Γραµµικές...

Σελίδα 1 από 92

Κεφάλαιο 81

Γραµµικές Απεικονίσεις

Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που

χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

στην ανάλυση µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ συνόλων πραγµατικών ή µιγαδικών

αριθµών, µε ανάλογο τρόπο στην γραµµική άλγεβρα µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ

διανυσµατικών χώρων. Τις συναρτήσεις που διατηρούν την αλγεβρική δοµή των

διανυσµατικών χώρων τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Στο κεφάλαιο αυτό

θα αναπτύξουµε τις βασικές ιδιότητες των γραµµικών απεικονίσεων και θα δούµε

πως περιγράφονται µε την άλγεβρα των πινάκων. Στην µελέτη των γραµµικών

απεικονίσεων οι πίνακες παίζουν κυρίαρχο ρόλο αφού, κάθε πίνακας ορίζει µια

γραµµική απεικόνιση αλλά και κάθε γραµµική απεικόνιση µπορεί να παρασταθεί µε

ένα πίνακα.

Αρχικά δίνουµε τον ορισµό µιας γραµµικής απεικόνισης, κατόπιν ορίζουµε δύο

σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής

απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις,

ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις .Στη

συνέχεια προσεγγίζουµε τον πυρήνα και την εικόνα µε την βοήθεια γραµµικών

συστηµάτων και δίνουµε το σηµαντικότερο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου που

είναι η αντιστοιχία (ισοµορφία) µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων. Τέλος,

χαρακτηρίζουµε τους ισοδύναµους και τους όµοιους πίνακες.

1 Συγγραφέας: Γιώργος Σαραφόπουλος


8.1 Ορισµοί και παραδείγµατα ...................................................................................5 Εισαγωγικό παράδειγµα.............................................................................................6

8.1.1 Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) ..................................................................6

8.1.2 Παραδείγµατα ...................................................................................................7

Παράδειγµα 1.............................................................................................................7

Παράδειγµα 2.............................................................................................................7

Παράδειγµα 3.............................................................................................................7

Παράδειγµα 4.............................................................................................................8

Παράδειγµα 5.............................................................................................................9

Παράδειγµα 6...........................................................................................................10

Παράδειγµα 7...........................................................................................................10

Παράδειγµα 8...........................................................................................................10

8.1.3 Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) ...........................................11

8.1.4 Παράδειγµα .....................................................................................................11

Εισαγωγικά παραδείγµατα .......................................................................................12

8.1.5 Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων)..............................................14

8.1.6 Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) ...........................................14

8.1.7 Ορισµός (ισοµορφισµού) ................................................................................15

Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού. ............................................................15

8.1.8 Θεώρηµα .........................................................................................................16

8.1.9 Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων)

..................................................................................................................................17

Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) ............................18

8.1.10 Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης

πάνω σε βάση ) ........................................................................................................19

8.1.11 Παραδείγµατα ...............................................................................................20

Παράδειγµα 1...........................................................................................................20

Παράδειγµα 2...........................................................................................................21

8.1.12 Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων ...............................22

8.1.13 Παραδείγµατα ...............................................................................................24

Παράδειγµα 1...........................................................................................................24

Παράδειγµα 2...........................................................................................................24

Παράδειγµα 3...........................................................................................................25


Παράδειγµα 4...........................................................................................................26

Παράδειγµα 5...........................................................................................................27

Παράδειγµα 6...........................................................................................................28

Ασκήσεις 8.1........................................................................................................28 Απαντήσεις / Υποδείξεις 8.1................................................................................29

8.2 Πυρήνας και εικόνα .............................................................................................30 8.2.1 Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) ......................................................................30

8.2.2 Παραδείγµατα .................................................................................................30

Παράδειγµα 1...........................................................................................................30

Παράδειγµα 2...........................................................................................................31

Παράδειγµα 3...........................................................................................................31

Παράδειγµα 4...........................................................................................................33

8.2.3 Θεώρηµα (∆οµή πυρήνα και εικόνας) ............................................................35

8.2.4 Θεώρηµα .........................................................................................................36

8.2.5 Θεώρηµα ( της διάστασης) .............................................................................37

8.2.6 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισοµορφισµού)...................................................39

8.2.7 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισόµορφων διανυσµατικών χώρων) ...................40

8.2.8 Παραδείγµατα .................................................................................................41

Παράδειγµα 1...........................................................................................................41

Παράδειγµα 2...........................................................................................................42

Παράδειγµα 3...........................................................................................................44

Ασκήσεις 8.2........................................................................................................44 Απαντήσεις / Υποδείξεις 8.2...............................................................................46

8.3 Γραµµικές Απεικονίσεις και Γραµµικά Συστήµατα........................................47 8.3.1 Θεώρηµα ( Πυρήνας και εικόνα της γραµµικής απεικόνισης AL ) .................47

8.3.2 Θεώρηµα (∆ιάσταση του χώρου λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)

..................................................................................................................................47

Εισαγωγικό παράδειγµα...........................................................................................48

8.3.3 Θεώρηµα ( Σύνολο λύσεων γραµµικού συστήµατος) ....................................48

Παράδειγµα ..............................................................................................................49

8.3.9 Παραδείγµατα .................................................................................................50

Παράδειγµα 1...........................................................................................................50

Παράδειγµα 2...........................................................................................................51

Παράδειγµα 3...........................................................................................................52



8.4 Πίνακες και Γραµµικές Απεικονίσεις ................................................................55 8.4.1 Θεώρηµα ( Ύπαρξης πίνακα ) ........................................................................55

8.4.2 Ορισµός (Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις βάσεις) .....56

8.4.3 Παράδειγµα .....................................................................................................57

8.4.4 Εισαγωγικό παράδειγµα..................................................................................57

8.4.5 Παρατηρήσεις .................................................................................................59

8.4.6 Ορισµός ( Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς διατεταγµένες βάσεις).60

8.4.7 Θεώρηµα (Συντεταγµένες εικόνας) ................................................................60

8.4.8 Παράδειγµα .....................................................................................................62

8.4.9 Ορισµός (Πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διατεταγµένη βάση)

..................................................................................................................................64

8.4.10 Παράδειγµα ...................................................................................................64

8.4.11 Θεώρηµα (Πίνακας ταυτοτικής απεικόνισης)...............................................65

8.4.12 Θεώρηµα (Ισοµορφία διανυσµατικού χώρου γραµµικών απεικονίσεων και

διανυσµατικού χώρου πινάκων) ..............................................................................66

8.4.13 Παράδειγµα ...................................................................................................67

8.4.14 Θεώρηµα ( Πίνακας σύνθεσης) ....................................................................68

8.4.15 Πόρισµα (Πίνακας αντίστροφης)..................................................................69

Πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας µετάβασης. ......................................................70

Εισαγωγικό παράδειγµα...........................................................................................70

8.4.16 Ορισµός (Πίνακας αλλαγής βάσης) ..............................................................71

8.4.17 Παράδειγµα ...................................................................................................72

8.4.18 Θεώρηµα (Συντεταγµένες διανύσµατος ως προς διαφορετικές διατεταγµένες

βάσεις)......................................................................................................................73

8.4.19 Θεώρηµα (Αντίστροφος πίνακα αλλαγής βάσης).........................................74

8.4.20 Παραδείγµατα ...............................................................................................74

Παράδειγµα 1...........................................................................................................74

Παράδειγµα 2...........................................................................................................76


8.5 Ισοδύναµοι και όµοιοι πίνακες............................................................................81 Εισαγωγικό παράδειγµα...........................................................................................81


8.5.1 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές

διατετεγµένες βάσεις) ..............................................................................................84

8.5.2 Ορισµός (Ισοδύναµοι πίνακες) .......................................................................84

8.5.3 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διαφορετικές

διατετεγµένες βάσεις) ..............................................................................................85

8.5.4 Ορισµός ( Όµοιοι πίνακες)..............................................................................85

8.5.5 Παραδείγµατα .................................................................................................85

Παράδειγµα 1...........................................................................................................85

Παράδειγµα 2...........................................................................................................86

Παράδειγµα 3...........................................................................................................87

Παράδειγµα 4...........................................................................................................88

Παράδειγµα 5...........................................................................................................89

8.5.6 Θεώρηµα .........................................................................................................90

8.5.7 Πόρισµα ..........................................................................................................91

Χαρακτηρισµός ισοδύναµων πινάκων....................................................................91

Χαρακτηρισµός όµοιων πινάκων............................................................................91

Ασκήσεις 8.5........................................................................................................91 Απαντήσεις / Υποδείξεις......................................................................................92


8.1 Ορισµοί και παραδείγµατα

Σε προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε την έννοια της απεικόνισης µεταξύ δύο συνόλων.

Στην παράγραφο αυτή θα εισαγάγουµε µια ειδική µορφή απεικονίσεων µεταξύ δύο

διανυσµατικών χώρων, τις γραµµικές απεικονίσεις Μπορούµε να πούµε ότι µια

απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι γραµµική αν διατηρεί την δοµή

του διανυσµατικού χώρου, δηλαδή αν µετασχηµατίζει το άθροισµα δύο διανυσµάτων

σε άθροισµα των εικόνων τους και το βαθµωτό πολλαπλάσιο ενός διανύσµατος στο

ίδιο βαθµωτό πολλαπλάσιο της εικόνας του. Ας δούµε όµως πρώτα ένα παράδειγµα.

Εισαγωγικό παράδειγµα

Θεωρούµε την απεικόνιση (συνάρτηση) , µε τύπο f : → f ( x ) ax= (όπου

ένας πραγµατικός αριθµός). a

Παρατηρούµε ότι

x, y∀ ∈ f ( x y ) a( x y ) ax ay f ( x ) f ( y )+ = + = + = + και

, xλ∀ ∈ ∀ ∈ f ( x ) a( x ) ( ax ) f ( x )λ λ λ λ= = =

∆ηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

x, y∀ ∈ , f ( x y ) f ( x ) f ( y )+ = + και

, xλ∀ ∈ ∀ ∈ , f ( x ) f ( x )λ λ=

Μια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, για την οποία ισχύουν οι

προηγούµενες ιδιότητες θα την λέµε γραµµική απεικόνιση.

8.1.1 Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης)

Έστω δύο F-διανυσµατικοί χώροι ( FV ,W = ή F = ). Μια απεικόνιση

θα λέγεται γραµµική απεικόνιση αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: L :V W→

1) Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων u, του V ισχύει v

L( u v ) L( u ) L( v )+ = +

και

2) Για κάθε βαθµωτό µέγεθος λ και για κάθε διάνυσµα του V ισχύει u

L( u ) L( u )λ λ=

Παρατηρήσεις:

α) Οι προηγούµενες συνθήκες 1) και 2) του ορισµού ισοδυναµούν µε τη συνθήκη

u,v V , , FL( u v ) L( u ) L( v )

λ µλ µ λ µ

∀ ∈ ∀ ∈+ = +


β) Στην περίπτωση που V , µια γραµµική απεικόνιση λέγεται και

γραµµικός µετασχηµατισµός

W= L :V V→

8.1.2 Παραδείγµατα

Παράδειγµα 1

Η ταυτοτική απεικόνιση µε τύπο V1 :V V→ V1 ( u ) u= , για κάθε u V∈ είναι

γραµµική. Πράγµατι,

V V

u,v V , , F1 ( u v ) u v 1 ( u ) 1 ( v )V

λ µλ µ λ µ λ µ

∀ ∈ ∀ ∈+ = + = +


Η µηδενική απεικόνιση :V Wϑ → µε τύπο W( u ) 0ϑ = , για κάθε , είναι

γραµµική. Πράγµατι,

u V∈

W

W W

u,v V , , F( u v ) 0

( u ) ( v ) 0 0 0W

λ µϑ λ µ καιλϑ µϑ λ µ

∀ ∈ ∀ ∈+ =+ = + =


∆ίνεται ο πίνακας 3 2×

1 1A 1 1

0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Αν σε κάθε διάνυσµα x

Xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

του αντιστοιχίσουµε το διάνυσµα2 2

x yAX x y

y

+⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

δηµιουργούµε µια απεικόνιση µε πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το . Την

απεικόνιση αυτή θα την συµβολίσουµε µε . ∆ηλαδή,

2 3

AL

2 3AL : →

µε τύπο

2 Θα γράφουµε τα διανύσµατα του ως πίνακες µε µία στήλη. nF


AL ( X ) AX=

Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική.

1ος τρόπος:

Αν /

/

x xX ,Y

y y⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

στοιχεία του και 2 λ∈ έχουµε:

( )

/ / //

/ / /A A /

/ /

/

A A /

/

/

x x y y x y x yx x

L X Y L x x y y x y x yy y

y y y y

x xL L

y y

⎛ ⎞ ⎛+ + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟+ = = + − − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

)λ

και

( ) (A A A

x y x yx

L X L x y x y L Xy

y y

λ λλ

λ λ λ λλ

λ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2ος τρόπος:

Αν και 2X ,Y ∈ λ∈ , επειδή η απεικόνιση ορίζεται µε

πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α

2AL : → 3

2 3AL : → , X AX

λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασµού πινάκων προκύπτει:

A AL ( X Y ) A( X Y ) AX AY L ( X ) L (Y )+ = + = + = + A

και

A AL ( X ) A( X ) ( AX ) L ( X )λ λ λ λ= = =

Εποµένως η είναι γραµµική. AL


Το προηγούµενο παράδειγµα γενικεύεται για κάθε πίνακα Α τύπου µε στοιχεία

από το . ∆ηλαδή αν µας δοθεί ένας πίνακας τύπου

m n×

F A m n× µε στοιχεία από το ,

µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε πολλαπλασιασµό ( από τα αριστερά) µε τον µια

γραµµική απεικόνιση

F

A

n mAL : F F→

µε τον τύπο


AL ( X ) AX=

όπου ( )T1 2 nX x x x= .


Αν διάνυσµα του , θα δείξουµε ότι η απεικόνιση µε τύπο

ab

Xcd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4 4f : → 3

a bf ( X ) b c

a d

+⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

είναι γραµµική.

Πράγµατι, επειδή

aa b 1 1 0 0 1 1 0 0

bf ( X ) b c a 0 b 1 c 1 d 0 0 1 1 0 AX

ca d 1 0 0 1 1 0 0 1

d

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = + + − + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

όπου

1 1 0 0A 0 1 1 0

1 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Η απεικόνιση f δηµιουργείται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α

και όπως δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα είναι γραµµική.

Παρατήρηση:

Στο προηγούµενο παράδειγµα είδαµε ότι µπορούµε να εκφράσουµε µια γραµµική

απεικόνιση από το στο µε τη βοήθεια κάποιου πίνακα τύπου έτσι ώστε,

η εικόνα ενός διανύσµατος να προκύπτει µε πολλαπλασιασµό του διανύσµατος µε

αυτόν τον πίνακα. Αργότερα θα δούµε ότι το ίδιο ισχύει και σε γραµµικές

απεικονίσεις µεταξύ τυχαίων διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης.

4 3 3 4×



Η απεικόνιση

f : → , 2x x

δεν είναι γραµµική, αφού 2 2 2f ( x y ) ( x y ) x y 2xy f ( x ) f ( y ) 2xy f ( x ) f ( y )+ = + = + + = + + ≠ +


Έστω Α το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παραγώγους κάθε τάξης.

Το σύνολο αυτό µε τις συνήθεις πράξεις των συναρτήσεων αποτελεί διανυσµατικό

χώρο. Μπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση

f : →

D : A A→

µε την σχέση /D( f ) f=

όπου /f είναι η παράγωγος της f .

[Για παράδειγµα, η εικόνα της συνάρτησης D( f ) 3f ( x ) x= είναι η συνάρτηση / 2f ( x ) 3x= , η εικόνα της συνάρτησης D( g ) g( x ) sin x= είναι η συνάρτηση

κ.λ.π. ] /g ( x ) cos x=

Είναι εύκολο να δείξουµε, στηριζόµενοι στις ιδιότητες της παραγώγου, ότι η

απεικόνιση είναι γραµµική. D

Πράγµατι, / / /

/ /

( f ,g A ),D( f g ) ( f g ) f g D( f ) D( g )( , f A ),D( f ) ( f ) f D( f )λ λ λ λ λ

∀ ∈ + = + = + = +

∀ ∈ ∀ ∈ = = =


Αν [ ]n x είναι ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µε πραγµατικούς

συντελεστές βαθµού το πολύ , ορίζουµε την απεικόνιση n

[ ] [ ]n n 1f : x x , p( x ) p(0 ) xp( x )+→ +

Θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της f .

[ ]np( x ),q( x ) x∀ ∈ και λ∀ ∈ έχουµε:


f [ p( x ) q( x )] f [( p q )( x )] ( p q )(0 ) x( p q )( x )p(0 ) q(0 ) x[ p( x ) q( x )]p(0 ) q(0 ) xp( x ) xq( x )f [ p( x )] f [ q( x )]

+ = + = + + += + + += + + += +

f [ p( x )] f [( p )( x )] ( p )(0 ) x( p )( x ) p(0 ) xp( x )[ p(0 ) xp( x )] f [ p( x )]

λ λ λ λ λ λλ λ

= = + = += + =

Άρα η f είναι γραµµική. ▲

Θα δούµε τώρα µια πρόταση µε την βοήθεια της οποίας µπορούµε να δείξουµε ότι

µια απεικόνιση δεν είναι γραµµική.

8.1.3 Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας)

Αν η απεικόνιση f :V W→ είναι γραµµική τότε

(1) V Wf (0 ) 0=

(2) ( u V )∀ ∈ f ( u ) f ( u )− = −

Απόδειξη

(1) Έχουµε V F V F V Wf (0 ) f (0 0 ) 0 f (0 ) 0= = =

(2) Θα χρησιµοποιήσουµε την προηγούµενη ιδιότητα. Για κάθε u V∈ ( 1 )

V Wf ( u ) f ( u ) f [ u ( u )] f (0 ) 0+ − = + − = = . Προσθέτοντας f ( u )− και στα δύο µέλη

προκύπτει το ζητούµενο.

■

8.1.4 Παράδειγµα

Θα εξετάσουµε αν η απεικόνιση

2 x 1f : ,x

x+⎛ ⎞

→ ⎜ ⎟⎝ ⎠



1 0f (0 )

0 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

εποµένως η f δεν είναι γραµµική.

▲


Θα εξετάσουµε τώρα την γραµµικότητα της σύνθεσης δύο γραµµικών απεικονίσεων

και της αντίστροφης απεικόνισης (όταν υπάρχει).

Εισαγωγικά παραδείγµατα

Έστω οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους 3 2 2f : ,g :→ → 2

xx y x x

f y ,gy z y x

z

⎛ ⎞y+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞⎟⎠

2

Η σύνθεση ορίζεται ως εξής: 3g f : →

xx y x y ( y z

( g f )( X ) g[ f ( X )] g[ f y ] g[ ]y z x y

z

xx z 1 0 1

y AXx y 1 1 0

z

⎛ ⎞+ + − −⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

)⎞⎟⎠

2

Εποµένως η σύνθεση είναι της µορφής , µε 3g f : → AL

1 0 1A

1 1 0⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

και εποµένως είναι µια γραµµική απεικόνιση.


1) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις f ,g είναι της µορφής B Cf L ,g L= =

όπου

1 1 0 1 1B ,C

0 1 1 1 0−⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

=

C

και η , αφού CBg f L=

1 1 1 1 0 1 0 1CB A

1 0 0 1 1 1 1 0−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) Αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος γραµµικών απεικονίσεων που είναι της µορφής

Bf L ,g L= = για τις οποίες ορίζεται η σύνθεση . g f

( g f )( X ) g[ f ( X )] g( BX ) C( BX ) ( CB )X= = = =

∆ηλαδή η σύνθεση είναι της µορφής CBg f L= .


▲

Γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα

και επί (βλ. Κεφάλαιο1). Θα δείξουµε ότι η γραµµική απεικόνιση µε

τύπο

2 2g : →

x x yg

y x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

είναι αντιστρέψιµη και θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της αντίστροφης.

1ος τρόπος:

Παρατηρούµε ότι, αν 1 2

1 2

x xX ,Y

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

τότε

1 21 1 2 2

1 2 1 2

y yx y x yg( X ) g(Y ) X Y

x x x x=− − ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇔ = ⇔ ⇔⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩=

∆ηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα.

Θα δείξουµε τώρα ότι η είναι επί. Αρκεί για δεδοµένο g 2Y ∈ , η εξίσωση

να έχει λύση ως προς g( X ) Y= X .

1 1 2 1 21 1 2

1 2 1 2 1 2

x y x x yx y xg( X ) Y

x y 2x y y y x− = =− ⎧ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩( )∗

2

Εποµένως η απεικόνιση είναι επί και κατά συνέπεια υπάρχει η αντίστροφή της, που

όπως φαίνεται από την σχέση ( είναι )∗1 2g :− →

µε τύπο

1 1 x y 0 1 xg ( X ) g DX

y x y 1 1 y− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

όπου

0 1D

1 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

είναι δηλαδή της µορφής 1Dg L− = και άρα είναι γραµµική. ( Παρατηρούµε ότι ο

πίνακας είναι ο αντίστροφος του ). D C

2ος τρόπος:


Επειδή έχουµε Cg L=

g( X ) g(Y ) CX CY= ⇔ = ,

ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος (ορίζουσα διάφορη του µηδενός) άρα η

προηγούµενη σχέση γράφεται

C

1 1CX CY C CX C CY X Y− −= ⇔ = ⇔ =

Εποµένως η απεικόνιση είναι 1-1.

Από την σχέση προκύπτει g( X ) Y=1CX Y X C Y−= ⇔ =

Άρα η είναι επί και εποµένως αντιστρέψιµη, µε αντίστροφη την g1 2 2g :− → 1 1g ( X ) C X− −=,

▲

Οι επόµενες προτάσεις γενικεύουν τις προηγούµενες παρατηρήσεις µας.

8.1.5 Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων)

Αν f :U V→ και είναι γραµµικές τότε και η σύνθεσή τους


g :V W→

g f :U W→

Απόδειξη

Έστω και a, . Από τον ορισµό της σύνθεσης και την γραµµικότητα

των

1 2u ,u U∈ b F∈

f και προκύπτει gf

1 2 1 2 1 2g

1 2 1 2

( g f )( au bu ) g[ f ( au bu )] g[ af ( u ) bf ( u )]

ag[ f ( u )] bg[ f ( u )] a( g f )( u ) b( g f )( u )

γραµµικηορισµος

γραµµικη

−

−

+ = + = +

= + = +

Άρα η είναι γραµµική. g f :U W→

■

8.1.6 Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης)

Αν η γραµµική απεικόνιση f :V W→ είναι αντιστρέψιµη τότε και η αντίστροφη 1f :W V− → είναι γραµµική.

Απόδειξη

Έστω , γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν

είναι ένα προς ένα και επί. Εποµένως υπάρχουν µοναδικά διανύσµατα έτσι

ώστε . Θα δείξουµε ότι

1 2w ,w W∈

1 2u ,u V∈

1 1 2w f ( u ),w f ( u= = 2 ) 11 11 2 1 2f ( w w ) f ( w ) f ( w )− −+ = + −


f1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 11 2 V 1 2 1 2 1 2

f ( w w ) f [ f ( u ) f ( u )] f [ f ( u u )]

( f f )( u u ) (1 )( u u ) u u f ( w ) f ( w )

γραµµικη

ορισµος

−− − −

− −

+ = + = +

= + = + = + = + 1−

Θα δείξουµε τώρα ότι αν ,a F ,w W∈ ∈ 1 1f ( aw ) af ( w )− −= w f ( u )

1 1 1 1

1V

f ( aw ) f [ af ( u )] f [ f ( au )] ( f f )( au )(1 )( au ) au af ( w )

=− − − −

−

= = =

= = =

Άρα η 1f :W V− → είναι γραµµική.

■

8.1.7 Ορισµός (ισοµορφισµού)

Μια γραµµική απεικόνιση f :V W→ για την οποία υπάρχει η αντίστροφη λέγεται

ισοµορφισµός, οι δε χώροι V λέγονται ισόµορφοι. Στην περίπτωση που οι

διανυσµατικοί χώροι V είναι ισόµορφοι, γράφουµε V W

,W

,W ≅ .

Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού.

Θα δείξουµε ότι για κάθε επιλογή βάσης σε ένα διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης

διάστασης n , υπάρχει ισοµορφισµός µεταξύ αυτού του χώρου και του nF

Γνωρίζουµε ότι αν { }1 nB v ,...,v= µια διατεταγµένη βάση . του διανυσµατικού

χώρου V , τότε για κάθε διάνυσµα v V∈ υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί 1 nx ,...,x ( οι

συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την συγκεκριµένη βάση ) έτσι ώστε

1 1 n nv x v ... x v= + +

∆ηµιουργείται έτσι ένα στοιχείο του το nF ( T1 n )x ... x που το λέµε διάνυσµα

συντεταγµένων του ως προς την βάση v B και το συµβολίζουµε µε [ ]Bv .

∆ηλαδή

[ ]1

2B

n

xx

v

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Για παράδειγµα, αν και dimV 3= 1 2v 2v 3v v3= − + τότε

[ ]B

2v 3

1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


Θα δείξουµε ότι µε την επιλογή της διαταταγµένης βάσης { }1 nB v ,...,v= ο χώρος

γίνεται ισόµορφος µε τον χώρο V nF

8.1.8 Θεώρηµα

Η απεικόνιση: [ ]nB B

:V F ,v vΦ → είναι ένας ισοµορφισµός.

Απόδειξη

Θα δείξουµε αρχικά ότι είναι γραµµική.

Έστω u,v V , Fλ∈ ∈ . Αν και 1 1 n nv x v ... x v= + + 1 1 n nu y v ... y v= + + , τότε

1 1 1 n nv u v ( x y )v ... ( x y )v+ = = + + + + n

και

1 1 n nv ( x )v ... ( x )vλ λ λ= + +

Οπότε

( )( ) (

TB 1 1 2 2 n n

T T1 2 n 1 2 n

B B

( v u ) x y x y ... x y

)x x ... x y y ... y( v ) ( u )

Φ

Φ Φ

+ = + + +

= +

= +

και

( )( )

TB 1 2

T1 2 n

B

( v ) x x ... x

x x ... x( v )

Φ λ λ λ λ

λλΦ

=

=

=

n

Η απεικόνιση είναι 1-1 διότι διαφορετικά διανύσµατα έχουν διαφορετικές

συντεταγµένες ως προς τη δεδοµένη βάση. Ακόµη είναι και επί διότι αν

( )T n1 nx ... x F∈ υπάρχει το διάνυσµα 1 1 n nv x v ... x v V= + + ∈ έτσι ώστε

. Εποµένως είναι ένας ισοµορφισµός. ( TB 1( v ) x ... xΦ = )n

■

Παραδείγµατα

1) Στον διανυσµατικό χώρο των πολυωνύµων βαθµού το πολύ 2, θεωρούµε

τη διατεταγµένη βάση

2 [ x ]

{ }2B 1,x,x= . Κάθε στοιχείο 2p( x ) a bx cx= + + του

απεικονίζεται, µέσω της στο διάνυσµα 2 [ x ] 3B 2: [ x ]Φ →

( )TB[ p( x )] a b c=


και ισχύει . 32 [ x ] ≅

2) Στον διανυσµατικό χώρο 2M ( )των πινάκων τύπου 2 2× , θεωρούµε τη

διατεταγµένη βάση { }1 2 3 4B E ,E ,E ,E= , όπου

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0E ,E ,E ,E

0 0 0 0 1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Κάθε στοιχείο του που γράφεται µε νοναδικό τρόπο 2

a bA M

c d⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

41 2 3A aE bE cE dE= + + +

απεικονίζεται, µέσω της στο διάνυσµα 4B 2: M ( )Φ →

( )TB[ A] a b c d=

και ισχύει . 42M ( ) ≅

▲

Θα αποδείξουµε τώρα µια πρόταση , σύµφωνα µε την οποία, η ισότητα δύο

γραµµικών απεικονίσεων πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων συνεπάγεται την ισότητά

τους σε κάθε στοιχείο του διανυσµατικού χώρου. ∆ηλαδή, αν δύο γραµµικές

απεικονίσεις παίρνουν τις ίδιες τιµές πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων τότε είναι ίσες.

8.1.9 Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών

απεικονίσεων)

Υποθέτουµε ότι { }1 nv ,...,v είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V . Αν f :V W→ και g :V W→ γραµµικές απεικονίσεις έτσι ώστε i if ( v ) g( v ), i 1,...,n= ∀ = , τότε

f ( v ) g( v ), v V= ∀ ∈ . ∆ηλαδή f g= .

Απόδειξη

Επειδή το σύνολο{ }1 nv ,...,v παράγει τον , αν V v V∈ υπάρχουν βαθµωτά µεγέθη

1 2 nx ,x ,...,x έτσι ώστε . Εποµένως 1 1 2 2 n nv x v x v ... x v= + + +

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

f ( v ) f ( v v ... v ) f ( v ) f ( v ) ... f ( v )g( v ) g( v ) ... g( v ) g( v v ... v )

g( v )

λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ

= + + + = + + += + + + = + + +=

Επειδή έπεται ότι f ( v ) g( v ), v V= ∀ ∈ f g=

■


Θα εξετάσουµε τώρα το πρόβληµα δηµιουργίας µιας γραµµικής απεικόνισης, αν

γνωρίζουµε µια αντιστοιχία που ορίζεται πάνω στα στοιχεία µιας βάσης.

Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση)

1) Τα διανύσµατα

1 2

1 0e ,e ,u

0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

είναι γεννήτορες του . Αν ορίσουµε µια αντιστοιχία 2 { } { }1 2 1 2f : e ,e ,u e ,e ,u→ , µε

1 2 2 2f ( e ) e , f ( e ) e , f ( u ) u= = =

είναι προφανές ότι η f δεν είναι συνάρτηση. ∆ηλαδή, µια τυχαία αντιστοιχία

οριζόµενη πάνω σε γεννήτορες δεν οδηγεί αναγκαστικά σε συνάρτηση.

2) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι ορίζουµε την αντιστοιχία { } { }1 2 1 2f : e ,e ,u e ,e ,u→ µε

τέτοιο τρόπο ώστε να είναι συνάρτηση. Για παράδειγµα , έστω ότι

1 2

2 5f ( e ) , f ( e ) , f ( u )

3 1−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

32⎞

= ⎟⎠

Υποθέτουµε επίσης ότι η προηγούµενη συνάρτηση επεκτείνεται σε µια συνάρτηση

. 2 2f : →

Η απεικόνιση f δεν είναι γραµµική, αφού

1 2 1 2

3 2f ( e e ) f ( u ) , f ( e ) f ( e )

2 3−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 31 4

∆ηλαδή, η συνάρτηση f ορισµένη πάνω σε γεννήτορες δεν επεκτάθηκε σε γραµµική

συνάρτηση.

3) Αν ορίσουµε τώρα την συνάρτηση f πάνω στη βάση { } { }1 2 1 2f : e ,e e ,e→ , µε

1 2

2 5f ( e ) , f ( e )

3 1−⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

y+ ⎞⎟⎠

µπορούµε να την επεκτείνουµε σε µια γραµµική συνάρτηση . 2 2f : →

Πράγµατι, αν , ορίζουµε 2xX

y⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

2 5 2x 5f ( X ) xf ( e ) yf ( e ) x y

3 1 3x y− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝


που είναι γραµµική. Η γραµµική απεικόνιση f είναι η µοναδική γραµµική

απεικόνιση µε την ιδιότητα

1 2

2 5f ( e ) , f ( e )

3 1−⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2

2

διότι, αν είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε 2g : →

1 1 2g( e ) f ( e ),g( e ) f ( e )= =

τότε οι f ,g ταυτίζονται πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων και από το προηγούµενο

θεώρηµα προκύπτει ότι είναι ίσες.

8.1.10 Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης

πάνω σε βάση )

Έστω { }1 nB v ,...,v= µια βάση του διανυσµατικού χώρου V . Αν είναι

στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου W , τότε υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση

έτσι ώστε

1 2 nw ,w ,...,w

f :V W→ i if ( v ) w= , ( i 1,...,n= ).

Απόδειξη

Αρχικά θα δείξουµε την ύπαρξη µιας γραµµικής απεικόνισης που ικανοποιεί τις

υποθέσεις.

Έστω , τότε υπάρχουν µοναδικά βαθµωτά µεγέθη v V∈ 1 2 nx ,x ,...,x έτσι ώστε

. Θέτουµε 1 1 n nv x v ... x v= + +

1 1 2 2 n nf ( v ) x w x w ... x w= + + +

ορίζουµε έτσι µια απεικόνιση f :V W→ και θα δείξουµε ότι είναι γραµµική.

Πράγµατι, αν έχουµε 1 1 n nw y v ... y v= + +

1 1 1 2 2 2 n n n

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

f ( v w ) ( x y )w ( x y )w ... ( x y )w( x w x w ... x w ) ( y w y w ... y wf ( v ) f ( w )

+ = + + + + + +

= + + + + + + += +

)

και αν Fλ∈

( )1 1 2 2 n n

1 1 2 2 n n

f ( v ) ( x )w ( x )w ... ( x )wx w x w ... x w f ( v )

λ λ λ λλ λ

= + + +

= + + + =

Η γραµµική απεικόνιση f εξ’ ορισµού ικανοποιεί την συνθήκη i if ( v ) w= ,

( ). i 1,...,n=

Θα δείξουµε τώρα ότι είναι µοναδική.


Αν υπάρχει και µια δεύτερη γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε ,

τότε

g :V W→ i ig( v ) w=

i if ( v ) g( v )= , ( i 1 ), δηλαδή οι γραµµικές απεικονίσεις ,...,n= f και

ταυτίζονται σε ένα σύνολο γεννητόρων και εποµένως θα είναι ίσες g (Θεώρηµα

8.1.9).

■



Έστω η µοναδική γραµµική απεικόνιση (βλ. προηγούµενο θεώρηµα) 3 4f : →

έτσι ώστε

( )( )( )

T1

T2

T3

f ( e ) 1 2 0 4

f ( e ) 2 0 1 3

f ( e ) 0 0 0 0

= −

= − −

=

όπου η συνήθης βάση του . 1 2 3e ,e ,e 3

Να βρεθεί ο τύπο της.

Λύση

Αν ( T)X x y z= τυχαίο διάνυσµα του τότε, επειδή 3

1 2

x 1 0 0

3X y x 0 y 1 z 0 xe ye zez 0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

προκύπτει

1 2 3f ( X ) f ( xe ye ze )= + +

και επειδή η είναι γραµµική η προηγούµενη σχέση γράφεται f

1 2 3 1 2 3f ( X ) f ( xe ye ze ) xf ( e ) yf ( e ) zf ( e )1 2 0 x 2 y2 0 0 2x

x y z AX0 1 0 y4 3 0 4x 3y

= + + = + +

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

όπου


1 2 02 0 0

A0 1 04 3 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟− −⎝ ⎠


Έστω

( ) ( ) (T T1 2 3u 1 1 0 ,u 1 0 1 ,u 0 1 1= = = )T

)T

επειδή η ορίζουσά τους είναι διάφορη του µηδενός τα διανύσµατα αυτά αποτελούν

µια βάση του . 3

∆ίνεται η µοναδική γραµµική απεικόνιση 3 2f : →

τέτοια ώστε

( ) ( ) (T T1 2 3f ( u ) 1 2 , f ( u ) 0 0 , f ( u ) 2 1= = =

Να βρεθεί ο τύπος της f .

Λύση: Αν X τυχαίο διάνυσµα του 3

1 2 3 1 2 3f ( X ) f ( au bu cu ) af ( u ) bf ( u ) cf ( u )= + + = + +

Αρκεί εποµένως να βρούµε τις συντεταγµένες των διανύσµατος X ως προς τη βάση

. 1 2 3u ,u ,u

Αν ( T)X x y z= οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος X ως προς την συνήθη

βάση, τότε θα αναζητήσουµε τους µοναδικούς πραγµατικούς αριθµούς έτσι

ώστε

a,b,c

1 2 3X au bu cu= + +

∆ηλαδή

x 1 1y a 1 b 0 c 1z 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1

Οδηγούµαστε έτσι στην επίλυση, ως προς ,του συστήµατος a,b,c

a b xa c yb c z

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι


1 1 0 x1 0 1 y0 1 1 z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και µε γραµµοπράξεις προκύπτει

x y z1 0 02

x y z0 1 02

x y z0 0 12

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα

x y za2

x y zb2

x y zc2

+ −⎧ =⎪⎪

− +⎪ =⎨⎪

− + +⎪ =⎪⎩

Άρα, αν ( T)X x y z= τυχαίο διάνυσµα του 3

1 2 3f ( X ) af ( u ) bf ( u ) cf ( u )1 0x y z x y z x y z2 02 2 2

1 3 1 1 3 1 xx y z2 2 2 2 2 2 y AX

1 3 1 1 3 1x y z z2 2 2 2 2 2

= + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − + += + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21

=

όπου

1 3 12 2 2A

1 3 12 2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

8.1.12 Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων

Αν είναι οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους 3 2 3f : ,g :→ → 2


xx y 1 1 0

f y f ( X ) AX ,Ay z 0 1 1

z

x

,

x y 1g g( X ) BX ,By

1 0x z 1

z

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ = ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1

⎞⎟⎠

2

τότε µπορούµε να ορίσουµε:

α) το άθροισµά τους ως εξής: 3f g :+ →

x y x y( f g )( X ) f ( X ) g( X )

y z x z

x2x 2 0 0 2 0 0

y CX ,Cx y 1 1 0 1 1 0

z

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

που είναι της µορφής , και εποµένως είναι γραµµική. (Παρατηρούµε ότι

).

CL

C A B= +

β) το βαθµωτό πολλαπλάσιο f ,( )λ λ∈ της f ως εξής:

x y x y( f )( X ) f ( X )

y z y z

x0 0

y BX ,B0 0

z

λ λλ λ λ

λ λ

λ λ λ λλ λ λ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ λ− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

που είναι της µορφής και άρα είναι µια γραµµική απεικόνιση ( παρατηρούµε ότι BLB Aλ= ). Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων µε

πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το , µε τις προηγούµενες πράξεις πρόσθεσης

και βαθµωτού πολλαπλασιασµού ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα

διανυσµατικό χώρο. (Προφανώς το µηδενικό στοιχείο είναι η µηδενική απεικόνιση).

