مقدمةفي

الكم كيمياء

حمودة د. أيمن

الكم ميكانيكا إرهاصات

تطور قد الفيزياء علم كان عشر التاسع القرن نهاية في تطورا عظيما الميكانيك علم في نيوتن قوانين هناك كانت جهة، النظرية. فمن الناحية من

تحقق أن استطاعت والتي نجاحا ووصفها، األجسام حركات تفسير في باهرا النظري األساس تمثل والتي ماكسويل معادالت هناك كانت أخرى جهة ومن النظرية بأن تامة قناعة على العلماء والمغناطيسية. كان الكهرباء لعالم

في يشاهد أو يحدث ما كل تفسر أن فيها يفترض والتي الشاملة، الكونية زال ما كشف مسألة وأن األيدي، متناول في بالفعل أصبحت قد كوننا،

وتنقشع ستتضح ما سرعان وأنه زمن مسألة هي إنما حقائق من مجهوال بميكانيكا آنذاك المتمثلة المعرفية لألسس المناسب بالتطبيق الجهل غمامةالتقليدية. بالفيزياء يسمى ما أو ماكسويل ومعادالت نيوتن

أظهرت التي التقليدية الفيزياء أرجل تحت تتزلزل بدأت األرض أن إال عجزا تافهة األمر أول بدت والتي الظواهر بعض أمام بالغين وفشال

الفيزياء في المسلمات من يعتبر كان ما أن الواضح من وأصبح وسخيفة، من بعض إلى يلي فيما جذرية. وسنعرض مراجعات إلى بحاجة التقليدية

الفيزياء. علم مسرى غيرت التي المآزق هذهاألسود الجسم إشعاعات(1

على الساقطة األشعة مصير ما. ما أشعة عليه تسقط جسم في تأمل مرتدة األشعة هذه تنعكس أن لهما: إما ثالث ال احتماالن هناك الجسم؟ هذا الجسم يمتصها أن أو الجسم ذلك عن وزيادة طاقته رفع في منها مستفيدا

األشعة من معا: جزء يحدثان األمرين كال فإن األمر واقع حرارته. في درجة في بعض عن بعضها األجسام تختلف و امتصاصه، يتم اآلخر والجزء ينعكس

يعكس وال الكثير يمتص فبعضها يمتص، ما إلى ينعكس ما نسبة القليل إال الجزءان فيها يتقارب وبعضها الكثير ويعكس القليل يمتص وبعضها

كميتهما...الخ. حيث من والممتص المنعكس نقيض. الحالة طرفي على حالتين بين فنميز المثالية الناحية من أما

الحالة هذه مثل في عليه، الساقطة األشعة كل الجسم يعكس عندما األولى األشعة جميع يمتص الجسم كان إذا التام. أما بالعاكس الجسم هذا يدعى

المدرسة في تعلمناه ما نتذكر األسود. وهنا بالجسم فيسمى عليه الساقطة الضوئية األشعة جميع يمتص الذي هو األسود اللون ذا الجسم أن من

هذه من شيء إليها يصل وال العين إلى ينعكس فال عليه الساقطة المرئيةالهيثم(. ابن )تذكر سوداء فتظهر األشعة

1

ويزداد الجسم حرارة درجة تزداد الساقطة األشعة بامتصاص تبعا الصفر من أكبر حرارة درجة له جسم فكل الجسم، من األشعة انبعاث لذلك

تحمل أشعة بإصدار يقوم فإنه المطلق ذلك في الكامنة الطاقة من جزءا االنبعاث عملية أن األشعة. الحظ بانبعاث العملية هذه وتسمى الجسم مختلفة من الجسم يستفيد األولى الحالة ففي االنعكاس، عملية عن تماما الزائدة الطاقة من بالتخلص يقوم ثم طاقته رفع في عليه الساقطة األشعة

األشعة تدخل فال االنعكاس حالة في أما عنه، تصدر أشعة بعث طريق عن الساقطة األشعة جميع يمتص األسود الجسم فإن هذا، أصال. وعلى الجسم

حرارته. درجة على بناء أشعة األسود الجسم من تنبعث أنه كما عليه حالة في األسود الجسم نقصد األسود الجسم عن نتكلم عندما عادة،

ويتم الجسم على الساقطة الطاقة كمية فيها تكون التي الحالة وهي االتزان درجة بذلك وتكون الجسم من المنبعثة الطاقة لكمية مساوية امتصاصها

ما أكبر االنبعاث مقدار يكون هذه االتزان حالة في ثابتة. الجسم حرارة 0 من الممكنة القيم كل فتأخذ المنبعثة لألشعة الموجية األطوال أما يكون،

الساقطة األشعة جميع يمتص األسود الجسم أن حيث بديهي أمر وهو ،∞ ←الموجي. طولها كان مهما عليه

الحقيقي؟ عالمنا في األسود الجسم يوجد هل

ساقطة ممتصة

امتصاص انبعاث

االمتصاص

=االنبعاث

T=constant

2

عليه، الساقطة األشعة كل يمتص جسم على اآلن حتى العثور يتم لم األسود الجسم حالة إلى األقرب الجرافيتي بشكله الكربون يكون وربما بالنسبة أما عليه. الساقطة األشعة % من97 حوالي يمتص أنه حيث

المطلق الصفر من أعلى حرارتها درجة التي األجسام من المنبعثة لألشعة اإلنسان( فهي جسم النجوم، الشمس، ساخنة، حديد قطعة صفراء، )لمبة كما توزيعها حيث من األسود الجسم من المنبعثة تلك بعيد حد إلى تشبه

الواسع كوننا في كخلفية الموجودة الكونية الميكرويف أشعة إن بل سيأتي، الكون عنه نتج الذي العظيم االنفجار بقايا من أنها يعتقد والتي زمانا ومكانا تدخل الكون. حرارة درجة تحديد بواسطتها أمكن حيث الباب هذا في أيضا

التالي: النحو على األسود للجسم نموذج عمل العملية الناحية من ويمكن ضيقة فتحة سوى له ليس أدناه، الشكل في كما تجويف، وجود تصور

هذه طريق عن التجويف إلى الداخل الشعاع بالخارج. يمثل تصله وحيدة بغض الشعاع، هذا األسود. سيدخل الجسم على الساقط الشعاع الفتحة هذا في الداخلي السطح على ينعكس وسيظل الموجي، طوله عن النظر

خروجه احتمال يجعل مما التجويف ضئيال الساقط الشعاع جدا. إذا، جدا األشعة جميع امتصاص حالة يمثل وهذا منه يخرج وال الجسم داخل يدخل

أن دون الموجي طولها عن النظر بغض األسود الجسم على الساقطة منها. جزء أي ينعكس

تكون بحيث اتزان حالة إلى التجويف ذو الجسم يصل وجيزة فترة بعد الجسم كان إذا فيما معرفة ويتم الداخلة، للطاقة مساوية المنبعثة الطاقة

وصل قد تصبح والتي حرارته درجة قياس طريق عن االتزان حالة إلى فعال المنبعثة األشعة رصد طريق االتزان. عن حالة إلى الوصول عند تتغير ال ثابتة كمية تساوي والتي الجسم لهذا اإلشعاعية القدرة تحديد يمكن الجسم من

تحديد يمكن كماJ/s ووحدتها الزمن وحدة في الجسم يشعها التي الطاقة األشعة تحليل يتم حيث المختلفة الموجية األطوال على القدرة هذه توزيع

منشور بواسطة المنبعثة ذو الشعاع ذلك يحملها التي الطاقة ترصد ثم مثال للجسم اإلشعاعية القدرة توزيع أدناه الشكل المحدد. يمثل الموجي الطول تحديدها تم والتي األسود مختلفة. حرارة درجات عند عمليا

محلل

راصد

3

المهمة: العالقات من الكثير أعاله الرسم من نستنتج أن نستطيع ، )أيPبزيادة درجة حرارة الجسم األسود تزداد قدرته اإلشعاعية، .1

كمية الطاقة المنبعثة منه في الثانية الواحدة( والمتمثلة بالمساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات. ولكن يالحظ أن هذه

الزيادة ليست خطية فارتفاع بسيط في درجة الحرارة يؤدي إلى زيادة كبيرة في القدرة اإلشعاعية كما هو مالحظ في الرسم. وقد

استطاع العالم شتيفان أن يبين أن القدرة اإلشعاعية تتناسب تناسبا طرديا مع القوة الرابعة لدرجة الحرارة وهو ما يعرف بقانون

(:Stefan’s lawشتيفان )

 P = Power radiated  in W )J/s( القدرة اإلشعاعية  = Stefan's Constant 5.67 x 10-8 W m-2 K-4ثابت

=شتيفان A = Surface area of body )m²( الجسم سطح مساحة

 T = Temperature of body )K(درجة حرارة الجسم

بزيادة درجة الحرارة تنسحب القيمة العظمى التي يمر خاللها.2 ( إلى أطوال موجية أقصر، وهو ما يمثله الخطmaximumالمنحنى )

األحمر المتقطع في الرسم أعاله. يرمز للطول الموجي الذي تقع ، وتكون الطاقة التي تحملهاλmaxعنده القيمة العظمى بالرمز

هي األكبر بين سائرλmax األشعة المنبعثة ذات الطول الموجي

4

( أنWienاألشعة ذات األطوال األخرى. وقد استطاع العالم ڤين )λma يستنبط العالقة التجريبية التالية بين درجة حرارة الجسم و

x :والمعروفة بقانون ڤين

max.T = constantmax = Peak Wavelength )m(

 T = SurfaceTemperature  )K(   Constant = 2.898 x 10-3 mK

This rearranges to max = 2.898 x 10-3 / T

كلماT الحرارة درجة ازدادت كلما أنه األخيرة المعادلة من ويتضح حرارة درجة تحديد في المعادلة هذه استخدام . ويمكنλmax قيمة صغرت الطاقة توزيع ورسم منه الصادرة األشعة رصد طريق عن وذلك الجسم المختلفة الموجية األطوال على المنبعثة الرسم في مورد هو كما )تماما

هي وهذه المذكورة. المعادلة في وتعويضهاλmax تحديد ثم أعاله( ومن النجوم. حرارة درجة تحديد في المثال سبيل على المتبعة الطريقة صفراء واألخرى حمراء النجوم بعض تظهر لماذا التالي الرسم ويوضحλm يجعل مما العالية حرارتها بدرجة تمتاز الزرقاء فالنجوم زرقاء، وغيرها

axالباردة النجوم األزرق. أما اللون عند المرئية األمواج مدى في تقع منخفضة حرارتها ألن حمراء فتظهر عندλmax وتقع أطول فتكون نسبياالمرئية. األمواج مدى في األحمر اللون

األسود: ودرجة حرارة الجسم λmaxويوضح الجدول التالي العالقة بين Some Blackbody Temperatures

Region Wavelength(centimeters)

Energy(eV)

Blackbody Temperature(K)

Radio > 10 < 10-5 < 0.03

Microwave 10 - 0.01 10-5 - 0.01 0.03 - 30

Infrared 0.01 - 7 x 10-5 0.01 - 2 30 - 4100

5

Visible 7 x 10-5 - 4 x 10-5 2 - 3 4100 - 7300

Ultraviolet 4 x 10-5 - 10-7 3 - 103 7300 - 3 x 106

X-Rays 10-7 - 10-9 103 - 105 3 x 106 - 3 x 108

Gamma Rays < 10-9 > 105 > 3 x 108

وهي الحمراء تحت ما أشعة يشع اإلنسان جسم أن الجدول من نالحظ هو وهذا خاصة مناظير باستخدام مالحظتها يمكن ولكن مرئية غير أشعة تجد التي الحمراء تحت المناظير مبدأ األغراض في لها استخداما

جسم حرارة درجة تكون حين الليلية الرؤية من للتمكين العسكريةالخارجي. المحيط حرارة درجة من أعلى اإلنسان األسس على بناء يقوموا، أن الفيزيائيين على اآلن الالزم من أصبح

القدرة توزيع منحنى تصف معادلة باشتقاق أيديهم، بين الموجودة النظرية لهذه تصدى التجربة. وقد طريق عن إليه الوصول تم الذي اإلشعاعية

بطرح بدءا حيث ،Jeans وجينزRayleigh ريالي العالمين من كل المسألة النهائي عدد وجود هو السبب أن واقترحا األشعة انبعاث سبب عن السؤال

هذه مختلفة. ولتوضيح وبطاقات الجسم داخل التوافقية المهتزات من التالي: الرسم في نتأمل الفكرة

الرسم يمثل سعة في بعضها عن تختلف حاالت ثالث في يهتز بندوال الحركة األصغر(. تسمى واألزرق السعة حيث من األكبر )البرتقالي االهتزاز

يهتز التي الحركة نفس وهي توافقية اهتزازية حركة البندول بها يقوم التي حد إلى تشبه وهي إفالته، ثم شده )زنبرك( بعد بنابض المربوط الجسم بها

أن نتذكر أن الضروري الصلبة. من األجسام داخل الذرات حركة بعيد بعضها عن تختلف ال فوق الرسم في المعروضة الثالث االهتزازية الحركات

يعتمد ال فالتردد الواحدة(، الثانية في الدورات )عددν التردد حيث من إال االهتزازية الحركات تختلف به. إنما المربوط الجسم وكتلة الحبل طول على

حقيقة االهتزاز. في سعة تحددها والتي طاقتها حيث من بعضها عن الثالث المختلفة السعات من النهائي عدد التقليدية، الفيزياء حسب هناك، األمرالمختلفة. الطاقات من النهاية ما يمتلك أن أعاله للبندول يمكن وعليه

الموجودة ،N التوافقية، المهتزات عدد تحديد كانت التالية الخطوة توصل . وقد التردد بنفس تهتز مثال( والتي3 م1) الحجم وحدة في

أن إلىJeans وRayleigh العالمان

6

(.................1) الواحد؟ التوافقي المهتز يحملها التي الطاقة معدل هو ما ولكن

principle) المختلفة الحركة أنماط على الطاقة توزيع تساوي مبدأ بتطبيقof equipartitionجزيئات كانت لو كما التوافقية المهتزات هذه ( ومعاملة

يحملها التي الطاقة معدل فإن للغازات الحركية النظرية عليها تنطبق غازية للطاقة½kT و الوضع لطاقة½kT) ستكون الواحد التوافقي المهتز

،N التوافقية، المهتزات تحمله الذي الطاقة معدل فإن الحركية(. وعليه . يمثلهو التردد بنفس تهتز والتي الحجم وحدة في الموجودة

-Rayleigh معادلة به تتنبأ وما التجريبية النتائج بين مقارنة التالي الرسمJeans.

األطوال عند التجريبية النتائج معRayleigh-Jeans معادلة تتوافق تفشل لكنها منها(، أطول هو وما الحمراء تحت )األشعة الكبيرة الموجية

فشال القصيرة، األمواج عند ذريعا قيمة عبر المعادلة تمر أن من فبدال األعلى، نحو متسارعة تتصاعد فأنها الصفر إلى متناقصة ترجع ثم عظمى

للجسم اإلشعاعية القدرة تصاعد عن العلماء عبر نهائية. وقد ال طاقات نحو الفوق الكارثة بمصطلح المنبعثة لألشعة الموجي الطول بانخفاض األسود

جميع منه تنبعث األسود الجسم أن ذلك (،UV-Catastrophe) بنفسجية قصرت وكلما ∞ إلى0 من المختلفة الموجية األطوال بكل اإلشعاعات

األشعة هذه تحملها التي المنبعثة الطاقة كمية بشدة زادت الموجية األطوال أي من المنبعثة الطاقة كمية يجعل مما حرارته درجة بلغت مهما كان جسم

العملية. المشاهدات ألبسط بوضوح مخالف وهذا النهائية، األسود. وفي الجسم مسألة أمام عاجزة التقليدية الفيزياء بقيت

القضية لهذه (Max Planck) بالنك ماكس العالم تصدى1900 العام واستطاع الفيزياء مسلمات بعض عن الخروج ذلك كلفه ولكن يحلها أن فعال

وحدة في الموجودة التوافقية المهتزات عدد بتحديد بالنك التقليدية. ابتدأ الذي الرياضي التعبير نفس على وحصل األسود الجسم من الحجم

7

((. لكنه،1) )المعادلة وريالي جينز العالمان استخدمه لمسلمات وخالفا تمتلك أن يمكنها )البندوالت( ال المهتزات هذه أن افترض التقليدية، لفيزياء

هناك إن بل الطاقة، قيم من قيمة أية )وبالتالي الطاقة من محددة قيما الطاقة قيم أن وافترض المهتزات، هذه بها تهتز أن محددة( يمكن سعات

االهتزازية الحركة تردد مضاعفات من هي إنما هذه الممكنة بثابت مضروبا.h الالتيني بالحرف بالنك له رمز

على الموزعة التوافقية للمهتزات ،Ntotal الكلي، العدد اآلن لنحسب المختلفة: الطاقة مستويات

اآلن . نطبقi الطاقة مستوى في التوافقية المهتزات عدد تمثلNi أن حيث في المهتزات أعداد بين العالقة ( لمعرفةBoltzmann) بولتزمان توزيع قانون

المختلفة: المستويات

للمهتزات: الكلي العدد على بذلك ونحصل

هي مس³³توى ك³³ل طاقة ألن أعاله المعادلة في تعويض تم أنه نالحظبالنك. افترض كما ،h مضاعفات من

لجميع ،Etotal الكلي³³³ة، الطاقة بتحديد نق³³³وم أن هي التالية الخط³³³وة المهتزات طاقة مجموع تساوي والتي الحجم وحدة في الموجودة المهتزاتمستوى: كل في الموجودة

E0=0×h

E1=1×h

E2=2×h

E3=3×h

E4=4×hE

Planckdiscrete

Classical Physicscontinuum

8

ط( طاقة مع³³دل حساب يمكننا تقدم مما وذلك الواحد المه³³تز )متوس³³المهتزات: هذه عدد على الكلية المهتزات طاقة بتقسيم

على: نحصل والمقام البسط في المتسلسالت وبتقييم

.أن: حيث التوافقية المهتزات من المنبعثة الطاقة معدل حساب ونستطيع

عددهابضربوذلك التردد بنفس تهتز والتي الحجم وحدة في الموجودةبمعدلطاقةالمهتزالواحدĒν :

المشاهد التوزيع مع وتتطابق بالنك بتوزيع معروفة األخيرة المعادلة تجريبيا.شتيفان! قانون بالنك توزيع من : اشتق1 تدريب

هي األسود الجسم من الحجم لوحدة الكلية اإلشعاعية القدرة هي الرياضيات السينات. بلغة ومحور المنحنى بين المحصورة المساحة

التوزيع: اقتران تكامل

المعط³³اة بالقيمة قيمته وق³³ارن أعاله المعادلة من ش³³تيفان ثابت حددالفصل. بداية في

9

إلى الكبيرة الموجية األطوال عند يختزل بالنك توزيع أن وضح:2 تدريب:Rayleigh-Jeans معادلة الموجي الطول يكون عندما = c/صغيرا: يكون التردد فإن كبيرا

تكون فإن وعليه ، . نعرف أن صغيرة. نفرض أيضا. فإن صغيرةx تكون عندما أنه الرياضيات من

ين!ڤ قانون بالنك توزيع من : اشتق3 تدريب

10

الكهروضوئي التأثير(2

تنطلق قد فإنه فلز، سطح على كهرومغناطيسية أشعة تسليط عند المنبعثة االلكترونات هذه إياه. تسمى تاركة الفلز هذا من منبعثة الكترونات

بالتأثير الظاهرة هذه ( وتسمىphotoelectrons) الضوئية بااللكترونات(. photoelectric effect) الكهروضوئي

على كهربائي تيار إلى وتحويلها المنبعثة االلكترونات تجميع يمكنالتالي: النحو

مفرغ أنبوب داخل مثبت كهربائي مكثف أقطاب أحد الفلز لوح يجعل الفلز ويكون الهواء، من ثابت كهربائي جهد لمصدر السالب بالقطب متصال

تنبعث فإنه الفلز لوح على كافية طاقة ذات أشعة تسليط للتغيير. عند قابل ( ويسريCollector, C) المجمع نحو متسارعة وتتجه الفلز من الكترونات

بواسطة هذا التيار شدة قراءة ويمكن الكهربائية، الدائرة في كهربائي تيار. Vالفولتميتر بواسطة والمجمع الفلز بين الجهد فرق وقراءةA األموميتر

vacuum

+

+

-

- e-e-

e-e-

A

V

Adjustable power supply

C

11

الطاقة تحديد بغرض أعاله الكهربائية الدائرة استخدام ويمكن فرق قيمة بتغيير وذلك الفلز سطح من انبعاثها عند لإللكترونات الحركية

جهد فرق تخفيض الكهربائية: يتم الدائرة به المصدر يزود الذي الجهد المصدر داخل االلكترونات حركة على المصدر تأثير ينخفض وبذلك تدريجيا المصدر جهد فرق يصبح وعندما األنبوب، وتتحرك التأثير هذا ينعدم صفرا

الحركية الطاقة نفس هي طاقتها وتكون األنبوب داخل حرة االلكترونات ليصبح الصفر تحت المصدر جهد فرق تخفيض الفلز. يستمر بها تركت التي

المجمع ليصبح المصدر قطبي إشارة قلب تم قد أنه يعني مما سالبا و سالبا بالتباطؤ األنبوب في الموجودة االلكترونات تبدأ موجبا. عندها الفلز لوح

قبل. وإذا من أقل بسرعات إليه فتصل السالب المجمع مع تنافرها نتيجة الجهد فرق تخفيض استمر فيه تكون محددة نقطة عند نصل فإننا تدريجيا تستطيع فال المجمع مع التنافر لطاقة مساوية الحركية االلكترونات طاقة

في الكهربائي التيار سريان وينعدم المجمع إلى الوصول عندها االلكترونات المجمع إلى الوصول من االلكترونات لمنع الالزم الجهد هذا ويسمى الدائرة،

(.stopping potential) المنع بجهد

التالية: بالنقاط الضوئي التأثير تجارب نتائج تلخيص ويمكن

( علىmonochromatic) محدد موجي طول ذات أشعة تسليط عند.1 معينة حركية طاقة لها تكون المنبعثة االلكترونات فإن الفلز سطح

تعتمد ال شدة زيادة تسبب وال المستخدمة، الموجة تردد على إال الفلز( أي على المسلطة الموجات عدد )أي المستخدمة األشعة

تسبب وإنما المنبعثة لاللكترونات الحركية الطاقة قيمة في تغيير المنبعثة االلكترونات عدد في زيادة المسلطة األشعة شدة زيادة

األموميتر. بواسطة قياسه يتم الذي الكهربائي التيار شدة وبالتالي

تردد يكون أن يجب الفلز من االلكترونات تنبعث أن أجل من.2 األقل، على أو، من أكبر المستخدمة األشعة تردد لقيمة مساويا تردد زاد وكلما (،threshold frequency) العتبة تردد تسمى محددة زادت العتبة تردد عن الفلز تشعيع في المستخدمة الموجة خطيا أن التالي الرسم في المنبعثة. نالحظ لاللكترونات الحركية الطاقة

آلخر. فلز من تختلف العتبة تردد قيمة

األشعة شدةالمسلطة

تونا

ترلك

االدد

عثة

بعمن

ال

ار

تيال

دةش

يبائ

هرلك

ا

محدد تردد

12

الضوئي التأثير تجارب بساطة من بالرغم التقليدية الفيزياء أن إال الفلز على المسلطة الضوئية فاألشعة نتائجها، تفسير أمام عاجزة وقفت

هذا على وهي كهرومغناطيسية موجات التقليدية، الفيزياء حسب هي، إنما في ساهمت الفلز على األشعة هذه وقعت فإذا الطاقة، "متصل" من سيل تزداد المكونات هذه طاقة وتظل مكوناته طاقة رفع شيئا مع فشيئا

