электродинамических уравнений Максвелла даже без тока смещения . Это вполне согласуется с высказыванием Мак-свелла, приведенным в [10], о том, что его механические модели следует рассматривать «как ил-люстративные, а не как объясняющие» .

Выражаю признательность Льву Митрофановичу Томильчику и Юрию Андреевичу Куроч-кину за плодотворные дискуссии .


1 . L e B e l l a c M ., L e v y - L e b l o n d J . M . // Nuov . Cim . 1973 . Vol . 14B . P . 217–233 .2 . Ф у щ и ч В . И ., Н и к и т и н А . Г . Симметрии уравнений Максвелла . Киев, 1983 .3 . H o l l a n d P ., B r o w n H . R . // Studies in History and Philosophy of Science . 2003 . Vol . 34 . P . 161–187 .4 . N i e d e r l e J ., N i k i t i n A . G . // arXiv: math-ph . 2007 . 0707 .3386 v1 . P . 1–17 .5 . N i e d e r l e J ., N i k i t i n A . G . // arXiv: math-ph . 2009 . 0810v2 . P . 1–24 .6 . К у р о ч к и н Ю . А ., Т о л к а ч е в Е . А . // ДАН БССР . 1990 . Т . 34, 8 . С . 695–697 .7 . Б е р е з и н А . В ., К у р о ч к и н Ю . А ., Т о л к а ч е в Е . А . Кватернионы в релятивистской физике . Минск,

1989 .8 . М и л л е р М . А ., С о р о к и н Ю . М ., С т е п а н о в Н . С . // УФН . 1977 . Т . 121, вып . 3 . С . 525–538 .9 . Б а р ы к и н В . Н ., Т о л к а ч е в Е . А ., Т о м и л ь ч и к Л . М . // Изв . АН БССР . 1982 . 2 . С . 96–98 .10 . Ш а п и р о И . С . // УФН . 1972 . Т . 108, вып . 2 . С . 319–333 .11 . Б у л ю б а ш Б . В . // Вопр . ист . естествознания и техники . 1990 . Т . 1 . С . 19–27 .

E. A. tOlKAChEV

tea@dragon .bas-net .by

GALILEO INVARIANT ELECTRODYNAMICS WITH SOURCES AND THE RELATIVITY PRINCIPLE

Summary

It is shown that in the presence of external electric-type sources there is only one non-relativistic limit of Maxwell's equations satisfying the principle of Galilean relativity . This limit does not coincide with the field equations of Ampere–Weber electrodynamics which were formulated by Maxwell in 1855 . Dual invariance and the principle of relativity allow the introduction of only a magnetic charge density into the non-relativistic equations of electrodynamics . Non-relativistic vacuum equations of electrodynamics in the macroscopic form are not dually invariant .



Беларуси

49


уДк 530.1,535.3

Академик А. М. гончАренко

ВРАщАЮщИЕСЯ СОЛИТОНЫ

институт физики им. Б. и. степанова нАн Беларуси, Минск Поступило 02.09.2011

В работах [1–5] установлены и исследованы вращающиеся световые пучки основной и вто-рой гармоники . Последние возбуждаются в нелинейных средах вращающимся основным пуч-ком . В работах [6–8] детально исследованы оптические трехмерные солитоны . Процесс генера-ции солитонов в определенной мере подобен процессу генерации второй гармоники . Поэтому можно предполагать, что должны существовать и вращающиеся оптические солитоны . Но пока нам не известны соответствующие экспериментальные данные . Тем не менее, мы считаем целе-сообразным изложить здесь приближенную теорию вращающихся оптических солитонов .

В нелинейных так называемых кубичных средах распространение солитонных импульсов определяется следующим уравнением Шредингера [9] относительно огибающей функции элек-трического поля ( , , ) :E x y z

2

0 00 .

2 2E i i kE Ez k k⊥

∂ ∆+ ∆ + =

∂ (1)

Здесь ⊥∆ – поперечный оператор Лапласа; 0k – постоянная распространения; k∆ – нели-нейная добавка к постоянной распространения, которую записываем в виде

0 (1 ) .k k n= + ∆ (2)При этом

2

0 ,n E∆ = β (3)

2 2

02 .k k n∆ = ∆ (4)

Полагая 0 ( , , ),E A x y z= ψ получаем

22 22

0 0 00

.2

k k Ak

∆= β ψ = α ψ (5)

В итоге имеем следующее уравнение:

2 22

2 20 0

0 .2 2

i i iz k kx y

∂ψ ∂ ψ ∂ ψ+ + + α ψ ψ =

∂ ∂ ∂ (6)

Вводим систему координат 0 02 , 2x x k y y k′ ′= = и в результате получаем (штрихи далее опу-скаем)

2 22

2 2 0 .i i iz x y

∂ψ ∂ ψ ∂ ψ+ + + α ψ ψ =

∂ ∂ ∂ (7)

Ищем решение этого уравнения в виде гауссовых вращающихся пучков

2 2 2 2

1 2 0 02 2 2 20 0 0 0

exp[ ( ) / ] .x x y yi i i u iv xy x yx f x g y h y l

ψ = γ − γ − + − + − − (8)



Беларуси

50

Здесь 1 2, , , , , , ,f g h l u vγ γ – функции продольной координаты z . Поскольку теория вращаю-щихся пучков достаточно сложная (см . [1]), мы предполагаем медленное вращение, при котором членами, пропорциональными u2, v2, uv, можно пренебречь . В таком приближении из уравнения (7) с учетом (8) получаем следующую систему уравнений:

1 22 2

0 0

2 2 2 0,x f y h

′γ − − + α − αγ = (9)

2 2 2

0 0

2 2 0;x g y l

′γ + + = (10)

2 2 2 2 2

0 0

4 4 2 0,gfg x f y g

′ α− + + = (11)

20

8 0;ff x g′+ = (12)

2 2 2 2 2

0 0

4 4 2 0,lhl y h y l

′ α− + + = (13)

20

8 0;hh y l′+ = (14)

0,u bv au′ − − = (15)

2 0 .v av bu u′ − + − α = (16)

Здесь штрих означает производную по z, 2 2 2 20 0 0 0( ) 4 / 4 / , ( ) 4 / 4 / .a z x g y l b z x f y h= + = +

Уравнения (9)–(14) совпадают по форме с соответствующими уравнениями для обычных не-вращающихся пространственных солитонов [7] . Поэтому функции 1 2, , , , , , ,a b f g h lγ γ можем считать известными . В таком случае вращение солитонов определяется решением уравнений (15) и (16) . При этом функция u(z) определяет вращение поперечного сечения солитона (светово-го пятна), а v(z) – вращение фазовой поверхности . Нас главным образом интересует именно вра-щение светового пятна .

Из (15), (16) после несложных преобразований получаем следующее дифференциальное урав-нение:

2

1 2 0 .u u u′′′ ′− ϕ + ϕ = (17)

Здесь

1 2 / ,a b b′ϕ = + (18)

2 2 22 ( ) 2 ab a bz a b b

b′ ′−

ϕ = + − α + (19)

– функции продольной координаты . При слабых колебаниях поперечных размеров солитона эти функции проиближенно можно считать постоянными . Поскольку детерминант 2

1 24 0,ϕ − ϕ об-щее решение уравнения (17) можно представить в виде [10]

1 1 2 2exp( ) exp( ) .u C s z C s z= + (20)

Здесь 2 21 22 , 2 .s a i b b s a i b b= + − α = − − α Запишем это решение в более удобном для ана-

лиза виде

2 2exp( )cos 2 exp( )sin 2 .u A az b bz B az b bz= − α + − α (21)



Беларуси

Для определения неизвестных постоянных полагаем, что при z = 0 имеем u = u0 и произво-дная 0 .u′ = В результате

2 20 2

exp( )[cos 2 sin 2 ] .2

au u az b bz b bzb b

= − α − − α− α

(22)

Следовательно, солитон совершает периодическое вращение с изменяющимися амплитудой и продольным периодом . Если фазовый фронт солитона плоский (a = 0), то имеем чисто колеба-тельное вращение

2

0 cos 2 .u u b bz= − α (23)

Продольная длина периода вращения 2

.2 2

zb b

π∆ =

− α Если же 0,a ≠ но ,a b то при неболь-

шой глубине

2

0 (1 )cos 2 .u u az b bz= + − α (24)

В этом случае имеется периодическое вращение солитона, но амплитуда вращения монотон-но возрастает с глубиной .

Заметим, однако, что эти выводы получены при упрощении реальной ситуации . Тем не ме-нее, полученное решение в определенной мере отражает реальный процесс распространения вращающихся оптических солитонов .


1 . Г о н ч а р е н к о А . М . Гауссовы пучки света . М ., 2005 .2 . Г о н ч а р е н к о А . М . и др . // Весці АНБ . Сер . фіз .-мат . навук . 1975 . Вып . 6 . С . 53 .3 . Г о н ч а р е н к о А . М . и др . // ЖПС . 1972 . Т . 29, 2 . С . 350 .4 . Г о н ч а р е н к о А . М ., Б е л о у с о в а Л . А . // ЖПС . 1982 . Т . 36 . С . 963 . 5 . Г о н ч а р е н к о А . М . и др . // Весці АНБ . Сер . фіз .-мат . навук . 1984 . Вып . 4 . С . 54 .6 . Г о н ч а р е н к о А . М . // Весці НАН Беларусі . Сер . фіз .-мат . навук . 1999 . 3 . С . 44 .7 . Г о н ч а р е н к о А . М . // Докл . НАН Беларуси . 2000 . Т . 44, 3 . С . 43 .8 . Г о н ч а р е н к о А . М . и др . // Весці НАН Беларусі . Сер . фіз .-мат . навук . 2000 . 4 . С . 60 .9 . S i l b e r b e r g Y . // Opt . Lett . 1990 . Vol . 15 . P . 1283–1284 .10 . К а м к е Э . Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям . М ., 1976 .

А. М. gOnChArEnKO

ifanbel@ifanbel .bas-net .by

ROTARY SOLITONS

Summary

Some properties of optical rotary solitons are considered .



Беларуси

52


ХИМИя

уДк 547.786.1+547.788+641.183

член-корреспондент В. и. Поткин1, н. А. БуМАгин2, В. М. зеленкоВскиЙ1, с. к. ПеткеВич1, Ю. с. зуБенко1, М. В. лиВАнцоВ2, Д. с. БелоВ2

СИНТЕЗ И СТРУКТУРА КОМПЛЕКСОВ ПАЛЛАДИЯ(II) С ОКСИМОМ 5-(п-ТОЛИЛ)ИЗОКСАЗОЛ-3-КАРБАЛЬДЕГИДА

И 4,5-ДИХЛОРИЗОТИАЗОЛ-3-КАРБОКСИЛАТНЫМ ФРАГМЕНТОМ

1институт физико-органической химии нАн Беларуси, Минск 2химический факультет Мгу им. М. В. ломоносова, Москва Поступило 22.06.2011

Интерес к комплексам переходных металлов постоянно растет, что обусловлено исключи-тельно важной ролью, которую они играют в развитии теоретических представлений координа-ционной химии, и широкими возможностями их практического применения . Комплексы палла-дия являются эффективными катализаторами реакций кросс-сочетания, которые используются для получения функционализированных биарилов, арилированных олефинов, ацетиленов и их гетероциклических аналогов, являющихся структурными фрагментами новых лекарственных соединений и современных материалов [1; 2] . Работы по исследованию каталитических реакций кросс-сочетания были отмечены Нобелевской премией по химии 2010 года, что указывает на их высокую научно-практическую значимость .

Эффективность палладиевого комплекса как катализатора существенно зависит от лиганд-ного окружения металла и структуры координационной сферы . В настоящее время в качестве лигандов наряду с традиционными фосфинами используются различные азотистые гетероци-клы: оксазолины, фенантролины, хинолины, пиразолы, тетразолы, имидазолы и др . Однако далеко не все лиганды этого типа легкодоступны, а приемлемая каталитическая активность проявляется при относительно большом количестве катализатора (>1 мол% Pd) [3] . Представ-ляет интерес синтез комплексов палладия со слабо координирующимися изоксазольными и изотиазольными лигандами, из которых, по мнению авторов, в условиях проведения катали-тического процесса могут генерироваться in situ очень активные и одновременно устойчивые формы палладиевых катализаторов . Это, в свою очередь, позволит отказаться от использова-ния органических растворителей и проводить каталитические реакции в воде – наиболее эко-логически безопасном растворителе . Ранее палладиевые комплексы с 1,2-азольными лиганда-ми не изучались .

Цель работы – получение комплексов палладия с оксимом 5-(п-толил)изоксазол-3-кар-бальдегида 1 (лиганд L1) и остатком 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты 2 (лиганд L2) и установление их структуры для последующей оценки каталитической активности в ре-акциях кросс-сочетания . Выбранные производные изоксазола 1 и изотиазола 2 являются O,S-гетероаналогами и доступными соединениями, синтезируемыми гетероциклизацией соответственно (4-метилфенил)-трихлораллилкетона и 2-нитропентахлор-1,3-бутадиена, получаемыми, в свою очередь, последовательными превращениями димера трихлорэтилена [4; 5] .



Беларуси

53

NO

CH=NOH

Me1

NS

COOH

Cl

Cl

2L1

L2H

Нами установлено, что комплекс дихлорида палладия(II) 3 состава PdCl2-L1 образуется при взаимодействии эквимолярных количеств тетрахлорпалладата натрия и лиганда 1 в метаноле при 20 ºС . Характерная темно-коричневая окраска реакционной смеси, обусловленная Na2PdCl4, при смешении реагентов мгновенно переходит в желто-красную, и наблюдается выпадение кирпично-красного осадка . По данным тонкослойной хроматографии (ТСХ), через 5 мин в смеси полностью отсутствует исходный изоксазолилоксим 1 . Комплекс с двумя изоксазольными ли-гандами PdCl2(L1)2 не образуется даже при использовании двукратного избытка лиганда и дли-тельном кипячении .

Синтез комплекса с изотиазольным лигандом L2 осуществляли с использованием натриевой соли 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты 2а . В отличие от изоксазольного производного 1 в реакцию с Na2PdCl4 вступают 2 молекулы 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоксилата натрия 2а . Комплекс с одним изотиазольным лигандом получить не удалось . При смешении реагентов в воде при комнатной температуре также наблюдалось быстрое исчезновение темно-коричневой окраски тетрахлорпалладата натрия и выпадение светло-серого осадка комплекса Pd(L2)2 – бис[(4,5-дихлоризотиазол-3-карбонил)окси]палладия 4 . ТСХ-анализ маточного раствора после подкисления HCl показал отсутствие следов 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты 2 . При использовании вместо соли 2а исходной кислоты 2 комплексообразование не происходит .

Синтезированные палладиевые комплексы 3, 4 идентифицированы на основании данных элементного анализа и ИК спектров, в которых присутствуют характеристические полосы коле-баний связей C=N и C=C гетероциклов и колебаний связей С=О, C=N и C=C соответствующих экзоциклических функциональных групп .

Комплексы 3, 4 не растворимы в органических растворителях и в воде, что не позволяет запи-сать их ЯМР спектры и вырастить монокристаллы для рентгеноструктурного анализа . Информа-цию о структуре синтезированных комплексов мы получили путем квантово-химических расче-тов их молекулярной геометрии и ИК спектров с последующим сопоставлением вычисленных зна-чений частот колебаний с экспериментальными данными . Расчеты выполняли в рамках метода DFT (программный пакет GAMESS [6; 7]) с полной оптимизацией энергии, варьировались все гео-метрические параметры . Для расчетов использовались уровни теории B3LYP1/MIDI(3D) и B3PW91/MIDI(3D) . Они позволяют выполнять расчеты всего комплекса в полноэлектронном приближении с использованием метода DFT и базиса MIDI (аналога базиса 3-21G), включающего полноэлектрон-ный базис атома палладия [8] . Использование метода DFT приводит к хорошим результатам в про-цессе моделирования колебательных спектров химических соединений при введении масштаби-рующего множителя, который зависит от уровня теории и типа соединения [9] . Для интерпретации результатов расчетов использовалась программа Facio [10; 11] .

Для комплекса 4 с изотиазольными лигандами теоретически возможно существование трех структур: карбоксилатно-координированной формы 4а и N,O-координированной формы с цис- и транс-конфигурацией координационного узла 4b, 4c соответственно . Нами выполнены квантово-химические расчеты для всех возможных форм 4a–4c .

NO

CH=NOH

Me

Pd Cl

Cl3

NS

Cl

Cl

PdO

O

O N S

Cl

ClO

4a



Беларуси

54

NSCl

Cl

Pd

O

O

O

NS

Cl

Cl

O

4c

NSCl

Cl

Pd

O

O

O

N

SCl

Cl

O

4b

При использовании уровня теории B3PW91/MIDI(3d) для транс-формы 4с не удалось до-стичь точки минимума на поверхности потенциальной энергии системы, в отличие от комплекса 3 и изомеров 4а и 4b . Использование уровня теории B3LYP1/MIDI(3d) позволило для всех струк-тур осуществить полную оптимизацию энергии и вычислить оптимальную геометрию .

В результате расчетов установлено, что в изоксазольном комплексе 3 лиганд координируется к палладию по бидентатно-циклическому типу атомами азота гетероцикла и оксимной группы с образованием пятичленного металлацикла, рассчитанная энтальпия молекулы (н) соединения 3

составляет 562,87 кДж/моль . За счет эффек-тивного сопряжения в системе молекула ком-плекса 3 практически плоская, отклонение атомов от общей плоскости ≤2,1º за исклю- чением атомов водорода метильной группы . В узле PdN2Cl2 выход атомов из плоскости не превышает 1,2º . Структурные характеристики молекулы лиганда L1 незначительно отлича-ются от соответствующих параметров для комплекса этого лиганда с дихлоридом меди (II), определенных методом РСА [12] . В част-ности, отличия в длинах связей гетероцикла составляют не более 0,03 Å . Структура моле-кулы 3 изображена на рисунке, значения основ-ных длин связей и валентных углов приведены в табл . 1 .

Для рассчитанной оптимальной структуры комплекса 3 нами были вычислены значения основных частот колебаний в ИК спектре и сде-ланы их отнесения . Полученные значения (табл . 2) вполне удовлетворительно совпадают с экспериментальными данными, что указыва-ет на корректность выполненных расчетов .

Для карбоксилатно-координированной фор-мы комплекса 4а вычисленные значения частот колебаний существенно отличаются от экспе-риментально наблюдаемых, поэтому реализа-цию такой структуры в нашем случае можно считать маловероятной .

Из данных расчетов следует, что в цис- и транс-формах 4b и 4c изотиазольного ком-плекса Pd(II) оба лиганда L2 координируются Рассчитанные структуры молекул комплексов 3, 4b и 4c



Беларуси

55

к палладию по бидентатно-циклическому типу атомом азота гетероцикла и атомом кислорода карбоксильной группы с образованием пятичленных металлациклов . Как и в случае комплекса 3 молекулы 4b и 4с практически плоские, выход атомов азота и кислорода из плоскости координа-ционного узла PdN2O2 не превышает 0,05º, что объясняется эффективным сопряжением в систе-ме С=С, C=N и С=О связей . Соответствующие геометрические параметры обоих изомеров мало отличаются . Интересно отметить, что рассчитанные структурные характеристики лиганда L2 весьма близки к соответствующим параметрам молекулы 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты 2, ранее определенным методом РСА, за исключением экзоциклической С–С связи, ко-торая в цис-форме на ~0,04 Å длиннее, чем в нейтральной молекуле L2Н [13] .

Вычисленные значения основных частот колебаний в ИК спектрах обеих изомерных форм 4b и 4с удовлетворительно коррелируют с соот-ветствующими экспериментальными величи-нами и не позволяют сделать выбор в пользу какой-либо одной из структур (табл . 3) . В тер-модинамическом отношении цис-форма несколь-ко устойчивее, однако различия в рассчитанных величинах энтальпии образования незначитель-ны, значения н для цис- и транс-форм состав-ляют соответственно 263,02 и 263,39 кДж/моль .

Нами установлено, что синтезированные комплексы 3, 4 проявляют высокую активность в реакции Сузуки в водной среде . В частности, при катализе комплексами 3 или 4 (0,1 мол%) реакция 2,4-дифторфенилборной кислоты 5 с 5-бромсалициловой кислотой 6, проводимая в воде на воздухе при 100 ºС, заканчивается в обоих случаях за 15 мин и приводит с количе-ственным выходом к 5-(2,4-дифторфенил)-2-гидрокси-бензойной кислоте 7, являющейся субстанцией препарата дифлунизал – нестеро-идного противовоспалительного лекарственно-го средства (NSAID) с анальгетическим и жаро-понижающим эффектом .

Т а б л и ц а 1 . Некоторые длины связей d, Å и валентные углы ω, град. молекул комплексов 3 и 4

Комплекс 3 Комплекс 4

Связь d Угол ω Связьd

Уголω

цис-4b транс-4c цис-4b транс-4c

Pd–Nизокс 2,198 N–Pd–N 74,4 Pd–N 2,061 2,062 N–Pd–N 80,1 80,4Pd–Nоксим 2,013 Cl–Pd–Cl 90,7 Pd–О 2,012 2,008 Pd–N–C 113,1 112,3

Pd–Cl 2,231–2,237 Pd–N–Oизокс 129,4 C–OPd 1,304 1,305 Pd–O–C 117,3 117,3C–Nизокс 1,320 Pd–N–Ооксим 125,9 C–Oкарб 1,210 1,210 C–C–OPd 113,2 112,8C–Nоксим 1,295 C–N–Оизокс 108,8 C–Cэкзо 1,521 1,517 O–C–O 126,6 126,1C–Cизокс 1,380–1,423 C–N–Ооксим 119,7 C–Cизотиа 1,374–1,422 1,374–1,418 N–C–Cизотиа 114,6 114,6C–Cоксим 1,459 C–C–Nизокс 109,4 C–N 1,323 1,325 N–C–Cэкзо 116,3 117,1С–Саром 1,385–1,409 C–C–Nоксим 116,2 C–S 1,721 1,723 N–S–C 92,5 92,1N–Oизокс 1,352 C–C–Cизокс 104,3 N–S 1,673 1,668 S–N–C 111,9 111,2N–Oоксим 1,352 С–C–Оизокс 108,8 C–Cl 1,686–1,693 1,687–1,695 C–C–S 110,7 111,0

Т а б л и ц а 2 . Расчетные и экспериментальные значения основных частот колебаний

в ИК спектре комплекса 3 (масштабирующий множитель k = 0,975)

Тип колебания* Частота, см–1

эксперимент расчет

ν(С–Н)аром 3065 3056ν (С–Н)метил 2922 2898ν(С=С)аром 1612 1612

ν(С=N)оксим + ν(С=С)изокс 1562 1534δ(С–Н)аром 1505 1496

δ(С–Н)метил+ν(С=N)изокс 1458 1459δ(N–О–Н) 1375 1390ν(С=С)аром 1292 1307

δ(С–Н)оксим + δ(О–Н) 1251 1249δ(С–Н)аром 1185 1185

ν(N–О)изокс + δ(С–Н)аром 1114 1118δ(С–Н)изокс+ ν(N–O)изокс 1037 1047

δ (С–Н)аром 1018 1010δ(С–О–N)изокс 946 937

δ(С–Н)аром 822 838δ (С–Н)изокс 798 791

П р и м е ч а н и е . * – здесь и далее приведены отне-сения, вносящие наибольший вклад в частоту колебаний .



Беларуси

56

0 .1 mol% 3 or 4

K2CO3, 1 mol% Bu4NBrH2O, 100 oC

F

F F

F

OH

CO2H

OH

CO2H

+B(OH)2

Br

5 67

Т а б л и ц а 3 . Расчетные и экспериментальные значения основных частот колебаний в ИК спектрах цис- и транс-форм комплекса 4 (масштабирующие множители k = 0,954 для 4b и k = 0,941 для 4c)

Тип колебанияЧастота, см–1

ЭкспериментРасчет

цис-форма 4b транс-форма 4c

ν(С=О) 1673 1675 1664ν(С=С) 1430 1464 1439δ(С=С) 1358 1357 1341

ν(C=C) + ν(C=N) 1313 1322 1312ν(C–Cl) 1098 1074 1060ν(C–S) 926 942 936ν(N–S) 840 849 853

δ(О–С–О) +δ(С–С)цикл 793 817 802δ(C–S) 759 727 727δ(C–N) 619 639 634

δ(C–S) + δ (C–O) 467 454 460

Известный подход к синтезу этого соединения в водной среде при катализе комплексом пал-ладия (2 мол%) с фосфиновым лигандом хотя и позволяет получать целевой продукт с выходом 95 %, но реакция завершается лишь за 8 ч, и при этом синтез необходимо проводить в инертной атмосфере .

Экспериментальная часть. ИК спектры соединений записаны на фурье-спектрофотометре Protege-460 фирмы Nikolet с приготовлением образцов в виде таблеток с KBr . Спектры ЯМР 1Н и 13С записаны на спектрометре Bruker Avance-400 в ДМСО-d6, химические сдвиги сигналов во-дородсодержащих групп измерены относительно ТМС, сигналов атомов углерода – относитель-но сигнала (CD3)2SO (δ 40,1 м . д .) . Тонкослойную хроматографию осуществляли на пластинках Силуфол УФ 254 .

Комплекс PdCl2 с оксимом 5-(п-толил)изоксазол-3-карбальдегида 3. К раствору 0,0404 г (0,2 ммоль) оксима 5-(п-толил)изоксазол-3-карбальдегида 1 в 2 мл метанола при комнатной тем-пературе при перемешивании прибавили по каплям 2 мл (0,2 ммоль) 0,1 М раствора Na2PdCl4 в метаноле . При смешении реагентов характерная темно-коричневая окраска раствора Na2PdCl4 мгновенно перешла в желто-красную, и наблюдалось выпадение кирпично-красного осадка . Анализ реакционной смеси через 5 мин методом ТСХ (элюент – смесь гексана и эфира 2 : 1) по-казал отсутствие исходного изоксазолилоксима 1 . После удаления растворителя на роторном ис-парителе и промывки остатка водой (3 × 2 мл) получили 0,0743 г (98 % теорет .) комплекса 3 . Найдено, %: C 34,58; H 2,52; Cl 18,81; N 7,43; Pd 28,17 C11H10Cl2N2O2Pd . Вычислено, %: C 34,81; H 2,66; Cl 18,68; N 7,38; Pd 28,04 . ИК спектр, см–1: 3130, 3065, 2922, 1612, 1587, 1562, 1505, 1458, 1445, 1375, 1292, 1251, 1185, 1114, 1037, 1018, 982, 946, 822, 808, 798 .

Бис[(4,5-дихлоризотиазол-3-карбонил)окси]палладий 4 . К 2,5 мл (0,25 ммоль) 0,1 М рас-твора NaOH прибавили 0,0495 г (0,25 ммоль) 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты и пере-мешивали 15 мин до растворения . К полученному раствору 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоксилата натрия при перемешивании при комнатной температуре по каплям прибавили 1,25 мл (0,125 ммоль) 0,05 М раствора Na2PdCl4 в воде . При смешении реагентов наблюдалось исчезновение темно-коричневой окраски Na2PdCl4 и выпадение светло-серого осадка . ТСХ-анализ (элюент – смесь гексана и эфира 2 : 1) маточного раствора после подкисления HCl показал отсутствие следов



Беларуси

4,5-дихлоризотиазол-3-карбоновой кислоты 2 . Осадок отфильтровали и промыли водой (3 × 4 мл) . Получили 0,0588 г (94 % теорет .) комплекса 4. Найдено, %: C 19,46; Cl 28,04; N 5,38; Pd 20,96; S 12,98 . C8Cl4N2O4PdS2 . Вычислено, %: C 19,20; Cl 28,34; N 5,60; Pd 21,26; S 12,81 . ИК спектр, см–1: 1673, 1624 (пл .), 1581 (пл .), 1430, 1358, 1313, 1264, 1098, 982, 926, 840, 793, 759, 619, 518, 467 .

5-(2,4-дифторфенил)-2-гидроксибензойная кислота: Смесь 0,217 г (1 ммоль) 5-бромсали-циловой кислоты 6, 0,1895 г (1,2 ммоль) (2,4-дифторфенил)борной кислоты, 0,414 г (3 ммоль) K2CO3, 3,2 мг (0,01 ммоль, 1 мол%) Bu4NBr и 0,5 мг (0,001 ммоль, 0,1 мол%) комплекса 4 в 5 мл воды кипятили 15 мин при интенсивном перемешивании на воздухе в отсутствие инертной ат-мосферы . Контроль за ходом реакции осуществляли методом ТСХ (элюент – смесь гексана и эфира 5 : 1) . По завершении реакции реакционную смесь разбавили 5 мл воды, нагрели до ки-пения и профильтровали горячей для освобождения от незначительного количества (~0,1 мол%) палладиевой черни . К фильтрату прибавили 1,5 мл спирта, нагрели до кипения и медленно под-кислили 10 % HCl при перемешивании . Выпавший мелкокристаллический осадок отфильтрова-ли и высушили . Выход 0,24 г (96 % теорет .) . Белые кристаллы, т . пл . 212–213 ºC . Спектр ЯМР 1H, δ, м . д .: 7,91 (с, 1H), 7,66 (д, 1H, J = 8,09 Гц,), 7,56 (дд, 1H, J = 8,82, 15,44 Гц,), 7,33 (ддд, 1H, J = 2,20, 9,93, 9,93 Гц,), 7,16 (ддд, 1H, J = 2,20, 8,09, 8,09 Гц,), 7,06 (д, 1H, J = 8,82 Hz, 1H) . Спектр ЯМР 13C, δ, м . д .: 171,6, 161,8 (дд, JC-F = 12,48, 224,72 Гц), 160,7, 158,9 (дд, JC-F = 12,48, 226,10 Гц), 135,8 (д, JC-F = 2,77 Гц), 131,5 (дд, JC-F = 4,16, 9,71 Гц), 130,3 (д, JC-F = 2,77 Гц) 125,1, 123,7 (дд, JC-F = 4,16, 12,48 Гц), 117,6, 113,2, 112,1 (дд, JC-F = 2,77, 20,81 Гц), 105,1 (дд, JC-F = 26,35, 26,35 Гц) .

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-дований, грант 10-03-90009-Бел_а, и Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований, грант Х10Р-030 .


1 . Metal-Catalyzed Cross-Coupling Reactions / Ed . A . De Meijere, F . Diederich . Weinheim, 2004 .2 . Handbook of Organopalladium Chemistry for Organic Synthesis / Ed . E-I . Negishi . New York, 2002 . Vol . 1 . Р . 1051 .3 . B e l l i n a F ., C a r p i t a A ., R o s s i R . // Synthesis . 2004 . 15 . P . 2419 .4 . П о т к и н В . И ., К а б е р д и н Р . В ., П е т к е в и ч С . К ., К у р м а н П . В . // Журн . орг . химии . 2002 . Т . 38,

вып . 8 . С . 1150–1155 .5 . К а б е р д и н Р . В ., П о т к и н В . И ., О л ь д е к о п Ю . А . // Журн . орг . химии . 1990 . Т . 26, вып . 7 . С . 1560–

1566 . 6 . S m i d t M . W ., B a l d r i d g e K . K ., B o a t z J . A . et al . // J . Comput . Chem . 1993 . Vol . 14 . Р . 1347–1363 .7 . Н е м у х и н А . В ., Г р и г о р е н к о Б . Л ., Г р а н о в с к и й А . А . // Вестн . МГУ . Химия . 2004 . Т . 45, 2 .

С . 75–102 .8 . H u z i n a g a S ., A n d z e l m J ., K l o b u k o w s k i M . Gaussian basis sets for molecular calculations . Amsterdam,

1984 .9 . S c o t t A . P ., R a d o m L . // J . Phys . Chem . 1996 . Vol . 100, 41 . P . 16502–16513 .10 . S u e n a g a M . // J . Comput . Chem . Jpn . 2005 . Vol . 4, 1 . P . 25–32 .11 . S u e n a g a M . // J . Comput . Chem . Jpn . 2008 . Vol . 7, 1 . P . 33–53 .12 . Ш а к и р о в а О . Г ., К у р а т ь е в а Н . В ., Л а в р е н о в а Л . Г . и др . // Журн . структ . химии . 2010 . Т . 51, 4 .

С . 730–735 .13 . В е р е н и ч А . И ., Г о в о р о в а А . А ., Г а л и ц к и й Н . М . и др . // Химия гетероцикл . соедин . 1992 . 3 .

С . 399–402 .

V. i. POtKin, n. A. BuMAgin, V. M. ZElEnKOVSKii, S. K. PEtKEViCh, yu. S. ZuBEnKO, M. V. liVAntSOV, d. S. BElOV

potkin@ifoch .bas-net .by, bna51@mail .ru

SYNTHESIS AND STRUCTURE OF PALLADIUM(II) COMPLEXES WITH OF THE OXIME 5-(n-TOLYL)- ISOXASOL-3-CARBALDEHYDE AND 4,5-DICHLOROISOTHIAZOL-3-CARBOXYLATE FRAGMENT

SummaryThe corresponding Pd(II) complexes were synthesized through the interaction of oxime 5-(n-tolyl)isoxazol-3-carbaldehyde

and sodium 4,5-dichloroisothiazol-3-carboxylate with sodium tetrachlorpalladate . The structure of complexes was determined on the basis of IR spectra data and quantum chemistry calculations by DFT method . The calculated and experimental frequencies were in satisfactory agreement .



Беларуси

58


уДк 577.113.6:577.123.2+632.9

т. и. кулАк1, и. А. олеЙникоВА1, о. В. ткАченко1, е. н. кАлиниченко1, е. В. колБАноВА2, т. А. крАсинскАя2, н. В. кухАрчик2

СИНТЕЗ И СВОЙСТВА АНАЛОГОВ 2′,5′-ОЛИГОАДЕНИЛАТОВ, СОДЕРжАщИХ ФРАГМЕНТЫ РИБАВИРИНА

И 9-(2,3-АНГИДРО-β-D-РИБОФУРАНОЗИЛ)АДЕНИНА

(Представлено членом-корреспондентом и. А. Михайлопуло)

1институт биоорганической химии нАн Беларуси, Минск 2институт плодоводства нАн Беларуси, самохваловичи Поступило 27.06.2011

Введение . 5′-трифосфорилированные 2′,5′-олигоаденилаты [ррр5′А(2′p5′A)n, n ≥ 2 (1)] являют-ся одними из основных медиаторов противовирусного действия интерферона в клетках млеко-питающих [1; 2] . Различные виды биологической активности присущи также дефосфорилиро-ванным олигомерам [A(2’p5’A)n, 2] и их синтетическим аналогам, которые способны ингибиро-вать репликацию вирусов животных и растений, оказывать иммуномодулирующее действие на организмы млекопитающих, проявлять цитокининоподобную и фиторосторегуляторную актив-ность [3–5] . Так, ранее полученные нами 2′,5′-олигонуклеотиды 3–5, содержащие в различных положениях цепи 1-(β-D-рибофуранозил)-3-карбоксамидо-1,2,4-триазол (рибавирин, или вира-зол) – синтетический нуклеозид, обладающий широким спектром противовирусной активности, проявили способность ингибировать обратную транскриптазу ВИЧ-1 [6], а также оказывать эф-фективное противовирусное действие на комплекс вирусов картофеля [7] .