3 2L( , )3 2

Ας γενικεύσουµε. Συµβολίζουµε µε το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων

του στον , στο σύνολο αυτό θα ορίσουµε µια πράξη πρόσθεσης και µια πράξη

βαθµωτού πολλαπλασιασµού έτσι ώστε να του δώσουµε δοµή διανυσµατικού χώρου.

L(V ,W )

V W

Αν f :V W→ και δύο γραµµικές απεικονίσεις και g :V W→ Fλ ∈ , ορίζουµε το

άθροισµα και τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό ως εξής:


(1) f g :V W ,u f ( u ) g( u )( 2 ) f :V W ,u f ( u )λ λ

+ → +→

Θα δείξουµε ότι οι δύο αυτές απεικονίσεις είναι γραµµικές.

Για το άθροισµα έχουµε:

u,v V , F ,( f g )( u v ) f ( u v ) g( u v ) f ( u ) f ( v ) g( u ) g( v )

( f g )( u ) ( f g )( v )

λ∀ ∈ ∀ ∈+ + = + + + = + + +

= + + +

( f g )( u ) f ( u ) g( u ) f ( u ) g( u )[ f ( u ) g( u )] ( f g )( u )

λ λ λ λ λλ λ

+ = + = += + = +

Άρα η f g+ είναι γραµµική.

Για τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό που ορίστηκε από την σχέση (2) η απόδειξη

γίνεται µε όµοιο τρόπο.

Είναι εύκολο να δούµε ότι υπάρχει µηδενικό στοιχείο, είναι η µηδενική απεικόνιση

W:V W ,u 0ϑ →

Κάθε γραµµική απεικόνιση f έχει αντίθετη την f ( 1) f− = − και ικανοποιούνται όλα

τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο.



Έστω ( ) (T T2 3 )f : , x y x y x y→ + y−

Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική.

Λύση

Ο τύπος της f γράφεται

x y 1 1 1 1x x

f ( X ) f x y 1 1 AX , A 1 1y y

y 0 1 0 1

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = − = − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

δηλαδή η απεικόνιση είναι της µορφής Af L= και εποµένως είναι γραµµική.


Έστω n nM ( )× ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων

και n nX M ( )×∈ . Ορίζουµε την απεικόνιση


n n n nf : M ( ) M ( ),A AX XA× ×→ +

να δείξετε ότι είναι γραµµική. Λύση

Θα δούµε αν ισχύουν οι δύο ιδιότητες της γραµµικότητας Αν , τότε n nA,B M ( )×∈

f ( A B ) ( A B )X X( A B ) ( AX XA ) ( BX XB )f ( A ) f ( B )

+ = + + + = + + += +

και για a∈

f ( aA ) ( aA )X X( aA ) a( AX XA ) af ( A )= + = + =

εποµένως η f είναι γραµµική.


Έστω η γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει 2f : → 2

14

1 2 0f ( ) , f ( )

2 3 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να βρείτε τον τύπο της.

Λύση

Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα

1 0,

2 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

αποτελούν βάση του πεδίου ορισµού. Θα προσπαθήσουµε να γράψουµε κάθε

διάνυσµα του ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων αυτής της βάσης. 2

Από την σχέση

x 1 0a b

y 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1

y

προκύπτει

x a a xy 2a b b 2x

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧= ⇔ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

Εποµένως


x 1 0 1 0f ( ) f [ x ( 2x y ) ] xf ( ) ( 2x y ) f ( )

y 2 1 2

2 1 y 0 1 xx ( 2x y )

3 4 5x 4 y 5 4 y

0 1 xAX ,A ,X

5 4 y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= + − + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

Παρατήρηση (βλ. και επόµενο παράδειγµα):

Ο πίνακας

0 1A

5 4⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

είναι αντιστρέψιµος, άρα και η απεικόνιση f έχει αντίστροφη την µε

τύπο

1 2f :− → 2

1 1 1x 41 1f f ( X ) A X X

y 55

4 1 4 1x x y5 5 5 5

y1 0 x

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

2


Έστω η γραµµική απεικόνιση µε τύπο 2f : →

x x yf ( )

y x y+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε τον τύπο της 1f − .

Λύση

Αν θέσουµε x

Xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, η απεικόνιση γράφεται

x x y 1 1 xf ( X ) f ( )

y x y 1 1

1 1AX , A

1 1

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

y


Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος έχουµε 1 1f ( X ) f (Y ) AX AY A AX A AY X− −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = Y

δηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα.

Ακόµη, αν η εξίσωση 20Y ∈ 0f ( X ) Y= γράφεται ισοδύναµα

10 0AX Y X A Y−= ⇔ =

έχει δηλαδή λύση ως προς X , άρα η f είναι επί και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη.

Η αντίστροφη έχει τύπο 1 2f :− → 2

1 1 1x 11 1f f ( X ) A X X

y 121 1 1 1x yx2 2 2 21 1 y 1 1x y2 2 2 2

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2


Έστω οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους 3 2 3f : ,g :→ →

x x2x x z

f ( ) ,g( )y yy z y

z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟⎠

Να βρεθούν οι απεικονίσεις . f g ,2 f ,3 f 5g+ −

Λύση

Αν θέσουµε ( )TX x y z= , τότε

2x x z 3x z( f g )( X ) f ( X ) g( X )

y z y 2y z

2x 4x( 2 f )( X ) 2 f ( X ) 2

y z 2y 2z

2x x z( 3 f 5g )( X ) 3 f ( X ) 5g( X ) 3 5

y z y

6 x 5x 5z x 5z3y 3z 5y 2y 3z

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎠

2ος τρόπος:


( f g )( X ) f ( X ) g( X ) AX BX ( A B )X3 0 1

CX ,C A B0 2 1

( 2 f )( X ) 2 f ( X ) 2( AX ) ( 2A )X4 0 0

DX ,D 2A0 2 2

( 3 f 5g )( X ) 3 f ( X ) 5g( X ) 3AX 5BX ( 3A 5B )X1 0 5

EX ,E 3A 5B0 2 3

+ = + = + = +

−⎛ ⎞= = + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

− = − = − = −

⎛ ⎞= = − = ⎜ ⎟−⎝ ⎠


Έστω οι απεικονίσεις µε τύπους 3 2 2f : ,g :→ → 2

2

x2x x y

f ( ) ,g( )yy z y x

z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι απεικονίσεις . f g ,g f

Λύση Η δεν ορίζεται. Για την , έχουµε: µε τύπο f g g f 3g f : →

2x y z( g f )( X ) g( f ( X )) g( )

y z 2x+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2ος τρόπος

Επειδή

2 0 0 0 1f ( X ) AX ,A ,g( X ) BX ,B

0 1 1 1 0( g f )( X ) g( f ( X )) g( AX ) BAX

0 1 1CX ,C BA

2 0 0

⎛ ⎞ ⎛= = = =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝= = =

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞⎟⎠

3

Ασκήσεις 8.1

1) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές: 3f : →

(1) ( )( ) ( )T Tf x y z y z 0=


(2) ( )( ) ( )T Tf x y z z y x= −

(3) ( )( ) ( )TTf x y z x z 0= −

(4) ( )( ) ( )T Tf x y z x 1 z 0= −

(5) ( )( ) ( )T Tf x y z x y z 0= +

(6) ( )( ) ( )T Tf x y z x 2 y 3z x z x y= − + − − −

2) ∆ίνεται ένας τετραγωνικός µη µηδενικός πίνακας n nA M ( )×∈ . Να εξετάσετε αν

οι παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές. A n n n nT : M ( ) M ( )× ×→

(1) AT ( X ) XA AX= −

(2) 2 2AT ( X ) XA AX= −

3) Να εξετάσετε αν η παρακάτω απεικόνιση είναι γραµµική

n n 1f : [ x ] [ x+→ ] µε τύπο ( )f p( x ) 1 xp( x )= +

4) Έστω η απεικόνιση που ορίζεται από τη σχέση nI : [ x ] →

( )1

0I p( x ) p( x )dx= ∫ ,

να δείξετε ότι είναι γραµµική.

Απαντήσεις / Υποδείξεις 8.1

1)

(1), (2), (5), (6) Είναι γραµµικές [χρησιµοποιήστε τον ορισµό 8.1.1, βλ. παράδειγµα

8.1.13 1)].(3), (4) δεν είναι γραµµικές (χρησιµοποιήστε το θεώρηµα 8.1.3, βλ.

παράδειγµα 8.1.4)

2)

(1) Είναι γραµµική, βλ παράδειγµα 8.1.13 2).

(2) ∆εν είναι γραµµική, (βλ. Θεώρηµα 8.1.3)

3) ∆εν είναι γραµµική, βλ. Θεώρηµα 8.1.3

4) Είναι γραµµική (χρησιµοποιήστε ιδιότητες του ολοκληρώµατος).


8.2 Πυρήνας και εικόνα

Θα ορίσουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα

µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς

ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές

απεικονίσεις .

8.2.1 Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας)

1) Ο πυρήνας µιας γραµµικής απεικόνισης Kerf f :V W→ είναι το σύνολο των

διανυσµάτων του V που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του W . ∆ηλαδή

{ }WKerf v V , f ( v ) 0 V= ∈ = ⊆ .

2) Υπενθυµίζουµε ότι η εικόνα Im f µιας απεικόνισης αποτελείται από τα διανύσµατα

τα οποία έχουν πρότυπο, δηλαδή τα στοιχεία του πεδίου τιµών για τα οποία

υπάρχει έτσι ώστε .

w W∈

v V∈ w f ( v )=

{ }Im f w W , v V ,w f ( v ) W= ∈ ∃ ∈ = ⊆



Έστω η γραµµική απεικόνιση

( )T2f : , x y 3x→ − 2 y Θα αναζητήσουµε : α) Τα διανύσµατα που αποτελούν τον πυρήνα Kerf της . ∆ηλαδή, τα διανύσµατα f

( T)X x y= του που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του . Επειδή 2

23x 2 y 0 y x3

− = ⇔ =

τα διανύσµατα του πυρήνα είναι το σύνολο

( )T T

T 2 2 2 2x y / y x x x ,x x 1 ,x3 3 3

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛∈ = = ∈ = ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎬

⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Παρατηρούµε ότι ο πυρήνας της είναι ο µονοδιάστατος διανυσµατικός υπόχωρος

του που παράγεται από το διάνυσµα

f

2T21

3⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ και φυσικά και από κάθε

συγγραµµικό του όπως το διάνυσµα ( ) T3 2


β) Τα διανύσµατα του πεδίου τιµών που ανήκουν στην εικόνα Im f . ∆ηλαδή, τα

διανύσµατα του πεδίου τιµών τα οποία έχουν πρότυπα. Εποµένως, αναζητούµε τους

πραγµατικούς αριθµούς που γράφονται στην µορφή 3x 2 y,( x, y )− ∈ .

Επειδή κάθε πραγµατικός αριθµός γράφεται z 2z zz 3 23 2

⎛ ⎞ ⎛= −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠συµπεραίνουµε ότι

η εικόνα της είναι το . (Παρατηρήστε ότι το άθροισµα των διαστάσεων του

πυρήνα και της εικόνας µας δίνουν την διάσταση του πεδίου ορισµού της γραµµικής

απεικόνισης).

f


Έστω

D : A A→

η γραµµική απεικόνιση του παραδείγµατος 7 της 8.1.2.

Ο πυρήνας της είναι: D

{ } { } { }/KerD f A / D( f ) 0 f A / f 0 c / c= ∈ = = ∈ = = ∈ = ,

διότι, αν µια παραγωγίσιµη στο συνάρτηση έχει µηδενική παράγωγο τότε η

συνάρτηση είναι σταθερή.

Η εικόνα της είναι D

{ } { }/Im f D( f ), f A f , f A= ∈ = ∈

δηλαδή µια συνάρτηση του Α ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης αν, και µόνο αν

µπορεί να γραφεί σαν παράγωγο µιας άλλης συνάρτησης

g

f του Α ( ). /g f=

Εποµένως, πρόκειται για τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχει παράγουσα ( ή

αρχική). Από την Ανάλυση γνωρίζουµε ότι κάθε συνεχής στο συνάρτηση έχει

παράγουσα και εποµένως το πεδίο τιµών είναι το Α. Η απεικόνιση είναι επί του Α.


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση 2 3f : →

µε τύπο

x yx

f x yy

y

+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠


α) Θα βρούµε τον πυρήνα της Kerf f

Παρατηρούµε ότι η f γράφεται

1 1 1 1x x

f ( X ) f ( ) 1 1 AX , A 1 1y y

0 1 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−

Επειδή ο πυρήνας αποτελείται από τα διανύσµατα του πεδίου ορισµού που

απεικονίζονται στο µηδενικό διάνυσµα του πεδίου τιµών, αρκεί να λύσουµε το

οµογενές γραµµικό σύστηµα

x y 0X Kerf f ( X ) O AX O x y 0

y 0

+ =⎧⎪∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ − =⎨⎪ =⎩

Αυτό το σύστηµα έχει µοναδική λύση x y 0= = , άρα το µηδενικό διάνυσµα

είναι το µόνο στοιχείο του πυρήνα. ∆ηλαδή ο πυρήνας είναι ο τετριµµένος

διανυσµατικός υπόχωρος του .

( )T0 0

2

( ){ }TKerf 0 0=

β) Θα βρούµε την εικόνα της Im f της f

Επειδή 2Y Im f X :Y f ( X∈ ⇔ ∃ ∈ = )

και επειδή

x y 1 1x

f ( X ) f ( ) x y x 1 y 1y

y 0

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1

⎞⎟− ⎟⎟⎠

)

συµπεραίνουµε ότι

2

1 1x

Y Im f X :Y x 1 y 1y

0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∈ ⇔ ∃ = ∈ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

που σηµαίνει ότι ένα διάνυσµα του πεδίου τιµών ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης

µόνο όταν µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων

( ) (T T1 2u 1 1 0 ,u 1 1 1= = −


∆ηλαδή το Y ανήκει στην εικόνα µόνο όταν ανήκει στον χώρο που παράγεται από

αυτά τα διανύσµατα. Εποµένως, η εικόνα παράγεται από τα διανύσµατα που

προφανώς είναι γραµµικά ανεξάρτητα και εποµένως αποτελούν µια βάση της εικόνας.

1 2u ,u

Κατά συνέπεια η εικόνα παράγεται από τις στήλες του πίνακα Α.

1 2Im f span( u ,u )= και dim(Im f ) 2=


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση

4 3

aa b

bf : , b

ca d

d

⎛ ⎞

c+⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟→ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

α) Να βρεθεί ο πυρήνας της

Λύση Αρκεί να λύσουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα

a b 0b c 0a d 0

+ =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

Το προηγούµενο σύστηµα είναι ισοδύναµο µε

a bb c

a d

= −⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

οπότε ο πυρήνας αποτελείται από τα διανύσµατα

b 1b 1

b ,( bb 1b 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

∆ηλαδή ο πυρήνας παράγεται από το διάνυσµα . ( )T1 1 1 1−

Εποµένως

dim( Kerf ) 1=

β) Να βρεθεί η εικόνα της f .


Λύση

Επειδή

aa b 1 1 0 0

bf b c a 0 b 1 c 1 d 0

ca d 1 0 0 1

d

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − = + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

η εικόνα παράγεται από τα διανύσµατα

1 2 3 4

1 1 0u 0 ,u 1 ,u 1 ,u 0

1 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1

που, αφού ανήκουν σε τρισδιάστατο διανυσµατικό χώρο είναι γραµµικώς

εξαρτηµένα.

Επειδή η ορίζουσα που σχηµατίζουν τα διανύσµατα είναι διάφορη του

µηδενός

1 2 3u ,u ,u

1 1 01 0

0 1 1 1 01 1

1 0 0− = = −

−≠

τα είναι µια βάση της εικόνας. Εποµένως 1 2 3u ,u ,u

dim(Im f ) 3= .


1) Μπορούµε να εξετάσουµε την γραµµική ανεξαρτησία των

1 2 3 4

1 1 0u 0 ,u 1 ,u 1 ,u 0

1 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1

κάνοντας γραµµοπράξεις στον πίνακα που έχει ως γραµµές αυτά τα διανύσµατα όπως

είδαµε στο κεφάλαιο 5.

Πράγµατι,

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 00 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼ ∼−

Άρα τα τρία πρώτα διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. 1 2 3u ,u ,u


2) Στα προηγούµενα παραδείγµατα παρατηρήσαµε ότι το άθροισµα των διαστάσεων

του πυρήνα και της εικόνας µας δίνουν την διάσταση του πεδίου ορισµού της

γραµµικής απεικόνισης.

3) Η διάσταση της εικόνας ισούται µε την τάξη του πίνακα που προκύπτει από τον

τύπο της απεικόνισης.

▲

Στα προηγούµενα παραδείγµατα είδαµε ότι ο πυρήνας και η εικόνα µιας γραµµικής

απεικόνισης είναι διανυσµατικοί υποχώροι του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών

αντίστοιχα. Στην επόµενη πρόταση το αποδεικνύουµε για κάθε γραµµική απεικόνιση.

8.2.3 Θεώρηµα (∆οµή πυρήνα και εικόνας)

Αν f :V W→ µια γραµµική απεικόνιση τότε:

1) ο πυρήνας της f είναι διανυσµατικός υπόχωρος του V

2) η εικόνα της f είναι διανυσµατικός υπόχωρος του W

Απόδειξη

1)Επειδή V Wf (0 ) 0= , το µηδενικό στοιχείο του V ανήκει στον πυρήνα, άρα ο

πυρήνας είναι ένα µη κενό σύνολο.

Αν και u,v Kerf∈ λ∈ , τότε u v Kerf+ ∈ και u K er fλ ∈ διότι

W W Wf ( u v ) f ( u ) f ( v ) 0 0 0+ = + = + = . Και W Wf ( u ) f ( u ) 0 0λ λ λ= = =

Εποµένως το σύνολο είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του

βαθµωτού πολλαπλασιασµού και άρα είναι διανυσµατικός υπόχωρος του V .

Kerf

2) Επειδή V Wf (0 ) 0= , το µηδενικό στοιχείο του W ανήκει στην εικόνα άρα η εικόνα

είναι ένα µη κενό σύνολο.

Αν και u,v Im f∈ λ∈ , τότε u v Im f+ ∈ και u Im fλ ∈ διότι επειδή τα στοιχεία

και ανήκουν στην εικόνα υπάρχουν u v / /u ,v V∈ έτσι ώστε .

Εποµένως . ∆ηλαδή το

/ /u f ( u ),v f ( v= = )// / /u v f ( u ) f ( v ) f ( u v )+ = + = + u v+ είναι η εικόνα του

που είναι στοιχείο του V . Οµοίως το /u v+ / uλ είναι η εικόνα του αφού

. Άρα η εικόνα της

/u Vλ ∈/u f ( u ) f ( uλ λ λ= = / ) f είναι διανυσµατικός υπόχωρος του W .

■


Στην επόµενη πρόταση αποδεικνύουµε ότι ο πυρήνας χαρακτηρίζει τις 1-1 γραµµικές

απεικονίσεις.