الكافية الطاقة الفلز داخل االلكترونات تمتلك حتى األشعة تسليط استمرار واالنبعاث مفارقته من تمكنها التي األشعة تردد كان لو حتى عنه. إذا، بعيدا

المسلطة ضئيال الفيزياء مبادئ على بناء– ستنبعث االلكترونات فإن جدا حتى األشعة تسليط مدة زيادة طريقتين: إما بإحدى محالة التقليدية- ال

من يزيد مما المستخدمة األشعة شدة زيادة أو الطاقة من يكفي ما يتراكم الفيزياء تصورات الزمن. إن وحدة في الفلز على الواقعة الطاقة كمية

من شك في الفيزيائيين يجعل مما مشاهد هو لما مخالفة هذه التقليديةالتقليدية. تصوراتهم

1905 العام في يقدم أن أينشتاين استطاع تفسيرا لنتائج مقبوال الضوئي، التأثير تجارب في طرحها كان التي بالنك أفكار من مستفيدا

األشعة بأن تقضي والتي األسود الجسم إشعاعات توزيع لمنحنى اشتقاقه اينشتاين . اقترحh الكم مضاعفات من هي إنما األسود الجسم من المنبعثة

13

Metal c

من سيل قل أو "كمات" الطاقة، من سيل هي إنما عام بشكل األشعة أن هذه "باكيت" من كل اآلخر، تلو الواحد تتوالى صغيرة "باكيتات" طاقة

"الباكيتات" يحمل "باكيتات" سميت . وقدh مقداره الطاقة من كما وبناء .E=h هي الواحد الفوتون طاقة فإن وعليه بالفوتونات هذه الطاقة

عدد تكون الضوء شدة فإن لألشعة اينشتاين وضعه الذي التصور هذا على .2سم خالل تمر والتي الواحدة الثانية في المصدر من المنبعثة الفوتونات

من بد الفلز: ال من االلكترون النبعاث آلية اينشتاين طرح ذلك بعد التي الداخلي الجذب قوى كل من للتحرر الكافية الطاقة االلكترون إعطاء االنفالت، من تمنعه الفضاء إلى صاروخ إطالق نريد حين نفعل كما تماما على التغلب من تمكنه حركية بطاقة المنطلق الصاروخ يزود أن يجب حيث أقل بطاقة الصاروخ زود إذا تأثيرها. أما من ليتحرر األرضية الجاذبية قوى األعلى إلى يندفع فإنه الالزم من ثم يتوقف حتى سرعته يفقد ويظل متباطئا

يسقط يصل أن يجب الذي الطاقة مستوى الجاذبية. يسمى تأثير تحت عائدا يعتبر حتى االلكترون إليه وتسمى الفراغ بمستوى الفلز تأثير من متحررا

) الشغل بدالة الفراغ مستوى إلى الفلز من االلكترون لنقل الالزمة الطاقةwork functionبالرمز الشغل لدالة (. يرمز أو بالفولت وحدتها وتكون

.E=e هي الشغل ودالة الطاقة بين العالقة أن حيث بالجول

نتذكر أن يجب الضوئي التأثير ظاهرة تفسير في أن دائما فوتونا كانت فإذا الفلز، من الواحد االلكترون انطالق عن المسؤول هو فقط واحدا يستطيع لن االلكترون فإن الشغل دالة من أقل الساقط الفوتون طاقة

تكون أن يجب االلكترون النفالت الالزم الفوتون طاقة فإن وعليه االنفالت،الشغل: لدالة مساوية األقل على

h h h h h h h h h h

vacuum

e- e- e- e-

E

e

metal

14

فإن الشغل دالة من أعلى الساقط الفوتون طاقة كانت إذا أما الفوتون طاقة يمتص سوف االلكترون االنفالت في منها جزء مستخدما حركة: طاقة شكل على تبقى مما ومستفيدا

عليه حصلنا الذي المستقيم الخط معادلة هي األخيرة المعادلة إن h الثابت قيمة تحديد من يمكننا ( والذي13 الصفحة في )الرسم تجريبيا

الواضح المستقيم. من الخط ميل يمثله والذي بدقة زيادة أن تقدم مما أيضا ال وهذا الفوتونات عدد في زيادة تعني إنما الفلز على المسلط الضوء شدةعددها. على فقط وإنما المنبعثة لاللكترونات الحركية الطاقة على يؤثر

الضوئي التأثير تجارب نتائج يفسر أن اينشتاين استطاع بهذا مؤصال جائزة ذلك على نال وقد الفيزياء، في أساسي كمفهوم الطاقة تكمية لمبدأ نشر الذي العام نفس في أنه بالذكر الجدير الفيزياء. ومن في نوبل

نشر قد كان الكهروضوئي للتأثير تفسيره اينشتاين النسبية نظريته أيضاالسوائل. في العشوائية البراونية للحركة تفسيره وكذلك الخاصة فولت. احسب100 مقداره جهد فرق تأثير تحت الكترون : يقع4 تدريب

سرعة باآلنود. احسب اصطدامه عند لاللكترون الحركية الطاقةباآلنود. اصطدامه عند االلكترون

Eeالكهربائي: الحقل في وجوده نتيجة الوضعية االلكترون طاقة

-=e×V هي V وAs 19-10×1.6 ومقدارها األولية الشحنة هيe أن حيث E=1.6×10-17 Jقيمتها: وتبلغ االلكترون، على المؤثر الجهد فرق

=100 eVعند حركة طاقة إلى كلية الوضعية الطاقة هذه . تتحول Ekinetic=½mv2 وعليه االصطدام،

Ekinetic=1.6×10-17 Jاصطدامه! عند االلكترون سرعة حساب . أتممالفلزات: لبعض الشغل داالت قيم المرفق الجدول : يوضح5 تدريب

e-+-

100 V

15

لكل احسب ثم الجول بوحدة الشغل دالة قيمة عنصر لكل احسبأ(العتبة. تردد عنصر

مرئية أشعة بتسليط االلكترونات منه تنفلت أعاله العناصر أيب(عليه؟

بها ينفلت السرعة( التي )ومنها الحركية الطاقة احسبت( بنفسجية فوق ألشعة تعريضه عند األلمنيوم سطح من االلكترون

. nm 200 طولها ( فيW 100) صفراء لمبة من المنبعثة الفوتونات عدد : احسب6 تدريب

) الموجة أحادي هو المنبعث الضوء أن فرض على الواحدة الثانيةmonochromatic560( بطول nm.

100 هي الواحدة الثانية في اللمبة من المنبعثة الكلية الطاقةW=100 J/s.

الواحد: الفوتون طاقة

الواحدة= الثانية في المنبعثة الفوتونات عدد الفوتون طاقة ÷ الواحدة الثانية في المنبعثة الكلية الطاقة

الواحد

16

(Rutherford) رذرفورد نموذج(3

والكترونات بروتونات من الذرات مكونات كانت1911 العام بحلول معروفة أصبحت قد اقترح مجهوال. وقد زال ال كان الذرة تركيب أن إال

في وااللكترونات البروتونات لتوزيع التالي ( النموذجThomson) تومسونالذرة:

رذرفورد العالم قام تومسون نموذج صحة من للتأكد منه محاولة في- ألفا بجسيمات الذهب من رقيقة صفيحة قذف تتضمن تجربة بإجراء

particlesرذرفورد الهيليوم(. الحظ ذرات أنوية تعادل ثقيلة جسيمات )وهي يحدث أن دون تخترقها الذهب صفيحة إلى الموجهة ألفا جزيئات معظم أن إلى يرتد ألفا جسيمات من بسيط جزء باستثناء اتجاهها في تغيير أي لها

نسبيا. كبيرة وبزوايا الخلف

يقتضي والذي تومسون نموذج مع متفقة النتائج هذه تكن لم توزيعا ال الصفيحة اخترقت التي ألفا الذرة. فجسيمات داخل في للكتلة متساويا

خفيفة بأجسام اصطدمت بأنها شك تصطدم )كأن مسارها على تؤثر لم جدا والذي الجسيمات من البسيط العدد أما مثال(، ماء بزجاجة مسرعة سيارة

االرتداد زوايا أن كما ثقيلة بجسيمات اصطدم أنه شك فال الخلف إلى ارتد ألفا. استنبط جسيمات شحنة تشبه موجبة شحنة مشحونة أنها إلى تشير

حيز معظم )االلكترونات( تشغل الخفيفة السالبة الجسيمات أن رذرفورد تشكل )البروتونات( ال الثقيلة الموجبة الجسيمات وأن الذرات إال جزءا النموذج هذا الحيز. يعرف هذا من يسيرا planetary) الكوكبي بالنموذج أيضا

17

modelحركة )النواة( تشبه البروتونات حول االلكترونات حركة أن ( حيث الشمس. حول الكوكب

أن هي التقليدية الفيزياء نظر وجهة من رذرفورد نموذج في المشكلة أشعة تصدر أن فيها يفترض فإنه دائرية بحركة تقوم عندما االلكترونات

أو معجلة اهتزازية حركة هي الدائرية الحركة أن ذلك كهرومغناطيسية، المعروف ( ومنaccelerated motion) متسارعة تقوم عندما أنه عمليا في المرسل عمل مبدأ هو )هذا أشعة تبعث فإنها معجلة بحركة الشحنات

هي الظاهرة وهذه الجو، إلى راديو أشعة بإرسال يقوم والذي الراديو جهاز ثم ومن كهرومغناطيسية موجات تكوين فيHertz هرتس استخدمها التي

وهي– كهرومغناطيسية أشعة تبعث االلكترونات كانت إذا رصدها(. ولكن طاقة تنخفض أن يحتم الطاقة حفظ قانون الطاقة- فإن أشكال من شكل

االلكترون معها يلتحم حتى البروتونات من فأكثر أكثر بذلك فيقترب تدريجياوتختفي. الذرات بذلك وتنهار

تدل فقوانينها حرج، مأزق في أخرى مرة التقليدية الفيزياء وقعت أن حين في وجودها، إمكانية عدم وبالتالي رذرفورد ذرة استقرار عدم على

تفسر ( نظريةBohr) بور العالم قدم العمل؟ النموذج. ما صحة تؤكد التجربة الفيزياء أطر خارج نظريته كانت أخرى، مرة ولكن رذرفورد، ذرة استقرار

التقليدية. (Line Spectrum) الخطي الطيف(4

18

الطيف ظاهرة على التعريج من لنا بد ال بور نظرية إلى االنتقال قبل كان الذي الخطي له يكن لم ولكن عشر التاسع القرن نهاية منذ معروفامقبول. تفسير

األمواج مثال( فإن زجاجي )منشور محلل على أبيض ضوء تسليط عند بناء مختلفة بزوايا تنكسر سوف األبيض للضوء المكونة المختلفة الضوئية

للعين ألوانها فتظهر بعضها عن تبتعد يجعلها مما الموجي طولها على المتصل" وذلك "الطيف ب الناتج الطيف قزح(. يسمى قوس )ظاهرة األبيض الضوء فمصدر الممكنة، الموجية األطوال جميع على الحتوائه

هو مثال( ما )الشمس ماذا األطوال. لكن بشتى أشعة يبعث أسود جسم إال هيدروجين لمبة وضعنا إذا يحدث األبيض؟ الضوء مصدر من بدال

بغاز مليء تفريغ أنبوب مجرد األمر حقيقة في هي الهيدروجين لمبة فإن القطبين ( بينkV 10-3) عال جهد فرق وضع وعند الهيدروجين، نحو متسارعة ( وتتجهcathode) السالب القطب من تنفلت اإللكترونات

الهيدروجين بجزيئات طريقها في تصطدم ( حيثanode) الموجب القطب حالة من أعلى عالية بطاقات ذرات أي (،excited) مثارة ذرات إلى فتحولها

الهيدروجين ذرات تلبث (. ال1s فلك في االلكترون يكون )حين االستقرار

19

وترجع باإللكترونات اصطدامها عند اكتسبتها التي الطاقة تفقد أن المثارة يمكن، ما أقل طاقتها تكون حيث االستقرار حالة إلى الكرة تفعل كما تماما

ب. الموقع في االستقرار حالة إلى بانتقاها أ الموقع "المثارة" في

فرق ينبعث االستقرار حالة إلى المثارة الهيدروجين ذرات برجوع اآلن أشعة. يمكننا شكل على االستقرار وحالة المثارة الحالة بين الطاقة ورصد أعاله الزجاجي المنشور خالل تمريرها بواسطة األشعة هذه تحليل

مثال. فيلم أو شاشة على الناتج الطيف

تستطيع التقليدية، الفيزياء فحسب متصل، طيف هو نراه أن نتوقع ما )انظر الطاقة قيم من قيمة أية اإلثارة حالة في تمتلك أن الهيدروجين ذرة

إلى رجوعها حال يفترض فإنه وعليه يمين(، الثامنة، الصفحة في الرسم الموجية األطوال كل تبعث أن االستقرار حالة هو المشاهد أن الممكنة. إال

يسير عدد هو عليه نحصل ما أن بمعنى خطي، طيف الموجات من جدا يشير مما المرئية(، األشعة ضمن فقط أمواج )أربعة محددة موجية بأطوال

من شاءت قيمة أية تمتلك أن لها يسمح ال المثارة الذرات هذه أن إلىالطاقة!

المنبعثة األشعة على فقط يقتصر ال الخطي الطيف أن العلماء وجد األخرى العناصر باستخدام عليه الحصول يمكن بل الهيدروجين لمبة من

تبعث مثارة ذرة فأية المختلفة، رجوعها عند فقط محددة بأطوال أمواجا

20

وليس خطي عام يشكل الذري )الطيف االستقرار حالة إلى أن متصال(. إال نال الهيدروجين طيف اهتماما التاسع القرن نهاية في العلماء من خاصا في الموجية األطوال بين عالقة استنباط محاولة على عكفوا الذين عشر) ( وباشنBalmer) ( وبالمرLyman) ليمان منهم نذكر الهيدروجين، طيف

Paschenريدبرج العالم استطاع (. وقد (Rydbergأن ) من جهود يلخص )معنىempirical equation تجريبية معادلة شكل على العلماء من سبقه بالتجريب وجد وإنما نظرية أسس من اشتقاقها يتم لم المعادلة هذه أن ذلكالتجارب(: نتائج لوصف مناسبة أنها

أعداد هيn2 وm-1، n1 107×1.09678 وقيمته ريدبرج ثابت هوR أن حيثموجبة. صحيحة

بدقة التجريبية النتائج تصف ريدبيرج معادلة أن من بالرغم لم أنه إال يكن يكن لم أنه كما معناه وما الثابت هذا جاء أين من مفهوما هي ما مفهوماالصحيحة. األعداد هذه

( للذرةBohr’s model) بور نموذج(5

بور وضع وتجارب رذرفورد تجارب نتائج مع يتوافق للذرة نموذجا )المسلمات التالية المسلمات على النموذج هذا في واعتمد الذري الطيف

يثبت لم طالما "نسلم" بصحتها ولكننا صحتها على برهان ال عبارات هيخالفها(: دائرية، بمدارات النواة حول اإللكترون يدورأ( النواة نحو منجذبا

التجاذب )قوى التقليدية الكولومية التجاذب قوى بواسطة(.Coulombic forcesاإللكتروستاتيكي

فيها، بالتواجد لاللكترون يسمح المدارات من محدد عدد هناكب( لإللكترون يسمح الطاقة من محددة قيم فهناك ذلك وعلى

محددة. طاقة له مدار كل أن حيث بامتالكها بين الطاقة فرق فإن آخر إلى مدار من اإللكترون انتقال عندت(

موجات شكل على انبعاثه أو امتصاصه يتم المدارين المدارين بين الطاقة فرق مقدار هو ترددها كهرومغناطيسية

. hبالنك ثابت على مقسوما

Eiو االنتقال قبل اإللكترون فيه كان الذي االبتدائي المدار طاقة هي Ef

اإللكترون. إليه انتقل الذي النهائي المدار طاقة هي

من الزاوي( هو )العزم النواة حول اإللكترون دوران عزمث(.h/2 مضاعفات

21

تدور حيث التالي الرسم انظر الزاوي، العزم مفهوم لتوضيح مقدارها ثابتة وبسرعةr قطره نصف دائري مدار فيm الكتلة

v:

متجهة قيمة . وهو يساويL الزاوي العزم عليها وتنطبق القطر ونصف السرعة متجهي على متعامدة

اليمنى. اليد قاعدة نموذجه ببناء بور شرع حول الدائر اإللكترون أن حقيقة من منطلقا

ميكانيكي، اتزان حالة النواة- في عن بعده حيث يكون- من أن يجب النواة القوة أن يعني وهذا النواة، عن يبتعد وال يقترب فال مداره في يظل إنه إذ

تطرده التي للقوة مساوية تكون أن يجب النواة إلى تجذبه التي عنها: بعيداالمركزية الطاردة = القوة الكولومية الجذب قوة

الكولومية: الجذب قوة Zeالنواة. = شحنة

e19-10×1.6 ومقدارها األولية = الشحنة As.Zالبروتونات(. )عدد الذري = العددrالنواة. عن اإللكترون = بعد

r = 1.للفراغ

المركزية: الطاردة القوة vاإللكترون = سرعة mاإللكترون = كتلة

(2..............................) إذا:

.........)و(3......)ومنها: 4)

)ث(: األخيرة المسلمة ( وبتطبيق2) المعادلة من

rm

v

L

22

(:3) رقم المعادلة في األخيرة المعادلة تعوض

(.....5)

هي والتي لإللكترون الكلية الطاقة التقليدية بالطريقة اآلن نحسب حركة عن ناتجة (: األولىV) الوضعية ( وطاقتهK) الحركية طاقته مجموع

ما، قوة تأثير تحت وقوعه )أي قوة حقل في وجوده نتيجة والثانية اإللكترونأعاله(. االلكترون حال في الكولومية التجاذب قوة وهي

)الجول بوحدة األخيرة المعادلة حسبA الثابت قيمة احسب(:7) تدريبJ )بوحدة وكذلك eVقطر ( نصف5) المعادلة حسب . واحسب

الوحدة. صحة من ( وتأكدa0) بورالمهمة: األمور من ( العديد6) المعادلة من نستخلص

النواة تأثير تحت واقع اإللكترون أن تعني سالبة اإللكترون طاقة كون.1 المستوى إلى بانتقاله النواة تأثير من اإللكترون ويتحرر إليها، منجذب

n=∞( صفرا.6) المعادلة حسب طاقته تصبح حيث الطاقة ( كانتZ البروتونات عدد ازداد )أي النواة شحنة ازدادت كلما.2

له. جذبها وزيادة االلكترون على النواة تأثير زيادة يعني مما أكثر سالبة ذرة في( n=1)األول المستوى في موجود إلكترون طاقة بين قارن

23

الهيليوم. ذرة في ولكن األول المستوى في كذلك وآخر الهيدروجين.( 4A)-الثانية الحالة في أنها حين في(A)- هي األول االلكترون طاقة

طاقته تزداد ( كما5 )المعادلة النواة عن االلكترون بعد يزدادn بزيادة.3 العددية القيمة فانخفاض وعليه ،4- من أكبر2- أن (. تذكر6 )المعادلة

في زيادة ( يعني6) المعادلة في المقام في الموجودةn بزيادة للطاقة االبتعاد من اإللكترون تمكن التي هي الطاقة في الزيادة الطاقة. هذه

ترمي أن )جرب النواة عن أكثر بقوة دفعته كلما األعلى؛ إلى جسما نحو أكثر ابتعد كلما أكبر، له المعطاة الحركية الطاقة بذلك وكانت أكبر،

األعلى(. الطاقة مستويات زادتn ازدادت كلما.4 هو كما البعض، بعضها من قربا

التالي. الرسم في مالحظ

أن حيث رذرفورد؟ ذرة استقرار بور نموذج اآلن يفسر كيف دورانه في فإنه الطاقة قيم من شاء قيمة أية يمتلك أن يستطيع ال اإللكترون

كهرومغناطيسية أشعة يبعث ال بها المسموح المدارات أحد في النواة حول انبعاث بفرض اإللكترون أن ذلك )متسارعة(، معجلة حركته كون من بالرغم سيفقد منه كهرومغناطيسية أشعة شيئا فشيئا جزءا مما طاقته من يسيرا بها. مسموح غير طاقة مستويات في اإللكترون يضع

الذري الطيف كون بور نموذج يفسر كيف أن لنفرض خطيا؟ طيفا أخفض طاقة مستوى ( إلىn2=nhigh) عال طاقة مستوى من انتقل اإللكترون

e- allowed

allowed

Not allowed

24

(n1=nlowإن .) مسلمات )ت( من الثالثة المسلمة وحسب ، الطاقة فرق هو: ترددها كهرومغناطيسية موجة شكل على سينبعث بور،

متطابقتان أنهما نجد ريدبيرج بمعادلة األخيرة المعادلة مقارنة عند بالقيمة وقارنهاR قيمة من )تأكدإال: هو ما ريدبيرج ثابت وأن

(. 21 الصفحة في المعطاة ,Lyman) وباشن وبالمر ليمان بسالسل يسمى ما التالي الرسم يمثل

Balmer and Paschen seriesللهيدروجين. نالحظ الذري بالطيف ( والخاصة المثارة حالته من اإللكترون رجوع نتيجة الضوء ينبعث ليمان سلسلة في أنه

فوق األشعة من المنبعث الضوء ( ويكونn=1) األول المستوى إلى) الثاني المستوى إلى اإللكترون رجوع يكون بالمر سلسلة البنفسجية. في

n=2األشعة فتكون باشن سلسلة في مرئية. أما المنبعثة األشعة ( وتكون (. n=3) الثالث المستوى إلى الرجوع يكون حيث حمراء تحت المنبعثة

Lyman series Balmer Series Paschen Series Ends at n=1 Ends at n=2 Ends at n=3

UV visible Infra-red

في منبعثة أشعة وأطول ألقصر الموجي الطول : احسب(8) تدريببالمر! سلسلة

،nlow=2 ونعوض الموجي الطول لحساب ريدبيرج معادلة نستخدم تنتهي بالمر سلسلة أن حيث المستوى إلى االلكترون برجوع دوما

25

الثاني. نتذكر ) الهيدروجين بذرة تتعلق بالمر سلسلة أن أيضاZ=1.)

ما أعلى طاقتها تكون التي هي بالمر سلسلة في أشعة أقصر أعاله(. الرسم )انظرn=2 إلى∞=n من باالنتقال وتختص تكون

ما أقل طاقتها تكون التي فهي السلسلة في األطول األشعة أماأعاله(. الرسم )انظر n=2 إلى n=3 من باالنتقال وتختص يمكن

في منبعثة أشعة وأطول ألقصر الموجي الطول : احسب(9) تدريبباشن! سلسلة وفي ليمان سلسلة

في هيدروجين ( ذرةIonization energy) تأيين طاقة : احسب(10) تدريب تأيين على قادر اإلشعاعات من جزء أي حدد ثم االستقرار، حالةالهيدروجين. ذرة

اإللكترون أن يعني االستقرار حالة في الهيدروجين ذرة كون طرد فهو التأيين . أماn=1 أي األقل، الطاقة مستوى في موجود

المستوى إلى نقله يعني مما النواة تأثير مجال خارج اإللكترونn=∞.

