( finite element method, fem ] -...

ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

( Finite Element Method, FEM ]

โดย

ผศ.ดร. มนตศกด พมสาร

Engineering Analysis

Classical Methods Numerical Methods

Closed-form

Approximate

Finite Element

Finite Difference

Boundary Element

วธการแกปญหาทางวศวกรรม

ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธการหนงในการนามาวเคราะหปญหาทางวศวกรรม

บทนาเกยวกบระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธเชงตวเลขทใชแกปญหา ทางฟสกส หรอทาง

วศวกรรม และอนๆ

รปแบบปญหาคอ การหาฟงกชนการกระจายตวของตวแปรในระบบสามมต ซง

ปญหาแตละอนจะสามารถอธบายดวย

Differential equation/Integral equation

Finite element คอ องคประกอบยอยๆของโดเมนโครงสราง

สาหรบวธการของ FEM โดเมนของโครงสรางถกแบงยอยเปนองคประกอบ

ยอยทมรปรางอยางงายขนาดเลก องคประกอบยอยนจะถกเรยกเปน “element”

โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)

โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)

โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)

โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)

ดงนนเองนจงเปนทมาของ “Finite element method”

ในแตละ element การกระจายตวของตวแปรทเราสนใจนน จะมคาตางกนตาม

ตาแหนงใดๆ

รปดานซายแสดงตวอยางของรปราง

Mesh, Element และ Node

ตวแปรทเราสนใจคอ u(x,y)(การขจด

ตามแนวแกน x) และ v(x,y) (การขจดตาม

แนวแกน y)

ขนตอนในการทาแบบจาลอง FEM

FEM คอ การสรางสถานการณจาลองขนมา (Simulation)

คาความผดพลาดมาจาก Modeling error, Discretization error, Numerical error

ประวตของ FEM


มนเปนการยากทจะบอกไดวา FEM ไดเรมเกดขนมาเมอไหร เพราะวาแนวคด

พนฐานของมนไดถกพฒนามากอนหนานเมอ 150 ป หรอมากกวาน

Clough คอ บคคลแรกทไดบญญตเทอม Finite element ในชวงตอนตนทศวรรษท

1960 จากนนวศวกรไดใช FEM แกปญหาทางดานการวเคราะหความเคน การวเคราะห

การไหล การถายเทความรอนและอนๆ

หนงสอเลมแรกทเกยวกบ FEM แตงโดย Zienkiewicz และ Cheung ซงตพมพในป

1967

ในปลายทศวรรษ 1960 และตนทศวรรษ 1970 ไดมการนาเอา FEM มาใชแกปญหา

ในทางวศวกรรมกนอยางแพรหลาย


ในทศวรรษท 1970 การพฒนา FEM ไดมความกาวหนาอยางมาก โดยไดมการ

พฒนา เอลเมนตใหมๆขนมา และไดมการศกษา Convergent ของวธ FEM

ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1970 เชน ABAQUS,

ADINA, ANSYS, MARC, PAFEC

ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1980 เชน FENRIS,

LARSTRAN’80, SESAM’80

ขอดของ FEM

สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมรปรางซบซอนได (จดเดนทสด)

สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทซบซอนเชน

Vibration

Transients

Nonlinear

Heat Transfer

Fluids

Buckling

Electromagnetic

Multi-Physics


สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทรบภาระตางๆเชน ภาระทกระทากบ node เชน point loads

ภาระทกระทากบ element เชน pressure, thermal, inertia forces, gravity

forces

ภาระทเปลยนแปลงตามเวลา หรอภาระทขนอยกบความถ

สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตแบบ non-isotropic

Orthotropic

Anisotropic


สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตพเศษเชน คณสมบตของวตถเปลยนแปลงตามอณหภมPlasticity

Creep

Swelling

สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมเปนแบบ

Large displacements

Large rotations

Contact (gap) conditions

ขอเสยของ FEM

เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถง

จะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง

ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)

มปญหาเชงตวเลขเกดขนจาก เนองจากคอมพวเตอรสามารถเกบคาเลขนยสาคญไดจากด

Round-off error สะสม


เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถงจะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง

ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)

มขอผดพาดเกดขนจากการทา Modeling เนองจาก

การเลอกใชชนดอลเมนตทไมเหมาะสม

การใช Distorted element ในโมเดล

การทาเมชทไมเหมาะสม


พฤตกรรมบางอยางไมไดรวมใหโดยอตโนมตเชนBuckling

Large displacements และ Large rotations

Materials nonlinearities

Nonlinearities อนๆเชน Contact condition

ขนตอนพนฐานของระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต

1. ขนตอนของการเตรยมแบบจาลอง (Preprocessing phase)

การสรางรปรางของแบบจาลอง (Geometric construction)

การแบงโดเมนของแบบจาลองออกเปนเอลเมนตยอยๆตอกน โดยแตเอล

เมนตจะประกอบไปดวยโนด (Discretization)

การกาหนด shape function ซงแสดงถงพฤตกรรมทางกายภาพของเอลเมนต

หรอผลเฉลยของเอลเมนต(คาประมาณ)

สรางสมการสาหรบเอลเมนต

กาหนดคาเงอนไขเรมตน สภาวะโหลดและสภาวะขอบใหกบปญหา

กาหนดคณสมบตของวสด (Material properties)

2. ขนตอนการหาคาตอบ (Solution phase)

การแกหาคาตอบของสมการซงอยในรปสมการเชงเสนหรอสมการไม

เชงเสน ซงคาตอบคอคาการกระจดทโนดตางๆ หรอคาอณหภมทโนด

ตางๆ(ในกรณเปนปญหาการถายเทความรอน)

3. การวเคราะหผลลพธ (Postprocessing phase)

การวเคราะหหาผลลพธทเราสนใจเพมเตมเชนเราอาจอยากจะทราบคา

ความเคนหลก ฟลกซความรอน เปนตน

ปญหาทางกลศาสตรของแขง(Solid-Mechanics)Analysis of solids

Static Dynamics

Behavior of Solids

Linear Nonlinear

Material

Fracture

GeometricLarge Displacement

Instability

Plasticity

ViscoplasticityGeometric

Classification of solids

Skeletal Systems1D Elements

Plates and Shells2D Elements

Solid Blocks3D Elements

TrussesCablesPipes

Plane StressPlane StrainAxisymmetricPlate BendingShells with flat elementsShells with curved elements

Brick ElementsTetrahedral ElementsGeneral Elements

Elementary Advanced

Stress Stiffening

ชนดของเอลเมนตพนฐาน

Primitive structure elements

Continuum elements

Special elements

การสรางเอลเมนต 1 มต (1D element or Line element)

วธการสรางเอลเมนต 1 มตโดย1. Direct stiffness method (เราจะใชอนน)

2. Weighted residual method

3. Minimum potential energy method (เราจะใชอนน)

4. Variational method

การสรางเอลเมนต 1 มตโดยวธ Direct stiffness

วธการสรางเอลเมนต 1 มต (Spring element or bar element)

รปขางลางแสดงสปรงในพกดสามมต

ˆˆ ˆxyz Global coordinate systemxyz Local coordinate system

−−

ในการพจารณาทสปรงเอลเมนตใดๆนนเราจะกาหนดให ทศทางของแรงทกระทาทโนด(Nodal force) และการกระจดทโนด(Nodal displacement) มทศทางและสญลกษณแสดงดงรป

1 2

1 2

ˆ ˆ, 1 2ˆ ˆ, 1 2

x x

x x

f f Local nodal forces at node and

d d Local nodal displacements at node and

−

−L คอความยาวของสปรงกอนยดหรอหด

k คอคาคงทของสปรง

สงทเราตองการในตอนนคอตองการแสดงความสมพนธของแรงกระทาทโนดและการกระจดทโนดของสปรงเอลเมนต ซงจะเขยนเปนสมการไดดงน

1 111 12

21 222 2

ˆ ˆ(1)

ˆ ˆx x

x x

f dk kk kf d

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

หรอ

ˆ ˆ ˆf k d=

ˆ 2 1ˆ 2 2ˆ 2 1

f Local nodal forces matrix

k Element stiffness matrix

d Local nodal displacements matrix

− − ×

− − ×

− − ×

เมอ

ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนสปรงเอลเมนต สมมตสปรงถกกระทาดวยแรงดง T ทงสองขางและแกน x ของ Local coordinate ชจากโนด 1 ไปยงโนด 2 ดงรป

ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2

แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 1 แบบ(ตามแนวแกนสปรง) – DOF = 1

ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ

เสยรปของสปรง ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution)

ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใชฟงกชนเชง

เสน (Linear function)

[ ] 11 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 (2)a

u x a a x xa

⎧ ⎫= + = ⎨ ⎬

⎩ ⎭

โดย a1 และ a2 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน

1

2

ˆˆ ˆ( 0)ˆˆ ˆ( )

x

x

u x d

u x L d

= =

= =

ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)

จากนนทาการแทนคาเงอนไขดงกลาวลงในสมการท (2) จะได

1 1

2 2 1

ˆˆ ˆ( 0) (3)ˆ ˆˆ ˆ( ) (4)

x

x x

u x d a

u x L d a L d

= = =

= = = +

หรอได a2 ดงน2 1

2

ˆ ˆ(5)x xd da

L−

=

นากลบไปแทนในสมการท (2) ได

[ ]

2 11

1 11 2

2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆˆ ˆ1 (6)ˆ ˆ

x xx

x x

x x

d du x x dL

d dx x N NL d d

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭


โดย N1 และ N2 คอ shape function

และมคณสมบตดงรปดานขวามอ

ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของระยะยดของสปรงกบแรงรปขางลางแสดงสปรงทมการยดตวและระยะยดของสปรงคอ