Αν f :V W→ γραµµική απεικόνιση τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες:

(1) Η f είναι 1-1

(2) { }VKerf 0=

Απόδειξη

( 1 ) ( 2 )⇒ : Υποθέτουµε ότι η f είναι 1-1. Έστω v Kerf∈ , τότε Wf ( v ) 0= που

γράφεται Vf ( v ) f (0 )= , εποµένως Vv 0= . Άρα { }VKerf 0= .

( 2 ) (1)⇒ : Υποθέτουµε ότι { }VKerf 0= . Έστω f ( u ) f ( v )= , λόγω της

γραµµικότητας της f η προηγούµενη σχέση γράφεται

W Wf ( u ) f ( v ) f ( u ) f ( v ) 0 f ( u v ) 0 u v Kerf= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − ∈

Εποµένως, και η ) η Vu v 0 u v− = ⇔ = f είναι 1-1.

■

Παράδειγµα

Η απεικόνιση του 2f : → 3 παραδείγµατος 3 της 8.2.2 είναι ένα προς ένα διότι

( ){ }TKerf 0 0= .

▲

Είδαµε στο ίδιο παράδειγµα ότι dim(Im f ) 2= . Παρατηρούµε ότι 2dim dim( Kerf ) dim(Im f )= +

Στο παράδειγµα 4 της 8.2.2 θεωρήσαµε µια γραµµική απεικόνιση και

δείξαµε ότι και

4 3f : →

dim( Kerf ) 1= dim(Im f ) 3= , άρα και εδώ παρατηρούµε ότι ισχύει 4dim dim( Kerf ) dim(Im f )= +

Στο ίδιο παράδειγµα, µια βάση του πυρήνα είναι το διάνυσµα

( )Tu 1 1 1 1= −

και µια βάση της εικόνας αποτελείται από τα διανύσµατα

( ) ( ) (T T1 2 3w 1 0 1 ,w 1 1 0 ,w 0 1 0= = = − )T


Χρησιµοποιώντας τις προηγούµενες βάσεις µπορούµε να κατασκευάσουµε µια βάση

του πεδίου ορισµού. Πράγµατι, ας αναζητήσουµε διανύσµατα του που

έχουν ως εικόνες τα αντίστοιχα. Εύκολα βρίσκουµε ότι µπορούµε να

επιλέξουµε

1 2 3v ,v ,v 4

1 2 3w ,w ,w

( ) ( ) ( )T T1 2 3v 1 0 0 0 ,v 0 1 0 0 ,v 0 0 1 0= = = T

Επειδή τα διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα, το σύνολο 1 2 3u,v ,v ,v

{ }1 2 3u,v ,v ,v είναι µια βάση του . Στην ιδέα αυτή της κατασκευής µιας βάσης του

πεδίου ορισµού από µια βάση του πυρήνα και µια βάση της εικόνας στηρίζεται η

απόδειξη του επόµενου σηµαντικού θεωρήµατος.

4

8.2.5 Θεώρηµα ( της διάστασης)

Αν οι διανυσµατικοί χώροι V και W έχουν πεπερασµένη διάσταση και f :V W→

γραµµική απεικόνιση τότε:

dimV dim( Kerf ) dim(Im f )= +

Απόδειξη

Αν η εικόνα αποτελείται µόνο από το µηδενικό διάνυσµα , τότε και το

θεώρηµα είναι προφανές. Αν

Kerf V=

{ }WIm f 0≠ έστω dim Im f s 0= > και { }1w ,...,ws µία

βάση της , οπότε υπάρχουν 1 sv ,...,v V∈ έτσι ώστε i if ( v ) w ,( i 1,2,...,s )= = .

Αν ο πυρήνας δεν αποτελείται µόνο από το µηδενικό διάνυσµα θα υπάρχει µια βάση

του, έστω η { }1 qu ,...,u . Για να αποδείξουµε το θεώρηµα αρκεί να δείξουµε ότι η

{ }1 q 1 su ,...,u ,v ,...,v είναι µια βάση του V .

Έστω , επειδή v V∈ f ( v ) Im f∈ υπάρχουν αριθµοί 1 sx ,...,x έτσι ώστε

1 1 s sf ( v ) x w ... w x= + +

Επειδή i if ( v ) w ,( i 1,2,...,s )= = , η προηγούµενη σχέση γράφεται

1 1 s sf ( v ) x f ( v ) ... x f ( v )= + +

και επειδή η f είναι γραµµική καταλήγουµε στην σχέση

1 1 s sf ( v ) f ( x v ... x v )= + +

Εποµένως

1 1 s s Wf ( v x v ... x v ) 0− + + =


Άρα

1 1 s sv x v ... x v Kerf− + + ∈

Επειδή { }1 qu ,...,u είναι µια βάση του πυρήνα υπάρχουν αριθµοί τέτοιοι ώστε 1y ,..., ys

1 1 s s 1 1 q qv x v ... x v y u ... y u− + + = + +

Εποµένως

1 1 s s 1 1 q qv x v ... x v y u ... y u= + + + + +

∆ηλαδή το σύνολο { }1 q 1 su ,...,u ,v ,...,v παράγει τον . Θα δείξουµε τώρα την

γραµµική ανεξαρτησία.

V

Έστω

1 1 s s 1 1 q q Vx v ... x v y u ... y u 0+ + + + + = ( )∗

επειδή { }1 qu ,...,u είναι µια βάση του πυρήνα, i Wf ( u ) 0= , άρα

1 1 s s 1 1 q q V

1 1 s s 1 1 q q W

1 1 s s W

f ( x v ... x v y u ... y u ) f (0 )

x f ( v ) ... x f ( v ) y f ( u ) ... y f ( u ) 0

x f ( v ) ... x f ( v ) 0

+ + + + + = ⇒

+ + + + + = ⇒

+ + =

Όµως i if ( v ) w ,( i 1,2,...,s )= = , άρα η προηγούµενη σχέση γίνεται

1 1 s s Wx w ... x w 0+ + =

Οπότε, επειδή τα { }1w ,...,ws είναι γραµµικά ανεξάρτητα, προκύπτει

1 2 sx x ... x 0= = = =

Εποµένως η σχέση γίνεται ( )∗ 1 1 q q Vy u ... y u 0+ + = και επειδή { }1 qu ,...,u είναι µια

βάση του πυρήνα προκύπτει ότι 1 qy ... y 0= = = , άρα

1 2 s 1 qx x ... x y ... y 0= = = = = = =

Τελικά αποδείξαµε ότι η { }1 q 1 su ,...,u ,v ,...,v όπως πριν είναι µια βάση του V ,

εποµένως

dimV q s dim( Kerf ) dim(Im f )= + = +

Στην αρχή της απόδειξης υποθέσαµε ότι ο πυρήνας δεν αποτελείται µόνο από το

µηδενικό διάνυσµα. ∆ηλαδή dim Kerf 0≠ . Αν dim Kerf 0= η απόδειξη γίνεται όπως

πριν, µόνο που παραλείπουµε ότι έχει σχέση µε την βάση { }1 qu ,...,u του πυρήνα.


Άρα σε κάθε περίπτωση :

dimV dim( Kerf ) dim(Im f )= + .

■

Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της διάστασης µπορούµε να αποδείξουµε το εξής:

8.2.6 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισοµορφισµού)

Αν οι διανυσµατικοί χώροι V και W έχουν την ίδια διάσταση n και f :V W→ µια

γραµµική απεικόνιση τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες:

(1) Η f είναι 1-1

(2) Η f είναι επί

(3) Η f είναι 1-1 και επί (δηλαδή ένας ισοµορφισµός)

(4) Η εικόνα µιας βάσης του V είναι µια βάση του W , δηλαδή αν { }1 nv ,...,v είναι µια

βάση του V τότε { }1 nf ( v ),..., f ( v ) είναι µια βάση του W .

Απόδειξη

( ) ( )1 3⇒ : Έστω ότι η f είναι 1-1, εποµένως { }VKerf 0= και από το προηγούµενο

θεώρηµα προκύπτει ότι

dim(Im f ) dimV n dimW= = =

εποµένως Imf W= και έτσι η f είναι επί και κατά συνέπεια 1-1 και επί

(ισοµορφισµός).

( ) ( )2 ⇒ 3 : Αν η f είναι επί, τότε Imf W= . Εποµένως

dim(Im f ) dimW n dimV dim( Kerf ) dim(Im f )= = = = +

Άρα

{ }Vdim( Kerf ) 0 Kerf 0= ⇔ =

∆ηλαδή η f είναι 1-1.

( ) ( )3 ⇒ 1 και ( ) : Είναι προφανές. ( )3 2⇒

( ) ( )1 4⇒ : Έστω ότι η f είναι 1-1, εποµένως { }VKerf 0= . Αν { }1 nv ,...,v είναι µια

βάση του V τότε τα διανύσµατα 1 nf ( v ),..., f ( v ) είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Αν

1 1 2 2 n n Wf ( v ) f ( v ) ... f ( v ) 0λ λ λ+ + + =

τότε από την γραµµικότητα της f προκύπτει


1 1 2 2 n n Wf ( v v ... v ) 0λ λ λ+ + + =

Εποµένως

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n Vv v ... v Kerf v v ... v 0λ λ λ λ λ λ+ + + ∈ ⇒ + + + =

Επειδή { }1 nv ,...,v είναι µια βάση του V από την προηγούµενη σχέση προκύπτει

1 2 n... 0λ λ λ= = = =

Εποµένως, τα διανύσµατα 1 nf ( v ),..., f ( v ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα και επειδή

αποτελούν µια βάση του V . dimV n=

( ) ( )4 ⇒ 2 : Επειδή Im f W⊆ αρκεί να δείξουµε ότι . Έστω και W Im f⊆ w W∈

{ }1 nv ,...,v µια βάση του V , τότε { }1 nf ( v ),..., f ( v ) είναι µια βάση του W , εποµένως

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nw f ( v ) f ( v ) ... f ( v ) w f ( v v ... v ) w Im fλ λ λ λ λ λ= + + + ⇒ = + + + ⇒ ∈

Άρα Im f W= που σηµαίνει ότι η f είναι επί.

■

8.2.7 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισόµορφων διανυσµατικών χώρων)

∆ύο διανυσµατικοί χώροι V και έχουν την ίδια διάσταση αν και µόνο αν είναι

ισόµορφοι.

W

Απόδειξη

Αν . Έστω dimV dimW n= = { }1 nv ,...,v µια βάση του V και { }1 nw ,...,w µια βάση του

. Σύµφωνα µε το W θεώρηµα 8.1.10 υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση

f :V W→ έτσι ώστε j jf ( v ) w ,( j 1,2,...,n )= = . Σύµφωνα µε το προηγούµενο

θεώρηµα η απεικόνιση αυτή είναι ένας ισοµορφισµός (απεικονίζει βάση σε βάση) και

άρα οι διανυσµατικοί χώροι V και W είναι ισόµορφοι.

Αντίστροφα, αν υποθέσουµε ότι οι χώροι είναι ισόµορφοι, τότε υπάρχει ένας

ισοµορφισµός f :V W→ και όπως γνωρίζουµε ισχύουν

{ }VKerf 0= και Im f W=

Εποµένως, από το θεώρηµα της διάστασης προκύπτει

dimV dim( Kerf ) dim(Im f ) dimW= + =

■




∆ίνεται η απεικόνιση

2 2f : M ( ) M ( ),A NA→

όπου, 2M ( )είναι ο διανυσµατικός χώρος των 2 2× πινάκων µε στοιχεία από το

και ένας αντιστρέψιµος πίνακας. N 2 2×

α) Να εξετάσετε αν η απεικόνιση είναι γραµµική.

Λύση

Αν ,λ µ∈ και τότε 2A,B M ( )∈

f ( A B ) N( A B ) ( NA ) ( NB ) f ( A ) f ( B )λ µ λ µ λ µ λ µ+ = + = + = +

άρα η f είναι γραµµική.

β) Να εξετάσετε αν η f είναι ένας ισοµορφισµός.

Λύση

Θα βρούµε πρώτα τον πυρήνα της απεικόνισης. Από τον ορισµό

{ }2Kerf A M ( ),NA O= ∈ =

Επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος, δεν µπορεί να είναι ο µηδενικός άρα N

NA O A O= ⇔ =

Κατά συνέπεια { }Kerf O= και η απεικόνιση είναι ένα προς ένα.

Θα εξετάσουµε τώρα αν είναι επί. ∆ηλαδή αν κάθε 2B M ( )∈ µπορεί να γραφεί

B NA= για κάποιο . 2A M ( )∈

Επειδή 1B NA A N B−= ⇔ =

προκύπτει ότι είναι το πρότυπο του 1N B− B και άρα η f είναι επί. Κατά συνέπεια

είναι ένας ισοµορφισµός.

γ) Αν

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0E ,E ,E ,E

0 0 0 0 1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η συνήθης βάση του 2M ( )να βρείτε µια βάση της εικόνας της f .

Λύση


Επειδή η f είναι ένας ισοµορφισµός, η εικόνα µιας βάσης θα είναι επίσης βάση

(θεώρηµα 8.2.6) εποµένως αρκεί να επιλέξουµε ένα αντιστρέψιµο πίνακα και να

βρούµε τις εικόνες

N

1 1 2 2 3 3 4 4f ( E ) NE , f ( E ) NE , f ( E ) NE , f ( E ) NE= = = =

Για παράδειγµα, αν επιλέξουµε

1 2N

0 3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε η νέα βάση είναι

1 2

3 4

1 2 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1NE ,NE

0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0

1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 0 0NE ,NE

0 3 1 0 3 0 0 3 0 1 0 3

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⎞⎟⎠


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση

2 2f : M ( ) M ( ),A NA→

όπου, 2M ( )είναι ο διανυσµατικός χώρος των 2 2× πινάκων µε στοιχεία από το

και

1 1N

2 2−⎛ ⎞

= ⎜−⎝ ⎠⎟ , (µη αντιστρέψιµος)

α) Να βρεθεί µια βάση της εικόνας Im f

Λύση

Αν τότε 2

x yA M

z ω⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2x y 1 1 x y x z y

f ( A ) NA f ( )z 2 2 z 2x 2z 2y

ωω ω ω

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

− ⎞⎟+ ⎠

Έστω

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0E ,E ,E ,E

0 0 0 0 1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η συνήθης βάση του 2M ( ) . Επειδή


1 2 3 4

1 2 3 4

x yf ( A ) f ( ) f ( xE yE zE E )

z

xf ( E ) yf ( E ) zf ( E ) f ( E )

ωω

ω

⎛ ⎞= = + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + + +

η εικόνα παράγεται από τους πίνακες

1 2 3 4f ( E ), f ( E ), f ( E ), f ( E )

Από τον ορισµό της απεικόνισης

1 2 3 4

1 0 0 1 1 0 0 1f ( E ) , f ( E ) , f ( E ) , f ( E )

2 0 0 2 2 0 0 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Τα παραπάνω διανύσµατα παράγουν την εικόνα και το µέγιστο πλήθος των

γραµµικώς ανεξάρτητων από αυτά αποτελεί µια βάση. Εποµένως µια βάση της

εικόνας είναι η εξής: { }1 2f ( E ), f ( E ) .

β) Να βρεθεί µια βάση του πυρήνα Kerf

Λύση

Από το θεώρηµα της διάστασης προκύπτει ότι

2dim Kerf dim M ( ) dim Im f 4 2 2= − = − =

Επειδή

x z 0x z y 0 0 y 0 x

f ( A ) O2x 2z 2y 2 0 0 2x 2z 0 y

2y 2 0

ω ω zω ω

ω

− =⎧⎪− − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪= ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − + − + = =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− + =⎩

=⎧

⎩

( )

ο πίνακας

2

x yA M

z ω⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

ανήκει στον πυρήνα της απεικόνισης αν και µόνο αν είναι της µορφής

x yx y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Επειδή


x y 1 0 0 1 0 0 0x y x y

0x y 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 1x y

1 0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

οι πίνακες

1 0 0 1B ,C

1 0 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

παράγουν τον πυρήνα. Όµως είναι και γραµµικώς ανεξάρτητοι αφού από την σχέση

aB bC O+ = προκύπτει

a b 0 0a b 0

a b 0 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Τελικά, µια βάση του πυρήνα είναι { }B,C .


Έστω V , διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης µε και W dimV dimW>

f :V W→ µια γραµµική απεικόνιση. Να δείξετε ότι ο πυρήνας της δεν µπορεί να

είναι µόνο το µηδενικό διάνυσµα του V ( δηλαδή η απεικόνιση δεν µπορεί να είναι

ένα προς ένα).

Λύση

Γνωρίζουµε ότι

dimV dim( Kerf ) dim(Im f )= +

Αν { }VKerf 0= , εποµένως dim( Kerf ) 0=

dimV dim(Im f ) dimW= ≤

που είναι άτοπο.


1) Έστω V ο διανυσµατικός χώρος των συναρτήσεων που έχουν

παραγώγους κάθε τάξης και

f : →

//D :V V , f f→

η απεικόνιση που σε κάθε συνάρτηση αντιστοιχεί την παράγωγο δεύτερης τάξης .

Να δείξετε ότι η είναι γραµµική και να βρεθεί ο πυρήνας της. D


2) Να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου των τετραγωνικών 3 3× πινάκων για τους

οποίους ισχύει tr .

A

( A ) 0=

3) Να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου του που αποτελείται από τα διανύσµατα 4

( T)X a b c d= για τα οποία ισχύει

a 2b 0+ = και c 15d 0− =

4) Έστω n nM (× ) ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων και

n n n nf : M ( ) M ( )× ×→

η απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση

( )T1f ( A ) A A2

= +

α) Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική.

β) Να δείξετε ότι ο πυρήνας της αποτελείται από τους αντισυµµετρικούς πίνακες.

γ) Να δείξετε ότι η εικόνα της αποτελείται από τους συµµετρικούς πίνακες.

δ) Γνωρίζοντας ότι η διάσταση του χώρου των συµµετρικών πινάκων είναι n( n 1)2+ ,

να βρείτε την διάσταση και µια βάση του χώρου των αντισυµµετρικών πινάκων.

5) Έστω U , υποχώροι του διανυσµατικού χώρου V , στόχος της άσκησης είναι η

απόδειξη της σχέσης

W

dimU dimW dim(U W ) dim(U W )+ = + + ∩ ( )∗

Έστω η απεικόνιση

f :U W V ,( u,w ) u w× → −

α) Να δείξετε ότι είναι γραµµική.

β) Να δείξετε ότι η εικόνα της f είναι : Im f U W= +

γ) Να δείξετε ότι { }Kerf ( u,u ) U W : u U W= ∈ × ∈ ∩ και να βρεθεί µια βάση του.

δ) Να αποδείξετε τη σχέση ( )∗



1) Να χρησιµοποιήσετε τον ορισµό της γραµµικότητας, ιδιότητες παραγώγων και το

γεγονός ότι αν µια συνάρτηση έχει µηδενική παράγωγο σε κάποιο διάστηµα τότε

είναι σταθερή.

2)και 3) Να κατασκευάσετε µια γραµµική απεικόνιση µε πυρήνα το σύνολο του

οποίου ζητάµε την διάσταση και χρησιµοποιήστε το θεώρηµα 8.2.5 ή

χρησιµοποιείστε συστήµατα.

4) α) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της γραµµικότητας και ιδιότητες πινάκων.

β) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό του πυρήνα και τον ορισµό του αντισυµµετρικού

πίνακα.