ذرة من المتأين لإللكترون الحركية الطاقة : احسب(11) تدريب مقداره موجي طول ذات ألشعة تعريضها تم مستقرة هيدروجين

60 nm. الساقط الفوتون طاقة أن ( نالحظ10) التدريب إلى بالرجوع

اإللكترون. لتأيين الالزمة الطاقة من أعلى الهيدروجين ذرة على

26

الباقي من ويستفيد ليتأين طاقة من يحتاجه ما اإللكترون سيأخذحركية. كطاقة - الساقط الفوتون = طاقة المتأين لإللكترون الحركية الطاقة

.( K=hI.E)التأين طاقة بور نظرية حققت نجاحا الهيدروجين، ذرة طيف تفسير في باهرا

أخفقت المقابل في ولكنها إخفاقا على يطبقها أن بور حاول عندما كبيرا ذلك بعد طويلة سنوات بور أمضى وقد األخرى، العناصر أطياف محاوال

(Sommerfeld) زومرفلد مثل آخرون علماء حاول نجاح. كما دونما تطويرها دوران مدارات بجعل األول فقام بور نظرية ( تطويرHeisenberg) وهايزنبرج تأخذ بأن nل الثاني ( وسمحelliptical) إهليلجية اإللكترون نصف أعدادا التطوير هذا أحدث وبالفعل صحيحة، تحسينا طفيفا يكن لم أنه إال مرضيا

يصلح ال بور نموذج أن بعد فيما تبين البتة. على تحتوي التي للذرات إال ,+He أمثال الهيدروجين ذرة وشبيهات الهيدروجين ذرة وهي واحد إلكترون

Li2+, Be3+, B4+….

27

الكم ميكانيكا ونشأة والدة

( تاريخ1 القديمة الكم نظرية )أو بور نظرية على سنين سبع عن يزيد ما مضى

العشرين القرن من الثاني العقد بداية في تزال ال أيضا( وهي تسمى كما دون مكانها ترواح الناحية من الفيزياء إنجازات مع يتماشى ملموس تقدم

سنة( والذي22) هايزنبرج الشاب العالم أرق مما األمر هذا التجريبية. كان التفكير. كان نمط في جذري وتغيير نوعية لنقلة األوان آن قد أنه اعتقد

التي المسارات تلك هي بور نظرية في الحقيقية المشكلة أن يرى هايزنبرج منه التأكد للباحثين يمكن ال مما فهي فيها، يدور اإللكترون أن نفرض

تجريبيا، "التقليدية" اقترح الفرضيات هذه مثل على االعتماد من وبدال على هايزنبرج بالتجربة. عكف يقاس أن يمكن بما أكثر االهتمام هايزنبرج

رحلة في ذهابه قبل بتقديمها، قام وبالفعل لفكرته، الرياضية األسس وضع) بورن ماكس العمل في لرئيسه مكتوبة ،1923 العام في طويلة علمية

Max Bornمباشرة. بنشرها وقام الصحيح الرياضي اإلطار في وضعها ( الذي Quantum) الكم ميكانيكا مصطلح فيها يظهر مرة أول تلك كانت

mechanics.) الكم ميكانيكا تلق لم في مغرقة كانت فقد الفيزيائيين، لدى حماسا

مجرد كانت شيء، أي بها يتخيل أن يستطيع معها المتعامل يكاد ال التجريد ال بآلة أشبه ولكنها صحيحة نتائج تعطي أنها ومصفوفات! صحيح أرقام– الفيزيائيون النتائج. كان فتعطيك المعطيات تعطيها تعمل، كيف يعرف قابلة األقل على أو ملموسة أشياء إلى بالذات- بحاجة منهم القديم الجيل

فأخذ القدامى الفيزيائيين هؤالء ( أحدSchrödinger) شرودنجر وكان للتخيل، أقل مسلك عن يبحث وأكثر تجريدا وبورن هايزنبرج ميكانيكا من قبوال

العتمادهاMatrix mechanics المصفوفات بميكانيكا بعد فيما عرفت )والتي ضالته شرودنجر وجد أن فكان المصفوفات(، على الرياضية الناحية من

De Broglie) برولي دو فرضية في المنشودة لما األساس بذلك ( واضعا(. Wave mechanics) األمواج بميكانيكا بعد فيما عرف

برولي دو ( فرضية2

النقاش كان عشر التاسع القرن بداية في الفيزيائيين بين محتدما )مؤقتا( النقاش انحسم جسيمات؟ أم هو موجات الضوء، طبيعة على

من الصادرة الضوئية األشعة أن على فيها برهن ( والتيYoung) يونغ بتجربة & constructive) وبناءة هدامة تداخالت بعضها مع تتداخل مختلفين مصدرين

destructive interferenceالظاهرة هذه تفسير يمكن ال ( وأنه اعتبر إذا إالموجات. الضوء

28

الضوئي التأثير تجارب نتائج تفسير يمكن ال المقابل في اعتبر إذا إال التي التجارب أكدت الفوتونات(. كما )سميناها صغيرة جسيمات الضوء جسيمات هذه الفوتونات أن1922 العام ( فيCompton) كومبتون أجراها

تملك أنها حيث عزما بجسيمات الضوء اصطدام فعند (، momentum)زخما كاإللكترونات خفيفة الضوء أن كما مسارها، تغير اإللكترونات فإن مثال

قانون يقتضيه ما حسب الموجي طوله يتغير االلكترونات هذه على الساقط نقلت "جسيمات" الضوء أن يشير مما العزم، حفظ إلى عزمها من جزءا

بذلك وفقدت االلكترونات مرن )تصادم موجتها فطالت طاقتها من جزءاelastic collision .)

برولي دو الرياضيات عالم نظر المتعلقة التجارب هذه في متأمال يمكن فتارة ثنائية، طبيعة ذو الضوء أن إلى تشير والتي الضوء بطبيعة من كان إذا فيما وتساءل جسيمات اعتباره يمكن وتارة موجة اعتباره مثل األخرى الجسيمات ليشمل الثنائية الطبيعة مفهوم يوسع أن الممكن

األمواج بين يربط أن يمكن الذي ما المثال. ولكن سبيل على االلكترونات والجسيمات؟

آلينشتاين النسبية النظرية قدمت الفائت: إنها للسؤال مقنعا جوابا هي األجسام- ما صفات من صفة وهي– الطاقة! فالكتلة من شكل إال

المشهورة معادلته في الحقيقة هذه آينشتاين لخص وقد الطاقة، أشكال الجسم ذلك كتلة يساوي جسم أي طاقة محتوى أن تقرر والتي مضروبا

29

كتلة له شك وال فهو طاقة، له الفوتون أن الضوء. وحيث سرعة بمربع(:p=m×v بالسرعة مضروبة الكتلة يساوي العزم أن )تذكر عزم له وبالتالي

أي األخيرة( فإن )المعادلة برولي دو معادلة تقتضيه ما حسب جسم نعتبرها أن يمكن الضخمة األجسام موجة!! حتى اعتباره يمكن يتحرك

موجة!!!! 60 كتلته قدم كرة العب يمثلها التي الموجة طول احسب(:1) تدريب

كم/ساعة؟10 بسرعة الملعب في يتحرك كغم

الالعب يمثلها التي الموجة هذه طول أن السابق المثال في نالحظ ضئيلة هذه لمثل الموجية الطبيعة فإن معنى. ولهذا أي تحمل ال بحيث جدا

تظهر لن الكبيرة األجسام العبي "تداخل" بين يحصل ال ولهذا للعيان أبداهداما. أم كان بناء الملعب في القدم كرة

.nm 450 الموجي طوله فوتون كتلة احسب(:2) تدريب جهد تأثير تحت واقع إللكترون الموجي الطول احسب(:3) تدريب.V 100 مقداره كهربائي

حركة: طاقة إلى كلية الكهربائية الوضع طاقة تتحول

لإللكترون الموجي الطول أن السابق السؤال جواب من واضح إكس أشعة أن المعروف ومن ،(X-ray)إكس أشعة ضمن يقع المتسارع استخدام يمكن فهل الصلبة، لألجسام البلوري البناء تحديد في تستخدم

المعجلة اإللكترونات الغرض؟ لهذا إكس أشعة من بدال) ( وجرمرDavisson) ديفيسون العالمان قام1927 العام في

Germerحيود تجارب ( بإجراء (Diffractionإللكترونات ) باتجاه معجلة

30

اصطدامها عند اإللكترونات هذه أن العالمان وجد وقد النيكل، من صفيحة تداخالت بينها فيما تتداخل أمواج عنها وينتج حيود لها يحدث النيكل بصفيحة

"نمط ظهور إلى تؤدي وبناءة هدامة إكس. أشعة تنتجه كالذي حيود" تماما ليست أنها وإثبات برولي دو فرضية تأكيد العالمان استطاع لقد وهما رياضيا يعتمد اإللكتروني المايكروسكوب أن بالذكر الجدير عملية. ومن حقيقة بلأمواج. هي اإللكترونات أن حقيقة على تشغيله مبدأ في

قدمت برولي دو فرضية أن المرحلة هذه في ذكره الواجب من تفسيرا لماذا تفسير أي يقدم لم بور. فبور نظرية مسلمات لبعض علميا

االلكترونات تكون ولماذا ،h/2π مضاعفات من الزاوي العزم يكون أن يجب يقدم لم أنه كما محددة، مدارات في تفسيرا تصدر ال لماذا حقيقيا

فيما النواة. وسنوجز حول دورانها عند كهرومغناطيسية أشعة اإللكتروناتبور: نظرية يخص فيما برولي دو فرضية نتائج يلي

أن يجب اإللكترون فيه الموجود المدار محيط أن التالي الرسم يوضح.1 اإللكترون لذلك الموجي الطول مضاعفات من يكون تداخلت وإال بعضها مع اإللكترون موجة تداخال االلكترون فناء إلى يؤدي مما هداما

(bمن .) اإللكترون. فيها يتواجد محددة مدارات هناك أن نستنتج هذا

2. التالي: النحو على أعاله الشرط يكتب رياضيا

.h/2π مضاعفات من الزاوي العزم أن يتبين ومنه موجات النواة حول دورانها خالل اإللكترونات تصدر ال.3

شحنة ال موجة فهي الموجية، طبيعتها في تكون ألنها كهرومغناطيسيةمتحركة.

31

شرودنجر ( معادلة3

نستطيع شك وال فإننا شرودنجر، فكر موجة، اإللكترون كان إذا ولكنالموجات: معادلة عليه نطبق أن

الموجة أن بمعنى واحد، بعد في موجة معادلة هي السابقة المعادلة c . تمثلx-axis السينات محور اتجاه في وليكن واحد، اتجاه في فقط تتحرك

سرعة تساوي والتي الموجة بها تتحرك التي السرعة أعاله المعادلة في اإلزاحة. ولتوضيح فتسمىy الكهرومغناطيسية. أما األمواج حالة في الضوء في نتأمل الموجة تقطعها التيx والمسافةt بالزمن وتأثرها اإلزاحة معنى

والوديان" ب"القمم والمتمثلة ماء، بركة في حجر إلقاء عن الناتجة الموجة بالتحرك تبدأ التي الحجر. إلقاء مركز عن بعيدا

ألن عرضية موجة الماء في حجر إلقاء من الناتجة الموجة تسمى

على عمودية حركتها تكون ( وإنماx) الموجة باتجاه تتحرك ال الماء جزيئات ،y االتجاه في األسفل وإلى األعلى إلى تتحرك فالجزيئات الموجة، اتجاه

الماء مستوى وتحت فوق الجزيئات تقطعها التي المسافة على ويطلق اإلزاحة وتكون اإلزاحة مصطلح الحجر إلقاء الصفر( قبل )مستوى الساكن

كانت إذا وموجبة الساكن الماء مستوى تحت الجزيئات كانت إذا سالبة اثنين: أمرين على يعتمد اإلزاحة مقدار أن أعاله الرسم من فوقه. ونالحظ

الحجر( والثاني إلقاء )موضع الموجة مركز عن ،x الجزيئات، بعد هو األول محددة زمنية نقطة عند أنه الرسم في الحجر. فنرى إلقاء بعد ،t الزمن، هو

(t1تختلف )اإلزاحة قيمة مثال yقيمة بحسب x، ل محددة قيمة عند وأنه كما x .1(t4 إلىt1 )من الزمن مرور مع تتغير اإلزاحة فإن

األمواج معادلة في يعوض أن شرودنجر اقترح دالة اإلزاحة من بدال وتسمى ، الرمز الدالة هذه وأعطيت اإللكترونية الموجة تمثل أخرى أيضاالموجية: الدالة

جزئية تفاضلية معادلة هي أعاله المعادلة فإن الرياضية الناحية منالتالي: الشكل المعادالت هذه لمثل العام الحل ويأخذ الثانية، الدرجة من

توجد ال أنه االختالف مع عرضية موجات كذلك هي الكهرومغناطيسية الموجات11 الحقل وكذلك الكهربائي الحقل مقدار في تكون اإلزاحة وإنما تتحرك جزيئات

الكهرومغناطيسية. للموجة المغناطيسي

32

فإنللموجاتوبالنسبة

يتماآلنتعويضالطولالموجيلإللكترونمنمعادلةدوبرولي بالنك:معادلةمنموجتهوتردد

التالي: النحوعلىالدالةبذلكتصبح

فيمركبتها علىpقصرتماألخيرةالمعادلةفيأنهنالحظ نالحظ كما.xالبعدفيفقطموجودةالموجةأنحيث x(px)البعد

تعتمدإحداهمافرعيتين،دالتينإلىالكليةالدالةبتقسيمقمناأننا(t.)الزمنعلىفقطتعتمد( واألخرىx)المكانعلىفقط

للزمن:بالنسبةالكليةالدالةباشتقاقاآلننقوم

لها أخضعت والتي األخيرة المعادلة يسار على الرياضية للعملية نرمزالتالي: النحو على المعادلة وتصبح ، بالرمز الكلية الدالة

فالمعادلطرفي من"شطب" يمكنناالأنهإلىنتنبه ليست شيئا التربيعي الجذر إيجاد عملية مثل رياضية عملية هي بل مستقال

الطرفين كال من "نشطب" الواحد أن يمكننا ال إذ ،√1×1=1 المعادلة في كبير التيني بحرف رياضية عملية ألي عام بشكل . نرمز√1= على ونحصل

( ويسمى"قبعة" ) فوقه مؤثرا (. وحسبmathematical operator) رياضيا الدالة له أخضعت إذا الذي الرياضي المؤثر هي فإن األخيرة المعادلة

بالمؤثر لذلك وتسمى بالطاقة، مضروبة الدالة نفس ينتج فإنه الكليةالهاميلتوني.

الكم ميكانيكا في ( المؤثرات4

رات تلعب الرياضية المؤث دورا ننا فهي الكم، ميكانيكا في مركزيا تمك هو به القيام علينا ما ندرسه. كل الذي للنظام فيزيائية صفة أية معرفة من

الرياضي المؤثر بتشغيل نقوم ثم ومن النظام تصف التي الدالة معرفة التي الفيزيائية الصفة قيمة على لنحصل الدالة على الصفة بتلك الخاصمعرفتها. في نرغب

33

لنقل ،p العزم، معرفة نريد نناإ مثال المؤثر أن ولنفرض ما، لنظام بالذات، العزم حالة . في وليكن لدينا معروف بالعزم الخاص الرياضي

أيبالعزم،مضروبة الدالة ينتج الدالة على المؤثر تشغيل أن سنجد (......2.4)

نقومالسؤالهذاعنلإلجابة؟المؤثركنهنعرفكيفولكن:x ل بالنسبة(xtالكليةالدالةباشتقاق

بالمركبةالخاصالمؤثرمقدارتعطيناإذا،األخيرةالمعادلة الخاصينالمؤثرينعلىنحصلالطريقةللعزم. بنفسالسينية

للعزم:األخريينبالمركبتين

هو:الكليبالعزمالخاصالمؤثرفإنهذاوعلى

فيزيائيةصفةبأيةالخاصالمؤثرمعرفةنستطيعالغالبفيالصفة. لنقلبتلكالخاصالتقليديالفيزيائيالقانونمنوذلك مثال

الفيزياءمنالحركة. نعرفبطاقةالخاصالمؤثرمعرفةنريدأنناتساوي:الحركةطاقةأنالتقليدية

نذكر الحركة وطاقة بالعزم الخاصة الرياضية للمؤثرات باإلضافة التاليين: المؤثرين أيضا

المؤثررمزهاالفيزيائيةالصفةxx)المكان(الموقع

VVالوضعطاقة

للنظامالكليةبالطاقةالخاصالمؤثرتحديداآلنبإمكاننا المؤثرهوالمؤثروالحركة. هذاالوضعطاقتيبمجموعوالمتمثلة

الهاميلتوني:

34

أن:( نستنبط2.3( و)2.6)المعادلتينبمقارنة

الفيزيائية الصفات كل ليس أن للمؤثرات بالنسبة ذكره الواجب منحالتين: بين هنا (. نميز2.4) المعادلة عليها تنطبق

أن أي (،2.4) المعادلة عليها تنطبق الفيزيائية الصفةأ.

الحالةهذه. فيFالفيزيائيةبالصفةالخاصالمؤثرهوأنحيث مرةكلفينحصلF،الفيزيائيةالقيمةبقياسنقومعندمافإنناالمعادلة.تحددهماوحسبF،للصفةالمحددةالقيمنفسعلى

الطاقةوالعزممنهذه.الصفات فإننا الحالة هذه (. في2.4) المعادلة عليها تنطبق ال الفيزيائية الصفةب.

على نحصل بالقياس فيها نقوم مرة كل فإننا ، F قياس نحاول عندما هناك أن يعني مما قبلها التي عن الشيء بعض مختلفة قيمة توزيعا

يسمى ما أو حسابي متوسط حساب نستطيع عندها ،F لقيم إحصائياالتالي: النحو علىF ( لقيمexpectation value) المتوقعة بالقيمة

(........2.8)

هيالدالةالقرينة(conjugate function)بالنسبة للداالت . ويتمiالتخيليالعددعلىتحتوي( والتيcomplex functions)المركبة الدالةكانتإذاأمامركبة،الدالةكانتإذاالمعادلةفيتعويضها.،الدالةنفسهيالقرينةالدالةفإنحقيقية

هيiوحقيقيةأعداد هيb وaأن حيثa+biالصورةعلىالمركبةاألعدادتكتب]) ب(a+bi)ضربناإذاأماa2+2abi-b2 ،(=a+bi()a+bi)تختفي الiفإنالعددهذاتربيع. عندa-bi)فإننا نحصلعلى(a2-b2)ويختفي بذلكالعددالتخيليiيسمى .(a-bi)بالعدد القرينل

(a+bi)وبنفس .الطريقةفإنالدالة(e-iy)هي القرينةللدالةeiy)ألن حاصلضربهمايؤدي بنفسها iاختفاءإلى الدالة ضربت إذا ما .[بخلاف

هناكصفاتعديدةهامةفيمايخصالمؤثراتتشترطها صفةإلىاإلشارةتجدرولكنلذكرهااآلنمجالالالكمميكانيكا المؤثرأنأهمية. لنفرضمنعليهايترتبلماالمؤثراتفيالتبادلية

هوالمؤثرالخاصبالصفةالفيزيائيةF،وأنالمؤثرهوالمؤثر الشرط تحقق إذا تبادليين المؤثران يكون ؛Oالفيزيائيةبالصفةالخاصالتالي:

"شغل" المؤثرإذافيمافرقالأنهبمعنى الدالةعلىأوال (.3×5=5×3)مثلالعكسأوالناتجعلى"شغل" المؤثرثمومن في وFالفيزيائيتينالصفتينقياسيمكنالحالةهذهمثلفي

35

قياسيمكنفالالتبادليةشرطيتحققلمإذابدقة. أماالوقتنفس حسابعلىصفةمعرفةتكونوإنمابدقةالوقتنفسفيالصفتين

األخرى.معرفةالموجيةالدالةوصفاتشرودنجرمعادلةإلى( عود5

)الزمنعلىالمعتمدةشرودنجر( معادلة2.7)المعادلةتسمىtime-dependentفي .)حاالتكثيرةيكونالنظام (stationary)مستقرا

الفرعيةالدالةتكونعندهاالزمن،معيتغيرالالنظامأنيعنيمما)t( ثابتةالمتغيرةويمكنبالتاليحذفهامنطرفيالمعادلةلنحصل

( )(time-independentالزمنعلىالمعتمدةغيرشرودنجرمعادلةعلى2.9:)

حلها- نحصلاستطعناإذا–أنهامنشرودنجرمعادلةأهميةتنبع صفاتعنالمعرفةكلمصدرهيبدورهاوالتيالدالةعلى

النظام ليسشرودنجرمعادلةحلأنالفيزيائية. إال يبدوقدكماسهال الحليكوناألحيانمعظمتماما. وفيالعكسعلىبلاألولى،للوهلة

تقريبيةحلطرقتطويرإلىأدىالذياألمر( متعذرا،exact)مضبوطاهناكأنالحلعلىيساعدتقريبي. ومماجوابإلعطاء شروطا نوجزهامقبولةتكونحتىالموجيةالدالةفيتوفرهايجبرياضية

يلي:فيماأ. أنتكونالدالةأحاديةالقيمة(single-valued،)بمعنىأنهلكل

الرسم يمثل.لفقطواحدةقيمة هنالكxمنمحددةقيمة متعددة)األزرق( واألخرىالقيمةأحاديةإحداهمادالتين،التالي لمختلفتينقيمتينهناكأناألخيرةفينجد)األحمر( حيثالقيمة

لنفسالقيمةمنx، .x=6مثال

36

إنالقيمة؟أحاديةتكونأنالموجيةالدالةفييشترطلماذاولكن فيزيائي،معنىأيتحملالرياضيةدالةمجردهيالموجيةالدالة األحيانمنكثيرفيتحتويالموجيةالدالةأنذلكعلىيدلومماأعدادعلى الدالةمربعأعطىبورنماكسالعالمأنخيالية. إال

(مركبةكانتإنبقرينتهاالدالةضربحاصل)أوالموجيةمعنى فيالدالةبهذهالموصوفالجسمتواجداحتماليةهوفيزيائيا الحالةتكنلمإذامحددةزمانية)ونقطةمحددةمكانيةنقطة

الموجيةالدالةعرفنامستقرة(. فإذاالجسمذلكفيهاالموجود أننستطيعفإنناالهيدروجينذرةنواةحوليدوربإلكترونالخاصة فياإللكترونتواجداحتماليةالموجيةالدالةمربعمننعرف

بالنواة. نعبرالمحيطةالمختلفةاألمكنة الفكرةهذهعنرياضياالتالية:بالمعادلة

فيمتناهغيرحجمفيالجسمتواجداحتمال هيPأنحيثالفضاء.( فيx,y,z)النقطة( عندd)ضآلته

ويطلق كثافة مصطلح()الموجيةالدالةمربععلىأيضا علىاالحتماليةقسمةحاصل ألنه(probability density)االحتمالية

السابقة:المعادلةمنيتضحكماالحجم

أنوجبالموجية،الدالةلمربعبورنتفسيربصحةأقررناإذا القيمةمتعددةكانتلوإذالقيمة،أحاديةالموجيةالدالةتكون

مختلفاناحتماالنهناكيكونأن( لوجبلمختلفتان)قيمتانمرفوض.بالبداهةوهذاالنقطة،نفسفيالجسملتواجد

أن( وكذلكcontinuous)متصلةالموجيةالدالةتكونأنيجبب. ماوهولالشتقاققابليتهايضمنممافهذامتصلة،مشتقتهاتكون

يؤديمتصلةغيرالدالةكونأنشرودنجر. كمامعادلةفينحتاجه غيراالتصالعدمنقطةفيالجسمتواجداحتمالكونإلى

معرف.

x

y

z (x, y, z)

dxdydz

37

نهاية ال ما وليس معرفة قيمة الموجية الدالة مربع لتكامل يكون أن يجبت.(quadratically integrableكما .) معرفة تكون أن يجب نفسها الدالة أن

ماالنهاية تكون أن يجوز وال نقطة كل في الجسيم تواجد احتمال كان وإالفيزيائيا. مقبول غير أمر وهو ماالنهاية النقطة تلك في

نجد أن احتمال هو اآلن: ما نتساءل نواة حول الدائر اإللكترون مثال ذلك بوجود نشك ال نحن الماالنهاية؟ إلى الممتد الفضاء في الهيدروجين ذرة

فاحتمال هذا وعلى كوننا، في موجود أنه من متأكدون نحن اإللكترون، %100 هو الهيدروجين نواة حول الماالنهاية إلى الممتد الفضاء في وجوده

) النقطة عند الموجودd الحجم في اإللكترون تواجد احتمال كان . وإذا1 أوx,y,zفي اإللكترون تواجد احتمال فإن ، هو الفضاء ( في

األحجام كل في تواجده احتماالت مجموع هو الماالنهاية إلى الممتد الفضاءdلغة في الماالنهاية. والمجموع إلى الفضاء مكونة بعضها حول المتراصة

التكامل، هو الرياضيات إذا

(Normalizationالعياريةشرطاألخيرةالمعادلةتسمىcondition،)وهيالسببفيمااشترط الدالةمربعكونمنسابقا

ماالنهاية.المعرفةقيمةالموجية(Orthogonality condition)التعامد( شرط6

x

y

z

38

تلكناتج( ويكونf)مادالة( على)مامؤثرتشغيلعند المعادلةفإن(،)بعدد مضروبةfالدالةنفسهوالرياضيةالعملية

معادلةأوالمميزةالقيمةمعادلةتسمىأعالهالعمليةتمثلالتي )أوالمميزة الدالةfالدالة(. تسمىeigenvalue equation)الذاتيةالقيمة

المميزةبالقيمةالعدديسمىكما،( للمؤثرeigenfunctionالذاتية( )(eigenvalue.)