2 1ˆ ˆ (7)x xd dδ = −

จากความสมพนธของแรงในสปรงกบระยะยดตว

2 1ˆ ˆ( ) (8)x xT k k d d= δ = −

ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix

จากรปแรงทโนด 1 และ 2

1 2ˆ ˆ (9)x xf T f T= − =

จากสมการท (8) และ (9) เราสรปได

1 2 1

2 2 1

ˆ ˆ ˆ( ) (10)ˆ ˆ ˆ( ) (11)

x x x

x x x

T f k d d

T f k d d

= − = −

= = −

เราสามารถเขยนสมการ (10) และ (11) ในรปเมตรกดงน

1 1

2 2

ˆ ˆ(12)

ˆ ˆx x

x x

f dk kk kf d

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Local stiffness matrix หรอ Element stiffness matrix

ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation

ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง

ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน

{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย

[ ] { }( ) ( )

1 1

N Ne e

e e

K K k F F f= =

= = = =∑ ∑

ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements

จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา

คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)

ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน

เอลเมนต

นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา

ทโนดภายในเอลเมนต

ตวอยาง

(1)1 1 1 1

(1)1 1 33

ˆ( )

ˆx x

xx

f k k da

k k df

⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

(2)3 2 2 3

(2)2 2 22

ˆ( )

ˆx x

xx

f k k db

k k df

⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

เอลเมนต 1


Compatibility conditions

(1) (2)3 3 3 ( )x x xd d d c= =

(1) (2)3 3 3

(2)2 2

(1)1 1

( )

( )

( )

x x x

x x

x x

F f f d

F f e

F f f

= +

=

=

Free body diagram แสดง Nodal forces

นาคาสมการ (a) และ (b) ลงในสมการ (d), (e) และ (f) จะได

3 1 1 1 3 2 3 2 2

2 2 3 2 2

1 1 1 1 3

( ) ( )( )

x x x x x

x x x

x x x

F k d k d k d k dF k d k d gF k d k d

= − + + −= − += −

นาสมการ (g) มาเขยนเปนเมตรก

3 1 2 2 1 3

2 2 2 2

1 1 1 1

0 ( )0

x x

x x

x x

F k k k k dF k k d hF k k d

+ − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1 1 1 1

2 2 2 2

3 1 2 1 2 3

00 ( )

x x

x x

x x

F k k dF k k d iF k k k k d

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(13)F K d=

นาสมการ (h) มาเขยนใหมเปน

หรอ

F Global nodal force matrixd Global nodal displacement matrixK Total or global system stiffness matrix

===

การหา Global equations โดย Superpositionเราสามารถหาไดโดยใชหลกการของ Superposition ดงน

(1) (1)1 1 1(1) (1)

1 2 2 2(1) (1)3 3 3

1 0 10 0 0 ( )1 0 1

x x x

x x x

x x x

d d fk d d f j

d d f

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− =⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

เอลเมนต 1 จากสมการ (a) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได

เอลเมนต 2 จากสมการ (b) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได

(2) (2)1 1 1(2) (2)

2 2 2 2(2) (2)3 3 3

0 0 00 1 1 ( )0 1 1

x x x

x x x

x x x

d d fk d d f k

d d f

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

0

0

จบสมการ (j) และ (k) บวกกน และจากสมดลแรงทแตละโนด จากสมการ (d), (e)

และ (f) ในตวอยางทแลว เราจะได

(1)1 1 1 1

(2)1 2 2 2 2 2

(1) (2)3 3 3 3 3

1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 ( )1 0 1 0 1 1

x x x x

x x x x

x x x x x

d d f Fk d k d f F l

d d f f F

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

หรอเขยนไดเหมอนสมการ (i)

1 1 1 1

2 2 2 2

3 1 2 1 2 3

00 ( )

x x

x x

x x

F k k dF k k d iF k k k k d

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(13)F K d=หรอ

ตวอยางเชงตวเลขกาหนดระบบสปรงดงรป,มแรงภายนอกกระทาทโนด 4 เทากบ 5000 lb และหมายเลข

โนดกาหนดใหดงรป

จงหา (1) Global stiffness matrix

(2) การกระจดทโนด 3 และ 4

(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 2

เอลเมนต 1 ประกอบดวยโนด 1 และ 3 Element stiffness matrix คอ

(1)

1 31000 1000 11000 1000 3

k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦


(3)

4 23000 3000 43000 3000 2

k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦


(2)

3 42000 2000 32000 2000 4

k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน

(1)

1 2 3 41000 0 1000 0 1

0 0 0 0 21000 0 1000 0 30 0 0 0 4

k

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(2)

1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 20 0 2000 2000 30 0 2000 2000 4

k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

(3)

1 2 3 40 0 0 0 10 3000 0 3000 20 0 0 0 30 3000 0 3000 4

k

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)

1000 0 1000 00 3000 0 3000

1000 0 1000 2000 20000 3000 2000 2000 3000

1000 0 1000 00 3000 0 3000

1000 0 3000 20000 3000 2000 5000

K k k k= + +

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥− − +⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Global stiffness matrix

1 1

2 2

3 3

4 4

1000 0 1000 00 3000 0 3000

1000 0 3000 20000 3000 2000 5000

x x

x x

x x

x x

F dF dF dF d

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 3 และ 4 จะไดสมการ

1 1

2 2

3 3

4 4

01000 0 1000 000 3000 0 3000

0 1000 0 3000 20005000 0 3000 2000 5000

x x

x x

x x

x x

F dF d

F dF d

=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

หรอ3

4

0 3000 20005000 2000 5000

x

x

dd

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

แกสมการได

3 410 1511 11x xd in d in= =

นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได

1 210,000 45,000

11 11x xF lb F lb= − = −

การสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบาร(Bar or rod) เราสามารถลอกเลยนแบบการสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบารทอยภายใตแรงตามแนวแกนไดเชนเดยวกบกรณสปรง โดยคาคงทสปรงของบารคอ

(14)AEkL

=

โดย A = พนทหนาตดของบาร L = ความยาวเดมของบาร

E = Young’s modulus ของบาร

ดงนนเราจะสามารถสรปไดวาสาหรบบารเอลเมนต เอลเมนตเมตรกของบารคอ

1 1ˆ (15)1 1

AEkL

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

ความเคนภายในเอลเมนตหาไดจากสมการความสมพนธ

[ ]

2 1

1

2

ˆ ˆ( )

ˆ1 1 (16)

ˆ

x x

x

x

EE E d dL L

dEL d

δσ = ε = = −

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Note: ดงนนจะเหนวาความเคนตามแนวแกนภายในเอลเมนตนนๆหรอภายในแทงบารจะมคาคงทตลอดทวทงเอลเมนต

ตวอยางปญหาของบารเอลเมนตระบบโครงสรางบารดงรป

จงหา (1) Global stiffness matrix

(2) การกระจดทโนด 2 และ 3

(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 4

(4) ความเคนภายในแตละเอลเมนต

ถากาหนดใหแรงกระทาทโนด 2 ในทศทางแกน x เทากบ 3000 lb ความยาวของแตละเอลเมนตเทากบ 30 in

E = 30 x 106 psi และ A = 1 in2 สาหรบเอลเมนต 1 และ 2

E = 15 x 106 psi และ A = 2 in2 สาหรบเอลเมนต 3


6(1) 6

1 21 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130

lbkin

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦



6(2) 6

2 31 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130

lbkin

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6(3) 6

3 41 1 1 1(2)(15 10 ) 101 1 1 130

lbkin

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน

(1) 6

1 2 3 41 1 0 0 11 1 0 0 2

100 0 0 0 30 0 0 0 4

lbkin

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2) 6

1 2 3 40 0 0 0 10 1 1 0 2

100 1 1 0 30 0 0 0 4

lbkin

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(3) 6

1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 2

100 0 1 1 30 0 1 1 4

lbkin

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)

6

6

1 1 0 01 1 1 1 0

100 1 1 1 10 0 1 1

1 1 0 01 2 1 0

100 1 2 10 0 1 1

K k k k

lbin

lbin

= + +

−⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦Global stiffness matrix

1 1

2 26

3 3

4 4

1 1 0 01 2 1 0

100 1 2 10 0 1 1

x x

x x

x x

x x

F dF dF dF d

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 2 และ 3 จะไดสมการ

1 1

2 26

3 3

4 4

01 1 0 03000 1 2 1 0

100 0 1 2 1

00 0 1 1

x x

x x

x x

x x

F dF d

F dF d

=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

หรอ26

3

3000 2 110

0 1 2x

x

dd

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭


2 30.002 0.001x xd in d in= =

นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได

6 61 410 (0 0.002) 2000 10 ( 0.001 0) 1000x xF lb F lb= − = − = − + = −

ความเคนภายในเอลเมนต 1

(1) 6(1) 3

2 1(1)

30 10ˆ ˆ( ) (0.002 0) 2 1030x x

E lbd dL in

×σ = − = − = ×


(2) 6(2) 3

3 2(2)

30 10ˆ ˆ( ) (0.001 0.002) 1 1030x x

E lbd dL in

×σ = − = − = − ×

(3) 6(3) 2

4 3(3)

15 10ˆ ˆ( ) (0 0.001) 5 1030x x

E lbd dL in

×σ = − = − = − ×


(ความเคนดง)

(ความเคนอด)

(ความเคนอด)

ขอสงเกต เกดความไมตอเนองของคาความเคนทบรเวณรอยตอของเอลเมนต

Practical example 1 (Bar element)

Practical example 2 (Bar element)

Plane truss element (2 มต)

เราสามารถพฒนา Truss element แบบ 2 มตไดโดยเอาผลจากการพฒนา Bar

element เพยงแตแรงและการกระจดของแตละโนดใน Truss element จะมคาตาม

แนวแกน x และ y ดวยดงนน รปขางลางคอตวอยางของ Plane truss system

2 Node truss element

เราสามารถแสดงความสมพนธของ Nodal forces กบ Nodal displacements ท

อางองกบ Global coordinate system ไดดงสมการ

x

y 2 2,x xf d

θ

1 1,y yf d

1 1,x xf d

2 2,y yf d

f k d=

1

2

In global coordinate system, the vector of nodal displacements and loads

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

2y

2x

1y

1x

2y

2x

1y

1x

ffff

f;

dddd

d

Our objective is to obtain a relation of the form

144414dkf×××

=

Where k is the 4x4 element stiffness matrix in global coordinatesystem

The key is to look at the local coordinates

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

2x

1x

2x

1x

dd

kk-k-k

ff

LEAk =

Rewrite as

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

2y

2x

1y

1x

2y

2x

1y

1x

d

dd

d

00000k0k-00000k-0k

f

ff

f

xy

θ

1x1x f,d

2x2x f,d

x

y

1y 1yˆ ˆd , f 0=

2y 2yˆ ˆd , f 0=

dkf =

NOTES

1. Assume that there is no stiffness in the local y direction.

2. If you consider the displacement at a point along the local xdirection as a vector, then the components of that vector along the global x and y directions are the global x and y displacements.