γ) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της εικόνας και τον ορισµό του συµµετρικού πίνακα

δ) Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 8.2.5

5) β) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της απεικόνισης και δείξτε την ισότητα των δύο

συνόλων.

γ) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό του πυρήνα και δείξτε την ισότητα των δύο συνόλων.

δ) Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 8.2.5


8.3 Γραµµικές Απεικονίσεις και Γραµµικά Συστήµατα

Στα παραδείγµατα 8.2.2 2) και 3) είδαµε ότι αν µια γραµµική απεικόνιση είναι της

µορφής , τότε ο πυρήνας της προκύπτει από την επίλυση του οµογενούς

γραµµικού συστήµατος και η εικόνα της παράγεται από τις στήλες του .

AL

AX 0= A

Επειδή το µέγιστο πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών ενός πίνακα ισούται

µε την τάξη του, προκύπτει ότι η τάξη του είναι ίση µε την διάσταση της εικόνας

της γραµµικής απεικόνισης. Εργαζόµενοι όπως στα παραδείγµατα της παραγράφου

8.2 µπορούµε να αποδείξουµε ότι οι προηγούµενες παρατηρήσεις ισχύουν και στην

γενική περίπτωση. ∆ηλαδή:

A

Αν Α ένας m πίνακας µε στοιχεία από το , n× F

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και n m

AL : F F ,X AX→

η αντίστοιχη γραµµική απεικόνιση, τότε ισχύει:

8.3.1 Θεώρηµα ( Πυρήνας και εικόνα της γραµµικής απεικόνισης ) AL

(1) Ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς

γραµµικού συστήµατος

AL

AX O=

(2) η εικόνα της είναι ο υπόχωρος του που παράγεται από τις στήλες του πίνακα

.

AL mF

A

(3) Η τάξη του πίνακα A ισούται µε την διάσταση της εικόνας του rank( A ) AL .

(Η διάσταση της εικόνας λέγεται και τάξη ή βαθµός της γραµµικής απεικόνισης).

8.3.2 Θεώρηµα (∆ιάσταση του χώρου λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)

Αν , τότε η διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήµατος είναι

rank( A ) r= AX O=

n r−

Απόδειξη


Επειδή ο χώρος λύσεων του συστήµατος AX O= είναι ο και ,

από το θεώρηµα της διάστασης έχουµε

AKerL Adim(Im L ) r=

nA A Adim F dim( KerL ) dim(Im L ) dim( KerL ) n r= + ⇔ = −

■

Θα µελετήσουµε τώρα το σύνολο των λύσεων ενός γραµµικού συστήµατος.


Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα

x 3z 3y 2z 4+ =⎧

⎨ − =⎩ ( )∗

Οι λύσεις του είναι της µορφής

x 3 3z 3 3y 4 2z 4 z 2 ,( zz z 0 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

Οι λύσεις του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος

x 3z 0y 2z 0+ =⎧

⎨ − =⎩ ( )∗∗

είναι της µορφής

x 3z 3y 2z z 2 ,( zz z 1

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

Παρατηρούµε επίσης ότι το

0

3X 4

0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι µια λύση του συστήµατος ( )∗ . ∆ηλαδή κάθε λύση του αρχικού συστήµατος

γράφεται σαν άθροισµα µιας λύσης 0X και µιας λύσης του αντίστοιχου οµογενούς

συστήµατος. Θα αποδείξουµε ότι αυτό ισχύει για κάθε γραµµικό σύστηµα. ∆ηλαδή

ότι ισχύει το εξής θεώρηµα:

8.3.3 Θεώρηµα ( Σύνολο λύσεων γραµµικού συστήµατος)

Έστω 0X µια λύση του συστήµατος AX B= . Το σύνολο των λύσεων του συστήµατος

είναι


{ }0 A 0S X KerL X Y ,Y KerL= + = + ∈ A .

∆ηλαδή οι λύσεις του είναι της µορφής 0X Y+ , όπου Y λύση του αντίστοιχου

οµογενούς συστήµατος.

Απόδειξη

Έστω 0 0 AX Y X KerL+ ∈ + , τότε

0 0A( X Y ) AX AY B O B+ = + = + =

Άρα 0X Y+ είναι λύση του κατά συνέπεια AX B= 0X Y S+ ∈ , δηλαδή

0 AX KerL S+ ⊆ ( )∗

Αντίστροφα, αν Z S∈ , τότε

0 0 0A( Z X ) AZ AX B B O Z X KerL− = − = − = ⇒ − ∈ A

Εποµένως, αν θέσουµε 0Z X Y− = , η λύση Z S∈ γράφεται

0 AZ X Y ,(Y KerL )= + ∈

και κατά συνέπεια 0 AZ X KerL∈ + , δηλαδή

0 AS X KerL⊆ + ( )∗∗

Από τις σχέσεις και ( προκύπτει ότι ( )∗ )∗∗

{ }0 A 0S X KerL X Y ,Y KerL= + = + ∈ A

■

Παράδειγµα

Να βρεθεί το σύνολο των λύσεων του συστήµατος

2x y z 1y z 0

+ + =⎧⎨ − =⎩

Λύση

Το σύστηµα έχει µια προφανή λύση την 1x , y z 02

= = = .

Αρκεί να βρούµε το σύνολο λύσεων του οµογενούς συστήµατος. Θα βρούµε αρχικά

τη διάσταση του πυρήνα της , όπου AL

2 1 1A

0 1 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Η τάξη του είναι 2, εποµένως A


3A Adim( KerL ) dim( ) dim( L ) 3 2 1= − = − =

Κατά συνέπεια, ο διανυσµατικός χώρος των λύσεων του οµογενούς συστήµατος είναι

µονοδιάστατος και µια προφανής του λύση είναι : x 1, y z 1= − = = .

Εποµένως το σύνολο των λύσεων του αρχικού συστήµατος είναι:

A

1 112 2

S 0 KerL 0 t 1 ,t0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧ − ⎫⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟= + = + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση 3 3f : ,X→R R AX , όπου

1 2 2A 3 1 1

5 3 5

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(α) Υπολογίστε την εικόνα Tf [( 2, 1,2 ) ]− . Βρείτε έναν ‘τύπο’ για την f.

(β) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση για καθέναν από τους υπόχωρους και Kerf

3Im f f ( )= R .

(γ) Είναι η απεικόνιση f ένα προς ένα ή επί;

Λύση

α) Χρησιµοποιώντας ότι η f είναι γραµµική και τον ορισµό πίνακα γραµµικής

απεικόνισης ως προς µια βάση, έχουµε

2 2 1 2 2 2 1 2 2 4f 1 A 1 3 1 1 1 2 3 1 2 1 9

2 2 5 3 5 2 5 3 5 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− = − = − − = − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 7

⎞⎟⎟⎟⎠

Όπως πριν έχουµε

1 2 2 x 1 2 2 x 2 y 2zf ( X ) AX 3 1 1 y x 3 y 1 z 1 3x y z

5 3 5 z 5 3 5 5x 3y 5z

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = − = + − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

β) Για τον πυρήνα λύνουµε το σύστηµα


1 2 2 03 1 1 05 3 5 0

xAX O y

z

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⇔ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Χρησιµοποιώντας γραµµοπράξεις βρίσκουµε ότι οι λύσεις είναι

T

T 4 5( x, y,z ) z, z,z ,7 7− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠όπου z∈R .

Άρα µια βάση του πυρήνα αποτελεί το T4 5, ,1

7 7− −⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ και η διάσταση είναι 1.

Η διάσταση της εικόνας είναι

dim ( ) dim dim .3 3f Kerf 3 1 2= − = −R R =

Μια βάση αποτελούν δύο γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα

1 2 23 1 15 3 5

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

π.χ. οι πρώτες δύο.

γ) Η δεδοµένη απεικόνιση δεν είναι 1-1 αφού ο πυρήνας της δεν είναι περιέχει µόνο

το µηδενικό στοιχείο, όπως είδαµε πριν. Επίσης δεν είναι επί αφού είδαµε ότι

και άρα η εικόνα 3dim f ( ) 2 3= ≠R 3f (R )

T

είναι γνήσιο υποσύνολο του 3.R


∆ίνεται η απεικόνιση: 3 2 Tf : ,( x y z ) ( 2x y z 3x 2y 4→ + −R R z )− +

(α)Αποδείξτε ότι είναι γραµµική.

(β) Βρείτε βάσεις του πυρήνα και της εικόνας Kerf Im f της f .

Λύση

(α) Επειδή

x2x y z 2 1 1 2 1 1

x y z y3x 2 y 4z 3 2 4 3 2 4

z

⎛ ⎞+ − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

AX

η f είναι της µορφής και εποµένως είναι γραµµική. AL

(β) Για τον πυρήνα της f έχουµε:


( )TX x y z Kerf f ( X ) O AX O

2x y z 0 z 2x y3x 2y 4z 0 3x 2y 4( 2x y ) 0

11 7z 2x x z xz 2x y 2 2 ,x

11x 2y 0 11 11y x y x2 2

= ∈ ⇔ = ⇔ =

+ − = = +⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨− + = − + + =⎩ ⎩

−⎧ ⎧= − =⎪ ⎪= +⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = − −⎩ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩

R

⇔

∈

Έτσι τα στοιχεία του έχουν τη µορφή: Kerf

T T11 7 11 7x x x x 12 2 2 2− −⎛ ⎞ ⎛− =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝− ⎞

⎟⎠

µε το διάνυσµα T11 71

2 2− −⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ να αποτελεί βάση. Πρόκειται , δηλαδή για έναν

υπόχωρο του διάστασης 1. 3R

Αντίστοιχα, για την εικόνα Im f της γραµµικής απεικόνισης γνωρίζουµε ότι

παράγεται από τις στήλες του πίνακα

2 1 1A

3 2 4−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Πρόκειται δηλαδή για τον υπόχωρο του που παράγεται από τα διανύσµατα 2R

2 1 1, ,

3 2 4−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Επειδή τα διανύσµατα

2 1,

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ο χώρος που παράγουν είναι ένας υπόχωρος του

διάστασης 2, δηλαδή ο ίδιος ο . Έτσι .

2R2R 2Im f ≅


Να γράψετε τις λύσεις του συστήµατος


x y z 2 22x y z 1x 2 y 2z 3

ωωω

+ + + =⎧⎪ − − + =⎨⎪ + + − =⎩

µε την µορφή του θεωρήµατος 8.3.3

Λύση

Μια προφανής λύση του συστήµατος είναι η

x 1, y 1,z 0, 0ω= = = =

Η τάξη του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων είναι εποµένως η

διάσταση του χώρου λύσεων του οµογενούς συστήµατος είναι . Μια

προφανής λύση του οµογενούς συστήµατος είναι

A rank( A ) 3=

Adim( KerL ) 1=

x 0, y 1,z 1, 0ω= = − = =

Εποµένως το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι

1 0S 1 t 1 ,t

0 10 0

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − ∈⎨ ⎬

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭


Μπορούµε να λύσουµε το σύστηµα µε την µέθοδο των γραµµοπράξεων και να

καταλήξουµε στο σύνολο των λύσεων της προηγούµενης µορφής.


1) Να βρεθεί η διάσταση του διανυσµατικού χώρου των λύσεων των συστηµάτων:

2x 3y z 02x 3y z 0 x y z 0

a ) ,b )x y z 0 3x 4 y 0

5x y z 0

− + =⎧⎪− + = + − =⎧ ⎪

⎨ ⎨+ − = + =⎩ ⎪⎪ + + =⎩

2) Να βρεθεί ο πυρήνας και η εικόνα των γραµµικών απεικονίσεων: 3 2a ) f :

x2x 3y z

f yx y z

z

→

⎛ ⎞− +⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + −⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

και


3 4b ) f :2x 3y z

x x y zf y 3x 4 y

z 5x y z

→

− +⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


1) α) 1, β) 0, βλ. Θεώρηµα 8.3.2, 2) α) Η διάσταση του πυρήνα είναι 1 και εποµένως

η διάσταση της εικόνας είναι 2.

Μια βάση του πυρήνα είναι το διάνυσµα και µια βάση της εικόνας τα

διανύσµατα

( T2 3 5)

( ) ( )T T2 1 , 3 1−

β) Η διάσταση του πυρήνα είναι 0 και εποµένως η διάσταση της εικόνας είναι 3, µια

βάση της εικόνας δηµιουργείται από τις στήλες του πίνακα που δηµιουργεί την

απεικόνιση. Βλ. παραδείγµατα.8.3.9


8.4 Πίνακες και Γραµµικές Απεικονίσεις

Σ’ αυτή την παράγραφο θα δούµε ότι η επιλογή διατεταγµένων βάσεων στο πεδίο

ορισµού και στο πεδίο τιµών µιας γραµµικής απεικόνισης δηµιουργεί ένα πίνακα ,

έτσι ώστε αν ταυτίσουµε κάθε διάνυσµα µε αυτό των συντεταγµένων του, τότε η

απεικόνιση παίρνει την µορφή (πολλαπλασιασµός µε πίνακα ). Θα δούµε επίσης

το σηµαντικότερο αποτέλεσµα του κεφαλαίου, που είναι η ισοµορφία του χώρου των

γραµµικών απεικονίσεων και του χώρου των πινάκων. Τέλος, θα εξετάσουµε το

πρόβληµα της έκφρασης των συντεταγµένων ενός διανύσµατος ως προς διαφορετικές

βάσεις.

A

AL

Είδαµε ότι µε κάθε πίνακα µπορούµε να δηµιουργήσουµε µια µοναδική

γραµµική απεικόνιση (πολλαπλασιασµός µε Α)

m nA M ( F )×∈

n mAL : F F ,X AX→

και στα παραδείγµατα που εξετάσαµε είδαµε ότι και αντιστρόφως, για µια γραµµική

απεικόνιση n mf : F F→ , µπορούµε να βρούµε ένα µοναδικό πίνακα τύπου m n

έτσι ώστε

A ×

Af L= , δηλαδή nX F , f ( X ) AX∀ ∈ = .

Στο επόµενο θεώρηµα δίνουµε την απόδειξη της παρατήρησης αυτής.

8.4.1 Θεώρηµα ( Ύπαρξης πίνακα )

Αν n mf : F F→ γραµµική απεικόνιση τότε υπάρχει ένας µοναδικός πίνακας

έτσι ώστε m nA M ( F )×∈ Af L= , ∆ηλαδή, για κάθε nX F∈

f ( X ) AX=

Απόδειξη

Έστω { }1 2 nC e ,e ,...,e= η συνήθης διατεταγµένη βάση του , κάθε διάνυσµα nF

( )T1 2 nX x x x=

του γράφεται nF


1

21 2 n 1 1 2 2

n

x 1 0 0x 0 1 0

n nX x x ... x x e x e ... x e

x 0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Εποµένως

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf ( X ) f ( x e x e ... x e ) x f ( e ) x f ( e ) ... x f ( e )= + + + = + + +

οπότε, αν θέσουµε

11 12 1n

21 22 2n1 2 n

m1 m2 mn

a aa a

f ( e ) , f ( e ) ,....., f ( e )

a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

aa

a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

η προηγούµενη σχέση γράφεται

11 12 1n 11 12 1n 1

21 22 2n 21 22 2n 21 2 n A

m1 m2 mn m1 m2 mn n

a a a a a a xa a a a a a x

f ( X ) x x ... x AX L ( X )

a a a a a a x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + + + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

όπου

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Αν υποθέσουµε ότι υπάρχει και δεύτερος πίνακας B έτσι ώστε Bf L= , τότε για κάθε

nX F∈ θα ισχύει A Bf ( X ) L ( X ) L ( X )= = . Εποµένως και για τα διανύσµατα

της βάσης θα ισχύει 1 2 ne ,e ,...,e

A j B j j jL ( e ) L ( e ) Ae Be ,( j 1,2,...,n )= ⇔ = =

Αυτό σηµαίνει ότι οι στήλες των πινάκων είναι µία προς µία ίσες και άρα . A,B A B=

Εποµένως ο πίνακας είναι µοναδικός.

■

8.4.2 Ορισµός (Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις βάσεις)

Ο πίνακας του προηγούµενου θεωρήµατος λέγεται πίνακας της γραµµικής

απεικόνισης ως προς τις συνήθεις διατεταγµένες βάσεις

A

{ }1 nC e ,...,e= και

{ }1 mC e ,...,e∗ ∗= ∗ των χώρων και αντίστοιχα. nF mF


Για να τονίσουµε την εξάρτηση του πίνακα από τις βάσεις και την γραµµική

απεικόνιση γράφουµε ˆ ˆA ( f : C,C )∗= .

Σηµαντική παρατήρηση:

Αν συµβολίσουµε µε την στήλη του πίνακα Α τότε ic ( i 1,2,...,n )= i

i ic Ae f ( ei )= = .

∆ηλαδή η i στήλη του Α αποτελείται από την εικόνα του διανύσµατος . ie


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση µε τύπο 2f : → 3

x yx

f x yy

y

+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Για να βρούµε τον πίνακά της ως προς τις συνήθεις διατεταγµένες βάσεις του πεδίου

ορισµού και του πεδίου τιµών, υπολογίζουµε τις εικόνες if ( e ),( i 1,2,3 )= , που

αποτελούν τις στήλες του πίνακα. Οπότε

( )1 2

1 1A ( f : C,C ) f ( e ) f ( e ) 1 1

0 1

∗

⎛ ⎞⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−

Θα εξετάσουµε τώρα αν το προηγούµενο θεώρηµα ισχύει και σε τυχαίους

διανυσµατικούς χώρους πεπερασµένης διάστασης.Ας ξεκινήσουµε µε ένα

παράδειγµα:

8.4.4 Εισαγωγικό παράδειγµα

Έστω V και W δύο διανυσµατικοί χώροι µε dimV 3= και dimW 2= . { }1 2 3B v ,v ,v=

και { }1 2B w ,w∗ = διατεταγµένες βάσεις των V και W αντίστοιχα . Είδαµε ότι για να

ορίσουµε µια γραµµική απεικόνιση f :V W→ αρκεί να ορίσουµε τις εικόνες µιας

βάσης.

‘Έστω ότι η f ορίζεται µε τις σχέσεις:


1 1 2

2 1

3 1

2

2

f ( v ) w wf ( v ) 2w wf ( v ) w 3w

= += −= −

Αν τότε το διάνυσµα αυτό γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικός

συνδυασµός των στοιχείων της βάσης:

v V∈

1 2v xv yv zv3= + + , δηλαδή

B

x[ v ] y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ηµιουργείται έτσι ο ισοµορφισµός

[ ]3B B

:V F ,v vΦ → →

Θα βρούµε τις συντεταγµένες του f ( v )ως προς την διατεταγµένη βάση B∗ . Για το

σκοπό αυτό θα γράψουµε την εικόνα του vως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων

αυτής της βάσης .

1 2 3 1 2 3

1 2 1 2 1 2

1 2

f ( v ) f ( xv yv zv ) xf ( v ) yf ( v ) zf ( v )x( w w ) y( 2w w ) z( w 3w )( x 2y z )w ( x y 3z )w

= + + = + += + + − + −= + + + − −

Εποµένως

B

x 2y z[ f ( v )]

x y 3z∗

+ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Άρα

BB

x1 2 1 1 2 1

[ f ( v )] y [ v ]1 1 3 1 1 3

z∗

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ο πίνακας

1 2 11 1 3⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

λέγεται πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς τις διατεταγµένες βάσεις

B και B∗και συµβολίζεται A ( f : B,B )∗= .