أيمعرفةهوالمميزةالقيمةمعادالتحلمنالهدفإن القيمةمعرفةثمومنالمستخدم،للمؤثرمميزةداالتهيالداالت المميزةالقيمةمعادالتبحلنقوممميزة. وعندمادالةلكلالمميزة

داالتتكونألنتصلحالتيالداالتمنالنهايةماعلىنحصلفإنناحالتين:بيننفرقوهنامميزة،

عنتختلفمميزةقيمةمميزةدالةلكليكونأنأ.األخرى.

المميزة،القيمةنفسمختلفةمميزةلداالتيكونأنب.(degeneracy .)التفسخبحالةيسمىعمانتكلموهنا

شرودنجر. إنمعادلةفينتأملالسابقةالمفاهيملتوضيح أنحيثواضح،هوكمامميزةقيمةمعادلةهيشرودنجرمعادلة النظام.طاقةهيالمميزةوالقيمةالطاقةمؤثرهوالمستخدمالمؤثر

بذرةالخاصةشرودنجرمعادلةفينتأملتحديدا،أكثرولنكونالهيدروجين.

عدة هناك أن إلى المعادلة في إضافته تمت الذي الحرف يرمز قيمة هناك وأن مميزة، داالت تكون ألن الداالت( تصلح من) داالت التالي الجدول مميزة. ويوضح دالة لكل الطاقة من مميزة هذه من بعضا

الهيدروجين: ذرة إللكترون وطاقتها المميزة الداالتnالدالةالقيمةالمميزةالمميزة11sE1s

22sE2s

32pxE2p

42pyE2p

52pzE2p

6sE3s

نالحظفيالجدولأعالهأنهناكثالثداالتمميزةلهانفس py وpxاألفالكإن. نقولpبالفلكالخاصةالداالتوهيالمميزةالقيمة

(degenerate.) متفسخةpzو (non-degenerate)المتفسخةغيرالمميزةالداالتحالفي

لهاأخرىمميزة دالةjومميزة دالةiالتعامد: لتكنشرطينطبق

39

علىالتعامدشرط. ينصiللدالةالتيتلكعنمختلفةمميزةقيمةأن

فيكون العيارية شرط أما

هو منها وأي ، للمؤثر مميزة دالة هي التالية الداالت من أي(:4) تدريب

أمكن. إن المميزة القيمة . احسب للمؤثر مميزة دالة

kج.)cos)kxب.eikxأ. e-ax2ه.kxد.

الداالت على المميزة القيمة معادلة تنطبق أنفسنا: هل نسألنجرب! المذكورة؟

الثاني. للمؤثر وكذلك األخرى للداالت الطريقة بنفس الحل نكملإجابتك! وضح موجية؟ دالة تكون ألنeikx الدالة تصلح هل(:5) تدريب تكون بحيثA الثابت قيمة التالية الداالت من كل في أوجد(:6) تدريب

عيارية. الدالة Asin)ax/L( (0 ≤ xب.=Ae-kx (0 ≤ x <∞) أ. ≤ L)

وضح موجية؟ دالة تكون ألن)sin)ax/L الدالة تصلح هل(:7) تدريبإجابتك! وضح ؟( ∞ >x≥ 0) متعامدتان4e-8x و2e-2x الدالتان هل(:8) تدريبإجابتك!

Heisenberg Uncertainty) لهايزنبرج التأكد عدم ( مبدأ7Principle)

40

بدقة جسم أي وسرعة مكان الوقت نفس في نحدد أن باإلمكان هل الكم- إلى ميكانيكا قواعد حسب– نحتاج السؤال هذا على لإلجابة كبيرة؟ بالعزم الخاص والمؤثر بالمكان الخاص المؤثر كان إذا فيما معرفة

على الكالم عند قدمنا كما بالكتلة( تبادليين، مضروبة )العزم=السرعة: الموجية بالدالة موصوف جسم أي على ذلك (. لنجرب37 )ص المؤثرات

أن الوقت نفس في يمكننا ال فإنه تبادليين غير المؤثرين أن حيث تحديد أمكننا فإذا كبيرة، سرعته( بدقة )وبالتالي وعزمه الجسم مكان نحدد صحيح. والعكس بدقة، سرعته نعرف ال أننا يعني ذلك فإن كبيرة بدقة مكانه

لهايزنبرج التحديد عدم بمبدأ تسمى والتي العالقة هذه عن يعبر رياضياالتالية: بالمعادلة

في الخطأ مقدار هوp و الموقع تحديد في الخطأ مقدار هوq أن حيثالسرعة. وبالتالي العزم تحديد

مسدس من انطلقت غم1 كتلتها رصاصة سرعة تحديد عند(:9) تدريب .m/s 2 المحددة السرعة قيمة في التجريبي الخطأ كان

الرصاصة. موقع تحديد في الخطأ مقدار احسب

ضئيل الرصاصة موقع تحديد في الخطأ أن شك ال من ومهمل بل جدا بالفعل تم قد والموقع السرعة بأن الزعم نستطيع أفال العملية، الناحية

ال الدقة هذه ولكن صحيح، نعم الوقت؟ نفس في كبيرة بدقة تحديدهما (microscopic) المجهرية الدقيقة األجسام أما الكبيرة األجسام مع إال تتحقق

الضئيلة كتلتها فبسبب الخطأ يكون جدا التالي: المثال في يتضح كما كبيرا يتواجد أنه نعرف إلكترون سرعة في الخطأ مقدار حدد(:10) تدريب

. pm 50 ( عرضهاinterval) فترة ضمن

41

نستطيع والموقع السرعة بين التحديد عدم عالقة من أن أيضاوالزمن: الطاقة بين تحديد عدم عالقة نستنبط

المثال نضرب والزمن الطاقة بين التحديد عدم عالقة ولتوضيح أنويتها من ألفا جسيمات المشعة النظائر بعض التالي: تطلق عن بحثا

ثقيلة جسيمات هذه ألفا االستقرار. جسيمات ذرة نواة تعدل إنها إذ نسبيا انطالقها عند طاقتها تحديد يمكن ولذلك ونيوترونان(، )بروتونان الهيليوم

جدا. صغيرةE أن يعني مما كبيرة، بدقة المشع العنصر ذلك نواة تاركة معرفتنا كانت كلما أنه يعني وهذا كبيرة،t أن التحديد عدم عالقة من ينتج

فيه حصل الذي بالزمن جهلنا كان كلما أدق المنبعثة الجسيمات بطاقة نتنبأ أن نستطيع ال نحن أخرى، أكبر. بكلمات النواة من ألفا جسيمات انبعاث

ألفا. جسيمات انبعاث سيحصل متى بدقة يقتصر ال التحديد عدم مبدأ أن النقطة هذه عند تذكره الواجب من

ال فيزيائيتين صفتين أية يشمل بل والزمن الطاقة أو والموقع السرعة على قدرتنا عدم أن إلى التنبه يجب تبادليين. كما بهما الخاصان المؤثران يكون التكنولوجي بالتقدم له عالقة ال بدقة الفيزيائية الصفات هذه تحديد على

الكم، ميكانيكا أصول من مبدئية عالقة هي التحديد عدم فعالقة للبشرية، نستطيع لن علومنا علت ومهما سرعة المثال سبيل على نعرف أن أبداالوقت. نفس في بالغة بدقة إلكترون وموقع

الخطأ تقدير في تساعدنا معادلة المجال هذا في نذكر أخيرا: فيزيائية قيمة أية لقياس المصاحب

أما ، الفيزيائية القيمة )معدل( لمربع الحسابي المتوسط هو أن حيث بواسطة منهما كل حساب ويمكن الفيزيائية، القيمة معدل مربع فهو

(.2.8) المعادلةأخيرة ( مالحظة8

i الدالة كانت إذا وكانت ، المميزة القيمة لمعادلة حالj الدالة تركيبة أية فإن ،F المميزة القيمة وبنفس المعادلة لنفس آخر حال هي المذكورين الحلين ( منlinear combination, ai+bj) خطية حل أيضاالمعادلة. لنفس

البرهان:

42

43

تطبيقات

شرودنجر معادلة

44

صندوق في والجسيم الحر الجسيم

(free particle) الحر الجسيم(1

الفضاء في حركته على قيود توجد ال الذي الجسيم هو الحر الجسيم تكونV الجسيم لهذا الوضعية الطاقة أن كما +،∞ إلى –∞ من لعدم صفرا

المسألة قصر يتم التبسيط وألغراض عليه. تؤثر وتنافر تجاذب قوى وجود حركة على السيني. البعد وليكن واحد، بعد في حر جسيم

بعين األخذ مع الجسيم بهذا الخاصة شرودنجر معادلة اآلن نكتبفقط: السيني البعد في يتحرك وأنه صفر هي الوضعية طاقته أن االعتبار

تركيبة وهو ، هو األخيرة للمعادلة لهذه العام الحل أن حيث و الدالتين من خطية الدالتين هاتين من كال يكون ألن وحده يصلح (. 3.1) المميزة القيمة لمعادلة حال

.B=0 أوA=0األولى: الحالة

الحال هو كما ستكون الطاقة فإن ،A=0 تعويض تم إذا أما

في يتحرك الجسيم أن يعني مما فسيكونpx العزم أما ،B=0 معالمعاكس. االتجاه

x-axis+∞-∞

45

not) مكماة غير الطاقة أن ( نرى3.2) الحر الجسيم طاقة معادلة منquantized،) الثابت قيمة على قيود ال إذ kحقيقية. قيمة أية يأخذ أن ويجوز

في متناه غير ما مكان في الجسم يكون أن احتمال هو اآلن: ما نتساءلالمستقيم؟ الخط ( علىdx) ضآلته

الممتد المستقيم الخط في نقطة أية على الجسيم وجود احتمال إن (،x )قيمة نفسه الموقع عن النظر بغض ثابتة قيمة + هو∞ إلى –∞ من

مكان من أعلى فيه الجسيم تواجد احتمال يكون مكان يوجد ال أنه بمعنى على الجسيم سيكون أين نتنبأ أن نستطيع ال أخرى: نحن آخر. وبكلمات

نحاول عندما الخط مكانه. تحديد تجريبيا.A=Bالثانية: الحالة

تختلف ال الثانية الحالة في عليها نحصل التي الحر الجسيم طاقة إن فإن سنرى، كما (. ولكن3.2 )المعادلة األولى الحالة في عليه حصلنا عما

مختلفة: االحتمالية كثافة

وكثافةاألزرق()المنحنى الموجية الدالة أدناه الرسم يمثل احتمال أن . نالحظA=B=1/2 تكون األحمر( عندما )المنحنى االحتمالية

بخالف أخرى، أماكن في منه أكبر األماكن بعض في الحر الجسيم نجد أن في القصوى القيمة وتمثل صفرا، تساويB كانت عندما األولى الحالة نجد أن احتمال يكون التي )األحمر( المواقع االحتمالية كثافة منحنى

على مواقع هناك أن الرسم من نالحظ كما يمكن. ما أكبر فيها الجسيم تواجد احتمالية كثافة أن حيث فيها، التواجد الجسيم على يحظر الخط

(.nodes) العقد المواقع هذه وتسمى صفر، هي المواقع هذه في الجسيم

46

بالعزم. الخاصة المميزة القيمة معادلة من العزم معرفة اآلن لنحاول) التمام جيب على تحتوي التي بصورتها الموجية الدالة استخدمنا إذا

2Acos)kx(فإنها ) استخدمنا إذا األمر وكذلك مميزة، قيمة معادلة تعطينا لن (:Aeikx+Ae-ikx) األصلية الخطية التركيبة

حسب للعزم المتوقعة القيمة نحسب المأزق هذا من للخروج افترضنا إذا1 يساوي المقام في التكامل أن مالحظة ( مع2.8) المعادلة

العيارية(: )شرط عيارية الموجية الدالة كون

صفر(. هو األخيرة المعادلة في التكامل أن )أثبت صفرا. ستكون للعزم قياساتنا متوسط أن على األخيرة المعادلة تدل

يعطينا أولهما حلين، من تركيبة هي الخطية التركيبة أن هنا نتذكر لماذا؟

47

يعطينا الثاني ( والحل) موجب وعزمه اليمين باتجاه يتحرك جسيما للعزم المقدار في مساو ولكن سالب وعزمه الشمال نحو يتحرك جسيما

( منsuperposition"مزيج" ) هو الكلي الحل أن (. وحيث) األول هنالك أن معناه الكلي الحل فإن المختلفة، الحلول % أن50 مقداره احتماال

الجسيم نجد اليمين، نحو متحركا نجده % أن مقداره50 واحتماال متحركااليسار. نحو

(particle-in-a box) صندوق في الجسيم(2

له نسمح وال اإللكترون حركة نقيد عندما يحدث ماذا داخل بالتحرك إال يتحرك صندوق" حيث في "الجسيم الوضع هذا يسمى محدد؟ مجال

عن ويعبر بمغادرته، له يسمح "الصندوق" وال داخل في حرة حركة الجسيمالتالي: بالرسم الصندوق هذا

طاقته تكون حيث ،x=L وx=0 بين ما حرة حركة الجسيم يتحرك الوضعية x=L وx=0 النقطتين في يتواجد أن يستطيع ال (. لكنهV=0) صفرا

النقطتين هاتين في الطاقة من عظيمة أسوار لوجود وذلك يتجاوزهما، أن أو تزويد من بد ال أنه تعني=∞ V "يتسلقها". إن أن الجسيم يستطيع ال

. x ≤ 0 وx ≤ L إلى لينتقل الطاقة من بماالنهاية الجسيم مثال في عنها تختلف ال الجسيم بهذا الخاصة شرودنجر معادلة إن هي صندوق في للجسيم الوضعية فالطاقة الحر، الجسيم أن كما صفر أيضا لمعادلة العام الحل فإن هذا على واحد. وبناء بعد في يتحرك الجسيم

حال في عرضناها التي المعادلة نفسها هي صندوق في للجسيم شرودنجرالحر: الجسيم

هناك أن إال تحققها من بد ( الboundary conditions) حدودية شروطاوهي: صندوق في الجسيم حالة في

x-axis+∞-∞

+∞+∞

V V

V=0x=0 x=L

48

أن يعني مما ،x=0 النقطة في التواجد الجسيم على أ. يحظر قيمة أن ( أي) صفر هو النقطة هذه في وجوده احتمال هو النقطة هذه عند الموجية الدالة (. صفر) أيضا

أن يعني مما ،x=L النقطة في التواجد الجسيم على ب. يحظر أن أي ( أيضا،) صفر هو النقطة هذه في وجوده احتمال

هو النقطة هذه عند الموجية الدالة قيمة (.صفر) أيضا

يحدث ال أنه حيثi الخيالي العدد إسقاط ونستطيع بالنسبة فرقا على صندوق في بالجسيم الخاصة الموجية الدالة فتصبح شرودنجر لمعادلة

التالي: النحو

شرط من باالستفادة وذلكA الثابت قيمة نحدد أن اآلن نحاول هو الصندوق داخل الجسيم تواجد احتمال بأن يقضي والذي العيارية،

100:%

ال شرودنجر معادلة أن صندوق. حيث في الجسيم طاقة اآلن لنحسب فإن الحر، الجسيم حال في عنها صندوق في الجسيم حال في تختلفوهي: متساوية الحالتين في ستكون الطاقة

49

على فرضناها التي للقيود نتيجة وأنه (،3.3) المعادلة من نالحظ العزم أن (. كماquantized) مكماة الحركية طاقته أصبحت الجسيم، حركة يصبح هو اليمين إلى يتحرك الجسيم نجد أن احتمال بقاء مع مكمى أيضا

%:50 كذلك هو اليسار إلى يتحرك نجده أن % واحتمال50

ثنائية صناديق لتشمل عليها حصلنا التي النتائج نعمم أن اآلن نستطيع) أبعاد ثالثة ( أوx,y) بعدين في بالتحرك للجسيم يسمح حيث األبعاد، وثالثية

x,y,z :)

50

ثنائي صندوق في الجسيم تواجد احتمال كثافة أعاله الرسم ويمثل في الجسيم تواجد احتمال كثافة مختلفة. أما طاقة مستويات في األبعاد

إلظهارها. رابع لبعد لحاجتنا تصويرها فيصعب األبعاد ثالثي صندوق ومن المفيد عند هذه النقطة أن نشرح ظاهرة التفسخ )

degeneracyفي حال الصندوق ثالثي األبعاد. ليكن الصندوق مكعبا، وليكن ) . تكون بذلك طاقة الجسيم على النحو:المقدار

n. يبين الجدول التالي قيم طاقة الجسيم حسب قيم x,ny,nz:المختلفة

Enznynx

3×E0111

6×E0211

6×E0121

6×E0112

9×E0212

9×E0122

9×E0221

51

11×E0311

11×E0131

11×E0113

12×E0222

14×E0321

14×E0231

14×E0312

14×E0132

14×E0213

14×E0123

التفسخ درجة أدناه(، الرسم )انظر متفسخ غير األول الطاقة مستوى نفس لها موجية داالت ثالث هناك أن )حيث ثالثية الثاني الطاقة مستوى في

التفسخ درجة احسبجرا. وهلم ثالثية الثالث المستوى الطاقة( وفي قيمة والثامن! والسابع السادس الطاقة لمستويات

األبعاد أحادي صندوق في للجسيم الطاقة معادلة من اشتق(:1) تدريب3.3 )المعادلة ( تعبيرا طاقة مستووي أي بين للفرق عاما

متجاورين!

طولها أشعة إلى يحتاج األبعاد أحادي صندوق في إلكترون(:2) تدريب مستوى إلى الثالث الطاقة مستوى من لالنتقالnm 500 الموجيالصندوق! عرض السادس. احسب الطاقة

E

52

cm/s 1-10 مقدارها بسرعة تتحركg 6-10×1.0 كتلتها كرة(:3) تدريب الكرة فيه الموجودة الطاقة مستوى رقم . احسبcm 1 عرضه صندوق في

(nاحسب !) مباشرة! يعلوه الذي والمستوى المستوى هذا طاقة بين الفرق

والمستوى الكرة فيه الموجود المستوى بين الطاقة فروق أن شك ال ضئيل مباشرة فوقه الموجود جدا قياسه يمكن وال جدا الناحية من أبدا منفصلة ال متصلة العملية الناحية من تعتبر الطاقة فإن ولذلك العملية،

التقليدية. الفيزياء قوانين المستويات هذه مثل في األجسام تطيع وبذلك ( والذيcorrespondence principle) التطابق بمبدأ الحقيقة هذه عن يعبر العدد يكون عندما يلتقيان الكم وفيزياء التقليدية الفيزياء أن على ينص

n) الطاقة لمستويات الكمي ( كبيرا السابق. المثال في الحال هو كما جدا بين األبعاد أحادي صندوق في الجسيم تواجد احتمال احسب(:4) تدريب

أ( في الجسيم يكون عندماx=0.51 L وx=0.49 L النقطتين أن الثاني. افرض الطاقة مستوى ب( في و األول الطاقة مستوى

المذكور. المدى في ثابتة الموجية الدالة. هو: نقطتين أي بين الجسيم تواجد احتمال

53

ب(. الفرع في المطلوب حساب أتمم الطاقة مستوى في األبعاد أحادي صندوق في موجود جسيم(:5) تدريب

فيها الجسيم تواجد احتمال يكون التي المواقع الثالث. احسبيمكن. ما أعلى

عندما يكون ما أعلى يكون ما نقطة في الجسيم تواجد احتمال عظمى(. لمعرفة )قيمة تكون ما أعلى االحتمالية كثافة تكون

بصفر. االحتمالية لكثافة األولى المشتقة نسوي العظمى القيمة

سالبة: االحتمالية لكثافة الثانية المشتقة تكون أن يجب كما

54

(L/3, 2L/3, L, 0) األولى األربع باإلمكانات يتحقق ال األخير الشرط التي المواقع تمثل ( والتيL/6, L/2, 5L/6) األخيرة الثالث باإلمكانات ويتحقق

الصفحة في بالرسم اإلجابة )قارن يمكن ما اكبر فيها الجسيم تواجد يكون52.)

ولكن المسائل، هذه مثل لحل العامة الطريقة هي السابقة الطريقة يمكن (0) العقد مواقع بإيجاد وذلك أيسر بطريقة السؤال حل أيضا

متتاليتين. ارجع عقدتين كل بين بالضبط العظمى القيم مواقع وتكونذلك. من للتأكد52ص للرسم الطاقة مستوى في األبعاد أحادي صندوق في موجود جسيم(:6) تدريب

فيها الجسيم تواجد احتمال يكون التي المواقع الخامس. احسب الحل العقد. أعد مكان معرفة طريق عن وذلك يمكن ما أعلى

الثامن. الطاقة مستوى في لجسيم conjugated electron) المقترنة أنظمة ذات الجزيئات

systems )

األبعاد صندوق" أحادي في "الجسيم نموذج من االستفادة يمكن اإللكترونات تلك فيها تكون التي الجزيئات في إلكترونات طاقة لتقدير-butadiene (CH2=CH-1,3 مثل (،conjugated -electrons) مقترنة

CH=CH2)، إلكترونات تعتبر حيث طول طوله صندوق داخل الحركة حرة نهمل ( فإنناapproximation) التقريب هذا الجزيء. وحسب وجود تماما

mutual) المتبادل التأثير نهمل كما الجزيء، في روابط جميع الكتروناتinteractionإلكترونات ( بين وإلكترونات .