3. The expanded stiffness matrix in the local coordinates is symmetric and singular.

^

NOTES5. In local coordinates we have

But or goal is to obtain the following relationship

Hence, need a relationship between and and between and

144414dkf×××

=

144414dkf×××

=

d df f

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

2y

2x

1y

1x

2y

2x

1y

1x

d

dd

d

d

dddd

d

Need to understand how the components of a vector change with coordinate transformation

1xd

1yd1xdθ

1yd

2xd

2yd2xdθ

2yd

Transformation of a vector in two dimensions

θ

xyyv

xv cos θx

y

v

xvxv

yv

yv sin θ

θ

yv cos θ

xv sin θ

x x y

y x y

v v cos θ v sin θ

v v sin θ v cos θ

= +

= − +

The vector v has components (vx, vy) in the global coordinate system and (vx, vy) in the local coordinate system. From geometry^ ^

Angle θ is measured positive in the counter clockwise direction from the +x axis)

x x

y y

v vcos θ sin θv vsin θ cos θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

In matrix form

Orx x

y y

v vv v

C SS C

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

wherecossin

CS

θθ

==

Transformation matrix for a single vector in 2D

*TC SS C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

*v T v=

x x

y y

v vv and v

v v⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

relates

where are components of the same vector in local and global coordinates, respectively.

Direction cosines

Relationship between and for the truss elementd d

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

1y

1x*

1y

1x

dd

TddAt node 1

At node 2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

2y

2x*

2y

2x

dd

Tdd

Putting these together

{ {

1x 1x

1y 1y

2x2x

2y2y

T dd

d d0 0d d0 0ˆ 0 0 dd

0 0 dd

C SS C

C SS C

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443

dTd =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

×*

*

44 T00TT

1xd

1yd1xdθ

1yd

2xd

2yd2xdθ

2yd

Relationship between and for the truss elementf f

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

1y

1x*

1y

1x

ff

TffAt node 1

At node 2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

2y

2x*

2y

2x

ff

Tff

Putting these together

{ {

1x 1x

1y 1y

2x2x

2y2y

T ff

f f0 0f f0 0ˆ 0 0 ff

0 0 ff

C SS C

C SS C

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443

fTf =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

×*

*

44 T00TT

1xf

1yf1xfθ

1yf

2xf

2yf2xfθ

2yf

Important property of the transformation matrix T

The transformation matrix is orthogonal, i.e. its inverse is its transpose

TTT 1 =−

Use the property that C2+S2=1

Putting all the pieces together

( )dTkTf

dTkfT

dkf

k

1

43421−=⇒

=⇒

=

xy

θ

1x1x f,d

2x2x f,d

x

y

1y1y f,d

2y2y f,d

fTf =

dTd =

The desired relationship is144414

dkf×××

=

Where 44444444

TkTk××××

= T is the element stiffness matrix in the global coordinate system

0 00 0

T0 00 0

C SS C

C SS C

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000k0k-00000k-0k

k

2 2

2 2

2 2

2 2

EAˆk T kTL

T

C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= =⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Computation of the direction cosines

L

1

2

θ

(x1,y1)

(x2,y2)2 1

2 1

cos

sin

x xCL

y ySL

θ

θ

−= =

−= =

What happens if I reverse the node numbers?

L

2

1

θ

(x1,y1)

(x2,y2)

1 2

1 2

' cos

' sin

x xC CL

y yS SL

θ

θ

−= = = −

−= = = −

Question: Does the stiffness matrix change?

© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™

Example Bar element for stiffness matrix evaluation

o30602

10302

6

=

==

×=

θ

inLinA

psiE

3cos 302

1sin302

C

S

= =

= =

( )( )inlb

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

×=

41

43

41

43

43

43

43

43

41

43

41

43

43

43

43

43

6021030k

6


Computation of element strains

[ ]

[ ]

[ ] dT0101L1

d0101L1

d

dd

d

0101L1

Lddε

2y

2x

1y

1x

1x2x

−=

−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=−

=

Recall that the element strain is

[ ]

[ ]

[ ]

1x

1y

2x

2y

0 00 01ε 1 0 1 0 d

0 0L0 0

1 dL

dd1dLd

C SS C

C SS C

C S C S

C S C S

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

= − −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Computation of element stresses stress and tension

( ) [ ]2x 1xE Eˆ ˆEε d d dL L

C S C Sσ = = − = − −

[ ]EAT EAε dL

C S C S= = − −

Recall that the element stress is

Recall that the element tension is

Steps in solving a problemStep 1: Write down the node-element connectivity table

linking local and global nodes; also form the table of direction cosines (C, S)

Step 2: Write down the stiffness matrix of each element in global coordinate system with global numbering

Step 3: Assemble the element stiffness matrices to form the global stiffness matrix for the entire structure using the node element connectivity table

Step 4: Incorporate appropriate boundary conditions

Step 5: Solve resulting set of reduced equations for the unknowndisplacements

Step 6: Compute the unknown nodal forces

การโกง(Buckling)ใน Bar หรอ Truss

ถงแมความเคนในบารหรอTruss มคาตากวาความเคนคราก ชนสวนของ

โครงสรางแบบนสามารถเสยหายไดจากการโกงซงเราสามารถหาคาความเคนททา

ใหเกดการโกงได จากสตร

2

2

ALEI

APcrb

crbπσ ==

comcrb

PwhereA

σ σ σ> =การโกงเกดขนเมอ

ความเคนอดในเอลเมนต

Example 1

P1

P2

1

2

3

x

y

El#1

El#2

The length of bars 12 and 23 are equal (L)E: Young’s modulusA: Cross sectional area of each barSolve for (1) d2x and d2y(2) Stresses in each bar

Solution

Step 1: Node element connectivity table

322

2Node 2

11Node 1ELEMENT

45o

Table of nodal coordinates

Lsin45Lcos452

2Lsin45

0

y

03

01

xNode

Table of direction cosines

-cos45

cos45

sin45L2

sin45L1

LengthELEMENT 2 1x xClength

−= 2 1y yS

length−

=

Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering

2 2

2 2(1)

2 2

2 2

EAkL


⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Stiffness matrix of element 1

d1x

d2x

d2xd1x d1y d2y

d1y

d2y

1 1 1 11 1 1 1EA1 1 1 12L1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦


d2x

d3x

d3x d3y

d2y

d3y

d2x d2y

(2)

1 1 1 11 1 1 1EAk1 1 1 12L

1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1 1 1 1 0 01 1 1 1 0 01 1 2 0 1 1EAK1 1 0 2 1 12L

0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

− −⎣ ⎦

Step 3: Assemble the global stiffness matrix

The final set of equations is K d F=

Step 4: Incorporate boundary conditions

2

2

00

00

x

y

dd

d

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Hence reduced set of equations to solve for unknown displacements at node 2

2 1

2 2

2 00 22

x

y

d PE Ad PL

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

Step 5: Solve for unknown displacements1

2

2 2

x

y

P Ld E Ad P L

E A

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Step 6: Obtain stresses in the elements

For element #1: 1

1(1)

2

2

1 22 2

E 1 1 1 1L 2 2 2 2

E ( )2L 2

x

y

x

y

x y

dddd

P Pd dA

σ

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+= + =

0

0

For element #2: 2

2(2)

3

3

1 22 2

E 1 1 1 1L 2 2 2 2

E ( )2L 2

x

y

x

y

x y

dddd

P Pd dA

σ

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

−= − =

00

ตวอยาง Plane truss

F = 1000 N F = 1000 N

1 2

34

1

2

3

4 5

1 2

34

1

2

3

4 5

(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)

(5) (5)

(1) (2) (3) (4) (5)

200 2

10 2

10, 10 2

E A E A E A E A

E A

L L L L L

= = = =

=

= = = = =

กาหนด


Figure 3-22 Plane truss with inclined boundary conditions at node 3 (see problem worked out in class)

Multi-point constraints

Problem 3: For the plane truss

P

1

2

3

x

y

El#1

El#2

45o

El#3

P=1000 kN, L=length of elements 1 and 2 = 1mE=210 GPaA = 6×10-4m2 for elements 1 and 2

= 6 ×10-4 m2 for element 32

Determine the unknown displacements and reaction forces.