Одним из важных аспектов практического применения соединений данного класса является проблема их устойчивости к энзиматическому гидролизу клеточными ферментами, в частности, фосфодиэстеразами (ФДЭ) . Известно, что отдельные модифицированные аналоги 2′,5′-олигоаде-нилатов более стабильны к действию ФДЭ, чем природные олигомеры . Так, в модельных экспе-риментах in vitro с использование ФДЭ змеиного яда показано, что аналоги тримера A(2′p5′A)2 (2), содержащие в 2′-терминальном звене 2′,3′-ангидронуклеозиды аденина, намного устойчивее к действию данного фермента по сравнению с соединением 2 [8] .

Цель исследования – получение новых 2′,5′-олигонуклеотидов, модифицированных как по гетероциклическим основаниям, так и по углеводным фрагментам, с целью поиска в их ряду устойчивых к энзиматическому гидролизу соединений, которые могли бы в перспективе пред-ставлять интерес для применения в медицине и сельском хозяйстве . В связи с этим предполага-лось осуществить химический синтез 2′,5′-тринуклеозиддифосфатов, содержащих фрагменты рибавирина в качестве 5′-терминального и среднего звена олигонуклеотидной цепи, а также 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденин в 2′-терминальном звене молекулы олигомера, опре-делить относительную устойчивость синтезированных соединений к энзиматическому гидроли-зу в сравнении с природным тримером 2, оценить возможность использования препаратов дан-ного класса как антивирусных веществ .

Материалы и методы исследования . Модифицированные 2′,5′-олигоаденилаты получали триэфирным методом синтеза . Нуклеозид 6, использовавшийся в качестве 2′-терминального зве-на олигонуклеотидной цепи, был синтезирован с выходом 93 % селективным бензоилированием 6-аминогруппы 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденина [9] с использованием транзиентной триметилсилильной защиты по 5′-гидроксильной группе углеводной части нуклеозида [10] . Для получения надстраивающих фрагментов – 2′-фосфодиэфиров аденозина и рибавирина (7, 8) –



Беларуси

59

применялась стратегия, предусматривающая использование бензоильной (Bz) и монометокси-тритильной (MMTr) защитных групп для нуклеозидных фрагментов, а также 2-хлорфенильной и 2-(4-нитрофенил)этильной (NPE) защитных групп для фосфатных частей молекул [6] .

Общая схема синтеза блокированных олигонуклеотидов включала конденсацию диэфиров 7 либо 8 с нуклеозидом 6, удаление MMTr защитной группы образующихся динуклеозидмоно-фосфатов 9, 10 и конденсацию полученных 5′-OH-содержащих димеров 11, 12 с диэфирами 7 либо 8 . Реакции конденсации проводили в пиридине с использованием в качестве конденсирую-щего агента смеси 2,4,6-триизопропилбензолсульфохлорида и 3-нитро-1,2,4-триазола (1 : 3) . Вы-ход олигонуклеотидов 9, 10, 13–15 на стадиях конденсации составлял 72–96 % .

Полное деблокирование полученных 2′,5′-тринуклеозиддифосфатов 13–15 проводили после-довательной обработкой 2 %-ным раствором п-толуолсульфокислоты в смеси растворителей хлороформ – метанол (7 : 3), раствором 1,8-диазабицикло[5,4,0]ундецена-7 в пиридине и насы-щенным раствором аммиака в метаноле . Выделение и очистку соединений 16–18 осуществляли колоночной хроматографией на ДЕАЕ-Сефадексе А-25 в НСО3

–-форме, полученные олигомеры превращали в Na+-соли высаждением NaI в ацетоне . В результате тринуклеозиддифосфаты 16–18 были получены с суммарным выходом 75–88 % на стадиях деблокирования . Структура полу-ченных соединений подтверждена данными УФ и ЯМР спектроскопии .

Результаты и их обсуждение . Известно, что интерферон и/или двухцепочечная РНК инду-цируют в клетках млекопитающих синтез ряда белков, обладающих 2′,5′-олигоаденилатсинте-тазной активностью, которые продуцируют из АТФ трифосфаты 2′,5′-олигоаденилатов 1 . В ин-фицированных вирусом клетках связывание двух молекул латентной клеточной рибонуклеазы L с молекулой тримера или тетрамера 1 приводит к образованию активного комплекса, облада-ющего способностью гидролизовать вирусную и клеточную мРНК, результатом чего является ингибирование синтеза вирусного белка и иногда клеточный апоптоз [11] . Таким образом, уро-вень 2′,5′-олигоаденилатов 1 определяет активность рибонуклеазы L . Дефосфорилирование олигомеров 1 под действием 5′-фосфатаз приводит к образованию соединений 2, которые принципиально слабее активируют рибонуклеазу L, однако обладают способностью подавлять синтез ДНК, РНК и белка, хотя механизм такого их действия до сих пор не выяснен . Полная инактивация олигомеров 2 возможна только в результате разрыва 2′,5′-фосфодиэфирных свя-зей, которые устойчивы к гидролизу большинством клеточных нуклеаз . В литературе имеется очень мало сведений о выделении, очистке и идентификации фермен-тов, обладающих 2′,5′-фосфодиэ-стеразной активностью, которые ответственны за полный катаболизм 2′,5′-олигоаденилатов . Известно, что 2′,5′-фосфодиэстеразы могут гидролизовать как 2′,5′-, так и 3′,5′- фосфо диэфирные связи в оли- го аде нилатах с 2′(3′)-конца цепи с высвобождением 5′-АМФ [12; 13] . Ввиду малой доступности спе- цифических 2′,5′-фосфодиэстераз определение относительной устой-чивости олигонуклеотидов к энзи-матическому гидролизу проводи-лось в данной работе известным методом с использованием ФДЭ змеиного яда, которая расщепляет 3′,5′- и 2′,5′-межнуклеотидные свя-зи в олигонуклеотидах таким об-разом, как 2′,5′-фосфодиэстераза .



Беларуси

60

Для каждого олигомера определяли величину t1/2 – время, в течение которого в условиях экспе-римента исходная концентрация субстрата уменьшалась в два раза . В качестве соединений срав-нения использовали ранее синтезированные 2′,5′-тринуклеозиддифосфаты: природный тример 2, его 2′,3′-ангидропроизводное 19, а также [1-(β-D-рибофуранозил)-1Н-1,2,4-триазол-3-карбокса-мид]ил-(2′-5′)-аденилил-(2′-5′)-аденозин (3) .

Соединения, содержащие немодифицированый остаток рибофуранозы в качестве углеводно-го фрагмента 2′-терминального нуклеозидного звена: природный тример 2 и его рибавиринсо-держащий аналог 3 – характеризовались наименьшими значениями t1/2, которые в условиях экс-перимента составляли около 5 мин . При уменьшении количества фермента в реакциях энзима-тического гидролиза до 0,03 мкг на 0,1 мкмоль субстрата величины t1/2 составляли для соединений 2 и 3 16 и 24 мин соответственно .

Синтезированные 2′,3′-ангидро-олигонуклеотиды 16–18 так же, как известный тример 19, ха-рактеризовались значительно большими значениями t1/2 . Величина t1/2 для соединения 19, вклю-чающего только адениновые гетерооснования, составляла 4 ч 30 мин, для его рибавиринсодер-жащих аналогов 16, 17 и 18 – 11 ч, 37 мин и 39 мин соответственно . Таким образом, замена 2′-кон-цевого аденозинового фрагмента олигонуклеотидов на остаток 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофура- нозил)аденина, как и в случае аналогичной модификации природного тримера 2 [8], приводит к значительному увеличению стабильности соответствующих производных к энзиматическому гидролизу . Кроме того, из сравнения значений t1/2 для пар соединений 2 и 3, 19 и 16 следует, что замена аденозинового фрагмента на остаток рибавирина в 5′-ОН концевом звене олигонуклео-тидной цепи способствует увеличению устойчивости полученных аналогов к действию ФДЭ . Наличие фрагмента рибавирина в центральном звене цепи 2′,5′-тринуклеозиддифосфатов 17 и 18 приводит к понижению их стабильности к энзиматическому гидролизу по сравнению с аденози-новым аналогом 19; в то же время величины t1/2 этих олигомеров остаются существенно более высокими по сравнению с природным соединением 2 .

Основываясь на вышеупомянутых данных о противовирусной активности рибавиринсодер-жащих 2′,5′-олигоаденилатов 3–5, было начато исследование биологических свойств тримера 3 и его 2′,3′-ангидро-аналога 16 при их использовании для оздоровления смородины черной и виш-ни от патогенного вируса кольцевой пятнистости малины (RRV) в культуре in vitro . Определе-ние вируса RRV проводили методом иммуноферментного анализа . Установлено, что использова-ние 2′,5′-олигоаденилатов на этапе микроразмножения в 3–5 пассажах приводит к ингибиро- ванию вируса RRV в культуре микропобегов смородины черной . У сорта Память Вавилова в контрольных вариантах растений-регенерантов, свободных от RRV, не было получено, тогда как при использовании тримера 3 в концентрации 10–8 М и 10–6–10–7 М процент оздоровления составил 33,3 и 50 соответственно . У сорта Клуссоновская в контрольном варианте без добавле-ния антивирусных веществ процент оздоровления составлял 16,7; при использовании тримера 3 в концентрации 10–7 и 10–6 М выход растений-регенерантов, свободных от RRV, повышался до 50 и 100 % соответственно . При применении 2′,5′-олигоаденилатов на этапе введения в культуру in vitrо и последующего микроразмножения в 1–2 пассажах в культуре микропобегов смородины черной сорта Память Вавилова процент оздоровления составлял от 92,9 до 100 при использова-нии соединения 3 в концентрации 10–8 М и 10–6–10–7 М соответственно, и варьировал от 37,5 до 87,5 % в случае тримера 16 в концентрации 10–6 и 10–7 М . В контрольном варианте (оздоровление методом апикальной меристемы) процент оздоровления составил 43,75 % .

При введении олигоаденилатов в среду на этапе микроразмножения (3–4 пассаж) cоединение 3 в концентрациях 10–6–10–8 М и тример 16 в концентрациях 10–6–10–7 М способствовали 100 %-му оздоровлению от вируса вишни сорта Новодворская . Полное оздоровление подвоя Измайловский отмечалось при использовании обоих тримеров в концентрации 10–6 М, которая однако в случае введения олигоаденилатов на этапе инициации культуры in vitro негативно влияла на морфо- логическое развитие эксплантов клоновых подвоев вишни на 1–2 пассажах . Остальные кон- центрации изучаемых олигоаденилатов дали достаточно высокий процент оздоровления (от 40 до 80 %) .



Беларуси

61

Для точного определения эффективности оздоровления вишни и смородины черной с помо-щью олигоаденилатов 3 и 16 будет проведено повторное тестирование адаптированных расте-ний через 6–8 месяцев произрастания в условиях открытого грунта .

Экспериментальная часть . УФ-спектры регистрировали на спектрофотометре UV/VIS SP 8001 (Metertech) . Спектры ЯМР 1Н записаны на спектрометре Avance-500 (Bruker) в D2O (вну-тренний стандарт – t-BuOH, величины химических сдвигов протонов приведены относительно ТМС с учетом химического сдвига t-BuOH по отношению к ТМС, равного 1,27 м . д .) . Спектры ЯМР 31Р снимали с использованием 85 %-ного Н3РО4 в качестве внешнего стандарта в условиях полного подавления взаимодействия с протонами .

Система растворителей для ТСХ на пластинах силикагеля Kieselgel F 60254 (Merck): изопро-панол – 25 %-ный водный раствор аммиака – вода, 7 : 1 : 2 (А) .

В работе использовали ФДЭ змеиного яда фирмы Boehringer (кат . 108260) .[1-(β-D-рибофуранозил)-1Н-1,2,4-триазол-3-карбоксамид]ил-(2′-5′)-аденилил-(2′-5′)-9-(2,3-

ангидро-β-D-рибофуранозил)аденин (17): Rf 0,53; УФ спектр (Н2О), λмакс, нм (lg ε): 259 (4,34); ги-похромизм 26,7 %; спектр 1Н ЯМР, δ м . д .: 8,44 с, 8,27 с, 8,16 с, 8,06 с, 7,92 с [по 1Н, 2Н-2, 2Н-8 (Ade), H-5 (ТСА)], 6,18 с (1Н, Н-1′), 6,05 д (1Н, Н-1′, J1′,2′ 1 Гц), 5,94 д (1Н, Н-1′, J1′,2′ 2,0 Гц); спектр 31P ЯМР, δ м . д .: –0,59 с, –1,19 с .

Аденилил-(2′-5′)-[1-(β-D-рибофуранозил)-1Н-1,2,4-триазол-3-карбоксамид]ил-(2′-5′)-9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденин (18): Rf 0,54; УФ спектр (Н2О), λмакс, нм (lg ε): 259 (4,42); ги-похромизм 14,8 %; спектр 1Н ЯМР, δ м . д .: 8,32 с, 8,25 с, 8,24 с, 8,22 с, 8,00 с [по 1Н, 2Н-2, 2Н-8 (Ade), H-5 (ТСА)], 6,32 с (1Н, Н-1′), 6,16 д (1Н, Н-1′, J1′,2′ 6,15 Гц), 5,73 уш . с . (1Н, Н-1′); спектр 31P ЯМР, δ м . д .: –0,82 с, –1,04 с .

[1-(β-D-рибофуранозил)-1Н-1,2,4-триазол-3-карбоксамид]ил-(2′-5′)-[1-(β-D-рибофуранозил)-1Н-1,2,4-триазол-3-карбоксамид]ил-(2′-5′)-9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденин (19): Rf 0,49; УФ спектр (Н2О), λмакс, нм (lg ε): (А) 259 (4,09); гипохромизм 19,6 %; спектр 1Н ЯМР, δ м . д .: 8,66 с, 8,44 с, 8,36 с, 8,24 с [по 1Н, Н-2, Н-8 (Ade), 2H-5 (ТСА)], 6,33 с (1Н, Н-1′), 6,16 д (1Н, Н-1′, J1′,2′ 2,4 Гц), 5,88 уш . с . (1Н, Н-1′); спектр 31P ЯМР, δ м . д .: –0,42 с, –0,97 с .

Определение сравнительной устойчивости синтезированных 2′,5′-олигонуклеотидов к действию ФДЭ. К раствору 0,3 мг (около 0,3 мкмоль) субстрата в 100 мкл 0,05 М Трис-HCl бу-фера (рН 8,8), содержащего 0,005 М MgCl2, добавляли 30 мкл раствора ФДЭ, содержащего 0,3 мкг фермента, в том же буфере . Через промежутки времени t отбирали аликвоты реакционной смеси (10 мкл), наносили их на пластины для ТСХ (3 × 8 см) и хроматографировали в системе раство-рителей А, затем вырезали полосы исходного тримера и элюировали их 3 мл 0,5 %-ного водного раствора додецилсульфата натрия . Элюаты фильтровали при помощи фильтров Minisart 1,2 мкм (Sartorius) и замеряли оптическую плотность полученных растворов (d) при 259 нм . Из зависи-мости D-t графически определяли величину t1/2 – время, в течение которого исходная концентра-ция субстрата уменьшается в два раза .

Заключение . Осуществлен синтез новых модифицированных 2′,5′-олигоаденилатов, содер-жащих фрагменты рибавирина в 5′-терминальном и/или среднем звене олигонуклеотидной цепи, а также остаток 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденина в 2′-терминальном звене молекулы, обладающих значительно большей устойчивостью к действию ФДЭ по сравнению с природным 2′,5′-триаденозиндифосфатом . Установлено, что введение рибавирина в 5′-концевое звено олиго-нуклеотидной цепи способствует повышению устойчивости соответствующих аналогов к дей-ствию ФДЭ, а наличие такого фрагмента в центральном звене молекулы понижает стабильность 2′,5′-олигонуклеотидов к энзиматическому гидролизу по сравнению с аденозиновыми производ-ными . Наибольшей устойчивостью к действию ФДЭ характеризовался 2′,5′-тринуклеозиддифос-фат, содержащий остаток 9-(2,3-ангидро-β-D-рибофуранозил)аденина в 2′-терминальном звене и фрагмент рибавирина в 5′-терминальном звене молекулы, для которого в условиях экспери-мента величина t1/2 в 130 раз превышала таковую для природного тримера 2 .

Оценена возможность использования 2′,5′-олигоаденилатов вместо фитотоксичного рибави-рина для элиминации патогенных вирусов растений . В культуре in vitro микропобегов двух со-ртов смородины черной, сорта и подвоя вишни 2′,5′-олигоаденилаты, введенные в питательные



Беларуси

среды в концентрации 10–6–10–8 М, оказывали ингибирующее действие на вирус RRV (выход растений-регенерантов, свободных от вируса, составлял от 37,5 до 100 %) .


1 . P l a y e r M . R ., T o r r e n c e P . F . // Pharmacol . Ther . 1998 . Vol . 78, 2 . P . 55–113 .2 . H o v a n e s s i a n A . G . // Cytokine & Growth Factor Rev . 2007 . Vol . 18 . P . 351–361 .3 . S i l v e r m a n R . H . // J . Virol . 2007 . Vol . 81, 23 . P . 12720–12729 .4 . К в а с ю к Е . И ., К у л а к Т . И ., З и н ч е н к о А . И . и др . // Биоорган . химия . 1996 . Т . 22, 3 . С . 208–214 .5 . К а л и н и ч е н к о Е . Н ., П о д к о п а е в а Т . Л ., К е л в е М . и др . // Биоорган . химия . 1999 . Т . 25 . С . 282–

289 .6 . K v a s y u k E . I ., K u l a k T . I ., T k a c h e n k o O . V . et al . // Helv . Chim . Acta . 1997 . Vol . 80, 4 . P . 1053–1060 .7 . К в а с ю к Е . И ., К у л а к Т . И ., Т к а ч е н к о О . В . и др . // Весці НАН Беларусі, сер . хім . навук . 1996 . 3 .

С . 73–79 .8 . M i k h a i l o p u l o I . A ., T k a c h u k Z . Yu ., B a r a n E . A . et al . // Nucleosides & Nucleotides . 1995 . Vol . 14,

3–5 . P . 1105–1108 .9 . S i v e t s G . G ., K a l i n i c h e n k o E . N ., M i k h a i l o p u l o I . // Lett . Org . Chem . 2006 . Vol . 3, 5 . P . 402–

408 .10 . T i G . S ., G a f f n e y B . L ., J o n e s R . A . // J . Amer . Chem . Soc . 1982 . Vol . 104, 5 . P . 1316–1319 .11 . X i a n g Y ., W a n g Zh ., M u r a k a m i J . et al . // Cancer Res . 2003 . Vol . 63 . P . 6795–6801 .12 . J o h n s t o n M . I ., H e a r l W . G . // J . Biol . Chem . 1987 . Vol . 262, 17 . P . 8377–8332 .13 . K u b o t a K ., N a k a h a r a K ., O h t s u k a T . et al . // J . Biol . Chem . 2004 . Vol . 279, 36 . P . 37832–37841 .

t. i. KulAK, i. A. OlEyniKOVA, O. V. tKAChEnKO, E. n. KAliniChEnKO, E. V. KOlBAnOVA, t. A. KrASinSKAyA, n. V. KuKhArChyK

kulak@iboch .bas-net .by

SYNTHESIS AND PROPERTIES OF 2′,5′-OLIGOADENYLATE ANALOGS CONTAINING RIBAVIRIN AND 9-(2,3-ANHYDRO-β-D-RIBOFURANOSYL)ADENINE

Summary

2′,5′-oligoadenylate analogs containing ribavirin fragments in 5′-terminal or/and middle position of oligonucleotide chain and 9-(2,3-anhydro-ß-D-ribofuranosyl)adenine residue in 2′-terminal position of oligomer have been prepared . The compounds prepared are much more stable to the action of snake venom phosphodiesterase in comparison with the native 2′,5′-trimer of adenylic acid . It has been found that the introduction of ribavirin residue in 5′-terminal position of oligonucleotide molecule leads to the enhanced stability of the corresponding compounds to the hydrolysis with phosphodiesterase . 2′,5′-oligoadenylate derivatives may be used instead of phytotoxic ribavirin for the elimination of pathogenic raspberry ringspot virus during in vitro microclonal propagation of black currant and sour cherry .



Беларуси

63


уДк 547.721/.729

Ф. с. ПАШкоВскиЙ, Ю. и. АДАМоВич, М. А. ШинкоВич, академик Ф. А. лАхВич

СИНТЕЗ 4,8-ИНТЕРФЕНИЛЕНОВЫХ ГЕТЕРОПРОСТАНОИДОВ И ИХ ПРЕДШЕСТВЕННИКОВ НА ОСНОВЕ 3-АРИЛТЕТРОНОВЫХ КИСЛОТ

институт биоорганической химии нАн Беларуси, Минск Поступило 19.07.2011

Среди биоактивных аналогов простагландинов, простациклина и тромбоксана важное место занимают соединения, у которых α- либо ω-простаноидная цепь модифицирована ароматиче-ским фрагментом . Такие простаноиды нашли применение в медицине в качестве эффективных лекарственных средств для лечения язвы желудка (энпростил) [1], легочно-артериальной гипер-тензии и болезней периферических артерий (трепростинил [2], берапрост [1; 3]), открытоуголь-ной глаукомы (латанопрост, травопрост, биматопрост) [4–6], а также для контроля родовой дея-тельности (сульпростон) [1] . Препараты клопростенол, флупростенол, фенпростален получили широкое использование в ветеринарной практике [1; 7] . Ряд недавно синтезированных аналогов простагландинов, cодержащих в своей структуре ароматический фрагмент, рассматриваются в качестве перспективных кандидатов в новые эффективные лекарственные средства [8; 9] . Уста-новлено, что арилсодержащие простаноиды являются селективными лигандами для простаглан-диновых рецепторов и выполняют роль как их агонистов, так и антагонистов [10; 11] . В связи с этим синтез новых простаноидов с ароматическим циклом в боковых цепях, исследование их биологических свойств, отбор наиболее перспективных соединений с целью разработки на их основе лекарственных веществ для нужд медицины является важной научной и практической задачей .

В предыдущем сообщении [12] нами был предложен подход к синтезу предшественников 3,7-интерфениленовых гетеропростаноидов серии В на основе тетроновой кислоты и ароматиче-ских альдегидов . В настоящей работе на примере 3-(4-метоксифенил)тетроновых кислот (2, 3) мы предлагаем простой общий подход к синтезу 4,8-интерфениленовых гетеропростаноидов и их предшественников .

3-Арилтетроновую кислоту (2) получали с выходом 65 % при взаимодействии 2-(4-метокси-фенил)уксусной кислоты с метиловым эфиром бромуксусной кислоты в присутствии триэтила-мина с последующей внутримолекулярной конденсацией по Дикману образующегося при этом

CO2CH3

Br+

OCH3

O

OOCH3

CO2CH3

O

O

O

OCH3

H3CO2C

OCH3

CO2Et

OHH3C+

O

OOCH3

CO2EtH3C

O

O

O

OCH3

H3C

1 2

3

HO2C

Et3N / THF t-BuOK / THF

MeOH / H+

t-BuOK / THF t-BuOK / THF



Беларуси

64

2-метокси-2-оксоэтил-2-(4-метоксифенил)ацетата (1) под действием трет-бутилата калия в ТГФ [13] . 3-(4-Метоксифенил)-5-метилтетроновую кислоту (3) синтезировали с использованием не-давно разработанного метода [14], заключающегося в нагревании смеси почти эквивалентных количеств сложных эфиров арилуксусных кислот и α-гидроксикислот в присутствии 2,2 экв . трет-бутилата калия в растворе ТГФ . Первая стадия синтеза включает переэтерификацию исход ных эфиров с образованием соединений типа (1), которые далее претерпевают внутримоле-кулярную конденсацию Дикмана . Так, при взаимодействии метилового эфира 2-(4-метоксифенил)-уксусной кислоты с этиловым эфиром молочной кислоты по данному методу 3-арилтетроновая кислота (3) была получена с выходом 83 % .

Описанные методы обладают большой общностью и позволяют получать 3-арилтетроновые кислоты с ароматическим фрагментом самой разнообразной структуры .

Нами показано, что подобно 3-алкилзамещенным тетроновым кислотам, а также их 3-арил-алкильным аналогам, в которых ароматический фрагмент непосредственно не связан с тетро-натным гетероциклом, соединения (2, 3) при взаимодействии с диметилсульфатом в присутствии гидроксида тетрабутиламмония приводят к енольным эфирам (4, 5), а в реакции с солями Меер-вейна – к региоизомерным енолэфирам (6, 7) . Таким образом, подобно 3-алкильным заместите-лям арильные заместители в положении 3 цикла тетроновой кислоты оказывают ориентирую-щий эффект при О-алкилировании солями Меервейна . При взаимодействии соединений (4, 5) и (6, 7) с гептиламином с высоким выходом образуются енаминолактоны (8, 9) и енаминокетоны (10, 11), относящиеся к 10-окса-13-аза- и 11-окса-13-азапростаноидам соответственно . Следует указать, что арилсодержащие 11-оксапростаноиды рассматриваются в качестве кандидатов но-вых эффективных средств для лечения глаукомы [8; 9] . Ранее нами указывалось на более низ- кую реакционную способность енольных эфиров 3-алкилтетроновых кислот по кетонной карбо-нильной группе, которые реагировали с аминами лишь при нагревании, по сравнению с енол- эфирами по лактонной карбонильной группе . Нами обнаружено, что в отличие от первых их 3-арильные аналоги мягко реагировали с аминами уже при комнатной температуре, приводя к соответствующим енаминолактонам с высоким выходом . Этот факт позволяет надеяться на легкость получения 4,8-интерфениленовых 10-окса-13-азапростаноидов со сложноэфирной груп-пировкой в α-простаноидной цепи .

O

O

O

OCH3

R

2,3

O

O

OCH3

OCH3

R

O

O

O

OCH3

R

O

O

NH

OCH3

R

O

O

NH

OCH3

REt3O+BF4

-/CH2Cl2

H2N(CH2)6CH3

H2N(CH2)6CH3

1) Bu4N+OH-/MeOH,2) (CH3)2SO4/C6H6

4,5

6,7

8,9

10,11R=H (2,4,6,8,10), R=CH3 (3,5,7,9,11).

На основе 3-арилтетроновых кислот (2, 3) также получены модельные бутенолидные пред-шественники (14, 15) 4,8-интерфениленовых 11-дезокси-10-оксапростаноидов с использованием разработанного нами ранее метода синтеза 3-алкил(арилалкил)замещенных 2,5-дигидро-2-фуранонов [15] . Метод включает получение енаминопроизводных тетроновых кислот, восста-новление в них сопряженной кратной связи гетероцикла и последующее ретромихаэлевское от-щепление аминного остатка от образующихся при этом аминолактонов при кипячении послед-



Беларуси

65

них в толуоле в присутствии силикагеля . Нами показано, что в отличие от 3-алкил(арилалкил)тетроновых кислот 3-арилтетроновые кислоты (2, 3) не дают соответствующих енаминопроиз-водных (12, 13) при кипячении их с пирролидином в толуоле . В то же время при взаимодействии енолэфиров (4, 5) с пирролидином соединения (12, 13) образуются с выходом 84 и 77 % соответ-ственно . Последующее восстановление сопряженной кратной связи енаминолактонов (12, 13) цианоборогидридом натрия в кислой среде приводит к аммонийным солям соответствующих аминолактонов, которые уже при обработке водными растворами щелочей претерпевают отще-пление пирролидинового остатка с образованием бутенолидов (14, 15) с выходом 59–65 % . Та-ким образом, получение 3-арилбутенолидов из 3-арилтетроновых кислот по методу [15] исклю-чает стадию кипячения соответствующих аминолактонов в толуоле в присутствии силикагеля и представляет собой удобный экономичный метод синтеза соединений такого класса .

На примере бутенолида (14) показано, что 1,4-сопряженное присоединение нитрометана к нему гладко протекает в присутствии тетраметилгуанидина в качестве основного катализатора и приводит исключительно к транс-изомеру 4-нитрометилзамещенного γ-бутиролактона (16) .

O

OR

2,3

O

O

OCH3

OCH3

R

4,5

O

O

N

OCH3

R

12,13

O

O

O

N

OCH3

R

O

OOCH3

R

OH- / H2O

14,15

пирролидин, т. комн.пирролидин,

PhCH3,1100C

O

OOCH3

NO2

CH3CO2H

NaBH3CN

16

CH3NO2/TMG

R=H (2,4,12,14,16), R=CH3 (3,5,13,15)

OCH3

Построение природной либо модифицированной ω-простаноидной цепи на основе бутено-лидных синтонов типа (14, 15) и нитрометилпроизводного (16) может быть осуществлено клас-сическими методами химии простагландинов либо с применением разработанной в Институте биоорганической химии НАН Беларуси «нитрилоксидной технологии» .

Методики синтеза 3-арилтетроновых кислот (2, 3) и их физико-химические характеристики приведены в работах [15; 16] . Ниже приводятся физико-химические константы промежуточных соединений (4–7, 12, 13), 13-азапростаноидов (8–11), ключевых бутенолидных (14, 15) и нитроме-тильного (16) предшественников 4,8-интерфениленовых 11-дезокси-10-оксапростаноидов .

4-Метокси-3-(4-метоксифенил)-2,5-дигидрофуран-2-он (4) . Выход 76 % . Т . пл . 109–112 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 3,82 с (3Н, ArOCH3), 3,96 с (3Н, ОСН3 енолэфира), 4,84 с (2Н, СН2), 6,92 д (2Наром, 3J 9,0), 7,80 д (2Наром, 3J 9,0) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 55,24 (СН3), 57,81 (СН3), 64,48 (СН2), 102,66 (С), 113,67 (2СНаром), 121,66 (С), 129,05 (2СНаром), 158,93 (С), 171,44 (С), 172,77 (С) .

4-Метокси-3-(4-метоксифенил)-5-метил-2,5-дигидрофуран-2-он (5) . Выход 90 % . Т . пл . 47–49 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,55 д (3Н, СН3СН, 3J 6,5), 3,81 с (3Н, СН3), 3,82 с (3Н, СН3), 4,91 к (1Н, СН3СН, 3J 6,5), 6,91 д (2Наром, 3J 8,5), 7,45 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 18,26 (СН3), 55,17 (СН3), 59,73 (СН3), 73,36 (СН), 102,91 (С), 113,53 (2СНаром), 121,67 (С), 130,80 (2СНаром), 159,17 (С), 172,72 (С), 174,99 (С) . ИК-спектр (ν, см–1): 1609, 1659, 1744 (макс .) .



Беларуси

66

4-(4-Метоксифенил)-5-этокси-2,3-дигидрофуран-3-он (6) . Выход 93 % . Т . пл . 157–159 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,51 т (3Н, СН3СН2О, 3J 7,0), 3,81 с (3Н, ОСН3), 4,57 к (2Н, СН3СН2О, 3J 7,0), 4,66 с (2Н, СН2 цикла), 6,91 д (2Наром, 3J 9,0), 7,79 д (2Наром, 3J 9,0) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 14,87 (СН3), 55,22 (СН3), 66,46 (СН2), 74,52 (СН2), 93,69 (С), 113,69 (2СНаром), 121,91 (С), 127,27 (2СНаром), 157,71 (С), 180,22 (С), 194,21 (С) .

4-(4-Метоксифенил)-2-метил-5-этокси-2,3-дигидрофуран-3-он (7) . Выход 89 % . Т . пл . 80–81 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,51 т (3Н, СН3СН2О, 3J 7,0), 1,57 д (3Н, СН3СН, 3J 7,0), 3,81 с (3Н, ОСН3), 4,56 к (2Н, СН3СН2О, 3J 7,0), 4,72 к (1Н, СН3СН, 3J 7,0), 6,91 д (2Наром, 3J 8,5), 7,81 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 14,87 (СН3), 16,70 (СН3), 55,25 (СН3), 66,28 (СН2), 82,74 (СН), 92,21 (С), 113,66 (2СНаром), 122,28 (С), 127,19 (2СНаром), 157,60 (С), 178,87 (С), 196,99 (С) . ИК-спектр (ν, см–1): 1518, 1593 (макс .), 1670 .

4-(Гептиламино)-3-(4-метоксифенил)-2,5-дигидрофуран-2-он (8) . Выход 87 % . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 0,89 т (3Н, СН3,

3J 7,0), 1,18–1,37 м (8Н, 4СН2), 1,56 квинтет (2Н, NHСН2СН2, 3J 6,5), 3,09 к (2Н, NHСН2, 3J 6,5), 3,80 с (3Н, ОСН3), 4,73 с (2Н, СН2 гетероцикла), 5,31 уш . сигнал (1Н, NH), 6,93 д (2Наром, 3J 8,5), 7,36 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 13,94 (СН3), 22,45 (СН2), 26,55 (СН2), 28,77 (СН2), 30,27 (СН2), 31,55 (СН2), 44,19 (СН2), 55,22 (СН3), 65,02 (СН2), 94,40 (С), 114,32 (2СНаром), 123,40 (С), 128,86 (2СНаром), 158,18 (С), 162,20 (С), 174,06 (С) .

4-(Гептиламино)-3-(4-метоксифенил)-5-метил-2,5-дигидрофуран-2-он (9) . Выход 80 % . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 0,87 т (3Н, СН3,

3J 7,0), 1,16–1,33 м (8Н, 4СН2), 1,49 м (2Н, NHСН2СН2), 1,56 д (3Н, СН3СН, 3J 6,5), 3,04–3,16 м (2Н, NHСН2), 3,81 с (3Н, ОСН3), 4,92 к (1Н, СН3СН, 3J 6,5), 5,01 уш . т (1Н, NH, 3J 5,0), 6,93 д (2Наром, 3J 8,5), 7,32 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 13,96 (СН3), 19,70 (СН3), 22,46 (СН2), 26,45 (СН2), 28,77 (СН2), 30,44 (СН2), 31,56 (СН2), 44,64 (СН2), 55,25 (СН3), 72,59 (СН), 95,09 (С), 114,12 (2СНаром), 123,56 (С), 129,86 (2СНаром), 158,40 (С), 165,73 (С), 173,29 (С) . ИК-спектр (ν, см–1): 1605 (макс .), 1628, 1711, 3096 уш ., 3296 уш .