ذرات بين الروابط طول معرفة إلى نحتاج الجزيء طول لتقدير الروابط تكون المقترنة األنظمة هذه مثل في أنه هنا الكربون. نتذكر

ذرتين بين تمركزها وعدم الحركة في الكترونات حرية بسبب متساوية 1 بين وسطية قيمة تأخذ حيث واحدة الروابط جميع رتبة وتكون محددتين،

تكون هذا، . وعلىÅ 1.4 بحوالي الواحدة الرابطة طول ويقدر ،2 و ثالث الطرفيتين( بمقدار الكربون )ذرتي الجزيء أطراف بين المسافة

55

بتجاوز لإللكترونات سمحنا إذا أفضل تكون النتائج أن وجد ولكن روابط، بذلك فيصبح جهة كل من رابطة نصف بمقدار الطرفيتين الكربون ذرتي روابط. أربع بمقدار فيه بالتحرك لإللكترونات يسمح الذي الصندوق طول

بعدد الصندوق هذا أبعاد تقدير في المستخدمة الروابط عدد يكون وعموماالمقترن. لنظام المكونة الكربون ذرات

باستخدامbutadiene-1,3 جزيء عل المفاهيم هذه اآلن نطبق األفالك )عدد األربعة الجزيئية األفالك طاقة ( ونحسب3.3) المعادلة كربون ذرة كل أن وحيث ، atom orbitalsالذرية األفالك بعدد يكون الجزيئية

تعطيbutadiene-1,3 جزيء في الكترونا فإنp الذري الفلك في واحدا(: molecular orbitalsجزيئية أفالك أربعة هناك

إلكترونات عليها موزعة األربع الطاقة مستويات أعاله الرسم يوضح إللكترونين فقط يتسع فلك كل أن منه ينتج ( والذيPauli) باولي مبدأ حسب

الرسم يمين إلى نالحظ (. كماspin) المغزلية حركتهما حيث من متعاكسين (molecular orbital theory) الجزيئية األفالك نظرية بين الكبير التوافق

الموجية الدالة وإشارة العقد حيث صندوق" من في الجسيم و"تقريب )الحظ عالقة وهذه المستوى، طاقة زادت العقد، عدد زاد كلما أنه أيضالها(. باالنتباه جديرة عامة

1.906×10-19J

7.623×10-19J

1.715×10-18J

3.049×10-18J

n=1

n=2

n=3

n=4

E

56

HOMO (highest بإلكترونات مملوء طاقة مستوى أعلى يسمىoccupied molecular orbital)، من فارغ طاقة مستوى أخفض يسمى كما

ويكون ،LUMO (lowest unoccupied molecular orbital) اإللكترونات.LUMO ال إلىHOMO ال من االنتقال هو األول اإللكتروني االنتقال

اإللكترونين طاقة مجموع وهي ، إلكترونات طاقة اآلن لنحسب المستوى في الموجودين واإللكترونين األول المستوى في الموجودين

الثاني:

-1,3 جزيء إلثارة الالزمة لألشعة الموجي الطول احسب(:7) تدريبbutadieneاالنتقال األول المثار المستوى إلى االستقرار حالة من(

األول(.

حيث التجريبية القيمة مع أعاله المثال في المحسوبة القيمة تتفق نعزوه أن يمكنناnm 220 عندbutadiene-1,3 لجزيء امتصاص خط يالحظ

.LUMO ال إلىHOMO ال من االنتقال إلى-1,3 جزيء إلثارة الالزمة لألشعة الموجي الطول احسب(:8) تدريب

butadieneالثاني. المثار المستوى إلى االستقرار حالة من في االنتقال إلثارة الالزمة لألشعة الموجي الطول احسب(:9) تدريب

.LUMO ال إلىHOMO ال منlycopene جزيء

22 عددها المقترنة إلكترونات صندوق في ممتدة إلكتروناالجزيء(. في الوسطى )السلسلة رابطة22 بمقدار عرضه

أن حيث طاقة مستوى عشر أحد على22 ال اإللكترونات تتوزع هوHOMO ال مستوى بذلك ويكون إللكترونين، يتسع مستوى كل

.12 المستوى هوLUMO ال ومستوى11 المستوى

57

في األحمر اللون عن المسؤولة هي1lycopene مادة أن علمت إذا عليه حصلنا الذي الجواب أن أدركت الزهري والكريفون والبطيخ الطماطم

تمتص أنها على دليل اللون حمراء المادة فكون مقبول، غير من جزءا أي األحمر للون المكمل اللون تمتص فإنها أدق وبعبارة المرئية، األشعة 500 حوالي سيكون الممتصة الموجة طول فإن وعليه ،المزرق األخضر

nmالغير الحمراء تحت األشعة ضمن من فهو عليه حصلنا الذي الرقم . أما مرئية.

تقريب استخدام عند الناتج الكبير الخطأ هذا في ترى يا السبب هو ما في "الجسيم تقريب أن ذلك في الرئيس السبب صندوق"؟ في "الجسيم

بذلك فيتجاهل صفر هي إللكترونات الوضعية الطاقة أن صندوق" يفرض إلكترونات بين التنافر يتجاهل كما نفسها إلكترونات بين التنافر

رفعإلىسيؤدياإللكتروناتبينالتنافر. إن روابط وإلكترونات األطوالقصرإلىيؤديممابعضهاعنوابتعادهاالطاقةمستويات

تحديدفيدقةعدمهناكذلك،إلىلإلثارة. باإلضافةالالزمةالموجيةاإللكترونات.فيهتتحركالذيالصندوقطول

والورقيات ( 11 الجزر في الموجود الكاروتين إلى نسبة الكاروتينيدات عائلة من هي الاليكوبين مادة ( اإلنسان جسم في تعمل أنها وجد والتي الغذائية الصناعات في كملون أيضا يستخدم والذي الخضراء

. كبيرة صحية أهمية يعطيها مما للسرطان ومضاد للتأكسد كمضاد

58

(Harmonic Oscillator)التوافقيالمهتز دائريةبحركةتقوموالتيالتاليالرسم فيPالنقطةفيلنتأمل

بنصف x-yالمستوىفياألصلنقطةحولالساعةعقاربعكس السينيالمحورعلىاألمربدايةفيالنقطةولتكن،مقدارهقطر

(x-axis.)

بينزاويةعلىنحصلالساعةعقارب عكسPالنقطةبتحرك السينات،محوروبيناألصل ونقطةPالنقطةبينالواصلالخط

طولمقدار( بأنهاradian)الراديانبوحدةالزاويةهذهوتعرفsالمقطوعالقوس الزمن. معAالدورانقطرنصفعلى مقسوما

قطعتقدتكونكاملة دورةPالنقطةتكملوعندماالزاويةتكبر دورةبعدها لتبدأ6يعادلماأيالراديانبوحدةمقدارهازاوية

وحدة فيPالنقطةتقطعهاالتيالدوراتعددعلىويطلقجديدة، الرمز( ويعطىfrequency)الترددمثال( مصطلحالواحدة)الثانيةالزمن

نعرف .اآلنالسرعةالزاويةبأنها–علىغرارتعريفالسرعة الزمن:وحدةفيالزاويةفيالتغيرالعادية- مقدار

وحدةفيالدوراتمنالعدد تقطعPالنقطةكانتوإذا تشملدورةكلألنمقدارهازاويةتلكبحركتهاتقطعفإنهاالزمن ستكون:P للنقطةالزاويةالسرعةفإنوعليه(6)،مقدارهازاوية

-(x السينيةPالنقطةإحداثياتعناآلنأنفسنانسألcoordinateوالتي )يمثلهاطولإسقاطالخطالواصلبينالنقطةP

أعالهالرسميسارإلى. بالرجوعxالسيناتمحورعلىاألصلونقطة والمشتقةاألولىالمشتقةبإيجادثممنونقوماإلسقاططولنستنبط

:tللزمنبالنسبةالثانية

x

P

A

A

s

y

59

xP

توافقية،اهتزازيةحركةبأنهالزمن معxقيمةفيالتغيريوصف تغييرأيدونالنسقنفس)اهتزاز( علىنفسهاتعيد تظلxقيمةألن

)المعادلةتطيعحركةأيةفإنخارجي. وعموما،مؤثر)توافقي( وبدونتوافقية.اهتزازيةحركة( هي4.1

)الزنبرك( التوافقيةالنابضالهتزازاتكالسيكيةمعالجة

أدناهالرسميمثل نابضا وبطرفهبحائططرفيهأحدمنمثبتا فقطواحدبعدفيبالتحركللنابضويسمحm،كتلتهابكرةالثاني:xالسينيالبعدوليكن

يكونالنابض( فإنx=0)األصلنقطة فيmالكتلةتتواجدعندما يسمىماوهومشدودهووالمضغوطهوالالطبيعي،طولهفي

طاقتهابذلكوتكونالكرةعلىقوةأيةتؤثرالعندهاالتوازن؛بحالة منالنابضمعالكرةبشدقمنالوترىيايحدثصفرا. ماذاالوضعية

(؟x=x0)النقطة( إلىx=0)األصليوضعها

وتقومالكرةعلىتؤثرقوةنشوءإلىالنابضاستطالةتؤدي القوةهذهمقدارتحديدويمكنناالحائط،تجاهالكرةبشدالقوةهذه

)أوشدقوةبأنيقضي( والذيHooke)هوكقانونمنباالستفادة التوازن- تتناسبحالةإلىالنابضإرجاععندفع( النابض- والمسؤولة

النابض(طولفيالمحدثة)الزيادةاالستطالةمقدارمعطرديا

(elongation،)األصليوضعهعنالنابضاستطالة مقدارxتمثلحيث (force constant،)النابضقوةثابتويسمىالتناسبثابت فهوkأما

x

m

x=0

x

m

x=0 x=x0

60

طوللتغييرالالزمةالقوةكانتأكبرالثابتهذاقيمةكانتوكلما xاالستطالةأنإلىاإلشارةتجدرصحيح. كماوالعكسأكبر،النابض

تأخذ أيضا نتيجةأقصرأصبحالنابضأنيعنيمماسالبةقيماانضغاطه.

طاقةتمتلكالكرةأصبحتالنابض،قوةتأثيرتحتالكرةبوجود تساويهذهالوضعطاقةأنالتقليديةالفيزياءوتنبئناوضع،

،وتساويهذهالطاقةالوضعيةالطاقةالكليةللكرةحيث الحركيةطاقتهاأنيعنيمماصفر،بالتاليوسرعتهاتتحركالأنها

(.)صفركذلك

ماذايحدثاآلنإذاأطلقناالكرةوسمحنالهابالتحركبحرية؟ وحسب،1النابضشدقوةتأثيرنتيجةالمتسارعةحركتهاالكرةستبدأ تمتلكهاالكرةأصبحتالتيالحركيةالطاقةفإنالطاقةحفظقانون

الوضعطاقةمنجزءتحولمننتجتبلالعدم،منتأتلماآلنالكامنة إلىالكرةتصلوعندماحركة،طاقةإلىالكرةفيأصالأصبحتقدالوضعيةطاقتها( تكونx=0)النقطة ()صفرا فقط. إنحركيةطاقةشكلعلىللكرةالكليةالطاقةبذلكوتكون فيتقفلنأنها( يعنيx=0)النقطةفيحركيةلطاقةالكرةامتالك

حركتهافيالكرةستستمربلسرعة،تمتلكفهيالنقطةهذه لتعودسالبة،استطالةمحدثةالنابض( ضاغطةx=0)النقطةمتجاوزة الكرةحركةالنابضسيقاومالوجود. وبالطبعإلىالوضعيةالطاقة وتتباطأانضغاطه،زادكلماالنابضمقاومةوتزدادتباطؤها،مسببا سرعتهاتصبح( حيثx=-x0)النقطةإلىتصلحتىفأكثرأكثرالكرة مرةالكرةوضعية. وتعودطاقةشكلعلىكلهاطاقتهاوتكونصفرا وتظلالنابض،ضغطنتيجةالمعاكساالتجاهفيالحركةإلىأخرى

مرةتصلحتىالوضعيةطاقتهاحسابعلىبازديادالحركيةطاقتها وتزدادالحركةطاقةتقلحيثوتتجاوزها،(x=0،)النقطةإلىأخرى جديدمنالكرةوتعودتدريجيا،النابضاستطالةنتيجةالوضعطاقة

وضعيةطاقةإلىالحركيةطاقتهاكلتحولت( وقدx=x0)النقطةإلى تعيدجديدةدورةبعدهاولتبدأاالهتزازمنواحدةدورةبذلكمنهية الماالنهايةإلىاألخرىتلودورةتقطعالكرةوتظلسبق،ماكلفيها

طريقها.عنطاقتهاالكرةتفقداحتكاكقوىتوجدالأنهطالما االهتزازيةالحركةخاللالطاقةتحوالتعملياتالتاليالرسمويلخص

أعاله. الموصوفة

11 ( ) ، السرعة في تزايدا تسارعا القوة تسبب الثاني نيوتن قانون .F=m.aحسب

61

)النقطةجاوزتوقددورتهانهايةقبيلالكرةفياآلنلنتأملx=0وتتحرك )باتجاهالنقطة(x=x0ماهي .)القوىالمؤثرةعليها؟

والتيالحركيةطاقتهافيمتمثلةقوتين: األولىنميزأننستطيع والتيالنابضشدقوةفيمتمثلةوالثانية(x=x0،)النقطةنحوتدفعها

(x=0.)النقطةنحوالمعاكساالتجاهفيتسحبها

النابض:لحركةالرياضياإلطارنضعأناآلننستطيع

النابضحركةأن( نجد4.1)بالمعادلةاألخيرةالمعادلةوبمقارنة الالنابضبهايقومالتيالدورةوأنتوافقيةاهتزازيةحركةهي

الدائريةحركتها فيPالنقطةبهاقامتالتيالدورةعنالبتةتختلف وكذلكللنابضالزاويةالسرعةتحديداآلناألصل. ويمكننانقطةحول

(:4.2( و)4.1)المعادلتينمقارنةمنتردده

تعتمدالفيهأصيلةصفةالنابضترددأناألخيرةالمعادلةوتبين الكتلةومقدارالنابضقوةثابتهماغير،الاثنينعاملينعلىإال

تأثيرالإذx0،االبتدائيةاالستطالةقيمةعنالنظربغضبه،المتصلة وبالتاليللنابضالكليةالطاقةتحددكانتوإنالنابضترددعلىلها

x

x=0 x=x0

F=m.aF=k.x

62

بالنابضالخاصالترددهذاالكرة. يسمىبهاتتحركالتيالسرعة.بالرمزله( ويرمزfundamental frequency)األساسيبالتردد

حسبkالقوةثابت( وحدة4.3)المعادلةمن اشتق(1:)تدريب(SI units.)للوحداتالدوليالنظام

ومربوط2000 N/mهوقوتهثابتنابضتردد احسب(:)تدريب.2 gمقدارهابكتلة

الكيميائيةوالرابطةالتوافقيالمهتز

أنهحقيقةمنللكيميائيينالتوافقيالمهتزنموذجأهميةتنبع المكونةللذراتاالهتزازيةالحركةلوصفالنموذجهذااستخداميمكن

الذراتبينتربطنوابضالكيميائيةالروابطتعتبرحيثللجزيئات،نة ثنائيجزيءفينتأملالفكرةهذهاالهتزاز. ولتوضيحمنإياهاممك:1H-35Clمثلالذرات

والهيدروجينالكلوربينالرابطةطولأعالهالرسم فيr0تمثل(bond lengthوهي )متوسطالمسافةبيننواتيالذرتين(internuclear

distance،)وهيكذلكطولالنابضالذييمثلالرابطة. ونستطيعأن عنالنموذجهذافياالستعاضةيمكناألمر،ولتسهيلأنه،نثبت

فيالنابض،طرفيبأحديرتبطفقطواحدبجسمالمعنيتينالذرتيناآلخرالنابضطرفيكونحين المسألةتصبحوعليهبالحائط،متصال

واحدجسمبحركةمتعلقة مقدارويكونجسمين،حركةمنبدالالجسمهذااستطالة بينالرابطةطولفيالتغيرلمقدارمساويا هذاكتلةبعضهما. أمامنومقتربينمبتعديناهتزازهمانتيجةالذرتين لها( ويرمزreduced mass)المختزلةبالكتلةفتسمىالواحدالجسمالتالي:النحوعلىوتحسببالرمز

m2m1

35Cl1H

r0

r0

63

أنعلمت إذا1H-35Clجزيءبهيهتزالذيالتردد احسب(3:)تدريب 476هووالكلورالهيدروجينذرتيبينالرابطةقوةثابتNm-1!

يقومان اهتزازهما خالل والهيدروجين الكلور ذرتي أن الجواب ويفيدالواحدة!!!! الثانية في دورة مليون مليون مئة من يقرب بما

)الكربونأكسيدأوللجزيءاألساسيالترددكان إذا(4:)تدريبCOهو )2170 cm-1،وكانالتردداألساسيلجزيءأول

تكونالرابطتينفأي1904 cm-1،( هوNO)النيتروجينأكسيد؟NOفي أمCOفيأقوى،

بالنسبةkالقوةثابتقيمةتحديدهوالسؤالفيالمطلوب أكبرkكانتوكلما(4.3،)المعادلةباستخدامللرابطتين

أنإلىالتنبهيجبصحيح. لكنوالعكسأقوىالرابطةكانت التردد. يسمىs-1بوحدة وليسcm-1بوحدةأعطيقدالتردد يعرف( والذي)الموجي بالعددcm-1بوحدةيعطىعندما

الترددوبينبينهالعالقةوتكونالموجيالطولمقلوببأنهالتالي:النحوعلى

هيالحلفياألولىالخطوة ،s-1بوحدةالترددحسابإذا.kثمومن

األبعادأحاديالتوافقيللمهتزشرودنجرمعادلة

لمعرفةماذاتقولنظريةالكمعنالمهتزالتوافقييجبعلينا بحلها،القيامثمومنالنظامبهذاالخاصةشرودنجرمعادلةوضعأوال

(:2.9)المعادلةالعامةبصورتهاشرودنجربمعادلةونبدأ

64

الصورةعلى لتصبحxتعويضإلىنلجأاألخيرةالمعادلةلتبسيط

yبداللةشرودنجرمعادلةبذلكوتصبحله،وحدةال عددyأنحيثالتالي:النحوعلى

(4.4)( وحدة فإن))y على يحتوي األخيرة المعادلة في حد كل أن وحيث

y(ال بالطاقة مضروب األيمن المعادلة طرف في أن نالحظ أننا تهم. إال أن يعني مما طاقة وحدات لها تكون أن يجب و من كال

الثابت قيمة اختيار المعادلة. ونستطيع طرفي على الوحدات لتستقيممتساوية: و معامالت لتكون بعناية

هي ب أو بالمضروبةالطاقةوحدةبذلكوتكون

الوحدةهذهمضاعفاتمنللنظامالكليةالطاقةوتكون

المقيدغير عددnأن( حيث2n+1)الصورةعلىالثابتكتابةويتملهوحدة

وقداختيرتهذهالصورةللثابتوذلكلتحويلمعادلةشرودنجر مألوفةصورة( إلى4.4)المعادلة بمعادلةيعرفماوهيرياضيا(Hermite Differential Equation)التفاضليةهيرميت

65

لتكونالدوالالتينحصلعليهاعندحلمعادلةهيرميت المذكورةالشروطتتحققأنيجبموجيةكدوالمقبولةالتفاضلية

يتأتىالوهذا38-40،الصفحاتفي nكانتإذاإال عددا غيرصحيحاالشكل:علىالموجيةالدالةوتكون(n=0, 1, 2, 3… ,،)سالب

(Hermiteهيرميتحدودمتعددةباسم فتعرف)Hn)yأماpolynomialsوقيمها )موضحةفيالجدول،التاليوNnهو الثابتالذي

هي:العامةوصيغتهالعياريةشرطيحقق

متصلةال( منفصلةvibrational energy)االهتزازطاقةتكون:n(vibrational quantum number)االهتزازكمعددعلىوتعتمد

( 4.5) تحمل وقد متصلة االهتزاز طاقة حيث التقليدية الفيزياء بخالف هذا

تعتمد ألنها قيمة أية أوال ال والتيx االبتدائية االستطالة مقدار على وأخيراتأخذها. أن يمكن التي القيم على قيود

EnHnnn1

y1

4y2-2

y3-12y

16y4-48y2+12

32y5-160y3+120y

بالمهتزالخاصةالكمميكيانيكانتائجالتاليالشكلفيونجدموضحة:ألبعادأحاديالتوافقي

66

ونستنبطمنالرسمالسابق الفيزياءبينلالختالفآخروجها احتمالأنالتقليديةالفيزياءتقررحينففيالكم،وميكانيكاالتقليدية

استطالة)قيماألطرافعنديكونماأكبريكونالمهتزةالكرةتواجد ويكونتكونماأقلالكرةسرعةتكونموجبة( حيثأوسالبةكبيرة، نتائجأننجدكبيرا،األطرافعندالكرةتقضيهالذيالزمنبالتالي

مستوياتفييكونالكرةتواجداحتمالأنإلىتشيرالكمميكانيكا قيمعندأيالوسط،فييكونما( أكبرn=0)مثلالدنياالطاقة

الموجية. وتلتقيالدالةمربعمنواضحهوكماx=0،حولاستطالة كماالعلياالطاقةمستوياتعندالكموميكانيكاالتقليديةالفيزياء(.56)صالتطابقمبدأيقتضي

الدالةمربعأنلوجدنااألخيرينالرسمينفيالنظردققنالو أنيعني مما–x0 وx0القصوىاالستطالةنقطتييتجاوزالموجية

هنالك االستطالةنقطةبعداهتزازهاخاللالكرةتتواجدأناحتماال

67

( وهوTunneling)النفقيباالختراقالظاهرةهذهاالبتدائية. تسمىغريبأمر وتعتبرهبلالتقليدية،الفيزياءعالمفيلهمثيلالجدا

التقليديةالفيزياء الكليةالطاقة! فالطاقةحفظقانونلخرقهمرفوضا النقطةالكرةجاوزتولو،تساويقبلمنذكرهوردكما

x0فهذا يعنيزيادةفيطاقتهاولكنالطاقةالتأتيمن،العدملهذا -x0النقطتينالكرةتجاوزأنالتقليدية- تصورالفيزياءحسب–يمكنناال. x0و

بهتتنبأالذياألمرهذامثلحصولتصديقصعوبةمنبالرغمالكمميكانيكا ظاهرةمبدؤهاتقنياتبتطويرالعلماءقيامأنإال المثالسبيلعلىمنهانذكرشكوك،كليقطعالنفقياالختراق

( والذيscanning tunneling microscope)المسحيالنفقيالميكروسكوبالصلبة.الموادسطوحذراترؤيةبواسطتهأمكن

مميزةدالةهيالموجيةالدالةأنعلى برهن(5:)تدريبالمميزة!القيمةالهاميلتوني. جدالطاقةمؤثرإلىبالنسبة

مستوىفيتوافقيمهتزيتجاوزأناحتمالية احسب(6:)تدريبالقصوى.االستطالةقيمالصفريالطاقةنحسب احتمالويكونx0،للنقطةالمهتزتجاوزاحتمالأوال–x0النقطةتجاوز بسببx0النقطةتجاوزالحتمال مساوياالدالة.تماثل

ولكن

إذا

نابع وهذا (،error function) الخطأ بدالة يسمى ما هيerf أن حيث normal) الطبيعي التوزيع دالة أساس هي الدالة أن من

distribution functionجاوس توزيع دالة ( أو (Gauss distribution

68

functionالمرتبط التجريبي الخطأ وصف في تستخدم ( والتي (standard deviation) المعياري االنحراف تحديد وفي بالقياسات

قيم التحليلية(. أما الكيمياء ( )انظرvariance) التشتت ومقدارأعاله. القيمة استقينا ومنها مجدولة فهي الخطأ دالة

وتشير نتيجة التدريب السابق إلى أن المهتز التوافقي الموجود في % من وقته في المنطقة16مستوى الطاقة الصفري ينفق ما يقرب من

الممنوعة كالسيكيا حيث يمتلك طاقة أعلى من تلك التي تسمح بها الفيزياء التقليدية، وهي قيمة ال يستهان بها البتة. ويوضح الجدول التالي أن

احتمال تواجد المهتز التوافقي في المنطقة الممنوعة كالسيكيا يتناقص ( مما يتفق→∞n إلى الماالنهاية )n ويؤول إلى الصفر عندما تؤول nبازدياد

مع مبدأ التطابق.43210n

0.07850.08550.09510.11160.1573P

(Zero-point energy)الصفرنقطةطاقة

لجزيئاتالحركيةالطاقةفإنللغازاتالحركيةالنظريةحسبتتناسبالغاز تناسبا الغازبردنالويحدثحرارته. ماذادرجةمعطرديا بالضرورةالغازجزيئاتستتوقفالمطلق؟الصفرحرارةدرجةإلىبهيتنبأماالحركة! هذاعن الحراريةللديناميكاالثالثالقانونأيضا

( تكونentropy)العشوائيةأنعلىينصوالذي درجةعندصفراالدرجة.هذهعندحركةالأنهيعنيمماالمطلق،الصفرحرارة

ذراتوكذلكالصلبةالموادذراتبأنالكمميكانيكاتفاجئنا حرارةدرجةعندالحركةعنتتوقفالالذراتمتعددةالجزيئات

المعادلةحسباالهتزازيةالطاقةأنذلكعلىويدلالمطلق،الصفرتساويأنيمكن( ال4.4) االهتزازيالكملعددقيمةأصغرألنصفراnهو ،صفروأقلطاقةاهتزازيةبالتاليهيوفي .حقيقة

ألنالتحديدعدممبدأمعيتعارضالحركةعنالتوقففإناألمر )ومقدارهابدقةمعلومةسرعتهاتصبحالحركةعنبتوقفهاالذرات

فيهتتواجدالذيالمكانكذلكصفر( ويصبح فيمابدقة. وسنرىمعلوماالتحديد:عدممبدأمناشتقاقهايمكنالصفرطاقةأنكيفيلي

طاقةمجموعمنالتوافقيللمهتزالكليةالطاقةتتألف-الحركة:وطاقةالوضع

الشكمقداريحددهاالمهتزهذايمتلكهاأنيمكنطاقةأقل-الموقع:قيمةوفيالخطيالعزمقيمةفي

69

قيمةفيللخطأممكنةقيمةأقلأعالهالمعادلةفينعوض-الموقع:قيمةوفيالخطيالعزم

لمعادلةاألولىالمشتقةبإيجادللطاقةالدنياالقيمةنحدد- منونحددبصفرالمشتقة وتسوىxلبالنسبةأعالهالطاقة

دنيا:قيمةالطاقةقيمةعندهاتكون التيxقيمةثم

الطاقة:معادلة فيxتعوض-

عنالمسؤولةهيتلكالصفرنقطةطاقةأنذكرهالجديرمن درجةانخفضتمهماالجويالضغطتحتالسائلالهيليومتجمدعدم

حرارته.