SolutionStep 1: Node element connectivity table

322313

2Node 2

11Node 1ELEMENT

Table of nodal coordinates

L02

L

0

y

L3

01

xNode

Table of direction cosines

01L2

0

L3

1L1

LengthELEMENT 2 1x xClength

−= 2 1y yS

length−

=

2 1/ 2 1/ 2

Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering

2 2

2 2(1)

2 2

2 2

EAkL


⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦


d1x

d2x

d2xd1x d1y d2y

d1y

d2y

9 -4

0 0 0 00 1 0 1(210 10 )(6 10 )0 0 0 010 1 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Stiffness matrix of element 2d2x

d3x

d3x d3y

d2y

d3y

d2x d2y

9 -4(2)

1 0 1 00 0 0 0(210 10 )(6 10 )k1 0 1 01

0 0 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦


9 -4(3)

0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5(210 10 )(6 2 10 )k0.5 0.5 0.5 0.520.5 0.5 0.5 0.5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

d1x

d3x

d3x d3y

d1y

d3y

d1x d1y

5

0.5 0.5 0 0 0.5 0.50.5 1.5 0 1 0.5 0.50 0 1 0 1 0

K 1260 100 1 0 1 0 00.5 0.5 1 0 1.5 0.50.5 0.5 0 0 0.5 0.5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−

= × ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Step 3: Assemble the global stiffness matrix

The final set of equations is K d F=

N/m

Eq(1)

Step 4: Incorporate boundary conditions

2

3

3

00

0x

x

y

dd

dd

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

P

1

2

3

x

y

El#1

El#2

45o

El#3

$x$y

Also, $3 0yd =

How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?

in the local coordinate system of element 3

1

1

2

3

3

x

y

y

x

y

FFP

FFFF

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

P

1

2

3

x

y

El#1

El#2

45o

El#3

$x$y

Also, 3 0xF =How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?

in the local coordinate system of element 3

3 3

33

ˆ 1,ˆ 2x x

yy

d dC SC S

dS Cd

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Using coordinate transformations

$

$

( )

( )

3 33 3

333 3

1 1 12 2 21 1 12 2 2

x yx x

yyy x

d ddddd d d

⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

$3 0yd =

$ ( )3 3 3

3 3

1 02

0

y y x

y x

d d d

d d

⇒ = − =

⇒ − = Eq (2)

(Multi-point constraint)

3 3

33

ˆ 1,ˆ 2x x

yy

F FC SC S

FS CF

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Similarly for the forces at node 3

( )

( )

3 33 3

333 3

1 1 1ˆ 2 2 2ˆ 1 1 1

2 2 2

x yx x

yyy x

F FF FFF F F

⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

( )3 3 3

3 3

1ˆ 02

0

x y x

y x

F F F

F F

⇒ = + =

⇒ + = Eq (3)

3 0xF =

Therefore we need to solve the following equations simultaneouslyK d F= Eq(1)

3 3 0y xd d− = Eq(2)

3 3 0y xF F+ = Eq(3)

Incorporate boundary conditions and reduce Eq(1) to

25

3 3

3 3

1 1 01 2 6 0 1 0 1 1 .5 0 .5

0 0 .5 0 .5

x

x x

y y

d Pd Fd F

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥× − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Write these equations out explicitly5

2 35

2 3 3 35

3 3 3

1 2 6 0 1 0 ( )1 2 6 0 1 0 ( 1 .5 0 .5 )

1 2 6 0 1 0 ( 0 .5 0 .5 )

x x

x x y x

x y y

d d Pd d d F

d d F

× − =× − + + =

× + =

Eq(4)

Eq(5)Eq(6)

Add Eq (5) and (6)5

2 3 3 3 31 2 6 0 1 0 ( 2 ) 0x x y x yd d d F F× − + + = + = using Eq(3)

52 31 2 6 0 1 0 ( 3 ) 0x xd d⇒ × − + = using Eq(2)

2 33x xd d⇒ = Eq(7)

Plug this into Eq(4)5

3 3

5 63

1 2 6 0 1 0 (3 )

2 5 2 0 1 0 1 0x x

x

d d P

d

⇒ × − =

⇒ × =

3

2 3

0 .0 0 3 9 6 83 0 .0 1 1 9

x

x x

d md d m⇒ =

= =

Compute the reaction forces1

1 25

2 3

3 3

3

0 0 .5 0 .50 0 .5 0 .5

1 2 6 0 1 0 0 0 01 1 .5 0 .5

0 0 .5 0 .5

5 0 05 0 00

5 0 05 0 0

x

y x

y x

x y

y

FF dF dF dF

k N

− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭

−⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

เอลเมนตแบบ 1 มตพนฐานทนาสนใจSimple beam element

Beam หรอคานคอโครงสรางทออกแบบไวสาหรบรบภาระตามแนวดง ซงในกรณของ

คานอยางงาย(Simple beam) คอคานทมความยาวมาก หรอขนาดของความยาวคานมคา

มากกวามตของหนาตดของคานมาก และแรงกระทาตามแนวดง ไมกอใหเกดการบดตว

รอบแนวแกนคาน(No torsion/twist) ความเคนทสาคญประกอบไปดวยความเคนตาม

แนวแกน(จาก Bending moment) และความเคนเฉอนจากแรงเฉอน

Beam terminology

Common supports

Simple beam element

{ }1

1

2

2

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

y

y

fm

ffm

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Simple beam element แบบ 2 โนด โดยแตละโนดจะม DOF เทากบ 2 ซง

ประกอบไปดวยการหมนและการกระจดตามแนวดง

Local nodal force และ

moment { }1

1

2

2

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

y

y

d

dd

φ

φ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Local nodal transverse

displacement และ

rotation

สรางความสมพนธ

Simple beam element (ตอ) ขอกาหนดเกยวกบทศทางของการกระจด แรง มม และโมเมนต ทโนด

1. โมเมนตมทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา

2. มม(Rotation)มทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา

3. แรงมทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y

4. การกระจด dy มทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y

Beam Theory ขอกาหนดเกยวกบทศทางของแรง และโมเมนต ทหนาตดดานซายและขวา

ขอสงเกต

1. โมเมนตทางดานซาย ตามเขมนาฬกาเปนบวก

2. แรงเฉอนดานขวาชลงเปนบวก

Beam Theory (ตอ)พจารณาคานภายใตภาระใดๆ

พจารณาสมดลตามแนวดง

ˆ0; ( ) ( ) 0 or

ˆ- 0 or (1)ˆ

yF V V dV w x dx

dVwdx dV wdx

∑ = − + − =

− = = −

Beam Theory (ตอ)

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

ˆ ˆ1 ˆ,ˆ ˆ

Substitute into (2) then (1)

ˆ ˆ( ) (3)ˆ ˆ

ˆNodal force only 0 (4)ˆ ˆ

M d v dvEI dx dx

M

d d vEI w xdx dx

d d vEIdx dx

κ φρ

= = = =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

พจารณาสมดลโมเมนตรอบจด 2

2ˆˆ ˆ ˆ0; ( ) 0 or

2

(2)ˆ

dxM Vdx dM w x dx

dMVdx

⎛ ⎞∑ = − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Beam curvature

Simple beam element (ตอ)

{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦

หาความสมพนธของ Local nodal matrix และ Local nodal displacement matrix

หรอ

112 2

1 13

2 22 2

2 2

ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2

ˆ ˆ12 6 12 66 2 6 4 ˆˆ

yy

y y

df L Lm L L L LEI

L LLf dL L L Lm

φ

φ

⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Local element stiffness matrix

Local element equation

ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนคานเอลเมนต (Beam element)

ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2

แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2

ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการเสยรป

ของคาน ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution) ฟงกชนท

เลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล

3 21 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (1)v x a x a x a x a= + + +

โดย a1 a2 a3 และ a4 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน

1 4

1 3

3 22 1 2 3 4

22 1 2 3

ˆˆ ˆ( 0) (2.1)ˆ ˆ( 0) ˆ (2.2)

ˆˆˆ ˆ( ) (2.3)

ˆ ˆ( ) ˆ 3 2 (2.4)ˆ

y

y

v x d adv x a

dxv x L d a L a L a L adv x L a L a L a

dx

= = =

== φ =

= = = + + +

== φ = + +


จากนนทาการแกสมการดงกลาว (2.1-2.4) จะได a1 a2 a3 และ a4 จากนนนาไปแทนในสมการท 1 ได

( ) ( )

( ) ( )

31 2 1 23 2

21 2 1 2 1 13 2

2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )

3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2 (3)

y y

y y y

v x d d xL L

d d x x dL L

⎡ ⎤= − + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − φ + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦

หรอเขยนเปนเมตรกได

{ }1

11 2 3 4

2

2

ˆ

ˆˆˆ ˆ( ) [ ] [ ] (4)

ˆ

ˆ

y

y

d

v x N d N N N Nd

⎧ ⎫⎪ ⎪

φ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪φ⎩ ⎭


โดย N1 N2 N3 และ N4 คอ shape function และมคาดงน

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 3 2 2 31 23 3

3 2 3 2 23 43 3

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 3

N x x L L N x L x L xLL L

N x x L N x L x LL L

= − + = − +

= − + = −

ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด ความเครยดตามแนวแกนของคาน

2

2

ˆˆ ˆ( , ) (5)ˆ

ˆˆ ˆ (6)ˆ

ˆˆ ˆ ˆ( , ) (7)ˆ

x

x

dux ydx

dvu ydx

d vx y ydx

ε =

= −

∴ ε = −


จากรปทโนด 1 และ 2 และจากสมการ2 3

2 3

ˆ ˆˆˆ ˆ( ) (8)ˆ ˆ

d v d vm x EI V EIdx dx

= =

จะเขยนเปนสมการไดดงน

( )

( )

( )

3

1 1 1 2 23 3

22 2

1 1 1 2 22 3

3

2 1 1 2 23 3

2

2 12 3

ˆ(0)ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆˆ(0) ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6 4 6 2 ( )ˆ