5-Гептиламино-4-(4-метоксифенил)-2,3-дигидрофуран-3-он (10) . Выход 78 % . Т . пл . 73–74 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 0,89 т (3Н, СН3,

3J 7,0), 1,22–1,38 м (8Н, 4СН2), 1,59 квинтет (2Н, NHСН2СН2, 3J 7,0), 3,37 к (2Н, NHСН2, 3J 7,0), 3,80 с (3Н, ОСН3), 4,57 с (2Н, СН2 цикла), 5,62 уш . т (1Н, NH, 3J 5,0), 6,93 д (2Наром, 3J 8,5), 7,31 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 13,99 (CH3), 22,50 (CH2), 26,57 (CH2), 28,76 (CH2), 30,09 (CH2), 31,62 (CH2), 41,53 (CH2), 55,29 (CH3), 74,41 (CH2), 93,35 (C), 114,58 (2СНаром), 122,79 (C), 128,84 (2СНаром), 157,93 (C), 176,76 (C), 191,14 (C) .

5-Гептиламино-4-(4-метоксифенил)-2-метил-2,3-дигидрофуран-3-он (11) . Выход 91 % . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 0,89 т (3Н, СН3,

3J 7,0), 1,25–1,33 м (8Н, 4СН2), 1,53 д (3Н, СН3СН, 3J 7,0), 1,59 квинтет (2Н, NHСН2СН2, 3J 7,0), 3,38 к (2Н, NHСН2, 3J 6,5), 3,80 с (3Н, ОСН3), 4,66 к (1Н, СН3СН, 3J 7,0), 5,55 уш . сигнал (1Н, NH), 6,93 д (2Наром, 3J 8,5), 7,32 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 14,00 (СН3), 17,19 (СН3), 22,51 (СН2), 26,57 (СН2), 28,77 (СН2), 30,09 (СН2), 31,63 (СН2), 41,49 (СН2), 55,29 (СН3), 82,20 (СН), 91,84 (С), 114,55 (2СНаром), 123,16 (С), 128,77 (2СНаром), 157,83 (С), 175,25 (С), 193,80 (С) . ИК-спектр (ν, см–1): 1529–1580 широк . макс ., 1664, 3244 широк .

3-(4-Метоксифенил)-4-(пирролидин-1-ил)-2,5-дигидрофуран-2-он (12) . Выход 84 % . Т . пл . 152–155 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,87 узк . сигнал (4Н, 2СН2 пирролидин . цик-ла), 3,17 узк . сигнал (4Н, 2СН2 пирролидин . цикла), 3,81 с (3Н, ОСН3), 4,72 с (2Н, СН2 лактон . цикла), 6,87 д (2Наром, 3J 8,5), 7,19 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 25,15 (2СН2), 49,23 (2СН2), 55,23 (СН3), 66,27 (СН2), 94,82 (С), 113,15 (2СНаром), 124,37 (С), 132,21 (2СНаром), 158,56 (С), 160,04 (С), 175,45 (С) .

3-(4-Метоксифенил)-5-метил-4-(пирролидин-1-ил)-2,5-дигидрофуран-2-он (13) . Выход 77 % . Т . пл . 123–124 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,59 д (3Н, СН3СН, 3J 6,5), 1,76–1,92 м (4Н, 2СН2 пирролидин . цикла), 2,93–3,44 широк . сигнал (4Н, 2СН2 пирролидин . цикла), 3,80 с (3Н, ОСН3), 4,96 к (1Н, СН3СН, 3J 6,5), 6,86 д (2Наром, 3J 8,5), 7,19 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР



Беларуси

13С (CDCl3, δ, м . д .): 19,55 (СН3), 25,16 (2СН2), 50,13 (2СН2), 55,21 (СН3), 73,44 (СН), 95,10 (С), 112,99 (2СНаром), 124,90 (С), 132,35 (2СНаром), 158,47 (С), 164,49 (С), 174,24 (С) .

3-(4-Метоксифенил)-2,5-дигидрофуран-2-он (14) . Выход 65 % . Т . пл . 120–123 °С . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 3,84 с (3Н, ОСН3), 4,90 д (2Н, СН2, 3J 2,0), 6,94 д (2Наром, 3J 9,0), 7,52 т (1Нвинильн, 3J 2,0), 7,83 д (2Наром, 3J 9,0) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 55,31 (СН3), 69,43 (СН2), 114,05 (2СНаром), 122,13 (С), 128,32 (2СНаром), 130,99 (С), 141,90 (СНвинильн), 160,41 (С), 172,48 (С) .

3-(4-Метоксифенил)-5-метил-2,5-дигидрофуран-2-он (15) . Выход 59 % . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 1,50 д (3Н, СН3СН, 3J 7,0), 3,84 с (3Н, ОСН3), 5,13 к . д . (1Н, СН3СН, 3J1 7,0, 3J2 1,5), 6,93 д (2Наром, 3J 8,5), 7,43 д (1Нвинильн, 3J 1,5), 7,82 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 19,21 (СН3), 55,29 (СН3), 76,61 (СН), 113,99 (2СНаром), 122,07 (С), 128,39 (2СНаром), 130,65 (С), 146,72 (СНвинильн), 160,35 (С), 171,95 (С) .

3α-(4-Метоксифенил)-4β-(нитрометил)тетрагидрофуран-2-он (16) . Выход 63 % . Спектр ЯМР 1Н (CDCl3, δ, м . д ., J, Гц): 3,25–3,33 м (1Н, Н4), 3,47 д (1Н, Н3, 3J 11,5), 3,80 c (3H, OCH3), 4,17 д . д (1Н, СНaНb в цикле, 2J 9,0, 3J 9,0), 4,50 д . д (1Н, СНaНbNO2, 2J 14,0, 3J 9,0), 4,56 д . д (1Н, СНaНbNO2, 2J 14,0, 3J 5,0), 4,71 д . д (1H, СНaНb в цикле, 2J 9,0, 3J 7,5), 6,92 д (2Наром, 3J 8,5), 7,12 д (2Наром, 3J 8,5) . Спектр ЯМР 13С (CDCl3, δ, м . д .): 42,77 (СН), 48,31 (СН), 55,32 (СН3), 69,07 (СН2), 75,15 (СН2), 114,80 (2СНаром), 125,60 (С), 129,46 (2СНаром), 159,70 (С), 175,13 (С) .


1 . C o l l i n s P . W ., D j u r i c S . W . // Chem . Rev . 1993 . Vol . 93, 4 . P . 1533–1564 .2 . B u d e v M . M ., M i n a i O . A ., A r r o l i g a A . C . // Drugs Today (Barc) . 2004 . Vol . 40, 3 . P . 225–234 .3 . M e l i a n E . B ., G o a K . L . // Drugs . 2002 . Vol . 62, 1 . P . 107–133 .4 . H o l m s t r o m S ., B u c h h o l z P ., W a l t J . et al . // Curr . Med . Res . Opin . 2005 . Vol . 21, 11 . P . 1875–1883 .5 . Е р м а к о в а В . Н . // Глаукома . 2007 . 4 . С . 53–56 .6 . C u r r a n M . P . // Drugs Aging . 2009 . Vol . 26, 12 . P . 1049–1071 . 7 . Т о л с т и к о в Г . А ., М и ф т а х о в М . С ., Л а з а р е в а Д . Н . и др . Простагландины и их аналоги в репро-

дукции животных и человека . Уфа, 1989 . 8 . S e l l i a h R . D ., H e l l b e r g M . R ., S h a r i f N . A . et al . // Bioorg . & Med . Chem . Lett . 2004 . Vol . 14, 17 .

P . 4525–4528 .9 . F o x M . E ., J a c k s o n M ., L e n n o n I . C ., M c C a g u e R . // J . Org . Chem . 2005 . Vol . 70, 4 . P . 1227–1236 .10 . N a r u m i y a S ., S u g i m o t o Y ., U s h i k u b i F . // Physiological Reviews . 1999 . Vol . 79, 4 . P . 1193–1226 .11 . D o g n é J .-M ., D e L e v a l X ., D e l a r g e J . et al . // Curr . Med . Chem . 2000 . Vol . 7, 6 . P . 609–628 .12 . П а ш к о в с к и й Ф . С ., Г р и б о в с к и й М . Г ., Л а х в и ч Ф . А . // Докл . НАН Беларуси . 2006 . Т . 50, 3 .

С . 69–72 .13 . Патент PCT WO 96/08482 (1996) . 14 . M a l l i n g e r A ., L e G a l l T ., M i o s k o w s k i C . // J . Org . Chem . 2009 . Vol . 74, 3 . P . 1124–1129 .15 . P a s h k o v s k y F . S ., K a t o k J . M ., K h l e b n i c o v a T . S ., L a k h v i c h F . A . // Tetrahedron Lett . 2001 .

Vol . 42, 21 . P . 3657–3658 .

F. S. PAShKOVSKy, yu. A. AdAMOViCh, M. A. ShinKOViCh, F. A. lAKhViCh

prostan@iboch .bas-net .by

SYNTHESIS OF 4,8-INTERPHENYLENE HETEROPROSTANOID AND THEIR PRECURSORS ON THE BASIS OF 3-ARYLTETRONIC ACIDS

Summary

A simple and general approach to synthesizing 4,8-interphenylene 10-oxa-13-aza-, 11-oxa-13-azaprostanoids as well as key butenolide and nitromethyl precursors of 11-deoxy-10-oxa-analogs of prostaglandins on the basis of readily available 3-aryltetronic acids has been proposed .



Беларуси

68


БИологИя

уДк 574.91:574.583

Ж. Ф. БусеВА

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ СРЕДЫ НА ЕСТЕСТВЕННУЮ СМЕРТНОСТЬ cladocera В ОЗЕРАХ РАЗНОГО ТИПА

(Представлено членом-корреспондентом В. П. семенченко)

нПц нАн Беларуси по биоресурсам, Минск Поступило 04.04.2011

Введение . В пресноводных экосистемах рачковый планктон играет ключевую роль, с одной стороны, как потребитель первичной продукции, с другой – как необходимое пищевое звено для более высоких трофических уровней . Качество и количество пищи может непосредственно вли-ять на рост и развитие рыб . Считается, что хищничество – главная причина гибели зоопланкто-на, однако это явление очень изменчиво в короткие промежутки времени и, конечно же, не мо-жет объяснить всех случаев смертности в водоеме [1–3] . Данные многих исследований показыва-ют, что не связанная с хищничеством смертность зоопланктона может быть обусловлена в разное время разными причинами – болезнями, загрязнениями, паразитами, различного рода токсикан-тами, выделяемыми при цветении водорослей, другими стрессовыми ситуациями в окружаю-щей среде [4] . Трупы животных могут некоторое время парить в толще воды как пресных, так и морских экосистем [5–9] . Традиционные методы сбора зоопланктона не позволяют распозна-вать и учитывать мертвых особей в зоопланктоне, что, несомненно, является важным аспектом для понимания его экологической роли в водоеме . Игнорирование присутствия мертвых особей может привести, с одной стороны, к переоценке общей биомассы зоопланктона, доступной для выедания хищниками, с другой – к недооценке общего количества органического вещества, до-ступного для бентоса или бактериального разложения в столбе воды . Использование метода прямого определения на основе учета мертвых особей в водоеме путем специального прижиз-ненного окрашивания проб при помощи красителя «анилинового голубого» [10] позволяет иден-тифицировать пресноводный зоопланктон на мертвый и живой и очень хорошо подходит для использования его в полевых условиях с последующим определением в лаборатории .

Цель исследования – оценить возможные причины – физические, химические и топические факторы, влияющие на естественную смертность кладоцерного планктона в водоемах различно-го трофического статуса .

Материал и методы исследования . Исследования проводили в четырех разнотипных озе-рах: трех ненарушенных озерах Миорского района: оз . Обстерно – мезо-эвтрофное, оз . Нобисто – дистрофное макрофитного типа, оз . Горушка – сильноэвтрофное (Белорусское Поозерье) и оз . Лукомльское – эвтрофное, которое является водоемом-охладителем Лукомльской ГРЭС (Чашницкий р-н) [11] . Озера также различаются некоторыми гидрохимическими и гидрофизиче-скими показателями (представлены в таблице) .

Пробы в озерах отбирали однократно в середине летнего сезона (июль 2009 г .) в следующих биотопах: в пелагиали, открытой литорали без макрофитов (чистая литораль), в литорали с за-рослями кубышки желтой (nuphar lutea (L .)) и тростника южного (Phragmites australis (Cav .)) . Пробы зоопланктона в зарослях макрофитов (в каждом биотопе в трех повторностях) отбирали в центре зарослей, по трансекте вдоль береговой линии с расстоянием около 1,5–2,5 м между точками отбора . Глубина литоральных биотопов составляла 0,7–1,0 м, пробы в литорали отбира-



Беларуси

69

ли пластиковым ведром, проливая 30 л воды через планктонную сеть (газ 100, размер ячеи 70 мкм) . В пелагиали озер брали интегральную пробу, отбирая батометром Руттнера 30–40 л воды со следующих горизонтов: max глубина – глубина прозрачности – ½ глубины прозрачно-сти – 1 м – поверхность . Свежеотобранные пробы на месте подвергали специальному прижиз-ненному окрашиванию [10] с помощью стейнера [12] . После окрашивания пробы фиксировали 10 %-ным раствором формалина . Использовали краситель «анилиновый голубой водораствори-мый» (CAS 28983-56-4; C37H27N3Na2O9S3, FW 799 .82), выпускаемый как «Methyl blue» (SIGMA-aldrich chemie GmbH, Steinheim, Germany) .

Статистическая обработка данных проводилась с помощью пакета программ Statistica 6 .0 и Excel, доля мертвых особей определялась как процент мертвых от общей численности Cladocera в каждой субпробе .

Результаты и их обсуждение . В период исследований наиболее изменчивым фактором в ис-следованных водоемах была температура воды (см . в таблице) . Картина распределения домини-рующих видов Cladocera и доли мертвых особей в зоопланктоне озер была следующей .

Озеро Обстерно . В пелагиали озера доминируют три вида кладоцер: diaphanosoma brachyurum (доля от общей численности данной группы зоопланктона составила 34,9 ± 9,8 %), daphnia cucullata (27,7 ± 3,9 %) и d. cristata (22,6 ± 4,7 %), у этих же видов в пелагиали наблюда-ется высокая смертность (42,04 ± 9,0, 23,4 ± 6,7 и 31,5 ± 9,2 % соответственно) . Среди видов, вхо-дящих в доминирующий комплекс пелагиали, отмечаются Bosmina crassicornis и Ceriodaphnia pulchella, доля в общей численности которых составляет соответственно 5,2 ± 1,1 % и 5,3 ± 2,5 %, показатели смертности данных видов – 16,9 ± 5,3 % и 9,1 ± 10,2 % соответственно . В литораль-ных биотопах оз . Обстерно по численности доминируют B. longispina и Cer. pulchella . Также в состав доминирующего комплекса входит d. brachyurum, ее доля в литорали без зарослей и в зарослях тростника составляет около 10 % от численности Cladocera . Высокая смертность в литорали наблюдается именно для этого вида (d. brachyurum) (в чистой литорали 97,9 ± 2,0 %, в зарослях кубышки – 97,33 ± 4,6 %, в зарослях тростника 42,8 ± 7,2 %) . Смертность других ви-дов в литорали не превышает 11 %, что в целом значительно ниже, чем смертность в пелагиали .

Озеро Нобисто . Доминирующим видом Cladocera во всех биотопах озера является ли-торально-фитофильный вид Ceriodaphnia pulchella, ее доля в общей численности кладоцер со-ставляет 48,4 ± 9,6 % в зарослях кубышки, 62,5 ± 5,1 % в зарослях рогоза, 84,9 ± 6,3 % в чистой литорали и 68,8 ± 11,7 % в пелагиали . Доля d. brachyurum в общей численности кладоцер мала – от 2,2 ± 2,6 % в зарослях кубышки до 6,4 ± 2, 3% в чистой литорали, а также и в пелагиали – 5,4 ± 1,5 % . Однако основной вклад в общую смертность вносит именно этот вид, смертность диафанозомы составила 54,9 ± 9,2 % в чистой литорали, 63,6 ± 12,3 % в пелагиали, а самыми не-благоприятными биотопами оказались биотопы с зарослями кубышки – 82,5 ± 20,5 % и рогоза – 75,2 ± 3,9 % . Смертность цериодафнии в пелагиали одна из самых низких – 7,99 ± 1,9 %, а в лито-рали (в зарослях рогоза) – самая высокая, но не превышает 13 % . В данное исследуемое время в озере представители рода daphnia практически отсутствовали (в пробах в единичных экзем-плярах отмечена лишь d. cristata) .

Гидрофизические и гидрохимические показатели в исследованных озерах

Показатель

Озеро, биотоп

Обстерно Нобисто Горушка Лукомльское

Пел ЧЛ Тр Куб Пел ЧЛ Рог Куб Пел ЧЛ Тр Куб Пел ЧЛ Тр

Прозрачность, м 3,7 2,2 1,7 3,0pH 7,85 7,85 8,15 7,71 7,88 7,65 7,67 7,82 7,96 7,88 7,97 8,14 6,99 7,72 7,35TDS, мкСим/см2 123 121 122 124 105 109 103 106 131 131 130 132 167 156 157T, ºС 20,4 18,4 19,3 22,4 21 20,6 21 21 22,1 22 22,3 22 28,5 29,6 26,9

П р и м е ч а н и е . Пел – пелагиаль, ЧЛ – чистая литораль (открытая литораль без зарослей макрофитов), Тр – тростник, Рог – рогоз, Куб – кубышка; прозрачность указана в период исследований .



Беларуси

70

Озеро Горушка . В пелагиали озера доминирующий комплекс представлен пятью видами кла-доцер Bosmina kesslery, d. cucullata, Cer. pulchella, d. brachyurum и Chydorus sphaericus, причем доля d. cucullata более высокая и составляет 30,7 ± 8,1 % от общей численности . Смертность до-минирующих d. cucullata и d. brachyurum в данном биотопе самая высокая – 34,22 ± 8,1 % и 48,9 ± 4,3 % соответственно . В литоральных биотопах доминируют по численности Cer. pulchella, B. longirostris и d. brachyurum, самая высокая смертность наблюдается у d. brachyurum (в зарос-лях тростника 74,1 ± 6,3 %, в чистой литорали 59,4 ± 13,8 %, в зарослях кубышки 27,7 ± 16,7 %), что выше по сравнению со смертностью других доминирующих видов в данных биотопах .

Озеро Лукомльское . В пелагиали доминировали: Bosmina crassicornis 62,7 ± 4,5 %, d. brachyurum 24,7 ± 2,7 %, d. cucullata 10,4 ± 1,7 %; в литорали без растительности соответственно – 31,3 ± 10,5, 20,8 ± 11,4, 19,8 ± 0,9 %; в литорали с зарослями тростника – 19,6 ± 4,5, 6,4 ± 3,2, 36,2 ± 5,03 % со-ответственно . Высокая смертность эупланктонных видов d. cucullata и d. brachyurum наблюда-ется во всех исследованных биотопах, причем смертность d. brachyurum самая высокая во всем водоеме – от 92,3 ± 5,1 % в пелагиали до 98,3 ± 3,04 % в чистой литорали и 100 % в тростнике . Смертность d. cucullata в чистой литорали – 90,97 ± 9,3 %, в пелагиали и тростнике соответ-ственно 77,2 ± 7,8 % и 64,3 ± 12,8 % . Наиболее низкие показатели смертности отмечены у B. crassicornis – в пелагиали 11,2 ± 3,2 %, в тростнике 30,95 ± 3,4 %, в литорали без зарослей 43,96 ± 13,97 % .

В целом как в литорали, так и в пелагиали исследованных озер наблюдается аномально высо-кая смертность доминирующих эупланктонных видов кладоцер, что согласуется с известными данными об угнетении летнего планктона в озерах . Снижение численности связывалось многи-ми исследователями с увеличением пресса хищников, а именно, с развитием в середине лета мальков многих видов планктоноядных рыб, активно потребляющих малоподвижных и наибо-лее заметных представителей зоопланктона, каковыми являются кладоцеры [13] . Помимо этого, многие внешние факторы действуют на сообщества гидробионтов спорадически, что, несомнен-но, отражается на их структуре . Одним из таких неблагоприятных факторов может служить по-вышение температуры воды в середине лета, особенно в жаркие годы, что и наблюдалось в пери-од настоящего исследования . Из представленных на рис . 1, а данных видно, что наименьшая численность кладоцерного планктона наблюдается в оз . Лукомльское, где зарегистрирована вы-сокая температура воды (данные таблицы) . Во всех биотопах этого озера отмечается и самая вы-

сокая гибель кладоцер по сравне-нию с другими озерами (рис . 1, б) . Анализ наших данных также пока-зал, что доля мертвых особей некото-рых видов эупланктонных кладоцер, а именно d. brachyurum, d. cu cullata и d. cristata, оказалась наибольшей во всех озерах. Не установлено до-стоверных корреляцион ных связей между долей мертвых особей имен-но этих видов и гидрофизическими параметрами среды . Однако анализ общей смертности кладоцер во всех изученных водоемах с отдельными факторами среды позволил выявить высокую положительную корреля-цию между температурой воды и до-лей мертвых особей r = 0,78 (p < 0,01, df = 13) (рис . 2, б), а также между до-лей мертвых особей и показателем электропроводности воды (TDS): r = 0,79 (p < 0,01, df = 13) (рис . 2, а) .

Рис . 1 . Распределение доли мертвых особей (а) и общей численности Cladocera (б) в различных биотопах исследованных озер



Беларуси

Как известно, в водной среде с повышением температуры увеличивается количество рас-творенных ионов, что и подтверждается результатами корреляционного анализа (r = 0,85 p < 0,01, df = 13) .

В природных популяциях с эпилимни-альными популяциями воздействие повы-шения температуры происходит редко, так как у планктона есть возможность избегать прогретых слоев воды, мигрируя вертикально в более прохладные слои . Однако в наиболее жаркие дни летом увеличение смертности может иметь место при сильном прогреве воды до дна и исчезновении температурного убежища, как это отмечается при исследова-нии водоемов-охладителей или тех частей водоемов, куда поступают воды от охлажда-ющих установок ГРЭС [4] . Так, ранее было установлено, что пределы толерантности для daphnia longispina находятся в зоне 0–26 ºС, для Bosmina longirostris она несколько шире – 0–36 ºС . Экспериментальные данные, по-лученные при культивировании некоторых видов зоопланктона в микрокосмах в усло-виях повышения температур показали, что максимум развития для d. longispina отмечается при 14,0–20,0 ºС, для теплолюбивого вида C. quadrangula – 17,0–23,0 ºС, для эвритермного вида B. longirostris – 16,6–23,0 ºС, повышение температуры оказывало существенное влияние на количественное соотношение видов [14] .

Таким образом, использование метода прижизненного окрашивания зоопланктона показал, что при повышении температуры воды в исследованных водоемах в середине летнего сезона в жаркие месяцы увеличивается естественная смертность Cladocera, что может служить одной из причин летнего угнетения рачкового планктона в мелководных озерах .

Работа выполнена при финансовой поддержке БРФФИ, грант Б09СО-008 .Литература

1 . B o e r s m a M ., V a n T o n g e r e n O . F . R ., M o o i j W . M . // Can . J . Fish . Aquat . Sci . 1996 . Vol . 53 . P . 18–28 .2 . M e h n e r T ., H ü l s m a n n S ., W o r i s c h k a S . et al . //J . Plankton Res . 1998 . Vol . 20, 9 . P . 1797–1811 .3 . W a g n e r A ., H ü l s m a n n S ., D o r n e r H . et al . // J . Arch . Hydrobiol . 2004 . Vol . 160, 1 . P . 1–23 .4 . Д у б о в с к а я О . П . // Журн . общ . биологии . 2009 . Т . 70, 2 . С . 168–192 .5 . W h e e l e r E . H . // Limnol . and Oceanogr . 1967 . Vol . 12 . P . 687–701 .6 . W e i k e r t H . // Marine Biology . 1977 . Vol . 42 . P . 351–355 .7 . T e r a z a k i M ., W a d a M . // Marine Biology . 1988 . Vol . 97 . P . 177–183 .8 . G r i e s T ., G ü d e H . // Limnol . and Oceanogr . 1999 . Vol . 44 . P . 459–465 .9 . D u b o v s k a y a O . P ., G l a d y s h e v M . I ., G u b a n o v V . G ., M a k h u t o v a O . N . // Hydrobiologia . 2003 . Vol . 504 . P . 223–227 .10 . S e e p e r s a d B ., C r i p p e n R . W . // J . Fish . Res . Boad Canada . 1978 . Vol . 35 . P . 1363–1366 .11 . Блакiтная кнiга Беларусi: Энцыкл . Мiнск, 1994 .12 . Г л а д ы ш е в М . И . // Гидробиол . журн . 1993 . Т . 29, 2 . С . 94–97 .13 . B r a m m M . E ., L a s s e n M . K ., L i b o r i u s s e n L . et al . // Freshwater Biol . 2009 . Vol . 54 . P . 971–981 .14 . В е р б и ц к и й В . Б . // Журн . общ . биологии . 2008 . Т . 69, 1 . С . 44–56 .

Zh. F. BuSEVAbuseva_ [email protected]

EVALUATION OF THE IMPACT OF ENVIRONMENTAL FACTORS ON THE CLADOCERA NON-PREDATORY SPECIFIC MORTALITY IN DIFFERENT-TYPE SHALLOW LAKES

SummaryThe impact of water temperature, TDS, pH, dissolved oxygen as possible causes of the Cladocera mortality in littoral and pelagic zones

of sallow lakes was investigated . The non-predatory specific zooplankton mortality was measured using the method described by Seepersad & Crippen, 1978 to identify dead and alive individuals . A high positive correlation between water temperature, TDS and non-predatory mortality was found .

Рис . 2 . Корреляции между долей мертвых особей (%) и элек-тропроводностью воды – TDS (мкСим/см2) (а), долей мерт-вых особей (%) и температурой воды (ºС) (б) в исследован-

ных озерах



Беларуси

72


уДк 574.24:574.583

В. В. ВеЖноВец, член-корреспондент В. П. сеМенченко

ВЛИЯНИЕ ПОВЫШЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ВЕРТИКАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗООПЛАНКТОНА В МЕЗОТРОФНОМ СТРАТИФИЦИРОВАННОМ ОЗЕРЕ

нПц по биоресурсам нАн Беларуси, Минск Поступило 23.03.2011

Введение. Потепление климата, которое наблюдается в последние десятилетия, затрагивает различные процессы, протекающие в сообществе зоопланктона озер . По данным экспертов NASA, уже в настоящее время увеличение поверхностной температуры в озерах идет со скоро-стью 0,45 °С в десять лет, а в некоторых – 1,0 °С . Из этих расчетов следует, что в ближайшие 10–15 лет в озерах умеренной зоны поверхностная температура может достигнуть 25–26 °С . Со-гласно данным [1], даже небольшое увеличение температуры может негативно воздействовать на озерные экосистемы . Так, увеличение поверхностной температуры в оз . Байкал на 1,21 °С (начи-ная с 1946 г .) уже привело к существенным перестройкам в планктонном сообществе и трофиче-ских цепях озера [2] .

В связи с этим возникает вопрос о влиянии потепления климата на вертикальную структуру зоопланктона и последующие изменения в трофических цепях .

Материал и методы исследования. Исследования проведены в июле 2008 и 2010 гг . на тер-мически стратифицированном мезотрофном озере Сита (Браславский р-н, Витебская обл .) в годы с разными значениями поверхностной температуры . Пробы для оценки вертикального распределения зоопланктона отобраны на станции с максимальной глубиной (27,5 м) вертикаль-ными ловами замыкающейся планктонной сетью через 5 м глубины . По многолетним наблюде-ниям в этом озере водная толща у поверхности летом обычно прогревается до максимальной температуры 22–24 °С, а придонная – не превышает 6 °С . В 2010 г . приповерхностная температу-ра была рекордно высокой – 26,2 °С, придонная – не изменилась (рис . 1) . Прозрачность воды соста-вила 4,8 м, и не выходила за рамки межгодовых колебаний .

Результаты и их обсуждение. Обычное вертикальное распределение зоопланктона в мезо-трофных озерах имеет максимум плотности или в верхнем эуфотном слое или в районе мета-лимниона, с плавным снижением в ниже расположенных слоях воды . В отдельные годы наблю-дается придонный, менее выраженный пик численности, обусловленный развитием холодолю-бивых стенотермов, в частности ледникового реликтового вида limnocalanus macrurus Sars,1863.

Повышение температуры в оз . Сита в поверхностных слоях воды, которое достигало 26,2 °С, привело к резкому дефициту растворенного кислорода, начиная с глубины прозрачности (4,5 м) . При этом в зоне начала металимниона (глубина 5,5 м) его величины упали до 0,1 мг/л, что ниже пороговых для выживания многих видов водных беспозвоночных животных . На нижней грани-це металимниона, в слоях 8–14 м наблюдалось некоторое повышение содержания кислорода до 3 мг/л, а затем опять происходило снижение до критических значений – менее 1 мг/л (рис . 1) .

Можно полагать, что основной причиной снижения концентрации растворенного кислорода явилось его потребление в результате деструкции органического вещества из-за отмирания планктонных организмов при высокой температуре в верхних слоях воды, которое интенсивно накапливалось на верхней границе металимниона . Кроме того, повышенная температура значи-тельно ускорила деструкцию и способствовала образованию резкого дефицита кислорода в ни-жележащих слоях воды . Необходимо также отметить, что исследования на оз . Сита в 2010 г . про-водились уже при некотором снижении максимальной летней температуры воды в озерах данно-



Беларуси

73

го региона . Так, на аналогичном озере Южный Волос (Браславский р-н) нами зафиксирован максимум до 28,6 °С в пелагиали озера и 30,4 °С в литоральной зоне .

Такое распределение кислорода в мезотрофных озерах Беларуси отмечено нами впервые . Оно привело к изменению вертикального распределения в толще воды как отдельных популяций, так и всего зоопланктона в целом (рис . 2) .

Как следует из рис . 2, в 2008 г . вертикальное распределение зоопланктона было характерным для этого времени года, в слое воды 0–10 м сосредотачивалось 69 % общей численности, а далее происходило постепенное ее снижение . Совсем иная ситуация отмечена в 2010 г . Максимум плотности переместился в слой 0–5 м (67 %), подавляющая часть зоопланктона (90 %) находи-лась в слое 0–10 м, а в более глубоких слоях воды происходило резкое снижение его численно-сти . Таким образом, несмотря на высокую температуру эпилимниона, основным лимитирую-щим фактором вертикального распределения стала концентрация растворенного кислорода .

Еще более четкая реакция получена для стенотермных холодноводных животных, обычно живущих в гиполимнионе при низкой температуре, и не встречающихся в верхних прогревае-мых слоях воды . Так, падение концентрации кислорода резко сократило размеры пространствен-ного расположения популяции ледникового реликтового вида limnocalanus macrurus Sars,1863 (рис . 3) в сравнении с 2008 г .

Рис . 1 . Вертикальное изменение температуры и содержания растворенного кислорода в оз . Сита в 2008 г . (а) и 2010 г . (б)



Беларуси

74

Обычно при достаточной концентрации кислорода этот вид занимает гиполимнион с макси-мумом плотности в придонных слоях воды на глубине 20–25 м . При отсутствии кислорода в этих слоях максимум плотности рачка в 2010 г . переместился к нижней границе металимниона в слой 10–15 м, с предельной для данного вида температурой обитания – 9 °С [3] .

Придонного максимума плотности не наблюдалось ввиду дефицита кислорода . Реакция дру-гих более эвритермных зоопланктеров заключалась в перемещении, несмотря на высокую тем-пературу, в приповерхностные насыщенные кислородом слои .

Высокие поверхностные температуры и дефицит кислорода в металимнионе привели к смене доминирующего комплекса (таблица) . В 2008 г . в доминирующий комплекс входили относительно холодолюбивые представители зоопланктона – коловратки Conochilus unicornis Rousselet, 1892, Kellicottia longispina (Kellicott, 1879) и ветвистоусый рачок daphnia cristata Sars, 1862 . Отметим, что эти виды широко распространены в основном в озерах северных широт .

Иная ситуация отмечена в 2010 г . В планктоне доминирующую роль составили типичные эвритермы: Conochilus hippocrepis (Schrank, 1803), Polyarthra major Burckhardt, 1900, diaphano-soma brachyurum (Lievin, 1848) и Eudiaptomus graciloides (Lilljeborg, 1888), которые могут пере-носить достаточно высокую температуру .

Изменение структуры доминирующего комплекса в сторону кладоцерного зоопланктона должно вызывать соответствующие изменения и в трофической цепи как эпилимниона, так и всей экосистемы в целом, так как d. brachyurum и E. graciloides являются гораздо более мощ-ными фильтраторами и потребителями фитопланктона в сравнении с коловратками .

Заключение. Аномально высокая температура воды в 2010 г ., которая в поверхностных слоях воды достигала 26,2 °С, косвенным образом повлияла на содержание кислорода, видимо, за счет ин-тенсивного окисления органического вещества в зоне металимниона . Это вызвало нарушение верти-

Рис . 2 . Вертикальное распределение численности зоопланктона в оз . Сита в 2008 г . (а) и 2010 г . (б)



Беларуси

кальной структуры зоопланктона и смену доминирующего комплекса . Наиболее резкие изменения отмечены для холодолюбивых видов зоопланктона, в частности для limnocalanus macrurus и некото-рых видов коловраток. Это может привести к нарушению сложившихся функциональных связей в экосистеме водоема и служить примером влияния потепления климата на экосистему озер .

Работа поддержана грантами Сибирского отделения Российской академии наук и Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований Б09СО-006, Б09СО008, БIОЛАТ-012, а также проектом «Creation of Interdisciplinary Research Group for Latvia’s salmonid lakes sustainability» .

Литература1 . S c h n e i d e r P ., S i m o n G . H . // Geophysical Research Letters . 2010 . Vol . 37, 22 . P . 1–5 .2 . M o o r e M . V ., H a m p t o n S . E ., I z m e s t’ e v a L . R . et al . // BioScience . 2009 . Vol . 59, 5 . P . 405–417 .3 . С у щ е н я Л . М ., С е м е н ч е н к о В . П ., В е ж н о в е ц В . В . Биология и продукция ледниковых реликтовых ракообразных .