8.4.5 Παρατηρήσεις

1) Παρατηρούµε ότι η πρώτη στήλη του πίνακα είναι το διάνυσµα των

συντεταγµένων του

ˆ1 B[ f ( v )] ∗

1f ( v )ως προς την βάση B̂∗ , η δεύτερη στήλη είναι

και η τρίτη 2 B[ f ( v )] ∗ 3 B

[ f ( v )] ∗ .

2)Μπορούµε να συνοψίσουµε τα παραπάνω µε ένα διάγραµµα:

BB

A

f

L3 2

V W

F FΦ Φ ∗

⎯⎯→

⎯⎯→

↓ ↓

Ξεκινήσαµε από µια γραµµική απεικόνιση

f :V W ,v f ( v )→

η επιλογή των βάσεων δηµιούργησε τους δύο ισοµορφισµούς και εποµένως

την γραµµική απεικόνιση 1A B

L fΦ Φ∗ B−= (πολλαπλασιασµός µε πίνακα) .

n mAL : F F ,X AX

όπου

A ( f : B,B )∗=

3) Η σχέση

BB[ f ( v )] A[ v ]∗ =

γράφεται

A BB( f )( v ) ( L )( v )Φ Φ∗ = .

∆ηλαδή ισχύει

A BBf LΦ Φ∗ =

Γι’ αυτό το λόγο λέµε ότι το διάγραµµα είναι αντιµεταθετικό. ∆ηλαδή για να βρούµε

τις συντεταγµένες της εικόνας ενός διανύσµατος v V∈ µπορούµε να βρούµε πρώτα το

f ( v )και κατόπιν το ή πρώτα το B

( f ( v ))Φ ∗ B( v )Φ και κατόπιν το .

∆ηλαδή, στο παραπάνω διάγραµµα, ξεκινώντας από τον χώρο V δεν έχει σηµασία η

διαδροµή που θα ακολουθήσουµε .

A BL ( ( v ))Φ

▲

Στο προηγούµενο παράδειγµα παρατηρήσαµε ότι αν επιλέξουµε διατεταγµένες βάσεις

στο πεδίο ορισµού και στο πεδίο τιµών µιας γραµµικής απεικόνισης και γράψουµε τα


διανύσµατα µε χρήση των συντεταγµένων τους τότε η απεικόνιση γίνεται

(πολλαπλασιασµός µε πίνακα), όπου

AL

A ( f : B,B )∗= .

Τώρα θα αποδείξουµε ότι αυτό ισχύει σε τυχαίους διανυσµατικούς χώρους

πεπερασµένης διάστασης.

8.4.6 Ορισµός ( Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς διατεταγµένες βάσεις)

Αν , . dimV n= dimW m= { }1 2 nB v ,v ,...,v= , { }1 2 mB w ,w ,...,w∗ = διατεταγµένες

βάσεις των V και W αντίστοιχα και f :V W ,v f ( v )→ µια γραµµική απεικόνιση,

τότε ο πίνακας του οποίου η j στήλη ( j 1,2,...,n )= αποτελείται από τις συντεταγµένες

του διανύσµατος j B[ f ( v )] ∗ jf ( v )ως προς την βάση B∗ λέγεται πίνακας της f ως

προς τι ςδιατεταγµένες βάσεις B και B∗και συµβολίζεται ( : , )f B B∗

Αναλυτικότερα, αν

1 11 1 21 2 m1

2 12 1 22 2 m2

n 1n 1 2n 2 mn

m

m

m

f ( v ) a w a w ... a wf ( v ) a w a w ... a w

f ( v ) a w a w ... a w

= + + += + + +

= + + +

τότε

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a a

( f : B,B )

a a a

∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Όπως θα δείξουµε τώρα χρησιµοποιώντας τον πίνακα A ( f : B,B )∗= µπορούµε να

υπολογίσουµε τις συντεταγµένες της εικόνας ενός τυχαίου διανύσµατος του πεδίου

ορισµού.

8.4.7 Θεώρηµα (Συντεταγµένες εικόνας)

Αν , . dimV n= dimW m= { }1 2 nB v ,v ,...,v= , { }1 2 mB w ,w ,...,w∗ = διατεταγµένες

βάσεις των V και W αντίστοιχα και f :V W ,v f ( v )→ µια γραµµική απεικόνιση,

τότε

BB[ f ( v )] ( f : B,B )[ v ]∗

∗=


Απόδειξη

Αν , τότε v V∈

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf ( v ) f ( x v x v ... x v ) x f ( v ) x f ( v ) ... x f ( v )= + + + = + + +

όµως

1 11 1 21 2 m1

2 12 1 22 2 m2

n 1n 1 2n 2 mn

m

m

m

f ( v ) a w a w ... a wf ( v ) a w a w ... a w

f ( v ) a w a w ... a w

= + + += + + +

= + + +

εποµένως

1 1 2 2 n n

1 11 1 21 2 m1 m n 1n 1 2n 2 mn m

1 11 n 1n 1 1 m1 n mn m

f ( v ) x f ( v ) x f ( v ) ... x f ( v )x ( a w a w ... a w ) ... x ( a w a w ... a w )( x a ... x a )w ... ( x a ... x a )w

= + + += + + + + + + + += + + + + + +

∆ηλαδή οι συντεταγµένες του f ( v )ως προς την διατεταγµένη βάση

{ }1 2 mB w ,w ,...,w∗ = είναι

1 11 2 12 n 1n11 1n 1

1 21 2 22 n 2nBB

m1 mn n1 m1 2 m2 n mn

x a x a ... x aa a x

x a x a ... x a[ f ( v )] ( f : B,B )[ v ]

a a xx a x a ... x a

∗∗

+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + +⎝ ⎠

…

■

Μπορούµε να συνοψίσουµε τις παρατηρήσεις µας µε το παρακάτω αντιµεταθετικό

διάγραµµα:

BB

A

f

Ln m

V W

F FΦ Φ ∗

⎯⎯→

⎯⎯→

↓ ↓ A BBf LΦ Φ∗ =

∆ηλαδή, η επιλογή των διατεταγµένων βάσεων στο πεδίο ορισµού και στο πεδίο

τιµών της f δηµιουργεί τους ισοµορφισµούς BΦ , B

Φ ∗ και την γραµµική απεικόνιση

1A B

L fΦ Φ∗−= B (πολλαπλασιασµός µε τον πίνακα ) A ( f : B,B )∗=

Μπορούµε να πούµε ότι η είναι η έκφραση της AL f ως προς τα επιλεγµένα

συστήµατα συντεταγµένων.



Έστω ( ) ( ) (T T

1 2 3v 1 1 1 ,v 1 1 0 ,v 1 0 0= = = )T

)και

( ) (T T1 2w 1 3 ,w 1 4= =

Είναι εύκολο να δούµε ότι { }1 2 3B v ,v ,v= είναι µια βάση του και 3

{ }1 2B w ,w∗ = είναι µια βάση του . 2

∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση 3 2f : →

µε τύπο

x2x y z

f y3x 2 y 4z

z

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

α) Να βρεθεί ο πίνακας A ( f : B,B )∗= της f ως προς τις παραπάνω διατεταγµένες

βάσεις.

β) Να επαληθεύσετε την σχέση του BB[ f ( v )] ( f : B,B )[ v ]∗

∗= θεωρήµατος 8.4.7

Λύση

α) Για να βρούµε τον πίνακα της απεικόνισης ως προς τις δοσµένες διατεταγµένες

βάσεις θα πρέπει να βρούµε:

(ι) Τις εικόνες jf ( v ),( j 1,2,3 )=

(ιι) Τις συντεταγµένες των διανυσµάτων jf ( v ),( j 1,2,3 )= ως προς την διατεταγµένη

βάση { }1 2B w ,w∗ = . Για τον σκοπό αυτό θα πρέπει να εκφράσουµε τα διανύσµατα

αυτά ως γραµµικό συνδυασµό των . 1 2w ,w

Από τον ορισµό της γραµµικής απεικόνισης προκύπτει:

1 2 3

1 12 3

f ( v ) f 1 , f ( v ) f 1 , f ( v ) f 05 1

1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

123

0


Θα βρούµε τώρα τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος x

Xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

του ως προς την

διατεταγµένη βάση

2

{ }1 2B w ,w∗ = . Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε την έκφραση

x 1 1a b

y 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠4

y

από την οποία προκύπτει

a 4x yb 3x= −⎧

⎨ = − +⎩ ( )∗

Έτσι, για να βρούµε τις συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την


( )T2 5

{ }1 2B w ,w∗ = , θέτουµε όπου x 2= και και έχουµε

.

y 5=

a 3,b 1= = −

Οµοίως βρίσκουµε ότι

3 1 1 2 111 8 , 5 3

1 3 4 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14

Εποµένως

3 11 5( f : B,B )

1 8 3∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

β) Θα βρούµε πρώτα τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος του

ως προς την διατεταγµένη βάση

B[ v ] ( )Tv x y z=

3 { }1 2 3B v ,v ,v= . Οι συντεταγµένες αυτές

προσδιορίζονται από την σχέση

x 1 1 1y a 1 b 1 c 0z 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0

Η παραπάνω σχέση γράφεται

x a b cy a bz a

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

από την οποία προκύπτει

a z,b y z,c x y= = − = −

Άρα


B

z[ v ] y z

x y

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Θα βρούµε τώρα τις συντεταγµένες B

[ f ( v )] ∗ του f ( v )ως προς την διατεταγµένη

βάση { }1 2B w ,w∗ = . Επειδή ως προς τις συνήθεις βάσεις

x2x y z

f ( v ) f y3x 2 y 4z

z

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Από την σχέση προκύπτει ( )∗

a 4( 2x y z ) ( 3x 2y 4z ) a 5x 6 y 8zb 3( 2x y z ) 3x 2y 4z b 3x 5y 7= + − − − + = + −⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨ z= − + − + − + = − − +⎩ ⎩

Εποµένως

B

5x 6 y 8z[ f ( v )]

3x 5y 7z∗

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

( )∗∗

Υπολογίζοντας το γινόµενο βρίσκουµε B( f : B,B )[ v ]∗

B

z3 11 5 5x 8 y 8z

( f : B,B )[ v ] y z1 8 3 3x 5 y 7 z

x y

∗

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎟⎠

⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟− − − − − +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎝ ⎠

∗∗∗

) )

( )

Από τις σχέσεις και ( προκύπτει, όπως ήταν αναµενόµενο, η ισότητα (∗∗ ∗∗∗

BB[ f ( v )] ( f : B,B )[ v ]∗

∗=

8.4.9 Ορισµός (Πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διατεταγµένη

βάση)

Αν f :V V→ µια γραµµική απεικόνιση και επιλέξουµε την ίδια διατεταγµένη βάση

{ }1 2 nB v ,v ,...,v= στο πεδίο ορισµού και στο πεδίο τιµών , τότε ο πίνακας (

λέγεται πίνακας πίνακας της

f : B,B )∗

f ως προς την διατεταγµένη βάση B .


Στον χώρο θεωρούµε την βάση n [ X ] { }2 nB 1,X ,X ,...,X= και την γραµµική

απεικόνιση


/

n nD : [ x ] [ x ],P( x ) P ( x )→

Να βρεθεί ο πίνακας ( D : της ως προς την διατεταγµένη βάση B,B ) D B .

Λύση

Θα βρούµε τις συντεταγµένες ,ως προς την διατεταγµένη βάση B , της εικόνας κάθε

διανύσµατος της βάσης. / n 1

/ n 1

2 2 / n 1 n

n n / n 1 n 1

D(1) (1) 0 0.1 0.X ... 0.X 0.XD( X ) ( X ) 1 1.1 0.X ... 0.X 0.X

D( X ) ( X ) 2X 0.1 2.X ... 0.X 0.X

D( X ) ( X ) nX 0.1 0.X ... n.X 0.X

−

−

−

− −

= = = + + + +

= = = + + + +

= = = + + + +

= = = + + + +

n

n

n

Άρα

0 1 0 00 0 2 0

( D : B,B )0 0 0 n0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8.4.11 Θεώρηµα (Πίνακας ταυτοτικής απεικόνισης)

Αν και dimV n= f :V V→ γραµµική απεικόνιση, ισχύει η ισοδυναµία

n V( f : B,B ) I f 1= ⇔ =

∆ηλαδή:

Ο πίνακας ( είναι ο µοναδιαίος αν και µόνο αν η f : B,B ) f :V V→ είναι η ταυτοτική

απεικόνιση.

Απόδειξη

Αν { }1 2 nv v ,v ,...,v= µια διατεταγµένη βάση του V , η απόδειξη στηρίζεται στο

παρακάτω διάγραµµα

vv

A

f

Ln n

VV

F FΦ Φ

⎯⎯→

⎯⎯→

↓ ↓

Η έκφραση της f ως προς το επιλεγµένο σύστηµα συντεταγµένων είναι


1A vL fΦ Φ−= v µε A ( f : B,B )=

Αν ο πίνακας είναι ο µοναδιαίος τότε η A ( f : B,B )= nA FL 1= (ταυτοτική απεικόνιση

του . Εποµένως nF

n n1 1

A v v v vF FL f 1 f 1 fΦ Φ Φ Φ− −

V1= = ⇒ = ⇒ =

Αντίστροφα:

Αν Vf 1= τότε

n1 1 1

A v v v V v v V A FL f 1 LΦ Φ Φ Φ Φ Φ− − −= = = ⇒ 1= (ταυτοτική του ) nF

Άρα ο πίνακας A ( f : B,B )= είναι ο µοναδιαίος.

■

Θα δείξουµε τώρα το κεντρικό θεώρηµα του κεφαλαίου που συνοψίζει την

αντιστοιχία µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων

8.4.12 Θεώρηµα (Ισοµορφία διανυσµατικού χώρου γραµµικών απεικονίσεων και

διανυσµατικού χώρου πινάκων)

Έστω V διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης. Αν ,W dimV n= , , dimW m=

{ }1 2 nB v ,v ,...,v= και { }1 2 mB w ,w ,...,w∗ = διατεταγµένες βάσεις των V και

αντίστοιχα τότε η απεικόνιση WB

m nBM : L(V ,W ) M ( F ),∗ ×→

έτσι ώστε BB

M ( f ) ( f : B,B )∗∗=

που σε κάθε γραµµική απεικόνιση αντιστοιχεί τον πίνακά της ως προς τις επιλεγµένες

διατεταγµένες βάσεις είναι ένας ισοµορφισµός. 3

Απόδειξη

Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση είναι γραµµική αρκεί να δείξουµε ότι για

f ,g L(V ,W )∈ και ισχύει a,b F∈

B BB B

BB

M ( af bg ) aM ( f ) bM ( g )∗ ∗+ = + ∗

Θα συγκρίνουµε τις j − στήλες των πινάκων BB

M ( af bg )∗ + και ,(B BB B

aM ( f ) bM ( g )∗ ∗+ j 1,2,...,n )=

3 Λόγω του ισοµορφισµού B

BM ∗ , θα συµβολίζουµε τον πίνακα ( f : B,B )∗ και ως B

BM ( f )∗ .


Η j − στήλη του BB

M ( af bg )∗ + είναι

j j j jB B B

j jB B

( af bg )( v ) af ( v ) bg( v ) af ( v ) bg( v )

a f ( v ) b g( v )

∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

j B∗⎤⎦

που είναι το άθροισµα της στήλης του και της j − BB

aM ( f )∗ j − στήλης του

. BB

bM ( g )∗

Εποµένως οι στήλες των πινάκων BB

M ( af bg )∗ + και είναι

ίσες, άρα οι πίνακες είναι ίσοι.

B BB B

aM ( f ) bM ( g )∗ ∗+

Θα δείξουµε τώρα ότι η BB

M ∗ είναι ένα προς ένα. Αρκεί ο πυρήνας της να αποτελείται

µόνο από την µηδενική γραµµική απεικόνιση :V Wϑ → . Πράγµατι αν BB

f Ker( M )∗∈ , τότε

Bm n j m 1 j WB B

M ( f ) O f ( v ) O f ( v ) 0 ,( j 1,2,...,n ) f ϑ∗ ∗× ×⎡ ⎤= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =⎣ ⎦

Αποµένει να δείξουµε ότι η γραµµικά απεικόνιση BB

M ∗ είναι επί. Έστω ένας πίνακας

m nA M ( F×∈ ) θα δείξουµε ότι υπάρχει γραµµική απεικόνιση f L(V ,W )∈ έτσι ώστε

BB

A M ( f )∗= , δηλαδή ο πίνακάς της ως προς τις επιλεγµένες βάσεις να είναι ο A .

Πράγµατι, ο πίνακας A ορίζει µια γραµµικά απεικόνιση n mAL : F F , X AX→ και

όπως φαίνεται και από το παρακάτω διάγραµµα, η απεικόνιση 1A BB

f LΦ Φ∗−=

ικανοποιεί την συνθήκη BB

A M ( f )∗= .

BB

A

f

Ln m

V W

F FΦ Φ ∗

⎯⎯→

⎯⎯→

↓ ↓

Εποµένως η BB

M ∗ είναι επί και τελικά είναι ένας ισοµορφισµός µεταξύ των

διανυσµατικών χώρων και L(V ,W ) m nM ( F )× .


Έστω οι συνήθεις διατεταγµένες βάσεις των αντίστοιχα. Αν δοθεί η

γραµµική απεικόνιση

C,C∗ 3 , 2


( ) (T T3 2 )f : , x y z x 2y 3z 5x y→ + + 4z− +

τότε υπάρχει ένας µοναδικός πίνακας που αντιστοιχεί σ’ αυτήν ως προς τις

επιλεγµένες βάσεις. Είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην

A

f µε τον προηγούµενο

ισοµορφισµό

CC

1 2 3A M ( f ) ( f : C,C )

5 1 4∗∗ ⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Αλλά και αντίστροφα: αν δοθεί ο πίνακας

1 3 1B

2 4 5−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

υπάρχει µια µοναδική γραµµική απεικόνιση 3 2f : ,X→ BX

δηλαδή,

xx 3y z

f y2x 4 y 5z

z

⎛ ⎞− +⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + −⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

έτσι ώστε

CC

1 3 1M ( f ) ( f : C,C )

2 4 5∗∗ −⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

8.4.14 Θεώρηµα ( Πίνακας σύνθεσης)

Έστω f :U V ,g :V W→ → γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων

πεπερασµένης διάστασης. Αν { } { }1 n 1 pu u ,...,u ,v v ,...,v= = και

{ }1 mw w ,...,w= διατεταγµένες βάσεις των διανυσµατικών χώρων U αντίστοιχα,

τότε ο πίνακας της σύνθεσης g f ως προς τις διατεταγµένες βάσεις u είναι :

,V ,W

,wu vw w

uvM ( g f ) M ( g ) M ( f )= ×


Σηµειώνουµε την αναλογία του προηγούµενου τύπου µε αυτούς που ονοµάζουµε

«σχέσεις του Chasles» (στην πρόσθεση διανυσµάτων, στον ολοκληρωτικό λογισµό,

κ.λ.π)

Απόδειξη

Η απόδειξη στηρίζεται στο παρακάτω διάγραµµα


u v

BA

f g

n pL L

U VW

m

W

F F F

ΦΦ Φ

⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→↓ ↓ ↓

A

Αρχικά, ο πίνακας της , ως προς τις κανονικές βάσεις, είναι ο BL L

v uw vBA M ( g ) M ( f= × )

αφού

B A B A BL L ( x ) L ( L ( x )) L ( Ax ) B( Ax ) ( BA )x= = = =

Όµως επειδή 1

B A u WL L ( g f )Φ Φ−=

A

uv

η γραµµική απεικόνιση είναι «η έκφραση της ως προς τα επιλεγµένα

συστήµατα συντεταγµένων». Άρα

BL L g f

u vw wM ( g f ) BA M ( g ) M ( f )= = ×

8.4.15 Πόρισµα (Πίνακας αντίστροφης)

Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν είναι πίνακας ενός

ισοµορφισµού.