ˆ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆ

ˆ( ) ˆˆ ˆ 6 2ˆ

y y y

y y

y y y

y

d v EIf V EI d L d L adx Ld v EIm m EI Ld L Ld L b

dx Ld v L EIf V EI d L d L c

dx Ld v L EIm m EI Ld

dx L

= = = + φ − + φ

= − = = + φ − + φ

= − = − = − − φ + − φ

= = = +( )2 21 2 2

ˆˆ ˆ6 4 ( )yL Ld L dφ − + φ

ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)

จดรปสมการ (a), (b), (c) และ (d) ใหมเขยนเปนสมการได

112 2

1 13

2 22 2

2 2

ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2

(9)ˆ ˆ12 6 12 6

6 2 6 4 ˆˆ

yy

y y

df L Lm L L L LEI

L LLf dL L L Lm

φ

φ

⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭




{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย

[ ] { }( ) ( )

1 1

N Ne e

e e

K K k F F f= =

= = = =∑ ∑


จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา




นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา

ทโนดภายในเอลเมนต

ตวอยาง จากระบบคานดงรป จงหาการกระจดในแนวดงและการหมน ทจดกงกลางคาน และเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต กาหนดใหวสดของคานมคา E = 210 GPa และ I = 4 x 10-4 m4

วธทา หา Element stiffness matrix ของแตละเอลเมนต

แทนคาลงไปได

2 29 4(1) (2)

3

2 2

5

12 6 3 12 6 36 3 4 3 6 3 2 3210 10 4 10ˆ ˆ

12 6 3 12 6 336 3 2 3 6 3 4 3

12 18 12 1818 36 18 18840 1012 18 12 189

18 18 18 36

k k−

× − ×⎡ ⎤⎢ ⎥× × − × ×× × × ⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − × − ×⎢ ⎥× × − × ×⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥−× ⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

จากนนขยายเมตรกใหเทากบเมตรก K(6 x 6)

5(1)

12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 18 0 0840 10ˆ

18 18 18 36 0 090 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

k

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −×

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5(2)

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 12 18 12 18840 10ˆ0 0 18 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36

k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−×

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

จากนนประกอบเมตรกเขาดวยกนได

1 1

1 15

2 2

2 2

3 3

3 3

12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 12 18 18 12 18840 10

18 18 18 18 36 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36

y y

y y

y y

F dMF dMF dM

φ

φ

φ

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − + − + −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− + + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1 1 3 3 2 20, 10,000, 20,000y yd d F Mφ φ= = = = = − =

จากนนกาหนดคาสภาวะขอบและภาระทกาหนดให

K d F=

ไดสมการ

1

15

2

2

3

3

12 18 12 18 0 0 018 36 18 18 0 0 0

10,000 12 18 24 0 12 18840 1020,000 18 18 0 72 18 189

0 0 12 18 12 18 00 0 18 18 18 36 0

y

y

y

FM

d

FM

φ

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− − − −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

52

2

10,000 24 0840 1020,000 0 729

ydφ

− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤×=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

จากนนทาการแบงสวนเมตรก

แกสมการได4 5

2 21.339 10 , 8.928 10yd m radφ− −= − × = ×

จากนนคานวณแรงภายในของแตละเอลเมนต

เอลเมนต 1(1)

1(1) 51

4(1)2

5(1)2

12 18 12 18 018 36 18 18 0840 1012 18 12 18 1.339 109

18 18 18 36 8.929 10

y

y

fmfm

−

−

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − − ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ×⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

แกสมการไดแรงภายใน(1) (1) (1)

1 1 2

(1)2

10,000 , 12,500 , 10,000 ,

17,500y yf N m N m f N

m N m

= = − = −

= −

เขยนเปน FBD

เอลเมนต 2(2) 4

2(2) 552(2)

3(2)3

12 18 12 18 1.339 1018 36 18 18 8.929 10840 1012 18 12 189 0

18 18 18 36 0

y

y

fmfm

−

−

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ××⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

แกสมการไดแรงภายใน

(2) (2) (2) (1)2 2 3 20 , 2,500 , 0 , 2,500y yf N m N m f N m N m= = − = = − −

เขยนเปน FBD

นาขอมลมาเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต ของแตละเอลเมนตได

V, N10,000

M, N-m

-12,500

17,500

V, N

M, N-m

-2,500

0

เอลเมนต 1 เอลเมนต 2

ภาระแบบกระจายตลอดความยาวของเอลเมนต

(Distributed loading)

• เมอมภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ตองทาการเปลยนรปใหเปนภาระ

กระทาทโนดทงสอง ดงตวอยางจากรปขางลาง เหตผลเพราะภาระ(โหลด)ไม

สามารถใสคาลงไปทโนดใดโนดนงได ตองทาการเปลยนรปกอน

• วธการเปลยนภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ไปเปนภาระกระทาท

โนดทงสอง จะใชหลกการของ Work-Equivalent method ซงมหลกการคอ

งานทไดจากการกระทาของแรงกระจาย = งานของแรงและโมเมนตทกระทา

ทโนดทงสองรวมกน

เปลยนเปนภาระกระทาทโนดทงสอง

ตวอยาง เอลเมนตมการรบภาระกระจายแบบสมาเสมอ ตองการเปลยนรปใหเปนภาระกระทาทโนดทงสองขาง

งานทไดจากภาระจากทงสองระบบเทากน (Work equivalent system)

งานทไดจากภาระทงสองเขยนเปนสมการได

0

1 1 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ( )

L

distributed

discrete y y y y

W w x v x dx a

W m m f d f d bφ φ

=

= + + +

∫

หรอสมการ (a) = (b)

1 1 2 2 1 1 2 20

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )L

y y y yw x v x dx m m f d f d cφ φ= + + +∫

แทนคา

( ) ( )

( ) ( )

31 2 1 23 2

21 2 1 2 1 13 2

ˆ( )2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )

3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2

y y

y y y

w x w

v x d d xL L

d d x x dL L

φ φ

φ φ φ

= −

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

ลงไปในสมการ (c) และทาการอนทเกรทได

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 2 1 2 2 1 1 2

2

1 1 1 1 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ22 4 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( )2

y y y y

y y y y y

Lw L w L wd d Lw d d

L w d wL m m f d f d d

φ φ φ φ

φ φ φ

− − − + − − + +

⎛ ⎞− − = + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

เมอตองหาคา

2 2 22

12ˆ

4 3 2 12L w L wLm L w w

⎛ ⎞= − − + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1ˆ (1)m

1 2ˆ ˆˆ ˆ1, 0, 0, 01 2 y yd d= = = =φ φ

แทนลงไปในสมการ (d) ได

กาหนดคา

เชนเดยวกนถาตองหาคา

กาหนดคา

แทนลงไปในสมการ (d) ได

2ˆ (1)m

2 2 2

2ˆ4 2 12

L w L w wLm⎛ ⎞

= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2ˆ ˆˆ ˆ0, 1, 0, 01 2 y yd dφ φ= = = =

ดงนนถาใชวธการเดยวกน จะสามารถหาไดวา

1 1 2 2 1

2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2

y y y

y y y

Lw Lwf Lw Lw d d

Lw Lwf Lw d d

φ φ

φ φ

= − + − = − = = = =

= − = = = = =

ดงนนสรปไดวา

2wL

− 2wL

2

12wL

−2

12wL

ขอมลจากหนงสอ Appendix D

หมายเหต ถาภาระกระจายมรปแบบนอกเหนอจากน ตองทาการอนทเกรท

หาใหม

วธการแกปญหา ของปญหาทมแรงกระจาย ทาไดโดยเปลยนแรงกระจายให

เปนแรงกระทาทโนด ดงนนจะถอวาแรงทเปลยนรปแลวกคอภาระกระทาท

โนดนนๆ นนเอง หรอเขยนเปนสมการได

0F Kd F= −

แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลวหรอ Equivalent nodal forces

Global equation

0ˆ ˆ ˆ ˆf k d f= − Element equation

แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลว บนเอลเมนตใดๆ

ตวอยาง คานดงรป ทงสองขางมการยดแบบแคนทลเวอร(Fix)และรบภาระ

แบบกระจาย จงคานวณหาการกระจดและการหมนหรอ slope ทจดกงกลางคาน พรอมทงหาแรงปฎกรยาทจดรองรบทงสองขาง กาหนด คานมคา E และ

พนทหนาตด คงททวทงความยาว การคานวณใหใช 2 เอลเมนต

1 2 3

วธทา ทาการแบงเอลเมนตออกเปนสองเอลเมนต จากนนหาเอลเมนตเมตรกและประกอบเขาดวยกน เพอใหไดสมการของโครงสรางรวมหรอ Global

equation โดยแรงกระทาทโนดของประกอบไปดวยแรงและโมเมนตภายนอกทใหมารวมกบแรงและโมเมนตทไดจากการเปลยนแรงกระจาย

หาเอลเมนตเมตรกได

2 2(1) (2)

3

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

6 2 6 4

L LL L L LEIk k

L LLL L L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

2 2

(1) (2)2 2 2 23

2 2

2 2

2 2 23

12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 12 12 6 6 12 6

6 2 6 6 4 4 6 20 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4

12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6

6 2 0 8 6 20 0 12 6 12 6

L LL L L L

L L L LEIK k kL L L L L L L LL

L LL L L L

L LL L L L

L LEIL L L L LL

L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − + −

= + = ⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−−

− − −=

−− −

2 20 0 6 2 6 4L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ประกอบเอลเมนตเมตรกเขาดวยกนได