(.3 )تدريب1H-35Clلجزيءالصفرنقطةطاقة احسب(7:)تدريب

لهكانإذاD-35Cl،لجزيءالصفرنقطةطاقة احسب(8:)تدريب.1H-35Clبجزيءالخاصالرابطةقوةثابتنفس

70

الهيدروجينذرة

أنواع أبسط الهيدروجين( هي ذرة شبيهات )أو الهيدروجين ذرة النواة حول يدور فقط: إلكترون جسيمين من تتكون الذرات، إليها منجذبا )الطاقة، المختلفة اإللكترون هذا صفات الكولومية. لمعرفة القوى بواسطة معادلة بحل القيام علينا ....الخ( يجب فيه، يتواجد الذي المكان السرعة،التالي: النحو على كتابتها يمكن والتي الهيدروجين لذرة شرودنجر

( تمثلx2,y2,z2و) اإللكترون إحداثيات ( تمثلx1,y1,z1) اإلحداثيات أن حيث معادلة حال الكلية. يتعذر الموجية الدالة فهي أما النواة، إحداثيات ست على تعتمد الكلية الموجية الدالة أن حيث الصورة بهذه شرودنجر الدالة نقسم أن الرياضي المجهود من بالقليل نستطيع ولكننا متغيرات،

فرعيتين: دالتين إلى الكلية (5.1)

مركز إحداثيات على فقط تعتمدX,Y,Z() األولى الفرعية الدالة الجسم كتلة حولها تتوزع التي النقطة تلك أي (،center of mass) الثقل

نعتبرها أن بذلك "بتساو" ويمكننا نفرضه أن أردنا إذا كله الجسم عن ممثال إلينا بالنسبة أهمية ذات ليست الفرعية الدالة الفضاء. هذه في واحدة نقطة

(،translational motion) الفضاء في اإلنسحابية الجزيء حركة تمثل إنها إذشرودنجر. معادلة من حذفها بذلك ويمكننا

بين الفاصلة المسافة على فتعتمدx,y,z() الثانية الفرعية الدالة أما اإللكترون حركة تصف ألنها اهتمامنا محل الدالة وهي والنواة، اإللكترون

النواة. حول

على: نحصل شرودنجر معادلة ( في5.1) المعادلة وبتعويض

من ومنعناه الفضاء في الجزيء ثبتنا كأننا التعويض بهذا ونكون يمكن والتي الثابتة النواة حول اإللكترون حركة بدراسة وقمنا الحركة في نالحظ اإلحداثيات. كما لنظام األصل نقطة في موجودة اعتبارها الدالتين إلى الكلية الموجية الدالة لتقسيم نتيجة– تم قد أنه األخيرة المعادلة

m1

m2

. (x,y,z)

(X,Y,Z)center of mass

71

األصلية المعادلة فيm الكتلة - استبدال5.1 المعادلة حسب الفرعيتينأن حيث (reduced mass) المختزلة بالكتلة

قريبة الهيدروجين لذرة المختزلة الكتلة بذلك وتكون كتلة من جدااإللكترون:

النواة حول اإللكترون حركة تصف التي شرودنجر معادلة إلى ونرجع الواقع ( لإللكترونV) الوضعية الطاقة فيها ( لنعوض5.2 )المعادلة الثابتةللنواة: الكهربائي الحقل تأثير تحت

التالي: النحو على شرودنجر معادلة فتصبح

ال أنه هي األخيرة المعادلة حل محاولتنا عند سنواجهها التي المشكلة الوضع، طاقة فيr وجود بسبب بعضها عنz وy وx المتغيرات فصل يمكننا y وx بمتغيراته الديكارتي اإلحداثيات نظام من المسألة نقل إلى نلجأ ولذلك

التالي الرسم . يمثل و وr بمتغيراته الكروي اإلحداثيات نظام إلىz ورات بين العالقة النظامين: متغي

( يمكنx,y,z) الفضاء في نقطة أية فإن أعاله، الرسم على وبناء التي والزاوية (،r) األصل مركز عن النقطة هذه بعد بواسطة تعريفها ،z المحور وبين األصل ونقطة النقطة هذه بين الواصل الخط يصنعها

األصل ونقطة النقطة هذه بين الواصل الخط إسقاط بين الواقعة والزاوية.x السينات محور وبين

x

y

z

r

(x, y, z)

72

الكروي النظام إلى الديكارتي النظام من شرودنجر معادلة لتحويل (،، )z وy وx ل بالنسبة الثانية المشتقات نحدد أن علينا يجب إيجاد هو فعله علينا ما كل إذ الصعب باألمر هذا وليس ، و وr بداللة

الرسم مقابل السابقة الصفحة أسفل مبين هو ما حسب األولى المشتقة الطريقة، بنفس الثانية المشتقة إيجاد ثم ومن المطلوب االشتقاق أن إال

طويل مباشرة: النهائية النتيجة إلى ننتقل فإننا ولذلك ومرهق جدا

التالي: النحو على شرودنجر معادلة بذلك وتصبح

. نرتب و وr بداللة أصبحت الموجية الدالة أن اآلن ونالحظلتصبح: المعادلة

(variable seperation) المتغيرات بفصل نقوم المعادلة هذه لحل و وr الثالث المتغيرات على تعتمد والتي الكلية الدالة نكتب حيث يعتمد ال منها واحد كل فرعية داالت ثالث ضرب حاصل شكل على على إال

واحد: متغير

على: ونحصل األخيرة المعادلة في الفرعية الداالت نعوض

األخيرة: المعادلة من األول السطر في األقواس وبفك

:sin2 و r2ب وضربها على األخيرة المعادلة وبقسمة

الحدود: نجمع ثم

(5.3 ) تعتمد ال المعادلة يسار إلى األهمية: الحدود غاية في األخيرة المعادلة

على المعادلة يمين إلى الوحيد الحد يعتمد حين في فقط، وr على إال حاولنا إذا سيحدث فقط. ماذا يعتمد ال المعادلة يمين أن حيث ؟r تغيير مثال

73

المعادلة يسار الثالثة الحدود مجموع أن يعني وهذا ثابتا، سيبقى فإنهr على ينطبق المنطق . نفسr قيمة في غيرنا مهما بالضرورة ثابت و على أيضا

المقدار وكذلك ثابت، المعادلة يمين على المقدار أن ذلك من . نستنتج عدد هوm أن حيثm2 الصورة على الثابت هذا ولنكتب المعادلة، يسار على

قيمته. على قيود ال ما(-equation) فاي معادلة حل

رياضية: معادلة شكل على فوق استنتجناه ما لنكتب (...5.4)

السهل ومن مميزة قيمة معادلة هي األخيرة المعادلة أن الواضح من صالحية من بنفسك )تحقق مميزة دالة هي الدالة أن معرفة

قيمة معرفة اآلن المميزة(. نحاول القيمة لمعادلة كحل الفائتة المعادلةعيارية: الدالة لتكونA الثابت

ألن ،2 إلى0 من التكامل حدود جعلنا أعاله التكامل في أننا نالحظ)ص المسقط الخط أن . لنفرض الزاوية فيها تتحرك التي الحدود هي هذه صفرا. الزاوية تكون عندها السينات، محور فوق بالضبط ( موجود76

تكبرz المحور حول بالدوران المسقط الخط يبدأ عندما شيئا حتىفشيئا إعادة مجرد األمر حقيقة في هي أخرى دورة (. أية360º=2) الدورةتكتمل نفسها.تعيد أن يعني مما األولى للدورة

أحادية تكون أن يجب الموجية الدالة أن وحيث تقدم، ما على بناء عند لقيمتها مساوية تكون أن يجب الزاوية عند الدالة قيمة فإن القيمة، نفس األمر حقيقة في ألنهما ، الزاوية يلي: كما ذلك نكتب الزاوية. رياضيا

وضع القيمة أحادية شرط أن الواضح من ل المسموح القيم على قيوداmفأصبحت تأخذها أن mكم عدد بذلك (quantum number.)

(-equation) ثيتا معادلة حل

sin2 على نقسم (،5.3) المعادلة ( في5.4) المعادلة نعوضعلى: فنحصل

74

المعادلة: نرتب

يغير ال تغيير أن كما اليمين، المعادلة طرف يغير الr تغيير أن حيث بد ال اليسار، المعادلة طرف المعادلة طرفا يكون أن إذا هذا ولنكتب ثابتا:)l)l+1 الصورة على الثابت

(5.5)

(....5.6)

معادلة وهي (،-equation) ثيتا بمعادلة األخيرة المعادلة تسمى (Legendre) لوجاندر معادلة وتسمى الرياضيات علماء لدى مألوفة

Legendre) لوجاندر حدود متعددات اسم تحت معروفة وحلولها التفاضليةPolynomialsهذه حلول لوجاندر. وتضع الرياضيات عالم إلى ( نسبة

المعادلة صحيحة المعادلة لتكون تأخذها أن lل يمكن التي القيم على قيوداl تكون أن يجب إذ موجية، كدالة مقبولة الدالة ولتكون أو صفرا عددا المعادلة تضع كما موجبا، صحيحا تأخذها أنmل يمكن التي القيم على قيودا

.l قيمة بتجاوز لها يسمح فال

عند القيم المختلفة و يوضح الجدول التالي الحلول المقبولة ل . يالحظ أننا نستطيع بشكل عام أن نكتب الحلول علىl و mالمسموح بها ل

أما الدالةmال تعتمد إال على ، حيث أن الدالة الفرعية l m و mالصورة .l و m فتعتمد على كل من الفرعية

l m l,m() m()0 0

1 0

1 1

2 0

2 1

2 2

75

(R-equation) القطرية الدالة معادلة حل

(:5.5) المعادلة من

القطرية، الدالة بمعادلة أعاله المعادلة تسمى التفصيالت عن وبعيدا مقبولة المعادلة هذه حلول تكون كي أنه وجد الرياضية أن فيجب فيزيائيا

الصورة: على أعاله المعادلة في الطاقة تعويض يتم (....5.7)

مايسمى على ( نحصل5.5) المعادلة في أعاله التعبير وبتعويض متعددات اسم تحت معروفة وحلولها ( التفاضليةLaguerre) الجير بمعادلة

) الجير الرياضيات عالم إلى ( نسبةLaguerre Polynomials) الجير حدودLaguerreالحلول (. وتضع تكون أن يجب إذn قيم عل قيودا عددا صحيحا

المعادلة تضع كما موجبا، (.n-1) القيمة تتجاوز فالl على قيودا

، حيث أنRn lيكتب الحل العام لمعادلة الدالة القطرية على الشكل . يوضح الجدول التاليl و nالدالة القطرية تعتمد على قيمة عددي الكم

. l و n الداالت القطرية عند القيم المختلفة لn l Rn,l(r) 1 0

2 0

2 1

3 0

3 1

3 2

بور قطر نصف هوa0 أن حين في ،الفائت: الجدول في

.

الفيزيائية. الناحية منR القطرية الدالة داللة نوضح أن اآلن سنحاول الدالة مربع يعطينا وإنما لها فيزيائي معنى ال الموجية الدالة أن نعلم

76

( فيd) ضآلته في متناه غير حجم في الجسم تواجد احتمالية الموجية Rل وبالنسبة ،ل المكونة الفرعية للداالت بالنسبة األمر الفضاء. كذلك

رR2 القطرية الدالة مربع فإن تحديدا على اإللكترون تواجد احتمال عن يعب مربع أدناه الرسم الماالنهاية. يبين إلى ويمتد النواة من ينطلق خط أي

اإللكترون تواجد احتمال النقاط كثافة تمثل حيث ،1s للفلك القطرية الدالة نقصت كلما النواة عن ابتعدنا كلما أنه ونالحظ النواة من rالبعد ذلك على

الخط ذلك على اإللكترون تواجد احتمالية (.exponentially) أسيا

) كروية قشرة في اإللكترون تواجد احتمال معرفة أكثر المفيد منspherical shellرفيعة ) الحالة هذه . فيr قطرها نصف بالنواة محيطة جدا

يساوي والذي القشرة هذه حجم هو اإللكترون فيه يتواجد الذي الحجم يكون: drبسماكتها كرة( مضروبة سطح )مساحة القشرة سطح مساحة

االحتمالية بتوزيع الطريقة بهذه عليه نحصل الذي المنحنى ويسمى. 1s للفلك أعاله الرسم في موضح وهو القطرية

77

القطرية االحتمالية وتوزيع الموجية الداالت أعاله الرسم في ونجد يتواجد ال حيث العقد وجود2s, 3s األفالك في ويالحظ ، 1s, 2s, 3s لألفالك

البتة. اإللكترون إلكترون تواجد احتمال يكون التي القشرة قطر نصف احسب(:1) تدريب

1sيكون. ما أكبر فيها الهيدروجين ذرة في

بور، نظرية مع يتطابق عليه حصلنا الذي الجواب أن نالحظ أنه إال مسار بور يحدد حين ففي النظريتين، بين الجوهرية الفروق إلى التنبه يجب

اإللكترون نجد فال اإللكترون قطر بنصف الدائري المسار ذلك على إال حول مكان كل في موجود اإللكترون أن الكم ميكانيكا تقرر ،a0 مقداره

78

النظرية الناحية من اإللكترون هذا ويمتد بل مختلفة باحتماالت ولكن النواةالماالنهاية!! إلى

بمصطلح نعني فماذا الماالنهاية، إلى يمتد اإللكترون كان إذا ولكن، ذلك فيه يتواجد "الفلك" الذي نعرف أن نستطيع كيف (؟orbitalالفلك)

فإن اإللكترون في يتواجد الذي كله المكان هو الفلك كان إذا اإللكترون؟ شك ماالنهاية!! وال بالضرورة سيكون الفلك حجم األفالك جميع أن إذا

الذي الحيز نفس في بعضها مع مشتركة وستكون الحجم نفس لها سيكونالالمتناهي!! الفضاء يمثله

بين التمايز "المحافظة" على أجل ومن المأزق هذا من للخروج يكون الذي المكان بأنه الفلك يعرف أن على العلماء اصطلح األفالك الذي المكان هو أخرى، بعبارة أو %،90 هو فيه اإللكترون تواجد احتمال هنالك أن يعني وقته. هذا % من90 اإللكترون فيه يقضي مقداره إحتماال

به! الخاص الفلك حدود خارج اإللكترون نجد % أن10الهيدروجين. ذرة في1s الفلك قطر نصف احسب(:2) تدريب

)انظر هي1s الفلك تمثل التي الموجية الدالة(.81ص

79

الكلية الدالة

و الثالث الفرعية الداالت ضرب حاصل هي الكلية الدالة أن حيث و R، الثالث الكم أعداد فإن nو lو mالكلية: الدالة قيمة تحدد التي هي

الكلية الداالت السابقة الجداول من نستنبط كيف تعلم اآلن وسنحاولالهيدروجين. ذرة في اإللكترون حاالت لبعض

األعداد له الهيدروجين ذرة في إللكترون الكلية الدالة جد(: 3) تدريب.n=3, l=2, m=1التالية: الكمية

إلى العادة في نلجأ ، الدالة في والموجودi التخيلي العدد من للتخلص القيمة معادلة إلى نلجأ الغرض مناسبة. ولهذا خطية تراكيب عمل

القيمة أن نالحظ ( حيث5.4 )المعادلة بالدالة الخاصة المميزة في بعضها عن تختلف التي الداالت فإن هذا وعلى ،m2– هي المميزة

إشارة تختفي التربيع بعملية إذ المميزة، القيمة نفس لها فقطm إشارة السالب. نضرب : و بالدالتين ذلك على مثاال

80

تركيبة أية فإن المميزة، القيمة نفس لهما و الدالتين أن وحيث(.45ص )انظر المميزة القيمة نفس لها سيكون الدالتين من خطية

نستطيع إذا بسببy وx الدالتين نستخدم أن و الدالتين من بدال عوضنا . إذاi التخيلي العدد على احتوائهما عدم السابق المثال في مثال

x على نحصل فإننا ،1 من بدال (.....5.8)

أننا نالحظ ( للداللة1+-1) كتبنا الكلية الدالة رمز أسفلm=1 من بدال العالقة . من و الدالتين جمع هي خطية تركيبة استخدمنا أننا على ( نجد76)ص الكروي اإلحداثيات ونظام الديكارتي اإلحداثيات نظام بينأن

الدالة أن ( نستنبط5.8 )المعادلة الكلية الدالة مع العالقات هذه وبربط دقة أكثر . وبعبارةz والمحورx المحور باتجاه الفضاء في ممتدة الكلية

y بتعويض قمنا إذا أما .3dxz بالفلك تتعلق المذكورة الكلية الدالة فإن

بنفسك(. ذلك )جرب3dyz الفلك على نحصل فإننا1 من بدال 2px األفالك في الهيدروجين ذرة في إللكترون الكلية الدالة جد(: 4) تدريب

.2pz و2py و فيه يتواجد الذي للفلك العام الشكل أن للكيمياء دراستنا من نعرف

و ،3px الفلك كبير حد إلى يشبه2px فالفلك ،n قيمة على يعتمد ال اإللكترون1s 2 يشبهs، مفهوم األمر وهذا جرا، وهلم موجودn الكم عدد أن حيث تماما

تواجد احتمال عن معلومات تعطينا وهذهR القطرية الدالة معادلة في فقط اتجاه تخصيص دون الماالنهاية إلى النواة من المنطلق الخط على اإللكترون يعتمد فهو الفضاء في محدد اتجاه في إلكترون تواجد تخصيص محدد. أما

. لنتأمل و الزاويتين على . إنm=0 وl=0 وn=1 حيث ،1s الفلك في مثالهي: الفلك لهذا الكلية الدالة

ال أنه يعني مما ، و الزاويتين على تعتمد ال الكلية الدالة أن نالحظ كان ولهذا آخر، اتجاه عن اإللكترون تواجد فيه يفضل الفضاء في اتجاه يوجد

s الفلك (. أماfully symmetric) االتجاهات جميع في متماثلة فالكرة كرويا الفلك يكون أن إلى تؤدي الفرعية الدالة أن فسنجدpz للفلك بالنسبة أكثر محتمل اإللكترون تواجد أن أي (،4 )تدريبz المحور اتجاه في ممتدا

فإن األمر حقيقة األخرى. وفي االتجاهات من غيره من االتجاه هذا في

81

شكل تحدد التي - هي81ص الجدول من ندرك -كما الفرعية الدالة ارتأى الفضاء. وقد في اتجاهه تحدد التي فهي الفرعية الدالة أما الفلك، ويطلق ،Ylm رمز تحت و الدالتين ضرب حاصل يجمعوا أن الكم علماء تسمى ( كماangular function) الزاوية الدالة اسمY على بالمتوافقات ايضا

عند عليها نحصل التي الحلول نفس ( وهيspherical harmonics) الكرويةنفسه: حول دورانية بحركة يقوم لجسم شرودنجر معادلة حل

أن حيث القطرية؟ بالدالة الزاوية الدالة نضرب عندما يحدث ماذا الذي الفلك فإنn قيمة بزيادة الفضاء في امتدادها يزداد القطرية الدالة يزداد الزاوية الدالة تمثله القطرية، بالدالة الزاوية الدالة ضرب عند حجما

82ص الرسم )انظرn بزيادة العقد فيه تزداد أنه كما نستطيع (. وعموما(.n-l-1العقد=) الصيغة: عدد بواسطة فلك أي في العقد عدد حساب

82

3p الفلك في إلكترون احتمالية لتوزيع عرضي مقطع

(angular momentum) الزاوي العزم

إنه وقلنا الزاوي العزم مفهوم على األول الفصل في تعرفنا قد كنا الجسم دوران قطر لنصف المتجهي الضرب عملية من تنتج متجهة قيمة

له فإن متجهة قيمة الزاوي العزم أن (. وحيث) الخطي وعزمه ( )y البعد في ( والثانية )x البعد في إحداها مركبات ثالث بالضرورة هذه من كل قيمة تحديد يلي فيما (. وسنحاول )z البعد في واألخيرة

مؤثراتها. واستنباط المركبات .z المحور حولx-y المستوى في موجود جسم دوران في لنتأمل

الرسم( والثانية )يمين الساعة عقارب مع للدوران: األولى إمكانيتان هنالكالرسم(. )يسار الساعة عقارب عكس

83

سيكون الزاوي العزم فإن الحالتين، كلتا في ،z البعد في متجها حالة في السالب إشارة أدخلنا أننا . الحظ نسميه أن بذلك ويمكننا اليمنى- اليد قاعدة وحسب– الناتج المتجه ألن الساعة عقارب مع الدوران.z المحور من السالب الجزء فيx-y المستوى تحت سيكون

األبعاد ثالثي الفضاء في دورانية حركة أية االعتبار بعين اآلن أخذنا إذا على فقط تعتمدz البعد في الزاوي العزم مركبة فإن األصل، نقطة حول في والسبب ،x-y المستوى في الموجود الدورانية الحركة من الجزء ذلك بسيط ذلك ينتج أن يمكن ( ال) متجه أي معz ل المتجهي فالضرب جدا

الموجود الدورانية الحركة من الجزء ذلك فإن هذا، . وعلىz البعد في متجها. قيمة تحديد في يساهم الz البعد في

تحديد ثم ومن ، الزاوي للعزمz المركبة حساب اآلن نستطيعبها: الخاص المؤثر

x x

y y

x

py

y

px

x

y

z

py

px

Lz

z

84

على: نحصل وبالتعويض

الطريقة: وبنفس

أن: وحيث

(،،) الزاوي للعزم الثالث المركبات مؤثرات على حصلنا وهكذا(. L2) الزاوي العزم بمربع الخاص المؤثر وكذلك

( )z االتجاه في الزاوي العزم مركبة نحسب أن اآلن نستطيعالهيدروجين: ذرة في لإللكترون

).………5.9(

(5.10)

85

يحدد الذي هوm الكم عدد ( أن5.10) األخيرة المعادلة تبين الهيدروجين ذرة في ( لإللكترون )z االتجاه في الزاوي العزم مركبة مقدار

الفضاء. يالحظ فيL الزاوي العزم اتجاه يحدد سنرى كما وهو مكماة(،)الحقا. عنها الحديث سيأتي أخرىm عن لتمييزهاm قربl الرمز أدخلنا أننا

الهيدروجين: ذرة في لإللكترونL الزاوي العزم اآلن نحسب

(...