∆ηλαδή, αν dimV dimW n= = και f :V W→ γραµµική απεικόνιση

Η f είναι ένας ισοµορφισµός ⇔ ο vwM ( f )είναι αντιστρέψιµος

Στην περίπτωση αυτή ισχύει v 1 ww v[ M ( f )] M ( f )− −= 1

Απόδειξη

Αν η f είναι ισοµορφισµός, τότε υπάρχει η 1f :W V− → 1f fV W

−

⎯⎯→ ⎯⎯→V

w

και έχουµε v 1 v w 1 vv v V vM ( f f ) M (1 ) M ( f ) M ( f )− −= = ×

Επειδή vv V nM (1 ) I=

προκύπτει w 1 vv w nM ( f ) M ( f ) I− × =

Άρα ο πίνακας vwM ( f )είναι αντιστρέψιµος και . v 1 w

w v[ M ( f )] M ( f )− −= 1


Αντίστροφα:

Αν ο πίνακας vwM ( f )είναι αντιστρέψιµος τότε έστω ότι . v 1

w[ M ( f )] N− =

Θεωρούµε την µοναδική γραµµική απεικόνιση µε g :W V→ wvM ( g ) N= , τότε

έχουµε f gV W⎯⎯→ ⎯⎯→V

n

µε v w vv v wM ( g f ) M ( g ) M ( f ) I= × =

Εποµένως η απεικόνιση είναι η ταυτοτική απεικόνιση και κατά συνέπεια η g f

f είναι ένας ισοµορφισµός.

■

Πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας µετάβασης.

Όταν σε ένα διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης επιλέξουµε δύο

διαφορετικές βάσεις, τότε το ίδιο διάνυσµα θα έχει, γενικά, διαφορετικές

συντεταγµένες ως προς τις επιλεγµένες βάσεις. Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως

µπορούµε να βρούµε την σχέση που συνδέει τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος ως

προς διαφορετικές βάσεις.


Στο παράδειγµα 8.4.8 είδαµε ότι, αν X είναι ένα διάνυσµα του µε συντεταγµένες

ως προς τη συνήθη διατεταγµένη βάση

2

{ }1 2C e ,e=

C

x[ X ]

y⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

τότε οι συντεταγµένες του X ως προς την διατεταγµένη βάση { }1 2B w ,w∗ = , όπου

είναι ( ) ( )T T1 2w 1 3 ,w 1 4= =

B

4x y[ X ]

3x y∗

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Παρατηρούµε ότι:

B

4x y 4 1 x[ X ]

3x y 3 1 y∗

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

που γράφεται


CB

4 1[ X ] [ X ]

3 1∗

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος

ως προς την βάση { }1 2B w ,w∗ = όταν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες του ίδιου

διανύσµατος ως προς την κανονική βάση. Ακόµη, επειδή

4 1 1 4 4 1 0 1,

3 1 0 3 3 1 1 1− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

− ⎞⎟⎠

βλέπουµε ότι οι στήλες του πίνακα αποτελούνται από τις συντεταγµένες των

διανυσµάτων της συνήθους βάσης ως προς την διατεταγµένη βάση { }1 2B w ,w∗ = .

Εποµένως, ο πίνακας

4 13 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

µε χρήση του οποίου υπολογίζουµε τις νέες συντεταγµένες είναι ο πίνακας που

αντιστοιχεί στην ταυτοτική απεικόνιση του 2

22 21 : , X X→

όταν στο πεδίο ορισµού θεωρήσουµε ως διατεταγµένη βάση την συνήθη και στο

πεδίο τιµών την βάση { }1 2B w ,w∗ = . ∆ηλαδή

2 2CB

4 1M (1 ) (1 : C,B )

3 1 ∗∗−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Τον πίνακα αυτό τον ονοµάζουµε πίνακα αλλαγής βάσης ή πίνακα µετάβασης από

την διατεταγµένη βάση C στην διατεταγµένη βάση B∗ (4) και τον συµβολίζουµε CB

P ∗ .

∆ηλαδή,

2C

BP (1 : C,B∗ )∗=

(Την βάση που επιλέγουµε στο πεδίο ορισµού την λέµε «παλαιά βάση» και αυτή του

πεδίου τιµών «νέα βάση»).

8.4.16 Ορισµός (Πίνακας αλλαγής βάσης)

Έστω

V1 :V V ,x x→

η ταυτοτική απεικόνιση ενός διανυσµατικού χώρου V πεπερασµένης διάστασης και

4 Πολλοί συγγραφείς τον ονοµάζουν πίνακα µετάβασης από την βάση B∗ στην βάση . C


{ } { }/ /1 n 1 pv v ,...,v ,v v ,...,v= = /

δύο διατεταγµένες βάσεις του.

Ο πίνακας λέγεται πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας

µετάβασης από την βάση στην και συµβολίζεται .

//

Vv

Vv : v,v )M (1 ) (1=

v /v /v

vP

Παρατηρήσεις

1) Συνηθίζουµε να λέµε ότι η v είναι «η παλαιά βάση» και η η «νέα βάση». /v

2) Η i στήλη του πίνακα αποτελείται από το διάνυσµα

//i iV vv1 ( v ) v⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ = ( i 1,2,...,n )=

δηλαδή τις συντεταγµένες του ως προς την νέα βάση . iv /v

3) Η επιλογή των διατεταγµένων βάσεων δηµιουργεί τους ισοµορφισµούς , και

εποµένως την γραµµική απεικόνιση (ισοµορφισµό) (Α ο πίνακας αλλαγής βάσης)

όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα.

vΦ /vΦ

AL

V

/vv

A

1

Ln n

V V

F F

ΦΦ

⎯⎯→

⎯⎯→

↓ ↓ / /1 1

A V Vv vL 1 VΦ Φ Φ Φ− −= =


Στο θεωρούµε τις διατεταγµένες βάσεις 2

{ } { }1 2 1 2C e ,e ,B v ,v= = ,

όπου η συνήθης βάση και C

( ) (T T1 2v 1 2 ,v 3 5= = )

Ο πίνακας µετάβασης από την βάση B στην κανονική βάση έχει ως στήλες τις

συντεταγµένες των διανυσµάτων της βάσης B ως προς την συνήθη βάση. ∆ηλαδή

( )BC 1 C 2P [ v ] [ v ]= C

Εποµένως

BC

1 3P

2 5⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠


Ο πίνακας µετάβασης από την διατεταγµένη βάση στην διατεταγµένη βάση C B έχει

ως στήλες τις συντεταγµένες των διανυσµάτων της C ως προς την βάση B .

( )CB 1 B 2P [ e ] [ e ]= B

Από την σχέση

x 1 3a b

y 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠5

y

προκύπτει

a 5x 3b 2x y= − +⎧

⎨ = −⎩

Έτσι, για να βρούµε τις συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την βάση ( )T1 0

B θέτουµε όπου x 1= , και έχουµε y 0= a 5,b 2= − = . Οµοίως για το

θέτουµε ( )T0 1 x 0= , και βρίσκουµε y 1= a 3,b 1= = −

Εποµένως

1 1 3 0 15 2 , 3 ( 1)

0 2 5 1 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

35

Κατά συνέπεια

CB

5 3P

2 1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠



B CC B

1 3 5 3 1 0P P I

2 5 2 1 0 1−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

∆ηλαδή, οι προηγούµενοι πίνακες είναι αντίστροφοι.

8.4.18 Θεώρηµα (Συντεταγµένες διανύσµατος ως προς διαφορετικές

διατεταγµένες βάσεις)

Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έχουµε:

[ ] [ ]/ /v

V v vv1 ( x ) P x= ή [ ] [ ]/ /

vv vv

x P x=

∆ηλαδή, για να βρούµε τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος ως προς

τηνδιατεταγµένη βάση αρκεί να πολλαπλασιάσουµε από τα αριστερά τις /v


συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την διατεταγµένη βάση µε τον πίνακα

µετάβασης από την βάση v στην βάση .

v/v

Σχέση µεταξύ των πινάκων και /v

vP

/vvP

Όπως είδαµε στο εισαγωγικό παράδειγµα

CB

4 1[ X ] [ X ]

3 1∗

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Αν τώρα γνωρίζουµε τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος ως προς την βάση

διατεταγµένη βάση B∗και θέλουµε να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες του ως προς

την συνήθη βάση, αρκεί να εξετάσουµε την αντιστρεψιµότητα του παραπάνω

πίνακα . CB

P ∗

Ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος (η ορίζουσά του ισούται µε 1CB

P ∗ 0≠ ) και

14 1 1 13 1 3 4

−−⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Εποµένως

C B

1 1[ X ] [ X ]

3 4 ∗

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Παρατηρούµε ότι οι στήλες του νέου πίνακα αποτελούνται από τις συντεταγµένες των

διανυσµάτων της διατεταγµένης βάσης B∗ ως προς την συνήθη βάση. ∆ηλαδή B C 1

C BP ( P )∗∗

−=

8.4.19 Θεώρηµα (Αντίστροφος πίνακα αλλαγής βάσης)

Οι πίνακες και είναι αντιστρέψιµοι και ισχύει: /v

vP

/vvP

/

/v 1 v

vv( P ) P− =

Απόδειξη / / /

/ / / /v v v v v

n V V V V v Vv v v v

/vvI M (1 )= = M (1 1 ) M (1 ) M (1 ) P P= × = ×

Εποµένως οι πίνακες µετάβασης και είναι αντίστροφοι. /v

vP

/vvP

■



Στο θεωρούµε τις διατεταγµένες βάσεις : 2 { } { }/ /1 2 1 2v v ,v ,v v ,v= = / ,όπου


( ) (T T1 2v 1 2 ,v 3 5= = ) ) και ( ) (T T/ /

1 2v 1 1 ,v 1 2= − = −

(α) Να βρεθεί ο πίνακας µετάβασης από την βάση στην . v /v

(β) Να βρεθεί ο πίνακας µετάβασης από την βάση στην . /v v

Λύση

(α) Από την σχέση

x 1 1a b

y 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟2− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

προκύπτει

a 2x yb x y= +⎧

⎨ = − −⎩

Άρα

1 1 1 3 14 3 , 11 ( 8 )

2 1 2 5 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

12⎞⎟⎠

1 ⎞⎟

∆ηλαδή

, ,1 2v v

4 1[ v ] ,[ v ]

3 8⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Εποµένως

/v

v

4 11P

3 8⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(β) Ο πίνακας µετάβασης από την στην v είναι ο αντίστροφος του προηγούµενου /v

/ /

/

1v v 1 v

v vv

4 11 8 11P ( P ) P

3 8 3 4

−

− − −⎛ ⎞ ⎛= = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2ος τρόπος

Όπως είδαµε στο παράδειγµα 8.4.17 από την σχέση

x 1 3a b

y 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠5

y

προκύπτει

a 5x 3b 2x y= − +⎧

⎨ = −⎩

Άρα


1 1 3 1 18 3 , 11 4

1 2 5 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

35

Εποµένως

/vv

8 11P

3 4− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠



{ } { }1 2 3 1 2 3C e ,e ,e ,B v ,v ,v= = ,

όπου η συνήθης βάση και C

( ) ( ) (T T1 2 3v 1 0 1 ,v 2 1 2 ,v 1 2 2= = = )T

(α)Να βρεθεί ο πίνακας µετάβασης από την βάση BCP B στην . C

(β) Να βρεθεί ο πίνακας µετάβασης από την βάση στην CBP C B .

(γ) Να βρεθούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος ( T)X 1 1 1= ως προς την βάση

B .

Λύση

(α) Επειδή οι συντεταγµένες των διανυσµάτων της βάσης B ως προς την είναι C

( ) ( ) ( )T T1 C 2 C 3 C[ v ] 1 0 1 ,[ v ] 2 1 2 ,[ v ] 1 2 2= = = T

ο ζητούµενος πίνακας είναι

BC

1 2 1P 0 1 2

1 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(β)

1ος τρόπος

Ο πίνακας είναι ο αντίστροφος του προηγούµενου πίνακα CBP B

CP

Με γραµµοπράζεις βρίσκουµε

1 2 1 1 0 0 1 0 0 2 2 30 1 2 0 1 0 0 1 0 2 1 21 2 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1

⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜

− ⎞⎟−⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝

∼ ⎟⎟⎠

Άρα


CB

2 2 3P 2 1

1 0 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟2= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2ος τρόπος

Γράφουµε, για τυχαίο διάνυσµα 3X ∈ του οποίου οι συντεταγµένες ως προς την

συνήθη βάση είναι ( )TX x y z= ,

x 1 2 1y a 0 b 1 c 2z 1 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2

και προκύπτει ένα γραµµικό σύστηµα, από το οποίο προσδιορίζουµε τα

συναρτήσει των a,b,c x, y,z . ∆ίνουµε τιµές στα x, y,z (ανάλογα µε τις

συντεταγµένες, ως προς την συνήθη βάση, του δεδοµένου διανύσµατος) και

υπολογίζουµε τα . Με τον τρόπο αυτό προκύπτει a,b,c

a 2b c xb 2c ya 2b 2c z

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

Με γραµµοπράξεις, στον επαυξηµένο πίνακα έχουµε 2 2 3

3 3 1 1 1 3

1 1 2

2

2

1 2 1 x 1 2 1 x 1 2 0 2x z0 1 2 y 0 1 2 y 0 1 0 2x y 2z1 2 2 z 0 0 1 z x 0 0 1 z x

1 0 0 2x 2y 3z0 1 0 2x y 2z0 0 1 z x

Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

→ −

→ − → −

→ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ − − + ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∼ ∼

∼

⎞⎟⎟⎟⎠

z

Άρα

a 2x 2 y 3b 2x y 2zc z x

=− − +⎧⎪ = + −⎨⎪ = −⎩

Οπότε


1 1 2 1 0 1 20 2 0 2 1 ( 1) 2 , 1 2 0 1 1 0 20 1 2 2 0 1 2

0 1 2 10 3 0 ( 2 ) 1 1 21 1 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + + − = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2

2

Εποµένως

CB

2 2 3P 2 1

1 0 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

(γ) Γνωρίζουµε ότι για να βρούµε τις συντεταγµένες ενός διανύσµατος ως προς την

βάση B αρκεί να πολλαπλασιάσουµε από τα αριστερά τις συντεταγµένες του

διανύσµατος ως προς την συνήθη βάση µε τον πίνακα µετάβασης από την συνήθη

βάση στην βάση B (Θεώρηµα 8.4.18). ∆ηλαδή

[ ] [ ]CBB C

x P x=

Εποµένως

[ ] [ ]B C

2 2 3 2 2 3 1 1x 2 1 2 x 2 1 2 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2


1) ∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση µε τύπο 3f : →

x3x 2 y 4z

f yx 5y 3z

z

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

α) Να βρείτε τον πίνακα της f ως προς τις συνήθεις βάσεις C,C∗ των

αντίστοιχα. 3 , 2

)T

β) Έστω

( ) ( ) (( ) ( )

T T1 2 3

T T1 2

v 1 1 1 ,v 1 1 0 ,v 1 0 0

u 1 3 ,u 2 5

= = =

= =

Να βρείτε τον πίνακα της f ως προς τις διατεταγµένες βάσεις


{ } { }1 2 3 1 2B v ,v ,v ,B u ,u∗= = των αντίστοιχα.. 3 , 2

γ) Να επαληθεύσετε την σχέση: BBB B

[ f ( v )] M ( f )[ v ]∗ ∗=

2)∆ίνεται ο πίνακας

1 3 1A 2 5 4

1 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ο πίνακας ορίζει την γραµµική απεικόνιση µε τύπο A 3AL : → 3

)T

AL ( X ) AX=

α) Να βρείτε τον πίνακα της ως προς την συνήθη βάση C του . AL 3

β) Έστω

( ) ( ) (T T1 2 3v 1 1 0 ,v 0 1 1 ,v 1 2 2= = =

Να βρείτε τον πίνακα της ως προς την διατεταγµένη βάση AL { }1 2 3B v ,v ,v= του . 3

γ) Αν , να βρείτε το διάνυσµα ( TB[ v ] x y z= )

)T

A B[ L ( v )]

3) Έστω

( ) ( ) ( ) (T T T1 2 1 2v 1 2 ,v 3 4 ,u 1 3 ,u 3 8= − = − = =

α) Να βρείτε τον πίνακα µετάβασης από την διατεταγµένη βάση { }1 2B v ,v= στην

διατεταγµένη βάση { }1 2B u ,u∗ = του . 2

β) Να βρείτε τον πίνακα µετάβασης από την διατεταγµένη βάση { }1 2B u ,u∗ = στην

διατεταγµένη βάση { }1 2B v ,v= του . 2

γ) Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την


( )T 2X x y= ∈

{ }1 2B v ,v= και ως προς την διατεταγµένη βάση { }1 2B u ,u∗ = .


1) βλ. παραδείγµατα: 8.4.3 και 8.4.8 ,

α) CC

3 2 4M ( f )

1 5 3∗

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

β) BB

7 33 13M ( f )

4 19 8∗

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


2) βλ. παραδείγµατα: 8.4.3 και 8.4.8

α) CC AM ( L ) A=

β) BB A

8 1 3M ( L ) 7 6 11

5 3 6

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3) βλ. παραδείγµατα 8.4.20

α) BB

14 36P

5 13∗

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

β) Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα 8.4.19γ)

( ) 1C CB B C B C[ X ] P [ X ] ,P P

−= = B , οµοίως για

B[ X ] ∗


8.5 Ισοδύναµοι και όµοιοι πίνακες

Είδαµε ότι η επιλογή µιας διατεταγµένης βάσης στο πεδίο ορισµού και µιας

διατεταγµένης βάσης στο πεδίο τιµών µιας γραµµικής απεικόνισης f δηµιουργεί ένα

πίνακα , έτσι ώστε αν γράψουµε την απεικόνιση µε την µορφή των συντεταγµένων

των διανυσµάτων ως προς τις επιλεγµένες βάσεις, τότε η

A

f είναι της µορφής

(πολλαπλασιασµός µε τον ). Αν τώρα επιλέξουµε άλλες βάσεις στο πεδίο ορισµού

και στο πεδίο τιµών τότε δηµιουργείται ένας πίνακας

AL

A

B και η f γίνεται . Στην

παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε την σχέση που συνδέει τους πίνακες και

BL

A B .

∆ηλαδή, την σχέση που συνδέει τους πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης ως προς

διαφορετικά ζεύγη διατεταγµένων βάσεων του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών.