หาแรงและโมเมนตเสมอน(equivalent nodal forces) ของเอลเมนตและโครงสราง



+

โครงสราง

2

0 2

2

340

60

2

301740

15

wL

wL

wL

FwL

wL

wL

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

0F Kd F= −จากสมการ Global equation

2

1 12 2

1 1

2 22 2 23 2

2 2

3 32 2

3 3

340

12 6 12 6 0 0 606 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6 2

6 2 0 8 6 2300 0 12 6 12 6

0 0 6 2 6 4

y y

y y

y y

wL

wLF dL LM L L L L wLF dL LEIM L L L L LL wLF dL LM L L L L

φ

φ

φ

−

−−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

2

1740

15

wL

wL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

0

0

0

0

0

0

ทาการแยกสวนเมตรกซได

223 2

2

0 24 0 20 0 8

30

y

wLdEI

LL wLφ

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭แกสมการได 4 3

2 2,48 240y

wL wLdEI EI

φ− −= =

นาคาทงสองไปแทน

ในสมการ Global equation ได21

1

3

32

1240

860

2840315

y

y

wL

F wLMF wLM

wL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪−⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭ คาตอบ

กรณศกษา การเปรยบเทยบผลลพธทไดจาก Exact solution กบจากวธไฟ

ไนตเอลเมนต จากปญหาของคานดงรป

จดประสงค ทาการศกษาหากราฟของระยะกระจด(v) โมเมนต(M) และแรง

เฉอน(V) โดยในวธไฟไนตเอลเมนตจะใชจานวนเอลเมนตเทากบ 1 เอลเมนต

Exact solution จากสมการของ Beam Theory และภาระทกาหนดให

สามารถแกหาคาตอบไดดงน (ดหนา 188-189)

( )

4 3 2 2

2 2

1( )24 6 4

( )2 2

( )

wx wLx wL xy xEI

wL wxM x wLx

V x w L x

⎛ ⎞−= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠−

= − +

= −

โดยกาหนดให

5 4210 , 4 10 , 2.5 , 4 /E GPa I m L m w kN m−= = × = =

ผลลพธ

ผลลพธ(ตอ)

ขอสงเกต ผลตางของการกระจดจะนอยทสด และผลตางของแรงเฉอนจะมากทสด วธการทจะทาใหผลตางของแรงเฉอนมคาดขนคอใชจานวนเอลเมนตมากขนหรอใช high order เอลเมนต

เทนเซอรความเคน(Stress tensor)

เทนเซอรความเคนเปนปรมาณทใชอธบายคาความเคนทเกดขนภายใน

เนอวตถ ณ จดใด ซงคานตองมการอางองกบพกดฉาก XYZ ทเราตอง

กาหนดขนมาลวงหนา

เราจะมาดกนวาเทนเซอรความเคนมองคประกอบทงหมดกคา และคาน

หามาไดอยางไร และพกดฉากทตงขนมาไวอางองมความสาคญอยางไร

กบเทนเซอรความเคน

พจารณาวตถทถกแรงภายนอก

กระทาและอยในสภาวะสมดล

ดงรป

จากนนทาการตดวตถดวยระนาบ เราจะ

เหนแรงกระทาบนหนาตด ไดดงรป

ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน z )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน

0

0

0

lim

lim

lim

zz A

xzx A

yzy A

FAFAFA

Δ →

Δ →

Δ →

Δσ =

ΔΔ

τ =ΔΔ

τ =Δ

ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน z

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y

ในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน y

)บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y

และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน

ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน y0

0

0

lim

lim

lim

yy A

xyx A

zyz A

FAFAFA

Δ →

Δ →

Δ →

Δσ =

ΔΔ

τ =ΔΔ

τ =Δ

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z

และในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน x )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน

0

0

0

lim

lim

lim

xx A

yxy A

zxz A

FAFAFA

Δ →

Δ →

Δ →

Δσ =

ΔΔ

τ =ΔΔ

τ =Δ

ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน x

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y

ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z

ดงนนเรานยามเทนเซอรความเคน ณ จดใดๆ โดยคาดงกลาวหรอเขยนเปน

{ }

, ,

x

yx xy xz

zyx y yz

yzzx zy z

zx

xy

xy yx xz zx yz zy

σ⎧ ⎫⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎡ ⎤σ τ τ⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = τ σ τ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ τ⎪ ⎪⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎪ ⎪

τ⎪ ⎪⎩ ⎭τ = τ τ = τ τ = τ

ดงนนเทนเซอรความเคนคอสถานะของความเคน(State of stress) ณ จดใดๆ

ในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz

Stress tensor

เมอ

ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามเทนเซอรความเครยด ณ จดใดๆ โดย

{ }

, ,

x

yx xy xz

zyx y yz

zyzx zy z

zx

xy

xy yx xz zx yz zy

ε⎧ ⎫⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎡ ⎤ε ε ε⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε = ε ε ε = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎪ ⎪

ε⎪ ⎪⎩ ⎭ε = ε ε = ε ε = ε

ดงนนเทนเซอรความเครยดคอสถานะของความเครยด(State of strain) ณ จด

ใดๆในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz

Strain tensor

เมอ

x

y

A B

CA’

B’

C’

vudy

dx

dxxv

∂∂

xdxuu

∂∂

+

dyyu

∂∂

dyyvv

∂∂

+

1 2 1 2

ud x u d x u d xA 'B ' A B ux

A B d x xvd y v d y v d yyA 'C ' A C v

A C d y yπ a n g le (C 'A 'B ') β β t a n β t a n β2

v ux

x

y

x y

y

ε

ε

ε

∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ∂∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂

⎛ ⎞⎛ ⎞∂+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂− ∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂

= − = + ≈ +

∂ ∂≈ +

∂ ∂

1β

2β

ตวอยาง 2D

คาของเทนเซอรความเคนและเทนเซอรความเครยดมความสมพนธซงอธบายไดดวย Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix

{ } { }[ ]6 1 6 1

Dσ = ε

× ×

คาคงททจะนามาใชในเมตรก [D] ขนอยวาวตถทพจารณามคณสมเปนแบบไหนเชน Isotropic material หรอ orthotropic material หรอ Anisotropic

material

ขนาด 6 x 6 หรอ มองคประกอบ 36 ตว

ซงไดจากคาคงทของวสด

Generalized Hooke’s Law

Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ Linear isotropic material

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 0[ ]

0 0 0 1 2 0 0(1 )(1 2 )0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2

ED

− ν ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν − ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν − ν

= ⎢ ⎥− ν+ ν − ν ⎢ ⎥⎢ ⎥− ν⎢ ⎥

− ν⎢ ⎥⎣ ⎦

จะเหนวามคาคงทสองตวทตองหามาจากการทดลอง E และ ν , poisson’s ratio,

(คาหลงนหายาก) แตเราจะหาคาหลงจากความสมพนธน

( mod )2(1 )

EG shear ulus =+ ν

Torsion test Tensile test

orthotropic material ต.ย. เชน ไม ลามเนตพลาสตก Rolled steel เปนตน มคาคณสมบต 9 ตวทตองหามา โดยสวนใหญจะเขยนดงนแทน

, ,yz zy xy yxzx xz

y z z x x yE E E E E Eν ν ν νν ν

= = =

{ } { } { }1[ ] [ ]

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0[ ]

10 0 0 0 02

10 0 0 0 02

10 0 0 0 02

yx zx

x y z

xy zy

x y z

yzxz

x y z

yz

zx

xy

D S

E E E

E E E

E E ES

G

G

G

−ε = σ = σ

ν⎡ ⎤ν− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥νν⎢ ⎥− −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ

Compliance matrix

Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ anisotropic material นนจะมคาคงทของวสดถง 21 คา ซงจะไมกลาวถง ณ ทน

ในทางปฏบตนนเราสามารถทจะหาพกดฉากอางองทเหมาะสมแลวทาใหคาสถานะความเคนทจดนนๆ มคาเฉพาะความเคนในแนวตงฉาก ซงเราจะเรยกความเคนนวาเปน Principal stresses ซงคาของมนจะมคาทสงทสด(Maximum) คากลาง(Intermediate) และคาตาสด (Minimum)

Transform

เมอทาการ Transform คาเทนเซอรความเคนแลวหรอเลอกพกดอางองทเหมาะสมไดแลว ณ ทนคอพกด

{ } { }0 0

0 00 0

x xy xz x x y x z I

yx y yz y x y y z II

zx zy z z x z y z III

I II III

′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′

⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ τ τ σ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′σ = τ σ τ → σ = τ σ τ = σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ τ τ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ > σ > σPrincipal stresses - ความเคนหลกสงสดหาไดจาก

x y z′ ′ ′

3 21 2 3

1

2 2 22

2 2 23

( )( )( ) 0where

2

I II III

x y z

x y y z x z xy xz yz

x y z xy xz yz x yz y xz z xy

− + − = − − − =

= + +

= + + − − −

= + − − −

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ

I I I

I

I

I

ความเคนหลกสงสดในระบบ 2 มต

สามารคานวณความเคนหลกจากสมการ

2,2 2

x y x yI II xy

σ σ σ σσ σ τ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

สถานะของความเคน

x xy

yx y

σ ττ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

สมการนคอสมการของวงกลม Mohr นนเอง

การเสยหายของวสดวศวกรรม

การเสยหายของวสดสามารถแบงออกไดดงนดงตอไปน

1. Instantaneous fracture (Overload)

2. Yielding (Plastic deformation)

3. Fatigue (Delayed fracture)

4. Corrosion (Environmentally-assisted cracking)

5. Creep (Time dependent plastic deformation)

6. Wear( Surface damage)

Instantaneous Fracture

Tensile test results : (a) Ductile Fracture (b) Brittle Fracture

การคราก(Yielding)

Plastic deformation is induced and the original structure is not returned to its original shape

การลา(Fatigue)

This high tensile steel bolt failed under low stress high cycle conditions with a fatigue crack running from 9 o'clock as shown by the beach marks.

Crack origin

การกดกรอน(Corrosion)

The deep drawn brass cup on the right shows stress corrosion cracking under the influence of the residual manufacturing stresses and a mildly corrosive environment. The cup on the left has been annealed before putting it into service which solves the problem

การคบ(Creep)

Failed toilet float - creep failure due to overtightening.