5.11):R على األخيرة المعادلة طرفي وبقسمة

تأملنا إذا أنه أدركنا المربعين القوسين بين موجود هو ما في قليال ثيتا معادلة من (. باالستفادة5.6) ثيتا معادلة في األيسر الطرف نفس

على نحصل

(.....5.12)

مكماة فيزيائية قيمة هو الزاوي العزم أن األخيرة المعادلة تبين المتعلقة بور مسلمة عن األخيرة المعادلة . وتختلفl الكم عدد يحددها ،0 القيمة يأخذ بأن له يسمحl الكم عدد أن وجهين: األول من الزاوي بالعزمL الزاوي العزم عندها ويكون أيضا للعزم قيمة أقل أن حين في صفرا العزم يكون أن بذلك يمكن والn=1 تكون عندما هي بور حسب الزاوي بور حسب الزاوي ثابت أن هو لالختالف الثاني الوجه لصفر. أما مساويا

الكم. نظرية في و بور نظرية في هوh/2 وL بين التناسب المطلقة القيمة هو األخيرة المعادلة في عليه نحصل ما أن المالحظة تجدر

يخص فيما معلومة أية تعطينا ال بذلك وهي المتجه(، )طول الزاوي للعزم في الزاوي العزم اتجاه قيمة من االتجاه معرفة نستطيع أننا الفضاء. إال

من لنا بد ال ذلك قبل ولكن قليل، بعد سنوضح كماz البعد في المركبةبالمؤثرات. يتعلق ما بعض مراجعة

86

للمؤثر مميزة دالة هي الموجية الدالة أن السابقة حساباتنا تشير كال ففي (،5.11 )المعادلة للمؤثر مميزة دالة أنها ( كما5.9 )المعادلة

الموجية الدالة كانت الحالين المؤثرين. هذا لكال المميزة القيمة لمعادلة حال (L2) الزاوي العزم تحديد يمكننا وبذلك تبادليان و المؤثرين أن يعني

هل بدقة. ولكن الوقت نفس فيz (Lz) البعد في الزاوي العزم ومركبة الجواب كان إذا ( بدقة؟Lx) المركبة تحديد الوقت نفس في نستطيع كذلك الموجية الدالة تكون أن فيجب باإليجاب المميزة القيمة لمعادلة حال

المؤثر. بهذا الخاص للمؤثر

ثابت على نحصل ال فإننا الكلية الدالة على المؤثر تشغيل عند الدالة فإن هذا وعلى بنفسك(، ذلك )جرب نفسها الكلية بالدالة مضروب

Lz وLx تحديد يمكننا ال وعليه ،Lx المركبة لمؤثر مميزة قيمة ليست الكلية

بدقة. نفس الوقت نفس فيL2 وLx تحديد أو بدقة، الوقت نفس في. Ly المركبة على ينطبق الشيء

تكونLy وLx قيم فإنLz وL2 بتحديد قمنا إذا أنه سبق مما نستنبط التالي النقاش في األهمية بالغ أمر وهذا (،indeterminate) محددة غير

الفضاء. فيL الزاوي العزم باتجاه الخاص ونبدأ المختلفة لألفالك الفضاء في واتجاهه الزاوي العزم اآلن نحسب

للفلك بالنسبة . أماLz=0 وL2=0 فإنml=0 وبالتاليl=0 أن فحيث ،s بالفلكpفإن l=1، الفلك في الموجود لإللكترون الزاوي العزم يكون وعليه pهو

p الفلك في لإللكترونml قيم ثالث هناك . ولكن(ml=-1, 0,1)في الزاوي العزم لمركبة مختلفة قيم ثالث وجود يعني مما

هذه التالي الرسم (. ويلخص5.10) المعادلة تقتضيه ما حسبz االتجاهالنتائج:

نفس كلها لها أعاله الرسم في الزاوي العزم متجهات أن نالحظ تصنعها التي الزاوية حيث من لها مختلفة إمكانات ثالث هناك أن غير الطول،

أن النقطة هذه عند نتنبه أن . يجبx-y المستوى مع المتجهات هذه محددتين غير يكونانLx وLy المركبتين أية يأخذا أن بذلك ويمكن إطالقا

يكون وبهذا قيمة، يدور أن الثالث العزم متجهات من واحد لكل مسموحا

x-y plane

z

ml=1

ml=-1

ml=0

L

L

L

Lz

Lz

87

المركبة قيمة من وال المتجه طول من يغير ال فذلك يشاء كماz المحور حولLz.

الفضاء في الممكنة واتجاهاته الزاوي العزم قيم حدد(: 5) تدريبالرسم(. )معd الفلك في إللكترون

الكم بعددn يسمى . لماذاml وl وn الكم أعداد معاني لخص(: 6) تدريب) الزاوي العزم كم بعددl( وprincipal quantum number) الرئيس

angular moment quantum number؟)(magnetic moment) المغناطيسي العزم

تنتج فإنها الشحنات تتحرك عندما أنه ذلك على يدل مغناطيسيا؛ مجاال السلك حول مغناطيسي حقل يتكون ما سلك في كهربائي تيار يسري عندما حديد برادة بنثر رصده يمكن سوى الكهربائي التيار وهل السلك، حول مثال ضرب حاصل بأنه المغناطيسي العزم اإللكترونات؟! يعرف من جار سيل التيار فيه يسري الذي بالسلك المحصورة والمساحة الكهربائي التيار

الكهربائي:

النواة حول دورانه في اإللكترون ينتج أن سبق مما يتوقع مجاال المعادلة باستخدام تقديره يمكن مغناطيسي عزم له يكون وأن مغناطيسيا

يجب ولكن المغناطيسي، العزم تعريف بواسطتها تم التي األخيرة أن أوالالنواة. حول اإللكترون حركة تمثله الذي الكهربائي التيار مقدار نحدد

88

e-

يقطعها التي المسافة فإن ،v هي اإللكترون سرعة كانت إذا تمثلها التي المسافة كانت . وإذاx=v.t ستكون لفات شكل على اإللكترون

v t/2سيكون اإللكترون يقطعها التي اللفات عدد فإن ،2r هي الواحدة اللفةr ، هو الواحدة الثانية في اللفات عدد بذلك ويكون v/2rتسري لفة كل . في

الشحنة مقدار أن يعني ( مماe-) اإللكترون شحنة مقدارها شحنة النواة حول التيار كان إذا . ولكنev/2r– هي الواحدة الثانية في النواة حول تسري التي

فإن (،I=Q/t) الزمن وحدة في تسري التي الشحنة بأنه يعرف الكهربائي لهذا المغناطيسي العزم فإن هذا . وعلى هوI الكهربائي التيار

هو اإللكترون

بحركة يتعلق أنه على للداللةl الرمز المغناطيسي العزم هذا نعطي (orbital motion) المدارية بالحركة يسمى ما أو النواة حول اإللكترون

كما نفسه حول اإللكترون حركة من الناتج المغناطيسي العزم عن لنميزهسيأتي.

(magnetogyric ratio) المغنط-حركية بالنسبة يسمى ما اآلن نعرف هو كما وهي الزاوي، العزم إلى المداري المغناطيسي العزم نسبة وهي

تعتمد ال ثابتة نسبة واضح وشحنته: اإللكترون كتلة على إال (5.13)

يتناسب المغناطيسي العزم أن إلى األخيرة المعادلة وتشير تناسبا الزاوي العزم مع طرديا إشارة من يتضح كما االتجاه في له معاكس أنه إال

والمعادلة المغنط-حركية النسبة بواسطة اآلن المعادلة. يمكننا في السالب للعزم zاالتجاه في المركبة بين تربط معادلة ( استنباط5.10)

:ml الكم وعدد المغناطيسي

المعادلة في السالب إشارة عن االستغناء يمكننا األمر حقيقة في تأخذml ألن األخيرة اإلبقاء آثرنا ولكننا والموجب بالسالب القيم نفس أصال

الزاوي، العزم اتجاهه في يعاكس المغناطيسي العزم أن على للتأكيد عليها

r

89

المعادلة (. وتبينBohr’s magneton) بور بمغناطون فيسمىB الثابت أما محددة اتجاهات وله مكماة قيمة هو المداري المغناطيسي العزم أن األخيرة

الفضاء. في الخاصة المؤثرات نستنبط ( أن5.13) المعادلة بواسطة نستطيع

)z وy وx االتجاهات في ومركباته المغناطيسي العزم بمربع مما تبادليان المؤثرين أن نبرهن أن نستطيع كما (،

،z االتجاه في المركبة و المغناطيسي العزم مربع تحديد يمكننا أنه يعني () y وx االتجاه في المركبتان أما بدقة، الوقت نفس في ،

الحقائق. هذه التالي الرسم محددتين. ويلخص غير فسيكونان

يؤثر وجعلناه خارجي مغناطيسي مجال بوضع قمنا إذا يحدث ماذا أكثر لنكون الهيدروجين؟ ذرة إلكترون على االعتبار بعين نأخذ تحديدا

:p الفلك في إلكترونا

للعزم أساسية إمكانات ثالث هناك أن أعاله الرسم في نرى حقل الفضاء. بوجود فيp الفلك إللكترون المداري المغناطيسي ولتكن متجهة قيمة المغناطيسي الحقل )قوةB قوته خارجي مغناطيسي

x-y plane

ml=1

LLz

z

x-y plane

ml=-1

ml=1

ml=0

BB

90

مختلفة، بطريقة المغناطيسية العزوم هذه من واحد كل يتأثر (z االتجاه في () الخارجي المغناطيسي الحقل قوة ( بينEmagnetic) التأثير طاقة أن ذلك

المتجهين: بين الزاوية على تعتمد المغناطيسي والعزم

والعزم الخارجي المغناطيسي الحقل بين المتبادل التأثير يؤدي تعود )ال وترتفع ،p الفلك إلكترون طاقة في تغيير إلى المغناطيسي

طاقة هي الجديدة الطاقة ( ألنdegeneracy) التفسخ حالة موجودة( بذلكE0) الخارجي المغناطيسي المجال غياب فيp الفلك طاقة لها ( مجموعا المغناطيسي والعزم الخارجي المغناطيسي الحقل بين المتبادل التأثير

لإللكترون: المداري

حاالت لرفع الخارجية المغناطيسية الحقول تستخدم اآللية، بنفس الرنين مثل الكيمياء في التحليلية التقنيات من العديد في التفسخ

حركة رنين ( وnuclear magnetic resonance, NMR) النووي المغناطيسي تقنية في وكذلك (،electron spin resonance, ESR) المغزلية اإللكترون

(.magnetic resonance imaging, MRI) المغناطيسي بالرنين التصوير(spin motion) 1المغزلية الحركة

(Gerlach) ( وجيرالخStern) شتيرن العالمان قام1921 العام في خالل الفضة ذرات من حزمة تمرير تتضمن والتي الشهيرة تجربتهما بإجراء المجال من خروجها عند الحزمة أن العالمان الحظ وقد مغناطيسي، مجال

واألخرى األعلى نحو واحدة حزمتين، إلى انقسمت قد تكون المغناطيسي الهولنديان العليا الدراسات طالبا قدم ،1925 العام األسفل. في نحو

Uhlenbeck) ( وأولنبكGoudsmit) جودسميت ( تفسيرا االنقسام لهذا مقنعا بذلك يمتلك وأنه نفسه حول يدور اإللكترون أن فكرة على يعتمد عزما زاويا

ما أن تفسير في الفكرة هذه نجحت كما (،spin angular moment) مغزليا عدة من يتكون األمر حقيقة في كان الذري الطيف في وحيد كخط يبدو

قريبة خطوط fine structure) بعضها إلى جدا بعض هناك كان أنه (. إالالفكرة. بهذه المرتبطة األساسية المشاكل

يستخدم الذي المغزل حركة نفس ألنها بذلك وسميت نفسه حول الشيء دوران هي المغزلية الحركة11والصوف. القطن خيوط لصنع

energy

ml

1

0

-1No external

magnetic field

Energy

E0+BB

E0

E0-BB external

magnetic field

91

( بتطويرDirac) ( وديراكPauli) باولي من كل قام1929 العام في األمواج ميكانيكا أثبتت وقد فيها، النسبية النظرية بإدخال وذلك نظريا المغزلية للحركة الزاوي العزم أن األمواج لميكانيكا الجديدة الصورة

يأخذ وال مكمى لإللكترون يدور اإللكترون أن يعني مما فقط، قيمتين إال هذين وأن المحتملة، االتجاهات كل بين من فقط اتجاهين في نفسه حول

متعاكسان. االتجاهين

المغزلي( ال الزاوي العزم )أي الصفة هذه أن إلى التنبه يجب أنه إال التقليدية، الفيزياء قوانين من استنباطها وبالتالي مؤثرها استنباط يمكن

بعيد من أو قريب من ال بصلة تمت ال الكم ميكانيكا قوانين حسب وقيمتها ال صفة أنها وصف الصفة هذه على يطلق ولهذا التقليدية، الفيزياء بقوانين

التقليدية. الفيزياء عالم في لها مثيل يمكننا كيف مؤثر فرض يتم قيمها؟ وتحديد الصفة هذه حساب إذا

و"يسلم" بصحته! األخرى النتائج مع يتوافق المغزلية للحركة الزاوي للعزمالتالي: النحو على النتائج تلخيص ويمكن

92

المغزلي، الزاوي العزم كم عدد هوs و المغزلي الزاوي العزم هوS أن حيث الكم بعددms وتسمى ،z االتجاه في المغزلي العزم مركبة فهيSz أما

الزاوي العزم كم عدد على يطلق أنه المغزلي. يالحظ المغناطيسي.ms على وكذلكspin مصطلح المغزلي

حول دورانه عند بالضرورة يمتلك فإنه شحنة، هو اإللكترون أن وحيث نفسه عزما spin) المغزلي المغناطيسي العزم ونسميه مغناطيسيا

magnetic momentالرمز ( ويعطى sويكون للحركة الزاوي للعزم معاكسااالتجاه: في المغزلية

بدورانها فاإللكترونات وجيرالخ، شتيرن تجربة نتائج تفسير اآلن يمكننا هذه أقطاب اتجاه ويكون صغيرة مغناطيسات تعتبر نفسها حول

المغناطيسات المغناطيسي عزمها يكون عندما متعاكسا )الرسم متعاكسا المغناطيسي المجال مع اإللكترونات هذه بعض يتجاذب ولهذا (،98ص

أننا الذرات. الحظ من حزمتين بذلك مكونين اآلخر البعض ويتنافر الخارجي الفلك في الموجود الفضة ذرة في األخير اإللكترون االعتبار بعين فقط أخذنا

5s، هنا مجال )ال الخصوص هذا في أهمية لها ليست اإللكترونات فبقية من يجعلs الفلك في اإللكترون وجود أن نالحظ كما الحقيقة(، هذه لتفسير

l) المداري المغناطيسي عزمه بين المتبادل التأثير انعدام يعني مما ( صفراالخارجي. المغناطيسي والحقل المداري المغناطيسي العزم

إلكترونات على الخارجي المغناطيسي الحقل تأثير هو ما(: 7) تدريبالهيدروجين؟ ذرة في1s الفلك

93

المغزلية الحركة نأخذ أن علينا بقي أخيرا، االعتبار. نتذكر بعين رياضيا ( ال84 ص ،75 )ص الهيدروجين ذرة بإلكترون الخاصة الكلية الدالة أن

تعتمد (r, أوx,y,z )اإلحداثيات الفضاء في اإللكترون ذلك موقع على إال الدالة بتطوير المغزلية. نقوم حركته بالتالي تهمل وهي ،n,l,ml الكم وأعدادالمغزلية: الحركة تمثل بدالة بضربها وذلك الكلية

(space) الفضاء في اإللكترون تواجد تمثل التي الدالة هيspace أن حيث (spin) المغزلية الحركة تصف التي فهيspin الدالة أما النواة، حول

تكون ال المغزلية الحركة أن لإللكترون. وبما متعاكسين اثنين اتجاهين في إال (upاألعلى" ) "نحو االتجاهين هذين أحد يسمى أن على العادة جرت فقد

spiل ويرمز متعاكسين بسهمين لهما ( ويرمزdownاألسفل" ) "نحو والثاني

nاألول االتجاه تمثل التي الثاني االتجاه تمثل والتي .

94

اإللكترونات متعددة الذرات

الهيليوم ذرة

أكثر الهاميلتوني المؤثر يصبح الذرة إلكترونات بتعدد ويتعذر تعقيدا إلى ( ونضطرexact analytical solution) المضبوط التحليلي الحل بذلك

متعددة الذرات أبسط يلي ما في التقريبية. نعالج األساليب إلى اللجوءالنواة. حول يدوران إلكترونين على تحتوي والتي الهيليوم، ذرة اإللكترونات،

التالي: النحو على الهاميلتوني المؤثر نكتب

كما– األول اإللكترون وضع وطاقة حركة طاقة األول القوس يمثل حيث وطاقة حركة طاقة الثاني القوس الهيدروجين- ويمثل ذرة إللكترون ألفناها

حسب اإللكترونين بين التنافر فيمثل األخير الحد أما الثاني، اإللكترون وضع ألن موجبة هي األخير الحد إشارة أن ونالحظ كولوم، قانون يقتضيه ما

إلى يؤدي الذي التجاذب بخالف الوضعية الطاقة في زيادة إلى يؤدي التنافرالوضعية. الطاقة نقصان

بين المتبادل التأثير يمثل والذي األخير، الحد فإن األمر، حقيقة في ألنه شرودنجر معادلة حل محاولة عند الحقيقية العقبة هو اإللكترونات،

ال )أي موجود غير األخير الحد أن المتغيرات. لنفرض فصل بوجوده يتعذرالهاميلتوني: المؤثر يصبح عندها اإللكترونات(، بين تنافر

ذرة إلكتروني تصف التي الكلية الموجية الدالة كتابة اآلن يمكننا اإللكترون تصف منهما كل فرعيتين دالتين ضرب حاصل شكل على الهيليوممنفردا:

(6.1)التالي: النحو على شرودنجر معادلة وتصبح

e-1

r1

e-2

r2

r12

95

اإللكترونات بين المتبادل التأثير انعدام حال في أنه سبق مما نستنبط كل ويكون الهيدروجين، ذرة مسألة إلى إرجاعها يمكن المسألة فإن

هيدروجين، ذرة إلكترون كان لو كما اإللكترونات متعددة الذرة في إلكترون الهيدروجين ذرة على الكالم عند قدمناها التي الحلول عليه وتنطبق

يمكن فإنه الحال هذه الهيدروجينيية(. في األفالك أو بالحلول )وتسمى(:5.7) المعادلة باستخدام الهيليوم ذرة إلكترونات طاقة حساب

الهيليوم لذرة الحقيقية بالقيمة أعاله المحسوبة القيمة مقارنة عند دور أن إلى يشير مما كبير، الفرق أن نجد ( فإنناeV 79-) االستقرار حالة في

أن نالحظ كما إهماله، يمكن وال اإللكترونات طاقة تحديد في كبير التنافرالتنافر. متوقع- بوجود هو كما– ازدادت الطاقة أن يمكننا ال فإنه االعتبار، بعين اإللكترونات بين التنافر أخذ حال في

األول باإللكترون الخاصة الفرعية الدالة أن نعتبر على فقط تعتمد مثال إحداثيات على كذلك تعتمد هي بل فقط، األول اإللكترون إحداثيات يحدد األول لإللكترون بالنسبة الثاني اإللكترون فموقع الثاني، اإللكترون

عنه نعبر ما األول. هذا لإللكترون الوضعية الطاقة وبالتالي التنافر مقدارالمتغيرات: فصل على القدرة بعدم

) ( كتقريب6.1) المعادلة من االستفادة يمكننا األحوال، جميع فيapproximationبعض بذلك متبعين الفعلية، الدالة إلى للوصول منه ( نبدأ

(.perturbation theory) التشويش نظرية مثل المقعدة الطرق

(penetration) ( واالختراقshielding) الحجب

) الرئيس الكم عدد على الهيدروجين ذرة في اإللكترون طاقة تعتمدnالشيء بعض مختلف فالوضع اإللكترونات متعددة الذرات في أما غير، ( ال يلعب إذ l) الثانوي الكم عدد أيضا هذا وراء السبب هو فما مهما، ( دورا

األمر؟

96

حال في الليثيوم ذرة في نتأمل السابق السؤال على لإلجابة يحسها التي النواة شحنة مقدار عن أنفسنا ونسأل (،1s2 2s1) االستقرار الشحنة فإن1s الفلك إلكترونات وجود إهمال حال . في2s1 األخير اإللكترون

. لكن3+ أي النواة شحنة ريب وال هي األخير اإللكترون بها سيشعر التي يشعر فال2s الفلك إلكترون عن النواة يحجب1s الفلك إلكترونات وجود إال ال2s الفلك إلكترون فإن كامال، الحجب يكون النواة. وعندما شحنة من بجزء يشعر الحاجبة(. اإللكترونات البروتونات-عدد )عدد1+ مقدارها بشحنة إال

أن ندرك المختلفة لألفالك القطرية االحتمالية توزيع في التأمل عند 1s الفلك إلكترونات مع تتداخل2s الفلك فإلكترونات كامال، يكون ال الحجب

تتواجد بأن كبير احتمال وهناك بل النواة، حول تواجدها مكان حيث من أدناه(. الرسم في األولى القصوى )القيمة النواة قرب2s الفلك إلكترونات

إلكترونات من اختراق بأنه الفلكين إلكترونات بين التداخل هذا نصف

يكون ال2s الفلك إلكترونات من المخترق الجزء . هذا1s للفلك2s الفلك 2s الفلك إلكترونات بها تشعر التي الشحنة فإن السبب ولهذا محجوبا،

(. 1.28)+ بقليل ذلك من أكبر وإنما1+ ليست أقل2p الفلك إلكترونات فإن المقابل في من1s للفلك اختراقا أكثر بذلك وتكون2s الفلك إلكترونات 2s الفلك إلكترونات من احتجابا

تلك من أصغر اإللكترونات هذه بها تشعر التي النواة شحنة بذلك وتكون أن سبق ما . يدل1.02+ قيمتها وتبلغ2s الفلك إلكترونات بها تشعر التي

2p الفلك إلكترونات من النواة إلى أكبر بشدة تنجذب2s الفلك إلكترونات

E E

H-like atom Multi-electron atom

3d3d

3p3p

2p2p

1s1s

2s 2s

3s 3s

97

.2p الفلك إلكترونات تمتلكها التي تلك من أقل الوضعية طاقتها تكون وبذلك تكون وان بد ال3d الفلك طاقة أن أدناه الرسم من نستبين المنطق بنفس

والثاني األول الرئيس للمدار اختراقها ضعف بسبب3p الفلك طاقة من أكبر(n=1, n=2.)