Минск, 1984 .V. V. VEZhnOVEtZ, V. P. SEMEnChEnKO

zoo231@biobel .bas-net .byIMPACT OF WARMING ON A VERTICAL DISTRIBUTION

OF ZOOPLANKTON IN A MESOTROPHIC STRATIFIED LAKE

SummaryThe vertical distribution of zooplankton abundance in the deep mesotrophic lake Sita was studied during summer of 2008 and 2010

characterized by different temperature in the epilimnion layer (22 .0 and 26 .2 °C respectively) . The high temperature led to a decrease in dissolved oxygen in metalimnion . In spite of the high temperature, zooplankton abundance

was shifted to the water upper layer . This caused changes in the zooplankton structure and the cold water species in epilimnion were replaced by eurythermic species .

Рис . 3 . Вертикальное распределение численности limnocalanus macrurus в оз . Сита в 2008 г . (а) и 2010 г . (б)

Доминирующий комплекс зоопланктона в 2008 и 2010 гг. в оз. Сита2008 г . % от общей численности 2010 г . % от общей численности

Kellicottia longispina 37,0 Conochilus hippocrepis 17,2Conochilus unicornis 13,6 diaphanosoma brachyurum 10,5daphnia cristata 5,9 Polyarthra major 10,2

Eudiaptomus graciloides 8,1



Беларуси

76


уДк 581.19:547.973:615.322

А. М. МАкАреВич, академик В. н. реШетникоВ

АНТИОКСИДАНТНАЯ АКТИВНОСТЬ ПЛОДОВ Vaccinium corymbosum L. И Vaccinium uliginosum L.

центральный ботанический сад нАн Беларуси, Минск Поступило 15.07.2011

Введение . Природные антиоксиданты являются интересным объектом исследования из-за их потенциальных пищевых и терапевтических эффектов . Всёвозрастающий поиск естествен-ной замены синтетических антиоксидантов приводит к необходимости оценки антиоксидантной активности многих растительных источников данных соединений . Фрукты и овощи содержат различные фитонутриенты, многие из которых обладают антиоксидантными свойствами . По ли-тературным данным, одними из наиболее перспективных веществ, обладающих данным харак-тером воздействия, являются фенольные соединения, в частности антоцианидины и их гликози-ды [1–3] . Плодам Vaccinium corymbosum L . (голубика высокорослая) и Vaccinium uliginosum L . (голубика топяная) характерно накопление широкого круга запасных и биологически активных веществ [1], что послужило предпосылкой для введения голубики высокорослой в промышлен-ную культуру с расширением зон культивирования за счет ее продвижения в разные части Бела-руси, в том числе с разработкой технологий возделывания на выработанных торфяниках [4] . В настоящее время стоит задача крупнотоннажного производства этой культуры для более ши-рокого ее применения в составе фитопрепаратов целевого назначения, в том числе с антиокси-дантными свойствами, которые являются востребованными как на территории республики, так и в других регионах мира в связи с обостряющейся экологической обстановкой .

Цель работы – анализ состава низкомолекулярных антиоксидантов и разработка подходов к экспрессной оценке антиоксидантной активности плодов голубики, установление возможной связи между величинами антиоксидантной активности в системе с катион-радикалами AБTС+• и содержанием данных классов биологически активных соединений .

Материалы и методы исследования . Образцы 20 сортов Vaccinium corymbosum L . и плоды Vaccinium uliginosum L . были собраны на Ганцевичской научно-экспериментальной базе ГНУ «Центральный ботанический сад НАН Беларуси» «Журавинка», в южной агроклиматической зоне республики . Свежие ягоды замораживались, и затем для анализа отбирались по 200 г голу-бики каждого сорта, после чего они были гомогенизированы . Для извлечения антоцианов бра-лись три пробы гомогенизированной массы (3–5 г) . Экстракция проводилась рассчитанным объ-емом водно-спиртовой смеси (конечная концентрация 80 % по этанолу) в течение 30 мин под воздействием ультразвукового излучения, после чего оставляли на 16 ч при температуре 4 °С . Полученные экстракты центрифугировали при 5500 об/мин и сохраняли при температуре 4 °С до проведения измерений .

Количественное определение суммарного содержания антоциановых пигментов было прове-дено методом рН-дифференциальной спектрофотометрии [5; 6] на спектрофотометре Agilent 8453 при 510 и 700 нм с использованием буферных растворов 1 и 2 .

Раствор 1: рН 1 – 0,405 мг КСl, 1,238 мл конц . НСl в 100 мл воды .Раствор 2: рН 4,5 – 1,64 г натрия ацетата в 100 мл воды и НСl до рН 4,5 .Расчет проводился по формуле А = [(A510 – A700) pH 1,0 – (A510 – A700) pH 4,5] с коэффициентом

экстинкции цианидин-3-глюкозида 29600 . Результаты были выражены как миллиграмм-экви-валент цианидин-3-глюкозида в 100 г сухой массы плодов .

Суммарное содержание фенольных соединений в плодах Vaccinium corymbosum L . и Vaccinium uliginosum L . определяли модифицированным методом Фолина–Чокальтеу [7] .



Беларуси

77

Для определения общего содержания фенольных соединений в экстрактах 0,25 мл образца, 1 мл реактива Фолина–Чокальтеу и 10 мл раствора Na2CO3 вносили в мерную колбу на 50 мл, куда добавляли дистиллированную воду и взбалтывали . Через 30 мин измеряли поглощение на спектрофотометре Agilent 8453 в кювете с рабочей длиной 10 мм при 725–730 нм . Контролем служила вода с добавлением всех указанных реактивов . Для калибровки использовали галловую кислоту в диапазоне концентраций 0,15–1,0 г/л . Результаты были выражены как миллиграмм эк-вивалента галловой кислоты в 100 г сухой массы плодов .

Антиоксидантные свойства голубики оценивались в системе с катион-радикалами AБTС+• . Сток-раствор катион-радикала AБTС+• (катион 2,2'-азино-бис(3-этилбензтиазолино-6-сульфо но-вой кислоты) готовили по методу [8] . Для определения антиоксидантной активности 20–400 мкл экстракта плодов различных сортов Vaccinium corymbosum L . и образца Vaccinium uliginosum L ., разведенного в 10 раз, добавляли к 2,0 мл раствора AБTС+• в пластиковой кювете при темпера-туре 25 °С и постоянном перемешивании измеряли поглощение (длина волны 734 нм) во време-ни на спектрофотометре Agilent 8453 . Для оценки антиоксидантной активности использовали значение оптической плотности спустя 1 и 6 мин после смешивания . Сравнительная оценка ан-тиоксидантной активности велась по величине антиоксидантного параметра, который рассчиты-вался как тангенс угла наклона прямых зависимостей D0 – D от количества сухого вещества в граммах, используемого для реакции, и тролокса в мкмоль, а также по параметру антиокси-дантной активности (АОА), представляющей собой величину, показывающую количество мкмоль эквивалента тролокса на г сухой массы плодов .

Результаты и их обсуждение . Содержание фенольных соединений в плодах изученных со-ртов голубики колебалось в пределах от 853,0 ± 64,8 мг% в сорте Dixi (Vaccinium corymbosum L .) до 4213,7 ± 54,0 мг% в образце Vaccinium uliginosum L ., в их составе содержание антоциановых пигментов находилось в пределах от 259,3 ± 6,6 мг% для сорта Concord (Vaccinium corymbosum L .) до 1871,7 ± 77,6 мг% для плодов Vaccinium uliginosum L . При этом следует выделить группу со-ртов Vaccinium corymbosum L ., в плодах которых уровень накопления антоцианов был весьма высоким и составлял более 600 мг%: Сarolina Blue, Stanley, Herbert, Northland, Patriot . Доля антоциа-

Антиоксидантная активность, содержание антоцианов и фенольных соединений в плодах Vaccinium corymbosum L. и Vaccinium uliginosum L.

СортАОА, мкмоль

тролокса/г сухих плодов, 1 мин

АОА, мкмоль тролокса/г сухих

плодов, 6 мин

Содержание антоцианов, мг%

Содержание фенольных соединений, мг%

Соотношение между содержанием антоцианов

и фенольных соединений, мг/мг

Vaccinium corymbosum L .Atlantic 53,17 59,28 527,3 ± 35,4 1411,9 ± 48,7 0,37Berkley 62,63 64,26 279,8 ± 13,9 1171,6 ± 80,5 0,24Bluecrop 64,23 66,02 296,6 ± 11,0 1501,1 ± 19,0 0,20Blueray 40,46 48,13 365,6 ± 9,9 1047,4 ± 57,4 0,35Bluerose 57,76 76,79 480,7 ± 14,4 1362,9 ± 78,8 0,35Carolina Blue 110,42 117,46 827,2 ± 37,5 1776,6 ± 35,3 0,47Concord 36,95 44,42 259,3 ± 6,6 1308,7 ± 99,6 0,20Coville 91,22 99,36 517,9 ± 21,4 1405,1 ± 13,9 0,37Darrow 52,98 65,03 279,7 ± 10,5 1252,9 ± 89,2 0,22Dixi 10,66 11,16 266,6 ± 11,4 853,0 ± 64,8 0,31Elizabeth 45,04 52,73 370,1 ± 19,4 1221,0 ± 61,7 0,30Herbert 57,44 59,10 672,3 ± 32,4 1624,3 ± 102,6 0,41Jersey 20,53 25,18 288,4 ± 12,5 920,3 ± 45,5 0,31Nelson 105,30 120,75 548,5 ± 9,3 1786,0 ± 124,8 0,31Northland 193,99 197,24 786,8 ± 25,7 1930,0 ± 137,3 0,41Patriot 244,31 267,56 1184,0 ± 21,3 1981,0 ± 52,0 0,60Rancocas 93,58 103,05 497,28 ± 13,1 1194,3 ± 90,8 0,42Reka 54,14 59,79 464,3 ± 21,9 1426,1 ± 27,0 0,33Stanley 52,78 60,76 592,44 ± 31,5 1610,0 ± 35,8 0,37Weimought 46,58 51,34 381,2 ± 14,6 1087,7 ± 45,4 0,35

Vaccinium uliginosum L .305,59 329,03 1871,7 ± 77,6 4213,7 ± 54,0 0,44



Беларуси

78

новых пигментов в сос таве феноль-ных соединений состав ляла для ис-следованных образцов от 20 до 60 % (таблица) .

По результатам, приведенным в таблице, видно, что АОА, изме-ренная при помощи AБTС+•, ко- лебалась в пределах от 10,66 до 305,59 мкмоль тролокса/г сухих пло-дов после 1-й минуты проведения эксперимента . Наименьшей АОА обладали сорта Dixi, Jersey, Concord, Blueray, Elizabeth, Weimought . АОА для сортов Carolina Blue и Nelson превышала значение 100 мкмоль

тролокса/г сухих плодов уже после 1-й минуты реакции, а для сортов Northland и Patriot прибли-жалась к 200 мкмоль тролокса/г сухих плодов в течение такого же промежутка времени .

Из сравнения характера кинетических кривых рис . 1 и показателей АОА в течение 1-й и 6-й минуты реакции можно сделать вывод, что соединения, обладающие активностью, реагировали с ка тион-радикалами в течение первой минуты, обеспечивая 75–98 % вклада в АОА, а затем про-текала более медленная стадия, на протяжении которой, возможно, проходила реакция с катион-

Рис . 2 . Корреляционная связь между АОА, мкмоль тролокса/г сухих плодов, и содержанием антоциановых пигмен-тов, мг на 100 г сухих плодов: а – после 1-й минуты; б – после 6-й минуты

Рис . 1 . Кинетические кривые обесцвечивания раствора с катион-радика-лами AБTС+• в присутствии различных объемов экстракта плодов сорта

Patriot



Беларуси

79

радикалами продуктов окисления антоцианов, образовавшихся на начальной стадии процесса, как это было показано ранее [8] .

На рис . 2, 3 и 4 представлена корреляционная связь между величиной АОА после 1-й и 6-й минуты проведения эксперимента и содержанием антоцианов и фенольных соединений (мг на 100 г сухих плодов) . Коэффициент корреляции между уровнем АОА и содержанием водораство-римых антоциановых пигментов составлял 0,92 и 0,93 (соответственно после 1-й и 6-й минуты), а между показателем АОА и содержанием фенольных соединений – 0,87 (после 1-й и 6-й мину-ты) . Данный параметр для корреляционной связи между АОА и соотношением между содержа-нием антоциановых пигментов и содержанием фенольных соединений после 1-й и 6-й минуты проведения опыта составлял 0,65 .

Все коэффициенты корреляции являлись значимыми на основании того, что расчетные зна-чения критерия Стьюдента во всех корреляционных полях превышали табличные, при количе-стве степеней свободы равном 19 и уровне значимости р < 0,05, т . е . существует реальная поло-жительная корреляционная связь между АОА и содержанием фенольных соединений и антоциа-новых пигментов . Причем корреляционная связь между АОА и содержанием антоцианов являлась наиболее тесной . Из вышесказанного следует, что более высокой АОА обладали сорта Vaccinium corymbosum L . и плоды Vaccinium uliginosum L . с повышенным содержанием антоциа-новых пигментов и фенольных соединений, причем доля антоцианов достигала 60 % . Таким об-разом АОА плодов голубики и фитопрепаратов на их основе может быть достоверно оценена по содержанию фенольных веществ либо антоциановых пигментов в их составе .

Рис . 3 . Корреляционная связь между АОА, мкмоль тролокса/г сухих плодов, и содержанием фенольных соединений, мг на 100 г сухих плодов: а – после 1-й минуты; б – после 6-й минуты



Беларуси

Выводы . В результате прове-денных исследований установлено высокое содержание антоцианов в плодах 20 сортов Vaccinium co-rymbosum L . и в образце Vaccinium uliginosum L ., в том числе превы-шавшее порог в 600 мг% в ягодах Patriot, Сarolina Blue, Stanley, Herbert, Northland . В изученных сортах доля антоциановых пигментов в составе фенольных соединений составляла от 20 до 60 % . Установлена высокая АОА плодов голубики высокой со-ртов Patriot, Northland, Carolina Blue, Nelson и плодов голубики то-пяной в системе с катион-ради ка-лами AБTС+• . Показано наличие положительной корреляции между АОА, содержанием фенольных сое-динений и антоциановых пигментов, что может быть использовано для оценки биологической активности плодов голубики и фитопрепаратов на их основе . Наиболее тесная кор-реляционная связь установлена меж-ду показателем АОА и содержанием антоциановых пигментов, поэтому именно использование количествен-ной оценки антоцианов и их гли- козидов может рассматриваться как наиболее приемлемый показатель для экспрессной оценки АОА рас-тительного сырья .

Литература1 . C a o G ., S o f i c E ., et al . // Free Radicals Biology and Medicine . 1997 . Vol . 22, 5 . P . 749–760 .2 . M a r t í n - A r a g ó n S ., B a s a b e B ., et al . // Pharmaceutical Biology . 1999 . Vol . 37, 2 . P . 109–113 .3 . S p a r r o w J . R ., V o l l m e r - S n a r r H . R ., et al . // J . of Biological Chemistry . 2003 . Vol . 278, 20 . Р . 18207–18213 .4 . В о л ч к о в В . // Белорус . лесная газ . 2009 . 4(713) .5 . D r a g o v i c - U z e l a c V ., S a v i c Z ., et al . // Food Technology and Biotechnology . 2010 . Vol . 48, 2 . Р . 214–221 . 6 . J a k o b e k L ., S e r u g a M ., et al . // Deutsche Lebensmittel-Rundschau . 2007 . Vol . 103, 2 . Р . 58–64 .7 . W a n g M ., S i m o n J . E ., et al . // J . of agricultural and food chemistry . 2003 . Vol . 51, 3 . P . 601–608 .8 . R e R ., P e l l e g r i n i N ., et al . // Free Radical Biology and Medicine . 1999 . Vol . 26, 9/10 . Р . 1231–1237 .

А. М. MAKArEViCh, V. n. rEShEtniKOV a_makarevich@tut .by, hbc@bas-net .by

ANTIOXIDANT ACTIVITY OF THE BERRIES OF Vaccinium corymbosum L. AND Vaccinium uliginosum L.

SummaryAccording to the available literature data, phenol substances, in particular anthocyanidins and their glycosides are one of the most

perspective natural antioxidants . Berries of Vaccinium corymbosum L . and Vaccinium uliginosum L . accumulate a wide range of biologically active substances . As a result of our research, the levels of the high content of anthocyanins in the berries of 20 cultivars of Vaccinium corymbosum L . and in Vaccinium uliginosum L . were defined . The highest level of anthocyanins (more than 600 mg%) was found in berries of Patriot, Сarolina Blue, Stanley, Herbert, Northland . In the studied cultivars, the portion of anthocyanin pigments as a part of phenol substances makes up 20 to 60 % . The high antioxidant activity in cultivars of Vaccinium corymbosum L . Patriot, Northland, Carolina Blue, Nelson and in the berries of Vaccinium uliginosum L . in the system with cation-radicals ABTS+• was established . A positive correlation between the аntioxidant activity, the content of phenol compounds and anthocyanyns pigments, which can be used for estimating the biological activity of the berries of blueberry and phytopreparations on their basis was shown .

Рис . 4 . Корреляционная связь между АОА, мкмоль тролокса/г сухих плодов, и соотношением между содержанием антоциановых пигментов и содержанием фенольных соединений, мг/мг: а – после 1-й минуты;

б – после 6-й минуты



Беларуси

81


НАуКИ о ЗЕМлЕ

уДк 551.24:551.21(476)

В. с. кониЩеВ

ТРЕМЛЯНСКАЯ ФАЗА ТЕКТОНОМАГМАТИЧЕСКОЙ АКТИВИЗАЦИИ В ПРИПЯТСКОМ ПРОГИБЕ

(Представлено академиком р. г. гарецким)

Белорусский научно-исследовательский геологоразведочный институт, Минск Поступило 27.06.2011

Тремлянские отложения в последней стратиграфической схеме докембрийских и фанерозой-ских отложений Беларуси выделены в ранге горизонта в составе задонского надгоризонта меж-солевой нижнефаменской толщи Припятского прогиба . Они перекрыты отложениями вишанско-го и подстилаются отложениями тонежского горизонтов задонского надгоризонта . Мощность тремлянского горизонта измеряется первыми десятками метров и достигает 127 м . Горизонт сло-жен мергелями, известняками и песчаниками с прослоями глин и ангидритов [1] .

В кровле тремлянских отложений в разрезе многих скважин встречен пласт ангидрита (ан-гидритовый репер «А») или пласт доломита с признаками размыва . На севере прогиба тремлян-ские отложения в разрезе ряда скважин отсутствуют, что считается доказательством предви-шанского размыва . На уровне тремлянского горизонта происходит переход от преимущественно карбонатной седиментации к глинистому режиму осадконакопления, что свидетельствует о су-щественной палеогеографической перестройке бассейна . Тремлянские отложения литологиче-ски более разнообразны и резче фациально дифференцированы, чем образования подстилающе-го тонежского горизонта: в его составе выделено шесть литофаций [2] .

Характерной особенностью тремлянских отложений является присутствие в разрезе ряда скважин в центре и на юге прогиба прослоев каменной соли в кровле и подошве горизонта, что не типично для осадконакопления в морском бассейне с нормальной соленостью, каким был межсолевой бассейн Припятского прогиба . В подошве тремлянских отложений пласты камен-ной соли вскрыты в скважинах Прудокская 1 (инт . 3276–3279 м) и Мозырская 2 (инт . 3370–3372 м) в центре прогиба и в скважинах Ельская 22 (инт . 2153–2155 м), Николаевская 3 (инт . 2853–2854 м), Восточно-Выступовичская 6 (инт . 2680–2685 м) на юге прогиба . В кровле тремлянского горизон-та пласты каменной соли вскрыты Смагловской скв . 1 (инт . 3067–3069 м) в центре и скважинами Ельская 28 (инт . 4255–4260 м) и Ельская 38 (инт . 4965–4077 м) на юге прогиба .

Выявлено четыре участка распространения каменной соли в межсолевых нижнефаменских отложениях с предполагаемой площадью развития 1,8 тыс . км2 . Керн из горизонта каменной соли межсолевых отложений был поднят только в скв . Мозырская 2 . Мощность горизонта камен-ной соли по керну составляет 1,8 м . Основная масса каменной соли сложена тесно прилегающи-ми друг к другу зернами галита изометричной или кубической формы . Преобладает каменная соль средне- и крупнозернистой структуры с размером зерен 3–9 мм . В каменной соли присут-ствуют газово-жидкостные включения, образующие на отдельных участках многочисленные скопления . Каменная соль в основной своей массе чистая . Встречается глинисто-битуминозное вещество, образующее сгустки неправильной формы . Значения хлорбромного соотношения в изученных образцах каменной соли ниже, чем в кристаллах галита, выделяющихся из морской воды на ранней стадии сгущения . Пласт каменной соли залегает на карбонатно-глинистых по-родах и перекрывается пластом глин мощностью 2,3 м . Контакт между каменной солью и глиной четкий, резкий . Глины темно-серые до черных, аргиллитоподобные, с линзовидными включе-



Беларуси

82

ниями, пропластками и прослойками светло-серого и буровато-серого известняка . Выше залега-ет пласт доломита мощностью 6,6 м темно-серого с зеленоватым оттенком, плотного, креп- кого, скрытокристаллического, участками глинистого и опесчаненного . В глинах, по данным С . А . Кручека, встречаются остатки ракообразных и остракод [3] . Подобные соотношения пла-стов каменной соли с подстилающими и покрывающими отложениями и отсутствие в подошве и кровле сульфатных пород начальных и конечных стадий галогенеза не характерны для обыч-ных солеродных бассейнов и свидетельствуют об особых условиях соленакопления в межсоле-вых отложениях Припятского прогиба . По-видимому, линзы каменной соли накопились в погру-женных частях бассейна осадконакопления в конце тонежского и тремлянского времени в фазы региональных подъемов, когда поднятые части ступеней размывались и источником соли была размывавшаяся нижняя соленосная толща . В поднятой северной части Ельско-Наровлянской ступени в поднятом южном крыле Буйновичско-Наровлянского разлома установлена самая ши-рокая в Припятском прогибе зона отсутствия межсолевых отложений и она, вероятно, и была источником галита, который отлагался к северу и югу от нее .

Характерной особенностью верхней части тремлянских отложений является также широкое распространение прослоев сульфатно-карбонатных пород и пластов ангидритов . Они развиты локально на отдельных участках, и их накопление происходило в субаэральной (палеосебхи) об-становке [4] . По-видимому, и для сульфатов материал поставляла нижняя соленосная толща, раз-мывавшаяся в поднятых частях ступеней во время подъема в конце тремлянского времени .

Таким образом, наличие размыва в кровле тремлянских отложений, переход от карбонатной седиментации к существенно глинистой, присутствие пластов каменной соли в подошве и кров-ле тремлянских отложений, а также сульфатов в кровле являются показателем фазы тектониче-ской активизации в тремлянское время с региональным подъемом и размывом поднятых частей ступеней .

Эта фаза активизации сопровождалась вулканизмом, о чем свидетельствует присутствие вулканогенного материала в тремлянских отложениях в южной части прогиба .

Вулкано-плутонический комплекс Припятской зоны рифтогенеза и сопредельной части Дне-провского палеорифта сформировался в позднефранско-фаменскую рифтовую стадию в течение нескольких фаз вулканизма . В речицкую фазу сформировалась щелочно-ультраосновная форма-ция трубок взрыва Жлобинского поля диатрем, в воронежско-евлановскую – щелочно-основная–щелочно-ультраосновная формация Уваровичского поля на Гомельской структурной перемычке, в евлановско-чернинскую и елецко-петриковскую фазы – щелочная оливин-базальтовая (трахиба-зальтовая) и в лебедянско-полесскую фазу – трахибазальт-трахиандезит-трахилипаритовая фор-мации Брагинско-Лоевской седловины и сопредельной северо-восточной части Днепровского па-леорифта . Вулкано-плутонический комплекс начинается щелочными ультраосновными и завер-шается щелочными кислыми породами и слагающие его формации образуют закономерно построенный вертикальный ряд формаций бимодальной серии . Они являются продуктами гра- витационной кристаллизационной дифференциации родоначального ультраосновного расплава в мантии: в выступе астеносферы (астенолите) на глубине 80–100 км, в промежуточной астенолин-зе в литосферной мантии на глубине 60–70 км и, в основном, в астенолинзе в кровле мантии и в подошве земной коры под палеорифтом на глубине 35–45 км . Формации в значительной степе-ни пространственно разобщены и смещаются от северного плеча палеорифта к его осевой части и с запада на восток . Последовательное уменьшение основности и повышение кислотности пород вверх по разрезу является следствием уменьшения глубины магматических очагов от 80–100 км в начальную речицкую фазу ультраосновного щелочного магматизма до 60–70 и 35–45 км и менее в последующие фазы . При общем автодромном характере вулканизма временами он был анти-дромным, и это показывает, что разные разломы одновременно вскрывали очаги магматизма на разных глубинах . На это указывает также и то, что часто скважины, пробуренные на небольших расстояниях друг от друга, вскрывают одновозрастные, но различные в петрографическом отно-шении разрезы вулканитов и, следовательно, десятки вулканов, расположенных вблизи друг друга и действовавших практически одновременно, извергали различный в петрографическом отношении материал [5] .



Беларуси

83

В эту схему не вписываются проявления вулканизма в задонских отложениях, установлен-ные в пределах Внутреннего грабена в южной части Припятского палеорифта [6; 7] . Здесь давно известны проблематичные, в основном витрокластические вулканические туфы и туффиты, сильно измененные вторичными процессами . Проблематичность их заключается в невыяснен-ной природе и отсутствии обоснованных представлений об источниках пирокластического ма-териала .

Вулканические туфы и туффиты встречены в южной части Припятского прогиба на Ельской, Восточно-Ельской, Стреличевской, Тульговичской, Восточно-Выступовичской, Николаевской, Го-стовской, Каменской и Мозырской площадях . Западнее, севернее и восточнее эти породы не из-вестны . Они распространены по всему разрезу задонских отложений с максимумом в среднезадон-ских (тремлянских) отложениях . Туфы и туффиты образуют прослои мощностью от первых сан- тиметров до нескольких метров и сложены обломками вулканического стекла серповидной, клиновидной, рогульчатой или неопределенной причудливой формы алевритовой и псаммитовой размерности . Нормально-осадочный компонент (в случае его наличия) представлен глинистым, карбонатно-глинистым, алевритовым и песчаным материалом . Вулканическое стекло нацело за-мещено анальцимом, часто вместе с кальцитом, реже одним кальцитом . Встречаются хлорит, као-линит, пирофиллит, монтмориллонит, шамозит и другие минералы постседиментационной пере-работки первичного пирокластического материала . Наибольшее содержание (70–80 %) туффито-вого материала и продуктов его переработки отмечается в прослойках туффитов мощностью до 1 м, повышенные содержания (свыше 50 %) отмечаются в цементе песчаников и алевролитов и наименьшее (до 5 %) количество – в их обломочной части . Максимальную мощность (18–19 м) пласты туфов и туффитов имеют на Восточно-Ельской площади (скв . 12, 13, 14), где встречается наиболее крупный, до крупнопсаммитовой размерности витрокластический материал . К западу, северу и востоку пирокластический материал заметно мельче: западнее на Николаевской площади и восточнее на Стреличевской площади он алевритовой, а севернее на Каменской и Мозырской площадях алевритовой и мелкопсаммитовой размерности . Судя по легкой способности пород к цеолитизации, пирокластический материал щелочно-кислого состава [6–8] .

Характерно, что содержание анальцима в туфогенных породах тремлянских слоев (Камен-ская скв . 5, Мозырская скв . 2) существенно выше (20–60 %), чем в туфогенных породах (0–5 %) петриковского горизонта в Николаевской скв . 1 [7] . Это дает основание полагать, что состав ту-фогенного материала в петриковских и тремлянских отложениях разный: средний и основной в петриковских и кислый – в тремлянских отложениях, а следовательно, и источники туфогенно-го материала разные . Для петриковского горизонта источником туфогенного материала были вулканы в северо-восточной части прогиба и на Брагинско-Лоевской седловине, где в это время был активным средний и основной вулканизм .

Источники пирокластического материала для тремлянских отложений южной части Припят-ского прогиба не могли быть в северо-восточной части прогиба и в пределах Брагинско-Лоевской седловины, так как там активного вулканизма в средне- и позднезадонское время не было, по-скольку евлановско-ливенская фаза вулканизма завершилась в начале задонского времени, а сле-дующая фаза вулканизма началась в елецкое время . К тому же вулканизм там в это время был ультраосновным, основным и средним . Уменьшение размерности пирокластического материала к северу и востоку также доказывает, что источники пирокластического материала не могли на-ходиться к северу и востоку .

Было установлено [7; 8], что обогащенные туфогенным материалом пласты пород в меж- солевых отложениях южной части Припятского прогиба отличаются более высокой радиоак-тивностью (8–10 мкР/ч и более) по сравнению с аналогичными породами, не содержащими вулканогенного материала (4–6 мкР/ч) . Это позволяет выделять по данным ГИС пласты пород, обогащенных туфогенным материалом . Прослеживание по каротажным диаграммам скважин тремлянских отложений с повышенной радиоактивностью может дать возможность устано-вить, в каком направлении возрастает радиоактивность и, следовательно, содержание в по- родах туфогенного материала и в каком направлении может быть источник туфогенного ма- териала .



Беларуси

84

Максимальна гамма-активность тремлянских отложений в разрезе Восточно-Ельских сква-жин 12, 13, 14, 15, 16 (16–32 мкР/ч) . К западу в Ельских скважинах 20 и 17 она снижается до 16– 20 мкР/ч, еще западнее в Ельских скважинах 21 и 29 – до 8–12 мкР/ч, в Николаевских скв . 1, 2, 3, 4 – до 6–12 мкР/ч, в Валавских скв . 2, 3 и Западно-Валавских скв . 2 и 3 – до 8–12 мкР/ч . Снижает-ся радиоактивность тремлянских отложений и к югу от Восточно-Ельской площади в сторону Украинского щита до 10–14 мкР/ч в Ельской скв . 38, до 10–14 мкР/ч в Восточно-Выступовичских скв . 2, 3, 4, 6, до 6–8 мкР/ч в Ново-Хуторских скв . 2 и 3 . К востоку от Восточно-Ельской площади в Карповичской скважине радиоактивность составляет 10–15 мкР/ч, в Стреличевских скв . 1, 2, 3, 4, 5, 6 она снижается до 8–10 мкР/час . К северу на Мозырской площади радиоактивность снижа-ется до 10–14 мкР/ч, на Каменской, Свободской, Прудокской, Смагловской, Скрыгаловской, Ка-зимировской площадях – до 8–11 мкР/ч .

Таким образом, проведенное нами изучение радиоактивности тремлянских отложений юж-ной части Припятского прогиба показывает, что радиоактивность снижается от Восточно-Ельской площади на юг, запад, восток и север . Это подтверждает вывод, сделанный на основа-нии изучения размерности туфогенного материала в тремлянских отложениях, что источник ту-фогенного материала находится в районе Восточно-Ельской площади или вблизи нее .

В . П . Корзун с соавт . [6] пришли к выводу, что центр кислого корового вулканизма находился где-то вблизи Восточно-Ельских скв . 12, 13, 14, при этом извержение носило эксплозивный ха-рактер и на поверхность выносились распыленные взрывами вязкие, не успевшие кристаллизо-ваться лавы, а лавовых потоков не было . На их взгляд, такое предположение подтверждается данными дешифрирования космических снимков и выявлением с центром в районе вышеупомя-нутых скважин крупной (20 × 25 км) кольцевой аномалии, аналогичной тем, которые выявлены на северо-востоке прогиба и в Лоевской седловине, где их связь с вулканами доказана бурением . Однако аномалия слишком велика для вулканов . Достаточно отметить, что в северо-восточной части Припятского прогиба и на Брагинско-Лоевской седловине размеры отрицательных струк-тур в поверхностном рельефе, отвечающие вулканическим сооружениям на глубине, имеют диа-метр преимущественно 1,5–3 км, в редких случаях до 4–5 км [6] . Вероятнее всего крупная коль-цевая структура в рельефе в районе Восточно-Ельских скважин является отражением субрози-онной мульды оседания над соляным поднятием и прислоненных к нему компенсационных мульд оседания . Строение подсолевых и межсолевых отложений на Восточно-Ельской площади изучено бурением и сейсморазведкой и никаких структурных признаков наличия вулканов не отмечено . Амплитуда сбросов невелика и измеряется первыми десятками метров, поэтому тек-тонические условия для проявления вулканизма в данном районе следует признать неблагопри-ятными . Следовательно, вопрос о наличии вулкана в данном районе остается открытым .

По мнению А . С . Махнача [9], возможны и другие объяснения присутствия кислого вулкано-генного материала в задонских отложениях южной части Припятского прогиба . Это может быть связано с размывом верхнепротерозойских вулканогенных отложений на Украинском щите и их переотложением в Припятском прогибе или с проявлением вулканизма в пределах Украинского щита и разносом пирокластического материала . Однако снижение радиоактивности тремлян-ских отложений к югу от Восточно-Ельской площади не подтверждает это предположение .

По-видимому, источник туфогенного материала для тремлянских отложений южной части Припятского прогиба находился в зоне Наровлянско-Ельского регионального ступенеобразую-щего разлома корового заложения, который ограничивает с севера Наровлянско-Ельскую сту-пень и расположен непосредственно к северу от Восточно-Ельской площади .

На возможность проявления кислого вулканизма в зоне Буйновичско-Наровлянского регио-нального разлома корового заложения указывает керн гранита, поднятого из евлановских отло-жений в Восточно-Наровлянской скв . 1, пробуренной в 1961–1962 гг . (устное сообщение З . Л . По-знякевича) в поднятом крыле разлома и расположенной в 20 км к северо-востоку от Восточно-Ельских скв . 12, 13, 14 . По-видимому, скважина пересекла силл или дайку гранита . Такие силлы в подсолевых среднедевонских и верхнедевонских породах широко развиты на северо-востоке прогиба и в пределах Брагинско-Лоевской седловины [5; 10] в районе развития девонского вул- канизма, в том числе непосредственно под вулканами, и присутствие таких силлов вдоль



Беларуси

Буйновичско-Наровлянского разлома может быть доказательством проявления здесь кислого вулканизма . Наличие дайки гранита в подсолевых евлановских отложениях Восточно-Наровлян-ской скважины 1 дает основание полагать, что очаг кислого вулканизма находился вблизи этой скважины в зоне пересечения трех разломов: субширотного Буйновичско-Наровлянского, имею-щего здесь амплитуду около 1,5 км, Дубровско-Ельского северо-восточного простирания ампли-тудой порядка 600 м и субмеридионального амплитудой 1400 м, ограничивающего с запада Хой-никский погребенный выступ .