การสกหรอ(Wear)

Wear may be defined as damage to a solid surface caused by the removal or displacement of material by the mechanical action of a contacting solid, liquid, or gas.

Abrasion of gear tooth surface

ทฤษฎการเสยหาย(Failure theories)

เราสามารถทานายการเสยหาย(เกดการครากแลวหรอแตกหก)ของวสด

ไดดวยทฤษฎดงตอไปน

1. Maximum principal stress theory

2. Maximum shear stress theory

3. Distortion energy theory

หมายเหต : จรงๆแลวมทฤษฎอนๆอกแตทงสามทฤษฎน เปนทนยมใชสาหรบ

โลหะ เซรามค และพลาสตก เปนตน

Maximum Principal Stress Theory

ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคาสมบรณความเคนหลกมคา

เทากบหรอมากกวาคาความเคนแรงดงสงสด(uni-axial tensile yield strength)” ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสดเปราะ

( , , )I II III yMAX σ σ σ σ≥

Maximum Shear Stress Theory

มชออกอยางหนงวา “Tresca criterion” ซงมาจากชอของนกวทยาศาสตรชาว

ฝรงเศสทชอวา Henri Tresca ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคา

ความเคนเฉอนสงสดมคาเทากบหรอมากกวาคาความเคนเฉอนคราก (τy = σy/2) ของวสดทอยภายใตแรงกระทาตามแนวแกนอยางเดยวแบะคาความเคนเทากบความเคนแรงดงสงสด ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสด

เหนยว

( , , )2 2 2 2

yII III III I I IIyMAX

σσ σ σ σ σ σ τ− − −= =

, ,2 2 2

II III III I I III II III

σ σ σ σ σ στ τ τ− − −= = =

คาความเคนเฉอนหลกหาไดโดย

Distortion Energy Theory

ทฤษฎนสมมตใหพลงงานความเครยดรวมสามารถแบงออกเปนสองสวนคอ

volumetric (hydrostatic) strain energy และ shape (distortion or shear) strain

energy ดงนนพลงงานททาใหเกดการครากจะมาจากสวนหลง ทฤษฎจงกลาวไววา

“การครากจะเกดขนเมอ distortion energy มคามากกวาความเคนแรงดงสงสด”

ทฤษฎนเปนทรจกกนดในนาม Von Mises criterion และสามารถแสดงเปนสมการ

ไดดงน 2 2 2 21 ( ) ( ) ( )

2 I II II III III I yσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤− + − + − =⎣ ⎦หรอ

2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2 x y y z z x xy yz zx yσ σ σ σ σ σ τ τ τ σ⎡ ⎤− + − + − + + + =⎣ ⎦

1/ 22 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2von x y y z z x xy yz zxσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ⎡ ⎤= − + − + − + + +⎣ ⎦

Von Mises stress

Examples of Calculation

Example: A three dimensional state of stress is as follows:

100 80 080 60 00 0 40

ij MPaσ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solution: Substitute in the principal stress equation, we get

12

22

3

100 60 40 80100 ( 60) ( 60) 40 100 40 80 10,800100 ( 60) 40 40 80 496,000

III

= − + =

= × − + − × + × − = −

= × − × − × =

Find the principal stresses?

Examples of Calculation (cont.)

3 2

2

3

1

2

80 10,800 496,000 0or( 40)( 40 12, 400) 0

40 MPa133.1 MPa

93.1 MPa

σ σ σ

σ σ σσσσ

− − + =

− − + =∴ =

== −

Examples of Failure Calculation

Question From previous example, if the material has tensile yield strength equal to 100 MPa, determine that the plastic deformation has already occurred or not. Use the following criterions,

1. Maximum principal stress theory2. Maximum shear stress theory3. Distortion energy theory

Solution : 1) Maximum principal stress theory

1 2 3( 133.1 , 93.1 , 40 ) 133.1 100σ σ σ= = − = = >MAX

Therefore, yielding has occurred.

Examples of Failure Calculation (cont.)

2 31

1 32

1 23

93.1 40 66.52 2

133.1 40 46.552 2

133.1 ( 93.1) 113.12 2

σ στ

σ στ

σ στ

− − −= = =

− −= = =

− − −= = =

Solution : 2) Maximum shear stress theory

Therefore, yielding has occurred.3 max 113.1 100 / 2τ τ= = >

Examples of Failure Calculation (cont.)

Solution : 3) Distortion energy theory

Therefore, yielding has occurred.

22 2 2 21 (133.1 ( 93.1)) (( 93.1) 40) (40 133.1)2

196.91 100

σ

σ

⎡ ⎤− − + − − + − =⎣ ⎦

= >

e

e

Tutorial

Problem The round bar is subjected to a force and torque, as shown below. Determine

1) State of stress at any point within a body2) Principal normal stresses

Tutorial (cont.)

σxx = F/Aτxy = Tr/J, J (Circular Shaft) = πr4/2, r = outside radius of a solid shaft, shear is maximum at outside radius

• If solid shaft material is AISI 1030, determine that is it failed by yielding or not?

ปญหาแบบสองมตของกลศาสตรของแขง

ปญหาบางสวนสามารถทจะลดรปใหเปนปญหาแบบสองมตได ซง

แบงเปนดงน

1. Plane stress problem

2. Plane strain problem

3. Axisymmetric problem

ซงเราจะมาพจารณากนตอไปวาปญหาแบบนมนยามอยางไร

ปญหา Plane stress

ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดเลกดงตวอยางดงรปขางลาง

{ }

, 0

xx xy

yyx y

xy

xy yx z yz xz

⎧ ⎫σσ τ⎡ ⎤ ⎪ ⎪σ = = σ⎨ ⎬⎢ ⎥τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎩ ⎭

τ = τ σ = τ = τ =

ปญหา Plane stress (ตอ)

สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน

{ } 2

1 0[ ] 1 0

10 0 1

x x x

y y y

xy xy xy

vED v

v

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ปญหา Plane stress (ตอ)

1 0

1[ ] 0

10 02

yx

x yx x x

xyy y y

x yxy xy xy

xy

yx xy

y x

vE Ev

SE E

G

whenE E

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε σ σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε = σ = − σ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ν ν=

สาหรบ orthotropic material ตวอยางดงรป ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน (มคาคงท 4 ตว)

ปญหา Plane strain

ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดใหญมากตวอยางดงรปขางลาง

{ }

, 0, 0

xx xy

yyx y

xy

xy yx z yz xz z

⎧ ⎫εε ε⎡ ⎤ ⎪ ⎪ε = = ε⎨ ⎬⎢ ⎥ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭

ε = ε ε = ε = ε = σ ≠

ปญหา Plane strain (ตอ)

สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน

{ }1 0

[ ] 1 0(1 )(1 2 )

0 0 1 2

x x x

y y y

xy xy xy

v vED v v

vv

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε − ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = − ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ − ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ปญหา Axisymmetric ปญหาทซงมรปรางของปญหาและแรงกระทามความสมมาตรรอบแกน Z ดงนนเราสามารถสรปไดดงน (สาหรบ Isotropic material)

1 01 0

1 0(1 )(1 2 )0 0 0 1 2

r r

z z

rz rz

v v vv v vEv v vv v

vθ θ

σ ε−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ ε−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ ε−+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

การสรางเอลเมนต 2 มตโดยวธ Minimum potential energy

วธการสรางเอลเมนต 2 มตแบบ Triangular element ซงสามารถ

นาไปใชกบปญหาแบบ Plane stress และ Plane strain ได

DOF ของแตละโนดคอ v และ u การกระจดตามแนวแกน x และ y

ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปน Linear triangular element โดย Nodal displacement matrix คอ

แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2

{ }

i

ii

jj

jm

m

m

uv

du

d dv

duv

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ

เสยรปของเอลเมนต ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate

solution) ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใช

ฟงกชนเชงเสน (Linear function)

{ }

1

2

1 2 3 3

4 5 6 4

5

6

( , ) 1 0 0 0( , ) 0 0 0 1

aa

a a x a y au x y x ya a x a y av x y x y

aa

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ +⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

โดย a1 , a2 , a3 , a4 , a5 และ a6 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขการกระจดทโนดทงสามดงน


{ }0 0 0( , )

0 0 0( , )

i

i

i i j j m m i j m j

i i j j m m i j m j

m

m

uv

N u N u N u N N N uu x yN v N v N v N N N vv x y

uv

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

+ + ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

( , ) , ( , )( , ) , ( , )

( , ) , ( , )

i i i i i i i i i i

j j j j j j j j j j

m m m m m m m j m m

u u x y a a x a y v v x y a a x a yu u x y a a x a y v v x y a a x a y

u u x y a a x a y v v x y a a x a y

= = + + = = + += = + + = = + +

= = + + = = + +


1 1( ), ( )2 2

1 ( ), 2 ( ) ( ) ( )2

i i i i j j j j

m m m m i j m j m i m i j

N x y N x yA A

N x y A x y y x y y x y yA

α β γ α β γ

α β γ

= + + = + +

= + + = − + − + −

โดย


, ,

, ,

, ,

i j m j m j m i m i m i j i j

i j m j m i m i j

i m j j i m m j i

x y y x x y y x x y y x

y y y y y y

x x x x x x

α α α

β β β

γ γ γ

= − = − = −

= − = − = −

= − = − = −

เมอ

โดย Ni , Nj และ Nm คอ shape function และมคณสมบตดงรปดานขวามอ


คณสมบตทสาคญของ Displacement function, {ψ}, คอตองมความสมบรณ

(Completeness) ในการใหมการเคลอนทแบบ Rigid-body translation และ Rotation

ได โดยไมทาใหเกดความเคนขน

Stress-free element

Translation Rotation

ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยดความเครยดของเอลเมนต

{ }

1 ( )2

x

y

xy

uxvy

u vy x

⎧ ⎫∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎧ ⎫ε⎪ ⎪∂⎪ ⎪ε = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂ ∂

+⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭

จากการแทนคา u และ v ลงไปในสมการขางบนจะได

{ }0 0 0

1 0 0 0 [ ]{ }2

i

ii j m

ji j m

ji i j j m m

m

m

uvu

B dvAuv

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫β β β⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ε = γ γ γ =⎨ ⎬⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪γ β γ β γ β⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยด (ตอ)

ความเคนของเอลเมนต

[ ] [ ][ ]{ }x x

y y

xy xy

D D B d⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε⎩ ⎭ ⎩ ⎭


จากหลกการของ Minimum potential energy, Total potential energy

( , , ,..., )p p i i j mu v u vπ = πซงสามารถเขยนไดดงน

โดย{ } { } { } [ ]{ }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

1 12 2

T T

V V

Tb

V

Tp

T

s S Ss

U dV D dV

X dV

d P

T dS

= ε σ = ε ε

Ω = − ψ

Ω = −

Ω = − ψ

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

∫∫

p b p sUπ = + Ω + Ω + Ω

Potential energy ของ Body force

แรงกระทาเปนจด และแรงกระจายบนผว

Strain energy


นาคา {σ}, {ε} และ {ψ} ไปแทนสมการพลงงานจะได{ } [ ] [ ][ ]{ }

{ } [ ] { } { } { } { } [ ] { }

12

TTp

V

T TT T TS S

V S

d B D B d dV

d N X dV d P d N T dS

π =

− − −

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫ถากาหนดให

{ } [ ] { } { } [ ] { }TT

S SV S

f N X dV P N T dS= + +∫∫∫ ∫∫แทนในสมการขางบน

{ } [ ] [ ][ ] { } { } { }12

TT Tp

V

d B D B dV d d fπ = −∫∫∫


จากนนทาการหาคาอนพนธแลวจบเทากบศนย

{ } [ ] [ ][ ] { } { } 0Tp

V

B D B dV d fd

⎡ ⎤∂π= − =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∫∫∫ดงนน

[ ] [ ][ ] { } { }

[ ]{ } { }

T

V

B D B dV d f

k d f

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦=

∫∫∫

ถาความหนาของเอลเมนตคงทเทากบ t

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

T

AT

k t B D B dxdy

tA B D B

=

=

∫∫

ขนาด(6 x 6)




{ } [ ]{ }F K d=โดย

[ ] { }( ) ( )

1 1

N Ne e

e e

K K k F F f= =

= = = =∑ ∑


จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการทแลว จากนนทาการแกสมการหา




นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการGlobal equation เพอหาคาแรง

ทกระทาทโนดภายในเอลเมนต นอกจากนนเรายงสามารถหาคาความเคนภายใน

เอลเมนตไดดวย

ตวอยางการแปลงแรงกระจายไปเปนแรงทโนด

การแปลงแรงกระจายไปเปนแรงกระทาทโนดมความจาเปนเพราะระเบยบวธไฟ

ไนตเอลเมนตตองการแรงกระทาทโนด ตวอยางขางลางคอการแปลง Surface force

แรงแบบดงเดม Surface load แรงแบบใหม Point load

ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress

แผนเพลทคอนขางบางถกกระทาดวยแรงกระจายแบบผวดงรป

จงหา (a) การกระจดทโนด (b) ความเคนภายในเอลเมนต

กาหนดใหความหนาของแผนเพลทเทากบ 1 นว Young’s Modulus, E, กบ 30 x

106 psi และ ν = 0.3

FE model

ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)

(1) (2)[ ] [ ] [ ]K k k= +หลกการทาคอตองหา Global element stiffness matrix

จากนนแทนในสมการ Global matrix equation และแทนเงอนไขโหลดและ

สภาวะขอบลงไป

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

4 4

4 4

0000

[ ]5000

05000

0

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

F dF dF dF d

KF d

F dF d

F d

=⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎩ ⎭ ⎩ ⎭

F1x

5000

5000

F2x

F2y

F1y


จากผลการแทนจะไดสมการ

1

1

2

2

48 0 28 14 0 26 20 120 87 12 80 26 0 14 728 12 48 26 20 14 0 0

14 80 26 87 12 7 0 0375,005000 0 26 20 12 48 0 28 140.91

0 26 0 14 7 0 87 12 805000 20 14 0 0 28 12 48 26

0 12 7 0 0 14 80 26 87

x

y

x

y

FFFF

− − −⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢− − −⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢=⎨ ⎬ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪

− − −⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎩ ⎭ ⎣

3

3

4

4

0000

x

y

x

y

dddd

⎧ ⎫⎤⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎦ ⎩ ⎭

ตอไปตองทาการแกหาของดานขวามอ(คาการกระจดทโนด)กอน จากนนแทน

คาเพอหาคาตอบของดานซายมอคอคาแรงกระทาทโนดของโครงสรางรวม


3

3 6

4

4

609.64.2

10 .663.7104.1

x

y

x

y

dd

indd

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

ผลลพธของคาตอบได

ขอสงเกต จะเหนวาคาตอบทไดมคาความผดพลาดขนของสมดลแรง(แตนอย

มากๆ) และการกระจดทโนด จะแกไดอยางไร

1

1 3

2

2

5.00050.0007

10 .4.99970.0005

x

y

x

y

FF

lbFF

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭


10053012.4

x

y

xy

psiσστ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

นาคาการกระจดทไดลงไปแทนในสมการความสมพนธระหวางความเคนและ

ความเครยดจะได

Note: คาความเคนมคาคงทตลอดทวทงอลเมนต ดงนนจะเกดอะไรขนระหวาง

รอยตอของอลเมนต ลองมาดกนตอไป

9951.22.4

x

y

xy

psiσστ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭

อลเมนต 1 อลเมนต 2


ขดกบหลกสมดล

คาความเคนทรอยตอเอลเมนตมทศตรงกนขาม

แตขนาดตางกนดงนนสมดลระหวางเอลเมนตไมได


จากการทดสอบตอไปพบวาม Directional bias เกดขน

Mesh แบบท 1

Mesh แบบท 2

3D Stress element

เรามความจาเปนตองใชเอลเมนตแบบสามมตเมอ วตถ รปแบบของภาระและสภาวะขอบของปญหามความซบซอนทจะวเคราะหปญหาเปนแบบ 2 มตได เอลเมนตพนฐานของระบบสามมตประกอบไปดวย (1) Brick element (2) Tetrahedral element (3) Wedge element

Solid(3D)

• ทแตละโนดจะมระดบความอสระเทากบ

3 คอ u, v, w สมการของเอลเมนตจะเปน

{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦

ขนาด 24 x 24 สาหรบ Brick element

ขนาด 8 x 1 ขนาด 8 x 1

ขอควรพจารณาในการทาแบบจาลอง

ขอควรพจารณาโดยทวไป เลอกชนดเอลเมนตทเหมาะสม กาหนดสภาวะขอบทเหมาะสม กาหนดสภาวะโหลดทเหมาะสม

Aspect ratio และ รปรางของเอลเมนต

Aspect ratio คอ อตราสวนของสวนทยาวทสดตอสวนทสน ถา Aspect ratio

เพมมากขนจะทาใหความถกตองของคาตอบมคาลดลง ตวอยางดงหนาถดไป

ผลของ Aspect ratio

เชคการกระจดทโนด A

ไมควรใชรปรางของเอลเมนตดงน

ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา

ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา(ตอ)

Cyclic symmetry

ควรแบงเมชใหละเอยดในบรเวณดงตอไปน

ใช semi-infinite element ในการลดขนาดโมเดลใหเลกลง เพราะบรเวณดงกลาว

อยไกลจากโหลดมาก

Semi-infinite element

เมอมการใชชนดของเอลเมนตตางชนดกนใหคานงถงการถายโหลดระหวางกนวา

ถกตองหรอไม

แบบนจะไมมการถายโมเมนตระหวาง

Plane element กบ Beam element

เพราะ Plane element ไมสามารถ

รบภาระแบบโมเมนตไดทจด A

วธแกคอการเพม Beam element AB

เขาไปจะทาใหมการถายโมเมนตได

ในบาง Commercial program เราสามารถใชเทคนคของการ Refinement (h หรอ P)

มาชวยในการทาใหไดคาตอบทดขน

เพม order ของ element ให

สงขน

เพมจานวนของ element ให

มากขน

Mesh convergence

จดประสงคตองการศกษาหาจานวนเอลเมนตทใชในการวเคราะห วาจานวนเอลเมนตทเหมาะสมควรจะมคาเทาไหร ทงนเพอสรางความมนใจวาคาตอบทไดเปนคาตอบทยอมรบได ซงขนตอนนจะเรยกวาเปนการเชค convergence ของคาตอบ

ตวอยางแสดงดงรป โดยเราจะทาการเชคคาเปรยบเทยบคาตอบสามคา

1) การขจดทดานลางของร

2) Peak Von Mises stress ทคาจน

3) Peak Von Mises stress ทผวภายในร

Mesh convergence (ตอ)

รปแบบของการแบงเมช


22.5496.E6345.E63.15E–4Very fine

2.7426.E6332.E63.14E–4Fine

1.0365.E6311.E63.13E–4Normal

0.26205.E6180.E62.01E–4Coarse

Relative CPU time (sec)

Stress at attachment

Stress at bottom of

hole

Displacement of bottom

of hole

Mesh

Mesh convergence (ตอ)Locally refined mesh

3.44346.E63.14E–4Locally refined

22.5345.E63.15E–4Very fine

Relative CPU time

Stress at bottom of

hole

Displacement of bottom of

holeMesh

ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ

Woman’s bra

ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ(ตอ)

รองเทาสาหรบผปวยโรคเบาหวาน

( finite element method, fem ] -...

Documents