(Indistinguishibility principle) التمييز عدم مبدأ

هي بصحتها وتسلم الكم ميكانيكا تفرضها التي األساسية المبادئ من الفكرة هذه الذرة. لتوضيح في المختلفة اإللكترونات بين التمييز يمكن ال أنه

اإللكترونين أن (. حيث1s2) االستقرار حالة في الهيليوم ذرة في نتأمل مبدأ يقتضيه ما حسب– ريب وال فهما ،ml وl وn الكم أعداد في يشتركان حركتهما في (- مختلفانPauli’s exclusion principle) لباولي االستبعاد "نحو نفسه حول يدور األعلى" واآلخر "نحو نفسه حول يدور واحد المغزلية،

كان إذا فيما القول نستطيع ال فإننا التمييز عدم مبدأ األسفل". وحسب "نحو يدور الذي هو األعلى" والثاني "نحو يدور الذي هو األول اإللكترون "نحو يدور أحدهما أن هو نحدده أن نستطيع ما بالعكس. كل أو األسفل"،

يدور الذي هو أيهما نحدد أن نستطيع ال األسفل" ولكننا "نحو األعلى" واآلخر هناك األمر، حقيقة األسفل". وفي "نحو يدور الذي هو األعلى" وأيهما "نحو

% أن50 األعلى" واحتمال "نحو يدور األول اإللكترون % أن50 احتمال "نحو للدوران بالنسبة األمر وكذلك األعلى"، "نحو يدور الثاني اإللكتروناألسفل". ليشمل يمتد بل المغزلية الحركة على التمييز عدم مبدأ يقتصر وال

ذرة المثال. تحتوي سبيل على الطاقة ولنأخذ الفيزيائية، الصفات سائر نفس لهما اثنان إلكترونات، ثالثة ( على1s2 2s1) االستقرار حالة في الليثيومE وطاقته2s الفلك في موجود والثالث ،1s الفلك في ويتواجدانE1 الطاقة

الثالثة اإللكترونات أي نحدد التمييز- أن عدم مبدأ حسب– نستطيع . ال2 بطاقة1s الفلك في موجود وأيهاE2 قدرها بطاقة2s الفلك في موجود والثاني أحمر أحدها ملونة، الثالثة اإللكترونات هذه أن فرضنا . لوE1 قدرها هنالك فإن أزرق، واألخير أخضر اإللكترون نجد % أن33 مقداره احتماال2s الفلك في األحمر وكذلك ،1s الفلك في نجده % أن67 مقداره واحتماال

اآلخرين. لإللكترونين بالنسبة األمر

98

عدم مبدأ يحقق الذي المناسب الرياضي التعبير نجد أن اآلن سنحاول اإللكترونين بين التنافر متجاهلين ولنبدأ (،1s1 2s1) مثارة هيليوم لذرة التمييز

شكل على الهيليوم إلكترونات تمثل التي الكلية الدالة كتابة من يمكننا مما الهيدروجينية بالدالة األول لإللكترون الهيدروجينية الدالة ضرب حاصل

: الثاني لإللكترون

تقرر إنها إذ التمييز، عدم مبدأ تتجاهل أنها أعاله الدالة في المشكلة وتتجاهل ،2s الفلك في والثاني1s الفلك في موجود األول اإللكترون أن

. في1s الفلك في والثاني2s الفلك في األول اإللكترون وجود احتمال بذلك بأحسن ليست الدالة فإن المقابل، األولى الدالة من حاال بعمل نقوم المأزق هذا من التمييز. وللتخلص عدم مبدأ مع كذلك وتتعارض

التمييز: عدم مبدأ مع تتوافق أعاله الدالتين من خطية تركيبة (6.2)

أما العيارية، شرط من عليه نحصل الثابت أن إلى التنبه يجدر السالبة( اإلشارة )ذات إحداهما على الحصول فيمكن الخطيتان التركيبتان

(:determinant) المحددة حل من

المناسبة الكلية الدالة إيجاد نستطيع عام، وبشكل من يتكون لنظام(:Slater) سليتر بمحددة يسمى ما بحل اإللكترونات منn العدد

الرقم أما المعتبر، اإللكترون رقم يمثل األقواس داخل الرقم أن حيث اإللكترونات لهذه الهيدروجينية الحلول فيمثل الدالة رمز أسفل الصغير.n وعددها

(Pauli Principle) باولي مبدأ

عن أنفسنا ( ونسأل1s1 2s1) المثارة الحالة في الهيليوم ذرة مع نبقىالذرة؟ هذه في المغزلية اإللكترونين لحركة المختلفة التركيبات عدد

في ممثلة مختلفة تركيبات أربع هناك فإن أعاله الرسم من يتضح كما ،spin,1 ... spin,4( spin) المغزلية الحركة داالت spin,4 وspin,3 الدالتين أن إال

بتركيبتين استبدالهما وجب ذلك( لذا )وضح التمييز عدم مبدأ مع تتفقان الالمبدأ: هذا مع متوافقتين خطيتين

1s

2sE

spin,1=)1()2( spin,2=)1()2( spin,3=)1()2( spin,4=)1()2(

99

ضرب حاصل من تتكون والتي الكلية الدالة أن على باولي مبدأ ينص غير تكون أن ( يجبspin) المغزلية الحركة ( ودالةspace) المكان دالة

(.exchange of electrons) اإللكترونات تبديل عملية يخص فيما متماثلة المبدأ هذا ويكتب التالي: النحو على رياضيا

وضع هو ( وعملهexchange operator) التبديل مؤثر هو أن حيث هذا تشغيل األول. وعند محل والثاني الثاني اإللكترون محل األول اإللكترون

بالنسبة متماثلة منها ثالثة أن نجد األربع المغزلية الحركة داالت على المؤثرمتماثلة: فغير الرابعة أما التبديل لعملية

(،6.2 )المعادلة هذه المثارة الهيليوم لذرة المكان لدالتي بالنسبة أما تبديل عملية يخص فيما متماثلة غير الثانية أن حين في متماثلة فاألولى

اإللكترونات:

أربع هنالك أن نجد المكان بداالت المغزلية الحركة داالت ضرب عندباولي: مبدأ عليها ينطبق فقط احتماالت

(triplet state) الثالثية بالحالة يسمى ما األولى الثالث الداالت تمثل الكلي المغزلي الكم عدد يكون حيث المثارة الهيليوم لذرة ) لواحد مساويا

S=s1+s2=1/2+1/2=1،) األحادية بالحالة يسمى ما فتمثل األخيرة الدالة أما (singlet stateالكلي المغزلي الكم عدد يكون ( حيث -S=s1) لصفر مساويا

s2=1/2 - 1/2=0ثالث فهناك التسميات، هذه وراء السر اآلن (. ونفهم الحالة لتحقيق وحيدة ( وإمكانيةS=1) الثالثية الحالة لتحقيق إمكانيات(. S=0) األحادية

100

الذرة ( إللكتروناتS) الكلي المغزلي العزم أن الفائت الرسم يوضح لإللكترونات المغزلية للعزوم المتجهي المجموع هو اإللكترونات متعددة

مجموع هو للذرة الكلي المغناطيسي المغزلي الكم عدد وأن المختلفة،المنفردة: لإللكترونات المغناطيسية المغزلية الكم أعداد

فيزيائية قيمة ( هو) الكلي المغزلي العزم أن التنبه يجب ولكن ( أن) المختلفة لإللكترونات المغزلية العزوم على يجب وبذلك مكماة،

لتعطي الفضاء في محددة اتجاهات تتخذ عزما مغزليا محددة بقيمة كليا وتأخذ الكلي المغزلي الكم بعددS وتسمى (،6.3) األخيرة المعادلة حسب

صحيحة. وأنصاف صحيحة موجبة قيما طاقة ( أقلtriplet state) الثالثية الحالة أن إلى اإلشارة تجدر وأخيرا

أكثر وبالتالي إلى ذلك ويرجع (،singlet state) األحادية الحالة من استقرارا صفر ( هوr1=r2) النقطة نفس ( فيP) اإللكترونين تواجد احتمال أن

األحادية الحالة في وارد أنه حين في الثالثية، الحالة في مستحيل وبالتالي يكون اإللكترونين بين التنافر أن يعني مما كبيرا األحادية الحالة في جدا

S

S

S

s1

s1s1

s2

s2

s2

z z z

Ms=ms1+ms2=1 Ms=0 Ms=-1

.

z

Ss1

Spin=0 Ms=0

s2

101

زيادة إلى يؤدي التنافر وهذا بعضهما من بالقرب اإللكترونين تواجد الحتمالالطاقة.

نفس في اإللكترونين تواجد احتمال حساب يمكن كيف(:1) تدريبالنقطة؟

102

(Rotational motion)الدورانيةالحركة(particle- on-a ring)حلقةعلىالجسيم

األبعادثنائيالدورانوهيالدورانيةالحركةأنواعبأبسطلنبدأ فيدائري بمسارm( كتلتهpoint particle)نقطيجسميتحركحيث

المركز.نقطة حولx-yالمستوى

أنحيث1،الجسمهذادورانطاقةتكونكالسيكيا،هيالسرعةالزاويةوIهيعزمالقصورالذاتي(moment of

inertiaوالذي )يمثلتوزيعكتلةالجسمحولمحورالدوران. يعرف التالي:النحوعلىالذاتيالقصورعزم

riأماالدائر،الجسممنهايتألفالتيالكتل هيmiأنحيث

جسمحركةندرسأنناالدوران. وبمامحورعنالكتلهذهبعدفهيهناكفليسنقطي الذاتيالقصورعزمفإنوعليهواحدةكتلةإال.I=mr2يكون

بالضرورةيمتلكفهويدورالجسمأنوبما عزما )صزاويا22:)

هي:الزاويالعزمبداللةالدورانطاقةفإنوعليه (

7.1) ونالحظشرودنجرمعادلةمنونبدأالكمميكانيكاإلىننتقل

تأثيرتحتالجسمتواجدلعدمصفرهيالوضعطاقةأنأمرين: األول

مكان الزاوية السرعة استبدال مراعاة مع الخطية والحركة الدائرية الحركة قوانين بين التشابه يالحظ11.)) الكتلة مكان الذاتي القصور وعزم السرعة

x

m

r

y

103

فالx-yالمستوىفيتتمأعالهالدورانيةالحركةأنوالثانيقوة،حقلاالعتبار. بعينzالبعدأخذإلىبذلكنحتاج

أن نستطيع أخرى، جهة من وr و جهة منy وx بين العالقة منأن نستنبط

أعاله،الدورانعمليةخالل ثابتrالقطرنصفأنحيثولكن تكونrلبالنسبةالمشتقةفإن مناألوالنالحدانبذلكويسقطصفرا

التالي:النحوعلىشرودنجرمعادلةلتصبحالمطلوبالمؤثر

،فهواألخيرةالتفاضليةللمعادلةالعامالحلأما نحصلاألخيرةالمعادلةفيالحلهذا ثوابت. وبتعويض m وAأنحيثعلى:

قيمة نحدد أن ( نستطيع7.1) المعادلة مع األخيرة المعادلة وبمقارنةالزاوي: العزم

(7.3) الحركة أن ( فحيث5.10) المعادلة ( عن7.3) المعادلة تختلف وال سيكون الزاوي العزم فإنx-y المستوى في تحصل الدورانية في متجها

هي ( ما7.3) المعادلة فيL فإن وعليه (،88 ص ،22 )صz البعد هذا ،Lz إال …m=0, ±1, ±2, ±3 القيم تأخذ و مكماة األخرى هيm أن إلى باإلضافة

فاي معادلة حل عند استخدمناه والذي الشرط بسبب(. 78 )ص الهيدروجين ذرة إللكترون

(particle-on- a sphere)كرةسطحعلىالجسيم

سطحعلى يتحركmالكتلةذينقطيجسمفياآلنلنتأمل rقطرهانصفكرة األصل. نقطة في الواقع الكرة مركز حول دائرا

104

تحت يقع ال الجسم أن وحيث شرودنجر، لمعادلة العامة بالصيغة نبدأ بنقل ثم من صفرا. نقوم ( تكونV) الوضعية الطاقة فإن قوة حقل تأثير

شكل على الدالة بكتابة وكذلك الكروي اإلحداثيات نظام إلى المسألة فعلنا كما ، و وR الثالث الفرعية الدوال ضرب حاصل بذرة تماما

(:76 )ص الهيدروجين

ثابت الدوران مركز عن الجسم بعد أن وبما نصف )ومقداره دوما بذلك ويسقط صفرا، بالضرورة ستكونrل بالنسبة المشتقة ( فإنr القطر

التالي: النحو على شرودنجر معادلة لتصبح المؤثر من األول الحد

األخيرة المعادلة ( في78 ص5.4 )المعادلة فاي معادلة وبإدخالعلى نحصل

الشق سوى ليس أنه نجد األخيرة المعادلة من األيسر الشق وبتأملتعطينا والتي (،79 ص5.6 )المعادلة ثيتا معادلة من األيسر

r

x

y

z

(x,y,z)

105

الهيدروجين ذرة على الكالم عند ثيتا معادلة لحل تعرضنا قد وكنا الكروية، بالمتوافقات يسمى ما أو الزاوية الدالة يعطينا وحلها

بحث عند العادة جرت نعرف. ولكن كما مكماةl وm الثابتين قيم وتكونJ الرمز استخدام الدورانية الحركة موضوع التمييز ألغراضl الرمز من بدال

الصورة على الدوران طاقة معادلة بذلك فتصبح االلتباس، ومنع

أن (. وحيثrotational constant) الدوران بثابتB الثابت ويسمى ،, …J=0, 1, 2 القيم ( يأخذrotational quantum number) الدوران كم عدد أو االهتزاز طاقة بخالف صفر هي الدوران لطاقة مسموحة قيمة أقل فإن

النحو على حسابه فنستطيع الزاوي العزم اإللكترونية. أما الطاقة

(Rigid Rotor) الصلد الدوار بالدوار ونقصد جسما نفسه، حول يدور جزء من أكثر من مركبا

يدوران فقط جسيمين من يتكون والذي األجزاء ثنائي الدوار أنواعه وأبسط كونه النظام. أما ثقل مركز خالل من يمر محور حول ) أبعاد أن فيعني صلدا

dimensionsبين المسافات فتبقى نفسه حول دورانه مع تتغير ال الدوار ( هذا في أجزائه بين المسافة تزيد الذي الصلد غير الدوار بخالف ثابتة، أجزائهالمركزية. الطاردة القوة نتيجة الدوران قطر نصف اتجاه

إحداثيات عن باالستعاضة الهيدروجين ذرة معالجة عند قمنا وكما )ص الجسيمين بين والبعد الثقل مركز تمثل بإحداثيات واإللكترون النواة

من يمكننا مما أعاله، الدوار حال في الشيء نفس نفعل فإننا (،75-76 حقيقة ثالثة. وفي إلى المتغيرات عدد وتقليص االنسحابية الحركة فصل الدوار بهذا الخاصة شرودنجر معادلة تختلف ال األمر، حال في عنها جوهريا

x

y

z

r0.m1

m2

r1

r2

106

فقط اثنين جسيمين بحركة األخرى هي تتعلق والتي الهيدروجين ذرة في إال وتسقط صفر هي الصلد الدوار في الوضعية الطاقة أن اثنين: األول أمرين محور حول الدائرين الجسيمين بين المسافة أن والثاني االعتبار، من بذلك

بذلك وتصبح صفرا، كذلكrل بالنسبة المشتقة تكون وبالتالي ثابتة الدورانالتالي: النحو على الهيدروجين ذرة معادلة

المعادلة نفس وهي ثيتا معادلة على نحصل األخيرة المعادلة وبترتيب ( وتنطبق112 )ص الكرة سطح على الدوران حال في عليها حصلنا التيالمعادلتان الصلد الدوار على بذلك

يلي: كما الذاتي القصور عزم حساب ويمكننا

الدوران. وإذا محور عنm2 وm1 الكتلتين من كل بعدr2 وr1 تمثل حيث لضمان الثقل مركز في يمر أن يجب الدوران محور أن االعتبار بعين أخذنا خالل االنسحابية للحركة أثر أي انعدام وبالتالي الثقل مركز تحرك عدم

الكتلتين بعد نفسه هو الدوران محور عنm2 وm1 الكتلتين بعد فإن الدوران، مجموع عندها يكون التي النقطة بأنه تعريفه يتم والذي الثقل مركز عن

األولى بالعزوم يسمى ما الذراع( أو بطول القوة ضرب )حاصل القوة عزوم(first momenta أن عنه ينتج والذي ( صفرا

ولكن

إذا

الذاتي القصور عزم معادلة في األخيرة النتيجة وبتعويض

الدورانية الحركة وصف في الصلد الدوار نموذج من االستفادة ويمكنالتالي: المثال من يتضح كما للجزيئات

107

( هوO2) األكسجين جزيء في الرابطة طول أن علمت إذا(: 1) تدريب120.8 pmاألكسجين، لجزيء الذاتي القصور عزم فاحسب

أكسجين لجزيء الدوران وطاقة الزاوي العزم ثم من واحسب جزيء في الثقل مركز يقع (. أينJ=1) األول الطاقة مستوى في

األكسجين؟

108

الذرتين: بين المسافة منتصف في فسيكون الثقل مركز أما

معروف أمر وهو بالبديهة. سلفا ،Å 1.283 هو1H-35Cl جزيء في الرابطة طول أن علمت إذا(: 2) تدريب

الجزيء لهذا الدوران طاقة الثقل. احسب مركز مكان فاحسب الثانية في بها يقوم التي الدورات عدد واحسبJ=2 المستوى في

الواحدة.

109

المراجع:

1. Physical Chemistry, K.J. Laidler and J.H. Meiser, Houghton Mifflin Company, 3rd edition, 1999.

2. Physical Chemistry, G.W. Castellan, Addison Wesley Publishing Company, 3rd edition, 1983.

3. Atkins’ Physical Chemistry, P. Atkins and J. de Paula, Oxford University Press, 7th edition, 2002.

4. Atomic Spectra, T.P. Softly, Oxford Science Publications,

5. Principles of Quantum Mechanics as applied to Chemistry and Chemical Physics, D.D. Fitts, Cambridge University Press, 2002.

6. Quantum Chemistry, I.N. Levine, Prentice Hall, 5th edition, 1999.

110

متنوعة أسئلةاألول الشهري / االختبار الكم / كيمياء كيم436

المستقرة. حالته في+He األيون إلكترون تأيين طاقة احسب.1 كان أ. إلكترون.2 ثم ،V 10 مقداره كهربائي جهد فرق تأثير تحت واقعا

الطول الموجب. احسب بالقطب اصطدم حتى بالتحرك له سمحاصطدامه. عند اإللكترون لهذا الموجياإللكترون. لهذا الموجية الطبيعة فيها تثبت تجربة ب. اقترح

طول أكبر فاحسب ،V 5.7 تساوي ما لفلز الشغل دالة كانت أ. إذا.3 إطالق أجل من استخدامه يمكن كهرومغناطيسية ألشعة موجي

الفلز. هذا إلكترونات تلك من أكبر موجية بأطوال أشعة استخدمت إذا يحدث ب. ماذا

أ. الفرع في المحسوبة البعد في العزم مركبة لمؤثر مميزة دالة الدالة كانت إذا فيما أ.بين.4

المميزة. القيمة فاحسب نعم، الجواب كان (. إذاPx) السيني. أن حيث موجية، دالة تكون ألن تصلح الدالة كانت إذا فيما ب. بين.A الثابت قيمة ج. حدد

الوقت نفس في وموقعه ما لجسيم الوضعية الطاقة قياس يمكن . هل5إجابتك! وضح بالغة؟ وبدقة

الثاني الشهري / االمتحان الكم / كيمياء كيم436.nm 0.1 طوله األبعاد أحادي صندوق في موجود إلكترون.1

كان إذا اإللكترون طاقة احسبأ. الطاقة مستوى في موجودااألول.

ما أكبر اإللكترون تواجد احتمال فيها يكون التي المواضع حددب.العاشر. المستوى في اإللكترون كان إذا يكون

( إذاx ≤ L> 0) األول الربع في اإللكترون تواجد احتمال احسبت. اإللكترون كان الثاني. الطاقة مستوى في موجودا

شكل على تصويره يمكن ( فإنهplanar) مسطح البنزين جزيء أن بما.2 أخذنا . إذاÅ 2.5 ضلعه طول الشكل مربع األبعاد ثنائي صندوق

فاحسب: االعتبار بعين فقط إلكترونات من البنزين إلكترونات إلثارة الالزمة للفوتونات الموجي الطولأ.

.LUMOال إلىHOMOال.HOMO ال الطاقة مستوى تفسخ درجةب. تواجد احتمال احسب ثمLUMOلل الموجية الدالة اكتبت.

)المركز(. الصندوق منتصف فيLUMOال إلكترونات

111

الحر ( للجسيمpx) الخطي للعزم المتوقعة القيمة تكون لماذا علل.3صفرا.

النهائي / االختبار الكم / كيمياء كيم436

كان أ. إلكترون.5 ثم ،V 10 مقداره كهربائي جهد فرق تأثير تحت واقعا الطول الموجب. احسب بالقطب اصطدم حتى بالتحرك له سمح

اصطدامه. عند اإللكترون لهذا الموجي األبعاد أحادي صندوق في اصطدامه عند اإللكترون هذا حبس ب. إذا

هل اإللكترون؟ هذا سيكون مستوى أي ففي ،nm 1 عرضه عليه )كالسيكي( تنطبق تقليدي كجسيم هذا اإللكترون يتصرفإجابتك! علل التقليدية؟ الفيزياء قوانين

جميع من مثال( وضغطت )الفضة ما فلز من ذرة40 . جمعت2 افترضنا . إذاnm 1 ضلعه طول مكعب شكل على فأصبحت االتجاهات

تعطي ذرة كل أن إلكترونا كاملة بحرية بالتحرك له يسمح فقط واحدا اإللكترونات هذه عاملنا وإذا األبعاد(، ثالثي )صندوق المكعب في

التالية: األسئلة عن فأجب صندوق، في الجسيم معاملة األربعين إلىHOMOال من اإللكترونات إلثارة الالزمة الموجة طول أ. احسب

.LUMOال األشعة تصنيف يمكن الكهرومغناطيسية األشعة من جزء أي ب. في

فوق إكس، )أشعة السابق الفرع في أطوالها حددت التيميكروويف(؟ حمراء، تحت مرئية، بنفسجية،

.LUMOال تفسخ ودرجةHOMOال تفسخ درجة ج. حدد المكعب مركز فيHOMOال إلكترونات تواجد احتمالية كثافة د. حدد )(

3. المرفقة: الهيدروجين ذرة دوال جداول من مستفيداالهيدروجين. ذرة في2s للفلك الكلية الدالة حدد أ.

النواة. عن2s الفلك في الموجودة العقدة بعد ب. حدد يتم كيف ج. بين .2s الفلك قطر نصف تحديد رياضيا

4 الكلية الدالة جد المرفقة، الهيدروجين ذرة دوال جداول من . مستفيدا العدد من التخلص )يجب2px للفلك الهيدروجين ذرة في إللكترون(.i التخيلي

إللكترون الفضاء في الممكنة واتجاهاته الزاوي العزم قيم . أ. حدد5الرسم(. )معd الفلك في d الفلك طاقة على الخارجي المغناطيسي المجال تأثير هو ب. ما

الرسم(؟ )مع

112

التي الهيدروجين ذرة بإلكترون الخاصة الفيزيائية الصفات هي ما أ. . 6؟ms وml وl وn الكم أعداد تحددها

الهيدروجين ذرة في2s و2p الفلكين طاقة تتساوى لماذا ب. علل ذرة في2s للفلك منها أعلى2p الفلك طاقة تكون حين في

مثال. النيتروجين من بالقرب اكتشف جديد نجم حرارة درجة لتقدير طريقة ج. اقترح

الشمسية. مجموعتناالتقليدية؟ الفيزياء قوانين مع للذرة رذرفورد نموذج يتفق ال د. لماذا

113