В отличие от Жлобинской седловины, Северо-Припятского плеча, Северной зоны ступеней и Лоевской седловины, где магматизм был в основном ультраосновным, основным и средним, во Внутреннем грабене в тремлянскую фазу тектонической активизации он был кислым . Это было обусловлено тем, что во Внутреннем грабене разломы коровые и очаги магматизма имеют не-большую глубинность и расположены в гранитно-метаморфическом слое консолидированной земной коры, в отличие от северной части Припятской зоны рифтогенеза, где разломы мантий-ного заложения и очаги магматизма имеют большую глубинность и приурочены к верхней ман-тии и базальтовому слою земной коры .

Таким образом, тремлянская фаза регионального подьема и тектонической активизации со-провождалась соленакоплением и кислым вулканизмом, вероятно, в зоне корового Буйновичско-Наровлянского разлома, и может считаться фазой тектономагматической активизации .


1 . Стратиграфические схемы докембрийских и фанерозойских отложений Беларуси . Минск, 2010 . 2 . П у ш к и н В . И ., У р ь е в И . И ., Г о л у б ц о в В . К . и др . Стратиграфия нижнефаменских (межсолевых) от-

ложений Припятского прогиба . Минск, 1995 .3 . Г а р е ц к и й Р . Г ., К и с л и к В . З ., В ы с о ц к и й Э . А . и др . Девонские соленосные формации Припятского

прогиба . Минск, 1982 . 4 . О б р о в е ц С . М ., Д е м и д о в и ч Л . А . // Докл . АН БССР . 1990 . Т . 34, 1 . С . 79–82 .5 . К о р з у н В . П ., М а х н а ч А . С . // Докл . АН БССР . 1986 . Т . 30, 12 . С . 1105–1108 .6 . К о р з у н В . П ., А ж г и р е в и ч Л . Ф ., В о л ь с к а я Л . С . // Докл . АН БССР . 1989 . Т . 33, 6 . С . 549–552 .7 . М а с ю к о в В . В ., Т ю м е н ь ц е в В . Л . // Докл . АН БССР . 1981 . Т . 25, 10 . С . 928–931 .8 . Г о с у д а р е в а А . А . // Докл . АН БССР . 1987 . Т 31, 1 . С . 76–79 .9 . М а х н а ч А . С . // Докл . АН БССР . 1991 .Т . 35, 9 . С . 815–818 .10 . К о р з у н В . П . // Докл . АН БССР . 1986 . Т . 30, 11 . С . 1008–1011 .

V. S. KOniSChEV

vkon@geology .org .by

TREMLIAN PHASE OF THE TECTONIC AND MAGMATIC ACTIVITY IN THE PRIPYAT TROUGH

Summаry

The tremlian phase of the tectonic and magmatic activity was determined first time in the Pripyat trough . During this phase, the territory was uplifted and lower salt deposits were washed at upper parts of some tectonic steps . As a result, salt rock was deposited at lower parts of steps . Acid volcanism takes place during this phase at the south part of the Pripyat trough .



Беларуси

86


уДк 551.24(476)

член-корреспондент р. е. АЙзБерг1, В. н. БескоПыльныЙ2, я. г. гриБик3

СТРУКТУРНОЕ РАЙОНИРОВАНИЕ МЕжСОЛЕВОГО КОМПЛЕКСА ПРИПЯТСКОГО НЕФТЕГАЗОНОСНОГО БАССЕЙНА

1институт природопользования нАн Беларуси, Минск 2руП «Белоруснефть», гомель 3руП «Белгеология», Минск Поступило 15.08.2011

Межсолевой комплекс нижнефаменского возраста вместе с подстилающей его верхнефран-ской соленосной формацией образует средний дислокационный этаж в отложениях герцинского этапа развития Припятского прогиба, который контролирует размещение одноименного нефте-газоносного бассейна (НГБ) . На 01 .01 .2011 г . в межсолевом комплексе выявлено 64 залежи нефти, но остаются еще не разведанными значительные потенциальные ресурсы нефти . Для эффектив-ного решения задач освоения ресурсов углеводородов этого комплекса проведено его структур-ное районирование в пределах Припятского нефтегазоносного бассейна . Фактологической осно-вой районирования является сводная структурная карта поверхности межсолевого комплекса, соответствующая сейсмическому горизонту 2D и III-III . Авторами карты, составленной по со-стоянию на 01 .01 .2008 г . и отредактированной в 2011 г ., являются Я . Г . Грибик, В . П . Чайка, В . Н . Бескопыльный, А . Я . Гарцев, А . В . Лаптухов, П . М . Захаров, Е . А . Беляева, В . В . Риштов-ский, Б . А . Дубинин, Б . И . Демкив, А . П . Вовк, В . В . Шуренков, С . Н . Гузик, Г . В . Горяйнова . В процессе районирования использованы авторские оригинальные классификации и кодифика-ции основных структурных форм и структурных элементов тектонических ступеней и крупных, сложнопостроенных тектонических блоков (полиблоков) [1; 2] .

Межсолевой комплекс наследует в общих чертах строение подсолевого дислокационного этажа . Структурный план последнего сформирован в основном постседиментационными движе-ниями по разломам и характерен преимущественно блоковыми структурами [2] . Тектоническая эволюция межсолевого комплекса происходила в условиях конседиментационных движений, эрозионных процессов и галокинеза верхнефранской соленосной формации . В связи с интеграль-ным воздействием всех указанных факторов тектонические формы межсолевого комплекса име-ют блоково-пликативный характер и являются переходными между преимущественно блоковы-ми структурами подсолевого и пликативными тектоническими формами верхнесоленосного и вышележащих комплексов . В межсолевом комплексе обособляются, как правило, те же струк-туры, которые характерны для подсолевого этажа [2] (рис . 1, 2) . На представленных мелкомас-штабных картах структурного районирования подсолевого и межсолевого комплексов показана тектоническая позиция структур первого и второго порядков и впервые выделенных внеранго-вых элементов тектонических ступеней – сбросо-блоковых уступов, структурных гребней, тер-рас и подножий . Положение зон локальных поднятий, не изображенных на рис . 1 и 2 из-за огра-ниченности размеров карт, косвенно отражено показом разломов, контролирующих положение и простирание названных зон . В подрисуночных подписях приведены наименования основных структурных форм и разломов в наиболее употребляемом варианте, рекомендуемом авторами для последующего использования учеными и специалистами с целью исключения ранее практи-ковавшихся различных наименований одного и того же тектонического объекта .

Одноименные тектоническое элементы межсолевого и подсолевого дислокационных этажей отличаются друг от друга неполным совпадением границ, морфологическим обликом, блоковой



Беларуси

87

Рис . 1 . Карта структурного районирования подсолевого комплекса Припятского прогиба для решения задач эффективного освое-ния ресурсов углеводородов . Авторы В . Н . Бескопыльный, Р . Е . Айзберг, Я . Г . Грибик, 2011 .

Условные обозначения . Фигурные и кодовые обозначения структурных форм:

1 – Припятский прогиб; 2 – Брагинско-Лоевская седловина; 3 – Микашевичско-Житковичский выступ; структуры второго порядка: 4 – краевые сбросо-блоковые уступы, тектонические ступени; 5 – центриклинальные депрессии; 6 – структурная пере-мычка и выступ Брагинско-Лоевской седловины; структуры внеранговые: 7 – крупные, 8 – средние; структурные элементы тек-тонических ступеней или полиблоков в депрессиях: 9 – сбросово-блоковые уступы; 10 – структурные гребени; 11 – структурные террасы; 12 – структурные подножия; основные разломы: 13 – порядковый номер; 14 – суперрегиональные; 15 – региональные; 16 – ограничивающие ареалы (районы) структурных форм; 17 – ограничивающие тектонические ступени, Приосевую депрессию (грабен) или контролирующие одноранговые зоны локальных поднятий, 18 – выделенные по неуверенному материалу; прочие обозначения: 19 – месторождения углеводородов; 20 – линии, ограничивающие структурные формы Брагинско-Лоевской седлови-ны; 21 – безразломная граница тектонической ступени .

Наименование основных структурных форм и их коды на рис. 1 и 2: Припятский прогиб (0); Припятский грабен (1): крае-вые сбросово-блоковые уступы: Северо-Припятский (0 .1у), Южно-Припятский (0 .2у); Северный ареал (район) структурных форм (1С): Речицко-Вишанская (1С .1) и Червонослободско-Малодушинская (1С .2) тектонические ступени; Старобинская центриклиналь-ная депрессия (1С .3); Центральный ареал (район) структурных форм (1Ц): Азерецко-Хобнинская (1Ц .1) и Шестовичско-Гостовская (1Ц .3) тектонические ступени; Приосевая (Центральная) депрессия (грабен) (1Ц .2); Южный ареал (район) структурных форм (1Ю): Буйновичско-Наровлянская тектоническая ступень (1Ю .1), Туровская центриклинальная депрессия (1Ю .2); Брагинско-Лоевская седловина (2): Лоевская структурная перемычка (2 .1), Брагинский структурный выступ (2 .2) – Черниговский (2 .2 .1), Ручаевский (2 .2 .2), Ново-Брагинский (2 .2 .3), Дублинский (2 .2 .4), Кулажский (2 .2 .5), Комаринский (2 .2 .6) полиблоки; Микашевичско-житковичский выступ (3) – Северный (3 .1), Южный (3 .2), Юго-Западный (3 .3) полиблоки (структурные склоны) .

Наименование основных разломов и их номера на рис. 1 и 2: суперрегиональные (номера в квадратах): 1 – Северо-Припятский краевой, 2 – Южно-Припятский краевой, 3 – Микашевичско-Житковичский; региональные (номера в квадратах): 4 – Глуско-Щербовский, 5 – Симоновичско-Аравичский, 6 – Червонослободско-Малодушинский, 7 – Буйновичско-Наровлянский, 8 – Речицко-Вишанский, 9 – Азерецко-Хобнинский, 10 – Шестовичско-Гостовский, 11 – Речицко-Вишанский гребневой, 12 – Червонослободско-Малодушинский гребневой, 13 – Азерецко-Хобнинский гребневой, 14 – Шестовичско-Гостовский гребневой, 15 – Буйновичско-Наровлянский гребневой; субрегиональные: 16 – Прибортовой, 17 – Озерщинский, 18 – Оземлинско-Моисеевский, 19 – Холопиничско-Чернинский, 20 – Перво-майский, 21 – Александровский, 22 – Межинский, 23 – Салтановский, 24 – Дубровский, 25 – Северо-Вишанско-Северо-Сосновский, 26 – Михальковский, 27 – Лоевский, 28 – Днепровский, 29 – Северо-Александровский, 30 – Дятловичский, 31 – Ветхинский, 32 – Заозе-рьевский, 33 – Северо-Калиновский, 34 – Кореневский, 35 – Великополянский, 36 – Северо-Притокский, 37 – Северо-Малодушинский, 38 – Северо-Надвинский, 39 – Летешинский, 40 – Северо-Солигорский, 41 – Новосёлковский, 42 – Комаровичский, 43 – Савичский, 44 – Бобровичский, 45 – Калининский, 46 – Омельковщинский, 47 – Северо-Хойникский, 48 – Копаткевичский, 49 – Южно-Копаткевичский, 50 – Птичский, 51 – Южно-Птичский, 52 – Северо-Шестовичский, 53 – Северо-Скрыгаловско-Слободской, 54 – Скрыгаловско-Слободской, 55 – Западно-Птичский, 56 – Борусский, 57 – Найдовский, 58 – Мозырский, 59 – Хойникский, 60 – Наровлян-ский, 61 – Великопольско-Стреличевский, 62 – Валавско-Николаевский, 63 – Гребеневский, 64 – Южно-Карповичский, 65 – Вересниц-кий, 66 – Туровский, 67 – Северо-Туровский, 68 – Боровский, 69 – Милашевичский, 70 – Восточно-Выступовичский



Беларуси

88

делимостью, размывом межсолевых отложений, полнотой иерархического ряда структур . Неко-торое площадное несовпадение одноименных тектонических элементов межсолевого и подсоле-вого этажей определяется смещением проекции структурных границ на горизонтальной плоско-сти карты, обусловленное наклоном плоскости сместителя региональных и субрегиональных сбросов и разностью глубин залегания сравниваемых комплексов .

В межсолевом комплексе в отличие от подсолевого, в подножьях тектонических ступеней, как правило, не выявлены зоны поднятий . Это обусловлено тем, что маркирующие горизонты межсолевого комплекса на границе подножья и уступа часто испытывают резкий флексуро- образный подъем в сторону ступенеобразующего разлома . Поэтому в наиболее погруженных зонах подножий чаще всего отсутствуют разломы, которые могли бы способствовать формиро-ванию локальных положительных структур, как это установлено применительно к подсолевому комплексу, для которого характерно блоковое строение уступов . Дальнейшая детализация стро-ения погруженных участков подножий с помощью современных технологий, например, широ-коазимутальной или многокомпонентной сейсморазведки, возможно, приведет к обособлению новых локальных структурных объектов, зон интенсивной трещиноватости или сланцеватости . Сложный литолого-фациальный состав межсолевого комплекса, формирование и переформиро-вание потенциальных нефтегазовых ловушек во время проявления главной и поздней фаз риф-тообразования предопределили воздействие нескольких структуроформирующих факторов: тектонического, седиментационного, эпигенетического, эрозионного, гравитационного (связан-ного с процессами течения соли) . По этим генетическим признакам выделено несколько типов локальных поднятий и ловушек углеводородов [3] .

С уменьшением ранга структур межсолевого комплекса возрастает роль пликативного фак-тора . Структуры второго порядка (прежде всего, тектонические ступени) имеют более сглажен-ные формы по сравнению с подсолевым (рис . 3) . Локальные структуры четвертого порядка пред-

Рис . 2 . Карта структурного районирования межсолевого комплекса Припятского прогиба для решения задач эффек-тивного освоения ресурсов углеводородов . Авторы В . Н . Бескопыльный, Р . Е . Айзберг, Я . Г . Грибик, 2011 .

– зоны и участки отсутствия или резкого уменьшения мощности межсолевых отложений . Остальные услов-ные обозначения см . на рис . 1 . Кодовые обозначения структурных форм межсолевого комплекса дополняются бук-вой «м»



Беларуси

89

ставлены преимущественно антиклиналями и полуанти-клиналями, которые груп- пируются, как и подсолевые объекты, в региональные и суб-региональные зоны .

Особенностью строения межсолевого нефтегазонос-ного комплекса является су-щественное сокращение его мощности или отсутствие рас-сматриваемых и частично нижележащих отложений на гребнях отдельных тектони-ческих ступеней и в сводах некоторых локальных подня-тий . Эти участки приурочены в основном к Центральному району (ареалу) структурных форм, а также сопредельным зонам Северного и Южного районов . Формирование пре-имущественно линейных участков отсутствия межсолевых отложений или существенного со-кращения их мощности объясняют по-разному . Достаточно обоснованными являются представ-ления об эрозионном происхождении участков отсутствия межсолевых отложений или резкого сокращения их мощности [4; 5] . Предполагается, что в большинстве случаев причиной этому явились эрозионные процессы задонско-петриковского времени в бассейне с расчлененным ре-льефом дна на фоне активных блоковых движений по разломам . Эрозии подвергались слабо ли-тифицированные осадки в наиболее приподнятых участках дна – на гребнях ступеней и сводах формирующихся антиклиналей . При этом образовались эрозионные срезы с наклоном поверх-ности размыва в сторону разломов, обратную к направлению регионального падения тектониче-ской ступени . В случаях, когда своды антиклиналей формировались на некотором удалении от разломов и являлись наиболее приподнятыми в рельефе, их размыв сопровождался образовани-ем эрозионных врезов, как на Вишанской, Сосновской площадях .

Существуют предположения о том, что одной из причин отсутствия межсолевых отложений на структурных гребнях крупноамплитудных региональных разломов типа Речицко-Вишанского может являться горизонтальное их перемещение по плоскости разлома в галитовую подтолщу верхнесоленосной толщи погруженного крыла [6] . С этих позиций отсутствие межсолевых отло-жений в зоне тектонического уступа Зуевской площади связывается с их перемещением на 1–2 км в южном направлении .

Возможен и иной подход к реконструкции причин отсутствия межсолевых отложений на от-дельных участках Припятского палеорифтового бассейна, обусловленный сопоставлением с ре-зультатами изучения подводных процессов седиментации в Красноморском рифте [7] . Его стро-ение во многом сходно со структурой Припятского прогиба, при этом для первого показано, что уменьшение мощности новейших синрифтовых плиоцен-четвертичных отложений происходит в субаквальных условиях вверх по восстанию тектонических ступеней от первых сотен метров до нуля . На гребнях некоторых ступеней Красноморского рифта, относительная высота которых колеблется от 100–200 до 500–600 м, осадки отсутствуют, хотя глубина дна составляет 900–1700 м . В этих условиях идет процесс постоянного конседиментационного размыва осадков на гребнях, либо они здесь не отлагаются в связи со специфическими гидродинамическими условиями в бас-сейне Красного моря . Аналогичная тектоническая обстановка седиментации преобладала к кон-цу задонско-петриковского времени в Центральном районе (ареале) и сопредельных зонах При-

Рис . 3 . Модель строения тектонической ступени по межсолевому комплексу: 1 – разрывные нарушения; 2 – комплекс межсолевых отложений



Беларуси

пятского грабена, представлявших собой расчлененную ступенеобразующими разломами отно-сительно глубокую депрессию .

При составлении карт структурного районирования межсолевого и подсолевого комплексов авторами впервые использована кодификация структур Припятского прогиба, отдельные эле-менты которой отражены на рис . 1 и 2 . Индивидуальные коды структурных форм и разломов позволяют легко оперировать данными при их компьютерной обработке, обобщать и класси-фицировать всю информацию в соответствии с этими кодами, например, применительно к обо-соблению зон локальных поднятий, изучению коллекторов, признаков нефтегазоносности, гео-химическому анализу пород, вод и т . д . Коды составлены таким образом, что несут полную ин-формацию о структурной позиции любого обособленного тектонического элемента, включая все основные разломы Припятского прогиба .

Разработанные авторами карты структурного районирования представляют собой деталь-ные тектонические модели межсолевого и подсолевого нефтегазоносных комплексов Припят-ского прогиба, которые являются новой общегеологической основой для решения задач эффек-тивного освоения ресурсов углеводородов . Они способствуют выявлению важных разнообраз-ных зависимостей и закономерностей в размещении скоплений углеводородов, необходимых для обоснования информативных критериев выделения локальных и зональных объектов нефтепои-сковых работ . Кроме того, представленные карты являются базой для составления таких инте-гральных картографических моделей, как карты нефтегеологического районирования и перспек-тив нефтегазоносности Припятского НГБ .

Работа подготовлена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаменталь-ных исследований, проект Х11-001 .


1 . А й з б е р г Р . Е ., Б е с к о п ы л ь н ы й В . Н ., Г р и б и к Я . Г . // Докл . НАН Беларуси . 2010 . Т . 54, 4 . С . 114–118 .2 . А й з б е р г Р . Е ., Б е с к о п ы л ь н ы й В . Н ., Г р и б и к Я . Г . // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 1 . С . 86–90 .3 . С т а р ч и к Т . А . Особенности развития главных тектонических зон Припятского прогиба в девоне: автореф . …

дис . канд . геолого-минералог . наук . Минск, 1985 . – 26 с .4 . С т а р ч и к Т . А ., Р ы н с к и й М . А ., С в и д е р с к и й Э . И . // Докл . НАН Беларуси . 1977 . Т . 21, 6 . С . 549–551 .5 . К о н и щ е в В . С . Разломная тектоника Беларуси и Прибалтики / Под ред . Р . Г . Гарецкого . Минск, 1978 .

С . 117–121 .6 . Г р и б и к Я . Г . // Материалы междунар . науч .-практ . конф ., посвящ . 75-летию БелНИГРИ . Минск, 2002 .

С . 50–52 .7 . З о н е н ш а й н Л . П ., М о н и н А . С . // Геотектоника . 1981 . 2 . С . 3–22 .

r. ye. AiZBErg, V. n. BESKOPylny, Ja. g. griBiK

chistaya@nature .basnet .by

STRUCTURAL REGIONS DISTINGUISHED WITHIN THE INTERSALT COMPLEXES OF THE PRIPYAT OIL- AND GAS-BEARING BASIN

Summary

A cartographic model of structural regions distinguished within the intersalt complex of the Pripyat oil- and gas-bearing basin has been compiled . Structural features of the same name revealed both in the intersalt, and subsalt complexes differ in their morphology, divisibility into blocks and show intersalt deposit washouts and not exactly matching boundaries .



Беларуси

91


ТЕХНИчЕСКИЕ НАуКИ

уДк 669.14.018.28:669.893

Академик П. А. Витязь, А. и. коМАроВ, В. и. коМАроВА, А. А. ШиПко, В. т. сенЮть

СОЗДАНИЕ НАНОСТРУКТУРИРОВАННЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МОДИФИКАТОРОВ ДЛЯ СПЛАВОВ АЛЮМИНИЯ

объединенный институт машиностроения нАн Беларуси, Минск Поступило 18.08.2011

Введение. Одной из важнейших задач современного материаловедения является разработка сплавов с высоким уровнем физико-механических свойств, предпосылкой получения которых является формирование в них мелкозернистой структуры с равномерным распределением фаз . Особенно это актуально для сплавов с резко гетерогенной структурой, яркими представителями которой являются силумины с различным содержанием кремния, полученные литьем из вто-ричных ресурсов . Существующие методы обработки вторичных алюминий-кремниевых спла-вов, в том числе термической, не способны обеспечить требуемого уровня свойств, что делает задачу поиска и разработки новых перспективных способов их улучшения актуальной и важной . Эффективным средством воздействия на структуру литых сплавов алюминия является их арми-рование порошковыми тугоплавкими керамическими элементами и соединениями, в качестве которых часто используются SiC, Al2O3, B4C, TiC с размером частиц 20–60 мкм и более [1–3] . Обеспечивая повышение триботехнических свойств алюмоматричных композиционных мате-риалов (АКМ) по сравнению с базовыми сплавами, эффект диспергирующего воздействия таких керамических частиц на структуру матричных сплавов, судя по приведенным в [1] данным, не-велик . Вместе с тем при выборе модификаторов алюминиевых сплавов значительный интерес представляют и такие соединения, как BN, AlN, Si3N4, TiN с размером частиц, лежащим в суб-TiN с размером частиц, лежащим в суб- с размером частиц, лежащим в суб-микронном и наноразмерном диапазонах . Обладая большой энергией направленных химических связей, они характеризуются высокими свойствами, такими как твердость, модуль упругости, химическая стойкость в агрессивных средах, низкий коэффициент термического расширения . Однако данные по использованию при создании АКМ таких наполнителей в литературе недо-статочно представлены и по этому вопросу имеются лишь отдельные публикации [4; 5] . Особен-но это касается BN, для гексагональной структурной модификации которого систематические исследования по применению ее в качестве модификатора структуры сплавов алюминия прак-тически отсутствуют .

Особый интерес вызывают особенности фазово-структурных превращений в базовых спла-вах алюминия при их армировании нанонаполнителями (НН) . Введение нанопорошков в распла-вы представляет, как известно, достаточно трудную задачу . Обычно это осуществляется путем закрепления частиц НН на дефектах микропорошков при их совместной обработке в процессе механической активации в аттриторе или планетарной мельнице [1; 5], что не обеспечивает рав-номерности распределения наночастиц в шихте, а тем самым в последующем и в расплаве .

В [5] предложен принципиально новый подход создания армирующих наноструктуриро- ванных композиционных полифункциональных тугоплавких керамических наполнителей (НКПТКН), эффективно воздействующих, вследствие их высокой реакционной способности, на структуру алюминиевых сплавов и свойства . Разработанные физико-химические принципы по-лучения НКПТКН заключаются в целенаправленном модифицировании реакционно активными элементами поверхностных слоев исходных микро- и ультрадисперсных порошков, обеспечива-ющем формирование высокодисперсных компонентов и связанной с этим высокой удельной по-



Беларуси

92

верхности наполнителей . Согласно разработанной концепции, исходные микро- и ультради-сперсные порошки при их модифицировании активными компонентами выполняют, с одной стороны, функцию доноров для протекания на их поверхности химических реакций, приводя-щих к образованию in situ наноразмерных элементов и соединений, обладающих химическим сродством к алюминиевой матрице, с другой – носителей нанонаполнителей в расплавы с обе-спечением равномерного распределения НН в них .

Цель работы – исследование структурно-фазовых превращений в созданных наноструктури-рованных наполнителях различных систем и алюмоматричных композитах, определение степе-ни воздействия НКПТКН на диспергирование структуры эвтектического силумина АК12М2МгН и его трибомеханические свойства .

Материалы и методы исследования. В качестве матрицы для разработки АКМ применяли сплав АК12М2МгН . Он имеет ГЦК решетку с периодом а = 0,4043 нм, характеризуется резкой гетерогенностью и грубодисперсностью структуры с размером дендритов и включений желези-стых фаз до 500, 40 мкм соответственно . Для модифицирования структуры силумина использо-вали тугоплавкие микро- и субмикроразмерные порошки . При проведении исследований ис-пользовали порошок гексагонального нитрида бора (ГНБ) (ТУ 2-036-1045–88) Запорожского абразивного комбината с размером исходных частиц 5–20 мкм . Среди имеющихся разновидно-стей SiO2 в качестве модификатора структуры сплава АК12М2МгН выбран ультрадисперсный кварц (0,6–0,8 мкм), имеющий гексагональную решетку с периодами решетки а = 0,4913 нм, с = 0,5405 нм . НКПТКН готовили по специально разработанной технологии, включая предвари-тельное модифицирование исходных порошков BN и SiO2 реакционно активными к алюминию элементами (B, Ti, Al) газофазным осаждением . Поэтапное исследование структурно-фазовых превращений в наполнителях и отливках АКМ проводили методами рентгеноструктурного, ме-таллографического анализов, сканирующей микроскопии .

Сравнительные фрикционные испытания образцов исходного сплава и композитов выполня-ли в режиме граничного трения на трибометре МТВП-2 по схеме возвратно-поступательного перемещения контртела относительно неподвижного образца в среде масла И-40А при пошагово возрастающем давлении (30 → 40 → 50 → 65 МПа) и скорости скольжения 0,1 м/с . Длительность испытаний на каждой ступени соответствовала пути трения l = 1080–1200 м . По результатам ис-пытаний определяли коэффициент трения f, массовый износ ∆m и интенсивность изнашивания І (І = ∆m / l) . Оценку физико-механических характеристик композитов выполняли методом дина-мического индентирования на приборе «Импульс-2М» [6] .

Результаты и их обсуждение. Фазовый состав нкПткн системы Bn–ti–O. На рис . 1 представлены данные рентгенографического исследования порошка ГНБ в различных состоя-ниях . Из этих данных следует, что на дифрактограмме исходного ГНБ регистрируются лишь отражения, характерные для этого порошка (рис . 1, а) . Модифицирование ГНБ титаном (BNTi) сопровождается появлением на дифрактограмме ряда новых отражений (рис . 1, б), которые, как показал выполненный анализ, относятся к TiO2 (рутилу) и титану . Регистрируемое размы-тие отражений TiO2 и Ti свидетельствует о высокой их дисперсности, соответствующей, со-Ti свидетельствует о высокой их дисперсности, соответствующей, со- свидетельствует о высокой их дисперсности, соответствующей, со-гласно выполненной оценке, наноуровню . Таким образом, фазовый состав порошка BN после модифицирования титаном представлен TiO2 и непрореагировавшим Ti, которые тонким сло-Ti, которые тонким сло-, которые тонким сло-ем покрывают частицы исходного порошка ГНБ [5], что способствует его смачиваемости алюминий-кремниевым расплавом .

Как показали результаты исследования, армирование сплава АК12М2МгН наноструктуриро-ванным наполнителем BN–Ti–TiO2 оказывает существенное модифицирующее воздействие на его структуру, что проявляется в значительном ее диспергировании (рис . 2, б) по сравнению с исход-ным сплавом (рис . 2, а) . При этом микротвердость α-фазы композита АКМ4 составляет 860 МПа, эвтектики 1110 МПа, что соответственно на 10 и 20 % выше по сравнению с исходным состоянием силумина . Это характерно и для других механических характеристик АКМ (табл . 1) .

нкПткн системы Bn–Al–Aln–AlB2–α-Al2O3–B. Значительные структурно-фазовые превра-щения ГНБ, приводящие к полифазному его составу, зарегистрированы в процессе модифициро-



Беларуси

93

вания ГНБ алюминием (рис . 1, в) . Следствием протекающих химических реакций в исходном порошке в этом случае является образование гексагонального α-AlN, кубического β-AlN, бори-AlN, бори-, бори-да AlB2, оксида α-Al2O3, свободных бора и алюминия . Cогласно данным СЭМ, эти наносоедине-Cогласно данным СЭМ, эти наносоедине-огласно данным СЭМ, эти наносоедине-ния и элементы формируются на поверхности частиц алюминия и ГНБ в виде вискеров и шипов (рис . 3) . Образование нитридов и борида алюминия в процессе протекающих непосредственно в шихте реакций следует связывать с частичной диссоциацией ГНБ с выделением азота и бора, вступающих в реакцию с легирующим элементом, которым в данном случае является алюми-ний . Было установлено, что объемная доля формирующихся керамических наносоединений, оказывающих зародышеобразующее и упрочняющее воздействие [4–6] на расплав, определяется количеством вводимого в исходную шихту Al, которое повышается с его ростом . Результатом введения НКПТКН рассматриваемой системы в расплав АК12М2МгН является измельчение зер-на в 5–30 раз (рис . 2, в) и повышение механических свойств (табл . 1) отливок сплава по сравне-нию с образцами, полученными обычной технологией . Существенное диспергирование струк-туры и повышение свойств сплава АК12М2МгН было достигнуто его армированием и рядом других НКПТКН, некоторые из которых приведены в табл . 2 .

Рис . 1 . Фрагменты дифрактограмм ГНБ-наполнителя в состоянии поставки (а) и последующего модифицирования титаном (б), алюминием (в)

Рис . 2 . Микроструктура исходного сплава АК12М2МгН (а) и после его армирования НКПТКН: BNTi (б), BNAl (в)



Беларуси

94

триботехнические испытания. На рис . 4 и в табл . 1 приведены результаты фрикционных ис-пытаний образцов силумина АК12М2МгН и композитов на его основе . Влияние армирования силумина на изнашивание и коэффициент трения трибосопряжения существенно зависит от давления и типа НКПТКН . При давлении 30 МПа для немодифицированного сплава АК12М2МгН интенсивность изнашивания образцов в среде масла И-40А составляет i = 76,3⋅10–4 мг/м, что в 1,1–55,3 раза превышает i при трении композитов (табл . 1) . Для исходного силумина зареги-стрированы также наиболее высокие значения коэффициента трения . После приработки (200 м) и непродолжительной стадии установившегося износа (l = 200–320 м), на которой коэффициент трения равен 0,20, отмечается его резкое возрастание до уровня f = 0,36 (рис . 4) . Для композитов на стадии установившегося изнашивания коэффициент трения в 3–8 раз ниже . Среди компози-тов наиболее высокие значения f практически на всех стадиях испытания отмечаются для АКМ3, что, вероятно, связано с повышенным содержанием в НКПТКН немодифицированного SiO2 .

Т а б л и ц а 1 . Модуль Юнга Е, предел прочности σв, предел текучести σт, твердость НВ, интенсивность изнашивания І композитов

Композит* Состав композита е, ГПа σв, МПа σт, МПа НВ i, 10–4 мг/м f

р = 30 МПа – АК12М2МгН 68 319 108 77 76,3 0,193–0,390

АКМ2 АК12М2МгН–3% BNAl (МДП) 74 345 127 111 3,20 0,043–0,050АКМ3 АК12М2МгН–3% BNAl–2,5%S iO2 72 343 125 115 71,9 0,136–0,240АКМ4 АК12М2МгН–0,3% BNTi (МДП) 69 354 151 132 1,38 0,040–0,062АКМ5 АК12М2МгН–0,3% BNB, Ti (УДП) 74 365 155 135 46,2 0,017–0,032АКМ7 АК12М2МгН–5% SiO2(B, Ti) (УДП) 74 349 136 97 7,4 0,022–0,035

р = 40 МПаАКМ2 АК12М2МгН–3% BNAl (МДП) – – – 147 0,39 0,013–0,019АКМ4 АК12М2МгН–0,3% BNTi (МДП) – – – 159 2,30 0,067–0,111АКМ5 АК12М2МгН–0,3% BNB, Ti (УДП) – – – 206 0,92 0,037–0,067АКМ7 АК12М2МгН–5% SiO2(B, Ti) (УДП) – – – 197 0,46 0,017–0,024

р = 50 МПаАКМ2 АК12М2МгН–3% BNAl (МДП) – – – 173 0,77 0,023–0,030АКМ4 АК12М2МгН–0,3% BNTi (МДП) – – – 162 96,3 0,108–0,185АКМ5 АК12М2МгН–0,3% BNB, Ti (УДП) – – – 249 не обн . 0,030–0,051АКМ7 АК12М2МгН–5% SiO2(B, Ti) (УДП) – – – 237 0,92 0,043–0,048

р = 65 МПаАКМ2 АК12М2МгН–3% BNAl (МДП) – – – 166 + 0,90 0,098–0,106АКМ5 АК12М2МгН–0,3% BNB, Ti (УДП) – – – 262 6,5 0,114–0,127АКМ7 АК12М2МгН–5% SiO2(B, Ti) (УДП) – – – 216 + 0,30 0,019–0,064

П р и м е ч а н и е . * – отливки композитов получены ГНУ «Физико-технический институт НАН Беларуси» .

Рис . 3 . СЭМ-изображение микроразмерного порошка ГНБ после легирования Al с его содержанием в шихте: а – 10 %; б – 50 %; в – 90 %



Беларуси

95

Наилучшие результаты характерны для АКМ4 и АКМ7, где коэффициент трения при продолжи-тельных испытаниях не превышает уровня f = 0,020–0,040 . До этого уровня f происходит также снижение коэффициента трения композита АКМ2 после испытаний длительностью 850 м (рис . 4) . От-меченные особенности изменения i и f связаны с формирующейся в процессе трения структурой тон-ких поверхностных слоев испытанных образцов . Как показали металлографические исследования, после испытания отливки сплава АК12М2МгН при р = 30 МПа на поверхности трения регистрируются задиры и следы схватывания . Для поверхности трения ком-позита АКМ2 характерен значительный массопере-нос продуктов износа контртела . В случае осталь-ных испытанных композитов поверхность трения выглаживается до зеркального блеска .