Στο παράδειγµα 8.4.8 θεωρήσαµε την γραµµική απεικόνιση 3 2f : →

µε τύπο

x2x y z

f y3x 2 y 4z

z

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

και είδαµε ότι. αν

( ) ( ) (T T )1 2 3v 1 1 1 ,v 1 1 0 ,v 1 0 0= = = ( ) ( )T T1 2w 1 3 ,w 1 4= =T και

ο πίνακας της f ως προς τις διατεταγµένες βάσεις { }1 2 3B v ,v ,v= και

{ }1 2B w ,w∗ = των και αντίστοιχα, είναι 3 2

BB

3 11 5( f : B,B ) M ( f )

1 8 3∗∗ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

Επίσης, ο πίνακας της f ως προς τις συνήθεις βάσεις και CC ∗ των και

αντίστοιχα, είναι

3

2

CC

2 1 1( f : C,C ) M ( f )

3 2 4∗∗ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠



1 1 14 1 2 1 1 3 11 5

1 1 03 1 3 2 4 1 8 3

1 0 0

⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟

⎞⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟

⎝ ⎠− − ⎠

δηλαδή, ο πίνακας BB

M ( f )∗ προκύπτει από τον CC

M ( f )∗ µε πολλαπλασιασµό από

αριστερά και δεξιά µε δύο αντιστρέψιµους πίνακες

1 1 1P 1 1 0

1 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και 4 1

Q3 1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ισχύει δηλαδή B CB C

M ( f ) QM ( f )P∗ ∗=

Πώς όµως συνδέονται οι πίνακες µε τα δεδοµένα; P,Q

Παρατηρούµε ότι οι στήλες του πίνακα αποτελούνται από τις συντεταγµένες των

διανυσµάτων ως προς την συνήθη βάση. ∆ηλαδή . Ακόµη, ο

αντίστροφος του Q είναι ο πίνακας

P

1 2 3v ,v ,v BCP P=

1 1 1Q

3 4− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

που οι στήλες του αποτελούνται από τις συντεταγµένες των ως προς την

συνήθη βάση. ∆ηλαδή

1 2w ,w

1C

Q PB∗

∗− = , εποµένως C

BQ P

∗

∗= . Τελικά, η σχέση που συνδέει

τους πίνακες της γραµµικής απεικόνισης ως προς τις διατεταγµένες βάσεις ,B B∗ και

, είναι C C∗

B C C BCB B C

M ( f ) P M ( f )P∗

∗ ∗ ∗= ( )∗

όπου και οι πίνακες µετάβασης. BCP C

BP

∗

∗

▲

Θα δείξουµε ότι και στην γενική περίπτωση, µια σχέση της προηγούµενης

µορφής ( συνδέει τους πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης. )∗

Πράγµατι, έστω f :V W→ µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών

χώρων πεπερασµένης διάστασης.


Αν { } { }/ /1 n 1 nv v ,...,v ,v v ,...,v= = / δύο διατεταγµένες βάσεις του διανυσµατικού

χώρου V και { } { }/ /1 m 1 mw w ,...,w ,w w ,...,w= = / δύο διατεταγµένες βάσεις του

διανυσµατικού χώρου W , θα αναζητήσουµε την σχέση που συνδέει τους πίνακες vwA M ( f )= και

/

/vw

B M ( f )= .

Η σχέση αυτή προκύπτει εύκολα αν εξετάσουµε το παρακάτω διάγραµµα που

προκύπτει από την επιλογή των βάσεων στους διανυσµατικούς χώρους V και W .

B

/ /v w

v w

A

Ln m

f

n mL

F F

V W

F F

Φ Φ

Φ Φ

⎯⎯→

↑ ↑⎯⎯→

↓ ↓⎯⎯→

Γνωρίζουµε ότι ισχύουν οι σχέσεις:

/ /1

B w vL fΦ Φ −= και

1A w vL fΦ Φ −=

Από την δεύτερη σχέση έχουµε 1

w Af L vΦ Φ−=

και εποµένως, αντικαθιστώντας στην πρώτη, προκύπτει

/ / /1 1 1

B w A v w A vw v wL L ( ) L (Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ− − −= = /

1v

)−

Ο πίνακας της

[ ] [ ]//1

v v vv: x xΦ Φ −

είναι ο πίνακας µετάβασης και ο πίνακας της /v

vP

[ ] [ ] //1

w w ww: x xΦ Φ −

είναι ο πίνακας µετάβασης . Εποµένως /w

wP/

/w v

vwB P AP= .

Αποδείξαµε λοιπόν την εξής σηµαντική σχέση που συνδέει τους πίνακες της ίδιας

γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές βάσεις:


8.5.1 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές

διατετεγµένες βάσεις)

Αν f :V W→ µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων

πεπερασµένης διάστασης , { } { }/ /1 n 1 nv v ,...,v ,v v ,...,v= = / δύο διατεταγµένες βάσεις του

διανυσµατικού χώρου V και { } { }/ /1 m 1 mw w ,...,w ,w w ,...,w= = /

w vw w

δύο διατεταγµένες

βάσεις του διανυσµατικού χώρου W , τότε / // /

v w v v ( )∗∗M ( f ) P M ( f )P=

■


Σηµειώνουµε την αναλογία του προηγούµενου τύπου µε αυτούς που ονοµάζουµε

«σχέσεις του Chasles» (στην πρόσθεση διανυσµάτων, στον ολοκληρωτικό λογισµό,

κ.λ.π.)

8.5.2 Ορισµός (Ισοδύναµοι πίνακες)

Αν θα λέµε ότι οι πίνακες είναι ισοδύναµοι, αν υπάρχουν δύο

αντιστρέψιµοι πίνακες έτσι ώστε

m nA,B M ( F )×∈

P,Q B QAP=

Από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτει ότι αν δύο πίνακες είναι πίνακες της ίδιας

γραµµικής απεικόνισης f :V W→ ως προς διαφορετικά ζεύγη διατεταγµένων

βάσεων του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών, τότε είναι ισοδύναµοι.

▲

Αν f :V V→ γραµµική απεικόνιση και { } { }/ /1 n 1 nv v ,...,v ,v v ,...,v= = / δύο

διατεταγµένες βάσεις του διανυσµατικού χώρου , τότε από την σχέση ( )

προκύπτει ότι οι πίνακες

V ∗∗

vvM ( f ) και

/

/vvM ( f ) συνδέονται µε την σχέση

v v

/ // /

v v vv v

vM ( f ) P M ( f )P=

και επειδή

( )/

1/v vvvP P

−

=

προκύπτει

( ) 1

v

/ //

v v vv v

/vvM ( f ) P M ( f )P

−

=


∆ηλαδή ισχύει:

8.5.3 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διαφορετικές

διατετεγµένες βάσεις)

Αν f :V V→ γραµµική απεικόνιση και { } { }/ / /1 n 1 nv v ,...,v ,v v ,...,v= = δύο

διατεταγµένες βάσεις του διανυσµατικού χώρου V , τότε

( ) 1

v

/ //

v v vv v

/vvM ( f ) P M ( f )P

−

==

■

8.5.4 Ορισµός ( Όµοιοι πίνακες)

Αν τετραγωνικοί πίνακες, θα λέµε ότι οι πίνακες είναι όµοιοι, αν

υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας έτσι ώστε

n nA,B M ( F )×∈

P 1B P AP−=

Από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτει ότι αν δύο πίνακες είναι πίνακες της ίδιας

γραµµικής απεικόνισης f :V V→ ως προς δύο διαφορετικές βάσεις του , τότε

είναι όµοιοι.

V



Στο παράδειγµα 8.4.8 βρήκαµε τον πίνακα BB

M ( f )∗ της γραµµικής απεικόνισης

3 2f : →

µε τύπο

x2x y z

f y3x 2 y 4z

z

⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

ως προς τις διατεταγµένες βάσεις { }1 2 3B v ,v ,v= του και 3 { }1 2B w ,w∗ = του ,

όπου,

2

( ) ( ) (T T )1 2 3v 1 1 1 ,v 1 1 0 ,v 1 0 0= = = ( ) ( )T T1 2w 1 3 ,w 1 4= =T και

Θα δούµε τώρα πως µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το ίδιο πρόβληµα

χρησιµοποιώντας το προηγούµενο θεώρηµα.


Από τον ορισµό της f µπορούµε να βρούµε τον πίνακά της ως προς τις συνήθεις

βάσεις των διανυσµατικών χώρων και αντίστοιχα. Πράγµατι C,C∗ 3 2

CC

2 1 1M ( f )

3 2 4∗

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα B C C

CB B C( f ) ( f ) BM P M P∗

∗ ∗ ∗=

όµως, είναι ο πίνακας µετάβασης από την βάση BCP B στην συνήθη βάση.

Γνωρίζουµε ότι οι στήλες του είναι οι συντεταγµένες των διανυσµάτων της βάσης

B ως προς την συνήθη βάση. Εποµένως

BC

1 1 1P 1 1 0

1 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ακόµη, γνωρίζουµε ότι

( ) 1C B

B CP P∗ ∗

∗ ∗

−= και B

C

1 1P

3 4∗

∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Εποµένως 1

CB

1 1 4 13 4 3 1

P ∗∗

−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

−=

−=

Τελικά έχουµε

B C C BCB B C

1 1 12 1 1

M ( f ) P M ( f )P 1 1 03 2 4

1 0 0

1 1 15 6 8 3 11 5

1 1 03 5 7 1 8 3

1 0 0

4 13 1

∗

∗ ∗ ∗

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−−

Άρα

BB

3 11 5M ( f )

1 8 3∗

⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση 2 2

AL : ,X AX→ όπου


2 3A

4 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

και τα διανύσµατα

( ) (T T1 2u 1 3 ,u 2 5= = )

Να βρεθεί ο πίνακας B της γραµµικής απεικόνισης ως προς την διατεταγµένη βάση

{ }1 2u u ,u= .

Λύση

Ο πίνακας της απεικόνισης ως προς την συνήθη βάση C του είναι 2

CC

2 3A

4 1M ( f ) ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠=

και γνωρίζουµε ότι ο ζητούµενος πίνακας είναι όµοιος µε τον και ισχύει A

( )A A

1u C C u u Cu u C C C C A

uCM ( L ) P M ( L )P P M ( L )P

−= =


uC

1 2P

3 5P ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

µε 1 5 2P

3 1− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

εποµένως

Au 1u

5 2 2 3 1 2 53 89A

3 1 4 1 3 5 32 54B M ( L ) P P− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝= = =

− ⎞⎟⎠



{ } { }1 2 3 1 2 3C e ,e ,e ,B v ,v ,v= = ,

όπου η συνήθης βάση, C

( ) ( ) (T T1 2 3v 1 0 1 ,v 2 1 2 ,v 1 2 2= = = )T

3

και την γραµµική απεικόνιση που ορίζεται από τον πίνακα 3f : →

1 3 2A 2 4 1

3 1 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∆ηλαδή,


x x 3y 2zf y 2x 4 y z

z 3x y 2z

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να βρεθεί ο πίνακας της f ως προς την διατεταγµένη βάση . v

Λύση

Ο πίνακας είναι ο πίνακας της A f ως προς την συνήθη βάση του και

γνωρίζουµε ότι

3

( ) 1B C C B B CB B C C C C

BCM ( f ) P M ( f )P P M ( f )P

−= =

Από το παράδειγµα 2 της 8.4.20 , γνωρίζουµε ότι

BC

1 2 1P 0 1 2

1 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

και CB

2 2 3P 2 1

1 0 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟2= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Εποµένως

BB

2 2 3 1 3 2 1 2 1 11 21 172 1 2 2 4 1 0 1 2 9 14 81 0 1 3 1 2 1 2 2 6 8 2

M ( f )− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

=⎞⎟⎟⎟⎠



{ } { }1 2 3 1 2 3C e ,e ,e ,v v ,v ,v= = ,

όπου η συνήθης βάση, C

( ) ( ) (T T1 2 3v 1 1 0 ,v 0 1 1 ,v 1 2 2= = = )T

3

και την γραµµική απεικόνιση µε τύπο 3f : →

x x 3y zf y 2x 5 y 4z

z x 2y 2z

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να βρεθεί ο πίνακας B της f ως προς την διατεταγµένη βάση . v

Λύση

Ο πίνακας της f ως προς την συνήθη βάση του είναι 3


CC

1 3 1M ( f ) A 2 5 4

1 2 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

και γνωρίζουµε ότι 1v C C v

v v C C APB M ( f ) P M ( f )P P−= = =

Εποµένως

1

0 1 1 1 3 1 1 0 1 8 1 3AP 2 2 1 2 5 4 1 1 2 7 6 11

1 1 1 1 2 2 0 1 2 5 3 6B P−

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= − − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

=⎞⎟⎟⎟⎠


∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση 2 2f : ,X→ AX

όπου 4 2

A3 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠


( ) (T T1 2u 2 1 ,u 1 3= = − )

Να βρεθεί ο πίνακας B της γραµµικής απεικόνισης ως προς την διατεταγµένη βάση

{ }1 2u u ,u= .

Λύση

Ο πίνακας της απεικόνισης ως προς την συνήθη βάση C του είναι 2

CC

4 2A A

3 1M ( f ) ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠=

και γνωρίζουµε ότι ο ζητούµενος πίνακας είναι όµοιος µε τον και ισχύει A

( )A A

1u C C u u Cu u C C C CB M ( L ) P M ( L )P P M ( L )PA

uC

−= = =


uC

2 1P

1 3P

−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ µε 1 3 11P

1 27− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

εποµένως

Au 1u

3 1 4 2 2 1 5 01A1 2 3 1 1 3 0 27

B M ( L ) P P− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

= = =⎠


Στο παράδειγµα αυτό παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι όµοιος µε ένα διαγώνιο

πίνακα. Στο επόµενο κεφάλαιο θα δούµε πως βρίσκουµε την βάση ως προς την οποία

ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης είναι διαγώνιος.

A

▲

Λόγω του θεωρήµατος 8.5.1 οι πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης ως προς

διαφορετικές βάσεις είναι ισοδύναµοι. Θα αποδείξουµε και το αντίστροφο. ∆ηλαδή,

αν δύο πίνακες του ίδιου τύπου είναι ισοδύναµοι τότε είναι πίνακες της ίδιας

γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές βάσεις.


Έστω { }1 nv v ,...,v= και { }1 mw w ,...,w= διατεταγµένες βάσεις των διανυσµατικών

χώρων και . Αν και υπάρχουν δύο αντιστρέψιµοι πίνακες

έτσι ώστε

V W m nA,B M ( F )×∈

P,Q B QAP= , τότε υπάρχουν διατεταγµένες

βάσεις { }/ / /1 nv ,...,v= {v , }/ / /

1 mw w ,...,w= των και αντίστοιχα και µια γραµµική

απεικόνιση

V W

f :V W→ έτσι ώστε και vwA M ( f )=

/

/vw

B M ( f )= .

Απόδειξη

Υποθέτουµε ότι B QAP= . Έστω f :V W→ η γραµµική απεικόνιση που αντιστοιχεί

στον πίνακα µέσω του ισοµορφισµού A vwM του θεωρήµατος 8.4.12. Ισχύει

vwM ( f ) A= . Έστω, για κάθε j 1,2,...,n,= το διάνυσµα του οποίου οι

συντεταγµένες ως προς την βάση είναι τα στοιχεία της

/jv

v j − στήλης του πίνακα .

Επειδή ο είναι αντιστρέψιµος, τα διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και

εποµένως αποτελούν µια βάση του και από τον τρόπο που ορίσαµε τα

διανύσµατα προκύπτει ότι . Έστω, για κάθε

P

P /jv

/v V/jv

/vvP P= j 1,2,...,m,= το διάνυσµα

του οποίου οι συντεταγµένες ως προς την βάση είναι τα στοιχεία της στήλης

του πίνακα . Επειδή ο πίνακας

/jw w j −

1Q− 1Q− είναι αντιστρέψιµος, τα διανύσµατα είναι

γραµµικώς ανεξάρτητα και εποµένως αποτελούν µια βάση του και από τον

τρόπο που ορίσαµε τα διανύσµατα προκύπτει ότι . Ο πίνακας της

/jw

/w W/jw

/1 wwQ P− = f ως

προς τις νέες βάσεις και είναι /v /w


/ // /

v w v vw vw w QAP BM ( f ) P M ( f )P = ==

■

Αν τώρα υποθέσουµε ότι W , και για κάθε , V= j jv wj= και προκύπτει: /jv w= /

j

8.5.7 Πόρισµα

Αν οι τετραγωνικοί πίνακες είναι όµοιοι, δηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιµος A,B

πίνακας P έτσι ώστε 1B P AP−= , τότε οι πίνακες είναι πίνακες της ίδιας

γραµµικής απεικόνισης

A,B

f :V V→ ως προς δύο διατεταγµένες βάσεις του V .

Χαρακτηρισµός ισοδύναµων πινάκων

Από τα θεωρήµατα 8.5.1 και 8.5.6 προκύπτει ότι:

∆ύο πίνακες είναι ισοδύναµοι αν, και µόνο αν είναι πίνακες της ίδιας γραµµικής

απεικόνισης f :V W→ ως προς διατεταγµένες βάσεις { }1 nv v ,...,v= ,

{ }/ /1 nv v ,...,v= / του V και { }1 mw w ,...,w= , { }/ /

1 mw w ,...,w= / του W .

Χαρακτηρισµός όµοιων πινάκων

Από το θεώρηµα 8.5.3 και το πόρισµα 8.5.7 προκύπτει ότι:

∆ύο πίνακες είναι όµοιοι αν, και µόνο αν είναι πίνακες του ίδιου γραµµικού

µετασχηµατισµού f :V V→ ως προς διατεταγµένες βάσεις { }1 nv v ,...,v= και

{ }/ /1 nv v ,...,v= / του V .


1) Στην άσκηση 8.4. 1), να βρεθεί ο πίνακας BB

M ( f )∗ της f ως προς τις

διατεταγµένες βάσεις { } { }1 2 3 1 2B v ,v ,v ,B u ,u∗= = , χρησιµοποιώντας την θεωρία της

παραγράφου 8.5

2) Στην άσκηση 8.4. 2), να βρεθεί ο πίνακας BB AM ( L ) της ως προς την βάση AL

{ }1 2 3B v ,v ,v= του . 3

3) ∆ίνεται η γραµµική απεικόνιση , µε τύπο 3f : → 3


x y zf y 2x 3y 2z

z 3x 3y 2z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠⎝ ⎠


( ) ( ) ( )T T1 2 3v 1 0 1 ,v 1 1 0 ,v 0 1 1= = = T

Να βρεθούν οι πίνακες BCM ( f ) και B

BM ( f ), ως προς τις διατεταγµένες βάσεις

{ }1 2 3B v ,v ,v= και C (η συνήθης βάση του ). 3

Απαντήσεις / Υποδείξεις

Βλ. Παραδείγµατα 8.5.5

1) Χρησιµοποιήστε την σχέση

( ) 1B C C B C B

CB B C B CM ( f ) P M ( f )P ,P P

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ −= =

2) Χρησιµοποιήστε την σχέση

( ) 1B C C B CB A B C C B CM ( L ) P M ( f )P ,P PB −

= =

3)

( )

B B C C B BC B B C C C

1C BB C

1 1 0 1 1 0M ( f ) 0 1 5 ,M ( f ) P M ( f )P P 0 1 1

1 0 5 1 0 1

0,5 0,5 0,5P P 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

−

−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝

−⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

Γραµµικές...

Documents