fi' universidade estadual paulista - sorocaba.unesp.br de calculo iii/05... ·...
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..""fI' UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNIDADE DIFERENCIADA DE SOROCABAlIPERÓIa PROVA DE CÁLCULO lU - 27/09/05.
PROF. JOSÉ ARNALDO ROVEDA
NOME: qA5ARITO . MATRÍCULA:
OBS! Todas as Respostas devem ser JUSTIFICADAS.
Questão 1. (2 pontos) Determineo raio de convergênciada série abaixo. Em seguida, determineo intervalode convergênciaabsoluta,se existem pontos de convergênciacondicional, o intervalo de convergênciae ointervalode diverêngiada série.
00
~ IneSn)(x - e)n.n=l
Usa~ o -ksk dq ra wo lZ m módu 10t -tevrw5 :
Qy\-+, n+l~ (Y\+i)(x- e)
Q.., en+1-
e,Y1
k(V\) (x-e)VI
-Ix-e I
e~ (n-+~)
~ C\I\)
C~lcula~o o limite ~ na V1~ ()(J -kz. mO6 :
~s\ W\I Ix-e\ < 1e
< ) (~-e'<e <>-e<~-e<eç>O<JC-<2e.
Rtaio de. conver~~C\ :R.=e.
'tr) -k.ç-6ndoos ex-h-em06:
k I QMI } =:
(}14)00 k/Ã--et . u.. ;O Ix-el "}IV Q()
- -n400 °n y\tX) (n) L'I-f e 1\ o(} 1l-t1
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4 E.m lJr)lore~ ~\u-\-os. :
Y1~ I (-I)YI~(n) = t ~(n) .
Como Qn= ~(V\) e ~ k(~d = ()()I- O, -pe-ID 4eh-k. do Y\-~5imoV\~ qO'
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~ Un = ~ k()\) = ctV.Y\~ pC 'f\~ 00
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Co V\C\usão :X=O e' um ~ de. diV~.
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. X:o 2e '. z: k(~) (ze - e) = L ~(1'l) .V\=1. eV\ 1\ -:::'I
00
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Co~ V\~I~(") =n~ ~(h) e.. eç-b série e~ dlver~<zn+e ("i de. x:::o))
cP Y\cJLl {'y)'\GS ~ue. x=-2 e e' U YY1 p-I-D de div0reêVlcia.. .
AS&( YY\ ~YY}()S : ~ IY11-. UJY1'I-Abro\u.-b : o < x < 2e ;
4 ?-\ps de.- CDrN. Covrlia oV\O.I: neto +eW1.
-lvrt, Cbnv~: o < ~ < 2e;
-- IvJ-. 1)\V~: x. ~ O ou x ~ 2 e.- .
Questão 2. (2,5 pontos) Encontre a sárie de MacLaurinpara a função.f(x) = x3e-x. Encontre os polinômiosde ordem2,3 e 4 que aproximamessa função.
I n',c\ C\\YY\e,n~ 00 mosc.,- f -x1 uV\cpo (X) =- e .
e.V1contror Q série de rJ\ac.LauriV\ partÀ/ a
r -xT (x) :::: ef' (x) ~ - e-x
r" (x
'\ x) ~ e-
f\\\ (x) -= - e-)(
>
+eo) = i
-F' (o) = - i
f\' (o):: 1-
fi"~ (0):= - i
(h)
. '. aVI= .Ç (o)1'\ '.
-=>
(V\) V\
. '. t (o) :::. (- i)~ ay\:= (- 1.)ri
Y\~
~S\ YY\ o séx." ~ ç( GO s~00 'Vl
Z (-1) JG~
1\~o 11.1.
Aeora... OO\'YlOSobter C\ ~e. parOl ~ çunçQO
YhU \-11'P\ia:lY\do x3 peb ~.t\e de e,-x
(I(j O()
f :3 -x 3 ~ ( )Y1 11-(x) = X- e = ~ . LJ ~ X == L
1\=0 n. '. n=0
r .3 -)(T (x) = x e ,
00
(-1)71 x'l1X3 := z: (-1)71 X».,.3 .'ri! Y\=D n~ .
?o\\~vn\OS de ord€-"'~ 2, .3 ,4 e 5.
\{(x):; .$.
?~(x)= x3 .
-;J 3 4'4 (x):= X - X .
~ )3 ~ S
r'S (x = X - X -+~ .Z '.
Questão 3. (2 pontos) Encontrea série de Taylorpara a funçãoj(x) = 3Xno P9ntoa = 1. Obtenhaos 4primeiros termos da série.
f ()()::: ?/.
. )(t (x) =: ~ . ~ ~
f("J == 3.
~,
f (1)= :). ~3
.ç" ()() =' :))(. (~ :3)2
.ç'" (x) =' ?:;x (~3i
"
( )2
t (1)=~. ~3
rll (1):= 3. (~ 3t(Y\) \ (
V\
t (1)=- 3. ~3).
'VI.. ~3( -1M3) (X-1) .
Y\ \.
~ pri mel'ros k-yn{Y:. do. ~i:
2. 2 3 3
~(X) '" 3 -\- 3. k3.(X-i) + 3. (~3) (X-i) + ~.(~3) (x-i) .2 \. ~ '.
(,,)(1) 3 (k:,) V\C\'" = --V)\
.. A sé.oe- é dach -por: Z)'\=-o
Questão 4. (3,5 pontos) Resolva os itens abaixo:a) (1,5 pontos) Obtenha a equação polar da curva (x + 3)2 + y2 = 9. Faça um esboço do gráfico.
b) (2 pontos) Obtenha o esboço da equação r = -3 sin(28). Qual o menor tamanho do intervalo de 8 paraproduzirmos o gráfico?
a) Relayão entre 05 coonieVlt:1das:
{
X = r~ e-
y :::: r &W\e-.
Ass(W\:
x2+y7.=t'z.
2 ~ 2 2\)(;- 3) -t Y ::: 9 ~ x + G x + 9 -I-Y =: 9
2 2
~ X t-Y -t6x=O.
ç:Q2evJo QÇ. subs-\;kt"cões I fe,wws:I",2 T 6.r OO'.\B=O :}
::j> V(V+6~&)=O ~ r=O QU.. r=-6~e-.
Como r =:O roa faz se..v\-\icID, -temos I r = - 6 ~e -)
~~: A curV<L (x+~);\ y2= 9 rz/ LJWlCltlrwnf COVY1C8N1ftv eNv1(-3,0)
e.- r a ,~() .3.
~~: ~
-~ ~
b) v~ a,M\\~ (i\~~YV\eAna~inH:ja\vy\lLnk:
.E\)(0 - ~: (- n. - (t) -bvn~ ~ ~iÇ~(lW- Q eIl~ :
- rl ~ - ~ ~ (- 2.f)) :::) - 1l::: 3 ~ (ze) ~ tt ~ - 3 ~ (zf) ') .
. ~'WMi-trloo ~VY\rda~o a{) e!)cO-~ .
(I-l-, i[+e) ~~ cle",.tAM difawr C\qooção ..onS€ML:
t\, :: - ~ ~(2(TL+9)) ~ Il=- -3 ~(21[ +2&) ~1.
=> tL '" - 3 [~f" ~(2e) + &wl(ze)" ccJ2.TC)] ~ tL =- 3 ~(2f)).
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