Увеличение давления до 40 МПа приводит за ис-ключением композитов АКМ3 (для которого зареги-стрирован катастрофический износ) и АКМ4 к сни-жению интенсивности изнашивания образцов спла-ва АК12М2МгН, армированного разработанными наноструктурированными наполнителями, в 8–50 раз по сравнению с данными при р = 30 МПа (табл . 1) . Одновременно с этим для АКМ2 коэффициент тре-ния уменьшается с f = 0,040 (30 МПа) до уровня 0,018–0,020, на котором он стабилизируется (рис . 4) . Интересный результат отмечается для образца АКМ7, для которого в процессе испытаний коэффи-циент трения не превышает уровня 0,02 (кривая 7) . В случае образца АКМ5 в течение всего испытания регистрируется последовательное снижение коэффи-циента трения, который на заключительной стадии становится равным 0,035 . Иная ситуация при р = 40 МПа имеет место для образца АКМ4, содержаще-го микродисперсные частицы ГНБ, легированные ти-таном . Здесь на пути трения 200 м коэффициент тре-ния резко снижается до уровня 0,020 . Однако при дальнейшем испытании наоборот, практически с та-кой же скоростью, происходит его рост и при l = 1100 м f становится равным 0,11 . Показано, что на по-верхности трения композита АКМ4 присутствуют небольшие очаги разрушения . Для композита АКМ2 характерно заполнение таких очагов продуктами из-

Т а б л и ц а 2 . Фазовый состав НКПТКН на базе МДП и УДП-порошков

Шихта Легирующий элемент Модификатор Соединения и элементы

ГНБ (МДП) + Ti Ti НКПТКН-1BN TiO2, TiВ, Ti, ГНБГНБ (МДП) + Al Al НКПТКН-2BN β-AlN, α-AlN, AlB2, α-Al2O3, Al, B, ГНБ

ГНБ (УДП) + B + Ti B, Ti НКПТКН-3BN TiO2, TiB, Ti3B4, Ti, B, ГНБSiO2 + Ti Ti НКПТКН-1SiO2 TiO2, Ti, SiO2

SiO2 + Ti + В Ti, B НКПТКН-2SiO2 TiB2, Ti2B5, B, SiO2SiO2 + Al Al НКПТКН-4SiO2 Si, α-Al2O3, SiO2, Al2Si O5

Рис . 4 . Зависимость коэффициента трения компо-зитов на основе сплава АК12М2МгН от пути тре-

ния при различных давлениях



Беларуси

носа, т . е . наблюдается явление массопереноса [6] . Выглаженная поверхность имеет место для об-разца АКМ7 .

При давлении 50 МПа армирование силумина АК12М2МгН наноструктурированными на-полнителями сопровождается при трении ростом износа образцов АКМ, что особенно относит-ся к композиту АКМ5, полученному модифицированием этого сплава НКПТКН-3BN (табл . 2) . На начальной стадии наблюдается снижение коэффициента трения с 0,13 до 0,11 для образца АКМ4, однако уже после l = 50 м происходит его быстрый рост, достигая на пути трения 300 м значения 0,17 . Напротив, при этом давлении коэффициент трения образцов АКМ2, АКМ5 после кратковременного возрастания в начале испытаний снижается на протяжении всего пути трения и составляет f = 0,022 при l = 1300 м . Коэффициент трения образца АКМ7, как и при р = 40 МПа, в процессе испытаний сохраняется практически постоянным ( f = 0,042) .

Испытание этого композита при р = 65 МПа приводит к немонотонному характеру измене-ния коэффициента трения – его снижение чередуется с возрастанием . При этом наибольшее (0,10) значение f регистрируется при l = 850 м, после чего наблюдается последовательное его уменьшение до 0,02 . Достаточно стабильным при этом давлении сохраняется коэффициент тре-ния для образцов АКМ2, АКМ5 – в первом случае f, находится на уровне 0,10–0,108, во втором достигает более высоких значений (0,11–0,13) .

Заключение. Разработаны научные физико-химические принципы создания наноструктури-рованных композиционных полифункциональных тугоплавких керамических наполнителей различных систем на основе микро- и ультрадисперсных порошков оксидов и нитридов, выпол-няющих функцию доноров для протекания реакций, приводящих к образованию in situ нанораз-мерных соединений и элементов, и их носителей в расплавы, обеспечивая при этом равномерное распределение нанокомпонентов в алюминиевой матрице .

Выявлено влияние НКПТКН на структурообразование расплавов, проявляющееся в значи-тельном диспергировании структуры сплавов алюминия . Показано, что размер дендритов силу-мина АК12М2МгН после армирования НКПТКН системы BN–Al–AlN–AlB2–α-Al2O3–B умень-B умень- умень-шается в 5–30 раз, что обеспечивает повышение трибомеханических свойств . По сравнению с исходным сплавом твердость композитов, предел прочности, модуль упругости в зависимости от типа наноструктурированных наполнителей повышаются соответственно на 20–40, 7–12, 6–8 % . Износостойкость АКМ возрастает до 55 раз при одновременном снижении коэффициента трения в 3–8 раз и двукратном расширении диапазона рабочих нагрузок .

Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности целенаправленного управ-ления свойствами сплавов алюминия путем выбора типа НКПТКН .

Литература1 . Ч е р н ы ш о в а Т . А ., К о б е л е в а Л . И ., К а л а ш н и к о в И . Е . // Металлы . 2009 . 1 . С . 79–87 .2 . L o p e z V . H ., S c o l e s A ., K e n n e d y A . R . // Mater . Sci . Eng . A . 2003 . Vol . 356 . P . 316–325 .3 . M u r p h y A . M ., H o w a r d S . J ., C l y n e T . W . // Key Eng . Mater . 1997 . Vol . 127–131 . P . 919–928 .4 . К р у ш е н ко Г . Г . // Металлургия машиностроения . 2011 . 1 . С . 20–24 .5 . М а н о л о в В ., Ч е р е п а н о в А ., Л а з а р е в а Р ., К о н с т а н т и н о в а С . // Литейное производство . 2011 . 4 . С . 17–20 . 6 . К о м а р о в А . И ., К о м а р о в а В . И ., Ш и п к о А . А . // Cб . материалов 50-го Междунар . симпозиума «Актуальные про-Cб . материалов 50-го Междунар . симпозиума «Актуальные про-б . материалов 50-го Междунар . симпозиума «Актуальные про-

блемы прочности» . Витебск, 27 сент .–1 окт . 2010 г . Витебск, 2010 . Ч . 1 . С . 91–94 .7 . Р а б ц е в и ч А . В . // Весцi НАН Беларусі . Сер . фiз .-тэхн . навук . 1999 . 3 . С . 118–122 .

P. A. VityAZ, A. i. KOMArOV, V. i. KOMArOVA, A. A. ShiPKO, V. t. SEnyut komarova@inmash .bas-net .by

CREATION OF NANOSTRUCTURED COMPOSITE MODIFIERS FOR ALUMINIUM ALLOYS

SummaryPresented fundamentally new physical and chemical aspects of the creation of nanostructured composite ceramic fillers

of various systems based on micro-and ultrafine powders of oxides and nitrides . The initial charge serves as donor formers of nanoscale fillers due to chemical reactions which take place in it, as well as media extenders in the melt and a uniform distri-bution in them . It was established that the developed dispersing fillers have a significant impact on the structure of the alloy, leading to a decrease in grain size in 5–30 times . The friction coefficient of developed cast composites in boundary friction is reduced by 3–8 times, wear resistance increases to 55 times the carrying capacity increases 2 times compared with the origi-nal alloy .



Беларуси

97


уДк 583.185:588.4

А. М. русецкиЙ1, з. А. ноВикоВА2, г. р. гороДкин2, е. В. короБко2

РАЗРАБОТКА МАГНИТОСТРУКТУРИРУЮщИХСЯ жИДКОСТЕЙ С УПРАВЛЯЕМОЙ РЕОЛОГИЕЙ

ДЛЯ ТЕХНОЛОГИИ ФИНИШНОГО ПОЛИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

(Представлено членом-корреспондентом о. г. Пенязьковым)

1Президиум нАн Беларуси, Минск 2институт тепло- и массообмена им. А. В. лыкова нАн Беларуси, Минск Поступило 01.08.2011

Введение. В начале 1950-х годов исследователями Е . Harvey [1], а также J . Rabinow (США) было экспериментально установлено увеличение на два порядка эффективной вязкости ферро-магнитных суспензий в магнитных полях в отличие от результатов для магнитных жидкостей [2], дающих прирост всего 10–15 % . Явление обратимого изменения (увеличения) под воздей-ствием внешнего магнитного поля реологических показателей неколлоидной суспензии магнит-ных частиц, по аналогии с электрореологическим эффектом, получило название «магнитореоло-гический эффект» (МРЭ) . Позже было установлено, что сложное нелинейное реологическое по-ведение магнитореологических жидкостей (МРЖ) связано со структурными превращениями в системе дисперсная фаза – дисперсионная среда . МРЭ позволяет управлять гидродинамиче-скими и тепломассообменными характеристиками МРЖ, а следовательно, и параметрами раз-личных устройств на их основе . Так, были разработаны принципиально новые эффективные ги-дроаппараты различного назначения: распределители потока, исполнительные механизмы, ги-дроусилители, элементы и устройства робототехники, гидроавтоматики, управляемые демпфе-ры, гидровибраторы и т . д . [3] .

Одним из наиболее эффективных примеров использования МРЖ является их применение в технологии высокоточной финишной обработки оптических деталей . Известно, что современ-ные тенденции развития лазерных приборов и оптоэлектронных систем требуют использования новых изделий, высокое качество которых характеризуется, прежде всего, состоянием наноре-льефа их поверхности . Например, значение среднеквадратичной шероховатости Rq рабочей по-верхности зеркала авиационного лазерного гироскопа из поликристаллического ситалла должно быть менее 3 ангстрем, а значение спектральной характеристики оптической поверхности (PSD-функция), определяющей рассеивание лазерного луча, менее единицы . Получение таких параме-тров с помощью традиционных технологий механической обработки поверхности оптических деталей чрезвычайно трудоемко, длительно и практически недостижимо .

Процесс полирования стекла и оптических линз был отработан более 300 лет назад . Принци-пиально механизм воздействия притира на обрабатываемую поверхность не изменился до конца ХХ в . Менялись только средства кинематического движения и средства автоматизации процес-са . Рабочие-оптики затрачивали много времени и сил на подготовку полировального инструмен-та из смолы, полиуретана и других пластичных материалов, которые в процессе обработки по-стоянно изнашивались и изменяли свои свойства . Наибольшие проблемы возникали при произ-водстве асферической оптики, поскольку приходилось использовать большое количество раз-личных полировальных инструментов .

В лаборатории реофизики Института тепло- и массообмена имени А . В . Лыкова впервые в мире на рубеже 1990-х годов был разработан революционный метод магнитореологического полирова-



Беларуси

98

ния [4] и создана соответствующая лабораторная установка (рис . 1, а) . Последующая отработка особенностей технологии высокоточного процесса финишного полирования оптических деталей при активной финансовой поддержке США проведена к 1996 г . и реализована на базе Центра опти-ческого производства университета г . Рочестер, США (рис . 1, б) . В настоящее время специально созданная в США компания «QED Technologies» осуществляет серийное производство станков магнитореологического финишного полирования оптических изделий различного типа .

Материалы и методы исследования. Магнитореологическое полирование – способ высоко-качественной обработки оптических и полупроводниковых деталей, основанный на управляе-мом изменении свойств полировального магниточувствительного материала в зоне обработки с помощью воздействия внешнего магнитного поля на его реологию . Механические (или реоло-гические) свойства магнитореологической полировальной жидкости (МРПЖ), представляющей собой жидкотекучую суспензию комплексного мелкодисперсного наполнителя в дисперсионной среде, меняются радикально в магнитном поле – она становится вязкопластичной средой, харак-теризуемой появлением заметного предела текучести, с возросшей на несколько порядков вели-чиной сдвиговой вязкости .

Как показано на рис . 1, в, слой МРПЖ из гидросистемы попадает на твердую немагнитную поверхность 1 вращающегося инструмента . Поверхность оптической детали (ОД) вводится в контакт с МРПЖ . В зоне обработки создается магнитное поле . В подслое, прилегающем к по-верхности инструмента, образуется твердообразное ядро 3 из частиц магниточувствительной компоненты наполнителя МРПЖ . В области между ядром и поверхностью ОД, где созданы ми-нимальные сдвиговые напряжения, происходит течение тонкой разжиженной прослойки МРПЖ, содержащей абразивную компоненту наполнителя 4 . Ядро выполняет роль эластичной подлож-ки, а тонкий слой жидкости с абразивными частицами является полирующей средой . На выходе из зоны воздействия магнитного поля МРПЖ разжижается и приобретает свои начальные теку-чие свойства .

В отличие от традиционной технологии жесткого притира, для осуществления которой не-обходим длительный подгон (располировка) инструмента к обрабатываемой поверхности, при

Рис . 1 . Фотографии первых установок магнитореологического полирования, созданных сотрудниками ИТМО НАН Беларуси: а – в Минске, 1987; б – г . Рочестер, США, 1993; в – схема и г – фотография обработки оптической детали



Беларуси

99

осуществлении магнитореологического полирования происходит мгновенная адаптация МРПЖ к поверхности ОД в зоне их контакта . Кроме того, абразивные частицы, которые находятся под легким давлением со стороны ядра, не производят разрушающего воздействия на материал ОД (в отличие от механического притира), что является основным фактором получения высокого качества обработки поверхности . Данная технология позволяет осуществить автоматизацию процесса полирования за счет регулирования реологических свойств о МРПЖ при изменении режима течения или величины и концентрации магнитного поля в зоне обработки . В результате только данный метод позволяет достичь параметров ОД, соответствующих современным усло-виям использования как по качеству получаемой поверхности, так и по образованию требуемой формы изделия .

Исследование и оптимизация свойств МРПж. Одним из основных элементов технологии управляемого магнитореологического полирования является МРПЖ, от свойств которой зави-сит возможность и стоимость получения требуемого конечного результата .

Магнитореологическая полировальная жидкость стандартного состава [5], состоящая из воды, магниточувствительного и абразивного мелкодисперсных наполнителей, а также специальных технологических добавок, эффективна при финишном полировании изделий из оптического стек-ла, кварца, стеклокерамики, которые могут быть использованы для бытовых нужд и технического применения в обычных условиях . Значительная же часть как оптических изделий, например опти-ческих кристаллов (ситалл, сульфид цинка, фториды), так и полупроводниковых материалов (арсе-нид галлия) применяется в авиационной, аэро-космической технике в условиях больших перепа-дов температур, радиационных и ультрафиолетовых воздействий . Немагнитные сплавы могут ис-пользоваться как в медицине, машиностроении, так и для охлаждающих труб ядерных реакторов . Для полирования изделий из оптических кристаллов и немагнитных сплавов металлов, полупро-водниковых материалов (кремний, германий, арсенид галлия), имеющих свою пористость, струк-туру, специфические механические и физико-химические характеристики поверхности, необходи-мо создать другие рецептуры МРПЖ . Так, нашими предварительными исследованиями было по-казано, что для обработки изделий из фтористого кальция (CaF2) и фтористого бария (BaF2) нужна МРПЖ с нейтральной водной средой, из фтористого лития (LiF), растворимого в воде, нужна МРПЖ на основе неводной среды, которая используется в стандартных методиках . Детали из нио-бата лития (LiNbO3) требуют применения водной слабокислотной среды и использования более твердого абразивного материала . При полировании поверхности изделий из сульфида цинка (ZnS) (оптическая керамика) необходимо использовать более сложный (многокомпонентный) состав абразивного наполнителя с определенными структурными характеристиками .

С целью создания МРПЖ с оптимальными характеристиками для проведения эксперимен-тов по изучению закономерностей формирования рельефа поверхности оптических деталей из различных материалов были проведены исследования влияния ее состава и свойств ее компо-нентов на реологические и эксплуатационные характеристики . Разработка МРПЖ нового соста-ва базировалась на доработке известных коммерческих рецептур МРЖ, используемых для ги-дравлики, например [6], в которые вводился дополнительный дисперсный компонент-абразив . Основные требования к составу МРПЖ связаны с необходимостью обеспечения седиментацион-ной и агрегативной устойчивости, термостабильности, экологической безопасности, отсутствия отрицательного воздействия на конструкционные и уплотнительные материалы оборудования, относительно невысокой стоимостью, а также возможностью осуществления максимального ди-апазона регулирования ее реологических свойств . Последнее оценивается по величине напряже-ния сдвига τ, его начального значения τ0 или эффективной вязкости η в магнитном поле напря-женностью н при соответствующей скорости сдвига γ .

Типичная МРПЖ [7; 8] представляет собой неколлоидную взвесь ферромагнитных частиц и частиц абразива, имеющих размеры от 0,5 до 5 мкм в дисперсионной среде . Необходимые по-требительские свойства полировальной жидкости обеспечиваются типом, процентным содержа-нием компонентов наполнителя, методикой их подготовки и смешивания .

В качестве дисперсионной среды, как правило, используют маловязкие (η ∼ 10–2 Па·с при 25 °С) гидравлические синтетические масла . Для специального назначения могут применяться



Беларуси

100

другие среды, в частности, для полирования ОД из определенных материалов – вода [5] . Дис-персная фаза – основная составляющая, во многом определяющая магнитореологические (т . е . управляемость течением в поле) характеристики МРПЖ . При выборе типа дисперсной фазы определяющую роль играют ее магнитные свойства (намагниченность насыщения Мs), а также тип ферромагнитного материала: магнитомягкий или магнитожесткий . С точки зрения боль-шинства гидравлических приложений наибольший интерес представляют сферические магни-томягкие феррочастицы карбонильного железа с размером частиц от 1 до 7 мкм, поскольку они не сохраняют остаточный магнитный момент после выключения поля . Использование частиц железокобальтовых или железоникелевых сплавов способствует более выраженному приросту в поле реологических показателей [9] . Однако МРЖ на их основе дороги из-за на порядок боль-шей стоимости наполнителя . В отдельных устройствах, не имеющих гидравлических узлов, мо-гут быть использованы порошки магнитотвердых материалов, таких как γ-окись железа или ди-окись хрома, например, в динамических громкоговорителях [10] . Известно, что введение малых добавок наноразмерных жестких частиц в основную массу относительно крупных частиц маг-нитомягкого порошка карбонильного железа способствует усилению магнитореологического эффекта и увеличению седиментационной устойчивости МРЖ на их основе [11] . Установлено также, что размер частиц дисперсной фазы а линейно влияет на скорость сближения частиц u при воздействии магнитным полем, которая определяет кинетику структурообразования и, в ко-нечном счете, «быстродействие» МРЖ

2/ / ,

2d f S fau F F M= ∝ η

где Fd = 3m2 / l4 – сила взаимодействия; m = (4 / 3)πr3µ0Ms – магнитный момент частицы; l ∼ a / 3 ϕ – расстояние между центрами частиц; ϕ – объемная концентрация дисперсной фазы; Ff = 12πηfa, η – вязкость дисперсионной среды .

С целью оценки влияния размера частиц, концентрации дисперсной фазы на величину маг-нитореологического отклика МРПЖ, их стабильность и седиментационную устойчивость нами были проведены эксперименты по определению предела текучести, вязкости и константы седи-ментации четырех образцов МРЖ на основе порошков карбонильного железа в минеральном масле . Средний размер частиц а составлял 1, 3, 13, 23 мкм . Интенсивность седиментации твер-дых частиц в жидкой несущей среде оценивалась по константе седиментации, которая пред- ставляет собой отношение S = и / g . За единицу измерения S принят сведберг (1 Сб = 10–13 с) . Для реальных композиций константа довольно велика, поэтому ее измеряют в мегасведбергах (1 МСб = 10–7 с) .

Результаты представлены на рис . 2 . Видно, что при прочих равных условиях предельное (на-чальное) напряжение сдвига растет в магнитном поле с увеличением размера частиц, что неже-лательно из-за изменения входных гидравлических условий – величины текучести системы .

Предельное напряжение сдвига, как и эффективная вязкость (величина, обратная текучести) увеличиваются с ростом концентрации магнитных частиц в суспензии (рис . 2, б, г) . Зависимости константы седиментации от размера частиц и их концентрации (рис . 2, в) позволяют сделать вы-вод о том, что для выполнения условия устойчивости свойств МРЖ размер частиц магниточув-ствительной компоненты наполнителя должен быть в пределах a = 0,1–13 мкм, а их концентра-ция порядка 40 % .

Для полировальных МРЖ, имеющих водную основу, комплексный наполнитель которых со-держит магнитный порошок с удельным весом 7,4 Г/см3, предотвращение интенсивной седимен-тации, как и объединения частиц в агрегаты – флокулы (обеспечение агрегативной устойчиво-сти) особенно значимо . Известные методы решения проблемы для дисперсных систем, находя-щихся в поле силы тяжести, связаны с уменьшением размера частиц, разности плотностей жид-кости и частицы, а также увеличением вязкости дисперсионной среды . Размер частиц ограничен снизу величиной ∼ 0,5 мкм . Применение высоковязких дисперсионных сред бесперспективно, так как снижается текучесть суспензии . Для придания дисперсионной среде армирующих свойств в нее вводят коллоидный стабилизатор, создающий «сетку», препятствующую оседа-



Беларуси

101

нию частиц наполнителя . Этот метод в основном используют для мало концентрированных со-ставов МРЖ . Для концентрированных МРЖ относительная стабилизация обеспечивается нане-сением на поверхность частиц слоя поверхностно-активного вещества (ПАВ) . ПАВ улучшают смачивание поверхности твердых частиц жидкостью, оказывают расклинивающее действие, об-легчая диспергирование, способствуют равномерному распределению частиц в объеме и стаби-лизируют поверхность раздела твердое тело–жидкость . Нанесение ПАВ может осуществляться на стадии подготовки дисперсной фазы или же при адсорбции из дисперсионной среды, в кото-рой предварительно распределено его необходимое количество . Необходимо иметь ввиду, что, если одна компонента комплексного наполнителя – абразивный порошок имеет гидрофильную поверхность, то порошок магнитного наполнителя хуже смачивается водой, быстро оседает и образует плотный осадок вскоре после диспергирования . В связи с этим возникает необходи-мость осуществления предварительной модификации поверхности частиц магнитной составля-ющей комплексного наполнителя МРПЖ с целью придания ей гидрофильных свойств и увели-чения сродства молекулярных слоев на границе раздела частиц и воды .

Временная стабильность водных полировальных МРЖ зависит также от степени подвержен-ности частиц карбонильного железа коррозии . Образование окисей и гидроокисей на поверхно-сти частиц неконтролируемо изменяет условия на границе раздела фаз твердое тело–жидкость, что, в свою очередь, сказывается на реологических свойствах МРПЖ, таких как эффективная вязкость и напряжение сдвига вне магнитного поля . Защита от коррозии или по крайней мере сведение процесса коррозии к минимальной (и желательно постоянной во времени) скорости яв-ляется важнейшей проблемой при создании водных МРПЖ .

При использовании МРПЖ в условиях осуществления процесса финишной полировки уста-новлено, что со временем происходит ее засорение отходами материала оптической детали . Кро-ме того, отмечено, что при постоянной циркуляции и перемешивании в открытой гидросистеме ее свойства меняются из-за контакта с воздухом . Таким образом, на определенном этапе возни-кает проблема «времени жизни», связанная с необратимыми изменениями характеристик МРПЖ (рис . 3, а) .

Рис . 2 . Зависимость предела текучести (а, б), константы седиментации (в) и вязкости (г) от размера частиц (а, в) и концентрации магниточувствительного наполнителя (б, г)



Беларуси

102

Для улучшения эксплуатационных характеристик и повышения эффективности полироваль-ной МРЖ изучались реологические параметры, которые наряду с константой седиментации яв-ляются наиболее чувствительными и наглядными показателями происходящих изменений . Для разработки водной МРПЖ в качестве наполнителей выбраны порошкообразное карбонильное железо (s = 7 м2/г) и оксид церия СеО2 (абразив) . Прежде всего, приготавливалась модельная жидкость, представлявшая собой суспензию абразива в водном растворе со стабилизирующими добавками . Визуальные наблюдения показали, что порошок абразива образует рыхлый осадок, частицы не агрегируют, причем в течение трех месяцев каких-либо изменений в поведении обна-ружено не было, т . е . можно предположить, что основные изменения, происходящие в МРПЖ, свя-заны с особенностями взаимодействия с дисперсионной средой развитой поверхности частиц второй компоненты наполнителя – железа . Антикоррозионная модификация поверхности частиц железа производилась путем помещения порошка в водный раствор фосфата – ингибитора кор-розии . Затем в смесь вводили стабилизирующие добавки и абразив СеО2 в пропорции, обеспечи-вающей необходимую текучесть жидкости и ее магнитную чувствительность для используемой гидросистемы . После перемешивания проводили вискозиметрические измерения МРПЖ без поля и в поле, а также определяли константу седиментации . Остаток МРПЖ хранили в герме-тичном стеклянном сосуде . Периодически в течение 20 дней измеряли ее начальную вязкость и константу седиментации . Полученные данные сравнивались с результатами измерений для МРПЖ без предварительной обработки частиц . Результаты, приведенные на рис . 3, показали, что модификация поверхности частиц железа водным раствором фосфата приводит к ее гидро-филизации . Следствием этого является образование в жидкости структурного каркаса из частиц, окруженных связанными оболочками из адсорбированной воды, которые препятствуют непо-средственному контакту частиц, их коагуляции и образованию плотного осадка .

Измерения вязкости в поле различной напряженности показали также, что фосфатная обра-ботка частиц не изменяла заметно их отклик на магнитное воздействие (рис . 3, б) . Количество фосфата, используемого для обработки частиц железа, также слабо влияет на вязкость жидкости без поля . Это дает основание предположить, что для гидратации поверхности частиц не обяза-

Рис . 3 . Зависимость эффективной вязкости от времени МРПЖ без добавления фосфата (а), с добавлением фосфата (0,039 об .%) (в), γ = 0,1 с–1 . Зависимость вязкости (б) и константы седиментации (г) от концентрации добавок фосфа-

та: 1 – h = 0, γ = 198,7 с–1; 2 – 100 кA/м; 3 – 300 кА/м; 4 – 500 кА/м, γ = 268 с–1



Беларуси

103

тельно достижение полного ее покрытия фосфатами, а достаточно нескольких активных центров на каждой частице .

Результаты измерений константы седиментации показали (рис . 3, г), что ее величина остава-лась практически на порядок ниже значения 0,3 МСб, характерного для МРПЖ без обработки карбонильного железа фосфатами . «Время жизни» полировальной МРЖ с обработанными ча-стицами железа (рис . 3, в) увеличилось с 5 до 15 сут .

На рис . 4, а представлены кривые течения разработанного с учетом результатов исследова-ния нового состава МРПЖ [12] в магнитном поле, величина индукции которого изменялась в интервале от 0 до 500 мТл . Видно, что чувствительность к магнитному полю сохраняется вы-сокой – так, предельное напряжение сдвига изменилось в 105 раз .

На рис . 4, б представлены результаты контроля поверхностей некоторых ОД, обработанных методом магнитореологического полирования с применением разработанного состава МРПЖ . Контроль среднеквадратичной шероховатости поверхности Rq осуществлялся на атомно-силовом микроскопе NT-206 до и после обработки . Проводилось сравнение полученных параме-NT-206 до и после обработки . Проводилось сравнение полученных параме--206 до и после обработки . Проводилось сравнение полученных параме-тров поверхности с результатами финишной обработки ОД традиционным методом притира на Российских оптических заводах .

Для всех ОД после магнитореологического полирования произошло значительное улучшение микрошероховатости поверхности . Для ОД из фтористого кальция (CaF2) – в 2,9 раза, из фтористо-го бария (BaF2) – в 2,5 раза, из фтористого лития (LiF) – в 5,8 раза, из сульфида цинка (ZnS) – в 5,4 раза, из поликристаллического ситалла – в 4,8 раза, на оптическом стекле К8 – в 2,2 раза .

Наилучший показатель среднеквадратичной шероховатости поверхности был получен на по-ликристаллическом ситалле и равен 2,2 Å .

Выводы. Таким образом, показано, что оптимизация состава магниточувствительной поли-ровальной жидкости с целью получения требуемых реологических характеристик и максималь-но возможного «времени жизни» за счет использования магнитных частиц и абразивного по-рошка определенного размера и концентрации, а также введения добавок, позволила повысить ее эксплуатационные характеристики . Это обеспечило получение конечного результата – улуч-шения показателей обработки поверхности ОД из всех испытанных материалов .

Литература1 . H a r v e y E . // Int . Coll . Sci . 1953 . 8 . Р . 543 – 547 .2 . R o z e n s w e i g R . // In . Sci . Tech . 1966 . Vol . 55 . Р . 126–132 .3 . C a r l s o n J ., C a t a n z a r i t e D ., C l a i r K . A . // Proceedings 5th Int . Conf . on ER Fluids, MR Suspensions

and Associated Technology, W Bullough, eds ., University of Sheffield, UK, World Scientific Publishing Co . Pte . Ltd ., 1995 . Р . 20–28 .

4 . К о р д о н с к и й В . И ., Г л е б Л . К ., П р о х о р о в И . В . и др . // Механизация и автоматизация производства . 1990 . 4 . С . 7–9 .

Рис . 4 . Кривые течения в магнитном поле Н, кА/м (а) разработанной МРПЖ при объемном соотношении железа и абразива – 6 : 1 и результаты ее применения для полирования поверхностей оптических деталей (б)



Беларуси

5 . U . S . Patent, N 5804–95 / S . Jacobs, W . Kordonsky, I . Prokhorov et al . 1998 .6 . S h u l m a n Z ., K o r d o n s k y W ., P r o k h o r o v I . et al . // Int . J . Multiphase Flow . 1986 . Vol . 12, 6 . P . 935–955 .7 . K o r d o n s k y W ., J a c o b s S . // Int . J . of Modern Phys . 1996 . Vol . 10, 23/24 . P . 2837–2848 .8 . K o r d o n s k y W ., G o r o d k i n S . // Applied Optics . 2011 . Vol . 50, 14/10 . P . 1984–1994 .9 . U . S . Patent, N 5382373 / J . Carlson, K . Weiss . 1995 . 10 . Авторское свидетельство СССР, 940320 / З . П . Шульман, З . П . Кордонский, Н . И . Епифанова и др . 1982 . 11 . K o r d o n s k i W ., D e m c h u k S . A . // Proceedings 5th Int . Conf . on ER Fluids, MR Suspensions and Associated

Technology . W . Bullough, eds ., University of Sheffield, UK, World Scientific Publishing Co . Pte . Ltd ., 1995 . Р . 613–619 . 12 . Патент РБ, 11595 / Е . В . Коробко, З . А . Новикова, Н . А . Бедик . 2007 .

A. M. ruSEtSKy, Z. A. nOViKOVA, g. r. gOrOdKin, E. V. KOrOBKO

evkorobko@gmail . com

DEVELOPMENT OF MAGNETOSTRUCTURED FLUIDS WITH CONTROLLED RHEOLOGY FOR HIGH-PRECISION FINISHING PROCESSING OF OPTICAL PRODUCTS

Summary

In the article the data on the investigation of physical-chemical characteristics and peculiarities of rheological behavior of magnetosensitive fluids in magnetic fields are presented . Also, we report on their application at high-quality finishing polish-ing of optical details .



Беларуси

105


уДк 534.23:534.8:62-868.8

Д. А. стеПАненко, В. т. Минченя

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ НОВОГО ТИПА БЕСКОНТАКТНЫХ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА КОНСТРУКТИВНОЙ АСИММЕТРИИ

(Представлено членом-корреспондентом Ю. М. Плескачевским)

Белорусский национальный технический университет, Минск Поступило 14.09.2011

Введение . Ультразвуковые двигатели широко используются в технике и медицине благодаря своей миниатюрности, простоте конструкции, высокому коэффициенту электромеханической связи и малой потребляемой мощности . Исторически первыми были созданы ультразвуковые двигатели контактного типа, в которых ультразвуковые колебания служат для модуляции сил трения, действующих между ротором и статором [1] . Однако в последнее время существует большой интерес к ультразвуковым двигателям бесконтактного типа, в которых между ротором и статором находится промежуточная жидкая или газообразная среда, а движение ротора осу-ществляется за счет акустических течений или акустических радиационных сил [2–4] . Большин-ство таких двигателей основано на возбуждении в статоре бегущих ультразвуковых волн, для чего могут использоваться пьезоэлементы с секционированными электродами . Это приводит к усложнению конструкции двигателя и схемы управления им, в частности, к необходимости ис-пользования смещенных по фазе электрических сигналов . В то же время известны конструкции ультразвуковых приводов, в которых движение создается с помощью стоячих ультразвуковых волн за счет использования принципа конструктивной асимметрии [5–7] . В частности, известны конструкции миниатюрных роботов с вибрационным пьезоэлектрическим приводом, управле-ние движением которых производится путем изменения частоты колебаний за счет различия в конструктивных параметрах и резонансных частотах опорных элементов (ног) [5; 7] . Анало-гичный принцип может использоваться для управления движением пассивных роботов на ви-брирующей платформе, выполняющей функцию привода [6] . В данном сообщении предложена и исследована конструкция бесконтактного ультразвукового двигателя на основе стоячих уль-тразвуковых волн, возбуждаемых в статоре кольцевого типа, который характеризуется асимме-тричной конструкцией ротора или статора, либо их асимметричным взаимным расположением .

Конструкция двигателя и его моделирование . Возможный вариант конструкции исследуе-мого двигателя схематично изображен на рис . 1, а .

Двигатель состоит из статора кольцевого типа, в котором возбуждается стоячая изгибная ультразвуковая волна, и ротора, снабженного лопастями . Конструктивная асимметрия реализу-ется за счет придания ротору асимметричной геометрической формы, например, за счет наклон-ного расположения одной или нескольких лопастей, изменения длины или высоты одной или нескольких лопастей, расположения лопастей с неравномерным угловым шагом . Принцип дей-ствия предлагаемого ультразвукового двигателя основан на воздействии на ротор акустических радиационных сил, представляющих собой разновидность пондеромоторных сил, действующих на объект, помещенный в ультразвуковое поле . Акустическое поле создается в данном случае в воздушном зазоре, разделяющем статор и ротор . Для моделирования акустического поля в воз-душном зазоре и расчета радиационных сил, действующих на ротор, использовался акустиче-ский модуль программы конечно-элементного моделирования COMSOL Multiphysics . Для сокра-COMSOL Multiphysics . Для сокра- Multiphysics . Для сокра-Multiphysics . Для сокра- . Для сокра-щения затрат времени на моделирование использовалась двумерная геометрическая модель,



Беларуси

106

представляющая собой сечение двигателя плоскостью, перпендикулярной оси статора . К наруж-ной границе сечения статора прикладывалась точечная гармоническая нагрузка с амплитудой 67 Н и частотой 35,8 кГц, что примерно соответствует амплитуде колебательных смещений точ-ки приложения нагрузки, равной 5 мкм . Частота изменения нагрузки была выбрана на основе результатов модального анализа статора, который показал, что на частоте 35,8 кГц наблюдается резонанс изгибных колебаний статора, характеризующийся наличием 12 узловых точек . Наруж-ная граница сечения ротора, контактирующая с воздушным зазором, описывалась как акустиче-ски жесткая граница (стенка) . При рассмотрении плоского напряженного состояния статора на внутренней границе его сечения задавалась распределенная нагрузка со стороны жидкости . Ускорение частиц воздушной среды на границе ее контакта со статором задавалось равным нор-мальному ускорению поверхности статора . Для исключения многократного ручного построения конечно-элементных моделей, соответствующих различным угловым положениям ротора отно-сительно статора, вся процедура построения модели описывалась с помощью m-файла, содержа-щего последовательность команд на языке программирования COMSOL Script . Расчет радиаци-COMSOL Script . Расчет радиаци- Script . Расчет радиаци-Script . Расчет радиаци- . Расчет радиаци-онных сил производился с помощью формулы [8]

рад ( ) ,

SK u dS= − ⋅∫∫F n (1)

где K – среднее по времени значение кинетической энергии частиц среды (воздуха между ста-тором и ротором); u – среднее по времени значение потенциальной энергии частиц среды; n – вектор нормали к поверхности S ротора; dS – элемент поверхности ротора .

Величины K и u в случае гармонической волны определяются выражениями

2 20 0 0 ,2 4

v vKρ ρ

= = 2 2

02 2

0 0 0 0,

2 4

p puc c

= =ρ ρ

где v – колебательная скорость частиц среды; v0 – амплитуда колебательной скорости частиц среды; p – звуковое давление; p0 – амплитуда звукового давления; ρ0 – плотность среды; c0 – ско-рость звука в среде .

В случае интегрирования по плоской боковой поверхности лопасти ротора выражение (1) можно представить в виде

рад ( ) ,

lh K u dl= −∫F n

где h – высота лопасти; dl – элемент образующей l лопасти .

Рис . 1 . Ультразвуковой двигатель: а – схема конструкции; б – фотография макета: 1 – статор, 2 – ротор, 3 – воздуш-ный зазор, 4 – лопасти, 5 – волновод для возбуждения колебаний статора



Беларуси

107

Момент сил, действующих на боковую поверхность лопасти, определяется выражением

( ) ( ) ( ) ,z y x

l lh K u dl h K u xn yn dl= − ⋅ × ⋅ = − ⋅ − ⋅∫ ∫M r n e

где r – радиус-вектор точки боковой поверхности лопасти относительно оси вращения ротора; ez – единичный вектор, направленный вдоль оси вращения ротора .

Интегрирование выполнялось с помощью функции postint [9, с . 15] (интегрирование выраже-postint [9, с . 15] (интегрирование выраже- [9, с . 15] (интегрирование выраже-ний по подобластям или границам, соответствует команде Postprocessing->Boundary Integration в графическом интерфейсе пользователя) . Компоненты вектора нормали nx и ny соответствуют в COMSOL внутренним переменным nx и ny, однако направление нормалей находится с учетом ориентации границ, на которых они определяются . Чтобы исключить программный анализ ори-ентации границ, удобнее воспользоваться переменными nx_acpn и ny_acpn, где суффикс acpn соответствует режиму «Плоское напряженное состояние» . Векторы нормалей, компоненты ко-торых описываются этими переменными, всегда направлены из твердого тела в жидкую (газо- образную) среду [10, с . 173] .

Анализ динамики ротора выполнялся с помощью программы MathCad . Для этого используя метод Рунге–Кутта с адаптивным шагом, численно интегрировалось нелинейное дифференци-–Кутта с адаптивным шагом, численно интегрировалось нелинейное дифференци-Кутта с адаптивным шагом, численно интегрировалось нелинейное дифференци-альное уравнение

2

2 ( ),z zdJ Mdtϕ= ϕ (2)

где Jz – момент инерции ротора относительно оси вращения; ϕ – угол поворота ротора относи-тельно статора; Mz(ϕ) – функция, описывающая зависимость момента сил, действующих на ро- – функция, описывающая зависимость момента сил, действующих на ро-тор, от угла поворота .

Значения функции Mz(ϕ), рассчитанные с помощью метода конечных элементов для ряда угловых положений ротора, считывались из файла в формате ASCII и интерполировались с по-ASCII и интерполировались с по- и интерполировались с по-мощью кубических сплайнов . В случае симметричной конструкции ротора среднее значение функции Mz(ϕ) на интервале [0; 2 ]ϕ∈ π (полный оборот ротора) было равно нулю и уравнение (2) имело периодические решения, соответствующие качанию ротора относительно начального положения, при любом выборе начальных условий (начальное значение угловой скорости пола-галось при этом равным нулю – отсутствие начального толчка ротора) . В случае наклонного рас-положения одной из лопастей ротора под углом α = 2,5º среднее значение момента за полный оборот ротора составило 3,983·10–6 H·м, т . е . около 13 % от максимального значения момента 3,016·10–5 H·м .

Число нулей функции Mz(ϕ) соответствует числу узловых точек собственной формы колеба- соответствует числу узловых точек собственной формы колеба-ний статора . Так как уравнение (2) с постоянной правой частью имеет монотонно возрастающее решение, являющееся квадратичной функцией времени, то можно предположить, что нелиней-ное уравнение с отличным от нуля средним значением правой части будет иметь возрастающие в среднем апериодические решения . Вследствие нелинейности уравнения (2) в зависимости от начальных условий могут существовать как апериодические, так и периодические решения . Для исследования наличия апериодических решений, представляющих наибольший практический интерес, необходимо представить уравнение (2) в виде эквивалентной системы дифференциаль-ных уравнений первого порядка:

,( )z

z

ddt

Mddt J

ϕ = ω ϕω =

(3)

где ω – угловая скорость вращения ротора .



Беларуси

108

Система (3) имеет на фазовой плоскости (ϕ, ω) особые точки с координатами (ϕk, 0), где углы ϕk удовлетворяют уравнению Mz(ϕk) = 0 . Линеаризация системы (3) в окрестности особой точки (ϕk, 0) путем разложения функции Mz(ϕ) в ряд Тейлора приводит к системе

1 ( )k

zk

z

ddt

dMddt J d ϕ=ϕ

ϕ = ω ω = ϕ−ϕ

ϕили в матричной форме

,d

dt=

y Ay

где ( ) ,tk= ϕ−ϕ ωy

а матрица A определяется выражением

11 12

21 22

0 1

.1 0

k

z

z

a aa a dM

J d ϕ=ϕ

= =

ϕ

A

Так как Sp A = 0, то при det A > 0 особая точка линеаризованной системы будет представлять собой центр, что соответствует наличию в ее окрестности замкнутых фазовых траекторий (пе-риодических решений) . При det A < 0 особая точка линеаризованной системы будет являться седлом, что соответствует наличию незамкнутых фазовых траекторий (апериодических реше-ний) . При возврате к исходной нелинейной системе (3) характер особых точек может измениться . При det A > 0 система (3) может иметь в качестве особой точки центр или фокус, а при det A < 0 – седло или фокус . Таким образом, в окрестности особой точки, для которой det A < 0, система (3) всегда будет иметь апериодические решения .

Численное интегрирование уравнения (2) показало, что при ϕ(0) = 1º зависимости угла по-º зависимости угла по-ворота и угловой скорости вращения ротора от времени имеют периодический характер, т . е . происходит качание ротора относительно начального положения . При этом угловая скорость принимает как положительные, так и отрицательные значения . При ϕ(0) = 3º указанные зави-º указанные зави-симости носят апериодический характер . Угол поворота ротора монотонно возрастает с увели-чением времени, а угловая скорость принимает только положительные значения и возрастает в среднем с увеличением времени, совершая при этом незначительные колебания . Угловая ско-рость вращения ротора неограниченно возрастает с увеличением времени, так как в уравнении (2) не учитывается сопротивление, создаваемое воздушной средой . Таким образом, в зави- симости от начальных условий могут возникать как периодические, так и апериодические ре-шения .

Изменение угла наклона лопасти на противоположное значение α = –2,5º приводит к измене- приводит к измене-нию знака среднего значения функции Mz(ϕ) . При этом направление вращения ротора изменяет-ся на противоположное .

Уравнение (2) представляет собой уравнение нелинейного консервативного осциллятора [11; 12, с . 141] и интегрируется в квадратурах, если ввести потенциальную функцию

0

( ) ( ) .zu M dϕ

ϕϕ = − ϕ ϕ∫



Беларуси

109

На рис . 2 и 3 приведены фазовый портрет (2) и график его потенциальной функции . На- . 2 и 3 приведены фазовый портрет (2) и график его потенциальной функции . На- 2 и 3 приведены фазовый портрет (2) и график его потенциальной функции . На-чальный угол поворота ротора изменялся при построении фазовых траекторий с шагом 5° . На-чальное значение угловой скорости считалось равным нулю . Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим (либрационным) движениям, а незамкнутые траектории – апе-риодическим (убегающим) движениям осциллятора . Фазовые траектории замкнутого типа за-полняют отрезки горизонтальной оси, соответствующие «потенциальным ямам», и окружают точки устойчивого равновесия (центры), соответствующие минимумам потенциальной функ-ции . Через точки неустойчивого равновесия (сёдла), соответствующие максимумам потенци-альной функции, проходят сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области либра-ционных и убегающих движений . На фазовом портрете изображены две сепаратрисы, обозна-ченные буквами s . Изображенный на рис . 2 фазовый портрет было бы более корректным изобразить на фазовом цилиндре, так как угол поворота ротора определен с точностью до 2πn, где n – целое число . Однако в целях наглядности приводится его развертка . В случае ротора симметричной конструкции замкнутые фазовые траектории полностью заполняют горизон-тальную ось, в связи с чем при отсутствии начального толчка ротора возможны только либра-ционные движения . Фазовая плоскость разделяется сепаратрисами на области либрационных и ротационных (вращательных) движений . При этом ротационные движения могут быть реа-лизованы только при сообщении ротору начальной кинетической энергии . Фазовые траекто-рии ротационных движений в случае их изображения на фазовом цилиндре представляют со-бой замкнутые кривые .

Рис . 2 . Фазовый портрет уравнения динамики ротора (пояснения см . в тексте)

Рис . 3 . График потенциальной функции уравнения динамики ротора (пояснения см . в тексте)



Беларуси

110

Результаты экспериментальных исследований . Для проведения экспериментальных ис-следований был создан макет ультразвукового двигателя, изображенный на рис . 1, б, а также макет на основе асинхронного электродвигателя с полым неферромагнитным ротором типа ДИД-0,5, применяемого в авиации и космической технике . Применение этого электродвигате-ля дает два важных преимущества . Во-первых, он имеет чрезвычайно малоинерционный ро-тор, выполненный в виде дюралюминиевого колпачка . Это позволяет приводить ротор в дви-жение с помощью очень малых моментов сил . Во-вторых, внутренний статор двигателя имеет 3 обмотки возбуждения и 2 управляющие обмотки . Это позволяет, подав на одну из обмоток двигателя постоянное напряжение, снимать с другой обмотки сигнал в виде переменного на-пряжения с частотой, соответствующей частоте вращения ротора, т . е . использовать двигатель в режиме тахогенератора и определять частоту вращения ротора без использования каких-либо дополнительных датчиков . Ротор ультразвукового двигателя, снабженный лопастями, крепился на выходном валу электродвигателя . Особенностью макета, изображенного на рис . 1, б, является то, что ротор не размещен непосредственно внутри статора, а расположен под ним . Частота вращения ротора для этого случая определялась стробоскопическим методом . Инте-ресен тот факт, что при помещении ротора и статора ультразвукового двигателя в жидкую среду вращение ротора возникает даже в случае его выполнения в виде гладкого цилиндриче-ского колпачка . Однако для этого требуется смещение оси ротора относительно оси статора, т . е . создание конструктивной асимметрии . В данном случае механизм вращения ротора не может быть объяснен воздействием акустических радиационных сил и, вероятнее всего, свя-зан с наличием вязкого трения между ротором и жидкой средой . Двигатель такого типа описан в работе [2], однако он основан на возбуждении в статоре бегущих волн, в то время как в пред-лагаемом двигателе благодаря использованию принципа конструктивной асимметрии стано-вится возможным применение стоячих волн . При амплитуде колебаний статора 10 мкм и рас-стоянии между плоскостью ротора и статором 1 мм на резонансной частоте колебаний статора была достигнута частота вращения ротора 565 об/мин . При расстоянии 8 мм эта частота соста-вила 395 об/мин .

Выводы . Таким образом, результаты теоретических и экспериментальных исследований подтверждают возможность применения принципа конструктивной асимметрии для создания бесконтактного ультразвукового двигателя на основе стоячих ультразвуковых волн . Данный двигатель благодаря возможности его миниатюризации и бесконтактному принципу вращения ротора может найти широкое применение в приборостроении, медицинской технике и других областях техники и технологии .


1 . U c h i n o K . // Smart Materials and Structures . 1998 . Vol . 7 . P . 273–285 .2 . C h a n g l i a n g X ., M e n g l i W . // Ultrasonics . 2005 . Vol . 43 . P . 596–601 .3 . Y a n g B ., L i u J .-Q ., C h e n D ., C a i B .-C . // Chinese Physical Letters . 2005 . Vol . 22 . P . 2598–2600 .4 . Y a m a y o s h i Y ., S h i i n a J ., T a m u r a H ., H i r o s e S . // Japanese J . of Applied Physics . 2010 . Vol . 49 . Paper

07HE16 .5 . G o l d f a r b M ., G o g o l a M ., F i s c h e r G ., G a r c i a E . // J . of Micromechatronics . 2001 . Vol . 1 . P . 205–219 .6 . Y a s u d a T ., S h i m o y a m a I ., M i u r a H . // Sensors and Actuators A . 1994 . Vol . 43 . P . 366–370 .7 . M i n c h e n i a V . T ., S t e p a n e n k o D . A ., Z i m m e r m a n K . et al . // J . of Vibroengineering . 2010 . Vol . 12,

3 . P . 314–320 .8 . H a s e g a w a T ., K i d o T ., I i z u k a T ., M a t s u o k a C . // J . of Acoustical Society of Japan E . 2000 . Vol . 21 .

P . 145–152 .9 . COMSOL Multiphysics Reference Guide .10 . COMSOL Multiphysics User’s Guide .11 . К у з н е ц о в А . П ., К у з н е ц о в С . П ., Р ы с к и н Н . М . Нелинейные колебания . 2-е изд . М ., 2005 . – 292 с .12 . Вибрации в технике: справ .: в 6 т . М ., 1979 . Т . 2: Колебания нелинейных механических систем / Под ред .

И . И . Блехмана . – 351 с .



Беларуси

d. A. StEPAnEnKO, V. t. MinChEnyA

stepd@tut .by; vlad_minch@mail .ru

DEVELOPMENT AND STUDY OF A NOVEL TYPE OF NON-CONTACT ULTRASONIC MOTORS BASED ON THE PRINCIPLE OF STRUCTURAL ASYMMETRY

Summary

The article presents results of theoretical and experimental studies of an ultrasonic motor with a ring-shaped stator and a rotor actuated by acoustic radiation forces resulting from its interaction with acoustic stator field . Values of acoustic radia- Values of acoustic radia-Values of acoustic radia- of acoustic radia-of acoustic radia- acoustic radia-acoustic radia- radia-radia-tion forces and their torque exerted on the rotor are determined by finite element method . Dynamics of the rotor is studied using qualitative theory of nonlinear differential equations . Dependence of rotor dynamics on initial conditions is investigat-ed . Experimental relations between the angular rotor speed and vibration amplitude of the stator are given .



Беларуси

112


СоЦИАльНо-гуМАНИТАрНыЕ НАуКИ

уДк 61:[330.43+001.895]

В. и. ЖАрко1, Д. л. ПинеВич1, н. с. серДЮченко2, с. В. сАМохоДкинА2

МЕДИЦИНСКАЯ ЭКОНОМЕТРИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ

(Представлено академиком А. Ф. смеяновичем)

1Министерство здравоохранения республики Беларусь, Минск 21-я городская клиническая больница, Минск Поступило 19.07.2011

Создание высокотехнологичного и эффективного здравоохранения невозможно без медицин-ской эконометрии и инноваций, внедрения прогрессивных организационных форм, расширения международного сотрудничества . Мировая хозяйственная система давно ориентирована на уско-ренное развитие сектора услуг, в том числе увеличение объема операций с новыми медицински-ми технологиями (МТ) . Только рынок вакцин в настоящее время оценивается в 11 млрд евро и прогнозируется его рост через несколько лет до 50 млрд евро .

Затраты, планируемые на разработку новых МТ для борьбы с остеопорозом и его осложне-ниями в Европе в 2000 г ., равнялись 36 млрд евро, в 2010 г . эта сумма возрасла до 43 млрд евро, а в 2020 г . планируемые расходы составят более 50 млрд евро [1] .

Правильность курса на создание в Беларуси системы здравоохранения на основе высоких медицинских технологий подтверждается практикой . Так, согласно поручениям Президента Ре-спублики Беларусь, в целях повышения качества специализированной медицинской помощи де-тям с различной патологией, разработки современных медицинских технологий и внедрения их в практическое здравоохранение к 2009 г . было завершено переоснащение реанимационных от-делений и операционных блоков областных и городских больниц с созданием перинатальных центров различного уровня . Все это способствовало решению поставленных задач в рамках вы-полнения программы демографической безопасности страны .

До конца 2011 г . запланировано полностью завершить начатое строительство и реконструк-цию объектов здравоохранения, что дает возможность не только обеспечивать выполнение про-гнозных показателей программы демографической безопасности в 2011–2015 гг ., но и активно экспортировать медицинские услуги . Это позволит значительно поднять уровень оказания ме-дицинской помощи населению страны за счет развития новых медицинских и информационных технологий, разработки и внедрения эффективных организационных схем управления отраслью .

В результате проведенных мероприятий уровень младенческой смертности в Республике Бе-ларусь в 2010 г . составил 4,0 ‰, а по Минску этот показатель равняется 2,9 ‰ (с учетом младен-цев с чрезвычайно низкой массой тела) . Показатель младенческой смертности по Минску и по республике в целом сопоставим с показателями развитых европейских стран (Бельгия – 4 ‰, Швейцария – 4 ‰, Испания – 4 ‰, Франция – 3 ‰, Швеция – 2 ‰) и значительно ниже анало-гичных показателей в странах бывшего СССР (Украина – 13 ‰, Россия – 11 ‰ (без учета мла-денцев с массой менее 1000 г), Латвия – 2 ‰) [2] .

В Республике Беларусь за последние пять лет сохраняется тенденция к снижению первичной инвалидности у лиц трудоспособного возраста на 15,7 %, у подростков на 20,4 % в 2010 г ., против 18,7 % в 2009 . Кроме того, в 2010 г . отмечен рост показателей как полной, так и частичной реаби-литации до 6,8 и 12,3 % соответственно [3] .



Беларуси

113

Оптимальное управленческое решение Министерства здравоохранения Республики Бела-русь об организации консультативной помощи и успешная реализация его в Минске в виде создания двух центров пренатальной ультразвуковой диагностики позволило оснастить их ап-паратурой экспертного класса, сконцентрировать медицинские кадры, организовать посто-янную учебу и получение квалифицированных консультаций специалистов кафедр БелМА-ПО . Это обеспечило обследование беременных в полном объеме (с коэффициентом 2,2) и в 1,5–2 раза увеличило выявление врожденных пороков развития плода . Результат – суще-ственное снижение младенческой смертности, важной составляющей части демографической безопасности страны .

Эффективность медицинских технологий нередко отличается в разы, что обуславливает не-обходимость обоснования и разработки стратегии и тактики здравоохранения на основе меди-цинской эконометрии . В широком смысле – это наука как лучше использовать выделенные фи-нансовые средства для лечения больных [4] .

Так, анализ деятельности клинико-диагностической службы Минска показал, что современ-ного оборудования закуплено на сумму почти в 20 млрд руб . Большинство клинико-диагнос-тических лабораторий стационаров оснащено современным оборудованием и в то же время еще есть проблемы с обследованием амбулаторных больных, а имеющаяся аппаратура загружена на 40–50 % от проектной мощности . Кроме того, доля рутинных гематологических исследований составляет почти 53 %, в то время как специфические биохимические исследования занимают незначительную нишу: гормоны – 2,8 %, ферменты – 16,6 %, водно-солевой обмен – 11 % .

Учитывая состояние здоровья населения, его аллергизацию необходимо увеличить количе-ство иммунологических исследований с 5,5 % (2009 г .) как минимум в 2,5–3 раза и охватить весь контингент часто и длительно болеющих, больных с легочной патологией, аутоиммунными за-болеваниями, тяжелыми травматическими повреждениями и т . д .

С позиции медицинской эконометрии необходимо четко определить потребности в конкрет-ной аппаратуре с оценкой параметров и производительности, стоимости реагентов и востребо-ванности данных исследований .

Расчеты показали, что в 2009 г . в Минске клинико-диагностическими лабораториями сдела-но 16,2 млн биохимических анализов крови, что составило 41,7 % от общего количества исследо-ваний крови . В то же время имеющимися автоматическими биохимическими анализаторами типа Hitachi, Conelab, Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-Hitachi, Conelab, Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-, Conelab, Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-Conelab, Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-, Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-Abbott при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол- при их 12-часовой работе в течение 5 дней в неделю можно выпол-нить более 18,5 млн исследований в год .

Как показывает опыт других стран (Германия, Россия), вышеуказанное количество исследо-ваний может быть выполнено штатом сотрудников от 142 до 195 специалистов, в то время как у нас задействовано 314 врачей-лаборантов, 859 фельдшеров-лаборантов .

Выход из сложившейся ситуации, на наш взгляд, состоит в оптимизации структуры рабочих мест, создании централизованных КДЛ с количеством исследований 25–30 млн/год, что полно-стью закроет потребность областных и районных лечебных учреждений, в том числе Минска . Это даст существенную экономию финансовых средств и решит кадровую проблему . Обобщая опыт работы аналогичных центров в странах ЕЭС, России и др ., где лаборатории сертифицированы, а качество исследований высочайшее и не зависит от человеческого фактора, было установлено, что стоимость одного исследования на 15–20 % ниже, чем в лабораториях стационаров . Освобо-дившиеся финансовые ресурсы могут быть использованы на другие нужды здравоохранения .

Исходя из такой концепции, потеряют свою актуальность существующие принципы форми-рования штатных нормативов, где должности специалистов по лабораторной диагностике долж-ны вводиться только исходя из возможностей аппаратуры, но ни в коем разе от выполненных условных единиц, что совершенно не логично на современном этапе .

В то же время экономические расчеты и инновации еще не получили должного развития . Так, задания государственных научно-технических программ, инструкции по применению, дис-сертационные и другие научные работы недостаточно прорабатываются в части оценки эконо-мической эффективности и практической реализации .



Беларуси

114

Расчеты выгодности новых технологий зачастую выполняются с ошибками . Они в целом не-сопоставимы и их роль в управлении незначительна, что отрицательно влияет на эффективность здравоохранения . В определенной мере это связано с известным снижением общей культуры экономического счета и планирования на постсоветском пространстве [5–7] .

Ввиду объективно высокой стоимости многих медицинских технологий и их социально-эко-номической значимости необходим переход от фрагментарных несопоставимых оценок к совре-менной системе подготовки управленческих решений, обоснованной на всестороннем анализе . Организаторы здравоохранения и профильные специалисты прежде всего должны научиться пользоваться методами экономического анализа и управления в инновационной модели здраво-охранения [8–10] .

Экономический эффект медицинских вмешательств может определяться различными пока-зателями . По нормам, принятым в мировой практике, польза от увеличения продолжительности жизни на один год оценивается годовым ВВП на человека, уменьшение инвалидности сохраняет трудовые ресурсы и снижает расходы на инвалидов, коммерческая выгода внебюджетной меди-цины выражается прибылью [11] .

Для эффективного использования финансовых средств в здравоохранении, а также для обосно-вания необходимости новых медицинских технологий простые расчеты затрат (например, средняя стоимость лечения на количество койко-дней) недопустимы и даже вредны, так как эти данные со-вершенно не отражают истинную картину потерь для бюджета страны в целом . Проведенные нами расчеты потерь от острого инфаркта миокарда на стационарном этапе лечения показали, что сред-няя стоимость одного койко-дня составляет 28,5 долл . США .

При этом не учитывается тяжесть состояния пациента и конкретные затраты на его лечение . Кроме того, для лиц трудоспособного возраста не учитываются выплаты по временной нетрудо-способности и производственные потери, проявляющиеся в снижении ВВП .

Формула, по которой определяются затраты и потери на одного больного на этапе стационар-ного лечения (Ус), предложена ниже:

Ус = Дс(Лс+ В + П),

где Дс – длительность стационарного лечения, день; Лс – затраты на стационарное лечение, у . е ./день; В – выплаты по временной нетрудоспособности, у . е ./день; П – производственные по-тери при временной нетрудоспособности, у . е ./день .

Ущерб от заболеваний ОИМ на стационарном лечении представлен в таблице .

Показатели вариантов ущерба от ОИМ на стационарном этапе

Показатель Общепринятая методи-ка (средняя стоимость)

Вариант диагноза

М/о КТ2 М/о КТ3 К/о КТ3 Т/М КТ4

Количество больных 55 13 14 15 13Длительность стационарного лечения (день) 67 14 16 17 20Стоимость одного койко-дня 80000$ (28$) 27,6$ 28,9$ 30,3$ 39$Затраты на стационарное лечение (у . е ./день) 73680000$ (25852$) 5023$ 6474$ 7727$ 10140$Выплаты по временной нетрудоспособности у . е ./день 14,5$ 2639$ 3248$ 3698$ 3770$Производственные потери при ВН у . е ./год 8000$ (32$) 5824$ 7168$ 8160$ 8320$Курс лечения 13486$ 16890$ 19585$ 22230$Всего 25852$ 72191$

П р и м е ч а н и я: М/о КТ – мелкоочаговый, класс тяжести; К/о КТ – крупноочаговый, класс тяжести; Т/М КТ – трансмуральный, класс тяжести . Проведенный анализ показал, что общие потери для бюджета страны на этапе ле-чения в стационаре 55 больных ОИМ различной тяжести составили 72191 долл . США .

Как видно из приведенных расчетов, общие расходы на лечение больных ОИМ по распро-страненному расчету составляют около 25852 долл . США, в то время как реальные потери для бюджета страны составляют 72191 долл . США . Используя современные дорогостоящие МТ (ко-



Беларуси

115

ронарография, стентирование) при лечении острого коронарного синдрома (ОКС) и профилакти-ческое лечение ОИМ, можно существенно уменьшить потери для бюджета страны по всем вы-шеприведенным показателям . Такие расчеты должны быть использованы при планировании расходов на медицинское обеспечение и они должны показать, что медицина является произво-дительной отраслью, так как она реально не только снижает нагрузку на бюджет, но и опосредо-вано способствует увеличению ВВП страны .

Специфика инноваций в здравоохранении заключается в высокой стоимости и длительности клинических испытаний, активном межстрановом движении МТ, необходимости выполнения в ряде случаев сравнительно сложных экономических оценок с учетом общественного значения и рисков . В связи с этим необходимо рассмотреть некоторые общие положения трансфера МТ .

Технологический обмен в здравоохранении представляют продажи нового медицинского оборудования и материалов, подрядные работы, выполняемые с использованием прогрессивных методов и т . д . Особое место занимает торговля лицензиями, которая в целом сформировалась в отдельный мировой рынок .

В международном кодексе поведения в области передачи объектов интеллектуальной соб-ственности (ОИС), разработанном Конференцией ООН по торговле и развитию, определены виды сделок и инновационной деятельности . В медицине к ним относятся, например, передача патента или предоставление по лицензии прав на выпуск нового лекарства, передача МТ по на-учному, инвестиционному сотрудничеству или кооперации, технико-экономическое обоснова-ние МТ, обучение специалистов .

Стоимость новаций в медицине в соответствии с национальным стандартом [6] определяется как стоимость ОИС . Показатели стоимости используются для постановки объекта на бухгалтер-ский учет в качестве нематериальных активов, передачи прав другому лицу и в других целях . Стоимость определяется следующими методами: начальных затрат, рыночным (по доходу, по ана-логам, затратам на восстановление или замещение объекта), пересчетом валютной стоимости .

Цена сделки по передаче медицинской технологии может выражаться как денежной суммой, так и условиями договора, а именно: процентом отчислений от прибыли в пользу владельца па-тента, передачей части созданных активов . Цена ОИС зависит от ее готовности к практическому использованию, эффективности, риска, условий передачи новации и других факторов . Цена сдел-ки может устанавливаться по различным схемам: обмен правами между продавцом (лицензиа-ром) и покупателем (лицензиатом), использование ставок роялти, расчеты выгоды продавца и покупателя, сравнение с ценами аналогов и др . [12] .

Эффект медицинской инновации показывает получаемую выгоду . В сравнении со стоимо-стью новации и ценой сделки понятие эффекта является наиболее сложным и многоплановым . Так, эффект может определяться на единицу медицинского оборудования или курс лечения, с позиции производителя техники, медучреждения, страны, больного, участника инновацион-ной сделки и т . д . Ряд положений медицинской эконометрии, а также примеры оценок ущерба от заболевания и эффекта МТ приведены в [11] .

Лицензионное вознаграждение может быть в денежной или не денежной форме, например, в случае передачи лицензиару части нового лекарства . При вознаграждении в денежной форме ис-пользуются три вида платежей: паушальные, роялти, комбинированные . Паушальный платеж вы-полняется при заранее согласованной цене лицензии в независимости от объема реализации нов-шества, например, выпуска новых медицинских инструментов . Паушальный платеж производится единовременно или в рассрочку . Роялти зависят от выпуска продукции или объема услуг . Ставки роялти приводятся в методических материалах по лицензионным контрактам . Платежи зависят от вида лицензии, спроса на продукцию и других факторов . В частности, ставки от стоимости про-дукции для медицинского оборудования и приборов составляют 4–7 %, фармацевтических това-ров – 2–4 % . Комбинированные платежи – это сочетание паушальных и роялти .

Стоимость ОИС фиксируется как результат оценочной деятельности, представляющий мне-ние конкретных специалистов . Цена совершенной сделки по передаче лицензии фиксируется как параметр события хозяйственной деятельности и отражается в бухгалтерском учете . Эффект участников сделки фиксируется как ее следствие .



Беларуси

116

Стоимость, цена и эффект инноваций в здравоохранении взаимосвязаны . Так, сумма лицен-зионного соглашения представляет затратный показатель стоимости ОИС для покупателя . Стои-мость новшества, рассчитанная доходным методом, может использоваться для согласования цены контракта . Изменение цены перераспределяет эффект медицинской инновации между участниками соглашения .

Лицензиары и лицензиаты могут иметь разнообразные выгоды и использовать множество вариантов получения дохода . Лицензии можно взаимно обменять, передать за клинические ис-пытания и даже бесплатно . Варианты получения дохода лицензиаром: реализация медоборудо-вания и запчастей, поставка компонентов для выпуска новой продукции, перемещение фармако-логического производства на новое место, выход на новые рынки и т . д .

Более сложное движение новаций можно показать на примере-хронике димебона . Этот анти-аллегрик выпускался в СССР и стоил в аптеках 62 коп . Новация заключается в использовании димебона для лечения болезни Альцгеймера . В мире насчитывается 18 млн больных, а рынок лекарств только в США оценивается в 8 млрд долл . Поэтому осенью 2008 г . фармкомпания Pfizer за права на димебон заплатила венчурной фирме аванс 225 млн долл . США и обязалась выпла-тить как минимум 500 млн роялти после начала продаж .

Способность препарата восстанавливать память установили в российском НИИ при работе по международному контракту в 1990-х годах . В России зарегистрировали патент, но денег на официальные клинические испытания не было . В 1999 г . права на препарат за обязательство пла-тить роялти приобрел американский бизнесмен . Поиск средств для клинических испытаний за-нял 5 лет вследствие недоверия американцев к российским лекарствам . Только в 2004 г . нашлись опытные венчурные бизнесмены, которые создали акционерное предприятие Medivation специ-ально для работы с димебоном, патент был обменен на часть акций венчурного предприятия . От размещения акций на бирже в 2005 г . было получено 11,2 млн долл . США, а расходы на трехлет-ние клинические испытания составили около 20 млн долл . США .

Положительные результаты испытаний обеспечили постоянный рост цены акций с 2 до 21,8 долл . США . Стоимость венчурной компании по ожидаемому доходу повысилась в 2008 г . до 655 млн долл . США . В итоге Medivation продала новацию Pfizer с условием ее совместного использо-вания . В России планируется возобновить выпуск димебона как противоаллергического средства . Американцам, финансировавшим новацию и принявшим на себя риски, будет сложно проследить реальное применение выпускаемого препарата и предъявить претензии к российской стороне .

Вложения в разработку и приобретение МТ высокого уровня новизны представляют весьма эффективную, но рискованную сферу деятельности . Затраты только на создание прорывного ле-карства составляют сотни миллионов долларов . Поэтому важно правильно определить эффект медицинской новинки, стратегию венчурного бизнеса, защиты интересов его участников с уче-том сроков патентования и действия лицензии, возможности государственной поддержки . Ис-пользование же «старых» новаций, например, для производства дженериков (лекарств-копий по-сле срока патента) характеризуется значительно меньшим эффектом и риском .

Выбор путей реализации ОИС зависит от личных устремлений ее владельца и конкретных обстоятельств . Ученый-медик может поручить специализированной организации поиск покупа-теля новинки и проведение сделки, развивать дело собственными силами или сразу набрать обо-роты, объединившись с большим капиталом или мощной фирмой . Повышение материальной за-интересованности ученого и финансирование инноваций обеспечивают внутрифирменные ли-цензии, основанные на соглашении о разделе ожидаемого дохода .

Опыт передовых стран свидетельствует о важности усиления государственного участия в организации инновационной деятельности и поддержке перспективных отраслей, особенно в условиях мирового кризиса . Основа антикризисной стратегии – новации и инвестиции, опре-деляющие будущий уровень жизни . Действия в этом направлении необходимо активизировать и в медицине Беларуси .

В стране имеются благоприятные условия для повышения качества медицины, развития вне-бюджетного сектора, частно-государственного партнерства, экспорта МТ, въездного медицин-ского туризма . Актуальны и сравнительно простые мероприятия . Например, рентабельность



Беларуси

внебюджетных отделов больниц можно повысить за счет организации приема после обследова-ния стационарных больных, рекламы, усиления связи с клиентами и т . д . В результате более эф-фективно будет использоваться и новая техника медучреждений .

В целом же для обеспечения инновационной, коммерческой и экспортно-ориентированной динамики здравоохранения следует разработать комплекс мер . К его основным компонентам можно отнести развитие медицинской эконометрии и создание информационного пространства нового уровня, подготовку предложений потенциальным инвесторам, размещение материалов в базах данных, расширение контактов с профильными организациями, обучение специалистов .


1 . K a n i s J . A ., B u r l e t N ., C o o p e r C . et al . European quidance for the diagnosis and management of osteoporo-European quidance for the diagnosis and management of osteoporo-sis in postmenopausal women . International Osteoporosis Foundation and National Osteoporosis Foundation . Liège, 2008 . – 30 с .

2 . Здравоохранение в Республике Беларусь: Официальный стат . сб . за 2009 год . Минск, 2010 .3 . Здравоохранение г . Минска в 2010 году: Стат . сб . Минск, 2011 .4 . Ж а р к о В . И ., С е р д ю ч е н к о Н . С ., Б е в з е л ю к А . А . // Докл . НАН Беларуси . 2008 . Т . 52, 5 . С . 89–95 .5 . В и л е н с к и й П . Л ., Л и в ш и ц В . Н ., С м о л я к С . А . Оценка эффективности инвестиционных проектов .

Теория и практика . М ., 2002 .6 . Ж у к о в Л . М . // Внешнеэконом . бюллетень . 2004 . 2 .7 . Т к а ч е в С . П . // Информ . бюллетень Администрации Президента Респ . Беларусь . 2006 . 7 . С . 59–64 .8 . Клинико-экономические исследования: Общие положения: Ост . 9150 .14 .0001–2002 / А . И . В я г к о в, А . В . К а-

т л и н с к и й, П . А . В о р о б ь е в и др . М ., 2002 . 9 . М о в ч а н К . А ., Г л у ш а н к о В . С ., П л и щ А . В . Методики расчетов эффективности медицинских техно-

логий в здравоохранении: Инструкции по применению . Минск, 2003 .10 . С е р д ю ч е н к о Н . С ., Р у д е н к о Э . В ., П р е д к о Н . М ., Б е в з е л ю к А . А . // Мед . журн . 2008 . 4 .

С . 108–110 . 11 . С е р д ю ч е н к о Н . С ., Б е в з е л ю к А . А ., Р у д е н к о Э . В ., П р е д к о Н . М . // Новости хирургии . 2008 .

Т . 16, 4 . С . 59–64 .12 . Оценка стоимости объектов гражданских прав . Оценка объектов интеллектуальной собственности: СТБ

52 .5 .01–2007 . Минск, 2007 .

V. i. ZhArKO, d. l. PinEViCh, n. S. SErduChEnKO, S. V. SAMOKhOdKinA

lpu1gkb@mail .belpak .by

MEDICAL ECONOMICS AND INNOVATION MANAGEMENT

Summary

Problems of medical economics and medical innovations are the major making part of new organizational forms of the public health services system and are directed to creating high-tech and effective medicine in Belarus . It allows one to consid-erably increase the level of medical aid rendering to the population of the country and will also promote the performance of the demographic safety program .



Беларуси

118


уДк 904:728.81:550.3(476.4)

о. н. леВко1, с. г. сеДоВ2, с. В. голоБокоВ2

АРХЕОЛОГИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СООРУжЕНИЙ ШКЛОВСКОГО ЗАМКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА СОПРОТИВЛЕНИЙ

(Представлено академиком М. П. костюком)

1институт истории нАн Беларуси, Минск 2Беларусьгеология, Минск Поступило 28.09.2011

Введение. Выявление остатков разрушенных гражданских, культовых, оборонительных соо-ружений на объектах средневековья (города, замки, сельские поселения) обычно производится путем археологического поиска, основанного на изучении особенностей топографии объекта, данных письменных источников и картографического материала . Не всегда такой метод дает по-ложительный результат, учитывая изменения рельефа местности на протяжении длительного времени, неточность описания и графического отображения (или полное их отсутствие) искомых объектов . Поэтому археологи обращаются к поиску скрытых под землей сооружений с помощью геофизических методов .

Цель работы – показать возможности использования метода сопротивлений в выявлении аномальных зон, содержащих остатки каменных сооружений и иных образований (скопление углей, строительного мусора, наличие ям) .

Объект и методы исследования. Объектом исследования является возвышенность, которую во второй половине XVI – середине XVIII в . занимал Шкловский замок, построенный графом Иеронимом Ходкевичем на берегу р . Днепр при впадении в нее р . Серебрянка (ныне это окраина районного центра г . Шклов, до 2009 г . носившая название д . Рыжковичи) . Площадка замчища имеет размеры 120 × 130 м, приподнята над заболоченной местностью (старое русло р . Серебрян- × 130 м, приподнята над заболоченной местностью (старое русло р . Серебрян-30 м, приподнята над заболоченной местностью (старое русло р . Серебрян-ка), которая в средневековье составляла естественную водную преграду к замку со стороны предместья Рыжковичи . С запада и юга замчище окружено искусственным рвом, который также входил в систему оборонительных сооружений (по нему вода р . Серебрянка опоясывала замок, соединяя это кольцо с севера и юга с р . Днепр) . Перед исследователями вставали две задачи: 1) установить, в каких местах (или месте) находилась переправа (въезд) в замок со стороны пред-местья Рыжковичи и (или) со стороны формирующейся за его стенами территории «места Шкловского», т . е . собственно города Шклова; 2) установить наличие и характер сооружений разного назначения на территории, занимаемой замком со второй половины XVI в . по середину XVIII в .

С 2002 по 2010 г . эти задачи решались путем анализа инвентарей г . Шклова и Шкловского замка из архива князей Чарторыйских в Кракове, относящихся к 1643, 1650 и 1715 гг . [1], а также описания оборонительных сооружений русским воеводой И . Толочановым в 1657 г . после их ре-монта и перестройки в ходе военной кампании 1654–1667 гг . [2] . Использовались также сведения о разрушении Шклова во время Ливонской войны в 1580 г ., пожарах 1690, 1769 гг . и др . Данные письменных источников сопоставлялись с топографически выявляемыми валами, рвами, прове-рялись шурфами и раскопами в разных частях замка . Археологически были зафиксированы раз-новременные деревянные и каменные конструкции: каменный фундамент деревянной стороже-вой башни XVI–XVII вв . в центре замчища (сгорела в 1690 г .), каменный пол и печь в господской постройке размерами 7,5 × 8,0 м с монетами XVI–XVIII вв . под углами дома и внутри него [3] . В 2008 г . на юго-западном углу возвышенности обнаружено основание башни размером 5 × 5 м,



Беларуси

119

сложенное из кирпичей и датируемое второй половиной XVII в . Ниже него располагались еще два уровня таких же площадок, выполненных из брускового кирпича XVI–XVII вв ., скрепленно-XVI–XVII вв ., скрепленно-–XVII вв ., скрепленно-XVII вв ., скрепленно- вв ., скрепленно-го известью . Между всеми тремя площадками следы горелого дерева (башни были деревянны-ми) и кирпичного боя . Можно полагать, что два нижних уровня площадок соотносятся с обо- ронительными сооружениями второй половины XVI в . и первой половины XVII в . (до 1650 г .), возведенными по польскому образцу . Верхняя площадка стратиграфически соотносится с соо-ружениями, описанными воеводой И . Толочановым (1657 г .) . На значительно оплывших земля-ных валах, окружавших площадку замчища по периметру, в XVIII в . были сооружены построй-XVIII в . были сооружены построй- в . были сооружены построй-ки на каменном основании, следы которых также зафиксированы в раскопах и шурфах . Однако цельной картины смены сооружений замка на протяжении второй половины XVI – середины XVIII в . пока не получено .

До 2010 г . оставался открытым вопрос о местоположении въездных ворот (брамы) в системе замковых валов . В 2002 (раскоп II), 2008 (шурф 6) и 2010 (раскоп X) гг . были выполнены архео-II), 2008 (шурф 6) и 2010 (раскоп X) гг . были выполнены архео-), 2008 (шурф 6) и 2010 (раскоп X) гг . были выполнены архео-X) гг . были выполнены архео-) гг . были выполнены архео-логические исследования на западном валу зам-чища, расположенном напротив «места Шклов-ского» . Материалы раскопок подтвердили, что первоначальный вал с внутривальными деревян-ными субструкциями в виде решетки, был соору-жен во второй половине XVI в . В раскопе Х на по-XVI в . В раскопе Х на по- в . В раскопе Х на по-верхности вала в слое пожара обнаружены нако-нечник копья и боевой топор XVI в ., что позволяет соотнести данный горизонт с военными события-ми 1580 г ., также, как и ранее найденные в раскопе I (2002 г .) у восточного вала обгоревшие костяки лошадей, в черепе одной из которых выявлена свинцово-оловянная пуля . Однако очевидных следов сооружения въездных ворот не обнаруже-но . Косвенным подтверждением их расположения на участке раскопа Х могут служить невырази-тельные кирпичные кладки со следами пожара и фрагментами дерева вблизи них, а также 4 во-ротные петли, фрагменты металлических завес, других скобяных изделий . Сопровождающий эти предметы иной материал (курительные трубки, глиняная и стеклянная посуда, изразцы, а также большое количество польских шелегов, монеты русского происхождения) датируется XVII–XVIII вв . Следовательно, въезд в замок со стороны «места Шкловского» был сооружен не ранее первой по-ловины XVII в . (между 1643 и 1650 гг .), когда осу-XVII в . (между 1643 и 1650 гг .), когда осу- в . (между 1643 и 1650 гг .), когда осу-ществлялся второй этап строительства оборони-тельных укреплений, включающий, помимо зам-ковых, городские валы и стены . Источники отмечают наличие «старой брамы» с перекидным мостом «на избицах» через р . Серебрянка и «но-вой брамы» напротив «места Шкловского» . Для установления местонахождения первоначальных въездных ворот замка, соответствующих хроно-логически началу его строительства во второй половине XVI в ., было решено исследовать на-XVI в ., было решено исследовать на- в ., было решено исследовать на-сыпь замкового вала с южной стороны площадки напротив Рыжковского предместья . Чтобы рас-

Рис . 1 . Аномалия в месте расположения основания крепостной башни, выявленной в раскопе IX, 2008 г .

Рис . 2 . Съемка участка с аномалиями в зонах предпо-ложительного проезда и сторожевой постройки в юж-

ном валу Шкловского замка



Беларуси

120

копки дали быстрый положительный эффект, использовался разведочно метод сопротивлений с помощью прибора «Электрозонд» для установления аномальных зон . Принцип действия данно-го прибора основан на том, что через два питающих стационарных электрода в землю стекает ток, а закрепленные на рамке два измерительных электрода, перемещаясь по участку, фиксиру-ют аномалии, измеряя сопротивление грунта . Над погребенной ямой аномалия отрицательная, так как ее сопротивление ниже, чем у окружающих пород, а над остатками фундаментов сопро-тивление выше и аномалия положительна .

Выбранный в качестве объекта опытно-методических работ Шкловский замок имел много-слойную планиграфию с плохой сохранностью остатков сооружений, не представлявших собой плотного объекта . В результате проявилось сложное поле электрического сопротивления с боль-шим количеством аномалий .

Перед электроразведочными исследованиями были поставлены две задачи: 1) проверить эф-фективность метода на известном объекте – основании башни, выявленном в 2008 г . на юго-западном углу возвышенности . Сделанный здесь ранее раскоп был засыпан, дёрн восстановлен, следы проводившихся археологических работ отсутствовали, точное местоположение башни не указывалось; 2) выявить зону расположения первоначального въезда в замок, а также других, возможно существовавших, на юго-восточном и северо-восточном углах замкового вала башен .

Проведены работы в пределах четырех квадратов, имеющих размеры 20 × 20 м (использо-вавшийся метод позволяет проводить работы на участках любых размеров и формы) . Маршру-ты измерений проложены через 1 м (сетка квадратов 1 × 1 м) . Работу осуществляли два челове-ка, время разбивки квадрата 20 × 20 м (установка углов, натягивание мерных шнуров, обозна-чающих маршруты и пикеты) – 1 ч, время на измерения поля сопротивлений – до 45 мин, время построения карт – 5–10 мин . Таким образом, прибор «Электрозонд» в течение 2 ч позво-ляет получить полную картину распределения электрических аномалий на участке площадью 400 м2 . На рис . 1 видна квадратная аномалия, чуть повернутая относительно оси север–юг . Форма, ориентировка аномалии, ее размер и положение на местности приблизительно совпали с основанием башни из раскопа IX 2008 г . Фундамент зафиксировался аномалией повышенно-IX 2008 г . Фундамент зафиксировался аномалией повышенно- 2008 г . Фундамент зафиксировался аномалией повышенно-го сопротивления .

Рис . 3 . Зачистка зоны проезда в раскопе XI, 2011 г .



Беларуси

121

В 10 м на восток от данного квадрата был разбит второй квадрат, верхний (северо-западный) угол которого находился на отметке 7,6 м по оси север–юг первого квадрата . На карте второго квадрата зафиксирована удлиненная аномалия, соответствующая направлению насыпи вала с запада на восток . Разрыв в аномалии предполагал местоположение проезда в валу . Наиболее темные пятна аномалии – предположительно концентрация каменных конструкций (рис . 2), свя-занных с сооружением брамы . Раскоп XI, вытянутый с запада на восток, располагался в месте разрыва, отмеченного на карте, и захватывал часть аномалии на востоке . С запада к участку с раскопом подходил край возвышенности, где также отмечена аномалия повышенного сопро-тивления . В результате проведенных археологических исследований на указанном участке уста-новлено наличие проезда шириной до 3 м в месте разрыва аномалии, ориентированного с северо-востока на юго-запад (рис . 3) . На месте проезда собран специфический материал: монеты, под-ковы, подковки на каблук . На северо-восток от проезда обнаружен примыкающий к нему развал постройки из брусчатого кирпича (рис . 4), содержащий остатки изразцовой печи, а также глиня-ную и стеклянную посуду, курительную трубку . Возможно, здесь располагалась сторожевая комната у ворот первоначального въезда в замок . Методом шурфовки установлено, что в XVIII в . вода уже не являлась преградой для въезда в замок с южной стороны . Насыпанная через заболо-ченный участок дамба от предместья Рыжковичи подходила к самим воротам замка . Засыпка участка, где ранее располагались «избицы» перекидного моста, осуществлена из культурного слоя XVII–XVIII вв ., образовавшегося на валу . В шурфе найдены бронзовые обойные гвозди с большими орнаментированными шляпками (от обивки карет?), подковы и другие предметы .

Заключение. Таким образом, проведенное комплексное (геофизическое и археологическое) изучение предполагаемого места нахождения первоначальных въездных ворот в Шкловский за-мок дало положительный результат . Кроме того, с помощью «Электрозонда» были определены и другие перспективные для археологического исследования места нахождения сооружений из

Рис . 4 . Развал сторожевой постройки в насыпи южного вала Шкловского замка



Беларуси

кирпича и камня (по положительным аномалиям, проверенным шурфами) на территории Шклов-ского замка . На слабо выраженном юго-восточном участке насыпи вала у р . Днепр в пределах положительной аномалии (сопротивление свыше 160 ом/м) на глубине 0,5–0,6 м вскрыта камен-ная кладка и кирпичная кладка . В северо-восточной части замчища на валу также зафиксирова-ны объекты с высоким сопротивлением (свыше 180–190 ом/м) . Шурфовка выявила плотную кладку и значительную прослойку извести в культурном слое более 1 м .


1 . Biblioteka Czartoryskich w Krakowie . Arciwum i Zbiór Rękopisów . Rkp . 9236, 9251 .2 . Центральный Государственный архив древних актов Российской Федерации (Москва) . Ф . 137 . Оп . 1 . Д . 2 . Ч . 2 .

Л . 204–209 об ., 210 об .3 . Л е в к о О . Н . Средневековые территориально-административные центры северо-восточной Беларуси .

Минск, 2004 . С . 107–109 .

O. n. lEVKO, S. g. SEdOV, S. V. gOlOBOKOV

Levko@mail . by

ARCHAEOLOGICAL STUDYI OF CONSTRUCTIONS OF THE CASTLE OF SHKLOV WITH THE USE OF A METHOD OF RESISTANCE

Summary

The article is informed of the archaeological research of stone constructions of the castle of Shklov that are dated to the 16th – 18th centuries . They are represented by the parts of the bases of defensive towers, passable gate and elements of houses dwellings (floor, the basis of the pisé-walled stove) . Opportunities of use of a geophysical method of resistance in revealing the abnormal zones containing the rests of stone constructions are shown . Geophysical researches with instrument «Elektrozond» are experimental in character .



Беларуси

123


рЕФЕрАТы

уДк 517.5

П р о х о р о в и ч М . А ., Р а д ы н о Е . М . Скорость сходимости средних Стеклова для клас- сов Соболева на пространстве p-адических чисел // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 .

С . 5–8 .

Изучена скорость сходимости средних Стеклова для функций из классов Соболева на про-странстве p-адических чисел .

Библиогр . – 15 назв .

уДк 517.955

К о р з ю к В . И ., К о з л о в с к а я И . С . Решение задачи Коши гиперболического уравнения для одно-родного дифференциального оператора в случае двух независимых переменных // Докл . НАН Белару-

си . 2011 . Т . 55, 5 . С . 9–13 .

В данном сообщении дается в аналитическом виде решение задачи Коши для гиперболическо-го уравнения порядка m с постоянными коэффициентами, где m – целое положительное число, опе-ратор уравнения представляет собой композицию дифференциальных операторов первого порядка в случае двух независимых переменных .


уДк 519.854.3:519.852.2

Ш л ы к В . А . О вершинах главного многогранника Гомори // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 14–17 .

В работе доказано, что существует подмножество вершин главного многогранника Гомори, из которого можно построить все его вершины с помощью двух комбинаторных операций . Примене-ние этих операций приводит к вершинам, смежным исходным и принадлежащим тем же нетриви-альным фасетам . Установлены соотношения, которым удовлетворяют коэффициенты неравенств, определяющих нетривиальные фасеты, содержащие заданную вершину .


уДк 511.42

Б у д а р и н а Н . В ., Д и к к и н с о н Д ., Б е р н и к В . И . О действительных и комплексных корнях целочисленных полиномов в окрестности их малых значений // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 .

С . 18–21 .

В работе найдены условия на величину целочисленного многочлена, его первой и второй про-изводной, при которых ближайший к аргументу корень будет действительным или комплексным . Доказаны оценки снизу для числа многочленов ограниченной степени и высоты, имеющих близкие комплексно-сопряженные корни .




Беларуси

124

уДк 517.5

З а б р е й к о П . П ., К о р о ц Ю . В . Об одной модификации теоремы Минти–Браудера // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 22–27 .

В сообщении показано, что если на некотором шаре гильбертова пространства хеминепрерыв-ный оператор А удовлетворяет одностореннему переменному условию Липшица, то выполняются необходимые условия принципа Минти–Браудера . При этом область единственности найденной неподвижной точки оператора А определяется значительно более точно, чем в принципе Минти–Браудера . Полученная модификация принципа применена к уравнению Гаммерштейна с положи-тельно определенным ядром, благодаря чему устанавливаются новые условия однозначной разре-шимости данного уравнения .


уДк 514.142

П р о к о п ч у к А . В ., Т и х о н о в С . В ., Я н ч е в с к и й В . И . О специальных свойствах однородных тел некоммутативных рациональных функций // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 28–34 .

Пусть A – тело, 1, , nϕ … ϕ – его автоморфизмы . Получены необходимые и достаточные условия на тело A и 1, , nϕ … ϕ для существования однородных некоммутативных колец многочленов над A от n переменных относительно 1, , nϕ … ϕ . Кроме того, описана структура тел частных таких колец (однородных тел некоммутативных рациональных функций) в случае, когда группа, порождённая

1, , ,nϕ … ϕ конечна и не имеет нетривиальных внутренних автоморфизмов . Более того, вычислены экспоненты универсальных абелевых скрещенных произведений в терминах подходящих кон-стантных алгебр .


уДк 517.925:517.977

Д е м е н ч у к А . К . Управление асинхронным спектром линейных систем с частью стационарных эле-ментов матрицы коэффициентов // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 35–39 .

Рассматривается линейная система управления ( ) , , , 2,nx A t x Bu t r x r n= + ∈ ∈ ≥ где A(t) – не-прерывная ω-периодическая ( )n n× -матрица; B – постоянная ( )n n× -матрица, у которой первые d ≥ 0 столбцов нулевые, а остальные r = n – d столбцов линейно независимы . Предполагается, что часть элементов матрицы коэффициентов стационарна, а ее усреднение имеет нижнее блочно-треугольное представление в критическом случае, когда левый верхний блок размерности d d× имеет чисто мнимые собственные значения, абсолютная величина мнимых частей которых при-надлежит целевому множеству частот .

Выбором управления в виде обратной связи ( )u u t x= с непрерывной ω-периодической ( )n n× - матрицей u(t) решается задача управления асинхронным спектром .


уДк 530.145

С е р г е е н к о М . Н . Массы адронов и траектории Редже для потенциала типа воронки // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 40–43 .

Потенциальный подход в физике адронов использован для решения релятивистской задачи двух тел равных масс . Взаимодействие частиц в системе описывается релятивистским квазипотен-циальным уравнением типа Бете–Солпитера со скалярным потенциалом . Собственные значения системы – квадраты масс адронов – определены квазиклассическим методом . В явном виде полу-чены спектр масс, траектории Редже αr(t) адронов и померона αP(t) во всей области изменения ин-вариантной переменной t .

Табл . 2 . Ил . 1 . Библиогр . – 15 назв .



Беларуси

125

уДк 530.12

Т о л к а ч е в Е . А . Галилеевски инвариантная электродинамика с источниками двух типов и принцип относительности // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 44–48 .

Показано, что при наличии внешних источников электрического типа существует единствен-ный нерелятивистский предел уравнений Максвелла, удовлетворяющий принципу относительно-сти Галилея . Он не совпадает с полевыми уравнениями электродинамики Ампера–Вебера, сформу-лированными Максвеллом в 1855 г . Дуальная инвариантность и принцип относительности допу-скают введение только плотности магнитного заряда в уравнения нерелятивистской электродина-мики . Нерелятивистские вакуумные уравнения электродинамики в макроскопической форме не являются дуально инвариантными .


уДк 530.1,535.3

Г о н ч а р е н к о А . М . Вращающиеся солитоны // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 49–51 .

Изложена приближенная теория возможных в нелинейных средах вращающихся солитонов и рассмотрены их свoйства .


уДк 547.786.1 + 547.788 + 641.183

П о т к и н В . И ., Б у м а г и н Н . А ., З е л е н к о в с к и й В . М ., П е т к е в и ч С . К ., З у б е н к о Ю . С, Л и в а н ц о в М . В ., Б е л о в Д . С . Синтез и структура комплексов палладия(II) с оксимом 5-(п-толил)-изоксазол-3-карбальдегида и 4,5-дихлоризотиазол-3-карбоксилатным фрагментом // Докл . НАН Белару-

си . 2011 . Т . 55, 5 . С . 52–57 .

Взаимодействием оксима 5-(п-толил)изоксазол-3-карбальдегида и натриевой соли 4,5-дихло-ризотиазол-3-карбоновой кислоты с тетрахлорпалладатом натрия были синтезированы соответ-ствующие комплексы Pd(II) . Структура комплексов установлена на основании данных ИК спек-тров и результатов квантово-химических расчетов методом DFT . Вычисленные и эксперименталь-ные значения частот удовлетворительно совпадали .


уДк 577.113.6:577.123.2+632.9

К у л а к Т . И ., О л е й н и к о в а И . А ., Т к а ч е н к о О . В ., К а л и н и ч е н к о Е . Н ., К о л б а н о в а Е . В ., К р а с и н с к а я Т . А ., К у х а р ч и к Н . В . Синтез и свойства аналогов 2′,5′-олигоаденилатов, содержа-щих фрагменты рибавирина и 9-(2,3-ангидро-ß-D-рибофуранозил)аденина // Докл . НАН Беларуси . 2011 .

Т . 55, 5 . С . 58–62 .

Получены аналоги 2′,5′-олигоаденилатов, содержащие фрагменты рибавирина в 5′-терминаль-ном и/или среднем звене олигонуклеотидной цепи, а также остаток 9-(2,3-ангидро-β-D-рибо-фуранозил)аденина в 2′-терминальном звене молекулы, обладающие значительно большей устой-чивостью к действию фосфодиэстеразы змеиного яда по сравнению с природным 2′,5′-триадено-зиндифосфатом . Установлено, что введение рибавирина в 5′-концевое звено олигонуклеотидной цепи способствует повышению устойчивости соединений к действию фосфодиэстеразы . Показана возможность использования 2′,5′-олигоаденилатов вместо фитотоксичного рибавирина для элими-нации патогенного вируса кольцевой пятнистости малины в культуре in vitro микропобегов сморо-дины черной и вишни .




Беларуси

126

уДк 547.721/.729

П а ш к о в с к и й Ф . С ., А д а м о в и ч Ю . И ., Ш и н к о в и ч М . А ., Л а х в и ч Ф . А . Синтез 4,8-интерфе-ниленовых гетеропростаноидов и их предшественников на основе 3-арилтетроновых кислот // Докл .

НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 63–67 .

На основе легкодоступных 3-арилтетроновых кислот предложен простой общий подход к син-тезу 4,8-интерфениленовых 10-окса-13-аза- и 11-окса-13-азапростаноидов, а также ключевых буте-нолидных и нитрометильных предшественников 11-дезокси-10-оксааналогов простагландинов .


уДк 574.91:574.583

Б у с е в а Ж . Ф . Оценка влияния факторов среды на естественную смертность Сladocera в озерах разно-го типа // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 68–71 .

Исследовано влияние некоторых абиотических и биотических факторов среды обитания на естественную (не связанную с хищничеством) смертность Cladocera: температуры, рН, электро-проводности (TDS) воды, а также возможное влияние топического фактора в литорали и пелагиали мелководных озер разного типа . Для определения естественной смертности использован метод прижизненного окрашивания с помощью анилинового голубого (Seepersad, Crippen, 1978) . Показа-Seepersad, Crippen, 1978) . Показа-, Crippen, 1978) . Показа-Crippen, 1978) . Показа-, 1978) . Показа- 1978) . Показа-1978) . Показа-но, что при повышении температуры воды в исследованных водоемах в середине летнего сезона в жаркие месяцы увеличивается естественная смертность Cladocera, что может служить одной из причин летнего угнетения рачкового планктона в мелководных озерах .


уДк 574.24:574.583

В е ж н о в е ц В . В ., С е м е н ч е н к о В . П . Влияние повышения температуры на вертикальное распре-деление зоопланктона в мезотрофном стратифицированном озере // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 .

С . 72–75 .

Изучено вертикальное распределение зоопланктона в летний период в оз . Сита (Браславский р-н, Витебская обл .) в 2008 и 2010 гг ., которые характеризовались различной температурой в слое эпилимниона (22,5 и 26,2 °С соответственно) . Высокие летние температуры привели к дефициту кислорода в металимниальном слое, что вызвало смещение численности зоопланктона в верхние слои, несмотря на высокую температуру . Это сопровождалось изменением в видовой структуре зоопланктона, в частности, заменой холодолюбивых видов на эвтритермные .


уДк 581.19:547.973:615.322

М а к а р е в и ч А . М ., Р е ш е т н и к о в В . Н . Антиоксидантная активность плодов Vaccinium cm- cm-corymbo-sum L. и Vaccinium uliginosum L. // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 76–80 .

По литературным данным одними из наиболее перспективных природных антиоксидантов яв-ляются фенольные соединения, в частности антоцианидины и их гликозиды . Плодам Vaccinium corymbosum L . и Vaccinium uliginosum L . характерно накопление широкого круга биологически ак-L . характерно накопление широкого круга биологически ак- . характерно накопление широкого круга биологически ак-тивных веществ . В результате проведенных исследований установлено высокое содержание анто-цианов в плодах 20 сортов голубики высокой и в голубике топяной, в том числе превышавшее по-рог в 600 мг% в ягодах сортов Patriot, Сarolina Blue, Stanley, Herbert, Northland . В изученных сортах доля антоциановых пигментов в составе фенольных соединений составляла от 20 до 60 % . Уста-новлена высокая антиоксидантная активность плодов голубики высокой сортов Patriot, Northland, Carolina Blue, Nelson и плодов голубики топяной в системе с катион-радикалами AБTС+• . Показано наличие положительной корреляции между антиоксидантной активностью, содержанием феноль-ных соединений и антоциановых пигментов, что может быть использовано для оценки биологиче-ской активности плодов голубики и фитопрепаратов на их основе .




Беларуси

127

уДк 551.24:551.21(476)

К о н и щ е в В . С . Тремлянская фаза тектономагматической активизации в Припятском прогибе // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 81–85 .

Выделена в Припятском прогибе тремлянская фаза тектономагматической активизации, кото-рая характеризуется региональным подъемом и размывом отложений, в том числе нижнесоленос-ных, в поднятых частях ступеней, накоплением в погруженных частях ангидритов и каменных со-лей, источником материала для которых служила размывавшаяся нижняя соленосная толща . Тек-тоническая активизация проявилась в смене карбонатной седиментации на более глинистую и бо-лее резкую литолого-фациальную дифференциацию тремлянских отложений по сравнению с под-стилающими тонежскими . На юге прогиба фаза сопровождалась кислым вулканизмом, по-видимому, в зоне Буйновичско-Наровлянского регионального разлома корового заложения . Поэто-му тремлянская фаза может быть названа фазой тектономагматической активизации .


уДк 551.24(476)

А й з б е р г Р . Е . , Б е с к о п ы л ь н ы й В . Н . , Г р и б и к Я . Г . Структурное районирова-ние межсолевого комплекса Припятского нефтегазоносного бассейна // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55,

5 . С . 86–90 .

Межсолевой комплекс наследует в общих чертах блоковое строение подсолевого дислокацион-ного этажа, однако в отличие от последнего характеризуется широким развитием блоково-плика-тивных структур . Представлены новые картографические модели структурного районирования межсолевого комплекса, включающие впервые выделенные внеранговые элементы тектонических ступеней .

Ил . 3 . Библиогр . – 7 назв .

уДк 669.14.018.28:669.893

В и т я з ь П . А ., К о м а р о в А . И ., К о м а р о в а В . И ., Ш и п к о А . А ., С е н ю т ь В . Т . Создание нано-структурированных композиционных модификаторов для сплавов алюминия // Докл . НАН Беларуси .

2011 . Т . 55, 5 . С . 91–96 .

Разработаны физико-химические принципы создания наноструктурированных композицион-ных полифункциональных тугоплавких керамических наполнителей различных систем на основе микро- и ультрадисперсных порошков оксидов и нитридов, выполняющих функцию доноров для протекания реакций, приводящих к образованию in situ наноразмерных соединений и элементов, и их носителей в расплавы, обеспечивая при этом равномерное распределение нанокомпонентов в алюминиевой матрице . Показано, что армирование силумина АК12М2МгН модификаторами си-стемы BN–Al–AlN–AlB2–α-Al2O3–B приводит к уменьшению размеров дендритов в 5–30 раз, что обеспечивает повышение трибомеханических свойств . По сравнению с исходным сплавом твер-дость композитов, предел прочности, модуль упругости в зависимости от типа наноструктуриро-ванных наполнителей повышаются соответственно на 20–40, 7–12, 6–8 %, износостойкость возрас-тает до 55 раз при одновременном снижении коэффициента трения в 3–8 раз и двукратном расши-рении диапазона рабочих нагрузок .


уДк 583.185:588.4

Р у с е ц к и й А . М ., Н о в и к о в а З . А ., Г о р о д к и н Г . Р ., К о р о б к о Е . В . Разработка магнитоструктури-рующихся жидкостей с управляемой реологией для технологии финишного полирования оптических

изделий // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 97–104 .

Приведены результаты исследования физико-химических характеристик и особенностей рео-логического поведения магнитоструктурирующихся жидкотекучих дисперсий в магнитных полях, а также оценки их применения при управляемом финишном полировании оптических изделий .




Беларуси

уДк 534.23:534.8:62-868.8

С т е п а н е н к о Д . А ., М и н ч е н я В . Т . Разработка и исследование нового типа бесконтактных ультра-звуковых двигателей на основе принципа конструктивной асимметрии // Докл . НАН Беларуси . 2011 .

Т . 55, 5 . С . 105–111 .

В сообщении представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований ультразвукового двигателя со статором кольцевого типа, в котором вращение ротора создается за счет акустических радиационных сил, возникающих при его взаимодействии с акустическим по-лем статора . Величины действующих на ротор акустических радиационных сил и их момента определены с помощью метода конечных элементов . Динамика ротора исследована с помощью ка-чественной теории нелинейных дифференциальных уравнений . Исследована зависимость динами-ки ротора от начальных условий . Приводятся экспериментальные зависимости частоты вращения ротора от амплитуды колебаний статора .


уДк 61:[330.43+001.895]

Ж а р к о В . И ., П и н е в и ч Д . Л ., С е р д ю ч е н к о Н . С ., С а м о х о д к и н а С . В . Медицинская эконометрия и управление инновациями // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 . С . 112–117 .

Экономические расчеты и инновации еще не получили должного развития в системе здравоох-ранения . Показано, что обоснование и разработка стратегии использования медицинских техноло-гий должны проводиться на основе медицинской эконометрии . В широком смысле – это наука как лучше использовать выделенные финансовые средства за счет развития новых медицинских и ин-формационных технологий, разработки и внедрения эффективных организационных схем управ-ления отраслью .

Табл . 1 . Библиогр . – 12 назв .

уДк 904:728.81:550.3(476.4)

Л е в к о О . Н ., С е д о в С . Г ., Г о л о б о к о в С . В . Археологическое изучение сооружений Шкловского замка с использованием метода сопротивлений // Докл . НАН Беларуси . 2011 . Т . 55, 5 .

С . 118–122 .

Сообщение посвящено археологическому исследованию каменных конструкций Шкловского замка второй половины XVI – середины XVIII в ., представленных остатками оснований оборони-XVI – середины XVIII в ., представленных остатками оснований оборони- – середины XVIII в ., представленных остатками оснований оборони-XVIII в ., представленных остатками оснований оборони- в ., представленных остатками оснований оборони-тельных башен, проезжих ворот, а также элементами жилых строений (пол, основание глинобит-ной печи) . Изложена методика историко-археологических исследований и методика выявления прибором «Электрозонд» аномальных зон высокого и низкого сопротивления, позволяющих лока-лизовать на местности остатки каменных сооружений и другие, отличные от окружающих пород, грунты . Геофизические исследования имели опытный характер .




Беларуси

ДОКЛАДЫ - ЦНБ НАН...

Documents